Elastsusõpetus. (Lineaarne elastsusteooria)

Transcript

1 Tallnna Tehnkaülkool Mehaankansttuut Rakendusmehaanka õppetool ndrus Salupere Elastsusõpetus (Lneaarne elastsusteoora) Loengukonspekt Tallnn Eessõna Käesolev loengukonspekt on eeskätt mõeldud kasutamseks Tallnna Tehnkaülkool ehtusteaduskonna ülõplastele elastsusõpetuse kursuse (EMD0020) õppmsel aastal õpetat sama koodga anet lneaarse elastsusteoora nme all. Õppeane laendatud programm, Elastsusõpetus, EMD0020 programm (vt. kujutab endast antud loengukonspekt lahutamatut lsa. Seal on estatud õppeane eesmärgd, maht, eeldusaned ja soovtatav krjandus nng krjeldatud antud ane õppmsel kehtvat töökorraldust. Märkused: 1. Loengukonspekt on nternets aadressl 2. Loengukonspekt pole mõeldud kasutamseks sesesva õpkuna. Seetõttu on õptavast

2 anest tervklku ülevaate saamseks loengute külastamne ja vajalkus ulatuses konspekteermne hädavajalk. 3. Tekst paremas servas olevad märgd (,, jne.) tähstavad koht, kus loengus estatakse oluls selgtavad märkus. 4. Loengukonspekt psut ebaharlk väljanägemne (kaks 5 lehekülge on pagutatud ühele 4 lehele) on tngtud praktlstest kaalutlustest. Loengutel nädatakse materjal 5 lehekülgede kaupa. 5. Vabandan juba ette teksts esneda võvate trükvgade pärast. Vastavassulsed märkused on teretulnud n loengutes ku e-krjade kujul aadressl salupere@oc.ee. ndrus Salupere 2 3 Peatükk 1 Sssejuhatus

3 1.1. Elastsusteoora ehk elastsusõpetus Elastsusteoora ehk elastsusõpetus Katsed on nädanud, välsmõjude (pndkoormused, massjõud, soojendamne, jahutamne) tomel võvad tahked kehad deformeeruda. Ku deformatsoond e ületa teatud pr, ss välsmõjude kõrvaldamsel keha taastab oma esalgse kuju. Sellst tahke keha omadust nmetatakse elastsuseks. Elastsusteoora ehk elastsusõpetus uurb elastsete kehade deformatsoone ja lkumst. Sõltuvalt välsmõjude kõrvaldamse krusest võvad sn kaasneda teatud võnkumsed. Ku deformatsoond aga ületavad teatava pr, ss keha algne kuju e taastu täelkult osa deformatsoone sälb. Ned jäävad deformatsoone nmetatakse plastseteks deformatsoondeks. Elastsusteoora ülesandeks on määrata ja hnnata geomeetrls suurus, ms seloomustavad keha deformatsoon: läbpanded, srded jne.; ssejõude ja pnged, ms lmnevad deformatsoonprotsesss. Selleks rakendatakse matemaatls meetoded (matemaatlne analüüs, dferentsaalvõrrandte teoora jne.) Elastsusteoora ehk elastsusõpetus 5 Elastsusteoora põhneb pdeva keskkonna mehaankal 1. Seega on vaja ssse tuua võ määrata: Pdeva keskkonna mõste. Ssejõudude ja deformatsoonde vahelsed seosed ehk olekuvõrrandd (vmased määratakse ekspermentdest). Geomeetrlsed suurused, ms krjeldavad keha deformatsoone. Ssejõud ja nende seos välsmõjudega. Käesoleva kursuse raames kästletakse lneaarset elastsusteoorat. 1 Pdeva keskkonna mehaanka uurb tahkste (deformeeruvate tahkete kehade), gaasde ja vedelke lkumst välsmõjude tomel.

4 1.2. Mehaanka harud Mehaanka harud Mehaanka on teadus, ms uurb tahkete kehade, vedelke ja gaasde lkumst, selle lkumse põhjus ja tagajärg. Joons 1.1: Mehaanka harud 1.2. Mehaanka harud Jäga keha mehaanka Teoreetlne mehaanka ehk absoluutselt jäga keha mehaanka uurb absoluutselt jäkade kehade lkumst ja pagalsesu nele rakendatud jõudude tomel. bsoluutselt jäga keha mstahes kahe punkt vahelne kaugus on konstantne. Laas laastus võb teoreetlse mehaanka jagada staatkaks, knemaatkaks ja dünaamkaks. Staatka uurb: 1. kehade tasakaalu (täpsemalt öeldes kehadele rakendatud jõusüsteemde tasakaalu) ja 2. jõusüsteemde lhtsustamst ehk taandamst. Knemaatka uurb lkumse geomeetrls seaduspärasus. Klasskalne dünaamka uurb punktmassde ja jäkade kehade lkumst nele mõjuvate jõudude tomel.

5 1.2. Mehaanka harud 8 Lkumsena ehk mehaankalse lkumsena mõstetakse vaadeldava keha asend muutust teste kehade suhtes. Selleks valtakse tavalselt üks keha, mlle suhtes uurtakse lkumst ja seotakse sellega jägalt koordnaatsüsteem. Tulemust nmetatakse taustsüsteemks. Punktmassks nmetatakse materaalset keha, mlle mõõtmed tema lkumse uurmsel e arvestata. eg loetakse unversaalseks, st., ühtvs kulgevaks kõgs taustsüsteemdes Pdeva keskkonna mehaanka Pdeva keskkonna mehaanka (PKM) uurb tahkste (deformeeruvate tahkete kehade), gaasde ja vedelke lkumst välsmõjude tomel. Palju harusd 1.2. Mehaanka harud 9 tahkse (deformeeruva keha) mehaanka tugevusõpetus elastsusteoora plastsusteoora jne. hüdro- ja aeromehaanka hüdrostaatka hüdrodünaamka jne Tehnlne mehaanka Tehnlne mehaanka = staatka + tugevusõpetus. Tugevusõpetus on mehaanka haru, ms uurb konstruktsoonelementde psava tugevuse, jäkuse ja stablsuse saavutamst võmalkult ökonoomsel moel.

6 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest Täpsema ülevaate saamseks on soovtatav lugeda professor leksander Klauson loengukonspekte Staatka Joons 1.2: Jõud ja jõu mõjusrge Jõud on kehade vastastkuse mõju mõõt. Jõud on vektoraalne suurus. Jäga keha mehaankas (k.a. staatkas) on jõud lbsev vektor. Tessõnu, jäga keha mehaankas võb lugeda jõudu rakendatuks oma mõjusrge mstahes punkt. Jõusüsteem on kehale mõjuvate jõudude kogum Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 11 Jõu projektsoon on skalaar: ku on x telje suunalne ühkvektor, ss projektsoon F x = F = F cosα. Jõu komponent on vektor: F x = F x. Joons 1.3: Jõu projektsoond ja jõu komponenedd. Vabaks kehaks nmetatakse keha, mlle lkumst e pra mtte üksk tngmus. Vaba keha saab antud asendst üle va mstahes uude asendsse.

7 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 12 Sde on keha lkumst ktsendav tngmus. Tavalselt moodustab sdeme mng tene keha. Sdemereaktsoon ehk reaktsoonjõud on jõud, mllega sdet moodustav keha mõjub vaadeldavale kehale. Insenerülesannete puhul nmetatakse sdemed tht ka tugedeks ja vastavad reaktsoonjõudusd toereaktsoondeks. Sdemetest vabastatavuse prntsp: Iga seotud keha võb vaadelda vaba kehana ku asendada sdemed sdemereaktsoondega. Sdemete tüübd: sle pnd, kare pnd, lkumatu lgend(tug), lkuv lgend(tug), kerge varras, panduv ühendus jne Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 13 Jõu momendks punkt suhtes nmetatakse vektort, ms võrdub jõu rakenduspunkt kohavektor r ja jõuvektor F vektorkorrutsega. M O = r F, M O M O = Fr sn ϑ = Fd. (1.1) Jõu moment seloomustab jõu pööravat tomet. Joons 1.4: Jõu moment punkt suhtes. Momentvektor M O suurus (ehk moodul) ja suund sõltub punkt O valkust kud e sõltu punkt valkust jõu mõjusrgel.

8 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 14 Momentvektor M O mõjusrge määrab telje, mlle ümber jõud F püüab tektada pöörlemst. Pöörde suund määratakse kruvreeglga ku (parema käe) kruv teljeshlse lkumse suund ühtb momentvektor suunaga, ss keha pöörlemse suund ühtb kruv pöörlemse suunaga. Ja vastupd, ku kruv pöörata keha pöörlemse suunas, ss tema teljeshlse lkumse suund ühtb momentvektor suunaga. Jõu moment telje suhtes võrdub selle telje mstahes punkt suhtes letud momentvektor projektsoonga vaadeldaval teljel. See on üldlevnud määratlus ja selle põhjal on tegu skalaarga. Tegelkult võb ka jõu moment telje suhtes kästleda vektorna. Praktkas letakse moment valemst M = ±Fd, s.t. jõud korda jõu õlg, nng märk määratakse kruvreeglga Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 15 Jõupaar moodustavad kaks võrdvastupdst jõudu F ja F mllel on ernev mõjusrge. Jõupaar moment võrdub ühe jõupaar moodustava jõu momendga tese rakenduspunkt suhtes. Jõupaar moment on vabavektor. Joons 1.5: Jõupaar ja jõupaar moment

9 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 16 Lemma jõu paraleellükkest. Jäga keha mstahes punkts rakendatud jõu võb paralleelselt tema mõjusrgega üle kanda uude rakenduspunkt B ku lsada punkts rakendatud jõu moment punkt B suhtes. Staatka põhteoreem (Ponsot teoreem): Iga jägale kehale rakendatud jõusüsteem saab asendada taandamstsentrsse rakendatud jõusüsteem peavektorga ja jõusüsteem peamomendga taandamstsentr suhtes. Joons 1.6: Jõusüsteem peavektor ja peamoment Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 17 Jõusüsteem peavektor: F O = n =1 F Jõusüsteem peamoment: M O = n =1 M O(F ), kus punkt O nmetatakse taandamstsentrks. (Joonsel on kahjuks O asemel.) Jõusüsteem on tasakaalus parajast ss ku peavektor F O ja mng punkt O suhtes letud peamoment M O on võrdsed nullga: F O = F = 0, M O = M O (F ) = 0. (1.2) Skalaarsed tasakaalu tngmused: F x = 0, F y = 0, F z = 0, M x (F ) = 0, M y (F ) = 0, M z (F ) = 0. (1.3)

10 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 18 Tasapnnalne jõusüsteem F x = 0, F y = 0, M Oz (F ) = 0. (1.4) lternatvsed võrrandd F x = 0, M z (F ) = 0, M Bz (F ) = 0 (1.5) võ F y = 0, M z (F ) = 0, M Bz (F ) = 0 (1.6) võ M z (F ) = 0, M Bz (F ) = 0, M Cz (F ) = 0, (1.7) kus punktd,b ja C e asetse samal srgel Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 19 Staatlselt määratud ja staatlselt määramata ülesanded: Ku on võmalk koostada n sama palju tasakaaluvõrranded ku palju on tundmatud toereaktsoone, ss on tegu staatlselt määratud ülesandega. Vastupdsel juhul on tegu staatlselt määramata ülesandega. Mtmetes õpkutes kasutatakse antud konteksts ka termned staatkaga määratud ülesanded ja staatkaga määramata ülesanded. Raskuskese Skalaarkujul x C = V xdv V r C =, y C = V rdv V V ydv V Masskese: sarnased valemd, kud V m Pnnakese: sarnased valemd, kud V. (1.8), z C = V zdv V. (1.9)

11 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 20 Pnnamomendd. n + m astme pnnamoment Nullastme pnnamoment pndala: x m y n d (1.10) Joons 1.7: Tasapnnalse kujund pnnamomendd. = d. (1.11) 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 21 Esmese astme pnnamomendd staatlsed momendd: S x = yd S y = xd. (1.12) Joons 1.8: Staatlne moment.

12 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 22 Tese astme pnnamomendd nertsmomendd momendd: telgnertsmomendd I x = polaarnertsmoment I ρ = tsentrfugaalnertsmoment I xy = y 2 d, I y = x 2 d; (1.13) ρ 2 d; (1.14) xyd. (1.15) 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 23 Rstlõke keskteljed ja peateljed. Peanertsmomendd. Peatasandd. Joons 1.9: Rstlõge.

13 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest Tugevusõpetus Ssejõud: pkjõud, väändemoment, põkjõud, pandemoment. Joons 1.10: Pkjõud 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 25 Joons 1.11: Väändemoment

14 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 26 Joons 1.12: Põkjõud ja pandemoment 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 27 Joons 1.13: Ssejõudude märgreegld.

15 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 28 Dferentsaal- ja ntegraalseosed lauskoormuse ntensvsuse ja ssejõudude vahel Joons 1.14: Dferentsaal- ja ntegraalseosed lauskoormuse ntensvsus dn dx = N = p x, dq z dx = Q z = p z, dm y dx = M y = Q z, N(x) = N(a) Q z (x) = Q z (a) M y (x) = M y (a) x a x a x a p x (x)dx, (1.16) p z (x)dx, (1.17) Q z (x)dx. (1.18) 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 29 Joons 1.15: Dferentsaal- ja ntegraalseosed ssejõud

16 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 30 Lõkemeetod, pnged varda rstlõkes Joons 1.16: Lõkemeetod ja pnged varda rstlõkes 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 31 Pnged varda punkts. Vaatleme varda punkt K, mda läbb pnd normaalga n. Seal mõjub pngevektor p. Vmane omab normalkomponent σ x ja tangentsaalkomponente τ xy ja τ xz. σ x normaalpnge märgreegel analoogne pkjõuga τ xy ja τ xz nhkepnge ehk tangentsaalpnge märgreegel analoogne põkjõuga Joons 1.17: Pnge varda punkts

17 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 32 Joons 1.18: Normaalpnge 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 33 Joons 1.19: Nhkepnge

18 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 34 Normaaldeformatsoon (normaalmoone) Joons 1.20: Normaaldeformatsoon: σ > Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 35 Joons 1.21: Normaaldeformatsoon: σ < 0

19 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 36 Nhkedeformatsoon ehk nhe ehk nhkemoone Joons 1.22: Nhkedeformatsoon 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 37 Joons 1.23: Nhkedeformatsoon

20 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 38 Elastsuskonstandd: E Young moodul ehk (normaal)elastsusmoodul; G nhkeelastsusmoodul; ν Posson tegur; G = E 2(1 + ν) Pngete ja deformatsoonde (moonete) vahelsed seosed: (1.19) ε x = σ x E, γ xy = τ xy G, γ xz = τ xz G,..., ε y = ε z = νε x (1.20) 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 39 Deformatsoonenerga Vaatleme vedru, mlle elastsusjõu moodul F = kx. Elastsusjõu elementaartöö dw = F dx = kxdx Elastsusjõu töö lõplkul deformatsoonl ong võrdne vedru deformatsoonl tekknud potentsaalse energaga U = W = x1 0 dw = x1 0 kxdx = kx (1.21) nalooglselt vedruga letakse elastsel deformatsoonl akumuleeruvat energat. Vmane estatakse tavalselt energa thedusena. Näteks u σ = du dv = Eε2 x 2 = ε xσ x 2 = σ2 x 2E, u τ = du dv = Gγ2 xy 2 = γ xyτ xy 2 = τ2 xy 2G (1.22) ja summaarne deformatsoonenerga thedus u = u σ + u τ. (1.23)

21 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 40 Seos pngete ja ssejõudude vahel M y = Joons 1.24: Pnged varda rstlõke elementaarpnnal d. N = σ x d; Q y = zσ x d; M z = τ xy d; Q z = yσ x d; T = τ xz d; (1.24) (yτ xz zτ xy )d. (1.25) 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 41 Pkkepnge σ x = N (1.26) Joons 1.25: Pkkepnge

22 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 42 Pandepnge σ x = M y I y z (1.27) Joons 1.26: Pandepnge 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 43 Nhkepnge ehk lõkepnge maxτ xz = 3 2 Q z (1.28) Joons 1.27: Lõkepnge

23 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 44 Pnguste lgd Joons 1.28: Pnguste lgd 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 45 Varda põhdeformatsoond. Ernevad ssejõud põhjustavad vardas ernevad deformatsoone, srded ja pöörded. Joons 1.29: Varda põhdeformatsoond

24 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 46 Surutud srge saleda varda stablsus. Joons 1.30: Varda nõtke ja stablsuse kadu 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 47 Joons 1.31: Krtlne jõud ja stablsuse kadu

25 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 48 Stablsuse kadu pandel ja kve Joons 1.32: Kve 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 49 Dünaamlne koormus Inertsjõud, D lembert prntsp, kvaasstaatlsed ülesanded Võnkumne Löök lajaotuse 1.3 kokkuvõte Kuna tugevusõpetus põhneb lneaarsel elastsusteooral, ss on nel kahel anel väga palju ühst materjald on lneaarselt elastsed, homogeensed, sotroopsed; kehtb Sant Venant prntsp 2, jne. Tesest küljest on tugevusõpetuse puhul tegu maksmaalselt lhtsustatud teooraga seega leavad paljud probleemd lneaarses elastsusteooras kästlemst vähem lhtsustatud kujul. Näteks talade pane. Mõned järgnevates peatükkdes uurtavad probleemd pole aga üldse tugevusõpetuse uurmsobjektks, näteks plaadd. 2 Koormuse rakenduskohast psavalt kaugel e sõltu pnge koormuse seloomust (rakendusvsst).

26 1.4. Elastsusteoora ülesanded Elastsusteoora ülesanded Elastsusteoora põhülesandeks on elastses kehas välsmõjude tomel tekkvate pngete ja deformatsoonde määramne. Elastsusteoora meetodd võmaldavad lahendada ülesanded, mda pole tugevusõpetuse meetodtega võmalk lahendada; võmaldavad hnnata tugevusõpetuses saadud lahendte täpsust. Käesolevas kursuses vaadeldakse välsmõjudena vad välsjõudusd; lneaarset ehk klasskalst elastsusteoorat. pngete ja deformatsoonde vahelsed seosed on lneaarsed srded (ehk pagutsed) on väkesed võrreldes kehade joonmõõtmetega nng deformatsoond (suhtelsed pkenemsed ja nhkenurgad) on väkesed võrreldes ühega Klasskalse elastsusteoora põheeldused ja põhhüpoteesd Klasskalse elastsusteoora põheeldused ja põhhüpoteesd Uurmsobjekt: deaalselt (täelkult) elastne keha. Ideaalselt elastne keha taastab täelkult oma algse kuju ja mahu pärast välsjõudude mõju kõrvaldamst. Defneertakse nn. algolek: välsjõudude puudumsel puuduvad kehas pnged ja deformatsoond. Hüpoteesd ja eeldused Pdevuse hüpotees: eeldame, et uurtavad tahked kehad koosnevad anest, ms tädab ruum pdevalt Keha mstahes mahus puuduvad tühmkud võ katkevused. Eeldatakse, et deaalselt elastne keha on homogeenne. Pnge deformatsoon seosed on kõgs keha punktdes samad.

27 1.5. Klasskalse elastsusteoora põheeldused ja põhhüpoteesd 52 Eeldatakse, et deaalselt elastne keha on sotroopne. Keha elastsed omadused on samad kõgs suundades. Superpostsoon prntsp ehk jõudude mõju sõltumatuse prntsp. Lneaarne teoora: lneaarsed seosed ja väkesed deformatsoond Selle asemel, et uurda jõusüsteem tervkmõju kehale võb uurda ga ükskjõu mõju erald ja tulemused lta. Tessõnu, lneaarses elastsusteooras loetakse ernevate lahendte summa alat lahendks. Sant Venant prntsp. Kaks sõnastust: 1. Tasakaalus olevate jõudude rakendamne mngl väkesel keha osal kutsub esle vad lokaalsed pnged rakenduskoha lähümbruses (Joon. 1.33). 2. Koormuse rakenduspunktst psavalt kaugel e sõltu pnged olulselt koormuse rakendusvsst, st. jaotusest keha pnnal Klasskalse elastsusteoora põheeldused ja põhhüpoteesd 53 a) b) Joons 1.33: Sant Venant prntsp: a) kahe taskaalus oleva jõu poolt põhjustatud normaalpngete epüür; b) kolm erneval jaotunud koormust, mllel on sama peavektor.