אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135) באוניברסיטה העברית,

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135) באוניברסיטה העברית,"

Transcript

1 אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135 באוניברסיטה העברית,

2 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר באמצעות L A TEX 2ε ב- 18 בנובמבר 2007 עדכונים ותיקונים יופיעו ב-/ לתגובות, לתיקונים ובכל עניין אחר, אנא כתבו ל- yuvak@gmxnet סיכומים נוספים בסדרה: אלגברה לינארית 1 חשבון אינפיניטסימלי אלגברה לינארית 2 חשבון אינפיניטסימלי 2 תורת הקבוצות תורת ההסתברות 1 מבנים אלגבריים

3 תוכן עניינים 5 דטרמיננטות 1 5 מטריצות הפיכות 11 6 הדטרמיננטה חישוב דטרמיננטות חוק קרמר המטריצה המצורפת לכסון מטריצות 2 14 מוטיבציה ערכים עצמיים וווקטורים עצמיים הפולינום האופייני והפולינום המינימלי תנאים ללכסינות מרחבי מכפלה פנימית 3 24 מכפלה סקאלארית מכפלה הרמיטית מכפלה פנימית מערכות אורתונורמליות אי שוויון בסל אורתוגונליזציית גראם שמידט שוויון פרסבל תת מרחב ניצב טרנספורמציות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית פונקציונלים לינאריים 4 41 המרחב הדואלי מאפסים 42 3

4

5 1 דטרמיננטות 1 דטרמיננטות 11 מטריצות הפיכות יהי V מרחב וקטורי מעל שדה T : V V F, טרנספורמציה לינארית T היא הפיכה אם קיימת טרנספורמציה לינארית S : V V כך ש- I I T S = ST = היא טרנספורמציית הזהות הטרנספורמציה S, שנקראת הטרנספורמציה ההופכית ל- T, היא יחידה מסמנים 1 T S = T מימין ל- הופכית אומרים ש- S T; S = כך ש- I S נקראת הפיכה מימין אם קיימת T באופן דומה, T נקראת הפיכה משמאל אם קיימת S כך ש- I,ST = ואז S הופכית משמאל ל- T יחידות המטריצות ההופכיות מימין ומשמאל לא מתחייבת כמובן, T הפיכה אם ורק אם היא הפיכה גם מימין וגם משמאל אם V מרחב בעל מימד סופי n ו- T : V V טרנספורמציה לינארית, אז א T הפיכה אם ורק אם הדרגה של T היא n; ב T הפיכה מימין אם ורק אם היא הפיכה משמאל אם ורק אם היא הפיכה; ג T חח"ע אם ורק אם T על נראה שאם הט"ל T : V V הפיכה מימין אז היא גם הפיכה משמאל (ולכן הפיכה, ולהיפך נניח ש- T הפיכה מימין; אז יש S כך ש- I T S = נבחר בסיס n (v 1,, v אז T Sv i = v i מטריצה רגולרית Sv 1,, Sv n בת"ל 1 לכן Sv 1,, Sv n בסיס ל- V קיבלנו ש- T מעבירה בסיס מסויים לבסיס; לכן T חח"ע ועל, ולכן הפיכה לכן היא בפרט הפיכה משמאל בנוסף, ההופכי מימין שווה להופכי משמאל: נניח S T = I,T S = I נקבל = S (S T S (T S = S = S ומאסוציאטיביות,IS = S נניח ש- V מרחב n -מימדי, ויהי n B = (v 1,, v בסיס נתאים לכל ט"ל T : V V את המטריצה המייצגת אותה לפי הבסיס B התאמה זו היא איזומורפיזם ממרחב הט"ל על מרחב המטריצות, השומר גם על הכפל לכן T הפיכה אם ורק אם המטריצה A המתאימה לה הפיכה בגלל האיזומורפיזם השומר על הכפל, כל מטריצה F A M n n הפיכה מימין אם"ם היא הפיכה משמאל אם"ם היא הפיכה, ואז יש לה מטריצה הופכית יחידה 1 A, שהיא גם המטריצה ההופכית היחידה מימין ומשמאל למדנו ש- A הפיכה אם"ם דרגתה היא n; אז A נקראת מטריצה רגולרית 2 אם נתונה מטריצה רגולרית A, איך נמצא את 1 A? בעזרת פעולות אלמנטריות על שורות A, אפשר להגיע מ- A ל- I נמיר את הפעולות האלמנטריות בכפל במטריצות אלמנטריות לכן קיימת סדרת מטריצות אלמנטריות E 1,, E k כך ש- I,E k E 1 A = ואז 1 A E k E 1 = כלומר, אם על-ידי פעולות אלמנטריות על A מקבלים את I, על-ידי אותן פעולות אלמנטריות על I באותו סדר מקבלים את 1 A 1 אילו היו תלויים, גם T Sv 1,, T Sv n היו תלויים כל ט"ל מעבירה ת"ל לת"ל אבל אלה,v 1,, v n שאינם תלויים 2 מטריצה שאינה רגולרית נקראת סינגולרית 5

6 1 דטרמיננטות 12 הדטרמיננטה 12 הדטרמיננטה 121 מוטיבציה: המקרה 2 2 נתחיל במערכת של שתי משוואות לינאריות בשני נעלמים: cx + dy = f,ax + by = e אם ( a b, היא רגולרית, אז יש פתרון אחד ויחיד אחרת, יש c d המטריצה (המצומצמת של המערכת, יותר מפתרון אחד לא בהכרח אינסוף: מעל שדה סופי, כמו שדה השאריות, יהיה מספר סופי של פתרונות או אין פתרון y = ed bf af ec ad bc,x = ad bc נחפש את הפתרון, במקרה הרגולרי נקבל מכיוון שיש פתרון יחיד, 0 bc :ad אחרת, המטריצה לא תהיה רגולרית נניח = 0 bc ;ad אם = 0,a אז = 0,bc ולכן = 0 b או = 0 :c קיבלנו שורת או עמודת אפסים באופן דומה, אם אחד מ- d,b,c הוא 0, מקבלים שורת או עמודת אפסים, ולכן המטריצה אינה, a d = b d ואז רגולרית אם 0 d,a, b, c, מכך ש- 0 = bc ad נובע ש- bc,ad = ולכן 0 s = b; = sd a, = sc כלומר, השורה הראשונה היא כפולה של השנייה, ושוב המטריצה אינה רגולרית כך: 2 נגדיר את הדטרמיננטה של מטריצה 2 a b det A = A = = ad bc c קל לראות (וראינו כיוון אחד ש- A רגולרית אם ורק אם 0 A d det טענה 1: א אם ב- A שתי שורות שוות, = 0 A det ב אם כופלים שורה בסקאלאר, הדטרמיננטה נכפלת באותו סקאלאר (הומוגניות det ( ( v u 1+u 2 = det v ( u 1 +det v ( u 2,det וכן v1+v 2 ( u = det v1 ( u +det v2 u ג מתקיים (מולטי-לינאריות ד = 1 I det (נורמליות טענה 2: מהתכונות א וג נובע שאם מחליפים שורות, סימן הדטרמיננטה מתהפך הוכחה נניח שהשורות הן,u, v ונניח ש- Δ היא פונקציה המקיימת את התכונות א וג אז ( ( ( ( ( ( ( u + v u v u u v v 0 = Δ = Δ + Δ = Δ + Δ + Δ + Δ u + v u + v u + v u v u v Δ ( u v = Δ ( v u Δ; כלומר, ( u v + Δ ( v u לכן = 0 מסקנה 3: אם בדטרמיננטה מחליפים שורות, הסימן מתהפך טענה 4: יש רק פונקציה אחת המקיימת את א, ב, ג וד, והיא הדטרמיננטה Δ ( a b c d הוכחה תהי Δ פונקציה כזו, ונראה שהיא הדטרמיננטה: = Δ ( a(1,0+b(0,1 c(1,0+d(0,1 = Δ ( ( a(1,0 c(1,0+d(0,1 + Δ b(0,1 c(1,0+d(0,1 = Δ ( ( a(1,0 c(1,0 + Δ a(1,0 ( d(0,1 + Δ b(0,1 ( c(1,0 + Δ b(0,1 d(0,1 = acδ ( adδ ( bcδ ( bdδ ( = ad bc 6

7 12 הדטרמיננטה 1 דטרמיננטות 122 הדרטמיננטה של מטריצה n n נחפש פונקציה המקיימת את התכונות א, ב, ג, ד כקודם: א אם ב- A שתי שורות שוות, אז = 0 Δ(A ב אם B מתקבלת מ- A על-ידי כפל שורה בסקאלאר s, אז sδ(a Δ(B = (הומוגניות ג אם A 1, A 2, A מטריצות בעלות אותן שורות פרט לשורה ה- i, כך שהשורה ה- i ב- A שווה לסכום השורות ה- i של A 1 ושל,A 2 אז 2 Δ(A = Δ(A 1 + Δ(A (מולטי-לינאריות ד = 1 Δ(I נראה שיש פונקציה יחידה כזו, ונגדיר אותה במפורש נעיקר שאם Δ פונקציה המקיימת את תכונות א וג ו- B מתקבלת מ- A על-ידי החלפת שתי שורות, אז Δ(A :Δ(B = בה"כ, נניח 0 = Δ ( v1 v 1 v n A = + Δ ( v1 v 2 v n ( v1 v 2 v n, B = + Δ ( v2 v 1 v n ( v2 v 1 v n שהחלפנו את השורה הראשונה בשנייה; אם, C = + Δ ( v1+v 2 v 2+v 1 v n ( v2 v 2 v n ברור ש- 0 =,Δ(C ואז = Δ(A + Δ(B ו-( Δ(A,Δ(B = כנדרש a11 a12 : a 21 a 22 בעצם, במחובר נשים לב שבמקרה 2,2 הדטרמיננטה היא = a 11 a 22 a 12 a 21 ( באופן, ובשני את התמורה (האי-זוגית הראשון מפעילים את התמורה (הזוגית 2 1 אנלוגי, נגדיר, כאשר S n הוא אוסף התמורות על n},,{1, det A = σ S n sgn(σa 1σ(1 a nσ(n ונראה ש- det היא היחידה המקיימת את ארבע התכונות ראשית, אם מחליפים שתי שורות ב- A, הדטרמיננטה מחליפה סימן: נסתכל במטריצה A ונחליף בה שתי שורות; אז בדטרמיננטה נקבל אותם מחוברים אך בסדר שונה, בלי להתייחס לסימן אך על-ידי החלפת השורות, ביצענו חילוף בכל אחת מהתמורות, לכן כל תמורה זוגית הפכה לאי-זוגית ולהיפך כלומר, סימן כל תמורה הפך מ-+ ל- ולהיפך לכן כל מחובר נכפל ב- 1, ולכן הכל נכפל ב- 1 תכונה א אם יש שתי שורות שוות, כל מחובר מופיע פעמיים: פעם בסימן + ופעם בסימן אם מציין השדה הוא,2 נקבל 0 nσ(n 2a 1σ(1 a אחרת, נניח שהשורה ה- i שווה לשורה ה- j,,i < j ותהי σ תמורה נסתכל במחובר nσ(n :a 1σ(1 a iσ(i a jσ(j a הוא שווה למחובר (n,a 1σ (1 a iσ (i a jσ (j a nσ כאשר σ מתקבלת מ- σ על-ידי כפל מימין בחילוף בין i ל- j קיבלנו שני מחוברים ששווים בערכם המוחלט σ התקבלה מ- σ על-ידי 7

8 1 דטרמיננטות 12 הדטרמיננטה כפל בחילוף, לכן זוגיות σ מנוגדת לזו של σ, ולכן sgn σ = sgn σ קיבלנו שכל המחוברים מתבטלים, לכן = 0 A det ותכונה א מתקיימת 3 תכונה ב נניח ש- B מתקבלת מ- A על-ידי כפל השורה ה- i ב- c על-פי ההגדרה, נקבל שמתקיים det B = σ S n sgn σa 1σ(1 ca iσ(i a nσ(n = c det A תכונה ג במונחי תכונה ג, det A = σ S n sgn σa 1σ(1 (a iσ(i + a iσ(i a nσ(n = σ S n sgn σ[(a 1σ(1 a iσ(i a nσ(n + (a 1σ(1 a iσ(i a nσ(n] = det A 1 + det A 2 תכונה ד תמורת הזהות (תמורת היחידה היא זוגית, לכן מחובר המתאים לה הוא = שאר המחוברים שייכים לתמורות אחרות, אך לכל תמורה אחרת יש i כך ש- i,σ(i ואז = 0 iσ(i a, כי אינו על האלכסון לכן המחובר כולו 0 תהי Δ פונקציה המקיימת את א, ב, ג וד טענה 5: אם A מטריצה ו- B מתקבלת ממנה 1 על-ידי כפל שורה בסקאלאר c: אז ΔB = cδa (זוהי תכונה ב 2 על-ידי החלפת שורות: אז ΔB = ΔA (הוכחנו כבר 3 על-ידי הוספת c פעמים השורה ה- i לשורה ה- j ΔA = ΔB :(i j A = ( α1 α n, C = α 1 cα i α n, B = α 1 α i α j+cα i α n הוכחה נסמן ΔB = ΔA + ΔC = ΔA + cδ α 1 α i α i α n ואז מתקיים = ΔA + c 0 = ΔA טענה 6: אם ב- A יש שורת אפסים, אז = 0 ΔA 3 הוכחה אחרת: נניח שב- A השורות v j v, i שוות נחליף אותן ביניהן ונקבל שוב את A: אז det A = det A 0 = A det A = 0 2 det (הוכחה זו טובה פרט למקרה שמציין השדה הוא (2 8

9 12 הדטרמיננטה 1 דטרמיננטות הוכחה נניח שהשורה ה- i היא שורת אפסים אז אם נכפול את השורה ה- i ב- 0, המטריצה לא תשתנה לכן = 0 ΔA ΔA = 0 טענה 7: אם A אינה רגולרית, אז = 0 ΔA הוכחה נניח שהשורה ה- i היא צירוף לינארי של שאר השורות אם כל מקדמי הצירוף הם 0, אז i שורת אפסים, ולפי הטענה הקודמת, = 0 ΔA בשאר המקרים, על-ידי שורת פעולות של הוספת כפולות של שורות אחרות לשורה ה- i, נקבל מטריצה עם שורת אפסים, ומבן שעבורה = 0 Δ אך בכל פעולה כזו ערך Δ אינו משתנה, ולכן = 0 ΔA טענה 8: יש פונקציה אחת ויחידה המקיימת את א, ב, ג וד הוכחה אחת כבר יש לנו, והיא det נוכיח שיש רק אחת תהיינה Δ 2,Δ 1 שתי פונקציות כאלה, ונראה :Δ 1 Δ 2 כלומר, לכל מטריצה,A Δ 1 A = Δ 2 A אם A אינה רגולרית, = 0 A ;Δ 1 A = Δ 2 אחרת, A מתקבלת מ- I על-ידי סדרת פעולות אלמנטריות על השורות לכל פעולה אלמנטרית, ה- Δ נכפל בסקאלאר שונה מ- 0, התלוי רק באותה פעולה אלמנטרית אז Δ 1 A = c 1 c 2 c k Δ 1 I וגם Δ 2 A = c 1 c 2 c k Δ 2 I אך Δ 1 A = Δ 2 A ולכן,Δ 1 I = Δ 2 I = הגדרה אם ij,a = (a המטריצה המשוחלפת היא ji A t = (a מטריצה משוחלפת משפט :9 A det A t = det det A t = ad ו- cb,a t = ( a c d b ;det A = ad bc אז A = ( a b c d דוגמה הוכחה אם B = (b ij = (a ji,a = (a ij,a t = B אז det B = σ S n sgn σb 1σ(1 b nσ(n = σ S n sgn σa σ(11 a σ(nn = σ S n sgn σa 1σ 1 (1 a nσ 1 (n = σ S n sgn σ 1 a 1σ 1 (1 a nσ 1 (n כך עברנו על כל התמורות שב- S, n ורשמנו את המחוברים המתאימים, אולי בסדר שונה; לכן קיבלנו את det A מסקנה 10: כל מה שאמרנו על דטרמיננטות בקשר לשורות נכון גם בקשר לעמודות הוכחה (א אם ב- A יש שתי עמודות שוות, אז ב- A t יש שתי שורות שוות לכן, בגלל א, det A לכן = 0 det A = det A t אבל = 0 det A t = 0 באותו אופן מוכיחים את ב וג ראינו מה עושות פעולות אלמנטריות על שורות לדטרמיננטה; אותו דבר עושות הפעולות האלמנטריות על עמודות בין השאר, מקבלים שעמודות המטריצה תלויות אם"ם הדטרמיננטה שלה שווה ל- 0 משפט :11 B det AB = det A det 9

10 1 דטרמיננטות 13 חישוב דטרמיננטות הוכחה ראשית, נוכיח שתי טענות-עזר: למה :111 אם A מטריצה כלשהי ו- E מטריצה אלמנטרית, אז det EA = det E det A הוכחה E התקבלה מ- I על-ידי פעולה אלמנטרית חילוףך שורות, כפל שורה בסקאלאר 0 c, או תוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת במקרה הראשון, 1 = E ;det במקרה השני, ;det E = c במקרה השלישי, = 1 E det מהי?det EA במקרה הראשון, ; det A במקרה השני, ;c det A במקרה השלישי, det A לכן, בכל המקרים det EA = det E det A det(e 1 E k = det E 1 det E k מטריצות אלמנטריות, אז E 1,, E k det(e 1 E k = det E 1 det(e 2 E k = = det E 1 det E k למה 211: הוכחה נניח ש- A ו- B רגולריות אז כל אחת משתיהן היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות: B = E 1 E l,a = E 1 E k אז,AB = E 1 E k E 1 E l ולפי טענת-העזר השנייה, det A = det E 1 det E k אבל גם det AB = det E 1 det E k det E 1 det E l ו-,det B = det E 1 det E l לכן det AB = det A det B אם A או B סינגולרית, AB סינגולרית (כי דרגת מכפלת מטריצות קטנה מ- או שווה לדרגת כל אחת מהן לכן = 0 AB,det ולפחות אחת מבין det B,det A היא 0 לכן det A det B = 0 = det AB 13 חישוב דטרמיננטות מינור הגדרה נסתכל במטריצה A = (a ij n n (נניח ש- 1 > (n המינור של האיבר,a ij שיסומן A, ij זו הדטרמיננטה של המטריצה מסדר (1 n n (1 המתקבלת על-ידי מחיקת השורה ה- i והעמודה ה- j ( a11 a a11 a12 12 a 13 A 23 = a 31 a 32 דוגמה אם,A = a 21 a 22 a 23 אז a 31 a 32 a 33 4 A = n משפט 12 (לפלס: j=1 ( 1i+j a ij A ij = לפי השורה הראשונה: = 4 דוגמה נחשב את ( 1 = 2 3 = 1 det A = det ( a22 a 2n a n2 a nn הוכחה ראשית, נוכיח את המשפט עבור השורה הראשונה: ( a 21 a 22 a 2n = A אז למה 112: אם a n1 a n2 a nn הוכחה בחישוב det A לפי ההגדרה, באות לידי ביטוי רק התמורות המעבירות את 1 ל- 1 אחרת, המחובר המתאים יהיה 0 (הכופל הראשון שלו הוא 0 על כל תמורה כזו אפשר להסתכל כעל תמורה של {n,,2}, בעלת אותה זוגיות (כי כל החילופים בה הם מ- 2 עד n קיבלנו nσ(n,det A = 1 σ sgn σa 2σ(2 a כנדרש 4 משפט זה בעצם מאפשר לפתח דטרמיננטה לפי השורה ה- i 10

11 14 חוק קרמר 1 דטרמיננטות det A = ( 1 1+j A 1j אז A = ( a 21 a 2n a n1 a nn למה 212: אם הוכחה נחליף את העמודה ה- j בעמודה שלפניה שוב ושוב עד שעמודה זו תהיה ראשונה 5 ביצענו 1 j חילופים, והתקבלה מטריצה A שעונה על דרישות הלמה הראשונה; מצד אחד,,det A = A 1j ומצד שני, det A = ( 1 j 1 det A = ( 1 j+1 det A מכאן מתקבל הדרוש כעת, את השורה הראשונה נוכל להציג כ-( ( n1 a 11 ( a נקבל ( 1 0 ( 0 1 det A = a 11 det + + a n1 det = n j=1 ( 11+j a 1j A 1j עבור השורה ה- i, נחליף את השורה ה- i עם זו שלפניה, ואז את השורה ה- 1 i עם זו שלפניה,det A = ( 1 i 1 det ואם כעת נפתח לפי ( ai1 a in a 11 a 1n a n1 a nn det A = ( 1 i 1 n j=1 ( 1j+1 a ij A ij = n וכו ; כעבור 1 i החלפות, נקבל השורה הראשונה נקבל j=1 ( 1i+j a ij A ij הוכחנו ש- A,det A t = det לכן נקבל שניתן לפתח באופן זהה גם לפי עמודות טענה 13: הדטרמיננטה של מטריצה משולשית היא מכפלת איברי האלכסון הראשי הוכחה באינדוקציה על n אם = 1 n, ברור נניח נכונות ל- 1 n ונוכיח נכונות ל- n נתונה מטריצה n n משולשית A נפתח לפי העמודה הראשונה (אם המטריצה משולשית עליונה או לפי השורה הראשונה (אם המטריצה משולשית תחתונה, ונקבל det A = a 11 A 11 המטריצה המינורית ל- a 11 אף-היא משולשית, ואלכסונה הראשי הוא ;a 22,, a nn לפי הנחת האינדוקציה, A 11 = a 22 a nn לכן det A = a 11 a 22 a nn מכפלת איברי האלכסון הראשי 14 חוק קרמר נניח שיש מערכת,cx + dy = f,ax + by = e כאשר המטריצה המצומצמת רגולרית אז יש e f x = a c פתרון יחיד, והוא, כפי שכבר חישבנו קודם, b a b d c d, y = e a b f c d באופן כללי יותר: משפט 14 (חוק קרמר: תהי A מטריצה רגולרית n, n ויהי b וקטור עמודה (מעל שדה F אז למערכת A x = b יש פתרון יחיד לכל k, תהי A k המטריצה המתקבלת מ- A על-ידי החלפת X 1 = A1 A,, X n = An A העמודה ה- k בווקטור b ; אז הפתרון היחיד של המערכת הוא 5 נשים לב שזה שונה מהחלפה בבת-אחת (כלומר, החלפת העמודה ה- j עם העמודה ה- 1 : החלפה בבת-אחת לא שומרת על סדר העמודות 11

12 1 דטרמיננטות 15 המטריצה המצורפת k c k = A מכיוון שזהו פתרון, A c 1 הוכחה יהי n (c 1,, c הפתרון היחיד; עלינו להוכיח שלכל,k a c n a 1n = b 1 a n1 a nn b n det A 1 = det = det נחשב את :det A 1 ( b1 a 12 a 1n ( bp n a n2 a nn n i=1 cia1i a12 a1n P n i=1 ciani an2 ann ( a1i a 12 a 1n a ni a n2 a nn = n i=1 c i det לכל > 1 i, יש במטריצה המתאימה שתי עמודות שוות, לכן המחובר המתאים הוא 0 נותר c 1 = det A1 det A רק המחובר המתאים ל- 1 =,i והוא c 1 det A אז,det A 1 = c 1 det A לכן נקבל ביטויים דומים עבור c 3 c, 2 וכו n טענה :15 עבור j=1 ( 1i+j a kj A ij = 0,k i הוכחה תהי B המטריצה המתקבלת מ- A על-ידי רישום השורה ה- k במקום ה- i,det B = 0 det B = n כי יש שתי שורות שוות מצד שני, נפתח לפי השורה ה- i : 1=j ( 1i+j a kj B ij n המינורים של השורה ה- i ב- B הם כמו ב- A, לכן = 0 ij 1=j a kja 15 המטריצה המצורפת מטריצה מצורפת הגדרה תהי A מטריצה n n מעל שדה F המטריצה המצורפת matrix (adjoint היא המטריצה המוגדרת על-ידי ij adj A = (b כאשר (A = (a ij b ij = ( 1 i+j A ji adj A = ( = ;A אז ( דוגמה תהי מהו?A adj A c ij = n אם k=1 a ikb kj = n אם נסמן ij,a adj A = (c נקבל k=1 ( 1k+j a ik A jk i, לכל אז הפיתוח לפי השורה ה- i (נוסחת A = n k=1 ( 1k+i a ik A ik מקבלים,i = j,c ij = δ ij A שהוכחנו לעיל אז נוכל לכתוב (כפי c ij נקבל = 0,i j אבל אם c ii = A ו- A I A adj A = 1 A נוכל להסיק שלכל נובע שאם A סינגולרית, = 0 A A adj אחרת, A adj A = I A 1 = 1 A מטריצה רגולרית adj A,A ( = A, A = 4 6 = 2,adj ומכאן נקבל 4 2 ( = ;A אז דוגמה תהי 4 3 ( A 1 = ( =

13 2 לכסון מטריצות = Ax אך אילו A היתה ( ( ax x = ( 1 2 3,A = 2 לכסון מטריצות ממש תענוג ( a b c ( x y = z by cz 21 מוטיבציה ( נסתכל במטריצה אלכסונית, פעול כפל כזו היתה הרבה יותר פשוטה: והואיל ומתמטיקאים הם רודפי-תענוגות, הם מעדיפים שמטריצות תהיינה אלכסוניות למעשה, במקרה הכללי, מחפשים בסיס שלפיו המטריצה היא אלכסונית: יהי V מרחב n -מימדי מעל,F ותהי T : V V ט"ל יהי n B 1 = (v 1,, v בסיס של ונניח ש- B,V בסיס של B 2 = (u 1,, u n לפי בסיס זה יהי T של המטריצה נניח ש- A V היא המטריצה של T לפי בסיס זה אם P היא מטריצת המעבר מהבסיס B 1 לבסיס B, 2 אז 6 B = P 1 AP מטריצות דומות הגדרה אומרים שהמטריצה B דומה למטריצה A אם יש P רגולרית כך ש- B = P 1 AP 22 ערכים עצמיים וווקטורים עצמיים 221 הגדרה ויהי n (v 1,, v בסיס של V לפי המטריצה של T אלכסונית: כלומר, מהצורה ( תהי T ט"ל a1 0 0 אז T v i = a i v i באופן כללי: a n וקטור עצמי הגדרה אם T ט"ל ו- 0 v וקטור, v נקרא וקטור עצמי (eigenvector של T אם קיים סקאלאר T v = כך ש- λv λ אם n v 1,, v הוא בסיס שלפיו המטריצה אלכסונית, כל וקטור בבסיס הוא וקטור עצמי של T מצד שני, אם n v 1,, v בסיס של וקטורים עצמיים, המטריצה אלכסונית לפי בסיס זה הוכחה נניח ש-( (v 1,, v n בסיס שאיבריו וקטורים עצמיים; אז,T v i = a i v i והמטריצה היא T v 1 = a 1 v 1 + 0v v n,, T v n = 0v v n 1 + a n v n ערך עצמי לא לכל טרנספורמציה לינארית יש בסיס של וקטורים עצמיים: למשל, נסתכל בט"ל T : R 2 R 2 שהיא סיבוב ב- 90 סביב הראשית, במגמה החיובית לטרנספורמציה זו לא קיימים וקטורים עצמיים הגדרה תהי A מטריצה n n מעל F סקאלאר a F ייקרא ערך עצמי (eigenvalue של A אם קיים וקטור v F n 0 (וקטור עמודה כך ש- av Av = אומרים ש- v הוא וקטור עצמי השייך לערך העצמי a P 6 הפיכה, כי היא מעבירה בסיס לבסיס 13

14 22 ערכים עצמיים וווקטורים עצמיים 2 לכסון מטריצות יחס הדימיון רפלקסיבי A,A כי ;A = I 1 AI הוא גם סימטרי B = A,A = P BP 1 = B = P 1 AP כלומר 1 BP ;A = (P 1 1 בנוסף, הוא טרנזיטיבי אם B דומה ל- A ו- C דומה ל- B, קיימות מטריצות רגולריות P ו- Q כך ש- B, = P 1 AP ;C = Q 1 BQ לכן C = Q 1 P 1 AP Q = (P Q 1 AP Q לכן זהו יחס שקילות 222 מציאת ערכים עצמיים נניח ש- a ערך עצמי של A אז קיים וקטור עמודה v כך ש- aiv ;Av = av = כלומר, = 0 aiv Av aiv = (A קיבלנו ש- a הוא ע"ע של A אם"ם למערכת המשוואות = 0 aiv A יש פתרון לא-טריוויאלי זה נכון אם"ם המטריצה A ai סינגולרית, וזה נכון אם"ם = 0 A A ai = ai ( 0 1 = A (מטריצת הסיבוב ב- (90 מעל 1 0 דוגמה מהם הערכים העצמיים של המטריצה xi A = 0 ( x 0 x 0 ( = 0 x 1 1 x = 0 x 2 +1 = 0 אין פתרונות מעל R, לכן אין ע"ע מעל R :R מעל A = ( דוגמה 1 xi A = 0 ( x 0 x 0 ( = 0 x x 1 = 0 כלומר, = 0 2 x(x (x = 0 x 2 2x = יש שני ע"ע: 0 ו- 2 ( כלומר, = 0 y x + y = 0 x + נבחר, למשל, 1 ( ( x y = 0 0 נחפש ו"ע השייכים ל- 0 : ( כלומר, x + y = 2x x + y = 2y למשל, 1 ( ( x y = 2x 2y 1 (1, עבור הע"ע :2 נבחר 1 (1, ( שני וקטורים אלה מהווים בסיס; לפיו, המטריצה היא טענה 16: v הוא ו"ע של T אם"ם הישר span{v} מועתק על-ידי T לתוך עצמו; ואם הע"ע?R המתאים שונה מ- 0, ישר זה מועתק על עצמו הוכחה תרגיל משפט 17: אם T ט"ל ו- A המטריצה שלה לפי בסיס מסויים, ל- T ול- A יש אותם ע"ע הוכחה נניח ש- λ ע"ע של T תהי A המטריצה של T לפי הבסיס B יהי V ו"ע של T השייך ל- λ, ונסמן [v] B וקטור הקואורדינטות של v לפי הבסיס,v 0 B לכן 0 B ;T v = λv [v] כאשר נעבור למטריצות, נקבל ש- A[v] B = λ[v] B לכן λ ע"ע של A כל הטיעונים תקפים גם בכיוון ההפוך; לכן מקבלים שאם λ ע"ע של A אז הוא ע"ע של T משפט 18: לשתי מטריצות דומות יש אותם ע"ע הוכחה נניח ש- A B אז B = P 1 AP יהי λ ע"ע של A, ויהי 0 v ו"ע השייך לו אז B(P 1 v = P 1 AP P 1 v = P 1 Av = P 1 λv = λp 1 v Av = λv לכן λ ע"ע של B, ו- v P 1 ו"ע השייך לו (v P, 1 כי 1 P רגולרית הכיוון ההפוך נובע מסימטרייה 14

15 2 לכסון מטריצות 22 ערכים עצמיים וווקטורים עצמיים A ראינו שע"ע של B = ( ( = ;A היא דומה למטריצה דוגמה נסתכל במטריצה 1 1 ( 1 ; אבל זה 1 הם 2 ו- 0, ולכן גם הע"ע של B הם 2 ו- 0 ו"ע של A השייך לע"ע 2 הוא, למשל, ( ( ( 1 1 = 0 2 אינו ו"ע של B: טענה 19: המטריצה A סינגולרית אם"ם 0 הוא ע"ע שלה הוכחה נניח ש- A סינגולרית אז למערכת המשוואות = 0 Ax יש פתרון לא-טריוויאלי יהי v פתרון כזה; אז 0,v אבל,Av = 0 = 0v ולכן 0 ע"ע של A אם A אינה סינגולרית, היא רגולרית, ולמערכת = 0 Ax הפתרון היחיד הוא 0; לכן לא קיים A ולכן 0 אינו ע"ע של,Av = כך ש- 0v v כלומר, אין 0 Av = כך ש- 0 v 0 טענה :20 תהי T ט"ל A מטריצה, ויהיו λ 1,, λ k ע"ע שונים של T (של (A עם ו"ע,v 1,, v k בהתאמה אז v 1,, v k בת"ל הוכחה באינדוקציה על k אם = 1 k, יש לנו המערכת 1 v, 1 0 v לכן מערכת זו בלתי-תלויה נניח ל- k ונוכיח ל- 1 + k יש לנו ע"ע שונים k+1 λ 1,, λ k, λ ווו"ע k+1 v 1,, v k, v השייכים a 1 v a k v k + a k+1 v k+1 = 0 להם, בהתאמה נוכיח שהם בת"ל: נניח ש- λ k+1 a 1 v λ k+1 a k v k + λ k+1 a k+1 v k+1 = 0 נכפול ב- 1+k λ: ובנוסף, נפעיל את T על (נכפול משמאל ב- A את שני אגפי השוויון הראשון: a 1 λ 1 v a k λ k v k + a k+1 λ k+1 v k+1 = 0 נפחית את השוויון האחרון מהקודם לו, ונקבל a 1 (λ 1 λ k+1 v a k (λ k λ k+1 v k = 0 מהנחת האינדוקציה, = 0 k+1 a 1 (λ 1 λ k+1 = = a k (λ k λ לכל i k,1 0 k+1,λ i λ כי אלו ע"ע שונים; לכן = 0 k a 1 = = a נציב בשוויון הראשון, ונקבל = 0 k+1 a k+1 v אבל 0 k+1,v לכן = 0 k+1 a קיבלנו שבכל צירוף לינארי מתאפס של k+1 v 1,, v כל המקדמים מתאפסים, לכן וקטורים אלה בת"ל מסקנה 21: אם n -מימדי V ו- T, : V V אז ל- T יש לכל היותר n ע"ע שונים הוכחה אם ניקח k ע"ע שונים ונבחר לכל אחד ו"ע, נקבל k וקטורים בת"ל מכאן, k n מסקנה 22: למטריצה n n יש לכל היותר n ע"ע שונים 15

16 23 הפולינום האופייני והפולינום המינימלי 2 לכסון מטריצות תהי T ט"ל, ויהי λ ע"ע שלה נסתכל בקבוצת הווקטורים λv} V λ = {v V : T v = V λ מכילה את כל הוו"ע השייכים ל- λ ואת 0, ואלה כל איבריה; ברור ש- V λ תת-מרחב של :V לא ריק, כי V λ ;0 אם v 1, v 2 V λ אז T v 1 = λv 1 ו- T v 2 = λv 2 נחשב ונקבל 2 T (v 1 + v 2 = T v 1 + T v 2 = λv 1 + λv 2 = λ(v 1 + v באופן דומה, לגבי כפל בסקאלאר הגדרה V λ נקרא המרחב העצמי של λ מרחב עצמי 23 הפולינום האופייני והפולינום המינימלי 231 הפולינום האופייני הראינו ש- λ הוא ע"ע של A (מטריצה (n n אם"ם = 0 A λi נסתכל בביטוי A : xi x a 11 a 12 a 1n a 21 an 1n a n1 a nn 1 x a nn זהו פולינום ממעלה n: n = (x a 11 (x a nn + n sgn σ a iσ(i id σ S n i=1 פולינום אופייני הגדרה הפולינום A p(x = xi נקרא הפולינום האופייני של A אם p(x הוא הפולינום האופייני של A, אז λ ע"ע אם"ם הוא שורש של :p(x כלומר, אם"ם p(λ = טענה 23: אם A ו- B מטריצות דומות, יש להן אותו פולינום אופייני הוכחה B = P 1 AP הפולינום האופייני של A הוא A ; xi של :B xi B = xi P 1 AP = xp 1 IP P 1 AP = P 1 xip P 1 AP = P 1 (xi AP = P 1 xi A P = xi A P 1 P = xi A P 1 P = xi A I = xi A לכן ל- A ול- B יש אותו פולינום אופייני A B אך, xi A = xi B = נקבל x 2 :B = ( ,A = ( 0 0 דוגמה 0 0 יהי V מרחב n -מימדי מעל השדה T : V V F, ט"ל מהמשפט הקודם, נוכל להגדיר את הפולינום האופייני של T כפולינום האופייני של אחת מהמטריצות המייצגות את T יש הרבה כאלה, אך כולן דומות לכן לכולן אותו פולינום אופייני, ושורשיו הם הע"ע של T 16

17 2 לכסון מטריצות 23 הפולינום האופייני והפולינום המינימלי טענה 24: יהי p(x פולינום מעל F הסקאלאר a הוא שורש של p(x אם"ם x a מחלק את הפולינום; כלומר, אם קיים פולינום q(x כך ש-( aq(x p(x = x הוכחה אם x a מחלק את,p(x,p(x = (x aq(x ואם נציב x = a נקבל 0 בכיוון השני, נניח ש- 0 = p(a p(a = a a n a n,p(x = a a n x n n p(x = p(x p(a = a 1 (x a + + a n (x n a כל-אחד מהמחוברים הנ"ל מתחלק ב- a,x לכן p(x מתחלק ב- a x 7 ריבוי אלגברי הגדרה הריבוי האלגברי של השורש a של פולינום הוא ה- k המקסימלי כך ש- x (a k מחלק את הפולינום (נסמן: (a m A הגדרה T ט"ל, a ע"ע; הריבוי האלגברי של a כע"ע של T הוא ריבויו האלגברי כשורש של הפולינום האופייני ריבוי גיאומטרי הגדרה T ט"ל, a ע"ע; הריבוי הגיאומטרי של a כע"ע של T הוא המימד של המרחב העצמי V a (נסמן: (a (m G משפט :25 (a m G (a m A הוכחה נניח m G (a = k נסתכל במרחב העצמי ;V a מימדו k נבחר בסיס ל- (v 1,, v k,v a כל איברי הבסיס הם ו"ע של T השייכים ל- a נשלים בסיס זה לבסיס של (v 1,, v k,, v n :V נסתכל במטריצה של T לפי הבסיס הזה: זוהי מטריצה מהצורה a 0 0? 0? 0? 0 0 a? 0?? 0 0 0? עבורה הפולינום האופייני הוא, אם נפתח לפי העמודה הראשונה, q(x (x a k קיבלנו שהפולינום V λ1,, V λk המרחבים האופייני מתחלק ב- (x a k לכן (a m A (a k = m G משפט :26 תהי T ט"ל, ויהיו λ 1,, λ k ע"ע שונים של T יהיו העצמיים שלהם אז לכל V; λ1 V λ2 = {0} k, 1 k 2 יתר על כן, החיתוך של כל מרחב עצמי עם סכום המרחבים העצמיים האחרים מכיל רק את 0 הוכחה נוכיח, בה"כ, שהחיתוך של V λk עם הסכום של השאר מכיל רק את 0 יהי v וקטור בחיתוך אז v = v 1 + +v k 1 V λk ל- v i V λi לכל 1 k i 1 אז = 0 v v 1 + +v k 1 נראה ש- k 1 v 1, v 2,, v שווים כולם ל- 0, ומכאן נקבל = 0 :v אילו אחדים מהם היו שונים מ- 0, הם היו ו"ע השייכים לע"ע שונים; אבל למדנו שו"ע השייכים לע"ע שונים הם בת"ל, ולכן הסכום לא יכול להיות 0 בסתירה x k a k = (x a(x k 1 + x k 2 a + + a k

18 23 הפולינום האופייני והפולינום המינימלי 2 לכסון מטריצות הגדרה סכום ישר של תתי-מרחבים W,U הוא } W,U + W = {u + w : u U, w אם סכום ישר כל וקטור בו ניתן להצגה יחידה כ- w u + עבור w W,u U מסמנים U W תנאי הכרחי ומספיק לכך ש- U + W יהיה סכום ישר הוא ש-{ 0 } = W U באופן טבעי, ניתן להרחיב הגדרה זו לסכום סופי: הסכום U U k נקרא סכום ישר אם כל וקטור בו ניתן להצגה יחידה כ-,u u k כך שלכל i מתקיים u i U i תנאי הכרחי ומספיק לכך הוא שהחיתוך של כל תת-מרחב עם סכום האחרים מכיל רק את האפס מסמנים U 1 U k = k i=1 U i על-פי המשפט, נקבל שסכום מרחבים עצמיים שונים הוא סכום ישר dim k i=1 = k מסקנה,dim(U 1 U 2 = dim U 1 + dim U 2 :27 ובאופן כללי i=1 dim U i הוכחה (ב באינדוקציה: = k+1 dim(u 1 U k+1 = dim(u 1 U k + dim U dim U dim U k משפט קיילי המילטון ( = A הפולינום האופייני הוא 5x 2 xi A = x 2 נציב בפולינום זה נסתכל במטריצה 4 ( ( ( = ( את :A נקבל A2 5A 2I למה זה שווה? נחשב ונציב: משפט 28 (קיילי-המילטון: אם T : V V ט"ל V מרחב n -מימדי מעל (F ו-( p(x הפולינום האופייני של,T אז = 0 f(t 98 הוכחה נוכיח למקרה של מטריצה,p(x = xi M = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + x n ולכל מטריצה P adj P = P I,P בפרט, (xi M adj(xi M = xi M I = p(xi = a 0 I + a 1 xi + + x n I איברי המטריצה A adj(xi הם מינורים, כלומר דטרמיננטות מסדר 1 (n (n 1 לכן הם פולינומים ממעלה 1 n לכל היותר כל מטריצה שאיבריה פולינומים אפשר לכתוב בצורה,B 0 + B 1 x + + B k x k כאשר B 1,, B k הן מטריצות של איברי k n 1,F קיבלנו n 1,adj(xI M = B 0 + B 1 x + + B n 1 x לכן (xi M(B 0 + B 1 x + + B n 1 x n 1 = a 0 I + a 1 Ix + + Ix n נפתח סוגריים ונקבל MB 0 +(B 0 MB 1 x+ +(B n 2 MB n 1 x n 1 +B n 1 x n = a 0 I + +Ix n נעשה השוואת מקדמים: 8 זוהי טרנספורמציית האפס, לא סקאלאר האפס 9 לגבי מטריצות: אם M מטריצה n n מעל F ו- p הוא הפולינום האופייני שלה, אז = 0 p(m 18

19 2 לכסון מטריצות 23 הפולינום האופייני והפולינום המינימלי MB 0 = a 0 I B 0 MB 1 = a 1 I B n 2 MB n 1 = a n 1 I B n 1 = I נכפול את השוויון ה- i -י משמאל ב- 1 i M: MB 0 = a 0 I MB 0 M 2 B 1 = a 1 M M n 1 B n 2 M n B n 1 = a n 1 M n 1 M n B n 1 = M n נחבר את השוויונים: = a 0 I + a 1 M + + a n 1 M n 1 + M n 0 כלומר, = 0,p(M כנדרש 233 הפולינום המינימלי פולינום מינימלי הגדרה אם T ט"ל (M מטריצה, n -מימדי, V הפולינום המינימלי של (M, T שיסומן (x µ T (M T הוא הפולינום המתוקן 10 בעל המעלה החיובית הקטנה ביותר המאפס את µ, M ((x טענה 29: א יש פולינום יחיד בעל תכונה זו ב כל פולינום שמאפס את T מתחלק ב- µ T ג שורשי הפולינום המינימלי הם בדיוק הערכים העצמיים הוכחה א מדוע יש פולינום ממעלה חיובית קטנה ביותר המאפס את T? בכל קבוצה לא-ריקה של מספרים טבעיים יש איבר ראשון נסתכל בקבוצת המספרים n N כך שיש פולינום מתוקן ממעלה n המאפס את T זוהי קבוצה לא-ריקה, כי היא מכילה את מימד המרחב יהי n 0 המספר הקטן ביותר בקבוצה זו, ויהי µ(x פולינום ממעלה n 0 המאפס את T פולינום זה מקיים את הדרישה מפולינום מינימלי נוכיח יחידות: נניח ש- µ 1 ו- µ 2 שני פולינומים מתוקנים ממעלה חיובית מינימלית המאפסים את T נחלק את µ 2 ב- µ 1 עם שארית, ונקבל,µ 2 = q µ 1 + r כאשר r(x הוא פולינום האפס: נציב את :T נקבל r(t,µ 2 (T = q(t µ 1 (T + כלומר r(t + 0 = 0 אז לא ייתכן ש- r פולינום ממעלה 0 השונה מ- 0, כי אז נקבל 0 k r(t = בנוסף, לא ייתכן ש- r ממעלה חיובית, כי אז 1 < deg(r < deg(µ 0 ונקבל סתירה למינימליות µ 1 (כי µ 2 = q אינו מתוקן, קל לתקן אותו אז קיבלנו µ 1 r כזכור, ואם,r(T = 0 נראה ש- 1 = q,deg(µ 2 = deg(µ 1 אבל גם 1 ;deg(µ 2 = deg(q + deg(µ לכן = 0,deg(q ולכן q קבוע + k µ 1 (x = x ו- + k µ 2 (x = x (כי אלה פולינומים 10 פולינום מתוקן ממעלה n הוא פולינום מהצורה p(x = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 19

20 24 תנאים ללכסינות 2 לכסון מטריצות מתוקנים, אז q(x x k = x k ולכן = 1 q קיבלנו µ 1 = µ 2 ב יהי p(x פולינום המאפס את T ויהי µ הפולינום המינימלי; נראה ש-( µ(x מחלק את p(x נחלק עם שארית: r(x p(x = q(x µ(x + אם נראה ש- 0 =,r(x נסיים אחרת, r קבוע השונה מ- 0 או פולינום ממעלה חיובית אבל בהוכחת סעיף א ראינו שאף אחת מאפשרויות אלה לא תיתכן, ולכן = 0 r אז µ(x,p(x = q(x כנדרש ג נראה שכל ע"ע הוא שורש של µ(x למה 129: אם T ט"ל ו- M מייצגת אותה בבסיס מסויים, µ T = µ M 11 הוכחה מספיק להראות שאם M מייצגת את T בבסיס מסויים ו- f פולינום כלשהו, אז f(m מייצגת את f(t לפי אותו בסיס אולם זה נובע מהאיזומורפיזם בין חוג הטרנספורמציות לחוג המטריצות לכן = 0 f(m f(t = 0 מכאן, הפולינום המינימלי של שתיהן הוא אותו פולינום יהי c ע"ע של M (נוכיח למטריצה, ומהלמה הטענה תנבע עבור העתקה לכן = 0 M ci נחלק את µ(x ב-( c (x עם שארית: r(x,µ(x = q(x (x c + כאשר r קבוע (כי = 1 c deg r < deg(x (0 נראה ש- 0 = r נציב את M ונקבל = µ(m = (M ci q(m + ri 0 אז q(m ri = (ci M ניקח דטרמיננטה ונקבל q(m r n = ci M det אבל = 0 M, ci ולכן נקבל = 0 r אז µ(x מתחלק ב-( c x, ולכן c שורש של µ(x 24 תנאים ללכסינות משפט 30: העתקה לינארית T ניתנת ללכסון אם"ם סכום הריבויים הגיאומטריים של הערכים העצמיים שלה הוא n, מימד המרחב הוכחה נניח שסכום הריבויים הגיאומטריים הוא n יהיו λ 1,, λ k הע"ע השונים נסתכל (d i את מימדו (נסמן V λi בסיס של (v1, i, vd i i במ"ע V λ1,, V λk לכל i k,1 יהי כל שניים מהבסיסים האלה זרים, משום שהחיתוכים מכילים רק את 0 ובבסיס אין וקטור ה- 0 נסתכל באיחוד הבסיסים הללו מספר הווקטורים הוא סכום הריבויים הגיאומטריים, והוא n נוכיח שהאיחוד הוא בסיס של V הואיל ויש n וקטורים, די להוכיח אי-תלות (או, במידה שווה, פרישה נניח ש- a 1 1v a 1 d 1 vd a k 1v1 k + + a k d k vd k k = 0 נעביר אגפים: a 1 1v a 1 d 1 vd 1 1 = (a 2 1v a 2 d 2 vd a k 1v1 k + + a k d k vd k k 11 כמסקנה, למטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני 20

21 2 לכסון מטריצות 24 תנאים ללכסינות אגף שמאל שייך ל- V, λ1 כי הוא בסיס של V; λ1 אגף ימין שייך לסכום המרחבים העצמיים האחרים אם כן, קיבלנו שוויון בין האגפים, אך החיתוך של V λ1 עם סכום האחרים מכיל רק את,a 1 1v a 1 d 1 אך מכיוון שזה צירוף לינארי vd 1 1 האפס, ולכן שני האגפים הם אפס לכן = 0 a 1 1 = = a 1 d 1 מתאפס של איברי בסיס, = 0 באותו אופן, נשאיר את המחוברים השייכים ל- V λ2 באגף שמאל ונעביר את השאר ימינה;,a 2 1 = = a 2 d 2 וכן הלאה כך נקבל שכל המקדמים שווים ל- 0, ולכן קיבלנו בסיס נקבל ש- 0 = של V כל איברי הבסיס הם וקטורים עצמיים, לכן T לכסינה בכיוון השני: ראשית, נעיר שסכום הריבויים הגיאומטריים תמיד קטן מ- או שווה ל- n מדוע? סכום הריבויים האלגבריים קטן מ- או שווה ל- n, וכל ריבוי גיאומטרי קטן מ- או שווה לריבוי האלגברי המתאים לכן אם סכום הריבוים הגיאומטרי איננו n, הוא קטן מ- n נסתכל בסכום הישר של כל המרחבים העצמיים זה תת-מרחב של V, ומימדו קטן מ- n לסכום-ישר זה יש בסיס עם פחות מ- n איברים, וכל איברי הבסיס הם ו"ע כל הו"ע נמצאים בסכום הישר הזה, והם פורשים אותו; לכן המספר המקסימלי של ו"ע בת"ל הוא מימד הסכום הישר, שקטן מ- n לכן אין n ו"ע בת"ל, ולכן אין בסיס שכולו ו"ע ל- V, ו- T איננה לכסינה משפט 31: T לכסינה אם"ם מתקיימים שני התנאים א הפולינום האופייני מתפרק לגמרי לגורמים לינאריים; ב לכל ע"ע m A (λ = m G (λ,λ הוכחה נניח שהתנאים מתקיימים אז סכום הריבויים האלגבריים הוא n, כי הפולינום האופייני מתפרק לגמרי בגלל תנאי ב, סכום הריבויים הגיאומטריים שווה לסכום הריבויים האלגבריים, וזה n; לכן, לפי המשפט הקודם, T לכסינה בכיוון השני: אם א אינו מתקיים, סכום הריבויים האלגבריים קטן מ- n ; מכיוון שכל ריבוי גיאומטרי קטן מ- או שווה לריבוי האלגברי, בוודאי סכום הריבויים האלגבריים קטן מ- n, ומהמשפט הקודם, T אינה לכסינה אם ב אינו מתקיים, קיים ע"ע λ כך ש-( λ m G (λ < m A לכן m G < m A n, ושוב קיבלנו שסכום הריבויים הגיאומטריים קטן מ- n, ו- T אינה לכסינה משפט 32: T לכסינה אם"ם שני התנאים א הפולינום האופייני מתפרק לגמרי לגורמים לינאריים; ב הפולינום המינימלי מתפרק לגמרי לגורמים לינאריים שונים הוכחה נניח ש- T לכסינה אז יש בסיס B שלפיו המטריצה A של T אלכסונית µ A = µ T באלסכון של A מופיעים בדיוק כל הערכים העצמיים של A ומחוץ לאלכסון מופיעים אפסים, לכן הפולינום האופייני של A הוא n λ i (x λ 1 (x λ ע"ע, ולכן מתפרק לגמרי יהיו λ 1,, λ k כל הע"ע השונים של A נסתכל בפולינום k g(x = (x λ 1 (x λ נציב בו את A ונקבל I g(a = (A λ 1 I (A λ k בכל מקום באלכסון, לפחות באחד 21

22 24 תנאים ללכסינות 2 לכסון מטריצות הכופלים יש 0 לכן = 0 g(a קיבלנו פולינום מתוקן המאפס את A, לכן g(x µ(x כלומר, המעלה של µ(x היא לכל היותר k אבל λ 1,, λ k שורשים של,µ(x לכן deg(µ(x k קיבלנו,deg(m(x = k ו-( g(x µ(x = (הוכחת הכיוון השני לא נלמדה 22

23 3 מרחבי מכפלה פנימית 3 מרחבי מכפלה פנימית 31 מכפלה סקאלארית מכפלה סקאלארית הגדרה יהי V מ"ו מעל R מכפלה סקאלארית היא פונקציה מ- V V ל- R, שתסומן α β או β,α, המקיימת את התכונות א α β = β α (סימטריות ב (α + α β = α β + α β (לינאריות במשתנה הראשון ג β (aα β = a(α (הומוגניות במשתנה הראשון ד 0 α α α > 0 = (חיוביות דוגמה נסתכל ב- R 2 או ב- R 3 כמרחבים מעל R מגדירים פעולה על R, 3 R 2 שנקראת מכפלה סקאלארית, שתוצאתה מספר ממשי, על-ידי,α β = α, β = α β cos θ כאשר α ו- β וקטורים ו- θ היא הזווית ביניהם ב-,R 2 אם 1,β = (a 2, b 2,α = (a 1, b אז,β = (b 1,, b n,α = (a 1,, a n,r n מתקיימות התכונות ב- α β = a 1 a 2 + b 1 b 2 α β = a 1 b a n b n מקיימת את התכונות, ולכן היא מכפלה סקאלארית דוגמה יהי V מרחב הפונקציות הממשיות הרציפות בקטע [1,0] עם הפעולות הרגילות של 1 = g f צריך לבדוק ברצינות רק את תכונה חיבור וכפל בסקאלאר, ונגדיר f(xg(xdx 0 1? אנו מסתמכים על משפט: אם 0 f אבל 0 f ד : מדוע אם 0 f אז > 0 dx 0 f(x2 1 ו- f רציפה, > 0 f(xdx 0 תכונות: 1 במקום התכונות ב וג, אפשר לכתוב β (aα + a α β = a(α β + a (α α (β + β = (β + β α = β α + β α = α β + α β α α α = 0,α אם"ם = 0 α (אם 0,α לפי ד > 0 α ;α אחרת, לפי ג, (α α = 0α α = 0(α α = 0 מרחב אוקלידי V עם המכפלה הסקאלארית נקרא מרחב אוקלידי 32 מכפלה הרמיטית מכפלה הרמיטית הגדרה יהי V מ"ו מעל C מכפלה הרמיטית היא פונקציה מ- V V ל- C, שתסומן α β או β,α, המקיימת את התכונות א α β = β α (הרמיטיות ב (α + α β = α β + α β (לינאריות במשתנה הראשון ג β (aα β = a(α (הומוגניות במשתנה הראשון 23

24 33 מכפלה פנימית 3 מרחבי מכפלה פנימית ד 0 α α α > 0 = (חיוביות דוגמה נסתכל ב- C n ונגדיר (a 1,, a n (b 1,, b n = a 1 b a n b n זה מקיים את ארבע התכונות הנדרשות תכונות: 1 מא נובע ש- α α ממשי, כי α α = α α α (β + β = α β + α β 2 (α (β + β = (β + β α = β α + β α = β α + β α = α β + α β (α bβ = bβ α = bα β α bβ = bα β 3 V עם המכפלה ההרמיטית נקרא מרחב אוניטרי מרחב אוניטרי 33 מכפלה פנימית 331 הגדרה מכפלה סקאלארית ומכפלה הרמיטית נקראות, באופן כללי, מכפלה פנימית נשים לב שמעל R, α: β = α β לכן המכפלה הסקאלארית היא מקרה פרטי של מכפלה הרמיטית, ונוכל להגדיר מכפלה פנימית כך: מכפלה פנימית מרחב מכפלה פנימית הגדרה יהי V מרחב מעל {C F,R} מכפלה פנימית מעל V היא פונקציה מ- V V ל- F המקיימת א α β = β α ב (α + α β = α β + α β ג β (aα β = a(α ד 0 α α α > 0 = V עם נקרא מרחב מכפלה פנימית 332 אורך וקטור הגדרה במרחב מכפלה פנימית, האורך של וקטור α מוגדר כ- α α = α אורך וקטור טענה :33 א 0, α ויש שוויון אם"ם = 0 α ב a α a α = ג β 2 α ± β 2 = α 2 ± 2 Re(α β + הוכחה א נובע בקלות מהתכונות ב α aα 2 = (aα (aα = aa(α α = a 2 נוציא שורש ונקבל a α aα = 24

25 3 מרחבי מכפלה פנימית 33 מכפלה פנימית ג נוכיח עם +: α + β 2 = (α + β (α + β = α α + α β + β α + β β = α α + α β + α β + β β = α Re(α β + β מרחק בין וקטורים המרחק בין α ל- β הוא β ; α מסמנים β d(α, כמובן, α d(α, 0 = תכונות: α = β ויש שוויון אם"ם,d(α, β 0 1 d(α, β = d(β, α 2 3 γ d(α, γ d(α, β + d(β, (אי-שוויון המשולש 334 ניצבות וקטורים ניצבות הגדרה נאמר ש- α ניצב ל- β (α β אם = 0 β α ברור ש- β α אם"ם β; α כמו-כן, 0 ניצב לכל וקטור (זהו הווקטור היחיד שניצב לכל וקטור, מהחיוביות: אם α ניצב לכל וקטור, בפרט ;α α לכן = 0 α,α ולכן = 0 (α 335 אי שוויון קושי שוורץ משפט 34 (אי-שוויון קושי-שוורץ: α β, α β ושוויון מתקיים אם"ם α ו- β תלויים 12 γ = β α 0,α 0 = α β α הוכחה נניח 0 α נגדיר וקטורים α ( 2 γ α 0 = γ β α לכן מספיק להראות α α = β α 2 α (γ α :(γ α 2 0 = 0 (כלומר, γ α 0 ש- 0 = α γ ואכן, γ α = (β β α α 2 α α = β α β α α 2 α α = β α β α α 2 α 2 = β α β α = 0 γ 2 = γ γ = γ (β α 0 = γ β γ α 0 = γ β = (β α 0 β = β β α 0 β = β 2 β α α 2 α β 0 β 2 β α α 2 α β 0 כלומר, 0 γ 2 = β 2 β α כלומר, קיבלנו α 2 α β α β α β = α β 2 α 2 β 2 α 2 β 2 α β כלומר, אם"ם אחד מהם הוא כפולה של חברו במספר מרוכב, אם F, = C או ממשי, אם F = R 25

26 34 מערכות אורתונורמליות 3 מרחבי מכפלה פנימית אם α ו- β תלויים, או = 0 α וברור שיש שוויון, או z (C β = zα באגף שמאל, α zα = z α 2 באגף ימין, α β = α zα = zα α = z α α = z α 2 לכן יש שוויון מצד שני, נניח שיש שוויון; אם = 0 α, ברור שיש תלות אחרת, = 0 γ (כי = 0 2 γ ; β = α 0 = β α לכן β כפולה של,α ואכן יש תלות כלומר, = 0 0,β α ו- α α אי שוויון המשולש משפט 35 (אי-שוויון המשולש: β, α + β α + ושוויון מתקיים אם"ם אחד מ- α, β הוא כפולה של האחר בסקאלאר ממשי אי-שלילי הוכחה β 2 α + β 2 = α Re(α β + β 2 α α β + <,0 מכיוון ש- z ;Re(z מאי-שוויון קושי-שוורץ, נקבל β 2 ; α + β 2 α α β + כלומר, β 2 α + β 2 ( α + לכן β α + β α + אם,α = 0 = 0β שני האגפים הם, β ולכן שווים אחרת, אם 0,α אז β = aα כאשר 0,a ואז = a α α + β = α + aα = (1 + aα = 1 + a α = (1 + α + a α = α + a α = α + β מצד שני, אם קיים שוויון, β 2 α Re(α β + β 2 = α α β + לכן β Re(α β = α כלומר, α β מספר ממשי אי-שלילי, ומכאן גם β α מספר ממשי λ = β α אז β = λα (הוכחה α 2 אי-שלילי; אם = 0,α אז α = 0β וסיימנו אחרת, נסמן 0 הכתרגיל מסקנה :36 β α + β α הוכחה נסתכל בשני הווקטורים α + β ו- β מכיוון ש-( β α, = α + β + נקבל מאי-שוויון המשולש β α α + β + β = α + β + כלומר, β α β α + באותו אופן, α α + β = β + α β 34 מערכות אורתונורמליות הגדרה במרחב מכפלה פנימית V, קבוצת וקטורים A תיקרא אורתונורמלית אם לכל β α, שונים קבוצה אורתונורמלית ב- A, α α = 1,α β = 0 דוגמה R n או C n עם המכפלה הרגילה: 1, 0, (0, = n ε 1 = (1, 0,, 0,, ε טענה 37: יהי V מרחב מכפלה פנימית n -מימדי מעל F אז כל מערכת אורתונורמלית ב- V היא בלתי-תלויה הוכחה תהי A מערכת אורתונורמלית, ויהיו α 1,, α k וקטורים שונים ב- A נראה שהם בלתי-תלויים: נניח ש- 0 = k,a 1 α a k α ונראה ש- 0 = k a 1 = = a את שני אגפי 26

27 3 מרחבי מכפלה פנימית 35 אי שוויון בסל השוויון נכפול מימין ב- :α 1 נקבל = 0 1 (a 1 α a k α k α 1 = a 1 = 0 α 13 לכל i k,1 נכפול את שני האגפים מימין ב-,α i ונקבל = 0 i a לכן הם בלתי-תלויים בסיס אורתונורמלי מסקנה 38: במרחב מכפלה פנימית n -מימדי, בקבוצה אורתונורמלית יש n וקטורים לכל היותר אם יש n וקטורים, קבוצה זו היא בסיס, שנקרא בסיס אורתונורמלי דוגמה 5 ( 4 5, 3, 5 ( 3 5, 4 בסיס אורתונורמלי של,R 2 עם המכפלה הסקאלארית הרגילה טענה :39 יהי n B = (ε 1,, ε בסיס אורתונורמלי של,V ויהי וקטור α V אז מתקיים a i = α ε i,1 i n כך שלכל α = a 1 ε a n ε n הוכחה נכפול את שני האגפים מימין ב- :ε i נקבל α ε i = a 1 ε 1 ε i + + a n ε n ε i = a i טענה :40 אם ε 1,, ε k מערכת אורתונורמלית ו-,α = a 1 ε a k ε k אז מתקיים α 2 = a a k 2 = α ε α ε k 2 הוכחה 2 k α 2 = α α = (a 1 ε 1 + +a k ε k (a 1 ε 1 + +a k ε k = a a אי שוויון בסל k משפט 41 (אי-שוויון בסל: א אם ε 1,, ε k מע א"נ, α וקטור, α 2 i=1 α ε i 2 ב אם ε 1,, ε k בסיס, יש שוויון הוכחה ראשית, אם מערכת זו היא בסיס, α הוא צירוף לינארי שלהם, והשוויון (סעיף ב נובע מהטענה הקודמת γ = α k אז (א γ ניצב לכל ;ε i (ב γ ניצב לכל וקטור שנפרש למה :141 i i=1 (α ε iε γ 2 = α 2 k על-ידי ;ε 1,, ε k (ג i 2 i=1 α ε γ ε 1 = α ε 1 k באופן דומה הוכחה (א = 0 1 i=1 (α ε iε i ε 1 = α ε 1 α ε מוכיחים עבור ε 2,, ε k (ב יהי δ וקטור הנפרש על-ידי ε 1,, ε k אז δ = a 1 ε a k ε k לפי חלק א, נקבל = 0 k γ δ = a 1 γ ε a k γ ε γ = α β אז ;β = k (ג יהי i=1 (α ε iε i γ 2 = γ γ = γ (α β = γ α γ β אבל מחלק ב,,γ β ולכן β α = וכן,α α = נקבל α 2 γ 2 = γ α = (α β α = α α β α k i=1 (α ε iε i α = k i=1 (α ε i(ε i α = k i=1 (α ε i(α ε i = k i=1 α ε i 2 γ 2 = α α β α = α 2 k לכן, כנדרש, i 2 i=1 α ε k i=1 α ε i 2 לכן α 2,0 γ 2 = α 2 k i=1 α ε i 2 (a 1 α a k α k α 1 = a 1 α 1 α a k α k α 1 = a a a k 0 = a 1 13 a 1 ε 1 a 1 ε 1 = a 1 a 1 ε 1 ε 1 = a

28 36 אורתוגונליזציית גראם שמידט 3 מרחבי מכפלה פנימית הגדרה תהי ε 1,, ε k מערכת אורתונורמלית, ויהי α V ההטלה של α על תת-המרחב הטלה k הנפרש על-ידי ε 1,, ε k הוא הווקטור i=1 (α ε iε i γ = α k אם α בתת-המרחב הנפרש, אז בטענת העזר, דיברנו על הווקטור i=1 (α ε iε i = 0 γ; בכל מקרה, γ הוא הווקטור הקצר ביותר מבין הווקטורים המחברים את α עם וקטורים ב-{ span{ε 1,, ε k k הוא i=1 (α ε iε i פירושו של דבר ש- k האורך של γ הוא המרחק מ- α אל i=1 (α ε iε i הווקטור הקרוב ביותר ל- α ב-{ span{ε 1,, ε k (ההוכחה כתרגיל 36 אורתוגונליזציית גראם שמידט משפט 42: יהיו α 1,, α k וקטורים בת"ל במרחב מכפלה פנימית קיימת מערכת אורתונורמלית span{ε 1,, ε l } = span{α 1,, α l } מתקיים 1 l k כך שלכל ε 1,, ε k הוכחה באינדוקציה על k: (ε 1 ו-(,span ε 1 = span α 1 כמובן, ε 1 = α1 אם = 1,k יש לנו רק 0 1 ;α נבחר 1 α סדרה אורתונורמלית נניח נכונות ל- k 1 ונוכיח ל- k נסתכל ב-( α 1,, α k לפי הנחת האינדוקציה, יש סדרה א"נ span{ε 1,, ε l } = span{α 1,, α l } מתקיים 1 l k כך שלכל 1 (ε 1,, ε k 1 1 i k לכל 1 ε k ε i לפי טענת-עזר קודמת, ε k = α k l נסמן i=1 (α k ε i ε i k 1,α k = ולכן כלומר, = 0 i ε k ε אך 0 k,ε כי אילו = 0 k,ε היינו מקבלים i=1 (α k ε i ε i ε k = ε k תלוי לינארית ב- k 1,α 1,, α בסתירה נוכל להגדיר k ε הסדרה k (ε 1,, ε היא סדרה כדרוש: ראשית, לכל ; ε i = 1,1 i k שנית, קל לראות שלכל ε i ε j = 0 i j בנוסף, מהנחת האינדוקציה, לכל l < k 1 מתקיים } l span{ε 1,, ε l } = span{α 1,, α צריך כעת להוכיח עבור :l = k נשים לב שמתקיים } k ε k span{ε 1,, ε k 1, α k } = span{α 1,, α אז מתקיימת ההכלה (של פרישת קבוצות בת"ל } k span{ε 1,, ε k } span{α 1,, α שתי הפרישות בעלות מימד,k לכן שוות משפט :43 אם n (α 1,, α בסיס של,V ניתן לבנות ממנו בסיס א"נ n (ε 1,, ε כך שלכל span{ε 1,, ε l } = span{α 1,, α l } מתקיים 1 l k מסקנה 44: אם V מרחב מ"פ בעל מימד סופי, כל סדרה א"נ ניתנת להשלמה לבסיס א"נ הוכחה נניח ש- ε 1,, ε k היא סדרה אורתונורמלית אם k, = n סיימנו, כי זה כבר בסיס א"נ אחרת, ;k < n נשלים את הסדרה לבסיס n (ε 1,, ε k, α k+1,, α על סדרה זו נפעיל את תהליך גראם-שמידט ב- k המקומות הראשונים, לא ישתנו הווקטורים (ההוכחה כתרגיל למשל, ε 2 = ε 2 (ε 2 ε 1 ε 1 = ε

29 3 מרחבי מכפלה פנימית 37 שוויון פרסבל נקבל סדרה אורתונורמלית n,(ε 1,, ε k, ε k+1,, ε וזה בסיס ש- k הווקטורים הראשונים בו הם איברי הסדרה המקורית, לפי סדרם k משפט (אי-שוויון בסל אם k (ε 1,, ε סדרה א"נ, לכל i=1 α ε i 2 α 2 α הוכחה נשלים את k (ε 1,, ε לבסיס א"נ n (ε 1,, ε k, ε k+1,, ε למדנו שבמקרה זה ; α 2 = n מכאן נובעת הטענה i=1 α ε i 2 37 שוויון פרסבל טענה :45 יהי k (ε 1,, ε בסיס א"נ של,V ויהיו α, β V כך ש-,α = a 1 ε a n ε n α β = n i=1 a ib i אז β = b 1 ε b n ε n α β = (a 1 ε a n ε n (b 1 ε b n ε n הוכחה נחשב: = a 1 b 1 ε 1 ε 1 + a 1 b 2 ε 1 ε a n b n ε n ε n = a 1 b a n b n (מכיוון ש- ij (ε i ε j = δ משפט 46 (שוויון פרסבל: יהי n (ε 1,, ε בסיס א"נ של,V ויהיו α, β V אז = β α n i=1 (α ε i(ε i β הוכחה אם,β = b 1 ε b n ε n,α = a 1 ε a n ε n מטענה קודמת,a i = α ε i α β = n a i b i = i=1 n (α ε i (β ε i = i=1 ;b i = β ε i לפי הטענה הקודמת, n (α ε i (ε i β i=1 כנדרש 38 תת מרחב ניצב כרגיל, V מרחב מכפלה פנימית מעל F תהי A V קבוצת וקטורים הניצב של A הוא A = {α V : β A α β} דוגמה אם = A או {0} =,A אז A = V אם,A = V אז {0} = A טענה 47: לכל A A, הוא תת-מרחב של V הוכחה ראשית, A,0 לכן A איננו ריק; נבדוק סגירות אם A,β A,α 1, α 2 אז = 0 β (α 1 + α 2 β = α 1 β + α 2 הוכחת הסגירות לכפל בסקאלאר דומה על-פי הטענה, נוכל להגדיר כך 29

30 39 טרנספורמציות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית 3 מרחבי מכפלה פנימית הגדרה עבור,A V תת-המרחב הניצב של A הוא β} A = {α V : β A α תת-מרחב ניצב דוגמה נסתכל במטריצה M מעל R תהי A קבוצת השורות של המטריצה A הוא מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות = 0 Mx בדרך-כלל נדבר על תת-מרחבים U ועל תת-המרחב הניצב להם, U טענה :48 א (U U ב {0} = U U הוכחה א יהי α U,β U לכן = 0 α,β ולכן = 0 0 = β ;α זה נכון לכל β U לכן,α U ב נניח ש- U α U אז = 0 α,α לכן = 0 α (יש לשים לב שטענה זו אינה דורשת ש- U תת-מרחב משפט :49 נניח ש- V בעל מימד סופי אם U תת-מרחב של,V אז U V = U + 16,β = r ויהי הוכחה יהי r (ε 1,, ε בסיס א"נ של U יהי נתון α V נסמן i=1 (α ε iε i γ β ובפרט,γ U לכן U לכן הוא ניצב לכל איבר של,ε i לכל ניצב למדנו ש- γ γ = α β קיבלנו ש- γ α = β + כלומר, כל וקטור ב- V שווה לווקטור ב- U ועוד וקטור ב- U; לכן U V = U + אבל {0} = U,U לכן הסכום הוא סכום ישר משפט 50: אם V בעל מימד סופי ו- U תת-מרחב של V, אז U = U הוכחה כידוע, U U U תת-מרחב, לכן U ;V = U מכיוון שגם U תת-מרחב, U V = U קיבלנו U,dim V = dim U + dim U = dim U + dim לכן U = U לכן,U ויש לו אותו מימד כמו ל- U תת-מרחב של U dim U = dim U 39 טרנספורמציות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית 391 תבניות בילינאריות הגדרה יהי V מרחב מכפלה פנימיתמעל F, ותהי T : V V טרנספורמציה לינארית לכל,α β V נסתכל בסקאלאר β T,α לפונקציה זו נקרא התבנית הבילינארית המוגדרת על-ידי תבנית בילינארית T טענה :51 נניח שלכל α, β V מתקיים = 0 β T α, אזי = 0 T הוכחה יהי α וקטור ב- V לכל β V מתקיים = 0 β T α, כלומר, T α ניצב לכל וקטור ב-,V ולכן = 0 α T זה נכון לכל,α ולכן = 0 T דוגמה נניח שלכל α מתקיים = 0 α T α, לא נובע, במצב זה, = 0 :T למשל, V = R 2 עם המכפלה הסקאלארית הרגילה, T סיבוב ב- 90 T ט"ל והיא אינה טרנספורמציית האפס, אבל לכל T α, α = 0 α V 16 למעשה, U V = U 30

31 3 מרחבי מכפלה פנימית 39 טרנספורמציות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית טענה :52 לכל,α, α, β, β V,a, b F מתקיים א β T (α + α, β = T α, β + T α, ב β T α, β + β = T α, β + T α, ג β T aα, β = a T α, ד β T α, bβ = b T α, טענה :53 אם V T, S hom(v, ולכל, T α, β = Sα, β α, β V אז T = S הוכחה לכל,α, β V T α, β = Sα, β T α Sα, β = (T Sα, β = 0 לכן, לפי טענה קודמת, = 0 S,T ולכן T = S פונקציונל לינארי מטענה 52 נובע שבהינתן β, ההעתקה β α T,α היא העתקה לינארית מ- V ל- F; העתקה כזו נקראת בשם פונקציונל לינארי טענה 54: יהי V בעל מימד סופי, ויהי ϕ פונקציונל לינארי על V אז קיים וקטור יחיד β V שמקיים שלכל α ב- ϕ(α = α, β V יתר על כן, לכל β ההעתקה β α,α היא פונקציונל לינארי (חלק זה נובע מיידית מתכונות המכפלה הפנימית הוכחה לכל,β V נסתכל בפונקציונל הלינארי ϕ β המוגדר ע"י β ϕ β (α = α, קל לראות ש- ϕ bβ = bϕ β,ϕ β+β = ϕ β + ϕ β הפונקציונלים מהצורה ϕ β הם תת-מרחב של מרחב הפונקציונלים F V; = hom(v, מימדו הוא כמימד dim V = dim hom(v, F = dim V dim F = dim V 1 = dim V :V מימד מרחב הפונקציונלים מהצורה ϕ β הוא כמימד,V מכיוון ש-,β = a 1 β a n β n (β 1,, β n ϕ β = a 1 ϕ β1 + + a n ϕ βn בסיס של,V אז הם בלתי-תלויים, ו- β, ϕ תלויים בהם; לכן ϕ β1,, ϕ βn בת"ל, וכל ϕ β תלוי בהם לכן זה בסיס קיבלנו תת-מרחב שמימדו כמימד המרחב בו הוא מוכל, לכן הם מתלכדים; כלומר, כל פונקציונל לינארי הוא מהצורה ϕ β 17 איך יודעים ש- β יחיד? אם β 1 ו- β 2 נותנים אותו פונקציונל לינארי, לכל α מתקיים β 1 = β 2 ו- β 1 β 2 ולכן = 0, α, β 1 β 2 = 0,α לכן לכל α, β 1 = α, β 2 משפט 55: נניח ש- V מרחב מכפלה פנימית ממימד סופי אז לכל ט"ל T : V V קיימת ט"ל יחידה T כך שלכל α, β V מתקיים β T α, β = α, T הוכחה היחידות קלה: אם T, T שתיהן מקיימות את האמור לעיל, אז לכל α ו- β מתקיים β α, T β = T α, β = α, T לכן = 0 β α, (T T אם נקבע את,β נקבל שלכל 17 נשים לב שהסתמכנו כאן על סופיות המימד 31

32 39 טרנספורמציות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית 3 מרחבי מכפלה פנימית α מתקיים = 0 β α, (T T לכן = 0 β (T T מכיוון שזה נכון לכל,β נקבל T = T כלומר, T T = 0 נותר להראות קיום נגדיר את T β לכל β בהינתן β, V נסתכל בפונקציונל הלינארי ψ β המוגדר על-ידי β ψ β (α = T α, מהטענה הקודמת, קיים וקטור יחיד β כך שלכל ψ β (α = α α, T β = T α, β ואז,T β = β אז נגדיר α, β = T α, β נקבל,ψ מהגדרת α, β נותר להוכיח כי T לינארית כלומר, צריך להוכיח שמתקיים,T (β 1 + β 2 = T β 1 + T β 2 T (bβ 1 = bt β 1 למה :155 T T = הוכחה β T α, β = α, T β = T β, α = β, T α = T α, לכל α, β V α, T (β 1 + β 2 = T α, β 1 + β 2 = T α, β 1 + T α, β 2 = α, T β 1 + α, T β 2 = α, T β 1 + T β 2 מאחר שזה נכון לכל,α נקבל T (β 1 + β 2 = T β 1 + T β 2 באופן דומה מוכיחים עבור כפל בסקאלאר בעקבות המשפט, נוכל להגדיר הגדרה לכל טרנספורמציה לינארית T, הטרנספורמציה T תיקרא הטרנספורמציה הצמודה הטרנספורמציה הצמודה ל- T משפט 56: יהי V מ"ו נוצר-סופית מעל F, ותהי T : V V ט"ל תהי T הט"ל הצמודה ל- T יהי n (ε 1,, ε בסיס א"נ של,V ותהיינה ij A = (a ij,a = (a המטריצות של T ו- T לפי בסיס זה, בהתאמה אז a ij = a ji הוכחה a ij היא הקואורדינטה ה- i בפיתוח של הווקטור T ε j כצירוף לינארי של n (ε 1,, ε לכן i a ij = T ε j, ε באותו אופן, i a ij = T ε j, ε אבל a ij = T ε j, ε i = ε j, T ε i = T ε i, ε j = a ji כנדרש נשים לב שאם ;A = A t,f = R אם A = A t,f = C טענה :57 אם V ממ"פ מעל C ולכל α V מתקיים = 0 α, T α, אז = 0 T הוכחה נניח שלכל, T α, α = 0 α ונוכיח שלכל T α, β = 0 α, β T מכאן ינבע ש- 0 = T 0 = T (α + β, α + β = T α + T β, α + β = T α, α + T α, β + T β, α + T β, β = T α, β + T β, α = 0 32

33 3 מרחבי מכפלה פנימית 39 טרנספורמציות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית במקביל: 0 = T (α + iβ, α + iβ = T α + it β, α + iβ = T α, α + T α, iβ + it β, α + it β, iβ = T α, iβ + it β, α = 0 = T α, β T β, α = 0 נחבר את המשוואות ונקבל = 0 β T α, משפט :58 אם V,a F,T, S hom(v, S (T + S = T + א at (at = ב T (T S = S ג ד (T = T T T העתקה חח"ע מ-( hom(v, V על V hom(v, ה א לכל (T + Sα, β = α, (T + S β,α, β V במקביל, הוכחה T α + Sα, β = T α, β + Sα, β = α, T β + α, S β = α, T β + S β כלומר, לכל, α, (T + S β = α, T β + S β α ולכן לכל β מתקיים, כנדרש, (T + S β = (T + S β ב יהיו α, β V אז β at α, β = α, (at מצד שני, = β at α, β = a T α, (at = at לכן,α, β V זה נכון לכל a α, T β = α, at β ג יהיו α, β V אז β T Sα, β = α, (T S במקביל, = β T Sα, β = T (Sα, α, (T S β = α, S T β לכן בסך-הכל Sα, T β = α, S (T β ד הוכח כבר ה חח"ע אם S T = אז (S,(T = ולפי ד, ;T = S לכן זו העתקה חח"ע בנוסף, זוהי העתקה על: תהי V T hom(v, אז (T T = כלומר, לכל T יש מקור 392 טרנספורמציות צמודות לעצמן טרנספורמציה צמודה לעצמה הגדרה T תיקרא צמודה לעצמה אם T T = (לכל ( T α, β = α, T β α, β V טרנספורמציה סימטרית טרנספורמציה הרמיטית ט"ל צמודה לעצמה מעל R נקראת טרנספורמציה סימטרית ט"ל צמודה לעצמה מעל C נקראת טרנספורמציה הרמיטית דוגמה הט"ל הצמודה ל- 0 היא 0; הט"ל הצמודה ל- I היא I לכן אלה ט"ל צמודות לעצמן 33

34 39 טרנספורמציות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית 3 מרחבי מכפלה פנימית אם נעבור למטריצות ונניח שהבסיס הנבחר הוא אורתונורמלי, אם T צמודה לעצמה והמטריצה שלה לפי בסיס זה היא,A אז A A = כלומר, אם ij,a = (a אז לכל a ji = a ij i, j אם,F = R המטריצה סימטרית ij (a ji = a כלומר, T סימטרית אם"ם A סימטרית אם T,F = C הרמיטית אם"ם לכל,a ij = a ji i, j ומטריצה כזו תכונה מטריצה הרמיטית נשים T T i לב שבמטריצה הרמיטית כל איברי האלכסון חייבים להיות ממשיים טענה :59 כל ט"ל T היא מהצורה T 1 + it 2 כאשר T 1 ו- T 2 הרמיטיות C (F = הוכחה T T + היא הרמיטית: T (T + T = T + T = T + T T אינה בהכרח הרמיטית: T (T T = T T = (T אבל ( T T = T T הרמיטית: ;T 2 = T T 2i i i i 2 = T +T = T T i,t 1 = T +T 2 T = T +T +i( T T נסמן 2 + i T T 2i כעת: שתיהן הרמיטיות, ו- T = T 1 + it 2 טענה :60 אם T צמודה לעצמה ולכל α מתקיים = 0 α, T α, אז = 0 T הוכחה ב- C, זה נכון תמיד; נוכיח לגבי R נראה שלכל T α, β = 0 α, β V לכל T (α + β, α + β = 0 = T α, β + T β, α = 0,α, β לכן + β T α, = 0 α β, T α = T α, β + β, T המכפלה הסקאלארית סימטרית מעל,R ולכן נקבל = 0 β T α, β + T α, מכאן, = 0 β, T α, כנדרש משפט :61 יהי V מרחב אוניטרי 18 ו- T ט"ל T הרמיטית אם"ם לכל T α, α R α V הוכחה אם T צמודה לעצמה,,α V נקבל α T α, α = α, T α = α, T α = T α, המספר שווה לצמוד לו, לכן הוא ממשי כעת נניח שלכל T α, α α V ממשי מכיוון שכך, = 0 α ; T α, α T α, נקבל (T T α, α = T α, α T α, α = T α, α α, T α = T α, α T α, α = 0 לכן לכל, (T T α, α = 0 α ומטענה קודמת = 0 T T כלומר, T T = 393 טרנספורמציות אנטי סימטריות ואנטי הרמיטיות הגדרה T נקראת אנטי-סימטרית (מעל R או אנטי-הרמיטית (מעל C אם T = T טרנספורמציה אנטי-סימטרית/הרמ המטריצה של טרנספורמציה אנטי-סימטרית או אנטי-הרמיטית היא אנטי-סימטרית או אנטי-הרמיטית, בהתאמה ( ( היא מטריצה אנטי-הרמיטית 0 3+4i 0 1 היא מטריצה אנטי-סימטרית; 4i 3 0 דוגמה כזכור, הכוונה לממ"פ מעל C 34

35 3 מרחבי מכפלה פנימית 39 טרנספורמציות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית טענה 62: במטריצה אנטי-סימטרית יש באלכסון רק אפסים 394 טרנספורמציות אורתוגונליות ואוניטריות רנספורמציה אוניטרית/אורתוגונלית הגדרה T נקראת אוניטרית אם היא שומרת על המכפלה הפנימית ( β T,α T β =,α טרנספורמציה אוניטרית מעל R נקראת אורתוגונלית T אוניטרית אם"ם היא שומרת על הנורמה (אורך של וקטורים משפט 63: התנאים הבאים שקולים: א T אוניטרית; ב T T = T T = I (כלומר, T ;(T 1 = ג T מעבירה כל בסיס א"נ לבסיס א"נ; ד T מעבירה בסיס א"נ כלשהו לבסיס א"נ הוכחה נניח ש- T אוניטרית אז לכל T α, T α = α, α α לכן = α T α, T α = α, T T α α, מכאן, = 0 α, α, T T α α, לכן = 0 Iα α, (T T זה נכון לכל α מכיוון ש- I T T צמודה לעצמה, לפי טענה קודמת = 0 I,T T ולכן T T T = I ט"ל ממרחב סוף-מימדי לעצמו, לכן נובע ש- T הפיכה ו- 1 T T = לכן גם,T T = I נניח שב נכון אז T T = T T = I יהי n (ε 1,, ε בסיס א"נ, ונוכיח ש-( (T ε 1,, T ε n גם הוא בסיס א"נ T ε i, T ε j = ε i, T T ε j = ε i, Iε j = ε i, ε j = δ ij לכן התמונה היא בסיס א"נ באופן טריוויאלי, ג גורר את ד נראה שד גורר את א וסיימנו יהי n ε 1,, ε בסיס א"נ אשר T מעבירה לבסיס א"נ נראה שלכל T α, T β = α, β α, β,β = b 1 ε b n ε n T α = a 1 T ε a n T ε n אז,α = a 1 ε a n ε n אז T β = b 1 T ε b n T ε n על-פי טענה קודמת, α, β = a 1 b a n b n מכיוון שגם n (T ε 1,, T ε בסיס א"נ, גם T α, T β = a 1 b a n b n לכן מתקיים השוויון מטריצה אוניטרית/אורתוגונלית הגדרה מטריצה ריבועית מעל C (מעל R נקראת אוניטרית (אורתוגונלית אם A A = I תנאי זה שקול לכך ש- I,AA = לכן מקבלים שכל מטריצה אוניטרית (אורתוגונלית היא הפיכה מסקנה 64: אם A מייצגת את T ביחס לבסיס א"נ מסויים, אז T אוניטרית (אורתוגונלית אם"ם A אוניטרית (אורתוגונלית מסקנה 65: A מטריצה אוניטרית (אורתוגונלית אם"ם קיים ממ"פ V מעל F כך ש- A מטריצת המעבר בין בסיסים א"נ מסקנה 66: A אוניטרית אם"ם שורותיה הן בסיס א"נ של F n עם המ"פ הסטנדרטית וכן אם"ם עמודותיה בסיס א"נ ל- F n 35

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( )

פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( ) פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד a d U c M ( יהי b (R) a b e ל (R M ( (אין צורך להוכיח). מצאו קבוצה פורשת ל. U בדקו ש - U מהווה תת מרחב ש a d U M (R) Sp,,, c a e

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות λ = 0 A. F n n ערך עצמי של A אם ורק אם A לא הפיכה..det(λ I ערך עצמי של λ F.A F n n n A) = 0 אם ורק אם: A v וקטור עצמי של Tהמתאים יהי T: V V אופרטור לינארי. אם λ F ערך עצמי של,T לערך העצמי λ, אזי λ הוא

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית מטריצות מטריצות הפיכות

אלגברה לינארית מטריצות מטריצות הפיכות מטריצות + [( αij+ β ij ] m λ [ λα ij ] m λ [ αijλ ] m + + ( + +C + ( + C i C m q m q ( + C C + C C( + C + C λ( ( λ λ( ( λ (C (C ( ( λ ( + + ( λi ( ( ( k k i חיבור מכפלה בסקלר מכפלה בסקלר קומוטטיב אסוציאטיב

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

co ארזים 3 במרץ 2016

co ארזים 3 במרץ 2016 אלגברה לינארית 2 א co ארזים 3 במרץ 2016 ניזכר שהגדרנו ווקטורים וערכים עצמיים של מטריצות, והראינו כי זהו מקרה פרטי של ההגדרות עבור טרנספורמציות. לכן כל המשפטים והמסקנות שהוכחנו לגבי טרנספורמציות תקפים גם

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות

אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות סוכם ע"פ הרצאות פרופ' מ.קריבלביץ' 1.2 אידאלים של פולינומים הגדרה 1.13 יהי F שדה. קבוצת פולינומים [x] I F נקראת אידיאל ב [ x ] F אם מתקיים:.0 I.1.2 לכל f 1, f 2 I מתקיים.f

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V ) הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה

Διαβάστε περισσότερα

גירסה liran Home Page:

גירסה liran   Home Page: גירסה 1.00 26.10.03 סיכום באלגברה א מסמך זה הורד מהאתר.hp://uderwar.liveds.co.il אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש

Διαβάστε περισσότερα

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח. 1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1. המערכת הלא הומוגנית גם כן. יתרה מזאת כל פתרון של (A b) הוא מהצורה c + v כאשר v פתרון כלשהו של המערכת ההומוגנית

אלגברה לינארית 1. המערכת הלא הומוגנית גם כן. יתרה מזאת כל פתרון של (A b) הוא מהצורה c + v כאשר v פתרון כלשהו של המערכת ההומוגנית אלגברה לינארית 1 Uטענה U: אם c פתרון של המערכת (A b) ו v פתרון של המערכת (0 A) אזי c + v פתרון של המערכת הלא הומוגנית גם כן. יתרה מזאת כל פתרון של (A b) הוא מהצורה c + v כאשר v פתרון כלשהו של המערכת ההומוגנית

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11

אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11 אלגברה לינארית ( - פתרון תרגיל דרגו את המטריצות הבאות לפי אלגוריתם הדירוג של גאוס (א R R4 R R4 R=R+R R 3=R 3+R R=R+R R 3=R 3+R 9 4 3 7 (ב 9 4 3 7 7 4 3 9 4 3 4 R 3 R R3=R3 R R 4=R 4 R 7 4 3 9 7 4 3 8 6

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

שדות הגדרת השדה: חשבון מודולו n: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות משפט: יהא F שדה. משפט: יהא F שדה ו- (mod )

שדות הגדרת השדה: חשבון מודולו n: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות משפט: יהא F שדה. משפט: יהא F שדה ו- (mod ) שדות הגדרת השדה: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות אחת נקראת חיבור ותסומן ב + האחרת נקראת כפל ותסומן ב * כך שתתקיימנה הדרישות הבאות: a, b F a b. סגירות לחיבור: F a F a 0 0 a a a, b, c F a

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים לכסון מטריצות יהי F שדה ו N n נאמר שמטריצה (F) A M n היא לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית כלומר, אם קיימת מטריצה הפיכה (F) P M n כך ש D P AP = כאשר λ λ 2 D = λ n

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשעו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים: לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1

Διαβάστε περισσότερα

חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א'

חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' מד''ח 4 - חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' ( u) u u u < < שאלה : נתונה המד''ח הבאה: א) ב) ג) לכל אחד מן התנאים המצורפים בדקו האם קיים פתרון יחיד אינסוף פתרונות או אף פתרון אם קיים פתרון אחד או יותר

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

דף סיכום אלגברה לינארית

דף סיכום אלגברה לינארית דף סיכום אלגברה לינארית מרחבי עמודות, שורות, אפס: = = c + c + + c k k כל פתרון של המערכת : A=b נתונה מטריצה :m = מרחב השורות של המטריצה spa = spa מרחב העמודות של המטריצה { r, r, rm { c, c, c מרחב הפתרונות

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

1 סכום ישר של תת מרחבים

1 סכום ישר של תת מרחבים אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 +

Διαβάστε περισσότερα

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p

Διαβάστε περισσότερα

נושאים: 4. בסיס 5. מימד ליניארית - אסוציאטיביות (קיבוץ) וקומטטיביות (חילוף) החיבור בין אברי V (הוקטורים) לאיברי F (סקלרים) התנאים:

נושאים: 4. בסיס 5. מימד ליניארית - אסוציאטיביות (קיבוץ) וקומטטיביות (חילוף) החיבור בין אברי V (הוקטורים) לאיברי F (סקלרים) התנאים: תרגול 1 אלגברה ליניארית נושאים: מרחב ליניארי 1. תת מרחב ליניארי 2. Span.3 תלות ליניארית 4. בסיס 5. מימד 6. טרנספורמציות דמות, גרעין, (שניהם תתי מרחב), משפט המימדים 7. מרחב העמודות, דרגה של מטריצה, מרחב

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן אלגברה לינארית 1 יובל קפלן מחברת סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית 1" (80134) באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חחע ועל מכיוון שהיא מוגדרת עי. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חחע אז ועל פי הגדרת הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 8

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 8 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 8.1 נניח כי (R) A M n מקיימת = 0 t.aa הוכיחו כי = 0.A הוכחה: נביט באיברי האלכסון של.AA t.(aa t ) ii = n k=1 (A) ik(a t ) ki = n k=1 a ika ik = n k=1 a2 ik = 0 מדובר במספרים ממשיים,

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11.1 K α : F איזומורפיזם של שדות. א. טענה 1 :.α(0 F ) = 0 K עלינו להוכיח כי לכל,b K מתקיים.b + α(0 F ) = α(0 F ) + b = b עבור b K (כיוון ש α חח"ע ועל), קיים ויחיד x F כך ש.α(x)

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7 2 1 1 1 0 1 1 0 1 0 2 1 1 0 1 0 2 1 2 1 1 0 2 1 0 1 1 3 1 2 3 1 2 0 1 5 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 4 0 0 0.1 עבור :A לכן = 3.rkA עבור B: נבצע פעולות עמודה אלמנטריות

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy

x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy גבולות ורציפות גבול של פונקציה בנקודה הגדרה: קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a תקרא סביבה של a. קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a אך לא מכילה את a עצמו תקרא סביבה מנוקבת של a. יהו a R ו f פונקציה מוגדרת

Διαβάστε περισσότερα

סיכום לינארית 1 28 בינואר 2010 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך.

סיכום לינארית 1 28 בינואר 2010 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך. סיכום לינארית 28 בינואר 2 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך הערות יתקבלו בברכה nogarotman@gmailcom תוכן עניינים 3 מבוא והגדרות בסיסיות 6 שדות 7 המציין של

Διαβάστε περισσότερα

= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin(

= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin( א. s in(0 c os(0 s in(60 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 0 s in(70 מתאים לזהות של cos(θsin(φ : s in(θ φ s in(θcos(φ sin ( π cot ( π cos ( 4πtan ( 4π sin ( π cos ( π sin ( π cos ( 4π sin ( 4π

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

פולינומים אורתוגונליים

פולינומים אורתוגונליים פולינומים אורתוגונליים מרצה: פרופ' זינובי גרינשפון סיכום: אלון צ'רני הקורס ניתן בסמסטר אביב 03, בר אילן פולינומים אורתוגונאליים תוכן עניינים תאריך 3.3.3 הרצאה מרחב מכפלה פנימית (הגדרה, תכונות, דוגמאות)

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשסט 467 אלגברה א', סמסטר חורף תשס"ט, פתרונות לשיעורי הבית, עמוד מתוך 6 467 אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט תוכן עניינים : גליון שדות... גליון מרוכבים 7... גליון מטריצות... גליון 4 דירוג,

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשעב זהויות טריגונומטריות תרגול חזרה זהויות טריגונומטריות si π α) si α π α) α si π π ), Z si α π α) t α cot π α) t α si α cot α α α si α si α + α siα ± β) si α β ± α si β α ± β) α β si α si β si α si α α α α si α si α α α + α si

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6

אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 15 בינואר 016 1. יהי F שדה ויהיו q(x) p(x), שני פולינומים מעל F. מצאו פולינומים R(x) S(x), כך שמתקיים R(x),p(x) = S(x)q(x) + כאשר deg(q),deg(r) < עבור המקרים הבאים: (תזכורת:

Διαβάστε περισσότερα

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות

Διαβάστε περισσότερα

גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות

גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות 08 005 שאלה גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות f ( ) f ( ) g( ) f ( ) ו- lim f ( ) ו- ( ) (00) lim ( ) (00) f ( בסביבת הנקודה (00) ) נתון: מצאו ) lim g( ( ) (00) ננסה להיעזר בכלל הסנדביץ לשם כך

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית

Διαβάστε περισσότερα

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A ) הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012 מבנים אלגבריים 80446 II אור דגמי, or@digmi.org 27 במרץ 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ אלכס לובוצקי בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים 1 שדות 3 1.1 תזכורת מהעבר....................................................

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1

חשבון אינפיניטסימלי 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לאלגברה ליניארית

מבוא לאלגברה ליניארית BEN GURION UNIVERSITY BE ER SHEVA, ISRAEL אוניברסיטת בן גוריון בנגב באר שבע מבוא לאלגברה ליניארית אמנון יקותיאלי המחלקה למתמטיקה אוניברסיטת בן גוריון amyekut@mathbguacil חוברת זו מיועדת לקורסים באלגברה

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5 1 במאי 1 1. נוכיח כי מרחב הפולינומים R[t] אינו נפרש סופית: נניח שהוא כן נפרש סופית. אם כך, ניקח קבוצה סופית פורשת שלו:.R[t] קבוצה סופית של פולינומים, שפורשת את כל המרחב p}

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס תורת הקבוצות (80200) באוניברסיטה העברית, תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית

תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית אנליזה נומרית 0211 סתיו - תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית נרצה לפתור את מערכת המשוואות יהי פתרון מקורב של נגדיר את השארית: ואת השגיאה: שאלה 1: נתונה מערכת המשוואות הבאה: הערך את השגיאה היחסית

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית גיא סלומון. α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π. σ ς τ υ ω ξ ψ ζ. לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- כתב ופתר גיא סלומון

אלגברה לינארית גיא סלומון. α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π. σ ς τ υ ω ξ ψ ζ. לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל-  כתב ופתר גיא סלומון 0 אלגברה לינארית α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π ϖ θ ϑ ρ σ ς τ υ ω ξ ψ ζ גיא סלומון לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים

Διαβάστε περισσότερα

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה.

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. מרצה: למברג דן תוכן העניינים 3 מספרים ממשיים 1 3.................................. סימונים 1. 1 3..................................

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעד (2014) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

תרגול משפט הדיברגנץ. D תחום חסום וסגור בעל שפה חלקה למדי D, ותהי F פו' וקטורית :F, R n R n אזי: נוסחת גרין I: הוכחה: F = u v כאשר u פו' סקלרית:

תרגול משפט הדיברגנץ. D תחום חסום וסגור בעל שפה חלקה למדי D, ותהי F פו' וקטורית :F, R n R n אזי: נוסחת גרין I: הוכחה: F = u v כאשר u פו' סקלרית: משפט הדיברגנץ תחום חסום וסגור בעל שפה חלקה למדי, ותהי F פו' וקטורית :F, R n R n אזי: div(f ) dxdy = F, n dr נוסחת גרין I: uδv dxdy = u v n dr u, v dxdy הוכחה: F = (u v v, u x y ) F = u v כאשר u פו' סקלרית:

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות

תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות. פתרו את המשוואות הבאות. לא מספיק למצוא פתרון אחד יש למצוא את כולם! sin ( π (א) = x sin (ב) = x cos (ג) = x tan (ד) = x) (ה) = tan x (ו) = 0 x sin (x) + sin (ז) 3 =

Διαβάστε περισσότερα

i שאלות 8,9 בתרגיל 2 ( A, F) אלגברת יצירה Α היא זוג כאשר i F = { f קבוצה של פונקציות {I קבוצה לא ריקה ו A A n i n i מקומית מ ל. A נרשה גם פונקציות 0 f i היא פונקציה n i טבעי כך ש כך שלכל i קיים B נוצר

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות מלאים אלגברה 1 מ בחן אמצע חורף תשס"ג מטריצה הפיכה ב- הפיכה סקלרית, לכן A = αi

פתרונות מלאים אלגברה 1 מ בחן אמצע חורף תשסג מטריצה הפיכה ב- הפיכה סקלרית, לכן A = αi פתרונות מלאים אלגברה מ - 4 - בחן אמצע חורף תשס"ג -.. משך הבחינה :.5 שעות. שאלה מס' היא שאלת תרגילי בית. אין להשתמש בחומר עזר או מחשבונים. יש לענות על כל שאלה בדף נפרד ולנמק את התשובות. נא לרשום את השם

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות סמסטר א תשע ז

פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות סמסטר א תשע ז פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות 88-211 סמסטר א תשע ז הוראות בהגשת הפתרון יש לרשום שם מלא, מספר ת ז ומספר קבוצת תרגול. תאריך הגשת התרגיל הוא בתרגול בשבוע המתחיל בתאריך ג טבת ה תשע ז, 1.1.2017. שאלות

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

סיכום מד"ר מרצה: מיכאל ז'יטומירסיקי נכתב ע"י: אדריאן קיריש נערך ע"י: תומר שטח 28 ביוני 2011

סיכום מדר מרצה: מיכאל ז'יטומירסיקי נכתב עי: אדריאן קיריש נערך עי: תומר שטח 28 ביוני 2011 סיכום מד"ר מרצה: מיכאל ז'יטומירסיקי נכתב ע"י: אדריאן קיריש נערך ע"י: תומר שטח 28 ביוני 2011 1 תוכן עניינים 3 משפט קיום ויחידות............................. 1 3............................ משוואות אוטונומיות

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012 חשבון אינפיניטסימלי מתקדם 836 II אור דגמי, or@digmi.org ביוני אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ ארז לפיד בשנת לימודים נושאים לקורס. המרחב.C(K). קירוב ע י פולינומים, משפט Stone-Weirstrss

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשעז חוברת תרגולים בקורס "תורת גלואה" 88 311 21 בפברואר 2017 מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז ערך: איתי רוזנבאום 1 תורת גלואה תרגול ראשון חזרה מחוגים F שדה F. חוג הפולינומים עם מקדמים ב F [λ] זהו חוג אוקלידי,

Διαβάστε περισσότερα

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות מינימיזציה של DFA L. הוא אוטמומט מינימלי עבור L של שפה רגולרית A ראינו בסוף הסעיף הקודם שהאוטומט הקנוני קיים A DFA בכך הוכחנו שלכל שפה רגולרית קיים אוטומט מינמלי המזהה אותה. זה אומר שלכל נקרא A A לאוטומט

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 15 במרץ 2017

c ארזים 15 במרץ 2017 הסתברות למתמטיקאים c ארזים 15 במרץ 2017 הקורס הוא המשך של מבוא להסתברות שם דיברנו על מרחבים לכל היותר בני מניה. למשל, סדרת הטלות מטבע בלתי תלויות היא דבר שאי אפשר לממש במרחב בן מניה נסמן את התוצאה של ההטלה

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

תרגול 1: מד"ר 1 הפרדת משתנים משוואות,, 0 הומוגניות משוואות מציבים לינאריות כאשר 0 המשוואה הומוגנית של כפונקציה של בלבד. משוואות ברנולי מסמנים או:

תרגול 1: מדר 1 הפרדת משתנים משוואות,, 0 הומוגניות משוואות מציבים לינאריות כאשר 0 המשוואה הומוגנית של כפונקציה של בלבד. משוואות ברנולי מסמנים או: אריאל סטולרמן 1 סיכומי תרגולים: סיכומים במד"ר 1 סמסטר קיץ 2009 (פרופ' ודים אוסטפנקו) תרגול 1: סוגים של מד"ר ודרכי פתרון: חשוב: לשים לב לקבוע c המצורף כתוצאה מאינטגרציה דרך פתרון שיטה צורה הפרדת משתנים

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

( k) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) A Ω P( B) P A B P A P B תכונות: A ו- B ב"ת, אזי: A, B ב "ת. בינומי: (ההסתברות לk הצלחות מתוך n ניסויים) n.

( k) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) A Ω P( B) P A B P A P B תכונות: A ו- B בת, אזי: A, B ב ת. בינומי: (ההסתברות לk הצלחות מתוך n ניסויים) n. Ω קבוצת התוצאות האפשריות של הניסוי A קבוצת התוצאות המבוקשות של הניסוי A A מספר האיברים של P( A A Ω מבוא להסתברות ח' 434 ( P A B הסתברות מותנית: P( A B P( B > ( P A B P A B P A B P( B PB נוסחאת ההסתברות

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 תורת הקבוצות 80200 אור דגמי, ÓÖ Ñ ºÓÖ 11 בפברואר 2012 אתר אינטרנט: ØØÔ»» Ñ ºÓÖ תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים מבוא.............................................

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול

Διαβάστε περισσότερα

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין סיכום אינפי 2 9 ביוני 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך. סוכם ע"י נגה רוטמן בשעות לא הגיוניות בעליל,

Διαβάστε περισσότερα

סרוקל רזע תרבוח 1 ילמיסיטיפניא ןובשח

סרוקל רזע תרבוח 1 ילמיסיטיפניא ןובשח חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 עמוד חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 תוכן העניינים נושא עמוד נושא כללי 3 רציפות זהויות טריגונומטריות 4

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה!

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה! הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב 24/10/2007 מרצה: פרופ אורנה גרימברג מתרגלים: גבי סקלוסוב,קרן צנזור,רותם אושמן,אורלי יהלום לוגיקה ותורת הקבוצות 234293 אביבתשס ז מבחןסופי מועדב הנחיות: משךהבחינה:

Διαβάστε περισσότερα