(n + r 1)! (n 1)! (n 1)!
|
|
- Σαλώμη Δεσποτόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Στοιχειώδης συνδυαστική Διανομή αντικειμένων σε υποδοχές
2 Διανομή Αντικειμένων σε Υποδοχές Με πόσους τρόπους μπορούμε να διανείμουμε r αντικείμενα (διακεκριμένα ή όχι) σε n υποδοχές. Διακρίνουμε περιπτώσεις: 1. Τα αντικείμενα είναι διαφορετικά (διακεκριμένα) και η σειρά στις υποδοχές δε μετράει. n } n {{... n } = n r r Για το πρώτο αντικείμενο έχουμε n επιλογές ως προς το που θα το τοποθετήσουμε. Ομοια για το δεύτερο, αφού δεν απαγορεύεται να ρίξουμε δυο αντικείμενα στην ίδια υποδοχή, κοκ. Άρα συνολικά μπορώ να τοποθετήσω τα r αντικείμενα στις n υποδοχές με n r τρόπους.
3 Διανομή Αντικειμένων σε Υποδοχές 2. Τα αντικείμενα είναι διαφορετικά (διακεκριμένα) και η σειρά σε κάθε υποδοχή μετράει. (n + r 1)! (n 1)! Αρχικά διατάσσω τα r αντικείμενα. Θα προσομοιώσω τις n υποδοχές με (n + 1) κάθετες γραμμές που θα τοποθετήσω ανάμεσα στα διατεταγμένα αντικείμενα. Αντικείμενα που βρίσκονται μεταξύ της i-στής και της (i + 1)-στής γραμμής θα θεωρούμε ότι βρίσκονται στην i-στή υποδοχή. α 1 α 3 α 5 α 2 α 6... }{{} n υποδοχές
4 Διανομή Αντικειμένων σε Υποδοχές 2. Τα αντικείμενα είναι διαφορετικά (διακεκριμένα) και η σειρά σε κάθε υποδοχή μετράει. (n + r 1)! (n 1)! α 1 α 3 α 5 α 2 α 6... }{{} n υποδοχές Από τις n + 1 γραμμές που τοποθέτησα, μόνο οι n 1 ορίζουν τις υποδοχές (μπορώ να αγνοήσω τις ακραίες). Ο συνολικός αριθμός αντικειμένων που έχω είναι r + (n 1) (r αρχικά αντικείμενα και n 1 γραμμές), και μπορώ να τα διατάξω με (n + r 1)! τρόπους. Ομως τα n 1 αντικείμενα (οι γραμμές) είναι ίδια (δεν είναι διακεκριμένα), άρα έχω μόνο (n+r 1)! (n 1)! διαφορετικούς τρόπους.
5 Πόσοι είναι οι διαφορετικοί τρόποι να περάσουν k (διαφορετικά) αυτοκίνητα από n διαφορετικούς υπαλλήλους διοδίων όταν παίζει ρόλο η σειρά με την οποία κάθε υπάλληλος εξυπηρετεί τα αυτοκίνητα; Το πρώτο αυτοκίνητο έχει n επιλογές όσοι και οι υπάλληλοι. Το δεύτερο αυτοκίνητο έχει n + 1 επιλογές: αν πάει στον υπάλληλο που πήγε και το πρώτο αυτοκίνητο να πάει πρίν ή μετά από αυτό. Το τρίτο αυτοκίνητο έχει n + 2 επιλογές: αν πάει στον υπάλληλο που πήγε και το πρώτο αυτοκίνητο να πάει πρίν ή μετά από αυτό, αν πάει στον υπάλληλο που πήγε και το δεύτερο αυτοκίνητο να πάει πρίν ή μετά από αυτό. Το k αυτοκίνητο έχει n + k 1 επιλογές: όμοια όπως προηγουμένως. Άρα συνολικά (από κανόνα γινομένου) υπάρχουν (n + k 1)! n(n + 1)...(n + k 1) = διαφορετικοί τρόποι. (n 1)!
6
7
8
9 Διανομή Αντικειμένων σε Υποδοχές 3. Τα αντικείμενα είναι ίδια (δεν είναι διακεκριμένα). ( ) n + r 1 Οπως στην προηγούμενη περίπτωση, μόνο που αυτή τη φορά και τα r αντικείμενα είναι ίδια (δεν είναι διακεκριμένα), επομένως έχουμε μόνο (n+r 1)! r!(n 1)! = ( ) n+r 1 r διαφορετικούς τρόπους να τα διατάξουμε. r
10 Διανομή αντικειμένων σε υποδοχές: με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε r διαφορετικά (διακεκριμένα) αντικείμενα σε n διαφορετικές (διακεκριμένες) υποδοχές όταν δε μετράει η σειρά Για το αντικείμενο 1 έχουμε n τρόπους (δηλ. μπορούμε να το τοποθετήσουμε σε κάθε μία από τις n διαθέσιμες υποδοχές) Για το αντικείμενο 2 έχουμε n τρόπους (δηλ. μπορούμε να το τοποθετήσουμε σε κάθε μία από τις n διαθέσιμες υποδοχές)... Για το αντικείμενο r έχουμε n τρόπους (δηλ. μπορούμε να το τοποθετήσουμε σε κάθε μία από τις n διαθέσιμες υποδοχές) Άρα, συνολικά n } {{... n} = n r r φορές
11 Διανομή αντικειμένων σε υποδοχές: με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε r διαφορετικά (διακεκριμένα) αντικείμενα σε n διαφορετικές (διακεκριμένες) υποδοχές όταν μετράει η σειρά 1ος τρόπος Οι n υποδοχές είναι τα διαστήματα που ορίζονται από n + 1 σημεία πάνω σε μια ευθεία. Το πρώτο από αυτά τα σημεία μπαίνει πάντα στην αρχή και το τελευταίο πάντα στο τέλος, επομένως υπάρχουν n 1 ίδια (μη διακεκριμένα) σημεία που πρέπει να διαχωρίσουν r διαφορετικά (διακεκριμένα) αντικείμενα Επομένως, ζητάμε τις διατάξεις r + n 1 αντικειμένων από τα οποία τα n 1 είναι ίδια (μη διακεκριμένα). Αυτός είναι: (r+n 1)! (n 1)!
12 Διανομή αντικειμένων σε υποδοχές: με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε r διαφορετικά (διακεκριμένα) αντικείμενα σε n διαφορετικές (διακεκριμένες) υποδοχές όταν μετράει η σειρά 2ος τρόπος Για το 1ο από τα r αντικείμενα, υπάρχουν n τρόποι τοποθέτησης σε κάθε μία από τις n διαθέσιμες υποδοχές. Αφού επιλεγεί μία, αυτή χωρίζεται στα δύο. Για το 2ο από τα r αντικείμενα, υπάρχουν n + 1 τρόποι τοποθέτησης σε κάθε μία από τις n διαθέσιμες υποδοχές και τη 1 νέα. Αφού επιλεγεί μία, αυτή χωρίζεται στα δύο. Για το 3ο από τα r αντικείμενα, υπάρχουν n + 2 τρόποι τοποθέτησης σε κάθε μία από τις n διαθέσιμες υποδοχές και τις 2 νέες. Αφού επιλεγεί μία, αυτή χωρίζεται στα δύο, κοκ Για το r-ό από τα r αντικείμενα, υπάρχουν n + r 1 τρόποι τοποθέτησης σε κάθε μία από τις n διαθέσιμες υποδοχές και τις r 1 νέες. Άρα, συνολικά: n (n + 1) (n + 2)... (n + r 1) τρόποι
13 Διανομή αντικειμένων σε υποδοχές: με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε r ίδια (μη διακεκριμένα) αντικείμενα σε n διαφορετικές (διακεκριμένες) υποδοχές όταν μετράει η σειρά 1ος τρόπος Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε r διαφορετικά (διακεκριμένα) αντικείμενα σε n διαφορετικές (διακεκριμένες) υποδοχές όταν μετράει η σειρά; (r+n 1)! (n 1)! Αλλά τώρα τα r αντικείμενα είναι ίδια (μη διακεκριμένα) οι ζητούμενοι τρόποι είναι (r+n 1)! (n 1)!r!
14 Διανομή αντικειμένων σε υποδοχές: με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε r ίδια (μη διακεκριμένα) αντικείμενα σε n διαφορετικές (διακεκριμένες) υποδοχές όταν μετράει η σειρά 2ος τρόπος Οπως πριν με τα διαστήματα στην ευθεία, μόνο που τώρα τόσο η ομάδα που περιέχει τα n 1 σημεία όσο και αυτή που περιέχει τα r αντικείμενα περιέχουν ίδια (μη διακεκριμένα) στοιχεία: (r+n 1)! (n 1)!r!
15 Εστω ότι τοποθετούμε με κάποιον τρόπο τις ίδιες μπάλες στα διαφορετικά κουτιά. Δεν αλλάζει κάτι αν ευθυγραμμίσουμε τις μπάλες. Δεν αλλάζει κάτι αν σβήσουμε κάποια όρια από τα κουτιά. Το πώς τοποθετήσαμε τις μπάλες στα κουτιά μπορεί να παρασταθεί με μια ακολουθία από 0 και 1:
16 Αν υπάρχουν r μπάλες και n κουτιά τότε πρέπει να τοποθετήσουμε r 0 και n 1 1 σε n + r 1 θέσεις. Αυτό γίνεται με C(r + n 1, r) τρόπους.
17 Σύντομη επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορούμε να διανείμουμε r αντικείμενα σε n υποδοχές; Διαφορετικά αντικείμενα: Δε μετράει η σειρά: } n n {{... n } = n r r (n + r 1)! Μετράει η σειρά: (n 1)! ( ) (n + r 1)! n + r 1 Ιδια αντικείμενα: = r!(n 1)! r
18 Παραδείγματα Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε r ίδιες μπάλες σε n διαφορετικά κουτιά αν κάθε κουτί χωράει μία μόνο μπάλα; C(n, r) Πόσες δυαδικές ακολουθίες 32 ψηφίων έχουν ακριβώς 7 άσσους; C(32, 7)
19 Με πόσους τρόπους r ίδιες μπάλες μπορούν να τοποθετηθούν σε n διαφορετικά κουτιά έτσι ώστε κάθε κουτί να περιέχει τουλάχιστον 9 μπάλες; τουλάχιστον 9 μπάλες σε κάθε κουτί : 9n μπάλες. Μένουν r 9n ίδιες μπάλες τις οποίες μπορούμε να τοποθετήσουμε στα n διαφορετικά κουτιά με όλους τους δυνατούς τρόπους (r 9n+n 1)! (n 1)!(r 9n)! = ( ) r 9n+n 1 r 9n
20 Εχω 7 α, 8 β, 5 γ και 4δ. Πόσες συμβολοσειρές μπορώ να φτιάξω αν δεν πρέπει να εμφανίζεται το γα σε καμία από αυτές; Μόνο με τα 7 α, τα 8 β και τα 4δ μπορώ να φτιάξω 19! 7!8!4! διατάξεις χωρίς κανέναν περιορισμό. Για κάθε μία από τις παραπάνω διατάξεις, θεωρώ ότι τα 5 γ είναι 5 ίδια αντικείμενα που τοποθετούνται σε διαφορετικές υποδοχές που σχηματίζονται από την υπάρχουσα διάταξη. Εχουμε συνολικά 19 γράμματα που σχηματίζουν 20 διαφορετικές υποδοχές: μία πριν από κάθε γράμμα και μία στο τέλος. Το γ δε μπορεί να τοποθετηθεί πριν από α γιατί θα σχηματιστεί γα. Οπότε μένουν 13 υποδοχές για να τοποθετηθεί το γ: πριν από κάποιο β, πριν από κάποιο δ ή στο τέλος. ( Οι διαφορετικοί ) τρόποι να τοποθετηθούν τα 5 γ είναι: = 17! 5 5!12!. 19! Άρα συνολικά: 7!8!4! + 17! 5!12!
21 Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε r διαφορετικές σημαίες σε n διαφορετικούς ιστούς με δεδομένα ότι (α) έχει σημασία η σειρά με την οποία εμφανίζονται οι σημαίες στους ιστούς και (β) κανένας ιστός δεν πρέπει να μείνει άδειος (r n); Για να ισχύει το (β): r! P(r, n) = r(r 1)...(r n + 1) = (r n)! τρόποι Για να ισχύει και το (α): Επομένως, συνολικά: (r n + n 1)! (n 1)! = r! (r 1)! (r n)! (n 1)! τρόποι. (r 1)! (n 1)! τρόποι
22 Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε 4 ίδια πορτοκάλια και 6 διαφορετικά μήλα σε 5 διαφορετικά κουτιά; Σε ποιο ποσοστό αυτών των τρόπων τοποθετούνται 2 ακριβώς φρούτα σε κάθε κουτί; Τα 4 ίδια πορτοκάλια μπορούμε να τα τοποθετήσουμε στα ( )! 5 κουτιά με = 8! = 70 διαφορετικούς 4!(5 1)! 4!4! τρόπους. Τα 6 διαφορετικά μήλα μπορούμε να τα τοποθετήσουμε στα 5 κουτιά (χωρίς να μετράει η σειρά) με 5 6 = διαφορετικούς τρόπους. Επομένως, συνολικά έχουμε = διαφορετικούς τρόπους.
23 Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε 4 ίδια πορτοκάλια και 6 διαφορετικά μήλα σε 5 διαφορετικά κουτιά; Σε ποιο ποσοστό αυτών των τρόπων τοποθετούνται 2 ακριβώς φρούτα σε κάθε κουτί; Για να έχουμε 2 ακριβώς φρούτα σε κάθε κουτί, ασχολούμαστε πρώτα με τα 4 πορτοκάλια που είναι ίδια: Βάζουμε από 2 πορτοκάλια σε 2 από τα πέντε κουτιά. Πόσοι διαφορετικοί τρόποι να διαλέξω τα κουτιά αυτά υπάρχουν; C(5, 2) = 5! 2!3! = 10. Τα 6 διαφορετικά μήλα μπορώ να τα χωρίσω σε 3 διμελείς ομάδες (μία για καθένα από τα υπόλοιπα 3 κουτιά) με 6! 2!2!2! = 90 τρόπους. Άρα συνολικά = 900 τρόποι.
24 Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε 4 ίδια πορτοκάλια και 6 διαφορετικά μήλα σε 5 διαφορετικά κουτιά; Σε ποιο ποσοστό αυτών των τρόπων τοποθετούνται 2 ακριβώς φρούτα σε κάθε κουτί; Βάζουμε 2 πορτοκάλια σε 1 κουτί με C(5, 1) = 5! 1!4! = 5 τρόπους, και από ένα πορτοκάλι σε 2 από τα πέντε κουτιά με C(4, 2) = 4! 2!2! = 6 τρόπους. Τα 6 διαφορετικά μήλα μπορώ να τα χωρίσω σε 2 διμελείς ομάδες (μία για καθένα από τα υπόλοιπα 2 κουτιά) με 6! 2!2! = 180 τρόπους. Άρα συνολικά = τρόποι.
25 Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε 4 ίδια πορτοκάλια και 6 διαφορετικά μήλα σε 5 διαφορετικά κουτιά; Σε ποιο ποσοστό αυτών των τρόπων τοποθετούνται 2 ακριβώς φρούτα σε κάθε κουτί; Βάζουμε από 1 πορτοκάλια σε 4 κουτιά με C(5, 4) = 5! 4!1! = 5 τρόπους. Τα 6 διαφορετικά μήλα μπορώ να τα χωρίσω σε ζευγάρια (για το κουτί που μένει) με 6! 2! = 360 τρόπους. Άρα συνολικά = τρόποι. Επομένως, συνολικά = τρόποι. Οπότε το ζητούμενο ποσοστό είναι % = 7.4%
26 (α) Πόσες ακέραιες λύσεις της εξίσωσης x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 12 με x i 0 υπάρχουν; (β) Πόσες με x i > 0; (γ) Πόσες με x 1 2, x 2 2, x 3 4, x 4 0; (α) Το πρόβλημα είναι ίδιο με την εύρεση των διαφορετικών τρόπων τοποθέτησης 12 ίδιων αντικειμένων (των μονάδων) σε 4 διαφορετικά κουτιά (τους όρους της εξίσωσης). ( )! Επομένως υπάρχουν = 455 τρόποι, δηλ., 12!(4 1)! διαφορετικές λύσεις.
27 (α) Πόσες ακέραιες λύσεις της εξίσωσης x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 12 με x i 0 υπάρχουν; (β) Πόσες με x i > 0; (γ) Πόσες με x 1 2, x 2 2, x 3 4, x 4 0; (β) Το πρόβλημα είναι ίδιο με την εύρεση των διαφορετικών τρόπων τοποθέτησης 12 ίδιων αντικειμένων (των μονάδων) σε 4 διαφορετικά κουτιά (τους όρους της εξίσωσης) αλλά κάνενα κουτί να μην είναι άδειο. Επομένως υπάρχουν ( )! = 165 τρόποι, δηλ., διαφορετικές λύσεις. 8!(4 1)!
28 (α) Πόσες ακέραιες λύσεις της εξίσωσης x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 12 με x i 0 υπάρχουν; (β) Πόσες με x i > 0; (γ) Πόσες με x 1 2, x 2 2, x 3 4, x 4 0; (γ) Το πρόβλημα είναι ίδιο με την εύρεση των διαφορετικών τρόπων τοποθέτησης 12 ίδιων αντικειμένων (των μονάδων) σε 4 διαφορετικά κουτιά (τους όρους της εξίσωσης) με τους δοσμένους περιορισμούς. Επομένως υπάρχουν ( )! = 35 τρόποι, δηλ., διαφορετικές λύσεις. 4!(4 1)!
29 Σε ένα μαγαζί τα αντικείμενα Α, Β και Γ κοστίζουν από 5 ευρώ και το αντικείμενο Δ 20 ευρώ. Αν θέλω να ξοδέψω συνολικά 100 ευρώ πόσες διαφορετικές αγορές μπορώ να κάνω; Το μικρότερο ποσό είναι τα 5 ευρώ και τα άλλα είναι πολλαπλάσιά του. Οπότε θεωρώ αυτό ως μονάδα και μπορώ να διατυπώσω την παραπάνω ερώτηση ως: A + B + Γ + 4 = 20 με A, B, Γ, 0. Επειδή το Δ έχει συντελεστή 4, πρέπει να πούμε ρητά πόσα αντικείμενα τύπου Δ αγοράζουμε. Εστω i το πλήθος τους. Οπότε η εξίσωση γίνεται: A + B + Γ + 4i = 20 A + B + Γ = 20 4i με A, B, Γ, 0 και 0 i 5.
30 Σε ένα μαγαζί τα αντικείμενα Α, Β και Γ κοστίζουν από 5 ευρώ και το αντικείμενο Δ 20 ευρώ. Αν θέλω να ξοδέψω συνολικά 100 ευρώ πόσες διαφορετικές αγορές μπορώ να κάνω; Το πρόβλημα είναι ίδιο με την εύρεση των διαφορετικών τρόπων τοποθέτησης 20 4i ίδιων αντικειμένων (των μονάδων) σε 3 διαφορετικά κουτιά, για κάθε τιμή 0 i 5. 5 (20 4i + 3 1)! Επομένως υπάρχουν (20 4i)!(3 1)! = 5 i=0 (20 4i + 3 1)! (20 4i)!2! διαφορετικές λύσεις. i=0 = 5 i=0 (11 2i)! = 536 τρόποι, δηλ., (20 4i)!
31 Με πόσους τρόπους μπορούν να διανεμηθούν 2n + 1 θέσεις ενός συνεδριακού κέντρου σε 3 ομάδες, ώστε ο συνασπισμός οποιωνδήποτε δύο ομάδων να τους εξασφαλίσει πλειοψηφία; Τόσο οι θέσεις όσο και οι σύνεδροι της κάθε ομάδας δε διακρίνονται μεταξύ τους Δίνεται ότι: τόσο οι θέσεις όσο και οι σύνεδροι της κάθε ομάδας δε διακρίνονται μεταξύ τους. Επομένως, διανομές των θέσεων που προκύπτουν η μία από την άλλη με ανταλλαγή θέσεων συνέδρων μεταξύ τους, ή προσώπων συνέδρων, χωρίς αλλαγή του αριθμού των συνέδρων της κάθε ομάδας, δε μετράνε ως διαφορετικές. Ετσι, το πρόβλημα μετατρέπεται σε πρόβλημα τοποθέτησης μη διακεκριμένων (δηλ., ίδιων) αντικειμένων σε διακεκριμένες υποδοχές (τις διαφορετικές ομαδες).
32 Με πόσους τρόπους μπορούν να διανεμηθούν 2n + 1 θέσεις ενός συνεδριακού κέντρου σε 3 ομάδες, ώστε ο συνασπισμός οποιωνδήποτε δύο ομάδων να τους εξασφαλίσει πλειοψηφία; Τόσο οι θέσεις όσο και οι σύνεδροι της κάθε ομάδας δε διακρίνονται μεταξύ τους Ιδέα: Αν μία ομάδα έχει n + 1 θέσεις, τότε οι δύο άλλες δε μπορούν ποτέ να έχουν πλειοψηφία. Άρα για να απαντήσουμε στην ερώτηση πρέπει 1. να βρούμε με πόσους τρόπους μπορούν να διανεμηθούν 2n + 1 θέσεις σε 3 ομάδες χωρίς περιορισμό, και Τρόποι τοποθέτησης 2n + 1 ίδιων αντικειμένων σε 3 υποδοχές: ( ) ( 2n n+1 = 2n+3 ) 2n+1 2. να αφαιρέσουμε από αυτούς εκείνους τους τρόπους που δίνουν τουλάχιστον n + 1 θέσεις σε μία μόνο ομάδα Δίνουμε n + 1 θέσεις σε μία από τις ομάδες οπότε μένουν για διανομή 2n + 1 n 1 = n θέσεις ( Τρόποι τοποθέτησης n ίδιων αντικειμένων σε 3 υποδοχές: n+3 1 ) ( n = n+2 ) n Συνολικά, αφού υπάρχουν 3 ομάδες: 3 (n+2 ) n
33 Με πόσους τρόπους μπορούν να διανεμηθούν 2n + 1 θέσεις ενός συνεδριακού κέντρου σε 3 ομάδες, ώστε ο συνασπισμός οποιωνδήποτε δύο ομάδων να τους εξασφαλίσει πλειοψηφία; Τόσο οι θέσεις όσο και οι σύνεδροι της κάθε ομάδας δε διακρίνονται μεταξύ τους Οπότε ( οι ζητούμενοι τρόποι είναι: 2n+3 ) ( 2 3 n+2 ) 2 = n 2 (n + 1)
34 Σύνοψη-Πρακτικά (1) Εχω 10 ψηφία (διακεκριμένα αντικείμενα). Μπορώ να φτιάξω διαφορετικές 4-άδες (διατάξεις 4 από 10 αντικειμένων = P(10, 4)). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: η τετράδα 1,2,3,4 είναι διαφορετική από την τετράδα 4,3,2,1 Μπορώ να διαλέξω διαφορετικές 4-άδες 4! (συνδυασμοί 4 από 10 αντικειμένων = C(10, 4) = P(10,4) P(4,4) ). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: η τετράδα 1,2,3,4 μετράει 1 φορά και δεν είναι διαφορετική από την τετράδα 4,3,2,1
35 Σύνοψη-Πρακτικά (2) Εχω 100 μπάλες (μη διακεκριμένα αντικείμενα). Τις χωρίζω σε ομάδες από πράσινες, κόκκινες και μπλε μπάλες. Οι πράσινες μπάλες είναι 60, οι κόκκινες 30 και οι μπλε ! Υπάρχουν τρόποι να διατάξω τις 100 μπάλες. 60!30!10! Εχω 2 διαφορετικά δυαδικά ψηφία (διακεκριμένα αντικείμενα): 0 και 1. Εχω όσα θέλω από αυτά (επιτρέπονται οι επαναλήψεις). Μπορώ να φτιάξω 2 5 διαφορετικές 5-άδες. Εχω 2 ζάρια αλλά δε με ενδιαφέρει η σειρά που πέφτουν (συνδυασμοί). Κάθε ζάρι έχει 6 πιθανές τιμές και μπορεί να φέρνει την ίδια τιμή συνεχώς (επιτρέπονται επαναλήψεις). Υπάρχουν συνολικά C( , 2) ζαριές.
36 Σύνοψη-Πρακτικά (3) Εχω n αντικείμενα, ένα από το καθένα και δε με νοιάζει η σειρά. Υπάρχουν 2 n 1 τρόποι για να επιλέξω ένα ή περισσότερα από αυτά. 2: επιλέγω/δεν επιλέγω κάποιο αντικείμενο -1: πρέπει να επιλέξω τουλάχιστον ένα Εχω t ομάδες μη διακεκριμένων αντικειμένων, κάθε μία με μέγεθος q 1, q 2,..., q t, αντίστοιχα. Μπορώ να διαλέξω ένα ή περισσότερα αντικείμενα με (q 1 + 1)(q 2 + 1)...(q t + 1) 1 τρόπους.
37 Σύνοψη-Πρακτικά (4) n διακεκριμένες υποδοχές, r διακεκριμένα αντικείμενα, δε μετράει η σειρά στις υποδοχές: n r τρόποι (μπορεί να υπάρχουν και άδειες υποδοχές) n διακεκριμένες υποδοχές, r διακεκριμένα αντικείμενα, (n + r 1)! μετράει η σειρά στις υποδοχές: τρόποι (μπορεί (n 1)! να υπάρχουν και άδειες υποδοχές) n( διακεκριμένες ) υποδοχές, r μη διακεκριμένα αντικείμενα: n + r 1 (n + r 1)! = τρόποι (μπορεί να υπάρχουν r (n 1)!r! και άδειες υποδοχές)
Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική-Θέματα & Ασκήσεις 03/11/ / 13
Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική-Θέματα & Ασκήσεις 03/11/2016 1 / 13 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = (
Διαβάστε περισσότεραΔιατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή
Στοιχειώδης συνδυαστική Συνδυασμοί και διατάξεις με επανάληψη Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων;
Διαβάστε περισσότεραP(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1
Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Ασκήσεις στη Στοιχειώδη Συνδυαστική 1 / 12 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις
Διαβάστε περισσότεραP(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1
Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙ 1 / 15 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων
Διαβάστε περισσότεραGutenberg
Διακριτά Μαθηματικά * Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Φροντιστήριο: Α. Κόλλια (akollia@ceid.upatras.gr) * Οι διαφάνειες (πλην αυτών για τις σχέσεις αναδρομής) έχουν παραχθεί από τη Δρ. Ε. Παπαϊωάννου,
Διαβάστε περισσότεραΓνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.
Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2
Διαβάστε περισσότεραP(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1
Διακριτά Μαθηματικά Ι Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙΙ 1 / 16 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων
Διαβάστε περισσότεραα n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0
Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Η ύλη συνοπτικά... Γεννήτριες συναρτήσεις Τι είναι η γεννήτρια Στην
Διαβάστε περισσότεραΑπαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία
Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Συνδυαστική ανάλυση - μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση: μέτρηση αντικειμένων με ορισμένες
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διατάξεις και Συνδυασμοί όταν υπάρχουν πολλαπλά αντίγραφα των αντικειμένων Μέχρι τώρα Μετράγαμε τρόπους να διαλέξουμε (συνδυασμούς)
Διαβάστε περισσότεραΓενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί
Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διατάξεις και Συνδυασμοί όταν υπάρχουν πολλαπλά αντίγραφα των αντικειμένων Μέχρι τώρα Μετράγαμε τρόπους να διαλέξουμε (συνδυασμούς) ή να διαλέξουμε και να βάλουμε
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διατάξεις και Συνδυασμοί με απλά ή πολλαπλά αντίγραφα στοιχείων Διατάξεις Διάλεξε και βάλε σε σειρά 1 αντίγραφο κάθε στοιχείου n*n-1*n-2*
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυασμοί C(n, k): #επιλογών k από n διακεκριμένα αντικείμενα (διαθέσιμα σε ένα «αντίγραφο»).
Συνδυασμοί Συνδυασμοί C(n, k): #επιλογών k από n διακεκριμένα αντικείμενα (διαθέσιμα σε ένα «αντίγραφο»). ιαφορετικές 6άδες Lotto (από 1-49): #υποσυνόλων με k στοιχεία από σύνολο n στοιχείων: #τρόπων στελέχωσης
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:
Διαβάστε περισσότεραn ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4
Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Παραδείγματα Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο n θρανία στη σειρά
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραP(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!
Διακριτά Μαθηματικά Σύνοψη Θεωρίας Τυπολόγιο Αναστασία Κόλλια 20/11/2016 1 / 55 Κανόνες γινομένου και αθροίσματος Κανόνας αθροίσματος: Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 19/4/2018 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραμα/ Συνδυαστική Πείραμα: Οποιαδήποτε διαδικασία που μπορεί να οδηγήσει σε ένα
Διαβάστε περισσότερακ.λπ. Ισχύει πως x = 100. Οι διαφορετικές λύσεις αυτής της εξίσωσης χωρίς κανένα περιορισμό είναι
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Διακριτά Μαθηματικά 3 η γραπτή εργασία, Σχέδιο Λύσεων Επιμέλεια: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου ΘΕΜΑ (Συνδυαστική,.6 μονάδες)
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 2 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά 1ο Φροντιστήριο 07/10/2016 1
Διακριτά Μαθηματικά 1ο Φροντιστήριο 07/10/2016 1 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Διατάξεις r αντικειμένων επιλεγμένων από n αντικείμενα χωρίς επανατοποθέτηση: P(n, r) = n! (n r)! Αντιμεταθέσεις
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 3 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Διατάξεις Μεταθέσεις Συνδυασμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί
Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ
Συνδυαστική Απαρίθµηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 17/04/2018 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραμα Πείραμα: Οποιαδήποτε διαδικασία που μπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθμό παρατηρήσιμων
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil
Διαβάστε περισσότεραΓεννήτριες Συναρτήσεις
Γεννήτριες Συναρτήσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναπαράσταση Ακολουθιών Ακολουθία:
Διαβάστε περισσότεραΓεννήτριες Συναρτήσεις
Ακολουθίες Γεννήτριες Συναρτήσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ακολουθία: αριθμητική
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθµηση
Συνδυαστική Απαρίθµηση ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου, Θ. Λιανέας Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθµηση
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική. Που το πάμε. Πείραμα Συνδυαστική. Το υλικό των. ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά, Άνοιξη Πέμπτη, 27/4/2017
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 27/4/2017 Συνδυαστική Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 2 Πείραμα Πείραμα:Οποιαδήποτε διαδικασίαπου μπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθμό παρατηρήσιμων
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση. Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση - μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών
Διαβάστε περισσότεραΠόσες από αυτές τις σκακιέρες είναι αλήθεια διαφορετικές;
Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Πόσες από αυτές τις σκακιέρες είναι αλήθεια διαφορετικές; Αυτές οι
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ. Ισότητα συνόλων Έστω C = A i= B i και D = i= A B i. Θα αποδείξουμε ότι τα C, D ταυτίζονται,
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική. Σύνθετο Πείραμα. Πείραμα Συνδυαστική. Το υλικό των. ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά, Άνοιξη Τρίτη, 17/04/2018
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 17/04/2018 Συνδυαστική Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 2 Πείραμα Σύνθετο Πείραμα Πείραμα:Οποιαδήποτε διαδικασίαπου μπορεί να οδηγήσει σε ένα
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί Μεταθέσεις (permutations) Μετάθεση διακεκριμένων στοιχείων ενός συνόλου = Ανακάτεμα κάποιων ή όλων των στοιχείων του συνόλου S={1,2,3} Μεταθέσεις
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 3.2 : Απαρίθμηση Συνδυαστική (ΙΙ). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική. Που το πάµε. Πείραµα Συνδυαστική. Το υλικό των. ΗΥ118 ιακριτά Μαθηµατικά, Άνοιξη Πέµπτη, 21/4/2016
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 21/4/2016 Συνδυαστική Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 2 Πείραµα Πείραµα: Οποιαδήποτε διαδικασία που µπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθµό παρατηρήσιµων
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)
Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 22/4/2016
Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 22/4/206 Ο κανόνας του Pascal + = +,0 ή ισοδύναμα, = +,0 + Απόδειξη + =!!! +!!! = =!!! + =!!!! =!!!! = =!!!! = +!!! =!! = Το τρίγωνο του Pascal = + Για
Διαβάστε περισσότεραa n + 6a n a n 2 + 8a n 3 = 0, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 8
Διακριτά Μαθηματικά Σχέσεις Αναδρομής Ι 1 / 17 a n + 6a n 1 + 12a n 2 + 8a n 3 = 0, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 8 2 / 17 a n + 6a n 1 + 12a n 2 + 8a n 3 = 0, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 8 1ος τρόπος: Εχουμε τη
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότερα#(A B) = (#A)(#B). = 2 6 = 1/3,
Κεφάλαιο 4 Πιθανότητες και συνδυαστική Οπως είδαμε σε κάποια παραδείγματα των προηγουμένων κεφαλαίων, συχνά συναντάμε καταστάσεις όπου όλες οι δυνατές εκφάνσεις ενός τυχαίου πειράματος έχουν την ίδια πιθανότητα.
Διαβάστε περισσότεραΜεταθέσεις και Συνδυασμοί
Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Μεταθέσεις (permutations) Μετάθεση διακεκριμένων στοιχείων ενός συνόλου = Ανακάτεμα κάποιων ή όλων των στοιχείων του συνόλου S={1,2,3} Μεταθέσεις των στοιχείων του S 3,1,2 1,3,2
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 3: Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα
Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών
Διαβάστε περισσότεραΚ Ε Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας
Διακριτά Μαθηματικά Εξέταση Ιούνιος 206 Σελ. από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις σας
Διαβάστε περισσότεραP( n, k) P(5,5) 5! 5! 10 q! q!... q! = 3! 2! = 0! 3! 2! = 3! 2!
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Φροντιστήριο στη Συνδυαστική (#8) Άσκηση 1 Με πόσους τρόπους µπορούµε να δηµιουργήσουµε συµβολοσειρές που αποτελούνται από τρεις παύλες και δύο τελείες; Άσκηση 1, 1 η προσέγγιση
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος
Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr
Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Ανάλυση. Ρίζου Ζωή
Συνδυαστική Ανάλυση Ρίζου Ζωή email: zrizou@ee.duth.gr Διαφορές διατάξεων-συνδυασμών Αν ενδιαφερόμαστε για τη σειρά με την οποία εμφανίζονται τα επιλεγμένα αντικείμενα μιλάμε για ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ Αν δεν ενδιαφερόμαστε
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 4: Θεωρία Μέτρησης Po lya Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 5: Μεταθέσεις & Συνδυασμοί
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Μεταθέσεις & Συνδυασμοί Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (2η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 54 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ21 Κεφάλαιο 2. ΠΛΗ21 Ψηφιακά Συστήματα: Τόμος Α Κεφάλαιο: Παράσταση Προσημασμένων Αριθμών Συμπληρώματα
Ψηφιακά Συστήματα: Τόμος Α Κεφάλαιο: 2 2.3.4 Παράσταση Προσημασμένων Αριθμών Συμπληρώματα Στόχοι του κεφαλαίου είναι να γνωρίσουμε: Τι είναι ένας Συμπλήρωμα ενός αριθμού πρακτικά Τι είναι Συμπλήρωμα ως
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2016
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2016 6 η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άσκηση 6.1 [1 μονάδα] Πόσοι 3ψήφιοι αριθμοί σχηματίζονται από τα ψηφία 2,3,5,6,7 και 9, τέτοιοι που να διαιρούνται με το 5 και
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 28/4/2017
Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 28/4/207 Ο κανόνας του Pascal + = +, 0 ή ισοδύναμα, = +, 0 + Απόδειξη + =!!( )! +! ( )!( )! = = ( )! ( )!( )! + = ( )!!!( )!! ( )!( )! = = ( )!!!( )! (
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 19/04/2016 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραµα Πείραµα: Οποιαδήποτε διαδικασία που µπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθµό παρατηρήσιµων
Διαβάστε περισσότερα10-δικό δικό
Προγραμματισμός Η/Υ - Ι Εαρινό Εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Αριθμητικά Συστήματα 1. Εισαγωγή Όπως γνωρίζουμε, οι υπολογιστές χρησιμοποιούν το δυαδικό σύστημα για την αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Ανάλυση. Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα:
Συνδυαστική Ανάλυση Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα: P( A) N( A) N ( ) Ν(Α): πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων του Α Ν(Ω): πλήθος συνολικών αποτελεσμάτων του Ω Χρειαζόμαστε
Διαβάστε περισσότεραO n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n
Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές
Διαβάστε περισσότερα5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η ΑΡΧΗ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ
50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΑΡΧΗ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ Εισαγωγή. Η αρχή του εγκλεισμού αποκλεισμού είναι ένα ισχυρό μέσο απαρίθμησης με το οποίο υπολογίζεται ο αριθμός των στοιχείων της ένωσης και της τομής των συμπληρωμάτων
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΒρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com
Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται
Διαβάστε περισσότεραK15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 3ο Διατάξεις και μεταθέσεις 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ-ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ- ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ 2.1 Διατάξεις και μεταθέσεις 2.2 Κυκλικές διατάξεις
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #7 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 24/4/2018
Φροντιστήριο #7 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 24/4/2018 Ο κανόνας του Pascal ( n + 1 k ) = (n k ) + ( n ), 0 k n k 1 ή ισοδύναμα, ( n k ) = (n 1 k ) + (n 1 ), 0 k n + 1 k 1 Απόδειξη ( n k ) + ( n k
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 11 12 (B - Γ Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Από την εικόνα μπορούμε να δούμε ότι: 1 + 3 + 5 + 7 = 4 4. Ποια είναι η τιμή του: 1 + 3 +
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΑ) Αν το τριώνυμο έχει δύο ρίζες x 1
αν είναι θ < 0, τότε έχουμε πάλι ότι x!. Παράδειγμα 1. Για την ανίσωση x 3 4 έχουμε x 3 4 x 3 4 ή x 3 4 x 7 ή x 1 x (, 1] [7,+ ). Παράδειγμα. Για την ανίσωση x +1 3 έχουμε x +1 3 η x +1 3 x η x 1 η x (,
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ10 Κεφάλαιο 2. ΠΛH10 Εισαγωγή στην Πληροφορική: Τόμος Α Κεφάλαιο: : Συστήματα Αρίθμησης ΔΥΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ
ΠΛH10 Εισαγωγή στην Πληροφορική: Τόμος Α Κεφάλαιο: 2 2.2.1 : Συστήματα Αρίθμησης ΔΥΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΔΥΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ. Στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης, αντί για δεκάδες, εκατοντάδες με τις
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις
1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΣύστημα αρίθμησης. Τρόπος αναπαράστασης αριθμών Κάθε σύστημα αρίθμησης έχει μία βάση R
Συστήματα αρίθμησης Σύστημα αρίθμησης Τρόπος αναπαράστασης αριθμών Κάθε σύστημα αρίθμησης έχει μία βάση R Η βάση δείχνει πόσες μονάδες μιας τάξης φτιάχνουν μια μονάδα της επόμενης τάξης Μπορεί να είναι
Διαβάστε περισσότεραε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.
1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική
Διακριτά Μαθηματικά Γεώργιος Χρ. Μακρής http://users.sch.gr/gmakris 7 Αυγούστου 2012 Η είναι ένα κομμάτι των Μαθηματικών που επικεντρώνεται στη "μέτρηση" του πλήθους των αντικειμένων ενός συνόλου. Η ασχολείται
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 5ο Σχηματισμοί όπου επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων 2 Παράδειγμα 2.4.1 Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη 1 η Ενότητα
ilias ili Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη 1 η Ενότητα Αριθμοί μέχρι το 1000 - Οι τέσσερις πράξεις Γεωμετρικά σχήματα Πηγή: e-selides 1) Γράφω τους
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α
ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α 1. (2.5 μονάδες) Ο κ. Ζούπας παρέλαβε μία μυστηριώδη τσάντα από το ταχυδρομείο. Όταν
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Απαρίθμηση: Μεταθέσεις και Συνδυασμοί
Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Απαρίθμηση: Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών Σκοποί
Διαβάστε περισσότερα6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραB A B A A 1 A 2 A N = A i, i=1. i=1
Κεφάλαιο 2 Χώρος πιθανότητας και ενδεχόμενα 2.1 Προκαταρκτικά Εστω ότι κάποιος μας προτείνει να του δώσουμε δυόμισι ευρώ για να παίξουμε το εξής παιχνίδι: Θα στρίβουμε ένα νόμισμα μέχρι την πρώτη φορά
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.)
Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Ε.Κ.Π. (Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο) Κοινό όταν δύο άτομα έχουν ένα κοινό
Διαβάστε περισσότερα