Osnovni teoremi diferencijalnog računa

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Osnovni teoremi diferencijalnog računa"

Transcript

1 Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009.

2 Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Voditelj: Prof. dr. sc. Dragan Jukić Osijek, 2009.

3 Sadržaj 1. UVOD 1 2. FERMATOV TEOREM 2 3. ROLLEOV TEOREM 5 4. LAGRANGEOV TEOREM 7 5. CAUCHYJEV TEOREM TAYLOROV TEOREM LITERATURA 21

4 Sažetak. Diferencijalni račun ima važnu ulogu u razvoju praktične primjene matematičke analize. U ovom radu je obradeno pet osnovnih teorema diferencijalnog računa: Fermatov, Rolleov, Lagrangeov, Cauchyjev i Taylorov. Uz svaki teorem je iskazan dokaz. Ključne riječi: lokalni ekstrem, lokalni minimum, lokalni maksimum, neprekidna funkcija, derivabilnost, stacionarna točka, točka infleksije, tangenta, sekanta, koeficijent smjera, polinom, Taylorov red. Abstract. Differential calculus has a significant role in the development of practical use of mathematical analysis. This paper deals with basic theorems of differential calculus. There are five basic theorems: Fermat s, Roll s, Lagrange s, Cauchy s and Taylor s theorem. Each theorem is presented with an appropriate proof. Key words: local extremum, local maximum, local minimum, continuous function, differentiability, stationary point, inflection point, tangent, secant, direction number, polynomials, Taylor series.

5 1 1. UVOD Teoremi koje ćemo navesti u ovom radu su osnovni teoremi na kojima je bazirana primjena diferencijalnog računa. Prvi teorem koji uvodimo je Fermatov teorem, takoder poznat kao i nužan uvjet za postojanje lokalnog ekstrema derivabilne funkcije. Zatim prelazimo na Rolleov teorem koji daje uvjete uz koje postoji kritična točka funkcije. Kao posljedice Lagrangeovog teorema o srednjoj vrijednosti dokazujemo korolare koji pomažu pri odredivanju lokalnih ekstrema i intervala monotonosti funkcije. Slijedi Cauchyjev teorem kao poopćenje Lagrangeovog teorema. U posljednjem poglavlju dokazujemo Taylorov teorem. Taylorov teorem ima široku primjenu: pri aproksimaciji funkcije polinomom uz odredenu pogrešku aproksimacije, kod odredivanja lokalnih ekstrema funkcije, pri rješavanju diferencijalnih jednadžbi, te mnoge druge. Uz svaki teorem navedeni su primjeri zadataka, te pojedine primjene.

6 2 2. FERMATOV TEOREM Radi boljeg razumijevanja sljedećeg teorema definirat ćemo pojam lokalnog ekstrema. Definicija 2.1 Funkcija f : (a, b) R postiže lokalni maksimum u točki x 0 (a, b) ako postoji δ > 0 takav da za svaki x (x 0 δ, x 0 + δ) (a, b) vrijedi f(x) f(x 0 ), odnosno x x 0 < δ f(x) f(x 0 ). Funkcija f u točki x 0 (a, b) posiže lokalni minimum ako postoji δ > 0 takav da za svaki x (x 0 δ, x 0 + δ) (a, b) vrijedi f(x) f(x 0 ), odnosno x x 0 < δ f(x) f(x 0 ). Teorem 2.1 (Fermatov teorem) Neka funkcija f : [a, b] R u točki x 0 (a, b) ima lokalni ekstrem. Ako je funkcija f derivabilna u točki x 0, onda je f (x 0 ) = 0. Dokaz. Pretpostavimo da funkcija f postiže lokalni minimum u točki x 0 (a, b). Prema Definiciji 2.1 postoji δ > 0 takav da za svaki x (x 0 δ, x 0 + δ) vrijedi f(x) f(x 0 ). Kako je x 0 (a, b), bez smanjenja općenitosti možemo pretpostavit da je δ dovoljno malen tako da vrijedi (x 0 δ, x 0 + δ) (a, b). Neka je x ( δ, δ). Tada vrijedi f(x 0 ) f(x 0 + x), odnosno f(x 0 + x) f(x 0 ) 0 (1) Funkcija f je derivabilna u x 0, pa prema definiciji derivabilnost (vidi [4, str.127]) vrijedi Takoder vrijedi f (x 0 ) = f(x 0 + x) f(x 0 ) lim x 0 x f (x 0 ) = f (x 0 ) = f +(x 0 ).. Neka je x ( δ, 0). Tada iz (1) dobivamo nejednakost pa je f(x 0 + x) f(x 0 ) x 0, f(x 0 + x) f(x 0 ) lim x 0 x 0. (2)

7 3 Neka je sada x (0, δ). Tada iz (1) dobivamo nejednakost f(x 0 + x) f(x 0 ) x 0, pa je f(x 0 + x) f(x 0 ) lim x 0+ x Kako je f (x) = f (x 0 ) = f +(x 0 ), iz (2) i (3) slijedi f (x 0 ) = (3) Time je teorem dokazan. Primjedba 2.1 (Geometrijska interpretacija Fermatovog teorema) Graf funkcije f koja zadovoljava uvjete Fermatovog teorema, u točki lokalnog ekstrema ima tangentu paralelnu s osi x, odnosno koeficijent smjera tangente jednak je nuli (vidi Sliku 1). Slika 1: Geometrijska interpretacija Fermatovog teorema Definicija 2.2 Neka je funkcija f : (a, b) R derivabilna u točki x 0. Kažemo da je x 0 (a, b) kritična (ili stacionarna) točka onda ako je f (x 0 ) = 0. Primjedba 2.2 Fermatov teorem daje nužne uvjete za egzistenciju lokalnog ekstrema derivabilne funkcije. Odnosno, ako derivabilna funkcija f ima lokalni ekstrem u točki x 0, onda je x 0 kritična točka funkcije f. Obrat, medutim, ne vrijedi. Pogledajmo na sljedećem primjeru. Primjer 2.1 Provjerimo da li vrijedi obrat Fermatovog teorema za funkciju f(x) = x 5 na segmentu [ 2, 2] (vidi Sliku 2).

8 4 Funkcija f je derivabilna, te je f (x 0 ) = 0, gdje je x 0 = 0. Medutim, funkcija f u točki x 0 nema lokalni ekstrem, već točku infleksije (vidi [4, str. 35]). Dakle, obrat Fermatovog teorema ne vrijedi. Slika 2: Graf funkcije f(x) = x 5 Primjer 2.2 Provjerimo da li su ispunjeni uvjeti Fermatovog teorema za funkciju f(x) = 2 x na segmentu [ 4, 4] (vidi Sliku 3). Funkcija f postiže lokalni maksimum u točki x 0 = 0, ali u toj točki funkcija f nije derivabilna. Dakle, nisu ispunjeni uvjeti Fermatovog teorema. Slika 3: Graf funkcije f(x) = 2 x

9 5 3. ROLLEOV TEOREM Teorem 3.1 (Rolleov teorem) Neka je funkcija f : [a, b] R neprekidna na segmentu [a, b] i derivabilna na intervalu (a, b). Ako je f(a) = f(b) = 0 onda postoji točka x 0 (a, b) takva da je f (x 0 ) = 0. Sljedeći teorem će nam pomoći pri dokazu Rolleovog teorema (vidi [6, str. 350]). Teorem 3.2 (Bolzano-Weierstrassov teorem) Neka je [a, b] segment realnih brojeva i f : [a, b] R neprekidna funkcija na [a, b]. Ako funkcija f nije konstanta, onda je f([a, b]) = {f(x) x R} segment u R. Dokaz. Promotrimo sljedeća dva slučaja. (a) Neka je funkcija f konstanta na [a, b]. Tada možemo izabrati bilo koju točku x 0 (a, b) takvu da je f (x 0 ) = 0. Time je dokazan teorem u ovom slučaju. (b) Promotrimo slučaj kada funkcija f nije konstanta. Kako je f neprekidna na [a, b], prema Teoremu 3.2 vrijedi da je skup f([a, b]) = {f(x) x [a, b]} takoder segment. Neka je f([a, b]) = [A, B]. Prema pretpostavci je 0 = f(a) = f(b) [A, B], pa je A 0 B. Ako je A = B onda je A = B = 0, pa je f(x) = 0 za svaki x [a, b]. Tada za svaki x 0 (a, b) vrijedi f (x 0 ) = 0, pa je funkcija f konstanta što je kontradikcija s pretpostavkom. Dakle, barem jedan od brojeva A, B je različit od nule. Ako je A < B i B > 0, onda postoji točka x 0 segmenta [a, b] u kojoj f poprima globalni maksimum B. Iz f(x 0 ) = B > 0 i f(a) = f(b) = 0 slijedi da je x 0 (a, b). Prema Teoremu 2.1 je f (x 0 ) = 0. Ako je A < B i B = 0, onda postoji točka x 0 segmenta [a, b] u kojoj f poprima lokalni minimum A. Iz f(x 0 ) = A < 0 i f(a) = f(b) = 0 slijedi da je x 0 (a, b). Prema Teoremu 2.1 je f (x 0 ) = 0. Time je teorem dokazan.

10 6 Primjedba 3.1 (Geometrijska interpretacija Rolleovog teorema) Neka graf derivabilne i neprekidne funkcije f, koji siječe os x u rubovima a i b, ima tangentu u svakoj medutočki od a do b. Tada postoji točka x 0 u kojoj je tangenta paralelna s osi x (vidi Sliku 4). Slika 4: Geometrijska interpretacija Rolleovog teorema Primjer 3.1 Provjerimo da li su ipunjeni uvjeti Rolleovog teorema za funkciju f(x) = 1 x 3 na intervalu [ 7, 7] (vidi Sliku 5). Kao što je vidljivo na samoj slici, funkcija f ima prekid u točki x = 0 u kojoj nije definirana. Dakle, uvjet neprekidnosti nije ispunjen, pa nisu ispunjeni uvjeti Rolleovog teorema. Slika 5: Graf funkcije f(x) = 1 x 3

11 7 4. LAGRANGEOV TEOREM Teorem 4.1 (Lagrangeov teorem o srednjoj vrijednosti) Neka je zadana funkcija f : [a, b] R koja je neprekidna na segmentu [a, b] i derivabilna na intervalu (a, b). Tada postoji barem jedna točka x 0 (a, b) takva da je f(b) f(a) = f (x 0 )(b a). (4) Jednakost (4) iz Teorema 4.1 može se zapisati u obliku f(b) f(a) b a = f (x 0 ). Dokaz. Neka je zadan pravac y kroz točke T 1 (a, f(a)) i T 2 (b, f(b)) (vidi Sliku 6) definiran formulom f(b) f(a) y(x) = f(a) + (x a). b a Neka je funkcija g na segmentu [a, b] definirana formulom odnosno g(x) = f(x) y(x), g(x) = f(x) f(a) Deriviranjem po varijabli x dobivamo f(b) f(a) (x a). b a g (x) = f (x) f(b) f(a) b a. Funkcija g ispunjava sve uvjete Teorema 3.1, pa postoji točka x 0 (a, b) takva da je g (x 0 ) = 0, odnosno f f(b) f(a) (x 0 ) = 0, b a što povlači f(b) f(a) = f (x 0 )(b a). Time je teorem dokazan.

12 8 Slika 6 Primjedba 4.1 (Geometrijska interpretacija Lagrangeovog teorema) Neka je zadana sekanta s funkcije f odredena točkama T 1 (a, f(a)) i T 2 (b, f(b)). Tada postoji točka x 0 (a, b) u kojoj će tangenta na graf funkcije f bit paralelna sa sekantom s (vidi Sliku 7). Koeficijenti smjerova sekante i tangente su jednaki. Slika 7: Geometrijska interpretacija Lagrangeovog teorema Primjer 4.1 Provjerimo da li su ispunjeni uvjeti Lagrangeovog teorema za funkciju f(x) = x 3 x definiranu na segmentu [ 2, 1] (vidi Sliku 8).

13 9 Funkcija f je neprekidna na segment [ 2, 1] i derivabilna na intrevalu ( 2, 1), pri čemu je f (x) = 3x 2 1. Dakle, ispunjeni su uvjeti Lagrangeovog teorema, pa možemo naći točku x 0 ( 2, 1) za koju vrijedi f(1) f( 2) = f (x 0 )(1 + 2). Budući da je f( 2) = 1 i f(1) = 0, dobivamo da je x 0 = 1 ili x 0 = 1. Kako je x 0 ( 2, 1) slijedi da je x 0 = 1. Slika 8: Graf funkcije f(x) = x 3 x Korolar 4.1 Neka je funkcija f : [a, b] R neprekidna na segmentu [a, b] i derivabilna na intervalu (a, b). Ako je f (x) = 0 za svaki x (a, b), onda je funkcija f konstanta. Dokaz. Izaberimo proizvoljan broj x (a, b). Očito vrijedi (a, x) (a, b), što povlači da je funkcija f neprekidna na segmentu [a, x] i derivabilna na intervalu (a, x). Tada prema Teoremu 4.1 postoji točka x 0 (a, x) takva da je f(x) f(a) x a = f (x 0 ). (5) Prema pretpostvci je f (x) = 0 za svaki x (a, b), pa je i f (x 0 ) = 0 za x 0 (a, x). Tada iz (5) slijedi f(x) f(a) = f (x 0 )(x a) = 0 (x a) = 0, pa je f(x) = f(a). Dakle, funkcija f je konstanta. Time je korolar dokazan.

14 10 Primjedba 4.2 Funkciju F : [a, b] R nazivamo primtivnom funkcijom funkcije f : [a, b] R ako vrijedi: F (x) = f(x) za svaki x [a, b]. Korolar 4.2 Neka su funkcije f, g : [a, b] R neprekidne na [a, b] i derivabilne na (a, b), te neka vrijedi f (x) = g (x) za svaki x (a, b). Tada postoji konstanta c takva da je f(x) = g(x) + c za svaki x [a, b]. Dokaz. Neka je funkcija F : [a, b] R definirana F (x) = f(x) g(x) za svaki x [a, b]. (6) Deriviranjem dobijemo F (x) = f (x) g (x). Prema pretpostavci je f (x) = g (x) za svaki x (a, b), pa je F (x) = 0 za svaki x (a, b). Prema Korolaru 4.1 funkcija F je konstanta, odnosno postoji c R takav da je F (x) = c za svaki x [a, b]. Odnosno, prema formuli (6) slijedi što povlači f(x) g(x) = c f(x) = g(x) + c za svaki x [a, b], za svaki x [a, b]. Time je korolar dokazan. Primjedba 4.3 Neka su F, G : [a, b] R bilo koje dvije primitivne funkcije od funkcije f : [a, b] R, te neka je c bilo koja konstanta. Tada se funkcije F i G razlikuju za konstantu c, tj. F (x) = G(x) + c za svaki x [a, b]. Korolar 4.3 Neka je zadana funkcija f : [a, b] R koja je neprekidna na [a, b] i derivabilna na (a, b). Tada (a) funkcija f pada [strogo pada] na [a, b] onda i samo onda ako f (x) 0 za svaki x (a, b) [ako f (x) < 0 za svaki x (a, b)]

15 11 (b) funkcija f raste [strogo raste] na [a, b] onda i samo onda ako f (x) 0 za svaki x (a, b) [ako f (x) > 0 za svaki x (a, b)]. Dokaz. Dokažimo slučaj pod (a) tj. da funkcija f pada na [a, b] onda i samo onda ako f (x) 0 za svaki x (a, b). 1. Pretpostavimo da funkcija pada na [a, b]. Neka je x 0 (a, b) proizvoljna točka. Treba pokazat da je f (x) 0 za svaki x (a, b). Neka je x takav da (x 0 x, x 0 + x) (a, b). Tada vrijedi Promotrimo sljedeći kvocijent f(x 0 + x) f(x 0 ) za x > 0, f(x 0 + x) f(x 0 ) za x < 0. f(x 0 + x) f(x 0 ) x f(x 0 + x) f(x 0 ) x 0 za x > 0, 0 za x < 0. Dakle, bez obzira na x, vrijednost kvocijenta se ne mijenja. Tada prema definiciji derivacije funkcije f u točki x 0 (vidi [4, str. 127]) vrijedi f f(x 0 + x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim x 0 x Time je dokazan prvi smjer. 2. Dokažimo sad obrat. Pretpostavimo da vrijedi f (x) 0 za svaki x (a, b). Neka su x 1, x 2 [a, b] takvi da x 1 < x 2. Prema Teoremu 4.1 postoji točka x 0 (x 1, x 2 ) (a, b) takva da vrijedi f(x 2 ) f(x 1 ) x 2 x 1 = f (x 0 ). Prema pretpostavci je f (x 0 ) 0, pa je f(x 2 ) f(x 1 ) x 2 x Kako je x 2 x 1 > 0, onda je odnosno f(x 2 ) f(x 1 ) 0, f(x 2 ) f(x 1 ). Dakle, funkcija f pada na [a, b]. Time je dokazan slučaj (a). Ostali slučajevi dokazuju se analogno.

16 12 (a) funkcija f (b) funkcija f Slika 9: Grafovi funkcija f(x) = 2x x2 6x + 2 i f (x) = 6x 2 5x 6 Primjer 4.2 Odredimo intervale rasta i pada funkcije f(x) = 2x x2 6x + 2 (vidi Sliku 9 (a)). Deriviranjem funkcije f dobijemo f (x) = 6x 2 5x 6 (vidi Sliku 9 (b)). Kako je f (x) > 0 za svaki x I 1 = ( ) (, 2 3 3, + ), onda funkcija f strogo raste 2 na intervalu I 1. A kako je f (x) < 0 za svaki x I 2 = ( 2, 3 3 2), onda funkcija f strogo pada na I 2.

17 13 5. CAUCHYJEV TEOREM Teorem 5.1 (Cauchyjev teorem) Neka su funkcije f, g : [a, b] R neprekidne na segmentu [a, b] i derivabilne na intervalu (a, b). Ako je g (x) 0 za svaki x (a, b), onda je g(a) g(b), te postoji točka x 0 (a, b) takva da je f(b) f(a) g(b) g(a) = f (x 0 ) g (x 0 ). (7) Dokaz. Definirajmo pomoćnu funkciju h : [a, b] R formulom Deriviranjem dobivamo h(x) = f(x) f(a) h (x) = f (x) f(b) f(a) [g(x) g(a)]. g(b) g(a) f(b) f(a) g(b) g(a) g (x). (8) Uočimo da je funkcija h dobro definirana tj. g(a) g(b). Dokažimo kontradikcijom. Kada bi vrijedilo g(a) = g(b) uz pretpostavke da je g neprekidna na segmentu [a, b] i derivabilna na intervalu (a, b), onda bi po Teoremu 4.1 postojala točka x 0 (a, b) takva da g(b) g(a) = g (x 0 )(b a), odnosno Tada bi slijedilo 0 = g (x 0 )(b a). g (x 0 ) = 0 što je kontradikcija s pretpostavkom da je g (x) 0 za svaki x (a, b). Dakle, funkcija h je dobro definirana. Prema Teoremu 3.1 postoji točka x 0 (a, b) takva da je h (x 0 ) = 0. Uvrštavanjem u jednakost (8) dobivamo f (x 0 ) f(b) f(a) g(b) g(a) g (x 0 ) = 0, odnosno Time je teorem dokazan. f(b) f(a) g(b) g(a) = f (x 0 ) g (x 0 ). Primjedba 5.1 (Geometrijska interpretacija Cauchyjevog teorema) Geometrijska interpretacija Cauchyjevog teorema analogna je geometrijskoj interpretaciji Lagrangeovog teorema o srednjoj vrijednosti. (vidi Primjedbu 4.1).

18 14 Primjedba 5.2 Cauchyjev teorem je poopćenje Lagrangeovog teorema. zamjenom g(x) = x za svaki x [a, b] u jednakosti (7) dobivamo Uočimo da f(b) f(a) b a = f (x 0 ) 1 što je ekvivalentno izrazu u Lagrangeovom teoremu. Primjer 5.1 Provjerimo da li su ispunjeni uvjeti Cauchyjevog teorema za funkcije f(x) = sin x i g(x) = cos x na segmentu [0, π ] (vidi Sliku 10). 2 Funkcije f i g su neprekidne na [0, π] i derivabilne na (0, π ). Deriviranje dobijemo 2 2 f (x) = cos x i g (x) = sin x, odakle vidimo da je g (x) 0 za svaki x (0, π ). Dakle, zadovoljeni su svi uvjeti 2 Cauchyjevog teorema. Sada možemo naći točku x 0 takvu da je f( π 2 ) f(0) g( π 2 ) g(0) = f (x 0 ) g (x 0 ). (9) Kako je f(0) = 0, ( π ) f 2 ( π ) = 1, g(0) = 1, g = 0, 2 uvrštavanjem u formulu (9), dobijemo da je točka x 0 = π 4. Slika 10: Graf funkcije f(x) = sin x i g(x) = cos x

19 15 6. TAYLOROV TEOREM Teorem 6.1 (Taylorov teorem) Neka je zadana funkcija f : (a, b) R koja ima (n + 1)-vu derivaciju na intervalu (a,b), te neka je x 0 (a, b) i p bilo koji prirodan broj. Tada za svaki x (a, b) postoji realan broj ξ izmedu x 0 i x takav da vrijedi f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + f (2) (x 0 ) (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n 1! 2! n! + R n (f, x 0 ; x), (10) gdje je ( ) p x x0 (x ξ) n+1 R n (f, x 0 ; x) = f (n+1) (ξ). (11) x ξ n!p Formulu (10) nazivamo Taylorovom formulom funkcije f u točki x 0, a polinom T n (f, x 0 ; x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+ f (2) (x 0 ) 2! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n (12) n! nazivamo n-tim Taylorovim polinomom funkcije f u točki x 0. Za (11) kažemo da je n-ti ostatak funkcije f u točki x 0. Dokaz. Uzmimo neku točku x (a, b), te ju fiksiramo. Neka je x 0 < x. Iz (10) slijedi da je R n (f, x 0 ; x) = f(x) T n (f, x 0 ; x). Treba pokazati da postoji ξ (a, b) takav da je ( ) p x x0 (x ξ) n+1 R n (f, x 0 ; x) = f (n+1) (ξ). x ξ n!p Neka je t nezavisna varijabla koja poprima vrijednosti iz segmenta [x 0, x]. Definirajmo na segmentu [x 0, x] pomoćnu funkciju φ formulom odnosno φ(t) = f(x) f(t) f (t) 1! φ(t) = f(x) T n (f, t; x) (x t) f (2) (t) 2! (x t)p (x x 0 ) p R n(f, x 0 ; x), (x t) 2 f (n) (t) n! (x t) n (x t)p (x x 0 ) R n(f, x p 0 ; x). Funkcija φ je neprekidna na [x 0, x] i derivabilna na (x 0, x). Provjerimo da li vrijedi φ(x 0 ) = φ(x). φ(x) = f(x) T n (f, x; x) (x x)p (x x 0 ) p R n(f, x 0 ; x) = 0. (13)

20 16 odnosno φ(x 0 ) = f(x) T n (f, x 0 ; x) (x x 0) p (x x 0 ) p R n(f, x 0 ; x), φ(x 0 ) = f(x) T n (f, x 0 ; x) R n (f, x 0 ; x) = 0. (14) Iz (13) i (14) slijedi da je φ(x) = φ(x 0 ). Dakle, zadovoljeni su svi uvjeti Teorema 3.1, pa postoji točka ξ (x 0, x) takva da je φ (ξ) = 0. Deriviranjem funkcije φ po varijabli t dobivamo [ f φ (t) = f (t) (t) + f ] [ (2) (t) f (2) (t) (x t) + 2(x t) f ] (3) (t) (x t) 2 + 1! 1! 2! 2! [ f (n 1) (t) + (n 1)! (n 1)(x t)n 2 f ] (n) (t) (x t)n 1 (n 1)! [ f (n) (t) + n(x t) n 1 f ] (n+1) (t) (x t) n (x t)p 1 + p n! n! (x x 0 ) R n(f, x p 0 ; x). Svi članovi, osim zadnja dva, se pokrate, pa dobivamo φ (t) = f (n+1) (t) (x t) n (x t)p 1 + p n! (x x 0 ) R n(f, x p 0 ; x). Uvrštavanjem t = ξ, te iz φ (ξ) = 0 dobivamo odnosno 0 = f (n+1) (ξ) (x ξ) n (x ξ)p 1 + p n! (x x 0 ) R n(f, x p 0 ; x), R n (f, x 0 ; x) = f (n+1) (ξ) (x ξ) n n! ( ) p x x0 = x ξ (x x 0 ) p p(x ξ) p 1 (x ξ)n+1 f (n+1) (ξ). n!p Time je teorem dokazan. Primjedba 6.1 Promotrimo n-ti ostatak funkcije f, odnosno R n (f, x 0 ; x) iz (10). Prema Taylorovom teoremu, točka ξ leži izmedu x 0 i x. Tada postoji θ R, 0 < θ < 1, takav da ξ = x 0 + θ(x x 0 ). Sada je ξ x 0 = θ(x x 0 ) x ξ = (x x 0 )(1 θ).

21 17 Stoga, n-ti ostatak R n (f, x 0 ; x) možemo pisati u obliku R n (f, x 0 ; x) = odnosno (x x 0 ) p (x x 0 ) p (1 θ) p (x x 0) n+1 (1 θ) n+1 f (n+1) [x 0 + θ(x x 0 )], n!p R n (f, x 0 ; x) = (x x 0) n+1 (1 θ) n p+1 f (n+1) [x 0 + θ(x x 0 )]. n!p S obzirom na p, razlikujemo dva važna slučaja. (a) Ako p = n + 1, tada nazivamo Lagrangeov oblik ostatka. (b) Ako je p = 1, tada R n (f, x 0 ; x) = (x x 0) n+1 f (n+1) [x 0 + θ(x x 0 )] (15) (n + 1)! R n (f, x 0 ; x) = (x x 0) n+1 (1 θ) n f (n+1) [x 0 + θ(x x 0 )] n! nazivamo Cauchyjev oblik ostatka. Primjer 6.1 Odredimo Taylorov polinom n-tog reda u okolini točke x 0 = 0 za funkciju f(x) = 1 1 x. Najprije izračunajmo prvih nekoliko derivacija funkcije f u točki x 0. f (x) = odnosno 1 (1 x) 2, f (2) (x) = 2 (1 x) 3, f (3) (x) = 6 (1 x) 4, f (4) (x) = f (0) = 1, f (2) (0) = 2, f (3) (0) = 6, f (4) (0) = 24. Sada, uvrštavanjem u (12) dobivamo Taylorov polinom n-tog reda: T n (f, x 0 ; x) = 1 + x + x 2 + x x n 24 (1 x) 5, Primjedba 6.2 Neka je x 0 = 0. Tada formulu (10) nazivamo Maclaurinovom formulom, a polinom (12) n-tim Maclaurinovim polinomom koji glasi f(x) = f(0) + f (0) 1! x + f (2) (0) 2! Uočimo da Taylorov red funkcije f u okolini točke x 0 glasi f(x 0 ) + f (x 0 ) 1! a Maclaurinov red (x x 0 ) + f (2) (x 0 ) 2! f(0) + f (0) 1! x + f (2) (0) 2! x f (n) (0) x n. n! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + (16) n! x f (n) (0) x n + (17) n!

22 18 Primjer 6.2 Odredimo Maclaurinov red za funkciju f(x) = ln(1 x). Izračunajmo nekoliko prvih derivacija funcije f u točki x 0 = 0. f (x) = odnosno 1 (1 x), f (2) (x) = 1 (1 x), f (3) (x) = 2 2 (1 x), f (4) (x) = 6 3 (1 x), 4 f (0) = 1, f (2) (0) = 1, f (3) (0) = 2, f (4) (0) = 6. Sada, uvrštavanjem u (17) dobijemo Maclaurinov red koji glasi ln(1 x) = x x2 2 x3 3 xn n Teorem 6.2 Taylorov red (16) konvergira broju f(x), x (a, b), onda i samo onda ako je lim n R n(f, x 0 ; x) = 0. Dokaz. Uočimo da je n-ti Taylorov polinom (12) ujedno i n-ta parcijalna suma Taylorovog reda (16). Iz (10) dobivamo f(x) T n (f, x 0 ; x) = R n (f, x 0 ; x). Neka je ε > 0 proizvoljan realan broj. Tada dobivamo f(x) T n (f, x 0 ; x) < ε onda i samo onda ako je Odnosno vrijedi onda i samo onda ako je Time je teorem dokazan. R n (f, x 0 ; x) < ε. lim T n(f, x 0 ; x) = f(x) n lim R n(f, x 0 ; x) = 0. n Teorem 6.3 Neka je zadana funkcija f : (a, b) R i neka je x 0 (a, b). Ako postoje realni brojevi δ > 0 i M > 0 takvi da funkcija f ima derivacije svakog reda u okolini točke x 0, te da svaki x (x 0 δ, x 0 + δ) i za svaki n N vrijedi f (n) (x) M, onda je lim R n(f, x 0 ; x) = 0. n Odnosno, Taylorov red (16) konvergira broju f(x) za svaki x (x 0 δ, x 0 + δ).

23 19 Dokaz. Iz Lagrangeovog oblika ostatka (15) dobivamo ocjenu 0 R n (f, x 0 ; x) = (x x 0 ) n+1 f (n+1) [x 0 + θ(x x 0 )] (n + 1)! 1 f (n+1) (x 0 + θ(x x 0 )) (x x0 ) n+1 (n + 1)! x x 0 n+1 M. (n + 1)! Budući da je prijelazom na limese dobivamo lim n x x 0 n+1 M = 0, (n + 1)! lim R n(f, x 0 ; x) = 0. n Time je teorem dokazan. Primjer 6.3 ( Preuzeto iz [4] ) Napišimo Maclaurinov red za eksponencijalnu funkciju i trigonometrijske funkcije, te provjerimo konvergenciju. (i) Eksponencijalna funkcija x e x. Uočimo da za svaki k N vrijedi f (k) (x) = e x i f (k) (0) = 1. Tada su za proizvoljni M > 0 sve derivacije ove funkcije na segentu [ M, M] ograničene s e M. Prema Teoremu 6.3, Maclaurinov red ove funkcije konvergira prema e x za svaki x [ M, M], odnosno e x = 1 + x 1! + x2 2! + + xn n! + = n=0 x n n!, za svaki x R. (ii) Trigonometrijske funkcije x sin x i x cos x. Promotrimo prvih par derivacija funkcije f(x) = sin x. f (x) = cos x, f (2) (x) = sin x, f (3) (x) = cos x, f (4) (x) = sin x, a za x = 0 vrijedi f (0) = 1, f (2) (0) = 0, f (3) (0) = 1, f (4) (0) = 0. Dakle, apsolutne vrijednosti svih derivacija su ograničene s 1, odnosno f (n) (x) 1, za svaki x R.

24 20 Maclaurinov red ove funkcije konvergira prema sin x za svaki x R, odnosno sin x = x x3 3! + x5 5! x 2n+1 +( 1)n (2n + 1)! + = ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)! n=0, za svaki x R. Promotrimo sada prvih par derivacija funkcije f(x) = cos x. f (x) = sin x, f (2) (x) = cos x, f (3) (x) = sin x, f (4) (x) = cos x, a za x = 0 vrijedi f (0) = 0, f (2) (0) = 1, f (3) (0) = 0, f (4) (0) = 1. Dakle, vrijedi f (n) (x) 1, za svaki x R. Maclaurinov red ove funkcije konvergira prema cos x za svaki x R, odnosno cos x = 1 x2 2! + x4 x2n + ( 1)n 4! (2n)! + = ( 1) n x2n (2n)! n=0, za svaki x R. Primjedba 6.3 Za beskonačno puta derivabilnu funkciju f kažemo da je analitička u točki x 0 ako postoji interval (a, b) takav da njezin Taylorov red u točki x 0 (a, b) konvergira broju f(x) za svaki x (a, b). Funkciju koja je analitička u svakoj točki svoje domene nazivamo analitičkom funkcijom.

25 21 7. LITERATURA [1] I. N. Bronštejn, Matematički priručnik, Golden marketing - Tehnička knjiga, Zagreb, [2] M. Crnjac, D. Jukić, R. Scitovski, Matematika, Ekonomski fakultet, Osijek, [3] B. P. Demidovič, Zadaci i riješeni primjeri iz matematičke analize za fakultete, Croatiaknjiga, Zagreb, [4] D. Jukić, R. Scitovski, Matematika I, Odjel za matematiku, Osijek, [5] S. Kurepa, Matematička analiza: Diferenciranje i integriranje, Tehnička knjiga, Zagreb, [6] S. Kurepa, Matematička analiza: Funkcije jedne varijable, Tehnička knjiga, Zagreb, 1977.

26 BESPLATNI GOTOVI SEMINARSKI, DIPLOMSKI I MATURSKI RAD. RADOVI IZ SVIH OBLASTI, POWERPOINT PREZENTACIJE I DRUGI EDUKATIVNI MATERIJALI NA NAŠIM SAJTOVIMA MOŽETE PRONAĆI SVE, BILO DA JE TO SEMINARSKI, DIPLOMSKI ILI MATURSKI RAD, POWERPOINT PREZENTACIJA I DRUGI EDUKATIVNI MATERIJAL. ZA RAZLIKU OD OSTALIH MI VAM PRUŽAMO DA POGLEDATE SVAKI RAD, NjEGOV SADRŽAJ I PRVE TRI STRANE TAKO DA MOŽETE TAČNO DA ODABERETE ONO ŠTO VAM U POTPUNOSTI ODGOVARA. U BAZI SE NALAZE GOTOVI SEMINARSKI, DIPLOMSKI I MATURSKI RADOVI KOJE MOŽETE SKINUTI I UZ NJIHOVU POMOĆ NAPRAVITI JEDINSTVEN I UNIKATAN RAD. AKO U BAZI NE NAĐETE RAD KOJI VAM JE POTREBAN, U SVAKOM MOMENTU MOŽETE NARUČITI DA VAM SE IZRADI NOVI, UNIKATAN SEMINARSKI ILI NEKI DRUGI RAD RAD NA LINKU IZRADA RADOVA. PITANjA I ODGOVORE MOŽETE DOBITI NA NAŠEM FORUMU ILI NA

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011.

MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011. MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011. Matematika 2 1. Funkcije više varijabli 2. Višestruki integral 3. Vektorska Analiza 4. Obi cne diferencijalne jednadbe MATEMATIKA 2 1 Literatura: Petar Javor, Matematicka

Διαβάστε περισσότερα

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler Nizovi i redovi Franka Miriam Brückler Nabrajanje brojeva poput ili 1, 2, 3, 4, 5,... 1, 2, 4, 8, 16,... obično se naziva nizom, bez obzira je li to nabrajanje konačno (do nekog zadnjeg broja, recimo 1,

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 Uvod u numeričku matematiku Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 1 Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci Numerička integracija O problemima integriranja

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić.

Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić. Ivan Slapničar Marko Matić Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE http://www.fesb.hr/mat1 Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, 2001. Sadržaj 1 Osnove matematike 3 2 Linearna algebra 4

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

( pol funkcije), horizontalna ili kosa.

( pol funkcije), horizontalna ili kosa. 4. ANALIZA TOKA FUNKCIJE, EKSTREMI 4. Opci pojmovi Nultocke funkcije - su tocke u kojima je funkcija jednak nula. Za razlomljenu racionalnu funkciju, je kada je brojnik nula. Polovi funkcije - su tocke

Διαβάστε περισσότερα

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014 Nermin Okičić Vedad Pašić MATEMATIKA II 014 Sadržaj 1 Funkcije više promjenljivih 1 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih................ 1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja.............. 1.1. Grafičko

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

Z A D A C I - Grupe A i B SA DRUGOG PARCIJALNIOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Akademska godina Sarajevo,

Z A D A C I - Grupe A i B SA DRUGOG PARCIJALNIOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Akademska godina Sarajevo, Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu Z A D A C I - Grupe A i B SA DRUGOG PARCIJALNIOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA Akademska 008-009 godina Sarajevo, 09 0 009 IME I PREZIME STUDENTA

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

4 Sukladnost i sličnost trokuta

4 Sukladnost i sličnost trokuta 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJA KUGLE I SFERE

GEOMETRIJA KUGLE I SFERE Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Ružica Korać GEOMETRIJA KUGLE I SFERE Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Maja Starčević Zagreb, rujan 2015. Svaki dan je

Διαβάστε περισσότερα

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0 9. Z transformacija 9.. Z transformacija Z transformacija nia brojeva {f[n]} a koje vrijedi je Z [ f[n] ] = f[n] = 0, n < 0 9.) f[n] n = F ). 9.) Ovom transformacijom niu brojeva {f[n]} pridružuje se funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj.

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj. Opća topologija 24 Opća topologija 26 13. Baza topologije Baza topologije 2 TOPOLOŠKI PROSTORI I NEPREKIDNE FUNKCIJE Topološki prostori Baza topologije Uređajna topologija Produktna topologija na X Y Topologija

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto?

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Franka Miriam Brückler Igor Pažanin Zagreb, 2012. Sadržaj 1 Uvod 7 1.1 Varijable i konstante............................

Διαβάστε περισσότερα

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem Dirichletov princip Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem obliku glasi ovako: Dirichletov princip: Ako n + 1 predmet rasporedimo kako

Διαβάστε περισσότερα

Polinomske jednaqine

Polinomske jednaqine Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u aritmetiku eliptičkih krivulja

Uvod u aritmetiku eliptičkih krivulja Uvod u aritmetiku eliptičkih krivulja 1. Uvod i motivacija - 1. lekcija Začetci ideje o eliptičkim krivuljama mogu se nazrijeti kod Diofanta (vjerojatno u 3. stoljeću) u postupku rješavanja jednadžba u

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

JEDNA NOVA KLASA RELACIJA. Daniel A. Romano 1

JEDNA NOVA KLASA RELACIJA. Daniel A. Romano 1 MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XX (1)(2014), 5-14 Osnove matematike JEDNA NOVA KLASA RELACIJA Daniel A. Romano 1 Sažak: U ovom tekstu, slijedeći koncepte izložene u radovima

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi o trokutu

Temeljni pojmovi o trokutu 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.

Διαβάστε περισσότερα

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ==========================

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== M. JOVANOVIĆ M. MERKLE Z. MITROVIĆ Elektrotehnički fakultet Banja Luka ================================== ii Autori: dr Milan

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όρια συναρτήσεων. Άσκηση. Ποιό είναι το σύνολο στο οποίο έχει νόημα και ποιό το σύνολο στο οποίο ισχύει καθεμιά από τις ανισότητες: x+2 > 00, > 000, < < ; x 2 x

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Παράγωγος - ιαφόριση ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των πα- ϱαγώγων πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive KOMPLEKSNA ANALIZA. Funkcije kompleksne promenljive Neka je R skup realnih brojeva, a C skup kompleksnih brojeva. Definicija. Ako je E R, preslikavanje f : E C se naziva kompleksna funkcija realne promenljive.

Διαβάστε περισσότερα

JAVA podrška za simpleks metodu

JAVA podrška za simpleks metodu Sveučilište u Zagrebu PMF - Matematički odjel Juraj Ivančić JAVA podrška za simpleks metodu Diplomski rad Zagreb, siječanj 2005. Sveučilište u Zagrebu PMF - Matematički odjel Juraj Ivančić JAVA podrška

Διαβάστε περισσότερα

6. poglavlje (korigirano) PRIMJENA DERIVACIJA

6. poglavlje (korigirano) PRIMJENA DERIVACIJA 6 Primjea derivacija (sa svim korekcijama) 6 poglavlje (korigirao) PRIMJENA DERIVACIJA U ovom poglavlju: Tageta i ormala Stacioare točke ukcije Tablica mootoosti, ekstremi, koveksost i kokavost, ileksije

Διαβάστε περισσότερα

Skinuto sa

Skinuto sa Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I Gradimir V. Milovanović Radosav Ž. D ord ević MATEMATIČKA ANALIZA I Predgovor Ova knjiga predstavlja udžbenik iz predmeta Matematička analiza I koji se, počev od školske 2004/2005. godine, studentima Elektronskog

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I Skupovi, funkcije, brojevi mr.sc. TATJANA STANIN 009. Kratak pregled predavanja koja se izvode na učiteljskom

Διαβάστε περισσότερα

Logička svojstva i odnosi

Logička svojstva i odnosi Logička svojstva i odnosi S osvrtom na meduodnos logike i didaktike Berislav Žarnić Sveučiliste u Splitu studeni 2008. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni 2008. 1 / 46 Plan izlaganja

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom

Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nevena Mutlak Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom -master rad- Mentor: prof.dr Marko Nedeljkov Novi Sad,

Διαβάστε περισσότερα

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 1 Realni i kompleksni brojevi Lekcije iz Matematike 1. 1. Realni i kompleksni brojevi I. Naslov i obja²njenje naslova U lekciji se ponavljaju osnovna svojstva

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

I. dio. Zadaci za ponavljanje

I. dio. Zadaci za ponavljanje I. dio Zadaci za ponavljanje ZADACI ZA PONAVLJANJE. BROJEVI: Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi. Izgradnja skupova N, Z, Q, R.. Odredi najveću zajedničku mjeru M(846, 46).. Napiši broj u sustavu

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE U RIJECI POMORSKI FAKULTET PRIMJENA MATEMATIČKIH ALATA U ELEKTROTEHNICI SKRIPTA ZA VJEŽBE

SVEUČILIŠTE U RIJECI POMORSKI FAKULTET PRIMJENA MATEMATIČKIH ALATA U ELEKTROTEHNICI SKRIPTA ZA VJEŽBE SVEUČILIŠTE U RIJECI POMORSKI FAKULTET PRIMJENA MATEMATIČKIH ALATA U ELEKTROTEHNICI SKRIPTA ZA VJEŽBE Sadržaj DVOSTRUKI INTEGRALI TROSTRUKI INTEGRALI 3 VEKTORSKA ANALIZA 4 KRIVULJNI INTEGRALI 34 5 PLOŠNI

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim. Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ

Διαβάστε περισσότερα

A 2 A 1 Q=? p a. Rješenje:

A 2 A 1 Q=? p a. Rješenje: 8. VJEŽBA - RIJEŠENI ZADACI IZ MEANIKE FLUIDA. Oreite minimalni protok Q u nestlačiom strujanju fluia ko koje će ejektor početi usisaati flui kroz ertikalnu cječicu. Zaano je A = cm, A =,5 cm, h=,9 m.

Διαβάστε περισσότερα

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup

Διαβάστε περισσότερα

ISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne

ISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ISKAZI U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ili netačne, tj rečenice koje imaju logičkog smisla.ovakve rečenice se u matematici nazivaju iskazi.dakle,

Διαβάστε περισσότερα

UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA

UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA **** MLADEN SRAGA **** 00. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA JEDNADŽBE NEJEDNADŽBE APSOLUTNE JEDNADŽBE APSOLUTNE NEJEDNADŽBE

Διαβάστε περισσότερα