(ΚΕΦ 32) f( x x f( x) x z y

Transcript

1 (ΚΕΦ 3) f( x x f( x) x z y

2 ΣΥΝΟΨΗ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ J. C. Maxwell (~1860) συνόψισε τη δουλειά ως τότε για το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο σε 4 εξισώσεις. Όμως, κατανόησε ότι οι εξισώσεις αυτές (όπως μέχρι τώρα τις έχουμε συζητήσει) έχουν μια ασυνέπεια σχετιζόμενη με την διατήρηση του φορτίου! Νόμος Gauss Νόμος Gauss Για μαγνητισμό Νόμος Faraday Νόμος Ampere Δεν είναι εύκολο να δούμε αυτή την ασυνέπεια, όμως διακρίνουμε έλλειψη συμμετρίας εδώ:

3 Νόμος του Ampere προβληματικός! Νόμος του Gauss: Συμμετρία: Αμφότερα και B υπακούουν την ίδια μορφή εξίσωσης (διαφορά μαγνητικό φορτίο δεν υπάρχει!) Νόμοι Ampere και Faraday:! Εάν ο νόμος του Ampere ήταν σωστός, το δεξιό μέλος του νόμου του Faraday θα έπρεπε να είναι 0 αφού δεν υπάρχει μαγνητικό ρεύμα. Συνεπώς ίσως έχει πρόβλημα ο νόμος του Ampere. Πράγματι, Ο Maxwell πρότεινε μια τροποποίηση του νόμου του Ampere προσθέτοντας άλλο έναν όρο (το ρεύμα μετατόπισης ) στο δεξί μέλος της εξίσωσης! Δηλ.

4 Ρεύμα Μετατόπισης Θεωρείστε φορτιζόμενο πυκνωτή: Χρησιμοποιούμε το νόμο του Ampere για να υπολογίσουμε το μαγνητικό πεδίο ακριβώς πάνω από το πάνω πλακίδιο Νόμος του Ampere: 1) Κόκκινος βρόχος Ampere, I enc = I ) Πράσινος βρόχος Ampere, I = 0 Bdl = µ I 0 enc

5 Ρεύμα Μετατόπισης Δρόμος P Στο δρόμο P τερματίζονται δύο επιφάνειες ο κύκλος S 1 και η εξογκωμένη επιφάνεια S που περνά από το διάκενο των οπλισμών. Από τον S 1 περνά I και από τον S 0. Δεν έχουμε ρεύμα μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή, όμως έχουμε ένα μεταβαλλόμενο πεδίο. Μπορεί αυτό να ισοδυναμεί με ρεύμα; Q = Q = ε0a = ε0φ ε A 0 Αυτό ονομάζεται ρεύμα μετατόπισης dq dt dφ dt = ε0 I d

6 da = dl Bdl q ε 0 dφ = dt Εξισώσεις Maxwell Νόμος Gauss BdA = 0 = µ I + εµ dφ dt Αυτές περιγράφουν όλα τα Η-Μ φαινόμενα και είναι συμβατοί με όλες τις άλλες θεωρίες π.χ. σχετικότητα. Περιγράφουν και το φως. B F= q ( + v B) Νόμος Faraday Νόμος Lorentz Νόμος Gauss για το μαγνητικό πεδίο Νόμος Ampere Maxwell

7 = B = ρ ε 0 0 Εξισώσεις Maxwell (Διαφορική μορφή) Νόμος Gauss Νόμος Gauss για το μαγνητικό πεδίο B = t B = µ 0J + εµ 0 0 Νόμος Faraday Νόμος Ampere Maxwell

8 Εξισώσεις Maxwell Στον ελεύθερο χώρο οι εξισώσεις του Maxwell ανάγονται στις εξής: da = 0 BdA = 0 Μπορούν να λυθούν δίνοντας τις ακόλουθες διαφορικές εξισώσεις για το και B για την 1-D διάδοση στον άξονα x. y y Bz Bz ε µ = ε µ dl Bdl dφ = dt = εµ 0 0 = o o o o Αυτές είναι κυματικές εξισώσεις. Εδώ μεταβλητά είναι τα πεδία στο χώρο και το χρόνο. B dφ dt = B = 0 0 B = t B =εµ 0 0

9 3-D Κυματική εξίσωση για το Ε = 0 =εµ 0 0 (στον κενό χώρο) B = 0 B =εµ B = 0 0 t ( εµ 0 0 ) B ( B) ( ) = ( ) = = 0 ( ) ( ) = εµ 0 0 και ομοίως: B B =εµ 0 0

10 k = π λ v ω = λf = Σύνοψη κυμάτων Κυματική εξίσωση σε μια διάσταση: έχει γενική λύση της μορφής*: (, ) = cos( ω ) h x t A kx t = πf = ω k π T h( x, t) = h ( x vt) + h ( x + vt) 1 h 1 όπου h 1 παριστά κύμα που οδεύει στην +x διεύθυνση & και h στην -x διεύθυνση &. Μια ειδική λύση για αρμονικά κύματα που οδεύουν στην +x διεύθυνση είναι: h λ A = v A = πλάτος λ = μήκος κύματος f = συχνότητα v = ταχύτητα k = κυματαριθμός h x

11 *Απόδειξη h( x, t) h1( x vt) ( x vt) h( x + vt) ( x + vt) h1( x vt) h( x + vt) = + = + ( x vt) ( x + vt) ( x vt) ( x + vt) 1 = + h( x,) t h ( x vt) h ( x + vt) ( x vt) ( x + vt) h ( x, t ) 1( ) ( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) = h x vt x vt + h x + vt x + vt = v h x vt + v h x + vt ( x vt) ( x + vt) ( x vt) ( x + vt) 1 = v + v h(,) x t h ( x vt) h ( x + vt) ( x vt) ( x + vt) h = 1 v h

12 & Απόδειξη Θεωρούμε το f(x) = Τι κάνει το f(x-vt); Το f(x-vt) είναι ένα οδεύον κύμα κινούμενο προς τα δεξιά (+x)

13 Πως οι εξισώσεις του Maxwell οδηγούν σε M κύματα; Εύρεση της κυματικής εξίσωσης θεωρώντας ένα 1-D επίπεδο κύμα διαδιδόμενο στον x

14 Κυματική εξίσωση dφ dt Αρχή από εξ. Ampere-Maxwell Bdl = εµ 0 0 = εµ 0 0 d dt da

15 Εφαρμογή στο κόκκινο παρ/μο: Κυματική εξίσωση Bdl = B ( x,) t l B ( x + dx,) t l z d y εµ 0 0 da = εµ 0 0 ldx dt z B( x dxtl,) B( xtl,) y = dx z + z εµ 0 0l B z εµ y Στο όριο που το dx είναι πολύ = μικρό: 0 0

16 Τώρα πάμε στο νόμο του Faraday Κυματική εξίσωση dl dφ dt B = = d dt BdA

17 Τώρα πάμε στο νόμο του Faraday Κυματική εξίσωση dl Εφαρμογή στο κόκκινο παρ/μο: d = dt dl = y( x + dx,) t l y( x,) t l d Bz BdA = ldx dt BdA ( x+ dxtl,) ( xtl,) B = dx t y y z Στο όριο που το dx είναι πολύ μικρό: y = B z

18 1-D Κυματική εξίσωση για το Ε y = B z B z = εµ y 0 0 Παίρνουμε την παράγωγο ως προς x της 1 ης και αντικαθιστούμε στην η εξίσωση y y Bz Bz y = = = = εµ 0 0 y y = εµ 0 0

19 1-D Κυματική εξίσωση για το Ε y y = εµ 0 0 Αυτή είναι εξίσωση κύματος. Έστω: = f ( x vt) y y = f ''( x vt) x v = y = v f ''( x vt) 1 µε 0 0

20 1-D Κυματική εξίσωση για το Β B z = y B z = εµ y 0 0 Παίρνουμε την παράγωγο ως προς x της 1 ης και αντικαθιστούμε στην η εξίσωση B B B = = = = z z y y 1 z εµ 0 0 Bz Bz = εµ 0 0

21 Ηλεκτρομαγνητική Ακτινοβολία Αμφότερα τα & B οδεύουν ως κύματα: y y = εµ 0 0 Bz Bz = εµ 0 0 Όμως υπάρχουν αυστηρές σχέσεις μεταξύ τους: B z = y B z = εµ y 0 0 Εδώ, το y και το B z είναι όμοια και οδεύουν κατά μήκος του x άξονα

22 Έστω: Πλάτη των & B = f ( x vt); B = B f ( x vt) y 0 z 0 B z = y vb0f '( x vt) = 0f '( x vt) vb = 0 0 y και B z είναι τα «ίδια» όμως έχουν διαφορετικά πλάτη

23 Ηλεκτρομαγνητικά κύματα Μήκος κύματος(m) Συχνότητα (Hz) Ορατό φως Υπενθύμιση: λf =c

24 Ιδιότητες ΗΜ κυμάτων Ταξιδεύουν (στο κενό) με την ταχύτητα του φωτός c 1 = v = = µε m Σε κάθε σημείο και κάθε χρονική στιγμή τα και B είναι σε φάση μεταξύ τους, με s B 0 = = B0 Τα και B είναι κάθετα μεταξύ τους και προς την διεύθυνση διάδοσης (είναι εγκάρσια): Διεύθυνση διάδοσης = Διεύθυνση του B c

25 Ενέργεια και διάνυσμα Poynting Πυκνότητες ενέργειας: Θεωρούμε κύλινδρο: ε 0 ue =, um = B µ 0 Ενέργεια στον κύλινδρο: 1 1 du = ( ue + um) Adz = ε0 + B Acdt µ 0 Ροή ενέργειας (ενέργεια ανά μονάδα επιφάνειας και ανά μονάδα χρόνου) 1 du c 1 c 1 S = = ε0 + B = ε0cb + B A dt µ 0 cµ 0 B ( ) B εµ 0 0c + 1 = µ µ 0 0 1

26 Διάνυσμα Poynting και ένταση Διεύθυνση ροής ενέργειας = διεύθυνση διάδοσης κύματος S = B µ 0 Διάνυσμα Poynting Μονάδες: J ανά m και s Ένταση I: I =< B cb S >= µ = µ c = µ 0 0 0