UVOD U TEORIJU OPTIMALNOG UPRAVLJANJA I PONTRJAGINOV PRINCIP MAKSIMUMA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "UVOD U TEORIJU OPTIMALNOG UPRAVLJANJA I PONTRJAGINOV PRINCIP MAKSIMUMA"

Transcript

1 UVOD U TEORIJU OPTIMALNOG UPRAVLJANJA I PONTRJAGINOV PRINCIP MAKSIMUMA ALJOŠA DUDARIN, ZORAN VRHOVSKI I DARKO ŽUBRINIĆ Sažetak. Dat ćemo kratak opis znamenitog Pontrjaginova principa maksimuma i prikazati ga na nekoliko klasičnih primjera linearnih sustava optimalnog upravljanja. Sadržaj Uvod Osnovni primjer Pontrjaginov princip maksimuma Linearni sustavi upravljanja Izvori Uvod Teorija optimalnog upravljanja začeta je kao ozbiljna matematička disciplina objavljivanjem znamenite monografije [4] godine Radi se o djelu četvero autora iz bivšeg Sovjetskog Saveza, najprije istaknutog akademika L. S. Pontrjagina (matematičara slijepog od svoje četrnaeste godine!), te njegovih učenika, također vrlo znamenitih: V. G. Boltjanskog, R. V. Gamkrelidzea i E. F. Miščenka. Pontrjagin je glavni rezultat te monografije, koji se danas zove Pontrjaginov princip maksimuma (ili Pontrjaginov princip minimuma, ovisno o izboru Hamiltonove funkcije), izložio u obliku slutnje početkom 1950tih. Prvi dokaz je u slučaju linearnih sustava upravljanja uspio dobiti Gamkrelidze, a u općem, nelinearnom slučaju Boltjanskij. Miščenko je proučavao stohastičko optimalno upravljanje, za razliku od determinističkog upravljanja. Knjiga je odmah doživjela veliki međunarodni odjek, te su na pr. američki znanstvenici tu knjigu odmah preveli i objavili već iduće, godine. Bilo je to u jeku tzv. Hladnog rata, kada su se obje zemlje nadmetale u razvoju svemirskih programa, gdje je problematika optimalnog upravljanja iznimno važna, ali i drugdje, u doslovce svim aspektima transporta i proizvodnje. Pontrjagin je imao čast izložiti o toj teoriji prvi puta tijekom svojeg plenarnog predavanja godine u Edinburghu u Velikoj Britaniji, na Međunarodnom matematičkom kongresu (International Congress of Mathematicians), koji se inače održava svake četiri godine kao najvažniji svjetski kongres matematičara. Vrijedi ovdje spomenuti da je još jedno plenarno predavanje (među petnaestak plenarnih predavanja, koja imaju čast održati samo vodeći stručnjaci u pojedinim područjima) u sekciji za teoriju 1

2 2 ALJOŠA DUDARIN, ZORAN VRHOVSKI I DARKO ŽUBRINIĆ Slika 1. L. S. Pontrjagin ( ), znameniti ruski matematičar. vjerojatnosti održao i jedan hrvatsko-američki matematičar, William Feller, tada profesor na znamenitom Sveučilištu u Princetonu. Rođen je u Zagrebu g. gdje je kao Vilim Feller započeo svoj znanstveni rad i završio prve dvije godine studija matematike. U nastavku ćemo izložiti osnovne primjere i ideje iz teorije optimalnog upravljanja vremenom za linearne sustave. Linearni model je odabran radi jednostavnosti, a već je on dovoljno složen, te odražava neka od osnovnih pitanja teorije upravaljanja. Kao osnovica za ovaj prikaz poslužila nam je temeljna monografija [4], te izvrsno, veoma pitko pisano djelo Boltjanskog [2], namijenjeno upravo inženjerima, ali dostupno na žalost samo na ruskom jeziku. Čitatelj može sam potražiti druge izvore na Internetu putem tražlice, s pomoću ključnih riječi Pontrjagin (ili Pontryagin, ili Pontryaguin), optimal control, maximum principle. Ovdje izložen sadržaj, koji se odnosi na Pontrjaginov princip maksimuma, mogu bez ikakvih poteškoća pratiti svi koji su upoznati s diferencijalnim računom i diferencijalnim jednadžbama u opsegu koji slušaju studenti druge godine preddiplomskog studija Fakulteta elektrotehnike i računarstva (FERa) Sveučilišta u Zagrebu, zatim s osnovnim pojmovima linearna algebre (matrice, pojam ranga matrice), te s temeljima fizike (harmonijski oscilator). Ovo štivo je pisano vrlo mekano, tako da nije potrebno nikakvo predznanje iz dinamičkih sustava i teorije stabilnosti. Prikaz je nastao na temelju kolegija Matematičke metode u teoriji upravljanja, koji se prvi puta predavao na FER-ugodine Dio koji se odnosi na dinamičke sustave predavala je prof.dr. Vesna Županović, a dio u vezi s Pontrjaginovim principom maksimuma predavao je prof.dr. Darko Žubrinić.

3 Vrlo efektna popratna sučelja, dostupna na adresi darko/upr izradili su Aljoša Dudarin i Zoran Vrhovski, studenti poslijediplomskog doktorskog studija FER-a u Zagrebu, prema naputcima mentora Darka Žubrinića. Fotografije s tih sučelja upotrijebljene su i za ovaj prikaz. 2. Osnovni primjer Ako se materijalna točka mase m giblje duž x-osi pod utjecajme sile F (t) (ili općenitije F (t, x(t), ẋ(t)) ), onda označivši položaj točke u trenutku t s x(t), vrijedi Drugi Newtonov aksiom: sila na tijelo jednaka je masi m pomnoženoj s ubrzanjem ẍ(t). Drugim riječima, za funkciju položaja t x(t) vrijedi obična diferencijalna jednadžba (ODJ): (1) mẍ(t) = F (t). U njoj je x(t) nepoznata funkcija koju bismo željeli odrediti. Ako su osim toga zadani i početni uvjeti, tj. početni položaj x(0) = x 0 i početna brzina ẋ(0) = v 0, onda je putanja (trajektorija) t x(t) materijalne točke određena jednoznačno. Diferencijalnu jednadžbu zajedno s početnim uvjetima zovemo Cauchyjevim problemom: mẍ(t) = F (t) (ODJ na nekom intervalu [0, t 1 ]) x(0) = x 0, ẋ(0) = v 0 (početni uvjeti) Ako silu F (t) možemo sami zadavati, onda je običaj tu funkciju zvati funkcijom upravljanja, te ju po običaju označavamo s u(t) umjesto s F (t). Pretpostavimo li, bez gubitka općenitosti, da je m = 1 (u protivnom možemo definirati u(t) = F (t)/m), dobivamo sljedeći problem: (2) ẍ(t) = u(t) x(0) = x 0, ẋ(0) = v 0. Pretpostavit ćemo da funkcija upravljanja u = u(t) može poprimati samo vrijednosti iz nekog zadanog skupa, na pr. iz zatvorenog intervala U = [ 1, 1], tj. u(t) U = [ 1, 1]. Interval U = [ 1, 1] zovemo skupom upravljanja (engl. control set ). Za bilo koji zadani t 1 > 0 funkciju u : [0, t 1 ] [ 1, 1] zovemo dopustivim upravljanjem (engl. admissible control ) ako je po dijelovima neprekinuta, s konačno mnogo prekida samo prve vrste, tj. zahtijevamo da u (eventualnim) točama prekida p upravljanja u(t) postoje lijevi i desni limes, tj. postoje (3) lim t p u(t) i lim u(t). t p + Veoma je važna pretpostavka da dopuštamo mogućnost trenutne (skokovite) promjene upravljanja u(t) unutar intervala U = [ 1, 1], na pr. s vrijednosti u(t) = 1 za t < p na vrijednost u(t) = 1 za t > p. U tom su slučaju lijevi i desni limes u trenutku t = p jednaki 1 i 1. Vrijednost funkcije u(t) u samoj 3

4 4 ALJOŠA DUDARIN, ZORAN VRHOVSKI I DARKO ŽUBRINIĆ točki prekida t = p je potpuno nevažna, jer broj točaka prekida za neko upravljanje je po pretpostavci konačan. Doista, sjetimo se da se do x(t) dolazi (dvostrukom) integracijom upravljanja u(t), pa je promjena vrijednosti upravljanja samo u jednom trenutku (ili u konačno mnogo) nevažna. U tom slučaju pokazuje se da postoji jednoznačno rješenje Cauchyjeva problema, koje odgovara zadanom dopustivom upravljanju. Rješenje x(t) je diferencijabilna funkcija, koja je po dijelovima klase C 2 (dvaput neprekinuto diferencijabilna), i to točno na onim intervalima na kojima je upravljanje u(t) neprekinuto. Uz zadane početne uvjete (x 0, v 0 ) cilj je pronaći dopustivo upravljanje u : [0, t 1 ] [ 1, 1] (t 1 > 0 je za sada bilo kakav) takvo da za pripadajuće rješenje Cauchyjeva problema vrijedi tzv. terminalni uvjet ili krajnji uvjet (tj. uvjet u krajnjem trenutku t 1 ) na pripadajuće rješenje x(t): x(t 1 ) = 0, ẋ(t 1 ) = 0. Drugim riječima, zahtijevamo da se točka x(t) s pomoću upravljanja u(t) mekano (tj. s brzinom nula) dovede u ishodište x-osi. To se može možda ostvariti s mnogo, pa čak i beskonačno mnogo raznih dopustivih upravljanja u(t), ili čak niti s pomoću koje. Vidjet ćemo malo kasnije da u ovom slučaju postoji mnogo dopustivih upravljanja s pomoću kojih možemo na mekan način dovesti dovesti početnu točku (sa zadanom početnom brzinom) u ishodište kroz neko vrijeme t 1. Pritom t 1 ne zadajemo unaprijed. Cilj je pronaći dopustivo upravljanje u(t) koje će zadanu točku x 0 na x-osi zadane početne brzine v 0 dovesti mekano u ishodište za minimalno vrijeme t 1. Cilj je dakle riješti sljedeći problem: naći dopustivo upravljanje u : [0, t 1 ] [ 1, 1] takvo da vrijedi: ẍ(t) = u(t) (ODJ na intervalu [0, t 1 ]) x(0) = x 0, ẋ(0) = v 0 x(t 1 ) = 0, ẋ(t 1 ) = 0 (početni uvjet) (krajnji uvjet) t 1 je minimalan (optimalnost vremena t 1 ) U tom slučaju govorimo o optimalnom upravljanju vremenom, kojim prevodimo par (x 0, v 0 ) u (0, 0). Pripadajuće dopustivo upravljanje u(t) za koje je proteklo vrijeme t 1 minimalno, zovemo optimalnim upravljanjem. Pripadajuća trajektorija [0, t 1 ] t x(t) zove se optimalnom trajektorijom. Neka od osnovnih pitanja teorije upravljanja, vidljiva već na ovom primjeru, su sljedeća: (egzistencija dopustivog upravljanja) Postoji li dopustivo upravljanje u : [0, t 1 ] U = [ 1, 1], koje prevodi (x 0, v 0 ) u (0, 0)? (egzistencija optimalnog upravljanja) Ako je zadan početni uvjet (x 0, v 0 ), postoji li optimalno upravljanje u : [0, t 1 ] U = [ 1, 1] sustava koje prevodi par (x 0, v 0 ) u (0, 0)?

5 (nužni uvjeti za egzistenciju optimalnog upravljanja) Mogu li se dobiti neki općeniti nužni uvjeti za egzistenciju optimalnog upravljanja (tako da optimalno upravljanje, ako postoji, možemo izračunati s pomoću tih nužnih uvjeta)? (dovoljni uvjeti za egzistenciju optimalnog upravljanja) Postoje li dovoljni uvjeti za egzistenciju optimalnog upravljanja? (jednoznačnost optimalnog upravljanja) Ako optimalno upravljanje postoji, je li ono određeno jednoznačno? (sinteza optimalnog upravljanja) Je li vrijednost optimalnog upravljanja u(t) moguće dobiti samo u ovisnosti o trenutnom stanju sustava, tj. u ovisnosti samo o trenutnom položaju x(t) i trenutnoj brzini ẋ(t)? Drugim riječima, može li se optimalno upravljanje dobiti u obliku u(t) = v(x(t), ẋ(t)), za neku funkciju sinteze v : R 2 R (ili funkciju povratne veze)? Pokazat će se da u ovom primjeru optimalno upravljanje u(t) postoji, te da ono poprima vrijednosti na rubu intervala upravljanja U = [ 1, 1], tj. samo vrijednosti u = 1 ili u = 1. To nije teško dokučiti oslanjajući se samo na fizikalnu intuiciju. Doista, ako zamislimo da se točka u početnom trenutku t = 0 počne kretati iz zadane točke x 0 > 0 nekom zadanom početnom brzinom v 0 > 0 (ovaj par predznaka uzimljemo samo radi određenosti), onda je jasno da moramo točku najprije kočiti najviše što možemo, tj. djelujući silom u = 1, ako želimo što prije doći do ishodišta. Točka se usporava, u jednom času će stati, i počet se kretati nazad (u negativnom smjeru, tj. u lijevo), povečavavši svoju brzinu. Međutim, nešto prije nego što dođe do ishodišta, moramo naglo početi kočiti najviše što možemo, tj. silom u = 1 (jer moramo mekano doći do ishodišta, tj. brzinom nula). Ovu situaciju možemo zgodno prikazati rabeći tzv. faznu ravninu, tj. koordinatnu ravninu s osima x 1 (vodoravnom) i x 2 (okomitom), u kojoj se prva koordinata odnosi na položaj materijalne točke na x-osi, a druga na njenu brzinu: (4) x 1 (t) := x(t), x 2 (t) := ẋ(t). Na taj način je odabranom točkom (x 1 (t), x 2 (t)) u faznoj ravnini (u nekom trenutku t) zapravo opisano stanje materijalne točke na pravcu u tom istom trenutku: trenutni položaj i brzina. Kretanju točke po pravcu odgovara krivulja u faznoj ravnini. I obratno, krivulji u faznoj ravnini odgovara putanja materijalne točke na pravcu, i to ne samo trenutni položaj na x 1 -osi (tj. x-osi) u svakom trenutku, nego i trenutna brzina x 2. Sistemu upravljanja (2) odgovara ekvivalentan problem u faznoj ravnini: 5 (5) ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = u(t) x 1 (0) = x 0, x 2 (0) = v 0.

6 6 ALJOŠA DUDARIN, ZORAN VRHOVSKI I DARKO ŽUBRINIĆ Slika 2. Već rabeći samo upravljanja u = ±1 dobivamo razne složene trajektorije. Početna točka označena je križićem. Primijetite da je moguće samopresijecanje trajektorija. Plavom bojom smo označili dio trajektorije pod djelovanjem upravljanja u = 1, a crvenom dio trajektorije pod djelovanjem upravljanja u = 1. Cilj je pronaći dopustivo upravljanje u : [0, t 1 ] U = [ 1, 1] tako da za odgovarajući Cauchyjev problem opisan sa (5) vrijedi x 1 (t 1 ) = 0, x 2 (t 1 ) = 0, i proteklo vrijeme t 1 je minimalno. Ovu situaciju prikazuje Slika 3, koja odgovara situaciji s nekoliko zadanih početnih stanja (x 0, v 0 ), tj. nekoliko početnih položaja x 0 i početnih brzina v 0. Budući da je u ovom primjeru već od prije intuitivno jasno da će optimalno upravljanje u(t) imati vrijednosti 1 ili 1, pogledajmo za početak slučaj kada je u(t) 1: Radi ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = 1 x 1 (0) = x 0, x 2 (0) = v 0. (6) dx 1 dx 2 = ẋ1 ẋ 2 = x 2 1 = x 2 je dx 1 = x 2 dx 2, pa integriranjem dobivamo x 1 = 1 2 (x 2) 2 + C.

7 7 Slika 3. Sinteza optimalnog upravljanja sustava zadanog s (5). Kroz ishodište prolazi krivulja prekapčanja. Iznad nje je u(t) 1 (crvene trajektorije), a ispod nje je u(t) 1 (plave trajektorije). Aditivna konstanta C je jednoznačno određena s početnim stanjem (x 0, v 0 ) u trenutku t = 0, tj. x 0 = 1 2 (v 0) 2 + C, tj. C = x (v 0) 2. Radi se dakle o paraboli čija os simetrije je x 1 -os (vodoravna os). Točka se duž nje giblje prema gore, jer je ẋ 2 = 1, tj. okomita komponenta vektora brzine točke u faznoj ravnini jednaka je 1. Kao što vidimo, za C = 0 dobivamo parabolu kroz ishodište. Prema tome, ako je početna točka (x 0, v 0 ) na dijelu te prabole koja je ispod x 1 -osi, tj. za početnu točku vrijedi (7) x 1 = 1 2 (x 2) 2, x 2 < 0, onda upravljanjem u 1 dolazimo u ishodište. Vrijeme t 1 potrebno za to nije teško izračunati. 1 Za te početne točke ovo je očevidno optimalna trajektorija. Problem u kojem je u(t) 1 glasi: (8) ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = 1 x 1 (0) = x 0, x 2 (0) = v 0. Radi dx 1 (9) = ẋ1 = x 2 dx 2 ẋ 2 1 = x 2 je dx 1 = x 2 dx 2, pa integriranjem dobivamo x 1 = 1 2 (x 2) 2 + C, gdje je C = x (v 0) 2. Radi se dakle o paraboli čija os simetrije je x 1 - os (vodoravna os), točka se duž nje giblje prema dolje, jer je ẋ 2 = 1 (tj. 1 Doista, u tom slučaju iz ẋ2(t) = 1 dobivamo x 2(t) = t + C 1. Zbog v 0 = x 2(0) = C 1 je 0 = x 2(t 1) = t 1 + v 0, tj. t 1 = v 0.

8 8 ALJOŠA DUDARIN, ZORAN VRHOVSKI I DARKO ŽUBRINIĆ okomita komponenta vektora brzine točke u faznoj ravnini jednaka je 1). Slično kao malo prije, ako je početna točka (x 0, v 0 ) na dijelu te parabole koja je iznad x 1 -osi, tj. za početnu točku vrijedi (10) x 1 = 1 2 (x 2) 2, x 2 > 0, onda upravljanjem u 1 dolazimo u ishodište. Vrijeme t 1 potrebno za to može se lako izračunati: t 1 = v 0. Za te početne točke ovo je očevidno optimalna trajektorija. Krivulje opisane s (7) i (10) čine zajedno (tj. kao unija) tzv. krivulju prekapčanja. Razlog za taj naziv je što je njome definirano optimalno upravljanje: Ako je početna točka (x 0, v 0 ) iznad te krivulje, onda ju upravljanjem u = 1 dovodimo do dolnjeg dijela linije prekapčanja, te u trenutku kada točka dođe do te krivulje, vrijednost upravljanja u(t) prekapčamo iz 1 u 1, i držimo u = 1 do trenutka t 1 > 0 kada ona duž parabole (7) dođe do ishodišta. Na sličan način, ako je početna točka (x 0, v 0 ) ispod krivulje prekapčanja, onda ju upravljanjem u = 1 dovodimo do gornjeg dijela linije prekapčanja, te u trenutku kada točka dođe do te krivulje, vrijednost upravljanja u(t) prekapčamo iz 1 u 1, i držimo vrijednost u = 1 do trenutka t 1 > 0 kada ona duž parabole (7) dođe do ishodišta. Kao što vidimo, optimalno upravljanje u(t) ima u oba slučaja točno jednu točku prekapčanja. Ako je početno stanje (x 0, v 0 ) na samoj krivulji prekapčanja, onda optimalno upravljanje nema točaka prekapčanja, tj. njena je vrijednost stalno u(t) = 1 ili u(t) = 1. Zaključak je da u ovom primjeru za svaku početnu točku imamo najviše jednu točku prekapčanja. Primijetimo da vrijednost optimalnog upravljanja ovisi samo o trenutnom položaju trajektorije: Ako je točka iznad linije prekapčanja, onda stavljamo u = 1. Ako je početna točka ispod linije prekapčanja, onda stavljamo u = 1. Prema tome, ima smisla definirati realnu funkciju v(x 1, x 2 ), čija vrijednost je 1 ako je točka (x 1, x 2 ) iznad krivulje prekapčanja, a 1 ako je ispod. Ako je točka (x 1, x 2 ) na samoj krivulji prekapčanja, onda stavljamo u = 1 ako je x 1 > 0, a u = 1 ako je x 1 < 0. U tom slučaju kažemo da smo optimalno upravljanje u(t) = v(x 1 (t), x 2 (t)) dobili kao funkciju povratne veze, tj. kao funkciju trenutnog položaja (stanja sustava) na faznom portretu. Time smo obavili tzv. sintezu optimalnog upravljanja. Vrijednost optimalnog upravljanja je konstantna izvan krivulje prekapčanja, a kada trajektorija dođe do te krivulje, onda vrijednost optimalnog upravljanja prekapčamo. Primijetite da je funkcija v = v(x 1, x 2 ) neprekinuta (i čak konstantna) svuda osim na krivulji prekapčanja: duž same krivulje prekapčanja ta funkcija ima skok s vrijednosti 1 na 1.

9 9 Slika 4. Vrijeme t 1 = t 1 (x 1, x 2 ) optimalnog upravljanja, vidi (13), je neprekinuta funkcija, ali duž krivulja prekapčanja nije neprekinuto diferencijabilna. Kao što vidimo, optimalne trajektorije t (x 1 (t), x 2 (t)) u faznoj ravnini možemo generirati na sljedeći način: (11) ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = v(x 1 (t), x 2 (t)) x 1 (0) = x 0, x 2 (0) = v 0. Radi se o Cauchyjevu problemu u kojem desna strana v(x 1, x 2 ) nije neprekinuta funkcija. To ima za posljedicu da se različite trajektorije mogu međusobno presjecati. Primjedba 2.1. Lako je provjeriti da linija prekapčanja ima ovu jednadžbu: (12) x 1 = 1 2 x 2 x 2. Doista, za x 2 > 0 dobivamo x 1 = 1 2 (x 2) 2, a za x 2 < 0 dobivamo x 1 = 1 2 (x 2) 2. Nadalje, pažljivim računom nije teško vidjeti da se optimalno vrijeme t 1 može dobiti kao funkcija početnog položaja (x 0, v 0 ), tj. od (x 1, x 2 ): x x (x 2) 2 ako je x x 2 x 2 (13) t 1 (x 1, x 2 ) = x (x 2) 2 x 1 ako je x x 2 x 2. Funkcija t 1 (x 1, x 2 ) je neprekinuta u ovisnosti od x 1 i x 2, što je intuitivno očevidno. Međutim, zanimljivo je da ta funkcija nije diferencijabilna duž krivulje prekapčanja. Doista, ako je na pr. v 0 < 0, te ako pretpostavimo da točka (x 1, x 2 ) konvergira u ravnini prema (x 0, v 0 ), gdje je x 0 = 1 2 v 0 v 0 = 1 2 (v 0) 2, onda, ovisno o tome

10 10 ALJOŠA DUDARIN, ZORAN VRHOVSKI I DARKO ŽUBRINIĆ konvergira li (x 1, x 2 ) prema (x 0, v 0 ) iznad ili ispod krivulje prekapčanja, vrijedi: t 1 x 1 = t 1 = x x (x 2) 2 v 0, (x 2) 2 x 1 1 =. 1 2 (v 0) 2 x 0 Prema tome funkcija optimalnog vremena t 1 = t 1 (x 1, v 1 ) nije klase C 1 (tj. nije neprekinuto diferencijabilna). To se također veoma lijepo može vidjeti i na grafu funkcije t 1 = t 1 (x 1, v 1 ), koja duž krivulje prekapčanja izgleda kao prelomljeni list papira, vidi Sliku 4. To da funcija t 1 = t 1 (x 1, x 2 ) nije klase C 1 ima značajnu posljedicu da se Pontrjaginov princip maksimuma (o kojem ćemo govoriti u idućem odjeljku) ne može dobiti kao posljedica Bellmanovog principa iz Dinamičkog Programiranja. Više o tome može se vidjeti u početnom dijelu monografije Boltjanskog [2] Opći linearni sustav upravljanja. Poučno je početni linearni sustav (5) zapisati u matričnom obliku. Doista, sustav je ekvivalentan s linearnim sustavom upravljanja u R 2 : (14) ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), gdje je x = ( x1 x 2 ), A = ( ) ( 0 1 0, B = ) To je specijalan slučaj puno općenitijeg linearnog sustava upravljanja u prostoru R n : (15) ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), gdje je x 1 x =. x n, A = a a 1n.. a n1... a nn, B = b b 1m.. b n1... b nm, Matrica A je kvadratna reda n (pa se može gledati kao linearni operator A : R n R n ), a B pravokutna tipa n m (pa se može gledati kao linearni operator B : R m R n ). Upravljanje u : [0, t 1 ] R m je vektornoznačno, tj. u 1 u =. u m. Obično su i ovdje navedeni uvjeti na upravljanje. Na primjer, zadan je neki zatvoren skup U R m (obično konveksan), te se zahtijeva da za dopustiva upravljanja vrijedi ovaj uvjet: (16) u(t) U za sve t [0, t 1 ].

11 Na pr. skup U može biti m-dimenzionalni kvadar U = [a 1, b 1 ] [a m, b m ], gdje su [a i, b i ] zadani intervali, i = 1,..., m. Kao i prije, zahtijevamo da komponente u 1 (t),...,u m (t) budu po dijelovima neprekinute funkcije s najviše konačno mnogo točaka prekida, koje u svakoj takvoj točki imaju samo prekid prve vrste. Sintezom optimalnog upravljanja dobivamo općenito sustav oblika (17) ẋ(t) = Ax(t) + Bv(x(t)), gdje je v : R n R m funkcija sinteze. Još su općenitiji nelinearni sustavi upravljanja u R n, čiji opći oblik izgleda ovako: (18) ẋ 1 (t) = f 1 (x 1 (t),..., x n (t), u 1 (t),..., u m (t)). ẋ n (t) = f n (x 1 (t),..., x n (t), u 1 (t),..., u m (t)). Funkcije f i : R n U R su zadane realne funkcije od n+m realnih varijabla, f i = f i (x, u), općenito nelinearne. Skup U R m je zadani zatvoren skup, ne nužno omeđen, tzv. skup upravljanja. Taj sustav možemo kraće zapisati u vektorskom obliku: (19) ẋ(t) = f(x(t), u(t)), gdje je f 1 (x, u) x 1 u 1 f(x, u) =., x =., u =.. f n (x, u) Svako dopustivo upravljanje u(t) : [0, t 1 ] U generira trajektoriju t x(t) u R n, uz neke dovoljne uvjete za egzistenciju i jednoznačnost rješenja. Cilj je pronaći optimalno upravljanje u(t) koje će zadanu početnu točku x 0 R n (tj. x(0) = x 0 ) prevesti u ishodište 0 R n (tj. x(t 1 ) = 0) za najkraće vrijeme t 1. Primijetimo da je sustav upravljanja neautonoman, pa se trajektorije u R n mogu siječi. Štoviše, jedna trajektorija može siječi samu sebe više puta; vidi Sliku 2. Sintezom optimalnog upravljanja dobivamo sustav oblika (20) ẋ(t) = f(x(t), v(x(t))), gdje je v : R n R m funkcija sinteze. x n 3. Pontrjaginov princip maksimuma Pontrjaginov princip maksimuma daje nužne uvjete za postojanje rješenja za općenito nelinearne sustave upravljanja oblika (18). Drugim riječima, Pontrjaginov princip pretpostavlja da postoji optimalno upravljanje, te se u m 11

12 12 ALJOŠA DUDARIN, ZORAN VRHOVSKI I DARKO ŽUBRINIĆ iz toga izvode neke posljedice. Te su posljedice takve da nam često omogućavaju da i odredimo optimalno upravljanje (uz pretpostavku da znamo da ono postoji). Mnogo je teže pitanje nalaženja dovoljnih uvjeta za egzistenciju optimalnih upravljanja. U to se ovdje nećemo upuštati, nego ćemo kasnije samo spomenuti odgovarajući rezultat za linearne sustave upravljanja (pogledajte Teorem 4.14). Promatrajmo sasvim općeniti sustav upravljanja oblika (18). Pretpostavimo da funkcije f i = f i (x, u), i = 1,..., n, ispunjavaju sljedeće uvjete: sve relane funkcije f i (x, u) su neprekinute po x R n i u R m (tj. neprekinute u svih n + m realnih varijabla). za sve i = 1,..., n, funkcije f i (x, u) su diferencijabilne po varijablama x j, j = 1,..., n, tj. postoje parcijalne derivacije f i x j za sve i, j = 1,..., n. Podsjetimo da je skup upravljanja U R m zadani zatvoren skup, ne nužno omeđen. U iskazu Pontrjaginova principa maksimuma bitnu ulogu igra tzv. Hamiltovnova funkcija H : R n R n R m R, definirana sa n (21) H(ψ, x, u) = ψ i f i (x, u) = ψ f(x, u), i=1 gdje je ψ = (ψ 1,..., ψ n ) R n pomoćna vektorska varijabla. Sada ćemo zapisati sustav diferencijalnih jednačaba u kojima će nepoznate funkcije biti ne samo x i (t), nego i ψ i (t). Najprije primijetimo da sustav (18), tj. diferencijalne jednadžbe ẋ i (t) = f i (x(t), u(t)), možemo pisati kao (22) ẋ i (t) = H ψ i (ψ(t), x(t), u(t)) i = 1,..., n. Uz ovih n diferencijalnih jednačaba dodajemo još i njemu spregnut sustav diferencijalnih jednačaba: (23) ψ i (t) = H x i (ψ(t), x(t), u(t)), i = 1,..., n, tj. (24) ψ i (t) = n j=1 ψ j (t) f j x i (x, u). Za neko određeno dopustivo upravljanje je sa (22) i (23) opisan sustav diferencijalnih jednačaba u R 2n, u kojem je nepoznata funkcija (ψ(t), x(t)), tj. imamo sustav od 2n diferencijalnih jednačaba s 2n nepoznatih funkcija: ψ i (t), x i (t), i = 1,..., n. Sada je sve pripremljeno da formuliramo znameniti Pontrjaginov princip maksimuma. Navodimo ga bez dokaza, jer dokaz je previše složen da bismo se u njega upuštali.

13 13 Slika 5. L. S. Pontrjagin ( ), znameniti ruski matematičar. Teorem 3.1 (Pontrjaginov princip maksimuma). Pretpostavimo da su ispunjene gore navedene pretpostavke na realne funkcije f i = f i (x, u). Pretpostavimo da postoji optimalno upravljanje u : [0, t 1 ] U R m, koje uz pomoć sustava (25) ẋ(t) = f(x(t), u(t)) prevodi zadanu točku x(0) = x 0 R n u ishodište, tj. x(t 1 ) = 0 R n (drugim riječima, vrijeme t 1 je minimalno). Onda postoji netrivijalno rješenje sustava (23) (tj. takvo da je ψ(t) 0 za sve t [0, t 1 ]), tako da za sve t [0, t 1 ] vrijedi (26) H(ψ(t), x(t), u(t)) = max u U H(ψ(t), x(t), u ). U trenutku t 1 je ispunjen i uvjet pozitivnosti hamiltonijana: H(ψ(t 1 ), x(t 1 ), u(t 1 )) 0. Primijetimo da za svaki t [0, t 1 ] jednakost (26) predstavlja zapravo jednadžbu u kojoj je vrijednost u(t) nepoznanica (mada pretpostavljamo da optimalno upravljanje postoji, ali ne znamo kako ono izgleda). Kako se ta jednadžba rješava, vidjet ćemo na nekoliko primjera. Prije primjera spomenimo da se Hamiltonov sustav opisan sa (22) i (23) može opisati sasvim kratko sa ẋ(t) = ψ H(ψ(t), x(t), u(t)) ψ(t) = x H(ψ(t), x(t), u(t))

14 14 ALJOŠA DUDARIN, ZORAN VRHOVSKI I DARKO ŽUBRINIĆ gdje smo s ψ i x označili vektore gradijenata s obzirom na odgovarajuće funkcije: (27) ψ H = H ψ 1. H ψ n, x H = Primjer 3.2. Krenimo opet od našeg prvog primjera sustava upravljanja (5), tj. ẋ 1 (t) = x 2 (t), ẋ 2 (t) = u(t), s početnim uvjetom x 1 (0) = x 0, x 2 (0) = v 0, gdje je točka (x 0, v 0 ) u faznoj ravnini unaprijed zadana. Treba pronaći optimalno upravljanje u : [0, t 1 ] U = [ 1, 1], koje će generirati rješenje takvo da je x 1 (t 1 ) = 0, x 2 (t 1 ) = 0 s minimalnim t 1 > 0. Pretpostavljajući da znamo da optimalno upravljanje postoji (ali da ne znamo njen oblik), pogledajmo kako se ono može odrediti rabeći Pontrjaginov princip maksimuma. Najprije moramo odrediti pripadajući hamiltonijan. U našoj situaciji je f 1 = x 2 i f 2 = u, pa je H x 1. H x n H = ψ 1 f 1 + ψ 2 f 2 = ψ 1 x 2 + ψ 2 u. Pogledajmo odgovarajući sustav za određivanje pomoćnih funkcija ψ 1 i ψ 2 : (28) ψ 1 (t) = H x 1 = 0 ψ 2 (t) = H x 2 = ψ 1 Iz prve jednadžbe dobivamo ψ 1 (t) = d 1 (realna konstanta), a iz druge, tj. iz ψ 2 (t) = d 1, dobivamo ψ 2 (t) = d 1 t + d 2. Pretpostavljajući da znamo da optimalno upravljanje u(t) postoji, Pontrjaginovi princip maksimuma nam daje tj. ψ 1 (t)x 2 (t) + ψ 2 (t)u(t) = max u [ 1,1] (ψ 1(t)x 2 (t) + ψ 2 (t)u ) = ψ 1 (t)x 2 (t) + max u [ 1,1] ψ 2(t)u, (29) ψ 2 (t)u(t) = max u [ 1,1] ψ 2(t)u = max{ψ 2 (t), ψ 2 (t)} = ψ 2 (t). Iz dobivene jednakost odmah vidimo da je u(t) = sgn ψ 2 (t), tj. { 1 ako je d 1 t + d 2 > 0 (30) u(t) = 1 ako je d 1 t + d 2 < 0. Kao što vidimo, optimalno upravljanje u(t) ima najviše jednu točku prekapčanja, jer pravac d 1 t + d 2 može imati najviše jednu nul-točku. Doista, u slučaju d 1 0 pravac ima točno jednu nultočku, u slučaju d 1 = 0 i d 2 0 nema niti jedne nul-točke, a slučaj d 1 = d 2 = 0 je nemoguć, jer bi onda bilo ψ 1 (t) = ψ 2 (t) = 0 za sve t, protivno netrivijalnosti vektora (ψ 1 (t), ψ 2 (t)) 0

15 koja se tvrdi u iskazu Pontrjaginova teorema. Primijetite da je i uvjet pozitivnosti ispunjen: H(ψ(t 1 ), x(t 1 ), u(t 1 )) = ψ 1 (t 1 )x 2 (t 1 ) + ψ 2 (t 1 )u(t 1 ) = ψ 2 (t 1 ) 0. Uz pomoć vrijednosti u(t) = 1 dobivamo kao i prije familiju parabola x 1 = 1 2 (x 2) 2 + C, koje su trajektorije orjentirane prema gore, jer je ẋ 2 = u = 1 > 0. S druge strane, vrijednost upravljanja u(t) = 1 nam daje familiju parabola x 1 = 1 2 (x 2) 2 + C, a te su trajektorije orjentirane prema dolje, jer je ẋ 2 = u = 1 < 0. Ako se početna točka (x 0, v 0 ) nalazi na krivulji koja se sastoji od unije dviju polovica parabola, tj. od dijela parabole x 1 = 1 2 (x 2) 2 ispod x 1 -si (tj. za x 2 > 0) i dijela parabole x 1 = 1 2 (x 2) 2 iznad x 1 -osi (tj. za x 2 < 0), onda odgovarajuće upravljanje (u(t) = 1 ili u(t) = 1 respektivno) prevodi tu točku duž te krivulje do ishodišta na optimalan način, tj. za najkraće vrijeme. U ovom slučaju nema točaka prekapčanja. Navedena krivulja je ujedno i krivulja prekapčanja. Doista, ako je početna točka (x 0, v 0 ) iznad te krivulje, onda ju upravljanjem u(t) = 1 dovedemo do linije prekapčanja, a zatim upravljanjem u(t) = 1 u ishodište. Ako je početna točka (x 0, v 0 ) ispod te krivulje prekapčanja, onda ju upravljanjem u(t) = 1 dovedemo do linije prekapčanja, a zatim upravljanjem u(t) = 1 u ishodište. Ostali smo još dužni odgovoriti na pitanje postoji li doista optimalno upravljanje za navedeni problem. Koliko god se to u ovom slučaju čini očevidnim, ipak nije jasno postoji li možda neko drugo dopustivo upravljanje koje će zadanu početnu točku dovesti do ishodišta fazne ravnine za još kraće vrijeme. Iz sljedećeg strogog dokaza, koji je dao Boltjanskij [2], vidi se da je takva analiza općenito vrlo zakučasta. Naravno, to dopustivo upravljanje ne može biti i optimalno upravljanje. Dokaz da su trajektorije opisane u Primjeru 3.2 doista optimalne. Neka je x(t) = (x 1 (t), x 2 (t)) trajektorija dobivena formalnom uporabom Pontrjaginova principa maksimuma, s dopustivim upravljanjem (31) u(t) = { 1 0 t < α 1 α t t 1. Pretpostavimo, protivno tvrdnji, da ta trajektorija nije optimalna (drugim riječima, pretpostavljamo da uopće ne postoji optimalno upravljanje, jer kad bi ono postojalo, moralo bi, prema Pontrjaginovu principu maksimuma, biti kao u Primjeru 3.2). Onda postoji dopustivo upravljanje ũ : [0, θ] [ 1, 1], (32) θ < t 1, koje prevodi (x 0, v 0 ) u (0, 0). Za pripadajuće trajektorije x(t) = (x 1 (t), x 2 (t)) i x(t) = (x 1 (t), x 2 (t)), generirane dopustivim upravljanjima u(t) i ũ(t), s 15

16 16 ALJOŠA DUDARIN, ZORAN VRHOVSKI I DARKO ŽUBRINIĆ istim početnim uvjetom (x 0, v 0 ) vrijedi { { ẋ 1 (t) = x 2 (t) x 1 (t) = x 2 (t) (33) 0 t t 1, ẋ 2 (t) = u(t) x 2 (t) = ũ(t) Definirajmo pomoćne funkcije Φ(t) = x 1 (t) + x 2 (t )(t α), t [0, t 1 ] Ψ(t) = x 1 (t) + x 2 (t) (t α), t [0, θ]. 0 t θ. Zbog x(0) = x(0) = (x 0, v 0 ), te zbog x(t 1 ) = x(θ) = (0, 0), vrijedi (34) Φ(0) = Ψ(0), Φ(t 1 ) = 0, Ψ(θ) = 0. Također, Iz (31) je onda Dakle, i odatle Φ(t) = x 2 (t) + u(t) (t α) + x 2 (t) = u(t) (t α) Ψ(t) = x 2 (t) + ũ(t) (t α) + x 2 (t) = ũ(t) (t α) Φ(t) = t α. Φ(t) = t α t α ũ(t) = (t α) ũ(t) = Ψ(t) Ψ(t), θ 0 Φ(t) dt θ 0 Ψ(t) dt, tj. Φ(θ) Φ(0) Ψ(θ) Ψ(0). Zbog Φ(0) = Ψ(0) je onda (35) Φ(θ) Ψ(θ) = 0. S druge strane je (36) Φ(θ) = Φ(t 1 ) Φ(θ) = t1 tj. Φ(θ) < 0, što je u protuslovlju s (35). θ Φ(t) dt = t1 θ t α dt > 0, Primjer 3.3 (Primjer optimalnog upravljanja s beskonačno mnogo točaka prekapčanja). U prethodnom primjeru optimalno upravljanje je imalo najviše jednu točku prekapčanja. Sada ćemo pogledati jedan primjer u kojem optimalno upravljanje, ovisno o početnom uvjetu, može imati koliko god veliki broj točaka prekapčanja. Zanimljivo je da i u ovom primjeru imamo samo jednu krivulju prekapčanja. Ako promatramo točku mase m na pravcu na koje djeluju elastična sila kx(t) (predznak minus dolazi stoga jer elastična sila djeluje u smjeru prema ishodištu, tj. suprotnog je predznaka od položaja x(t)), sila trenja bẋ(t) i vanjska sila upravljanja u(t), onda je gibanje točke opisana jednadžbom (37) mẍ(t) = bẋ(t) kx(t) + u(t).

17 Radi jednostavnosti pretpostavimo da je m = 1, k = 1, b = 0 (nema trenja), i u [ 1, 1]: (38) ẍ(t) + x(t) = u(t). Uvođenjem novih varijabla (x 1, x 2 ) = (x, ẋ) u faznom prostoru, tj. x 1 (t) = x(t), x 2 (t) = ẋ 1 (t), dobivamo Cauchyjev problem u faznom prostoru (s koordinatnim osima x 1 i x 2 ): (39) ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = x 1 (t) + u(t), sa zadanim početnim uvjetima x 1 (0) = x 0, x 2 (0) = v 0. Pogledajmo odgovarajuću Hamiltonovu funkciju (40) H(ψ, x, u) = ψ 1 f 1 + ψ 2 f 2 = ψ 1 x 2 + ψ 2 ( x 1 + u). Odgovarajući sustav za određivanje pomoćnih funkcija ψ 1 (t) i ψ 2 (t) glasi: ψ 1 (t) = H x 1 = ψ 2 (t) ψ 2 (t) = H x 2 = ψ 1 (t). Iz ψ 2 (t) = ψ 1 (t) = ψ 2 (t), tj. ψ 2 (t) + ψ 2 (t) = 0, slijedi ψ 2 (t) = A sin(t α), gdje su A i α realne konstante. Također ψ 1 (t) = ψ 2 (t) = A cos(t α). Primijetimo da je A 0, jer za A = 0 bismo imali da je (ψ 1 (t), ψ 2 (t)) (0, 0), što je prema Pontrjaginovu teoremu nemoguće. Također možemo pretpostaviti da je A > 0, jer inače samo promijenimo α u α + π. Pretpostavimo li da postoji optimalno upravljanje u(t), Pontrjaginov princip maksimuma nam daje H(ψ(t), x(t), u(t)) = max H(ψ(t), x(t), u [ 1,1] u ), tj. ψ 2 (t)u(t) = max ψ 2(t)u, u [ 1,1] tj. ψ 2 (t)u(t) = max{ψ 2 (t), ψ 2 (t)} = ψ 2 (t). Dakle, u(t) = sgn ψ 2 (t) = sgn (A sin(t α)) = sgn (sin(t α)), gdje smo iskoristili da je A > 0. Kao što vidimo, optimalno upravljanje u(t) poprima samo vrijednosti 1 i 1. Također, ta je funkcija (gledana za t R) periodična s periodom 2π. To znači da se nakon vremenskog perioda π vrijednost upravljanja u(t) prekapča s vrijednosti 1 u 1, ili obratno. Točnije, u točkama t k = α + 2kπ imamo prekapčanje s vrijednosti 1 u 1, a u točkama t k = α + 2kπ + π imamo prekapčanje iz vrijednosti 1 u 1. 17

18 18 ALJOŠA DUDARIN, ZORAN VRHOVSKI I DARKO ŽUBRINIĆ Slika 6. Dinamički sustav opisan s (41) ima kružne trajektorije, negativno orjentirane (tj. u smjeru kazaljke na satu). Takav se fazni portret oko ishodišta zove centar. Fotografija se temelji na sučelju koje je izradio Krešimir Ivanuš, vidi darko/. (41) Kao malu pripremu, umjesto (39) pogledajmo sustav ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = x 1 (t) i pronađimo njegovo opće rješenje. Definirajmo pomoćnu kompleksnoznačnu funkciju z : R C sa z(t) = x 1 (t) + ix 2 (t), gdje je i imaginarna jedinica, i 2 = 1. Onda je navedeni sustav ekvivalentan sa ż(t) = iz(t). Doista, iz (41) slijedi ż(t) = ẋ 1 (t) + iẋ 2 (t) = x 2 (t) ix 1 (t) = i(x 1 (t) + ix 2 (t)) = iz(t). I obratno, iz ż(t) = iz(t) slijedi (41). Rješenje ove obične diferencijalne jednadžbe je z(t) = e it z(0). Prema tome uz početni uvjet z(0) = x 0 + iv 0 dobivamo rješenje tj. z(t) = e it z(0) = (cos( t) + i sin( t))(x 0 + iv 0 ), (42) x 1 (t) = x 0 cos( t) v 0 sin( t), x 2 (t) = v 0 cos( t) + x 0 sin( t).

19 Kao što vidimo, kompleksni broj z(t) = e it z(0) dobiva se rotacijom broja z(0) za kut t. Na pr. za t = π/2 dobivamo rotaciju za kut π/2, tj. rotaciju u negativnom smjeru (drugim riječima, u smjeru kazaljke na satu) za pravi kut. Opće rješenje možemo zapisati i ovako: ) ( ) ( cos( t) sin( t) x0 (43) ( x1 (t) x 2 (t) = sin( t) cos( t) v 0 ), pri čemu je kvadratna matrica na desnoj strani jednakosti t. zv. matrica rotacije ravnine R 2 oko ishodišta za kut t. (44) Da bismo našli optimalne trajektorije, pogledajmo sustav (39) za u(t) 1: ẋ 1 (t) = Ovaj sustav možemo pisati u obliku (45) x 2 (t) ẋ 2 (t) = x 1 (t) + 1, (x 1 (t) 1) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = (x 1 (t) 1), odakle je prema prijašnjoj diskusiji, vidi (43), ( ) ( ) ( ) x1 (t) 1 cos( t) sin( t) x0 1 (46) = x 2 (t) sin( t) cos( t) v 0 tj. (47) ( ) ( x1 (t) 1 = + x 2 (t) 0) ( ) ( ) cos( t) sin( t) x0 1 sin( t) cos( t) v 0 Rješenja su kružne trajektorije sa središtem u točki (1, 0), koje se giblju u negativnom smjeru (tj. u smjeru kazaljke na satu) s periodom 2π. Na sličan način, za u(t) 1 dobivamo (48) ẋ 1 (t) = Ovaj sustav možemo pisati u obliku (49) odakle je (50) tj. (51) ( ) x1 (t) + 1 = x 2 (t) ( ) x1 (t) = x 2 (t) x 2 (t) ẋ 2 (t) = x 1 (t) 1, (x 1 (t) + 1) = x 2 (t) ( ) ẋ 2 (t) = (x 1 (t) + 1), ( ) ( ) cos( t) sin( t) x0 + 1 sin( t) cos( t) v 0 ( ) ( ) cos( t) sin( t) x sin( t) cos( t) v 0 Rješenja su kružne trajektorije sa središtem u točki ( 1, 0), koje se giblju u negativnom smjeru (tj. u smjeru kazaljke na satu), s periodom 2π. 19

20 20 ALJOŠA DUDARIN, ZORAN VRHOVSKI I DARKO ŽUBRINIĆ Slika 7. Sinteza optimalnog upravljanja sustava zadanog s (39). Kroz ishodište prolazi krivulja prekapčanja. Iznad nje je u(t) 1 (crvene trajektorije), a ispod nje je u(t) 1 (plave trajektorije). Križići odgovaraju točkama ( 1, 0) i (1, 0). Sve trajektorije su spiralnog tipa, negativno orjentirane, tj. u smjeru kazaljke na satu. Prema tome, optimalnu trajektoriju koja za najkraće vrijeme prevodi neku početnu točku (x 0, v 0 ) u ishodište (0, 0) trebamo složiti od konačno mnogo dijelova kružnih trajektorija navedenih gore. Ako je početna točka (x 0, v 0 ) na skupu S1 koju čini dolnja polovica kružnice K 1(1, 0), 2 x 2 < 0, polumjera 1 sa središtem u (1, 0), onda će upravljanjem u = 1 ta točka biti dovedena za najkraće vrijeme u ishodište. Budući da optimalno upravljanje ima prekapčanja kroz vrijeme π, a tome odgovara pola kružne trajektorije dobivene upravljanjem u = 1, pogledajmo skup S 3 + svih točaka koja se tim upravljanjem preslikaju u neku točku na polukružnicu S1. Skup S+ 3 čine točke na gornjoj polovici kružnice K 1 ( 3, 0). Na sličan način, dolazimo skupa S5 (dolnja polovica kružnice K 1 (5, 0)) koji se upravljanjem u = 1 preslika u S 3 +, i t.d. Ako pak krenemo od točke (x 0, v 0 ) na skupu S 1 + jednakom gornjoj polovici kružnice K 1 ( 1, 0), onda upravljanjem u = 1 dolazimo za najkraće 2 Općenito ćemo kružnicu polumjera r, sa središtem u točki (a, b) u ravnini, označavati kratko sa K r(a, b).

21 21 Slika 8. Sinteza optimalnog upravljanja sustava zadanog s (39). Prikazan je buket od četiri trajektorije, s početnim točkama označenim kružićima. Kroz ishodište prolazi krivulja prekapčanja. Iznad nje je u(t) 1 (crvene trajektorije), a ispod nje je u(t) 1 (plave trajektorije). Križićima odgovaraju točke ( 1, 0) i (1, 0), i oni su središta odgovarajućih kružnih dijelova trajektorija. vrijeme do ishodišta (0, 0). U skup S 1 + se kroz vrijeme π preslika polukružnica S3 (tj. dolnja polovica kružnice K 1(3, 0)). Na sličan način, u S3 se kroz vrijeme π upravljanjem u = 1 preslika polukružnica S 5 +, i t.d. Ovim postupkom vidimo da dobivamo krivulju prekapčanja L koju čini unija svih polukružnica: (52) L = L + L L + = k=1 S+ 2k+1, L = k=1 S 2k 1. Svaka polukružnica S + 2k+1 je iznad x 1-osi, polumjera 1, sa središtem u ( 2k + 1, 0), k N, dok je svaka polukružnica S 2k 1 ispod x 1-osi, polumjera 1, sa središtem u (2k 1, 0), k N. Ako je početna točka (x 0, v 0 ) iznad krivulje prekapčanja L (ili na L + ), onda djelujemo upravljanjem u = 1 dok ne dođemo na L rotacijom oko ( 1, 0) u negativnom smjeru, te u tom trenutku prekapčamo upravljanje na vrijednost u = 1 dok ne dođemo na dio

22 22 ALJOŠA DUDARIN, ZORAN VRHOVSKI I DARKO ŽUBRINIĆ krivulje prekapčanja L +, itd. Vidimo da se na taj način približavamo ishodištu. Optimalna trajektorija nalikuje na spiralu, koja se sve više približava ishodištu. Kao što vidimo, ako je udaljenost početne točke (x 0, v 0 ) od ishodišta velika, broj prekapčanja optimalnog upravljanja (s vrijednosti 1 na 1, ili obratno) može biti po volji velik. Prirodno je uvesti funkciju povratne veze v : R 2 { 1, 1} definiranu sa (53) { 1 ako je (x 1, x 2 ) iznad krivulje prekapčanja L ili na L + v(x 1, x 2 ) = 1 ako je (x 1, x 2 ) ispod krivulje prekapčanja L ili na L. Na taj način vidimo da optimalno upravljanje možemo definirati s pomoću povratne veze, tj. ne kao funkciju vremena, nego kao funkciju trenutnog položaja u faznoj ravnini: (54) u(t) = v(x 1 (t), x 2 (t)). Sinteza optimalnog upravljanja nam daje ovakav sustav: (55) ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = x 1 (t) + v(x 1 (t), x 2 (t)). Kao i u prethodnom primjeru, desna strana od (55) nije neprekinuta funkcija. Ona ima skok duž krivulje prekapčanja. 4. Linearni sustavi upravljanja Linearni sustav upravljanja opisan je općenito sljedećom diferencijalnom jednadžbom u R n : (56) ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), t [0, t 1 ], gdje je t 1 > 0, x : [0, t 1 ] R n, tj. x = (x 1,..., x n ), A = (a ij ) je matrica tipa n n, B = (b ij ) je matrica tipa n m, a u : [0, t 1 ] R m je po dijelovima neprekinuto upravljanje, s prekidima prve vrste (to znači da je u = (u 1,..., u m ), i svaka komponentna funkcija je po dijelovima neprekinuta, s prekidima prve vrste). Skup upravljanja U u R m neka je zadan kao omeđen, zatvoren poliedar. Da bismo opisali taj pojam, trebamo najprije definirati pojmove hiperravnine i poluprostora u prostoru R m. Neka je a 0 zadani vektor u R m i c zadani realni broj. Hiperravnina u R m je skup svih točaka (točnije, njihovih radij-vektora) u R m za koje vrijedi m a u = c tj. a j u j = c. Hiperravnina u R m ima dimenziju m 1, i dobiva se translacijom (m 1)- dimenzionalnog podprostora određenog jednadžbom a u = 0. Vektor a j=1

23 je okomit na hiperravninu. Vektor normale a na hiperravninu, pokazuje u smjeru najbržeg rasta funkcije u a u, jer je (a u) = a. Naime, kao što je dobro poznato iz Matematike 2, općenito je gradijent f bilo kojeg skalarnog polja f : R m R, izračunat u nekoj točki, jednak vektoru koji iz te točke pokazuje u smjeru najbržeg rasta funkcije f. Hiperravnina dijeli prostor R m na dva dijela, slično kao što 2-dimenzionalna ravnina u R 3 dijeli prostor na dva dijela, tzv. zatvorene poluprostore. Jedan zatvoren poluprostor je onaj prema kojem iz hiperravnine pokazuje vektor a. Taj poluprostor je opisan nejednakošću a u c. Drugi poluprostor je onaj prema kojemu pokazuje vektor a, tj. opisan je nejednakošću a u c. Svaki poluprostor P je konveksan skup: ako su dvije točke u i v u P, onda je i zatvoren segment [u, v] := {(1 t)u + tv : 0 t 1} također sadržan u P. Vektori oblika (1 t)u + tv, gdje je t [0, 1], zovu se konveksne kombinacije vektora u i v. Formalna provjera konveksnosti poluprostora je jednostavna: ako su u i v iz P, tj. a u c i a v c, onda je a ((1 t)u + tv) (1 t)c + tc = c, tj. (1 t)u + tv P. Pod zatvorenim poliedrom u R m razumijevamo skup koji se dobiva kao presjek konačno mnogo zatvorenih poluprostora u R m. Drugim riječima, zatvoren poliedar U opisan je nejednakostima (57) a 1 u c 1,..., a r u c r, gdje su zadani vektori a i R m različiti od nul-vektora, a brojevi c i R, i = 1,..., r, su također zadani unaprijed. Prema ovoj definiciji je sam zatvoren poluprostor ujedno i poliedar. Za m = 2 neki od poliedara su ovi: poluravnina određena pravcem, područje točaka nekog kuta određenog s dva pravca (na pr. prvi kvadrant), trokut (shvaćen kao dvodimenzionalni objekt), kvadrat, pravokutnik, bilo koji konveksni poligon. Za m = 3 to su na pr. bilo koji oktant, kocka, kvadar, tetraedar (četverostran, tj. dobiva se kao presjek četriju poluprostora), oktaedar (osmerostran), itd. Primijetite da su neki poliedri neomeđeni (kao na pr. prvi kvadrant u R 3 ), a neki su omeđeni (kao na pr. kocka ili tetraedar). Svaki brid spaja neka dva vrha poliedra. Pojam vrha poliedra smatramo intuitivno jasnim, iako se i on može strogo definirati. Na pr. prvi kvadrant u ravnini ima jedan vrh, trokut ima tri vrha, tetraedar četiri vrha, a kocka ima 8 vrhova. Kvadar U u R m definira se kao skup svih točaka u = (u 1,..., u m ) tako da vrijedi: α i u i β i, i = 1,..., m tj. kao presjek 2m poluprostora. 23

24 24 ALJOŠA DUDARIN, ZORAN VRHOVSKI I DARKO ŽUBRINIĆ Definicija 4.1. Za skup upravljanja uzimat ćemo omeđeni, zatvoreni poliedar U u R m. Neka su x 0 i x 1 zadani vektori iz R n. Dopustivim upravljanjima zovemo po dijelovima neprekinutu funkciju u : [0, t 1 ] U R m s prekidima prve vrste, gdje je t 1 > 0, tako da za pripadno rješenje x(t) od (56) vrijedi x(0) = x 0 i x(t 1 ) = x 1. Dopustivo upravljanje u zovemo optimalnim upravljanjem vremenom ako je vrijeme t 1 > 0, potrebno da se x 0 prevede u x 1, minimalno. U daljnjem će za pitanja egzistencije i jednoznačnosti optimalnog upravljanja biti važan jedan tehnički uvjet na skup upravljanja U. U sljedećoj definiciji trebat će nam pojam brida poliedra. Na pr. trokut ima tri brida, kocka ima dvanaest bridova, a tetraedar šest. Grubo bi se brid poliedra mogao definirati kao jednodimenzionalna strana ruba poliedra. Ovaj intuitivan opis će za nas biti dovoljan. Definicija 4.2. Za omeđen, zatvoren poliedar U u R m kažemo da ispunjava uvjet općeg položaja u odnosu na sustav upravljanja (56), ako za jedinični vektor smjera w bilo kojeg brida poliedra vrijedi da su vektori (58) Bw, ABw,..., A n 1 Bw linearno nezavisni, tj. rang(bw, ABw,..., A n 1 Bw) = n. Drugim riječima, vektor Bw R n nije sadržan niti u kojem pravom invarijantnom podprostoru V matrice A (V je po definiciji invarijantan podprostor od A : R n R n ako je A(V ) V ; ako je još k tome podprostor V netrivijalan, tj. V {0} i V R n, onda kažemo da je V pravi invarijantan podprostor od A). Primijetite da radi Hamilton-Cayleyeva teorema, 3 vrijedi A n L(I, A,..., A n 1 ) (tj. matrica A n je linearna kombinacija matrica I, A,..., A n 1 ), pa onda i induktivno za svaki k n vrijedi A k L(I, A,..., A n 1 ). To je razlog zašto je u prethodnoj definiciji dovoljno gledati samo potencije matrice A do reda n 1. Primjer 4.3. U sustavu upravljanja ẋ 1 (t) = x 2 (t), ẋ 2 (t) = u(t), i u : [0, t 1 ] ( U = [ 1, ) 1], jedinični ( vektor brida w od U = [ 1, 1] jednak je 1, te A = 0 1 0, B =. Uvjet općeg položaja je ispunjen, jer je ovdje 0 0 1) ( ( 0 1 Bw = B =, ABw = AB =. 1) 0) Primjer 4.4. Pretpostavimo da je u R n zadan linearni sustav upravljanja ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), gdje je u : [0, t 1 ] U = [ 1, 1], tako da je m = 1, dakle B matrica tipa n 1, tj. vektor stupac B = (b 1,..., b n ). Budući da je w = 1, uvjet općeg položaja glasi ovako: rang(b, AB,..., A n 1 B) = n, 3 Hamilton Cayleyev teorem kaže da za svaku kvadratnu matricu A vrijedi k(a) = 0, gdje je k(λ) := det(λi A) karakteristični polinom matrice A.

25 25 tj. vektori stupci B, AB,..., A n 1 B su linearno nezavisni u R n. Da bismo na najprikladniji način formulirali Pontrjaginov princip maksimuma za linearni sustav upravljanja (58), primijetimo da je H(ψ, x, u) = (ψ Ax + Bu) = (ψ Ax) + (ψ Bu) = (A ψ x) + (ψ Bu). Za vektorsku funkciju ψ : [0, t 1 ] R n vrijedi (59) ψ(t) = x (A ψ(t) x(t)) = A ψ(t). Prema Pontrjaginovu principu maksimuma, ako postoji optimalno upravljanje u(t), onda vrijedi (60) (ψ(t) Bu(t)) = max(ψ(t) Bu), u U pri čemu je ψ(t) 0 za sve t [0, t 1 ]. Budući da se u (59) radi o linearnoj diferencijalnoj jednadžbi po ψ(t), slijedi da je funkcija ψ(t) analitička, 4 posebno, ima derivaciju svakog reda. Ta će nam činjenica trebati u skici dokaza sljedećeg teorema. Teorem 4.5 (La Salle, Bang-bang princip). Neka je U omeđen, zatvoren poliedar u R m koji ispunjava uvjet općeg položaja; vidi Definiciju 4.2. Svako optimalno upravljanje u : [0, t 1 ] U linearnog sustava (58), ako postoji, je po dijelovima konstantno, s vrijednostim u vrhovima poliedra U. Skica dokaza. Pretpostavimo da je u : [0, t 1 ] U optimalno upravljanje vremenom. Prema Pontrjaginovu principu maksimuma, vidi Teorem 3, postoji netrivijalna (tj. 0) funkcija ψ(t) takva da je (61) ψ(t) = A ψ(t) i vrijedi (60). Za učvršćen vektor ψ(t) (tj. fiksiran t) linearni funkcional (62) R m u (ψ(t) Bu ) = (B ψ(t) u ) promatran na zatvorenom, omeđenom, konveksnom skupu U, dostiže maksimum na njegovu rubu. Primijetite da skup U ne samo konveksan, nego i poliedar. Dokažimo da je taj maksimum dostignut na nekom bridu od U za najviše konačno mnogo t-ova. Pretpostavimo suprotno, da se taj maksimum na nekom bridu s vektorom smjera w dostiže za beskonačno mnogo t-ova iz intervala [0, t 1 ]. Budući da je na bridu s vrhovima u 1 i u 2 vrijednost funkcije (62) konstantna, onda iz (ψ(t) Bu 1 ) = (ψ(t) Bu 2 ) slijedi (ψ(t) B(u 2 u 1 )) = 0, tj. (ψ(t) B u 2 u 1 u 2 u 1 ) = 0, tj. (63) (ψ(t) Bw) = 0. 4 Točnije, njene komponenete ψ1(t),..., ψ n(t) su analitičke.

26 26 ALJOŠA DUDARIN, ZORAN VRHOVSKI I DARKO ŽUBRINIĆ Budući da ψ(t) ima derivaciju svakog reda (štoviše, analitička je funkcija), deriviranjem gornje jednakosti po t dobivamo ( ψ(t) Bw) = 0, tj. (A ψ(t) Bw) = 0, tj.: (ψ(t) ABw) = 0 Nastavljajući uzastopnim deriviranjem, dolazimo na sličan način do (64) (ψ(t) A 2 Bw) = 0,..., (ψ(t) A n 1 Bw) = 0. Prema tome je vektor ψ(t) okomit na podprostor od R n razapet vektorima Bw, ABw,..., A n 1 Bw, tj. (65) ψ(t) L(Bw, ABw,..., A n 1 Bw). Međutim, budući da je radi uvjeta ranga taj podprostor n-dimenzionalan, on je jednak cijelom R n, pa je ψ(t) R n, tj. ψ(t) = 0. To je međutim u protuslovlju s Pontrjaginovim teoremom. Uklonivši iz intervala [0, t 1 ] uniju K svih takvih konačnih skupova t-ova po svim bridovima w poliedra U, dolazimo do konačno mnogo intervala J 1,...,J r, takvih da je [0, t 1 ] \ K = J 1 J r. Na svakom od intervala J i funkcija (ψ(t) Bu(t)) = max u U (ψ(t) Bu) jednaka (ψ(t) Be i ), gdje je e i neki od vrhova poliedra U. Prema tome, možemo uzeti u(t) = e i za t J i. Sljedeće rezultate o svojstvima optimalnih upravljanja linearnih sustava navodimo bez dokaza. Definicija 4.6. Točke prekida po dijelovima konstantnog upravljanja u : [0, t 1 ] U R m, s vrijednostima u vrhovima omeđenog, zatvorenog poliedra U, zovemo točkama prekapčanja upravljanja u. Teorem 4.7 (Feldbaum, broj točaka prekapčanja optimalnog upravljanja). Neka je U kvadar u R m zadan nejednakostima α i u i β i, i = 1,..., m, tako da je ispunjen uvjet općeg položaja za U. Neka matrica A ima samo realne vlastite vrijednosti. Onda je optimalno upravljanje u : [0, t 1 ] U po dijelovima neprekinuto s vrijednostima u vrhovima skupa U (tj. u i (t) {α 1, β i } za sve t i sve indekse i), te ima najviše n 1 točaka prekapčanja. Primjer 4.8. U slučaju linearnog sustava ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = u(t), matrica A pridružena tom sustavu ima realne vlastite vrijednosti (obje su jednake 0), a skup U = [ 1, 1] može se shvatiti kao jednodimenzionalni kvadar. U tom je slučaju n = 2, pa optimalno upravljanje ima najviše 2 1 = 1 točaka prekapčanja, kao što smo već vidjeli. S druge strane, matrica A sustava ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + u(t), ima vlastite vrijednosti {i, i}, gdje je i = 1 imaginarna jedinica. Drugim riječima, matrica sustava nema obje vlastite vrijednosti realne, pa Feldbaumov teorem nije primijenjiv. Štoviše, vidjeli smo da zaključak tog teorema u tom slučaju ne vrijedi, jer optimalna upravljanja mogu imati po volji velik broj točaka

27 prekapčanja, uz uvjet da je početni položaj (x 0, v 0 ) dovoljno daleko od ishodišta. To pokazuje da je u Teoremu 4.7 uvjet da matrica A ima samo realne vlastite vrijednosti bitan. Teorem 4.9 (Jednoznačnost optimalnog upravljanja). Neka je zadan linearni sustav upravljanja (56). Pretpostavimo da je skup upravljanja U omeđen, zatvoren poliedar koji ispunjava uvjet općeg položaja. Onda je optimalno upravljanje (ako postoji) koje prevodi zadanu početnu točku x 0 u zadanu krajnju točku x 1 (u smislu minimalnog vremena), određeno jednoznačno. Definicija Neka je zadan linearni sustav upravljanja u R n sa ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), gdje u : [0, t 1 ] U R m, t 1 > 0, po dijelovima neprekinuto preslikavanja s prekidima prve vrste. Za zadani x 0 R n definiramo dostiživi skup R(x 0 ) (engl. reachable set) kao skup svih stanja x 1 R n do kojih se iz x 0 može doći uporabom nekog dopustivnog upravljanja u(t): R(x 0 ) = {x 1 R n : t 1 > 0 u : [0, t 1 ] U x(0) = x 0, x(t 1 ) = x 1 }. Pritom je x = x(t) trajektorija generirana upravljanjem u = u(t). U slučaju kada je U = R m, tj. kada nemamo nikakve uvjete na vrijednosti od u(t), dostiživ skup R(0) svih stanja do kojih se može stići iz stanja 0 R n je vektorski prostor. Štoviše, moguće je izračunati i dimenziju tog prostora. Teorem 4.11 (Kalman). Ako je U = R m, onda je R(0) vektorski podprostor od R m dimenzije (66) dim R(0) = rang[b, AB,..., A n 1 B]. Podsjetimo se, rang matrice je najveći mogući broj njenih linearno nezavisnih redaka (ili što je isto, najveći mogući broj njenih linearno nezavisnh stupaca). Sličnu smo matricu već sreli u uvjetu općeg položaja za U u Definiciji 4.2. Ako postoji neko upravljanje u : [0, t 1 ] U R m koje prevodi vektor x 0 u x 1, to još ne znači da postoji i optimalno upravljanje. Ako međutim poliedar U ispunjava uvjet općeg položaja, taj zaključak vrijedi. Pogledajmo odgovarajući rezultat o egzistenciji optimalnih upravljanja. Teorem Neka je U omeđen, zatvoren poliedar u R m, koji ispunjava uvjet općeg položaja. Ako postoji neko dopustivo upravljanje koje prevodi vektor x 0 u x 1, onda postoji i optimalno upravljanje koje prevodi x 0 u x 1. U sljedećem primjeru gledamo linearni sustav s dva parametra upravljanja u 1 (t) i u 2 (t), tj. s vektorom upravljanja u = (u 1, u 2 ). Primjer Promatrajmo linearni sustav u ravnini R 2, s upravljanjem u = (u 1, u 2 ) : R U = [ 1, 1] [ 1, 1] = [ 1, 1] 2 : (67) ẋ 1 (t) = x 2 (t) + u 1 (t) ẋ 2 (t) = x 1 (t) + u 2 (t). Kao i prije, cilj je za bilo koju zadanu točku (x 0, v 0 ) u faznoj ravnini, pronaći odgovarajuće optimalno upravljanje t (u 1 (t), u 2 (t)) kojim će ona 27

28 28 ALJOŠA DUDARIN, ZORAN VRHOVSKI I DARKO ŽUBRINIĆ Slika 9. Linearni sustav (67) s dva upravljanja i s dvije linije prekapčanja, duž x 1 -osi i x 2 -osi. Križićima su označene četiri točke s koordinatama (1, ±1) i ( 1, ±1). To su središta odgovarajućih dijelova kružnih trajektorija. Točnije, središtima u I., II., III. i IV. kvadrantu odgovaraju kružne trajektorije (u bitnom) u IV., I., II. i III. kvadrantu. biti prevedena u (0, 0) za najkraće vrijeme. Ovo je linearni sustav oblika ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), gdje je x = (x 1, x 2 ), u = (u 1, u 2 ), i ( ) ( ) A =, B = Optimalna upravljanja poprimaju vrijednosti u vrhovima kvadrata U = [ 1, 1] 2, tj. s vrijednostim optimalnih upravljanja (u 1, u 2 ) jednakim (1, 1), ili (1, 1), ili ( 1, 1), ili ( 1, 1). Primjenom Pontrjaginova principa maksimuma dobiva se sinteza optimalnog upravljanja prikazana na slici na str. 28. Primijetimo da kvadrat U ispunjava uvjet općeg položaja, jer su za svaki brid w skupa U (i što više, za svaki w 0) vektori Bw = w, ABw = Aw, međusobno okomiti (primijetite da je A matrica rotacije ravnine za kut od π/2 oko ishodišta), dakle i linearno nezavisni. Iz sinteze optimalnog upravljanja opisanog slikom, vidimo da možemo pisati u 1 (t) = v 1 (x 1 (t), x 2 (t)) i

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum 16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1 Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

Prikaz sustava u prostoru stanja

Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi

Διαβάστε περισσότερα

1 Obične diferencijalne jednadžbe

1 Obične diferencijalne jednadžbe 1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n : 4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima. M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (

Διαβάστε περισσότερα

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),

Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ), Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i

Διαβάστε περισσότερα

Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda

Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 13 Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda U ovoj lekciji vježbamo rješavanje jedne klase običnih

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler

Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:

Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se: 4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Linearno programiranje Ivana Kuzmanović, Kristian Sabo Radni materijal za predavanja

Linearno programiranje Ivana Kuzmanović, Kristian Sabo Radni materijal za predavanja Linearno programiranje Ivana Kuzmanović, Kristian Sabo Radni materijal za predavanja 1 Problem linearnog programiranja Linearno programiranje optimizacijska je metoda kojom se odreduje optimalna vrijednost

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα