= g(x e, Y e ) = g e (X, Y ) = g(x, Y )(e), = d(l (gα) 1 L g ) α u, d(l (gα) 1 L g ) α v

Transcript

1 Κεφάλαιο 9 Η γεωμετρία μιας ομάδας Le Σύνοψη Θα μελετήσουμε αριστερά αναλλοίωτες και αμφιαναλλοίωτες μετρικές Remann σε μια ομάδα Le. Θα παρουσιάσουμε τύπους για τη συνοχή Lev-Cvta, την καμπυλότητα τομής, την καμπυλότητα Rcc και τη βαθμωτή καμπυλότητα για μια συμπαγή ομάδα Le. Θα ταξινομήσουμε τις αριστερά αναλλοίωτες μετρικές στην SU() = S 3 και θα μελετήσουμε τη γεωμετρία αυτής. Οι αναφορές μας είναι τα βιβλία [1], [], [3], [] και [6]. Το βιβλίο [8] και η εργασία [9] είναι αρκετά αυξημένης δυσκολίας. Προαπαιτούμενη γνώση Διαφορικός λογισμός μιας και πολλών μεταβλητών, εισαγωγή στις πολλαπλότητες, εισαγωγή στις ομάδες Le, γραμμική άλγεβρα. Ενα εσωτερικό γινόμενο στον εφαπτόμενο χώρο μιας ομάδας Le ορίζει μια μετρική Remann η οποία είναι αριστερά αναλλοίωτη, δηλαδή οι αριστερές μεταφορές είναι ισομετρίες. Η μελέτη της γεωμετρίας Remann μιας τέτοιας μετρικής είναι σημαντική, αλλά διάφοροι τύποι για τη συνοχή Lev-Cvta, καμπυλότητα κ.λπ. είναι κάπως περίπλοκοι (βλ. για παράδειγμα [3], [9]). Μια συμπαγής όμως ομάδα Le επιδέχεται πάντα μια μετρική Remann, η οποία να είναι αριστερά και δεξιά αναλλοίωτη (αμφιαναλλοίωτη, δες και τον Ορισμό 9.) και τότε οι τύποι των καμπυλοτήτων απλουστεύονται δραστικά. 9.1 Αριστερά αναλλοίωτες μετρικές Ορισμός 9.1. Μια μετρική Remann g σε μια ομάδα Le G καλείται αριστερά αναλλοίωτη (left-nvarant), εάν οι αριστερές μεταφορές L α : G G είναι ισομετρίες, για κάθε α G. Συγκεκριμένα, ισχύει g x (u, v) = g Lα(x)((dL α ) x u, (dl α ) x v), για κάθε α, x G και u, v T x G. Ανάλογα, μια μετρική Remann θα καλείται δεξιά αναλλοίωτη αν οι δεξιές μεταφορές R α : G G είναι ισομετρίες. Επειδή κάθε σημείο α G μπορεί να μεταφερθεί στο ουδέτερο σημείο e G μέσω

2 Η γεωμετρία μιας ομάδας Le των αριστερών ή δεξιών μεταφορών, ο εφαπτόμενος χώρος T α G είναι ισόμορφος με τον T e G. Συνεπώς, η συνθήκη για να είναι η μετρική g αριστερά αναλλοίωτη γράφεται ως g e (u, v) = g α ((dl α ) e u, (dl α ) e v), για κάθε α G και u, v T e G. Συνήθως παραλείπουμε το ουδέτερο στοιχείο και γράφουμε απλά g(u, v) = g α (dl α (u), dl α (v)). Ετσι μια αριστερά αναλλοίωτη μετρική στην G είναι ένα εσωτερικό γινόμενο στην άλγεβρα Le g. Συγκεκριμένα, ισχύει η εξής σημαντική πρόταση: Πρόταση 9.1. Υπάρχει μια 1 1 αντιστοιχία μεταξύ των αριστερά αναλλοίωτων μετρικών σε μια ομάδα Le G και εσωτερικών γινομένων στην άλγεβρα Le g της G (ή στον εφαπτόμενο χώρο T e G, μέσω του κανονικού ισομορφισμού g X X e T e G). Απόδειξη. Εστω g μια αριστερά αναλλοίωτη μετρική στην G και X, Y g. Τότε η συνάρτηση g(x, Y ) : G R, α g(x, Y )(α) g α (X α, Y α ) είναι σταθερή στην G. Πράγματι, για κάθε α G και επειδή τα διανυσματικά πεδία X, Y είναι αριστερά αναλλοίωτα, θα έχουμε ότι g(x, Y )(α) = g α (X α, Y α ) = g α ((dl α ) e (X e ), (dl α ) e (Y e )) = g(x e, Y e ) = g e (X, Y ) = g(x, Y )(e), όπου η τρίτη ισότητα προκύπτει από το γεγονός ότι η μετρική είναι αριστερά αναλλοίωτη. Άρα επειδή g(x, Y )(α) = g e (X, Y ), η συνάρτηση g(x, Y ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο g e (, ), e στην g. Αντίστροφα, έστω, e ένα εσωτερικό γινόμενο στην g. Τότε η μετρική που ορίζεται ως g α (u, v) = (dl α 1) α u, (dl α 1) α v e, για κάθε α G και u, v T α G είναι μια αριστερά αναλλοίωτη μετρική στην G. Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε α, g G και u, v T α G ισχύει g α (u, v) = g Lg(α)((dL g ) α u, (dl g ) α v). Πράγματι, είναι g Lg(α)((dL g ) α u, (dl g ) α v) = (dl (gα) 1) gα ((dl g ) α u), (dl (gα) 1) gα ((dl g ) α v) = d(l (gα) 1 L g ) α u, d(l (gα) 1 L g ) α v = (dl α 1) α u, (dl α 1) α = g α (u, v). Ορισμός 9.. Μια μετρική Remann σε μια ομάδα Le η οποία είναι ταυτόχρονα αριστερά και δεξιά αναλλοίωτη ονομάζεται αμφιαναλλοίωτη (b-nvarant). Ορισμός 9.3. Ενα εσωτερικό γινόμενο, στην άλγεβρα Le g μιας ομάδας Le G ονομάζεται Adαναλλοίωτο εάν ισχύει η σχέση Ad(α)X, Ad(α)Y = X, Y, για κάθε α G και X, Y g. Για τις αμφιαναλλοίωτες μετρικές ισχύει ο εξής χαρακτηρισμός:

3 Αριστερά αναλλοίωτες μετρικές 3 Πρόταση 9.. Υπάρχει μια 1 1 αντιστοιχία μεταξύ των αμφιαναλλοίωτων μετρικών σε μια ομάδα Le G και Ad-αναλλοίωτων εσωτερικών γινομένων στην άλγεβρα Le g της G. Επιπλέον, η συνθήκη του Ad-αναλλοίωτου είναι ισοδύναμη με την σχέση [X, Y ], Z = X, [Y, Z]. Απόδειξη. Θυμίζουμε ότι η συζυγής αναπαράσταση Ad : G Aut(g) της ομάδας G έχει τύπο Ad(α) = (di α ) e, όπου I α : G G, x αxα 1 είναι ο εσωτερικός αυτομορφισμός της G, για τον οποίο ισχύει I α = L α R α 1. Εστω g μια αμφιαναλλοίωτη μετρική στην G. Τότε, επειδή η μετρική θα είναι ταυτόχρονα αριστερά και δεξιά αναλλοίωτη, από την Πρόταση 9.1 η απεικόνιση g(x, Y ) : G R ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο g e (X, Y ) = X, Y e στην g. Θα δείξουμε ότι αυτό είναι Ad-αναλλοίωτο. Πράγματι, έστω α G και X, Y g. Τότε είναι Ad(α)X, Ad(α)Y e = g e (Ad(α)X, Ad(α)Y ) = g e ((di α ) e X, (di α ) e Y ) = g e (d(l α R α 1) e X, d(l α R α 1) e Y ) = g e ((dl α ) α 1dR α 1X, (dl α ) α 1dR α 1Y ) = g α 1(dR α 1X, dr α 1Y ), αφού η g e είναι αριστερά αναλλοίωτη = g e (X, Y ), αφού η g e είνα δεξιά αναλλοίωτη = X, Y e. Τέλος, θα δείξουμε ότι, αν το εσωτερικό γινόμενο, στον χώρο g είναι Ad-αναλλοίωτο, τότε για κάθε X, Y, Z g ικανοποιείται η σχέση [X, Y ], Z = X, [Y, Z]. Εστω φ X (t) = exp(tx) η μονοπαραμετρική υποομάδα του X g. Τότε [X, Y ], Z = ad(x)y, Z = ((dad) e X)Y, Z = (dad) e (φ X(0))Y, Z d = dt Ad(exp(tX))Y t=0, Z = d Ad(exp(tX))Y, Z dt t=0 dt = d Y, Ad(exp( tx))z t=0 = Y, ad(x)z = Y, [X, Z] (9.1) Στην έκτη ισότητα χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι το εσωτερικό γινόμενο είναι Ad-αναλλοίωτο. Συγκεκριμένα τη σχέση Ad(g)X, Y = Ad(g)X, Ad(g)Ad(g 1 )Y = X, Ad(g 1 )Y, όπου g ήταν το exp(tx), για το οποίο ισχύει (exp(tx)) 1 = exp( tx). Η ισότητα (9.1) είναι ισοδύναμη με τη σχέση [X, Y ], Z = X, [Y, Z]. Το αντίστροφο αφήνεται ως άσκηση. Για την περίπτωση μιας συμπαγούς ομάδας Le και λόγω του Θεώρημα 8., ισχύει το εξής: Θεώρημα 9.1. Κάθε συμπαγής ομάδα Le επιδέχεται μια αμφιαναλλοίωτη μετρική.

4 Η γεωμετρία μιας ομάδας Le Η μορφή Kllng B μιας ομάδας Le G είναι Ad-αναλλοίωτη (Πρόταση 8.6). Επίσης, όταν η G είναι συμπαγής και ημιαπλή, τότε η B είναι αρνητικά ορισμένη (Θεώρημα 8.10). Κατά συνέπεια, η συμμετρική μορφή B ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στην άλγεβρα Le g της G, άρα από την προηγούμενη πρόταση αν η G είναι συμπαγής και ημιαπλή, τότε η B ορίζει μια αμφιαναλλοίωτη μετρική σε αυτήν. Παράδειγμα. Η ομάδα Le SU() είναι συμπαγής και ημιαπλή και έχει μορφή Kllng B(X, Y ) = trxy. Επομένως, για κάθε X, Y su() το εσωτερικό γινόμενο X, Y = B(X, Y ) = trxy, ορίζει μια αμφιαναλλοίωτη μετρική στην SU() Αριστερά αναλλοίωτες μετρικές στην SU() Η περιγραφή όλων των αριστερά αναλλοίωτων μετρικών σε μια ομάδα Le είναι γενικά ένα δύσκολο πρόβλημα, επειδή λόγω της Πρότασης 9.1 αυτό ανάγεται στην εύρεση όλων των εσωτερικών γινομένων σε έναν διανυσματικό χώρο πεπερασμένης διάστασης. Στην εργασία [7] έχουν ταξινομηθεί όλες οι αριστερά αναλλοίωτες μετρικές στις απλά συνεκτικές ομάδες Le διάστασης 3. Εδώ θα δείξουμε ότι όλες οι αριστερά αναλλοίωτες μετρικές στην ομάδα Le SU() είναι ισοδύναμες ως προς έναν αυτομορφισμό της su() με τη διαγώνια μετρική. Λέγοντας διαγώνια μετρική εννοούμε τη μετρική, της οποίας ο πίνακας ως προς μια ορθοκανονική βάση είναι διαγώνιος. Η ομάδα Le SU() είναι αμφιδιαφορική με την σφαίρα S 3. Συνεπώς, ο καθορισμός όλων των αριστερά αναλλοίωτων μετρικών σε αυτήν μάς επιτρέπει να περιγράψουμε πολλές γεωμετρίες της σφαίρας, πέραν αυτής που ορίζεται από την κανονική μετρική (δηλαδή αυτής που επάγεται από τον εγκλεισμό S 3 R ). Αρχικά θα προσδιορίσουμε την ομάδα των αυτομορφισμών Aut(su()) της su(). Θυμίζουμε ότι το σύνολο των αυτομορφισμών ενός διανυσματικού χώρου είναι ομάδα Le. Πρόταση 9.3. Η ομάδα Le Aut(su()) = Aut(so(3)) είναι ισόμορφη με την SO(3). Απόδειξη. Η άλγεβρα Le της ομάδας SO(3) είναι το σύνολο όλων των αντισυμμετρικών πινάκων, δηλαδή so(3) = {A GL 3 R : A + A t = 0} = span X 1 =, X = Με απλό υπολογισμό βρίσκουμε ότι , X 3 = [X 1, X ] = X 3, [X 3, X 1 ] = X, [X 3, X ] = X Θεωρούμε έναν αυτομορφισμό φ Aut(so(3)) και υπολογίζουμε τον πίνακα αυτού ως προς τη βάση {X 1, X, X 3 }. Στόχος μας είναι να δείξουμε ότι ο συγκεκριμένος πίνακας θα ανήκει στην ομάδα SO(3). Εχουμε φ(x 1 ) = α 11 X 1 + α 1 X + α 31 X 3 φ(x ) = α 1 X 1 + α X + α 3 X 3 φ(x 3 ) = α 13 X 1 + α 3 X + α 33 X 3

5 Αριστερά αναλλοίωτες μετρικές 5 Επομένως, ο πίνακας της απεικόνισης φ : so(3) so(3) θα είναι [φ] = α 11 α 1 α 13 α 1 α α 3 α 31 α 3 α 33 Επειδή φ Aut(so(3)), θα ισχύει ότι φ([x, X j ]) = [φ(x ), φ(x j )]. Επομένως, θα πρέπει. φ([x 1, X ]) = [φ(x 1 ), φ(x )] φ(x 3 ) = 3 3 [ α 1 X 1, α X ] =1 =1 3 α 3 X = [α 1 X, α 1 X 1 ] + [α 31 X 3, α 1 X 1 ] + [α 11 X 1, α X ] =1 +[α 31 X 3, α X ] + [α 11 X 1, α 3 X 3 ] + [α 1 X, α 3 X 3 ] α 13 X 1 + α 3 X + α 33 X 3 = (α 1 α 3 α 31 α )X 1 + (α 31 α 1 α 11 α 3 )X άρα από την παραπάνω ισότητα θα είναι +(α 11 α α 1 α 1 )X 3, ( ) α 1 α α 13 = α 1 α 3 α 31 α = det = det[φ(1 3)] α 31 α 3 ( ) α 11 α 1 α 3 = α 31 α 1 α 11 α 3 = det = det[φ( 3)] α 31 α 3 ( ) α 11 α 1 α 33 = α 11 α α 1 α 1 = det = det[φ(3 3)], α 1 α όπου [φ( j)] είναι ο πίνακας που προκύπτει διαγράφοντας την -γραμμή και την j-στήλη. Με παρόμοιους υπολογισμούς θα βρούμε ότι Επομένως, ο πίνακας [φ] θα έχει την εξής μορφή: α j = ( 1) +j det[φ( j)] A j, για κάθε, j = 1,, 3. [φ] = A 11 A 1 A 13 A 1 A A 3 A 31 A 3 A 33 Στο σημείο αυτό θυμίζουμε από την γραμμική άλγεβρα ότι, αν A M n (K), όπου K {R, C}, για τον οποίο ισχύει deta 0, τότε ο αντίστροφός του δίνεται από την σχέση A 1 = 1 adja. Τα στοιχεία του deta προσαρτημένου πίνακα adja δίνονται από τη σχέση A j = ( 1) +j deta( j) και αυτός είναι ίσος με adja = (A j ) t.

6 6 Η γεωμετρία μιας ομάδας Le Με βάση αυτό έχουμε ότι adj[φ] = [φ] t, οπότε [φ][φ] t = [φ]adj[φ] = [φ][φ] 1 det[φ] = I 3 det[φ]. Παίρνοντας την ορίζουσα και στα δύο μέλη της παραπάνω ισότητας προκύπτει ότι det([φ][φ] t ) = det(i 3 det[φ]) det[φ]det[φ] t = (det[φ]) 3 det[φ]det[φ] = (det[φ]) 3 1 = det[φ]. (9.) Άρα τελικά παίρνουμε ότι [φ][φ] t = I 3 και det[φ] = 1, επομένως ο πίνακας της απεικόνισης φ : so(3) so(3) ανήκει στην ομάδα SO(3). Δηλαδή αποδείξαμε ότι φ Aut(so(3)) αν και μόνο αν [φ] SO(3). Εστω G μια ομάδα Le και g η αντίστοιχη άλγεβρα Le. Συμβολίζουμε με M τον διανυσματικό χώρο όλων των εσωτερικών γινομένων στην g (αυτός έχει διάσταση n(n + 1)/) και ορίζουμε μια σχέση ισοδυναμίας στον M ως εξής:,, υπάρχει φ Aut(g) ώστε, = φ 1, φ 1. Χρησιμοποιώντας την 1 1 αντιστοιχία μεταξύ εσωτερικών γινομένων και αριστερά αναλλοίωτων μετρικών στην ομάδα G, δύο αριστερά αναλλοίωτες μετρικές g, g θα λέγονται ισοδύναμες ως προς έναν αυτομορφισμό της g, αν υπάρχει θ Aut(g), έτσι ώστε g (, ) = g(θ 1, θ 1 ). Αν θεωρήσουμε μια βάση {X 1, X,..., X n } του χώρου g, τότε η προηγούμενη σχέση γράφεται με τη μορφή πινάκων ως [g ] = [θ 1 ] t [g][θ 1 ] 1, όπου [g ] = g (X, X j ) = g j, [g] = g(x, X j ) = g j οι πίνακες των μετρικών και [θ 1 ] ο πίνακας της απεικόνισης θ 1 : g g ως προς τη βάση {X 1, X,..., X n }. Με βάση τα προηγούμενα είμαστε σε θέση να αποδείξουμε ότι όλες οι αριστερά αναλλοίωτες μετρικές στην ομάδα Le SU() είναι ισοδύναμες ως προς έναν αυτομορφισμό με τη διαγώνια μετρική. Επειδή η διάσταση της SU() είναι 3, αυτό σημαίνει ότι δεν θα εξαρτώνται από 3(3 + 1)/ = 6 παραμέτρους, αλλά μόνο από 3. 1 Αν [g] είναι ο πίνακας της μετρικής τότε για κάθε X = α X, Y = β jx j g θα είναι g(x, Y ) = [X] t [g][y ], όπου [X] t = (α 1, α,..., α n) t και [Y ] = (β 1, β,..., β n).

7 Αριστερά αναλλοίωτες μετρικές 7 Θεώρημα 9.. Κάθε αριστερά αναλλοίωτη μετρική στην ομάδα Le SU() είναι ισοδύναμη ως προς αυτομορφισμό, με τη μετρική της οποίας ο πίνακας ως προς μια ορθοκανονική βάση δίνεται ως λ λ 0, όπου λ 1 λ λ 3 > λ 3 Απόδειξη. Εστω g μια αριστερά αναλλοίωτη μετρική της SU(). Θεωρούμε μια ορθοκανονική βάση B = {X 1, X, X 3 } της su() και συμβολίζουμε με [g] = (g j ) τον πίνακα της μετρικής g ως προς την B, δηλαδή g(x, X j ) = g j. Ο πίνακας [g] είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος, οπότε υπάρχει ορθογώνιος πίνακας P O(3), τέτοιος ώστε P 1 [g]p = P t [g]p = λ λ λ 3 [g ], (9.3) όπου τα λ 1, λ και λ 3 είναι θετικοί αριθμοί, επειδή ο πίνακας [g] είναι θετικά ορισμένος. Θέλουμε να δείξουμε ότι η μετρική g είναι ισοδύναμη ως προς έναν αυτομορφισμό της su() με τη διαγώνια μετρική g της οποίας ο πίνακας είναι ο [g ]. Δηλαδή g g υπάρχει φ Aut(su()) = SO(3) τέτοιος ώστε [g ] = [φ] t [g][φ]. Μέχρι στιγμής έχουμε ότι [g ] = P t [g]p και P O(3). Εάν P SO(3), η απόδειξη τελείωσε. Εάν P O(3) \ SO(3), μπορούμε να τον γράψουμε ως P = Qσ, όπου Q SO(3) και σ = dag( 1, 1, 1). Παρατηρούμε ότι για τον διαγώνιο πίνακα σ ισχύει ότι σ 1 = σ και σ t = σ, οπότε θα έχουμε Άρα θα είναι P = Qσ P σ 1 = Q P σ = Q. Q t [g]q = (P σ) t [g]p σ = σ t P t [g]p σ = σp t [g]p σ λ = λ = λ λ λ λ 3 = P t [g]p Από την παραπάνω ισότητα έχουμε ότι Q t [g]q = [g ], όπου Q SO(3) = Aut(su()). Επομένως, η μετρική g είναι ισοδύναμη ως προς έναν αυτομορφισμό με τη διαγώνια μετρική g. Τέλος, επειδή οι πίνακες , ανήκουν στην SO(3), μπορούμε να αλλάξουμε τα διαγώνια στοιχεία λ 1, λ και λ 3, έτσι ώστε να έχουμε λ 1 λ λ 3 > 0. Πράγματι, detp = detqσ = detqdetσ = 1( 1) = 1.

8 8 Η γεωμετρία μιας ομάδας Le Γενικά ισχύει το εξής, το οποίο αφήνουμε ως άσκηση: Πρόταση 9.. Εστω G μια από τις κλασικές ομάδες Le O(n), SO(n), U(n) ή SU(n) εφοδιασμένη με την αριστερά αναλλοίωτη μετρική g(x, Y ) = Re(tr( X t Y )). Τότε για κάθε X g ο τελεστής ad X : g g είναι αντισυμμετρικός. 9. Συνοχή Lev-Cvta και καμπυλότητα τομής Εστω G μια ομάδα Le εφοδιασμένη με μια αριστερά αναλλοίωτη μετρική g και έστω g η άλγεβρα Le της G. Επειδή η απεικόνιση g(x, Y ) : G R είναι σταθερή για κάθε X, Y g, θα έχουμε ότι Z X, Y = 0 για κάθε Z g. Συνεπώς οι τρείς πρώτοι όροι στον τύπο του Koszul (βλ. Κεφάλαιο 5) θα μηδενίζονται, άρα παίρνει τη μορφή g( X Y, Z) = g(x, [Y, Z]) + g(y, [Z, X]) + g(z, [X, Y ]). Εχουμε λοιπόν το εξής: Πρόταση 9.5. Εστω (G, g) μια ομάδα Le εφοδιασμένη με μια αριστερά αναλλοίωτη μετρική. Τότε η συνοχή Lev-Cvta ικανοποιεί την σχέση g( X Y, Z) = g(x, [Z, Y ]) + g(y, [Z, X]) + g(z, [X, Y ]). Ισοδύναμα, η συνοχή μπορεί να εκφραστεί ως X Y = 1 ([X, Y ] (ad X) Y (ad Y ) X), όπου T συμβολίζει τον συζυγή του τελεστή T. Επιπλέον, εάν η μετρική είναι αμφιαναλλοίωτη, τότε ο τελεστής ad Z (Πρόταση 9.), συνεπώς η συνοχή Lev-Cvta δίνεται από την σχέση : g g είναι αντισυμμετρικός X Y = 1 [X, Y ], X, Y g. Ερχόμαστε τώρα στην καμπυλότητα τομής. Θυμίζουμε ότι (βλ. Κεφάλαιο 6) ο τανυστής καμπυλότητας μιας πολλαπλότητας Remann δίνεται από τον τύπο και η καμπυλότητα τομής ως R(X, Y )Z = [X,Y ] Z + X Y Z Y X Z K(Π) = g(r(x, Y )Y, X) g(x, X)g(Y, Y ) g(x, Y ), όπου Π = span{x, Y } ένας δισδιάστατος υπόχωρος του χώρου g.

9 Συνοχή Lev-Cvta και καμπυλότητα τομής 9 Θεωρούμε μια ορθοκανονική βάση {X 1,..., X n } της g, οπότε ο παραπάνω τύπος δίνει K(X, X j ) = g(r(x, X j )X j, X ) = g( [X,X j ]X j + X Xj X j Xj X X j, X ) = g( [X,X j ]X j, X ) + g( X Xj X j, X ) g( Xj X X j, X ) = g( X X j X j, X ) + g( Xj X X j, X ) + g( X Xj X j, X ) g( Xj X X j, X ). (9.) Στην τέταρτη ισότητα χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι η συνοχή Lev-Cvta έχει μηδενική στρέψη, δηλαδή για κάθε X, Y g ισχύει [X, Y ] = X Y Y X. Από την Άσκηση 7 του Κεφαλαίου 5 είναι X X j = g( X X j, X )X, (9.5) όπου η συνάρτηση g( X X j, X ) δίνεται δίνεται από το Θεώρημα 9.5. Για ευκολία στις πράξεις θέτουμε c j = g([x, X j ], X ) και παρατηρούμε ότι c j = c j και c = 0. Τότε ο τύπος του Koszul παίρνει τη μορφή g( X X j, X ) = 1 ( c j + cj + c j), οπότε αντικαθιστώντας στη σχέση (9.5) προκύπτει ότι X X j = 1 ( c j + cj + c j)x. Με βάση τα παραπάνω παίρνουμε ότι X Xj X j = 1 c j j ( c l + c l + cl )X l,,l Xj X X j = 1 ( c j + cj + c j)( c j l + c lj + cl j )X l,,l X X j X j = 1 ( c j + cj + c j)( c jl + cj l + cl j )X l,,l Xj X X j = 1 ( c j + c j + c j)( c jl + cj l + cl j )X l.,l Επομένως, οι όροι στη σχέση (9.), μετά από κάποιους υπολογισμούς, θα δίνονται ως εξής: g( Xj X X j, X ) = 1 ( c j c j + (c j) (c j ) (c j )) g( X Xj X j, X ) = 1 c j j c g( X X j X j, X ) = 1 ( c j c j + (c j ) + (c j) (c j )) g( Xj X X j, X ) = 1 ( c j c j + (c j ) (c j) (c j )).

10 10 Η γεωμετρία μιας ομάδας Le Άρα, αντικαθιστώντας στην (9.) τις παραπάνω σχέσεις και κάνοντας πράξεις, η καμπυλότητα τομής για μια ομάδα Le G η οποία είναι εφοδιασμένη με μια αριστερά αναλλοίωτη μετρική δίνεται από τον τύπο: K(X, X j ) = c cj j 3 (c j) 1 c j( c j + c j ) + 1 ( (c j ) + (c j )) + 1 c j c j. (9.6) Παράδειγμα. Θεωρούμε την ομάδα Le SU() = S 3 με άλγεβρα Le su() = { A GL n C : A + Āt = 0, tra = 0 } {( a = b + c ( ) ( ) ( { = span X 1 =, X =, X 3 = ) } b + c : a, b, c R a ) 0 }. 0 Θεωρούμε την αριστερά αναλλοίωτη μετρική g στην SU(), η οποία ως προς τη βάση { X 1, X, X 3 } δίνεται ως [g] = λ µ ν, όπου λ µ ν > 0, δηλαδή είναι g(x 1, X 1 ) = λ, g(x, X ) = µ, g(x 3, X 3 ) = ν και g(x, X j ) = 0 για j. Θέτουμε Y 1 = 1 λ X 1, Y = 1 µ X και Y 3 = 1 ν X 3. Τότε η βάση { Y 1, Y, Y 3 } είναι ορθοκανονική ως προς τη μετρική g. Υπολογίζουμε στη συνέχεια τα γινόμενα Le αυτής της βάσης. Είναι [Y 1, Y ] = = = ( 1 λ λ ( ) 0 1 λµ 1 λµ 0 ) ( 0 1 µ X 3 = ν Y 3 = λµ λµ 1 µ 0 ) ( 0 λµ λµ 0 ν λµ Y 3. ( 0 1 µ 1 µ 0 ) = ( 0 λµ ) ( 1 λ 0 λµ ) λ ) Ανάλογα βρίσκουμε ότι µ [Y 1, Y 3 ] = λν Y λ και [Y, Y 3 ] = µν Y 1. Οι μοναδικοί μη μηδενικοί αριθμοί c j = g([y, Y j ], Y ) με, j, = 1,, 3 είναι οι c 3 1 = ν λµ, c 13 = λ µν και c1 3 = λ µν.

11 Η γεωμετρία μιας αμφιαναλλοίωτης μετρικής 11 Οπότε, χρησιμοποιώντας τον τύπο (9.6) και μετά από μερικές πράξεις προκύπτει ότι η καμπυλότητα τομής της σφαίρας S 3 = SU() είναι K(Y 1, Y ) = 3ν λµ + λ µν + µ λν + λ + µ ν K(Y 1, Y 3 ) = 3µ λν + λ µν + ν λµ + λ + ν µ K(Y, Y 3 ) = 3λ µν + ν λµ + µ λν + µ + ν λ. Εάν στη μετρική g θέσουμε µ = ν = 1 και για λ > 0, η σφαίρα αυτή ονομάζεται σφαίρα του Berger 3. Σε αυτή την περίπτωση η καμπυλότητα τομής της ομάδας Le SU() ισούται με K(Y 1, Y ) = K(Y 1, Y 3 ) = λ K(Y, Y 3 ) = 3λ. Παρατηρήστε ότι για λ = 1 (δηλαδή η μετρική στη σφαίρα είναι η επαγόμενη μετρική από τον R ), τότε η καμπυλότητα είναι σταθερή και ίση με 1 (όπως αναμένεται). Αξίζει να σημειώσουμε ότι η ομάδα Le SU() είναι η μοναδική απλά συνεκτική ομάδα Le η οποία επιδέχεται κάποια αριστερά αναλλοίωτη μετρική, για την οποία η καμπυλότητα τομής είναι γνήσια θετική. Συγκεκριμένα, ισχύει το εξής θεώρημα ([1]): Θεώρημα 9.3. Εστω G μια συμπαγής, συνεκτική και απλά συνεκτική ομάδα Le. Υποθέτουμε ότι η G επιδέχεται μια αριστερά αναλλοίωτη μετρική με γνήσια θετική καμπυλότητα τομής. αμφιδιαφορική με την ομάδα Le SU(). Τότε η G είναι 9.3 Η γεωμετρία μιας αμφιαναλλοίωτης μετρικής Επειδή οι γενικοί τύποι για την καμπυλότητα Rcc και για τη βαθμωτή καμπυλότητα μιας αριστερά αναλλοίωτης μετρικής γίνονται κάπως περίπλοκοι, συνήθως τους χειριζόμαστε ανάλογα με το πρόβλημα μελέτης. Οταν όμως η μετρική είναι αμφιαναλλοίωτη, τότε οι τύποι απλουστεύονται δραστικά, όπως θα δούμε στη συνέχεια. Πρόταση 9.6. Εστω G μια ομάδα Le εφοδιασμένη με μια αμφιαναλλοίωτη μετρική. Τότε (α) Η συνοχή Lev-Cvta δίνεται από τη σχέση X Y = 1 [X, Y ], για κάθε X, Y g. (β) Οι γεωδαισιακές με αρχή το ουδέτερο στοιχείο e G είναι οι μονοπαραμετρικές υποομάδες της G. Απόδειξη. (α) Εχει αποδειχθεί στην Πρόταση 9.5. (β) Εστω α X (t) = exp(tx) η μονοπαραμετρική υποομάδα της G που παράγεται από το διανυσματικό πεδίο X g, δηλαδή α X (0) = e και α X (0) = X. Για να είναι η α X γεωδαισιακή, θα πρέπει α X α X = 0. Πράγματι, επειδή X Y = 1 [X, Y ], είναι α X (0) α X (0) = XX = 1 [X, X] = 0. Λόγω όμως της μοναδικότητας, αυτές είναι όλες οι γεωδαισιακές. 3 Παραπέμπουμε στο βιβλίο [10] και στην εργασία [5] για περισσότερες πληροφορίες για τις σφαίρες του Berger.

12 1 Η γεωμετρία μιας ομάδας Le Πρόταση 9.7. Εστω G μια ομάδα Le εφοδιασμένη με μια αμφιαναλλοίωτη μετρική,. Τότε για κάθε X, Y, Z g ισχύει: (α) Ο τανυστής καμπυλότητας δίνεται ως (β) Η καμπυλότητα τομής ισούται με (γ) Ο τανυστής Rcc δίνεται από την σχέση R(X, Y )Z = 1 [[X, Y ], Z]. K(X, Y ) = 1 [X, Y ], [X, Y ] X, X Y, Y X, Y. Rc(X, Y ) = [X, E ], [Y, E ], όπου {E } είναι μια ορθοκανονική βάση της άλγεβρας Le g. Απόδειξη. (α) Από προηγούμενη πρόταση έχουμε ότι X Y = 1 [X, Y ], οπότε ο τύπος του τανυστή καμπυλότητας παίρνει τη μορφή Από τη ταυτότητα του Jacob έχουμε R(X, Y )Z = [X,Y ] Z + X Y Z Y X Z = 1 [[X, Y ], Z] + 1 [X, [Y, Z]] 1 [Y, [X, Z]] = 1 [[X, Y ], Z] + 1 ( ) [X, [Y, Z]] [Y, [X, Z]]. (9.7) [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] + [[X, Y ], Z] = 0 ([X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]]) = [[X, Y ], Z] ([X, [Y, Z]] [Y, [X, Z]]) = [[X, Y ], Z], οπότε προκύπτει ότι R(X, Y )Z = 1 [[X, Y ], Z]. (β) Για έναν δισδιάστατο υπόχωρο Π = span{x, Y } γνωρίζουμε ότι η καμπυλότητα τομής δίνεται από τον R(X, Y )Y, X τύπο K(Π) =. Από την περίπτωση (α) έχουμε X, X Y, Y X, Y R(X, Y )Y, X = 1 [[X, Y ], Y ], X. (9.8) Επειδή η μετρική είναι αμφιαναλλοίωτη, το εσωτερικό γινόμενο στον χώρο g θα είναι Ad-αναλλοίωτο, άρα θα ισχύει [[X, Y ], Y ], X = [X, Y ], [Y, X] = [X, Y ], [X, Y ]. Συνεπώς, θα είναι R(X, Y )Y, X = 1 [X, Y ], [X, Y ] και αντικαθιστώντας στο τύπο της καμπυλότητας θα έχουμε K(X, Y ) = 1 [X, Y ], [X, Y ] X, X Y, Y X, Y.

13 Η γεωμετρία μιας αμφιαναλλοίωτης μετρικής 13 (γ) Για τον τανυστή Rcc θα είναι Rc(X, Y ) = tr{z R(Z, X)Y } = R(E, X)Y, E = 1 [[E, X], Y ], E = 1 [X, E ], [Y, E ]. Η τέταρτη ισότητα ισχύει, επειδή το εσωτερικό γινόμενο είναι Ad-αναλλοίωτο. Από το (γ) της προηγούμενης πρότασης προκύπτει ότι ο τελεστής Rcc r : g g δίνεται από τον τύπο r(x) = 1 Πράγματι, για κάθε X, Y g έχουμε [[X, E ], E ]. r(x), Y = 1 [[X, E ], E ], Y = 1 [X, E ], [E, Y ] = 1 [X, E ], [Y, E ] = Rc(X, Y ). Πρόταση 9.8. Εστω G μια συμπαγής ομάδα Le εφοδιασμένη με μια αμφιαναλλοίωτη μετρική η οποία προέρχεται από τη μορφή Kllng της G. Τότε η βαθμωτή καμπυλότητα δίνεται ως S = 1 dmg. Απόδειξη. Γνωρίζουμε ότι η βαθμωτή καμπυλότητα είναι το ίχνος του τελεστή Rcc, οπότε, αν {E } είναι μια ορθοκανονική βάση της g, τότε S = trr = r(e ), E = 1 [[E, E j ], E j ], E,j = 1 [E, E j ], [E, E j ] = 1 dmg.,j Θυμίζουμε ότι μια πολλαπλότητα Remann (M, g) λέγεται Ensten, αν ο τανυστής καμπυλότητας Rcc είναι κάποιο πολλαπλάσιο της μετρικής. Στην περίπτωση που η πολλαπλότητα είναι κάποια ομάδα Le G, τότε η παρακάτω πρόταση μας λέει ότι η G είναι πολλαπλότητα Ensten ως προς τη μορφή Kllng. Πρόταση 9.9. Εστω G μια συμπαγής και ημιαπλή ομάδα Le εφοδιασμένη με μια αμφιαναλλοίωτη μετρική. Τότε Rc(X, Y ) = 1 B(X, Y ). Απόδειξη. Από τον ορισμό της μορφής Kllng και την Πρόταση 9.7 έχουμε ότι B(X, Y ) = tr(adx ady ) = (adx ady )E, E = [X, [Y, E ]], E = [[Y, E ], X], E = [Y, E ], [X, E ] = Rc(X, Y ).

14 1 Η γεωμετρία μιας ομάδας Le Παράδειγμα. Θα υπολογίσουμε την καμπυλότητα της SU(3) ως προς μια αμφιαναλλοίωτη μετρική ([11]). Η άλγεβρα Le της SU(3) είναι su(3) = { A GL 3 C : A + Āt = 0, tra = 0 } { = span X 1 = 0 0, X = 1 0 0, X 3 = X =, X 5 =, X 6 = } X 7 = 0 0 1, X 8 = Θεωρούμε στην SU(3) την αμφιαναλλοίωτη μετρική 1 36 g(x, Y j ) = B(X, Y j ), για = j = 1 λ 1 B(X, Y j ), για, j {,..., 8}, όπου B(X, Y ) = 6trXY. Επειδή η βάση {X 1, X,..., X 8 } δεν είναι ορθοκανονική ως προς την g, θέτουμε u 1 = X 1 και u = 1 λ X, για =, 3,..., 8. Τότε από την Πρόταση 9.7 προκύπτει ότι η καμπυλότητα τομής ισούται με K(u 1, u ) = 1 λ, 5 K(u 1, u ) = 0, 6 8 K(u, u 3 ) = 3 λ + 13 λ K(u, u ) = 1 λ, 8 K(u 3, u ) = 1 λ, 8 K(u, u 5 ) = 3 λ + 13 λ K(u, u ) = 1 λ, 6 8 K(u 5, u ) = 1 λ, 6 8 K(u, u j ) = 7, 6 < j 8. (9.9) λ Επίσης, γνωρίζουμε από το Κεφάλαιο 6 ότι, αν {E 1,..., E n } είναι μια ορθοκανονική βάση του χώρου T p M, σε κάποιο σημείο p M, τότε η καμπυλότητα Rcc ορίζεται από την καμυλότητα τομής, δηλαδή,, Rc(X, X) = n K(X, E ), =

15 Ασκήσεις 15 όπου X = E. Επομένως, η καμπυλότητα Rcc της ομάδας SU(3) θα δίνεται ως Rc(u 1, u 1 ) = 1 λ, Rc(u, u ) = 1 λ + 9 λ Rc(u, u ) = 15 λ Είναι η SU(3) μια πολλαπλότητα Ensten ως προς αυτή τη μετρική; ( 5), (6 8). 9. Ασκήσεις 1. Αποδείξτε την Πρόταση 9... Αποδείξτε ότι μια ομάδα Le εφοδιασμένη με μια αριστερά αναλλοίωτη μετρική έχει σταθερή βαθμωτή καμπυλότητα.. Θεωρούμε την ειδική ορθογώνια ομάδα SO(n) εφοδιασμένη με τη μετρική A, B = 1 tr(xt Y ). (α) Αποδείξτε ότι η παραπάνω σχέση ορίζει μια αριστερά αναλλοίωτη μετρική στην SO(n) και ότι για οποιαδήποτε αριστερά αναλλοίωτα διανυσματικά πεδία X, Y so(n) ισχύει X Y = 1 [X, Y ]. (β) Εστω A, B, C αριστερά αναλλοίωτα διανυσματικά πεδία των οποίων η τιμή στο ουδέτερο στοιχείο I (ταυτοτικός πίνακας) είναι A I = 1 0 0, B I =, C I = Αποδείξτε ότι το σύνολο {A, B, C} είναι μια ορθοκανονική βάση της so(3) και υπολογίστε τα διανυσματικά πεδια A B, B C και C A. 3. Εστω Sol 3 η τρισδιάστατη υποομάδα Le της SL 3 R e z 0 x Sol 3 = { 0 e z y : p = (x, y, z) R 3 } Εστω X, Y, Z g τα διανυσματικά πεδία της Sol 3 τέτοια ώστε X I = x, Y I = p=0 y, Z I = p=0 z. p=0 Ο συμβολισμός προέρχεται από το γεγονός ότι είναι μια επιλύσιμη (solvable) ομάδα Le.

16 16 Η γεωμετρία μιας ομάδας Le (α) Δείξτε ότι [X, Y ] = 0, [Z, X] = X, [Z, Y ] = Y. (β) Εστω g η αριστερά αναλλοίωτη μετρική στην Sol 3, ώστε το σύνολο {X, Y, Z} να είναι ένα ορθοκανονική βάση της g. Υπολογίστε τα διανυσματικά πεδία X Y, X Z και Y Z.. Εστω O(n) η ορθογώνια ομάδα εφοδιασμένη με την αριστερά αναλλοίωτη μετρική g(a, B) = tr(a t B). Αποδείξτε ότι η λεία καμπύλη γ : ( ε, ε) O(n) είναι γεωδαισιακή εάν και μόνο εάν ισχύει γ t, γ = (γ ) t, γ. 5. Θεωρούμε την ομάδα Le S 3 = SU() εφοδιασμένη με τη μετρική g(a, B) = 1 Re(tr(Āt B)). Βρείτε μια ορθοκανονική βάση του εφαπτόμενου χώρου T I SU() και αποδείξτε ότι η πολλαπλότητα Remann (SU(), g) έχει σταθερή καμπυλότητα τομής ίση με Εστω H n = R + R n 1 ο n-διάστατος υπερβολικός χώρος εφοδιασμένος με τη μετρική Remann g(x, Y ) = 1 x 1 X, Y R n, όπου p = (x 1,..., x n ) H n. Θεωρούμε τα διανυσματικά πεδία X X (H n ), = 1,..., n με τιμή (X ) p = x 1 x και ορίζουμε στον H n την πράξη (r, x) (s, y) = (rs, ry + x). Δείξτε ότι: (α) Το ζεύγος (H n, ) είναι μια ομάδα Le. (β) Τα διανυσματικά πεδία X 1,..., X n είναι αριστερά αναλλοίωτα. (γ) [X, X l ] = 0 και [X 1, X ] = X για, l =,..., n. (δ) Η μετρική g είναι αριστερά αναλλοίωτη. (ε) Η πολλαπλότητα Remann (H n, g) έχει σταθερή καμπυλότητα ίση με Υπολογίστε την καμπυλότητα Rcc της σφαίρας του Berger. Αναζητήστε και μελετήστε την εργασία [11].

17 Βιβλιογραφία [1] A. Arvantoyeorgos, An Introducton to Le Groups and the Geometry of Homogeneous Spaces, Amercan Mathematcal Socety, 003. [] Α. Αρβανιτογεώργος, Ομάδες Le, Ομογενείς Χώροι και Διαφορική Γεωμετρία, Εκδόσεις Τροχαλία, Αθήνα [3] J. Cheeger and D.G. Ebn, Comparson Theorems n Remannan Geometry, AMS Chelsea Publshng Company, Provdence, RI [] M. P. Do Carmo, Remannan Geometry, Brhäuser, Boston, 199. [5] P. M. Gadea and J. A. Oubna, Homogeneous Remannan structures on Berger 3-spheres, Proc. Ednburgh Math. Soc. 8 (005) [6] S. Gallot, D. Huln and J. Lafontane, Remannan Geometry, Sprnger-Verlag, New Yor, [7] K. Y. Ha and J. B. Lee: Left nvarant metrcs and curvatures on smply connected threedmensonal Le groups, Math. Nachr. 8 (6) (009) [8] S. Helgason, Dfferental Geometry, Le Groups and Symmetrc Spaces, Academc Press, New Yor [9] J. Mlnor, Curvatures of left nvarant metrcs on Le groups, Adv. Math. 1 (3) (1976) [10] P. Petersen, Remannan Geometry, Second Edton, Sprnger-Verlag New Yor, 006. [11] Y-S. Pyo, H.W. Km and J-S. Par: On Rcc curvature of left nvarant metrcs on SU(), Bull. Korean Math. Soc. 6 () (009) [1] N. R. Wallach: Compact homogeneous Remannan manfolds wth strctly postve sectonal curvature, Ann. of Math. 96 (197)