Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb"

Transcript

1 Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava plime i oseke itd. Elektrokardiogram (EKG) ili encefalograf (EKG) su grafički zapisi funkcija srca, odnosno mozga, i već sam pogled na njih stvara intuitivan dojam o pojmu periodičnost. U ovom članku bavit ćemo se periodičnošću nekih elementarnih realnih funkcija. Povremeno ćemo pritom rabiti grafičko džepno računalo koje će nam poslužiti za postavljanje određenih pretpostavki, zapotvrdu nekih rezultata ili pak kao ilustracija pojedinih primjera. Za preciznije crtanje grafova realnih funkcija ovakvo džepno računalo zbog niske rezolucije, baš i nije podobno pa se u tu svrhu možemo koristiti jednim od jednostavnih računalnih programa, ovdje će to biti GeoGebra. 1 Prije same definicije periodičnosti funkcije, a nakon uvoda u kojem se mogu navesti primjeri s početka članka, dobro je obraditi primjer neke jednostavne periodične funkcije. Tu baš i nemamo nekakav izbor jer se u prvim dvjema godinama srednje škole obrađuju funkcije koje nemaju svojstvo periodičnosti: linearni i kvadratni polinom te eksponencijalna i logaritamska funkcija. Jedini, ali zato vrlo upečatljiv primjer jest jednostavna funkcija f (x) = {x}, poznata pod nazivom decimalni 1 grč. periodos obilaženje 203

2 metodika dio realnog broja x. Opišimo je: Svaki se realan broj x može prikazati u obliku x = x +{x}, pri čemu je x Z prvi od x manji (prvi lijevi) cijeli broj, a {x} [0,1 je decimalni dio broja x. Za svaki cijeli broj n je {n}= 0. Za svaki x [n, n + 1, gdje je n cijeli broj vrijedi: {x}= x x. Što opažamo? Translacijom grafa duž osi x za bilo koji paran cijeli broj, dobit će se isti graf. Zadatak 1. Prikaži grafički funkciju: f(x) = { x 2n, 2n x < 2n+1 x + n + 2, 2n 1 x < 2n Periodične funkcije Definicija Realna funkcija f definirana na skupu D f je periodična ako postoji realan broj P > 0 takav da za svaki x D f vrijedi: f (x + P) = f (x). (*) Broj P zove se period funkcije f. Najmanji pozitivan broj P 0 za koji je ispunjen uvjet (*) jest osnovni ili temeljni period funkcije f. Primijetimo da vrijedi sljedeći poučak: Na slici je prikazan graf ove funkcije. Ukažimo na jednostavnu i zornu činjenicu da translacijom ovog grafa duž osi x za bilo koji cijeli broj dobivamo isti graf. Na istoj zamisli mogli bismo i sami konstruirati slične funkcije. U sljedećem primjeru to je i učinjeno. Primjer 1. Za paran cijeli broj n i za n = 0 definirajmo realnu funkciju f na sljedeći način: f (x) = { x n, n x < n + 1 x + n + 2, n + 1 x < n + 2 Na slici prikazan je graf ove funkcije. Ako je P period funkcije f, onda je i np period iste funkcije, pri čemu je n bilo koji prirodan broj. Ovu očiglednu tvrdnju dokazujemo matematičkom indukcijom. Pravi primjeri periodičnih funkcija u srednjoj školi jesu trigonometrijske funkcije. Te su funkcije vrlo važne u raznim primjenama matematike pa izučavanje njihovih svojstava treba biti glavni sadržaj njihove obrade. Nažalost, to najčešće nije tako, već se obrada trigonometrijskih funkcija svede na puko računanje. U nastavku ćemo se baviti periodičnošću trigonometrijskih funkcija. Pritom ćemo obradu nekih problema, čije se rješenje može naći u svakom udžbeniku trigonometrije, prepustiti čitatelju. Primjer 2. Trigonometrijske funkcije f (x)=sin x i f (x)=cos x su periodične s temeljnim periodom P 0 = 2π. Da su ove dvije funkcije periodične, proizlazi iz same njihove definicije, odnosno iz svojstva smještanja realnih brojeva na jediničnu kružnicu. Tu činjenicu je svakako dobro istaknuti. No formalno je možemo provjeriti na sljedeći način. 204 broj 45 / godina 9. / 2008.

3 Prema definiciji periodičnosti, mora biti ispunjen uvjet sin (x + P) = sin x. Ta jednakost mora vrijediti za svaki realan broj x, pa i za x = 0. Tako dobivamo jednostavnu jednadžbu sin P = 0 čije je rješenje x = k π, k Z, k 0. Funkcija f je periodična i njezin temeljni period valja potražiti u skupu brojeva k π. Lako se ustvrdi da je P 0 = 2π. Period funkcije sinus je svaki broj oblika k 2π, k Z, k 0. Na potpuno analogan način pokazuje se da je i funkcija cos x periodična s temeljnim periodom 2π. Ovaj primjer ujedno ilustrira kako se načelno, na temelju definicije, provjerava periodičnost i određuje temeljni period neke trigonometrijske funkcije. Zadatak 2. Dokažite da su funkcije f (x) = tg x i f (x) = ctg x periodične i da je njihov temeljni period P 0 = π. Zadatak 3. Dokažite da su funkcije f (x) = sin nx i g(x) = cos nx, gdje je n racionalan broj i n 0 periodične i da je njihov temeljni period P 0 = 2π n. *** Primijetimo ovdje kako vrijedi općenito: Ako je P period funkcije f, tada je period funkcije f (ax), gdje je a od nule različit racionalni broj, jednak P a. Provjerimo ovu tvrdnju: f ( a ( x + P a ) ) = f (ax+p) = f (ax). A što ako su f i g periodične funkcije s različitim osnovnim periodom? Pogledajmo primjere: Primjer 3. Je li funkcija f (x) = sin 3x + tg 2x periodična? Funkcija sin 3x je periodična s temeljnim periodom 2π. Skup perioda te funkcije jest skup 3..., 2π, 4π 3, 2π 3, 2π 3, 4π 8π 3, 2π, 3, _ 10π 3, 4π,... Periodi funkcije tg 2x su svi brojevi oblika k π 2, odnosno, to je skup brojeva:..., 2π, 3π π 2, π, 2, π 2, π, 3π 5π 2, 2π, 2, 6π... Jasno se može uočiti kako su brojevi oblika k 2π, k Z, k 0 u presjeku ova dva skupa pa su onda i periodi funkcije f. Zaista, to se pokazuje točnim: f (x + k 2π) = sin 3 (x + k 2π) + tg 2 (x + k 2π) = sin 3x + tg 2x = f (x). Najmanji pozitivan među brojevima k 2π jest broj 2π i on je temeljni period funkcije f. Zgodno je pogledati na kraju i graf funkcije f. To ćemo, uz pomoć GeoGebre, odmah učiniti i samo potkrijepiti prethodni rezultat. Jedno od pitanja koje se prirodno nameće jest: Ako su f i g periodične funkcije, jesu li periodične funkcije f ± g, f g i f / g? Ako su funkcije f i g periodične s istim temeljnim periodom P, tada je lako vidjeti da su njihov zbroj, razlika, umnožak i količnik periodične funkcije s istim temeljnim periodom. Periodične su stoga funkcije sin x + cos x, sin x cos x, sin 2 x, cos sin x x, sin 2 x cos x itd. 205

4 metodika Primjer 4. Dokažimo da je funkcija f (x) = sin 3 4 x 2 cos 2 3 x periodična. Odredimo i njezin temeljni period. Valja provjeriti postoji li realan broj P 0 takav da za svaki realan broj x vrijedi: f (x) = sin 3 4 (x + P) 2 cos 2 3 (x + P) = sin 3 4 x 2 cos 2 3 x. Kako ova jednakost mora vrijediti za svaki realan broj x, onda ona mora vrijediti i za x = 0 i za x = P. Uvrštavanjem tih dviju vrijednosti dobivamo dvije jednadžbe koje čine sustav: sin 3 4 P 2 cos 2 3 P = 2 sin 3 4 P 2 cos 2 3 P = 2. Jedno rješenje tog sustava je cos 2 3 P = 1, odnosno P = k 3π. Očito f je periodična, a njezin temeljni period valja tražiti među brojevima k 3π, k Z, k 0. Postupnom provjerom nalazimo da je P 0 = 24π. Graf funkcije f nacrtan pomoću GeoGebre zorno prikazuje ovu funkciju. *** Nakon što smo riješili dva prethodna problema, intuitivno nam se nameće sljedeća pretpostavka: Neka funkcije f 1 i f 2 imaju isto područje definicije i neka su P 1, odnosno P 2 periodi jedne, odnosno druge funkcije. Nadalje, neka su brojevi P 1 i P 2 sumjerljivi, tj. vrijedi P 2 P = m 1 n, m, n N i D (m,n) = 1. Tada je funkcija f (x) = f 1 (x) + f 2 (x) periodična s periodom P = n P 2 = m P 1. Tvrdnju je lako dokazati: U primjeru 3. je P 1 = 2π 3, P 2 = 2π 3. Dalje je P 2 = 3 P1 4 te je P = 4 P 2 = 3 P 1 = 2π. U primjeru 4. imamo: P 1 = 8π 3, P 2 = 3π te je P 2 P 1 = 9 8. I konačno, P = 8 P 2 = 9 P 1 = 24π. Pri rješavanju problema vezanih uz periodične funkcije možemo se koristiti nekim njihovim jednostavnim svojstvima. To podiže učinkovitost i racionalnost postupaka. Primjerice, svojstvo f (x + np) = f (x), n Z, n 0 poručuje da periodična funkcija svaku svoju vrijednost postiže u beskonačno mnogo točaka. Zaključujemo onda da monotono rastuća ili monotono padajuća funkcija ne može biti periodična. Primjerice, eksponencijalna funkcija f (x) = a x, jer je monotona na cijelom svojem području definicije, nije periodična funkcija. Nadalje, područje definicije periodične funkcije mora biti simetrično s obzirom na nulu. Drugim riječima, ako je P D f, gdje je P period, onda mora bitii P D f. Ovo je obrazloženje zašto ne može biti periodična logaritamska funkcija ili funkcija x. U nekoliko narednih primjera primijenit ćemo određene postupke koji u sebi implicitno sadrže definiciju periodične funkcije. Primjer 5. Je li funkcija f (x) = x 2 + sin x periodična? Kad na zaslonu grafičkog džepnog računala pogledamo graf funkcije f, čini nam se kako ta funkcija nije periodična. No, je li to točno? Na zaslonu je samo manji dio grafa te funkcije pa valja provesti strožu provjeru. f (x) = f 1 (x) + f 2 (x) = f 1 (x + m P 1 ) + f 2 (x + n P 2 ) = f 1 (x + P) + f 2 (x + P) = f (x + P). 206 broj 45 / godina 9. / 2008.

5 Primijetimo da je f (0) = 0. Moralo bi biti i f (0 + np) = f (np) = 0, za n Z, n 0, a to lako vidimo da nije moguće. Naime, funkcija sinus je omeđena, prima vrijednosti između 1 i 1, a vrijednosti kvadratne funkcije x 2 su veće od 1 za sve x > 1. Zbroj dvije funkcije od kojih jedna jest, a druga nije periodična funkcija općenito nije periodična funkcija. Ali niti zbroj dviju periodičnih funkcija nije općenito periodična funkcija. Primjer 7. _ Je li funkcija f (x) = sin x periodična? Područje definicije ove funkcije je skup realnih brojeva. Pogledajmo za trenutak na zaslonu grafičkog džepnog računala graf dane funkcije. Pogledajmo primjer: Primjer 6. Funkcija f 1 (x) = {x} periodična je funkcija s temeljnim periodom 1. Funkcija f 2 (x) = sin x periodična je funkcija s temeljnim periodom 2π. Je li funkcija f(x) = {x} + sin x periodična? Poslužimo li se GeoGebrom, dobit ćemo graf funkcije f i uočiti da ona nije periodična. Ipak, provjerimo to: Pretpostavimo da f jest periodična i da je P njezin period. Tada za svaki realni broj x vrijedi jednakost: {x + P} + sin (x + P) = {x} + sin x. Za x = 0 je {P} + sin P=0, za x = P je { P} sin P = 0. Zbrojimo dvije jednakosti i dobijemo {P} + { P} = 0. No {x} 0, za svaki realni broj x pa slijedi da je {P} = { P} = 0. Ovo je pak ispunjeno za svaki cijeli broj P. S druge strane, ako je {P}=0 onda iz {P}+sin P = 0 slijedi sin P = 0, a odatle P = k π. No taj je broj cijeli samo ako je k = 0. Tada je i P = 0. Zaključujemo da f nije periodična funkcija. Čini se kako ona nije periodična. Kako to provje-riti? Promotrimo skup svih nultočaka funkcije f, odnosno, skup svih rješenja jednadžbe _ f (x) = sin x = 0. Slijedi _ x = n π, n Z, a zatim i x = n 2 π 2 te konačno x = ± n 2 π 2, n= 0, 1, 2,... Razmak između dvije susjedne nultočke jednak je (n + 1) 2 π 2 n 2 π 2 = (2n + 1) π 2. Taj razmak raste od nultočke do nultočke što znači da funkcija nije periodična. Primjer 8. Je li periodična funkcija f (x) = sin x? Uzmimo da je f periodična i neka je P njezin period. 207

6 metodika Zbog f ( π 2 ) = 1 vrijedi f ( π 2 + P ) = 1. Odatle slijedi P = k 2π, k Z. No trebalo bi biti i f ( π 2 + P ) = f ( π 2 ) = 1, ali nije. Vrijedi naime: f ( π 2 + k 2π ) = sin k 2π π 2 = sin ( k 2π π 2 ) = 1. Funkcija f (x) = sin x nije periodična. Primjer 9. Je li funkcija f (x) = sin x + cos 2x periodična? Odmah se uočava da je 2π period ove funkcije. Za x = 0 imamo sin P = 0 i odatle P = k 2π. _ Za x = P imamo sin 2P = 0 i odatle _ 2P = n 2π. Pritom su k i n prirodni brojevi. Podijelimo li te dvije jednakosti, dobit ćemo 2 = n k što je, kao što znamo, netočno. Time je pogrešna i polazna pretpostavka da je f periodična funkcija. Graf funkcije f vidimo na zaslonu grafičkog džepnog računala. Pokažimo da je to ujedno i najmanji pozitivan period. Kad bi postojao manji, recimo P, bilo bi: f ( P 2 ) = f ( π 2 + P ) = f ( P 2 ). Naime sin ( P 2 ) i sin ( P 2 ) suprotni su brojevi, a cos ( P 2 ) = cos ( P 2 ) pa je sin ( P 2 ) + cos ( 2 P 2 ) sin ( P 2 ) + cos ( 2 P 2 ). Zadatak 4. Je li periodična funkcija f (x) = sin 2 x + cos x? Zadatak 5. Provjerite periodičnost funkcije f (x) = sin 2x. Primjer 10. Je li periodična funkcija f (x) = sin x? Pretpostavimo da je f periodična i da je P njezin period. Tada za svaki broj x iz područja definicije funkcije f vrijedi: _ sin x + P = sin x. *** Sljedeća činjenica je također jednostavna ali vrlo vrijedna: Ako su f i g periodične funkcije s istim periodom P, tada su i zbroj, razlika, umnožak i količnik periodične funkcije s istim periodom. To bi značilo: Funkcije f (x) = sin x i f (x) = cos x su periodične pa su periodične i sljedeće funkcije sin x + cos x, sin x cos x, sin 2 x,... Pri rješavanju zadataka u kojima treba provesti provjere periodičnosti nekih trigonometrijskih funkcija možemo, primijenjujući trigonometrijske identitete, zadane funkcije transformirati na jednostavniji oblik iz kojega je lakše izvesti zaključak. Evo dva primjera: Primjer 11. Dokažimo da je funkcija f (x) = cos 2 x periodična. Jednostavno je pokazati da je π period funkcije f. Vrijedi: cos 2 (x + π) = ( cos x) 2 = cos 2 x. A kako je cos 2 0 = cos 2 π = 1 i cos 2 x < 1 za svaki x 0, π, slijedi da je π najmanji period funkcije f. 1 + cos 2x No mogli smo zapisati f (x) = cos 2x = 2 i odmah vidjeti da je f periodična s temeljnim periodom π. 208 broj 45 / godina 9. / 2008.

7 *** Slično imamo i u sljedećem primjeru: Primjer 12. džepnom računalu. Te će sličice možda pomoći pri iznalaženju rješenja. 1. f (x) = sin 2x + cos 3x. Provjeri da je funkcija f (x) = cos 4 x periodična. Odredi joj temeljni period. Primijenom osnovnih trigonometrijskih identiteta imamo: f (x) = cos cos 2x x = ( 2 ) 2 = 1 4 (1 + 2 cos 2x + cos 2 2x) = cos 4x 4 ( cos 2x + 2 ) = cos 2x cos 4x. Očito, f je periodična, a njezin je najmanji period P 0 = π 2. *** I na kraju recimo nešto općenito o periodičnosti složenih funkcija. Vrijedi naime sljedeći poučak: Ako je f perodična funkcija, a g bilo koja funkcija definirana na skupu vrijednosti funkcije f, tada je i funkcija g f periodična. Provjerimo: Neka je f periodična s periodom P, a g neka je funkcija definirana na skupu vrijednosti funkcije f. Tada vrijedi g f (x + P) = g (f (x + P)) = g ( f (x)), pa vidimo da je iskazana tvrdnja točna. Ovaj poučak daje odgovor na mnoga pitanja. Zadaci Za svaku od navedenih funkcija provjeri njezinu periodičnost. Uz pojedinu funkciju dan je i njezin graf, onako kako ga se može vidjeti na grafičkom 2. f (x) = cos ( x 2 ). 3 f (x) = sin ( x 2 ). 4. f (x) = sin 2x. 5. f (x) = sin 3 x. 6. f (x) = cos x 2 cos (x 2 ). 209

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto?

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Franka Miriam Brückler Igor Pažanin Zagreb, 2012. Sadržaj 1 Uvod 7 1.1 Varijable i konstante............................

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem Dirichletov princip Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem obliku glasi ovako: Dirichletov princip: Ako n + 1 predmet rasporedimo kako

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 1 Realni i kompleksni brojevi Lekcije iz Matematike 1. 1. Realni i kompleksni brojevi I. Naslov i obja²njenje naslova U lekciji se ponavljaju osnovna svojstva

Διαβάστε περισσότερα

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Tijekom ocjenjivanja nacionalnih ispita i ispita državne mature, neovisno o razini, uvidjeli smo neke probleme pri rješavanju zadataka. Ovdje želimo navesti

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Prirodni i cijeli brojevi

1.1. Prirodni i cijeli brojevi BROJEVI Upitate li nekoga, kome matematika i nije osobito bliska, c ime se matematic ari bave, moz ete oc ekivati odgovor: brojevima! I premda bas i nije toc an, odgovor nije neobic an. Jer, prva iskustva

Διαβάστε περισσότερα

UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA

UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA **** MLADEN SRAGA **** 00. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA JEDNADŽBE NEJEDNADŽBE APSOLUTNE JEDNADŽBE APSOLUTNE NEJEDNADŽBE

Διαβάστε περισσότερα

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I Skupovi, funkcije, brojevi mr.sc. TATJANA STANIN 009. Kratak pregled predavanja koja se izvode na učiteljskom

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

U uvodu ćemo ponoviti ono što smo dosad učili o potencijama. Potencije i njihova svojstva. Nadalje, uz primjenu svojstva (E 1 ) vrijedi:

U uvodu ćemo ponoviti ono što smo dosad učili o potencijama. Potencije i njihova svojstva. Nadalje, uz primjenu svojstva (E 1 ) vrijedi: 5 EKSPONENCIJALNE I LOGARITAMSKE FUNKCIJE Dosad smo u srednjoj školi uoznali više funkcija. Nekima od njih, a takve su, rimjerice, olinomi rvog i drugog stunja, vrijednosti možemo izračunavati rimjenom

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

I. dio. Zadaci za ponavljanje

I. dio. Zadaci za ponavljanje I. dio Zadaci za ponavljanje ZADACI ZA PONAVLJANJE. BROJEVI: Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi. Izgradnja skupova N, Z, Q, R.. Odredi najveću zajedničku mjeru M(846, 46).. Napiši broj u sustavu

Διαβάστε περισσότερα

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 Uvod u numeričku matematiku Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 1 Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci Numerička integracija O problemima integriranja

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Lekcije iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama I. Naslov i obja²njenje

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler Nizovi i redovi Franka Miriam Brückler Nabrajanje brojeva poput ili 1, 2, 3, 4, 5,... 1, 2, 4, 8, 16,... obično se naziva nizom, bez obzira je li to nabrajanje konačno (do nekog zadnjeg broja, recimo 1,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Definicija funkcije

1.1 Definicija funkcije . Definicija funkcije Realna funkcija predstavlja osnovni pojam u matematičkoj analizi i centralni objekat svih njenih razmatranja. Definicija Neka je dat skup D R. Ako je svakom x D po nekom zakonu (pravilu)

Διαβάστε περισσότερα

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0 9. Z transformacija 9.. Z transformacija Z transformacija nia brojeva {f[n]} a koje vrijedi je Z [ f[n] ] = f[n] = 0, n < 0 9.) f[n] n = F ). 9.) Ovom transformacijom niu brojeva {f[n]} pridružuje se funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

Polinomske jednaqine

Polinomske jednaqine Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5. TRIGONOMETRIJA 5. Definicija trigonometrijskih funkcija Naj jednostavnija definicija trigonometrijskih funkcija dobije se promatranjem pravokutnog ( ) ( r) ( ) trokuta. Svaki takav trokut, za promatrani

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi o trokutu

Temeljni pojmovi o trokutu 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

Ciljevi i način rada u metodičkoj radionici (I sadržaji iz teorije brojeva i algebre pogodni za rad na dodatnoj nastavi matematike) Ana Jurasić, 2013.

Ciljevi i način rada u metodičkoj radionici (I sadržaji iz teorije brojeva i algebre pogodni za rad na dodatnoj nastavi matematike) Ana Jurasić, 2013. Ciljevi i način rada u metodičkoj radionici (I sadržaji iz teorije brojeva i algebre pogodni za rad na dodatnoj nastavi matematike) Ana Jurasić, 2013. Zašto metodička radionica za nastavnike? Društvo pred

Διαβάστε περισσότερα

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Logička svojstva i odnosi

Logička svojstva i odnosi Logička svojstva i odnosi S osvrtom na meduodnos logike i didaktike Berislav Žarnić Sveučiliste u Splitu studeni 2008. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni 2008. 1 / 46 Plan izlaganja

Διαβάστε περισσότερα

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014 Nermin Okičić Vedad Pašić MATEMATIKA II 014 Sadržaj 1 Funkcije više promjenljivih 1 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih................ 1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja.............. 1.1. Grafičko

Διαβάστε περισσότερα

Vježbe iz matematike 1

Vježbe iz matematike 1 Vježbe iz matematike B. Ivanković N. Kapetanović 8. rujna 005. Uvod Vježbe su tijekom dugog niza održavanja nadopunjavane. Osnovu vježbi napravila je Nataša Kapetanović, ing. matematike, a podebljao ih

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Z A D A C I - Grupe A i B SA DRUGOG PARCIJALNIOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Akademska godina Sarajevo,

Z A D A C I - Grupe A i B SA DRUGOG PARCIJALNIOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Akademska godina Sarajevo, Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu Z A D A C I - Grupe A i B SA DRUGOG PARCIJALNIOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA Akademska 008-009 godina Sarajevo, 09 0 009 IME I PREZIME STUDENTA

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I Gradimir V. Milovanović Radosav Ž. D ord ević MATEMATIČKA ANALIZA I Predgovor Ova knjiga predstavlja udžbenik iz predmeta Matematička analiza I koji se, počev od školske 2004/2005. godine, studentima Elektronskog

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Projektovanje informacionih sistema 39

Projektovanje informacionih sistema 39 Projektovanje informacionih sistema 39 Glava 3 3.0 Osnove relacione algebre - uvod Za manipulisanje podacima i tabelama u relacionim bazama podataka potrebna su osnovna znanja iz relacione algebre. Relaciona

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u aritmetiku eliptičkih krivulja

Uvod u aritmetiku eliptičkih krivulja Uvod u aritmetiku eliptičkih krivulja 1. Uvod i motivacija - 1. lekcija Začetci ideje o eliptičkim krivuljama mogu se nazrijeti kod Diofanta (vjerojatno u 3. stoljeću) u postupku rješavanja jednadžba u

Διαβάστε περισσότερα

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 6. razred osnovne škole

MATEMATIKA 6. razred osnovne škole Matematika 6. razred osnovne škole 1 MATEMATIKA 6. razred osnovne škole OPERACIJE S RAZLOMCIMA 1. Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik Zajednički nazivnik dvaju razlomaka. Provesti heuristički razgovor

Διαβάστε περισσότερα

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ==========================

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== M. JOVANOVIĆ M. MERKLE Z. MITROVIĆ Elektrotehnički fakultet Banja Luka ================================== ii Autori: dr Milan

Διαβάστε περισσότερα

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj.

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj. Opća topologija 24 Opća topologija 26 13. Baza topologije Baza topologije 2 TOPOLOŠKI PROSTORI I NEPREKIDNE FUNKCIJE Topološki prostori Baza topologije Uređajna topologija Produktna topologija na X Y Topologija

Διαβάστε περισσότερα

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Ispitni katalog za državnu maturu u školskoj godini 2016./2017. MATEMATIKA

Ispitni katalog za državnu maturu u školskoj godini 2016./2017. MATEMATIKA Ispitni katalog za državnu maturu u školskoj godini 2016./2017. 1 MATEMATIKA 2 Sadržaj UVOD... 5 1. Područja ispitivanja... 5 2. Obrazovni ishodi... 6 2.1. Obrazovni ishodi za osnovnu razinu ispita...

Διαβάστε περισσότερα

ZAKONI OČUVANJA U IZOLIRANOM SUSTAVU

ZAKONI OČUVANJA U IZOLIRANOM SUSTAVU Poglavlje 6 ZAKONI OČUVANJA U IZOLIRANOM SUSTAVU U praksi se često dogada da nekoliko tijela uzajamno djeluju jedno na drugo mnogo snažnije nego što na njih djeluju druga okolna tijela. Teorijsko razmatranje

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

T I T R A N J A I V A L O V I

T I T R A N J A I V A L O V I O P Ć A F I Z I K A 3 T I T R A N J A I V A L O V I Uvod Ovaj se kolegij predaje u svijetu prvenstveno za buduće fizičare profesionalce. Za ostale prirodoslovne struke i tehnička usmjerenja smatra se da

Διαβάστε περισσότερα

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Erna Oklapi Gimnazija Novi Pazar ernaoklapii@yahoo.com Sanela Numanović Gimnazija Kruševac sanelanumanovic@yahoo.com Rezime U ovom radu predstavljen

Διαβάστε περισσότερα

Franka Miriam Brückler. Travanj 2009.

Franka Miriam Brückler. Travanj 2009. Osnove kvantne kemije za matematičare Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Travanj 2009. Nekoliko uvodnih zadataka Zadatak Odredite frekvenciju i valni broj elektromagnetskog zračenja valne duljine λ

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R. II. FUNKCIJE 1. Osnovni pojmi 2. Sestavljanje funkcij 3. Pregled elementarnih funkcij 4. Zveznost Kaj je funkcija? Definicija Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi

Διαβάστε περισσότερα

Slučajni procesi i primjene

Slučajni procesi i primjene Slučajni procesi i primjene Université d Orléans Nils Berglund siječanj 2014. Sadržaj I Markovljevi lanci 1 1 Markovljevi lanci s konačnim skupom stanja 3 1.1 Primjeri Markovljevih lanaca..........................

Διαβάστε περισσότερα