ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Transcript

1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 2 ο

2 Μάθημα 2 ο Αριθμητική επίλυση εξισώσεων (μη γραμμικές) Μέθοδοι με διαδοχικές δοκιμές σε διάστημα (Διχοτόμησης, Regula-Falsi) Μέθοδοι με επαναληπτικούς αναδρομικούς τύπους (Τέμνουσας, Newton, Muller) Σφάλματα

3 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Παραδείγματα μη γραμμικών εξισώσεων f x x x 5 ( ) 1 0 f x x x 3 ( ) f x x x x 2 2 ( ) sin( ) 1 0 Είναι φανερό ότι οι παραπάνω εξισώσεις δεν μπορούν να επιλυθούν με τις γνωστές αναλυτικές μεθόδους.

4 Σύγκλιση Τάξη σύγκλισης Μια μέθοδος συγκλίνει όταν μετά από ένα πεπερασμένο πλήθος βημάτων η προσεγγιστική λύση τείνει στον ίδιο αριθμό (αποτέλεσμα). Τάξη σύγκλισης είναι ο ρυθμός με τον οποίο η μέθοδος συγκλίνει (ταχύτητα).

5 Σύγκλιση Τάξη σύγκλισης Η μέθοδος συγκλίνει με τάξη σύγκλισης α όταν x 1 lim k x c k a x x k όπου c μια σταθερά. Αν α=1 γραμμική σύγκλιση Αν α>1 υπεργραμμική Αν α=2 τετραγωνική

6 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Διαδοχική προσέγγιση με δοκιμές Θεώρημα Bolzano Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [a, b] καιισχύειότι f(a) f(b) <0 τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας πραγματικός αριθμός x μέσα στο ανοιχτό διάστημα (a, b) ο οποίος θα είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0.

7 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Διαδοχική προσέγγιση με δοκιμές Να βρεθεί η ρίζα της εξίσωσης f(x)=0 με f x x x 3 ( ) 1 στο διάστημα ( 1, 1) a 1, b 1 f a f b f a f 1 1 f f b

8 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Διαδοχική προσέγγιση με δοκιμές f x x x 3 ( ) 1 x 0.5 f x 0.7 f x 0.68 f

9 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων f(x)=x 3 +x root

10 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων root

11 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων root

12 Μέθοδος Διχοτόμησης

13 Μέθοδος Διχοτόμησης (Αλγόριθμος) ΕΙΣΟΔΟΣ: f(x), a, b, tol, N ΒΗΜΑ 1 ο Θέσε i=1 ΒΗΜΑ 2 ο Όταν i<=n εκτέλεσε τα βήματα 3-6 ΒΗΜΑ 3 ο Θέσε x=a+(b-a)/2 ΒΗΜΑ 4 ο Αν f(x)=0 ή (b-a)/2<tol τότε ΕΞΟΔΟΣ:Το x είναι η λύση και τερμάτισε ΒΗΜΑ 5 ο Αν f(a)*f(x)>0 τότε θέσε a=x διαφορετικά b=x ΒΗΜΑ 6 ο Θέσε i=i+1 ΒΗΜΑ 7 ο ΕΞΟΔΟΣ:Η μέθοδος εξάντλησε όλες τις επαναλήψεις και τερμάτισε

14 Μέθοδος Διχοτόμησης Στο πρώτο βήμα έχουμε b a 1 10 k x a x b tol 2 2 Στο δεύτερο βήμα έχουμε b2 a2 b1 a1 tol 2 4 Γενικά στο n βήμα έχουμε bn an bn 1 an 1 b1 a1 tol 2 n n b a tol

15 Μέθοδος Διχοτόμησης Παράδειγμα Να βρεθεί ο απαιτούμενος αριθμός επαναλήψεων για την εύρεση ρίζας της εξίσωσης 3 f x x x 1 a 1 b 1 tol

16 Μέθοδος Διχοτόμησης

17 0 Convegence of x x iterations

18 1.2 Convegence of f(x) f(x) iterations

19 Μέθοδος Εσφαλμένης Θέσης (Regula Falsi)

20 Μέθοδος Εσφαλμένης Θέσης (Regula Falsi) ΕΙΣΟΔΟΣ: f(x), a, b, tol, N ΒΗΜΑ 1 ο Θέσε i=1 ΒΗΜΑ 2 ο Όταν i<=n εκτέλεσε τα βήματα 3-6 ΒΗΜΑ 3 ο Θέσε x=b-(b-a)/(f(b)-f(a))*f(b) ΒΗΜΑ 4 ο Αν f(x)=0 ή (b-a)/2<tol τότε ΕΞΟΔΟΣ:Το x είναι η λύση και τερμάτισε ΒΗΜΑ 5 ο Αν f(a)*f(x)>0 τότε θέσε a=x διαφορετικά b=x ΒΗΜΑ 6 ο Θέσε i=i+1 ΒΗΜΑ 7 ο ΕΞΟΔΟΣ:Η μέθοδος εξάντλησε όλες τις επαναλήψεις και τερμάτισε

21 ΜΕΘΟΔΟΣ Regula-Falsi

22 -0.45 Convegence of x x iterations

23 0.4 Convegence of f(x) f(x) iterations

24 Παραδείγματα Να βρεθεί η ρίζα (ρίζες) της συνάρτησης 3 2 f x 64x 176x 140x 25 a 0, b 2, 5δεκαδικά ψηφία Να βρεθεί η ρίζα (ρίζες) της συνάρτησης 3 2 f x 64x 144x 92x 15 a 0, b 2, 5δεκαδικά ψηφία