ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΠΟ ΑΠΟΣΤΑΣΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΠΟ ΑΠΟΣΤΑΣΗ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΠΟ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ P-INF-003 : ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ : ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΓΕΝΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΕΥΤΕΡΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ : Σ. ΛΥΚΟΘΑΝΑΣΗΣ ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΗΧ/ΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ Ε. ΓΕΩΡΓΟΠΟΥΛΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ - ΠΑΤΡΑ

2 1. ΥΝΑΤΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΩΝ ΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΕΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Σκοπός Στο πρώτο κεφάλαιο, έγινε πρώτα µία σύντοµη αναφορά στις τεχνολογίες της Τεχνητής Νοηµοσύνης (Τ.Ν.) και ακολούθησε σύντοµη εισαγωγή στα Νευρωνικά ίκτυα (Ν..) και στους Γενετικούς Αλγορίθµους (Γ.Α.). Στόχος αυτού του κεφαλαίου ήταν η σύνδεση των Ν.. και των Γ.Α. µε την Τ.Ν. από την οποία προήλθαν. Σε αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούµε µε την εξέλιξη των Ν.. και τις γνωστές αρχιτεκτονικές που χρησιµοποιούνται. Πρώτα θα γίνει µια σύντοµη ιστορική αναδροµή και θα ακολουθήσει η παρουσίαση του µαθηµατικού µοντέλου του τεχνητού νευρώνα. Στη συνέχεια θα παρουσιαστούν οι διάφορες κατηγορίες νευρωνικών δικτύων σε σχέση µε την αρχιτεκτονική τους και τη λειτουργία που εκτελούν. Σκοπός αυτού του κεφαλαίου είναι να παρέχει όλη την απαραίτητη πληροφορία, έτσι ώστε ο αναγνώστης να είναι έτοιµος για τη µελέτη των αλγορίθµων εκπαίδευσης των Νευρωνικών ικτύων. Προσδοκώµενα Αποτελέσµατα: Όταν θα έχετε τελειώσει τη µελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα µπορείτε να: κάνετε µια σύντοµη ιστορική αναδροµή της εξέλιξης των Ν.., δώσετε το µοντέλο του τεχνητού νευρώνα, να παρουσιάσετε τις βασικές αρχιτεκτονικές των Ν... Έννοιες Κλειδιά: µοντέλο τεχνητού νευρώνα συνάρτηση ενεργοποίησης αρχιτεκτονική Ν.. δίκτυα ενός επιπέδου

3 δίκτυα πολλών επιπέδων αναδροµικά δίκτυα δίκτυα Hopfied Εισαγωγικές Παρατηρήσεις: Όπως έχουµε ήδη αναφέρει τα Νευρωνικά ίκτυα (Ν..) αποτελούν µια προσπάθεια προσέγγισης της λειτουργίας του ανθρώπινου εγκεφάλου από µια µηχανή. Έχουν την ικανότητα να εκτελούν υπολογισµούς µε µαζικό παράλληλο τρόπο. Η αρχιτεκτονική τους βασίζεται στην αρχιτεκτονική των Βιολογικών Νευρωνικών ικτύων. Αυτές οι ιδέες αν και ήταν γνωστές από την αρχή του αιώνα, άρχισαν να υλοποιούνται στα µέσα της δεκαετίας του 1940, όταν πρωτοπαρουσιάστηκε το µαθηµατικό µοντέλο του νευρώνα το οποίο εξοµοίωνε την λειτουργία του βιολογικού νευρώνα. Στη συνέχεια µε την εµφάνιση των πρώτων υπολογιστών έγινε η πρώτη προσπάθεια υλοποίησής τους. Μεγάλη ώθηση της εφαρµογής τους έδωσε η εµφάνιση των ψηφιακών υπολογιστών. Τότε άρχισε η ευρεία υλοποίησή τους, τόσο µε λογισµικό όσο και µε υλικό. Έτσι, τα απλά δίκτυα ενός επιπέδου εξελίχτηκαν σε δίκτυα πολλών επιπέδων. Παράλληλα παρουσιάστηκε στην διεθνή βιβλιογραφία µια µεγάλη ποικιλία αλγορίθµων εκπαίδευσης και εφαρµογών τους στην επίλυση πρακτικών προβληµάτων. 2.1 Ιστορική αναδροµή Η µοντέρνα περίοδος των νευρωνικών δικτύων λέγεται [1] ότι άρχισε µε την πρωτοποριακή δουλειά των McCulloch και Pitts (1943). Ο πρώτος ήταν ψυχίατρος και ο δεύτερος µεγαλοφυής µαθηµατικός. Σύµφωνα µε τον Rall (1990) η κλασσική εργασία των McCulloch και Pitts έγινε µέσα σε µια κοινωνία που ασχολούνταν µε τους νευρώνες στο πανεπιστήµιο του Σικάγο, για πάνω από 5 χρόνια. Αυτή η εργασία περιέγραφε το λογικό λογισµό των νευρωνικών δικτύων. Είναι αξιοσηµείωτο το ότι ο von Neumann χρησιµοποίησε ιδεατά στοιχεία καθυστέρησης τα οποία είχαν υπολογιστεί από τα ιδεατά στοιχεία νευρώνων των McCulloch και Pitts, για την κατασκευή του EDVAC ( Electronic Discrete Variable Automatic Computer), ο οποίος κατάληξε στον ENIAC, τον πρώτο γενικού σκοπού υπολογιστή. Η επόµενη µεγάλη ανάπτυξη πάνω στα νευρωνικά δίκτυα, ήρθε το 1949 µε την

4 έκδοση του βιβλίου του Hebb µε τίτλο The Organization of Behavior, στο οποίο έγινε για πρώτη φορά µια ιδιαίτερη δήλωση ενός φυσιολογικού κανόνα µάθησης για συναπτικές τροποποιήσεις. Πιο συγκεκριµένα ο Hebb πρότεινε ότι η συνδετικότητα του εγκεφάλου συνεχώς αλλάζει καθώς ο οργανισµός µαθαίνει διάφορες εργασίες, και ότι οι νευρωνικοί συγκεντρωτές δηµιουργούνται από τέτοιες αλλαγές. Επίσης πρότεινε το διάσηµο αίτηµα µάθησης σύµφωνα µε το οποίο η αποτελεσµατικότητα µιας σύναψης µεταβλητής ανάµεσα σε δύο νευρώνες αυξάνεται από την επαναλαµβανόµενη ενεργοποίηση του ενός νευρώνα από τον άλλο κατά µήκος της σύναψης. Η αναφορά των Rochester, Holland, Habit και Duda (1956) είναι ίσως η πρώτη προσπάθεια για χρήση υπολογιστή που χρησιµοποιεί την εξοµοίωση, για να ελεγχθεί µια καλά σχηµατισµένη νευρωνική θεωρία βασισµένη στο αίτηµα µάθησης του Hebb. Η εξοµοίωση έδειξε ότι χρειαζόταν να προστεθεί παρεµπόδιση ώστε η θεωρία να δουλέψει πραγµατικά. Τον ίδιο χρόνο ο Uttley παρουσίασε την αποκαλούµενη διαρρέουσα ολοκλήρωση ή νευρώνας φωτιάς που αργότερα αναλύθηκε από τον Caianielo. To 1952 εκδόθηκε το βιβλίο του Ashby µε τίτλο Design for a brain: The Origin of Adaptive Behavior, το οποίο ασχολήθηκε µε την βασική έννοια ότι η προσαρµοζόµενη συµπεριφορά δεν είναι έµφυτη αλλά µαθαίνεται. Το 1954 ο Minsky έγραψε τη διδακτορική του διατριβή µε τίτλο Theory of Neural-Analog Reinforcement Systems and Its Application to the Brain-Model Problem και το 1961 ο ίδιος έγραψε µια εργασία µε τίτλο Steps Toward Artificial Intelligence. Επίσης το 1954 η ιδέα των µη γραµµικών προσαρµοζόµενων φίλτρων προτάθηκε από τον Gabor (πρωτοπόρος της θεωρίας επικοινωνιών και εφευρέτης του ολογραφήµατος), ο οποίος υλοποίησε µια τέτοια µηχανή στην οποία η µάθηση επιτυγχανόταν µε τροφοδότηση δειγµάτων στοχαστικών διαδικασιών στη µηχανή, µαζί µε τη συνάρτηση-στόχο, την οποία ήταν αναµενόµενο να παράγει η µηχανή. Ένα θέµα ιδιαίτερου ενδιαφέροντος για τα νευρωνικά δίκτυα είναι αυτό της σχεδίασης ενός αξιόπιστου δικτύου µε νευρώνες που µπορούν να θεωρηθούν σαν µη αξιόπιστα στοιχεία. Αυτό το σηµαντικό πρόβληµα λύθηκε από τον von Neumann (1956) χρησιµοποιώντας την ιδέα του πλεονασµού. 15 χρόνια µετά την έκδοση της εργασίας των McCulloch και Pitts, µια νέα προσέγγιση πάνω στο πρόβληµα της αναγνώρισης προτύπων έγινε από τον Rosenblatt (1958) στην εργασία του πάνω στο αισθητήριο (perceptron). Το ιδιαίτερο επίτευγµα του ήταν το αποκαλούµενο θεώρηµα

5 σύγκλισης αισθητηρίου (perceptron convergence theorem). Το 1960 οι Widrow και Hoff πρότειναν τον αλγόριθµο ελάχιστου µέσου τετραγώνου (least mean-square-lms) και τον χρησιµοποίησαν για να σχηµατίσουν τo Adaline (adaptive linear element). Η διαφορά ανάµεσα στο αισθητήριο και στο Adaline βρίσκεται στον τρόπο µάθησης. Ένα από τα από τα πρόσφατα εκπαιδεύσιµα νευρωνικά δίκτυα µε πολλαπλά στοιχεία είναι η δοµή Madaline (Widrow). Κατά την διάρκεια της κλασσικής περιόδου του perceptron ( 60) πιστευόταν ότι τα νευρωνικά δίκτυα µπορούσαν να κάνουν τα πάντα. Αλλά τότε εκδόθηκε το βιβλίο των Minsky και Papert που µε τη βοήθεια των µαθηµατικών απέδειξε ότι υπάρχουν όρια πάνω στο τι µπορεί να υπολογιστεί από τα αισθητήρια. Ένα σηµαντικό πρόβληµα πάνω στη σχεδίαση ενός πολυεπίπεδου αισθητηρίου είναι το πρόβληµα της ανάθεσης εµπιστοσύνης (credit assignment problem), το οποίο βρήκε την λύση του µόλις την δεκαετία του Κατά την δεκαετία του 70 λόγω των προβληµάτων εγκαταλείφτηκε το ενδιαφέρον πάνω στα νευρωνικά δίκτυα. Μια σηµαντική ενέργεια την δεκαετία αυτή ήταν οι χάρτες αυτοοργάνωσης µε ανταγωνιστική µάθηση. Το 1980 έγιναν πολλές εργασίες πάνω στην θεωρία αλλά και στον σχεδιασµό των νευρωνικών δικτύων. Ο Grossberg (1980) ανέπτυξε µια καινούργια αρχή αυτοοργάνωσης που συνδυάζει φιλτράρισµα από κάτω προς τα πάνω και αντίθετη αύξηση σε µικρή µνήµη µε από πάνω προς τα κάτω ταίριασµα προτύπων και σταθεροποίηση του κώδικα µάθησης. εδοµένης µιας τέτοιας ικανότητας, και αν το πρότυπο εισόδου ταιριάζει µε την ανάδραση µάθησης, λαµβάνει χώρα µία δυναµική κατάσταση που καλείται adaptive resonance. Αυτό το φαινόµενο δίνει την βάση για µια νέα κατηγορία νευρωνικών δικτύων γνωστά σαν adaptive resonance theory (ART). Το 1982 ο Hopfield χρησιµοποίησε την ιδέα µια συνάρτησης ενέργειας για να φτιάξει ένα νέο τρόπο κατανόησης του υπολογισµού που γίνεται από τα δίκτυα µε συµµετρικές συναπτικές συνδέσεις. Επιπλέον καθιέρωσε τον ισοµορφισµό ανάµεσα σε τέτοια περιοδικά δίκτυα και σε ένα Ising µοντέλο που χρησιµοποιείται στην στατιστική. Αυτή η αναλογία άνοιξε τον δρόµο για ένα κατακλυσµό θεωριών για τα νευρωνικά δίκτυα. Αυτή η συγκεκριµένη τάξη νευρωνικών δικτύων µε ανατροφοδότηση έτυχε ιδιαίτερης προσοχής κατά τη δεκαετία του 80 και µε το χρόνο έγιναν γνωστά σαν δίκτυα Hopfield. Το 1983 οι Cohen και Grossberg έδωσαν µια νέα αρχή για σχεδίαση µιας διευθυνσιοδοτούµενης µνήµης (content-addressable memory) που περιλαµβάνει την

6 έκδοση συνεχούς χρόνου του δικτύου Hopfield σαν µια ιδιαίτερη περίπτωση. Μια ακόµα σηµαντική ανάπτυξη το 1982 ήταν η έκδοση της εργασίας του Kohonen πάνω στους χάρτες αυτοοργάνωσης, χρησιµοποιώντας µιας ή δύο διαστάσεων δικτυωτές δοµές. Το 1983 οι Kirkpatrick, Gallat και Vecchi περιέγραψαν µια νέα διαδικασία που λέγεται εξοµοιωµένη ανόπτηση για λύση προβληµάτων συνδυαστικής βελτιστοποίησης. Η εξοµοιωµένη ανόπτηση χρησιµοποιείται στην στατιστική θερµοδυναµική και βασίζεται σε µια απλή τεχνική. Την ίδια χρονιά εκδόθηκε µια εργασία από τους Burto, Sutton και Anderson πάνω στην ενισχυµένη µάθηση, η οποία δηµιούργησε µεγάλο ενδιαφέρων πάνω στην ενισχυµένη µάθηση και την εφαρµογή της. Το 1984 ο Braitenberg εξέδωσε ένα βιβλίο µε τίτλο Vehicles: Experiments in Synthetic Psychology το οποίο περιγράφει διάφορες µηχανές µε απλή εσωτερική αρχιτεκτονική, και το οποίο ενσωµατώνει µερικές σηµαντικές αρχές της αυτοοργανούµενης απόδοσης. Το 1986 η ανάπτυξη του αλγορίθµου για πίσω διάδοση (back-propagation algorithm) παρουσιάστηκε για πρώτη φορά από τον Rumelhart. Αυτός ο αλγόριθµος έγινε πολύ δηµοφιλής και έδωσε νέα ώθηση στις εφαρµογές των νευρωνικών δικτύων. Το 1988 ο Linsker περιέγραψε µια νέα αρχή για την αυτοοργάνωση σε ένα δίκτυο αισθητηρίων (perceptrons). Η αρχή αυτή σχεδιάστηκε ώστε να διατηρεί µέγιστη πληροφορία σχετικά µε την µε τα πρότυπα ενεργειών, που υπόκεινται σε περιορισµούς όπως συναπτικές συνδέσεις και δυναµικές περιοχές σύναψης. Ο Linsker χρησιµοποίησε αφηρηµένες έννοιες πάνω στη θεωρία πληροφοριών ώστε να σχηµατίσει τη αρχή της διατήρησης µέγιστης πληροφορίας. Επίσης το 1988 οι Broomhead και Lowe περιέγραψαν µία διαδικασία για το σχεδιασµό προς τα εµπρός τροφοδότησης (feedforward) δικτύων χρησιµοποιώντας συναρτήσεις ακτινικής βάσης (Radial Basis Functions - RBF), που είναι µια παραλλαγή των πολυεπίπεδων αισθητηρίων. Το 1989 εκδόθηκε το βιβλίο του Mead µε τίτλο VLSI and Neural Systems. Αυτό το βιβλίο δίνει µια ασυνήθιστη µίξη περιεχοµένων από την νευροβιολογία και την τεχνολογία VLSI. Ίσως περισσότερο από κάθε άλλη έκδοση, η εργασία του Hopfield (1982) και το δίτοµο βιβλίο των Rummelhart και McLelland (1986), να ήταν οι πιο σηµαίνουσες εκδόσεις υπεύθυνες για την αναζωογόνηση του ενδιαφέροντος για τα νευρωνικά δίκτυα στην δεκαετία του 80. Τα νευρωνικά δίκτυα έχουν σίγουρα διανύσει πολύ δρόµο από την εποχή των McCulloch και Pitts. Πραγµατικά έχουν εγκαθιδρυθεί σαν ενδοπειθαρχικό αντικείµενο

7 µε βαθιές ρίζες στην επιστήµη των νευρώνων, στην ψυχολογία, στα µαθηµατικά, στις φυσικές επιστήµες και στην µηχανική. εν είναι αναγκαίο να πούµε ότι είναι εδώ για να µείνουν και θα συνεχίσουν να αναπτύσσονται σε θεωρία, σχεδιασµό και εφαρµογές. ραστηριότητα 2.1 / 1: Ποία ήταν κατά τη γνώµη σας τα ορόσηµα στην εξέλιξη των Τεχνητών Νευρωνικών ικτύων; Να γράψετε µία αναφορά, 2-3 σελίδες. Υπόδειξη: Αφού µελετήσετε καλά την ενότητα 2.1, να ανατρέξετε στη σχετική βιβλιογραφία. 2.2 Το µοντέλο του τεχνητού νευρώνα Ένας νευρώνας είναι µια µονάδα επεξεργασίας πληροφορίας, που είναι θεµελιακή για την λειτουργία ενός νευρωνικού δικτύου. Το σχήµα 1 δείχνει το µοντέλο ενός νευρώνα. Τα τρία βασικά στοιχεία αυτού του µοντέλου είναι : 1. Ένα σύνολο από συνάψεις ή συνδετικούς κρίκους, κάθε µια από τις οποίες χαρακτηρίζεται από ένα βάρος ή δύναµη. Συγκεκριµένα, ένα σήµα x j στην είσοδο της σύναψης j που συνδέεται στον νευρώνα k, πολλαπλασιάζεται µε το συναπτικό βάρος w kj. Το βάρος w kj είναι θετικό αν η σύναψη είναι διεγερτική (δηλαδή ωθεί τον νευρώνα να αποκριθεί στη διέγερση) και αρνητικό αν σύναψη είναι απαγορευτική (δηλαδή αποτρέπει την νευρώνα να παράγει µια απόκριση). 2. Έναν αθροιστή για την πρόσθεση των σηµάτων εισόδου, που παίρνουν βάρος από την αντίστοιχη σύναψη. Αυτές οι λειτουργίες αποτελούν το γραµµικό συνδυαστή. 3. Μια συνάρτηση ενεργοποίησης για τη µείωση του εύρους της εξόδου του νευρώνα.

8 Σχήµα 1: Το µη-γραµµικό µοντέλο ενός τεχνητού νευρώνα. Το µοντέλο επίσης περιλαµβάνει ένα εξωτερικά εφαρµοζόµενο κατώφλι θ κ, που έχει επίδραση στην ελάττωση της εισόδου στην εφαρµοζόµενη συνάρτηση ενεργοποίησης, που ακολουθεί. Στην βιβλιογραφία, το κατώφλι αναφέρεται και σαν πόλωση (bias). Με µαθηµατικούς όρους, ένας νευρώνας k περιγράφεται από τις παρακάτω εξισώσεις: u = p w x k kj j j= 1 (1) y = φ( u ϑ ) (2) k k k όπου x j είναι τα σήµατα εισόδου και τα w kj είναι τα synaptic βάρη του k. Το u k είναι η γραµµική συνδυαστική έξοδος του νευρώνα, θ k είναι το κατώφλι, φ(.) είναι η συνάρτηση ενεργοποίησης και y k είναι το σήµα εξόδου του νευρώνα, που αναφέρεται και σαν πραγµατική έξοδος. Η χρήση του κατωφλίου θ κ έχει σαν αποτέλεσµα την εφαρµογή ενός εγγενούς (affine) µετασχηµατισµού της εξόδου u κ του γραµµικού συνδυαστή του σχήµατος 1, όπως φαίνεται από την παρακάτω σχέση: υ = u ϑ (3) k k k Η έξοδος u κ, ανάλογα µε το θ κ αν είναι θετικό ή αρνητικό µεταβάλλεται όπως φαίνεται στο σχήµα 2.

9 Σχηµα 2: Εγγενής µετασχηµατισµός που παράγεται από την παρουσία κατωφλίου. Το κατώφλι θ κ είναι εξωτερική παράµετρος του νευρώνα k. Έτσι µπορούµε να διαµορφώσουµε το συνδυασµό των εξισώσεων (1), (2) ως εξής: p υ k = wkjx j (4) j = 0 και y k = φ( υ k ) (5) Στην εξίσωση (4) έχουµε προσθέσει µια νέα σύναψη, της οποίας η είσοδος είναι και της οποίας το βάρος είναι: x 0 = 1 (6) w k0 = ϑ k (7) Έτσι µπορούµε να αναδιαµορφώσουµε το µοντέλο του νευρώνα k, όπως φαίνεται στα σχήµατα 3a και 3b που είναι ισοδύναµα µε το σχήµα 1.

10 Σχήµα 3: ύο άλλα µη-γραµµικά µοντέλα ενός νευρώνα. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 2.2 /1: Η χρήση κατωφλίου στο µοντέλο του τεχνητού νευρώνα χρησιµοποιείται για: 1. να επιβληθεί µια εξωτερική έξοδος στο νευρώνα, 2. να γραµµικοποιήσει την έξοδο του νευρώνα, 3. να ελαττώσει την είσοδο στη συνάρτηση ενεργοποίησης, 4. να µετασχηµατίσει την γραµµική έξοδο του νευρώνα, 5. τα 2 και 3, 6. τα 3 και 4. Απάντηση: Η σωστή απάντηση είναι η 6.

11 2.2.1 Τύποι συναρτήσεων ενεργοποίησης Η συνάρτηση ενεργοποίησης φ(. ), ορίζει την έξοδο ενός νευρώνα συναρτήσει του επιπέδου ενεργοποίησης της εισόδου. Έχουµε 3 βασικούς τύπους συναρτήσεων ενεργοποίησης. 1.Συνάρτηση Κατωφλιού. Για αυτόν τον τύπο συνάρτησης ενεργοποίησης, που περιγράφεται στο σχήµα 4a, έχουµε: 1, υ 0 φ ( υ) = (8) 0, υ < 0 Εποµένως η έξοδος ενός νευρώνα k, που έχει την παραπάνω συνάρτηση ενεργοποίησης, έχει τη µορφή: y k 1, υ k 0 = (9) 0, υ k < 0 όπου υ κ είναι το εσωτερικό επίπεδο ενεργοποίησης του νευρώνα και δίνεται από τη σχέση: p υ = w x ϑ (10) k j = 0 kj j k 2.Τµηµατικά Γραµµική Συνάρτηση. Για την τµηµατικά γραµµική συνάρτηση, που περιγράφεται στο σχήµα 4b, έχουµε: 1, υ 1 2 φ ( υ) = υ,1 2 > υ > 1 2 (10) 0, υ 1 2 Αυτή η µορφή συνάρτησης ενεργοποίησης µπορεί να θεωρηθεί σαν µια προσέγγιση ενός µη-γραµµικού ενισχυτή. 4. Σιγµοειδής. Είναι η πιο συνηθισµένη µορφή συνάρτησης ενεργοποίησης που χρησιµοποιείται στην κατασκευή τεχνητών νευρωνικών δικτύων Ορίζεται σαν αυστηρά αύξουσα συνάρτηση, η οποία παρουσιάζει εξοµάλυνση και ασυµπτωτικές ιδιότητες. Ένα παράδειγµα είναι η λογιστική συνάρτηση, που ορίζεται από τη σχέση:

12 φυ ( ) = exp( αυ) (11) Μεταβάλλοντας την παράµετρο α παίρνουµε διαφορετικές συναρτήσεις, όπως φαίνεται στο σχήµα 4c. Οι προηγούµενες συναρτήσεις ενεργοποίησης κυµαίνονται από 0 ως +1. Αν θέλουµε συνάρτηση που να κυµαίνεται από -1 ως +1, επαναπροσδιορίζουµε την συνάρτηση κατωφλιού ως: 1, υ > 0 φυ ( ) 0, υ = 0 (12) 1, υ < 0 που ονοµάζεται συνάρτηση προσήµου (signum) και συµβολίζεται σαν sgn(.).

13 Σχήµα 4: (α) Συνάρτηση καωφλίου, (b) Τµηµατικά γραµµική συνάρτηση, (c)σιγµοειδής συνάρτηση. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 2.2 /2: Στη λογιστική συνάρτηση, η παράµετρος α χρησιµοποιείται για: 1. να κάνει τη συνάρτηση αυστηρά αύξουσα, 2. να παίρνουµε συναρτήσεις µε διαφορετικές κλίσεις, 3. να εξοµαλύνουµε τη συνάρτηση, 4. να δίνει ασυµπτωτικές ιδιότητες στη συνάρτηση.

14 Απάντηση: Η σωστή απάντηση είναι η 2, όπως φαίνεται και στο σχήµα 4b. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 2.2 /3: Μια περιττή (odd) σιγµοειδής συνάρτηση είναι το αλγεβρικό σιγµοειδές, το οποίο δίνεται από τη σχέση: υ ϕ( υ) = 2 1+ υ της οποίας οι οριακές τιµές είναι 1 και +1. Να δείξετε ότι η παράγωγος της φ(υ) ως προς υ, δίνεται από τη σχέση: 3 dϕ ϕ ( υ) = 3 dυ υ Ποία είναι η τιµή αυτής της παραγώγου στην αρχή; Απάντηση: Για τον υπολογισµό της παραγώγου, να χρησιµοποιήσετε τον κανόνα παραγώγισης συνθέτων συναρτήσεων. Επίσης είναι φ (0)=1. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 2.2 /4: Ένας νευρώνας j δέχεται εισόδους από τέσσερις άλλους νευρώνες, των οποίων τα επίπεδα ενεργοποίησης είναι 10, -20, 4 και 2. Τα αντίστοιχα συναπτικά βάρη του νευρώνα j είναι 0.8, 0.2, -1.0 και 0.9. Να υπολογίσετε την έξοδο του νευρώνα j, για τις επόµενες δύο καταστάσεις: (α) Ο νευρώνας είναι γραµµικός. (β) Ο νευρώνας παριστάνεται από το µοντέλο McCulloch-Pitts. Να υποθέσετε ότι το κατώφλι που εφαρµόζεται στο νευρώνα είναι µηδενικό. Απάντηση: Από τη σχέση (1), για p=4, υπολογίζεται το επίπεδο ενεργοποίησης υ j =1.8. Άρα είναι: (α) από την (4), y j =1.8 και (β) από την (5), y j = Θεωρώντας τα Ν.. σαν κατευθυνόµενους γράφους την Απλοποιούµε εδώ την εµφάνιση των µοντέλων των νευρώνων, χρησιµοποιώντας ιδέα των γράφων ροής σηµάτων, χωρίς να θυσιάζουµε τίποτα από τις

15 λειτουργικές λεπτοµέρειες του µοντέλου. Ένας γράφος ροής σηµάτων, είναι ένα δίκτυο µε κατευθυνόµενα κλαδιά, που συνδέονται σε συγκεκριµένα σηµεία τους κόµβους. Ένας τυπικός κόµβος j σχετίζεται µε ένα σήµα κόµβου x j Ακολουθούνται 3 βασικοί κανόνες: ΚΑΝΟΝΑΣ 1. Ένα σήµα ρέει κατά µήκος της σύνδεσης µόνο στην κατεύθυνση που ορίζεται από το βέλος. Υπάρχουν 2 τύποι σύνδεσης: 1. Συναπτικές συνδέσεις, όπου το σήµα x j πολλαπλασιάζεται µε το βάρος w κj για να παράγει το σήµα y κ, όπως φαίνεται στο σχήµα 5a. 2. Συνδέσεις ενεργοποίησης, που περιγράφει µια συνάρτηση φ(. ), που δεν είναι γραµµική και φαίνεται στο σχήµα 5b. Σχήµα 5: Βασικοί κανόνες για κατασκευή διαγραµµάτων ροής σήµατος. ΚΑΝΟΝΑΣ 2. Το σήµα κόµβου, ισούται µε το αλγεβρικό άθροισµα όλων των σηµάτων που φτάνουν στον κόµβο, σχήµα 5c.

16 ΚΑΝΟΝΑΣ 3. Το σήµα σε έναν κόµβο µεταβιβάζεται σε κάθε εξερχόµενη σύνδεση που ξεκινά από αυτόν, µε την µεταβίβαση να είναι ανεξάρτητη από τις συναρτήσεις µεταφοράς των εξερχόµενων συνδέσεων, σχήµα 5d. Στο σχήµα 6 περιγράφεται το διάγραµµα του σχήµατος 3a. Σχήµα 6: Γράφος ρόης σήµατος ενός νευρώνα. Μπορούµε τώρα να αναφέρουµε τους παρακάτω µαθηµατικούς ορισµούς ενός νευρωνικού δικτύου : Ένα νευρωνικό δίκτυο είναι ένας κατευθυνόµενος γράφος, που αποτελείται από κόµβους µε συναπτικές διασυνδέσεις και συνδέσεις ενεργοποίησης και χαρακτηρίζονται από τις ακόλουθες ιδιότητες : Κάθε νευρώνας, παριστάνεται από ένα σύνολο γραµµικών συναπτικών συνδέσεων, ένα εξωτερικά εφαρµοζόµενο κατώφλι και µια µη-γραµµική σύνδεση ενεργοποίησης. Το κατώφλι παριστάνεται από συναπτικές συνδέσεις µε σήµα εισόδου σταθερής τιµής -1. Οι συναπτικές συνδέσεις ενός νευρώνα ζυγίζουν τα αντίστοιχα σήµατα εισόδου. Το άθροισµα των βαρών των σηµάτων εισόδου καθορίζει το συνολικό εσωτερικό επίπεδο ενεργοποίησης του νευρώνα που ζητείται. Η σύνδεση ενεργοποίησης συνθλίβει (περιορίζει) το εσωτερικό επίπεδο ενεργοποίησης, για την παραγωγή της εξόδου που παριστάνει την κατάσταση του νευρώνα.

17 Υπάρχουν όµως και µερικώς ολοκληρωµένοι κατευθυνόµενοι γράφοι που είναι γνωστοί σαν αρχιτεκτονικοί γράφοι. Ένας τέτοιος γράφος παριστάνεται στο παρακάτω σχήµα 7. Σχήµα 7: Αρχιτεκτονικός γράφος ενός νευρώνα. Πρέπει να σηµειωθεί ότι, τόσο στους κατευθυνόµενους όσο και τους αρχιτεκτονικούς γράφους, οι κόµβοι που παριστάνονται µε τετράγωνο, δεν πραγµατοποιούν καµία λειτουργία. Χρησιµοποιούνται απλώς για το πέρασµα των εισόδων στο δίκτυο. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 2.2 /5: Οι συναπτικές συνδέσεις διαφέρουν από τις συναρτήσεις ενεργοποίησης στο ότι: 1. δεν επιτρέπουν καµία λειτουργία, 2. ζυγίζουν τα αντίστοιχα σήµατα εισόδου, ενώ οι συνδέσεις ενεργοποίησης συνθλίβουν το εσωτερικό επίπεδο ενεργοποίησης, 3. δεν παράγουν έξοδο. Απάντηση: η σωστή απάντηση είναι η Αρχιτεκτονικές των Νευρωνικών ικτύων Ο τρόπος µε τον οποίο οι νευρώνες ενός νευρωνικού δικτύου δοµούνται, είναι στενά συνδεδεµένος µε τον αλγόριθµο εκµάθησης που χρησιµοποιείται για την εκπαίδευση του δικτύου. Σαν εµπρός τροφοδότησης, αναφέρονται τα δίκτυα, στα οποία τα σήµατα κατευθύνονται από την είσοδο στην έξοδο. Όταν οι έξοδοι κάποιων νευρώνων, γίνονται είσοδοι σε νευρώνες προηγούµενων επιπέδων (προς το µέρος της εισόδου του δικτύου), τότε έχουµε ανάδραση.

18 Μπορούµε να διακρίνουµε 4 διαφορετικές κλάσεις αρχιτεκτονικών δοµών: Ενός-επιπέδου Εµπρός-Τροφοδότησης ίκτυα. Σε ένα τέτοιο δίκτυο, οι νευρώνες είναι οργανωµένοι σε µορφή επιπέδων. Οι νευρώνες του πηγαίου επιπέδου δείχνουν στους νευρώνες του επόµενου επιπέδου αλλά όχι αντίστροφα, όπως στο Σχήµα 8. Σχήµα 8: Εµπρός-Τροφοδότησης δίκτυο µε ένα επίπεδο νευρώνων. Πολλαπλών-Επιπέδων Εµπρός-Τροφοδότησης ίκτυα. Εδώ έχουµε περισσότερα του ενός κρυφά επίπεδα, των οποίων οι κόµβοι υπολογισµού ονοµάζονται κρυφοί νευρώνες. Τυπικά, οι νευρώνες σε κάθε επίπεδο έχουν σαν εισόδους τα σήµατα εξόδου του προηγούµενου µόνο επιπέδου. Στο σχήµα 9 έχουµε ένα πλήρως συνδεδεµένο νευρωνικό δίκτυο, µε την έννοια ότι κάθε κόµβος συνδέεται µε όλους τους κόµβους του αµέσως επόµενου επιπέδου.

19 Σχήµα 9: Πλήρως συνδεδεµένο δίκτυο εµπρός-τροφοδότησης µε ένα κρυφό επίπεδο και ένα επίπεδο εξόδου. Ένα τέτοιο δίκτυο περιγράφεται συνοπτικά µε το συµβολισµό Αυτός ο συµβολισµός σηµαίνει ότι το Ν.. έχει δέκα εισόδους, ένα κρυφό επίπεδο µε τέσσερις νευρώνες (κόµβους) και το επίπεδο εξόδου έχει δύο νευρώνες ή κόµβους. Γενικά, ένα πολυεπίπεδο δίκτυο εµπρός τροφοδότησης µε p εισόδους, m κρυφά επίπεδα µε h j, j=1,,m κόµβους ανά επίπεδο και n κόµβους εξόδου, συµβολίζεται σαν: p-h 1,h 2, h m -n. Αντίθετα στο σχήµα 10 έχουµε ένα µερικώς συνδεδεµένο νευρωνικό δίκτυο.

20 Σχήµα 10: Μερικώς συνδεδεµένο δίκτυο εµπρός-τροφοδότησης. Αναδροµικά ίκτυα. Η διαφορά µε τα ίκτυα Επανατροφοδότησης είναι ότι έχει ένα τουλάχιστον βρόχο ανάδρασης. Στα σχήµατα 11 και 12 φαίνονται δύο αναδροµικά δίκτυα το πρώτο χωρίς και το δεύτερο µε κρυφούς νευρώνες.

21 Σχήµα 11: Αναδροµικό δίκτυο χωρίς ανατροφοδότηση και χωρίς κρυφούς νευρώνες. Το δίκτυο του σχήµατος 11 λέγεται και δίκτυο Hopfield. Είναι µια µη-γραµµική συσχετιστική µνήµη ή µνήµη διευθυνσιοδοτούµενη από τα περιεχόµενα. Η κύρια λειτουργία µιας τέτοιας µνήµης είναι η ανάκτηση ενός προτύπου, που έχει αποθηκευθεί σε αυτήν, σαν απόκριση σε µια ελλιπή ή θορυβώδη έκδοση αυτού του προτύπου. Σχήµα 12: Αναδροµικό δίκτυο µε κρυφούς νευρώνες.

22 ικτυωτές οµές. Ένα πλέγµα, αποτελείται από έναν πίνακα µιας, δύο ή µεγαλύτερης διάστασης από νευρώνες, µε ένα αντίστοιχο σύνολο από πηγαίους κόµβους, που παρέχουν τα σήµατα εισόδου στον πίνακα, όπως φαίνεται στο Σχήµα 13. Σχήµα 13: (a) Μονοδιάστατο πλέγµα µε 3 νευρώνες. (b) ισδιάστατο πλέγµα µε 3 x 3 νευρώνες. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 2.3 /6: Να κατασκευάσετε τον αρχιτεκτονικό γράφο ενός πλήρως διασυνδεδεµένου νευρωνικού δικτύου εµπρός τροφοδότησης µε p=10, h1=4, h2=3 και n=1.

23 Απάντηση: Θα χρησιµοποιήσετε το γράφο του σχήµατος 6 και θα εργασθείτε όπως στο σχήµα 9. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 2.3 /7: Να θεωρήσετε ένα πολυεπίπεδο δίκτυο εµπρός τροφοδότησης, του οποίου όλοι οι νευρώνες λειτουργούν στη γραµµική τους περιοχή. Να αποδείξετε ότι ένα τέτοιο δίκτυο είναι ισοδύναµο µε ένα δίκτυο εµπρός τροφοδότησης ενός επιπέδου. Απάντηση: θεωρείστε για παράδειγµα ένα Ν.. µε ένα κρυφό επίπεδο και ένα νευρώνα εξόδου. Να γράψετε πρώτα την σχέση για τον υπολογισµό της εξόδου του δικτύου και στη συνέχεια την αντίστοιχη σχέση για την έξοδο ενός νευρώνα του κρυφού επίπέδου. Στη συνέχεια συνδυάζοντας τις δύο σχέσεις προκύπτει εύκολα το ζητούµενο. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 2.3 /8: Να κατασκευάσετε ένα πλήρως αναδροµικό νευρωνικό δίκτυο µε πέντε νευρώνες, αλλά χωρίς αυτο-ανάδραση. Απάντηση: Μπορείτε να εργασθείτε όπως στο σχήµα 11. ραστηριότητα 2.3 / 2: Να ανατρέξετε στη βιβλιογραφία και να µελετήσετε τα δίκτυα Hopfield. Να ετοιµάσετε µια αναφορά, περίπου πέντε σελίδες, όπου να παρουσιάζετε τον αλγόριθµο εκπαίδευσης αυτών των δικτύων και ένα παράδειγµα. Υπόδειξη: Σχετικό υλικό θα βρείτε στην αναφορά [1] στο κεφάλαιο 8.3 (σελίδα 289). 2.4 Σύνοψη κεφαλαίου Σε αυτό το κεφάλαιο είδαµε ότι τα Τεχνητά Νευρωνικά ίκτυα (Τ.Ν..) αποτελούν µια προσπάθεια προσέγγισης της λειτουργίας του ανθρώπινου εγκεφάλου από µια µηχανή και έχουν την ικανότητα να εκτελούν υπολογισµούς µε µαζικό παράλληλο τρόπο. Η αρχιτεκτονική τους βασίζεται στην αρχιτεκτονική των Βιολογικών Νευρωνικών ικτύων. Αυτές οι ιδέες αν και ήταν γνωστές από την αρχή του αιώνα,

24 άρχισαν να υλοποιούνται στα µέσα της δεκαετίας του 1940, όταν πρωτοπαρουσιάστηκε το µαθηµατικό µοντέλο του νευρώνα το οποίο εξοµοίωνε την λειτουργία του βιολογικού νευρώνα. Στη συνέχεια µε την εµφάνιση των πρώτων υπολογιστών έγινε η πρώτη προσπάθεια υλοποίησής τους. Μεγάλη ώθηση της εφαρµογής τους έδωσε η εµφάνιση των ψηφιακών υπολογιστών. Τότε άρχισε η ευρεία υλοποίησή τους, τόσο µε λογισµικό όσο και µε υλικό. Έτσι, τα απλά δίκτυα ενός επιπέδου εξελίχτηκαν σε δίκτυα πολλών επιπέδων. Παράλληλα παρουσιάστηκε στην διεθνή βιβλιογραφία µια µεγάλη ποικιλία αλγορίθµων εκπαίδευσης και εφαρµογών τους στην επίλυση πρακτικών προβληµάτων. Μετά την ιστορική αναδροµή παρουσιάσαµε το µαθηµατικό µοντέλο του τεχνητού νευρώνα. Αναφερθήκαµε τόσο στο γραµµικό όσο και στο µη-γραµµικό µοντέλο. Εκεί είχαµε την ευκαιρία να δούµε διάφορες συναρτήσεις που χρησιµοποιούνται σαν συναρτήσεις ενεργοποίησης του νευρώνα. Η συνέχεια και η παραγωγισιµότητα είναι οι δύο βασικές ιδιότητες, που πρέπει να έχει µια συνάρτηση για να µπορεί να χρησιµοποιηθεί σαν συνάρτηση ενεργοποίησης. Επίσης, όπως θα δούµε στο επόµενο κεφάλαιο, είναι επιθυµητό το να υπολογίζεται εύκολα η παράγωγός τους. Επίσης, παρουσιάστηκαν οι έννοιες του κατευθυνόµενου και του αρχιτεκτονικού γράφου, οι οποίοι βοηθούν στην απλοποίηση της αναπαράστασης των Τ.Ν... Τέλος, παρουσιάσαµε τις βασικές γνωστές αρχιτεκτονικές των Νευρωνικών ικτύων. Στην αρχή ορίσαµε την έννοια της εµπρός τροφοδότησης, όπου τα σήµατα κατευθύνονται από την είσοδο στην έξοδο. Στη συνέχεια ορίσαµε τα δίκτυα εµπρός τροφοδότησης ενός και πολλών επιπέδων, που είναι πλήρως ή µερικά διασυνδεδεµένα. Η παρουσίαση τελείωσε µε τα αναδροµικά δίκτυα, µε ή χωρίς αυτο-ανάδραση και τις δικτυωτές δοµές. Για περισσότερες λεπτοµέρειες, ο αναγνώστης παραπέµπεται στην αναφορά [1], από όπου προέρχεται και το βασικό υλικό αυτού του κεφαλαίου. 2.5 Βιβλιογραφία 1. NEURAL NETWORKS: A Comprehensive Foundation, S. Haykin, Macmillan Publishing Company, N.Y., 1994 (ISBN ) 2. NEURAL NETWORK DESIGN, M. T. Hagan, H. B. Demuth and m. Beal, PWS Publishing Company, Boston, 1996 (ISBN )

25

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

Πολυτεχνείο Κρήτης. Διπλωματική Εργασία ΠΡΟΒΛΕΨΗ AUTOMOTIVE INDUSTRY ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΝΕΥΡΩΝΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΝΗΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ.

Πολυτεχνείο Κρήτης. Διπλωματική Εργασία ΠΡΟΒΛΕΨΗ AUTOMOTIVE INDUSTRY ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΝΕΥΡΩΝΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΝΗΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ. Πολυτεχνείο Κρήτης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης Διπλωματική Εργασία ΠΡΟΒΛΕΨΗ AUTOMOTIVE INDUSTRY ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΝΕΥΡΩΝΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΝΗΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Βιόπουλος Γιώργος Επιβλέπων Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman

Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman 1 Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman Το 1960, R.E. Kalman δημόσιευσε το διάσημο έγγραφό του περιγράφοντας μια επαναλαμβανόμενη λύση στο γραμμικό πρόβλημα φιλτραρίσματος διακριτών δεδομένων. Από εκείνη τη στιγμή,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά Κυκλώματα

Συνδυαστικά Κυκλώματα 3 Συνδυαστικά Κυκλώματα 3.1. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ Λ ΟΓΙΚΗ Συνδυαστικά κυκλώματα ονομάζονται τα ψηφιακά κυκλώματα των οποίων οι τιμές της εξόδου ή των εξόδων τους διαμορφώνονται αποκλειστικά, οποιαδήποτε στιγμή,

Διαβάστε περισσότερα

Μάρκος Αβράμης Φοιτητής Τμήματος Διαχείρισης Πληροφοριών ΤΕΙ Καβάλας

Μάρκος Αβράμης Φοιτητής Τμήματος Διαχείρισης Πληροφοριών ΤΕΙ Καβάλας ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΊΔΡΥΜΑ ΚΑΒΑΛΑΣ Σχολή Διοίκησης & Οικονομίας ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ Πτυχιακή Εργασία Εφαρμογή Μοντέλων Νευρωνικών Δικτύων στην Αναγνώριση Χαρακτήρων Μάρκος Αβράμης Φοιτητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ.Ε. ΠΛΗ31 (2004-5) ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ #3 Στόχος Στόχος αυτής της εργασίας είναι η απόκτηση δεξιοτήτων σε θέματα που αφορούν τα Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα και ποιο συγκεκριμένα θέματα εκπαίδευσης και υλοποίησης.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων

Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων Περίληψη ιδακτορικής ιατριβής Τριχακης Ιωάννης Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μια από τις πιο όμορφες εφαρμογές του τριωνύμου στη φυσική είναι η μεγιστοποίηση κάποιου μεγέθους μέσα από αυτό. Η ιδέα απλή και βασίζεται στη λογική επίλυσης του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής 3 Ενισχυτές Μετρήσεων 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής Πολλές φορές ένας ενισχυτής σχεδιάζεται ώστε να αποκρίνεται στη διαφορά µεταξύ δύο σηµάτων εισόδου. Ένας τέτοιος ενισχυτής ονοµάζεται ενισχυτής διαφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 6 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ 6.1 Τι ονοµάζουµε πρόγραµµα υπολογιστή; Ένα πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. Διατάξεις Ημιαγωγών. Ηλ. Αιθ. 013. Αριθμητικές Μέθοδοι Διαφορικών Εξισώσεων Ηλ. Αιθ. 013

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. Διατάξεις Ημιαγωγών. Ηλ. Αιθ. 013. Αριθμητικές Μέθοδοι Διαφορικών Εξισώσεων Ηλ. Αιθ. 013 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Ακαδημαϊκό Έτος 2014-2015 Περίοδος Φεβρουαρίου 2015 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΩΡΑ 1ο-2ο ΕΞΑΜΗΝΟ 3ο-4ο ΕΞΑΜΗΝΟ 5ο-6ο

Διαβάστε περισσότερα

10. Με πόσους και ποιους τρόπους μπορεί να αναπαρασταθεί ένα πρόβλημα; 11. Περιγράψτε τα τρία στάδια αντιμετώπισης ενός προβλήματος.

10. Με πόσους και ποιους τρόπους μπορεί να αναπαρασταθεί ένα πρόβλημα; 11. Περιγράψτε τα τρία στάδια αντιμετώπισης ενός προβλήματος. 1. Δώστε τον ορισμό του προβλήματος. 2. Σι εννοούμε με τον όρο επίλυση ενός προβλήματος; 3. Σο πρόβλημα του 2000. 4. Σι εννοούμε με τον όρο κατανόηση προβλήματος; 5. Σι ονομάζουμε χώρο προβλήματος; 6.

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 2006 2007 Γραπτή Εργασία #2 Ηµεροµηνία Παράδοσης 28-0 - 2007 ΠΛΗ 2: Ψηφιακά Συστήµατα ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση : [5 µονάδες] Έχετε στη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση )

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση ) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση ) Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟ,ΕΙΚΟΝΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Η ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

(6) : : 17 60 40 . .

(6) :      :     17 60 40 . . ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΓΙΑ ΠΛΗΡΩΣΗ ΜΙΑΣ ΚΕΝΗΣ ΘΕΣΗΣ ΒΟΗΘΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΟ ΗΜΟ ΛΕΥΚΩΣΙΑΣ Θέµα: Ειδικό

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1 Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1.1 Ηλεκτρικά και Ηλεκτρονικά Συστήµατα Μετρήσεων Στο παρελθόν χρησιµοποιήθηκαν µέθοδοι µετρήσεων που στηριζόταν στις αρχές της µηχανικής, της οπτικής ή της θερµοδυναµικής.

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές 1 ο Εξάμηνο Σπουδών Χειμερινό Εξάμηνο 2012/13 Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης Διδάσκων: Χαρμανδάρης Ευάγγελος, email: vagelis@tem.uoc.gr, Ιστοσελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΛΗ 2: Ψηφιακά Συστήµατα Ακαδηµαϊκό Έτος 24 25 Ηµεροµηνία Εξέτασης 29.6.25 Χρόνος Εξέτασης

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Θεωρητική εισαγωγή

6.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 6 ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΕΚΤΕΣ Σκοπός: Η κατανόηση της λειτουργίας των κυκλωµάτων ψηφιακής πολυπλεξίας και αποκωδικοποίησης και η εξοικείωση µε τους ολοκληρωµένους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον

Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον Κεφάλαιο 6ο Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Μέρος Πρώτο (6.1, 6.2 και 6.3) Α. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους 1. Η γλώσσα µηχανής είναι µία γλώσσα υψηλού επιπέδου.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα Σπουδών ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ Χάρης Γεωργίου, ΑΜ:Μ-177 Αθήνα, Σεπτέµβριος 2000 - ii - ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα διάλεξης. Γιατί χρειάζονται οι Σ ΕΠΥ. Ορισµός. Κατηγοριοποίηση Σ ΕΠΥ Σ ΕΠΥ Ι ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ 2

Θέµατα διάλεξης. Γιατί χρειάζονται οι Σ ΕΠΥ. Ορισµός. Κατηγοριοποίηση Σ ΕΠΥ Σ ΕΠΥ Ι ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ 2 Πανεπιστήµιο Πατρών Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής ΧΡΗΣΤΟΣ Ι. ΜΠΟΥΡΑΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ email: bouras@cti.gr http://ru6.cti.gr/bouras/ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ 1 Θέµατα διάλεξης Γιατί

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων:Μ.Χατζόπουλος, Παραδόσεις:Τρίτη 4-6, Τετάρτη 1-3; (Αμφιθέατρο Α15) Πληροφορίες στην ιστοσελίδα του μαθήματος http://www.di.uoa.

Διδάσκων:Μ.Χατζόπουλος, Παραδόσεις:Τρίτη 4-6, Τετάρτη 1-3; (Αμφιθέατρο Α15) Πληροφορίες στην ιστοσελίδα του μαθήματος http://www.di.uoa. Πληροφορική 1 Διδάσκων:Μ.Χατζόπουλος, Παραδόσεις:Τρίτη 4-6, Τετάρτη 1-3; (Αμφιθέατρο Α15) Πληροφορίες στην ιστοσελίδα του μαθήματος http://www.di.uoa.gr/~organosi/ 2 Η δομή του μαθήματος Εισαγωγή στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ιαδίκτυα & Ενδοδίκτυα Η/Υ

ιαδίκτυα & Ενδοδίκτυα Η/Υ ιαδίκτυα & Ενδοδίκτυα Η/Υ ΙΑ ΙΚΤΥΑΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ (Kεφ. 16) ΠΡΩΤΟΚΟΛΛΑ ΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗΣ Αυτόνοµα Συστήµατα Πρωτόκολλο Συνοριακών Πυλών OSPF ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ (ISA) Κίνηση ιαδικτύου Προσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Στο σηµείωµα αυτό αρχικά εξηγείται η έννοια αλγόριθµος και παραθέτονται τα σπουδαιότερα κριτήρια που πρέπει να πληρεί κάθε αλγόριθµος. Στη συνέχεια, η σπουδαιότητα των αλγορίθµων συνδυάζεται

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ και ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ 2014 2015

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ και ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ 2014 2015 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ και ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ 2014 2015 Επιτροπή προπτυχιακών σπουδών: Κ. Βασιλάκης Κ. Γιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 1.3-1.4: Εισαγωγή Στον Προγραµµατισµό ( ιάλεξη 2) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Περιεχόµενα Εισαγωγικές Έννοιες - Ορισµοί Ο κύκλος ανάπτυξης προγράµµατος Παραδείγµατα Πότε χρησιµοποιούµε υπολογιστή?

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Η Γλώσσα Προγραµµατισµού C++ (The C++ Programming Language) Ιστοσελίδα του µαθήµατος. Περιεχόµενα. ηµήτριος Κατσαρός, Ph.D. Κλάσεις.

Η Γλώσσα Προγραµµατισµού C++ (The C++ Programming Language) Ιστοσελίδα του µαθήµατος. Περιεχόµενα. ηµήτριος Κατσαρός, Ph.D. Κλάσεις. 1 Η Γλώσσα Προγραµµατισµού C++ (The C++ Programming Language) ηµήτριος Κατσαρός, Ph.D. Χειµώνας 2005 ιάλεξη 5η Ιστοσελίδα του µαθήµατος 2 http://skyblue.csd.auth.gr/~dimitris/courses/cpp_fall05.htm Θα

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής

Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής Γενικές Πληροφορίες για Μέλη ΔΕΠ Ονοματεπώνυμο Αδάμ Αδαμόπουλος Βαθμίδα Επίκουρος Καθηγητής Γνωστικό Αντικείμενο Ιατρική Φυσική Εργαστήριο/Κλινική Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής Γραφείο Τηλέφωνο 25510 30501

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Γλώσσες Προγραμματισμού Μεταγλωττιστές

Γλώσσες Προγραμματισμού Μεταγλωττιστές Γλώσσες Προγραμματισμού Μεταγλωττιστές Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ηλίας Σακελλαρίου Δομή Γλώσσες Προγραμματισμού Εισαγωγικά Γλώσσα Μηχανής Γλώσσες υψηλού επιπέδου Μεταγλωττιστές

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Α. ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ «Η ΦΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ»

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Α. ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ «Η ΦΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Α. ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ «Η ΦΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» - Κρυπτογραφία είναι - Κρυπτανάλυση είναι - Με τον όρο κλειδί. - Κρυπτολογία = Κρυπτογραφία + Κρυπτανάλυση - Οι επιστήµες αυτές είχαν

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Concept Mapping: H Βασισµένη στον Η/Υ ηµιουργία Εννοιολογικών Χαρτών και η ιδακτική Αξιοποίησή τους.

Concept Mapping: H Βασισµένη στον Η/Υ ηµιουργία Εννοιολογικών Χαρτών και η ιδακτική Αξιοποίησή τους. 4ο ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ - ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ 1 Concept Mapping: H Βασισµένη στον Η/Υ ηµιουργία Εννοιολογικών Χαρτών και η ιδακτική Αξιοποίησή τους. Κωνσταντίνα Στούµπου Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

2015 1-5 1. 5 5 4. 10 2. . 3. 6 3. . 6

2015 1-5 1. 5 5 4. 10 2. . 3. 6 3. . 6 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµίας από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 και, δίπλα, τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τµήµα Ηλεκτρονικής

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τµήµα Ηλεκτρονικής ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τµήµα Ηλεκτρονικής Ηλεκτρονική Ι Εαρινό εξάµηνο 2005 Πρακτική ανάλυση ενισχυτή κοινού εκποµπού Τransstors βασικές αρχές Τι κάνουν τα transstors Πώς αναλύoνται τα κυκλώµατα των transstors Μικρά

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα αξιολόγησης εκπαιδευτικού λογισµικού

Θέµατα αξιολόγησης εκπαιδευτικού λογισµικού Θέµατα αξιολόγησης εκπαιδευτικού λογισµικού Όνοµα: Τάσος Αναστάσιος Επώνυµο: Μικρόπουλος Τίτλος: Αναπληρωτής Καθηγητής, Εργαστήριο Εφαρµογών Εικονικής Πραγµατικότητας στην Εκπαίδευση, Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ETY-482) 1 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΤΑΣΗΣ-ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΚΑΙ ΕΥΘΕΙΑ ΦΟΡΤΟΥ

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ETY-482) 1 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΤΑΣΗΣ-ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΚΑΙ ΕΥΘΕΙΑ ΦΟΡΤΟΥ Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ETY-482) 1 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΤΑΣΗΣ-ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΚΑΙ ΕΥΘΕΙΑ ΦΟΡΤΟΥ Σχήµα 1. Κύκλωµα DC πόλωσης ηλεκτρονικού στοιχείου Στο ηλεκτρονικό στοιχείο του σχήµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 29 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 29 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 29 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1-6 και

Διαβάστε περισσότερα

1. Να σχεδιάσετε το κύκλωµα διακοπής ρεύµατος σε πηνίο.

1. Να σχεδιάσετε το κύκλωµα διακοπής ρεύµατος σε πηνίο. ΙΑΚΟΠΗ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΠΗΝΙΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Τάξη και τµήµα: Ηµεροµηνία: Όνοµα µαθητή: 1. Να σχεδιάσετε το κύκλωµα διακοπής ρεύµατος σε πηνίο. 2. Η ένταση του ρεύµατος που µετράει το αµπερόµετρο σε συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Π.Μ.Σ (ΥΠΟΕΡΓΟΥ)

ΤΜΗΜΑ Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Π.Μ.Σ (ΥΠΟΕΡΓΟΥ) ΤΜΗΜΑ Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Π.Μ.Σ (ΥΠΟΕΡΓΟΥ) Α1. ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ Tο Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών του Τµήµατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Κρήτης είναι ένα από τα πρώτα οργανωµένα µεταπτυχιακά

Διαβάστε περισσότερα

1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exchangers)

1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exchangers) 1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exangers) Οι εναλλάκτες θερµότητας είναι συσκευές µε τις οποίες επιτυγχάνεται η µεταφορά ενέργειας από ένα ρευστό υψηλής θερµοκρασίας σε ένα άλλο ρευστό χαµηλότερης θερµοκρασίας.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκαλία της Ροµποτικής Επιστήµης στη ευτεροβάθµια Εκπαίδευση Εµπειρίες από άλλα εκπαιδευτικά συστήµατα και προσαρµογή στην Ελληνική πραγµατικότητα

ιδασκαλία της Ροµποτικής Επιστήµης στη ευτεροβάθµια Εκπαίδευση Εµπειρίες από άλλα εκπαιδευτικά συστήµατα και προσαρµογή στην Ελληνική πραγµατικότητα ιδασκαλία της Ροµποτικής Επιστήµης στη ευτεροβάθµια Εκπαίδευση Εµπειρίες από άλλα εκπαιδευτικά συστήµατα και προσαρµογή στην Ελληνική πραγµατικότητα Αντώνιος Τζες Αναπληρωτής Καθηγητής Τµήµατος Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Διδάσκουσα Δρ Β Καβακλή Χειμερινό Εξάμηνο 2001 Στόχοι του Μαθήματος! Ανάπτυξη αναλυτικής

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Τεχνών Ήχου και Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος 2006-2007

Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Τεχνών Ήχου και Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος 2006-2007 Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Τεχνών Ήχου και Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος 2006-2007 ΠΑΡΑΔΟΤΕΟ: Έκθεση Προόδου Υλοποίησης του Μαθήματος Διδάσκων: Φλώρος Ανδρέας Περιεχόμενα 1 Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο 1.1 Να γράψετε στο τετράδιό σας τα φυσικά µεγέθη από τη Στήλη Ι και, δίπλα σε καθένα, τη µονάδα της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί σ' αυτό.

ΘΕΜΑ 1ο 1.1 Να γράψετε στο τετράδιό σας τα φυσικά µεγέθη από τη Στήλη Ι και, δίπλα σε καθένα, τη µονάδα της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί σ' αυτό. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 5 ΙΟΥΝΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΠΤΑ (7) ΘΕΜΑ 1ο 1.1 Να γράψετε στο τετράδιό σας τα

Διαβάστε περισσότερα

http://kesyp.didefth.gr/ 1

http://kesyp.didefth.gr/ 1 248_Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σκοπός του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών είναι η εκαπαίδευση επιστηµόνων ικανών όχι µόνο να υπηρετήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Σχ.7.1. Σύµβολο κοινού τελεστικού ενισχυτή και ισοδύναµο κύκλωµα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Σχ.7.1. Σύµβολο κοινού τελεστικού ενισχυτή και ισοδύναµο κύκλωµα. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 7. ΤΕΛΕΣΤΙΚΟΙ ΕΝΙΣΧΥΤΕΣ Ο τελεστικός ενισχυτής εφευρέθηκε κατά τη διάρκεια του δεύτερου παγκοσµίου πολέµου και. χρησιµοποιήθηκε αρχικά στα συστήµατα σκόπευσης των αντιαεροπορικών πυροβόλων για

Διαβάστε περισσότερα

221 Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Πάτρας

221 Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Πάτρας 221 Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Πάτρας Το Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ιδρύθηκε το 1967 ως το πρώτο Τμήμα της Πολυτεχνικής Σχολής. Ο αρχικός τίτλος του

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

m (gr) 100 200 300 400 500 600 700 l (cm) 59.1 62.4 65.2 69.3 71.2 74.1 77.2

m (gr) 100 200 300 400 500 600 700 l (cm) 59.1 62.4 65.2 69.3 71.2 74.1 77.2 ΣΧΟΛΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Η εργασία αυτή απευθύνεται σε όλους όσους επιθυµούν να ϐελτιώσουν την ϐαθµολογία τους. Βασικό στοιχείο της εργασίας είναι οι γραφικές παραστάσεις των

Διαβάστε περισσότερα

Μονιµοποίηση κ. Nόβα ηµήτριου, Καθηγητή Εφαρµογών του Τµήµατος, µε ειδικότητα στα Μαθηµατικά και εξειδίκευση στα Πληροφοριακά Συστήµατα Μάρκετινγ».

Μονιµοποίηση κ. Nόβα ηµήτριου, Καθηγητή Εφαρµογών του Τµήµατος, µε ειδικότητα στα Μαθηµατικά και εξειδίκευση στα Πληροφοριακά Συστήµατα Μάρκετινγ». Μονιµοποίηση κ. Nόβα ηµήτριου, Καθηγητή Εφαρµογών του Τµήµατος, µε ειδικότητα στα Μαθηµατικά και εξειδίκευση στα Πληροφοριακά Συστήµατα Μάρκετινγ». Ηµεροµηνία σύγκλησης Συνέλευσης Τµήµατος για συγκρότηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μ. Γρηγοριάδου Ρ. Γόγουλου Ενότητα: Η Διδασκαλία του Προγραμματισμού Περιεχόμενα Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΗ ΜΕ Η/Υ 1. Του Αποστόλου Παπαποστόλου Επίκουρου Καθηγητή του ΤΕΙ Αθήνας

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΗ ΜΕ Η/Υ 1. Του Αποστόλου Παπαποστόλου Επίκουρου Καθηγητή του ΤΕΙ Αθήνας ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΗ ΜΕ Η/Υ 1 Του Αποστόλου Παπαποστόλου Επίκουρου Καθηγητή του ΤΕΙ Αθήνας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι γραφικές παραστάσεις µε υπολογιστές έχουν προχωρήσει πολύ από τότε που οι ε- πιστήµονες που δούλευαν

Διαβάστε περισσότερα

7.5 ΑΡΑΙΕΣ ΜΗΤΡΕΣ 290 7.5.1 Κατασκευή αραιών µητρών... 290 7.5.2 Πράξεις και συναρτήσεις αραιών µητρών... 294 7.5.3 Συναρτήσεις για γραφήµατα...

7.5 ΑΡΑΙΕΣ ΜΗΤΡΕΣ 290 7.5.1 Κατασκευή αραιών µητρών... 290 7.5.2 Πράξεις και συναρτήσεις αραιών µητρών... 294 7.5.3 Συναρτήσεις για γραφήµατα... Κ. Π Α Π Α Ρ Ρ Ι Ζ Ο Σ M A T L A B 6. 5 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ............. v Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Λ Ε Ι Τ Ο Υ Ρ Γ Ι Ε Σ Τ Ο Υ M A T L A B 1 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...17 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...19 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ 1.1 Μεθοδολογία σχεδίασης...25 1.2 Η διαδικασία της σχεδίασης...26 1.3 ηµιουργικότητα στη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΛΗ 21: Ψηφιακά Συστήµατα Ακαδηµαϊκό Έτος 2009 2010 Γραπτή Εργασία #3 Παράδοση: 28 Μαρτίου 2010 Άσκηση 1 (15 µονάδες) Ένας επεξεργαστής υποστηρίζει τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. ΗΜΥ-210: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 2005. Στοιχειώδης Λογικές Συναρτήσεις

Περίληψη. ΗΜΥ-210: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 2005. Στοιχειώδης Λογικές Συναρτήσεις ΗΜΥ 2: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 25 Μαρ-5 ΗΜΥ-2: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 25 Κεφάλαιο 4 -i: Βασικές Συνδυαστικές Συναρτήσεις και Κυκλώµατα Περίληψη Συναρτήσεις και συναρτησιακές (λειτουργικές)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 5 ο : Ο Προσδιορισμός των Τιμών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ασκήσεις 1. Οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς ενός αγαθού είναι: =20-2P και S =5+3P αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Τα ερωτήματα που προκύπτουν από την εισαγωγή της Φυσικής στην Α γυμνασίου είναι :

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε τις θέσεις που

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. παθητικά: προκαλούν την απώλεια ισχύος ενός. ενεργά: όταν τροφοδοτηθούν µε σήµα, αυξάνουν

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. παθητικά: προκαλούν την απώλεια ισχύος ενός. ενεργά: όταν τροφοδοτηθούν µε σήµα, αυξάνουν 1. Εισαγωγικά στοιχεία ηλεκτρονικών - Ι.Σ. ΧΑΛΚΙΑ ΗΣ διαφάνεια 1 1. ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ Ηλεκτρικό στοιχείο: Κάθε στοιχείο που προσφέρει, αποθηκεύει και καταναλώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Επεκτείνοντας το δίκτυο

6.1 Επεκτείνοντας το δίκτυο 6.1 Επεκτείνοντας το δίκτυο 1. Να αναφέρετε ονοµαστικά τις τεχνολογίες που χρησιµοποιούνται στις υπηρεσίες δικτύων ευρείας περιοχής; Οι τεχνολογίες που χρησιµοποιούνται στις υπηρεσίες δικτύων ευρείας περιοχής

Διαβάστε περισσότερα