Vremenski nesklad između odlomaka 31. poglavlja De administrando imperio

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Vremenski nesklad između odlomaka 31. poglavlja De administrando imperio"

Transcript

1 Milenko Lončar ISSN X UDK 94(497.5) 08/09 (093) RADOVI Zavod za hrvatsku povijest Konstantinos Porphyrogennetos Vol. 42, Zagreb Prethodno priopćenje Vremenski nesklad između odlomaka 31. poglavlja De administrando imperio Priča o svetom čovjeku Martinu vremenski se određuje prema Trpimiru, sinu arhonta Krešimira. Obično se vladari navode po ocu, no ovdje je očigledno riječ o tome da je Krešimir aktualan, suvremeni vladar, pa se događaj iz prošlosti zato definira po njemu, po njegovoj vezi s tadašnjim vladarom. Da je to istina, potvrđuje i naknadni odlomak o slabljenju hrvatske vojske, gdje se kaže da je Hrvatska raspolagala golemom silom upravo do Krešimira. Time se gotovo izrijekom pokazuje da prethodni odlomak o samoj toj vojnoj efektivi, a onda zacijelo i ostale vijesti, potječu iz Krešimirova vremena, iz oko godine. Problem je, međutim, odlomak o hrvatsko-bugarskim odnosima. Tu je kazano da Bugari nikada nisu išli u rat protiv Hrvata, osim jednom kad je bugarski vladar Mihael Boris ( ) bio navalio, ali ne mogavši ništa učiniti izmirio se s Hrvatima. Ne spominje se napad Simeunove vojske na Hrvatsku iz oko 925, o čemu se obavijest inače nalazi tek u 32. poglavlju. To bi značilo da je odlomak o odnosima Hrvata i Bugara stariji od Tomislavova vremena, a onda je i datacija upitna. Prilog će pokušati iznijeti moguća tumačenja. Poglavlje 31. De administrando imperio sastavljeno je od osam odlomaka, od kojih svaki obrađuje jednu temu. Ako im nadjenemo naslove, to bi moglo izgledati ovako: 1. Origo gentis Croatorum (31/3-25), 2. Prvotna pripadnost Hrvatske (26-30), 3. Miroljubivost Hrvata (31-57), 4. Hrvati i Bugari (58-67), 5. Gradovi (68-70), 6. Vojna snaga (71-74), 7. Slabljenje vojne snage (75-82) 8. Velika Hrvatska (83-92). 1 Svi odlomci počinju izričnim veznikom da. Jasno su, dakle, odvojeni jedan od drugoga formalno i sadržajno. Ovdje želimo ispitati vrijeme kad su mogli biti zabilježeni bilo u samom djelu, bilo u njegovu izvoru. 1 Prema: LONČAR 2002,

2 RADOVI - Zavod za hrvatsku povijest, vol. 42, str Vrijeme pisanja naznačeno je na četirima mjestima u spisu, u 27. i 29. poglavlju to je 948/949. godina, u /951. i u /952. godina. 2 Uvjerljiv je Jenkinsov zaključak kako su sva dalmatinska poglavlja najvećim dijelom napisana 948/949. godine, kako stoji u dubrovačkom odlomku ( ). Izuzetak bi bili: čitav srednji dio 29. poglavlja o Bazilijevoj intervenciji u Jadranu ( ), 30. poglavlje, 3 odlomak o slabljenju hrvatske vojske u 31., dio o srpskom knezu Časlavu u 32. poglavlju ( ) i bilješka o zahumskom knezu Mihaelu u 33. ( ). 4 Jenkinsova teorija govori, naime, o dva sloja gradiva u De administrando imperio, starijem antikvarnom i mlađem političkom. Ti noviji dodaci ušli bi u djelo nakon 951. godine, kad ga je Konstantin odlučio prenamijeniti iz historiografsko-etnografskog u praktičan politički priručnik. 5 Međutim, vrijeme pisanja knjige nije isto što i vrijeme nastanka izvora. Kronološki je indikativan četvrti odlomak 31. poglavlja, o hrvatsko-bugarskim odnosima. Da je vladar Hrovata od početka, tj. od carevanja cara Heraklija, kao sluga podređen rimskom caru, a nikada nije bio podređen bulgarskom vladaru. Ali niti Bulgar pođe u rat protiv Hrovatâ, osim što je vladar Bulgarije Mihael Boris bio pošao na njih i zaratio i ne uzmogavši ništa postići izmirio se s njima, obdarivši Hrovate i obdaren od Hrovata. Ali niti su ikada ti Hrvati Bulgarima davali pakt, osim što su oboji često međusobno pružili neke gostinske darove u znak prijateljskih odnosa. 6 Vijest je morala nastati prije sredine dvadesetih godina 10. stoljeća, zato što ne zna za poraz Simeunove vojske od Hrvata oko 925, zabilježen tek u 32. poglavlju o Srbima ( ). Stoga je vjerojatno da nije dobivena iz hrvatskih izvora. Postavlja se pitanje ima li u hrvatskom poglavlju još vijesti iz istog vremena. Da nisu sve zapisane odjednom, najjasnije je vidljivo na primjeru odlomaka o velikoj hrvatskoj vojnoj snazi i o njezinu slabljenju, kako je tridesetih godina prošlog stoljeća upozorio Macartney: 7 2 DAI , , , (svi grčki navodi prema: MORAVCSIK 1967, op. ur.). Ta mjesta spominje JENKINS 1962, 5. 3 Opširnije o problemu i literaturi: LONČAR 2002, i drugdje. 4 JENKINS 1962, JENKINS 1962, MORAVCSIK 1967, 150. Ὅτι ὁ ἄρχων Χρωβατίας ἐξ ἀρχῆς, ἤγουν ἀπὸ τῆς βασιλείας Ἡρακλείου τοῦ βασιλέως, δουλικῶς ἐστιν ὑποτεταγμένος τῷ βασιλεῖ Ῥωμαίων, καὶ οὐδέποτε τῷ ἄρχοντι Βουλγαρίας καθυπετάγη. Ἀλλ (60) οὐδὲ Βούλγαρος ἀπῆλθεν πρὸς πόλεμον κατὰ τῶν Χρωβάτων, εἰ μὴ Μιχαήλ, ὁ ἄρχων Βουλγαρίας, ὁ Βορίσης, ἀπελθὼν καὶ πολεμήσας αὐτοῖς καὶ μηδὲν ἀνύσαι δυνηθεὶς εἰρήνευσε μετ αὐτῶν, ξενιάσας τοὺς Χρωβάτους καὶ ξενιασθεὶς παρὰ τῶν Χρωβάτων. Ἀλλ οὐδὲ πώποτε οἱ Χρωβάτοι οὗτοι τοῖς Βουλγάροις πάκτον δεδώκασιν, εἰ μὴ (65) πολλάκις ἀμφότεροι ξένιά τινα πρὸς ἀλλήλους παρέσχον φιλοφρονήσεως ἕνεκα. Prijevod prema LONČAR 2002, JENKINS 1962,

3 Milenko Lončar - Vremenski nesklad između odlomaka 31. poglavlja De administrando imperio Da krštena Hrovatija podiže konjaništva do 60 tisuća, a pješaštva do 100 tisuća, sagenâ do 80 i kondurâ do 100. I sagene imaju po 40 ljudi, kondure po 20 ljudi, a manje kondure po 10 ljudi. Da tako veliku silu i to mnoštvo ljudstva Hrovatija imaše do vladara Krasemera. I kad on preminu, a sin mu Mirostlav zavlada četiri ljeta i bi smaknut od bana Pribunije, i kad nastaše u zemlji raskoli i mnogi razdori, smanji se konjaništvo i pješaštvo i sagene i kondure hrvatske države. Odskora pak ima 30 sagena, kondura velikih i malih * * * i konjaništva * * * i pješaštva * * *. 8 Prvi odlomak predstavlja se kao autorova sadašnjost, dok se u drugom govori da je to stanje već prošlo, i da postoji novo, koje je drugačije. Očigledno je, dakle, da je drugi odlomak zapisan najmanje četiri godine nakon prvoga. Ta relativna kronologija poduprta je datacijom prema vladaru Krešimiru i njegovu sinu Miroslavu; pribrojiti im se može i ban Pribina, premda njegov spomen nije u formi iskazivanja datuma. S odlomcima o vojsci u izravnoj su vezi priča o svetom čovjeku Martinu i odlomak o Velikoj Hrvatskoj. Hrvatska se pradomovina, naime, uspoređuje u vojnom potencijalu s Pokrštenom Hrvatskom. Da je Velika Hrovatija, imenovana i Bijela, nekrštena do danas, kao i bližeći joj se Serbli. Podižu pak manje konjaništva, a slično i pješaštva od Krštene Hrovatije, jer su češće pljačkani od Franaka, Turaka i Pacinakita. Ali nisu stekli ni sagene ni kondure niti trgovačka plovila, jer je more daleko; odanle naime do mora put je od 30 dana. A more, na koje silaze za 30 dana, jest ono zvano Tamno. 9 Nije sasvim sigurno s kojim se stanjem odmjerava, s onim iz Krešimirova vremena ili iz vremena bana Pribine, no logičnije je pretpostaviti da je posrijedi Hrvatska u punoj snazi, nego oslabljena, budući da bi se usporedba u tom slučaju odnosila na prazne rubrike (osim one o sagenama). Stoga odlomak o Bijeloj Hrvatskoj treba smatrati istovremenim s odlomkom o hrvatskoj vojnoj snazi. 8 MORAVCSIK 1967, 150. Ὅτι ἡ βαπτισμένη Χρωβατία ἐκβάλλει καβαλλαρικὸν ἕως τῶν ξʹ χιλιάδων, πεζικὸν δὲ ἕως χιλιάδων ρʹ καὶ σαγήνας μέχρι τῶν πʹ καὶ κονδούρας μέχρι τῶν ρʹ. Καὶ αἱ μὲν σαγῆναι ἔχουσιν ἀνὰ ἀνδρῶν μʹ, αἱ δὲ κονδοῦραι ἀνὰ ἀνδρῶν κʹ, αἱ δὲ μικρότεραι κονδοῦραι ἀνὰ ἀνδρῶν ιʹ. Ὅτι τὴν πολλὴν ταύτην δύναμιν καὶ τὸ τοῦ λαοῦ πλῆθος εἶχεν ἡ Χρωβατία μέχρι τοῦ ἄρχοντος Κρασημέρη. Κἀκείνου μὲν τελευτήσαντος, τοῦ δὲ υἱοῦ αὐτοῦ, Μιροσθλάβου ἄρξαντος ἔτη τέσσαρα καὶ ὑπὸ τοῦ Πριβουνία βοεάνου ἀναιρεθέντος, καὶ διχονοιῶν καὶ πολλῶν διχοστασιῶν εἰς τὴν χώραν γενομένων, ἠλάττωται καὶ τὸ καβαλλαρικὸν καὶ τὸ πεζικὸν καὶ αἱ σαγῆναι καὶ αἱ κονδοῦραι τῆς ἐξουσίας τῶν Χρωβάτων. Ἀρτίως δὲ ἔχει σαγήνας λʹ, κονδούρας μεγάλας καὶ μικρὰς *** καὶ καβαλλαρικὸν *** καὶ πεζικὸν ***. Prijevod prema LONČAR 2002, 494 i MORAVCSIK 1967, 152. Ὅτι ἡ μεγάλη Χρωβατία, ἡ καὶ ἄσπρη ἐπονομαζομένη, ἀβάπτιστος τυγχάνει μέχρι τῆς σήμερον, καθὼς καὶ οἱ πλησιάζοντες αὐτὴν Σέρβλοι. Ὀλιγώτερον δὲ καβαλλαρικὸν ἐκβάλλουσιν, ὁμοίως καὶ πεζικὸν παρὰ τὴν βαπτισμένην Χρωβατίαν, ὡς συνεχέστερον πραιδευόμενοι παρά τε τῶν Φράγγων καὶ Τούρκων καὶ Πατζινακιτῶν. Ἀλλ οὐδὲ σαγήνας κέκτηνται, οὔτε κονδούρας, οὔτε ἐμπορευτικὰ πλοῖα, ὡς μήκοθεν οὔσης κέκτηνται, οὔτε κονδούρας, οὔτε ἐμπορευτικὰ πλοῖα, ὡς μήκοθεν οὔσης τῆς θαλάσσης ἀπὸ γὰρ τῶν ἐκεῖσε μέχρι τῆς θαλάσσης ὁδός ἐστιν ἡμερῶν λ'. Ἡ δὲ θάλασσα, εἰς ἣν διὰ τῶν λ' ἡμερῶν κατέρχονται, ἐστὶν ἡ λεγομένη σκοτεινή. Prijevod prema LONČAR 2002, 501, opširniji komentar

4 RADOVI - Zavod za hrvatsku povijest, vol. 42, str Pripovijest, pak, o Martinovoj misiji iz odlomka o miroljubivosti Hrvata povezana je s odlomkom o slabljenju vojske preko Krešimira. Martinov je dolazak, naime, smješten u dane vladara Trpimira, oca vladara Krešimira. 10 No, interpretacije o kojem je tu vremenu riječ i o kojim vladarima, nisu ni izdaleka složne. Tako je Klaić bio uveo podjelu na dva Krešimira. Prvi bi bio sin kneza Trpimira iz sredine 9. stoljeća, u čije vrijeme bi se Martinova misija bolje uklapala. Drugi bi bio Tomislavov nasljednik, Miroslavljev otac. 11 Takva pretpostavka međutim proturječi pripovijedanju 31. poglavlja, iz kojega proizlazi da je posrijedi ista osoba. Runciman je pak obnovio Farlatijevu kronologiju, po kojoj su Krešimir, Miroslav i Pribina bili na sceni između Mutimira i Tomislava, krajem 9. i početkom 10. stoljeća. Tako bi se riješio problem nespominjanja neuspješnog bugarskog napada, nespominjanje Tomislava i problem iz drugih izvora nepotvrđenog Trpimira II. 12 Slabosti su te kronologije, po Dvorniku, nevjerojatno velika vojska prije Tomislava i pitanje Bosne, koja je po Šišiću bila hrvatska do sredine 10. stoljeća. 13 Mišljenju Račkoga i Šišića, da su Trpimir i Krešimir Tomislavovi nasljednici, Dvornik upućuje prigovor kako se o Trpimiru II. ne zna ništa i kako nije vjerojatno da su između 928. i 949. u Hrvatskoj vladali djed, otac i sin. 14 No, ako se usporedi razmak od deset godina između smrti djeda Trpimira (935.) i početka vladanja unuka Miroslava (945.) s popisom bizantskih vladara, vidi se da to nije nemoguće, jer je npr. između smrti Mihaela II (829.) i stupanja na prijestolje njegova unuka Mihaela III. (842.) prošlo trinaest godina, a između smrti Konstantina V. (775.) i početka vlasti njegova, doduše desetogodišnjeg, unuka Konstantina VI. (780.), samo pet godina. 15 Manojlović je problem Trpimira II. riješio tako što ga je izjednačio s Tomislavom, a čitav odlomak o hrvatskoj mirotvornoj politici uklopio u vrijeme splitskih sabora i pomirbe Carigrada i Rima. 16 Njemu je Dvornik uputio prigovor kako nema traga tomu da je Tomislav imao dva imena, i suprotstavio mu Klaićevo mišljenje da su događaji u 31. poglavlju poredani kronološkim redom, da su dakle Trpimir i Krešimir stariji od spomena bugarskog vladara Borisa u sljedećem odlomku. 17 To, međutim, ne mora biti presudan argument, jer je po svemu sudeći i odlomak o slabljenju vojske mlađi od onoga o Bijeloj Hrvatskoj, premda se nalazi ispred njega. 10 MORAVCSIK 1967, 148 (DAI ) ἐν ταῖς ἡμέραις Τερπημέρη τοῦ ἄρχοντος, τοῦ πατρὸς τοῦ ἄρχοντος Κρασημέρη. 11 KLAIĆ 1925, JENKINS 1962, JENKINS 1962, JENKINS 1962, Prema OSTROGORSKI 1959, MANOJLOVIĆ 1925, ix i d. 17 JENKINS 1962,

5 Milenko Lončar - Vremenski nesklad između odlomaka 31. poglavlja De administrando imperio Sam Dvornik na kraju kao alternativu spominje Jenkinsovu pretpostavku o slojevima. Ali ni ona, premda u cjelini genijalno tumači nastanak spisa, na našem slučaju ne razrješuje sve poteškoće. Po našem mišljenju, Trpimirov sin Krešimir mora biti isti onaj koji je imao moćnu vojsku i bio otac Miroslavu. 18 Barem nam autor to sugerira, navodeći dva puta isto ime bez napomene o razlici, kako je bio zaključio već Gavro Manojlović. 19 I još važnije, Trpimir se pobliže određuje ne svojim ocem, kakav je inače običaj, 20 nego sinom, slično kao što se i Klonimir u 32. poglavlju definira pomoću sina Časlava, aktualnoga srpskog vladara (DAI ). 21 Donekle je također usporediv primjer datiranja hrvatskog dolaska za vrijeme Porgina oca i krštenja za vrijeme Porge (DAI ). 22 Očigledno je da se prethodna i manje poznata datacija ravna prema novijoj i poznatijoj. Po svemu sudeći, riječ je dakle o jednom Krešimiru. Teže je kazati sa sigurnošću kad je anegdota o Martinu ispripovijedana, u vrijeme Trpimira, Krešimira ili možda i nakon njega. U Trpimirovo vrijeme zacijelo ipak ne, zbog načina na koji je događaj prepričan: Hrvati govore (sadašnjost) da je Martin učinio mnoga čuda... da je preporučio, itd. To je već i Hauptmann tvrdio. 23 Najvjerojatnije je vrijeme samog Krešimira, jer on je ta sadašnjost. Kad je postao prošlost, to nam je tek naknadno priopćeno. Opis Martinova dolaska u Hrvatsku ne zaprema čitav odlomak, nego samo drugu polovicu. Prva izvješćuje o ugovoru o nenapadanju koji su Hrvati sklopili s papom, s istim onim preko kojega ih je Heraklije dao pokrstiti. Da ti Kršteni Hrovati izvan svoje vlastite zemlje ne žele ratovati s tuđim; neko naime proroštvo i određenje primiše od rimskog pape iz vremena rimskog cara Heraklija koji posla svećenike i njih pokrsti. I naime nakon što su bili kršteni, ti Hrovati učiniše vlastoručne ugovore te čvrste i nepokolebljive prisege svetom Petru apostolu, da nikada neće otići u tuđu zemlju i zaratiti, nego radije živjeti u miru sa svima koji hoće, dobivši od istoga rimskog pape ovakvu molitvu, da ako neki drugi narodi pođu na zemlju istih Hrovata i nametnu rat, neka pred Hrovatima Bog ratuje i stoji, i pobjede im pribavlja Petar, Kristov učenik. A poslije mnogo godina, u dane vladara Terpemera, oca vladara Krasemera, došavši iz Frangije, one između Hrovatije i Venetije, neki muž od onih posve bogobojaznih, imenom Martin, obučen pak u svjetovnu nošnju, i za kojega go- 18 Usp. LONČAR 2002, MANOJLOVIĆ 1925, lvi-lviii. 20 Npr. DAI : Ζαχαρίαν, τὸν υἱὸν Πριβεσθλάβου Pribestlavljeva sina Zahariju; DAI 32.94: ἀρχοντόπουλον Παῦλον, τὸν υἱὸν Βράνου Branova sina arhontopula Pavla,; DAI : ἀνθυπάτου καὶ πατρικίου Μιχαήλ, τοῦ υἱοῦ τοῦ Βουσεβούτζη antipata i patricija Mihaela, sina Vusevuca; DAI 34.8: Κραΐναν, τὸν υἱὸν Βελάη Belajeva sina Krajinu; jednak je postupak i pri navođenju žena: DAI : ἡ ἁγία Ἀναστασία, ἡ παρθένος, θυγάτηρ γεγονυῖα Εὐσταθίου sveta Anastasija, kći... Eustatija. 21 MORAVCSIK 1967, MORAVCSIK 1967, HAUPTMANN 1925,

6 RADOVI - Zavod za hrvatsku povijest, vol. 42, str vore isti Hrovati da učini dosta čudâ; a budući nemoćan i osakaćenih nogu, tako da od četvorice bijaše dizan i nošen okolo kamo god hoće, taj bogobojazni čovjek preporuči istim Hrovatima čuvati taj nalog presvetog pape do kraja njihova života, izmolivši im i sam molitvu sličnu papinoj. 24 Po tome što se papa i Heraklije nalaze na oba mjesta, čini se da bi prvi dio odlomka bio istovremen s početnim odlomkom o hrvatskom dolasku i krštenju, koji završava riječima: A car Heraklije posla po svećenike i dovevši ih iz Rima učini od njih nadbiskupa i biskupa i prezbitere i đakone i pokrsti Hrovate; ti pak Hrovati u tadašnje vrijeme imahu Porgu za vladara. 25 Stoga bi najbliži vjerojatnom mogao biti Hauptmann, kad je u 31. poglavlju kao osnovnu tendenciju vidio protubugarsku intonaciju i prekomjerni patriotizam bizantskog pisca. U to bi se uklapao prikaz hrvatskog dolaska i krštenja u Heraklijevoj režiji, hrvatska miroljubivost i njezin nastavak o nenapadanju na Bugare, kao i množina vojnih postrojbi i njihova usporedba s Bijelom Hrvatskom. Čitav bi se izvještaj zasnivao na hrvatskom izvoru iz oko 924. kad je Bizantu pomoć bila najpotrebnija. Jedino bi priču o Martinu (a podrazumijeva se i odlomak o Miroslavu i Pribini) trebalo datirati poslije Tomislava. 26 I dok sam se kretao u tom labirintu ne vidjevši izlaza, kako sugerira i sam naslov nesuđena izlaganja, pojavio se mladi beogradski kolega Predrag Komatina sa svojim prijedlogom, za koji mi se čini da je u osnovi konačno riješio problem MORAVCSIK 1967, (DAI ) Ὅτι οὗτοι οἱ βαπτισμένοι Χρωβάτοι ἔξωθεν τῆς ἰδίας αὐτῶν χώρας πολεμεῖν ἀλλοτρίας οὐ βούλονται χρησμὸν γάρ τινα καὶ ὁρισμὸν ἔλαβον παρὰ τοῦ πάπα Ῥώμης, τοῦ ἐπὶ Ἡρακλείου, τοῦ βασιλέως Ῥωμαίων, ἀποστείλαντος ἱερεῖς καὶ τούτους βαπτίσαντος. Καὶ γὰρ οὗτοι οἱ Χρωβάτοι μετὰ τὸ αὐτοὺς βαπτισθῆναι συνθήκας καὶ ἰδιόχειρα (35) ἐποιήσαντο καὶ πρὸς τὸν ἅγιον Πέτρον, τὸν ἀπόστολον ὅρκους βεβαίους καὶ ἀσφαλεῖς, ἵνα μηδέποτε εἰς ἀλλοτρίαν χώραν ἀπέλθωσιν καὶ πολεμήσωσιν, ἀλλὰ μᾶλλον εἰρηνεύειν μετὰ πάντων τῶν βουλομένων, λαβόντες καὶ παρὰ τοῦ αὐτοῦ πάπα Ῥώμης εὐχὴν τοιάνδε, ὡς εἴ τινες ἄλλοι ἐθνικοὶ κατὰ τῆς τῶν αὐτῶν Χρωβάτων χώρας ἐπέλθωσιν καὶ πόλεμον (40) ἐπενέγκωσιν, ἵνα τῶν Χρωβάτων ὁ Θεὸς προπολεμεῖ καὶ προΐσταται, καὶ νίκας αὐτοῖς Πέτρος ὁ τοῦ Χριστοῦ μαθητὴς προξενεῖ. Μετὰ δὲ χρόνους πολλοὺς ἐν ταῖς ἡμέραις Τερπημέρη τοῦ ἄρχοντος, τοῦ πατρὸς τοῦ ἄρχοντος Κρασημέρη, ἐλθὼν ἀπὸ Φραγγίας, τῆς μεταξὺ Χρωβατίας καὶ Βενετίας, ἀνήρ τις τῶν πάνυ μὲν εὐλαβῶν, Μαρτῖνος ὀνόματι, σχῆμα (45) δὲ κοσμικὸν περιβεβλημένος, ὃν καὶ λέγουσιν οἱ αὐτοὶ Χρωβάτοι θαύματα ἱκανὰ ποιῆσαι ἀσθενὴς δὲ ὢν ὁ τοιοῦτος εὐλαβὴς ἀνὴρ καὶ τοὺς πόδας ἠκρωτηριασμένος, ὥστε ὑπὸ τεσσάρων βαστάζεσθαι καὶ περιφέρεσθαι, ὅπου δ ἂν καὶ βούλεται, τὴν τοιαύτην τοῦ ἁγιωτάτου πάπα ἐντολὴν τοῖς αὐτοῖς Χρωβάτοις διατηρεῖν μέχρι τέλους ζωῆς αὐτῶν (50) ἐπεθέσπισεν, ἐπευξάμενος δὲ καὶ αὐτὸς αὐτοῖς τὴν ὁμοίαν τοῦ πάπα εὐχήν. 25 MORAVCSIK 1967, (DAI ) Ὁ δὲ βασιλεὺς Ἡράκλειος ἀποστείλας καὶ ἀπὸ Ῥώμης ἀγαγὼν ἱερεῖς καὶ ἐξ αὐτῶν ποιήσας ἀρχιεπίσκοπον καὶ ἐπίσκοπον καὶ πρεσβυτέρους καὶ διακόνους, τοὺς Χρωβάτους ἐβάπτισεν εἶχον δὲ τῷ τότε καιρῷ οἱ τοιοῦτοι Χρωβάτοι ἄρχοντα τὸν Ποργᾶ. 26 HAUPTMANN, ibid. 27 Zahvaljujem kolegi Komatini što mi je dao na uvid svoj članak prije tiskanja, pa se ovdje mogu osvrnuti na nj. 112

7 Milenko Lončar - Vremenski nesklad između odlomaka 31. poglavlja De administrando imperio Neobično je vrijedna njegova zasluga što je provjerio značenja riječi shema kosmikon iz Martinova opisa i pronašao da one znače odijelo svjetovnog svećenika, i što je u Porfirogenetovu Martinu prepoznao istu osobu koja je zapisala Trpimirovu darovnicu. To je bio osnovni preduvjet rješenja koji, koliko znam, nitko prije nije prepoznao. Iz toga je bilo jasno tko je Porfirogenetov Trpimir, a za njegova sina Krešimira i unuka Miroslava najpogodnije vrijeme bilo je između Muncimira i Tomislava, s tim što je Tomislavu oduzeto desetak godina, ne bez vjerojatnosti, ali očigledno i iz nužde da bi se Krešimiru i Miroslavu napravilo mjesta. Neke razlike u mišljenju što ću ih iznijeti u nastavku ne zadiru u temeljnu postavku. Na primjer, vrlo sugestivno djeluje to što kapelan Martin u darovnici spominje nemoć u tjelesnim udovima (corporeis membris), no treba biti svjestan da tu ipak misli na oči i uši, dok su njemu oštećene noge. Stoga ne znam može li se to nazvati jakim argumentom. Istim izrazom Komatina karakterizira i kronološki red odlomaka, premda on, kako smo vidjeli, nije posve savršen, te načelno treba dopustiti mogućnost da izuzetak nije samo jedan (mislim na odlomak o propadanju vojske u odnosu na onaj o Bijeloj Hrvatskoj). Stoga činjenica što se bugarski odlomak nalazi iza Martinova ne znači nužno i da je sam događaj kasniji. Kako nije pronašao potvrdu za papinu ulogu u hrvatskoj miroljubivoj politici, smatra da ju je izmislio sam Martin ne bi li njegova preporuka dobila na težini. Možda je doista tako bilo, no u tom slučaju neobične su podrobnosti koje se spominju u papinu nalogu. Ako je Martin izmislio papu, ne znam kako se mogao dosjetiti baš onoga pape koji je pokrstio Hrvate i još u dogovoru s Heraklijem; da su Hrvati potpisali sporazum s njim i zakleli se svetom Petru, to zvuči kao opće mjesto pa ga možda i ne bi bilo teško uklopiti u priču. No nevjerojatna je pritom činjenica da bi Martin Hrvate uvjeravao u nešto što su oni učinili i valjda zaboravili. O tome će zacijelo trebati još promišljati. Jedan od argumenata za ranu dataciju Krešimira i Miroslava kolegi Komatini jest i 948/949. godina navedena u 29. poglavlju kao vrijeme pisanja. Budući da se u istom poglavlju njegov sastavljač poziva na Spis o Hrvatima i Srbima i da se u 33. i 35. poglavlju poziva na Povijest Hrvata, to jest na 31. poglavlje, Komatina zaključuje kako su glave 31. i 32. već napisane. Međutim, već je Bury uvjerljivo zaključio, a Jenkins je to prihvatio, da je samo srednji dio 29. poglavlja, o Bazilijevoj intervenciji u Jadranu, napisan naknadno. Da je u tom dijelu riječ o drugom pristupu, vidljivo je već po tome što su tu Avari zaboravljeni, a Slaveni se nazivaju pojedinim etničkim imenima, za razliku od prvog odlomka, opisa pada Salone, gdje se napadači redovito nazivaju Slavenima koji se zovu i Avari. (U 31. pak poglavlju Avari nisu pomiješani sa Slavenima, nego su ih pobijedili Hrvati. To je najvjerojatnije redaktorovo pomirenje romanske priče s početka 29. poglavlja i hrvatske u 30. o tome kako su oni svladali Avare, o čemu imaju i 113

8 RADOVI - Zavod za hrvatsku povijest, vol. 42, str dokaz: ostatke Avara u Hrvatskoj. 28 ) I jedan jezično-stilski argument govori u prilog posebnosti srednjeg dijela 29. poglavlja: suvišna uporaba zamjenice isti (ho autós), koja je gotovo zaštitni znak pisca uvodnog i završnog dijela 29. poglavlja (pad Salone i opis romanskih gradova), kao i glava 31-36, u srednjem je dijelu 29. poglavlja skoro sasvim izostala. 29 Stoga mislim da prvobitnom verzijom dalmatinskih poglavlja treba smatrati i početni i završni dio 29. glave, koji su učinjeni po istom obrascu kao i glave 31-36, a to je povijest + gradovi. Nabrajajući Krešimirovu smrt, Miroslavljevu četverogodišnju vladavinu i ubojstvo te nerede u državi i propadanje vojne efektive, Komatina smatra da se sve to nije moglo dogoditi u jednoj godini, 949, i da ih još Konstantin odmah zabilježi. Očigledno je da je tu mislio zapravo na događaje počevši od smrti Miroslava. No, prema Jenkinsu, tu je riječ ne samo o jednoj, nego o dvije ili tri godine, jer je utvrdio kako je Porfirogenet dopunjavao spis novim vijestima 951/952. godine, što bi onda ipak moglo biti dovoljno za građanski rat u Hrvatskoj i istovremeno vojno slabljenje. 30 I P. Komatina je stekao utisak da Krešimir ima neko posebno značenje za Porfirogeneta i njegove izvore, no kako o njegovu vremenu donosi samo podatak o brojnom stanju vojnih snaga, zaključuje kako je o samom vladaru u vrelu za drugi odlomak imao više vijesti (pa tako i ime njegova oca Trpimira), ali ih je redigirao prema svojoj glavnoj svrsi, a to je rečenica u kojoj je trebalo da izloži stanje hrvatske vojske u trenutku kada piše. Sad se pitamo koji je to trenutak. Je li to prije Tomislava ili poslije? Ako je poslije njega, to bi značilo da je nakon Tomislavova stabiliziranja prilika i pobjede nad Bugarima hrvatska vojska opet u lošem stanju, i da autor ignorira taj privremeni uspon, premda je pobjedu spomenuo, što nije najuvjerljivija pretpostavka. Ako je, pak, ono autorsko sada starije od Tomislava, proizlazilo bi iz toga da je čitavo 31. poglavlje napisano prije 925, kad je Porfirogenet imao manje od dvadeset godina. Je li stvarno tako rano počeo ne samo skupljati materijal, nego ga i uobličavati? Odgovor za sada ne vidim. Predrag Komatina ponudio je, dakle, izlaz iz dugo začaranog kruga oko Martina, Trpimira, Krešimira i Miroslava. Pritom je možda neke argumente prenaglasio, iznio usput pretpostavke koje nisu posve uvjerljive, a i otvorio neka nova pitanja. No osnovna ideja čini se vrlo utemeljenom i prihvatljivom. S njom je zacijelo dostignut viši stupanj razumijevanja djela koje bijaše u početku. 28 LONČAR 1996, U 29. poglavlju najmanje petnaest puta može se naći izraz isti (taj i taj, to i to), a možda je izvorno bilo i sedamnaest ili osamnaest puta. Ali kad se pogleda raspodjela tih primjera po dijelovima poglavlja, pojavljuje se zanimljiv ishod: u početnom odlomku, o zauzeću Salone pet, možda i šest puta (ako se ubroji jedan sporni slučaj), na 51 redak teksta; u opisu dalmatinskih gradova osam puta na 79 redaka (a tu su još i dva preostala nesigurna primjera). U srednjem, pak, dijelu, trostruko dužem od prvog i dvostruko od posljednjeg, gdje su u glavnoj ulozi car Bazilije i Arapin Soldan, u 164 retka samo jednom. U 30. poglavlju uopće se ne pojavljuje, u 31. deset puta na 91 redak teksta, u 32. sedam na 151 redak, i u 36 dva puta na 21 redak. Usp. LONČAR JENKINS 1962,

9 Milenko Lončar - Vremenski nesklad između odlomaka 31. poglavlja De administrando imperio Bibliografija HAUPTMANN, Ljudmil (1925), Koje su sile hrvatske povijesti odlučivale u vrijeme narodne dinastije, Zbornik kralja Tomislava u spomen tisućgodišnjice hrvatskoga kraljevstva, Posebna djela JAZU, sv. 17, Zagreb, JENKINS, Romilly J. H. (et al.), ed. (1962), Constantine Porphyrogenitus, De Administrando Imperio vol. II Commentary, London. KLAIĆ, Vjekoslav (1925), Prilozi hrvatskoj historiji za narodnih vladara, u: Zbornik kralja Tomislava u spomen tisućgodišnjice hrvatskoga kraljevstva, Posebna djela JAZU, sv. 17, Zagreb, LONČAR Milenko (1996), Porfirogenetovi Avari: pripovijest i povijest; Starohrvatska spomenička baština: Rađanje prvog hrvatskog kulturnog pejzaža, Zbornik radova znanstvenog skupa održanog 6-8. listopada u Zagrebu, Zagreb, LONČAR, Milenko (2002), Filološka analiza Porfirogenetovih vijesti o Hrvatima. Doktorska disertacija, Zadar. LONČAR, Milenko (2007), Zamjenica isti kao stilsko obilježje autora dalmatinskih poglavlja De administrando imperio, Veljko Gortan ( ), o stotoj obljetnici rođenja, Zagreb, 4-5. svibnja 2007 (u tisku). MANOJLOVIĆ, Gavro (1925), Le millénaire de l ancien royaume croate, u: Zbornik kralja Tomislava u spomen tisućgodišnjice hrvatskoga kraljevstva, Posebna djela JAZU, sv. 17, Zagreb, XI-LXXI. MORAVCSIK, Gyula R. H. M. JENKINS (1967), Constantine Porphyrogenitus De administrando imperio, Greek text edited by Gy. Moravcsik, English translation by R. J. H. Jenkins, New Revised Edition, Corpus Fontium Historiae Byzantinae I, Washington. OSTROGORSKI, Georgij (1959), Istorija Vizantije, Beograd. Temporal discrepancy between the passages from chapter 31 of De administrando imperio The story of a holy man, Martin, relates to the period of Trpimir. Trpimir, however, was not denoted by his father s name, as usual when rulers were considered, but his son s name, Krešimir. Actually Krešimir was a ruler when the story was composed. Apparently, the event from the past was defined by the relationship between the contemporary ruler and the preceding one. It becomes clear in the subsequent passage on the weakening of the Croatian army, where it is stated that Croatia had at its disposal enormous power precisely till the period of Krešimir. This almost explicitly shows that the preceding paragraph about the military actualities, and then certainly other news, too, derive from Krešimir s time, from around 935 to 945. The vexed issue is, however, the passage on the Croatian-Bulgarian relations. It reads that Bulgarians have never gone to war 115

10 RADOVI - Zavod za hrvatsku povijest, vol. 42, str against the Croats but once, when the Bulgarian ruler Mihael Boris (from 852 to 889) attacked, but unable to do anything, made peace with the Croats. There is no mention of the Simeon s army attack on Croatia around the year 925, about which the notice is found later, in Chapter 32. This may mean that the paragraph on the Bulgarian-Croatian relationship dates from the time before Tomislav, and if so, the dating of other passages would be also questionable. After many old proposals, it seems that P. Komatina (whose article is included in this issue of the Collection) offered the final solution, identifying Porfirogenet s Martin with the same-named chaplain who wrote Trpimir s Charter. (prijevod na engleski dr. Lidija Štrmelj) Ključne riječi: De administrando imperio, 31. poglavlje, Martin, Trpimir, Krešimir, Bugari, datacija. Key words: De administrando imperio, Chapter 31, Croats, Martin, Trpimir, Krešimir, Bulgarians, dating 116

11 FilozofskI fakultet Sveučilišta u Zagrebu Zavod za hrvatsku povijest INSTITUTE OF CROATIAN HISTORY INSTITUT FüR KROATISCHE GESCHICHTE RADOVI 42 Zavod za hrvatsku povijest FILOZOFSKOGA FAKULTETA sveučilišta U ZAGREBU ZAGREB 2010.

12 RADOVI ZAVODA ZA HRVATSKU POVIJEST FILOZOFSKOGA FAKULTETA SVEUČILIŠTA U ZAGREBU Knjiga 42 Izdavač Zavod za hrvatsku povijest Filozofskoga fakulteta Sveučilišta u Zagrebu FF-press Za izdavača Damir Boras Glavni urednik Hrvoje Gračanin Uredništvo Bruna Kuntić-Makvić (stara povijest) Zrinka Nikolić Jakus (srednji vijek) Hrvoje Petrić (rani novi vijek) Željko Holjevac (moderna povijest) Tvrtko Jakovina (suvremena povijest) Silvija Pisk (mikrohistorija i zavičajna povijest) Izvršna urednica za tuzemnu i inozemnu razmjenu Kristina Milković Tajnik uredništva Dejan Zadro Adresa uredništva Zavod za hrvatsku povijest, Filozofski fakultet Zagreb, Ivana Lučića 3, HR , Zagreb Tel (0) , , faks (0) Časopis izlazi jedanput godišnje Ovi su Radovi tiskani uz financijsku potporu Ministarstva znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske

13 Naslovna stranica Iva Mandić Grafičko oblikovanje i računalni slog Boris Bui Marko Maraković Ivanka Cokol Lektura Julija Barunčić Pletikosić Tisak Hitra produkcija knjiga d.o.o. Tiskanje dovršeno u prosincu godine Naklada 200 primjeraka Časopis je dostupan na portalu znanstvenih časopisa Republike Hrvatske Hrčku na adresi

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 5: Tα Άκλιτα µέρη του λόγου. Μπορόβας Γεώργιος Τµήµα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 5: Tα Άκλιτα µέρη του λόγου. Μπορόβας Γεώργιος Τµήµα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 5: Tα Άκλιτα µέρη του λόγου Μπορόβας Γεώργιος Τµήµα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Kazimir Majorinc. Povijest Lispa 12. Razmjena vještina Hacklab u mami 10. studeni 2012.

Kazimir Majorinc. Povijest Lispa 12. Razmjena vještina Hacklab u mami 10. studeni 2012. Kazimir Majorinc Povijest Lispa 12. j Razmjena vještina Hacklab u mami 10. studeni 2012. MIT Research Laboratory of Electronics, Quarterly Progress Report, 15. travnja, 1959. Sadrži jednu od bar četiri

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5?

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5? Zadata 00 (Jasna, osnovna šola) Kolia je težina tijela ase 400 g? Rješenje 00 Masa tijela izražava se u ilograia pa najprije orao 400 g pretvoriti u ilograe. Budući da g = 000 g, orao 400 g podijeliti

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα