ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
|
|
- ἐλπίς Ηλιόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο
2 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη με 1 η και 2 η εργασία. Αρκετές πολύ καλές ή εξαιρετικές εργασίες. Αρκετές εργασίες που έδειχναν σημαντική προσπάθεια στη σωστή κατεύθυνση, αν και το βαθμολογικό αποτέλεσμα υπολείπεται. Κάπως περισσότερες εργασίες όπου οι απαντήσεις δεν έδειχναν επαρκή κατανόηση ή/και απαραίτητη ενασχόληση. Εν όψει εξετάσεων, σημαντικό να εστιάσετε: Σε διατύπωση ιδιοτήτων σε πρωτοβάθμια γλώσσα. Σε σημασιολογική προσέγγιση (ικανοποιησιμότητα σε δεδομένη ερμηνεία, λογική εγκυρότητα, διατύπωση δομών που (δεν) ικανοποιούν έναν τύπο). Με την παράδοση της 4 ης εργασίας, (πρέπει να) αρχίσουν επαναλήψεις προετοιμασία για τις εξετάσεις. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 2
3 Ερώτημα 1.α ιατύπωση σε πρωτοβάθμια γλώσσα: Κάθε στοιχείο σχετίζεται (δεξιά του) με τουλάχιστον δύο στοιχεία. Κάθε στοιχείο σχετίζεται (δεξιά του) με δύο το πολύ στοιχεία. Αν τρία στοιχεία σχετίζονται ανά δύο, τότε είναι ίσα. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 3
4 Ερώτημα 1.β ιατύπωση σε πρωτοβάθμια γλώσσα: Κάθε άνθρωπος έχει μητέρα: υο αδέλφια έχουν την ίδια μητέρα. Η μητέρα του Νίκου δεν έχει άλλα παιδιά. Η Μαρία είναι θεία του Νίκου, από τη μητέρα του. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 4
5 Ερώτημα 2 Μοντέλο του φ στους φυσικούς; R(x, y) αληθεύει ανν x < y. Μοντέλο του φ στο σύμπαν όλων των πεπερασμένων υποσυνόλων των φυσικών; R(x, y) αληθεύει ανν x y. Κάθεμοντέλοτουφέχειάπειροσύμπαν. φ 1 φ 3 : κάθε στοιχείο α σχετίζεται με διαφορετικό στοιχείο α. Άπειρη ακολουθία συσχετίσεων α 1 R α 2 R α 3 R R α k R Θδο όλα τα στοιχεία σε αυτή την ακολουθία διαφορετικά, άρα το σύμπαν είναι άπειρο. Έστω α στοιχείο που επαναλαμβάνεται: α R R α. Λόγω φ 2, έχουμε ότι R(α, α). Άτοπο, λόγω φ 1. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 5
6 Ερώτημα 3 Να δώσετε μοντέλο του τύπου Α = {α, β}, E A = {(α, β), (β, α)}, F A = { (α, α), (β, β) } Α = {α, β, γ}, E A = {(α, β), (β, α), (β, γ), (γ, β)}, F A = { (α, γ), (γ, α), (α, α), (β, β), (γ, γ) }. Να δείξετε ότι φ 3 και φ 5 : τυχαίο στοιχείο α έχει τουλάχιστον δύο διαφορετικούς εχθρούς, έστω βκαιγ. φ 3 και φ 5 : στοιχείο β έχει τουλάχιστον ένα εχθρό διαφορετικό από τον α, έστω δ (μπορεί να είναι δ = γ). φ 1 : Ε(α, β) και Ε(β, γ), άρα F(α, γ), με α γ. Άρα φ 6 αληθεύει για όλα τα στοιχεία του σύμπαντος. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 6
7 Ερώτ. 4.β Να δείξετε ότι φ 2 και φ 3 : το σύμπαν έχει 3 και < 4 στοιχεία. Το σύμπαν έχει 3 (ακριβώς) στοιχεία, έστω α, β, γ. Έστω f(α) α, f(β) β, και f(γ) γ. Αν f(α) = β, τότε, λόγω φ 1, f(β) = α. εν μπορεί f(γ) = α, γιατί θα έπρεπε f(α) = γ, λόγω φ 1. εν μπορεί f(γ) = β, γιατί θα έπρεπε f(β) = γ, λόγω φ 1. Άτοπο! Άρα f(α) = α ή f(β) = β ή f(γ) = γ. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 7
8 Γραφήματα: Εργασίες και Εξετάσεις Εργασίες προηγούμενων ετών: 2 η Εργ : Ερωτήματα 3, 4, και 5. 4 η Εργ : Ερωτήματα 1, 2, 3 (χρωματισμός), 4.2, 5.2 και 5.3, 6. 4 η Εργ : Ερωτήματα 1, 2, 3.2, 6, και 8. 4 η Εργ : Ερωτήματα 1, 2, 3.2, 3.3 μαζί με 7, 4, και 6. 4 η Εργ : Ερωτήματα 2, 3.3, και 4. 4 η Εργ και 10-11: Όλα τα ερωτήματα. 4 η Εργ : Ερωτήματα 3 και 4. Από και μετά, ερ. 1 αφορά σε αναδρομικούς αλγόριθμους και επαγωγή, και ερ. 2 (ή 3) αφορά σε κατηγορηματική λογική και γραφήματα. Τελευταία χρόνια, ερ. 4 είναι μαθηματική επαγωγή σε γραφήματα. Θέματα εξετάσεων προηγουμένων ετών: Ιουλ. 12, ερ. 3 και 4, Ιουν. 12, ερ. 3, Ιουλ. 11, ερ. 2.β, 2.γ, και 3, Ιουν. 11, 2.δ, 3, 4.α, και 4.β, Ιουλ. 10, ερ. 2.2 και 4, Ιουν. 10, ερ. 3, Ιουλ. 09, ερ. 4, Ιουλ. 08, ερ. 3, Ιουλ. 07, ερ. 2 και 3, Ιουν. 06, ερ. 2, Ιουλ. 06, ερ. 4. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 8
9 Γραφήματα και Κατηγορηματική Λογική Σύμπαν οι κορυφές (κατευθυνόμενου) γραφήματος, P(x, y) δηλώνει ακμή από x προς y. Το γράφημα έχει ανακύκλωση. Ηκορυφήx είναι απομονωμένη. Το γράφημα έχει απομονωμένη κορυφή. Ηκορυφήx ανήκει σε (απλό) κύκλο μήκους 3. Κάθε κορυφή που δεν είναι απομονωμένη ανήκει σε κύκλο μήκους 3. Ηκορυφήx έχει έξω-βαθμό τουλ. 2. Ηκορυφήx έχει έξω-βαθμό (ίσο με) 2. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 9
10 Γραφήματα και Κατηγορηματική Λογική Σύμπαν οι κορυφές (κατευθυνόμενου) γραφήματος, P(x, y) δηλώνει ακμή από x προς y. Υπάρχει μοναδική κορυφή με έξω-βαθμό (ίσο με) 2. Οελάχιστοςέξω-βαθμός του γραφήματος είναι 2. Να σχεδιάσετε κατευθυνόμενο γράφημα με τουλ. 5 κορυφές που αποτελεί μοντέλο για την πρόταση: Υπάρχει κορυφή που δεν έχει ανακύκλωση και συνδέεται με όλες τις άλλες κορυφές, και όλες οι άλλες κορυφές δεν έχουν εξερχόμενες ακμές. x ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 10
11 Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα, διαδρομές, δρομολόγηση ανάθεση πόρων, layouts, ). Γράφημα G(V, E): V κορυφές Ε ακμές(ζεύγη σχετιζόμενων κορυφών) Τάξη V = n και μέγεθος E = m. Κατευθυνόμενα και μη-κατευθυνόμενα, απλά μη-κατευθ. Βάρη (μήκη) στις ακμές ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 11
12 Πλήρες και Συμπληρωματικό Γράφημα Πλήρες γράφημα n κορυφών: Κ n Όλα τα ζεύγη κορυφών συνδέονται με ακμή: n(n-1)/2 ακμές. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 12
13 Πλήρες και Συμπληρωματικό Γράφημα Πλήρες γράφημα n κορυφών: Κ n Όλα τα ζεύγη κορυφών συνδέονται με ακμή: n(n-1)/2 ακμές. Συμπληρωματικό γράφημα γραφήματος G. Ίδιο σύνολο κορυφών. Ακμές: όσες δεν υπάρχουν στο G. Συμπληρωματικό του : αρχικό γράφημα G. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 13
14 ιμερές Γράφημα Ανεξάρτητο σύνολο: σύνολο κορυφών που δεν συνδέονται με ακμή. ιμερές γράφημα: υπάρχει διαμέριση κορυφών σε δύο ανεξάρτητα σύνολα. G(X, Y, E): X και Y ανεξάρτητα σύνολα, ακμές μόνο μεταξύ κορυφών Χ και Υ. G διμερές ανν δεν έχει κύκλους περιττού μήκους. Κύκλος n κορυφών C n : διμερές ανν n άρτιος. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 14
15 ιμερές Γράφημα Ανεξάρτητο σύνολο: σύνολο κορυφών που δεν συνδέονται με ακμή. ιμερές γράφημα: υπάρχει διαμέριση κορυφών σε δύο ανεξάρτητα σύνολα. G(X, Y, E): X και Y ανεξάρτητα σύνολα, ακμές μόνο μεταξύ κορυφών Χ και Υ. G διμερές ανν δεν έχει κύκλους περιττού μήκους. Κύκλος n κορυφών C n : διμερές ανν n άρτιος. Πλήρες διμερές γράφημα Κ n,m : ύο ανεξάρτητα σύνολα με n και m κορυφές. Όλες οι n m ακμές μεταξύ τους. Π.χ. Κ 3,3 έχει 9 ακμές. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 15
16 Χρωματικός Αριθμός k-μερές γράφημα: κορυφές του διαμερίζονται σε k ανεξάρτητα σύνολα. Ενδιαφέρει ελάχιστο k για το οποίο γράφημα G είναι k-μερές. Αυτό ταυτίζεται με χρωματικό αριθμό χ(g) γραφήματος G. Χρωματικός αριθμός: ελάχιστος αριθμός χρωμάτων για χρωματισμό κορυφών ώστε όλες οι ακμές να έχουν άκρα διαφορετικού χρώματος. Κορυφές ίδιου χρώματος: ανεξάρτητο σύνολο. Αν G περιέχει Κ m, χ(g) m ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 16
17 Χρωματικός Αριθμός Χρωματικός αριθμός: ελάχιστος αριθμός χρωμάτων για χρωματισμό κορυφών ώστε όλες οι ακμές να έχουν άκρα διαφορετικού χρώματος. Κορυφές ίδιου χρώματος: ανεξάρτητο σύνολο. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 17
18 Βαθμός Κορυφής Βαθμός κορυφής deg(v): #ακμών που προσπίπτουν στη v. Κατευθυνόμενα: προς-τα-έσω και προς-τα-έξω βαθμός. Μη-κατευθυνόμενο G(V, E): Άρτιο πλήθος κορυφών περιττού βαθμού. δ(g): ελάχιστος βαθμός κορυφής στο G. (G): μέγιστος βαθμός κορυφής στο G. Νδοσεκάθεαπλόγράφημα, δύο κορυφές έχουν ίδιο βαθμό. Έχουμε n κορυφές και n-1 πιθανές τιμές βαθμού για κάθε κορυφή. Πιθανές τιμές είτε {0, 1,, n-2} είτε {1, 2,, n-1}
19 (Απλές) Ασκήσεις Νδο δεν υπάρχει απλό μη κατευθυνόμενο γράφημα με: 8 κορυφές: 1 βαθμού 2, 2 βαθμού 3, 4 βαθμού 4, και 1 βαθμού 5. Άθροισμα βαθμών περιττός (ή ισοδύναμα, περιττό πλήθος κορυφών με περιττό βαθμό). 6 κορυφές: 2 βαθμού 2, 2 βαθμού 3, 1 βαθμού 4, και 1 βαθμού 6. Σε κάθε απλό γράφημα G με n κορυφές, (G) n 1. 5 κορυφές: 1 βαθμού 2 και 4 βαθμού 4. Αφού οι 4 κορυφές με βαθμό 4 συνδέονται με όλες τις άλλες, ο ελάχιστος βαθμός κορυφής πρέπει να είναι 4. 9 κορυφές: 1 βαθμού 1, 2 βαθμού 3, 2 βαθμού 4, 1 βαθμού 5, 1 βαθμού 6, και 2 βαθμού 8. Αφού οι 2 κορυφές με βαθμό 8 συνδέονται με όλες τις άλλες, ο ελάχιστος βαθμός κορυφής πρέπει να είναι 2. Με μαθηματική επαγωγή στον #κορυφών, νδο χ(g) (G)+1. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 19
20 (Απλές) Ασκήσεις Έστω διμερές γράφημα G(X, Y, E) με n κορυφές. Νδο: ΚάθεακμήέχειτοέναάκροτηςστοΧκαιτοάλλοστοY. Κάποιο από τα X, Y έχει τουλ. n/2 κορυφές. Αν X < n/2 και Y < n/2, X + Y < n, άτοπο. (G) + δ(g) n. Υποθέτουμε ότι X Y. Τότε (G) Y. Έστω κορυφή u Υ. Τότε δ(g) deg(u) Χ. Κάθε γράφημα G με n κορυφές και χ(g) = k έχει ανεξάρτητο σύνολο με τουλ. n/k κορυφές και ΜέγιστοανεξάρτητοσύνολοΙέχειτουλ. n/k κορυφές. Στο συμπληρωματικό γράφημα, το υπογράφημα που ορίζεται από κορυφές του Ι είναι πλήρες και χρειάζεται τουλ. n/k χρώματα. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 20
21 Ερώτημα 4.α, 4 η Εργασία Να δείξετε (με επαγωγή) ότι για κάθε n 1, ο υπερκύβος Q(n) διάστασης n είναι διμερές γράφημα. Βάση: Q(1) έχει δύο κορυφές, διμερές γράφημα. Επαγ. Υπόθεση: Για αυθαίρετο n 1, υποθέτουμε ότι Q(n) διμερές γράφημα. Επαγ. Βήμα: Θδο Q(n+1) είναι διμερές γράφημα. Θεωρούμε δύο αντίγραφα Q 0 (n) και Q 1 (n) του υπερκύβου διάστασης n. Επαγ. υπόθεση: Q 0 (n) και Q 1 (n) διμερή γραφήματα. Α 0 και B 0 διαμέριση κορυφών του Q 0 (n). A 1 (= B 0 ) και Β 1 (= Α 0 )«συμπληρωματική» διαμέριση κορυφών του Q 1 (n). Από αναδρ. ορισμό, Q(n+1) προκύπτει συνδέοντας αντίστοιχες κορυφές των Q 0 (n) και Q 1 (n). Άρα Α 0 Α 1 και Β 0 Β 1 ανεξάρτητα σύνολα, και Q(n+1) είναι διμερές γράφημα ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 21
22 Υπο-Γραφήματα Υπογράφημα G (V, E ) του G(V, E) όταν V V και E E. Επικαλύπτον (spanning) όταν V = V, δηλ. έχει όλες τις κορυφές του αρχικού γραφήματος, επιλέγουμε τις ακμές που τις συνδέουν. Επαγόμενο (induced) όταν δηλ. έχει όλες τις ακμές του αρχικού μεταξύ των επιλεγμένων κορυφών ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 22
23 ιαδρομές, Μονοπάτια, και Κύκλοι ιαδρομή Μονοκονδυλιά Μονοπάτι - Κύκλος ιαδρομή: ακολουθία «διαδοχικών» ακμών. «ιαδοχικές» ακμές: κατάληξη πρώτης = αρχή της δεύτερης. Π.χ. {2, 1}, {1, 3}, {3, 4}, {4, 1}, {1, 5}, {5, 3}, {3, 6}. Μονοκονδυλιά: διαδρομή χωρίς επανάληψη ακμών. (Απλό) μονοπάτι: διαδρομή χωρίς επανάληψη κορυφών (και ακμών). Υπάρχει διαδρομή u v ανν υπάρχει μονοπάτι u v. Απόσταση d(u, v) (χωρίς και με βάρη): μήκος συντομότερου u v μονοπατιού. Κλειστή διαδρομή όταν άκρα της ταυτίζονται. Κλειστή μονοκονδυλιά ή κύκλωμα. (Απλός) κύκλος: μονοπάτι που άκρα του ταυτίζονται («κλειστό» μονοπάτι). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 23
24 Συνεκτικότητα (Μη-κατευθυνόμενο) γράφημα G(V, E) συνεκτικό αν για κάθε ζευγάρι κορυφών u, v V, υπάρχει u v μονοπάτι. Μη-συνεκτικό γράφημα αποτελείται από συνεκτικές συνιστώσες: μεγιστοτικά συνεκτικά υπογραφήματα. Γέφυρα (ακμή τομής): ακμή που αν αφαιρεθεί, αυξάνεται το πλήθος των συνεκτικών συνιστωσών. Ακμή γέφυρα ανν δεν ανήκει σε κύκλο. Σημείο άρθρωσης (σημείο κοπής): κορυφή που αν αφαιρεθεί, αυξάνεται το πλήθος των συνεκτικών συνιστωσών ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 24
25 Συνεκτικότητα (Κατευθυνόμενο) γράφημα G(V, E) ισχυρά συνεκτικό αν u, v V, υπάρχουν u v και v u μονοπάτια. Για κάθε ζευγάρι κορυφών ισχυρά συνεκτικού γραφήματος, υπάρχει κύκλος που τις περιλαμβάνει. Αν ένα κατευθυνόμενο γράφημα δεν είναι ισχυρά συνεκτικό, διαμερίζεται σε ισχυρά συνεκτικές συνιστώσες: Μεγιστοτικά ισχυρά συνεκτικά υπογραφήματα. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 25
26 Ασκήσεις G μη συνεκτικό γράφημα. Στο συμπληρωματικό του G, κάθε ζεύγος κορυφών u, v συνδέεται μονοπάτι μήκους 2. Αν u και v σε διαφορετική συνεκτική συνιστώσα του G, συνδέονται με ακμή στο συμπληρωματικό. Αν u και v σε ίδια συνεκτική συνιστώσα, έστω κορυφή w σε άλλη συνιστώσα. Στο συμπληρωματικό, υπάρχουν ακμές {u, w}, {w, v}. G γράφημα με κορυφές x, y μεταξύ των οποίων το συντομότερο μονοπάτι έχει μήκος τουλ. 4. ΣτοσυμπληρωματικότουG, κάθε ζεύγος κορυφών u, v συνδέεται με μονοπάτι μήκους 2. Έστω u, v συνδέονται με ακμή στο G και κάποια, έστω η u, συνδέεται με ακμή με κάποια από τις x, y, έστω με την x (διαφορετικά;). Τότε ακμές {u, y} και {v, y} δεν υπάρχουν στο G. ιαφορετικά x y μονοπάτι μήκους 3 στο G. Στο συμπληρωματικό, υπάρχουν ακμές {u, y}, {y, v}. x u v y ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 26
27 Ασκήσεις Κάθε απλό γράφημα G με n κορυφές και δ(g) (n 1)/2 είναι συνεκτικό (καιέχειδιάμετρο 2). Έστω u, v κορυφές που δεν συνδέονται με ακμή. Θδο u, v έχουν κοινό γείτονα (άρα συνδέονται με μονοπάτι μήκους 2). Έστω ότι u, v δεν έχουν καμία γειτονική κορυφή κοινή: u έχει τουλ. (n 1)/2 γείτονες, και v έχει τουλ. (n 1)/2 γείτονες, όλοι διαφορετικοί. Άρα έχουμε συνολικά: 2 κορυφές (οι u και v) + (n 1)/2 κορυφές (οι γείτονες του u) + (n 1)/2 κορυφές (οι γείτονες του v) = = n+1 κορυφές, άτοπο! ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 27
28 Ερώτημα 4.γ, 4 η Εργ Τουρνουά: κατευθυνόμενο γράφημα όπου για κάθε ζευγάρι κορυφών u, v, υπάρχει είτε η ακμή (u, v) είτε η ακμή (v, u). Κάθε τουρνουά με n 1 κορυφές έχει κορυφή προσπελάσιμη από όλες τις άλλες με μονοπάτι μήκους 2. Βάση: Ισχύει τετριμμένα για τουρνουά με 1 κορυφή. Επαγ. υπόθεση: Ισχύει για κάθε τουρνουά με n 1 κορυφές. Επαγ. βήμα: Θδο ισχύει για τουρνουά G(V, E) με n+1 κορυφές. Έστω G τουρνουά που προκύπτει από G με αφαίρεση κορυφής u. Λόγω επαγ. υπόθεσης, κορυφή w στο G προσπελάσιμη από όλες τις άλλες με μονοπάτι μήκους 2. Αν u συνδέεται είτε απευθείας με w είτε με κάποια κορυφή x ηοποία συνδέεται απευθείας με w, τότε w ηζητούμενηκορυφή στο G. ιαφορετικά, w συνδέεται απευθείας με u, και για κάθε κορυφή x που συνδέεται απευθείας με την w, η x συνδέεται απευθείας με την u. Άρα u ηζητούμενηκορυφή στο G. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 28
29 Κύκλος Euler Κλειστή μονοκονδυλιά που διέρχεται: από κάθε ακμή 1 φορά, και από κάθε κορυφή τουλάχιστον 1 φορά. Συνεκτικό (μη-κατευθ.) γράφημα έχει κύκλο Euler ανν όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό. C g c d A e D a B b f ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 29
30 Κύκλος Euler Υπάρχει γράφημα G που όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό και έχει γέφυρα; Όχι, τέτοιο γράφημα G έχει κύκλο Euler, άρα όλες οι ακμές του ανήκουν σε κύκλο. Αν σε γράφημα που έχει κύκλο Euler προσθέσουμε ακμές, το γράφημα που προκύπτει έχει κύκλο Euler; Όχι κατ ανάγκη. Μπορεί προσθήκη κορυφών να κάνει τον βαθμό κάποιων κορυφών περιττό. (Γιατί) σε κάθε συνεκτικό μη κατευθυνόμενο γράφημα, υπάρχει κλειστή διαδρομή που διέρχεται από κάθε ακμή (ακριβώς) 2 φορές; «ιπλασιασμός» ακμών οδηγεί σε γράφημα με κύκλο Euler (συνεκτικό και όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 30
31 Κύκλος Euler Ποιος είναι ο μέγιστος #ακμών που μπορεί να έχει απλό γράφημα με n κορυφές και κύκλο Euler; Αν n περιττός, n-1 άρτιος: K n έχει κύκλο Euler και n(n-1)/2 ακμές. Αν n άρτιος, αφαιρούμε n/2 ακμές (χωρίς κοινά άκρα) από K n. Προκύπτει γράφημα με κύκλο Euler και n(n-2)/2 ακμές. (Απλό) γράφημα με > n(n-2)/2 ακμές, έχει κορυφή (περιττού) βαθμού n-1. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 31
32 Κύκλος Hamilton (Απλός) κύκλος που διέρχεται από όλες τις κορυφές. ιέρχεται από κάθε κορυφή 1 φορά. Μπορεί να μην διέρχεται από κάποιες ακμές. εν είναι γνωστή ικανή και αναγκαία συνθήκη! Ικανές συνθήκες ώστε G(V, E) έχει κύκλο Hamilton: v V, deg(v) V /2 (Θ. Dirac). u, v V, deg(u) + deg(v) V (Θ. Ore). ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 32
33 Κύκλος Hamilton (Απλός) κύκλος που διέρχεται από όλες τις κορυφές. ιέρχεται από κάθε κορυφή 1 φορά. Μπορεί να μην διέρχεται από κάποιες ακμές. εν είναι γνωστή ικανή και αναγκαία συνθήκη! Ικανές συνθήκες ώστε G(V, E) έχει κύκλο Hamilton: v V, deg(v) V /2 (Θ. Dirac). u, v V, deg(u) + deg(v) V (Θ. Ore). Αναγκαίες συνθήκες για ύπαρξη κύκλου Hamilton σε γραφήμα G: G δεν έχει γέφυρα ή σημείο άρθρωσης. Όλες οι κορυφές του G ανήκουν σε κύκλο. Αν G διμερές, τότε G έχει άρτιο #κορυφών. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 33
34 Κύκλος Hamilton ΓιαναδείξουμεότιγράφημαG έχει κύκλο Hamilton, είτε βρίσκουμε κύκλο Hamilton (αν G έχει συγκεκριμένη δομή) είτε δείχνουμε ότι G ικανοποιεί κάποια ικανή συνθήκη. ΓιαναδείξουμεότιγράφημαG δεν έχει κύκλο Hamilton, δείχνουμε ότι G παραβιάζει κάποια αναγκαία συνθήκη. Αν σε γράφημα που έχει κύκλο Hamilton προσθέσουμε ακμές, το γράφημα που προκύπτει έχει κύκλο Hamilton; Βεβαίως. Υπάρχει κύκλος Hamilton που δεν χρησιμοποιεί νέες ακμές. Αν G έχει γέφυρα, δεν έχει κύκλο Euler ούτε κύκλο Hamilton. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 34
35 Κύκλος Hamilton ιμερές γράφημα G με περιττό #κορυφών δεν έχει κύκλο Hamilton. Αν G είχε κύκλο Hamilton, αυτός θα ήταν ένας κύκλος περιττού μήκους. Ως διμερές γράφημα, το G δεν έχει κύκλους περιττού μήκους. Νδο κάθε απλό γράφημα με 21 κορυφές και 208 ακμές έχει κύκλο Hamilton και δεν έχει κύκλο Euler. Πρόκειται για Κ 21 από το οποίο έχουν αφαιρεθεί 2 ακμές. Ικανοποιεί Θ. Dirac. Άρα έχει κύκλο Hamilton. Όπως και αν αφαιρεθούν ακμές, προκύπτουν τουλ. 2 κορυφές με βαθμό 19. Άρα δεν έχει κύκλο Euler. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 35
36 Ερώτημα 4.α, 4 η Εργ Σε ένα τουρνουά με n+1 κορυφές, έστω u κορυφή και v 1,, v n μια αρίθμηση των υπόλοιπων n κορυφών. Ισχύει τουλ. ένα από τα: 1. Η u συνδέεται με την v H v n συνδέεται με την u. 3. Υπάρχει δείκτης k, 1 k n 1, ώστε η v k συνδέεται με την u και η u συνδέεται με την v k+1. Έστω ότι δεν ισχύουν τα (1) και (2). Θδο ισχύει το (3). Έστω v k+1 ηπρώτηκορυφή τ.ω. η u συνδέεται με την v k+1. Ισχύει ότι k+1 n, γιατί η u συνδέεται με την v n (δεν ισχύει το (2)). Ισχύει ότι 2 k+1, γιατί η v 1 συνδέεται με την u (δεν ισχύει το (1)). Ισχύει ότι v k συνδέεται με την u, γιατί v k+1 η πρώτη που δεν συνδέεται με u. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 36
37 Ερώτημα 4.β, 4 η Εργ Κάθε τουρνουά με n 1 κορυφές έχει μονοπάτι Hamilton. Επαγωγή με χρήση του (4.α) στο επαγωγικό βήμα. Βάση: Ισχύει τετριμμένα για τουρνουά με 1 κορυφή. Επαγ. υπόθεση: Κάθε τουρνουά με n 1 κορυφές έχει μον. Hamilton. Επαγ. βήμα: Θδο αυθαίρετο τουρνουά G(V, E) με n+1 κορυφές έχει μονοπάτι Hamilton. Έστω G τουρνουά που προκύπτει από G με αφαίρεση κορυφής u. Θεωρούμε αρίθμηση v 1,, v n των n κορυφών του G σύμφωνα με μονοπάτι Hamilton στο G (υπάρχει λόγω επαγ. υπόθεσης). u ενσωματώνεται στο μονοπάτι Hamilton v 1,, v n από (4.α). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 37
38 Ερώτημα 4, 4 η Εργασία Απλό γράφημα G με n 4 κορυφές και m C(n-1, 2)+2 ακμές. Νδο G έχει κορυφή βαθμού n-2. Αν όλες κορυφές βαθμού n-3, #ακμών n(n-3)/2 < C(n-1, 2) ) Έστω u κορυφή βαθμού = n-2. Νδο αν G u έχει κύκλο Hamilton, τότε και G έχει κύκλο Hamilton. G u γράφημα που προκύπτει από G με αφαίρεση u και ακμών που προσπίπτουν σε u. G u έχει n-1 κορυφές και κύκλο Hamilton (v 1, v 2,, v n-1, v 1 ). u συνδέεται με όλες τις κορυφές του G u εκτός από μία. Άρα u συνδέεται με κορυφές v k, v k+1 διαδοχικές σε κύκλο Hamilton. (v 1, v 2,, v k, u, v k+1,, v n-1, ν 1 ) αποτελεί κύκλο Hamilton για G. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 38
39 Ερώτημα 4, 4 η Εργασία ) Έστω u κορυφή βαθμού = n-1. Νδο αν G u έχει μονοπάτι Hamilton, τότε G έχει κύκλο Hamilton. G u έχει n-1 κορυφές και μονοπάτι Hamilton (v 1, v 2,, v n-1 ). u συνδέεται με όλες τις κορυφές του G u. (v 1, v 2,, v n-1, u, ν 1 ) αποτελεί κύκλο Hamilton για G. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 39
40 Ερώτημα 4, 4 η Εργασία Νδο (με μαθ. επαγωγή) κάθε απλό γράφημα G με n 3 κορυφές και m C(n-1, 2)+2 ακμές έχει κύκλο Hamilton. Βάση: απλό γραφ. με 3 κορυφές και 3 ακμές (Κ 3 ) έχει κύκλο Ham. Επαγ. υπόθεση: κάθε απλό γράφημα με n-1 3 κορυφές και C(n-2, 2)+2 ακμές έχει κύκλο Hamilton. Επαγ. βήμα: G με n 4 κορυφές και C(n-1, 2)+2 ακμές. G έχει κορυφή u βαθμού n-2. Θεωρούμε το G u. Αν deg(u) = n-2, G u έχει n-1 κορυφές και #ακμών: Λόγω επαγ. υπόθεσης, G u έχει κύκλο Hamilton. Λόγω (1), G έχει κύκλο Hamilton. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 40
41 Ερώτημα 4, 4 η Εργασία Νδο (με μαθ. επαγωγή) κάθε απλό γράφημα G με n 3 κορυφές και m C(n-1, 2)+2 ακμές έχει κύκλο Hamilton. Επαγ. βήμα: G με n 4 κορυφές και C(n-1, 2)+2 ακμές. G έχει κορυφή u βαθμού n-2. Θεωρούμε το G u. Αν deg(u) = n-1, G u έχει n-1 κορυφές και #ακμών: Αν προσθέσουμε μια ακμή e στο G u, το G u +e θα έχει (λόγω επαγ. υπόθεσης) κύκλο Hamilton. Άρα G u (χωρίς την επιπλέον ακμή) έχει μονοπάτι Hamilton. Λόγω (2), G έχει κύκλο Hamilton. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 41
42 Ερώτημα 4, 4 η Εργασία Νδο για κάθε n 3, υπάρχει απλό γράφημα με n κορυφές και C(n-1, 2)+1 ακμές που δεν έχει κύκλο Hamilton. Θεωρούμε το K n 1 και μια επιπλέον κορυφή u που συνδέεται με ακμή με κάποια κορυφή του K n 1. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 42
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ ενθαρρυντική εικόνα. Σαφώς καλύτερη
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ενθαρρυντική εικόνα, σαφώς καλύτερη από
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήµατα Μοντελοποίηση πολλών σηµαντικών προβληµάτων (π.χ. δίκτυα
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα
Διαβάστε περισσότεραιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα
Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι Γραφηµάτων
Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών Γραφήµατα Μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραέντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότερα2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραu v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4
Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραjτο πλήθος των ταξιδιών που κάνει η αεροσυνοδός µέχρι την j ηµέρα. Σχηµατίζω µία ακολουθία που αποτελείται από τα a.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ιδάσκοντες: Φωτάκης, Σούλιου, Θ Λιανέας η Γραπτή Εργασία Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) α)
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler.
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραβασικές έννοιες (τόμος Β)
θεωρία γραφημάτων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα βασικές έννοιες (τόμος Α) βασικές έννοιες (τόμος Β) 2 Θεωρία Γραφημάτων Βασική Ορολογία Τόμος Α, Ενότητα 4.1 Βασική Ορολογία Γραφημάτων Γράφημα Γ = (E,V)
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΠΛΗ0, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 014, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραE(G) 2(k 1) = 2k 3.
Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από
Διαβάστε περισσότεραιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείµενα (όχι κατ ανάγκη διαφορετικά) σε καθορισµένη σειρά. Γενίκευση: διατεταγµένη τριάδα (α, β, γ), δι
Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β):
Διαβάστε περισσότερα... a b c d. b d a c
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ιδάσκοντες: Φωτάκης, Σούλιου η Γραπτή Εργασία Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) α) Σε ένα διάστηµα
Διαβάστε περισσότεραΜη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.
Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) σύνολο κορυφών / κόµβων V, Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Διαβάστε περισσότεραz 1 E(G) 2(k 1) = 2k 3. x z 2 H 1 H 2
Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από
Διαβάστε περισσότεραιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Μαθηματική Επαγωγή ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις
ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Δέντρα Δέντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση (ιεραρχικών)
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 206 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις. ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Σχέσεις ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιμελής Σχέση ιατεταγμένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείμενα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 07 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)
ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική βαθμολογική εικόνα
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΠΛΗ0, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 015, Α ΜΕΡΟΣ 1. Στους παρακάτω τύπους τα,, είναι προτασιακοί τύποι. Ισχύει ότι: 1. ( Σ / Λ ) O τύπος ( ) ( ) είναι αντίφαση.
Διαβάστε περισσότεραd(v) = 3 S. q(g \ S) S
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα
Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότερα(β) Θεωρούµε µια ακολουθία Nθετικών ακεραίων η οποία περιέχει ακριβώς
Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) (α) Επιλέγουµε αυθαίρετα φυσικούς αριθµούς από το σύνολο {,,3,, 3, } Να δείξετε ότι µεταξύ των αριθµών που έχουµε επιλέξει υπάρχει πάντα ένα ζευγάρι όπου ο µεγαλύτερος
Διαβάστε περισσότεραΜονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Παραδείγµατα. Κριτήρια Υπαρξης.
Μονοπάτια και Κυκλώµατα Eulr Σε γράφηµα G(V, E): Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Κύκλωµα Eulr: Απλό κύκλωµα που διασχίζει κάθε ακµή του G. Μονοπάτι Eulr: Απλό µονοπάτι που
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)
ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά καλή βαθμολογική εικόνα (
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστο Συνδετικό Δέντρο
Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 207 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων
Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Σχέσεις Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διμελής Σχέση Διατεταγμένο ζεύγος (α, β):
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017
Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις». Α 1 Έστω η παρακάτω σχέση Q(k) πάνω στο σύνολο {1, 2} όπου k τυχαίος
Διαβάστε περισσότεραΤομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα
Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)
Διαβάστε περισσότεραq(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S.
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος & Σ. Κ. Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής
Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής
Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστο Συνδετικό Δέντρο
Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #9 Ασκήσεις σε Γράφους 18/5/2018
Φροντιστήριο #9 Ασκήσεις σε Γράφους 18/5/2018 Άσκηση 9.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστο Συνδετικό έντρο
Ελάχιστο Συνδετικό έντρο ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο (MST) Συνεκτικό μη-κατευθ. G(V, E, w) με βάρη Βάρος
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)
Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E) µε σύνολο κορυφών/κόµβων V Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Διαβάστε περισσότεραΣυνεκτικότητα Γραφήματος
Συνεκτικότητα Γραφήματος Θεμελιώδης έννοια στη Θεωρία Γραφημάτων. Πληθώρα πρακτικών εφαρμογών, όπως: Αξιόπιστη και ασφαλής επικοινωνία. Δρομολόγηση σε δίκτυα. Πλοήγηση. Συνεκτικότητα Γραφήματος Θεμελιώδης
Διαβάστε περισσότεραΚατηγορηµατική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για πεπερασµένο πλήθος «λογικών αντικειµένων». «Λογικό αντικείµε
Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηµατική
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής
Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)
Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 23 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστο Συνδετικό Δέντρο
Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο (MST) Συνεκτικό μη-κατευθ. G(V, E, w) με βάρη Βάρος
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή
Μαθηματική Επαγωγή Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017
Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017 Άσκηση 8.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες ιαδρομές
Συντομότερες ιαδρομές ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συντομότερη ιαδρομή Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος διαδρομής Απόσταση d(u,
Διαβάστε περισσότεραΣημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.
ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017
Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017 Όλα τα γραφήματα είναι μη-κατευθυνόμενα, αν δεν αναφέρεται κάτι άλλο. ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις».
Διαβάστε περισσότεραΑρχή του Περιστερώνα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Αρχή του Περιστερώνα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συναρτήσεις Συνάρτηση: διμελής σχέση
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες Διαδρομές
Συντομότερες Διαδρομές Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συντομότερη Διαδρομή Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος διαδρομής
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. 25 -Γράφοι. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Παρασκευή, 12/05/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Υπογράφημα Συμπληρωματικά γραφήματα Ισομορφισμός γράφων Υπολογιστική πολυπλοκότητα
Διαβάστε περισσότεραιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου
Αρχή του Περιστερώνα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συναρτήσεις Συνάρτηση: διµελής
Διαβάστε περισσότεραΑρχή του Περιστερώνα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Αρχή του Περιστερώνα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συναρτήσεις Συνάρτηση: διμελής σχέση
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγµα (4) Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (2) Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. v 2. u 3.
Παράδειγµα (2) s t Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (2) w x Ορέστης Τελέλης z y tllis@unipi.r v u Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Τα δύο γραφήµατα δεν είναι ισόµορφα. Ο κόµβος (αριστερά) είναι
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστο Συνδετικό έντρο
Ελάχιστο Συνδετικό έντρο ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Πληροφορικής
Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενα γραφήματα Ορισμός Κατευθυνόμενογράφημα Gείναιέναζεύγος (V,E)όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 2η <Αλγόριθµοι, Θεωρία Γραφηµάτων>
ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 2η Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η εξοικείωση µε τις σηµαντικότερες µεθόδους και ιδέες της Θεωρίας Γραφηµάτων
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο
Διαβάστε περισσότεραe 2 S F = [V (H), V (H)]. 3-1 e 1 e 3
Διάλεξη 3: 19.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Λίβανος & Σ. Κ. 3.1 Ακμοδιαχωριστές, Τομές, Δεσμοί Ορισμός 3.1 Ακμοδιαχωριστής (edge-separator) ενός γραφήματος =
Διαβάστε περισσότεραΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94.
ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» ΤΟΜΟΣ Α ΤΟΜΟΣ Β ΑΓΓΛΙΚΗ Γράφημα, Γράφος, Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94 11 κορυφών και ένα σύνολο ακμών.
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες Διαδρομές
Συντομότερη Διαδρομή Συντομότερες Διαδρομές Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες ιαδρομές
Συντομότερες ιαδρομές ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή
Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Δίκτυα και Ροές Δίκτυο : κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E). Πηγή, προορισμός, χωρητικότητα ακμής b e. ροή μεγέθους
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (2)
Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (2) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (2) 1 / 21 Παράδειγµα (2) s t w x h g
Διαβάστε περισσότερα