ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ ΝΤΖΟΥΦΡΑΣ Η βάση για (σχεδόν) όλες τις θετικές επιστήμες Από την επιστήμη των μαθηματικών γεννήθηκε η επιστήμη της στατιστικής, που έχει χαρακτηριστεί «η επιστήμη των επιστημών». Αποτελεί το ποσοτικό μέρος όλων των επιστημών, από φιλοσοφία έως οικονομικά (οικονομετρία) και ψυχολογία (ψυχομετρία).

2 . ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ; Είναι οι επιστήμονες που προάγουν την επιστήμη των μαθηματικών, δηλαδή αποδεικνύουν ένα θεώρημα (μια μαθηματική αλήθεια). Επειδή η δουλειά τους δεν είναι κατανοητή από τους κοινούς θνητούς (μερικές φορές ούτε από τους ίδιους τους μαθηματικούς) είναι απόμακροι. Τις περισσότερες φορές τα θεωρήματα είναι ξεκομμένα από την πραγματικότητα και δεν έχουν καμιά (άμεση) εφαρμογή. Πολλές φορές θεωρίες των μαθηματικών εφαρμόστήκαν πολλά χρόνια αργότερα σε φαινομενικά άσχετους κλάδους της επιστήμης. Παραδείγματα:. Στατιστική (Ποσοτικοποίηση της Αβεβαιότητας). Χρησιμοποιείται για την απόδειξη σχέσεων και φαινομένων.. Θεωρία του χάους. Εφευρέθηκε στις αρχές του αιώνα χωρίς να φαίνεται να έχει καμιά εφαρμογή και σήμερα εφαρμόζεται ευρέως στους Η/Υ (fractals). 3. Οικονομικά Οικονομετρία: Βασίζουν την αρχή τους σε μαθηματικούς νόμους και κανόνες.

3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ.. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ; Θεμελιωτής: Cantor (845-98) ΟΡΙΣΜΟΣ: Σύνολο είναι η συλλογή (ομάδα) διακεκριμένων και αυστηρώς καθορισμένων αντικειμένων τα οποία λαμβάνονται ως μια ενότητα. Παράδειγμα: Οι παίκτες του Ολυμπιακού Οι φοιτητές της σχολής Διοίκησης Οι κάτοικοι της Χίου.. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ: Τα αντικείμενα που αποτελούν ένα σύνολο ονομάζονται στοιχεία (elements). Παράδειγμα: Ο Τζιοβάνι είναι ένα στοιχείο του συνόλου των παικτών του Ολυμπιακού. Συμβολισμός : Έστω Α σύνολο και α ένα στοιχείο. Τότε με α Α συμβολίζουμε την πρόταση «Το στοιχείο α ανήκει στο σύνολο Α», ενώ με α Α συμβολίζουμε την πρόταση «Το στοιχείο α δεν ανήκει στο σύνολο Α». Συμβολισμός (Άμεσος προσδιορισμός): Έστω X, X,..., X n τα στοιχεία ενός συνόλου Α, τότε μπορούμε να γράψουμε το Α ως { X, X,..., X n }. Συμβολισμός 3 (Έμμεσος προσδιορισμός): Αν τα στοιχεία ενός συνόλου Α ικανοποιούν μια σχέση τότε μπορούμε να γράψουμε Α={Σχέση}, π.χ αν Α={,,3,4,5} τότε Α={ x N : x 5}. Παραδείγματα: Τζιοβάνι Ολυμπιακό Βαζέχα Ολυμπιακό Ολυμπιακός={Ελευθερόπουλος, } Αμυντικοί Παναθηναϊκού={ x Παναθηναϊκό: x παίζει άμυνα}

4 ..3 ΜΕΡΙΚΑ ΓΝΩΣΤΑ ΣΥΝΟΛΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: N = { 0,,,3,... } ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: Z = {..., 3,,,0,,,3,... } ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: a Q = x = : a, b Z b ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: R ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: C = { a + bi ( a, b) R} i = ΚΕΝΟ ΣΥΝΟΛΟ: Φ = {} ή. :, Z*, N*, R*, Q*, C* : είναι τα αντίστοιχα σύνολα, χωρίς το μηδέν...4 ΠΛΗΘΟΣ ΕΝΟΣ ΣΥΝΟΛΟΥ Ή ΠΛΗΘΑΡΙΘΜΟΣ (CARDINALITY) ΟΡΙΣΜΟΣ: Πληθάριθμος ενός συνόλου Α είναι ο αριθμός (πλήθος) των στοιχείων του. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: Α Παραδείγματα:. Έστω Α={,,5,7}, τότε Α =4. Έστω Α={Οι κάτοικοι της πόλης της Χίου}, τότε Α = ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένα σύνολο ονομάζεται πεπερασμένο αν Α = n, n N. Κάθε σύνολο που δεν είναι πεπερασμένο λέγεται απειροσύνολο...5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να εξετάσετε αν το ανήκει στα ακόλουθα σύνολα: a) A={,,3} b) B={4,3,5} c) C={3,7,0,5,33} Απάντηση: A, B, C. ) Υπολογίστε το πλήθος των παραπάνω συνόλων Απάντηση: Α =3, Β =3, C =5.

5 . ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΥΝΟΛΩΝ.. ΙΣΟΤΗΤΑ ΔΥΟ ΣΥΝΟΛΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ: Δύο σύνολα Α, Β είναι ίσα αν x A x B (δηλαδή για κάθε x το οποίο ανήκει στο Α τότε x ανήκει στο Β και αντιστρόφως). Με απλά λόγια, τα σύνολα Α και Β είναι ίσα αν όλα τα στοιχεία του Α είναι και στοιχεία του Β και.. ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένα σύνολο Α καλείται υποσύνολο του Β αν x A x B. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: A B ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένα σύνολο Α καλείται «γνήσιο υποσύνολο» του Β αν x A x B και A < B. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: A B αντίστροφα. Άσκηση: Είναι ίσα τα παρακάτω σύνολα; a) A {,3,5 } και B {,4,6} = = b) A { 00,98,...,} και B = { x N : x 00} = c) A = 3 {,3,5,...,99} και B = 3 { 99,97,95,...,}..3 ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ: Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ισοδύναμα αν Α = Β. Απάντηση: a) A B εφόσον A αλλά B b) A = B = {,4,6,...,00} = { k, k N, k 50} c) A 3 = B3 = {,3,5,...,99} = { k, k N, k 50}

6 .3 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΟΛΩΝ.3. ΈΝΩΣΗ ΣΥΝΟΛΩΝ (UNION) ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένα σύνολο Σ ονομάζεται ένωση δύο συνόλων Α και Β αν x Σ ( x A) ή ( x B) (Κάθε στοιχείο του Σ ανήκει στο Α ή Β σύνολο και κάθε στοιχείο των Α ή Β ανήκουν στο Σ). ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: Σ = A B Παράδειγμα: {άρτιοι} {περιττοί}=ν.3. ΤΟΜΗ ΣΥΝΟΛΩΝ (INTERSECTION) ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένα σύνολο Σ λέγεται τομή των συνόλων Α και Β αν x Σ ( x A) και ( x B) (Το σύνολο Σ περιλαμβάνει τα κοινά στοιχεία των συνόλων Α και Β). ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: Σ = A B Παράδειγμα: {άρτιοι} {περιττοί}= Ø {,3,6} {,,4,6}={,6}.3.3 ΔΙΑΦΟΡΑ Η ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΩΝ (DIFFERENCE) ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένα σύνολο Σ είναι η διαφορά του συνόλου Β από το Α αν x Σ ( x A) και ( x B) (Το σύνολο Σ περιλαμβάνει τα στοιχεία του Α που δεν είναι στοιχεία του Β). ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: Σ = A B ή Σ = A \ B Παράδειγμα: Ν {άρτιοι} = {περιττοί} Ζ Ν = { -3, -, -}.3.4 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΣΥΝΟΛΟ Η ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΕΝΟΣ ΣΥΝΟΛΟΥ (COMPLEMENT) ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω ένα σύνολο Ω το οποίο θεωρούμε ως σύνολο αναφοράς. Τότε συμπλήρωμα του συνόλου Α ως προς Ω είναι η διαφορά Ω Α. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: A = Ω A ή A = Ω A Σημείωση: A B = A B αν το Ω A και Ω B Ω Ω

7 .3.5 ΞΕΝΑ ΣΥΝΟΛΑ (DISJOINT SETS) ΟΡΙΣΜΟΣ: Δύο σύνολα A Ø, B Ø λέγονται ξένα αν η τομή τους είναι το κενό σύνολο ( A B = Ø), δηλαδή δεν έχουν κοινά σημεία. Παραδείγματα: {άρτιοι} {περιττοί}= Ø {Φοιτητές Αιγαίου} {Φοιτητές Ο.Π.Α}=Ø {Φοιτητές Αιγαίου} {Φοιτητές ΠΑ.ΠΕΙ}=Ø.4 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ.4. ΈΝΩΣΗ. A A = A. A A = A 3. A B = B A 4. A B = Ø A = Ø και Β = Ø 5. A B ( A Γ) ( B Γ) 6. A B A B = B 7. A A B και B A B.4. ΤΟΜΗ. A A = A. A Ω = A 3. A A = Ø 4. A B A και A B B 5. A B = B A 6. A B A Γ B Γ 7. A B A B = A 8. ( A B) Γ = A ( B Γ).4.3 ΔΙΑΦΟΡΑ. ( A B) B =. A B A Ø 3. A B = A A B = Ø.4.4 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ. A A = Ω. A A = Ø 3. A = A 4. A B A B 5. A B = A B 6. A B = A B

8 .4.5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ. A ( B Γ) = ( A B) ( A Γ). A ( B Γ) = ( A B) ( A Γ) A = = 3. ( A B) A ( A B) A.5 ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ.5. ΔΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΟ ΖΕΥΓΟΣ.5.3 ΔΥΑΔΙΚΗ Η ΔΙΜΕΛΗΣ ΣΧΕΣΗ ΑΠΟ ΤΟ Α ΣΤΟ Β ΟΡΙΣΜΟΣ: Κάθε υποσύνολο Σ του διμελή σχέση από το Α στο Β. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: Παράδειγμα: Σ = Σ : A B ή A Σ B A = R, B = R {( x, y) : y = x} A B ορίζει μια ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένα σύνολο δύο στοιχείων ( x, y) στο οποίο μπορεί να οριστεί ποιο είναι πρώτο και ποιο δεύτερο Το Σ ορίζει μια σχέση από το A Σ B = R Σ R λέγεται «διατεταγμένο ζεύγος». x = = = ΙΣΟΤΗΤΑ: (, y) ( x, y) x x & y y Συντεταγμένες ονομάζονται οι τιμές x και y. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ:.5. ΔΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΟ ΖΕΥΓΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Καρτεσιανό γινόμενο των συνόλων Α και.5.4 ΔΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΗ ν αδα =, ν στοιχείων ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένα σύνολο S ( a a,..., a ν ) το οποίο ορίζεται με συγκεκριμένη σειρά λέγεται «διατεταγμένη ν-άδα στοιχείων». ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: S ~ ή S Σημείωση: Είναι γενίκευση της δυάδας. Β ονομάζεται το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών ( x, y) με x A και y B. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: A B = {( x, y) : x A & y B}

9 .5.5 ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ Ν ΣΥΝΟΛΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ: Το σύνολο των διατεταγμένων ν-άδων που ορίζονται από το σύνολο A {( x, x,..., x ) : x A,, ν} A... Aν = ν i i i =,..., καλείται καρτεσιανό γινόμενο των στοιχείο A,...,, A Aν. Το x i είναι η i συντεταγμένη της διατεταγμένης ν-άδας..6 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΙΜΕΛΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ.6. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΧΕΣΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω Σ μια διμελής σχέση από το Α στο Β, τότε Σ = {(, x) : ( x, y) Σ} y, δηλαδή Σ B A είναι μια διμελής σχέση από το Β στο Α..6. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ: Πεδίο ορισμού Σ 0 της σχέσης ορίζουμε το σύνολο: Σ 0 = { x A : y B τέτοιο ώστε ( x, y) Σ} Σ A B δηλαδή όλες οι τιμές του x για τις οποίες υπάρχει y B τέτοιο ώστε ( x, y) Σ..6.3 ΠΕΔΙΟ ΤΙΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ: Πεδίο τιμών ορίζουμε το σύνολο: Σ r της σχέσης Σ = { y B : x A τέτοιο ώστε ( x, y) Σ} r Σ A B δηλαδή όλες οι τιμές του y για τις οποίες υπάρχει x A τέτοιο ώστε ( x, y) Σ..6.4 ΕΙΚΟΝΑ ΟΡΙΣΜΟΣ: Ως εικόνα Σ (x) ενός στοιχείου x Σ 0 ορίζουμε το σύνολο { y B : ( x, Σ} Σ ( x ) = y)

10 ΟΡΙΣΜΟΣ: Εικόνα Σ (Γ) ενός συνόλου Γ Σ 0 ορίζεται η ένωση των εικόνων όλων των στοιχείων του Γ δηλαδή Σ( Γ) = Σ( x). x Γ.6.5 ΓΙΝΟΜΕΝΟ Ή ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΧΕΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ: Γινόμενο ή σύνθεση των σχέσεων Σ A B και Σ B Γ είναι μια σχέση Σ Σ η οποία ορίζεται ως εξής: Σ Σ = {( x, z) A Γ : y B τέτοιο ώστε ( x, y) Σ & ( y, z) Σ }.6.6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Π = Ρ = {(,),(,4),(3,6),... } R {(,0),(,00),(3,000),...} Μπορούμε να γράψουμε: Για το Π έχουμε: {( k,k), k N *} Π =, Ρ = k {( k,0 ), k N *} {(,),(4,),(6,3),...} = {( k, k), k N *} Π Π r = {,4,6,... } = άρτιοι, Π ( x) = { x} Π =, 0 N * Για το Ρ έχουμε: k {(0,),(00,),(000,3),...} = {(0, k), k N *} Ρ =, = Ρ 0 = N * k Ρ r = { 0,00,000,... } = { 0 : k N *}, Ρ ( x) = { 0 x } 4 6 Ρ Π = {(,00),(,0 ),(3,0 ),...}, Ρ Π( x) = { 0 x } ( Ρ Π) = Π 0 = ( Ρ Π) r 0 N = * k { 0, k N *}

11 .6.7 ΒΕΛΟΕΙΔΕΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Τα ζευγάρια ( x, y) μπορούν γενικά να παρασταθούν ως εξής: Παράδειγμα: Έστω ότι έχουμε 0 καταναλωτές και 3 καταστήματα, τότε: Π = {,,...,0} και Κ = {,,3} Η σχέση πελάτη καταστήματος δίνεται από το καρτεσιανό γινόμενο Σ Π Κ με {(,),(,),(3,),(4,3),(5,3),(6,3),(7,3),(8,3),(9,),(0,)} Σ = και αναπαρίσταται:

12 .6.8 ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ Χρησιμοποιούνται κυρίως σε περιπτώσεις που τα σύνολα αναφοράς συγκροτούνται από πραγματικούς αριθμούς. Παράδειγμα Έστω = { 0,,,3,4,5 } A και Σ A A με Σ = {(0,0),(0,),(,),(,),(,),(,3 ), (,0),(0,),(,), (,0),(0,3),(3,), ( 3,0),(0,4), ( 4,0) } Ζητείται να βρεθεί η αλγεβρική διατύπωση του Σ με τη βοήθεια του καρτεσιανού διαγράμματος. Σ = {( x, y) N* : ( x, ) κάτω της ευθείας ε} y ε περνάει από τα σημεία (5,0) και (0,5) Χρησιμοποιούμε τον τύπο: x y x y x = y x y Παράδειγμα Έστω = { 0,,,3,4,5,6 } Σ = Σ A, {(0,0),(,),(,),(3,3),(4,4)} {( x, x) N* : x < 5} = {( x, y) N * N*: x = y, x 5} = < x x 5 ή = = x + y = 5 y y Άρα Σ = {( x, y) N * N* : x + y 5} <

13 .6.9 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΧΕΣΕΩΝ Έστω Σ A B : ) Το Σ έχει την ανακλαστική ιδιότητα αν x Σ ( x, ) Σ 0 x ) Το Σ έχει την μεταβατική ιδιότητα αν, ( x, y) Σ δεδομένου ότι ( x, z) Σ ( y, z) Σ 3) Το Σ έχει την συμμετρική ιδιότητα αν ( x, y) Σ ( y, x) Σ 4) Το Σ έχει την αντισυμμετρική ιδιότητα αν [( x, y) Σ & ( y, x) Σ] x = y.7 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ.7. ΚΑΤΕΥΘΥΝΟΜΕΝΟ ΓΡΑΦΗΜΑ (DIRECTED GRAPH) ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένα διατεταγμένο ζεύγος G = ( V, A) με A V V λέγεται κατευθυνόμενο γράφημα. Τα στοιχεία του V λέγονται κόμβοι ή κορυφές (nodes) και τα στοιχεία του Α τόξα (arcs). Αν Α=Ø τότε το γράφημα ονομάζεται κενό ή εκφυλισμένο. Παρατήρηση: Σε κάθε διμελή σχέση αντιστοιχεί ένα γράφημα. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: Για τους κόμβους: Για τα τόξα:

14 Παράδειγμα G = με { v, v, v, v v } Έστω ( V, A) V = 3 4, 5 και { v, v ),( v, v ),( v, v ),( v, v ),( v, )} A = ( v. Τότε Παράδειγμα από Στατιστική: Παράγοντες κινδύνου καρδιακών νοσημάτων (Edwards & Havarek, 985, JASA) 84 άνδρες εξετάστηκαν για 6 παράγοντες κινδύνου καρδιακών νοσημάτων. Τα τόξα υποδεικνύουν σημαντική στατιστική σχέση. Έντονη πνευματική εργασία Λόγος πρωτεϊνών β προς α Συστολική πίεση ή Έντονη σωματική Κάπνισμα Ιστορικό καρδιακών εργασία νοσημάτων

15 Παράδειγμα από Στατιστική: Μαθηματικά στο σχολείο Fowlkes et.al (988) σε σχολείο του New Jersey Φύλο Προτίμηση: Θετικές Επιστήμες ή σε Θεωρητικά Περιοχή: Αστική ή Ημιαστική Παρακολούθηση Χρειάζομαι τα μαθηματικά για το μέλλον Μελλοντικά σχέδια: Πανεπιστήμιο ή Δουλειά

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ A.0. Σύνολα Μια οποιαδήποτε συλλογή αντικειμένων λέγεται * ότι είναι ένα σύνολο και τα αντικείμενα λέγονται στοιχεία του συνόλου. Αν με Α συμβολίσουμε ένα σύνολο και α είναι

Διαβάστε περισσότερα

Προτάσεις, Σύνολα, Απεικονίσεις

Προτάσεις, Σύνολα, Απεικονίσεις Κεϕάλαιο 1 Προτάσεις, Σύνολα, Απεικονίσεις Το κεϕάλαιο αυτό είναι εισαγωγικό και έχει σκοπό να υπενθυµίσει και να γενικεύσει κάποιες εν µέρει γνωστές έννοιες καθώς και τη σχετική ορολογία και το συµβολισµό.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Τµήµα Επιστήµης και Τεχνολογίας Υλικών Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Νίκος Λαζαρίδης Για το µάθηµα Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά (ΤΕΤΥ 116) Αναθεώρηση, συµπληρώσεις : Μαρία Καφεσάκη 1 Κεφάλαιο 1: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Με σκοπό την καλύτερη μελέτη τους και ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους, τα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008.

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008. Πρόλογος Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν το μεγαλύτερο μέρος του υλικού που διδάχτηκε στις παραδόσεις του προπτυχιακού μαθήματος της Αριθμητικής Ανάλυσης, το εαρινό εξάμηνο 7-8, στο Μαθηματικό τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΠΕΤΡΟΣ ΣΤΕΦΑΝΕΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΠΕΤΡΟΣ ΣΤΕΦΑΝΕΑΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΠΕΤΡΟΣ ΣΤΕΦΑΝΕΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η λογική με τη συμβολική ή μη μορφή της έχει διεισδύσει σε όλες τις πτυχές της πληροφορικής. Η ανάπτυξη της συμβολικής

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Εισαγωγή Θα συμπληρωθεί 1 Κεφάλαιο 1 Γεωμετρικά διανύσματα στο επίπεδο Ενα γεωμετρικό διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ e ΚΑΙ π ΚΑΙ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ Υ- ΠΕΡΒΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ e ΚΑΙ π ΚΑΙ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ Υ- ΠΕΡΒΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ π ΚΑΙ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ Υ- ΠΕΡΒΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Του Αντωνίου Α. Αντωνίου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το σύνολο των υπερβατικών αριθμών είναι ένα υπεραρθμήσιμο σύνολο. Αυτό σημαίνει ότι μεταξύ των πραγματικών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟΜΟΣ ος ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ www.armscontrol.nfo 7 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2.

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. Κεφάλαιο 17 Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 17.3. ΤΟ χ 2 ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 17.3.1. Ένα ερευνητικό παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ ΤΟΥΣ

Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ ΤΟΥΣ Αναπαραστάσεις και Κατανόηση Συνόλων Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ ΤΟΥΣ Ειρήνη Αριστοτέλους, Χρυστάλλα Περικλέους, Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών Αγωγής,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. Νώντας Κεχαγιάς Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. Νώντας Κεχαγιάς Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Νώντας Κεχαγιάς Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων Ιωάννινα, 2008 ii Περιεχόµενα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...................... vii 1.1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΥΤΕΡΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ......... vii

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΟΥΡΛΑΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 ( ) ( ) ( ) = 4( ) d d ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΑΘΗΝΑ 00 Email: dsourlas@phsics.upatras.gr www.phsics.upatras.gr

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι Συνολο λεγεται καθε συλλογη 3. Να δειχτει αντικειμενων, οτι α + 0 που προερχονται 0α. Ποτε ισχυει απ την το εμπειρια ισον; μας η τη διανοηση 3 3. μας, Aν α, ειναι

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

, y 1. y y y y = x ( )

, y 1. y y y y = x ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ Μία εξίσωση µε αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µίας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C και µόνο αυτές την επαληθεύουν. Αν έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Άλγερα και πράξεις: (ή το µυστικό της επιτυχίας) - Όταν ένα γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Αξιολόγηση μαθητών Α και Β τάξεων Ημερησίου Γενικού Λυκείου και Α, Β και Γ τάξεων Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχ.

ΘΕΜΑ: Αξιολόγηση μαθητών Α και Β τάξεων Ημερησίου Γενικού Λυκείου και Α, Β και Γ τάξεων Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχ. ΦΕΚ Β 862 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ, ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1.1 Επίλυση προβλημάτων και λήψη αποφάσεων 1.2 Ποσοτική ανάλυση και λήψη αποφάσεων 1.3 Ποσοτική ανάλυση Ανάπτυξη μοντέλου Προετοιμασία δεδομένων Επίλυση μοντέλου Δημιουργία

Διαβάστε περισσότερα