«Μαθηματικά και φύση» Εργασία στο μάθημα «Επίλυση προβλήματος στα Μαθηματικά» Υπεύθυνη καθηγήτρια «Κολέζα Ευγενία» Καρακούση Ελένη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "«Μαθηματικά και φύση» Εργασία στο μάθημα «Επίλυση προβλήματος στα Μαθηματικά» Υπεύθυνη καθηγήτρια «Κολέζα Ευγενία» Καρακούση Ελένη"

Transcript

1 «Μαθηματικά και φύση» Εργασία στο μάθημα «Επίλυση προβλήματος στα Μαθηματικά» Υπεύθυνη καθηγήτρια «Κολέζα Ευγενία» Καρακούση Ελένη Πανεπιστήμιο Πατρών Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Πάτρα

2 Τα μαθηματικά της φύσης Ο χρυσός αριθμός Τι κοινό έχουν οι μέλισσες, το ανθρώπινο σώμα και τα πέταλα ενός λουλουδιού; Υπόκεινται όλα στο κανόνα της φύσης που ονομάζεται χρυσή τομή. Παρουσιάζεται και στα τρία ο χρυσός αριθμός φ, 1,6. τι είναι όμως ο αριθμός φ; Το 1202 ο Λεονάρντο Μπονάτσα προσπάθησε να υπολογίσει την ταχύτητα αναπαραγωγής των κουνελιών στη Γη σε ιδανικές συνθήκες. Ας υποθέσουμε, έλεγε, ότι έχουμε ένα μοναδικό ζευγάρι, το οποίο αρχίζει να αναπαράγεται από τον πρώτο κιόλας μήνα και μετά από κάθε μήνα κύησης γεννά ένα ακόμη ζεύγος. Και ότι κάθε νέο ζεύγος γίνεται γόνιμο σε δύο μήνες μετά τη γέννησή του και αρχίζει να αναπαράγεται με τον ίδιο ρυθμό. Πόσα ζευγάρια κουνελιών θα έχουμε στο τέλος του πρώτου χρόνου; Στο τέλος του πρώτου μήνα το αρχικό ζευγάρι είναι έτοιμο να τεκνοποιήσει, αλλά υπάρχει μόνο αυτό. Στο τέλος του δεύτερου μήνα έχουμε το αρχικό ζευγάρι και το πρώτο ζευγάρι παιδιών του. Στο τέλος του τρίτου μήνα έχουμε το αρχικό ζευγάρι, το πρώτο ζευγάρι παιδιών του, που είναι έτοιμα κι αυτά να τεκνοποιήσουν, και ένα δεύτερο ζεύγος παιδιών του. Στο τέλος του τέταρτου μήνα έχουμε το αρχικό ζευγάρι και το τρίτο ζεύγος παιδιών του, το πρώτο ζεύγος παιδιών και το πρώτο δικό τους ζεύγος παιδιών, καθώς και το δεύτερο ζεύγος παιδιών, που είναι έτοιμο να τεκνοποιήσει. Πιο συγκεκριμένα, η ακολουθία των ζευγαριών κουνελιών είναι: 1, 1, 2, 3, 5. Μπορείτε να εντοπίσετε το μοτίβο που κρύβεται πίσω από αυτή την αλληλουχία; Αν την επεκτείνουμε λίγο ακόμα, τα πράγματα αρχίζουν να ξεκαθαρίζουν: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, Δηλαδή, για να δημιουργήσουμε τη λεγόμενη ακολουθία Φιμπονάτσι (γνωστή και ως «αριθμοί Φιμπονάτσι»), αρκεί να προσθέσουμε τα δύο προηγούμενα νούμερα για να έχουμε το αμέσως επόμενο. Όμως, τι σχέση έχει αυτή η ακολουθία με το χρυσό αριθμό. Το πηλίκο της διαίρεσης κάθε νούμερου της ακολουθίας με το προηγούμενο του πλησιάζει το χρυσό αριθμό. Όσο προχωρεί η ακολουθία, το πηλίκο προσεγγίζει ολοένα και περισσότερο το χρυσό αριθμό. Που αλλού εμφανίζεται o χρυσός αριθμός; Σε ένα μελίσσι! Η μέλισσα γεννιέται από ένα μη γονιμοποιημένο αβγό της βασίλισσας, δηλαδή έχει μητέρα αλλά όχι και πατέρα. Αντιθέτως, τόσο η βασίλισσα (η μοναδική που μπορεί να κάνει αβγά) όσο και οι εργάτριες γεννιούνται από αβγά που έχουν γονιμοποιηθεί από αρσενικό. Αυτές, λοιπόν, έχουν και πατέρα και μητέρα. Επομένως, το γενεαλογικό δέντρο του κηφήνα διαμορφώνεται ως εξής: έχει 1 μητέρα, 2 παππούδες (αρσενικό και θηλυκό), 3 προπαππούδες (δύο από την οικογένεια της γιαγιάς και μία του παππού), 5 προ- προπαππούδες, 8 προ- προ- προπαππούδες και ούτω καθεξής. Το γενεαλογικό δέντρο του κηφήνα είναι μια ακολουθία Φιμπονάτσι! Και όχι μόνο αυτό. Το 1966, ο Νταγκ Γιανέγκα, από το Μουσείο Έρευνας στην Εντομολογία του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνιας, ανακάλυψε ότι η αναλογία που υφίσταται ανάμεσα σε εργάτριες μέλισσες και κηφήνες σε ένα μελίσσι προσεγγίζει το χρυσό αριθμό. 2

3 Στο ανθρώπινο σώμα! Το ανθρώπινο σώμα έχει δομηθεί και αναπτύσσεται σε ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Φ. Η απόσταση ζωτικών οργάνων (π.χ. εγκέφαλος- καρδιά, στομάχι, γεννητικά όργανα κ.λπ.) εμπεριέχει αναλογίες Φ. Δεν είναι τυχαίο ότι πολλές "ανατολίτικες θρησκείες" και κινήματα στα πλαίσια της διδασκαλίας τους για ΔΙΑΛΟΓΙΣΜΟ και "αυτοσυγκέντρωση" και σε εκείνες τις προσπάθειες για διαλογισμό ή στο λεγόμενο "γιόγκα" η στάση του Ανθρώπινου σώματος (η οκλαδόν) γίνεται κατά αυτό τον τρόπο έτσι ώστε τα "κεντρικά - κομβικά" σημεία του σώματος να βρίσκονται σε μία αναλογία μεταξύ τους ΧΡΥΣΗ, σε αναλογίες Φ(το Φ υψωμένο σε δυνάμεις 2,3,4 και το αντίστροφο 1/Φ υψωμένο σε δυνάμεις 2,3,4). Εξάλλου είναι γνωστό ότι οι περισσότεροι Πλαστικοί χειρούργοι στις επεμβάσεις τους χρησιμοποιούν τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ και επιδιώκουν να επιτύχουν αναλογίες βασισμένες στο θεώρημα της Χρυσής τομής και τον Χρυσό αριθμό Φ. Ένα ακόμη ενδιαφέρον στοιχείo είναι ότι στο ανθρώπινο σώμα, το κέντρο είναι ο ομφαλός. Επομένως, αν ένας άντρας ξαπλώσει με το πρόσωπο προς τα πάνω, τα χέρια και τα πόδια του αναπτυγμένα, και σχεδιάσουμε έναν κύκλο με κέντρο τον ομφαλό, τα δάχτυλα των χεριών και των ποδιών θα αγγίξουν την περιφέρεια του κύκλου. Μπορούμε επίσης να περικλείσουμε το σώμα με ένα ορθογώνιο σχήμα. Αν διαιρέσουμε τη μια πλευρά του ορθογωνίου (το ύψος του ανθρώπου) με την ακτίνα του κύκλου (την απόσταση από τον ομφαλό μέχρι την άκρη των δαχτύλων), θα έχουμε το χρυσό αριθμό. Σ αυτό το συμπέρασμα κατέληξε ο Leonardo da Vinci τo 1490 σχεδιάζοντας τον βιτρούβιο άνθρωπο ο όποιος έγινε ως μελέτη των αναλογιών του (ανδρικού) ανθρώπινου σώματος όπως περιγράφεται σε μια πραγματεία του Ρωμαίου αρχιτέκτονα Βιτρούβιου. 3

4 Στα λουλούδια! Το συγκεκριμένο λουλούδι έχει 8 έλικες προς την κατεύθυνση της φοράς του ρολογιού και 13 προς την αντίστροφη. Το 8 και το 13 είναι δύο διαδοχικοί αριθμοί στην ακολουθία Fibonacci. Σ αυτό το λουλούδι παρατηρούμε ότι σχηματίζονται σπείρες από δεξιά και αριστερά. Στην άκρη υπάρχουν 55 σπείρες από δεξιά προς τα έξω και στο κέντρο 34. Αν πάρουμε κατά ζεύγη τις σπείρες είναι ανάλογες με την ακολουθία Fibonacci. Τα φύλλα, τα πέταλα και οι σπόροι οργανώνονται στα φυτά ακολουθώντας ένα συγκεκριμένο μοτίβο γιατί έτσι, καθώς αναπτύσσονται, αξιοποιούν με τον καλύτερο 4

5 δυνατό τρόπο το διαθέσιμο χώρο. Αν κατανεμηθούν τα φύλλα στο μίσχο σύμφωνα με το χρυσό αριθμό, όλα θα επωφελούνται στο μέγιστο βαθμό από το φως του ήλιου, χωρίς να κρύβει το ένα το άλλο. Τα λουλούδια, χάρη στο χρυσό αριθμό, προσελκύουν όσο το δυνατόν καλύτερα τα έντομα που μεταφέρουν τη γύρη Στο DNA! Ο λόγος του μήκους της μεγάλης ράβδωσης ως προς την μικρή είναι ο αριθμός Φ. Αριθμός π Τι είναι; Η μαθηματική σταθερά π είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του στην Ευκλείδεια γεωμετρία, και ο οποίος χρησιμοποιείται πολύ συχνά στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανολογία. Ο συμβολισμός προέρχεται από το αρχικό γράμμα «π» (πι) της λέξης «περιφέρεια», και έχει καθιερωθεί διεθνώς, ενώ στο λατινικό αλφάβητο συμβολίζεται ως Pi, όταν δεν είναι διαθέσιμοι τυπογραφικά ελληνικοί χαρακτήρες. Το π είναι γνωστό επίσης ως σταθερά του Αρχιμήδη (δεν πρέπει να συγχέεται με τον αριθμό του Αρχιμήδη) ή αριθμός του Λούντολφ. Στην Ευκλείδια επιπεδομετρία, το π μπορεί να οριστεί είτε ως ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του, είτε ως ο λόγος του εμβαδού ενός κύκλου προς το εμβαδόν του τετραγώνου που έχει πλευρά ίση με την ακτίνα του κύκλου. Τα εγχειρίδια ανώτερων μαθηματικών ορίζουν το π αναλυτικά χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις, για παράδειγμα ως το μικρότερο θετικό x για το οποίο ισχύει ημ(x) = 0, ή ως δύο φορές το μικρότερο θετικό x για το οποίο ισχύει συν(x) = 0. Όλοι αυτοί οι ορισμοί είναι ισοδύναμοι. 5

6 Που υπάρχει στη φύση; Στα ποτάμια! Πριν από μερικά χρόνια, ο Χανς Χένρικ Στέλουμ, καθηγητής γεωλογίας στο Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ, υποστήριξε ότι κάθε ποτάμι «κρύβει» τον αριθμό 3,14 τον περίφημο λόγο π που προκύπτει αν διαιρέσουμε την περίμετρο ενός κύκλου με τη διάμετρό του. Για να καταλήξει σε αυτό το συμπέρασμα, ο Στέλουμ διαίρεσε το συνολικό μήκος δεκάδων ποταμών με την απόσταση που χωρίζει (σε ευθεία γραμμή) την πηγή με τις εκβολές τους. Ο λόγος αυτός ήταν σχεδόν πάντα λίγο μεγαλύτερος από τρία και τις περισσότερες φορές προσέγγιζε τον «μαγικό» αριθμό 3,14. Σύμφωνα τώρα με τον Einstein, κάθε ποτάμι έχει από τη φύση του την τάση να αποκτά ολοένα και πιο σπειροειδές σχήμα. Το φαινόμενο αυτό, όπως εξηγούσε ο ίδιος ο Αϊνστάιν, οφείλεται στο γεγονός ότι κάθε καμπή που συναντά αναγκάζει συγκεκριμένες ποσότητες νερού (από το εξωτερικό τμήμα) να κινηθούν γρηγορότερα. Αν, για παράδειγμα, η μορφολογία του εδάφους οδηγεί τη ροή του νερού προς τα αριστερά, ο όγκος νερού που βρίσκεται πιο δεξιά πρέπει να κινηθεί ταχύτερα, καθώς έχει να καλύψει μεγαλύτερη απόσταση. Όσο ταχύτερα κινείται όμως το νερό τόσο μεγαλύτερη είναι η διάβρωση του εδάφους και τόσο περισσότερο αυξάνει η καμπή του ποταμού. Η καμπή λοιπόν αυξάνει την ταχύτητα και η ταχύτητα την καμπή, με αποτέλεσμα το ποτάμι να αποκτά συνεχώς περισσότερες και μεγαλύτερες σπείρες. Η φύση φαίνεται να οδεύει αναπόδραστα προς ολοένα και πιο σύνθετες και, κατ επέκταση, χαοτικές καταστάσεις. Συμμετρία Συμμετρία ονομάζεται η ιδιότητα μερικών γεωμετρικών σχημάτων στα οποία σε κάθε σημείο τους υπάρχει αντίστοιχο σημείο που ανήκει στο σχήμα και το μέσο αυτού του ευθύγραμμου τμήματος να ανήκει σε ένα στοιχειώδες γεωμετρικό σχήμα. δηλαδή ένα σημείο, μια ευθεία, ή ένα επίπεδο. Στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο υπάρχουν τρία είδη συμμετρίας: Αξονική συμμετρία σε αυγό. 6

7 Σφαιρική συμμετρία ή σημειακή συμμετρία ως προς το σημείο Ο: Για κάθε σημείο Α του σχήματος, στο σχήμα ανήκει και το σημείο Β, το οποίο ανήκει στο προεκτεταμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΟ έτσι, ώστε ΑΟ=ΟΒ. Αξονική συμμετρία ως προς τον άξονα ε: Για κάθε σημείο Α του σχήματος, στο σχήμα ανήκει και το σημείο Β που βρίσκεται σε τέτοιο σημείο, ώστε να απέχει από την ευθεία ε απόσταση ίδια με το Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ να τέμνεται από την ευθεία ε. Κατοπτρική συμμετρία ως προς επίπεδο Π: Για κάθε σημείο Α του σχήματος, στο σχήμα ανήκει και το σημείο Β που βρίσκεται σε τέτοιο σημείο, ώστε να απέχει από το επίπεδο Π απόσταση ίδια με το Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ να τέμνεται κάθετα από το επίπεδο Π. Η κατοπτρική συμμετρία εμφανίζεται στους καθρέφτες. Η συμμετρία ελκύει εξίσου καλλιτέχνες και επιστήμονες. Είναι στενά συνδεδεμένη με μια έμφυτη στον άνθρωπο αντίληψη του μορφώματος. Είναι απολύτως ενσωματωμένη σε πολλά από τα βαθύτερα μορφώματα της φύσης και στη σύγχρονη εποχή είναι θεμελιώδης για την επιστημονική κατανόηση του σύμπαντος. Οι αρχές διατήρησης, όπως της ενέργειας ή της ορμής, εκφράζουν μια συμμετρία την οποία (πιστεύουμε) κατέχει ολόκληρο το συνεχές του χωροχρόνου: οι νομοί της φυσικής είναι οι ίδιοι παντού. Η κβαντομηχανική των στοιχειωδών σωματιδίων, ένας τρελός κόσμος στον όποιο ένα πρωτόνιο μπορεί να πάρει τη θέση ενός νετρονίου, και του όποιου και του όποιου οι νομοί πρέπει να αντανακλούν αυτή τη πιθανότητα, διατυπώνεται με τη μαθηματική γλωσσά των συμμετριών. Οι συμμετρίες των κρυστάλλων, όχι μόνο ταξινομούν τα σχήματα τους, αλλά και καθορίζουν πολλές από τις ιδιότητες τους. Η συμμετρία έπαιζε καθοριστικό ρόλο στην πυθαγόρεια θεωρία των αριθμών και στις μουσικές τους κλίμακες. Για τους Πυθαγόρειους, όλοι οι αριθμοί έπρεπε να είναι ρητοί, δηλαδή, είτε ακέραιοι είτε κλάσματα, μια και τα τελευταία μπορούν να γραφτούν στη «συμμετρική» μορφή των περιοδικών, δεκαδικών αριθμών (π.χ. το 2/3 γράφεται 0,6666 ). Η ειρωνεία της τύχης ήταν ότι έλαχε στους ίδιους τους Πυθαγόρειους να ανακαλύψουν τους άρρητους αριθμούς (δηλαδή, εκείνους που δεν μπορούν να εκφραστούν ως περιοδικοί αριθμοί, π.χ. η τετραγωνική ρίζα του δύο), κάτι που κατέστρεψε τη συμμετρία στο αριθμητικό τους Σύμπαν. Αυτή η εμμονή με τη συμμετρία εξηγείται εύκολα ως απλή αντανάκλαση, στη φαντασία των ανθρώπων, συμμετριών που προϋπάρχουν στη Φύση - από τα φύλλα των φυτών και τα κουκουνάρια των δέντρων, μέχρι τις πεταλούδες και τους αστερίες. Σχεδόν όλοι οι πολυκύτταροι οργανισμοί, με αξιοσημείωτη εξαίρεση τους σπόγγους, εμφανίζουν τη μια ή την άλλη συμμετρία. Αλλά γιατί αγαπάει τόσο τη συμμετρία η Φύση; Η απάντηση δεν είναι αυτονόητη. Το βέβαιο είναι ότι κάθε συμμετρία σχετίζεται με το αναλλοίωτο κάποιας φυσικής ιδιότητας. Η μεταφορική συμμετρία σχετίζεται με τη διατήρηση της ορμής (γινόμενο μάζας επί ταχύτητα), η περιστροφική με τη διατήρηση ενός άλλου φυσικού 7

8 μεγέθους, της στροφορμής και η συμμετρία ανάμεσα στο παρελθόν και το μέλλον με τη διατήρηση της ενέργειας. Με άλλα λόγια, οι βασικές συμμετρίες σχετίζονται άμεσα με τους πιο θεμελιώδεις «υπερνόμους» της Φύσης. 'Eπειτα, είναι γνωστό ότι η Φύση προτιμά τις καταστάσεις της ελάχιστης δυνατής ενέργειας και αυτές συνδέονται άμεσα με τη συμμετρία κάθε φυσικού συστήματος. Στη Βιολογία, τα συμμετρικά σχήματα μπορεί να είναι αποτέλεσμα φυσικής επιλογής, αφού απαιτούν λιγότερη πληροφορία, επομένως λιγότερο γονιδιακό υλικό, από τα ασύμμετρα για την αναπαραγωγή τους. Αυτό μπορεί να εξηγεί εν μέρει και την ενστικτώδη προτίμησή μας για συμμετρικά πρόσωπα - απλούστατα, ο εγκέφαλός μας διευκολύνεται στην καταγραφή τους. Ας παρατηρήσουμε τώρα ορισμένες περιπτώσεις στη φύση που υπόκεινται σε κανόνες συμμετρίας. Κρύσταλλοι Τα πιο εντυπωσιακά παραδείγματα συμμετρίας στην ανόργανη φύση είναι οι κρύσταλλοι. Στην κρυσταλλική κατάσταση της ύλης τα άτομα ταλαντώνονται γύρω από θέσεις ισορροπίας, οι οποίες σχηματίζουν στο χώρο ένα καθορισμένο κανονικό σχήμα.. Όλες οι κλάσεις κρυστάλλων διαιρούνται σε έξι συστήματα, με βάση το μήκος των αξόνων και τις υπόλοιπες λεπτομέρειες των συμμετριών τους. [Συνολικά υπάρχουν 230 είδη ομάδων συμμετρίας στους κρυστάλλους]. Στη φυσική, ένα σύστημα θεωρείται συμμετρικό εάν παραμένει αμετάβλητο όταν υπόκειται σε διαδικασίες όπως κατοπτρική αντιστροφή, αντιστροφή της διεύθυνσης του χρόνου και μετασχηματισμό του χωροχρόνου. Πολλά φυσικά συστήματα υπακούν σε τέτοιου είδους συμμετρίες, με τις οποίες σχετίζονται οι νόμοι διατήρησης της φυσικής. Η σχέση αυτή έχει μια ιδιαίτερη σημασία στη φυσική των σωματιδίων, όπου συγκεκριμένες συμμετρίες, που λέγονται εσωτερικές, παρατηρούνται. Τέτοιες συμμετρίες υπάρχουν στο χώρο της μαθηματικής σκέψης και στηρίζουν τη διατήρηση τέτοιων ποσοτήτων όπως το φορτίο, η ισότητα, το πλήθος των βαρυόνιων και λεπτόνιων, και η ολικά ασυνήθιστη κατάσταση όταν συγκεκριμένα σωμάτια αντικαθίστανται μεταξύ τους. Στη σύγχρονη θεωρητική φυσική, πάντως, τέτοιες συμμετρίες είναι γνωστές μόνο κατά προσέγγιση, εκτός όμως από τα βαρυόνια και τα λεπτόνια, όπου παραβιάζονται κατά τα πειράματα με αυτά. Όταν οι εσωτερικές συμμετρίες δεν λειτουργούν με τον ίδιο τρόπο, αλλά αντιθέτως μπορούν να διαφέρουν σε κάθε σημείο του χωροχρόνου, αποκαλούνται συμμετρίες gauge. Οι θεωρητικοί φυσικοί ελπίζουν ότι θα καταφέρουν να μειώσουν όλες τις συμμετρίες σε συμμετρίες gauge στην προσπάθεια τους να αναπτύξουν μια μεγάλη ενοποιητική θεωρία (Θεωρία των Πάντων), η οποία θα ενσωματώνει όλες της θεμελιώδεις λειτουργίες και ιδιότητες της ύλης. Αστερίας Ο πιο καταφανής μετασχηματισμός είναι αυτός που κάνει όλα τα πόδια να προσχωρούν κατά ένα βήμα Να στραφούν κατά μια γωνία 72 ο ( το ένα πέμπτο μιας πλήρους περιστροφής). Αν αφήσουμε ένα αστερία πάνω σε ένα τραπέζι και την ώρα 8

9 που έχουμε γυρισμένη την πλάτη κάποιος τον περιστρέψει κατά 72 ο δε θα καταλάβουμε τίποτα. Αν αντί για 72 ο τον περιστρέψουν κατά 45 ο τότε θα παρατηρήσουμε μια αλλαγή στον προσανατολισμό του αστερία. Υπάρχουν ακριβώς πέντε διαφορετικές γωνίες κατά τις οποίες ένας ιδανικός αστερίας μπορεί να περιστραφεί χωρίς η αλλαγή να γίνει αντιληπτή: ο μοίρες, 72 μοίρες, 144 μοίρες, 216 μοίρες και 288 μοίρες- τα ακεραία πολλαπλάσια του ενός πέμπτου μιας πλήρους περιστρέφεις. Ανεπίσημα, θα λέμε ότι ένας αστερίας έχει πενταπλή περιστροφική συμμετρία. Οι περιστροφές πάνω στο επίπεδο δεν έχουν άξονα περιστροφής αλλά ένα συγκεκριμένο σημείο, το κέντρο περιστροφής, το όποιο δε μετακινείται καθόλου. Το κέντρο της περιστροφής είναι το κέντρο της του αστερία. Αυτές οι περιστροφές είναι οι εμφανέστερες συμμετρίες ενός αστερία, αλλά στην πραγματικότητα υπάρχουν κι άλλες, αφού ένας αστερίας μέσα στον καθρέφτη εξακολουθεί να μοιάζει με αστερία. Καθένα από τα μελή του είναι αμφίπλευρα συμμετρικό και ο άξονας συμμετρίας του μέλους διέρχεται από το κέντρο της περιστροφικής συμμετρίας. Έτσι, ο αστερίας έχει αμφίπλευρη συμμετρία. Ο αστερίας έχει πέντε διαφορετικές αμφίπλευρες συμμετρίες, αφού έχει πέντε πόδια και καθένα έχει το δικό του άξονα συμμετρίας. Υπάρχουν πέντε ξεχωριστοί κατοπτρισμοί που αφήνουν έναν αστερία αμετάβλητο οι άξονες των όποιων έχουν διαφορετικό κατά γωνία 72 ο. Ανθρώπινο σώμα Το ανθρώπινο σώμα παρουσιάζει αμφίπλευρη συμμετρία, δηλαδή τη συμμετρία στην οποία παρόμοια ανατομικά μέρη είναι διευθετημένα σε αντίθετες πλευρές ενός ενδιάμεσου άξονα, έτσι ώστε μόνο ένα επίπεδο ή ευθεία να μπορεί να διαιρεί το όλο σε δύο ουσιαστικά ίδια. έχει τα επιμέρους τμήματα του κατανεμημένα ομοιόμορφα γύρω από ένα κάθετο ενδιάμεσο άξονα, έτσι ώστε να χωρίζεται νοητά σε δύο όμοια μισά, που το ένα μπορεί να προκύψει από το άλλο με τη διαδικασία που λέγεται κατοπτρισμός ή ανάκλαση. Fractals Ο όρος "φράκταλ" προέρχεται από το λατινικό fractio (θραύσμα, κομμάτι), λόγω της κλασματικής διάστασής του, και πρωτοχρησιμοποιήθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό Benoit Mandelbrot το Ηδη από τα τέλη της δεκαετίας του 1960, αλλά κυρίως την επόμενη δεκαετία, ο Mandelbrot φρόντισε να προσφέρει έναν αρκετά ευρύ αλλά μαθηματικά ακριβή ορισμό τους καθώς και των ιδιαίτερων ιδιοτήτων τους (αυτοομοιότητα, κλασματική διάσταση, μικρή επιφάνεια φράκταλ αλλά άπειρη σε μήκος περίμετρος). Τα φράκταλ είναι μια γενίκευση των κλασικών γεωμετρικών σχημάτων (τρίγωνα, ορθογώνια, παραλληλόγραμμα, πυραμίδες κ.τ.λ.) σε μη κανονικά και συχνά πολύπλοκα "γεωμετρικά" σχήματα, τα οποία είτε βρίσκονται στη φύση είτε κατασκευάζονται από τον άνθρωπο για διάφορες 9

10 εφαρμογές ή απλώς για την ομορφιά τους. Ετσι, η φρακταλική γεωμετρία μάς επιτρέπει να περιγράφουμε ικανοποιητικά και να απεικονίζουμε πολύπλοκες φυσικές δομές όπως τα φύλλα των δέντρων, τα φτερά των πουλιών, το νεφρό του ανθρώπου, μονοκύτταρους οργανισμούς, πυρήνες κυττάρων αλλά και σύννεφα, ποτάμια, γαλαξίες. Επιπλέον, η βαθύτερη κατανόηση των πολύπλοκων γεωμετρικών ιδιοτήτων και σχέσεων των φράκταλ φαίνεται να αποκαλύπτει κάποιους εγγενείς μηχανισμούς μορφογένεσης στον οργανικό και τον ανόργανο κόσμο. Η φύση,δηλαδη, επέλεξε αυτό τον κλάδο των μαθηματικών για να στηρίξει τις σημαντικότερες αποφάσεις της, όπως είναι το μέγεθος που θα έχει κάθε οργανισμός, η διάρκεια ζωής του κ.ά Αναρωτηθήκατε ποτέ τι θα συμβεί σε ένα μικρό ποντικάκι και έναν ελέφαντα, εάν πέσουν από ύψος ενός χιλιομέτρου; Για τον ελέφαντα, η τραγική κατάληξη είναι δεδομένη, σε αντίθεση με το ποντίκι που θα υποστεί απλώς ένα ισχυρό σοκ και θα απομακρυνθεί τρομαγμένο από την περιοχή. Η παρατήρηση αυτή οδήγησε αρκετούς βιολόγους, φυσικούς και μαθηματικούς στο συμπέρασμα ότι το μέγεθος των ζώων δεν είναι απλώς ζήτημα όγκου, αλλά κατασκευής. Ενας ελέφαντας, δηλαδή, δεν είναι απλώς ενα ποντίκι μεγεθυσμένο κατά φορές, αλλά ένας εντελώς διαφορετικός οργανισμός. Σύμφωνα με ερευνητές, η μαθηματική αυτή ακρίβεια της φύσης δεν οφείλεται σε κάποια υπερφυσική δύναμη, αλλά στην ανάγκη ρύθμισης του μεταβολισμού κάθε οργανισμού ανάλογα (όχι όμως και σε απόλυτη αναλογία) με τη μάζα του. Κάθε οργανισμός χρησιμοποιεί την επιφάνειά του για να αποβάλει την θερμότητα που παράγεται από τον μεταβολισμό. Η επιφάνεια, όμως, αυτή δεν είναι ανάλογη με τη μάζα του. Η επιφάνεια, δηλαδή, αυξάνεται με αναλογικά μικρότερους ρυθμούς απ ότι η μάζα και αυτό γιατί, αν ο ρυθμός μεταβολισμού ήταν απλώς ανάλογος της μάζας, θα παρουσιάζονταν σοβαρότατα προβλήματα. Ένας αρουραίος, για παράδειγμα, αναλογικά με τη μάζα του θα έπρεπε να παράγει 100 φορές περισσότερη ενέργεια από ένα μικροσκοπικό χάμστερ. Η επιφάνειά του όμως είναι μόλις 22 φορές μεγαλύτερη από αυτή του χάμστερ. Το αποτέλεσμα θα ήταν ένας καυτός αρουραίος. Ο μεταβολισμός λοιπόν πρέπει να είναι μικρότερος όσο μεγαλύτερη είναι η μάζα του οργανισμού, για να αποφευχθεί η «υπερθέρμανση». Βάση του μεταβολισμού, όμως, ρυθμίζονται οι χτύποι της καρδιάς και ο μέσος όρος ζωής κάθε οργανισμού. Προχωρώντας ένα ακόμα βήμα και συνδυάζοντας αρχές γεωμετρίας δικτύων και υδροδυναμικής, οι επιστήμονες ανακάλυψαν ότι ο νόμος που διατύπωσαν ισχύει και σε επίπεδο κύτταρων και μιτοχονδρίων. Κατέληξαν έτσι στο συμπέρασμα ότι η σχέση μεταβολισμού και μάζας εξαρτάται από τη δομή του δικτύου διανομής ενέργειας και τροφής που διαθέτει κάθε οργανισμός και το οποίο έχει μορφή fractal. Κύριο χαρακτηριστικό των fractals είναι ότι κάθε τμήμα του, σε οποία κλίμακα και αν το εξετάσουμε, αποτελεί μικρογραφία του συνόλου. Εξετάζοντας τη fractal δομή του δικτύου παραγωγής και διανομής ενέργειας, οι επιστήμονες πιστεύουν ότι σύντομα θα δώσουν απαντήσεις σε μεγάλα ερωτήματα της βιολογίας αλλά ακόμα και της κοινωνιολογίας και τα οποία φορούν την ποικιλομορφία των ειδών και την εξέλιξη οργανισμών. Για όλα αυτά βέβαια απαιτείται η χρήση γεωμετρίας fractal και φυσικά σύγχρονων μαθηματικών. 10

11 Προβλήματα που λύνονται με τη βοήθεια των μαθηματικών Όσο βεβαία και αν η φύση διέπεται από μαθηματικούς κανόνες, η σχέση μαθηματικών και φύσης δεν εξαντλείται εδώ. Τα μαθηματικά έχουν διαχρονικά αποδειχτεί ως πολύτιμος βοηθός επιστήμων στη προσπάθεια τους να αντιμετωπίσουν προβλήματα που προέρχονται από τη φύση. Εξάλλου αν σκεφτούμε την ετυμολογία της λέξης γεωμετρία γίνεται φανερό ότι προέρχεται από τις λέξεις «γη και μετρώ». Την εμπειρική γεωμετρία τη χρησιμοποίησαν οι αιγύπτιοι για να υπολογίζουν τα όρια των χωραφιών τους μετά τις πλημμύρες του Νείλου. Στην Ελλάδα, τώρα, ο Ερατοσθένης ήταν αυτός που μέτρησε τη περιφέρεια της γης. Πως; Γνώριζε αρχικά ότι κατά το θερινό ηλιοστάσιο, ο ήλιος βρίσκεται ακριβώς πάνω Από τη πόλη Συήνη. Θεώρησε ευλόγα ότι οι ακτίνες του ήλιου είναι παράλληλες. Επομένως η γωνία α που σχηματίζεται η άκρη της σκιάς ενός ραβδίου με τη κορυφή του ραβδίου στην Αλεξάνδρεια, που υπέθεσε ότι βρίσκεται στον ίδιο μεσημβρινό κύκλο με τη Συήνη, είναι ίση με την επίκεντρο γωνία που αντιστοιχεί στην απόσταση δυο πόλεων, για την οποία ο Ερατοσθένης γνώριζε ότι είναι 5000 στάδια. Τη γωνία α όμως ο Ερατοσθένης μπορούσε προφανώς να τη μετρήσει και τη βρήκε να είναι περίπου όση με το 1/50 μιας πλήρους περιφέρειας, δηλαδή όση περίπου με γωνία φ= 7 ο 12. επομένως, Εύκολα υπολογίζουμε τότε ότι το μήκος της περιφέρειας της Γης είναι περίπου στάδια. Τη μέθοδο με την οποία ο Ερατοσθένης μέτρησε τη περιφέρεια της γης καθώς και το αποτέλεσμα μας τα διασώζει ο Κλεομήδης (μέσα του 1 ου π.χ. αιώνα). Ο Ήρων, ο Στράβων και ο Θέων της Σμύρνας αναφέρουν ότι ο Ερατοσθένης βρήκε ότι η περιφέρεια της Γης είναι στάδια. 11

12 Ένα ακόμη πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα που λύθηκε με τη βοήθεια των μαθηματικών είναι η δημιουργία του ευπαλίνιου ορύγματος από τον Ευπαλίνο. Ας πάρουμε όμως τα πράγματα από την αρχή. Στο τέλος του 6αι. π.χ την εξουσία στη Σάμο πήρε από τους Αριστοκρατικούς ο Πολυκράτης. Αυτός κυβέρνησε το νησί σαν τύραννος από το π.χ. Κατά τη διάρκεια της τυραννίας του εκτέλεσε μεγάλα έργα όπως το τείχος γύρω από την πόλη της Σάμου (σημερινό Πυθαγόρειο) το μεγάλο λιμενοβραχίονα μήκους 360 μέτρων και βάθους στο άκρο του 36 μέτρων, το ναό της Ήρας διαστάσεων 108,70x52,40 μέτρων με 155 κίονες και το περίφημο υδραγωγείο της πόλης. Οι προδιαγραφές που έβαλε ο Πολυκράτης για το υδραγωγείο ήταν : 1. Να τροφοδοτείται από το νερό της πλούσιας πηγής των Αγιάδων. 2. Να είναι υπόγειο με επισκέψιμα τα τμήματα του αγωγού. 3. Να βράζει νερό σε ορισμένο σημείο εσωτερικό των τειχών και σε στάθμη υψηλότερη της τότε πόλης για την αβίαστη διανομή του. 12

13 Η πηγή όμως βρισκόταν πίσω από το βουνό, το οποίο αποτελούσε με τον όγκο του ανυπέρβλητο εμπόδιο στη ροή του νερού. Έτσι για την ασφαλή, σε περίπτωση πολιορκίας, ροή του νερού έπρεπε να τρυπηθεί το βουνό και να κατασκευασθεί μια σήραγγα στην αρχή και το τέλος της. Η κατασκευή του έργου ανατέθηκε στον αρχιτέκτονα Ευπαλίνο από τα Μέγαρα. Αυτός αφού έκανε τις αναγκαίες τοπογραφικές εργασίες για τον προσδιορισμό της διεύθυνσης και της κλίσης της σήραγγας άρχισε τις εργασίες της διάνοιξης και από τα δύο προκαθορισμένα άκρα της. Τέτοια διάτρηση βουνού δεν είχε επιχειρηθεί ξανά από κανένα πολιτισμό και σε καμιά εποχή πριν από τον Ευπαλίνο. Το τόλμημα ήταν ριψοκίνδυνο γιατί υπήρχε το ενδεχόμενο οι δυο σήραγγες από κακή χάραξη, να μην συναντηθούν ποτέ. Τελικά οι δυο σήραγγες συναντήθηκαν με πολύ μικρή απόκλιση από την ευθεία. Το συνολικό μήκος της διάτρησης είναι 1035 μ. (Κατά τον Ηρόδοτο 7 στάδια = 1294 μ.) Από αυτά τα 615 μ. είναι το μήκος της βόρειας σήραγγας και τα 420 της νότιας. Η απόκλιση από την ευθεία των δυο σηράγγων ήταν μόλις 6 μ. Το πλάτος της σήραγγας είναι περίπου 2,30 μ. και το ύψος 1,90. Στο δάπεδο της σήραγγας υπάρχει αυλάκι μέσα στο οποίο ήταν τοποθετημένοι οι πήλινοι σωλήνες που έφεραν το νερό. Η διάτρηση του βουνού διήρκησε περίπου 6 χρόνια ενώ η εκτέλεση και των άλλων έργων (τάφρος, σωληνώσεις κ.λ.π) πρέπει να ολοκληρώθηκε σε 10 χρόνια περίπου. Το υδραγωγείο του Ευπαλίνου λειτούργησε μέχρι τον 5 αι. μ.χ γύρω στα 1000 χρόνια. Μετά φαίνεται στέρεψε η πηγή του, έπαψε η συντήρησή του και καταχώθηκε από χώματα. Η οριστική του αποκατάσταση του και ο καθαρισμός του από άλλα υλικά έγινε το 1971 από το Γερμανικό αρχαιολογικό Ινστιτούτο. Αν και σήμερα είναι άγνωστη η γεωμετρική διαδικασία που ακολουθήθηκε για τη χάραξη της διάτρησης το ότι το έργο ολοκληρώθηκε μπορούμε να πούμε σήμερα ότι τότε γνώριζαν πολύ περισσότερα από όσα εμείς γνωρίζουμε για τις γνώσεις της εποχής εκείνης. Μας βεβαιώνει ότι ο Ευπαλίνος, γύρω στο 530 π.χ γνώριζε : Το Πυθαγόρειο Θεώρημα Τον υπολογισμό των τετραγωνικών ριζών 13

14 Τέλος, μια ακόμη περίπτωση από τα μαθηματικά συνέβαλαν στην αντιμετώπιση προβλημάτων που γεννά η ιδία η φύση είναι η χρήση μαθηματικών τύπων για να προβλεφτεί ένα τσουνάμι. Πως, όμως, τα μαθηματικά μας βοηθούν να κατανοήσουμε τη συμπεριφορά ενός φυσικού φαινομένου όπως το τσουνάμι; Οι μαθηματικοί συχνά μιλούν για μια εξίσωση που αποδίδει το φαινόμενο. Αυτή η γλώσσα σημαίνει ότι η εξίσωση ορίζει μια σχέση ανάμεσα σε μεταβλητές όπως η ταχύτητα του κύματος ή το μήκος κύματος και φυσικές παράμετροι όπως η βαρύτητα και το βάθος του ωκεανού, αυτή η σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να παραβλεφθεί η μελλοντική συμπεριφορά του ίδιου του κύματος. Για παράδειγμα, η συνηθισμένη προσέγγιση για τη ταχύτητα του κύματος σε ανοιχτό ωκεανό είναι μια φόρμουλα: δηλαδή, η ταχύτητα είναι ανάλογη με τη τετραγωνική ρίζα της δύναμης της βαρύτητας επί το βάθος του ωκεανού. Τέτοιες μετρήσιμες σχέσεις επιτρέπουν στους επιστήμονες να προειδοποιήσουν για τσούξαμε που πλησιάζει με προβλέψεις και για τη ώρα άφιξης και το μέγεθος του κύματος, έτσι ώστε η λιμενικές αρχές να μπορέσουν να καλέσουν για εκκένωση. Αυτή η περιγραφική προσέγγιση γίνεται πιο σύνθετη επειδή το σχήμα του κύματος μπορεί να αλλάξει ως αποτέλεσμα της αλλαγής στο φυσικό περιβάλλον. Ένα τσουνάμι σε ανοιχτό ωκεανό είναι δυσδιάκριτη αλλαγή στην ανύψωση της στάθμης της θάλασσας πάνω από ένα αριθμό μιλίων. Καθώς ένα τσουνάμι προσεγγίζει την ακτή και γίνεται ολοένα και πιο αισθητή η παρουσία του στο πάτο της θάλασσας, αρχίζει να επηρεάζει το σχήμα του κύματος οδηγώντας στην ανάπτυξη ενός τείχους νερού. Υπάρχουν εξισώσεις που περιγράφουν τσουνάμι και είναι εφαρμόσιμες σε διαφορετικές καταστάσεις: ένα είδος εξίσωσης εφαρμόζεται σε τσουνάμι σε ανοιχτό ωκεανό, όπου το βάθος είναι πολύ μεγάλο, αλλά ένα δεύτερο σετ εξισώσεων εφαρμόζεται σε παρεμφερείς καταστάσεις, όπου το σχήμα του κύματος επηρεάζεται από τη δυνατότητα μεταφοράς του νερό σε όλο το κεκλιμένο, πιο ρηχό βυθό της θάλασσας. Ένα πρόσφατο ερευνητικό πρόβλημα εφαρμοσμένων μαθηματικών είναι να αναπτύξουν μια καλή περιγραφή της μετάβασης ανάμεσα στον ανοιχτό ωκεανό και τη παράκτια ζώνη. Πίνακας ορισμών Αυτοομοιώτητα: είναι η ιδιότητα ενός σχήματος να είναι όμοιο με ένα ή περισσότερα τμήματά του. Βαρυόνια: είναι υποατομικά σωματίδια τα οποία δημιουργούνται με συνδυασμούς τριών κουάρκ Λεπτόνια: είναι σωματίδια ύλης,τα οποία δεν μπορούν να μετέχουν σε ισχυρές αλληλεπιδράσεις. Μαζί με τα κουάρκ αποτελούν τους δομικούς λίθους της ύλης. Μεταβολισμός: είναι το αθροιστικό σύνολο των χημικών διεργασιών που γίνονται στα κύτταρα ενός ζωικού ή φυτικού οργανισμού κατά τις οποίες είτε αποθηκεύεται ενέργεια (διαδικασία αναβολισμού), είτε απελευθερώνεται από τα μόρια ενέργεια (περίπτωση καταβολισμού) 14

15 Στροφορμή: είναι ένα φυσικό μέγεθος αλλά και ιδιότητα που χαρακτηρίζει γενικά τα περιστρεφόμενα σώματα. Ως ιδιότητα χαρακτηρίζει την αδράνεια ως προς τη κίνηση ενός σώματος ή συστήματος σωμάτων γύρω από ένα άξονα, που μπορεί να διέρχεται, ή όχι, από το σώμα ή το σύστημα αντίστοιχα. Ως μέγεθος εμφανίζεται στην περιστροφική κίνηση και είναι διανυσματικό μέγεθος που απαιτεί τη γνώση τόσο του μέτρου της όσο και της διεύθυνσης και φοράς της, προκειμένου να γίνει περιγραφή της Βιβλιογραφία Fractals: «Φράκταλ και γεωμετρία του Χάους» συνέντευξη του μαθηματικού Αλέξη Μπακόπουλου. ακολουθία Fibonacci και χρυσή τομή Site της μαθηματικής κοινότητας «O χρυσός αριθμός Φ» αριθμός π el.wikipedia.org/wiki/αριθμός_π συμμετρία el.wikipedia.org/wiki/συμμετρία «Είναι ο θεός γεωμέτρης;» Συγγραφείς: Ian Stewart, Μartin Golubitsky Εκδόσεις: Kωσταράκη, 1992 υδραγωγείο του Ευπαλίνου gym- n- souliou.ser.sch.gr/ergasies/mathimatikoi.htm υπολογισμός περιμέτρου γης: «Αριθμοί, σύνολα, σχήματα : μαθηματικά για τη δασκάλα και τον δάσκαλο» Συγγραφέας: Κώστας Χατζηκυριάκου. Εκδόσεις: σοφία, 2008 Πρόβλεψη τσουνάμι (μετάφραση στα ελληνικά) 15

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΜΣ «ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ» Παραδείγματα Variation Μεταπτυχιακός Φοιτητής:

Διαβάστε περισσότερα

Ο χρυσός αριθμός φ. Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών

Ο χρυσός αριθμός φ. Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών Ο χρυσός αριθμός φ Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Το πρόβλημα της χρυσής τομής, σε απλή διατύπωση είναι το εξής: Να χωριστεί ένα τμήμα ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Όποτε χρησιμοποιείτε το σταυρό ή το κλειδί της εργαλειοθήκης σας για να ξεσφίξετε τα μπουλόνια ενώ αντικαθιστάτε ένα σκασμένο λάστιχο αυτοκινήτου, ολόκληρος ο τροχός αρχίζει να στρέφεται και θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci»

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Μάθημα: Άλγεβρα Υπεύθυνος καθηγητής: κ. Σκοτίδας Τάξη: Β Λυκείου Τμήμα Β2 Ονοματεπώνυμο: Λαμπρινή Μαρίνα Λάππα Σχολικό έτος: 2010 2011 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) Ποιο πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Εκτίμηση και μέτρηση Μ3.6 Εκτιμούν, μετρούν, ταξινομούν και κατασκευάζουν γωνίες (με ή χωρίς τη χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Επιμέλεια: Μιχαηλίσιν Άννα- Μαρία, Τζιώτης Δημήτρης, Τσάτσα Κωνσταντίνα Η συμμετρία στο φυσικό κόσμο Η συμμετρία που κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Γ Γυμνασίου» των Δημητρίου Αργυράκη, Παναγιώτη Βουργάνα, Κωνσταντίνου Μεντή, Σταματούλας Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργη, έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ 2015-16 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΥΧΟΣ Α ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝΟΛΑ (Σελ. 25 42) Η Έννοια του Συνόλου Σχέσεις Συνόλων Πράξεις Συνόλων ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΡΙΘΜΟΙ (Σελ. 46 83)

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μηχανική Στερεού Σώματος. Ροπή Δυνάμεων & Ισορροπία Στερεού Σώματος. Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μηχανική Στερεού Σώματος. Ροπή Δυνάμεων & Ισορροπία Στερεού Σώματος. Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μηχανική Στερεού Σώματος Ροπή Δυνάμεων & Ισορροπία Στερεού Σώματος Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός Εισαγωγή Στην Α Λυκείου είχαμε μελετήσει τη δύναμη προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i Κέντρο μάζας Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας Η θέση κέντρου μάζας ορίζεται ως r r i i αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας i και θέσης r i. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωμετρία της ζωής. Ερευνητική εργασία Α Λυκείου 2ου ΓΕΛ ΚΑΒΑΛΑΣ

Η γεωμετρία της ζωής. Ερευνητική εργασία Α Λυκείου 2ου ΓΕΛ ΚΑΒΑΛΑΣ Η γεωμετρία της ζωής Ερευνητική εργασία Α Λυκείου 2ου ΓΕΛ ΚΑΒΑΛΑΣ Τι μελετά η γεωμετρία ; Γεωμετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με χωρικές σχέσεις, δηλαδή με τη σύνθεση του χώρου που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 1. Τί ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α ; Ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α την απόστασή του από το 0 (μηδέν). ή Απόλυτη τιμή λέμε τον αριθμό χωρίς πρόσημο. 2.Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι;

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON

ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON 1 ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON Τι είναι «δύναμη»; Θα πρέπει να ξεκαθαρίσουμε ότι ο όρος «δύναμη» στη Φυσική έχει αρκετά διαφορετική σημασία από ότι στην καθημερινή γλώσσα. Εκφράσεις όπως «τον χτύπησε με δύναμη»,

Διαβάστε περισσότερα

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος

Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος Κανονικά πολύγωνα στη φύση, τέχνη, ανθρώπινες κατασκευές, Μαθηματικά Κανονικά πολύγωνα στη φύση Η κηρήθρα είναι ένα φυσικό θαύμα αρχιτεκτονικής Οι μέλισσες έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗ ΖΩΗ ΜΑΣ. Μαθήτριες: Μακρή Κωνστάντια, Μητσοτάκη Ναταλία, Πανταζοπούλου Υβόνη, Παντελή Ιωάννα

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗ ΖΩΗ ΜΑΣ. Μαθήτριες: Μακρή Κωνστάντια, Μητσοτάκη Ναταλία, Πανταζοπούλου Υβόνη, Παντελή Ιωάννα Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗ ΖΩΗ ΜΑΣ Μαθήτριες: Μακρή Κωνστάντια, Μητσοτάκη Ναταλία, Πανταζοπούλου Υβόνη, Παντελή Ιωάννα Τι είναι συμμετρία; Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗ ΖΩΗ ΜΑΣ Η λέξη «συμμετρία» χρησιμοποιείται στην καθημερινότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (2) -2- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Ασκήσεις της Ενότητας 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- α. Η χρήση της πένας Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Υπάρχουν εντολές που μας επιτρέπουν να επιλέξουμε το χρώμα της πένας, καθώς και το

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Οι τεχνικές επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων εμφανίζονται τουλάχιστον πριν 4000 χρόνια, στην αρχαία Μεσοποταμία, σημερινό Ιράκ. Οι μέθοδοι πιθανόν προήλθαν

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Και τα στερεά συγκρούονται

Και τα στερεά συγκρούονται Και τα στερεά συγκρούονται Εξετάζοντας την ελαστική κρούση υλικών σημείων, ουσιαστικά εξετάζουμε την κρούση μεταξύ δύο στερεών σωμάτων, δύο μικρών σφαιρών, τα οποία εκτελούν μόνο μεταφορική κίνηση. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 014-015 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης

Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΣΤΟΧΟΙ ΧΡΟΝΟΣ Αριθμοί και πράξειςακέραιοι 2, 3, 4, 5 2. να μπορούν να εκφράζουν αριθμούς μέχρι και το 1.000.000 με διάφορους τρόπους

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΕΙΔΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΕΙΔΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΕΙΔΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 1 Οι δυνάμεις μπορούν να χωριστούν σε δυο κατηγορίες: Σε δυνάμεις επαφής, που ασκούνται μόνο ανάμεσα σε σώματα που βρίσκονται σε επαφή, και σε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή 1 ΙΝΥΣΜΤ Εισαγωγή Το διάνυσμα είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα έννοιας που αναπτύχθηκε μέσα από τη στενή αλληλεπίδραση Μαθηματικών και Φυσικής. κανόνας του παραλληλόγραμμου, σύμφωνα με τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Μαθηματικών

Διδακτική των Μαθηματικών Διδακτική των Μαθηματικών Ονοματεπώνυμο : Μαμτζέλλη Χρυσούλα Τάξη : Γ Δημοτικού Κεφάλαιο 43 : Η συμμετρία Πρόκειται για ένα εισαγωγικό μάθημα στην αξονική συμμετρία. Οι μαθητές θα μάθουν πότε δύο σχήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων. Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων. Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015 Κατακόρυφη πτώση σωμάτων Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015 Α. Εισαγωγή Ερώτηση 1. Η τιμή της μάζας ενός σώματος πιστεύετε ότι συνοδεύει το σώμα εκ κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ο Βιτρούβιος Άντρας του Λεονάρντο Ντα Βίντσι

Ο Βιτρούβιος Άντρας του Λεονάρντο Ντα Βίντσι Ο Βιτρούβιος Άντρας του Λεονάρντο Ντα Βίντσι Ο Άνθρωπος του Βιτρούβιου είναι ένα διάσημο σχέδιο με συνοδευτικές σημειώσεις του Λεονάρντο Ντα Βίντσι, που φτιάχτηκε περίπου το 1490 σε ένα από τα ημερολόγιά

Διαβάστε περισσότερα

< > Ο ΚΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ, ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ Η ΕΞΗΓΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΙ ΕΝΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΝΕΥΜΑ

< > Ο ΚΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ, ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ Η ΕΞΗΓΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΙ ΕΝΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΝΕΥΜΑ Κ. Γ. ΝΙΚΟΛΟΥΔΑΚΗΣ 1 < > Ο ΚΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ, ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ Η ΕΞΗΓΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΙ ΕΝΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΝΕΥΜΑ Επαναλαμβάνουμε την έκπληξή μας για τα τεράστια συμπλέγματα γαλαξιών, τις πιο μακρινές

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Ενότητα 2: Απόδειξη Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Η ΔΙΑΧΥΣΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ:

Καθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ: ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13 5. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...25

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδα μέτρησης του ηλεκτρικού φορτίου στο Διεθνές Σύστημα (S.I.) είναι το προς τιμήν του Γάλλου φυσικού Charles Augustin de Coulomb.

Μονάδα μέτρησης του ηλεκτρικού φορτίου στο Διεθνές Σύστημα (S.I.) είναι το προς τιμήν του Γάλλου φυσικού Charles Augustin de Coulomb. Βασικές έννοιες Τα σώματα μπορούν να αλληλεπιδράσουν ηλεκτρικά. Ο Θαλής ο Μιλήσιος παρατήρησε πρώτος την έλξη μικρών αντικειμένων από ήλεκτρο, αφού πρώτα τριφτεί σε ξηρό ύφασμα. Το φαινόμενο αυτό ονομάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΙΓΩΝΙΣΜ ΣΤΗ ΜΗΧΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΤΟΣ ΘΕΜ Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 πολλαπλής επιλογής, αρκεί να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δεξιά απ αυτόν, μέσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΑΞΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο - Οι φυσικοί αριθµοί 1.1. Φυσικοί αριθµοί - ιάταξη Φυσικών - Στρογγυλοποίηση 1.2. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασµός

Διαβάστε περισσότερα

Το ταξίδι στην 11η διάσταση

Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το κείμενο αυτό δεν αντιπροσωπεύει το πώς παρουσιάζονται οι 11 διστάσεις βάση της θεωρίας των υπερχορδών! Είναι περισσότερο «τροφή για σκέψη» παρά επιστημονική άποψη. Οι σκέψεις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΣ ΚΑΙ ΣΚΙΑ. Πως δημιουργείτε η σκιά στη φυσική ;

ΦΩΣ ΚΑΙ ΣΚΙΑ. Πως δημιουργείτε η σκιά στη φυσική ; ΦΩΣ ΚΑΙ ΣΚΙΑ Πως δημιουργείτε η σκιά στη φυσική ; Λόγω της ευθύγραμμης διάδοσης του φωτός, όταν μεταξύ μιας φωτεινής πηγής και ενός περάσματος παρεμβάλλεται ένα αδιαφανές σώμα, δημιουργείτε στο πέρασμα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές αρχές ακτινοφυσικής Π. ΓΚΡΙΤΖΑΛΗΣ

Γενικές αρχές ακτινοφυσικής Π. ΓΚΡΙΤΖΑΛΗΣ Γενικές αρχές ακτινοφυσικής Π. ΓΚΡΙΤΖΑΛΗΣ Μέρος πρώτο ΣΚΟΠΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Να εξηγηθούν βασικές έννοιες της φυσικής, που θα βοηθήσουν τον φοιτητή να μάθει: Τι είναι οι ακτίνες Χ Πως παράγονται Ποιες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο.

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο. ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ Η ιστιοπλοΐα ανοιχτής θαλάσσης δεν διαφέρει στα βασικά από την ιστιοπλοΐα τριγώνου η οποία γίνεται με μικρά σκάφη καi σε προκαθορισμένο στίβο. Όταν όμως αφήνουμε την ακτή και ανοιγόμαστε στο

Διαβάστε περισσότερα