ΘΕΜΑ 1: ίδεται η περιγραφή µίας κίνησης ενός µονοδιάστατου Συνεχούς κατά Lagrange

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΜΑ 1: ίδεται η περιγραφή µίας κίνησης ενός µονοδιάστατου Συνεχούς κατά Lagrange"

Κέφαλος Παπακωνσταντίνου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εξ. ιδ. 04 Καθηγητής Ι. Βαρδουλάκης, Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 8:30 π.µ., Πέµπτη 8 Ιουλίου 004 ΘΕΜΑ : ίδεται η περιγραφή µίας κίνησης ενός µονοδιάστατου Συνεχούς κατά agrange ξ Χ ( ξ, ξ ξ, 0. Να υπολογισθούν οι µαθηµατικές εκφράσεις τς ταχύτητας v v (, και ξ της επιτάχυνσης a a (, του υλικού σηµείου σε περιγραφή κατά agrange. ξ. Nα υπολογισθούν η βαθµίδα παραµόρφωσης F F( ξ, καθώς και ξ µετατόπιση u u (, και η τροπή κατά Green G G( ξ, ως προς την αρχική απεικόνιση ( 0 του εν λόγω Συνεχούς. Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Ιουλίου 004

2 Λύση ου Θέµατος: Περιγραφή της κίνησης κατά agrange ξ X ( ξ, ξ ξ, 0 ξ, X ( ξ, : ξ ξ H ταχύτητα του υλικού σηµείου είναι v Χ ( ξ, ξ, v ( ξ, : ξ ( H επιτάχυνση του υλικού σηµείου a v ( ξ Χ,, a ( ξ, : 4 ξ ( 3 3 ( ( / 3 H βαθµίδα παραµόρφωσης Χ ξ F, F ( ξ, : ξ ξ Η µετατόπιση του υλικού σηµείου µετράται σε σχέση µε την αρχική του θέση u ( ξ, Χ ( ξ, Χ ( ξ,0, u ( ξ, : ξ ξ Η τροπή κατά Green G u u, G ( ξ, : ξ ( ξ ξ ξ ( Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Ιουλίου 004

3 3 ΘΕΜΑ : Υποθέτουµε ότι κάτω από κανονικές συνθήκες η εµπειρική σχέση ταχύτηταςπυκνότητας κυκλοφοριακής ροής δίδεται κατά προσέγγιση από τις εξής σχέσεις: v V( ρ v v a a k 0. ρ ρ, a ρ a car 00. k ( Για τη χρονική στιγµή ( 0 δίδεται η (αρχική κατανοµή της πυκνότητας, 0 < 0 ρ (,0 ρ 0 4.k ( 0 > 4.k όπου ρ είναι η βέλτιστη πυκνότητα κυκλοφοριακής ροής. Για την παραπάνω αρχική συνθήκη, εξ. (, να υπολογισθεί αριθµητικά ο χρόνος ( σε in και ο τόπος ( σε k, όπου το κύµα εκτόνωσης θα συναντήσει για πρώτη φορά το επερχόµενο κρουστικό µέτωπο ( A B. Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Ιουλίου 004

4 4 Υπόδειξη: Να γίνει χρήση της µεθόδου των Χαρακτηριστικών Γραµµών. Αρχικά το κρουστικό κύµα στα αριστερά της κατανοµής µεταδίδεται µε σταθερή ταχύτητα c d. Μόνο αυτή η φάση µας ενδιαφέρει εδώ. Εδώ να αντιµετωπιστεί η αρχική φάση της µετατόπισης του κρουστικού κύµατος, που αφορά στην απότοµη πύκνωση στα αριστερά της αρχικής κατανοµής (σχ. (α, σηµείο A. Στη συνέχεια να αντιµετωπιστεί η εκτόνωση της πύκνωσης στα δεξιά της αρχικής κατανοµής (σχ. (β, σηµείο B Αν επιθυµεί, ο φοιτητής θα µπορούσε να ασχοληθεί και µε την τελική φάση του φαινοµένου, όπου η ταχύτητα του κρουστικού κύµατος µεταβάλλεται µε το χρόνο. Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Ιουλίου 004

Λύση ου Θέµατος: ίδεται η γραµµική καταστατική σχέση ταχύτητας πυκνότητας ρ V ( ρ v a ρa Παρατηρούµε τώρα ότι στη βάση αυτής της καταστατικής σχέσης έχουµε, Q ( ρ ρv( ρ v a ρ ρ ρ a dq ρ C ( ρ va dρ

5 Λύση ου Θέµατος: ίδεται η γραµµική καταστατική σχέση ταχύτητας πυκνότητας ρ V ( ρ v a ρa Παρατηρούµε τώρα ότι στη βάση αυτής της καταστατικής σχέσης έχουµε, Q ( ρ ρv( ρ v a ρ ρ ρ a dq ρ C ( ρ va dρ ρa ρ ρa Η συνθήκη Rankine-Hugonio για την ταχύτητα µετάδοσης του κρουστικού κύµατος είναι, c d [] [ ρ] [ ρ] ρ ρ, [] Εµπροκειµένω έχουµε: [ ρ] ρ ρ ρ 0 ρ ρa και Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Ιουλίου 004

6 6 ρa 4 [ ] v ρ a ρ 0 va ρa vaρ ρa ρa 4 Οπότε a vaρa c 4 d v 60. k / a ( ρa ίκτυο Χ.Γ.: Πάνω στο άξονα (0 και για: < 0 : Οι Χ.Γ. είναι ευθείες µε κλίση, C(0 v a 0 k / 60 in 0 k in 0. k 0 < < 4k : Οι Χ.Γ. είναι κατακόρυφες ευθείες, C( ρ 0 3 > 4k : Οι Χ.Γ. είναι ευθείες µε κλίση, C(0 va in 0. k Οι Χ.Γ. της οικογένειας ( και της οικογένειας ( τέµνονται κατά µήκος της γραµµής ζωής του κρουστικού κύµατος, η οποία αρχικά (δηλ. εφ οσον ισχύει η παραπάνω σχέση ( είναι επίσης ευθεία γραµµή µέ κλίση cd k in 60 k in. k Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Ιουλίου 004

7 7 4 Στο σηµείο Prandl P (4.k, 0. in οι Χ.Γ. είναι δέσµη ευθειών που ξεκινάνε µε κλίση κατακόρυφη (οικογ. ( και τελειώνουν µε τη κλίση της οικογένειας (. Θεωρούµε το σηµείο A(4.k, 4. in όπου η κατακόρυφη Χ.Γ. από το πέρας της πύκνωσης τέµνει τη γραµµή ζωής του κρουστικού κύµατος. Για το σχεδιασµό της κατανοµής της πυκνότητας στο χρόνο αυτό διαλέγουµε τις εξής Χ.Γ. της δέσµης εκτόνωσης, (ΧΓ µε κλίση: C 4 in k C k k. Η κλίση αυτής της ΧΓ αντιστοιχεί σε ταχύτητα µετάδωσης κύµατος, ρ C va ρa ρa ρ C va 00 car k 0 car 87. k Η Χ.Γ. αυτή τέµνει τον χρονικό ορίζοντα 4. in στο σηµείο α (.k, 4.in (Χ.Γ. µε κλίση: C in k C k k car 30 car ρ 7., β (6.k, 4. in k 0 k (Χ.Γ. µε κλίση: C in k C. 60 k k 60. Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Ιουλίου 004

8 8 00 car 60 car ρ 0., γ (8.k, 4. in k 0 k (Χ.Γ. µε κλίση: C in 3 k C. 60 k k car 90 car ρ., δ (0.k, 4. in k 0 k (Χ.Γ. µε κλίση: C in k C. 60 k k car 0 car ρ 0., δ (.k, 4. in k 0 k Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Ιουλίου 004

9 9 Παρατήρηση : Για χρόνους µεγαλύτερους του 4. in, η γραµµή ζωής του κρουστικού κύµατος δεν είναι ευθεία. Αυτό φαίνεται από τον παρακάτω υπολογισµό: Κατ αρχή εισάγουµε νέες αδιάστατες εξ. µεταβλητές, c v c c Επιλέγουµε ως µήκος σύγκρισης το αρχικό µήκος της πύκνωσης, c 4.k και ως ταχύτητα αναφοράς την µέγιστη ταχύτητα κυκλοφορίας, Προαιρετικό ερώτηµα Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Ιουλίου 004

10 0 v v c a 0.kM/ Οι Χ.Γ. της δέσµης εκτόνωσης έχουν την εξής εξίσωση, ( d d c ρ ρ a Η Χ.Γ. µεταφέρει αναλλοίωτη τη πυκνότητα, ρ ρ a Παρατηρούµε δε ότι τα όρια της δέσµης είναι, > ρ > ρ 0 Τα αντίστοιχα άλµατα είναι, [ ρ ] ρa 0 [ ] v a ρ a ρ a 0 v aρ 4 4 a Οπότε, [] cd v a [ ρ] Η γραµµή ζωής του κρουστικού κύµατος έχει κλίση, Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Ιουλίου 004

11 d d c d d d όπου από την αντίστοιχη Χ.Γ. έχουµε ότι, Άρα d d d d Η παραπάνω εξίσωση είναι γραµµική Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Ιουλίου 004

12 d P( Q( d όπου P(, Q( Οπότε µε Pd d ln ln Pd e και Pd Pd e A e Qd A d > rear; > f(:(/(-//r(; f( : > T(: in( f(, ; T( : A A Η γραµµή ζωής του κρουστικού κύµατος περνάει από το σηµείο Α µε συντεταγµένες Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Ιουλίου 004

13 Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Ιουλίου k 0.k /(60.in 4.in 4.in 4.k Άρα η σταθερά ολοκλήρωσης είναι, A A και ως εκ τούτου, ή 4( 4 0 ( (, ( ( ± ± >

4 ΘΕΜΑ 3: Ένα εδαφικό δείγµα τοποθετείται κατακόρυφα σε µια κατάλληλη πειραµατική συσκευή, η οποία επιβάλει ροή ύδατος δια µέσου αυτού µε κατεύθυνση από πάνω προς τα κάτω.

14 4 ΘΕΜΑ 3: Ένα εδαφικό δείγµα τοποθετείται κατακόρυφα σε µια κατάλληλη πειραµατική συσκευή, η οποία επιβάλει ροή ύδατος δια µέσου αυτού µε κατεύθυνση από πάνω προς τα κάτω. Η στάθµη του ύδατος στο πάνω και στο κάτω άκρο του δείγµατος διατηρείται σταθερή στις θέσεις H 0 0. και H 3 0. από το επίπεδο αναφοράς (( E : z 0. Το δοκίµιο αποτελείται από τρεις ισοπαχείς στρώσεις από δύο διαφορετικά εδαφικά υλικά µε τα εξής χαρακτηριστικά: ( ιλύς : k ( w 0 c / ec,. (άργιλος c : k ( c w 0 7 c / ec, c. Να υπολογισθεί η ειδική παροχή ύδατος διαµέσου του εδαφικού δοκιµίου l / σε l / ανά. επιφανείας κάθετης στη ροή, [ ]. Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Ιουλίου 004

Λύση 3 ου Θέµατος: Ο νόµος του Darcy στην περίπτωση που εξετάζουµε παίρνει την εξής µορφή z k w d dz όπου έχουµε εισάγει το λεγόµενο υδραυλικό ύψος ως το άθροισµα του γεωδαιτικού ύψους και του

15 Λύση 3 ου Θέµατος: Ο νόµος του Darcy στην περίπτωση που εξετάζουµε παίρνει την εξής µορφή z k w d dz όπου έχουµε εισάγει το λεγόµενο υδραυλικό ύψος ως το άθροισµα του γεωδαιτικού ύψους και του πιεζοµετρικού ύψους: p z w γ w Σηµείωση: Το αρνητικό πρόσηµο στον παραπάνω τύπο για την παροχή σηµαίνει ότι η ροή είναι προς τα κάτω, αντίθετα στον άξονα z. Ροή διαµέσου του κάτω στρώµατος ιλύος: z k ( w c Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Ιουλίου 004

16 6 Ροή διαµέσου του στρώµατος αργίλου: z k ( c w c 0 7 c ( 0 7 ( Ροή διαµέσου του πάνω στρώµατος ιλύος: z 3 3 k 0 ( w c 0.. (0.. 0 (0. Συνέχεια της ροής: Προσδιορισµός του υδραυλικού ύψους στις διεπιφάνειες ( 0.0 ( Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Ιουλίου 004

17 Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Ιουλίου ( ( (0. 0. ( και, Παροχή: (! ( ( (! (0. 0. ( / l /(/(60 l /

18 Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Ιουλίου 004 8

Σχετικά έγγραφα

Βρείτε την εξίσωση της γραµµής ροής που τη χρονική στιγµή t = 0 διέρχεται από το σηµείο P ( 1,2 ).

Βρείτε την εξίσωση της γραµµής ροής που τη χρονική στιγµή t = 0 διέρχεται από το σηµείο P ( 1,2 ). ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εξ. ιδ. 04 Καθηγητής Ι. Βαρδουλάκης, Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. :00 µ.- 5:00 µ.µ., Τετάρτη 7 Αυγούστου 00 Γκ. 04, 05, 8, 0, 07, 07, 08 Θέµα : ίδεται το πεδίο ταχυτήτων