Σύνταξη: Γκέσος Παύλος (ΣΣΕ 2002) Καθηγητής: Σαπουντζάκης Ευάγγελος Βοηθός: Λαγαρός Νικόλαος

Transcript

1 ΘΕΡΙΕΣ ΚΑΜΨΗΣ, ΔΙΑΜΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΡΕΨΗΣ ΔΟΚΟΥ Κάμψη Διάτμηση Timoshenko, Κάμψη Euler Bernoulli, Ελαστική Θεωρία Διάτμησης, Ανομοιόμορφη Στρέψη, Ανομοιόμορφη Στρέψη με γενείς Παραμορφώσεις ΜΕΑΔΟΣΗ ΗΣ ΣΡΕΒΛΣΗΣ Σύνταξη: Γκέσος Παύλος (ΣΣΕ 00) Καθηγητής: Σαπουντζάκης Ευάγγελος Βοηθός: Λαγαρός Νικόλαος

2

3 Περιεχόμενα 1. Θεωρία Ελαστικότητας...1 α. ανυστής άσεων...1 (1) Συνθήκες Ισορροπίας...1 β. ανυστής των Παραμορφώσεων...1 (1) Εξισώσεις Συμβιβαστού... γ. Σχέσεις άσεων Παραμορφώσεων...3 δ. Οριακές Συνθήκες...3 (1) Οριακή Συνθήκη Neumann...4 (α) Παραδείγματα...4 (β) Σχέσεις των Beltrami Michel...4 () Οριακή Συνθήκη Dirichlet...4 (α) Παραδείγματα...4 (β) Σχέσεις του Lame...5 (3) Μικτή Οριακή Συνθήκη...5 (4) Οριακή Συνθήκη Cauchy...5 (α) Παραδείγματα...5 ε. Πυκνότητα Ελαστικής Ενέργειας Παραμόρφωσης...5. Θεωρίες Κάμψης Διάτμησης...7 α. εχνική Θεωρία Timoshenko...7 (1) Παραδοχές...7 () Μετατοπίσεις...8 (3) Παραμορφώσεις...8 (4) άσεις...8 (α) Ορθές άσεις...8 (β) Διατμητικές άσεις...9 (5) Εξισώσεις Ισορροπίας...10 (α) Εσωτερική Ελαστική Ενέργεια / Ελαστική Ενέργεια λόγω Κάμψης...11 / Ελαστική Ενέργεια λόγω Διάτμησης...11 (β) Εξωτερική Ελαστική Ενέργεια...11 (γ) Ολική Δυναμική Ενέργεια...11 (δ) ελικές Εξισώσεις...11 β. εχνική Θεωρία Euler - Bernoulli...1 (1) Παραδοχές...1 () Μετατοπίσεις...1 (3) Εξισώσεις Ισορροπίας...1 γ. εχνική Θεωρία Διάτμησης...1 δ. Ελαστική Θεωρία Ομοιόμορφης Διάτμησης...1 (1) έμνουσα στον Άξονα z...14 () έμνουσα στον Άξονα y...14 ε. Κέντρο Διάτμησης...15 (1) Προσδιορισμός του ΚΔ ως Κέντρο έμνουσας Δύναμης...15 (α) Παρατηρήσεις...15 στ. Υπολογισμός Συντελεστών Διατμητικής Παραμόρφωσης Θεωρίες Στρέψης Στρέβλωσης...17 α. Ιστορικό Θεωριών Στρέψης...17 (1) Θεωρία Coulomb...17 () Ομοιόμορφη Στρέψη (Στρέψη aint Venant)...17 (3) Ανομοιόμορφη Στρέψη...18 (4) Ανομοιόμορφη Στρέψη με Επιρροή Δευτερογενών Στρεπτικών Παραμορφώσεων. 19 β. Ανομοιόμορφη Στρέψη με Επιρροή Δευτερογενών Στρεπτικών Παραμορφώσεων...19 (1) Παραδοχές...19 () Μετατοπίσεις, Παραμορφώσεις, άσεις...0

4 (α) Μετατοπίσεις...0 (β) Παραμορφώσεις...0 (γ) άσεις...1 (3) Πρωτογενής Συνάρτηση Στρέβλωσης...1 (α) Ασυνέπεια... (4) Εντατικά Μεγέθη, Καθολικές Εξισώσεις Ισορροπίας, Συνοριακές Συνθήκες...3 (α) Εντατικά Μεγέθη...3 (β) Καθολικές Εξισώσεις Ισορροπίας, Συνοριακές Συνθήκες...5 1/ Σύγκριση με την Κλασική Θεωρία Ανομοιόμορφης Στρέψης...5 (5) Διόρθωση Κατανομής Στρεπτικών Διατμητικών άσεων...6 (α) Δευτερογενεις άσεις...6 (β) Δευτερογενείς Μετατοπίσεις...6 (γ) Δευτερογενής Συνάρτηση Στρέβλωσης...7 (δ) Στρεπτικός Διορθωτικός Συντελεστής Διάτμησης...7 (6) Αλγόριθμος Επίλυσης...8 γ. Ανομοιόμορφη Στρέψη...9 (1) Παραδοχές...9 () Μετατοπίσεις, Παραμορφώσεις, άσεις...9 (3) Συνάρτηση Στρέβλωσης...30 (α) Προσδιορισμός Κέντρου Συστροφής και Σταθεράς Μετατόπισης...31 (β) Μετασχηματισμός Συνάρτησης Στρέβλωσης στο yz Σύστημα...3 (γ) Συνθήκες Ύπαρξης Λύσης για τις Συναρτήσεις Στρέβλωσης...3 (δ) Πεδιακές Μετακινήσεις...3 (4) Εντατικά Μεγέθη, Καθολικές Εξισώσεις Ισορροπίας, Συνοριακές Συνθήκες...33 (α) Εντατικά Μεγέθη...33 (β) Καθολικές Εξισώσεις Ισορροπίας, Συνοριακές Συνθήκες / Σύγκριση με την Θεωρία Ομοιόμορφης Στρέψης aint Venant...33 (5) Αλγόριθμος Επίλυσης Μητρώο Δυσκαμψίας και Επικόμβια Φορτία 3D Δοκού...35 α. Θεωρία Αξονικής Παραμόρφωσης...36 β. Θεωρία Κάμψης Διάτμησης...36 (1) Θεωρία Euler Bernoulli...36 () Θεωρία Timoshenko...37 γ. Θεωρία Στρέψης Στρέβλωσης...38 (1) Θεωρία Ομοιόμορφης Στρέψης (aint Venant)...38 () Θεωρία Ανομοιόμορφης Στρέψης...39 (3) Θεωρία Ανομοιόμορφης Στρέψης με Δευτερογενείς Στρεπτικές Παραμορφώσεις Μετάδοση Στρέβλωσης...4 α. Κόμβοι όπου Συντρέχουν Μέλη Λεπτότοιχων Διατομών...4 (1) Κόμβοι με Συνέχεια Πελμάτων...44 () Κόμβοι με Συνέχεια Κορμού...44 (3) Κόμβοι με Διαγώνιο Έλασμα Δυσκαμψίας...45 (α) Με Άκαμπτο στο Επίπεδό του Έλασμα Δυσκαμψίας...45 (β) Με Εύκαμπτο στο Επίπεδό του Έλασμα Δυσκαμψίας...45 (γ) Γεωμετρία του Κόμβου...46 (δ) Στρεπτικές Ροπές σε Πέλματα Μελών και Έλασμα Δυσκαμψίας / Κάμψη Κορμού Δοκού στο Επίπεδο της Διατομής I...47 (ε) Σχέση Διρρόπων και Βαθμών Ελευθερίας Στρέβλωσης...47 (4) Κόμβοι με Διαμόρφωση Κιβωτίου...48 β. Εφαρμογή στη Μητρωική Στατική Αριθμητικά Αποτελέσματα...5 α. Σύγκριση Θεωριών Κάμψης...5 (1) Κάμψη Euler Bernoulli...5 () Κάμψη Διάτμηση Timoshenko...5 (3) Συγκριτικά Γραφήματα...5 β. Σύγκριση Θεωριών Στρέψης...53

5 (1) Ανομοιόμορφη Στρέψη με Δευτερογενείς Στρεπτικές Παραμορφώσεις...53 () Ανομοιόμορφη Στρέψη...54 (3) Ομοιόμορφη Στρέψη...54 (4) Συγκριτικά Γραφήματα...55

6 1. Θεωρία Ελαστικότητας 1 1. Θεωρία Ελαστικότητας α. ανυστής άσεων Ο τανυστής των τάσεων (Σχ. 1.1) ενός καρτεσιανού στοιχειώδους όγκου είναι ο πίνακας με τα 3 διανύσματα τάσεων των εδρών του στοιχειώδους κύβου από τις οποίες διέρχονται οι θετικοί καρτεσιανοί ημιάξονες σ 11 σ 1 σ 13 [σ σ ]=[ σ 3 sym σ 33]. Ο πίνακας αυτός είναι συμμετρικός όπως έχει αποδείξει ο Cauchy χρησιμοποιώντας τις 3 εξισώσεις ισορροπίας ροπών στους 3 άξονες. Η τάση σ n σε μια πλάγια τομή του στοιχειώδους όγκου, με κανονικό (κάθετο στην επιφάνεια και μοναδιαίο) διάνυσμα n είναι σ n =[σ ] n (1.1) Ο τανυστής των τάσεων [σ '] σε ένα άλλο σύστημα αξόνων που προσδιορίζεται από τον τανυστή [R ] (όχι απαραίτητα συμμετρικός) είναι: (1) Συνθήκες Ισορροπίας [σ ']=[R] [σ ] [ R] T (1.) Για να ισορροπεί ένα στοιχειώδες τμήμα όγκου πρέπει να ισχύει η εξίσωση του Navier: F + [σ ]= 0 (1.3) όπου F οι δυνάμεις πεδίου στον όγκο (π.χ. βαρύτητα) που συνήθως είναι αμελητέες. Βαθμωτά, για κάθε άξονα, η παραπάνω σχέση γράφεται: 3 σ F j + ij (x 1, x, x 3 ) =0 για κάθε j=1,,3 (1.4) i=1 x i β. ανυστής των Παραμορφώσεων Η σχέση παραμορφώσεων με τις πεδιακές μετατοπίσεις είναι: u+ ( u )T [ε]= (1.5) όπου u(x 1, x, x 3 ) οι 3 συναρτήσεις των πεδιακών μετατοπίσεων σε ένα συνεχές μέσο. Είναι προφανές ότι ο τανυστής των παραμορφώσεων είναι επίσης συμμετρικός. Βαθμωτά η παραπάνω σχέση γράφεται: Ισχύει επίσης ότι: ε ij = 1 ( u i (x 1, x, x 3 ) + u ( x x x ) j 1,, 3 x j x i ) Σχ Ο τανυστής των τάσεων για κάθε i, j=1,,3 (1.6)

7 1. Θεωρία Ελαστικότητας γ ij = ε ij για κάθε i, j=1,,3 i j (1.7) u x y dy d u y y dy c u (x, y+dy) y b y C D dx dy a u x y dx u (x, y) y A B u x x dx u (x, y) x x u (x+dx, y) x (1) Εξισώσεις Συμβιβαστού Σχ. 1.. D παραμόρφωση υλικού ους όρους ε ij του τανυστή παραμορφώσεων ε, τους συνδέουν κάποιες σχέσεις οι οποίες εξασφαλίζουν ότι οι παραμορφώσεις δεν διαταράσσουν τη συνέχεια του υλικού. Αν αυτές οι σχέσεις δεν ίσχυαν θα είχαμε λύση του υλικού. Η μαθηματική διατύπωση της συνέχειας διατυπώθηκε από τον t. Venant με τις παρακάτω 81 εξισώσεις: [0] =( [ ε]) [1,,3,4] ( [ε]) [,3,4,1] +( [ε]) [3,4,1,] ( [ε]) [ 4,1,,3] (1.8) Επειδή πρόκειται για τανυστές 4ου βαθμού, η αναστροφή τους απαιτεί τους δείκτες στους οποίους γίνεται η αναστροφή. Βαθμωτά η παραπάνω σχέση γράφεται: ε ij + ε kl = ε ik + ε jl για κάθε i, j, k, l=1,,3 (1.9) x k x l x i x j x j x l x i x k Οι περισσότερες από τις 81 αυτές τις σχέσεις απαλείφονται είτε από την αξιοποίηση της συμμετρίας του τανυστή είτε επειδή κάποιες είναι ταυτοτικές. Μετά την απαλοιφή αυτή παραμένουν μόνο έξι εξισώσεις: ε ij = ε ii x i x j x + ε jj j x i για κάθε i=1,,3 j=i+1 (1.10.α) ε ii + ε kl x k x l x = ε ik + ε il για κάθε i=1,,3 k=i+1 l=i 1 (1.10.β) i x i x l x i x k

8 1. Θεωρία Ελαστικότητας 3 γ. Σχέσεις άσεων Παραμορφώσεων Υποθέτοντας γραμμικά ελαστικό υλικό, κάθε συνιστώσα της τάσης σε έναν στοιχειώδες όγκο είναι συνάρτηση και των 9 συνιστωσών του τανυστή παραμορφώσεων. Η σχέση αυτή εκφράζεται με το εσωτερικό γινόμενο του Frobenious του ελαστικού τανυστή 4ου βαθμού [C ] επί τις παραμορφώσεις. [σ ] 3 3 =[C ] :[ε] 3 3 (1.11) Αξιοποιώντας τις συμμετρίες του τανυστή τάσεων και του τανυστή παραμορφώσεων η παραπάνω σχέση μπορεί να αποδοθεί μόλις με 1 διαφορετικούς συντελεστές αντί για 81. Με το μετασχηματισμό του τανυστή τάσεων και παραμορφώσεων σε τανυστή πρώτης τάξεως και του C στον τανυστή δευτέρας τάξεως E, ο παραπάνω τύπος μετατρέπεται σε [σ c11 c1 c13 c14 c15 c16 11 σ c c 3 c 4 c 5 c 6 ε σ 33 c 33 c 34 c 35 c 36 ε 33 σ 3 σ 31 σ 1]=[ c 44 c 45 c 46 ε 3 c 55 c 56 ε 31 sym c 66] [ε11 ε 1] (1.1) Για ισότροπα υλικά ο τανυστής C είναι: G[ 1] v v v 1 v μ+ λ λ λ v v μ+ λ λ v 1 v [E ]=[ μ+ λ v (1.13) μ v μ 0 sym μ]= sym όπου G η σταθερά διάτμησης, v ο λόγος oisson και E=G (1+v) η σταθερά ελαστικότη- v οι σταθερές του Lame. 1 v τας. μ=g και λ=g 1 v 1 v Η σχέση τάσεων παραμορφώσεων δηλαδή μας δίνει 6 εξισώσεις. δ. Οριακές Συνθήκες Έχουμε 15 διαφορικές εξισώσεις: 3 εξισώσεις ισορροπίας τάσεων 6 εξισώσεις μετατοπίσεων παραμορφώσεων 6 εξισώσεις σχέσεων τάσεων παραμορφώσεων και 15 αγνώστους: 6 συνιστώσες τάσεων 6 συνιστώσες παραμορφώσεων 3 συνιστώσες μετατοπίσεων στόσο η επίλυση των διαφορικών εξισώσεων θα δώσει γενικές λύσεις. Για την εξεύρεση πλήρους λύσης απαιτούνται επιπλέον σχέσεις, οι συνοριακές συνθήκες που συνήθως τις προσδιορίζουν οι στηρίξεις ή οι φορτίσεις.

9 1. Θεωρία Ελαστικότητας 4 Ανάλογα με τη φύση του προβλήματος, μπορούμε απαλείφοντας κάποιους αγνώστους να μειώσουμε το συνολικό αριθμό των διαφορικών εξισώσεων. Οι συνοριακές συνθήκες εκφράζονται με τα 3 θεμελιώδη προβλήματα της θεωρίας ελαστικότητας. (1) Οριακή Συνθήκη Neumann Σε μια διαφορική εξίσωση η οριακή συνθήκη Neumann καθορίζει την τιμή που παίρνει η κανονική παράγωγος της λύσης στο όριο. Στο όριο Γ γνωρίζουμε τις τάσεις οι οποίες σχετίζονται με τις παραγώγους των μετατοπίσεων. Χρησιμοποιούμε για οριακή συνθήκη τη σχέση (1.1). (α) Παραδείγματα Για την απλή διαφορική εξίσωση της μορφής y' ' + y=0 οι οριακές συνθήκες Neumann στα όρια [α, β ] θα είναι y' (α)= Α και y' ( β )=Β όπου Α, Β δοσμένοι αριθμοί. Για την μερική διαφορική εξίσωση της μορφής y+ y=0 η οριακή συνθήκη Neumann στο πεδίο R n θα είναι y ( x)= f ( x) για x όπου n είναι το εξωστρεφές κανονικό διάνυσμα του ορίου και f μια βαθμωτή συνάρτηση. Υπενθυμίζεται ότι η κανονική παράγωγος είναι n y n ( x)= y( x) n(x). (β) Σχέσεις των Beltrami Michel Για ισότροπα υλικά ισχύουν οι παρακάτω δύο σχέσεις, οι οποίες είναι αντίστροφες μεταξύ τους: [ε]= 1+v E [σ ] 3 v E p [ I ] (1.14.α) [σ ]= μ [ ε]+λ θ [ I ] (1.14.β) όπου p= σ +σ +σ 11 33, μ και λ οι σταθερές του Lame και θ=ε ε +ε 33 = u η ανηγμένη διόγκωση. Στην περίπτωση που είναι γνωστές οι 6 συνιστώσες των τάσεων χρησιμοποιούμε τις 6 εξισώσεις συμβιβαστού (1.8) [ή (1.10)] σε συνδυασμό με τη σχέση (1.14.β) και τη σχέση (1.1) οπότε προκύπτουν οι 6 εξισώσεις των Beltrami Michel: σ ii + 3 p 1+v x = F i v i x i 1 v F για κάθε i=1,,3 σ ij v p x i x j = ( F i + F j x j x i ) οι οποίες για σταθερές δυνάμεις όγκου γράφονται: σ ij v () Οριακή Συνθήκη Dirichlet (1.15.α) για κάθε i=1,,3 j=i+1 (1.15.β) p x i x j =0 για κάθε i, j=1,,3 (1.16) Σε μια διαφορική εξίσωση η οριακή συνθήκη Dirichlet καθορίζει την τιμή που παίρνει η λύση στο όριο. Στο όριο Γ γνωρίζουμε τις μετατοπίσεις u 0 οπότε έχουμε τη σχέση u (x, y, z)= u 0. (α) Παραδείγματα

10 1. Θεωρία Ελαστικότητας 5 Για την απλή διαφορική εξίσωση της μορφής y' ' + y=0 οι οριακές συνθήκες Dirichlet στα όρια [α, β ] θα είναι y(α)=α και y( β)= Β όπου Α, Β δοσμένοι αριθμοί. Για την μερική διαφορική εξίσωση της μορφής y+ y=0 η οριακή συνθήκη Dirichlet στο πεδίο R n θα είναι y(x)= f (x) για x όπου f μια βαθμωτή συνάρτηση. (β) Σχέσεις του Lame Στην περίπτωση που είναι γνωστες οι μετατοπίσεις χρησιμοποιούμε τις 3 εξισώσεις ισορροπίας (1.3) σε συνδυασμό με την σχέση (1.14.β) και την σχέση (1.5) οπότε προκύπτουν οι 3 εξισώσεις του Lame οι οποίες αποκαλούνται και εξισώσεις ισορροπίας συναρτήσει των μετατοπίσεων: F + μ u+(λ+ μ) ( u) T = 0 F +G u+ G 1 v u= 0 (1.17) (3) Μικτή Οριακή Συνθήκη ο πρόβλημα στο υποσύνολο Γ1 είναι πρόβλημα Dirichlet και στο υποσύνολο Γ είναι πρόβλημα Neumann (Σχ. 1.3). Προκύπτουν οι αντίστοιχες οριακές συνθήκες από τα δύο προηγούμενα προβλήματα. (4) Οριακή Συνθήκη Cauchy Η οριακή συνθήκη Cauchy δεν αποτελεί θεμελιώδες πρόβλημα συνοριακών συνθηκών της θεωρίας ελαστικότητας, ωστόσο εμφανίζεται σε πολλά προβλήματα συνοριακών συνθηκών και γι' αυτό αναφέρεται. Σε μια διαφορική εξίσωση η οριακή συνθήκη Cauchy καθορίζει μια σχέση 1ου βαθμού μεταξύ της λύσης και τις μερικής παραγώγου της λύσης στο όριο. (α) Παραδείγματα Για την απλή διαφορική εξίσωση της μορφής y' ' + y=0 οι οριακές συνθήκες Cauchy στα όρια [α, β ] θα είναι α 1 y(α)+α y' (α)=α 3 και β 1 y( β )+ β y' ( β )= β 3 όπου α i, β i δοσμένοι αριθμοί. Σχ Μικτή Οριακή Συνθήκη Πράσινο: Οριακή Συνθήκη Neumann Μπλε: Οριακή Συνθήκη Dirichlet Για την μερική διαφορική εξίσωση της μορφής φ+φ=0 όπου τα όρια προσδιορίζονται [ x από τις παραμετρικές σχέσεις y v(s, η οριακή συνθήκη Cauchy θα είναι w (s,t)] α(s,t) φ( s,t )+ β (s,t ) δίνονται στο όριο. z] = [ u(s,t) φ(s,t ) = f (s,t ) για κάθε s,t που ορίζουν το όριο. Οι συναρτήσεις α,β,f n ε. Πυκνότητα Ελαστικής Ενέργειας Παραμόρφωσης Η ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης στη μονάδα του όγκου (πυκνότητα ενεργείας) δίνεται από τη σχέση: U = 1 [σ ] 3 3 :[ε] 3 3 = 1 ([C ] :[ε] 3 3 ):[ε] 3 3 (1.18) Διανυσματικά γράφεται ως εξής:

11 1. Θεωρία Ελαστικότητας 6 U = 1 [σ11 σ σ 33 σ 3 σ 31 ε 11 ε ε 33 1 σ 1] [ ε 3 ε 31 ε 1]= σ ε σ 33 ε 33 [σ11 σ 3 γ 3 σ 31 γ 31 σ 1] [ε11 γ 1] (1.19) Η συνολική ενέργεια παραμόρφωσης σε ολόκληρο τον όγκο του υλικού είναι: E= U (x, y, z)dv (1.0) V

12 . Θεωρίες Κάμψης Διάτμησης 7. Θεωρίες Κάμψης Διάτμησης Ο τρόπος αντιμετώπισης των προβλημάτων από την εχνική Θεωρία Κάμψης είναι διαφορετικός από εκείνον της μαθηματικής Θεωρίας της Ελαστικότητας. Αρχικά κάνει ορισμένες απλουστευτικές παραδοχές για να ορίσει το πεδίο των μετακινήσεων και σε αντίθεση με τη Θεωρία Ελαστικότητας, δεν υπάρχουν εξισώσεις συμβιβαστού διότι αυτές υποκαθίστανται από ένα απλουστευμένο πεδίο μετακινήσεων, το οποίο όμως είναι κινηματικά αποδεκτό. Η επιτυχής εκλογή του πεδίου των μετακινήσεων καθορίζει την ακρίβεια της λύσης. Είναι αξιοσημείωτο ότι στα πλαίσια της εχνικής Θεωρίας οι εξισώσεις ισορροπίας δεν εφαρμόζονται σ ένα απειροστό στοιχείο (ισορροπία τάσεων), αλλά σε τμήμα της δοκού πεπερασμένων διαστάσεων (ισορροπία εντατικών μεγεθών). Στα πλαίσια της προαναφερθείσης μεθοδολογίας αναπτύχθηκαν δυο διαφορετικές θεωρίες καμπτόμενων δοκών. Η θεωρία των Euler Bernoulli και η θεωρία Timoshenko της οποίας η πρώτη αποτελεί ειδική περίπτωση. Παρακάτω αναπτύσσεται η θεωρία Timoshenko και γίνεται αναφορά στις διαφοροποιήσεις με την θεωρία Euler Bernoulli. α. εχνική Θεωρία Timoshenko Θεωρούμε μια ευθύγραμμη πρισματική δοκό μήκους L στον x άξονα, πλάτους b στον y άξονα και ύψους h στον z άξονα. Ο άξονας x διέρχεται από τα κέντρα βάρους όλων των διατομών της δοκού. Θεωρούμε ότι η δοκός φορτίζεται με τα κατανεμημένα φορτία δυνάμεων q y (x), q z (x) και ροπών m y (x), m z (x). α επίπεδα των φορτίων δυνάμεων διέρχονται από το κέντρο διάτμησης της διατομής προκειμένου να μην προκαλούν στρέψη. z (1) Παραδοχές h h Q M x Σχ..1. O Timoshenko δεν χρησιμοποιεί την παραδοχή θ y = w x 1. Διατομές που πριν την κάμψη ήταν επίπεδες παραμένουν επίπεδες.. Η δοκός αποτελείται από ανεξάρτητες, διαμήκεις ίνες. των Euler-Bernoulli 3. Η μετατόπιση w ( x) εκφράζει τη συνολική βύθιση (βέλος) του κεντροβαρικού άξονα στη θέση x και εξαρτάται μόνο από τη θέση x. 4. Οι τάσεις που αναπτύσσονται σε μια διατομή της δοκού είναι ανεξάρτητες από τον ειδικό τρόπο φόρτισης της δοκού και εξαρτώνται μόνο από τις τιμές των εντατικών μεγεθών διατομής N, Q, M στην υπό εξέταση διατομή της δοκού.

13 . Θεωρίες Κάμψης Διάτμησης 8 5. Η δοκός είναι ευθύγραμμη, σταθερής διατομής. 6. Οι διαστάσεις της διατοµής της δοκού είναι μικρές συγκρινόμενες µε το µήκος της. 7. ο υλικό της δοκού είναι ομογενές, ισότροπο, συνεχές, γραμμικά ελαστικό. 8. Οι παραµορφώσεις της δοκού θεωρούνται µικρές και συνεπώς ισχύει ο γενικευµένος καταστατικός νόµος του Hooke, βάσει του οποίου οι σχέσεις τάσεων παραµορφώσεων είναι γραµµικές. 9. Εγκάρσιες παραµορφώσεις της διατοµής σε κατάσταση φορτίσεως δεν αναπτύσσονται, δηλαδή το σχήµα της διατοµής διατηρείται. 10. Η κατανοµή των τάσεων στα άκρα της δοκού είναι τέτοια, ώστε να τηρούνται όλες οι προαναφερθείσες παραδοχές. () Μετατοπίσεις Για την απλοποίηση θα λάβουμε ότι η κάμψη συμβαίνει μόνο στο επίπεδο x-z και εφόσον οι κάμψεις στους δύο άξονες y, z είναι αποπλεγμένες μπορούμε στο τέλος να τις προσθέσουμε. Θεωρούμε το πεδίο των μετακινήσεων ως [4]: [ u v w] [ z θ = y( x) 0 w(x) ] (.1) Όπου θ y (x) η στροφή της διατομής και w (x) το βέλος κάμψης της δοκού. (3) Παραμορφώσεις Οι παραμορφώσεις και οι τάσεις υπολογίζονται κατά τα γνωστά από τη θεωρία ελαστικότητας. O Timoshenko λαμβάνει υπόψη του διατμητικές παραμορφώσεις: (4) άσεις (α) Ορθές άσεις γ xz (x)= w (x) +θ x y (x) (.) Επειδή η διατομή παραμένει επίπεδη, η μετατόπιση w ικανοποιεί την εξίσωση του επιπέδου: α x+ β y+γ z α+ β y+γ z w= ε E xx = σ E xx =α+ β y+γ z (.3) Οι σταθερές α,β,γ θα υπολογιστούν από τα εντατικά μεγέθη: N = σ xx da N =α A+ β z +γ y A M y = z σ xx da M y = β I yz +γ I yy A (.4.α) (.4.β) M z = y σ xx da M z = ( β I zz +γ I yz ) (.4.γ) A όπου y, z οι στατικές ροπές, I yy, I zz οι ροπές αδρανείας και I yz το γινόμενο αδρανείας της διατομής. Επιλύοντας το σύστημα των εξισώσεων (.4) με αγνώστους τους α,β,γ και αντικαθιστώντας στη σχέση (.3) προκύπτει τελικά η τάση:

14 . Θεωρίες Κάμψης Διάτμησης 9 σ xx = Ν A + I M + I M I M I M yy z z yz y z yz z y zz y y A (I yy I zz I yz ) M I +M I y yz z yy y+ M I +M I y zz z yz z I yy I zz I yz I yy I zz I yz Λαμβάνοντας υπόψη ότι το σύστημα αξόνων είναι κύριο (άρα I yz =0 ) και κεντροβαρικό (άρα y = z =0 ) η σχέση (.5) γράφεται: στόσο εμείς λάβαμε ότι Μ z =Ν =0 άρα: (β) + (.5) σ xx = Ν A M z I zz y+ M y I yy z (.6) Διατμητικές άσεις Από τη σχέση (.) προκύπτει ότι: σ xx = M y I yy z (.7) τ xz (x)=g γ xz ( x)=g (w ' ( x)+θ y (x)) (.8) δηλαδή ότι η διατμητική τάση εξαρτάται μόνο από τη θέση x της διατομής, ενώ μέσα στην ίδια διατομή παραμένει σταθερή (άρα δεν προκαλείται καμία στρέβλωση της διατομής κάτι που αποτελεί και παραδοχή του Timoshenko). Η θεώρηση αυτή αποτελεί ασυνέπεια καθώς από τη σχέση (1.1) στο όριο της διατομής, οι τάσεις μηδενίζονται. Άρα η κατανομή τους μέσα στη διατομή δεν είναι σταθερή άρα συνυπάρχει και στρέβλωση. Η τέμνουσα δύναμη ορίζεται ως: Q z = τ xz da (.9) A και επειδή απαιτείται διόρθωση της διατμητικής τάσης, χρησιμοποιούμε έναν διορθωτικό συντελεστή 1/α z : Q z = 1 α τ xz da= A τ z α xz = Α sz τ xz (.10) A z Συνεπώς στη θεωρία Timoshenko κάνουμε την εξής παραδοχή: Η τέμνουσα δύναμη σε μια διατομή ισούται με το γινόμενο της μέγιστης διατμητικής τάσης που αναπτύσσεται στο επίπεδό της επί μια πλασματική επιφάνεια διατομής A sz μικρότερη της πραγματικής. Ο διορθωτικός συντελεστής α z ονομάζεται συντελεστής διατμητικής παραμόρφωσης και το γινόμενο G A sz ονομάζεται διατμητική δυσκαμψία κατά Timoshenko. Ο προσδιορισμός του συντελεστή διατμητικής παραμόρφωσης βασίζεται στην ενεργειακή θεώρηση. Η πυκνότητα τροπικής ενέργειας λόγω της τ xz δίνεται από τον τύπο: τ xz τ e= τ dγ = xz xz xz τ xz ( d τ xz G ) = τ xz G 0 0 και η γραμμική πυκνότητα ελαστικής ενέργειας (ενέργεια ανά μονάδα μήκους) είναι: (.11) E L = A eda= 1 G A τ xz da (.1) Από τη σχέση (.10) και την (.1) προκύπτει:

15 . Θεωρίες Κάμψης Διάτμησης 10 E L = 1 τ Q G xz da=α z z (.13) A G A sz και από την εξίσωση των σχέσεων (.1) και (.13) έχουμε: τ Q xz da=α z z (.14) A A sz Αν υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε τις πραγματικές συνάρτηση κατανομής των διατμητικών τάσεων στη διατομή f ij ( y, z) τότε με τη μέθοδο της επαλληλίας διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: [ τ xy ( x, y, τ xz ( x, y, z)] = [ Q (x) y Q z ( x)] [ f yy ( y,z) f yz ( y, z) f zy ( y, z) f zz ( y, z)] (.15) Όπου Q i ( x) η μεταβολή των συνιστωσών των διατμητικών τάσεων κατά μήκος της δοκού, η οποία οφείλεται στη μεταβολή του εσωτερικού εντατικού μεγέθους της τέμνουσας στον άξονα i. f ij ( y, z) η συνάρτηση κατανομής της συνιστώσας j της διατμητικής τάσης σε μια διατομή x στο επίπεδο της οποίας αναπτύσσεται τέμνουσα Q i ( x). Αντικαθιστώντας τις διατμητικές τάσεις της σχέσης (.15) στη γραμμική πυκνότητα ενέργειας της δοκού έχουμε: E L = A E L = τ xy +τ xz G Q y ( A A da ( f yy + f yz )da )+Q z ( A A ( f zy + f zz )da )+Q y Q z ( A A G A ( f yy f zy + f yz f zz )da ) (.16) E L = a Q y y+a z Q z +a yz Q y Q z G A όπου είναι εμφανές ότι: α y = A ( f yy + f yz )da (.17.α) A α z = A A ( f zy + f zz )da (.17.β) α yz = A ( f yy f zy + f yz f zz )da (.17.γ) A Αποδεικνύεται ότι οι συνιστώσες α y, α z, α yz αποτελούν συνιστώσες επίπεδου τανυστή ας τάξης, οπότε υπάρχει ένα κύριο σύστημα συντεταγμένων του οποίου οι άξονες ονομάζονται κύριοι άξονες διάτμησης για το οποίο α yz =α zy =0. Οι κύριοι άξονες διάτμησης δεν συμπίπτουν με τους κύριους καμπτικούς άξονες παρά μόνο όταν η διατομή έχει απλή ή διπλή συμμετρία. Η μεθοδολογία υπολογισμού των 3 αυτών συνιστωσών αναλύεται στο τμήμα (.στ. Υπολογισμός Συντελεστών Διατμητικής Παραμόρφωσης). (5) Εξισώσεις Ισορροπίας Για την εξαγωγή των εξισώσεων θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα περί την ακρότατη τιμή δυναμικής ενέργειας (αρχή Langrange - Dirichlet) σύμφωνα με το οποίο σε μια θέση ευσταθούς ισορροπίας η ολική δυναμική ενέργεια εμφανίζει τοπικό ελάχιστο. Δυναμική ενέργεια είναι το άθροισμα εσωτερικής και εξωτερικής ενέργειας. (α) Εσωτερική Ελαστική Ενέργεια

16 . Θεωρίες Κάμψης Διάτμησης 11 Η εσωτερική ελαστική ενέργεια οφείλεται κατά ένα μέρος στην κάμψη και κατά ένα άλλο στην διάτμηση. Η πυκνότητα τροπικής ενέργειας είναι: e b = 0 1/ Ελαστική Ενέργεια λόγω Κάμψης σ xx σ σ dε = xx xx xx E ε dε = E ε xx xx xx και η ενέργεια σε όλο τον όγκο της δοκού: Η πυκνότητα τροπικής ενέργειας είναι: 0 = E z θ y ' (x) (.18) E I E b = e b dv = yy θ y ' (x) dl (.19) V L / Ελαστική Ενέργεια λόγω Διάτμησης τ xz τ e s = τ dγ = xz xz xz G γ dγ = G γ xz xz xz =G (θ (x)+w ' ( y x)) (.0) 0 0 και η ενέργεια σε όλο τον όγκο της δοκού: (β) G A E s = e s dv = sz V L (θ (x)+w ' ( y x)) dl (.1) Εξωτερική Ελαστική Ενέργεια Η εξωτερική ελαστική ενέργεια οφείλεται στο κατανεμημένο φορτίο δύναμης και το βέλος κάμψης καθώς και στο κατανεμημένο φορτίο ροπής και στη στροφή. V = L ( (γ) V = L Η ολική δυναμική ενέργεια είναι: E I yy θ y ' ( x) q z ( x) w( x)dl+ m y ( x) (θ y (x)+w ' (x))dl (.) L Ολική Δυναμική Ενέργεια + G A sz(θ y (x)+w ' ( x)) +q z (x) w (x)+m y (x) (θ y (x)+w ' ( x))) dl (.3) ο παραπάνω ολοκλήρωμα αποτελεί ένα συναρτησιακό της μορφής: V = L f ( x,θ y ' ( x),θ y ( x), w ' (x), w (x))dl (.4) Η απαίτηση ελαχιστοποίησης του παραπάνω ολοκληρώματος οδηγεί στις διαφορικές εξισώσεις Euler - Lagrange του Λογισμού των Μεταβολών: (δ) f d θ y dx ( f θ y ' ) =0 f w d dx ( f w ' ) =0 ελικές Εξισώσεις (.5.α) (.5.β) Από τις παραπάνω διαφορικές εξισώσεις προκύπτουν οι διαφορικές εξισώσεις της δοκού Timoshenko: E I yy θ y ' ' (x) G A sz (θ y ( x)+w ' (x))+m y ( x)=0 α εντατικά μεγέθη της δοκού είναι: G A sz (θ y ' (x)+w ' ' (x))+q z (x)=0 (.6.α) (.6.β)

17 . Θεωρίες Κάμψης Διάτμησης 1 M y (x)=e I yy θ y ' ( x) Q z (x)=g A sz [θ y (x)+w ' (x)] (.7.α) (.7.β) β. εχνική Θεωρία Euler - Bernoulli (1) Παραδοχές Η θεωρία Euler Bernoulli έχει μια επιπλέον παραδοχή από αυτές που αναφέρθηκαν στη θεωρία Timoshenko (.α.(1)): Διατομές που πριν την κάμψη ήταν κάθετες στον άξονα x της δοκού παραμένουν κάθετες σε αυτόν και μετά την κάμψη (Σχ..1). () Μετατοπίσεις Η θεωρία Euler Bernoulli δεν λαμβάνει υπόψη της διατμητικές παραμορφώσεις: w (x) γ xz =0 θ y ( x)= x Θεωρούμε το πεδίο των μετακινήσεων ως: [ w] u =[y v Όπου w (x) το βέλος κάμψης της δοκού. v( x) θ z (x)= x (.8) v(x) w( x) ] z x x (.9) v( x) w (x) Εφαρμόζοντας ότι και στη θεωρία Timoshenko, αλλά αγνοώντας κάθε διατμητική παραμόρφωση, καταλήγουμε στη διαφορική εξίσωση της δοκού. (3) Εξισώσεις Ισορροπίας Η διαφορική εξισώση της δοκού Euler-Bernoulli είναι (και για τους άξονες είναι η ίδια): Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι: E I yy w ' ' ' ' ( x)= p z ( x) (.30) w (x)= p z ( x)(dx) 4 +C 1 x 3 +C x +C 3 x+c 4 (.31) Οι σταθερές C i προκύπτουν από τις οριακές συνθήκες της δοκού. α εντατικά μεγέθη της δοκού είναι για ροπή στον άξονα Υ: και για ροπή στον άξονα Ζ: M y (x)= E I yy w ' ' (x) Q z (x)= E I yy w ' ' ' (x) M z (x)=e I zz w ' ' (x) Q y (x)= E I zz w ' ' ' ( x) γ. εχνική Θεωρία Διάτμησης Δεν αναπτύσσεται. δ. Ελαστική Θεωρία Ομοιόμορφης Διάτμησης (.3.α) (.3.β) (.33.α) (.33.β) Στην παράγραφο αυτή αναλύεται μια μέθοδος επίλυσης του προβλήματος διάτμησης η οποία

18 . Θεωρίες Κάμψης Διάτμησης 13 ακολουθεί της αρχές της ακριβούς ελαστικής θεωρίας. Θεωρούμε μια ευθύγραμμη δοκό μήκους L από γραμμικά ελαστικό υλικό με σταθερές G, v. Η διατομή της δοκού είναι τυχούσας μορφής. ο εξωτερικό σύνορό της ορίζεται από την καμπύλη Γ 1 ενώ τυχόντα εσωτερικά σύνορα (τρύπες) ορίζονται από τις καμπύλες Γ i για K =,..., n. ο υλικό είναι ομογενές ισότροπο. ο σύστημα αξόνων είναι κεντροβαρικό αλλά όχι απαραίτητα κύριο. Πρέπει να βρούμε ένα πεδίο τάσεων που να ικανοποιεί: ις εξισώσεις ισορροπίας (1.4). ις εξισώσεις Beltrami-Michell (1.16). ις συνοριακές συνθήκες (1.1). Από τις εξισώσεις ισορροπίας τάσεων (1.4) φαίνεται (άξονες y, z) ότι οι τ xy, τ xz είναι ανεξάρτητες του x. Στην εξίσωση ισορροπίας (1.4) στον άξονα x χρησιμοποιούμε την σ xx από τη σχέση (.5) με y = z =0 και χωρίς αξονικές, η οποία αφού ληφθεί υπόψη ότι: ξαναγράφεται ως: M y ' ( x)=q z (x) M z ' ( x)= Q y ( x) Q z ' (x)= q z ( x) Q y ' (x)= q y ( x) (.34.α) (.34.β) (.34.γ) (.34.δ) σ xx = M (x) I +M (x) I y yz z yy y+ M (x) I +M (x) I y zz z yz z (.35.α) I yy I zz I yz I yy I zz I yz σ xx x = Q (x) I Q ( x) I z yz y yy y+ Q (x) I Q ( x) I z zz y yz z (.35.β) I yy I zz I yz I yy I zz I yz Παραγωγίζουμε τη σχέση (1.4) της ισορροπίας στον άξονα x, μια φορά κατά y και μια κατά z και προκύπτουν οι παρακάτω δύο σχέσεις: τ xy y = σ xx x y τ xz y z σ xx (.36.α) τ xz z = x z τ xy (.36.β) y z ις σχέσεις αυτές τις χρησιμοποιούμε στις εξισώσεις Beltrami Michel (1.16) ( από τις 6 σχέσεις δεν είναι ταυτότητες) οι οποίες είναι: (1+ν) ( τ xy (1+ν) ( τ xz y + τ xy ) z y + τ xz ) z + σ xx x y =0 τ xy y = 1 1+v + σ xx x z =0 τ xz z = 1 1+v και μετά την αντικατάσταση (α με α και β με β) γίνονται: z ( τ xz y τ xy z ) = v v+1 y ( τ xz y τ xy z ) = v v+1 σ xx x y σ xx x z σ xx x y τ xy z σ xx x z τ xz y (.37.α) (.37.β) (.38.α) (.38.β)

19 . Θεωρίες Κάμψης Διάτμησης 14 Οι συναρτήσεις των διατμητικών τάσεων τ xy ( y, z), τ xz ( y, z) αποτελούν λύση το προβλήματος μόνο αν ικανοποιούν τις εξισώσεις (.38). Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας μπορούμε να υπολογίσουμε τις κατανομές των διατμητικών τάσεων πρώτα για Q y (x)=0 και μετά για Q z (x)=0 και οι τελικές κατανομές να προκύψουν από την επαλληλία των φορτίσεων. (1) έμνουσα στον Άξονα z Για την πρώτη περίπτωση οι σχέσεις (.38) γράφονται: z ( τ xz y τ xy z ) = v v+1 y ( τ xz y τ xy z ) = v v+1 Q z (x) I yz (.39.α) I yy I zz I yz Q z ( x) I zz (.39.β) I yy I zz I yz Εισάγουμε μια άγνωστη τασική συνάρτηση Φ( y, z) με την οποία θα εκφράσουμε κατάλληλα τις διατμητικές τάσεις ώστε να επαληθεύουν ταυτοτικά τις σχέσεις (.39). Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις των διατμητικών της σχέσης (.40) στις σχέσεις (.39) πράγματι επαληθεύονται ταυτοτικά. τ xy =τ xy ( y, z)= Q (x) z Φ( y, z) B ( d y y) (.40.α) τ xz =τ xz ( y,z)= Q z(x) B ( όπου B=(1+v) (I yy I zz I yz ) και d = [ d y Φ( y, z) z d z) y z ). v( I y z zz + I yz y z)] d z] =[ v( I zz y z I yz (.40.β) Αντικαθιστώντας τις διατμητικές τάσεις των σχέσεων (.40) και την ορθή τάση της σχέσης (.35.β) στην εξίσωση ισορροπίας (1.4) κατά x προκύπτει η διαφορική εξίσωση oisson για τη συνιστώσα των διατμητικών τάσεων: Φ( y, z)=( I yz y I zz z) σε κάθε διατομή (.41) ο κανονικό διάνυσμα της επιφάνειας της δοκού είναι n=[0 cos φ sin φ] T. Οι επιφάνειες της δοκού είναι αφόρτιστες. Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (.40) στη σχέση (1.1) για τον άξονα των x (οι άλλες είναι ταυτότητες) έχουμε: σ xn =σ xx 0+τ xy n y +τ xz n z = Φ( y, z) = n n d στο σύνορο της διατομής Γ (.4) () έμνουσα στον Άξονα y Αντίστοιχα για Q z (x)=0 είναι: τ xy =τ xy ( y, z)= Q (x) y B ( τ xz =τ xz ( y,z)= Q ( x) y B ( Θ( y, z) y Θ( y, z) z e y) e z) (.43.α) (.43.β)

20 . Θεωρίες Κάμψης Διάτμησης 15 όπου B=(1+v) ( I yy I zz I yz ) και e= [ e y e z] =[v( I yy v( I y z+ I yy yz y z I yz y z) y z )] Θ( y,z)=(i yz z I zz y) σε κάθε διατομή (.44) Φ( y, z) σ xn =σ xx 0+τ xy n y +τ xz n z = = n e στο σύνορο της διατομής Γ (.45) n Η επίλυση των προβλημάτων πραγματοποιείται με αριθμητική ανάλυση. Προκύπτουν οι λύσεις των συναρτήσεων Φ( y, z) και Θ( y,z) οπότε με επαλληλία των φορτίσεων προκύπτουν οι κατανομές των διατμητικών τάσεων τ xy ( x, y, z), τ xz (x, y, z). Εφόσον υπολογίστηκαν οι διατμητικές τάσεις μπορεί πλέον να προσδιοριστεί το κέντρο διάτμησης. ε. Κέντρο Διάτμησης ο Κέντρο Διάτμησης είναι το σημείο από το οποίο, εάν διέρχεται ο άξονας της εξωτερικής φόρτισης, τότε η ροπή των διατμητικών τάσεων της διατομής, είναι ίση με τη ροπή της εξωτερικής φόρτισης, ως προς οποιοδήποτε σημείο. Σε κάθε άλλη περίπτωση το εξωτερικό φορτίο αναγκάζει τη διατομή σε μετατόπιση και στροφή προκειμένου να επιτευχθεί ισορροπία. Για τον προσδιορισμό της εντατικής κατάστασης ενός ραβδόμορφου στοιχείου γίνεται αναγωγή των φορτίων στο κέντρο βάρους για τον υπολογισμό των ορθών τάσεων (από κάμψη ή/και αξονική δύναμη), ενώ για τον υπολογισμό των διατμητικών τάσεων (από στρέψη ή/και διάτμηση) γίνεται αναγωγή στο κέντρο της τέμνουσας δύναμης. Ο Weber[9] απέδειξε ότι το κέντρο διάτμησης ταυτίζεται με το κέντρο συστροφής. Κέντρο συστροφής καλείται το σημείο περιστροφής μια διατομής, ως στερεός δίσκος, υπό στρεπτική φόρτιση. Σε περίπτωση που οι διαμήκεις ορθές τάσεις και οι διατμητικές παραμορφώσεις που αναπτύσσονται λόγω παρεμπόδισης της στρέβλωσης δεν είναι επαρκώς μικρές, το κέντρο διάτμησης δεν ταυτίζεται με το κέντρο συστροφής. ο κέντρο συστροφής σε αυτή την περίπτωση προσδιορίζεται στο υποκεφάλαιο (3.γ.(3)(α). Προσδιορισμός Κέντρου Συστροφής και Σταθεράς Μετατόπισης). Η θέση του ΚΔ εξαρτάται αποκλειστικά από το γεωμετρικό σχήμα της διατομής. ο πρόβλημα του κέντρου διάτμησης παρατηρήθηκε αρχικά από τον Bach[1][] κατά την πειραματική εξέταση δοκών σχήματος U. Η εισαγωγή του όρου και η θεωρητική ερμηνεία έγινε από τον Maillart[3]. (1) Προσδιορισμός του ΚΔ ως Κέντρο έμνουσας Δύναμης Για να αποκλεισθεί η δυνατότητα στροφής των διατομών πρέπει η εξωτερική φόρτιση να διέρχεται από το Κέντρο Διάτμησης M ( y M, z M ). ότε η ροπή των τεμνουσών δυνάμεων ως προς τυχόν σημείο του επιπέδου της διατομής είναι ίση με τη ροπή των διατμητικών τάσεων. Q z y M Q y z M = (τ xz y τ xy z)da (.46) A όπου x ο διαμήκης άξονας της ράβδου. Οι συντεταγμένες y M, z M υπολογίζονται θέτοντας αντίστοιχα Q y και Q z ίσο με μηδέν. Οι διατμητικές τ xz, τ xy λαμβάνονται αντίστοιχα από τη σχέση (.40) για Q y =0 και τη σχέση (.43) για Q z =0. (α) Παρατηρήσεις Σε διατομές με έναν άξονα συμμετρίας το ΚΔ βρίσκεται πάντοτε επί του άξονα αυτού..

21 . Θεωρίες Κάμψης Διάτμησης 16 Σε διατομές διπλής συμμετρίας ή αντισυμμετρικές (π.χ. μορφής Ζ) το ΚΔ συμπίπτει με το ΚΒ της διατομής. στ. Υπολογισμός Συντελεστών Διατμητικής Παραμόρφωσης Χρησιμοποιώντας τις διατμητικές τάσεις από τις σχέσεις (.40) και (.43) στις σχέσεις (.15), από τη σχέση (.17) έχουμε: α y = A ( f yy + f zy )da= A A B [( Θ A y y) e + ( Θ z z) ] e da= α z = A ( f yz A + f zz ) da= A B [( Φ A y y) d α yz = A ( f yy f yz + f zy f zz )da A α yz = A B A [( + ( Φ z z) d ] da= Θ y e y) ( Φ y d y) + ( Θ y e z) ( Φ y d z)] da [( Φ d ) ( Φ d )]da ( AB Θ e ) da (.47.α) A ( AB Φ d ) da (.47.β) A (.47.γ) α yz = A B A α Φ, Θ, d, e, B έχουν ήδη προσδιοριστεί στο τμήμα (.δ. Ελαστική Θεωρία Ομοιόμορφης Διάτμησης).

22 3. Θεωρίες Στρέψης Στρέβλωσης Θεωρίες Στρέψης Στρέβλωσης α. Ιστορικό Θεωριών Στρέψης Οι κυριότερες θεωρίες στρέψης είναι οι παρακάτω. (1) Θεωρία Coulomb Η θεωρία της στρέψης ξεκίνησε από τον Coulomb[5], ο οποίος μελέτησε την περίπτωση ράβδου με κυκλική διατομή. Η λύση Coulomb στηρίχθηκε στην παραδοχή ότι επίπεδες διατομές στην απαραμόρφωτη κατάσταση παραμένουν επίπεδες και κατά τη παραμορφωμένη κατάσταση. Η υπόθεση αυτή είναι ακριβής μόνο για την περίπτωση κυκλικών ή κυκλικών δακτυλιοειδών διατομών. () Ομοιόμορφη Στρέψη (Στρέψη aint Venant) Η θεωρία στρέψης ράβδων τυχούσας διατομής (Σχ. 3.1) δόθηκε από το Γάλλο μηχανικό aint Venant, ο οποίος έθεσε πρώτος τα θεμέλια της κλασσικής θεωρίας της στρέψης. Ο aint Venant[19] βασιζόμενος στην αντίστοιχη θεωρία Coulomb εισήγαγε ορισμένες τροποποιήσεις προκειμένου να επιλύσει το πρόβλημα στρέψης που αφορούσε μη κυκλικές διατομές τυχούσας μορφής. Συγκεκριμένα απέδειξε ότι όταν μια ράβδος μη κυκλικής διατομής υπόκειται σε στρέψη, μια εγκάρσια διατομή η οποία ήταν επίπεδη πριν Σχ. 3.. Ομοιόμορφη στρέψη, όπου η στρέβλωση δεν από τη στρέψη, δεν παραμένει επίπεδη και μετά τη στρέψη. Η διατομή είναι σταθερή κατά μήκος της ράβδου παρεμποδίζεται από τις συνθήκες στήριξης και η στρεπτική ροπή αυτή υπό την επίδραση στρεπτικής καταπόνησης υπόκειται σε στρέβλωση. Σύμφωνα με τη θεωρία του aint Venant η στρέβλωση των διατομών, λόγω της στρεπτικής έντασης, μπορεί να πραγματοποιηθεί ανεμπόδιστα (Σχ. 3., Σχ. 3.3). Αυτό το είδος της στρέψης ονομάζεται ομοιόμορφη στρέψη ή στρέψη aint Venant. Στην ομοιόμορφη στρέψη η ελευθέρως αναπτυσσόμενη στρέβλωση είναι ίδια για κάθε διατομή κατά μήκος της ράβδου. Αυτό σημαίνει ότι οι διαμήκεις ίνες υφίστανται διαμήκεις μετατοπίσεις και όχι παραμορφώσεις με αποτέλεσμα να μην αναπτύσσονται διαμήκεις ορθές τάσεις. Σχ Στρέψη δοκού μη κυκλικής διατομής Σχ Στρέβλωση ανοικτής λεπτότοιχης διατομής.

23 3. Θεωρίες Στρέψης Στρέβλωσης 18 (3) Ανομοιόμορφη Στρέψη Γενικά, η στρέβλωση στρεφόμενων διατομών παρεμποδίζεται είτε λόγω συνθηκών στήριξης (π.χ. η στρέβλωση μιας ακραίας διατομής παρεμποδίζεται λόγω πάκτωσης αυτής σε μια εγκάρσια, μετωπική πλάκα), είτε λόγω συνθηκών φόρτισης (μεταβολή δηλαδή της στρεπτικής ροπής κατά μήκος της ράβδου όπως στις περιπτώσεις π.χ. συγκεντρωμένου ή κατανεμημένου στρεπτικού φορτίου)[13]. Αυτή η στρέψη ονομάζεται ανομοιόμορφη. Εάν η στρέβλωση παρεμποδίζεται, τότε οι διαμήκεις μετατοπίσεις μεταβάλλονται κατά μήκος της ράβδου με αποτέλεσμα την ανάπτυξη διαμήκων ορθών τάσεων σ xx, οι οποίες είναι ανάλογες της στρέβλωσης και επομένως μεταβάλλονται κατά μήκος του άξονα της ράβδου. Αυτό σημαίνει ότι η συστροφή θ ' που στην στρέψη ant Venant ήταν σταθερή σε όλο το μήκος της δοκού, πλέον δεν είναι. Η στρέβλωση είναι ανάλογη της συστροφής. ο ποσοστό της στρεπτικής ροπής που παραλαμβάνεται από πρωτογενείς και δευτερογενείς διατμητικές τάσεις καθορίζεται από τη γεωμετρία της διατομής. Σε διατομές με μικρή αντίσταση στρέβλωσης (Σχ. 3.4), μπορεί να εφαρμοστεί με ικανοποιητική ακρίβεια η θεωρία aint Venant. Επιπλέον η θεωρία aint Venant μπορεί να εφαρμοστεί και σε θέσεις μακριά από τα σημεία εμποδισμού της στρέβλωσης. Σχ Διατομή μορφής πλακοδοκού με μικρή στρεπτική αντίσταση και έντονη Όταν οι διατομές εμφανίζουν μεγάλη αντίσταση στρέβλωση (δοκοί μονολιθικά συνδεδεμένοι στρέβλωσης (Σχ. 3.5), είναι μεγάλης σημασίας ο προσδιορισμός των ορθών και διατμητικών τάσεων στρέβλω- με την φερόμενη πλάκα) σης και ο συνυπολογισμός αυτών με τις αντίστοιχες τάσεις που προέρχονται από άλλα είδη φόρτισης (ορθές και διατμητικές τάσεις από καμπτοδιατμη- Λόγω της μεταβολής των ορθών τάσεων θα αναπτυχθούν, για λόγους ισορροπίας πρόσθετες διατμητικές τάσεις κατά τη διαμήκη h t t h b t h διεύθυνση και άρα, σύμφωνα με το h t b θεώρημα Cauchy (συμμετρία του τανυστή των τάσεων τ ij =τ ji ), και επάνω στο επίπεδο της διατομής. h b Οι διατμητικές αυτές τάσεις ονομάζονται τάσεις στρέβλωσης ( τ ) Σχ Διατομές οι οποίες δεν εμφανίζουν φαινόμενα στρέβλωσης (Σχ. 3.9). Συνεπώς στην ανομοιόμορφη στρέψη η στρεπτική ροπή αναλαμβάνεται κατά ένα ποσοστό από την κλειστή ροή των διατμητικών τάσεων aint Venant (πρωτογενείς διατμητικές τάσεις τ ) και κατά το υπόλοιπο ποσοστό από τις στρεπτικές διατμητικές τάσεις στρέβλωσης (δευτερογενείς διατμητικές τάσεις τ ), οι οποίες ασκούνται στο επίπεδο της διατομής. Επομένως για τη ολική στρεπτική ροπή M t που ασκείται σε μια διατομή ισχύει M t =M t +M t όπου Μ t η πρωτογενής στρεπτική ροπή που εξισορροπείται με την ανάπτυξη των διατμητικών τάσεων aint Venant ( τ ) και Μ t η δευτερογενής στρεπτική ροπή που εξισορροπείται με την ανάπτυξη των διατμητικών τάσεων στρέβλωσης ( τ ).

24 3. Θεωρίες Στρέψης Στρέβλωσης 19 τική καταπόνηση, διατμητικές τάσεις ομοιόμορφης στρέψης, κ.λ.π.). Οι τάσεις στρέβλωσης ( σ xx, τ ) είναι τάσεις φόρτισης και όχι καταναγκασμού. Επομένως με την πάροδο του χρόνου και την επερχόμενη ρηγμάτωση ή διαρροή του υλικού, οι τάσεις αυτές δε μειώνονται αλλά ανακατανέμονται. Λόγω της δυνατότητας ανακατανομής οι τάσεις στρέβλωσης δε θα πρέπει να αγνοούνται στα πλαίσια μιας σωστής και ασφαλούς στατικής ανάλυσης, διότι μπορεί να αναδειχθούν καθοριστικής σημασίας για τη διαστασιολόγηση του φορέα. (4) Ανομοιόμορφη Στρέψη με Επιρροή Δευτερογενών Στρεπτικών Παραμορφώσεων Στη θεωρία ανομοιόμορφης στρέψης η στρέβλωση είναι ανάλογη της συστροφής θ ' [7]. Αυτό έχει συνέπεια να λαμβάνονται υπόψιν μόνο οι πρωτογενείς διατμητικές και οι ορθές τάσεις στην καθολική εξίσωση ισορροπίας της ράβδου ενώ οι δευτερογενείς διατμητικές τάσεις υπολογίζονται μετά την επίλυσή της. Όμως η επιρροή των δευτερογενών στρεπτικών παραμορφώσεων είναι σημαντική σε κλειστές λεπτότοιχες διατομές[18][15], όπου οι διατμητικές τάσεις λαμβάνουν υψηλές τιμές λόγω της ιδιαίτερης γεωμετρίας της διατομής. Η επιρροή αυτή μπορεί να ληφθεί υπόψιν με υιοθέτηση νέου κινηματικού μεγέθους που δίδει τη στρέβλωση της διατομής πλέον μη ανάλογη με τη συστροφή θ '. Η θεώρηση αυτή παρουσιάζει πλήρη αναλογία με τη μη γραμμική θεωρία καμπτόμενων ράβδων Timoshenko[4][15][17][18]. Συνεπώς, παραβιάζει κι αυτή την τοπική διαφορική εξίσωση ισορροπίας κατά μήκος της ράβδου καθώς και την αντίστοιχη συνοριακή συνθήκη εξαιτίας της μη ικανοποιητικής κατανομής δευτερογενών διατμητικών τάσεων που προκύπτει. ούτο έχει ως αποτέλεσμα την ανάγκη διόρθωσης της δευτερογενούς στρεπτικής αντίστασης με τη χρήση κατάλληλου διορθωτικού συντελεστή διάτμησης, ο οποίος υπολογίζεται με ενεργειακή προσέγγιση[][9] [1][10]. Η συγκεκριμένη προσέγγιση οδηγεί στη σύζευξη στρεπτικών και καμπτικών καταπονήσεων ράβδων τυχούσας διατομής. Στην περίπτωση που η διατομή είναι διπλά συμμετρική, αποδεικνύεται ότι στρεπτικές και καμπτικές καταπονήσεις αποζευγνύονται[][1]. Έτσι, το πρόβλημα της ανομοιόμορφης στρέψης μπορεί να μελετηθεί ξεχωριστά από αυτό της καμπτοδιατμητικής καταπόνησης. β. Ανομοιόμορφη Στρέψη με Επιρροή Δευτερογενών Στρεπτικών Παραμορφώσεων (1) Παραδοχές 1. Η ράβδος είναι ευθύγραμμη.. Εγκάρσιες παραμορφώσεις της διατομής σε κατάσταση φορτίσεως δεν αναπτύσσονται, δηλαδή το σχήμα της διατομής διατηρείται. 3. Η διατοµή της ράβδου είναι σταθερή. 4. Η διατομή της ράβδου είναι διπλά συμμετρική. Στην περίπτωση όπου η διατομή έχει έναν ή κανέναν άξονα συµµετρίας, η στρεπτική και καµπτοδιατµητική καταπόνηση είναι συζευγµένες και πρέπει να µελετηθούν µαζί. Όταν η διατοµή διαθέτει δύο άξονες συµµετρίας, τότε η στρεπτική καταπόνηση µπορεί να µελετηθεί αυτόνοµα. 5. Στη ράβδο δεν επιβάλλεται (κατασκευαστικά) κάποιος άξονας περιστροφής. Η ράβδος µπορεί να στραφεί ελεύθερα µετά την άσκηση σε αυτήν του στρεπτικού φορτίου και αποδεικνύεται ότι ο άξονας περιστροφής ταυτίζεται µε τον άξονα που διέρχεται από το γεωµετρικό κέντρο των διατο- µών. Η (κατασκευαστική) επιβολή οποιουδήποτε άλλου άξονα περιστροφής οδηγεί αναπόφευκτα στην ανάπτυξη καµπτοδιατµητικής έντασης πέρα από τη στρεπτική. 6. Η στρέβλωση της ράβδου είναι ανάλογη της πρωτογενούς σχετικής γωνίας στρεπτικής στροφής των διατομών ανά μονάδα μήκους (ή ανεξάρτητης παράµετρου στρέβλωσης). Επειδή η στρέβλωση των διατομών δεν λαμβάνεται ανάλογη της συνολικής σχετικής γωνίας στρεπτικής στροφής των διατοµών ανά µονάδα µήκους, η επιρροή των δευτερογενών στρεπτικών παραµορφώσεων είναι δυνατόν να ληφθεί υπόψιν στην καθολική ισορροπία της ράβδου.

25 3. Θεωρίες Στρέψης Στρέβλωσης 0 7. Η στροφή της διατοµής θεωρείται τόσο µικρή, ώστε το τόξο µε καλή προσέγγιση να µπορεί να αντικατασταθεί από τη χορδή του. 8. ο υλικό της ράβδου θεωρείται οµογενές, ισότροπο, συνεχές και γραµµικά ελαστικό και συνεπώς ισχύουν οι σχέσεις της γραµµικής θεωρίας ελαστικότητας. 9. Η κατανοµή των τάσεων στα άκρα της ράβδου είναι τέτοια, ώστε να τηρούνται όλες οι προαναφερθείσες παραδοχές. () Μετατοπίσεις, Παραμορφώσεις, άσεις (α) Μετατοπίσεις Θεωρούμε δοκό που ικανοποιεί τις παραπάνω παραδοχές και υποβάλλεται σε κατανεμημένο στρεπτικό φορτίο m t ( x) και δίρροπα στρέβλωσης m w ( x). Ο άξονας x του τρισορθογωνίου συστήματος συντεταγμένων διέρχεται από τα κέντρα συστροφής (που είναι και κέντρα βάρους λόγω διπλής συμμετρίας) των διατομών, ενώ η αρχή του ( x=0 ) είναι στο αριστερό άκρο της δοκού. Οι πεδιακές μετατοπίσεις της δοκού σε σχέση με το κέντρο διάτμησης - συστροφής, που προκύπτουν από στρέψη κατά γωνία θ (x) γύρω από το, είναι: u(x, y,z)=η(x) Φ ( y, z) [ v(x, z) w (x, y)] [ = cosθ ( x) sin θ (x) sin θ (x) cosθ ( x) ] [ z] y [ y z ] [ = 1 θ (x) θ ( x) 1 ] [ y z ] [ y z] = [ όπου η( x) μια ανεξάρτητη παράμετρος στρέβλωσης η οποία είναι z θ ( x) y θ ( x) ] (3.1.α) (3.1.β) η( x)=θ ' ( x) στην παρούσα θεωρία (3..α) η( x)=θ ' ( x) στην κλασική θεωρία ανομοιόμορφης στρέψης (3..β) η( x)=θ ' ( x)=c στη θεωρία στρέψης aint Venant (3..γ) η( x)=0 στη θεωρία στρέψης Coulomb (3..δ) Η Φ είναι η συνάρτηση στρέβλωσης ως προς το κέντρο συστροφής. Η φυσική σημασία της παραμέτρου η( x) έχει να κάνει με την εναλλακτική διατύπωση με την οποία θα περιγραφεί η επιρροή δευτερογενών στρεπτικών παραμορφώσεων στην ανομοιόμορφη στρέψη ράβδου. Σύμφωνα με αυτήν, οι μετατοπίσεις της ράβδου και η γωνία στροφής της διατομής διασπώνται σε πρωτογενές (δείκτης ) και δευτερογενές (δείκτης ) μέρος [ w] u =[u ]+[u ] v v v θ=θ w w Και αντίστοιχα [u (x, y, z) ]=[θ v (x,z) w (x, y) (β) ' (x) Φ ( y, z) z θ ( x) y θ ( x) ] Παραμορφώσεις [ +θ (3.3.α,β) u 0 v (x, z) z θ w (x, y)]=[ ] (x) y θ (x) (3.4.α,β) Αξιοποιώντας τη σχέση (1.6) δεδομένης της παραδοχής 8, προκύπτει ο τανυστής των παραμορφώσεων

26 3. Θεωρίες Στρέψης Στρέβλωσης 1 εξής: θ ε=[ ' ' (x) Φ s ( y, z) sym 1 ( θ ' (x) Φ ( y, z) z θ ' ( y x)) ] 0 (3.5) 1 ( θ ' ( x) Φ ( y, z) + y θ ' z (x)) 0 0 Οι ε xy και ε xz με χρήση της παράγωγου της σχέσης (3.4.α,β) μπορούν να γραφούν και ως ε xy =γ xy =θ ' ( x)( Φ ( y, z) y z ) πρωτογενής ε xz =γ xz =θ ' ( x)( Φ ( y, z) z (γ) άσεις + y ) πρωτογενής θ ' ( x) Φ ( y, z) y δευτερογενής θ ' ( x) Φ ( y, z) z δευτερογενής Οι τάσεις για γραμμικά ελαστικό ισότροπο υλικό, θεωρώντας ότι v=0, είναι: (3.6.α) (3.6.β) τ xy =G θ ' (x)( Φ ( y, z) y σ xx = E θ ' ' (x) Φ ( y, z) z ) πρωτογενής τ xz =γ xz =G θ ' (x)( Φ ( y, z) z + y ) πρωτογενής G θ ' ( x) Φ ( y, z) y δευτερογενής G θ ' ( x) Φ ( y, z) z δευτερογενής (3.7.α) (3.7.β) (3.7.γ) (3) Πρωτογενής Συνάρτηση Στρέβλωσης Από τη σχέση ισορροπίας τάσεων (1.4) για τον άξονα x και απουσία δυνάμεων όγκου έχουμε: Σχ Πρισματική ράβδος υποβαλλόμενη σε τυχούσα στρεπτική φόρτιση με διατομή διπλά συμμετρικού σχήματος. ο κέντρο συστροφής και το κέντρο βάρους συμπίπτουν. σ xx x + τ xy y + τ xz z + τ xy y + τ xz z =0 (3.8) Προκειμένου να ικανοποιηθεί αυτή η εξίσωση απαιτούμε το μηδενισμό των όρων που προέρχονται από πρωτογενείς διατμητικές τάσεις (3.9.α) όσο και αυτών που προέρχονται από την ορθή

27 3. Θεωρίες Στρέψης Στρέβλωσης τάση και τις δευτερογενείς διατμητικές (3.9.β): σ xx τ xy y + τ xz z =0 (3.9.α) x + τ xy y + τ xz z =0 (3.9.β) Επιπρόσθετα για το όριο της διατομής (Σχ. 3.6) αντικαθιστώντας τις τάσεις από τις σχέσεις (3.7) στη σχέση (1.1), όπου το διάνυσμα n είναι το κανονικό εξωστρεφές διάνυσμα του ορίου της διατομής έχουμε: [ τ xn 0 ] =[σ xx τ xy τ xz τ xy τ xz 0 0 τ xn =G θ ' ( x)( Φ ( y, z) ] [0 n y n z] τ xn =τ xy n y +τ xz n z πρωτογενής n( y, z) z n y ( y, z) y n z ( y, z) ) G θ ' (x) Φ ( y, z) n( y, z) δευτερογενής (3.10.α) [ τ ] =[σ xt xx τ xy τ xz 0 τ xy τ xz 0 0 τ xt =G θ ' (x)( Φ ( y, z) ] [ 0 n ] z τ xt = τ xy n z +τ xz n y πρωτογενής n y t ( y, z) + y n y ( y,z)+z n z ( y, z) ) G θ ' ( x) Φ ( y, z) t ( y, z) δευτερογενής Η επίλυση δίνεται ως ένα πρόβλημα Neumann στην εξίσωση Laplace. (3.10.β) Για όλη την επιφάνεια της διατομής: αντικαθιστώντας τις πρωτογενείς διατμητικές τάσεις από τις σχέσεις (3.7) στη σχέση (3.9.α) προκύπτει η σχέση (3.11.α). Για το όριο της διατομής: εξισώνοντας με μηδέν την πρωτογενή διατμητική τάση τ xn =0 από τη σχέση (3.10.α), προκύπτει η σχέση (3.11.β). Φ ( y, z)=0 στο (όλη η διατομή) (3.11.α) Φ ( y, z) n( y, z) =z n ( y, z) y n y z ( y, z) στο Γ (όριο διατομής) (3.11.β) με την επιπλέον απαίτηση να μην έχουμε εφελκυσμό ή θλίψη κατά μήκος της δοκού: Φ d=0 (3.1) Από τη σχέση αυτή προκύπτει η σταθερά μετατόπισης της βασικής συνάρτησης στρέβλωσης. Η θεωρία αναφέρεται πιο γενικευμένα (προσδιορίζεται και το κέντρο συστροφής που για την παρούσα θεωρία είναι η τομή των αξόνων συμμετρίας) στο υποκεφάλαιο (3.γ.(3)(α). Προσδιορισμός Κέντρου Συστροφής και Σταθεράς Μετατόπισης). (α) Ασυνέπεια Η σχέση ισορροπίας τάσεων (1.4) για τον άξονα x και απουσία δυνάμεων όγκου και η σχέση συνοριακής συνθήκης (1.1) στα όρια της διατομής είναι: σ xx x + τ xy y + τ xz z =0 στο (3.13.α) τ xy n y +τ xz n z =t x στο Γ (3.13.β)

28 3. Θεωρίες Στρέψης Στρέβλωσης 3 Αντικαθιστώντας τις τάσεις από τις σχέσεις (3.7) στις σχέσεις (3.13) διαπιστώνουμε όμως ότι δεν επαληθεύονται εξαιτίας της μη ικανοποιητικής κατανομής των δευτερογενών διατμητικών τάσεων. ο γεγονός αυτό είναι ανάλογο της θεωρίας καμπτόμενης δοκού Timoshenko οπότε αντιστοίχως κι εδώ θα εισαχθεί ένας στρεπτικός διορθωτικός συντελεστής διάτμησης[17][][9][10][0] ο οποίος θα υπολογιστεί στο υποκεφάλαιο (3.β.(5). Διόρθωση Κατανομής Στρεπτικών Διατμητικών άσεων). (4) Εντατικά Μεγέθη, Καθολικές Εξισώσεις Ισορροπίας, Συνοριακές Συνθήκες (α) Εντατικά Μεγέθη Σχ Η στρέψη της δοκού δημιουργεί στρέβλωση η οποία ισοδυναμεί με δύο ζεύγη δυνάμεων (κόκκινα βέλη) δηλαδή δύο ροπές (πράσινα δικέφαλα βέλη) δηλαδή ένα δίρροπο στρέβλωσης (μπλε τρικέφαλο βέλος). Σχ Διανομή πρωτογενών (αριστερά) και δευτερογενών (δεξιά) διατμητικών τάσεων και αντίστοιχων προκυπτουσων στρεπτικών ροπών. Η στρεπτική ροπή προκύπτει ολοκληρώνοντας τις διατμητικές τάσεις της διατομής:

29 3. Θεωρίες Στρέψης Στρέβλωσης 4 M t = (τ xz y τ xy z )d M t = [ xy( τ Φ z + y )] d y z ) +τ xz( Φ πρωτογενής τ Φ xy Φ + ( y τ xz ) z d δευτερογενής (3.14) η δεύτερη σχέση απλοποιείται στην πρώτη με απλές πράξεις. Επιλέχθηκε όμως έτσι προκειμένου να διασπάσουμε τη στρεπτική ροπή σε πρωτογενή και δευτερογενή κατά τα πρότυπα των διατμητικών παραμορφώσεων των σχέσεων (3.6), (3.7) (Σχ. 3.8): M t = [ τ xy( M t =M t +M t Φ ( y z ) +τ xz Φ )] z + y d (3.15.α) (3.15.β) M t = ( τ xy Φ y +τ Φ xz z ) d (3.15.γ) Η σχέση (3.15.δ) δίνει ένα νέο εντατικό μέγεθος που ονομάζεται δίρροπο στρέβλωσης (Σχ. 3.7). Η ανάγκη θεώρησής του προκύπτει από το γεγονός ότι για M y =M z =N =0 υπάρχουν ορθές τάσεις σ xx στη διατομή, η ελαστική ενέργεια των οποίων ειδάλλως θα αγνοούνταν. M w = Φ σ xx d (3.15.δ) Σύμφωνα με το θεώρημα Gauss - Green ισχύει για πρωτογενείς διατμητικές τάσεις (αντίστοιχα και για δευτερογενείς): Φ τ xy Φ τ xz y d= z d= τ Φ xy τ Φ xz y d + Γ z d+ Γ τ xy n y Φ ds τ xz n z Φ ds (3.16.α) (3.16.β) Αντικαθιστώντας τις σχέσεις διατμητικών τάσεων - κινηματικών μεγεθών (3.7) στις σχέσεις (3.16) και αυτές στις σχέσεις (3.15) λαμβάνουμε: M t =G I t θ ' ( x) M t =G I t θ ' (x) (3.17.α) (3.17.β) M w = E C θ ' ' (x) όπου οι γεωμετρικές σταθερές I t (πρωτογενής στρεπτική σταθερά), I t στρεπτική σταθερά) και C (σταθερά στρέβλωσης) δίνονται ως: I t = ( y I t =k x [( + z + y Φ z z Φ y ) d Φ (3.17.γ) (δευτερογενής (3.18.α) y ) +( ] Φ z ) d (3.18.β) C = (Φ ) d (3.18.γ) Στη σχέση (3.18.β) εισάγεται ο στρεπτικός διορθωτικός συντελεστής k x κατά τα πρότυπα του διορθωτικού συντελεστή της θεωρίας δοκού Timoshenko. Ο συντελεστής αυτός πρέπει να είναι

30 3. Θεωρίες Στρέψης Στρέβλωσης 5 πάντα k x 1. Στην περίπτωση που η σταθερά I t δεν διορθωθεί εξαιτίας της μη ικανοποιητικής κατανομής των διατμητικών τάσεων λαμβάνουμε k x =1. Ο k x θα υπολογιστεί στο υποκεφάλαιο (3.β.(5). Διόρθωση Κατανομής Στρεπτικών Διατμητικών άσεων). Η διατύπωση αυτή[7][1][6] με τη βοήθεια της σχέσης (3.11.β) δίνει: I t =I p I t (β) = k x ( y Φ z + z Φ y ) d = k Φ x Φ ds (3.19) Γ n Καθολικές Εξισώσεις Ισορροπίας, Συνοριακές Συνθήκες Οι διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας της ράβδου διατυπώνονται ως εξής: dm t dx + dm t dx = m ( x) t dm w dx M t = m w (x) και οι αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες: (3.0.α) (3.0.β) (M t +M t Μ t )δθ=0 (3.1.α) ( M w + Μ w )δ(θ )'=0 (3.1.β) όπου τα μεγέθη m t (στρεπτική ροπή) και m w (δίρροπο στρέβλωσης) αποτελούν εξωτερικά επιβαλλόμενες δράσεις, οι οποίες δίνονται συναρτήσει των τάσεων του συνόρου ως: Επίσης τα μεγέθη M t και διατομές. M t (0)= ( z τ y + y τ z )d M w (0)= τ x Φ d m t ( x)= ( z τ y + y τ z )ds Γ (3..α) m w ( x)= τ x Φ ds (3..β) Γ M w αποτελούν εξωτερικά επιβαλλόμενες δράσεις στις ακραίες M t ( L)= ( z τ y + y τ z )d M w (L)= τ x Φ d (3.3.α,β) (3.3.γ,δ) Εισάγοντας τις σχέσεις (3.17) στις σχέσεις (3.0) και αναδιατυπώνοντας τις συνοριακές συνθήκες (3.1) προκύπτουν οι παρακάτω διαφορικές εξισώσεις: με οριακές συνθήκες Cauchy: G (I t + I t )θ ' ' +G I t (θ )' '=m t E C θ ' ' '+G I t (θ ' θ ')= m w (3.4.α) (3.4.β) α 1 M t +α θ=α 3 β 1 M w + β θ ' =β 3 (3.5.α,β) όπου οι συντελεστές α i, β i προκύπτουν από τις συνθήκες στήριξης ενώ M t είναι η στρεπτική ροπή στα άκρα της ράβδου που δίνεται συναρτήσει των κινηματικών μεγεθών ως: M t =G(I t +I t )θ ' G I t θ ' (3.6) 1/ Σύγκριση με την Κλασική Θεωρία Ανομοιόμορφης Στρέψης Απαλείφοντας τον ένα κινηματικό άγνωστο των σχέσεων (3.4), μπορούμε να κάνουμε μια σύγκριση της θεωρίας με την κλασική θεωρία ανομοιόμορφης στρέψης. Οι διαφορικές εξισώσεις των σχέσεων (3.4), με απαλοιφή του θ γίνονται:

31 3. Θεωρίες Στρέψης Στρέβλωσης 6 E C κ θ ' ' ' ' G I t θ ' ' =m t E C G I t όπου κ είναι μια βοηθητική σταθερά που ορίζεται ως: 1 κ κ m t ' '+m w ' (3.7) κ= I t I t +I = I t (3.8) t I p Η σύγκριση γίνεται μεταξύ των διαφορικών εξισώσεων των σχέσεων (3.7) και (3.70). Μετά από πράξεις, οι συνοριακές συνθήκες των σχέσεων (3.5.α,β) συνεχίζουν να ισχύουν αν σε αυτές τεθούν: M t =G I t θ ' E C κ θ ' ' ' E C G I t 1 κ κ m t '+m w (3.9) M w = E C θ ' ' E C 1 κ κ G I t κ m t (3.30) θ ' =θ ' + E C 1 κ θ ' ' ' + E C 1 κ G I t κ (G I t ) ( κ ) m t ' 1 1 κ G I t κ m w (3.31) Οι δευτερογενείς στρεπτικές παραμορφώσεις αγνοούνται για κ=1 (π.χ. ανοικτές λεπτότοιχες διατομές) ενώ όσο το κ πλησιάζει το 0 γίνονται πιο έντονες (κλειστές λεπτότοιχες διατομές)[15] [18][0]. Ισχύει 0< κ 1. (5) Διόρθωση Κατανομής Στρεπτικών Διατμητικών άσεων (α) Δευτερογενεις άσεις Η επίλυση των εξισώσεων ισορροπίας της ράβδου απαιτεί προσδιορισμό του συντελεστή k x [Σχέση (3.18.β)]. Ο υπολογισμός βασίζεται σε ενεργειακή θεώρηση[10][0] σύμφωνα με την οποία εξισώνεται η ακριβής έκφραση της ελαστικής ενέργειας διάτμησης με την αντίστοιχη προσεγγιστική. Θα πρέπει να προσδιοριστεί ικανοποιητική κατανομή δευτερογενών διατμητικών τάσεων η οποία να μην παραβιάζει τις σχέσεις (3.13). Για να το πετύχουμε αυτό κρατάμε αναλλοίωτες τις πρωτογενείς τάσεις των σχέσεων (3.7) και τροποποιούμε μόνο τις δευτερογενείς: τ xy =G θ ' (x)( Φ ( y,z) y z ) πρωτογενής τ xz =γ xz =G θ ' (x)( Φ ( y, z) z + y ) πρωτογενής σ xx = E θ ' ' (x) Φ ( y, z) +[ G θ ' ( x) I t Φ (x, y, z) m ] w C C y +[ G θ ' ( x) I t δευτερογενής m ] w C C z δευτερογενής Φ (x, y, z) (3.3.α) (3.3.β) (3.3.γ) όπου Φ (x, y, z) η δευτερογενής συνάρτηση στρέβλωσης η οποία θα προσδιοριστεί με εφαρμογή των εξισώσεων (3.13). (β) Δευτερογενείς Μετατοπίσεις Προκειμένου να προκύψουν αυτές οι δευτερογενείς τάσεις, απαιτείται τροποποίηση της διαμήκους δευτερογενούς πεδιακής μετατόπισης της σχέσης (3.4.α,β) η οποία αρχικά είχε τεθεί 0. u (x, y,z)=( θ ( x) I t m w ) C G C Φ (x, y, z) (3.33) Ο λόγος που δεν εφαρμόστηκε αυτό το πεδίο μετατοπίσεων εξ αρχής, είναι επειδή θα διατυ-

32 3. Θεωρίες Στρέψης Στρέβλωσης 7 πώνονταν θεωρία ανάλογη με τη θεωρία διάτμησης 3ης τάξης[8]. (γ) Δευτερογενής Συνάρτηση Στρέβλωσης Η δευτερογενής συνάρτηση στρέβλωσης προκύπτει ως ένα πρόβλημα Neumann στην εξίσωση oisson. Αντικαθιστώντας τις τάσεις (3.3) στις σχέσεις ισορροπίας τάσεων (3.13) και λαμβάνοντας υπόψη την καθολική εξίσωση ισορροπίας (3.4.β) προκύπτει για την Φ : Φ ( x, y, z)=φ ( y,z) στο (3.34.α) Φ (x, y,z) n( y, z) C = t x ( y, z) G I t θ (x) m w ( x) στο Γ (3.34.β) Για να υπολογίσουμε ένα στρεπτικό συντελεστή που δεν εξαρτάται από τη φόρτιση, εκμηδενίζουμε τις φορτίσεις t x και m w οπότε από τις παρακάτω σχέσεις προκύπτει δισδιάστατη συνάρτηση δευτερογενούς στρέβλωσης: Φ ( y, z)=φ ( y, z) στο (3.35.α) ως: Φ ( y, z) =0 στο Γ (3.35.β) n( y, z) με την επιπλέον απαίτηση να μην έχουμε εφελκυσμό ή θλίψη κατά μήκος της δοκού: (δ) Φ d=0 (3.36) Στρεπτικός Διορθωτικός Συντελεστής Διάτμησης Η ελαστική ενέργεια [Σχέσεις (1.19), (1.0)] λόγω διάτμησης κατά μήκος της ράβδου δίδεται όπου: U = τ xy +τ xz G d= (τ xy +τ xy ) +(τ xz G +τ xz ) d=u +U +U (3.37) (τ U = xy ) +(τ xz G ) (τ U = xy ) +(τ xz G U = ) d d τ xy τ xy +τ xz τ xz d G (3.38.α) (3.38.β) (3.38.γ) Η προσεγγιστική έκφραση της ελαστικής ενέργειας λόγω διάτμησης θα δοθεί από την κατανομή των τάσεων των σχέσεων (3.7) ενώ η ακριβής έκφραση από την κατανομή των τάσεων των σχέσεων (3.3). Και για τις δύο περιπτώσεις αποδεικνύεται ότι U =0 και εφόσον οι πρωτογενείς διατμητικές τάσεις είναι ίσες U approximate, =U exact,. Άρα η εξίσωση ενεργειών οδηγεί στη σχέση: U approximate, =U exact, (3.39) Η μη ικανοποιητική κατανομή των δευτερογενών διατμητικών τάσεων των σχέσεων (3.7), με τη βοήθεια της εξίσωσης (3.17.β) διαμορφώνεται σε: τ xy = M t I t Φ y τ xy = M t I t Φ z (3.40.α,β) ενώ η ικανοποιητική κατανομή των δευτερογενών διατμητικών τάσεων των σχέσεων (3.3),

33 3. Θεωρίες Στρέψης Στρέβλωσης 8 με τη βοήθεια της εξίσωσης (3.17.β) διαμορφώνεται σε: τ xy = M t C Φ y τ xy = M t C Φ z (3.41.α,β) Η έκφραση (3.38.β) της ελαστικής ενέργειας από την προσεγγιστική κατανομή διατμητικών τάσεων (3.40.α,β) σε συνδυασμό με τη σχέση (3.18.β) είναι[10]: U approximate, = (M t ) (3.4) G I t Η έκφραση (3.38.β) της ελαστικής ενέργειας από την ακριβή κατανομή διατμητικών τάσεων (3.41.α,β) είναι: 1 U exact, =I Φ G( M t I t ) (3.43) όπου I Φ γεωμετρική σταθερά (αριστερό σκέλος) που με τη βοήθεια των σχέσεων (3.35) μπορεί να απαλλαγεί από τα διαφορικά της (δεξί σκέλος). y ) +( Φ z ) ] d= I Φ = [( Φ Φ Φ d (3.44) Εξισώνοντας (3.39) τις ενέργειες των σχέσεων (3.4) και (3.43) και αξιοποιώντας τη σχέση (3.18.β) προκύπτει ο στρεπτικός συντελεστής: όπου: C k x = (I p I (3.45) t ) I Φ Η δευτερογενής στρεπτική σταθερά μπορεί να υπολογιστεί από την πρωτογενή με τη σχέση: I t =κ x I t =k x (I p I t ) (3.46) κ x = C I (3.47) t I Φ Η ενεργειακή θεώρηση για τον υπολογισμό του διορθωτικού συντελεστή διάτμησης οδηγεί στη σύζευξη καμπτοδιατμητικών και στρεπτικών κινηματικών και εντατικών μεγεθών. Η στρέψη (σε περίπτωση που λαμβάνονται υπόψη διατμητικές παραμορφώσεις) αποζευγνύεται από την καμπτοδιατμητική ένταση όταν έχουμε δοκούς με διατομή διπλής συμμετρίας[1][]. (6) Αλγόριθμος Επίλυσης Ορισμός συστήματος αναφοράς yz στη διατομή της ράβδου που διέρχεται από το κέντρο συστροφής, το οποίο για διπλά συμμετρικές διατομές είναι το κέντρο βάρους της διατομής δηλαδή το σημείο τομής των αξόνων συμμετρίας. Υπολογισμός της βασικής πρωτογενής συνάρτησης στρέβλωσης Φ ( y, z) από την επίλυση των σχέσεων (3.11). Υπολογισμός εμβαδού διατομής A= d και ροπής στρέβλωσης R = Φ d. Υπολογισμός της σταθεράς ĉ= R A [Σχέσεις (3.5)]. Υπολογισμός της κύριας πρωτογενούς συνάρτησης στρέβλωσης Φ ( y, z) με τη σχέση Φ ( y, z)= Φ ( y,z)+ĉ.

34 3. Θεωρίες Στρέψης Στρέβλωσης 9 Υπολογισμός της βασικής δευτερογενούς συνάρτησης στρέβλωσης Φ ( y, z) από την επίλυση των σχέσεων (3.35). Υπολογισμός της κύριας δευτερογενούς συνάρτησης στρέβλωσης Φ ( y, z) με τη σχέση Φ ( y, z)= Φ ( y, z) 1 A Φ ( y,z)d. Υπολογισμός της πολικής ροπής αδρανείας I p = ( y + z )d, της πρωτογενούς στρεπτικής σταθεράς I t (3.18.α), της σταθεράς στρέβλωσης C (3.18.γ), της σταθεράς I Φ (3.44), του στρεπτικού διορθωτικού συντελεστή k x (3.45) και της δευτερογενούς στρεπτικής σταθεράς I t (3.46). Αν η σταθερά I t δεν διορθωθεί εξαιτίας της μη ικανοποιητικής κατανομής των δευτερογενών διατμητικών τάσεων, τότε στη σχέση (3.46) τίθεται k x =0. Επίλυση των διαφορικών εξισώσεων ισορροπίας της ράβδου (3.4), (3.5.α,β) και υπολογισμός της γωνίας στροφής θ (x) και της πρωτογενούς συστροφής θ ' ( x) καθώς και των εντατικών μεγεθών M t (3.15.α), M t (3.17.α), M t (3.17.β) και M w (3.17.γ). Υπολογισμός του τανυστή των πρωτογενών και δευτερογενών τάσεων, σε κάθε σημείο της δοκού από τις σχέσεις (3.3). Η συνολική διατμητική τάση στο είναι τ xn = (τ xy +τ xy ) +(τ xz +τ xz ). Η πρωτογενής και δευτερογενής διατμητική τάση στο σύνορο Γ από τη σχέση (3.10.β), εναλλακτικά τ xt =G Φ t ενώ η συνολική είναι τ xt =τ xt +τ xt. Υπολογισμός των μετατοπίσεων κάθε σημείου της δοκού από τις σχέσεις (3.1). γ. Ανομοιόμορφη Στρέψη Η κλασική θεωρία ανομοιόμορφης στρέψης θα αναπτυχθεί σε αντιπαραβολή με τη θεωρία ανομοιόμορφης στρέψης με επιρροή δευτερογενών στρεπτικών παραμορφώσεων. (1) Παραδοχές Ισχύουν οι παραδοχές (3.β.(1)) με εξαίρεση την παραδοχή 4: η ράβδος δεν απαιτείται να είναι διπλά συμμετρική. () Μετατοπίσεις, Παραμορφώσεις, άσεις Για τις μετατοπίσεις ισχύουν οι σχέσεις (3.1) σε συνδυασμό με την (3..β). Για τις παραμορφώσεις και τις τάσεις ισχύουν οι σχέσεις (3.6) και (3.7) αντίστοιχα, αλλά μόνο το πρωτογενές σκέλος (και αντί για Φ ( y, z) γίνεται χρήση του Φ ( y, z) ). Αντικαθιστώντας τις πρωτογενείς τάσεις της σχέσης (3.7) στις εξισώσεις ισορροπίας τάσεων (1.4), αυτές δεν επαληθεύονται για τους άξονες y, z και αυτό αποτελεί ασυνέπεια της θεωρίας. Επίσης κατά τον άξονα x προκύπτει ότι η Φ ( y, z) εξαρτάται κι από το x κάτι το οποίο εξ ορισμού δεν ισχύει. Θεωρούμε ότι οι διατμητικές τάσεις που αναπτύσσονται στη διατομή διασπώνται σε πρωτογενείς και δευτερογενείς που προέρχονται από τη στρέβλωση. Η διάσπαση των τάσεων δικαιολογείται από την ισορροπία των ορθών τάσεων από στρέβλωση σε στοιχειώδες τμήμα της διατομής (Σχ. 3.9). Έτσι, σε ράβδο υποβαλλόμενη σε ανομοιόμορφη στρέψη αναπτύσσονται ορθές τάσεις σ xx οι οποίες είναι ανάλογες με τη στρέβλωση και μεταβάλλονται κατά μήκος της ράβδου (Σχ. 3.9). Εξετάζοντας την τομή Α (Σχ. 3.9.β) παρατηρούμε ότι η στοιχειώδης μεταβολή dσ xx εξισορροπείται μόνο από από διατμητικές τάσεις κατά μήκος της τομής Α και οι οποίες (θεώρημα Cauchy) οδηγούν στην ανάπτυξη δευτερογενών διατμητικών τάσεων στο επίπεδο της διατομής. Ανακεφαλαιώνοντας, οι πρωτογενείς διατμητικές τάσεις προκύπτουν από τη θεωρία t Venant με τη διαφορά ότι η γωνία στροφής ανά μονάδα μήκους δεν είναι σταθερή, οι ορθές τάσεις από στρέβλωση προκύπτουν από τις πρωτογενείς παραμορφώσεις και οι δευτερογενείς διατμητικές τάσεις προκύπτουν από την

35 3. Θεωρίες Στρέψης Στρέβλωσης 30 ισορροπία των διαμήκων ορθών τάσεων στρέβλωσης. Οι τάσεις ξαναγράφονται: Σχ Ορθές (α) και διατμητικές (β) τάσεις, λόγω στρέβλωσης σ xx = E θ ' ' (x) Φ ( y, z) τ xy =G θ ' (x)( Φ ( y,z) y z ) πρωτογενής τ xz =γ xz =G θ ' (x)( Φ ( y, z) z + y ) πρωτογενής G Φ ( y, z) y δευτερογενής G Φ ( y,z) z δευτερογενής (3.48.α) (3.48.β) (3.48.γ) (3) Συνάρτηση Στρέβλωσης Με τον ίδιο τρόπο όπως στο υποκεφάλαιο (3.β.(3). Πρωτογενής Συνάρτηση Στρέβλωσης) για το όριο της διατομής (Σχ. 3.6) αντικαθιστώντας τις τάσεις από τις σχέσεις (3.48) στη σχέση (1.1), όπου το διάνυσμα n είναι το κανονικό εξωστρεφές διάνυσμα του ορίου της διατομής έχουμε κατ' αντίστοιχο τρόπο με τις σχέσεις (3.10): τ xn =G θ ' ( x)( Φ ( y, z) n( y, z) z n ( y, z) y n ( y, z) y z ) G Φ ( y, z) n( y, z) (3.49.α) πρωτογενής τ xt =G θ ' (x)( Φ ( y, z) πρωτογενής t ( y, z) + y n y ( y,z)+z n z ( y, z) ) δευτερογενής G Φ ( y,z) t( y, z) δευτερογενής (3.49.β) Για την πρωτογενή συνάρτηση στρέβλωσης ισχύουν οι σχέσεις (3.11) καθώς το πρωτογενές κομμάτι των τάσεων είναι ίδιο στις δύο θεωρίες. Για τη δευτερογενή συνάρτηση στρέβλωσης η επίλυση δίνεται ως ένα πρόβλημα Neumann στην εξίσωση oisson. Για όλη την επιφάνεια της διατομής: αντικαθιστώντας τις δευτερογενείς διατμητικές τάσεις από τις σχέσεις (3.48) στη σχέση (3.9.β) προκύπτει η σχέση (3.50.α). Για το όριο της διατομής: εξισώνοντας με μηδέν την δευτερογενή διατμητική τάση τ xn =0 από τη σχέση (3.49.α), προκύπτει η σχέση (3.50.β).

36 3. Θεωρίες Στρέψης Στρέβλωσης 31 Φ ( x, y, z)= (α) E θ ' ' ' ( x) Φ G ( y, z) στο (όλη η διατομή) (3.50.α) Φ (x, y,z) =0 στο Γ (όριο διατομής) (3.50.β) n( y, z) Προσδιορισμός Κέντρου Συστροφής και Σταθεράς Μετατόπισης Στην κλασική θεωρία ανομοιόμορφης στρέψης δεν έχουμε διπλά συμμετρική διατομή με αποτέλεσμα το κέντρο συστροφής να μην είναι από την αρχή γνωστό. Σε ένα αυθαίρετο σύστημα συντεταγμένων O y ẕ οι συντεταγμένες του κέντρου συστροφής είναι y, ẕ. Η στρέβλωση σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων είναι Φ 0 ( y, ẕ). Η πρωτογενής κύρια συνάρτηση στρέβλωσης Φ ( y, z) ως προς το σύστημα συντεταγμένων yz, προσδιορίζεται σύμφωνα με το μετασχηματισμό Marguerre[13] με μια στροφή και μια μετατόπιση c της Φ 0 ( y, ẕ) : Φ ( y, z)=φ 0 ( y,ẕ) y ẕ +ẕ y + c (3.51) ο κέντρο συστροφής και ο σταθερός όρος c μπορούν τα προσδιοριστούν ενεργειακά από τη απαίτηση ελαχιστοποίησης του έργου παραμόρφωσης των ορθών τάσεων στρέβλωσης. Μπορούν επίσης να προσδιοριστούν από τις συνθήκες ισορροπίας για τις ορθές τάσεις στρέβλωσης. Θα πρέπει δηλαδή να ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις (στο δεξί σκέλος έχουμε αντικαταστήσει με τις σχέσεις (3.51) και (3.48.α)): όπου A= I y y = R = N = σ xx d=0 y y ẕ ẕ + A c= R M y = σ xx z d=0 I y y y + I y ẕ ẕ + y c= R y M z = σ xx y d=0 I y ẕ y +I ẕ ẕ ẕ ẕ c=rẕ d y = ẕ d ẕ d I ẕ ẕ = y d Φ 0 d R y = ẕ Φ 0 d ẕ= y d I y ẕ = y ẕ d R ẕ = y Φ 0 d (3.5.α) (3.5.β) (3.5.γ) (3.53.α,β,γ) (3.53.δ,ε,στ) (3.53.ζ,η,θ) Από το σύστημα 3 3 των σχέσεων (3.5) προκύπτουν οι συντεταγμένες του κέντρου συστροφής y, ẕ και η σταθερά μετατόπισης c για την κύρια πρωτογενή συνάρτηση στρέβλωσης. Η σταθερά μετατόπισης που συνδέει τη βασική δευτερογενή συνάρτηση στρέβλωσης Φ την κύρια δευτερογενή συνάρτηση στρέβλωσης Φ, αναφερόμενες και οι δύο ως προς το κέντρο συστροφής είναι: Φ =Φ +c (3.54) με προκύπτει από την παρα- Η σχέση αυτή επαληθεύει τις εξισώσεις (3.50) και η σταθερά c κάτω απαίτηση: Φ d=0 και η σχέση (3.54) ξαναγράφεται: ( Φ c )d=0 c = 1 A Φ d (3.55)

37 3. Θεωρίες Στρέψης Στρέβλωσης 3 Φ = Φ 1 A Φ d (3.56) (β) Μετασχηματισμός Συνάρτησης Στρέβλωσης στο yz Σύστημα Ο μετασχηματισμός μεταξύ των δύο συστημάτων O y ẕ και yz γίνεται με τις σχέσεις: y= y y z= ẕ ẕ (3.57.α,β) Η σχέση (3.51) γίνεται: οπότε προκύπτει: Φ ( y, z)=φ 0 ( y,ẕ) ( y+ y ) ẕ +(z+ẕ ) y + c (3.58) Ισχύει: Φ ( y, z)= Φ 0 ( y, ẕ) (3.59) Φ n = Φ y n + Φ y z n = Φ y z y y n + Φ y ẕ ẕ z n z (3.60) Άρα για την Φ 0 ( y, ẕ) αξιοποιώντας τις σχέσεις (3.59) και (3.11.α) προκύπτει η σχέση (3.61.α). Επίσης αντικαθιστώντας τις σχέσεις (3.60), (3.57.α,β) και (3.58) στη συνοριακή συνθήκη Neumann (3.11.β) προκύπτει η σχέση (3.61.β): (γ) Φ 0 ( y, ẕ)=0 στο (3.61.α) Φ 0 ( y, ẕ) n( y, ẕ) =ẕ n y ( y, ẕ) y n z ( y, ẕ) στο Γ (3.61.β) Συνθήκες Ύπαρξης Λύσης για τις Συναρτήσεις Στρέβλωσης Από τη θεωρία των μερικών διαφορικών εξισώσεων, για να έχουν λύση οι σχέσεις (3.11) και (3.50) πρέπει να ισχύει Γ Γ Φ n ds=0 (Φ Φ, ) n ds=0 (3.6.α) (3.6.β), όπου Φ μερική λύση της διαφορικής (3.50.α) [8]. Η λύση καθενός από τα δύο προβλήματα προκύπτει συναρτήσει μιας αυθαίρετης σταθεράς που δεν προσδιορίζεται από τις συνοριακές συνθήκες. Αντικαθιστώντας τη συνοριακή συνθήκη (3.11.β) στη σχέση (3.6.α) έχουμε: Γ Φ n ds= Γ Ο τύπος του Gauss στο επίπεδο είναι: Q z ( (z n y y n z )ds= ( y dy+ z dz) (3.63) Γ y ) dz dy= οπότε για Q= y και =z λαμβάνουμε: Γ (Q dy+ dz) (3.64) ( y dy+z dz)=0 (3.65) Γ Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3.6.α), (3.63) και (3.65) προκύπτει ότι υπάρχει λύση για την πρωτογενή κύρια συνάρτηση στρέβλωσης. ο ίδιο προκύπτει και για τη δευτερογενή συνάρτηση στρέβλωσης με τη σχέση (3.6.β). (δ) Πεδιακές Μετακινήσεις

38 3. Θεωρίες Στρέψης Στρέβλωσης 33 Οι πεδιακές μετακινήσεις διαμορφώνονται σε: [ u(x, y, z) ] =[θ ' (x) Φ ( y, z)+φ ( x, y, z) v(x, z) w (x, y) z θ ( x) y θ ( x) ] (3.66) (4) Εντατικά Μεγέθη, Καθολικές Εξισώσεις Ισορροπίας, Συνοριακές Συνθήκες (α) Εντατικά Μεγέθη Υπολογίζονται όπως στο υποκεφάλαιο (3.β.(4)(α). Εντατικά Μεγέθη) και κατ' αναλογία με τις σχέσεις (3.17): M t =G I t θ ' ( x) M t = E C θ ' ' ' (x) M w = E C θ ' ' ( x) (3.67.α) (3.67.β) (3.67.γ) όπου οι γεωμετρικές σταθερές I t (στρεπτική σταθερά) και C (σταθερά στρέβλωσης) δίνονται από τις σχέσεις (3.18.α) και (3.18.γ) αντίστοιχα. Είναι προφανές ότι για τη θεωρία ανομοιόμορφης στρέψης ισχύει: εξής: dm w dx =M t (3.68) (β) Καθολικές Εξισώσεις Ισορροπίας, Συνοριακές Συνθήκες Η διαφορική εξίσωση ισορροπίας στοιχειώδους τμήματος της ράβδου διατυπώνονται ως M t + M t x dx M +m dx=0 M t t t x = m t (3.69) Εισάγοντας τις σχέσεις (3.67) στη σχέση (3.69) προκύπτει η διαφορική εξίσωση ισορροπίας της δοκού: με οριακές συνθήκες Cauchy: G I t θ ' ' +E C θ ' ' ' '=m t (3.70) α 1 M t +α θ=α 3 β 1 M w + β θ '= β 3 (3.71.α,β) όπου οι συντελεστές α i, β i προκύπτουν από τις συνθήκες στήριξης ενώ M t είναι η στρεπτική ροπή στα άκρα της ράβδου. 1/ Σύγκριση με την Θεωρία Ομοιόμορφης Στρέψης aint Venant Στη θεωρία ομοιόμορφης στρέψης θ ' ' (x)=0 άρα η διαφορική εξίσωση 4ης τάξεως (3.70) και η αντίστοιχη 3ης τάξεως με βάση τις σχέσεις (3.69) και (3.67) γράφονται: m t =0 Μ t =G I t θ ' (x)=σταθερή (3.7.α,β) απ' όπου εξάγεται και η γωνία συστροφής θ ' ( x)=σταθερή. Ορίζεται μέγεθος ε που καλείται συντελεστής στρεπτικής αποσβέσεως: ε=l G I t E C (3.73) Όσο μικρότερη είναι η τιμή του τόσο πιο ανομοιόμορφη είναι η στρέψη. Σύμφωνα με τους Ramm και Hofmann[16]:

39 3. Θεωρίες Στρέψης Στρέβλωσης 34 Για ε 1 αναπτύσσονται κυρίως δευτερογενείς διατμητικές τάσεις και ορθές τάσεις από στρέβλωση (ανομοιόμορφη στρέψη). Για 1<ε 15 αναπτύσσονται πρωτογενείς και δευτερογενείς διατμητικές τάσεις και ορθές τάσεις από στρέβλωση (ανομοιόμορφη στρέψη). Για ε >15 αναπτύσσονται κυρίως πρωτογενείς διατμητικές τάσεις (ομοιόμορφη στρέψη). (5) Αλγόριθμος Επίλυσης Υπολογισμός της πρωτογενούς συνάρτησης στρέβλωσης Φ 0 ( y, ẕ) ως προς αυθαίρετο σύστημα αναφοράς O y ẕ από τις σχέσεις (3.61), μιας και οι συντεταγμένες του κέντρου συστροφής δεν είναι εκ των προτέρων γνωστές. Υπολογισμός ως προς το σύστημα O y ẕ των ολοκληρωμάτων των σχέσεων (3.53). Προσδιορισμός του κέντρου συστροφής ( y, ẕ ) και της σταθεράς μετατόπισης c της πρωτογενούς συνάρτησης στρέβλωσης, από τις σχέσεις (3.5). Μετασχηματισμός του συστήματος O y ẕ στο σύστημα yz με κέντρο το κέντρο συστροφής και υπολογισμός της κύριας πρωτογενούς συνάρτησης στρέβλωσης από τις σχέσεις (3.57.α,β) και (3.58). Υπολογισμός της στρεπτικής σταθεράς I t και της σταθεράς στρέβλωσης C από τις σχέσεις (3.18.α) και (3.18.γ) αντίστοιχα. Υπολογισμός της θ ( x) με επίλυση της διαφορικής εξίσωσης ισορροπίας της ράβδου από τις σχέσεις (3.70) και (3.71.α,β) και υπολογισμός των εντατικών μεγεθών M t, M t, M t και M w από τις σχέσεις (3.67) και (3.15.α). Υπολογισμός της βασικής δευτερογενούς συνάρτησης στρέβλωσης Φ (x, y,z) από την επίλυση των σχέσεων (3.50). Υπολογισμός της κύριας δευτερογενούς συνάρτησης στρέβλωσης Φ (x, y,z) με τη σχέση (3.56). Υπολογισμός του τανυστή των πρωτογενών και δευτερογενών τάσεων, σε κάθε σημείο της δοκού από τις σχέσεις (3.48). Η συνολική διατμητική τάση στο είναι τ xn = (τ xy +τ xy ) +(τ xz +τ xz ). Η διατμητική τάση στο σύνορο Γ δίνεται από τη σχέση (3.49.β). Υπολογισμός των μετατοπίσεων κάθε σημείου της δοκού από τις σχέσεις (3.66).

40 4. Μητρώο Δυσκαμψίας και Επικόμβια Φορτία 3D Δοκού Μητρώο Δυσκαμψίας και Επικόμβια Φορτία 3D Δοκού Σχ Σύμβαση προσήμων (Ισορροπία στοιχειώδους τμήματος της δοκού). Με κόκκινο: άξονας Χ. Με πράσινο: άξονας Υ. Με μπλέ: άξονας Ζ. Με ένα κεφάλι: Δυνάμεις. Με δύο κεφάλια: Ροπές. Με τρία κεφάλια: Δίρροπα Στρέβλωσης ο κλασικό μητρώο δυσκαμψίας 3d δοκού δημιουργείται από τη θεωρία κάμψης Euler Bernoulli και από τη θεωρία στρέψης aint Venant. Αποτελείται από 1 1 στοιχεία. 3 για μεταφορικές παραμορφώσεις και 3 για στροφικές παραμορφώσεις για καθένα από τους κόμβους της δοκού. Εκτός του μητρώου 1 1 υπάρχει και το διευρυμένο που περιλαμβάνει την παραμόρφωση της στρέβλωσης. Η στρέβλωση απαιτεί έναν επιπλέον όρο για κάθε κόμβο δηλαδή συνολικά το μητρώο δυσκαμψίας απαρτίζεται από στοιχεία. Στα επόμενα υποκεφάλαια θα εξαχθούν για κάθε μια από τις προαναφερθείσες θεωρίες κάμψης, διάτμησης, στρέψης και στρέβλωσης οι όροι του μητρώου δυσκαμψίας και του ισοδύναμου διανύσματος επικόμβιων δράσεων. Η κυρίαρχη σχέση της Στατικής Γραμμικά Ελαστικής Ανάλυσης είναι: =[K ] δ 0 (4.1) όπου τα εντατικά μεγέθη στους κόμβους, [ Κ ] το μητρώο δυσκαμψίας, δ οι επικόμβιες μετατοπίσεις και 0 το ισοδύναμο διάνυσμα επικόμβιων δράσεων. Οι όροι του μητρώου δυσκαμψίας προκύπτουν μηδενίζοντας όλες τις επικόμβιες μετατοπίσεις εκτός από μια κάθε φορά που την θέτουμε ίση με ένα. Επίσης η ράβδος δεν καταπονείται από κανένα εξωτερικό φορτίο σε αυτή την φάση. Από τα εντατικά μεγέθη που εμφανίζονται στους κόμβους προκύπτει κάθε φορά, μια στήλη στοιχείων του μητρώου δυσκαμψίας (ή μια σειρά, λόγω συμμετρίας). Δηλαδή ισχύει: 0 = 0 και K i = για κάθε δ i =1 και δ j =0 όπου i=1,,3,..., j i (4.) Οι όροι του ισοδύναμου διανύσματος επικόμβιων δράσεων προκύπτουν μηδενίζοντας όλες τις επικόμβιες μετατοπίσεις. Η ράβδος αυτή τη φορά καταπονείται από τα εξωτερικά της φορτία. α εντατικά μεγέθη που εμφανίζονται στους κόμβους αποτελούν τις επικόμβιες δράσεις. Δηλαδή ισχύει: 0 = και δ= 0 (4.3) Για να μετατραπούν τα εντατικά μεγέθη στους κόμβους που προκύπτουν από τη λύση των διαφορικών εξισώσεων του εκάστοτε προβλήματος σε επικόμβιες ισοδύναμες δράσεις χρησιμοποιείται η σύμβαση προσήμων του (Σχ. 4.1). Οι όροι του διανύσματος ισοδύναμων επικόμβιων δράσεων είναι: 0 =[ 1 X Z 3 M 4 T M 5 M 6 Z M 7 T 8 X 9 Z 10 T M 11 M 1 Z M 13 T M 14 ]T (4.4) Με δείκτη X συμβολίζονται οι αξονικές παραμορφώσεις της δοκού (εφελκυσμός θλίψη). Με