ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου"

Transcript

1 70 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

2 Σχέσεις µεταξύ τριγωνοµετρικών αριθµών 71

3 Εφαρµογές 72

4 73

5 74

6 75

7 76 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5. Ένα αεροπλάνο απογειώνεται και αφήνει το έδαφος µε γωνία 10 ο. Αφού διανύσει 1000m, αρχίζει να ανυψώνεται µε γωνία 20 ο ως προς το έδαφος. Να βρείτε σε τι ύψος θα πετάει, όταν θα έχει διανύσει 2km από τη στιγµή της απογείωσης. ( ίνεται ηµ10 ο =0,174, ηµ20 ο =0,342). 6. Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ να υπολογιστεί το µήκος της πλευράς x.

8 77 7. Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ να υπολογιστεί το µήκος της πλευράς x. 8. Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ να υπολογιστεί το µήκος της πλευράς x. 9. Στο διπλανό ρόµβο ΑΒΓ οι διαγώνιες έχουν µήκη (ΑΓ)=16 m και (Β )=12 m. Να υπολογιστεί η περίµετρος του ρόµβου. 9. Στο διπλανό ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ τα µήκη των πλευρών είναι (ΑΒ)=(Γ )=5 cm, (Α )= 13 cm και (ΒΓ)= 7 cm. Να υπολογιστεί το µήκος του ύψους x. 10. Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ να υπολογιστεί το µήκος της πλευράς x.

9 Στο διπλανό σχήµα να υπολογιστεί το µήκος του ύψους x. 12. Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ να υπολογιστεί το µήκος της πλευράς x. 12. Στο διπλανό τραπέζιο ΑΒΓ να υπολογιστεί το µήκος της µεγάλης βάσης ΒΓ.

10 79 ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΕΓΕΘΩΝ Μέγεθος ονοµάζουµε οτιδήποτε µπορεί να µετρηθεί. Γνωστά µεγέθη είναι το µήκος, η επιφάνεια, ο όγκος, το βάρος, ο χρόνος, η θερµοκρασία κ.ά. Μέτρηση ενός µεγέθους είναι η σύγκρισή του µε ένα άλλο οµοειδές µέγεθος το οποίο θεωρούµε ως µονάδα. Μονάδες µήκους Μονάδες Εµβαδού Πίνακας µονάδων βασικών µεγεθών Βασική µονάδα µέτρησης του µήκους είναι το µέτρο (m). Τα πολλαπλάσια και οι υποδιαιρέσεις του µέτρου είναι: α) πολλαπλάσια: i) δεκάµετρο (dam). 1dam=10m ii) εκατόµετρο (hm). 1hm=100m iii) χιλιόµετρο (km). 1km=1.000m β) υποδιαιρέσεις: i) δεκατόµετρο ή παλάµη (dm). 1m=10dm ii) εκατοστόµετρο ή πόντος (cm). 1m=100cm iii) χιλιοστόµετρο ή χιλιοστό (mm). 1m=1.000mm Άλλες µονάδες µέτρησης µήκους είναι: i) η γυάρδα (yrd). Η γυάρδα υποδιαιρείται σε 3 πόδια (ft) και το κάθε πόδι 12 σε ίντσες (in). 1yrd=3ft=36in Επίσης η σχέση µεταξύ του µέτρου και της γυάρδας είναι: 1yrd=0,9144m=91,44cm ii) το µίλι (χρησιµοποιείται για µεγάλες αποστάσεις) 1µίλι=1609m=1,609km Στη ναυτιλία χρησιµοποιείται το ναυτικό µίλι. 1ναυτικό µίλι=1852m=1,852km Βασική µονάδα µέτρησης του εµβαδού είναι το τετραγωνικό µέτρο (m 2 ). Τα πολλαπλάσια και οι υποδιαιρέσεις του τετραγωνικού µέτρου είναι: α) πολλαπλάσια: i)τετραγωνικό δεκάµετρο (dam 2 ). 1dam 2 =100m 2 ii) τετραγωνικό εκατόµετρο (hm 2 ). 1hm 2 =10.000m 2 iii) τετραγωνικό χιλιόµετρο (km 2 ). 1km 2 = m 2 ένα ακόµη πολλαπλάσιο που χρησιµοποιείται για µεγάλες εκτάσεις είναι το στρέµµα 1 στρέµµα=1000m 2 β) υποδιαιρέσεις: i)τετραγωνικό δεκατόµετρο ή τετραγωνική παλάµη (dm 2 ). 1m 2 =100dm 2 ii) τετραγωνικό εκατοστόµετρο ή τετραγωνικός πόντος (cm 2 ). 1m 2 =10.000cm 2 iii) τετραγωνικό χιλιοστόµετρο ή τετραγωνικό χιλιοστό (mm 2 ). 1m 2 = mm 2

11 80 Μονάδες Όγκου Μονάδες Μάζας Μονάδες Χρόνου Βασική µονάδα µέτρησης του όγκου είναι το κυβικό µέτρο (m 3 ). Οι υποδιαιρέσεις του κυβικού µέτρου είναι: i) κυβικό δεκατόµετρο ή κυβική παλάµη (dm 3 ). 1m 3 =1.000dm 3 ii) κυβικό εκατοστόµετρο ή κυβικός πόντος (cm 3 ). 1m 3 = cm 3 iii) κυβικό χιλιοστόµετρο ή κυβικό χιλιοστό (mm 3 ). 1m 3 = mm 3 Για να εκφράσουµε τον όγκο υγρών συνήθως χρησιµοποιούµε το λίτρο (l) το οποίο είναι 1dm 3. Εποµένως το 1cm 3 είναι το χιλιοστόλιτρο (ml) 1l =1dm 3 =1.000cm 3 =1.000ml Βασική µονάδα µέτρησης της µάζας (στην καθηµερινότητα συχνά χρησιµοποιούµε αντί του όρου «µάζα» το όρος «βάρος») είναι το χιλιόγραµµο ή κιλό (kg). Πολλαπλάσιο του κιλού είναι ο τόνος (tn). 1tn=1.000kg Υποδιαιρέσεις του κιλού είναι: i) το γραµµάριο (g). 1kg=1.000g ii) το χιλιοστογραµµάριο (mg-µιλιγκράµ). 1kg= mg Βασική µονάδα µέτρησης του χρόνου είναι το δευτερόλεπτο (s). Άλλες µονάδες είναι: i) το λεπτό (min). ii) η ώρα (h). 1min=60s 1h=60min Άρα έχουµε: 1h=60min=3600s

12 81 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να συµπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες: α) 23, 45m=.. dm =. cm = mm β) 567cm =.dm = m= mm γ) 3,75 km = m =.cm =..mm δ) 76234mm =... cm =...dm =...m 2. Τα παρακάτω µήκη να γραφτούν σε αύξουσα σειρά. α) 0,04765km, 0,432m, cm, mm. β) 57643mm, 542dm, 0,53282m, 5739cm, 0,05637km. 3. α) Να βρείτε, σε m, την πλευρά ενός ισοπλεύρου τριγώνου το οποίο έχει περίµετρο 16,5cm. β) Να βρείτε την περίµετρο σε mm ενός ισοσκελούς τριγώνου του οποίου η βάση έχει µήκος 0,034m και η καθεµία από τις ίσες πλευρές του έχει µήκος διπλάσιο από το µήκος της βάσης. 4. Ένα αεροπλάνο πετάει σε ύψος ft και ένα άλλο σε ύψος 980m. Ποιο από τα δύο αεροπλάνα πετάει ψηλότερα; 5. Η απόσταση από το λιµάνι του Πειραιά µέχρι το λιµάνι της Σούδας είναι περίπου 165 ναυτικά µίλια. Πόσα χιλιόµετρα είναι η απόσταση αυτή; Κάνετε σύγκριση µε την απόσταση Αθήνα Λάρισα. 6. Η διάµετρος ενός σωλήνα (α) είναι 1,5 in και ενός άλλου σωλήνα (β) είναι 3,5cm. Ποιος σωλήνας έχει µεγαλύτερη διάµετρο; 7. Πόσα cm είναι η διαγώνιος της οθόνης ενός υπολογιστή, όταν λέµε ότι είναι 32 in; 8. Να συµπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες: α) 62m 2 = dm 2 =.cm 2 = mm 2 β) 0,049km 2 =..m 2 = στρέµµατα γ) 25476mm 2 =..cm 2 = dm 2 =.m 2 δ) 4,35στρέµµατα = m 2 = dm Η Νάξος έχει έκταση στρέµµατα, ενώ η Σάµος 476km 2. Ποιο από τα δύο νησιά είναι µεγαλύτερο σε έκταση; 10. Ένα κτήµα έχει 300 ελιές φυτεµένες. Αν στα 220 m 2 υπάρχουν 8 ελιές, πόσα στρέµµατα είναι το κτήµα; 11. Να συµπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες: α) 25m 3 = dm 3 =.cm 3 = mm 3

13 82 β) 0,0037km 3 =..m 3 = l γ) mm 3 =..cm 3 = dm 3 =.m 3 δ) 45,23 l = m 3 = dm Ένα βαρέλι περιέχει 150 l λάδι. Θέλουµε να το συσκευάσουµε σε δοχεία χωρητικότητας 750 ml. Πόσα περίπου δοχεία θα χρειαστούµε; 13. Ένα αυτοκίνητο στα 100 km καταναλώνει 8 λίτρα (l) βενζίνης. Αν το ρεζερβουάρ χωράει 42 λίτρα και η τιµή της βενζίνης είναι 1,5 το λίτρο, πόσα θα δώσει για να το γεµίσει και πόσα χιλιόµετρα µπορεί να ταξιδέψει; 14. Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: α) 2,456kg =.g =.. mg β) 29,047 mg = g = kg γ) 0,34 t =..kg =..g 15. Ζυγίζουµε ένα κουτί που περιέχει 20 ίδια πακέτα και το βάρος του είναι 3kg. Αν το απόβαρο του κουτιού είναι 350g, να υπολογίσετε το βάρος του κάθε πακέτου. 16. Το βιβλίο της Γεωµετρίας ζυγίζει 0,750 kg, της Άλγεβρας είναι κατά 350 g ελαφρύτερο, ενώ της Φυσικής είναι κατά 50 g βαρύτερο. Ποιο είναι το βάρος µιας σχολικής τσάντας που περιέχει τα παραπάνω βιβλία και 4 τετράδια βάρους 60 g το καθένα, αν όταν είναι άδεια αυτή ζυγίζει 1,4 kg. 17. α) Να βρείτε πόσα λεπτά (min) και πόσα δευτερόλεπτα (s) έχει µία µέρα (το εικοσιτετράωρο). β) Να βρείτε την ηλικία σας σε έτη, σε µήνες, σε µέρες (1 έτος=365 µέρες). 18. Να τοποθετήσετε σε φθίνουσα σειρά τους παρακάτω χρόνους: 1,5 h, 150 min, s, 1,2 h. 19. Πόσα χρόνια πέρασαν από τη µάχη του Μαραθώνα που έγινε το 490 π.χ. ; 20. Ένα ξεκινά στις 9.15 π.µ από την Αθήνα και φθάνει στη Θεσσαλονίκη 2.35 µ.µ. Πόση ήταν η διάρκεια του ταξιδιού; 21. Μετατρέψτε: α) γωνία 53,28 ο (µοίρες) σε πρώτα λεπτά ( ) β) γωνία 2765 (πρώτα λεπτά) σε µοίρες.

14 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ-ΤΡΑΠΕΖΙΑ 83

15 84

16 85

17 86 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Χαρακτηρίστε την κάθε µία από τις παρακάτω φράσεις ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ). α. Ένα παραλληλόγραµµο είναι ρόµβος. (Σ) (Λ) β. Ένας ρόµβος είναι παραλληλόγραµµο. (Σ) (Λ) γ. Ένα τετράγωνο είναι και ρόµβος. (Σ) (Λ) δ. Η διαγώνιος του ορθογωνίου χωρίζει το ορθογώνιο σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα. (Σ) (Λ) ε. Η διαγώνιος του τετραγώνου το χωρίζει σε δύο ισοσκελή τρίγωνα. (Σ) (Λ)

18 87 2. Τι είδους τετράπλευρα µπορούν να κατασκευαστούν και µε τις τέσσερεις ίσες ράβδους της διπλανής εικόνας; ( ικαιολογείστε την απάντηση). 3. Τι είδους τετράπλευρα µπορούν να κατασκευαστούν και µε τις τέσσερεις ίσες ράβδους της διπλανής εικόνας; ( ικαιολογείστε την απάντηση). 4. Εξηγείστε γιατί το διπλανό τετράγωνο είναι παραλληλόγραµµο. Τι παρατηρείτε για τις διπλανές (προσκείµενες) γωνίες; 5. Κάποιο από τα παρακάτω τετράπλευρα δεν ανήκει στην ίδια κατηγορία µε όλα τα υπόλοιπα. Εξηγείστε το γιατί.

19 88 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. ύο τροχοί µε ίσες ακτίνες συνδέονται µε ένα διωστήρα που έχει µήκος ίσο µε την απόσταση των αξόνων των δύο τροχών. Να δικαιολογήσετε γιατί ο διωστήρας είναι πάντοτε παράλληλος προς την ευθεία που ενώνει τα κέντρα των τροχών. 2. Αν σε ένα παραλληλόγραµµο µία γωνία του είναι ορθή να δικαιολογήσετε γιατί το παραλληλόγραµµο αυτό πρέπει να είναι ορθογώνιο. 3. Αν το διπλανό τετράπλευρο είναι παραλληλόγραµµο να υπολογιστεί το µήκος της πλευράς x και το µέτρο των γωνιών ω και φ. 4. Αν το διπλανό τετράπλευρο είναι ορθογώνιο, να υπολογιστούν τα µήκη των ευθυγράµµων τµηµάτων x, y και z, καθώς και το µέτρο των γωνιών ω, φ και θ. 5. Αν το διπλανό τετράπλευρο είναι τετράγωνο, να υπολογιστούν τα µήκη των ευθυγράµµων τµηµάτων x, y, z, w, u και τ, καθώς και το µέτρο των γωνιών ω, φ και θ.

20 89 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ-ΚΛΙΜΑΚΑ Όταν η φωτογραφία ενός προσώπου µεγεθύνεται ή σµικρύνεται, το πρόσωπο παραµένει το ίδιο. Αυτό συµβαίνει γιατί οι σχέσεις όλων το µεγεθών στο σχήµα παραµένουν αναλλοίωτες. Για παράδειγµα, στο διπλανό σχήµα το πλάτος της µύτης α προς το πλάτος α της σµίκρυνσης είναι το ίδιο µε το πλάτος του προσώπου β προς το πλάτος β : α = α β β Τέτοιες σχέσεις ισχύουν για όλα τα µήκη των επιµέρους στοιχείων των δύο σχηµάτων. Τα σχήµατα αυτά ονοµάζονται όµοια. Όταν τα σχήµατα είναι πολύγωνα έχουµε ειδικότερα:

21 90

22 91

23 92 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

24 93

25 94 ΕΜΒΑ Ο ΣΧΗΜΑΤΟΣ Γνωρίζουµε, ότι για να µετρήσουµε το µήκος ενός ευθυγράµµου τµήµατος Γ το συγκρίνουµε µε ένα σταθερό ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ, που το δεχόµαστε ως µονάδα µέτρησης. Ο θετικός αριθµός που προκύπτει από αυτήν τη µέτρηση λέγεται µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος Γ. Γ Α Β Το ίδιο κάνουµε για να µετρήσουµε µια επιφάνεια. Αυτή τη φορά βέβαια χρησιµοποιούµε ως µονάδα µέτρησης ένα τετράγωνο µε πλευρά ίση µε τη µονάδα. Ο θετικός αριθµός που φανερώνει πόσες φορές το µοναδιαίο τετράγωνο χωράει µέσα στην επιφάνεια που µετράµε λέγεται εµβαδό της επιφάνειας ή µέτρο της επιφάνειας. Ζ Α Ε µοναδιαίο Γ Β Είναι φανερό ότι οι επιφάνειες δύο ίσων σχηµάτων έχουν το ίδιο εµβαδό. Το αντίστροφο δεν ισχύει. ηλαδή, υπάρχουν και επιφάνειες διαφορετικών σχηµάτων που όµως έχουν το ίδιο εµβαδό. Για παράδειγµα, το διπλανό ορθογώνιο έχει το ίδιο εµβαδό µε το τετράγωνο, αν και είναι διαφορετικά σχήµατα. Τις επιφάνειες των σχηµάτων που έχουν το ίδιο εµβαδό τις ονοµάζουµε ισεµβαδικές ή ισοδύναµες. 9m 6m 4m

26 95 Ένας τρόπος για να µετρήσουµε την επιφάνεια ενός σχήµατος (εµβαδοµέτρηση) είναι να το χωρίσουµε σε γνωστά σχήµατα (ορθογώνια, τραπέζια, τρίγωνα, κλπ). Έπειτα, γνωρίζοντας τους τύπους για τα εµβαδά αυτών των γνωστών σχηµάτων, µπορούµε να υπολογίσουµε συνολικά το εµβαδό της επιφάνειας που µας ενδιαφέρει. Για παράδειγµα, το σχήµα Ι µπορεί να χωριστεί σε γνωστά σχήµατα, δηλαδή στο ορθογώνιο παραλληλόγραµµο (α), στα ορθογώνια τρίγωνα (β) και (δ) και στο ορθογώνιο τραπέζιο (γ). Β σχ. Ι Γ δ γ Α Ε β α Το σχήµα που αποτελείται από ένα πολύγωνο και τα εσωτερικά του σηµεία, ονοµάζεται πολυγωνικό χωρίο. Τα εµβαδά των πολυγωνικών χωρίων έχουν τις εξής ιδιότητες: α) Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εµβαδά. Πολυγωνικά χωρία β) Αν µια πολυγωνική επιφάνεια χωρίζεται σε πολυγωνικά χωρία που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηµεία, το εµβαδό της ισούται µε το άθροισµα των εµβαδών των πολυγωνικών χωρίων. Έτσι στο σχήµα Ι παραπάνω έχουµε ΕΑΒΓ Ε = Εα+Εβ+Εγ+Εδ. γ) Αν µια πολυγωνική επιφάνεια περιέχεται σε µια άλλη πολυγωνική επιφάνεια, το εµβαδό της είναι µικρότερο από αυτής που την περιέχει. 2 1 Ε 2 >Ε 1 Εµβαδά βασικών σχηµάτων 1. Εµβαδό τετραγώνου Το εµβαδό ενός τετραγώνου είναι όσο το τετράγωνο της πλευράς του. ηλαδή, αν η πλευρά έχει µήκος α µέτρα, τότε το τετράγωνο έχει εµβαδό: Ε= α 2 m 2.

27 96 2. Εµβαδό ορθογωνίου παραλληλογράµµου Η µεγαλύτερη πλευρά του ορθογωνίου λέγεται συνήθως µήκος, η µικρότερη πλάτος και οι δύο µαζί διαστάσεις του ορθογώνιου. Το εµβαδό του ορθογωνίου παραλληλόγραµµου είναι ίσο µε το µήκος επί το πλάτος του. ηλαδή, αν οι διαστάσεις του έχουν µήκος α µέτρα και β µέτρα, τότε το ορθογώνιο έχει εµβαδό: Ε= α β m 2 3. Εµβαδό Τριγώνου Ύψος ενός τριγώνου ονοµάζεται η απόσταση µιας κορυφής από την απέναντι πλευρά, δηλαδή το µήκος του κάθετου ευθύγραµµου τµήµατος από την κορυφή προς την απέναντι πλευρά. Στο διπλανό σχήµα βλέπουµε ένα τρίγωνο µε τα τρία ύψη, που το καθένα αντιστοιχεί σε κάθε µία πλευρά. Tο εµβαδό ενός τριγώνου είναι ίσο µε το ηµιγινόµενο της µιας πλευράς επί το ύψος που αντιστοιχεί σ αυτήν. ηλαδή, αν µία πλευρά του τριγώνου έχει µήκος β µέτρα και το αντίστοιχο σε αυτήν ύψος έχει µήκος υ µέτρα, το εµβαδό του τριγώνου είναι: Ε= 1 2 β υ m2 Στην ειδική περίπτωση που το τρίγωνο είναι ορθογώνιο η κάθετη πλευρά του είναι το ύψος προς την άλλη πλευρά, οπότε το εµβαδόν του προκύπτει ως το ηµιγινόµενο των δύο κάθετων πλευρών: Ε= 1 2 β γ m2

28 97 Στην πράξη είναι ίσως δύσκολο να φέρουµε σωστά το ύψος, σε ένα τρίγωνο. Γι αυτό χρησιµοποιούµε έναν άλλο τύπο για το εµβαδό του τριγώνου, που χρειάζεται µόνο τις πλευρές του. Επιγράφεται τύπος Ήρωνα και είναι ο ακόλουθος: E ΑΒΓ = τ ( τ a)( τ β)( τ γ) όπου τ είναι η ηµιπερίµετρος του τριγώνου, δηλαδή: τ = ( a+ β +γ). Παράδειγµα: Στο διπλανό τρίγωνο έχουµε α = 7m, β = 5m και γ = 6m. Πόσο είναι το εµβαδό του; Γ Λύση: 1 1 Έχουµε = ( a+ β + γ) = ( ) τ =9. 2 Άρα, = 9( 9 7)( 9 5)( 9 6) 2 E = ,7m β α Α γ Β 4. Εµβαδό (πλάγιου) παραλληλογράµµου Το εµβαδό κάθε πλάγιου παραλληλόγραµµου είναι ίσο µε το γινόµενο µιάς πλευράς του επί το αντίστοιχο προς αυτήν ύψος. ηλαδή, αν το µήκος µιας πλευράς του παραλληλογράµµου είναι β µέτρα και το αντίστοιχο προς αυτήν ύψος είναι υ µέτρα, το εµβαδόν του είναι: Ε= β υ m 2 4α. Εµβαδό ρόµβου Στην ειδική περίπτωση που το παραλληλόγραµµο είναι ρόµβος µε µήκη διαγωνίων δ1 και δ2 µέτρα το εµβαδό του δίνεται από τον τύπο: Ε= δ1 δ2 m 2

29 98 5. Εµβαδό τραπεζίου Όπως γνωρίζουµε, τραπέζιο είναι το τετράπλευρο που έχει δύο απέναντι πλευρές παράλληλες. Στο διπλανό τραπέζιο οι παράλληλες πλευρές είναι οι ΚΛ, ΝΜ. Η πλευρά ΚΛ λέγεται και µεγάλη βάση, ενώ η πλευρά ΜΝ λέγεται µικρή βάση. Η απόσταση µεταξύ των βάσεων είναι το ύψος του τραπεζίου. Ν υ β Μ υ K Β Λ Το εµβαδό τραπεζίου ισούται µε το γινόµενο του ηµιαθροίσµατος των βάσεων επί το ύψος. ηλαδή, αν το µήκος της µικρής βάσης είναι β µέτρα, της µεγάλης βάσης Β µέτρα και το ύψος είναι υ µέτρα, το εµβαδόν του είναι: B + β Ε= υ m Εµβαδό κύκλου Το εµβαδό του κύκλου δίνεται από τον τύπο: Ε= π R 2 m 2 όπου π το γνωστό πηλίκο µήκους προς διάµετρο ( 3,14 ) και R η ακτίνα του. 6. Εµβαδό κυκλικού τοµέα Το εµβαδό του κυκλικού τοµέα δίνεται από τον τύπο: Ε= π R 2 µ 360 m2 όπου π το γνωστό πηλίκο µήκους προς διάµετρο ( 3,14 ), R η ακτίνα του και µ η επίκεντρη γωνία σε µοίρες.

30 99 Λόγος εµβαδών όµοιων σχηµάτων Ας πάρουµε δύο τετράγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ µε πλευρές α και β αντιστοίχως. Ο λόγος οµοιότητας των τετραγώνων είναι: ΑΒ Α Β = α β = λ Τα εµβαδά τους είναι Ε1=α 2 και Ε2=β 2 αντίστοιχα. Ο λόγος των εµβαδών τους είναι E E α α 2 = = =λ 2. β β 2. ηλαδή ο λόγος των εµβαδών δύο τετραγώνων είναι ίσος µε το τετράγωνο του λόγου της οµοιότητάς τους. Ας πάρουµε δύο όµοια ορθογώνια ΑΒΓ και Α Β Γ µε πλευρές α, β και α,β α β αντιστοίχως. Ο λόγος οµοιότητας των ορθογωνίων είναι: = = λ. α β Τα εµβαδά τους είναι Ε1 = α β και Ε2 = α β. Ο λόγος των εµβαδών τους είναι E E 1 2 α β α β 2 = = = λ λ= λ. α β α β ηλαδή, ο λόγος των εµβαδών δύο όµοιων ορθογωνίων είναι ίσος µε το τετράγωνο του λόγου οµοιότητας Η ιδιότητα αυτή που αποδείξαµε για τα τετράγωνα και τα όµοια ορθογώνια τρίγωνα ισχύει γενικά για όλα τα όµοια σχήµατα. ηλαδή: Γ 45 ο A B α Α β 45 ο Γ Β Ο λόγος των εµβαδών δύο οµοίων σχηµάτων είναι ίσος µε το τετράγωνο του λόγου της οµοιότητάς τους Ε Ε = α = λ α 2

31 100 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Βρείτε το εµβαδόν τετραγώνου µε περίµετρο 8m. 2. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει υποτείνουσα 5m και µία κάθετη πλευρά 4m. Πόσο είναι το εµβαδόν του; 3. Οι πλευρές ενός τετραγώνου µειώνονται κατά 20%. Είναι δυνατόν να µειωθεί το εµβαδόν του κατά 30%, 36% ή 40%; Είναι δυνατόν να εκτιµήσουµε το µήκος της πλευράς. ικαιολογήστε την απάντησή σας. 4. Αν σε ένα τρίγωνο µας δώσουν την περίµετρο και δύο πλευρές του µπορούµε να υπολογίσουµε το εµβαδό του; 5. Σε ένα τρίγωνο έχουµε α=3m, β=2m και Γ=30 ο. Πόσο είναι το εµβαδόν του; 6. Αν διπλασιάσω τις πλευρές ενός τετραγώνου πόσο αυξάνεται το εµβαδό του; 7. ύο ορθογώνια τρίγωνα είναι όµοια. Αν έχουν ίσες τις υποτείνουσές τους είναι και µεταξύ τους ίσα; 8. Να βρείτε ένα τρόπο για να χωρίσουµε ένα τρίγωνο σε τρία ίσεµβαδικά µέρη; Πως θα το χωρίσουµε σε τέσσερα ίσεµβαδικά µέρη; ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Βρείτε το εµβαδό τετραγώνου µε πλευρά 3.5in. ώστε το αποτέλεσµα σε cm Το εµβαδό ενός τετραγώνου είναι 25m 2. Πόσο θα γίνει το εµβαδό του, αν ελαττώσουµε το µήκος της πλευράς κατά 2m;

32 Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο έχει εµβαδό 100m 2. Το µήκος του είναι 20m. Πόσα µέτρα είναι το πλάτος του; 4. Πόσο είναι το εµβαδό πλάγιου παραλληλόγραµµου µε µήκος 3,5m και ύψος 3dm; 5. Να υπολογίσετε το ύψος πλάγιου παραλληλογράµµου µε εµβαδόν 10m 2 και ύψος 16dm. 6. Το εµβαδό ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου είναι 100m 2. Αυξάνουµε µία από τις πλευρές του κατά 10%. Πόσο είναι το νέο εµβαδό;. 7. Ένας συνεταιρισµός αγόρασε µια έκταση 354,66 στρεµ. προς 650 το στρέµµα. Η έκταση χωρίστηκε σε οικόπεδα, µε δρόµους και κοινόχρηστους χώρους συνολικής επιφάνειας 63,2στρ., που η κατασκευή τους κόστισε Πόσο πρέπει να πωληθεί το m 2 κάθε οικόπεδου ώστε ο συνεταιρισµός να έχει όφελος ; 8. Οι πλευρές ενός τετραγώνου αυξάνονται κατά 3m και το εµβαδό του διπλασιάζεται. Πόσο ήταν το µήκος της πλευράς αρχικά. 9. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο έχει περίµετρο 20m. Το εµβαδό του είναι 24m 2. Ποιες είναι οι διαστάσεις του; 10. Αν αυξηθεί το µήκος ενός ορθογώνιου παραλληλογράµµου κατά 3m, τότε το εµβαδό του αυξάνεται κατά 9m 2. Αν αυξηθεί το πλάτος του κατά 3m, τότε το εµβαδό αυξάνεται κατά 12m 2. Ποιες είναι οι διαστάσεις του; 11. Αυξάνουµε το µήκος και το πλάτος ενός ορθογώνιου παραλληλογράµµου κατά 1m. Τότε το εµβαδό του αυξάνεται κατά 21m 2. Πόση είναι η περίµετρός του; 12. Οι διαγώνιες ενός ορθογώνιου παραλληλογράµµου σχηµατίζουν γωνία 120ο και το µήκος κάθε µιας είναι 12cm. Να υπολογίσετε το εµβαδό του. Γ 13. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει υποτείνουσα 13m και περίµετρο 30m. Πόσο είναι το εµβαδό του; Α 120 ο Β 14. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει τη µια κάθετη πλευρά 4m και περίµετρο 12m. Πόσο είναι το εµβαδό του; 15. Βρείτε το εµβαδό του γραµµοσκιασµένου τµήµατος στο διπλανό σχήµα. 4m 2

33 Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά 10m. Πόσο είναι το εµβαδό του; 17. Ένα τρίγωνο έχει πλευρές µε µήκη 7m, 4.5m και 5.2m. Πόσο είναι το εµβαδό του; 18. Πόσο είναι το εµβαδό του διπλανού σχήµατος ΑΒΓ Ε; Οι αριθµοί παριστάνουν τα µήκη των αντίστοιχων ευθύγραµµων τµηµάτων σε µέτρα. 2 Ε Α 2 Β Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει περίµετρο 30m. Πόσο είναι το εµβαδό του; 4 Γ 20. Να αποδείξετε ότι κάθε διάµεσος ενός τριγώνου το χωρίζει σε δύο ισοδύναµα τρίγωνα. 21. Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο οι δύο µη παράλληλες πλευρές του είναι ίσες και έχουν µήκος 5m. Όταν οι βάσεις του είναι 15m και 9m, πόσο είναι το εµβαδόν του; 22. Το εµβαδό ενός τραπεζίου είναι 100m 2. Το ύψος του είναι 10m και η µία βάση του 20m. Πόση είναι η άλλη βάση του; 23. Έστω ένα ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓ, µε Α=1. Αν ΑΒ=4m, Γ =2m και η διαγώνιος Β =5m, πόσο είναι το εµβαδό του; 24. Η διαγώνιος σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο είναι 20m και το εµβαδό του 200m. Να υπολογίσετε τις διαστάσεις του. 25. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η µία κάθετη πλευρά είναι 10m και το ύψος προς την υποτείνουσα είναι 8m. Να υπολογίσετε το εµβαδό του. 26. Η µεγάλη βάση ενός τραπεζίου είναι διπλάσια από την µικρή βάση. Το ύψος είναι το µισό της µικρής βάσης. Αν το εµβαδόν του τραπεζίου είναι 12m 2, να υπολογίσετε τις βάσεις και το ύψος του. 27. Σε ένα ρόµβο η γωνία Α=60 ο και η πλευρά ΑΒ=3dm. Να υπολογίσετε το εµβαδό του. 28. Σε ένα τρίγωνο έχουµε γωνίες Α=30 ο και Β=45 ο. Η πλευρά γ που βρίσκεται απέναντι από την γωνία Γ, είναι 10m. Να υπολογίσετε τα µήκη α, β. 29. Ένα τρίγωνο έχει εµβαδό 5m 2. Αν οι πλευρές α=5m και β=4m, πόση είναι η γωνία Γ;

34 Ένας τοπογράφος µετρά ένα τετράπλευρο οικόπεδο ΑΒΓ και βρίσκει ΑΒ=63m, ΒΓ=61m, ΓΑ=84m, Α =60m, Γ=62m. Πόσο είναι το εµβαδό του; 31. Αυξάνουµε τη πλευρά ενός τετραγώνου κατά 10%. Πόσο αυξάνεται το εµβαδό του; 32. Μειώνουµε την πλευρά ενός τετραγώνου κατά 25%. Πόσο µειώνεται το εµβαδό του; 33. Η πλευρά ενός ισοπλεύρου τριγώνου διπλασιάζεται. Πόσο αυξάνεται το εµβαδό του; 34. Το διπλανό σχήµα παριστάνει την κάτοψη ενός οικοπέδου σε κλίµακα 10000:1. Υπολογίστε το εµβαδό του. 4 c m 6 c m 4 c m 4 c m 6 c m 35. Το διπλανό σχήµα παριστάνει την κάτοψη ενός οικοπέδου σε κλίµακα 3000:1. Αν οι αριθµοί υποδηλώνουν mm πόσο είναι το εµβαδό του; 20,3 12,8 4,5 8,2 3 3, Η διχοτόµος ενός ισόπλευρου τριγώνου διπλασιάζεται. Πόσο αυξάνεται το εµβαδό του; 37. Η διάµεσος ενός ισοπλεύρου τριγώνου διπλασιάζεται. Πόσο αυξάνεται το εµβαδό του; 38. Προεκτείνουµε την διαγώνιο ΑΓ του διπλανού ορθογώνιου παραλληλόγραµµου στο διπλάσιο, έτσι ώστε ΑΓ=ΓΓ. Πόσο αυξάνεται τότε το εµβαδό του; Γ Γ Α Β Β 39. Ένας πατέρας έχει ένα τριγωνικό οικόπεδο και θέλει να το µοιράσει στους δύο γιους του. Πως θα επιτύχει δίκαιo µοίρασµα.

35 OΓΚΟΣ ΣΤΕΡΕΟΥ 104

36 105 Όγκοι βασικών σχηµάτων 1. Όγκος κύβου V= α 3 m 3 2. Όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου V= α β γ m 3 3. Όγκος πρίσµατος V= Eµβαδό βάσης ύψος ή πιο σύντοµα: V = Ε β υ m 3 4. Όγκος πυραµίδας V= 1 3 Eµβαδό βάσης ύψος ή πιο σύντοµα: V 1 υ 3 Ε m3 = β

37 Όγκος κυλίνδρου V= Eµβαδό βάσης ύψος ή, αφού η βάση είναι κύκλος: V = π R 2 υ m 3 6. Όγκος κώνου V= 1 3 Eµβαδό βάσης ύψος ή, αφού η βάση είναι κύκλος: 1 2 V= υ 3 π R m3 7. Όγκος σφαίρας V 4 3 = 3 π R m3

38 107 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

39 108

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ 1 4.4 Η ΠΥΡΜΙ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Πυραµίδα Ονοµάζεται ένα στερεό του οποίου µία έδρα είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα µε κοινή κορυφή. ύο πυραµίδες φαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ 1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Σε γαλάζιο φόντο ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ (2013 2014) Σε μαύρο φόντο ΘΕΜΑΤΑ ΕΚΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ (2013-2014)

Σε γαλάζιο φόντο ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ (2013 2014) Σε μαύρο φόντο ΘΕΜΑΤΑ ΕΚΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ (2013-2014) > Φυσική Β Γυμνασίου >> Αρχική σελίδα ΕΙΙΣΑΓΩΓΗ ΕΕρρωττήήσσεει ιςς ΑΑσσκκήήσσεει ιςς χχωρρί ίςς ααππααννττήήσσεει ιςς (σελ. ) ΕΕρρωττήήσσεει ιςς ΑΑσσκκήήσσεει ιςς μμεε ααππααννττήήσσεει ιςς (σελ. 4) ΙΑΒΑΣΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

APA EI MA 1. B ÛÈÎ ÛËÌ ıâˆú. Πολλές φορές είναι απαραίτητο να συγκρίνουµε δύο µεγέθη και να µελετήσουµε

APA EI MA 1. B ÛÈÎ ÛËÌ ıâˆú. Πολλές φορές είναι απαραίτητο να συγκρίνουµε δύο µεγέθη και να µελετήσουµε 30 Λόγος δύο µεγεθών B ÛÈÎ ÛËÌ ıâˆú Πολλές φορές είναι απαραίτητο να συγκρίνουµε δύο µεγέθη και να µελετήσουµε τη σχέση τους. Tο αποτέλεσµα της σύγκρισης των δύο µεγεθών που εκφράζεται ως κλάσµα ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 1 4. 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόβληµα : Ονοµάζουµε την κατάσταση που δηµιουργείται όταν αντι- µετωπίζουµε εµπόδια και δυσκολίες στην προσπάθεια µας να φτάσουµε σε έναν συγκεκριµένο στόχο.. Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 B Γυμνασίου 3. Έστω x = 3 4 :4+ 5 και y = 45 4 3 + 73. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία)

Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία) Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία) (Διεπιστημονική προσέγγιση αριθμητικού και οπτικού γραμματισμού) Εκπαιδευτικοί: Αθανασοπούλου Ζαφειρία (οπτικός γραμματισμός) Σαρακινίδου Σοφία (αριθμητικός γραμματισμός)

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΜΡΟΣ Β 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ 81 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ Μονάδες μέτρησης όγκου Ως µονάδα µέτρησης όγκου θεωρούµε έναν κύο µε ακµή µήκους 1 µέτρο(m). Ο όγκος του ισούται µε 1 κυικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ (4) Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Δευτέρα, 25/5/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 57-2278101 Φαξ: 57-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 201 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. ΚΕΦΛΙΟ ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Κανονικά Πολύγωνα. Να δοθεί ο ορισμός του κανονικού πολυγώνου. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.. Να βρεθεί η γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αυτό το γραπτό αποτελείται από 21 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής).

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 2. Σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ (που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ). Πόσες γωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο 1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ. 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος

ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ. 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος ν 100 80 Από συνήθεια λέµε «80 τοις εκατό» και γράφουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κ.κ.

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κ.κ. ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357-22378101 Φαξ: 357-22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κ.κ. Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 013-014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου Χρόνος: ώρες Βαθμός: Ημερομηνία: Παρασκευή, 13 Ιουνίου 014 Υπογραφή καθηγητή: Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1.1 16950 Β (ΑΝΑΡΤΗΘΗΚΕ 08-11-14) α) Να κατασκευάσετε ένα γραµµικό σύστηµα δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους µε συντελεστές διάφορους του µηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο 6. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤ ΕΠΙΠΕ ΘΕΩΡΙΑ. Σύστηµα καθέτων ηµιαξόνων: Είναι δύο κάθετες µεταξύ τους ηµιευθείες µία οριζόντια και µία κατακόρυφη. Την οριζόντια την ονοµάζουµε και την λέµε ηµιάξονα των ή ηµιάξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

Προσαρμογές αναλυτικών προγραμμάτων για τα Μαθηματικά στο Γυμνάσιο

Προσαρμογές αναλυτικών προγραμμάτων για τα Μαθηματικά στο Γυμνάσιο ΤΕΥΧΟΣ B ΣΧΕΔΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΜΕ ΜΑΘΗΣΙΑΚΕΣ ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ «Αναλυτικά Προγράμματα Μαθησιακών Δυσκολιών-Ενημέρωση-Ευαισθητοποίηση»

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΕΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ

ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΕΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ «Αναλυτικά Προγράμματα Μαθησιακών Δυσκολιών-Ενημέρωση-Ευαισθητοποίηση» ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΕΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου

Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου Θέματα Προαγωγικών και Απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίων του Νομού Δωδεκανήσου Σχολικό Έτος: 01-013 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Δωδεκανήσου

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Nα υπολογισθεί το άθροισμα - 207 206 205 204 -.+ 196 + 197 + 198 + 199 + 200

Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Nα υπολογισθεί το άθροισμα - 207 206 205 204 -.+ 196 + 197 + 198 + 199 + 200 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Nα υπολογισθεί το άθροισμα - 207 206 205 204 -.+ 196 + 197 + 198 + 199 + 200 2. Να υπολογισθούν οι τιμές των παραστάσεων Α = (4 2 3 2 ) : 7 + (6,4 5) 20 4 1 3 2 Β = 15 1 : 1 1 2 4 5. και

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή Προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή Προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή Προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Λιακόπουλος Ιωάννης1 και Λυπηρίδης Χαράλαμπος2 1liakopoulosjohn@gmail.com, 2xarislip@hotmail.com Επιβλέπων Καθηγητής: Λάζαρος Τζήμκας tzimkaslazaros@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α 2 Ô. º π. Πραγματικοί αριθμοί

ΜΕΡΟΣ Α 2 Ô. º π. Πραγματικοί αριθμοί ΜΕΡΟΣ Α º π Ô Πραγματικοί αριθμοί ΕΙΣΑΩΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ª ÚÈ ÙÒÚ Ô ÌÂ Û Ó ÓÙ ÛÂÈ Ê ÛÈÎÔ, Î Ú ÈÔ Î È ÚËÙÔ ÚÈıÌÔ. ÙÔ ÙÂÏÂ Ù Ô Â ÌÂ ÂÍÂÙ ÛÂÈ ÙË ÂÎ ÈÎ ÙÔ apple Ú ÛÙ ÛË, Ë ÔappleÔ Ù Ó ÁÓˆÛÙ ÛÂ appleï appleâúèô

Διαβάστε περισσότερα