9. SONDAJUL STATISTIC

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "9. SONDAJUL STATISTIC"

Transcript

1 9. SODAJUL STATISTIC 9.. Cosideraţii geerale Creşterea ecesarului de iformaţii ce trebuie obţiute cu maximă operativitate a codus la extiderea utilizării sodajului statistic. Această expasiue a sodajului statistic se explică pri operativitatea şi ecoomicitatea obţierii datelor statistice. Mai mult sodajul statistic este caracteristic dezvoltării libere, ecoomiei de piaţă, aşa cum rapoartele statistice sut caracteristice ecoomiilor cetralizate. De asemeea î uele situaţii practice di tehică, ecoomie, societate, sodajul statistic este sigura metodă de obţiere a iformaţiilor statistice. Pri sodaj statistic îţelegem procedeul pri care se caracterizează o populaţie statistică, pe baza cercetării uei părţi a acesteia, umită eşatio, mostră sau ueori selecţie, prelevată di populaţia geerală cercetată. Trebuie subliiat că toate afirmaţiile, cocluziile statistice stabilite pe baza datelor proveite ditr-u sodaj, u pot fi cosiderate de tip determiist, ele avâd u caracter statistic, există u risc ca ele să fie eroate, fiid efectuate î codiţiile uei aumite probabilităţi, deci cu u aumit ivel de îcredere. Metodele sodajului statistic u-şi propu să elimie acest risc de eroare, ci să-l preevalueze, să determie probabilităţile cocluziilor exacte sau aproximative. Sursa pricipală a erorilor de sodaj o costitue erorile de reprezetativitate a eşatioului î raport cu populaţia de asamblu. Pri reprezetativitate se îţelege că, îtr-u umăr mic de uităţi care formează u eşatio, să se găsească aceleaşi trăsături eseţiale ca î îtreaga populaţie supusă cercetării. U sodaj care coduce la erori de maximum ± 5% faţă de populaţia de bază se cosideră suficiet de reprezetativ. Teoretic, eroarea de reprezetativitate poate fi redusă oricât de mult, odată cu creşterea volumului eşatioului pâă la a îgloba îtreaga populaţie. Î acest caz dispar avatajele cercetării pri sodaj (de cost, timp etc.). Să cosiderăm o populaţie statistică P de volum fiit şi E P u eşatio de volum. Parametrii populaţiei corespuzători uei caracteristici X, ca valoarea medie m, dispersia, pot lua o sigură valoare, pe câd parametrii corespuzători asociaţi uui eşatio, pe care-i otăm de obicei cu x, respectiv s pot lua valori diferite de la eşatio la eşatio (de acelaşi volum sau de volume diferite) ceea ce e

2 94 Sodajul statistic - 9 dă posibilitatea să-i iterpretăm ca pe işte variabile aleatoare cu valori şi frecveţe de apariţie diferite. Caracteristica X poate fi asimilată cu o variabilă aleatoare pe populaţia cercetată statistic, ea u este determiată probabilistic apriori şi se mai umeşte variabilă aleatoare teoretică. Dacă variabila aleatoare X ia valori discrete, atuci legea ei de repartiţie poate fi dată pri fucţia frecveţelor relative cumulate. Dacă variabila teoretică este cotiuă, atuci legea ei de repartiţie poate fi dată pri fucţia de repartiţie sau pri desitatea de repartiţie. Am văzut că cele mai îtâlite legi de repartiţie depid de aumiţi parametri, care au iterpretări semificative ca medie,dispersie etc. Câd o populaţie statistică poate fi cosiderată di puct de vedere practic ifiită, sigura metodă de cercetare a populaţiei după caracteristica X este cea a sodajului. Dacă efectuăm măsurători asupra a uităţi statistice alese îtâmplător cu o aceiaşi probabilitate, atuci valorile îregistrate {x,x,,x } formează o valoare de observaţie a variabilei -dimesioale ( X,X,,X ), ude variabilele compoete sut idepedete, idetic repartizate cu variabila teoretică asociată caracteristicii X. Variabilele X,X,,X fiid idetic repartizate cu variabila teoretică X ( caracteristica populaţiei ) au aceiaşi valoare medie şi momete cu aceasta, umite şi caracteristici umerice teoretice ale populaţiei. Să cosiderăm sodajul ( selecţia ) aleator { X,X,,X }, atuci orice fucţii de aceste variabile aleatoare S(X,X,,X ), umită fucţie de selecţie sau statistică, este la râdul ei o variabilă aleatoare a cărei fucţie de selecţie este uic determiată de fucţia de repartiţie a variabilei aleatoare X care a geerat această selecţie aleatoare. Petru o realizare a sodajului (x,x,,x ), S(x,x,,x ) este u umăr ce reprezită o realizare pri sodaj (selecţie) a statisticii S(X,X,,X ). Cuoaşterea legii de repartiţie a statisticii S(X,X,,X ) este foarte importată deoarece ea permite să se tragă cocluzii referitoare la caracteristica X a populaţiei statistice di care a proveit selecţia. Se umeşte repartiţie exactă a statisticii S = S repartiţia determiată petru orice volum de sodaj, iar pri repartiţie asimptotică ( limită ) se îţelege repartiţia către care tide repartiţia exactă câd volumul tide către ifiit. Repartiţia exactă a statisticii S este deosebit de utilă î cazurile î care se impue folosirea uor eşatioae de volum redus ( < 30 ). Dacă volumul eşatioului este mai mare decât 30, atuci folosirea repartiţiei asimptotice coduce de asemeea la rezultate suficiet de precise. Î geeral, este dificil de stabilit repartiţia exactă sau asimptotică a uei statistici. Aceasta este strâs legată şi uic

3 9.. Cosideraţii geerale 95 determiată de legea de repartiţie teoretică a variabilei X cercetate pri sodaj X. U caz importat, pri faptul că este frecvet îtâlit i practica statistică, î care se pot determia repartiţiile exacte petru diferite statistici de sodaj, este cel î care repartiţia teoretică a caracteristicii care a geerat selecţia este ormală. Î practică se îtâlesc de asemeea destul de multe situaţii câd populaţia statistică are petru o caracteristică o repartiţie diferită de ua ormală şi î acest caz determiarea repartiţiilor exacte ale variabilelor de selecţie este sau imposibilă sau prezită dificultăţi practice deosebite. Dacă volumul de selecţie este foarte mare repartiţiile limită ale variabilelor de selecţie oferă avataje practice foarte mari. Î cotiuare prezetăm repartiţiile uor statistici de sodaj foarte importate petru aplicaţiile lor. Teorema. Dacă (x,x,,x ) este o selecţie de volum di o populaţie statistică a cărei caracteristică studiată este repartizată ormal de parametrii m şi, atuci media de selecţie x + x + + x x = are o repartiţie ormală de valoare medie m şi dispersie. Teorema. Dacă (x,x,,x k ) şi (y,y,,y ) sut două selecţii idepedete de volum k şi respectiv di două populaţii ale căror caracteristici studiate au repartiţii teoretice ormale de parametrii m şi şi respectiv m şi, atuci variabila aleatoare difereţă a mediilor de selecţie x - y are o repartiţie ormală de valoare medie m - m şi abatere medie pătratică. k Teorema 3. Dacă (x,x,,x k ) şi (y,y,,y ) sut două selecţii idepedete de volum k şi respectiv di două populaţii ale căror caracteristici studiate au repartiţii teoretice ormale de parametrii m şi şi respectiv m şi, iar x, y sut mediile de selecţie corespuzătoare şi s k = ( x i x), s k (yi y) sut dispersiile de selecţie corespuzătoare, atuci variabila aleatoare ( statistica) de sodaj t = x y (m m (k )s + ( )s k + ) k k +

4 96 Sodajul statistic - 9 are o repartiţie Studet cu k+- grade de libertate. Ca o coseciţă a teoremelor referitoare la repartiţiile limită se obţi teoreme care stabilesc repartiţiile asimptotice ale uor variabile aleatoare de sodaj obţiute pri selecţii ditr-o populaţie oarecare. O astfel de teoremă cu o importaţă deosebită î statistică este următoarea. Teorema 4. Dacă (x,x,,x ) este o selecţie de volum ce costă di observaţii idepedete ditr-o populaţie statistică a cărei caracteristică studiată are o repartiţie teoretică oarecare cu valoarea medie m şi abaterea medie pătratică fiite, atuci media de selecţie x + x + + x x = are petru tizâd la, o repartiţie ormală de valoare medie m şi dispersie. Ditre idicatorii care defiesc statistic o aumită colectivitate, media are cel mai îalt grad de sitetizare a tuturor valorilor luate de o caracteristică. Di acest motiv se cosideră, ca pricipal măsurător al erorii de sodaj, difereţa ditre media de selecţie şi media geerală a populaţiei. Astfel eroarea de reprezetativitate datorată sodajului se poate măsura î mod absolut pri : (9..) e = x m Astfel defiită, eroarea absolută de sodaj măsoară deplasarea absolută a idicatorului de sodaj x, faţă de idicatorul real m al îtregii populaţii. Poderea erorii absolute î raport cu valoarea reală a parametrului populaţiei este dată pri : x m (9..) ε % = 00 m Deci media eşatioului x este reprezetativă petru media îtregii populaţii m dacă : x m (9..3) 00 5% m Se distig pri coţiutul lor, două tipuri de erori de reprezetativitate şi aume : a) erori de reprezetativitate sistematice, care provi di îcălcarea pricipiilor corecte de alcătuire a eşatioaelor (fiecare uitate statistică trebuie să aibe aceeaşi şasă de a face parte di eşatio). b) erori îtâmplătoare, care u pot fi evitate, ele reflectâd atura procedeului de sodaj, ca cercetare parţială a uui îtreg. Să presupuem că ditr-o cercetare aterioară se cuoaşte media geerală a populaţiei. Calculâd media uui eşatio şi comparâd cele două medii spuem că

5 9.. Cosideraţii geerale 97 am calculat eroarea efectivă. Dacă aceasta se îcadrează î itervalul de variaţie de ± 5% spuem că eşatioul este suficiet de reprezetativ. Î foarte multe cazuri u se dispue de o observare totală, atuci se pot utiliza mai multe sodaje de probă pri care se verifică stabilitatea mediei şi dispersiei. Î cazul î care la formarea eşatioului se utilizează o schemă probabilistă sau u procedeu derivat di acesta este posibilă calcularea mărimii erorii şi stabilirea prealabilă a acestei mărimi. umai sodajul probabilist permite calcularea erorilor de selecţie şi iterpretarea lor pe baza proprietăţilor diferitelor fucţii de probabilitate. Î practica sodajului statistic s-au dezvoltat diferite tehici şi procedee de prelevare a uităţilor ce formează eşatioaele astfel îcât să se asigure caracterul aleator al selecţiei şi reprezetativitatea eşatioului. Astfel distigem următoarele tipuri de sodaj : a) sodaj simplu aleator repetat sau erepetat ; b) sodaj stratificat ; c) sodaj de serii ; d) sodaj î mai multe trepte ; e) sodaj secveţial ; f) sodaj dirijat ; g) sodaj sistematic sau sodaj mecaic ; Spuem că se efectuează u sodaj repetat, dacă fiecare uitate extrasă di populaţia cercetată statistic este itrodusă di ou î colectivitatea de bază, deci fiecare di uităţile populaţiei poate fi extrasă de mai multe ori. Î acest caz variatele de sodaj sut idepedete ître ele şi variabila de sodaj urmează o repartiţie de probabilitate după modelul Shemei bilei reveite a lui Beroulli. Pritr-u sodaj repetat ditr-o colectivitate P de volum card P = se pot extrage o ifiitate de eşatioae de volum <, dar umai u umăr fiit de eşatioae pot fi disticte. Această abordare a metodei de selecţie permite stabilirea de relaţii verificabile ître idicatorii de variaţie ai populaţiei de bază şi ai eşatioaelor posibile. Sodajul erepetat, ca model, corespude Schemei bilei ereveite ce se caracterizează pri faptul că bila extrasă u mai este pusă la loc î ură. Î acest caz o uitate statistică u poate să apară decât o sigură dată î şirul extragerilor, variatele de sodaj sut depedete ître ele iar umărul eşatioaelor este fiit şi depide de volumul populaţiei şi al eşatioului. Di cele de mai sus rezultă că î ambele tipuri de sodaj se pot obţie mai multe eşatioae de acelaşi volum. Mediile acestora pot estima media populaţiei geerale, dar putâd diferi ître ele, pot fi cosiderate ca valori diferite ale uei variabile aleatoare. Fie S şi S două sodaje de acelaşi volum î baza cărora se estimează media m a populaţiei geerale P, petru o variabilă X, pri mediile x s, x s. Spuem că sodajul S este mai eficiet decât sodajul S dacă au loc relaţiile :

6 98 Sodajul statistic - 9 M ( x s ) = m M ( x s ) = m şi ( x s ) < ( x s ) x s şi Aplicâd iegalitatea lui Cebîşev variabilelor, avâd aceeaşi valoare medie m, rezultă că petru aceeaşi probabilitate media m se găseşte î λ itervalele x x, x + λ x s s s s xs λ x s, x s + λ x s ditre care primul este mai mic, deci, putem spue că sodajul S este mai eficiet decât S. Sodajul aleator simplu, costă î prelevarea di populaţie a uităţilor la îtâmplare, fiecare uitate a populaţiei avâd aceeaşi şasă de a face parte di eşatio. Sodajul simplu aleator poate fi cu reveire sau fără reveire şi cu aceste particularităţi este o realizare practică a schemei cu bile a lui Beroulli şi a modelului teoretic descris de repartiţiile biomială şi hipergeometrică. Alcătuirea eşatioaelor (sodajelor aleatoare) cuoaşte mai multe procedee. a) Procedeul bilei reveite şi ereveite, costă î idetificarea uităţilor statistice, pri umerotarea, cu bileţele, care sut itroduse îtr-o ură, amestecate, după care se procedează î coformitate cu schema bilei reveite, respectiv ereveite î alcătuirea eşatioului. b) Procedeul tabelelor cu umere aleatoare, se aplică î geeral, populaţiilor de dimesiui mari. Procedeul costă î utilizarea tabelelor cu umere aleatoare, adică sut prelevate uităţile populaţiei ale căror umere de ordie stabilite pritr-o umărătoare aterioară au fost citite după o aumită ordie di tabelul umerelor aleatoare. Tabelele de umere aleatoare oferă serii de umere, rezultate î urma aplicării uui procedeu de tip loterie sau pri aplicarea calculatorului electroic pri programe specifice petru geerarea de umere aleatoare. c) Procedeul loteriei este procedeul aleator î care uităţile sut perfect idetificabile şi sut prelevate după corespodetul îregistrat pe bileţele amestecate şi extrase aleator ditr-o ură. d) Procedeul mecaic, costă î prelevarea uităţilor la itervale de timp sau umerice precise, adică se utilizează u aumit pas de umărare, ca bază a desfăşurării sodajului. Procedeul de prelevare a uităţilor se va pori cu o uitate oarecare aleasă aleator. Dacă ditr-o populaţie de uităţi se formează u eşatio E de uităţi atuci se va utiliza u pas K = /. x s λ, respectiv, [ ( ) ( )]

7 9.. Sodajul aleator simplu Sodajul aleator simplu Acest tip de sodaj reprezită variata aleatoare elemetară de sodaj. Celelalte tipuri de sodaj pot fi cosiderate ca particularizări ale acestui tip de sodaj. Î ua di cele două variate repetat, respectiv erepetat el este şi cel mai des utilizat. Avâd î vedere importaţa şi frecveţa cu care apar î descrierea uei populaţii statistice valoarea mediei m, dispersia şi abaterea medie pătratică, vom cosidera ca puct cetral al acestui paragraf estimarea mediei şi dispersiei uei populaţii statistice folosid sodajul statistic. Amitim că pri estimator al uui parametru al populaţiei statistice îţelegem o regulă care e spue cum să calculăm o valoare aproximativă a acestuia folosid iformaţiile di eşatio. El este î geeral exprimat pritr-o formulă care exprimă exact cum valoarea reală a estimaţiei poate fi obţiută atuci câd se cuosc datele di eşatio. U estimator de tip iterval foloseşte datele di eşatio petru a calcula două valori reale disticte β, astfel ca itervalul [, β ] să coţiă valoarea parametrului estimat petru îtreaga populaţie. Putem spue că u estimator de tip iterval este, de fapt, o regulă de a calcula două umere Sodajul aleator simplu repetat Caracteristic acestui sodaj este faptul că uitatea observată revie î populaţia cercetată, ceea ce asigură stabilitatea repartiţiei caracteristicii catitative (măsurabile sau umerice) cercetate. Faptul că u idicator statistic al populaţiei calculat pri sodaj diferă de la eşatio la eşatio face ca acesta să poată fi iterpretat ca o variabilă aleatoare şi astfel putem aplica metodele elaborate de statistica matematică. Dacă extragerea eşatioului s-a făcut după o schemă probabilistă, atuci media de selecţie este o variabilă statistică ce urmează o lege de probabilitate. Fucţia de probabilitate asociată depide de volumul eşatioului şi stă la baza calcului erorii de reprezetativitate. Să cosiderăm o populaţie statistică P de volum (card P = ) petru care otăm m şi valoarea medie, respectiv dispersia petru caracteristica cercetată X. Prelevâd u eşatio E de volum ( = card E) şi îregistrâd valorile caracteristicii X cercetate otăm cu x şi s valoarea medie şi dispersia corespuzătoare populaţiei de selecţie (di eşatio). Idicatorul de sodaj

8 00 Sodajul statistic - 9 x i i (9..) x = =, reprezită u estimator al mediei populaţiei. xi (9..) m = i=, Am otat cu ( ) i, x i = valorile caracteristicii X petru îtreaga populaţie, iar cu ( x i ) i =, valorile caracteristicii X, îregistrate petru u eşatio E. U idicator de sodaj ( x ) petru a fi bu estimator al valorii corespuzătoare a populaţiei trebuie să îdepliească aumite codiţii : a) Să fie edeplasat, adică valoarea medie a idicatorului de sodaj petru orice volum fiit al selecţiei să fie egal cu parametrul respectiv al populaţiei (î cazul ostru petru x iterpretat ca variabilă aleatoare de sodaj trebuie să avem M ( x) = m ) ; b) Să realizeze estimaţii cosistete, adică idicatorul de sodaj să coveargă î probabilitate, câd volumul eşatioului creşte, către parametrul populaţiei ; c) Să realizeze estimaţii eficiete, adică estimatorul privit ca o variabilă aleatoare să fie de dispersie miimă. Pritr-u estimator se realizează estimaţii (valori aproximative) valorilor reale ale parametrilor geerali (teoretici) ai populaţiei statistice. Rezultatele obţiute pritr-u sodaj sut afectate de erori. Pri sodaj u se poate obţie valoarea reală a uui parametru aalizat petru o caracteristică a uei populaţii statistice ci u iterval umit de îcredere, care cu o probabilitate acoperă valoarea ecuoscută a parametrului di populaţia statistică. Limitele itervalului de îcredere, miimă θ şi maximă θ se calculează ca fucţii depizâd de datele de selecţie x, x,..., x astfel îcât să fie îdepliită o relaţie de forma : P( θ < θ < θ) = ude θ este parametrul estimat. Itervalul de îcredere ( θθ, ) defieşte precizia estimaţiei. Probabilitatea umită probabilitate de îcredere caracterizează siguraţa cu care se afirmă că itervalul de îcredere cupride valoarea teoretică estimată. Probabilitatea ( ) se mai umeşte ivel de îcredere iar se umeşte

9 9.. Sodajul aleator simplu 0 prag (ivel) de semificaţie. Cu cât θ θ este mai mic şi este mai mare, cu atât estimaţia este mai precisă şi îcrederea î ea este mai mare. Observaţiile X,X,..., X î urma cărora se formează eşatioul { x, x,..., x }, îţelegâd pri eşatio măsurătorile efectuate, pot fi cosiderate variabile aleatoare, fiid calculate pe baza acestor măsurători. Ître lugimea itervalului de îcredere θ θ şi coeficietul de îcredere există o relaţie bie determiată. Î practică se folosesc drept coeficieţi de îcredere ( )% valorile 95%, 98%, 99%. Jumătatea itervalului de îcredere ( θ θ) se umeşte eroare limită admisă sau admisibilă. Î cazul sodajului aleator simplu repetat probabilităţile P ( X i = x i ) sut egale şi aume avem : (9..3) P ( Xi = xi ) = petru orice i =, Folosid idepedeţa variabilelor X i, i =, şi valorile lor di eşatioae x, x,..., x, se arată că media de sodaj x + x x (9..4) x = = x i i= este u estimator edeplasat al mediei m a populaţiei cercetate, deoarece se îdeplieşte codiţia ca media mediilor de sodaj (selecţie) să fie egală cu media geerală a populaţiei, adică să avem : (9..5) M ( x) = m Relaţia (9..5) exprimă faptul că media de sodaj x este u estimator edeplasat (edistorsioat) al mediei populaţiei m, î cazul selecţiei simple aleatoare repetate. Îtr-adevăr variabilele X i, i =, iau valorile x, x,..., x. Fie { x k) ; s, } ( s =, k =, valorile îregistrate petru u eşatio (k ) E, şi (k) x (k) (k) media valorilor îregistrate petru eşatioul E. Valorile x pot fi cosiderate ca fiid valorile variabilei x, ce a fost cosiderată ca u estimator al mediei populaţiei m. Petru acest estimator parametrii tediţei cetrale (media) şi ai împrăştierii (dispersia) se obţi pri : M x = ( ) M x = M s s= s= i= ( x ) = m m s =

10 0 Sodajul statistic - 9 D ( x) = D k= x k = k= D ( x ) = ( x) =. Deducem că abaterea medie pătratică a mediei de sodaj x este : s (9..6) x =, adică dispersia mediei de sodaj îtr-u sodaj aleator simplu repetat de volum este de ori mai mică decât dispersia a îtregii colectivităţi. Cosiderâd şirul de variabile de sodaj { x } de dispersie (x), şi aplicâd iegalitatea lui Cebîşev variabilelor { x } obţiem : P ( x m L) >, petru orice, ceea ce arată că media de sodaj x L petru u volum mare al eşatioului coverge î probabilitate către media m a populaţiei. Aceasta arată că x este u estimator cosistet al mediei m a populaţiei. k s= 9... Sodajul aleator simplu erepetat Să presupuem că petru o populaţie statistică P de volum card (P) = studiem o caracteristică X. Sodajul simplu presupue că eşatioul se alege la îtâmplare di îtreaga colectivitate. Faptul că este erepetat îseamă că o uitate statistică odată ce a fost extrasă u mai este restituită populaţiei cercetate, deci u mai are şase să reitre î eşatio. Eficieţa uui astfel de sodaj depide atât de variaţia caracteristicii studiate cât şi de volumul al eşatioului (card E = < ). O variaţie mare a caracteristicii studiate impue u volum mare al eşatioului petru a asigura u grad sporit de reprezetativitate al eşatioului. P( X = x) = reprezită probabilitatea ca la prima extragere să obţiem valoarea x a caracteristicii X. Ţiâd seama că uitatea statistică cercetată u mai revie î populaţie, probabilitatea obţierii măsurătorii x la a doua extragere este X x P = = X x respectiv la a k + -a extragere vom avea : = P ( X x X x i k) k + = k + =, =, = i i k

11 9.. Sodajul aleator simplu 03 Să cosiderăm ca estimator al mediei populaţiei date m, media de sodaj x. Î acest caz al sodajului aleator simplu erepetat se poate arăta că dispersia mediei de selecţie (sodaj) este dată de relaţia : s (9..7) x = D (x) = Di (9..7) obţiem că abaterea medie pătratică a mediei de selecţie este dată pri: s s (9..8) x =. Î cazul câd < 0,, de regulă, factorul se aproximează pri, ceea ce face ca erorile sodajelor ce cuprid o parte a populaţiei să depidă umai de umărul absolut de observaţii şi de mărimea abaterii medii pătratice a îtregii populaţii cercetate. Relaţiile (9..7.) arată că precizia estimaţiei lui m pri x depide foarte puţi de volumul al îtregii populaţii cercetate şi depide mult mai mult de volumul al eşatioului. Câd creşte, precizia estimaţiei creşte de aproximativ ori, raport cu care se micşorează abaterea medie pătratică x. O astfel de depedeţă a estimaţiei de volumul eşatioului de selecţie justifică utilizarea î practică de sodaje de volum, relativ mic, deoarece petru a ridica precizia î mod simţitor trebuie mărit cosiderabil volumul eşatioului. Dacă volumul eşatioului este comparativ mic î raport cu volumul populaţiei, atuci raportul este suficiet de mic ca să cosiderăm factorul subuitar, (9..9) K = =, pri care diferă, î cazul sodajului erepetat, de valoarea corespuzătoare î x cazul sodajului repetat, aproximativ egal cu, şi deci cele două valori pot fi cosiderate aproximativ egale.cum K este subuitar, îtotdeaua eroarea sodajului fără reveire este mai mică decât eroarea corespuzătoare sodajului repetat. Îtradevăr reveirea uităţilor eşatio î populaţie, micşorează reprezetativitatea acestuia, pri posibilitatea apariţiei repetate a aceleeaşi uităţi î eşatio. Avâd î vedere aspectul meţioat cât şi faptul că î mod practic mai uşor se realizează u sodaj fără reveire, obţiem o justificare a utilizării, de obicei, a sodajului fără reveire.

12 04 Sodajul statistic - 9 Cum î aplicaţiile practice este mult mai mare decât putem eglija rapoartele şi şi cocluzioa că eroarea medie (precizia de sodaj) î cazul sodajului simplu aleator depide de volumul al eşatioului, fiid o costată. Î cosideraţiile de mai sus, asupra estimării mediei m a populaţiei geerale, s-a presupus cuoscută dispersia acesteia. Câd aceasta u se cuoaşte se recurge la u estimator al acesteia, pe baza observaţiilor de sodaj : x, x,..., x, şi aume se recurge la dispersia de sodaj : (9..0) s = ( xi x) i= Petru u sodaj repetat, dispersia de sodaj s este u estimator deplasat al dispersiei populaţiei, adică M ( s ). Mai exact, ţiâd seama de idetitatea : (9..) s = ( xi m) vom avea: ( ) = M ( x m) M s = i= i M xi i= i= (x m) = (x m) ( m) M(x m) = =. U estimator edeplasat al dispersiei a populaţiei geerale, î cazul sodajului de volum redus, se obţie dacă adoptăm petru dispersia de sodaj formula: (9..) = ( xi x) i= ŝ = x s, ude se umeşte corecţia lui Bessel. Îtr-adevăr avem : M( ŝ ) = M ( xi x) = M s = i = = =, =

13 9.3. Precizia şi siguraţa estimaţiei. Iterval de îcredere. Determiarea volumului de sodaj. ceea ce arată că ŝ este u estimator edeplasat al dispersiei populaţiei geerale. Petru luâd valori relativ mici este diferit de, dar petru mai mare decât 50 putem cosidera aproximativ egal cu şi î această situaţie s poate fi cosiderat u estimator edeplasat al dispersiei populaţiei. Utilizâd cei doi estimatori ai lui, s şi ŝ, rezultă că î cazul sodajului s repetat dispersia mediei de sodaj poate fi estimată pri x, respectiv ŝ x, iar abaterea medie pătratică a mediei de sodaj poate fi exprimată pri s x, respectiv ŝ x Precizia şi siguraţa estimaţiei. Iterval de îcredere. Determiarea volumului de sodaj Fie x estimatorul mediei m a uei populaţii statistice, calculat pe baza x, x, K, ale uui eşatio de volum şi δ > 0 astfel îcât datelor { } x x m < δ. umărul pozitiv δ cu această proprietate caracterizează precizia estimaţiei obţiute pe baza eşatioului extras. Metodele utilizate de statistică u permit o afirmaţie categorică asupra erorii estimaţiei. Se poate stabili umai probabilitatea ca iegalitatea de mai sus să fie satisfăcută. Evidet că, cu cât δ este mai mic, cu atât difereţa absolută x m este mai mică şi estimaţia este mai exactă, dar această precizie a estimaţiei trebuie corelată cu siguraţa sau mai exact cu probabilitatea de îcredere î estimarea făcută, care este de fapt probabilitatea cu care este îdepliită iegalitatea x m < δ. Această probabilitate este dată diaite şi este foarte apropiată de. Î cele mai multe cazuri se ia egală cu 0.95, 0.99, Probabilitatea de îcredere se poate exprima pri: (9.3.) P ( x m < δ) = sau î formulare echivaletă pri: (9.3.) P ( x δ < m < x + δ) = 05

14 06 Sodajul statistic - 9 Itervalul ( δ, x + δ) x,care acoperă media m cu o probabilitate P =, se umeşte iterval de îcredere petru media m. Î vederea stabilirii itervalului de îcredere petru media m a populaţiei geerale e bazăm pe următorul rezultat. Dacă pritr-u sodaj simplu aleator sut efectuate observaţii (măsurători asupra uei caracteristici a uităţi, asupra uei populaţii statistice de medie m şi abatere medie pătratică fiite, atuci câd este relativ mare, distribuţia mediei de sodaj x este aproximativ ormal distribuită, de medie ( x) m M = şi dispersie =. & x && Aproximarea pri repartiţia ormală este cu atât mai buă cu cât este mai mare. Rezultatul euţat mai sus este o exprimare a cuoscutei Teoreme limită cetrală. Î vederea stabilirii expresiei itervalului de îcredere vom utiliza faptul că repartiţia variabilei x m (9.3.3) y = şi eşatioul de volum este extras ditr-o populaţie: a) ormal distribuită de medie m şi dispersie, b) oarecare, dar volumul al sodajului este mare, iar dispersia este fie cuoscută, fie ecuoscută şi estimată pri dispersia de sodaj s. Î aceste codiţii avem este aproximată pri ua ormală ( 0,) P (9.3.4) ( ) ( ) = x δ x m δ x m < δ = P δ < x m < δ = P < < x x x Utilizâd ormalitatea variabilei y defiită de (9.3.3) şi relaţia (9.3.4), obţiem că: δ x m δ δ (9.3.5) P < < = Φ =, x x x x de ude rezultă că putem cosidera

15 (9.3.6) 9.3. Precizia şi siguraţa estimaţiei. Iterval de îcredere. Determiarea volumului de sodaj. δ y =, şi astfel avem (9.3.7) δ = x y. De aici rezultă că itervalul de îcredere petru medie este (9.3.8) x y x < m < x + yx, x 07 ude y este valoarea reală petru care este satisfăcută relaţia = şi care poate fi luată di tabelul cu valorile fucţiei lui Gauss-Laplace Φ. Lugimea itervalului de îcredere corespuzător probabilităţii volumului al eşatioului este (9.3.0) x y x + y = δ. (9.3.9) Φ( y ) + x x P = şi Dacă trebuie estimată, porid de la datele sodajului, valoarea caracteristicii agregată pe îtreaga populaţie xi = m, atuci di (9.3.8) obţiem următorul i= iterval de îcredere: (9.3.) ( x y ) x ( x + y ) x i= Î practica sodajului se operează cu eşatioae de volum mare şi eşatioae de volum redus, î fucţie de gradul de omogeitate al colectivităţii statistice. Î cele două situaţii, iterpretarea erorii de reprezetativitate se face î mod diferit: petru eşatioaele de volum mare se foloseşte distribuţia ormală a lui Laplace, iar petru cele de volum redus se foloseşte distribuţia studet. Î virtutea legii umerelor mari, mărirea volumului eşatioului sporeşte precizia rezultatelor şi reduce eroarea medie probabilă, dar î acelaşi timp criteriile de ecoomicitate cer ca acelaşi volum de sodaj să fie cât mai mic. Aceste cosiderete impu î orgaizarea uei cercetări pri sodaj o dimesioare raţioală a volumului de sodaj, ceea ce îseamă determiarea umărului miim de uităţi ce urmează a fi observate astfel ca exigeţele de precizie şi siguraţă formulate î raport cu cercetarea respectivă să fie satisfăcute. Cosiderăm mai îtâi cazul sodajului repetat. Di (9.3.7) se obţie i x.

16 08 Sodajul statistic - 9 (9.3.) δ = y, de ude rezultă y (9.3.3) =, δ î care y se citeşte î tabelele fucţiei Gauss-Laplace, astfel ca Φ( y ) =. Dacă dispersia a caracteristicii X a populaţiei geerale, presupusă ormală, u este cuoscută, atuci aceasta se estimează î urma uui sodaj cu ajutorul dispersiei de sodaj s. Î cazul sodajului erepetat îlocuid î (9.3.7) abaterea medie pătratică de sodaj cu expresia corespuzătoare cazului uei caracteristici biomiale obţiem x (9.3.4) δ = y. Dacă îlocuim abaterea medie pătratică a populaţiei geerale pri estimaţia de sodaj vom avea: s (9.3.5) δ = y. Petru determiarea volumului al eşatioului, di (4.3.4) obţiem succesiv relaţiile: (9.3.6) δ = y, ( ) δ = y y, y (9.3.7) = y ( ) δ + y =. δ + y Să presupuem că volumul colectivităţii geerale este foarte mare, adică y putem cosidera. Dacă avem î vedere că atuci şi 0 deducem că (9.3.7) şi (9.3.3) furizează practic acelaşi volum de sodaj idiferet dacă uităţile sut reitroduse sau u î cadrul populaţiei după îregistrarea caracteristicilor. Di cele de mai sus observăm că petru a dimesioa raţioal volumul al eşatioului sut ecesare următoarele date stabilite aterior:

17 9.4. Proporţia şi precizia estimării î cazul caracteristicii biare (alterative) 09 a) eroarea limită admisibilă δ care se stabileşte î fucţie de ceriţele solicitate practic î rezolvarea problemei, de precizia ce trebuie asigurată; b) probabilitatea de îcredere suficiet de apropiată de, ceea ce practic asigură apropierea de certitudie î estimarea făcută; c) dispersia caracteristicii a populaţiei geerale sau a estimaţiei acesteia s. Aceste iformaţii se pot obţie: di cercetări aterioare, î cazul î care se presupue că variabilitatea caracteristicii u s-a schimbat semificativ, ditr-o cercetare prealabilă orgaizată petru estimarea dispersiei, petru validarea legii de repartiţie sau petru estimarea valorii maxime a dispersiei şi deci petru luarea î cosideraţie a cazului cel mai efavorabil. Exemplul : Petru determiarea timpului mediu de ardere a uor lămpi cu icadesceţă se cercetează pri sodaj u lot de 7500 lămpi. Di cercetări aterioare se cuoaşte că abaterea medie pătratică a duratei de fucţioare este = 50 ore, iar caracterul distructiv al cotrolului impue u sodaj erepetat. Petru o probabilitate de îcredere P = = 0, 99 căreia îi corespude y =,33 să se determie volumul eşatioului, atuci câd se admite o eroare probabilă de ± 5% di durata medie de fucţioare prezetată î stadard x = 000 ore. Vom aplica, petru determiarea volumului de sodaj formula (9.3.7), ude δ = = ± 50 ore. 00 = Vom obţie: y δ + y ( ) 7500,33 50 = ,33 50 = 48,55 49 lămpi 9.4. Proporţia şi precizia estimării î cazul caracteristicii biare (alterative) Dacă o aumită caracteristică X a uei populaţii statistice posedă doar două modalităţi de exprimare (o piesă poate fi buă sau defectă, u mucitor poate avea o calificare corespuzătoare sau u etc.), spuem că este o caracteristică alterativă sau biară. Dacă caracteristica X arată o aumită îsuşire pe care o posedă uele di elemetele colectivităţii, atuci uităţile statistice ale colectivităţii se pot aşeza î două grupe, ua avâd K elemete posedâd caracteristica X şi ua avâd -k uităţi care u posedă îsuşirea (caracteristica) X.

18 0 Sodajul statistic - 9 Dacă î urma extragerii uui sodaj E de volum s-au obţiut măsurătorile { x, x, K, x } şi dacă k posedă caracteristica X, iar -k u, putem idetifica măsurătorile efectuate pri x = x = L = x k =, x k+ = x k+ = L = x = 0.% Proporţia di eşatioul E a elemetelor care posedă caracteristica X este dată de media k (9.4.) x = xi = [ k + 0 ( k) ] = i= şi este tocmai frecveţa relativă a caracteristicii cercetate X petru eşatioul E, pe care o vom ota cu f sau f. Frecveţa relativă f a caracteristicii X î eşatio este u estimator edeplasat al probabilităţii p = K, a caracteristicii X î populaţia geerală, deoarece di relaţia geerală M ( x) = m rezultă pe baza cosideraţiilor de mai sus că M ( f ) = p. Îtr-adevăr, M ( x) = M xi = M( xi ) = xi = i= i= i= k= K = [ K + 0( K) ] = = p = p i= i= Aplicâd teorema lui Beroulli care exprimă covergeţa î probabilitate a frecveţei relative f către probabilitatea p obţiem că (9.4.) lim P( f p < ε). ceea ce stabileşte că f este u estimator cosistet petru probabilitatea p. Dispersia a caracteristicii alterative X, î colectivitatea geerală, se obţie astfel: (9.4.3) = = ( xi m) i= K + = i= K K + 0 K xi = K K ( K) = = p( p). Î cele de mai sus realizările măsurătorilor di eşatio au fost cosiderate, î acelaşi timp,valori ale variabilelor aleatoare de sodaj, idetic repartizate cu caracteristica populaţiei X.

19 9.4. Proporţia şi precizia estimării î cazul caracteristicii biliiare (alterative) Ţiâd seama de expresia abaterii medii pătratice de sodaj, rezultă că precizia cu care se estimează probabilitatea p pri frecveţa relativă, î cazul sodajului repetat, respectiv erepetat, se obţie ţiâd seama că: ( p) (9.4.4) f = p, respectiv (9.4.5) p( p) f =. Î cazul sodajului repetat, itervalul de îcredere petru probabilitatea p este (9.4.6) p( p) p( p) f y < p < f + y. Dacă umărul al uităţilor populaţiei geerale este mare iar volumul eşatioului este relativ mic î raport cu, dar suficiet de mare ( 30), atuci itervalul de îcredere petru probabilitatea p î cazul sodajului erepetat este dat pri: (9.4.7.) f y ( p) p( p) p < p < f + y. Î cazul sodajului repetat, volumul al eşatioului de sodaj î fucţie de probabilitatea de îcredere şi eroarea admisă este dat pri: ( p) y y p (9.4.8) = f =, δ δ k ude p se îlocuieşte pri frecveţa relativă f =. Î cazul sodajului erepetat, î vederea obţierii volumului al eşatioului de sodaj, î aceleaşi codiţii date, se poreşte de la relaţia: p( p) (9.4.9) δ = y f = y, de ude se obţie (9.4.0) = yp( p) ( ) δ + y p( p),

20 Sodajul statistic - 9 k ude p se estimează cu ajutorul frecveţei relative f = de volum. Exemplul : Ditr-u lot de volum = 3000 de produse s-a prelevat aleator şi erepetat u eşatio de 300 produse. Î urma cotrolului acestora, 9 produse au fost găsite cu defecte de fabricaţie şi cosiderate rebuturi. Să se estimeze procetul de rebuturi pe îtregul lot petru o probabilitate de îcredere P = 0,975 căreia îi corespude pri tabelul fucţiei Laplace valoarea y =, Avem f = pˆ = = 0, 33, cu această valoare se estimează o abatere 900 pˆ ( pˆ ) pătratică de sodaj f = = 0, Scriid iegalităţile (9.4.7) cu datele corespuzătoare problemei se obţie p 0,03,96 0,00935;0,03 +,96 0,00935 p 0,0;0,046. ( ) sau ( ) 9.5. Sodajul tipic (stratificat) Sodajul tipic (stratificat) se recomadă atuci câd populaţia cercetată este separată î grupe disticte, bie delimitate, care u au elemete comue. Î această situaţie di fiecare grupă se extrage u umăr fixat de uităţi după schema sodajului aleator repetat sau erepetat, cu ajutorul tabelelor cu umere aleatoare, mecaic etc. Î fucţie de scopul urmărit se poate face o grupare corespuzătoare a populaţiei geerale. De exemplu, î aalizarea uui produs al mai multor ateliere de producţie, sodajul se desfăşoară pe grupe de produse veid de la atelierele corespuzătoare. Dacă se cercetează agajaţii uei îtreprideri, aceştia pot fi împărţiţi î grupe după profesie şi vechimea î producţie. Sodajul stratificat trebuie să asigure reprezetativitatea fiecărei grupe î eşatio, ceea ce îseamă că este ecesar să se găsească astfel de criterii de grupare, care să coducă la u grad cât mai mare de omogeitate î fiecare grupă. O stratificare bie făcută trebuie să coducă la erori mai mici decât dacă aceeaşi colectivitate ar fi fost studiată pe baza uui sodaj aleator simplu. Să cosiderăm populaţia geerală P avâd card ( P) = împărţită î k subpopulaţii umite grupe sau straturi. Fie acestea G,G, K, G k cu card( Gi ) = i, i =, k şi să presupuem că petru caracteristica X, cercetată pri sodajul stratificat, modalităţile de exprimare împărţite pe grupe sut:

21 (9.5.) G : x, x, K, x G : x, x, K, x L G k : xk, x k, K, x k. k Se observă că trebuie să avem (9.5.) + + L + k = Sodajul tipic (stratificat) 3 Dacă volumul eşatioului E extras este ( ( E) ) ( G E) =, i, k, atuci card = şi card i i = (9.5.3) + + L + k =. Putem cosidera că di fiecare grupă (strat) s-a efectuat câte u sodaj şi s-au obţiut k eşatioae E k = E G k, petru care, corespuzător caracteristicii X, s-au îregistrat valorile: (9.5.4) E E E L k : x : x : x k, x, x, x k, K, x, K, x, K, x Variabilele de sodaj x i,j, j =, k, i =, j, pot fi cosiderate ca işte variabile aleatoare (statistice). Cu otaţiile de mai sus avem: (9.5.5.) m = k j xi, j, j= j= j m j = xi, j j i= kk ude m este media geerală a populaţiei petru caracteristica X, iar corespuzătoare grupei (stratului) j. Ître acestea există relaţia: k (9.5.6) m = j m j, j=, m j este media

22 4 Sodajul statistic - 9 adică media valorilor caracteristicii X petru îtreaga populaţie P este media poderată a mediilor de grup G j cu poderile j, j, k =. Corespuzător eşatioului de sodaj stratificat putem scrie relaţiile următoare: (9.5.7) k j x = xij j= i = j x j = xij j i= k x = jx j. j= Ultima relaţie di (9.5.7) arată că media valorilor caracteristicii X di k eşatioul de volum = j este egală cu media poderată a mediilor grupelor, ale j= valorilor caracteristicii di fiecare sodaj di grupă, poderile fiid egale cu j, j=, k. Petru estimarea mediei geerale corespuzătoare populaţiei cercetate P,după caracteristica X se cosideră k (9.5.8) x = j x j, care este media poderată a mediilor x j obţiute î grupe. Se demostrează că M ( x) = m şi deci, x este u estimator edeplasat al mediei geerale m. Se arată de asemeea că x este u estimator cosistet al mediei geerale m. Mai exact avem = j= k j (9.5.9) D ( x) ( f ) j= j j ude ˆ j = ( xij m), f j =. j i= j Relaţia (9.5.9) arată că dispersia variabilei x este cu atât mai mică cu cât volumele j sut mai mari şi dispersiile ˆ j sut mai mici. Rezultă deci că sodajul j ˆ j j,

23 9.5. Sodajul tipic (stratificat) 5 tipic dă rezultate acceptabile, dacă umărul uităţilor extrase di fiecare grupă este mare. Să cosiderăm cazul sodajului repetat, atuci eroarea limită δ î fucţie de dispersia di populaţia de bază şi volumul de sodaj, va fi: ˆ (9.5.0) δ = y, de ude rezultă că petru δ fixat volumul de sodaj se obţie pri: y ˆ (9.5.) =. δ Petru sodajul erepetat se obţie: ˆ (9.5.) δ = y, de ude rezultă yˆ (9.5.3) =. yˆ δ + Î cazul câd se îlocuieşte pri estimatorul s se procedează î mod aalog. Volumul eşatioului depide îsă, î cazul sodajului tipic, şi de felul sodajului tipic utilizat. e vom referi î cotiuare la două tipuri frecvet utilizate de sodaj tipic şi aume: sodajul tipic proporţioal şi sodajul tipic optim. Defiiţia. Spuem despre u sodaj tipic că este proporţioal dacă di fiecare grupă tipică î care a fost împărţită populaţia geerală se extrage u umăr de uităţi, astfel ca raportul ditre umărul lor şi volumul grupei di care s-au extras să fie egal cu raportul ditre volumul geeral al eşatioului şi volumul populaţiei geerale, adică j (9.5.4) f j = = = f, j =, k j Deci, sodajul tipic proporţioal este u sodaj simplu, grupat, petru care are loc relaţia (9.5.4). Di această relaţie deducem: (9.5.5) j = j = f j, j =, k.

24 6 Sodajul statistic - 9 j î relaţia (9.5.9) şi ţiâd seama că Itroducâd această valoare a lui f j = f, rezultă că dispersia fucţiei de estimaţie statistică x este dată pri k f j (9.5.6) D ( x) = ˆ j. Defiiţia. Spuem despre u sodaj tipic că este optim, dacă volumul sodajului de grupă j este astfel dimesioat îcât eficieţa să fie maximă. Acest fapt revie la determiarea umerelor j care să satisfacă codiţia: (9.5.7) + + L + k = şi petru care (9.5.8) k ˆ j j D ( x) = ( f j ) j= j să fie miimă. Utilizâd metoda multiplicatorilor lui Lagrage se obţie jˆ j (9.5.9) j =, j =,, K, k. k jˆ j j= umerele j E j card E j = j, petru care eficieţa sodajului este maximă. Relaţia (9.5.9) arată că umărul uităţilor ditr-o grupă oarecare este proporţioal cu umărul uităţilor di această grupă şi cu abaterea medie pătratică a grupei respective. Îlocuid umerele j, cu valorile date de (9.5.9) di (9.5.9) se obţie dispersia fucţiei de estimaţie statistică x, dată pri relaţia: (9.5.0) ( x) j= exprimă volumele eşatioaelor ( ( ) ) k jˆ j k j= D = jˆ j, j= ce pue î evideţă eficieţa sodajului tipic optim.

25 9.6. Testarea ipotezelor statistice. Fudametarea deciziilor bazate pe date de sodaj Testarea ipotezelor statistice. Fudametarea deciziilor bazate pe date de sodaj Cercetarea selectivă (pri sodaj) are ca scop extiderea (extrapolarea) rezultatelor obţiute pe baza eşatioului la îtreaga populaţie supusă ivestigaţiei (cercetării statistice). Î urma prelevării uui eşatio ditr-o populaţie statistică, pri prelucrarea datelor îregistrate la uităţile eşatioului, se obţie u estimator al uui parametru urmărit î populaţia cercetată pri sodaj. Problema care se pue î legătură cu u estimator este î ce măsură el asigură, pe baza sodajului, credibilitatea estimaţiilor parametrilor referitoari la îtreaga populaţie. Rezultatul obţiut pe baza sodajului, pritr-u estimator, este o propuere a ivelului uui idicator al populaţiei geerale, este o ipoteză statistică, petru care, evidet, se impue o testare a îcrederii care poate să i se atribuie. Putem spue că, pri ipoteză statistică îţelegem o supoziţie asupra valorii uui parametru sau asupra uei repartiţii, aleasă ca model de distribuţie a valorilor caracteristicii studiate petru o populaţie statistică. Valoarea reală, dar ecuoscută a parametrului di îtreaga populaţie statistică u poate fi estimată decât probabilist, pri stabilirea uei zoe probabile a parametrului studiat.. Petru diferiţi parametri ai uei populaţii statistice, studiate pri sodaj (selecţie), statistica oferă diferite metode de plasare a parametrului real ître aumite limite cu o aumită credibilitate. Metoda itervalului de îcredere petru medie oferă posibilitatea calculării a două limite, ua iferioară şi alta superioară, î iteriorul cărora media populaţiei să fie cuprisă cu o probabilitate P = -. Itervalul determiat de cele două limite costituie itervalul de îcredere. Di statistica matematică se cuoaşte că, dacă ditr-o populaţie ormal repartizată cu media m şi dispersia se extrage u eşatio de mărime {x, x,..., x }, atuci media sodajului x + x3 + K + x (9.6.) x =, cosiderată ca variabilă aleatoare de sodaj, se repartizează ormal cu media m şi dispersia. Aceasta coduce la faptul că variabila aleatoare

26 8 Sodajul statistic - 9 x m (9.6.) z = se repartizează ormal, cu media 0 şi dispersia. Fie dată o probabilitate de îcredere P = -. Atuci se poate determia o valoare z astfel ca : z (9.6.3) < < = z P( z z z ) e dz = φ(z ) = P =, π z ude φ este fucţia lui Gauss-Laplace.Iegalitatea (9.6.4) -z < z < z devie, ţiîd seama de repartiţia variabilei statistice z, x m (9.6.5) z < < z, de ude se deduce că: (9.6.6) x z cu z soluţie a ecuaţiei φ(z ) = -. < m < x + z, Dacă se cuoaşte dispersia a populaţiei statistice cercetate, ormal distribuite, pe baza datelor de sodaj, aceasta poate fi estimată pri formula : ( xi x) i= (5.6.7) s =. Cosiderâd estimatorul de mai sus ca o variabilă aleatoare de sodaj se poate costrui variabila aleatoare ( mărimea ) de sodaj x m (9.6.8) t =, s

27 9.6. Testarea ipotezelor statistice. Fudametarea deciziilor bazate pe date de sodaj 9 care se repartizează după legea studet (legea t, cum se mai otează o variabilă aleatoare de repartiţie studet) [3] cu - grade de libertate. Fie S - (x) fucţia de repartiţie asociată uei variabile aleatoare de repartiţie studet cu - grade de libertate, şi t soluţia ecuaţiei: (9.6.9) S( t ) =, atuci se obţie petru media m a populaţiei geerale itervalul de îcredere de forma: s s (5.6.0) x t < m < x + t. Exemplul. Î procesul de recepţie ce urmăreşte caracteristica de calitate a uui produs fiit se extrage u eşatio format di trei produse. S-au obţiut măsurătorile: x =,, x =,4, x 3 =,3. Di cercetări aterioare se cuoaşte că dispersia caracteristicii de calitate la acest produs este =0,056. Să se costruiască itervalul de îcredere petru medie utilizâd o probabilitate de îcredere P = - = 0,95 (u ivel de semificaţie = 0,05) [6]. Rezolvare. Utilizâd tabelele cu fucţia lui Laplace, obţiem petru ecuaţia φ(z) = 0,95 soluţia z 0,05 =,96. Pri relaţiile (9.6.3) - (9.6.6) obţiem că: 0,6 0,6 P x,96 m x +,96 = 0,95 3 3, +,3 +,4 Media de sodaj petru eşatioul extras este x = =, 3. 3 Î geeral, itervalul 0,6 0,6 x,96, x +,96 = ( x 0,8, x 0,8) este u iterval aleator, deoarece media de sodaj este o variabilă aleatoare (variază de la u sodaj la altul). Ceea ce putem afirma, î urma datelor obţiute pri eşatioul extras, este că, î itervalul (,9,,48) se va găsi valoarea medie reală a parametrului m cu probabilitatea 0,95. Petru a cotrola aumite feomee statistice este ecesar să se verifice aumite ipoteze statistice referitoare la dispersia a uei populaţii statistice. Î costruirea uui iterval de îcredere petru dispersia a uei populaţii ormale se

28 0 Sodajul statistic - 9 utilizează repartiţia χ s şi faptul că variabila aleatoare X = se repartizează după o lege χ cu - grade de libertate [4],[0]. O variabilă aleatoare cotiuă are o repartiţie χ de parametrii şi dacă desitatea sa de repartiţie este dată pri relaţia (9.6.). O proprietate eseţială a acestei repartiţii de probabilitate, care o face utilă î statistică este aceea că, fiid date variabile aleatoare idepedete de repartiţie ormală redusă, atuci suma pătratelor lor este o variabilă aleatoare de repartiţie χ, de parametri şi =. x x e Petru x 0, > 0, (9.6.) d(x) = Γ 0 Petru x < 0 Fiid dată probabilitatea de îcredere P = - se pot determia două valori χ şi χ.astfel îcât să avem: (9.6.) s P χ < < χ = sau, î mod echivalet, s s (9.6.3) P = < <. χ χ Se obţie itervalul de îcredere petru dispersia, sub forma: s (9.6.4) s < <, χ χ ude χ = χ satisface ecuaţia P χ > χ =, iar χ = χ satisface relaţia P χ > χ =. Î cotiuare e vom referi la testarea ipotezelor statistice petru uele caracteristici referitoare la calitatea produselor.

29 9.6. Testarea ipotezelor statistice. Fudametarea deciziilor bazate pe date de sodaj Efectuâd o cercetare statistică asupra proceselor de fabricaţie, se formează o aumită ipoteză cu privire la legea de repartiţie pe care o urmează caracteristicile de calitate şi la parametrii legii de repartiţie formulate. Problema care trebuie testată este aceea dacă, fiid presupusă o repartiţie (lege) teoretică, îtr-adevăr î urma uui experimet de sodaj valorile îregistrate respectă legea presupusă şi dacă valorile parametrilor de sodaj estimează parametrii populaţiei geerale cercetate. Pri ipoteză statistică îţelegem presupuerea care se face la legea de repartiţie pe care o urmează o variabilă statistică şi cu privire la parametrii uei legi de repartiţie. Petru o ipoteză statistică ce urmează să fie verificată se foloseşte termeul de ipoteză ulă H 0. Verificarea ipotezei H îseamă, de fapt, verificarea a cel puţi ipoteze, H şi o H. Pot apare diverse situaţii ditre care meţioăm: - Dacă ipoteza H costă î faptul că parametrul al uei repartiţii ormale este = 0 şi alterativa ei o H costă î faptul că =, atuci spuem că se verifică o ipoteză simplă cu alterativă simplă. - Dacă îsă ipoteza H costă î = 0 şi ipoteza o H î {,,..., k } se spue că se verifică o ipoteză simplă cu alterativă compusă. Verificarea ipotezelor statistice costă î stabilirea uor reguli care precizează codiţiile î care se cosideră că ipoteza u cocordă cu realitatea şi trebuie respisă. Procedeul pri care se verifică o ipoteză statistică se umeşte test sau criteriu. Petru a accepta sau respige o ipoteză statistică H, se efectuează u experimet pri care s-au realizat, de exemplu, observaţii, î urma cărora s-au îregistrat măsurătorile x, x,..., x. Relativ la u sodaj de volum fixat şi o ipoteză statistică H, corespude o partiţie a spaţiului euclidia R,de forma: (9.6.5) R = W W*, W W* = φ, astfel îcît dacă x = (x, x,..., x ) W* ipoteza se acceptă, iar dacă x W ipoteza se respige. Să cosiderăm, ca exemplu, u lot de produse di care orice produs poate fi corespuzător calitativ sau rebut. Lotul este admis de beeficiar dacă procetul produselor rebutate este mai mic decât u umăr P 0. Procetul de rebut cupris î îtregul lot, ecuoscut de altfel, poate fi estimat pe baza uui sodaj extras di lot. Fiecărui sodaj îi asociem u puct x = (x, x,..., x ) R cu x i = dacă produsul de rag i este rebut, şi x i = 0, dacă produsul de rag i este corespuzător, i =,. Î acest caz mulţimea W, umită şi mulţime critică, este defiită pri: W = K : xi 00 > P0. i= (9.6.6) x = ( x, x, x )

30 Sodajul statistic - 9 La admiterea sau respigerea uei ipoteze statistice se pot face două tipuri de erori, umite de geul îtâi şi respectiv de geul doi. Se comite o eroare de geul îtâi, atuci câd ipoteza H se respige î timp ce ea este justă şi se comite o eroare de geul al doilea, atuci câd se acceptă ipoteza H î timp ce ea este falsă. Î practică, determiarea regiuii critice W a uui test se face pe baza uei statistici S(x, x,..., x ). Dacă este fixată probabilitatea a erorii de geul îtâi şi regiuea critică este defiită de mulţimea W, atuci avem : (9.6.7) P[{(x, x,..., x ) W H adevărată}]=. Probabilitatea erorii de geul doi β se exprimă pri: (9.6.8) P[{(x, x,..., x ) W* o H}] = β, ude o H este ipoteza alterativă a ipotezei H. Î practică, probabilităţile şi β de a comite erori trebuie să fie cât mai mici, ceea ce îseamă că putem să e aşteptăm ca aceste erori să u se producă. Importat este de a găsi cea mai buă regiue critică W petru care probabilităţile, β iau cele mai mici valori. Î practica verificării ipotezelor statistice referitoare la cotrolul statistic al calităţii loturilor de produse, probabilitatea de comitere a erorii de geul îtâi se umeşte riscul furizorului (sau producătorului), iar probabilitatea β de comitere a erorii de geul al doilea se umeşte riscul beeficiarului sau riscul cumpărătorului. Probabilitatea Π de respigere a uei ipoteze statistice pe baza uui test de verificare se umeşte puterea testului. Aceasta se exprimă pri relaţia: (9.6.0) = P[ ( x, x, K x ) W oh ] = β. Dacă ipoteza H este justă, atuci puterea testului trebuie să fie cât mai mică. Dacă ipoteza H este falsă, atuci puterea testului trebuie să fie cât mai mare. Verificarea ipotezelor costă, de fapt, î stabilirea regulii după care ipoteza se respige pe baza testului. Aceasta impue cuoaşterea repartiţiei statisticii alese drept test de verificare şi stabilirea probabilităţii de comitere a uei erori de gradul îtâi, umită prag de semificaţie care, de obicei, are ca valori practice 0,05, 0,0, 0,0. Petru gradul de semificaţie ales se defieşte regiuea critică. Dacă valoarea statisticii cade î această regiue, ipoteza trebuie respisă, îsemâd că s-a produs u feome atât de puţi probabil îcât poate fi cosiderat practic imposibil. Complemetara regiuii critice este regiuea valorii admise. Dacă valoarea statisticii cade î această regiue ipoteza trebuie respisă, îsemâd că s-a produs u feome atât de puţi probabil îcât poate fi cosiderat practic imposibil. Complemetara regiuii critice este regiuea valorilor admise. Dacă valoarea statisticii cade î această regiue îseamă că valoarea statisticii u cotrazice ipoteza şi aceasta poate fi

Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5

Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective: TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi

Διαβάστε περισσότερα

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode

Διαβάστε περισσότερα

Curs 12. Intervale de încredere Intervale de încredere pentru medie în cazul σ cunoscut

Curs 12. Intervale de încredere Intervale de încredere pentru medie în cazul σ cunoscut Curs Itervale de îcredere Am văzut cum poate fi estimat u parametru folosid datele furizate de u eşatio Parametrul di populaţie u este, î geeral, egal cu statistica calculată cu ajutorul eşatioului Ne

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior

4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior 4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã

Διαβάστε περισσότερα

Analiza bivariata a datelor

Analiza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Inegalitati. I. Monotonia functiilor

Inegalitati. I. Monotonia functiilor Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite

Διαβάστε περισσότερα

ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE

ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE 8. ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE 8.. Şiruri de variabile aleatoare Î teoria probabilităţilor şi î aplicaţiile ei o problemă importată o costituie studiul şirurilor de variabile aleatoare,

Διαβάστε περισσότερα

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se

Διαβάστε περισσότερα

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul

Διαβάστε περισσότερα

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017 Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se

Διαβάστε περισσότερα

6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII

6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII 7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate

Διαβάστε περισσότερα

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011 Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila

Διαβάστε περισσότερα

3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI

3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru

Διαβάστε περισσότερα

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 10 TESTE DE CONCORDANŢĂ

TEMA 10 TESTE DE CONCORDANŢĂ TEMA 0 TESTE DE CONCORDANŢĂ Obiective Cuoaşterea coceptelor reritoare la testele de cocordaţă Aaliza pricipalelor teste de cocordaţă Aplicaţii rezolvate Aplicaţii propuse Cupris 0. Cocepte reritoare la

Διαβάστε περισσότερα

PRELEGEREA VI STATISTICĂ MATEMATICĂ

PRELEGEREA VI STATISTICĂ MATEMATICĂ PRELEGEREA VI STATISTICĂ MATEMATICĂ I. Variabile aleatoare 6. Repartiţia şi desitatea de probabilitate a uei variabile aleatoare Caracteristica, variabila studiată di ştiiţele eperimetale se modelează

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Aplicatii ale marimilor medii in practica

Aplicatii ale marimilor medii in practica Aplicatii ale marimilor medii i practica October 5, 2012 Aplicatii ale marimilor medii i practica Calculul marimilor medii Exemplu: u grup de 40, 20, 60 elevi au primit ca premiu la olimpiada de matematica

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

ESTIMAREA PARAMETRILOR STATISTICI. Călinici Tudor

ESTIMAREA PARAMETRILOR STATISTICI. Călinici Tudor ESTIMAREA PARAMETRILOR STATISTICI Călinici Tudor 1 Obiective educaţionale Înţelegerea procesului de estimare Însuşirea limbajului specific pentru inferenţa statistică Enumerarea estimatorilor fără bias

Διαβάστε περισσότερα

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn. 86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că

Διαβάστε περισσότερα

9 Testarea ipotezelor statistice

9 Testarea ipotezelor statistice 9 Testarea ipotezelor statistice Un test statistic constă în obţinerea unei deducţii bazată pe o selecţie din populaţie prin testarea unei anumite ipoteze (rezultată din experienţa anterioară, din observaţii,

Διαβάστε περισσότερα

CURSUL AL VII-LEA. 1. Eşantion. 2. Eşantionare

CURSUL AL VII-LEA. 1. Eşantion. 2. Eşantionare . Eşatio CURSUL AL VII-LEA Idicatorii statistici calculaţi petru u eşatio aume sut simple aproximări petru parametrii reali ai populaţiei di care provie eşatioul. De exemplu, coeficietul mediu de iteligeţă

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ

CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe

Διαβάστε περισσότερα

CURS I ELEMENTE DE BAZĂ

CURS I ELEMENTE DE BAZĂ BIOSTATISTICA CURS I ELEMENTE DE BAZĂ Statistica reprezită ramura matematicii ce a apărut di ecesitatea de a calcula probabilitatea aumitor eveimete di cadrul uui experimet. Majoritatea domeiilor de bază

Διαβάστε περισσότερα

sistemelor de algebrice liniarel

sistemelor de algebrice liniarel Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI

PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre

Διαβάστε περισσότερα

CAP VII ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ

CAP VII ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ CAP VII ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ.Eveimet aleator. Frecveţa relativă a uui eveimet aleator. Probabilitatea uui eveimet. Obiectivul teoriei probabilităţilor. Noţiuea fudametală

Διαβάστε περισσότερα

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI 122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7

Statisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 Statisticǎ - curs 3 Cuprins 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2 2 Teorema limitǎ centralǎ 5 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 4 Estimarea punctualǎ a unui parametru; intervalul

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.

3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii. Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă

Διαβάστε περισσότερα

BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A

BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +

Διαβάστε περισσότερα

5. PROBABILITĂŢI Evenimente

5. PROBABILITĂŢI Evenimente 5 PROBABILITĂŢI Teoria probabilităţilor este u domeiu importat al matematicii, apărut di activităţi şi ecesităţi practice ale oameilor sau di observaţii directe asupra aturii Î viaţa de zi cu zi se îtâlesc

Διαβάστε περισσότερα

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE

CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme

Διαβάστε περισσότερα

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Statistică descriptivă Distribuția normală Estimare. Călinici Tudor 2015

Statistică descriptivă Distribuția normală Estimare. Călinici Tudor 2015 Statistică descriptivă Distribuția normală Estimare Călinici Tudor 2015 Obiective educaționale Enumerarea caracteristicilor distribuției normale Enumerarea principiilor inferenței statistice Calculul intervalului

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008 Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.

lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii. 5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare

Διαβάστε περισσότερα

Sala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ

Sala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A

Clasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A 1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)

Διαβάστε περισσότερα

Partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real

Partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi

Διαβάστε περισσότερα

DistributiiContinue de Probabilitate Distributia Normala

DistributiiContinue de Probabilitate Distributia Normala 8.03.011 STATISTICA -distributia normala -distributii de esantionare lectia 7 30 martie 011 al.isaic-maniu www.amaniu.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studenti/index.asp?item=fisiere&id=88 DistributiiContinue

Διαβάστε περισσότερα

REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII ALGEBRICE NELINIARE

REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII ALGEBRICE NELINIARE REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII ALGEBRICE NELINIARE Forma geerală a ecuaţiei: cu : I R R Î particular poliom / adus la o ormă poliomială dar şi ecuaţiile trascedete Rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul

în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi

Διαβάστε περισσότερα

CANALE DISCRETE DE TRANSMISIUNI

CANALE DISCRETE DE TRANSMISIUNI CAPITOLUL 2 CANALE DISCRETE DE TRANSMISIUNI 2.. Model ateatic de caal discret de trasisiui Î acest odel trebuie precizate ulţiile sibolurilor aplicate la itrarea caalului, ale sibolurilor recepţioate la

Διαβάστε περισσότερα

Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].

Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ]. Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE

REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE. Aspecte itroductive Studiul comportametului diamic al sistemelor fizice modele matematice sub forma ecuaţiilor sau sistemelor

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

Sondajul statistic- II

Sondajul statistic- II 08.04.011 odajul statstc- II EŞATIOAREA s EXTIDEREA REZULTATELOR www.amau.ase.ro al.sac-mau@cse.ase.ro Data : 13 aprle 011 Bblografe : ursa I,cap.VI,pag.6-70 11.Aprle.011 1 odajul aleator smplu- cu revere

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie

CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie Spaţii vectoriale euclidiee/uitare CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE 4.. Produs scalar. Spaţii euclidiee şi spaţii uitare-defiiţie Defiiţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R

Διαβάστε περισσότερα

2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE

2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...

1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii... Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Laborator biofizică. Noţiuni introductive

Laborator biofizică. Noţiuni introductive Laborator biofizică Noţiuni introductive Mărimi fizice Mărimile fizice caracterizează proprietăţile fizice ale materiei (de exemplu: masa, densitatea), starea materiei (vâscozitatea, fluiditatea), mişcarea

Διαβάστε περισσότερα

CURSUL AL II-LEA. 2. Indicatori statistici

CURSUL AL II-LEA. 2. Indicatori statistici . Idicatori statistici CURSUL AL II-LEA.. Serii de valori. Aşa cum s-a văzut î cursul aterior, ueori este ecesar să urmărim mai îtâi o sigură variabilă umerică di multitudiea de variabile îregistrate îtr-u

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR

DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR IOANA MONICA MAŞCA Prezetăm mai multe procedee de calcul al puterilor matricelor ilustrate pri probleme cu soluţii cometate. Putem realiza selecţii de metode şi/sau exemple

Διαβάστε περισσότερα

Student: Specializarea: STATISTICĂ ECONOMICĂ PRELUCRAREA BAZELOR DE DATE

Student: Specializarea: STATISTICĂ ECONOMICĂ PRELUCRAREA BAZELOR DE DATE Studet: Specializarea: STATISTICĂ ECONOMICĂ PRELUCRAREA BAZELOR DE DATE -4-3 - -1 0 1 3 4 Regie proprie 017 Studet: 3 CUPRINS Idicativ Cadrul tematic al cercetării statistice pe bază de soda... Tema r.1

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

Modelare si simulare _Seminar 1 SEMINAR 1

Modelare si simulare _Seminar 1 SEMINAR 1 SEMIAR. Experimet aleator U feome a carui evolutie difera semificativ atuci cad este repetat i aceleasi coditii se umeste experimet aleator. Specificarea experimetului aleator costa i stabilirea procedurii

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z : Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet

Διαβάστε περισσότερα

Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 5 16 martie 2 011

Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 5 16 martie 2 011 1.0.011 STATISTICA Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 16 martie 011 al.isaic-maniu www.amaniu.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studenti/inde.asp?itemfisiere&id Observati doua

Διαβάστε περισσότερα

NOTIUNI DE BAZA IN STATISTICA

NOTIUNI DE BAZA IN STATISTICA NOTIUNI DE BAZA IN STATISTICA INTRODUCERE SI DEFINITII A. PARAMETRI SI STATISTICI Parametru valoare sau caracteristica asociata unei populatii constante fixe notatie - litere grecesti: media populatiei

Διαβάστε περισσότερα

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1 - rezolvari mate MT1

Varianta 1 - rezolvari mate MT1 Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; + 5 + 9 + + a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri

Διαβάστε περισσότερα

EXAMENE ŞI CONCURSURI

EXAMENE ŞI CONCURSURI 8 Examee şi Cocursuri EXAMENE ŞI CONCURSURI A IV-A EDIŢIE A CONCURSULUI FACULTĂŢII DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ A UNIVERSITĂŢII,,OVIDIUS DIN CONSTANŢA prezetare de Laureţiu Hometcovshi ) şi Diaa Savi )

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

CALCULUL SI ANALIZA INDICATORII PE TERMEN SCURT

CALCULUL SI ANALIZA INDICATORII PE TERMEN SCURT CALCULUL SI ANALIZA INDICATORII PE TERMEN SCURT Suport de curs master CSIE Tema : METODOLOGIE its- idustrie - Data : 0 martie 200 Lectia 4_b* ISAIC- M ANIU ALEXANDRU we b www.a maiu.ase.ro e-m ail AL.IS

Διαβάστε περισσότερα

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI G.-F. Şerba, Aplicaţii la teorema lui Frobeius despre matrice 7 PENTRU CERCURILE DE ELEVI APLICAŢII LA TEOREMA LUI FROBENIUS DESPRE MATRICE George-Flori Şerba 1) Î această lecţie vom prezeta rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα