Ευθυγράμμιση τρισδιάστατων ιατρικών εικόνων με χρήση ελαστικού μετασχηματισμού

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ευθυγράμμιση τρισδιάστατων ιατρικών εικόνων με χρήση ελαστικού μετασχηματισμού"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΙΑΤΡΙΚΗΣ Ευθυγράμμιση τρισδιάστατων ιατρικών εικόνων με χρήση ελαστικού μετασχηματισμού ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Σοφία Χριστίνα Δούμα Αθήνα, Ιούλιος 2014 Επιβλέπων καθηγητής Ε.Μ.Π.: Γεώργιος Ματσόπουλος

2 Copyright Σοφία-Χριστίνα Δούμα, Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται στο συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν το συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι αντιπροσωπεύουν τις επίσημες θέσεις του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου. 2

3 Περίληψη Το αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η ανασκόπηση της διαδικασίας της ευθυγράμμισης ιατρικών εικόνων, οι εξέταση των λόγων που την καθιστούν απαραίτητη για την ιατρική κοινότητα και οι ιδιαιτερότητες των ιατρικών εικόνων που θέτουν το ζήτημα της αναγκαιότητας ελαστικών τροποποιήσεων. Αρχικά πραγματοποιείται η παρουσίαση των επικρατέστερων μεθόδων ευθυγράμμισης και των σταδίων υλοποίησής τους. Γίνεται σύγκριση των άκαμπτων και των ελαστικών μεθόδων, καθώς και προτείνονται ερευνητικές προοπτικές για τη βελτίωση των τεχνικών. Στην παρούσα εργασία δίνεται έμφαση στον ελαστικό μετασχηματισμό Thin Plate Splines, γίνεται ανάλυση του μαθηματικού μοντέλου υλοποίησής του και προτείνεται μία μέθοδος βελτίωσης για την αυτόματη επιλογή και αντιστοίχιση σημείων ελέγχου. Στη συνέχεια πραγματοποιείται υλοποίηση τρισδιάστατου αφινικού και ελαστικού μετασχηματισμού για την ευθυγράμμιση τεχνητών και κλινικών ιατρικών δεδομένων. Γίνεται ποιοτική και ποσοτική σύγκριση των αποτελεσμάτων και αξιολογείται η αποτελεσματικότητα των μεθόδων σε σχέση με τα χαρακτηριστικά των διαφορετικών δεδομένων που επεξεργάζονται και τον αριθμό των σημείων που επιλέγονται. Τα κριτήρια που χρησιμοποιούνται είναι ποιοτικά και ποσοτικά, και αφορούν την ποιότητα της ευθυγράμμισης καθώς και το χρόνο εκτέλεσης των αλγορίθμων. 3

4 Abstract The current diploma thesis deals with the image registration process for medical images. The reasons that make image registration necessary to the medical community are considered, as well as the particularities of the medical images that make elastic transformation an absolute requirement. As a first stage, a presentation of the predominant registration methods takes place. Non-rigid and rigid methods are compared, and prospects for the improvement of the methods are proposed. Emphasis is placed on the elastic transformation with the use of Thin Plate Splines, the mathematical model for its algorithm design is analyzed, and a method for its optimization based on automatic points correspondences is presented. 3D Affine and TPS registrations are applied on both artificial and clinical medical data. The registration results are evaluated by qualitative and quantitative criteria, and the effectiveness of the algorithms is compared through application on the different data types and control points selections. The registration is overall evaluated for effectiveness and execution time. 4

5 Ευχαριστίες Η διπλωματική αυτή εργασία εκπονήθηκε κατά το ακαδημαϊκό έτος υπό την επίβλεψη του κ. Γεώργιου Ματσόπουλου, καθηγητή της Σχολής Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Ε.Μ.Π., στον οποίο οφείλω ιδιαίτερες ευχαριστίες για την ανάθεσή της, την πολύτιμη επιστημονική βοήθεια και το άριστο κλίμα συνεργασίας καθ όλη τη διάρκεια εκπόνησής της. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Θεόδωρο Οικονομόπουλο, διδάκτορα της σχολής, για την άριστη συνεργασία και την εποικοδομητική καθοδήγησή του. Θα ήθελα ακόμα να ευχαριστήσω τη μητέρα μου για τη στήριξη και τη βοήθειά της κατά τη διάρκεια των σπουδών μου. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον εργοδότη μου, κ. Κώστα Αργυρόπουλο, για την αμέριστη κατανόησή του, καθώς χωρίς αυτήν δε θα είχα καταφέρει να ολοκληρώσω τις σπουδές μου παράλληλα με την πλήρους ωραρίου απασχόλησή μου. 5

6 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή Σκοπός διπλωματικής εργασίας Περιεχόμενα διπλωματικής εργασίας Κεφάλαιο 2. Ανασκόπηση της μεθόδου της ευθυγράμμισης Ορισμός ευθυγράμμισης Καθολική τεχνική ευθυγράμμισης Γεωμετρικός μετασχηματισμός Συνάρτηση ομοιότητας Μέθοδος βελτιστοποίησης Ευθυγράμμιση μέσω αντιστοίχισης σημείων Κεφάλαιο 3. Ο γεωμετρικός μετασχηματισμός Thin Plate Splines Η Μέθοδος Thin Plate Splines Thin Plate Splines με προσέγγιση Επίδραση του αριθμού των σημείων ελέγχου στον TPS μετασχηματισμό Αυτόματος προσδιορισμός σημείων ελέγχου Κεφάλαιο 4. Αποτελέσματα Εφαρμογή σε δεδομένα γνωστού γεωμετρικού μετασχηματισμού Ποιοτική αξιολόγηση των αποτελεσμάτων Ποσοτική αξιολόγηση των αποτελεσμάτων Χρόνοι εκτέλεσης μετασχηματισμών Εφαρμογή σε κλινικά δεδομένα Ποιοτική αξιολόγηση των αποτελεσμάτων Ποσοτική αξιολόγηση των αποτελεσμάτων Χρόνοι εκτέλεσης μετασχηματισμών Υλοποίηση μετασχηματισμών σε εικόνα με προσαρμοσμένο πλέγμα Αυτόματη επιλογή σημείων στην εφαρμογή του TPS Κεφάλαιο 5. Συμπεράσματα Μελλοντικές κατευθύνσεις

7 Ευρετήριο Εικόνων Εικόνα 2.1 Από αριστερά προς τα δεξιά: Λειτουργική απεικόνιση μαγνητικού συντονισμού, απεικόνιση μαγνητικού συντονισμού, υπολογιστική τομογραφία, υπέρηχος Εικόνα 2.2 Τα βήματα της καθολικής ευθυγράμμισης ψηφιακών εικόνων Εικόνα 2.3 Παραδείγματα άκαμπτων γεωμετρικών μετασχηματισμών: (α) γραμμικός, (β) αφινικός και (γ) διγραμμικός. [7] Εικόνα 2.4 (α) Παράδειγμα ελαστικού γεωμετρικού μετασχηματισμού σε τμήμα ορθογώνιου πλέγματος [7], (β) Τρισδιάστατη ελαστική ευθυγράμμιση τμήματος του οπτικού φλοιού (100 τομές, 512x512 pixels) [21] Εικόνα 2.5 Πιθανές εκδοχές ενός βήματος της μεθόδου Downhill Simplex. (α) Το simplex για τρισδιάστατες εφαρμογές, στην αρχή του αλγόριθμου, (β) μία αντανάκλαση προς την αντίθετη κατεύθυνση του προηγούμενου μεγίστου, (γ) αντανάκλαση και επέκταση μακριά από το προηγούμενο μέγιστο, (δ) σύμπτυξη σε μια διάσταση από το μέγιστο και (ε) σύμπτυξη προς όλες τις κατευθύνσεις προς το χαμηλότερο σημείο. Μια κατάλληλη αλληλουχία τέτοιων βημάτων οδηγεί πάντα στην εύρεση του ελαχίστου μιας συνάρτησης Εικόνα 2.6 Τα βήματα της ευθυγράμμισης μέσω αντιστοίχισης σημείων Εικόνα 3.1 Οπτική απεικόνιση της μεθόδου TPS σε 2D δεδομένα με 7 σημεία ελέγχου.[37] Εικόνα 3.2 Παράδειγμα 2D TPS με παράμετρο λ=0, λ=0.001 και λ= Εικόνα 3.3 Τρισδιάστατη εφαρμογή TPS για την ευθυγράμμιση ενός κυβου και μιας σφαίρας. Με κόκκινους μικρούς κύκλους φαίνονται τα σημεία ελέγχου μέσα στους κύβους και με κόκκινα Χ τα αντίστοιχα σημεία στις σφαίρες. (α), (β): αρχικός κύβος και αποτέλεσμα μετασχηματισμού για 14 ζεύγη σημείων. (γ), (δ): αρχικός κύβος και αποτέλεσμα μετασχηματισμού για 26 ζεύγη σημείων και (ε), (στ): αρχικός κύβος και αποτέλεσμα μετασχηματισμού για 50 ζεύγη σημείων Εικόνα 3.4 (α)εικόνα αναφοράς CT και (β) σημεία γωνιών που ανιχνεύθηκαν στην (α) Εικόνα 3.5(α) Εικόνα αναφοράς CBCT (Cone Beam CT) και (β) σημεία γωνιών που ανιχνεύθηκαν στην (α) Εικόνα 3.6 (α) Εικόνα CT προς ευθυγράμμιση, (β) Εικόνα αναφοράς CBCT Εικόνα 3.7 Αποτελέσματα ευθυγράμμισης μετά από αυτόματη επιλογή 52 ζευγών σημείων και TPS. (γ) Εικόνα CT μετά την ευθυγράμμιση, (δ) Υπέρθεση εικόνων πριν την ευθυγράμμιση, (ε) Υπέρθεση εικόνων μετά την ευθυγράμμιση Εικόνα 4.1 Ψηφιακή μίξη μετασχηματισμένων δεδομένων με γνωστό μετασχηματισμό -πρώτο σετ αριστερά, δεύτερο σετ δεξιά. 38 Εικόνα 4.2 Διάγραμμα μεθοδολογίας της ευθυγράμμισης με TPS μετασχηματισμό

8 Εικόνα 4.3 Διάγραμμα μεθοδολογίας της ευθυγράμμισης με αφινικό μετασχηματισμό Εικόνα 4.4 Τρισδιάστατη και δισδιάστατη απεικόνιση του πρώτου σετ δεδομένων, σε ψηφιακή μίξη πριν την ευθυγράμμιση, μετά από ευθυγράμμιση TPS και μετά από ευθυγράμμιση με αφινικό μετασχηματισμό. Αναφέρονται οι τιμές των ΣΣ (Συντελεστών Συσχέτισης) για κάθε περίπτωση Εικόνα 4.5 Τρισδιάστατη και δισδιάστατη απεικόνιση του δεύτερου σετ δεδομένων, σε ψηφιακή μίξη πριν την ευθυγράμμιση, μετά από ευθυγράμμιση TPS και μετά από ευθυγράμμιση με αφινικό μετασχηματισμό. Αναφέρονται οι τιμές των ΣΣ (Συντελεστών Συσχέτισης) για κάθε περίπτωση Εικόνα 4.6 (α), (γ), (ε), (ζ), (θ), (κ), (μ) Τα σημεία αναφοράς όπως επιλέχθηκαν στις τομές αναφοράς, και τα αντίστοιχα σημεία στις αντίστοιχες τομές υπό ευθυγράμμιση (β), (δ), (στ), (η), (ι), (λ), (ν) Εικόνα 4.7 Τρισδιάστατη και δισδιάστατη απεικόνιση του πρώτου σετ κλινικών δεδομένων, σε ψηφιακή μίξη πριν την ευθυγράμμιση, μετά από ευθυγράμμιση TPS και μετά από ευθυγράμμιση με αφινικό μετασχηματισμό. Αναφέρονται οι τιμές των ΣΣ (Συντελεστών Συσχέτισης) για κάθε περίπτωση Εικόνα 4.8 Τρισδιάστατη και δισδιάστατη απεικόνιση του πρώτου σετ κλινικών δεδομένων, σε ψηφιακή μίξη μετά από ευθυγράμμιση TPS με 188 σημεία ελέγχου, με 44 σημεία ελέγχου και με 44 σημεία ελέγχου προσθέτοντας τον συντελεστή ελαστικότητας λ = Εικόνα 4.9 Τρισδιάστατη και δισδιάστατη απεικόνιση του δεύτερου σετ κλινικών δεδομένων, σε ψηφιακή μίξη πριν την ευθυγράμμιση, μετά από ευθυγράμμιση TPS και μετά από ευθυγράμμιση με αφινικό μετασχηματισμό. Αναφέρονται οι τιμές των ΣΣ (Συντελεστών Συσχέτισης) για κάθε περίπτωση Εικόνα 4.10 Τρισδιάστατη και δισδιάστατη απεικόνιση του τρίτου σετ κλινικών δεδομένων, σε ψηφιακή μίξη πριν την ευθυγράμμιση, μετά από ευθυγράμμιση TPS και μετά από ευθυγράμμιση με αφινικό μετασχηματισμό. Αναφέρονται οι τιμές των ΣΣ (Συντελεστών Συσχέτισης) για κάθε περίπτωση Εικόνα 4.11 Τρισδιάστατες απεικονίσεις του τέταρτου και πέμπτου σετ κλινικών δεδομένων, σε ψηφιακή μίξη πριν την ευθυγράμμιση, μετά από ευθυγράμμιση TPS και μετά από ευθυγράμμιση με αφινικό μετασχηματισμό. Αναφέρονται οι τιμές των ΣΣ (Συντελεστών Συσχέτισης) για κάθε περίπτωση Εικόνα 4.12 Τρισδιάστατη και δισδιάστατη απεικόνιση του έκτου σετ κλινικών δεδομένων, σε ψηφιακή μίξη πριν την ευθυγράμμιση, μετά από ευθυγράμμιση TPS και μετά από ευθυγράμμιση με αφινικό μετασχηματισμό. Αναφέρονται οι τιμές των ΣΣ (Συντελεστών Συσχέτισης) για κάθε περίπτωση Εικόνα 4.13 Τρισδιάστατη και δισδιάστατη απεικόνιση του έβδομου σετ κλινικών δεδομένων, σε ψηφιακή μίξη πριν την ευθυγράμμιση, μετά από ευθυγράμμιση TPS και μετά από ευθυγράμμιση με αφινικό μετασχηματισμό. Αναφέρονται οι τιμές των ΣΣ (Συντελεστών Συσχέτισης) για κάθε περίπτωση Εικόνα 4.14 Απεικόνιση αφινικού (α) και TPS (β),(γ),(δ) μετασχηματισμού σε εικόνες με ενσωματωμένο ορθογώνιο πλέγμα 32x32 pixels. (β) λ=0, (γ) λ=0.0001, (δ) λ=

9 Εικόνα 4.15 Αυτόματα επιλεγμένα σημεία ελέγχου στις εικόνες αναφοράς (α) και προς ευθυγράμμιση (β) Εικόνα 4.16 Αποτέλεσμα TPS ευθυγράμμισης που προέκυψε από λανθασμένη αντιστοίχιση των σημείων ελέγχου

10 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 1.1 Σκοπός διπλωματικής εργασίας Για τον ιατρικό έλεγχο και τη διάγνωση, καθώς και για τη λήψη αποφάσεων για το σχεδιασμό θεραπειών και επεμβάσεων στον άνθρωπο χρησιμοποιούνται από τους ειδικούς διαφορετικά είδη ιατρικών εικόνων, όπως οι ακτινογραφίες (X-rays), οι υπολογιστικές τομογραφίες (CTs), οι μαγνητικές τομογραφίες (MRIs) και οι υπέρηχοι (US)[1]. Οι πληροφορίες που παρέχουν οι διαφορετικές απεικονίσεις είναι πολλές φορές συμπληρωματικές και μέσω του συνδυασμού τους μπορεί να εξαχθεί ένα σαφές συμπέρασμα σχετικά με την κατάσταση της περιοχής ενδιαφέροντος. Για παράδειγμα, η υπολογιστική τομογραφία παρέχει καλύτερες λεπτομέρειες οστικών δομών, ενώ δεν διακρίνονται σε αυτή λεπτομέρειες μαλακών ιστών, που απεικονίζονται λεπτομερώς στη μαγνητική τομογραφία. Ακόμα, η εκτίμηση της κλινικής κατάστασης μιας περιοχής πολλές φορές περιλαμβάνει τη σύγκριση ψηφιακών δεδομένων που έχουν ληφθεί σε διαφορετικές χρονικές στιγμές. Οι διαφορές στο είδος των εικόνων καθώς και οι παραμορφώσεις που προσδίδουν η κίνηση και η αναπνοή στις δομές του ανθρώπινου σώματος μπορεί να επηρεάσουν την ποιοτική διάγνωση από τον ειδικό και να εξαχθούν λανθασμένα συμπεράσματα σχετικά με την καταγραφή μιας κατάστασης. Για το λόγο αυτό, τα τελευταία χρόνια έχουν αναπτυχθεί υπολογιστικά συστήματα για την επεξεργασία ιατρικών δεδομένων έτσι ώστε να παρέχουν βοηθητικά εργαλεία στους ειδικούς για τη διευκόλυνσή τους στην διεξαγωγή συμπερασμάτων από τα ψηφιακά δεδομένα. Οι τεχνικές ευθυγράμμισης ιατρικών εικόνων αποτελούν ένα σημαντικό βήμα για την αποτελεσματική χρήση των ιατρικών ψηφιακών εικόνων. Έχουν ως σκοπό την ευθυγράμμιση των εικόνων συνολικά ή τοπικά σε κάποια περιοχή ενδιαφέροντος, κάνοντας δυνατή την υπέρθεση πληροφοριών που προέρχονται από διαφορετικές λήψεις. Η τεχνική της ευθυγράμμισης εικόνων επιδιώκει να υπολογίσει χωρικούς μετασχηματισμούς, που να αντιστοιχούν κάθε σημείο μιας εικόνας στο αντίστοιχο σημείο μιας άλλης εικόνας προς σύγκριση. Οι μετασχηματισμοί που διατηρούν την ίδια απόσταση μεταξύ όλων των σημείων μιας εικόνας είναι γνωστοί ως άκαμπτοι μετασχηματισμοί ευθυγράμμισης (rigid registration) και είναι κατάλληλοι για ευθυγράμμιση εικόνων άκαμπτων αντικειμένων. Ειδικά στην ευθυγράμμιση ιατρικών εικόνων, όπου απεικονίζονται ελαστικά μέρη του ανθρωπίνου σώματος, προτιμάται η χρήση ελαστικών μετασχηματισμών (non-rigid registration) [2]. Η πιο ευρέως χρησιμοποιούμενη μέθοδος για την ελαστική ευθυγράμμιση εικόνων βασισμένη στην αντιστοίχιση σημείων είναι η μέθοδος των Thin-Plate Splines (TPS), που είναι και η 10

11 μοναδική μέθοδος όπου μπορεί να γίνει πλήρης διαχωρισμός μεταξύ του ελαστικού και μη ελαστικού μέρους της. Στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η παρουσίαση των διαθέσιμων μεθόδων για την ελαστική και μη ελαστική ευθυγράμμιση ιατρικών εικόνων, καθώς και η υλοποίηση δύο αλγορίθμων ευθυγράμμισης, ενός άκαμπτου (αφινικού) και ενός ελαστικού μοντέλου (TPS), η εφαρμογή τους σε τρισδιάστατα ιατρικά δεδομένα, και η εξαγωγή συμπερασμάτων μέσω της ποιοτικής και ποσοτικής αξιολόγησης των αποτελεσμάτων. 1.2 Περιεχόμενα διπλωματικής εργασίας Στο Κεφάλαιο 2 γίνεται μια βιβλιογραφική ανασκόπηση των διαφόρων μεθόδων ευθυγράμμισης ιατρικών εικόνων, με έμφαση στις τεχνικές που περιλαμβάνουν ελαστικούς μετασχηματισμούς. Γίνεται η παρουσίαση των σταδίων υλοποίησης της καθολικής τεχνικής ευθυγράμμισης και της μεθόδου αντιστοίχισης σημείων. Στο Κεφάλαιο 3 παρουσιάζεται λεπτομερώς η μέθοδος TPS, γίνεται η μαθηματική ανάλυση του μετασχηματισμού και η επεξήγηση των μαθηματικών εξισώσεων που χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία του μοντέλου. Εξετάζεται η επίδραση της παραμέτρου ελαστικότητας λ στο αποτέλεσμα, η επίδραση του αριθμού των επιλεχθέντων σημείων ελέγχου στην ποιότητα του αποτελέσματος, και παρουσιάζεται μια τεχνική αυτοματοποίησης στην επιλογή των σημείων ελέγχου, που θα μπορούσε να προστεθεί στον αλγόριθμο σαν μελλοντική εξέλιξή του με στόχο την πλήρη αυτοματοποίηση. Στο Κεφάλαιο 4 γίνεται παρουσίαση των αποτελεσμάτων της εφαρμογής του αφινικού αλγορίθμου και του TPS αλγορίθμου σε τρισδιάστατα δεδομένα γνωστού γεωμετρικού μετασχηματισμού καθώς και σε κλινικά τρισδιάστατα δεδομένα υπολογιστικής τομογραφίας. Γίνεται οπτική και ποσοτική σύγκριση των μετασχηματισμένων δεδομένων και μετρώνται οι χρόνοι εκτέλεσης των αλγορίθμων. Στο Κεφάλαιο 5 παρουσιάζονται τα συμπεράσματα και οι μελλοντικές κατευθύνσεις. 11

12 Κεφάλαιο 2. Ανασκόπηση της μεθόδου της ευθυγράμμισης 2.1 Ορισμός ευθυγράμμισης Ευθυγράμμιση ιατρικών δεδομένων καλείται η χωρική τοποθέτηση δύο συνόλων δεδομένων κατά τέτοιο τρόπο ώστε οι δομές που είναι κοινές σε αυτά να συμπίπτουν. Η διαδικασία περιλαμβάνει την εύρεση κατάλληλου γεωμετρικού μετασχηματισμού, με την εφαρμογή του οποίου αμβλύνονται οι γεωμετρικές αποκλίσεις ανάμεσα στα δύο σύνολα δεδομένων προς σύγκριση. Στον τομέα της ιατρικής απεικόνισης, τα δεδομένα προς ευθυγράμμιση είναι συνήθως τρισδιάστατα, δηλαδή συστοιχίες δισδιάστατων τομών υπολογιστικής τομογραφίας (CTs), μαγνητικής τομογραφίας (MRI), ακτινογραφιών (X-rays) κ.ά.. Έχουν αναπτυχθεί πολλές μέθοδοι για την ευθυγράμμιση ιατρικών δεδομένων, [3] [4] οι οποίες μπορούν να ομαδοποιηθούν βάσει των παρακάτω κριτηρίων: Το είδος των δεδομένων Σε αυτή την κατηγοριοποίηση εκτός από τις διαστάσεις των εικόνων που συνήθως είναι τρισδιάστατες - εξετάζεται η φύση των εικόνων, π.χ. αν πρόκειται για εικόνες CTs, MRIs κτλ. Οι τεχνικές ευθυγράμμισης που μπορούν να επεξεργαστούν αποκλειστικά δεδομένα του ίδιου τύπου ονομάζονται μονοτροπικές, ενώ υπάρχουν και μέθοδοι που μπορούν να επεξεργαστούν και δεδομένα διαφορετικού τύπου και λέγονται πολυτροπικές. Εικόνα 2.1 Από αριστερά προς τα δεξιά: Λειτουργική απεικόνιση μαγνητικού συντονισμού, απεικόνιση μαγνητικού συντονισμού, υπολογιστική τομογραφία, υπέρηχος. Ανάλογα με τη φύση των εικόνων, επιλέγεται και η βάση της ευθυγράμμισης. Οι μέθοδοι ευθυγράμμισης διακρίνονται σε αυτές που βασίζονται στις αλλαγές φωτεινότητας που υφίσταται το κάθε εικονοστοιχείο, ή pixel (σε 3 διαστάσεις, το voxel), και σε εκείνες που βασίζονται στις αλλαγές των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της εικόνας [5] [6]. Ενώ η πρώτη κατηγορία επεξεργάζεται τις εικόνες απευθείας σαν δεδομένα, κατά τη δεύτερη κατηγορία μεθόδων ευθυγράμμισης χρειάζεται να 12

13 προηγηθεί μια προ-επεξεργασία των εικόνων έτσι ώστε να εντοπιστούν σε αυτές τα καταλληλότερα γεωμετρικά χαρακτηριστικά (ακμές, γωνίες, επίπεδα) στα οποία θα βασιστεί η ευθυγράμμιση. Το γεωμετρικό μετασχηματισμό Οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί διακρίνονται σε δύο κατηγορίες. Η πρώτη κατηγορία περιλαμβάνει τους άκαμπτους μετασχηματισμούς, που διατηρούν τις ιδιότητες της πρόσθεσης διανυσμάτων και της κλιμάκωσης, και είναι ένας συνδυασμός μεταφοράς, περιστροφής και κλιμάκωσης. Οι άκαμπτοι μετασχηματισμοί είναι καθολικοί, και δεν έχουν τη δυνατότητα να προσαρμοστούν σε τοπικές αλλαγές ανατομικών στοιχείων. Η δεύτερη κατηγορία περιλαμβάνει τους ελαστικούς μετασχηματισμούς, που επιτρέπουν και ελαστικές παραμορφώσεις, σε καθολικό αλλά και σε τοπικό επίπεδο. Τον απαιτούμενο βαθμό επενέργειας του χρήστη. Ανάλογα με την παρέμβαση ή όχι του χρήστη κατά τη διαδικασία της ευθυγράμμισης, οι τεχνικές διακρίνονται σε Ημι-Αυτόματες τεχνικές, όταν χρειάζεται ο χρήστης να ορίσει χειροκίνητα κάποιες παραμέτρους ή να κάνει την επιλογή των σημείων ελέγχου, αν ο αλγόριθμος είναι βασισμένος σε σημεία αντιστοίχισης, και σε Αυτόματες τεχνικές, όπου η επιλογή των σημείων και των παραμέτρων του μετασχηματισμού γίνεται αυτόματα από τον αλγόριθμο. Τη μέθοδο βελτιστοποίησης Ο στόχος της βελτιστοποίησης είναι να εντοπίσει τις βέλτιστες παραμέτρους του μετασχηματισμού που οδηγούν στην καλύτερη ευθυγράμμιση των δύο εικόνων, σύμφωνα με το κριτήριο ομοιότητας που έχει επιλεγεί. Η επιλογή του κριτηρίου ομοιότητας επηρεάζει άμεσα την ποιότητα των αποτελεσμάτων. Οι μέθοδοι βελτιστοποίησης μπορούν να διαχωριστούν σε δύο γενικές κατηγορίες, βάσει των μεταβλητών που διαχειρίζονται: τις συνεχείς και τις διακριτές. Η πρώτη κατηγορία μεθόδων αφορά περιπτώσεις όπου τα δεδομένα έχουν πραγματικές τιμές και η συνάρτηση βελτιστοποίησης είναι διαφορήσιμη. Στη δεύτερη κατηγορία εντάσσονται οι περιπτώσεις που οι μεταβλητές μπορούν να έχουν διακριτές τιμές. Οι μέθοδοι βελτιστοποίησης μπορούν επίσης να διαχωριστούν σε τοπικές και ολικές μεθόδους. Το αντικείμενο της ευθυγράμμισης Το αντικείμενο της ευθυγράμμισης είναι η περιοχή του ανθρώπινου σώματος υπό εξέταση. Οι τεχνικές ευθυγράμμισης εικόνων έχουν εξελιχθεί και εξειδικευθεί ώστε να 13

14 μπορούν να κατηγοριοποιούνται ανά περιοχή, για την οποία η κάθε κατηγορία έχει σχεδιαστεί και παρουσιάζει καλύτερα αποτελέσματα. 2.2 Καθολική τεχνική ευθυγράμμισης Οι καθολικές μέθοδοι ευθυγράμμισης, αυτές δηλαδή που περιλαμβάνουν όλα τα σημεία της υπό εξέταση εικόνας προκειμένου να υπολογισθούν οι παράμετροι των μετασχηματισμών τους, γενικά απαρτίζονται από τρία στάδια στην υλοποίησή τους, τα οποία είναι τα εξής: Το γεωμετρικό μετασχηματισμό Τη συνάρτηση ομοιότητας Τη διαδικασία βελτιστοποίησης Τα βήματα της καθολικής ευθυγράμμισης ψηφιακών εικόνων φαίνονται στην Εικόνα 2.2. Αρχικά τα δεδομένα υπό ευθυγράμμιση μετασχηματίζονται με βάση τις αρχικές παραμέτρους που έχουν οριστεί στον αλγόριθμο του μετασχηματισμού. Στη συνέχεια ελέγχεται το κριτήριο ομοιότητας και αν δεν βρεθεί ικανοποιητικό σύμφωνα με το κατώφλι που έχει τεθεί από το χρήστη, η μέθοδος βελτιστοποίησης παράγει νέες παραμέτρους μετασχηματισμού και ο μετασχηματισμός επαναλαμβάνεται. Τα νέα ευθυγραμμισμένα δεδομένα ελέγχονται από το κριτήριο ομοιότητας κ.ό.κ. μέχρι να επιτευχθεί η βέλτιστη δυνατή τιμή της συνάρτησης ομοιότητας, οπότε και προκύπτουν τα ευθυγραμμισμένα δεδομένα. 14

15 Εικόνα 2.2 Τα βήματα της καθολικής ευθυγράμμισης ψηφιακών εικόνων Γεωμετρικός μετασχηματισμός Η επιλογή του γεωμετρικού μετασχηματισμού έχει ιδιαίτερη σημασία για τη διαδικασία της ευθυγράμμισης. Η επιλογή πρέπει να συμβιβάζει την επαρκή αποδοτικότητα του συστήματος με την απαραίτητη λεπτομέρεια στους υπολογισμούς. Οι παράμετροι του μετασχηματισμού αντιστοιχούν στους βαθμούς ελευθερίας του υπολογιστικού συστήματος εξισώσεων. Ο αριθμός τους κυμαίνεται από 6 στην περίπτωση των καθολικών άκαμπτων μετασχηματισμών και μπορεί να φτάσει μέχρι και εκατομμύρια, σε περιπτώσεις ελαστικών μετασχηματισμών. Όσο αυξάνεται ο αριθμός των παραμέτρων, αυξάνεται η ικανότητα λεπτομερούς ευθυγράμμισης. Αυτή η βελτίωση όμως συνοδεύεται από την αύξηση της πολυπλοκότητας του αλγόριθμου και του υπολογιστικού κόστους. Ο σχεδιαστής της κάθε εφαρμογής καλείται να επιλέξει τον κατάλληλο μετασχηματισμό με βάση τα χαρακτηριστικά της ίδιας της εφαρμογής. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί μπορούν να χωριστούν σε δύο κατηγορίες, τους άκαμπτους και τους ελαστικούς μετασχηματισμούς. Οι περισσότερο διαδεδομένοι άκαμπτοι μετασχηματισμοί είναι οι εξής: 15

16 Αφινικός μετασχηματισμός (Affine) O αφινικός μετασχηματισμός περιλαμβάνει ένα γραμμικό μετασχηματισμό και μία μετατόπιση, και μπορεί να περιγραφεί από τις παρακάτω εξισώσεις στις 3 διαστάσεις: Στην περίπτωση αυτή ο αριθμός των παραμέτρων του μετασχηματισμού είναι 12, όσες και οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος. Προβολικός μετασχηματισμός (Projective) Διγραμμικός μετασχηματισμός (Bilinear) Διτετράγωνος μετασχηματισμός (Biquadratic) Στην εικόνα 2.3 φαίνονται σχηματικά τυπικά παραδείγματα άκαμπτων μετασχηματισμών σε ορθογώνιο πλέγμα. (α) (β) (γ) Εικόνα 2.3 Παραδείγματα άκαμπτων γεωμετρικών μετασχηματισμών: (α) γραμμικός, (β) αφινικός και (γ) διγραμμικός. [7] Αντίθετα με τους άκαμπτους μετασχηματισμούς, οι ελαστικοί μετασχηματισμοί επιτρέπουν ελαστικές γεωμετρικές παραμορφώσεις τοπικά στις εικόνες υπό εξέταση. Παρόλο που έχει δοκιμαστεί ελαστική ευθυγράμμιση χωρίς τη χρήση σημείων ελέγχου [8][9], οι περισσότερες ελαστικές μέθοδοι ευθυγράμμισης αρχικά επιλέγουν έναν αριθμό αντιστοίχων σημείων στις εικόνες προς ευθυγράμμιση και στη συνέχεια χρησιμοποιούν την πληροφορία που παρέχουν 16

17 τα συγκεκριμένα σημεία για τον υπολογισμό της συνάρτησης μετασχηματισμού για όλα τα σημεία της εικόνας. Έχουν δοκιμαστεί πολλοί ελαστικοί μετασχηματισμοί για την ευθυγράμμιση εικόνων. Κάποια παραδείγματα πιο διαδεδομένων μετασχηματισμών είναι οι: TPS (Thin-Plate Spline), ο οποίος θα παρουσιαστεί αναλυτικά στο Κεφάλαιο 3. Multiquadric [10]. Weighted Mean [11]. Piecewise Linear[12]. Στην εικόνα 2.4 φαίνονται σχηματικά παραδείγματα ελαστικών μετασχηματισμών. (α) (β) Εικόνα 2.4 (α) Παράδειγμα ελαστικού γεωμετρικού μετασχηματισμού σε τμήμα ορθογώνιου πλέγματος [7], (β) Τρισδιάστατη ελαστική ευθυγράμμιση τμήματος του οπτικού φλοιού (100 τομές, 512x512 pixels) [21] Συνάρτηση ομοιότητας Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, κατά την εκτέλεση της καθολικής διαδικασίας ευθυγράμμισης, η συνάρτηση ομοιότητας πραγματοποιεί τον έλεγχο σε κάθε κύκλο του αλγόριθμου για να διαπιστωθεί αν το αποτέλεσμα της ευθυγράμμισης είναι ικανοποιητικό. Το κριτήριο ομοιότητας ποσοτικοποιεί το επίπεδο της ομοιότητας ή της απόκλισης μεταξύ των δύο εικόνων. Το κριτήριο που χρησιμοποιείται από τη συνάρτηση ομοιότητας μπορεί να είναι γεωμετρικό, ή κριτήριο φωτεινότητας, ή κριτήριο που να συνδυάζει και τα δύο. Τα γεωμετρικά κριτήρια αναζητούν σημεία ή περιοχές της εικόνας που αντιστοιχούν σε ανατομικά στοιχεία, όρια αυτών, ή γενικότερα σημεία που έχουν ιδιαίτερη σημασία για την κάθε ιατρική 17

18 εφαρμογή, και υπολογίζουν τις αποστάσεις των αντιστοίχων σημείων ή περιοχών μεταξύ των εικόνων προς ευθυγράμμιση. Ο στόχος είναι να ελαχιστοποιηθούν οι αποστάσεις αυτές, σε μέρος ή σε ολόκληρες τις ευθυγραμμισμένες περιοχές. Παρ όλ αυτά, η εύρεση των κατάλληλων σημείων προς μέτρηση είναι ένας τομέας υπό έρευνα και δεν έχουν ακόμα υπάρξει ικανοποιητικά αποτελέσματα μέσω των γεωμετρικών κριτηρίων. Αυτό οφείλεται στο ότι η φύση των ιατρικών εικόνων είναι τέτοια που περιλαμβάνει ασύμμετρες μη προβλέψιμες παραμορφώσεις στα διάφορα στοιχεία που απαρτίζουν την κάθε τομή. Σε τρισδιάστατα δεδομένα τα σημεία ενδιαφέροντος ενδέχεται να αλλάζουν από τομή σε τομή. Μία ακόμα δυσκολία της συγκεκριμένης πρακτικής είναι πως δεν ελέγχονται τα σημεία της εικόνας που είναι απομακρυσμένα από τα σημεία προς μέτρηση, με αποτέλεσμα η ευθυγράμμιση να είναι επιτυχής μόνο τοπικά και όχι στο σύνολο της εικόνας. Παρ όλ αυτά, τα γεωμετρικά κριτήρια μπορούν να εφαρμοστούν με επιτυχία σε συγκεκριμένες εφαρμογές. Προτιμώνται σε περιπτώσεις όπου η φωτεινότητα δεν μπορεί να αποτελέσει αξιόπιστο κριτήριο λόγω παθογενειών που την αλλοιώνουν, ενώ παράλληλα οι γεωμετρικές δομές παραμένουν σταθερές, όπως π.χ. σε ευθυγράμμιση ιατρικών εικόνων του αμφιβληστροειδούς χιτώνα [13]. Από την άλλη πλευρά, τα κριτήρια φωτεινότητας ποσοτικοποιούν το βαθμό ομοιότητας συγκρίνοντας τις τιμές της φωτεινότητας της εικόνας σε όλη την έκτασή της. Επειδή χρησιμοποιούν πληροφορία από το κάθε voxel της κάθε εικόνας, το υπολογιστικό κόστος είναι πολύ μεγαλύτερο από τις γεωμετρικές μεθόδους, όμως η ακρίβεια που παρέχεται είναι πολύ καλύτερη. Το κριτήριο ομοιότητας επιλέγεται ανάλογα με τις υποθέσεις που γίνονται σχετικά με τις αλλαγές της φωτεινότητας από εικόνα σε εικόνα. Στην περίπτωση που οι ίδιες ανατομικές δομές θεωρείται πως αντιστοιχούν σε παρόμοια επίπεδα φωτεινότητας, η μέση απόλυτη διαφορά φωτεινότητας μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν κριτήριο ομοιότητας. Η μαθηματική εξίσωση που εκφράζει τη μέση απόλυτη διαφορά φωτεινότητας (Sum of Absolute Differences, SAD), αν θεωρήσουμε και τις φωτεινότητες N αντίστοιχων σημείων i των δεδομένων αναφοράς (Reference) και υπό ευθυγράμμιση (Floating) είναι η εξής: Η μέση απόλυτη διαφορά φωτεινότητας αποτελεί κριτήριο σφάλματος και ο στόχος είναι η ελαχιστοποίησή του για την καλύτερη δυνατή ευθυγράμμιση. Στην περίπτωση που θεωρείται πως η σχέση μεταξύ των τιμών της φωτεινότητας είναι γραμμική (γεγονός που ισχύει στην περίπτωση της ευθυγράμμισης), χρησιμοποιείται ο 18

19 συντελεστής συσχέτισης (Correlation Coefficient)[16]. Η μαθηματική συντελεστή συσχέτισης είναι η εξής: εξίσωση για το O συντελεστής συσχέτισης εκφράζει το βαθμό ομοιότητας της κατανομής δύο συνόλων δεδομένων, και οι τιμές του κυμαίνονται από 0 ως 1 (χρησιμοποιώντας την απόλυτη τιμή του συντελεστή). Στην περίπτωση της πλήρους ταύτισης είναι ίσος με τη μονάδα. Ο στόχος της ευθυγράμμισης είναι η μεγιστοποίηση του συντελεστή όσο το δυνατόν πλησιέστερα στην τιμή 1. Η έρευνα τα τελευταία χρόνια συνεχίζεται εξερευνώντας υβριδικές μεθόδους που συνδυάζουν τα γεωμετρικά κριτήρια με τα κριτήρια φωτεινότητας. Συνήθως η διαδικασία χωρίζεται σε δύο στάδια, με το γεωμετρικό κριτήριο να προηγείται εκτελώντας μία πρώτη ευθυγράμμιση και στη συνέχεια εφαρμόζεται το κριτήριο φωτεινότητας για το λεπτομερέστερο αποτέλεσμα [14][15]. Τα παραπάνω κριτήρια έχουν εφαρμογή σε περιπτώσεις μονοτροπικής ευθυγράμμισης, όπου δηλαδή τα δεδομένα είναι του ίδιου τύπου. Σε περιπτώσεις πολυτροπικής ευθυγράμμισης, η επιλογή ενός κατάλληλου κριτηρίου ομοιότητας είναι πιο απαιτητική διαδικασία. Το κριτήριο που περισσότερο έχει χρησιμοποιηθεί είναι ο συντελεστής κοινής πληροφορίας (Mutual Information, MI), ο οποίος ποσοτικοποιεί τη βεβαιότητα που μπορεί να έχει κανείς για κάποιο σύνολο δεδομένων, αν είναι γνωστό κάποιο άλλο σύνολο δεδομένων με το οποίο το πρώτο σχετίζεται. Το μέτρο της βεβαιότητας ή της αβεβαιότητας που χρησιμοποιείται από το κριτήριο είναι η εντροπία ενός συστήματος, και έχουν αναπτυχθεί διαφορετικές μέθοδοι προσέγγισης ανάλογα με τον τρόπο που υπολογίζεται η εντροπία από το κάθε σύστημα. Έχουν χρησιμοποιηθεί μη-παραμετρικές προσεγγίσεις [17][18] αλλά και ιστογράμματα φωτεινότητας[19][20]. Για δύο εικόνες και ο συντελεστής κοινής πληροφορίας μπορεί να γραφεί ως εξής : Από την εξίσωση του συντελεστή κοινής πληροφορίας προκύπτει πως προκειμένου να μεγιστοποιηθεί ο συντελεστής, χρειάζεται να ελαχιστοποιηθεί η εντροπία της τομής του ενός συνόλου με το άλλο. 19

20 Μέθοδος βελτιστοποίησης Η διαδικασία της βελτιστοποίησης αποσκοπεί στην εύρεση των καταλληλότερων παραμέτρων του γεωμετρικού μετασχηματισμού, ο οποίος θα ευθυγραμμίσει με τον καλύτερο δυνατό τρόπο τα υπό εξέταση δεδομένα, σύμφωνα με το κριτήριο ομοιότητας το οποίο έχει επιλεγεί. Συνεπώς, η επιλογή της μεθόδου βελτιστοποίησης επηρεάζει σημαντικά την ποιότητα του αποτελέσματος της ευθυγράμμισης. Έχουν αναπτυχθεί αρκετοί αλγόριθμοι βελτιστοποίησης, που μπορούν να καταταχθούν σε δύο γενικές κατηγορίες ως εξής: Μαθηματικά μοντέλα Επαναληπτικοί αλγόριθμοι Τα μαθηματικά μοντέλα περιλαμβάνουν τις ευρέως χρησιμοποιούμενες μεθόδους βελτιστοποίησης. Οι μέθοδοι βασίζονται σε μαθηματικά μοντέλα ελαχιστοποίησης ή μεγιστοποίησης συναρτήσεων, που επιλύουν σύνθετες εξισώσεις επαναληπτικά για ένα προκαθορισμένο από το χρήστη αριθμό επαναλήψεων ή μέχρι να επιτευχθεί κάποιο αριθμητικό κριτήριο τερματισμού που πιθανώς έχει τεθεί. Μερικά μαθηματικά μοντέλα βελτιστοποίησης είναι τα εξής: Η μέθοδος Downhill Simplex, η οποία υλοποιείται στην παρούσα εργασία και θα αναπτυχθεί αναλυτικά στην επόμενη παράγραφο. Η μέθοδος Powell [22]. Είναι ένας αλγόριθμος που βρίσκει το τοπικό ελάχιστο μιας συνάρτησης. Η συνάρτηση δε χρειάζεται να είναι διαφορήσιμη, αφού η μέθοδος δε χρησιμοποιεί παραγώγους. Η διαδικασία είναι απλή, και μπορεί να περιγραφεί ως εξής: Από ένα αρχικό σημείο που ορίζεται από το χρήστη, ξεκινά η αναζήτηση του τοπικού ελαχίστου μέσω Ν διανυσμάτων, όπου Ν είναι η διάσταση της εικόνας. Η αναζήτηση γίνεται από ένα διάνυσμα κάθε φορά, με διαδοχική σειρά. Όταν βρεθεί το τοπικό ελάχιστο, η νέα θέση μπορεί να εκφραστεί σαν γραμμικός συνδυασμός των τελευταίων διανυσμάτων αναζήτησης. Το νέο διάνυσμα μετατόπισης γίνεται το νέο διάνυσμα αναζήτησης και η διαδικασία επαναλαμβάνεται για όσες φορές έχουν ορισθεί από το χρήστη. Ο βασικός αλγόριθμος είναι απλός, όμως η πολυπλοκότητα έγκειται στις γραμμικές αναζητήσεις κατά μήκος των διανυσμάτων αναζήτησης, οι οποίες μπορούν να πραγματοποιηθούν μέσω της μεθόδου του Brent. Η μέθοδος Brent [23]. Είναι μια περίπλοκη αλλά δημοφιλής μέθοδος εύρεσης των σημείων μηδενισμού μιας συνάρτησης. Συνδυάζει τη μέθοδο της διχοτόμησης, τη μέθοδο της τέμνουσας και την αντίστροφη τετραγωνική παρεμβολή. Ο αλγόριθμος 20

21 επιχειρεί να εφαρμόσει τις ταχύτερες μεθόδους της τέμνουσας και της αντίστροφη τετραγωνική παρεμβολή, και στις περιπτώσεις που δεν προκύπτει αποτέλεσμα χρησιμοποιεί την πιο αξιόπιστη αλλά και πιο χρονοβόρο μέθοδο της διχοτόμησης. Η τεχνική εύρεσης χρυσής τομής (Golden Section Search) [24]. Είναι μία τεχνική για την εύρεση του μεγίστου ή ελαχίστου μιας συνάρτησης η οποία είναι γνωστό ότι έχει μόνο ένα σημείο μεγίστου ή ελαχίστου αντίστοιχα. Ο αλγόριθμος περιορίζει διαδοχικά το εύρος του πεδίου μέσα στο οποίο υπάρχει το μέγιστο ή το ελάχιστο χρησιμοποιώντας τριάδες σημείων, μέχρι να βρεθεί το ζητούμενο. Η δεύτερη κατηγορία αλγορίθμων, οι επαναληπτικοί αλγόριθμοι βελτιστοποίησης συνήθως χρησιμοποιούνται για την επίλυση μη γραμμικών προβλημάτων. Πρόκειται για αρκετά απαιτητικούς αλγόριθμους με υψηλό υπολογιστικό κόστος. Κάποια παραδείγματα επαναληπτικών αλγόριθμων είναι τα εξής: H μέθοδος Newton. Η μέθοδος καθόδου κλίσης (Gradient Descent). Η μέθοδος συζευγμένης κλίσης (Conjugate Gradient). Τεχνικές παρεμβολών (Interpolation Methods). Μέθοδοι εύρεσης προτύπων (Pattern Search Methods) Η μέθοδος Downhill Simplex H μέθοδος Downhill Simplex [25][26] είναι η μέθοδος βελτιστοποίησης που υλοποιείται στην παρούσα εργασία, για τη βελτιστοποίηση του αφινικού μετασχηματισμού κατά την διαδικασία της άκαμπτης ευθυγράμμισης των δεδομένων, η οποία παρουσιάζεται στο Κεφάλαιο 4. Σαν simplex αποκαλείται ένα γεωμετρικό σχήμα που στις Ν διαστάσεις έχει Ν+1 γωνίες και τις επιφάνειες και ακμές που οι γωνίες ορίζουν. Στις 2 διαστάσεις το simplex είναι ένα τρίγωνο, ενώ στις 3 διαστάσεις ένα τετράεδρο. Η μέθοδος αρχικοποιείται με Ν+1 σημεία. Αν θεωρηθεί ένα σημείο αρχικοποίησης P 0, τότε τα υπόλοιπα Ν σημεία προκύπτουν ως εξής: όπου e i είναι Ν μοναδιαία διανύσματα, και η παράμετρος λ μπορεί να λάβει την ίδια ή διαφορετική τιμή για κάθε διάνυσμα. Η μέθοδος ξεκινάμε μια σειρά βημάτων όπου η γωνία του simplex με τη μεγαλύτερη τιμή μετακινείται κάθε φορά διαπερνώντας την απέναντι έδρα προς ένα σημείο με μικρότερη τιμή. Αυτά τα βήματα ονομάζονται αντανακλάσεις και πραγματοποιούνται με τέτοιο τρόπο ώστε να διατηρείται ο όγκος του simplex. Όπου είναι εφικτό, η μέθοδος εκτείνει τη γωνία του simplex με τέτοιο τρόπο ώστε να εκτελεί μεγαλύτερα 21

22 βήματα. Όταν βρίσκεται σε επίπεδες περιοχές (όπου τα σημεία έχουν παρόμοιες τιμές και απουσιάζουν τοπικά ελάχιστα), η μέθοδος συμπτύσσεται προς μια αντίθετη κατεύθυνση και επιχειρεί να ξεφύγει από την επίπεδη περιοχή. Όταν ένα σημείο ελαχίστου βρίσκεται ανάμεσα σε σημεία με μεγάλες τιμές, το simplex δεν μπορεί να το προσεγγίσει διατηρώντας τον όγκο του. Τότε συμπτύσσεται προς το καλύτερο σημείο του, το σημείο δηλαδή με τη χαμηλότερη τιμή. Στο simplex έχει αποδοθεί ο χαρακτηρισμός αμοιβάδα που περιγράφει την ιδιαιτερότητα της κίνησής του. Οι βασικές κινήσεις του περιγράφονται στη εικόνα 2.5. (α) (β) (γ) 22

23 (δ) (ε) Εικόνα 2.5 Πιθανές εκδοχές ενός βήματος της μεθόδου Downhill Simplex. (α) Το simplex για τρισδιάστατες εφαρμογές, στην αρχή του αλγόριθμου, (β) μία αντανάκλαση προς την αντίθετη κατεύθυνση του προηγούμενου μεγίστου, (γ) αντανάκλαση και επέκταση μακριά από το προηγούμενο μέγιστο, (δ) σύμπτυξη σε μια διάσταση από το μέγιστο και (ε) σύμπτυξη προς όλες τις κατευθύνσεις προς το χαμηλότερο σημείο. Μια κατάλληλη αλληλουχία τέτοιων βημάτων οδηγεί πάντα στην εύρεση του ελαχίστου μιας συνάρτησης. Σαν συνθήκη τερματισμού του αλγόριθμου μπορεί να οριστεί μία ελάχιστη απόσταση tol, και αν το μέτρο του διανύσματος της μετακίνησης του simplex γίνει μικρότερο από αυτή την απόσταση tol, τότε η μέθοδος τερματίζεται. Εναλλακτικά, θα μπορούσε να οριστεί η μείωση της τιμής της συνάρτησης υπό εξέταση να είναι μικρότερη από μία καθορισμένη τιμή ftol. 2.3 Ευθυγράμμιση μέσω αντιστοίχισης σημείων Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, παρόλο που έχει δοκιμαστεί ελαστική ευθυγράμμιση χωρίς τη χρήση σημείων ελέγχου [8][9], οι περισσότερες ελαστικές μέθοδοι ευθυγράμμισης αρχικά επιλέγουν έναν αριθμό αντιστοίχων σημείων στις εικόνες προς ευθυγράμμιση και στη συνέχεια χρησιμοποιούν την πληροφορία που παρέχουν τα συγκεκριμένα σημεία για τον υπολογισμό της συνάρτησης μετασχηματισμού για όλα τα σημεία της εικόνας. 23

24 Τα βήματα της ευθυγράμμισης μέσω αντιστοίχισης σημείων φαίνονται στην Εικόνα 2.6. Αρχικά επιλέγονται τα αντίστοιχα σημεία ελέγχου στα δεδομένα αναφοράς και στα δεδομένα προς ευθυγράμμιση, με χειροκίνητο ή αυτόματο τρόπο. Στη συνέχεια, υπολογίζονται οι παράμετροι του γεωμετρικού μετασχηματισμού με βάση τα αντίστοιχα σημεία ελέγχου που επιλέχθηκαν. Ο μετασχηματισμός εφαρμόζεται σε όλα τα σημεία της εικόνας και προκύπτουν τα ευθυγραμμισμένα δεδομένα. Εικόνα 2.6 Τα βήματα της ευθυγράμμισης μέσω αντιστοίχισης σημείων Η επιλογή των σημείων ελέγχου έχει μεγάλη σημασία και έχουν δοκιμαστεί αρκετές μέθοδοι αναζήτησης. Σαν σημεία ελέγχου χρησιμοποιούνται σημεία γωνιών της εικόνας [27][28], κέντρα βάρους περιοχών[29],τομές γραμμών[30], και για την εύρεση των αντιστοιχιών μεταξύ των σημείων δύο εικόνων έχουν χρησιμοποιηθεί διάφορες μέθοδοι, όπως η μέθοδος Chamfer [31], η μέθοδος αναγνώρισης προτύπων [32], η μέθοδος αντιστοίχισης γράφων [33] κ. ά.. Η απόδοση ενός αλγόριθμου ελαστικής ευθυγράμμισης εξαρτάται από: Τη σωστή αντιστοίχιση των σημείων ελέγχου και Την απόδοση της συνάρτησης μετασχηματισμού 24

25 Στην παράγραφο αναφέρθηκαν τέσσερα παραδείγματα διαδεδομένων ελαστικών μετασχηματισμών: TPS (Thin-Plate Spline), ο οποίος θα παρουσιαστεί αναλυτικά στο Κεφάλαιο 3. Multiquadric [10]. Weighted Mean [11]. Piecewise Linear[12]. Ο Multiquadric μετασχηματισμός είναι μία μέθοδος παρεμβολής που εκφράζεται από την παρακάτω εξίσωση: όταν έχουν ορισθεί Ν σημεία ελέγχου. Όσο η παράμετρος d 2 αυξάνεται, ο μετασχηματισμός γίνεται πιο ομαλός. Ο Multiquadric (MQ) μετασχηματισμός σε σχέση με τον Thin Plate Splines (TPS) παράγουν παρόμοια αποτελέσματα όταν οι δύο εικόνες προς ευθυγράμμιση δεν παρουσιάζουν μη γραμμικές γεωμετρικές αποκλίσεις. Αυτό συμβαίνει γιατί και οι δύο μετασχηματισμοί περιέχουν γραμμικούς όρους. Όταν υπάρχουν ολικές γεωμετρικές αποκλίσεις, o TPS αποδίδει καλύτερα από τον MQ, ενώ όταν οι εικόνες παρουσιάζουν τοπικές γεωμετρικές αποκλίσεις, η απόδοση των δύο μετασχηματισμών είναι παρόμοια, και όχι αρκετά ικανοποιητική. O TPS και ο MQ μετασχηματισμός είναι μέθοδοι παρεμβολής. Συνεπώς, τοποθετούν τα αντίστοιχα σημεία ελέγχου με ακρίβεια από τη μία εικόνα στην άλλη. Οι μέθοδοι που τοποθετούν τα αντίστοιχα σημεία ελέγχου από τη μία εικόνα στην άλλη με κάποια προσέγγιση που προκύπτει από το σταθμισμένο μέσο όρο των σημείων ελέγχου, με το άθροισμα των συντελεστών βαρύτητας να ισούται με τη μονάδα σε όλα τα σημεία του πεδίου προσέγγισης. Μία μέθοδος σταθμισμένου μέσου όρου (Weighted Mean, WM) εκφράζεται μέσω της σχέσης: 25

26 είναι το i-οστό βάρος και R i (x,y) είναι μία γνησίως φθίνουσα συνάρτηση με κέντρο το (x i,y i ). Η μέθοδος WM δεν περιλαμβάνει την επίλυση συστήματος εξισώσεων. Σε περιπτώσεις όπου χρειάζεται να αντιστοιχισθεί πολύ μεγάλος αριθμός σημείων, με πυκνότητες που διαφέρουν τοπικά στην έκταση της εικόνας, τότε η μέθοδος WM υπερτερεί σε σχέση με τις μεθόδους παρεμβολής, που αδυνατούν να παράγουν σωστή ευθυγράμμιση εικόνων. Ο piecewise linear (PL) μετασχηματισμός ευθυγραμμίζει δύο εικόνες ανά περιοχή, εφαρμόζοντας ένα γραμμικό μετασχηματισμό. Παρόλο που μέχρι στιγμής μόνο τριγωνικές περιοχές έχουν χρησιμοποιηθεί, θεωρητικά οι περιοχές μπορεί να είναι οπουδήποτε σχήματος. Ο PL είναι συνεχής, αλλά δεν είναι ικανοποιητικά ομαλός μετασχηματισμός. Όταν οι τοπικές γεωμετρικές διαφορές μεταξύ των εικόνων είναι μικρές, ο PL μπορεί να έχει ικανοποιητικά αποτελέσματα, όμως όταν υπάρχουν μεγαλύτερες γεωμετρικές διαφορές, δεν έχει καθόλου καλή απόδοση. Από τη σύγκριση μεταξύ των αλγόριθμων ελαστικής ευθυγράμμισης μέσω αντιστοίχισης σημείων, μπορεί να εξαχθεί το συμπέρασμα πως η σωστή επιλογή του γεωμετρικού αλγόριθμου έχει μεγάλη σημασία για την λήψη ικανοποιητικών αποτελεσμάτων, και η επιλογή αυτή εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά των εικόνων της κάθε εφαρμογής. 26

27 Κεφάλαιο 3. Ο γεωμετρικός μετασχηματισμός Thin Plate Splines 3.1 Η Μέθοδος Thin Plate Splines Όπως αναφέρθηκε στο Κεφάλαιο 2, υπάρχουν αρκετές μέθοδοι για την ομαλή ευθυγράμμιση δύο εικόνων, όταν καθορίζονται σημεία αντιστοίχισης μεταξύ τους. Η πιο ευρέως χρησιμοποιούμενη μέθοδος είναι η τεχνική των Thin Plate Splines. Στην περίπτωση δισδιάστατων εικόνων, μπορεί κανείς να φανταστεί την εικόνα σαν ένα λεπτό φύλλο από ατσάλι που ο στόχος είναι να διαμορφωθεί με τέτοιον τρόπο έτσι ώστε να περνάει από τα σημεία προς αντιστοίχιση (ή σημεία ελέγχου) με τη μικρότερη δυνατή παραμόρφωσή του. Εικόνα 3.1 Οπτική απεικόνιση της μεθόδου TPS σε 2D δεδομένα με 7 σημεία ελέγχου.[37] Για την ανάπτυξη της μεθόδου χρησιμοποιήθηκε αυτό το φυσικό μοντέλο, δηλαδή η φυσική ιδιότητα που έχει ένα φύλλο από ατσάλι για σχετικά μικρές μετατοπίσεις και αγνοώντας την επίδραση της βαρύτητας, να κάμπτεται με τη μικρότερη δυνατή αλλαγή της μηχανικής ενέργειάς του. Η χρήση της μεθόδου των Thin Plate Splines (TPS) για την ελαστική ευθυγράμμιση ιατρικών εικόνων προτάθηκε για πρώτη φορά το 1989 από τον Αμερικανό ερευνητή Fred L. Bookstein [34]. Παρακάτω γίνεται περιγραφή της μεθόδου στη γενική μορφή της για d-διάστατες εικόνες. Το πρόβλημα μπορεί να τεθεί ως εξής: Δίνονται 2 σύνολα n σημείων p i και q i, i = 0, 1, 2,. n, σε δύο εικόνες διάστασης d. Το ζητούμενο είναι μέσα σε έναν κατάλληλο χώρο Hilbert [35] H d να βρεθεί κατάλληλος μετασχηματισμός u που να (i) (ii) ελαχιστοποιεί μια δεδομένη συνάρτηση J (ανάλογη της φυσικής ενέργειας κάμψης του μετάλλου) : H d R ικανοποιεί τη συνθήκη της αντιστοίχισης σημείων: 27

28 Θεωρούμε μόνο συναρτήσεις J που μπορούν να χωριστούν σε σύνολο παρόμοιων συναρτήσεων που η καθεμία να εξαρτάται από μία συνιστώσα u i του μετασχηματισμού u. Με αυτόν τον τρόπο, το πρόβλημα εύρεσης του μετασχηματισμού u μπορεί να χωριστεί σε d προβλήματα για όλες τις συνιστώσες z του u. Στην περίπτωση του TPS η συνάρτηση J περιγράφεται πλήρως μέσω της διάστασης d των εικόνων και της τάξης m των παραγώγων που χρησιμοποιούνται [36]. Οι συναρτήσεις μπορούν να γραφούν ως εξής: Η παραπάνω συνάρτηση δεν επηρεάζεται από μετατοπίσεις και περιστροφές, επειδή το τμήμα υπό ολοκλήρωση είναι βαθμωτό μέγεθος και όχι διάνυσμα. Ας θεωρήσουμε ένα σύνολο συναρτήσεων φ i να εκτείνονται στο χώρο Π m-1 (R d ) όλων των πολυωνύμων στο R d μέχρι της τάξης m-1, που είναι ο χώρος όπου μηδενίζεται η συνάρτηση. Η διάσταση αυτού του χώρου είναι: και πρέπει να είναι μικρότερη από n. Από αυτόν τον περιορισμό προκύπτει και ο ελάχιστος δυνατός αριθμός σημείων. Η λύση στο πρόβλημα ελαχιστοποίησης μπορεί τώρα να γραφεί ως εξής: με κάποιες βασικές συναρτήσεις που εξαρτώνται από: (i) τις διαστάσεις d της εικόνας (ii) την τάξη m της συνάρτησης προς ελαχιστοποίηση και (iii) το χώρο Hilbert H αποδεκτών συναρτήσεων [36] 28

29 Αν επιλέξουμε το χώρο Sobolev H = H 2 που περιλαμβάνει όλες τις τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις με παραγώγους έως δεύτερης τάξης στο L 2 (R) τότε προκύπτει: Μπορεί να παρατηρηθεί πως οι βασικές συναρτήσεις σχηματίζουν ένα n-διάστατο χώρο συναρτήσεων που εξαρτώνται μόνο από τα σημεία αντιστοίχισης της εικόνας αναφοράς. Τα διανύσματα με τους συντελεστές και μπορούν να υπολογιστούν λύνοντας το παρακάτω γραμμικό σύστημα εξισώσεων: Όπου v είναι το κάθετο διάνυσμα με τις συντεταγμένες (μία διάσταση κάθε φορά, π.χ. x ή y ή z κ.ο.κ.) των σημείων προς ευθυγράμμιση q i και Αν συγκεκριμενοποιήσουμε το παραπάνω πρόβλημα σε 2 διαστάσεις, η συνάρτηση J που ελαχιστοποιείται (ανάλογη της φυσικής ενέργειας κάμψης του μετάλλου), σε ένα συγκεκριμένο σημείο είναι: Οι εξισώσεις του TPS για τις δυο διαστάσεις είναι: 29

30 Όπου Για δεδομένα 3 διαστάσεων, που θα επεξεργαστούν στη συνέχεια στην προκείμενη εργασία, οι αντίστοιχες εξισώσεις των (5) και (6) είναι: Για να ελαχιστοποιηθούν τα παραπάνω ολοκληρώματα αντιστοιχίζοντας Ν σημεία χρησιμοποιούνται οι παρακάτω σχέσεις: Όπου Οι τελευταίες σχέσεις (7), (8) και (9) χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό των συντελεστών a i, b i, c i, F i, G i, H i. Παρατηρούμε πως οι τρεις πρώτοι όροι στο δεξί μέρος των παραπάνω εξισώσεων συνιστούν αφινικό μετασχηματισμό, και δεν έχουν καμία συνεισφορά στα ολοκληρώματα προς ελαχιστοποίηση. 30

31 3.2 Thin Plate Splines με προσέγγιση Η μέθοδος όπως αναπτύχθηκε στην παραπάνω παράγραφο 3.1 προϋποθέτει πως οι θέσεις των σημείων προς αντιστοίχιση είναι προσδιορισμένες με ακρίβεια. Σε αρκετές εφαρμογές σε πραγματικά δεδομένα όμως, οι θέσεις των σημείων μπορούν να προσδιοριστούν μόνο κατά προσέγγιση. Για να ληφθούν υπόψη τα πιθανά λάθη στην τοποθέτηση των σημείων, πρέπει κανείς να χαλαρώσει τη συνθήκη αντιστοίχισης σημείων (1). Αυτό γίνεται συνδυάζοντας ένα κριτήριο προσέγγισης με τη συνάρτηση ελαχιστοποίησης (2). Στην απλούστερη περίπτωση με δευτεροβάθμιο όρο προσέγγισης, καταλήγουμε στην παρακάτω σχέση [38]: Τέτοιες συναρτήσεις έχουν χρησιμοποιηθεί για την ανακατασκευή επιφανειών από δεδομένα διαφόρων βαθών [39]. Για δεδομένα 2 διαστάσεων οι Arad et al [40] χρησιμοποίησαν αυτή την προσέγγιση για να απεικονίσουν και να διαμορφώσουν εκφράσεις του προσώπου. Ο πρώτος όρος αθροίζει τα τετράγωνα των Ευκλείδειων αποστάσεων μεταξύ των σημείων αναφοράς και των σημείων ευθυγράμμισης. Ο δεύτερος όρος εκφράζει την ομαλότητα του μετασχηματισμού που προκύπτει. Αναζητείται ο μετασχηματισμός u(x) που: (i) (ii) προσεγγίζει τη μετατόπιση των σημείων ευθυγράμμισης ως προς τα σημεία αναφοράς και είναι ικανοποιητικά ομαλός. Η συμπεριφορά του μετασχηματισμού σε σχέση με την ικανότητα προσέγγισης συναρτήσει της ομαλότητάς του καθορίζεται από την παράμετρο λ>0. Αν το λ είναι μικρό, η προσεγγιστική ακρίβεια του μετασχηματισμού είναι πολύ καλή (στην περίπτωση που λ=0 ο μετασχηματισμός είναι τέλεια ελαστικός). Στην περίπτωση που το λ είναι μεγάλο, ο μετασχηματισμός γίνεται αρκετά ομαλός, όμως δεν ανταποκρίνεται στις μετατοπίσεις που έχουν οριστεί από τα σημεία ελέγχου. Για να συμπεριλάβουμε την παράμετρο λ στους υπολογισμούς των παραμέτρων του μετασχηματισμού, αρκεί στο σύστημα εξισώσεων (4) να αντικαταστήσουμε τον Κ με Κ+λΙ. Στην εικόνα 3.2 φαίνεται ένα παράδειγμα ευθυγράμμισης δύο δισδιάστατων εικόνων με χρήση TPS (m=2) για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου λ. Τα μικρότερα μαύρα σημεία είναι τα σημεία προς ευθυγράμμιση, ενώ τα μεγαλύτερα γκρι σημεία είναι τα σημεία αναφοράς. 31

32 Εικόνα 3.2 Παράδειγμα 2D TPS με παράμετρο λ=0, λ=0.001 και λ= Επίδραση του αριθμού των σημείων ελέγχου στον TPS μετασχηματισμό Η αποτελεσματικότητα της μεθόδου ευθυγράμμισης TPS είναι ανάλογη του αριθμού των σημείων ελέγχου που θα χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό των συντελεστών μετασχηματισμού. Η αύξηση των σημείων μεγαλώνει ταυτόχρονα και το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου. Οι Yin-Chiao Tsai et al [41] χρησιμοποίησαν ένα τεχνητό τρισδιάστατο μοντέλο ενός κύβου που μετασχηματίζεται σε σφαίρα, και παρουσίασαν τα αποτελέσματα για 14, 26 και 50 ζεύγη σημείων ελέγχου. Στην εικόνα 3.3 φαίνεται η βελτίωση του οπτικού αποτελέσματος με την αύξηση των σημείων ελέγχου. 32

33 (α) (γ) (ε) (β) (δ) (στ) Εικόνα 3.3 Τρισδιάστατη εφαρμογή TPS για την ευθυγράμμιση ενός κυβου και μιας σφαίρας. Με κόκκινους μικρούς κύκλους φαίνονται τα σημεία ελέγχου μέσα στους κύβους και με κόκκινα Χ τα αντίστοιχα σημεία στις σφαίρες. (α), (β): αρχικός κύβος και αποτέλεσμα μετασχηματισμού για 14 ζεύγη σημείων. (γ), (δ): αρχικός κύβος και αποτέλεσμα μετασχηματισμού για 26 ζεύγη σημείων και (ε), (στ): αρχικός κύβος και αποτέλεσμα μετασχηματισμού για 50 ζεύγη σημείων. 33

34 3.4 Αυτόματος προσδιορισμός σημείων ελέγχου Είναι αποδεδειγμένο και επαληθεύεται στο Κεφάλαιο 4 της παρούσης εργασίας πως η επιλογή και η θέση των σημείων ελέγχου είναι καθοριστική για τα αποτελέσματα του μετασχηματισμού TPS. Τα σημεία της εικόνας αναφοράς πρέπει να είναι σε αντιστοιχία 1 προς 1 με τα σημεία της εικόνας προς ευθυγράμμιση. Η χειροκίνητη επιλογή σημείων είναι μια χρονοβόρα διαδικασία που απαιτεί μεγάλη προσοχή και μπορεί να επιφέρει λάθη στη διαδικασία εκτέλεσης. Για αυτό το λόγο έχει γίνει εκτεταμένη έρευνα για αυτοματοποιημένους αλγόριθμους εύρεσης σημείων αναφοράς και εύρεσης αντιστοίχων σημείων μεταξύ των εικόνων[49][50][51]. Οι W. Sun et al [47] χρησιμοποίησαν μια μέθοδο που συνδυάζει έναν ανιχνευτή γωνιών στις εικόνες προς αντιστοίχιση με τη μέθοδο Coherent Point Drift [48] για να αντιστοιχίσουν τα σημεία που ανιχνεύθηκαν. Η μέθοδος αυτή βασίζεται στον υπολογισμό της πιθανότητας ένα σημείο να αντιστοιχεί σε κάποιο άλλο, και τα σημεία που εμφανίζουν τις μεγαλύτερες πιθανότητες αντιστοιχίζονται μεταξύ τους. Ανάλογα με το κατώφλι που θέτει ο χρήστης, τα σημεία μπορεί να είναι περισσότερα και αντιστοιχισμένα με μικρότερη ακρίβεια, ή λιγότερα και με μεγαλύτερη ακρίβεια αντιστοίχισης. Το σημαντικό πλεονέκτημα της μεθόδου είναι ότι εξαναγκάζει τα σημεία προς αντιστοίχιση να κινούνται συνεκτικά σαν σύνολο, γεγονός το οποίο διατηρεί τη δομή τους. Παρ όλ αυτά, με τη συγκεκριμένη μέθοδο υπάρχουν αρκετά σημεία που δεν εμφανίζουν αντιστοίχιση και για αυτό το λόγο θα χρειάζεται να αυξάνει κανείς το συντελεστή ελαστικότητας λ για να χαλαρώνει τον TPS, έτσι ώστε να μην επηρεάζεται η συνολική αντιστοίχιση. Στις παρακάτω εικόνες φαίνονται τα αποτελέσματα εφαρμογής της μεθόδου σε δισδιάστατα δεδομένα. (α) (β) Εικόνα 3.4 (α)εικόνα αναφοράς CT και (β) σημεία γωνιών που ανιχνεύθηκαν στην (α) 34

35 (α) (β) Εικόνα 3.5(α) Εικόνα αναφοράς CBCT (Cone Beam CT) και (β) σημεία γωνιών που ανιχνεύθηκαν στην (α) (α) (β) Εικόνα 3.6 (α) Εικόνα CT προς ευθυγράμμιση, (β) Εικόνα αναφοράς CBCT. 35

36 (γ) (δ) (ε) Εικόνα 3.7 Αποτελέσματα ευθυγράμμισης μετά από αυτόματη επιλογή 52 ζευγών σημείων και TPS. (γ) Εικόνα CT μετά την ευθυγράμμιση, (δ) Υπέρθεση εικόνων πριν την ευθυγράμμιση, (ε) Υπέρθεση εικόνων μετά την ευθυγράμμιση. Το οπτικό αποτέλεσμα της συγκεκριμένης μεθόδου ευθυγράμμισης φαίνεται αρκετά ικανοποιητικό. Η επιλογή των σημείων ελέγχου γίνεται με αυτόματο τρόπο με αρκετά καλή συμμετρία στις εικόνες και η αυτόματη αντιστοίχηση είναι ακριβής, αφού επιτυγχάνεται σωστή ευθυγράμμιση μετά την εισαγωγή των σημείων στον ελαστικό μετασχηματισμό TPS και την εφαρμογή του στα δεδομένα. 36

37 Κεφάλαιο 4. Αποτελέσματα 4.1 Εφαρμογή σε δεδομένα γνωστού γεωμετρικού μετασχηματισμού Χρησιμοποιήθηκαν 2 ζεύγη δεδομένων με γνωστές γεωμετρικές διαφοροποιήσεις, τα οποία παρήχθησαν με τεχνητό τρόπο, από τη μία εικόνα αναφοράς των πραγματικών δεδομένων. Για τη δημιουργία των σετ δεδομένων με γνωστές ελαστικές παραμορφώσεις χρησιμοποιήθηκαν 2 τεχνικές. Μπορούν και οι δύο να χαρακτηριστούν ως "ημιτονοειδείς ελαστικοί μετασχηματισμοί", και οι ακριβείς εξισώσεις των μετασχηματισμών φαίνονται παρακάτω. Το πρώτο σετ μετασχηματίσθηκε ως εξής: Κάθε pixel (x,y,z) μετατίθεται στη νέα του θέση (x',y',z'), όπου: x' = x + a * sin(y / T) y' = y + a * cos(x / T) z' = z (δεν έχουμε παραμόρφωση στον άξονα z) Οι παράμετροι παραμόρφωσης a και Τ τέθηκαν α=12, Τ=64. Το δεύτερο σετ μετασχηματίσθηκε ως εξής: Κάθε pixel (x,y,z) μετατίθεται στη νέα του θέση (x',y',z'), όπου: x' = x + Ax * sin(x * π / T) y' = y + Ay * sin(y * π / T) z' = z + Az * sin(z * π / T) Οι παράμετροι παραμόρφωσης Ax, Ay, Az και Τ τέθηκαν Ax=Ay=5, Az=2, T=32. Στην εικόνα 4.1 φαίνονται τα μετασχηματισμένα σετ σε υπέρθεση με τα αρχικά δεδομένα αναφοράς. Μέσω μιας ειδικής εφαρμογής επεξεργασίας εικόνων που χρησιμοποιείται παρακάτω για την ποιοτική αξιολόγηση των αποτελεσμάτων, απεικονίζεται με κόκκινο χρώμα η πληροφορία που υπάρχει μόνο στα δεδομένα αναφοράς, και όχι στα δεδομένα προς ευθυγράμμιση, ενώ αντίθετα με γαλάζιο η πληροφορία που υπάρχει στα δεδομένα προς ευθυγράμμιση και όχι στα δεδομένα αναφοράς. 37

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα Απεικόνιση Γραφικά ΥφήςΥπολογιστών Απεικόνιση Υφής Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα Γ. Γ. Παπαϊωάννου, - 2008 Τι Είναι η Υφή; Η υφή είναι η χωρική διαμόρφωση των ποιοτικών χαρακτηριστικών της επιφάνειας ενός αντικειμένου,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Μέθοδος ανακατασκευής με χρήση χαρακτηριστικών δειγμάτων προβολής Αναστάσιος Κεσίδης Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός Θέματα που θα αναπτυχθούν Εισαγωγή στις τομογραφικές μεθόδους

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1.1 Να δοθεί ο ορισμός του προβλήματος καθώς και τρία παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 MACROWEB Προβλήματα Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 Παραδείγματα Προβλημάτων. Πως ορίζεται η έννοια πρόβλημα; Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η κατανόηση ενός προβλήματος; Τι εννοούμε λέγοντας χώρο ενός προβλήματος;

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα

Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα Χαρακτηριστικά Οριζοντιογραφία Στο γραφικό περιβάλλον της εφαρμογής είναι δυνατή η σχεδίαση οριζοντιογραφιών δρόμων, σιδηροδρομικών γραμμών, ανοικτών και

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης K.5.1 Γραμμή Παραγωγής Μια γραμμή παραγωγής θεωρείται μια διάταξη με επίκεντρο το προϊόν, όπου μια σειρά από σταθμούς εργασίας μπαίνουν σε σειρά με στόχο ο κάθε ένας από αυτούς να κάνει μια ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση

Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση ΤΨΣ 50 Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση Τµήµα ιδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστηµάτων Πανεπιστήµιο Πειραιώς Περιεχόµενα Βιβλιογραφία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα "Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM)"

Σημειώσεις για το μάθημα Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM) ΑΤΕΙ ΧΑΛΚΙ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για το μάθημα "Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM" Εαρινό εξάμηνο 5 Χ. Οικονομάκος . Γενικά Χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών στα προγράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

J-GANNO. Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β, Φεβ.1998) Χάρης Γεωργίου

J-GANNO. Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β, Φεβ.1998) Χάρης Γεωργίου J-GANNO ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΑΚΕΤΟ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΕΧΝΗΤΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΩΝ ΙΚΤΥΩΝ ΣΤΗ ΓΛΩΣΣΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ JAVA Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΛΙΝΑ ΜΑΣΣΟΥ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΛΙΝΑ ΜΑΣΣΟΥ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΞΟΡΥΞΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΛΙΝΑ ΜΑΣΣΟΥ Δ.Π.Μ.Σ: «Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες» 2008

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 2 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 3 ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 4 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 5 ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Καθηγητής Α.Π.Θ. ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Μαθηματικός ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ 1. Εισαγωγή Όπως έχουμε τονίσει, η κατανόηση του τρόπου με τον οποίο προσδιορίζεται η τιμή ενός αγαθού απαιτεί κατανόηση των δύο δυνάμεων της αγοράς, δηλαδή της ζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση Η15. Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής. Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο)

Άσκηση Η15. Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής. Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο) Άσκηση Η15 Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο) Το γήινο μαγνητικό πεδίο αποτελείται, ως προς την προέλευσή του, από δύο συνιστώσες, το μόνιμο μαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση.

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. 1. Εισαγωγή. Κάθε μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν έχει γίνει, περικλείει κάποια αβεβαιότητα. Η ανάλυση των σφαλμάτων είναι η μελέτη και ο υπολογισμός αυτής της αβεβαιότητας στη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές Γενικά Για Τη Βελτιστοποίηση Η βελτιστοποίηση µπορεί να χωριστεί σε δύο µεγάλες κατηγορίες: α) την Βελτιστοποίηση Τοπολογίας (Topological Optimization) και β) την Βελτιστοποίηση Σχεδίασης (Design Optimization).

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Πτυχιακή διατριβή

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Πτυχιακή διατριβή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Πτυχιακή διατριβή 3Δ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ DICOM ΚΑΙ ΕΣΤΙΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΣΚΛΗΡΥΝΣΗΣ ΣΕ ΕΙΚΟΝΕΣ ΕΓΚΕΦΑΛΟΥ ΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑΣ Νικολάου Φοίβια

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΙΚΗ ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ. Ευάγγελος Παντελής Επ. Καθ. Ιατρικής Φυσικής Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής Ιατρική Σχολή Αθηνών

ΑΞΟΝΙΚΗ ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ. Ευάγγελος Παντελής Επ. Καθ. Ιατρικής Φυσικής Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής Ιατρική Σχολή Αθηνών ΑΞΟΝΙΚΗ ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ Ευάγγελος Παντελής Επ. Καθ. Ιατρικής Φυσικής Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής Ιατρική Σχολή Αθηνών ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Διαγνωστικές και θεραπευτικές εφαρμογές ακτινοβολιών : Κεφάλαιο 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Η προέλευση του Sketchpad 1

Η προέλευση του Sketchpad 1 Η προέλευση του Sketchpad 1 Το The Geometer s Sketchpad αναπτύχθηκε ως μέρος του Προγράμματος Οπτικής Γεωμετρίας, ενός προγράμματος χρηματοδοτούμενου από το Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών (ΝSF) υπό τη διεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΡΧΙΚΟΥ Κ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΜΗΧΑΝΗΣ ΣΕ Κ=1,1 kg/mm

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΡΧΙΚΟΥ Κ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΜΗΧΑΝΗΣ ΣΕ Κ=1,1 kg/mm ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΡΧΙΚΟΥ Κ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΜΗΧΑΝΗΣ ΣΕ Κ=1,1 kg/mm ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΛΕΒΑΝΤΗ ΖΑΝΝΕΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΜΗΜΑ Α 2 10 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΣΕΝΑΡΙΟ : Πρόκειται να μετατρέψουμε τα εμπρός ελατήρια μιας μοτοσυκλέτας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΕΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΩΝ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ

ΓΕΝΕΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΩΝ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Εργαστήριο Θερμικών Στροβιλομηχανών Μονάδα Παράλληλης ης Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής & Βελτιστοποίησης ΓΕΝΕΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΩΝ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ Κυριάκος Χ. Γιαννάκογλου Kαθηγητής ΕΜΠ

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Βιοϊατρική τεχνολογία

Βιοϊατρική τεχνολογία Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Βιοϊατρική τεχνολογία Ενότητα 1: Εισαγωγή στη Βιοϊατρική Τεχνολογία Αν. καθηγητής Αγγελίδης Παντελής e-mail: paggelidis@uowm.gr ΕΕΔΙΠ Μπέλλου Σοφία e-mail:

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων με Αντιστάσεις

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων με Αντιστάσεις Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ-2: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος Άνοιξη 2008 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων με Αντιστάσεις H ανάλυση ενός κυκλώματος με αντιστάσεις στη

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Δίαυλος Πληροφορίας. Δρ. Α. Πολίτης

Δίαυλος Πληροφορίας. Δρ. Α. Πολίτης Δίαυλος Πληροφορίας Η λειτουργία του διαύλου πληροφορίας περιγράφεται από: Τον πίνακα διαύλου μαθηματική περιγραφή. Το διάγραμμα διάυλου παραστατικός τρόπος περιγραφής. Πίνακας Διαύλου Κατασκευάζεται με

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0

ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0 ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0 20130510 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εγκατάσταση προγράμματος DCAD 2 2. Ενεργοποίηση Registration 2 3. DCAD 3 3.1 Εισαγωγή σημείων 3 3.2 Εξαγωγή σημείων 5 3.3 Στοιχεία ιδιοκτησίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε τις θέσεις που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις 1. Σκοπός Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις Σκοπός της άσκησης είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τη γραφική απεικόνιση των δεδομένων τους, την χρήση των γραφικών παραστάσεων για την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2004 Κάθε γνήσιο αντίτυπο υπογράφεται από τη συγγραφέα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή διατριβή

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή διατριβή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή διατριβή ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΗΣ ΚΑΤΑΛΥΤΙΚΗΣ ΑΝΑΓΩΓΗΣ ΝΙΤΡΙΚΩΝ ΚΑΙ ΝΙΤΡΩΔΩΝ ΙΟΝΤΩΝ ΣΕ ΝΕΡΟ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΑ Ε ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΦΩΤΕΙΝΗ ΗΛΙΟΥΔΗ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΜΕΤΑΛΛΙΔΟΥ ΧΡΥΣΗ ΝΙΖΑΜΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΤΖΗΚΑΛΑΓΙΑΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΤΡΙΓΚΑΣ ΑΓΓΕΛΟΣ

ΟΜΑΔΑ Ε ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΦΩΤΕΙΝΗ ΗΛΙΟΥΔΗ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΜΕΤΑΛΛΙΔΟΥ ΧΡΥΣΗ ΝΙΖΑΜΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΤΖΗΚΑΛΑΓΙΑΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΤΡΙΓΚΑΣ ΑΓΓΕΛΟΣ ΟΜΑΔΑ Ε ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΦΩΤΕΙΝΗ ΗΛΙΟΥΔΗ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΜΕΤΑΛΛΙΔΟΥ ΧΡΥΣΗ ΝΙΖΑΜΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΤΖΗΚΑΛΑΓΙΑΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΤΡΙΓΚΑΣ ΑΓΓΕΛΟΣ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Εισαγωγή Η μεγάλη ανάπτυξη και ο ρόλος που

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Αρχές Επ. Καθηγήτρια Τζόγια Χ. Καππάτου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

HY 571 - Ιατρική Απεικόνιση. ιδάσκων: Kώστας Μαριάς

HY 571 - Ιατρική Απεικόνιση. ιδάσκων: Kώστας Μαριάς HY 571 - Ιατρική Απεικόνιση ιδάσκων: Kώστας Μαριάς 7. Υπολογιστική τοµογραφία Η ανάγκη απεικόνισης στις 3- ιαστάσεις Στην κλασική ακτινολογία η τρισδιάστατη ανθρώπινη ανατοµία προβάλλεται πάνω στο ακτινογραφικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... 15. Οι συγγραφείς... 18

Πρόλογος... 15. Οι συγγραφείς... 18 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Οι συγγραφείς... 18 1 Θεμελιώδεις έννοιες... 19 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 19 1.2 ΙΣΤΟΡΙΚΟ... 19 1.3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ... 20 1.4 ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ... 20 1.5 ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ...

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο φωτισμού Phong

Μοντέλο φωτισμού Phong ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Στο προηγούμενο κεφάλαιο παρουσιάσθηκαν οι αλγόριθμοι απαλοιφής των πίσω επιφανειών και ακμών. Απαλοίφοντας λοιπόν τις πίσω επιφάνειες και ακμές ενός τρισδιάστατου αντικειμένου, μπορούμε να

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη: Στην ισότροπη γραμμική ελαστικότητα, οι τάσεις με τις αντίστοιχες παραμορφώσεις συνδέονται μέσω των κάτωθι σχέσεων:

Υπόδειξη: Στην ισότροπη γραμμική ελαστικότητα, οι τάσεις με τις αντίστοιχες παραμορφώσεις συνδέονται μέσω των κάτωθι σχέσεων: Μάθημα: Εδαφομηχανική Ι, 5 ο εξάμηνο. Διδάσκων: Ιωάννης Ορέστης Σ. Γεωργόπουλος, Π.Δ.407/80, Δρ Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π. Θεματική περιοχή: Σχέσεις τάσεων παραμορφώσεων στο έδαφος. Ημερομηνία: Δευτέρα

Διαβάστε περισσότερα

Ενημέρωση αλλαγών στην αξιολόγηση ΟΠΣ_ΕΣΠΑ Εγκατάσταση στην Παραγωγή: 13/9/2010

Ενημέρωση αλλαγών στην αξιολόγηση ΟΠΣ_ΕΣΠΑ Εγκατάσταση στην Παραγωγή: 13/9/2010 Ενημέρωση αλλαγών στην αξιολόγηση ΟΠΣ_ΕΣΠΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ι. Αλλαγές στο ΣΤΑΔΙΟ Α στην αξιολόγηση (εξέταση πληρότητας) I.1. Προσδιορισμός ερωτημάτων λίστας εξέτασης Λ1 στο ΕΠ I.2. Προσδιορισμός της λίστας

Διαβάστε περισσότερα