Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές

Transcript

1 Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές x h γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές της µορφής x µπορεί να θεωρηθεί ως ένας αλγόριθµος υπολογισµού των διαδοχικών τιµών της ακολουθίας εξόδου ως ένας γραµµικός συνδυασµός των προηγούµενων τιµών της και της παρούσας και των προηγούµενων τιµών της ακολουθίας εισόδου x. Η συνάρτηση µεταφοράς του ΓΧΑ συστήµατος είναι Για την υλοποίηση ενός τέτοιου ΓΧΑ συστήµατος σε ένα ψηφιακό υπολογιστή χρειάζεται µία σαφής υλοποίηση του αλγορίθµου. a a

2 οµές συστηµάτων διακριτού χρόνου που περιγράφονται από εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές Τα συστήµατα διακριτού χρόνου που περιγράφονται από εξισώσεις διαφορών παριστάνονται συχνά µε τη µορφή διαγραµµάτων ροής, τα οποία αποτελούν έναν απλό και κατανοητό τρόπο αναπαράστασης των εξισώσεων διαφορών και των συναρτήσεων µεταφοράς. Οι διάφορες δοµές πραγµατοποίησης παρουσιάζουν διαφορετικά χαρακτηριστικά ως προς την απαιτούµενη υπολογιστική πολυπλοκότητα compueioal complexi και µνήµη έχουν επίσης διαφορετική συµπεριφορά µεταξύ τους λόγω του πεπερασµένου µήκους λέξης fiie wordleh effecs. Εκτός από το πλήθος των αριθµητικών πράξεων πολλαπλασιασµών και προσθέσεων οι οποίες απαιτούνται για τον υπολογισµό κάθε δείγµατος εξόδου υπάρχουν και άλλοι παράγοντες οι οποίοιπρέπειναλαµβάνονταιυπόψηστονπροσδιορισµότηςυπολογιστικήςπολυπλοκότητας, όπως το πλήθος των προσπελάσεων της µνήµης και το πλήθος των συγκρίσεων δύο αριθµών Τα παραπάνω επηρεάζουν σηµαντικά την τελική απόφαση σχετικά µε τα ποια δοµή πραγµατοποίησης θα επιλεγεί. Σηµειώνεται ότι οι διάφορες δοµές είναι ισοδύναµες στην περίπτωση που χρησιµοποιούµε άπειρη ακρίβεια, παρουσιάζουν πολύ διαφορετική συµπεριφορά µεταξύ τους για πεπερασµένη ακρίβεια. οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-

3 Για να ανεπτύχθη ένα διάγραµµα ροής ενός ΓΧΑ συστήµατος διακριτού χρόνου χρειάζονται τρεις βασικά συστήµατα αθροιστές, πολλαπλασιαστές µε µία σταθερά και καθυστέρησης ενός δείγµατος. x x x x x a a x x x Αθροιστής Πολλαπλασιαστής Καθυστέρηση ενός δείγµατος οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-

4 Βασικά στοιχεία υλοποίησης συστηµάτων αναλογικού χρόνου Σεραφείµ Καραµπογιάς x x R R x x x x R Αθροιστής R R R R R x a a x x R Πολλαπλασιαστής a R R x a x ξ dξ x R C Ολοκληρωτής a RC οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-

5 Παραδείγµατα πραγµατοποίησης a x a x -a Σύστηµα µε µόνο πόλους x x x x Σεραφείµ Καραµπογιάς Σύστηµα µε µόνο µηδενικά a x x x w a x -a Σύστηµα µε πόλους και µηδενικά οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-5

6 x -a a x x -a Τα παραπάνω γενικεύονται για εξισώσεις διαφορών της µορφής a x, a οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-6

7 Σεραφείµ Καραµπογιάς A A x B x B x B B A A x x B - A x B - A x -A B -A B οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-7

8 Ψηφιακά φίλτρα µε κρουστική απόκριση απείρου µήκους IIR Ifiie Impulse Respose Άµεσο σχήµα direc form a x, υποθέτοντα ς a Y X a Σεραφείµ Καραµπογιάς x a x a a a a a Άµεσο σχήµα I Άµεσο σχήµα I I Οι µορφές αυτές υλοποιούνται µε τη βοήθεια της συνάρτησης filer οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-8

9 οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-9 Στην πράξη όµως οι υψηλής τάξεις εξισώσεις διαφορών πραγµατοποιούνται ως συνδυασµοί δοµών πρώτης και /ή δεύτερης τάξης σε σειρά cascade ή παράλληλα parallel. Αυτό γίνεται για να µειωθούν τα σφάλµατα των υπολογισµών κατά την υλοποίησή τους µε ψηφιακά συστήµατα τα οποία χρησιµοποιούν πεπερασµένη ακρίβεια για την αναπαράσταση των συντελεστών και τον υπολογισµό των πράξεων. a a L L a a L L K K A A B B ΣχήµαΣειριακήςΥλοποίησης cascade form Στη πραγµατοποίηση σε σειρά, η συνάρτηση µεταφοράς αναλύεται σε γινόµενο παραγόντων όπου Kείναιτοακέραιοµέροςτου / και είναιδοµήπρώτηςήδεύτερηςτάξης.

10 δηλαδή, Y B,,, K, Y A Y B B,,, K, Y A A Γιατηνπερίπτωσηόπου είναιδεύτερηςτάξηςέχουµετηνδοµή x -A B B -A Σειριακό σχήµα Ηδοµήσεσειράωςσυνδυασµόςδοµώνπρώτηςήδεύτερηςτάξηςείναι Y X Y Y Ησυνάρτηση dircasδέχεταιωςείσοδοτουςσυντελεστέςτουάµεσουσχήµατος { } και {a } καιεπιστρέφειτουςσυντελεστέςτουσειριακούσχήµατος {B i } και {A i }. Το σειριακό σχήµα υλοποιείται από τη συνάρτηση casfilr οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-

11 οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8- Παράδειγµα Να γίνει η σειριακή πραγµατοποίηση του συστήµατος διακριτού χρόνου του οποίου η εξίσωση διαφορών είναι x x x x x Η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι Η οποία αναλύεται σε γινόµενο παραγόντων ως 8 9 6

12 9,5 Σεραφείµ Καραµπογιάς οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-9 8,65 x x Y Y 8 8 Y Y 9,5,5 9 6

13 Στη σειριακή πραγµατοποίηση πρέπει να αντιµετωπιστούν τα προβλήµατα Σεραφείµ Καραµπογιάς Με ποιο τρόπο θα πρέπει να συνδυαστούν οι παράγοντες µονώνυµα ή τριώνυµα του αριθµητή µε του παράγοντες σου παρανοµαστή ώστε να σχηµατιστούν οι επιµέρους δοµές. Με ποια σειρά θα πρέπει να συνδεθούν οι επιµέρους δοµές Η ανάγκη κλιµάκωσης, δηλαδή, µείωσης του πλάτος του σήµατος σε ενδιάµεσα σηµεία της δοµής, ώστε αυτό να µην είναι ούτε πολύ µεγάλο, ούτε πολύ µικρό. οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-

14 οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8- a a A B L L L L C a a µόνο αν ˆ ˆ ˆ Σχήµα Παράλληλης Υλοποίησης parallel form Στην παράλληλη πραγµατοποίηση η συνάρτηση µεταφοράς αναλύεται σε άθροισµα παραγόντων K C A A B B µόνο αν K C µόνο αν

15 K A A B B Y Y,,,, K Σεραφείµ Καραµπογιάς οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-5 K C µόνο αν όπου K το ακέραιο µέρος του / και, X Y Επίσης ισχύει K C Y Y αν µόνο και

16 Εφαρµογή B A B A B B A A C C x B -A B -A -A B -A B Παράλληλο σχήµα Η συνάρτηση dirpar δέχεται ως είσοδο τους συντελεστές του άµεσου σχήµατος { } και {a } καιεπιστρέφειτουςσυντελεστέςτουπαράλληλουσχήµατος {C m }, {B i } και {A i }. Το σειριακό σχήµα υλοποιείται από τη συνάρτηση parfilr οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-6

17 Ψηφιακά φίλτρα µε κρουστική απόκριση πεπερασµένου µήκους FIR Fiie Impulse Respose L Η συνάρτηση µεταφοράς ενός FIR φίλτρου είναι αλλιώς,, h η κρουστική απόκριση είναι x x x L και η εξίσωση διαφορών είναι Σεραφείµ Καραµπογιάς οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-7

18 Άµεσο σχήµα direc form x Άµεσο σχήµα, Η µορφές αυτή υλοποιούνται µε τη βοήθεια της συνάρτησης filer οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-8

19 Ι ΑΝΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ ΒΑΣΙΚΗΣ ΖΩΝΗΣ - ΚΑΤΩΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ω ω e jω,, ω < ω ω > ω c c arg ω Κλήση ω c ω c ω ω Η επίδραση του φίλτρου σε ένα σήµα εισόδου, µε φασµατικό περιεχόµενο εντοπισµένοστηζώνηδιέλευσης, είναιµιαχρονικήκαθυστέρηση. x ω x ω c ω c οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-9

20 h si ω c π ω, ω <, αλλι ω c ως & h ω π ω c ω c π ω π c ω c ω c ω Ολίσθηση στο χρόνο F j ω X ω x e γιακάθεπραγµατικόαριθµό. οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-

21 Η κρουστική απόκριση του ιδανικού κατωπερατού φιλτρού h [ ] si ω c ω c ω c sic π π π h ω π c π ω c π ω c T c π ω c οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-

22 Γραµµική Απόκριση Φάσης Σεραφείµ Καραµπογιάς Ένα φίλτρο έχει γραµµική απόκριση φάση liear phase respose όταν η διαφορά φάσης θω µεταξύ του σήµατος εισόδου και εξόδου για σήµα γωνιακής συχνότητας ω, δίνεται από θω αω ή θω αω όπουακαι σταθερέςπουεξαρτώνταιαπόταχαρακτηριστικάτουφίλτρου. Όταν οι αρµονικές συνιστώσες ενός σήµατος, διέλθουν από σύστηµα που έχει γραµµική απόκριση φάσης σύµφωνα µε τη παραπάνω σχέση υπόκεινται όλες στην ίδια χρονική καθυστέρηση ίση µε α sec, µε αποτέλεσµα να µην καταστρέφεται η µορφή του σήµατος. Αυτό γίνεται φανερό αν σκεφτούµε ότι cosω θ cosω αω cos[ω α]. Το ανθρώπινο σύστηµα ακοής δεν είναι ευαίσθητο στις φασικές µετατοπίσεις των αρµονικών ενός σήµατος. Οι φασµατικές όµως µετατοπίσεις έχουν καταστρεπτικά αποτελέσµατα σε περιπτώσεις που µας ενδιαφέρει η µορφή του σήµατος π.χ. τηλεπικοινωνίες καρδιογράφηµα εικόνα κ.τ.λ. οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-

23 x ω ω c argω ωc ω κλίση x ω argω ω c ωc ω κλίση x x x ω ω c argω ωc ω κλίση οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-

24 x ω ω c argω ωc ω x ω argω ω c ωc ω x x x ω argω ω c ωc ω οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-

25 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Η απόκριση συχνότητας γράφεται ως j β, aω π Ω Ω, ± r e a Όπου r Ω είναι το πλάτος της συνάρτησης απόκρισης και όχι το µέτρο της συνάρτησης απόκρισης. Το πλάτος της συνάρτησης απόκρισης είναι πραγµατικός θετικός ή αρνητικός αριθµός σε αντίθεση µε το µέτρο της συνάρτησης απόκρισης που είναι πάντα θετικό. Επίσης η φάση η οποία αντιστοιχεί στο πλάτος της συνάρτησης απόκρισης είναι συνεχής συνάρτηση ενώ η φάση που αντιστοιχεί στο µέτρο της συνάρτησης απόκρισης είναι ενγένει ασυνεχής συνάρτηση. β Σεραφείµ Καραµπογιάς Παράδειγµα Η κρουστική απόκριση είναι h {,,}. Η απόκριση συχνότητας είναι jω jω j Ω Ω h e e e { cos Ω} e jω οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-5

26 Ω { cosω}e jω Ω e j cosω r Ω cos Ω j e Ω Ω, π Ω, < Ω π / < π / Ω < π j e Ω Ω Ω π π π Ω Ω π π π Ω ag Ω π π π π π π π Ω ag Ω π π π π π π π οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-6 Ω

27 Ιδιότητες των FIR φίλτρων γραµµικής φάσης h h Αν h, είναιηκρουστικήαπόκρισηµήκους τότεησυνάρτησηµεταφοράς είναι π π <Ω Ω Ω, j j e h e η οποία έχει Μ πόλους στην αρχή και Μ µηδενικά στο -επίπεδο. Η απόκριση συχνότητας είναι, h h Αν οι όροι της κρουστικής απόκρισης h παρουσιάζουν τη συµµετρία Σεραφείµ Καραµπογιάς οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-7 π π α Ω < Ω Ω, j e όπου a είναι ησταθεράκαθυστέρησηςφάσης phase dela. τότε το FIR φίλτρο έχει γραµµική φάση, δηλαδή,

28 Ιδιότητες των FIR φίλτρων γραµµικής φάσης Σεραφείµ Καραµπογιάς Ένα FIR φίλτρο µε συµµετρική κρουστική απόκριση και περιττό πλήθος όρων έχει γραµµική φάση, δηλαδή, όταν οι αρµονικές συνιστώσες ενός σήµατος διέλθουν από το σύστηµα αυτό υπόκεινται όλες την ίδια χρονική καθυστέρηση ίση µε α. Αν οι όροι της κρουστικής απόκρισης h παρουσιάζουν τη συµµετρία h h, τότεηγραµµικήφάσητου FIR φίλτροέχειτηµορφή e j β αω π < Ω π Ω, d dω jω e α π όπου a είναι σταθερά καθυστέρησης οµάδας group dela και β. Στην περίπτωση αυτή οι συχνότητες ως οµάδα καθυστερούν µε σταθερό ρυθµό. Αλλά µερικές συχνότητες καθυστερούνπερισσότεροκαιάλλεςκαθυστερούνλιγότερο. Υπάρχουν τέσσερις διαφορετικοί τύποι FIR φίλτρων γραµµικής φάσης, ανάλογα µε το αν το πλήθος των όρων της h είναι άρτιο ή περιττό και αν η h είναι συµµετρική ή αντισυµµετρική. οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-8

29 Ανάλογα µε τις τιµές του Μ έχουµε τις περιπτώσεις ΑνΜείναιπεριττόςτότε a /είναιακέραιοςκαιηκρουστικήαπόκρισηείναι συµµετρική ως προς άξονα. h FIR φίλτρα γραµµική φάσης. Συµµετρική κρουστική απόκριση περιττός j e Ω a cos Ω e j Ω a h a h, οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-9

30 Αν Μ είναι άρτιος τότε a / δεν είναι ακέραιος και η κρουστική απόκριση είναι επίσης συµµετρική ως προς άξονα. h FIR φίλτρα γραµµική φάσης. Συµµετρική κρουστική απόκριση άρτιος e j Ω cos Ω e j Ω h,,, K οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-

31 ΑνΜείναιπεριττόςτότε a /είναιακέραιοςκαιηκρουστικήαπόκρισηείναι συµµετρική ως προς σηµείο. h στην περίπτωση αυτή πρέπει να είναι h FIR φίλτρα γραµµική φάσης. Αντισυµµετρική κρουστική απόκριση περιττός j e Ω c si Ω e j π Ω c h, οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-

32 ΑνΜείναιάρτιοςτότε a /δενείναιακέραιοςκαιηκρουστικήαπόκρισηείναι επίσης συµµετρική ως προς σηµείο. h FIR φίλτρα γραµµική φάσης. Αντισυµµετρική κρουστική απόκριση άρτιος e j Ω d si Ω e j π Ω d h,,,k οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-

33 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Ένα FIR φίλτροέχει Μ πόλουςστηναρχή και Μ µηδενικάστο -επίπεδο. Για ένα φίλτρο ελάχιστης φάσης υπάρχουν συµµετρίες στις θέσεις των µηδενικών που προέρχονται από τις συµµετρίες της κρουστικής απόκρισης. jθ Αν η έχει ένα µηδενικό r e τότε πρέπει να έχει και το µηδενικό jθ e r Αν το φίλτρο είναι πραγµατικό τότε αν η έχει ένα µηδενικό r e να έχει και το συζυγές µηδενικό * r e jθ Σεραφείµ Καραµπογιάς jθ τότε πρέπει Im coj Re coj * Γενικός αστερισµός µηδενικών FIR φίλτρου ελάχιστης φάσης οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-

34 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Ένα FIR φίλτροέχει Μ πόλουςστηναρχή και Μ µηδενικάστο -επίπεδο. Για ένα φίλτρο ελάχιστης φάσης υπάρχουν συµµετρίες στις θέσεις των µηδενικών που προέρχονται από τις συµµετρίες της κρουστικής απόκρισης. jθ Αν η έχει ένα µηδενικό r e τότε πρέπει να έχει και το µηδενικό jθ e r Αν το φίλτρο είναι πραγµατικό τότε αν η έχει ένα µηδενικό r e να έχει και το συζυγές µηδενικό Im * r e jθ Σεραφείµ Καραµπογιάς jθ τότε πρέπει coj coj Re Γενικός αστερισµός µηδενικών FIR φίλτρου ελάχιστης φάσης οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-

35 Υλοποίηση FIR φίλτρων γραµµικής φάσης Η εξίσωση διαφορών ενός FIR φίλτρου γραµµικής φάσης έχει τη µορφή x x L x x [ x x ] [ x x ] L ανάλογα µε τις τιµές του έχουµε τις υλοποιήσεις Σχήµα γραµµικής φάσης liear-phase form x x 7 6 οµές πραγµατοποίησης ψηφιακών φίλτρων 8-5