AΓ BΓ BΓ. = 40 MN = 2 AB + AΓ AN =

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "AΓ BΓ BΓ. = 40 MN = 2 AB + AΓ AN ="

Transcript

1 1 ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Οι πρωταρχικές έννοιες της Γεωμετρίας είναι το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο. Δεχόμαστε ότι: Από δύο διαφορετικά σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο του επιπέδου το οποίο δεν ανήκει σε αυτήν. Κάθε ευθεία έχει άπειρα σημεία και εκτείνεται απεριόριστα και προς τις δύο κατευθύνσεις χωρίς διακοπές και κενά. 1.1 Η ΗΜΙΕΥΘΕΙΑ Εστω μία ευθεία x x και ένα σημείο της A. Το σημείο χωρίζει την ευθεία σε δύο μέρη τα οποία συμβολίζουμε Ax και Ax και τα ονομάζουμε ημιευθείες με αρχή το σημείο A. Η ευθεία x x λέγεται φορέας της ημιευθείας Ax. Δύο ημιευθείες Ax και Ax που έχουν τον ίδιο φορέα και μοναδικό κοινό σημείο την αρχή τους A λέγονται αντικείμενες ημιευθείες. 1.2 ΤΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ Σε μία ευθεία (ε) θεωρούμε δύο διαφορετικά σημεία A και B. Ευθύγραμμο τμήμα AB ή BA λέμε το σχήμα που αποτελείται από τα δύο σημεία A και B και τα σημεία της ευθείας (ε) που βρίσκονται ανάμεσά τους. Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος AB ονομάζεται απόσταση των σημείων A και B. Μέσον ενός ευθύγραμμου τμήματος AB ονομάζεται το μοναδικό εσωτερικό σημείο M του τμήματος με την ιδιότητα AM = MB. Τα σημεία A και B λέγονται συμμετρικά σημεία ως προς κέντρο συμμετρίας το σημείο M. 1.3 ΤΟ ΗΜΙΕΠΙΠΕΔΟ Εστω ένα επίπεδο (Π) και μία ευθεία (ε) του επιπέδου. Η ευθεία χωρίζει το επίπεδο σε δύο μέρη (Π 1 ) και (Π 2 ). Κάθε ένα από αυτά τα μέρη μαζί με τα σημεία της (ε) ονομάζεται ημιεπίπεδο. 1.4 Η ΓΩΝΙΑ Από ένα τυχαίο σημείο O ενός επιπέδου φέρνουμε δύο ημιευθείες Ox και Oy οι οποίες δεν έχουν τον ίδιο φορέα. Το σχήμα που αποτελείται από τα κοινά σημεία των ημιεπιπέδων (Ox, B) και (Oy, A) λέγεται κυρτή γωνία με κορυφή O και πλευρές Ox και Oy. Τα σημεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην κυρτή γωνία μαζί με τα σημεία των ημιευθειών Ox και Oy αποτελούν την μη κυρτή γωνία με κορυφή O και πλευρές Ox και Oy. 1

2 Διχοτόμος μίας γωνίας λέγεται η μοναδική ημιευθεία που βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας και την χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. Δύο γωνίες λέγονται εφεξής αν έχουν κοινή κορυφή, μία πλευρά κοινή και τις μη κοινές πλευρές τους εκατέρωθεν της κοινής πλευράς. Δύο γωνίες που έχουν άθροισμα μία ορθή γωνία λέγονται συμπληρωματικές. Δύο γωνίες που έχουν άθροισμα μία ευθεία γωνία λέγονται παραπληρωματικές. Δύο γωνίες λέγονται κατακορυφήν αν έχουν κοινή κορυφή και οι πλευρές της μίας είναι προεκτάσεις των πλευρών της άλλης. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ 1. Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες. 2. Η προέκταση της διχοτόμου μίας γωνίας είναι διχοτόμος της κατακορυφήν της γωνίας. 3. Οι διχοτόμοι δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ 1. (Άσκηση 1/Αποδεικτικές/Σελίδα 20) Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι δύο εφεξής γωνιών σχηματίζουν γωνία ίση με το ημιάθροισμα των γωνιών αυτών. 2. (Άσκηση 2/Αποδεικτικές/Σελίδα 21) Θεωρούμε κυρτή γωνία AÔB, την διχοτόμο της O και τυχαία ημιευθεία OΓ στο εσωτερικό της γωνίας A ÔB, όπου OA είναι η αντικείμενη ημιευθεία της ημιευθείας OA. Να αποδείξετε ότι: Γ ÔA + Γ ÔB Γ Ô = 2 ΑΛΛΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3. Στο παρακάτω σχήμα ισχύει: AÔB = Γ Ô (αʹ) Να αποδείξετε ότι: AÔΓ = BÔ 2

3 (βʹ) Αν Ox και Oy είναι οι διχοτόμοι των γωνιών AÔB και BÔΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: BÔ xôy = 2 4. Στο παρακάτω σχήμα η Ox είναι η διχοτόμος της γωνίας γωνίας BÔ. AÔΓ και η Oy είναι η διχοτόμος της Να αποδείξετε ότι: AÔB + Γ Ô xôy = 2 5. Στο παρακάτω σχήμα οι γωνίες AÔB και Γ Ô είναι παραπληρωματικές. Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι Ox και Oy των γωνιών AÔΓ και BÔ αντίστοιχα, είναι κάθετες. 3

4 2 ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ Εστω ένα σταθερό σημείο O και ένα τμήμα KΛ = ρ. Κύκλος με κέντρο O και ακτίνα ρ λέγεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου τα οποία απέχουν από το σημείο O απόσταση ίση με ρ. Θα συμβολίζουμε τον κύκλο (O, ρ). Δύο κύκλοι λέμε ότι είναι ίσοι όταν έχουν ίσες ακτίνες. Εστω ένας κύκλος με κέντρο O και δύο σημεία του A και B. Τα σημεία αυτά χωρίζουν τον κύκλο σε δύο μέρη το κάθε ένα από τα οποία λέγεται τόξο του κύκλου. Το ευθύγραμμο τμήμα AB λέγεται χορδή του κύκλου. Μία χορδή που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου λέγεται διάμετρος του κύκλου ενώ τα σημεία στα άκρα της διαμέτρου λέγονται αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου. Κάθε ένα από τα δύο ίσα τόξα στα οποία διαιρείται ένας κύκλος από μία διάμετρό του ονομάζεται ημικύκλιο, ενώ κάθε ένα από τα τέσσερα ίσα τόξα στα οποία διαιρείται ένας κύκλος από δύο κάθετες διαμέτρους του ονομάζεται τεταρτοκύκλιο. Το κάθετο τμήμα που άγεται από το κέντρο του κύκλου προς την χορδή λέγεται απόστημα της χορδής. Μία γωνία που η κορυφή της είναι το κέντρο ενός κύκλου λέγεται επίκεντρη γωνία. Οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο σε δύο σημεία και το τόξο που βρίσκεται στο εσωτερικό της και έχει άκρα τα σημεία αυτά λέγεται αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας. Λέμε επίσης ότι η επίκεντρη γωνία βαίνει στο τόξο αυτό. Μονάδα μέτρησης των τόξων είναι η μοίρα. Το τόξο μίας μοίρας ορίζεται το τόξο που είναι ίσο με το του κύκλου και συμβολίζεται 1. Ολόκληρος ο κύκλος είναι τόξο 360. Το ημικύκλιο είναι τόξο 180 και το τεταρτοκύκλιο είναι τόξο 90. Ορίζουμε ως μέτρο μίας επίκεντρης γωνίας το μέτρο του αντίστοιχου τόξου της. Μία γωνία που έχει μέτρο λιγότερο από 90 λέγεται οξεία, μία γωνία που έχει μέτρο 90 λέγεται ορθή, ενώ μία γωνία που έχει μέτρο περισσότερο από 90 και λιγότερο από 180 λέγεται αμβλεία. 1. Οι ακτίνες ενός κύκλου είναι ίσες. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ 2. Δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα αν και μόνο αν οι επίκεντρες γωνίες που βαίνουν σε αυτά είναι ίσες. 3. Δύο τόξα ενός κύκλου είναι άνισα αν και μόνο αν οι επίκεντρες γωνίες που βαίνουν σε αυτά είναι ομοιότροπα άνισες. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ 1. (Άσκηση 1/Αποδεικτικές/Σελίδα 25) Θεωρούμε δύο ομόκεντρους κύκλους (O, R) και (O, ρ) με R > ρ. Μία ευθεία (ε) διέρχεται από το O και τέμνει τους κύκλους στα διαδοχικά σημεία A, B, Γ,. Να αποδείξετε ότι: AB = Γ και AΓ = B 4

5 2. (Άσκηση 3/Εμπέδωσης/Σελίδα 28) Δύο γωνίες είναι συμπληρωματικές. Αν η μία είναι διπλάσια από την άλλη, να βρείτε πόσες μοίρες είναι κάθε μία από τις γωνίες αυτές. 3. (Άσκηση 1/Αποδεικτικές/Σελίδα 28) Η παραπληρωματική μίας γωνίας ω είναι τριπλάσια της συμπληρωματικής της γωνίας ω. Να υπολογίσετε την γωνία ω. 4. (Άσκηση 2/Εμπέδωσης/Σελίδα 28) Σε ημικύκλιο κέντρου O και διαμέτρου AB θεωρούμε σημείο Γ τέτοιο ώστε: βρείτε τα μέτρα: (αʹ) των τόξων AΓ και BΓ. (βʹ) των γωνιών AÔΓ και Γ ÔB. AΓ BΓ = 80. Να ΑΛΛΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5. Στο παρακάτω σχήμα οι δύο κύκλοι είναι ομόκεντροι με κέντρο O. Αν M είναι το μέσον του τόξου AB, να αποδείξετε ότι το N είναι το μέσον του τόξου Γ. 6. Σε κύκλο κέντρου O θεωρούμε τα διαδοχικά τόξα AB = 40 και BΓ = 60. Αν είναι το αντιδιαμετρικό σημείο του B, να υπολογίσετε τις κυρτές γωνίες AÔΓ, Γ Ô καθώς και το μέτρο του τόξου A Γ. 7. Σε έναν κύκλο θεωρούμε τα διαδοχικά τόξα AB και BΓ και έστω M, N τα μέσα τους αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: (αʹ) (βʹ) MN = AN = AΓ 2. AB + AΓ. 2 5

6 3 ΤΡΙΓΩΝΟ-ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Το άθροισμα των τριών πλευρών του ονομάζεται περίμετρος του τριγώνου και συμβολίζεται 2τ. Ανάλογα με την σύγκριση των πλευρών του ένα τρίγωνο λέγεται: σκαληνό όταν έχει όλες τις πλευρές του άνισες. ισοσκελές όταν έχει δύο πλευρές του ίσες. ισόπλευρο όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Ανάλογα με την σύγκριση των γωνιών του ένα τρίγωνο λέγεται: οξυγώνιο όταν έχει όλες τις γωνίες του οξείες. ορθογώνιο όταν έχει μία γωνία του ορθή. αμβλυγώνιο όταν έχει μία γωνία του αμβλεία. Τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου είναι: Η διάμεσος του τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μία κορυφή του τριγώνου με το μέσον της απέναντι πλευράς. 6

7 Η διχοτόμος μίας γωνίας του τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα της διχοτόμου της γωνίας του τριγώνου από την κορυφή της μέχρι την απέναντι πλευρά. Το ύψος του τριγώνου είναι το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που φέρνουμε από μία κορυφή του τριγώνου προς τον φορέα της απέναντι πλευράς του. 3.1 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν όλες τις πλευρές και τις γωνίες τους ίσες μία προς μία. Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και αντίστροφα. Οι ίσες πλευρές που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες λέγονται αντίστοιχες ή ομόλογες. 1 ο κριτήριο ισότητας (ΠΓΠ): Δύο τρίγωνα είναι ίσα, αν έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές τις πλευρές γωνίες ίσες. 2 ο κριτήριο ισότητας (ΓΠΓ): Δύο τρίγωνα είναι ίσα, αν έχουν μία πλευρά και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες, ίσες μία προς μία. 3 ο κριτήριο ισότητας (ΠΠΠ): Δύο τρίγωνα είναι ίσα, αν έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία. 3.2 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν: έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία. έχουν μία κάθετη πλευρά και την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία ίσες μία προς μία. έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία ίσες μία προς μία. έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ 7

8 1. (Άσκηση 4/Εμπέδωσης/Σελίδα 38) Εστω τρίγωνο ABΓ και η διχοτόμος του A. Στην ημιευθεία A θεωρούμε τα σημεία E και Z ώστε AE = AB και AZ = AΓ. Να αποδείξετε ότι: A ˆΓ E = AẐB 2. (Άσκηση 2/Εμπέδωσης/Σελίδα 43) Δύο τρίγωνα ABΓ και A B Γ έχουν β = β, Â = Â και δ a = δ a. Να αποδείξετε ότι: (αʹ) ˆΓ = ˆΓ. (βʹ) a = a και γ = γ. 3. (Άσκηση 3/Εμπέδωσης/Σελίδα 43) Σε τρίγωνο ABΓ προεκτείνουμε την διάμεσο AM κατά τμήμα M = AM. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ABΓ και BΓ είναι ίσα. 4. (Άσκηση 4/Εμπέδωσης/Σελίδα 48) Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα, να αποδείξετε ότι και τα ύψη τους που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές είναι ίσα. 5. (Άσκηση 3/Εμπέδωσης/Σελίδα 48) Να αποδείξετε ότι τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχουν από κάθε ευθεία που διέρχεται από το μέσον του τμήματος. ΑΛΛΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6. Στο παρακάτω σχήμα η διαγώνιος του τετραπλεύρου ABΓ διχοτομεί τις γωνίες Â και ˆΓ. (αʹ) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ABΓ και A Γ είναι ίσα. (βʹ) Αν οι ευθείες AB και Γ τέμνονται στο σημείο E και οι ευθείες BΓ και A τέμνονται στο σημείο Z, να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα BΓ E και Γ Z είναι ίσα. 7. Στις πλευρές Ox και Oy μίας γωνίας xôy θεωρούμε σημεία A και B αντίστοιχα, ώστε OA = OB. Εστω σημείο M της διχοτόμου της γωνίας xôy. (αʹ) Να αποδείξετε ότι MA = MB. 8

9 (βʹ) Η ευθεία AM τέμνει την Oy στο σημείο Γ και η ευθεία BM τέμνει την Ox στο σημείο. Να αποδείξετε ότι: i. AΓ = B. ii. MΓ = M. iii. BΓ = A. 8. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα AB και μία ευθεία (ε) που διέρχεται από το μέσον του M. Στα σημεία A και B φέρνουμε κάθετες ευθείες στο τμήμα AB οι οποίες τέμνουν την ευθεία (ε) στα σημεία Γ και αντίστοιχα. Αν K είναι τυχαίο σημείο του τμήματος AΓ και η ευθεία KM τέμνει το τμήμα B στο σημείο Λ, να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα KΓ M και Λ M είναι ίσα. 9

10 4 ΤΟ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο: Οι προσκείμενες στην βάση του γωνίες είναι ίσες. Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής του είναι διάμεσος και ύψος. Ενα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν συμβαίνει ένα από τα παρακάτω: Δύο πλευρές του είναι ίσες. Δύο γωνίες του είναι ίσες. Ενα από τα δευτερεύοντα στοιχεία του ταυτίζεται με κάποιο άλλο. 4.1 ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ Η μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος. 4.2 ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΓΩΝΙΑΣ Η διχοτόμος μίας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας. 10

11 ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ 1. Οι γωνίες ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες. Κάθε μία είναι ίση με Αν δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, τότε και οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες. 3. Αν δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες, τότε και τα αντίστοιχα τόξα τους είναι ίσα. 4. Αν δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες, τότε και τα αντίστοιχα αποστήματά τους είναι ίσα. 5. Αν τα αποστήματα δύο χορδών ενός κύκλου είναι ίσα, τότε και οι χορδές είναι ίσες. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ 1. (Άσκηση 2/Αποδεικτικές/Σελίδα 38) Εστω ισοσκελές τρίγωνο ABΓ. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών του BA και Γ A θεωρούμε ίσα τμήματα A και AE αντίστοιχα. Αν M είναι το μέσον της βάσης του BΓ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο M E είναι ισοσκελές. 2. (Άσκηση 2/Εμπέδωσης/Σελίδα 38) Σε ισόπλευρο τρίγωνο ABΓ προεκτείνουμε τις πλευρές AB, BΓ, Γ A και στις προεκτάσεις τους θεωρούμε τμήματα BK = Γ Λ = AM. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο KΛM είναι ισόπλευρο. 3. (Άσκηση 3/Αποδεικτικές/Σελίδα 38) Δίνεται κύκλος με κέντρο O και μία χορδή του AB. Προεκτείνουμε την AB και προς τα δύο της άκρα κατά ίσα τμήματα AΓ και B αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: O ˆΓ A = O ˆ B 4. (Άσκηση 5/Αποδεικτικές/Σελίδα 48) Δίνεται κύκλος με κέντρο O και δύο ίσες χορδές του AB και Γ. Τα αντίστοιχα αποστήματα των χορδών είναι τα OK και OΛ. Οι προεκτάσεις των χορδών BA και Γ τέμνονται στο σημείο M έξω από τον κύκλο. Να αποδείξετε ότι: (αʹ) Τα τρίγωνα OMK και OMΛ είναι ίσα. (βʹ) MA = MΓ και MB = M. 5. (Άσκηση 1/Εμπέδωσης/Σελίδα 48) Να αποδείξετε ότι τα ύψη ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του είναι ίσα. 11

12 6. (Άσκηση 9/Εμπέδωσης/Σελίδα 57) Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ABΓ και έστω I το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών ˆB και ˆΓ. Να αποδείξετε ότι: (αʹ) Το τρίγωνο IBΓ είναι ισοσκελές. (βʹ) Η AI είναι η διχοτόμος της γωνίας Â. 7. (Άσκηση 5/Αποδεικτικές/Σελίδα 48) Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ABΓ και την διχοτόμο του B. Από το φέρνουμε E BΓ. Οι ευθείες E και AB τέμνονται στο σημείο Z. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο BΓ Z είναι ισοσκελές. 8. (Άσκηση 1/Σύνθετες/Σελίδα 48) Θεωρούμε τρίγωνο ABΓ. Η διχοτόμος της γωνίας Â τέμνει την μεσοκάθετο της πλευράς BΓ στο σημείο. Εστω E και Z οι προβολές του σημείου πάνω στις πλευρές AB και AΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι BE = Γ Z. ΑΛΛΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9. Δίνονται δύο εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες xôy και yôz και δύο σημεία A και B της Oy. Θεωρούμε τα σημεία Γ και των Ox και Oz αντίστοιχα, ώστε OΓ = OA και O = OB. Αν M και N είναι τα μέσα των AΓ και B αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι OM ON. 10. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABΓ και έστω M, N τα μέσα των AB και AΓ αντίστοιχα. Προεκτείνουμε την βάση BΓ κατά ίσα τμήματα B και Γ E. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα A M και AEN είναι ίσα. 11. Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB < AΓ. Η μεσοκάθετη της πλευράς BΓ τέμνει την AΓ στο σημείο και την προέκταση της BA στο σημείο E. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα BE και Γ E είναι ίσα. 12. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABΓ με AB < BΓ και η διχοτόμος του B. Θεωρούμε σημείο E της BΓ ώστε BE = AB και προεκτείνουμε την E κατά τμήμα Z = Γ. Να αποδείξετε ότι: (αʹ) AZ = EΓ. (βʹ) τα σημεία Z, A, B είναι συνευθειακά. (γʹ) η B είναι κάθετη στην Γ Z. 13. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABΓ και τα σημεία και E των AB, AΓ αντίστοιχα, ώστε A = AE. Από το φέρνουμε κάθετη στην AB που τέμνει την AΓ στο K. Από το E φέρνουμε κάθετη στην AΓ που τέμνει την AB στο Λ. Να αποδείξετε ότι: (αʹ) K = EΛ. (βʹ) αν οι K και EΛ τέμνονται στο M, τότε τα τρίγωνα ΛM και EKM είναι ίσα. 14. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABΓ με Â < 90. Στα σημεία B και Γ φέρνουμε κάθετες Bx και Γ y στην πλευρά BΓ. Η κάθετη από το A προς την πλευρά AΓ τέμνει την Bx στο σημείο M και η κάθετη από το A προς την πλευρά AB τέμνει την Γ y στο σημείο N. Να αποδείξετε ότι: BM = Γ N 12

13 15. Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB > AΓ. Στην προέκταση της πλευράς BA προς το A θεωρούμε σημείο ώστε A = AΓ και στην προέκταση της πλευράς Γ A προς το A θεωρούμε σημείο E ώστε AE = AB. Οι ευθείες BΓ και E τέμνονται στο σημείο Z. Να αποδείξετε ότι: (αʹ) Το τρίγωνο ZΓ είναι ισοσκελές. (βʹ) Η διχοτόμος της γωνίας Ẑ διέρχεται από το σημείο A. 13

14 5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΥ Εστω ένας κύκλος με κέντρο O και ακτίνα ρ. Θεωρούμε μία ευθεία (ε) και ονομάζουμε d την απόσταση του κέντρου O από την ευθεία (ε). Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Περίπτωση 1 η : Αν d < ρ, τότε η ευθεία τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία και στην περίπτωση αυτή λέγεται τέμνουσα του κύκλου. Περίπτωση 2 η : Αν d > ρ, τότε η ευθεία και ο κύκλος δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. Περίπτωση 3 η : Αν d = ρ, τότε η ευθεία και ο κύκλος έχουν ένα κοινό σημείο. Στην περίπτωση αυτή η ευθεία λέγεται εφαπτομένη του κύκλου και το σημείο τομής τους λέγεται σημείο επαφής της ευθείας με τον κύκλο. Αν P είναι ένα εξωτερικό σημείο του κύκλου, τότε από το P μπορούμε να φέρουμε δύο εφαπτομένες προς τον κύκλο. Αν A και B είναι τα σημεία επαφής αυτών των εφαπτομένων με τον κύκλο, τότε τα τμήματα P A και P B λέγονται εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου από το σημείο P και η ευθεία P O λέγεται διακεντρική ευθεία του σημείου P. 14

15 ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ 1. Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη. 2. Τα εφαπτόμενα τμήματα από εξωτερικό σημείο ενός κύκλου είναι ίσα. 3. Η διακεντρική ευθεία από εξωτερικό σημείο P ενός κύκλου είναι μεσοκάθετος της χορδής του κύκλου που έχει άκρα τα σημεία επαφής. 4. Η διακεντρική ευθεία από εξωτερικό σημείο P ενός κύκλου είναι διχοτόμος της γωνίας των εφαπτόμενων τμημάτων και της γωνίας των ακτίνων που καταλήγουν στα σημεία επαφής. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ 1. (Άσκηση 1/Εμπέδωσης/Σελίδα 63) Θεωρούμε δύο ομόκεντρους κύκλους. Να αποδείξετε ότι όλες οι χορδές του μεγάλου κύκλου που εφάπτονται στον μικρό είναι ίσες. 2. (Άσκηση 2/Εμπέδωσης/Σελίδα 63) Δίνεται κύκλος με κέντρο O, μία διάμετρός του AB και οι εφαπτομένες (ε 1 ) και (ε 2 ) του κύκλου στα σημεία A και B αντίστοιχα. Μία τρίτη εφαπτομένη (ε 3 ) του κύκλου τέμνει τις εφαπτομένες (ε 1 ) και (ε 2 ) στα σημεία Γ και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: Γ Ô = (Άσκηση 2/Αποδεικτικές/Σελίδα 63) Από εξωτερικό σημείο M ενός κύκλου με κέντρο O φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα MA και M B του κύκλου. Προεκτείνουμε την ακτίνα OB κατά τμήμα BΓ ίσο με το OB. Να αποδείξετε ότι η γωνία A ˆMΓ είναι τριπλάσια της γωνίας B ˆMΓ. 4. (Άσκηση 3/Εμπέδωσης/Σελίδα 63) Από εξωτερικό σημείο P ενός κύκλου με κέντρο O φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα P A και P B. Μία τρίτη εφαπτομένη σε σημείο E του κύκλου τέμνει τα εφαπτόμενα τμήματα P A και P B στα σημεία Γ και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου P Γ είναι ίση με 2P A. 5. (Άσκηση 3/Αποδεικτικές/Σελίδα 63) Από εξωτερικό σημείο P ενός κύκλου με κέντρο O φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα P A και P B του κύκλου. Αν M είναι ένα εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος OP, να αποδείξετε ότι: MÂP = M ˆBP ΑΛΛΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 15

16 6. Δίνεται κύκλος κέντρου O και δύο μη αντιδιαμετρικά του σημεία A και B. Οι εφαπτομένες του κύκλου στα σημεία A και B τέμνονται στο σημείο Γ. Η ευθεία Γ O τέμνει τον κύκλο στα σημεία και E. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα B E και A E είναι ίσα. 7. Δίνεται κύκλος κέντρου O και σημείο M εκτός του κύκλου. Από το M φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα MA και MB προς τον κύκλο. Φέρνουμε την διάμετρο Γ του κύκλου που είναι κάθετη στην ευθεία OM. Αν οι ευθείες MA και MB τέμνουν την ευθεία Γ στα σημεία E και Z αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: (αʹ) AE = BZ. (βʹ) EΓ = Z. 8. Δίνεται κύκλος κέντρου O και μία διάμετρός του AB. Εστω (ε) η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο A και ένα τυχαίο σημείο M της ευθείας (ε) διαφορετικό του A. Αν N είναι το συμμετρικό του M ως προς το O, να αποδείξετε ότι η ευθεία BN εφάπτεται στον κύκλο. 9. Δίνεται κύκλος κέντρου O και σημείο M εκτός του κύκλου. Από το M φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα MA και MB προς τον κύκλο. Προεκτείνουμε την AM κατά τμήμα MΓ = MA και την OM κατά τμήμα M = MO. Να αποδείξετε ότι: (αʹ) ˆΓ M = 90. (βʹ) αν οι ευθείες Γ και OB τέμνονται στο σημείο E, τότε το τρίγωνο E O είναι ισοσκελές. 16

17 6 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ Θεωρούμε δύο κύκλους (K, R) και (Λ, ρ) με R ρ. Το ευθύγραμμο τμήμα KΛ = δ που ενώνει τα κέντρα των δύο κύκλων ονομάζεται διάκεντρος των δύο κύκλων. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Περίπτωση 1 η : Αν δ < R ρ, ο κύκλος (Λ, ρ) βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου (K, R). Στην περίπτωση αυτή οι κύκλοι δεν έχουν κοινές εφαπτομένες. Περίπτωση 2 η : Αν δ > R + ρ, ο ένας κύκλος βρίσκεται στο εξωτερικό του άλλου. Στην περίπτωση αυτή οι κύκλοι έχουν τέσσερις κοινές εφαπτομένες. Περίπτωση 3 η : Αν δ = R ρ, οι κύκλοι έχουν ένα κοινό σημείο και εφάπτονται εσωτερικά. Στην περίπτωση αυτή οι κύκλοι έχουν μία κοινή εφαπτομένη. Περίπτωση 4 η : Αν δ = R + ρ, οι κύκλοι έχουν ένα κοινό σημείο και εφάπτονται εξωτερικά.στην περίπτωση αυτή οι κύκλοι έχουν τρεις κοινές εφαπτομένες. 17

18 Περίπτωση 5 η : Αν R ρ < δ < R+ρ, οι κύκλοι τέμνονται και έχουν δύο κοινά σημεία. Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα κοινά σημεία λέγεται κοινή χορδή των δύο κύκλων. Στην περίπτωση αυτή οι κύκλοι έχουν δύο κοινές εφαπτομένες. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ 1. Η διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής τους. 2. Η διάκεντρος δύο εφαπτόμενων κύκλων διέρχεται από το σημείο επαφής τους. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ 1. (Άσκηση 1/Εμπέδωσης/Σελίδα 65) Να προσδιορίσετε τις σχετικές θέσεις των κύκλων (K, ρ) και (Λ, 2ρ) στις παρακάτω περιπτώσεις: i) KΛ = ρ 2 ii) KΛ = ρ iii) KΛ = 2ρ iv) KΛ = 3ρ v) KΛ = 4ρ 2. (Άσκηση 1/Αποδεικτικές/Σελίδα 66) Δίνεται κύκλος (O, R) και ένα εξωτερικό σημείο του P, ώστε OP < 2R. Γράφουμε τον κύκλο (O, 2R). Να αποδείξετε ότι: (αʹ) Ο κύκλος (O, 2R) τέμνει τον κύκλο (P, P O) σε δύο σημεία Γ και. (βʹ) Τα ευθύγραμμα τμήματα OΓ και O τέμνουν τον κύκλο (O, R) στα σημεία A και B. (γʹ) Τα τμήματα P A και P B εφάπτονται στον κύκλο (O, R). 3. (Άσκηση 3/Αποδεικτικές/Σελίδα 66) Ενας κύκλος με κέντρο K είναι εξωτερικός ενός άλλου κύκλου με κέντρο Λ. Μία κοινή εξωτερική εφαπτομένη και μία κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων τέμνονται στο P. Να αποδείξετε ότι: K ˆP Λ = 90 18

19 ΑΛΛΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. Δύο κύκλοι με κέντρα K και Λ εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο A και έστω M ένα σημείο της κοινής εσωτερικής τους εφαπτομένης. Από το M φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα MB και MΓ των κύκλων με κέντρα K και Λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: (αʹ) MB = MΓ. (βʹ) K ˆBΓ = Λ ˆΓ B. 5. Δίνονται δύο τεμνόμενοι κύκλοι (K, R) και (Λ, ρ) και έστω A, B τα κοινά σημεία τους. Προεκτείνουμε την κοινή χορδή AB κατά ίσα τμήματα AΓ και B. (αʹ) Αν τα τμήματα KΓ και K τέμνουν τον κύκλο (K, R) στα σημεία E και Z αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: AE = BZ (βʹ) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα KΓ Λ και K Λ είναι ίσα. 6. Δύο κύκλοι (K, R) και (Λ, ρ) με R > ρ εφάπτονται εσωτερικά στο σημείο M. Εστω επίσης (ε) η κοινή εξωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων και N το αντιδιαμετρικό σημείο του M στον κύκλο (K, R). Φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα NA και NB του κύκλου (Λ, ρ), οι προεκτάσεις των οποίων τέμνουν την (ε) στα σημεία Γ και αντίστοιχα και τον κύκλο (K, R) στα σημεία E και Z αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: (αʹ) Το τρίγωνο NΓ είναι ισοσκελές. (βʹ) Τα τρίγωνα MΓ A και M B είναι ίσα. (γʹ) NE = NZ και ΛE = ΛZ. 19

20 7 ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ 1. Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου. 2. Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες και αντίστροφα. 3. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και τις περιεχόμενες γωνίες στις πλευρές αυτές άνισες, τότε και οι τρίτες πλευρές θα είναι όμοια άνισες και αντίστροφα. 4. (Η τριγωνική ανισότητα) Σε κάθε τρίγωνο κάθε πλευρά είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από την διαφορά τους. Γενικότερα: Ενα ευθύγραμμο τμήμα AB είναι μικρότερο από την περίμετρο κάθε πολυγωνικής γραμμής με άκρα τα σημεία A και B. 5. Η μεγαλύτερη χορδή ενός κύκλου είναι η διάμετρός του. 6. Το κάθετο τμήμα που άγεται από σημείο εκτός ευθείας προς την ευθεία είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο τμήμα που άγεται από το σημείο προς την ευθεία. 7. Αν δύο πλάγια τμήματα που άγονται από σημείο εκτός ευθείας προς την ευθεία είναι άνισα, τότε και οι αποστάσεις των ιχνών τους από το ίχνος της καθέτου που άγεται από το σημείο προς την ευθεία είναι ομοιότροπα άνισες και αντίστροφα. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ 1. (Άσκηση 5/Εμπέδωσης/Σελίδα 57) Σε ισοσκελές τρίγωνο ABΓ θεωρούμε τυχαίο σημείο M της βάσης του BΓ. Να αποδείξετε ότι AM < AB. 2. (Άσκηση 2/Αποδεικτικές/Σελίδα 58) Εστω τρίγωνο ABΓ με AB < AΓ και M το μέσον της BΓ. Να αποδείξετε ότι: A ˆMΓ > A ˆMB 3. (Άσκηση 1/Σύνθετες/Σελίδα 58) Εστω κυρτό τετράπλευρο ABΓ και O ένα σημείο στο εσωτερικό του. (αʹ) Να αποδείξετε ότι: OA + OB + OΓ + O > AB + BΓ + Γ + A 2 (βʹ) Για ποιά θέση του σημείου O το άθροισμα OA + OB + OΓ + O γίνεται ελάχιστο; 4. (Άσκηση 1/Εμπέδωσης/Σελίδα 60) Στις κάθετες πλευρές AB και AΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ABΓ θεωρούμε τα σημεία, E αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: E < EB και E < BΓ 5. (Άσκηση 3/Εμπέδωσης/Σελίδα 60) Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα AB, ένα σημείο P της μεσοκαθέτου του τμήματος και μία ευθεία (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο A. 20

21 (αʹ) Να συγκρίνετε τις αποστάσεις του σημείου P από την ευθεία (ε) και το σημείο B. (βʹ) Ποιά πρέπει να είναι η θέση της ευθείας (ε), ώστε οι αποστάσεις αυτές να είναι ίσες; ΑΛΛΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6. Θεωρούμε έναν κύκλο κέντρου O, μία διάμετρό του AB και ένα εσωτερικό σημείο Σ της ακτίνας OA. Αν M είναι σημείο του κύκλου διαφορετικό από τα σημεία A και B, να αποδείξετε ότι: ΣA < ΣM < ΣB 7. Δίνεται ένα τρίγωνο ABΓ. Θεωρούμε τυχαία σημεία A, B, Γ των πλευρών του BΓ, AΓ, AB αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: 1 2 (AB + BΓ + Γ A) < AA + BB + Γ Γ < 3 (AB + BΓ + Γ A) 2 8. Δίνεται ορθή γωνία xôy. Στην πλευρά της Ox θεωρούμε δύο σημεία A και B με OA < OB. Στην πλευρά της Oy θεωρούμε δύο σημεία Γ και με OΓ < O. Φέρνουμε τα ευθύγραμμα τμήματα AΓ και B. Να αποδείξετε ότι: AΓ < B 21

22 8.1 ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑ 8 ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ Δύο ευθείες (ε 1 ) και (ε 2 ) που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινό σημείο λέγονται παράλληλες. Αν θεωρήσουμε δύο ευθείες (ε 1 ) και (ε 2 ) του επιπέδου οι οποίες τέμνονται από μία τρίτη ευθεία (ε 3 ), τότε παρατηρούμε ότι σχηματίζονται οκτώ γωνίες. Οι γωνίες που βρίσκονται ανάμεσα στις ευθείες (ε 1 ) και (ε 2 ) ονομάζονται εντός, ενώ αυτές που δεν είναι ανάμεσά τους λέγονται εκτός. Δύο γωνίες που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της τέμνουσας (ε 3 ) λέγονται επί τα αυτά μέρη, ενώ αν βρίσκονται εκατέρωθεν της τέμνουσας (ε 3 ) λέγονται εναλλάξ. (Το Ευκλείδειο αίτημα) Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μία μόνο παράλληλη προς την ευθεία. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ 1. Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από μία τρίτη ευθεία, τότε σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. 2. Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από μία τρίτη ευθεία, τότε σχηματίζουν τις εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες. 3. Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από μία τρίτη ευθεία, τότε σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές. 4. Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από μία τρίτη ευθεία σχηματίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες. 5. Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από μία τρίτη ευθεία σχηματίζουν δύο εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες. 6. Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από μία τρίτη ευθεία σχηματίζουν δύο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές, τότε είναι παράλληλες. 7. Δύο ευθείες που είναι κάθετες στην ίδια ευθεία, είναι μεταξύ τους παράλληλες. 8. Δύο ευθείες που είναι παράλληλες προς μία τρίτη ευθεία, είναι μεταξύ τους παράλληλες. 9. Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες μία προς μία είναι ίσες αν είναι και οι δύο οξείες ή και οι δύο αμβλείες, ενώ είναι παραπληρωματικές αν η μία γωνία είναι οξεία και η άλλη είναι αμβλεία. 22

23 10. Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες μία προς μία είναι ίσες αν είναι και οι δύο οξείες ή και οι δύο αμβλείες, ενώ είναι παραπληρωματικές αν η μία γωνία είναι οξεία και η άλλη είναι αμβλεία. 8.2 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ 1. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι ίσο με Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου. 3. Οι οξείες γωνίες ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι συμπληρωματικές. 4. Το άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι ίσο με 2ν 4 ορθές γωνίες. 5. Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι ίσο με 4 ορθές γωνίες. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ 1. (Άσκηση 1/Εμπέδωσης/Σελίδα 82) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABΓ και ευθεία (ε) παράλληλη στην βάση του BΓ η οποία τέμνει τις πλευρές AB και AΓ στα σημεία και E αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο A E είναι ισοσκελές. 2. (Άσκηση 2/Εμπέδωσης/Σελίδα 82) Δίνεται γωνία xôy και σημείο A της διχοτόμου της. Η παράλληλη από το A προς την Ox τέμνει την Oy στο σημείο B. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο BAO είναι ισοσκελές. 3. (Άσκηση 4/Εμπέδωσης/Σελίδα 82) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABΓ και σημείο της πλευράς AB. Αν ο κύκλος (, B) τέμνει την πλευρά BΓ στο σημείο E, να αποδείξετε ότι E AΓ. 4. (Άσκηση 5/Εμπέδωσης/Σελίδα 82) Θεωρούμε τρίγωνο ABΓ. Στις προεκτάσεις των πλευρών του BA και Γ A παίρνουμε αντίστοιχα τα τμήματα A = AB και AE = AΓ. Να αποδείξετε ότι E BΓ. 5. (Άσκηση 6/Εμπέδωσης/Σελίδα 82) Δίνεται κύκλος (O, ρ), μία χορδή του AB και το μέσον M της χορδής. Φέρνουμε Ox OM. Να αποδείξετε ότι Ox AB. 6. (Άσκηση 1/Αποδεικτικές/Σελίδα 82) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABΓ και η διάμεσός του AM. Φέρνουμε Γ x BΓ προς το ημιεπίπεδο που δεν ανήκει το A και παίρνουμε στην Γ x τμήμα Γ = AB. Να αποδείξετε ότι η A είναι διχοτόμος της γωνίας MÂΓ. 7. (Άσκηση 2/Αποδεικτικές/Σελίδα 82) Δίνεται τρίγωνο ABΓ και η διχοτόμος του A. Από την κορυφή B φέρνουμε Bx A που τέμνει την προέκταση της Γ A στο σημείο E. Να αποδείξετε ότι: EΓ = AB + AΓ 23

24 8. (Άσκηση 2/Σύνθετες/Σελίδα 83) Από τα άκρα ευθύγραμμου τμήματος AB φέρνουμε προς το ίδιο ημιεπίπεδο δύο παράλληλες η- μιευθείες Ax και By. Θεωρούμε τυχαίο σημείο Γ του AB και στις Ax, By τα σημεία και E αντίστοιχα, ώστε A = AΓ και BE = BΓ. Να αποδείξετε ότι η γωνία ˆΓ E είναι ορθή. 9. (Άσκηση 3/Εμπέδωσης/Σελίδα 87) Σε τρίγωνο ABΓ η γωνία Â είναι τριπλάσια της γωνίας ˆB και ˆΓɛξ = 144. Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις πλευρές του. 10. (Άσκηση 4/Εμπέδωσης/Σελίδα 87) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABΓ και το ύψος του A. Να αποδείξετε ότι: ˆB = ÂΓ και ˆΓ = ÂB 11. (Άσκηση 1/Αποδεικτικές/Σελίδα 87) Σε τρίγωνο ABΓ είναι ˆBɛξ = 90 + Â. Να αποδείξετε ότι AB = AΓ (Άσκηση 3/Αποδεικτικές/Σελίδα 87) Σε τρίγωνο ABΓ με ˆB > ˆΓ φέρνουμε το ύψος A και την διχοτόμο AE. Να αποδείξετε ότι: ÂE = ˆB ˆΓ (Άσκηση 5/Αποδεικτικές/Σελίδα 87) Από τυχαίο σημείο της βάσης BΓ ισοσκελούς τριγώνου ABΓ φέρνουμε E AΓ. Να αποδείξετε ότι: Â = E ˆ Γ 14. (Άσκηση 6/Αποδεικτικές/Σελίδα 87) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABΓ το ύψος του A και η διχοτόμος του BZ τέμνονται στο σημείο E. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο AEZ είναι ισοσκελές. 15. (Άσκηση 1/Σύνθετες/Σελίδα 88) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABΓ και τυχαίο σημείο της πλευράς AB. Στην προέκταση της Γ A παίρνουμε τμήμα AE = A. Να αποδείξετε ότι E BΓ. 16. (Άσκηση 2/Σύνθετες/Σελίδα 88) Δίνεται τρίγωνο ABΓ με ˆB > ˆΓ και η διχοτόμος του A. Από την κορυφή B φέρνουμε ευθεία κάθετη στην A η οποία τέμνει την AΓ στο σημείο E. Να αποδείξετε ότι: E ˆBΓ = ˆB ˆΓ 2 24

25 9 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Σε ένα παραλληλόγραμμο ισχύουν: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. 2. Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. 3. Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Ενα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν συμβαίνει ένα από τα παρακάτω: Οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες. Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. Δύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες. Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ 1. (Άσκηση 1/Εμπέδωσης/Σελίδα 99) Δίνεται παραλληλόγραμμο ABΓ. Η διχοτόμος της γωνίας Â τέμνει την Γ στο σημείο E. Να αποδείξετε ότι: E = BΓ 2. (Άσκηση 2/Εμπέδωσης/Σελίδα 99) Εστω O το κέντρο ενός παραλληλογράμμου ABΓ. Αν E και Z είναι σημεία των OA και OΓ αντίστοιχα, ώστε OE = OZ, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο BE Z είναι παραλληλόγραμμο. 3. (Άσκηση 3/Εμπέδωσης/Σελίδα 99) Εστω E και Z τα μέσα των πλευρών AB και Γ αντίστοιχα, ενός παραλληλογράμμου ABΓ. Να αποδείξετε ότι: (αʹ) Το τετράπλευρο AEΓ Z είναι παραλληλόγραμμο. (βʹ) Οι ευθείες AΓ, B και EZ συντρέχουν. 25

26 4. (Άσκηση 1/Αποδεικτικές/Σελίδα 99) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABΓ και τυχαίο σημείο M της βάσης του BΓ. Από το M φέρνουμε Mx AB που τέμνει την AΓ στο σημείο E και My AΓ που τέμνει την AB στο σημείο. Να αποδείξετε ότι: M + ME = AB 5. (Άσκηση 3/Αποδεικτικές/Σελίδα 100) Δίνεται παραλληλόγραμμο ABΓ. Προεκτείνουμε την Γ κατά τμήμα Γ E = Γ και την A κατά τμήμα AZ = A. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Z, B και E είναι συνευθειακά. 6. (Άσκηση 4/Αποδεικτικές/Σελίδα 100) Δίνεται τρίγωνο ABΓ. Στις προεκτάσεις των διαμέσων του B και Γ E θεωρούμε σημεία H και Z αντίστοιχα, ώστε H = B και ZE = Γ E. Να αποδείξετε ότι: (αʹ) AH = AZ. (βʹ) Τα σημεία Z, A και H είναι συνευθειακά. 7. (Άσκηση 2/Σύνθετες/Σελίδα 100) Δίνεται παραλληλόγραμμο ABΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά AB κατά τμήμα BE = BΓ και επί της ημιευθείας A θεωρούμε σημείο Z ώστε Z = Γ. Να αποδείξετε ότι: Z ˆΓ E = 90 ΑΛΛΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8. Να υπολογίσετε τις γωνίες παραλληλογράμμου ABΓ αν γνωρίζετε ότι η γωνία ˆΓ είναι μεγαλύτερη από την γωνία ˆ κατά Δίνεται παραλληλόγραμμο ABΓ και τα μέσα K, Λ των πλευρών του Γ και BΓ αντίστοιχα. Προεκτείνουμε την AK προς το K και παίρνουμε τμήμα KZ = AK. Προεκτείνουμε την AΛ προς το Λ και παίρνουμε τμήμα ΛH = AΛ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο BHZ είναι παραλληλόγραμμο. 10. Θεωρούμε δύο ίσους κύκλους με κέντρα K και Λ οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο A. Θεωρούμε σημείο M στον έναν κύκλο και σημείο N στον άλλον κύκλο έτσι ώστε MÂN = 90. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο που ορίζουν τα σημεία K, Λ, M, N είναι παραλληλόγραμμο. 11. Στο παρακάτω σχήμα το ABΓ είναι παραλληλόγραμμο, E = Z και ZE = ZH. Αν ω = 20 και Â = 60, να υπολογίσετε τις γωνίες ZÊH και EẐH. 26

27 12. Σε παραλληλόγραμμο ABΓ θεωρούμε τα σημεία E, Z των πλευρών του AB και Γ αντίστοιχα ώστε AE = Γ Z και τα σημεία H, Θ των πλευρών του A και BΓ αντίστοιχα ώστε AH = Γ Θ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο EHZΘ είναι παραλληλόγραμμο. 13. Σε ένα παραλληλόγραμμο ABΓ με AB = 2BΓ θεωρούμε το μέσον E της πλευράς AB. Να αποδείξετε ότι: (αʹ) Η διχοτόμος της γωνίας ˆB διέρχεται από το μέσον του Γ E και της πλευράς Γ. (βʹ) Οι διχοτόμοι των γωνιών Â και ˆB τέμνονται κάθετα σε σημείο της Γ. 14. Θεωρούμε ένα παραλληλόγραμμο ABΓ. Στην πλευρά του AB θεωρούμε σημείο E και στην πλευρά του Γ θεωρούμε σημείο Z ώστε AE = Γ Z. Εστω H το μέσον του E και Θ το μέσον του BZ. Να αποδείξετε ότι: (αʹ) Τα τετράπλευρα AEΓ Z και EBZ είναι παραλληλόγραμμα. (βʹ) Το τετράπλευρο HEΘZ είναι παραλληλόγραμμο. (γʹ) Το τετράπλευρο AΘΓ H είναι παραλληλόγραμμο. 9.1 ΕΙΔΙΚΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ Ορθογώνιο λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει μία γωνία ορθή. Σε ένα ορθογώνιο ισχύουν: 1. Ολες οι γωνίες του είναι ορθές. 2. Οι διαγώνιοί του είναι ίσες. Ενα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο αν συμβαίνει ένα από τα παρακάτω: Είναι παραλληλόγραμμο και έχει μία ορθή γωνία. Είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του είναι ίσες. Εχει τρεις ορθές γωνίες. Ολες οι γωνίες του είναι ίσες. 27

28 9.1.2 ΡΟΜΒΟΣ Ρόμβος λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. Σε ένα ρόμβο ισχύουν: 1. Ολες οι πλευρές του είναι ίσες. 2. Οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα. 3. Οι διαγώνιοί του διχοτομούν τις γωνίες του. Ενα τετράπλευρο είναι ρόμβος αν συμβαίνει ένα από τα παρακάτω: Εχει όλες τις πλευρές του ίσες. Είναι παραλληλόγραμμο και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες. Είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα. Είναι παραλληλόγραμμο και μία διαγώνιός του διχοτομεί μία γωνία του ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ Τετράγωνο λέγεται το παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος. 28

29 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ 1. (Άσκηση 1/Εμπέδωσης/Σελίδα 103) Σε παραλληλόγραμμο ABΓ φέρνουμε AE Γ και Γ Z AB. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο AZΓ E είναι ορθογώνιο. 2. (Άσκηση 1/Αποδεικτικές/Σελίδα 104) Δίνεται τρίγωνο ABΓ, η διχοτόμος του B και το μέσον M της B. Από το φέρνουμε παράλληλη προς την BΓ που τέμνει την AB στο E. Η EM τέμνει την BΓ στο Z. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο EBZ είναι ρόμβος. 3. (Άσκηση 5/Εμπέδωσης/Σελίδα 103) Δίνεται ρόμβος ABΓ με κέντρο O. Θεωρούμε δύο σημεία E και Z της AΓ, ώστε: OE = OZ = OB = O Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο EBZ είναι τετράγωνο. 4. (Άσκηση 6/Εμπέδωσης/Σελίδα 103) Δίνεται τετράγωνο ABΓ. Στις πλευρές AB, BΓ, Γ, A παίρνουμε τα σημεία K, Λ, M, N αντίστοιχα, τέτοια ώστε: AK = BΛ = Γ M = N Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο KΛM N είναι τετράγωνο. 5. (Άσκηση 2/Αποδεικτικές/Σελίδα 104) Στις πλευρές AB και BΓ ενός τετραγώνου ABΓ θεωρούμε τα σημεία E και Z αντίστοιχα, ώστε AE = BZ. Να αποδείξετε ότι: (αʹ) AZ = E. (βʹ) AZ E. ΑΛΛΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6. Δίνεται παραλληλόγραμμο ABΓ. Από την κορυφή A φέρνουμε AZ BΓ και από την κορυφή Γ φέρνουμε Γ E A. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο AZΓ E είναι ορθογώνιο. 7. Θεωρούμε ορθογώνιο ABΓ. Οι διχοτόμοι των γωνιών του τέμνονται ανά δύο στα σημεία E, Z, H, Θ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο που ορίζουν αυτά τα σημεία είναι τετράγωνο. 8. Σε ένα τετράπλευρο ABΓ ισχύει ˆB + ˆ = 180. Οι φορείς των πλευρών A και BΓ τέμνονται στο σημείο E, ενώ οι φορείς των πλευρών AB και Γ τέμνονται στο σημείο Z. Οι διχοτόμοι των γωνιών Ê και Ẑ τέμνουν τις πλευρές του τετραπλεύρου στα σημεία K, Λ, M, N. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο που ορίζουν αυτά τα σημεία είναι ρόμβος. 9. Δίνεται ένας ρόμβος ABΓ. Με κέντρα τα σημεία A και Γ και ακτίνα ρ < AΓ 2 γράφουμε δύο κύκλους, από τους οποίους ο πρώτος τέμνει τις πλευρές AB και A στα σημεία E και Z αντίστοιχα, ενώ ο δεύτερος κύκλος τέμνει τις πλευρές BΓ και Γ στα σημεία Θ και H αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο EZHΘ είναι ορθογώνιο. 29

30 10. Εστω και E οι προβολές της κορυφής B ενός τριγώνου ABΓ στις διχοτόμους της γωνίας Â. Να αποδείξετε ότι: (αʹ) Το τετράπλευρο που ορίζουν τα σημεία A,, B, E είναι ορθογώνιο. (βʹ) Η ευθεία E διέρχεται από το μέσον της πλευράς AB και είναι παράλληλη προς την πλευρά BΓ. 11. Εστω παραλληλόγραμμο ABΓ. Προεκτείνουμε την διαγώνιο AΓ και προς τις δύο κατευθύνσεις και στις προεκτάσεις θεωρούμε σημεία E και H ώστε: AE = Γ H = B 2 Ομοια προεκτείνουμε την διαγώνιο B και προς τις δύο κατευθύνσεις και στις προεκτάσεις θεωρούμε σημεία Z και Θ ώστε: BZ = Θ = AΓ 2 Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο EZHΘ είναι ορθογώνιο. 12. Δίνεται παραλληλόγραμμο ABΓ. Να αποδείξετε ότι: (αʹ) Οι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών του τεμνόμενες ανά δύο σχηματίζουν ορθογώνιο. (βʹ) Οι διαγώνιοι του παραπάνω ορθογωνίου είναι παράλληλες προς τις πλευρές του παραλληλογράμμου. (γʹ) Το άθροισμα των διαγωνίων του ορθογωνίου είναι ίσο με την περίμετρο του παραλληλογράμμου. 9.2 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ 1. Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά του τριγώνου και ίσο με το μισό της. 2. Αν από το μέσον μίας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του τριγώνου, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται από το μέσον της τρίτης πλευράς του τριγώνου. 3. Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες ορίζουν σε μία ευθεία ίσα τμήματα, θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει. 4. Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. 5. Αν η διάμεσος ενός τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή. 6. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μία γωνία του ισούται με 30, τότε η απέναντι πλευρά του είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. 7. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μία κάθετη πλευρά είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας, τότε η απέναντι γωνία είναι ίση με

31 9.2.1 ΜΕΣΟΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΔΥΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από δύο παράλληλες ευθείες (ε 1 ) και (ε 2 ) είναι μία ευθεία παράλληλη στις ευθείες αυτές η οποία διέρχεται από τα μέσα των τμημάτων που έχουν τα άκρα τους στις δύο παράλληλες. Η ευθεία αυτή λέγεται μεσοπαράλληλη των (ε 1 ) και (ε 2 ). ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ 1. (Άσκηση 1/Εμπέδωσης/Σελίδα 111) Αν και E είναι τα μέσα των πλευρών AB και AΓ τριγώνου ABΓ και Z είναι τυχαίο σημείο της πλευράς BΓ, να αποδείξετε ότι η E διχοτομεί το AZ. 2. (Άσκηση 2/Εμπέδωσης/Σελίδα 111) Δίνεται τρίγωνο ABΓ και η διάμεσός του A. Αν E, Z και H είναι τα μέσα των B, A και AΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο EZH είναι παραλληλόγραμμο. 3. (Άσκηση 3/Εμπέδωσης/Σελίδα 111) Σε τρίγωνο ABΓ φέρνουμε τα ύψη B και Γ E. Αν M είναι το μέσον της BΓ, να αποδείξετε ότι: M = ME 4. (Άσκηση 4/Εμπέδωσης/Σελίδα 111) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABΓ με ˆB = 30. Αν E, Z είναι τα μέσα των AB και AΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: EZ = AΓ 5. (Άσκηση 2/Αποδεικτικές/Σελίδα 111) Δίνεται παραλληλόγραμμο ABΓ και τα μέσα E και Z των BΓ και Γ αντίστοιχα. Αν η EZ τέμνει την διαγώνιο AΓ στο σημείο H, να αποδείξετε ότι: Γ H = AΓ 4 6. (Άσκηση 1/Αποδεικτικές/Σελίδα 111) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABΓ και το ύψος του A. (αʹ) Αν E και Z είναι τα μέσα των AB και AΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: E ˆ Z = 90 (βʹ) Αν M είναι το μέσον του EZ, να αποδείξετε ότι: M = BΓ 4 7. (Άσκηση 9/Αποδεικτικές/Σελίδα 111) Δίνεται ορθογώνιο ABΓ και E, Z τα μέσα των AB και BΓ αντίστοιχα. Αν H, K είναι οι προβολές των κορυφών A και Γ στην διαγώνιο B αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι EH KZ. 8. (Άσκηση 1/Σύνθετες/Σελίδα 111) Σε τρίγωνο ABΓ με ˆB > ˆΓ φέρνουμε το ύψος του A. Αν E, Z είναι τα μέσα των AΓ και BΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: ÊZ = ˆB ˆΓ 31

32 9. (Άσκηση 5/Σύνθετες/Σελίδα 111) Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB < AΓ, η διχοτόμος του A και M το μέσον της BΓ. Αν E είναι η προβολή του B στην διχοτόμο A, να αποδείξετε ότι: (αʹ) EM AΓ. AΓ AB (βʹ) EM =. 2 (γʹ) ÊM = Â 2. ΑΛΛΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 10. Να αποδείξετε ότι τα μέσα των πλευρών ενός κυρτού τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου. 11. Δίνεται τρίγωνο ABΓ και ένα τυχαίο σημείο της πλευράς του BΓ. Από το φέρνουμε Z AB και E AΓ. Εστω H το μέσον του B και Θ το μέσον του Γ. Να αποδείξετε ότι: 2 (ZH + EΘ) = BΓ 12. Δίνεται ορθογώνιο και μη ισοσκελές τρίγωνο ABΓ και τα μέσα, E, Z των πλευρών BΓ, AΓ και AB αντίστοιχα. Φέρνουμε AH EZ και Θ EZ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο AH Θ είναι παραλληλόγραμμο. 13. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABΓ φέρνουμε A BΓ, E AB και Z AΓ. Η διάμεσος AM του τριγώνου τέμνει την Z στο σημείο H. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο BEZH είναι παραλληλόγραμμο. 14. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABΓ και τα μέσα K, Λ, M των πλευρών του AB, BΓ και AΓ αντίστοιχα. Εστω Π 1 η περίμετρος του τριγώνου ABΓ και Π 2 η περίμετρος του τετραπλεύρου AKΛM. Να αποδείξετε ότι: Π 1 = Π 2 + AΛ + KM 15. Δίνεται τετράγωνο ABΓ και τα σημεία E, Z των πλευρών του A και Γ αντίστοιχα ώστε AE = Z. Αν M, N είναι τα μέσα των EZ και BZ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: (αʹ) MN EZ. (βʹ) Το άθροισμα M + MN + Γ N ισούται με την ημιπερίμετρο του τριγώνου BEZ. (γʹ) Αν η MN προεκτεινόμενη τέμνει την πλευρά BΓ στο σημείο K, τότε KE = KZ. 16. Αν E, Z, H, Θ είναι τα μέσα των πλευρών AB, BΓ, Γ και A αντίστοιχα, ενός τετραπλεύρου ABΓ και K, Λ είναι τα μέσα των διαγωνίων του AΓ και B αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: (αʹ) Τα τετράπλευρα EKHΛ και ZKΘΛ είναι παραλληλόγραμμα. (βʹ) Οι ευθείες EH, ZΘ και KΛ συντρέχουν. 17. Θεωρούμε τρίγωνο ABΓ, το μέσον M της πλευράς του BΓ και την διχοτόμο (ε) της εξωτερικής του γωνίας στο A. Από το B φέρνουμε κάθετη στην (ε) που τέμνει την (ε) στο σημείο και την ευθεία AΓ στο σημείο E. Να αποδείξετε ότι: (αʹ) AB = AE. 32

33 (βʹ) M AΓ. AB + AΓ (γʹ) M = ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ 1. Οι τρεις μεσοκάθετοι των πλευρών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό λέγεται περίκεντρο του τριγώνου και είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, δηλαδή του κύκλου που διέρχεται από τις τρεις κορυφές του τριγώνου. 2. Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό λέγεται έγκεντρο του τριγώνου και είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, δηλαδή του κύκλου που εφάπτεται εσωτερικά στις τρεις πλευρές του τριγώνου. 3. Οι διχοτόμοι δύο εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου και η ημιευθεία που διχοτομεί την τρίτη γωνία του τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό λέγεται παράκεντρο του τριγώνου και είναι το κέντρο του παρεγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, δηλαδή του κύκλου που εφάπτεται στην μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτάσεις των δύο άλλων πλευρών του. 33

34 4. Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό λέγεται βαρύκεντρο του τριγώνου και απέχει από κάθε κορυφή του τριγώνου τα 2 3 του μήκους της αντίστοιχης διαμέσου. 5. Οι φορείς των υψών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό λέγεται ορθόκεντρο του τριγώνου. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ 1. (Άσκηση 4/Αποδεικτικές/Σελίδα 82) Από το έγκεντρο I ενός τριγώνου ABΓ φέρνουμε ευθεία παράλληλη προς την BΓ που τέμνει τις AB και AΓ στα σημεία και E αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: E = B + Γ E 34

35 2. (Άσκηση 6/Εμπέδωσης/Σελίδα 111) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABΓ. Προεκτείνουμε την Γ A κατά τυχαίο τμήμα A. Από το φέρνουμε H BΓ η οποία τέμνει την AB στο σημείο E. Να αποδείξετε ότι Γ E B. 3. (Άσκηση 4/Αποδεικτικές/Σελίδα 111) Αν E, Z είναι τα μέσα των πλευρών BΓ, Γ αντίστοιχα ενός παραλληλογράμμου ABΓ, να αποδείξετε ότι οι E και BZ τριχοτομούν την διαγώνιο AΓ. ΑΛΛΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABΓ και το ύψος του A. Από σημείο E της πλευράς AB φέρνουμε παράλληλη προς την BΓ που τέμνει το ύψος στο σημείο Z. Φέρνουμε κάθετη στην Γ Z στο σημείο Z που τέμνει την ευθεία AB στο σημείο H και στην συνέχεια από το σημείο Z φέρνουμε παράλληλη προς την AB που τέμνει τις πλευρές BΓ και AΓ στα σημεία M και N αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: (αʹ) Το σημείο Z είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου AMΓ. (βʹ) AH = BE. 5. Θεωρούμε κύκλο κέντρου O, μία χορδή του AB και ένα σημείο του Γ. Παίρνουμε ένα εσωτερικό σημείο της χορδής AB. Οι μεσοκάθετοι των τμημάτων A και Γ τέμνονται στο σημείο M. Να αποδείξετε ότι η ευθεία OM είναι η μεσοκάθετος του AΓ ΤΟ ΤΡΑΠΕΖΙΟ Τραπέζιο λέγεται το κυρτό τετράπλευρο που έχει μόνο δύο πλευρές παράλληλες. Οι παράλληλες πλευρές του τραπεζίου λέγονται βάσεις και το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του λέγεται διάμεσος του τραπεζίου. Ενα τραπέζιο του οποίου οι μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες λέγεται ισοσκελές τραπέζιο. 35

36 ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ 1. Η διάμεσος του τραπεζίου είναι παράλληλη στις βάσεις του τραπεζίου και ίση με το ημιάθροισμά τους. 2. Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των διαγωνίων ενός τραπεζίου ανήκει στον φορέα της διαμέσου του τραπεζίου και είναι ίσο με την ημιδιαφορά των βάσεων του τραπεζίου. 3. Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο οι γωνίες που πρόσκεινται σε μία βάση του είναι ίσες. 4. Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο οι διαγώνιες είναι ίσες. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ 1. (Άσκηση 2/Εμπέδωσης/Σελίδα 115) Αν, E είναι τα μέσα των πλευρών AB και AΓ αντίστοιχα ενός ισοσκελούς τριγώνου ABΓ, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο EΓ B είναι ισοσκελές τραπέζιο. 2. (Άσκηση 3/Εμπέδωσης/Σελίδα 115) Οι διαγώνιοι ισοσκελούς τραπεζίου ABΓ (AB Γ ) τέμνονται στο σημείο O. Αν E, Z, H, Θ είναι τα μέσα των OA, OB, OΓ, O αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο EZHΘ είναι ισοσκελές τραπέζιο. 3. (Άσκηση 4/Εμπέδωσης/Σελίδα 115) Δίνεται παραλληλόγραμμο ABΓ και το ύψος του AE. Αν K, Λ είναι τα μέσα των A και BΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο KΛΓ E είναι ισοσκελές τραπέζιο. 4. (Άσκηση 6/Εμπέδωσης/Σελίδα 115) Από την κορυφή A τριγώνου ABΓ φέρνουμε ευθεία (ε) που δεν τέμνει το τρίγωνο και έστω BB και Γ Γ οι αποστάσεις των B και Γ από την ευθεία (ε). Αν M είναι το μέσον του B Γ και K είναι το μέσον της διαμέσου A, να αποδείξετε ότι: MK = A 2 5. (Άσκηση 3/Αποδεικτικές/Σελίδα 115) Δίνεται τραπέζιο ABΓ με Â = ˆ = 90 και ˆB = 120. Αν AB = 2a και BΓ = a, να υπολογίσετε συναρτήσει του a την διάμεσο EZ του τραπεζίου. 6. (Άσκηση 4/Αποδεικτικές/Σελίδα 115) Σε ένα τραπέζιο ABΓ η μία από τις μη παράλληλες πλευρές του A είναι ίση με το άθροισμα των βάσεών του. Αν M είναι το μέσον της BΓ, να αποδείξετε ότι: A ˆM = (Άσκηση 10/Αποδεικτικές/Σελίδα 115) Αν A, B, Γ,, K είναι οι προβολές των κορυφών και του κέντρου K παραλληλογράμμου ABΓ αντίστοιχα σε ευθεία (ε) που αφήνει όλες τις κορυφές του προς το ίδιο μέρος της, να αποδείξετε ότι: AA + BB + Γ Γ + = 4KK 36

37 10 ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ 10.1 ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ Δίνεται μία κυρτή γωνία xây και ένας κύκλος (O, ρ). Αν η κορυφή A της γωνίας είναι σημείο του κύκλου και οι πλευρές της είναι τέμνουσες του κύκλου, τότε η γωνία λέγεται εγγεγραμμένη γωνία στον κύκλο. Το τόξο που περιέχεται στην εγγεγραμμένη γωνία λέγεται αντίστοιχο τόξο της ή λέμε ότι η γωνία βαίνει στο τόξο αυτό. Αν η κορυφή A της γωνίας είναι σημείο του κύκλου, η μία της πλευρά είναι τέμνουσα του κύκλου και η άλλη πλευρά της είναι εφαπτομένη του κύκλου, τότε η γωνία λέγεται γωνία χορδής και εφαπτομένης. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ 1. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο. 37

38 2. Το μέτρο μίας εγγεγραμμένης γωνίας ισούται με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της. 3. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. 4. Εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο ή σε ίσα τόξα ενός κύκλου είναι ίσες και αντίστροφα. 5. Η γωνία που σχηματίζεται από μία χορδή κύκλου και την εφαπτομένη του κύκλου στο άκρο της χορδής ισούται με την εγγεγραμμένη γωνία του κύκλου που βαίνει στο τόξο της χορδής αυτής. 6. Ισχύουν: 38

39 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ 1. (Άσκηση 2/Αποδεικτικές/Σελίδα 130) Δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία A και B. Αν Γ και είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία του A στους δύο κύκλους, να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ διέρχεται από το B. 2. (Άσκηση 3/Αποδεικτικές/Σελίδα 130) Δύο κάθετες χορδές AB, Γ ενός κύκλου κέντρου O τέμνονται στο σημείο P. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος P M του τριγώνου P BΓ είναι κάθετη στην A. 3. (Άσκηση 1/Σύνθετες/Σελίδα 130) Δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο A και δύο ευθείες (ε 1 ) και (ε 2 ) που διέρχονται από το A τέμνουν τον ένα κύκλο στα σημεία B, B και τον άλλον στα σημεία Γ, Γ. Να αποδείξετε ότι BB Γ Γ. 4. (Άσκηση 2/Σύνθετες/Σελίδα 130) Δύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά στο σημείο A. Μία χορδή BΓ του μεγαλύτερου κύκλου εφάπτεται στον μικρότερο κύκλο στο σημείο. Να αποδείξετε ότι η A διχοτομεί την γωνία BÂΓ. ΑΛΛΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5. Σε κύκλο διαμέτρου AB θεωρούμε χορδή AΓ ώστε Γ ÂB = 30. Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Γ τέμνει την ευθεία AB στο σημείο. Να αποδείξετε ότι: (αʹ) το τρίγωνο Γ A είναι ισοσκελές. (βʹ) AB = 2B. 6. Δίνεται τρίγωνο ABΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο O. Η διχοτόμος της γωνίας Â τέμνει τον κύκλο στο σημείο και η διχοτόμος της γωνίας ˆB τέμνει την A στο σημείο E. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο EB είναι ισοσκελές. 7. Θεωρούμε ημικύκλιο διαμέτρου AB και ένα εσωτερικό του σημείο Γ. Φέρνουμε Γ AB. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες του κύκλου (Γ, Γ ) που άγονται από τα σημεία A και B είναι παράλληλες. 39

40 8. Θεωρούμε κύκλο με κέντρο O, μία επίκεντρη γωνία του AÔB = 120 και μία εγγεγραμμένη γωνία του Γ ˆ E ίση με την AÔB. Να αποδείξετε ότι: AB = Γ E 9. Θεωρούμε ημικύκλιο διαμέτρου AB και κέντρου O. Φέρνουμε την ακτίνα OΓ AB και παίρνουμε δύο σημεία M και N του τόξου BΓ με Γ M = BN όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Οι ευθείες Γ M και BN τέμνονται στο σημείο. Να αποδείξετε ότι η ευθεία O είναι μεσοκάθετος του MN. 10. Οι κορυφές ενός τραπεζίου ABΓ με AB Γ είναι σημεία ενός κύκλου. Να αποδείξετε ότι η γωνία των εφαπτομένων του κύκλου στα σημεία A και Γ είναι ίση με την γωνία των ευθειών A και BΓ. 11. Ενα τρίγωνο ABΓ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Οι εφαπτομένες του κύκλου στα σημεία B και Γ τέμνονται στο σημείο. Η παράλληλη από το προς την εφαπτομένη του κύκλου στο A τέμνει τις ευθείες AB και AΓ στα σημεία E και Z αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το είναι το μέσον του EZ. 12. Οι διχοτόμοι των γωνιών ˆB και ˆΓ τριγώνου ABΓ τέμνονται στο σημείο I και τέμνουν τον περιγεγραμμένο του κύκλο στα σημεία και E αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι η ευθεία E είναι η μεσοκάθετος του τμήματος AI ΤΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ Ενα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραμμένο σε κύκλο αν οι κορυφές του είναι σημεία του κύκλου. Ο κύκλος στον οποίο είναι εγγεγραμμένο ένα τετράπλευρο λέγεται περιγεγραμμένος κύκλος του τετραπλεύρου. 40

41 Ενα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιμο όταν μπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται και από τις τέσσερις κορυφές του. Ενα τετράπλευρο που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο έχει τις παρακάτω ιδιότητες: Οι απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές. Κάθε εξωτερική του γωνία ισούται με την απέναντι εσωτερική του γωνία. Κάθε πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές του υπό ίσες γωνίες. 41

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το μισό

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα ενώνουν. Τα τρία σημεία αυτά λέγονται κορυφές του τριγώνου.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x 1. Οι Πρωταρχικές Γεωμετρικές Έννοιες Σημείο Γραμμή Δεν έχει διαστάσεις!! Υπάρχει μόνο στο μυαλό μας. Συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή αποτελείται από άπειρα σημεία. Ευθεία Δεν είναι εύκολο

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου ο Θέμα Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (14/11/014) Θέματα ης Ομάδας GI_V_GEO 18975 Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΙΑ ΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 2 και 3

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΙΑ ΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 2 και 3 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ Ι Τ ΚΦΛΙ και 3 1. Τι λέμε κυρτή γωνία, μη κυρτή γωνία, διχοτόμο γωνίας, κάθετες ευθείες. προβολή ή ίχνος σημείου σε ευθεία;. Πότε δύο σημεία λέγονται συμμετρικά ως προς ευθεία; 3. Τι λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες. Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1) Οι οξείες

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Η παρούσα σύνοψη παρουσιάζει τις προτάσεις του σχολικού βιβλίου που διδάχτηκαν την φετινή χρονιά,συνοπτικά δίχως αποδείξεις και με διαφορετική σειρά

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

Α λ γ ε β ρ Λ υ κ ε ι ο υ Γ ε ω μ ε τ ρ ι α Α Λ υ κ ε ι ο υ

Α λ γ ε β ρ Λ υ κ ε ι ο υ Γ ε ω μ ε τ ρ ι α Α Λ υ κ ε ι ο υ Κ Κ α α ι ι τ τ ο ο Λ Λ υ υ σ σ α α ρ ρ ι ι............ λ λ λ λ ι ι ω ς ς!!!!!! λ γ ε β ρ Λ υ κ ε ι ο υ ε ω μ ε τ ρ ι α Λ υ κ ε ι ο υ π ι μ ε λ ε ι α Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς w w w. d r m a t h s

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα 1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΠΤΙΣ ΣΣΙΣ > 90. 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε = και 0 πό την κορυφή φέρνουµε τις ηµιευθείες x κάθετη στην πλευρά και y κάθετη στην πλευρά που τέµνουν την στα σηµεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε α)

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr.

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 14 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 Έλυσαν οι Δημήτρης Ιωάννου, Γιώργος Βισβίκης, Μπάμπης Στεργίου, Χρήστος Κάναβης, Γιώργης Καλαθάκης, Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης,

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και ΔΙΩΝΙΣΜ 1 Ο ΘΕΜ 1 Ο : ) Να αποδείξετε ότι : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα τα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της.(13 μονάδες) ) Να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd..0 σκήσεις σχολικού βιβλίου (σελ. 3 4) ρωτήσεις Κατανόησης. ύο διαφορετικές ευθείες μπορεί να έχουν i) κανένα κοινό σημείο ii) Ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ω μ ε τ ρ ι α. A Λ υ κ ε ι ο υ. Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

Γ ε ω μ ε τ ρ ι α. A Λ υ κ ε ι ο υ. Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς ε ω μ ε τ ρ ι α A Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς ε ω μ ε τ ρ ι α A Λ υ κ ε ι ο υ ασικα εωμετρικα Σχηματα Τριγωνα Παραλληλες Ευθειες Παραλληλογραμμα - Τραπεζια Εγγεγραμμενα

Διαβάστε περισσότερα

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια εωµετρία τάξης ενικού υκείου ΩΝΙΕΣ ρισµός: Έστω χ και ψ δύο ηµιευθείες που δεν έχουν κοινό φορέα και έστω p το ηµιεπίπεδο που έχει ακµή τον φορέα της Oχ και περιέχει την ψ και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 o ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 o ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΚΕΦΛΙΟ 2 o Τ ΣΙΚ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ Πρωταρχικές έννοιες Όπως τα αντιλαμβανόμαστε : Σημείο, Ευθεία, Επίπεδο. ξιώματα προτάσεις που τις αποδεχόμαστε χωρίς απόδειξη. αξίωμα: πό δυο διαφορετικά σημεία του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (Τελευταία ενηµέρωση: Νοέµβριος 2016) Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη Περιεχόµενα 1 Αναλογίες 2 1.1 Το ϑεώρηµα του Θαλή.......................... 2 1.2 Τα ϑεωρήµατα των διχοτόµων......................

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ. Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ. Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ; ΚΦΛΙΟ 4ο ΠΡΛΛΗΛΣ ΥΘΙΣ Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ; Οι σχετικές θέσεις δυο ευθειών ε και ε, οι οποίες βρίσκονται στο ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια: xr.

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια: xr. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 14 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 Έλυσαν οι Δημήτρης Ιωάννου, Γιώργος Βισβίκης, Μπάμπης Στεργίου, Χρήστος Κάναβης, Γιώργης Καλαθάκης, Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου αν α = ρ η ε λέγεται τέμνουσα του

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλες Ευθείες. Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός)

Παράλληλες Ευθείες. Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός) Παράλληλες Ευθείες Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 4.1 Εισαγωγή 2 ΟΡΙΣΜΟΣ Δυο ευθείες ε 1 και ε 2 που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινό σημείο λέγονται παράλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων εωμετρία και Λυκείου ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜA Ορισμός Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, όταν // και //. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2013 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΩΝ ΑΝΑΡΓΥΡΩΝ ΤΑΞΗ Α ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ B Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Βασικές Γεωμετρικές ένοιες Τάξη : A Γυμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A 1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ. Στοιχεία και είδη τριγώνων. Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ. Στοιχεία και είδη τριγώνων. Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ; ΚΕΦΛΙΟ 3ο ΤΡΙΩΝ Στοιχεία και είδη τριγώνων Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο ΥΣΕΙΣ ΙΩΝΙΣΜΤΣ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜ 1 ο ) Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή ως λάθος () καθεµία από τις επόµενες προτάσεις. ύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, όταν οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες.

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. Μαθηματικά A Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. 1. Τι λέμε σημείο; Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας, μας δίνουν την έννοια του σημείου. 2. Τι λέμε

Διαβάστε περισσότερα

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M Απαντήσεις 51 5. Εφαρµογές των παραλληλογράµµων α Εφαρµογές στα τρίγωνα α.1 Στο τρίγωνο AB Γ είναι Ε // (1) Επίσης Ζ, ΕΗ, άρα Ζ // ΕΗ () Από τις (1), () έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. α. Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 212-213 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr.

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr. http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=14&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 14 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=14&t=44444 Έλυσαν

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. 6.5 6.6 ΘΩΡΙ. Ορισµοί Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 5.0 5. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης σελίδας 4. Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση + 0 Στο σχήµα (α) το

Διαβάστε περισσότερα

Δύο ημιευθείες OX, OY με κοινό άκρο O, χωρίζουν το επίπεδο σε δύο μέρη και ορίζουν μία κυρτή γωνία ή απλά γωνία και μία μη κυρτή γωνία.

Δύο ημιευθείες OX, OY με κοινό άκρο O, χωρίζουν το επίπεδο σε δύο μέρη και ορίζουν μία κυρτή γωνία ή απλά γωνία και μία μη κυρτή γωνία. ΜΑΘΗΜΑ 2 Δύο ημιευθείες OX, OY με κοινό άκρο O, χωρίζουν το επίπεδο σε δύο μέρη και ορίζουν μία κυρτή γωνία ή απλά γωνία και μία μη κυρτή γωνία. Κυρτή γωνία ή απλά γωνία λέγεται το σχήμα που συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα

3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα 3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα 4 η διδακτική ενότητα : Ισότητα τριγώνων Ερωτήσεις κατανόησης 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις : α) Υπάρχουν σημεία του επιπέδου που

Διαβάστε περισσότερα

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ. Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Κύρια στοιχεία τριγώνου. Σκεφτόμαστε. Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων. Όχι κάθετες πλευρές

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ. Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Κύρια στοιχεία τριγώνου. Σκεφτόμαστε. Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων. Όχι κάθετες πλευρές - 218 - Μέρος Kεφάλαιο 3 ο - Τρίγωνα - Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Κύρια στοιχεία τριγώνου κορυφή Κάθε τρίγωνο έχει τρεις κορυφές,,, τρεις πλευρές,,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Α) Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο,

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ.  Α) Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο, ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο Α) Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο : Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Κεφάλαιο 1 ο : Βασικές Γεωμετρικές έννοιες 17 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑΣ Κεφάλαιο 1 ο : Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Β. 1. 1 81. Τι ονομάζεται ευθεία και ποιες προτάσεις αναφέρονται σ αυτή; Ονομάζεται ευθεία το σχήμα που προκύπτει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα