Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Transcript

1 5 Ανοικτά και κλιστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσται ο µηχανισµός που θα µας πιτρέψι να µλτήσουµ τις αναλυτικές ιδιότητς των συναρτήσων πολλών µταβλητών. Θα χριαστούµ τις έννοις της ανοικτής σφαίρας του ανοικτού και του κλιστού συνόλου στον R, για να κατανοήσουµ καλύτρα τα όρια και θα χριαστούµ τα όρια, για να ορίσουµ την συνέχια την διαφορισιµότητα, καθώς και την ολοκληρωσιµότητα των συναρτήσων πολλών µταβλητών. Έστω, x R και >, η ανοικτή σφαίρα κέντρου x και ακτίνας ίναι το σύνολο Β ( x, ) = { x R : x x < }. Η κλιστή σφαίρα Β ( x, ορίζται ως το σύνολο ( x, ) { x R : x x } Επίσης συµβολίζται και µ το σύµβολο,. =2 Β =. = O x x- x χ+ R Ο δίσκος Β ( x ) το ανοικτό διάστηµα ( x, x +, Στην πρίπτωση = 2 του Ευκλίδιου πιπέδου χρησιµοποιούµ και τους όρους ανοικτός και κλιστός δίσκος αντίστοιχα. 2. Ορισµός. Έστω U R. Το U λέγται ότι ίναι ανοικτό υποσύνολο του R, αν για κάθ x U υπάρχι > ( ξαρτώµνο από το σηµίο x U ), ώστ Β x, U. Προφανώς ο ίδιος ο χώρος R ίναι ανοικτό σύνολο ( στον αυτό του ). Συµβατικά θωρούµ και το σύνολο ως ανοικτό. Το πρώτο µη ττριµµένο παράδιγµα ανοικτού συνόλου που θα δούµ ίναι η ανοικτή σφαίρα στον R. 2.2 Πρόταση: Κάθ ανοικτή σφαίρα στον R ίναι ανοικτό σύνολο. Απόδιξη: Το αποτέλσµα αυτό ίναι βέβαια γωµτρικά προφανές αν = 2 ή = 3. Η γωµτρική αυτή αίσθηση µας οδηγί και στην αναλυτική απόδιξη της γνικής πρίπτωσης. x Β x, x x <. Πρέπι να βρούµ χ y χ δ έστω ( ) δ : ( x, ( x, δ = x x >. Έστω, (, > Β Β. Θέτουµ Από την τριγωνική ανισότητα έχουµ: y Β x y x < δ.

2 6 y x = Εποµένως, y x O y x + x x y x + x x < δ + x x =. < y Β ( x ) και άρα Β( x, Β ( x,, Παραδίγµατα: ) Το άνω ανοικτό Ε = x, y R 2 : y > ίναι ηµιπίπδο { } ανοικτό σύνολο. Η απόδιξη ίναι απλή και γωµτρικά προφανής και έτσι παραλίπται: (( x, y), Β Ε όπου < δ < y 2) Αν ( x, ) x ( x, ) ( x, { x } Β ίναι ανοικτή σφαίρα και Β, τότ το σύνολο Β ίναι ανοικτό. Γνικότρα, αν U R ανοικτό και F U ππρασµένο, τότ το U F ίναι ανοικτό σύνολο. ( γιατί; ) 2.3 Ορισµός. Αν Α R, ένα σηµίο x Α λέγται σωτρικό σηµίο του Α, δ > : Β x, δ Α. Το σύνολο των σωτρικών σηµίων νός συνόλου Α αν υπάρχι ονοµάζται το σωτρικό του Α και συµβολίζται µ t( Α ) ( ή 2.4 Πρόταση. Το σωτρικό t( Α ) νός συνόλου o Α ). Α R ίναι το µγαλύτρο ανοικτό σύνολο, που πριέχται στο Α. Ιδιαίτρα αν Α ανοικτό τότ Α=t(A). Απόδιξη: Υποθέτουµ βέβαια ότι t( Α) και αποδικνύουµ πρώτα ότι t( Α ) ίναι ανοικτό σύνολο. Αν x t( Α ), υπάρχι δ > : Β( x, Α. Αν y Β ( x, τότ, πιδή η σφαίρα Β ( x, ίναι ανοικτό σύνολο, υπάρχι > : Β( y, Β( x, Α. Άρα, y t( Α ) και έτσι, Β( x, t( Α ), το οποίο σηµαίνι ότι t( Α ) ίναι ένα ανοικτό σύνολο. Επίσης παρατηρούµ ότι, αν U ίναι ανοικτό σύνολο µ U Α τότ U t( Α ), έπται ότι t( Α ) ίναι το µγαλύτρο ανοικτό σύνολο που πριέχται στο Α. Ο τλυταίος ισχυρισµός ίναι προφανής. Παραδίγµατα. ) Το σωτρικό του συνόλου Α = [ ) διάστηµα (, ). 2)Το σωτρικό t Β ( x, του κλιστού δίσκου ( x, δίσκος Β ( x, ( γωµτρικά προφανές). 3)Ένα άπιρο υποσύνολο του Β του, R ίναι το ανοικτό 2 R ίναι ο ανοικτός R µπορί να έχι κνό σωτρικό, πχ. t( Q ) = ( όπου Q = το σύνολο των ρητών στο R ). Επίσης στον έχουν κνό σωτρικό. R τα σύνολα Q και Z

3 7 2.5 Πρόταση. (ι) Η ένωση οποιασδήποτ οικογένιας { V : I} υποσυνόλων του R ίναι ανοικτό σύνολο. (ιι) Η τοµή µιας ππρασµένης οικογένιας { },..., ίναι ανοικτό σύνολο. Απόδιξη: (ι) Έστω, x V, τότ υπάρχι ανοικτό σύνολο, υπάρχι δ ( ανοικτό σύνολο. (ιι) Έστω, x V, ( αν = ανοικτών V V, ανοικτών υποσυνόλων του I : x V, πιδή το R V ίναι > : Β x, V V. Συνπώς η ένωση V ίναι V = τότ προφανώς ισχύι το συµπέρασµα). Για κάθ = =, 2,..., υπάρχι δ > : Β( x, δ ) V. Αν δ = m { δ,..., δ} τότ δ > και ( x Β για κάθ, 2,...,, V ανοικτό σύνολο. =. Άρα Β( x, V και η τοµή = Ενδιαφέρουσα και χρήσιµη ίναι και η έννοια του κλιστού συνόλου στον V, ίναι = 2.6 Ορισµός. Ένα υποσύνολο F R λέγται κλιστό, αν το συµπλήρωµά του U = R F ίναι ανοικτό υποσύνολο του R. Προφανώς ο R και το κνό σύνολο ίναι κλιστά υποσύνολα του R. Σηµιώνουµ ότι υπάρχουν σύνολα που δν ίναι ανοικτά, αλλά ούτ και κλιστά στον, στο R, δν έχι καµιά από τις δύο αυτές R. Για παράδιγµα το διάστηµα ( ] ιδιότητς. Πρέπι να ίναι σαφές ότι τα ππρασµένα υποσύνολα του κλιστά ( γιατί; ). R. R ίναι 2.7. Πρόταση. Κάθ κλιστή σφαίρα ( x, ) x Β ίναι κλιστό υποσύνολο του R. Απόδιξη. Έστω, y R Β x, x y >. Θέτουµ δ = x y >. Παρατηρούµ ότι ( y, R ( x, ) ( y, Β Β. Πράγµατι, αν z Β, τότ z x x y z y x y z y > + δ δ =. z R Β x, και το Εποµένως, σύνολο R Β ( x, ) ίναι ανοικτό. Συνπώς η ( x ) 2.8. Ορισµός Έστω, δ z y Α R και x R. Β ίναι κλιστό σύνολο.,

4 8 (ι) Το x λέγται σηµίο παφής του Α, αν Β( x, Α για κάθ δ >. Το σύνολο των σηµίων παφής του Α λέγται κλιστότητα του Α και συµβολίζται µ Α. Προφανώς Α Α. Β x, δ Α x για (ιι) Το x λέγται σηµίο συσσώρυσης (σ.σ.) του Α, αν { } κάθ δ >. Το σύνολο των σηµίων συσσώρυσης του Α συµβολίζται µ Α και ονοµάζται το παράγωγο σύνολο του Α. Παρατήρηση. Είναι ύκολο να λέγξουµ ότι άσκηση). Α = Α Α'. (Αφήντ ως Παραδίγµατα: ) Το ίναι σηµίο παφής του Α = { } [ 2,3] R ( καθώς Α ) αλλά δν ίναι σηµίο συσσώρυσης του Α. 2) Κάθ σηµίο της κλιστής σφαίρας Β ( x, ) ίναι σηµίο συσσώρυσης της ανοικτής σφαίρας Β ( x, ( αλλά και της κλιστής σφαίρας Β ( x, ) ).. Η απόδιξη αφήνται ως άσκηση 3) Ένα σηµίο συσσώρυσης νδέχται να ανήκι στο Α ή να µην ανήκι στο Α, όπως το παράδιγµα (2) µας δίχνι ( αν y x =, τότ το y ίναι σηµίο συσσώρυσης της Β ( x,, όµως y ( x, 4)Αν Β ). Α R ανοικτό τότ Α Α ' = Α. ( γιατί; ) 2.9. Πρόταση. Έστω x Α R και x R. Τότ x ίναι σ.σ. του Α, αν και µόνο x Α µ x xm αν υπάρχι ακολουθία Α { x} ( αντιστοίχως ακολουθία για m ) ώστ x x Απόδιξη: Είναι όµοια µ την πρίπτωση που Α R, ( ) = και έτσι παραλίπται. (Σηµιώνουµ ακόµη ότι η απόδιξη αυτή ίναι ανάλογη µ την απόδιξη του χαρακτηρισµού των κλιστών συνόλων παρακάτω.) Παρατήρηση: Αν το x R ίναι σηµίο συσσώρυσης του Α τότ κάθ Β x,, πριέχι άπιρα σηµία του Α. Ιδιαίτρα το Α ίναι άπιρο σύνολο. σφαίρα (Γιατί;) 2.. Λήµµα. Έστω, (ι) ( Α ) = t (ιι) t Α = Α. Α R τότ έχουµ: Α, ποµένως το Α ίναι κλιστό υποσύνολο του Απόδιξη: (ι) Υπνθυµίζουµ ότι Α Α. Αν ( x, δηλαδή ( x, δ > : Β, Α = t Α = Α. R. x Α x Α, τότ υπάρχι Β Α, που σηµαίνι ότι x t Α. Άρα

5 9 Έπται από την ισότητα αυτή ( φόσον το σωτρικό νός συνόλου ίναι ανοικτό ) ότι το Α ίναι κλιστό σύνολο. (ιι) Εφαρµόζουµ την ισότητα που αποδίξαµ στο (ι) στο σύνολο Α και έχουµ αµέσως την ισότητα (ιι). 2. Πρόταση. Αν Α R, τότ η κλιστότητα Α του Α ίναι το µικρότρο κλιστό σύνολο που πριέχι το Α. Απόδιξη. Έπται από το (ι) του προηγουµένου Λήµµατος και το γγονός, που ήδη αποδίξαµ, ότι το σωτρικό νός συνόλου ίναι το µγαλύτρο ανοικτό σύνολο που πριέχται σ αυτό. ( Αν F κλιστό και Α F, τότ το U = R F ίναι ανοικτό και U Α, άρα U t 2.2 Πρόταση. Έστω, (ι) Α ίναι κλιστό (ιι) Α = Α (ιιι) Για κάθ ακολουθία ( x ) Α, ή R F R Α ή Α F ). Α R, οι ακόλουθοι ισχυρισµοί ίναι ισοδύναµοι: Α η οποία ίναι συγκλίνουσα, έστω x x, έπται ότι x Α Απόδιξη. (ι) (ιι) Επιδή γνικά ισχύι Α Α, το αποτέλσµα έπται αµέσως από την προηγουµένη πρόταση. (ιι) (ιιι) Έστω, ( x ) Α µ x N : x Β ( x,. Συνπώς x ( x ότι Β( x, Α. Άρα το x Α = Α. (ιιι) (ι) Έστω, ότι το κάθ x, αν > τότ υπάρχι Β Α. Ιδιαίτρα έπται, Α δν ίναι ανοικτό, τότ υπάρχι x Α = R Α,ώστ για Β x, Α Β x, Α για κάθ >. Θέτουµ > η σφαίρα = για N και προχωρώντας µ παγωγή πιλέγουµ µία ακολουθία ( x ) Α µ x Α Β x, για κάθ. Έπται ότι x x για κάθ. Αλλά τότ x Α, το οποίο αντιφάσκι µ την πιλογή του x. x x Από την συνολοθωρία υπνθυµίζουµ τους κανόνς του De Morga: Έστω Χ σύνολο και { Α : I} οικογένια υποσυνόλων του Χ, τότ ισχύουν τα ακόλουθα: του Α = Α και Α = Α 2.3 Πρόταση. (ι) Η τοµή κάθ οικογένιας { F : I} R ίναι κλιστό σύνολο. (ιι) Η ένωση µιας ππρασµένης οικογένιας { },..., κλιστών υποσυνόλων F F κλιστών υποσυνόλων του R ίναι κλιστό σύνολο. Απόδιξη: Χρησιµοποιούµ τους κανόνς του De Morga και τις αντίστοιχς ιδιότητς των ανοικτών υποσυνόλων του R, που πριγράψαµ προηγουµένως

6