ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Μαθηματική μορφολογία. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Μαθηματική μορφολογία. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας"

Ναθαναήλ Μανωλάς
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Μαθηματική μορφολογία Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

2 ÃÐÓ 11 ÅÑØ ÑÓÖÓÐÓ 11.1 ÅÓÖÓÐÓ ÔÜÖ ÙôÒ ÒÛÒ À ÑÑØ ÑÓÖÓÐÓ ÑÔÓÖ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ØÒ ÒÐÙ ÙôÒ ÒÛÒ ÔÓÙ ÔÖÓÔØÓÙÒ ÑØ Ô ØÑÑØÓÔÓ ÒÛÒº Ë ÙØ ØÒ ÔÖÔØÛ Ó ÔÖÜ Ó ØÐ Ø Ø ÑÑØ ÑÓÖÓÐÓ ÑØ ÕÑØÞÓÙÒ Ø ÑÓÖ Ò ÒØÑÒÓÙ ÜÓÙÒ ÔÓ ÕÖØÖ Ø Ø ÑÓÖ ØÓÙ ÒØÑÒÓÙº ËØ ÙÒÕ ÒÖÓÑ ÙÒÓÔØ ØÓÙ Ó ÑÓÖÓÐÓÓ ØÐ Ø Ù Òº ³Ò ÒØÑÒÓ ÓÖÞØ Ò Ò ÒÓÐÓ ÑÛÒ Ó ØÐ Ø ÔÓÙ ÓÖ ÓÒ ÕÖ ÑÓÔÓÓÒ Ò ÒØÑÒÓ ÒØ ØÓÕÓ ØÓÙ ÔÛÑÒÓÙ ØÕÓÙ ÔÓÙ ÓÒÓÑÞØ ÓÑ ØÓÕÓº ÌÐ Ó ÑÓÖÓÐÓ ÔÖÜ Ù Ò ÓÖÞÓÒØ Ñ Ø Ó ØÛÒ Ð ôò ÔÖÜÛÒ Õ ÛÒ ÑØÜ ÙÒÐÛÒº ÓÒØ Ø ÙÒÕ ÑÖÓ Ô ØÓÙ ØÖÓÙ ÑÓÖÓÐÓÓ ØÐ Øº ÖÛ ÌÓ ÔÓØÐ Ñ Ø ÖÛ ØÓÙ ÒØÑÒÓÙ X Ô ØÓ ØÓÕÓ B Ò ØÓ ÒÓÐÓ X B = {x : B x X}, (11.1) ÔÓÙ B x Ò ØÓ ØÓÕÓ B ÑØØÓÔ ÑÒÓ Ø xº À ÖÛ Ò ÔÖÜ ÒÐÐÓÛØ Ø ÑØØÔ Ò ÜÓÙ ÙÖÖÒÛØ Ò Ò X Y, ØØ X B Y B (0, 0) B, ØØ X B X Ò Ò ÒØÑÒÓ Ò ÑÖ ÒÛ Ø ØØ ØÓ ÔÓØÐ Ñ Ø ÖÛ Ò ÑÖ ÒÛ Ø (X Z) B = (X B) (Z B). À ÖÛ ÒÑØ ØÒ ÒÛ Ó ØÓÕÛÒ Ø ØÓÒ ÐÓÙÓ ØÖÔÓ X (B B ) = (X B) (X B ). ØÓÐ ÌÓ ÔÓØÐ Ñ Ø ØÓÐ ØÓÙ ÒØÑÒÓÙ X Ô ØÓ ØÓÕÓ B Ò ØÓ ÒÓÐÓ X B = {x : B x X }. (11.2) 63

3 À ØÓÐ Ò ÔÖÜ ÒÐÐÓÛØ Ø ÑØØÔ Ò ÜÓÙ Ò X Y, ØØ X B Y B ÔØØ Ò (0, 0) B, ØØ X X B. À ØÓÐ ØÖ Ø ÙÒ ÑØÜ ÑÛÒ Ò ÒØÑÒÓÙº À ØÓÐ Ò¹ ÑØ ØÒ ÒÛ Ó ØÓÕÛÒ Ø ØÓÒ ÐÓÙÓ ØÖÔÓ X (B B ) = (X B) (X B ). À ÔÒÐÝ Ø ØÓÐ Ò ÓÒÑ Ñ Ø ØÓÐ Ô Ò ØÓÕÓ ÔÓÙ ÔÖÓÔØ Ô ØÓ ÔÓØÐ Ñ Ø ØÓÐ ØÛÒ Ó ØÓÕÛÒ (X B) B = X (B B ). ÌÓ Ó ØÓÕÓ ÔÖÓ ÓÖÞ ØÓ ÔÓØÐ Ñ Ø ÔÒÐÝ Ø ÖÛ (X B) B = X (B B ). Ç ÔÖÜ Ø ÖÛ Ø ØÓÐ Ò ÑØÜ ØÓÙ ÙÑÔÐÖÛÑØ Ñ ØÒ ÒÒÓ Ø X B = (X c B) c, ÔÓÙ X c Ò ØÓ ÙÑÔÐÖÛÑ ØÓÙ ÙÒÐÓÙ X B Ò ØÓ ÙÑÑØÖ ØÓÙ B Û ÔÖÓ ØÓ ÑÓ (0, 0)º À ØÓÐ ÔØÖÔ ØÒ Ö ØÛÒ ÙÒ ØÛ ôò Ò ÒØÑÒÓÙ Ð ØÛÒ ÙÔÓ¹ ÙÒÐÛÒ ØÓÙ ÒØÑÒÓÙ ÔÓÙ ÕÓÙÒ ØÒ ØØ Ò ØÛÒ ÑÛÒ ØÓÙº Ò x Ò Ò ÑÓ ØÓÙ ÒØÑÒÓÙ X ÔÒÐÔØ ÖÑÓ Ø ØÓÐ Ð Ø ÙÒÑÒ Ñ ØÓ x Ñ ØÓÙ ÒØÑÒÓÙ X i+1 = (X i H) X, X 1 = x ÔÓÙ ØÓ ØÓÕÓ H ÖÞ ØÒ ÒÒÓ Ø Ò ØÛÒ ÑÛÒ ØÓÒ ÑÛÒµ ÔÓÙ Ó ÔÒÐÝ ØÑØÓÒ ØÒ ÔØÙÕ Ð X i+1 = X i µº Ö ÕÖØÖ ØôÒ ÑÓÖôÒ ÙØ ÑÓÖÓÐÓ ÔÖÜ ÓÖÞØ Ñ Ø Ó Ó ÓÑôÒ ØÓÕÛÒ ÔÓÙ ØÓ Ò B 1 ÓÖ ØÓ ÒØÑÒÓ ØÓ ÐÐÓ B 2 ØÓ ÙÑÔÐÖÛÑ ØÓÙº Ö ÔÖÜ Ø ÖÛ ØÓÒ ÓÖ Ñ ØÓÙ ØÐ Ø Ö ÕÖØÖ ØôÒ ÑÓÖôÒ X B = (X B 1 ) (X c B 2 ). (11.3) ËØÓ ËÕÑ ½½º½ ÓÒØ Ø ÒØ ÓÑ ØÓÕ E ØÒ ÒÞØ ØÖÑØôÒ ÑÛÒ Ò ÒØÑÒÓÙ I ØÒ ÒÞØ ÑÑÓÒÛÑÒÛÒ ÑÛÒ G ØÒ ÒÞØ ØÛÒ ÛÒôÒ Ò ÒØÑÒÓÙº ³ÒÓÑ ÌÓ ÒÓÑ ÙÒ ØØ Ø ÖÛ Ò ÒØÑÒÓÙ Ô Ò ÓÑ ØÓÕÓ B ÓÐÓÙÓÑÒ Ô Ø ØÓÐ Ô ØÓ ÙÑÑØÖ ØÓÙ B X B = (X B) B. (11.4) 64

4 E : I : G : ËÕÑ 11.1: ÓÑ ØÓÕ Ö ÕÖØÖ ØôÒ ÑÓÖôÒ ÌÓ ÒÓÑ Ò ÔÖÜ ÒÐÐÓÛØ Ø ÑØØÔ ÜÓÙ ÙÖÖÒÛØ ÒÑ Ñ ØÒ ÒÒÓ Ø ÔÒÐÝ ØÓÙ ÒÓÑØÓ Ñ ØÓ Ó ØÓÕÓ Ò ÐÐÞ ØÓ ÔÓØ¹ Ð Ñº ÌÓ ÒÓÑ ÐÒ ØÓ ÔÖÖÑÑ ØÛÒ ÒØÑÒÛÒ ØÒÓ ÑÓ ÜÒÞ ÑÖ ÒØÑÒº ÃÐ ÑÓ ÌÓ Ð ÑÓ Ò ÒØÑÒÓÙ ÙÒ ØØ Ø ØÓÐ ØÓÙ Ô Ò ÓÑ ØÓÕÓ B ÓÐÓÙÓÑÒ Ô Ø ÖÛ Ô ØÓ ÙÑÑØÖ ØÓÙ B X B = (X B) B. (11.5) ÌÓ Ð ÑÓ Ò ÔÖÜ ÒÐÐÓÛØ Ø ÑØØÔ ÜÓÙ ÔØØ ÒÑº ÌÓ Ð ÑÓ ÜÒÞ ÑÖ ÓÔ Ò ÒØÑÒÓÙ Ö ØÒ ÒÐ ÐÔØÓ ÐÔÓÙº ËÐØ Ç ÐØ Ò ÒØÑÒÓÙ ÑÔÓÖ Ò ÓÖ Û ØÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ ÒØÖÛÒ ÐÛÒ ØÛÒ ÐÛÒ ÔÓÙ ÖÓÒØ ØÓ ÒØÑÒÓ ÔØÓÒØ Ó ØÓÙÐÕ ØÓÒ Ñ ØÓÙ ÔÖÖÑÑØ ØÓÙ ËÕÑ ½½º¾µº Ç ÐØ ÑÔÓÖ Ò ÙÔÓÐÓ ÕÖ ÑÓÔÓôÒØ Ø ËÕÑ 11.2: Ç ÐØ Ò ÓÖÓôÒÓÙ ÕÑØÓ ÖÛ ØÓ ÒÓÑ S(X) = s n (X) = ((X nh) (X nh) H ). (11.6) n=0 n=0 ÌÓ ÓÑ ØÓÕÓ H ÔÓØÐ ÖØ ÔÖ Ø Ò ÑÓÒÓÙ ÓÙ Òô Ó Ó Ñ ÑÒ ØÒ Ò ØÓ ÓÙØÖÓ ØÓÕÓ Ø ÔÖÜ Ø ÖÛ Ó Ñ Ñ¹ ÐØÖ ØÒ ÑÔÓÖÓÒ Ò ÓÖ ÓÒ ÔÖÓÓÙØ ËÕÑ ½½º µº Å ØÓÒ ÔÖÔÒÛ ÓÖ Ñ Ó ÐØ Ò Ò Ø³ Ò ÓÑÓÓØÓÔ ØÓÙ ÒØÑÒÓÙ Ñ ØÒ ÒÒÓ Ø Ò Õ ØÓÒ Ó ÖÑ ØÑÑØÛÒ ÓÔôÒ ÔÛ ØÓ ÒØÑÒÓº ÌÓ ÒØÑÒÓ ÑÔÓÖ Ò ÔÓØ Ø Ô Ø ÒÑ ÔÓØÐ ÑØ Ø ÐØÓÔÓ Ñ ØÓÐ X = (s n (X) nh). (11.7) n=0 65

5 0H : 1H : ËÕÑ 11.3: ÓÑ ØÓÕ ÔÖ Ø ÛÒ ØÒ ¼ ½ ÄÔØÙÒ À ÐÔØÙÒ ÙÒ ØØ ØÒ ÔÒÐÔØ Ö ÕÖØÖ ØôÒ ØÓÙ ÒØÑÒÓÙ X B = X X B. (11.8) Ò B Ò ÓÑ ØÓÕÓ 3 3 ÔÓÙ ÓÖÞ ÛØÖ Ñ Ñ ÙÒ ÑÛÒ ØØ ÐÔØÙÒ Ò ØÓ ÒÓÖÓ ØÓÙ ÒØÑÒÓÙ Ñ ÙÒ ØÓÒ ÑÛÒº Òô ØÓ ØÓÕÓ B = 1H ËÕÑ ½½º µ ØÓ ÒÓÖÓ Ñ ÙÒ ØÓÒ ÑÛÒº ÌÓ ØÓÕÓ B = L ËÕÑ ½½ºµ ÑÞ Ñ Ø ØÓÕ ÔÓÙ ÔÖÓÔØÓÙÒ Ñ ÔÖ ØÖÓ Ô³ ÙØ Ò ÐØ ÓÑÓÓØÓÔ ØÓÙ ÒØÑÒÓÙº ÈÕÙÒ ËÙÑÔÐÖÛÑØ ÔÖÜ Ø ÐÔØÙÒ Ò ÔÕÙÒ X B = X (X B). ½½ºµ ÌÓ ØÓÕÓ B = C ËÕÑ ½½ºµ ÑÞ Ñ Ø ØÓÕ ÔÓÙ ÔÖÓÔØÓÙÒ Ñ ÔÖ ØÖÓ Ô³ ÙØ Ò ÙÖØ ÔÖÖÑÑ ØÓÙ ÒØÑÒÓÙº L : C : ËÕÑ 11.4: ÓÑ ØÓÕ ÓÑÓÓØÓÔÓ ÐØÓ ÙÖØÓ ÔÖÖÑÑØÓ 11.2 ÅÓÖÓÐÓ ÔÜÖ ÒÛÒ ÛØÒØØ ËØ Ò ÛØÒØØ Ó ÑÓÖÓÐÓ ÔÖÜ ÙÒ ØÓÒ Ñ ÖÑÑ ÐØÖ ÔÜÖ¹ º Ë ÙØ ØÒ ÔÖÔØÛ ØÓ ÓÑ ØÓÕÓ b(m, n) Ò Ñ ÙÔÓÒ ÑÖ ÙÒÛ Ø ÔÓÙ ÔÖÓ ÓÖÞØ Ô Ò ÙÒÐÓÙ ÑÛÒ D b º ÔÖÑ ÑÔÓÖ Ò Ò b(m, n) = 1, D b = {(m, n) : m 2 + n 2 8}. À ØÑ ÑÔÓÖÓ Ò Ò b(m, n) = 0 Ð Ø Ñ ØÓÙ ØÓØ D b º ÖÛ Ò f(m, n) Ò Ó ØÑ Ø Ò ÖÛ Ñ ØÓ ÓÑ ØÓÕÓ b(m, n) Ø Ñ Û Ñ ÐÕ Ø ØÑ Û Ü (f b)(m, n) = min{f(m + k, n + l) b(k, l) (k, l) D b }, (11.10) Ñ ÑÔÓÖ Ò ÓÖ ØÑ f(m + k, n + l)º ÇÔØ Ò ØÓ ØÓÕÓ b(m, n) ÐÑÒ Ø ÑÒ ØÑ ÖÛ Ò ÔÐ ÐÕ Ø ØÑ Ø ÖÕ Ò 66

6 Ñ ØÓÒ ÔÓÙ ÓÖÞØ Ô ØÓ ÒÓÐÓ D b º Ò Ð Ó ØÑ ØÓÙ ÓÑÓ ØÓÕÓÙ Ò Ñ ÖÒØ ØØ Ò ÒØ ÔÓ ÓÖº Ô ÛØÒ ØÑØ ÒÐÓ Ñ ØÓ Ñ ØÓÙ ÔÖÓÖÞÓÒØº ØÓÐ À ØÓÐ Ø Ñ Û Ø Ñ Ø ØÑ Û Ü (f b)(m, n) = max{f(m + k, n + l) + b(k, l) (k, l) D b }, (11.11) Ñ ÑÔÓÖ Ò ÓÖ ØÑ f(m + k, n + l)º Ë ÒØ Ñ Ø ÖÛ Ò Ð Ó ØÑ ØÓÙ ÓÑÓ ØÓÕÓÙ Ò Ñ ÖÒØ ØØ Ò ÒØ ÔÓ ÛØÒº Ô ÓØÒ ØÑØ ÒÐÓ Ñ ØÓ Ñ ØÓÙ ÔÖÓÖÞÓÒØº À ÓÖ ¹ ØÓÐ ÖÛ Ø ÑÓÖÓÐÓ Ð ÔÓÙ ÒØÓÔÞ Ø Ñ ËØÒ ÔÐÓ ØÖ ÔÖÔØÛ Ò g = (f b) (f b). (11.12) g(m, n) = max{f(m+k, n+l) k 2 +l 2 2} min{f(m+k, n+l) k 2 +l 2 2}. (11.13) ÅÔÓÖ Ô Ò ÓÖ Ó Laplacian ØÐ Ø Û ÓÐÓÛ g(m, n) = max{f(m+k, n+l) k 2 +l 2 2}+min{f(m+k, n+l) k 2 +l 2 2} 2f(m, n). (11.14) ³ÒÓÑ Ð ÑÓ ÌÓ ÒÓÑ ÓÖÞØ Ø ØÖÔÓ ÒØ ØÓÕÓ Ñ ØÒ ÔÖÔØÛ ØÛÒ ÙôÒ ÒÛÒ Ñ ÕÖ ÒÓÑØÓ Ð ÑØÓ f b = (f b) b, (11.15) ÔÓÙ ØÓ ØÓÕÓ b ÒØ ØÓÕ ØÓ ÙÑÑØÖ ØÓÙ b Û ÔÖÓ ØÒ ÖÕ (0, 0)º ÈÖÑÓ ÓÖÞØ ØÓ Ð ÑÓ f b = (f b) b. (11.16) ÌÓ ÒÓÑ ÐÒ Ø ÓÖÙ Ø ÛØÒØØ Òô ØÓ Ð ÑÓ ÐÒ Ø ÕÖÖº À ÓÕ ÕÖ ØÓÙ ÒÓÑØÓ ØÓÙ Ð ÑØÓ Ñ Ò Ó ÜÓÑÐÙÒ ØÛÒ ØÑôÒ Ø Ò ÔÖÑÓ Ñ ÙØ ÔÓÙ ØÓ ÐØÖÓ Ñ ØÑº Ö ØÖ Ò ÐØÖÓ Ñ ØÑ Ò Ó Ñ ØÒ ÔÐ ÙØ ØÓÙ ÓÑÓ ØÓÕÓÙ ØÛÒ ÑÓÖÓÐÓôÒ ÔÖÜÛÒ ÔÖÔÐ Ó ÔÓØÐ Ñº 67

7 Σημειώματα Σημείωμα αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Κρήτης, Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας «Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων - Μαθηματική μορφολογία». Έκδοση: 1.0. Ηράκλειο Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση, Όχι Παράγωγο Έργο 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

8 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Κρήτης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σχετικά έγγραφα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Μετασχηματισμός Fourier 2-Δ ακολουθιών. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Μετασχηματισμός Fourier 2-Δ ακολουθιών Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 5 ÅØ ÕÑØ Ñ Fourier ¾¹ ÓÐÓÙôÒ