Μάθηµα εύτερο-τρίτο- Βασικά Ζητήµατα στο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Ακαδηµαϊκό Έτος

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μάθηµα εύτερο-τρίτο- Βασικά Ζητήµατα στο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Ακαδηµαϊκό Έτος"

Ευτροπια Σαμαράς
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΤΜΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΜΑΤΩΝ Μάθηµα εύτερο-τρίτο- Βασικά Ζητήµατα στο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Ακαδηµαϊκό Έτος - Στο παρόν µάθηµα δίνεται µε κάποια απλά παραδείγµατα-ασκήσεις θέµατα πάνω στην εκτίµηση ενός απλού γραµµικού υποδείγµατος. Ζητείται η ερµηνεία εκτιµητών, η στατιστική σηµαντικότητα και η εύρεσης στοιχείων όπως ο συντελεστής προσδιορισµού. Το απλό γραµµικό υπόδειγµα λειτουργεί ως ειδική περίπτωση του πολλαπλού γραµµικού υποδείγµατος. Άσκηση συνάρτησης κατανάλωσης σε σχέση µε το διαθέσιµο εισόδηµα Ci= β+ βι i εκτιµήθηκε σε ένα δείγµα 7 παρατηρήσεων για µια περιοχή και έδωσε τα εξής αποτελέσµατα : Ci= + Ι i, R =,9, ESS=5 e.s.e (.) (.3) a) Να ερµηνευθεί το παραπάνω υπόδειγµα b) Να ελεγχθεί η στατιστική σηµαντικότητα των εκτιµητών ˆβ, ˆβ c) Να υπολογιστούν τα ESS, TSS όπου: RSS = Residual sum of squares (άθροισµα τετραγώνων το οποίο οφείλεται στα υπόλοιπα) ESS = Explained sum of squares (άθροισµα τετραγώνων το οποίο οφείλεται στην παλινδρόµηση) TSS = Total sum of squares (συνολικό άθροισµα τετραγώνου) d) Να δοθεί ο πίνακας ANOVA e) Να υπολογιστούν.ε 95% για τους εκτιµητές. Απάντηση του a) ερωτήµατος ερµηνεία ˆβ : Ceteris paribus, η εκτίµηση για την κατανάλωση στη περιοχή είναι 3,5 µονάδες. Είναι σύµφωνο µε την οικονοµική θεωρία γιατί κάθε νοικοκυριό έχει ένα ελάχιστο ποσό κατανάλωσης. ρ. Κουνετάς Κωνσταντίνος

2 ΤΜΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΜΑΤΩΝ ερµηνεία ˆβ : ceteris paribus, µια αύξηση κατά µία µονάδα (χρηµατική) στο διαθέσιµο εισόδηµα θα επιφέρει µια αύξηση στην κατανάλωση κατά,7 χρηµατικές µονάδες. Είναι σύµφωνο µε την οικονοµική θεωρία γιατί γνωρίζουµε από τη κατανάλωση ότι όσο ποιο πολύ αυξάνει το εισόδηµα τόσο αναλογικά αυξάνει και η κατανάλωση. Απάντηση του b) ερωτήµατος Εξετάζουµε τον παρακάτω έλεγχο για τον εκτιµητή του σταθερού όρου. : ˆβ = (Στατιστικά µη σηµαντικός εκτιµητής) : ˆβ (Στατιστικά σηµαντικός εκτιµητής) Συγκρίνω t ˆ β ˆ = ~ /,.. ( ˆ ) t β e s e β a n k. Πιο συγκεκριµένα έχουµε ότι 3,5 t ˆ β = = 9,65, 9,65>,6 Οπότε Απόρριψη της. Άρα το ˆβ είναι στατιστικά σηµαντικός εκτιµητής. Οµοίως για τον εκτιµητή του εισοδήµατος θα έχουµε ότι. : ˆβ = (Στατιστικά µη σηµαντικός εκτιµητής) : ˆβ (Στατιστικά σηµαντικός εκτιµητής),7 Συγκρίνουµε t ˆ = =.5 ~ t β,5,5.3 Επειδή,5>,6 Άρα Απόρριψη της. Άρα το ˆβ είναι στατιστικά σηµαντικός εκτιµητής και έχει σηµασία για το υπόδειγµά µας. Απάντηση του c) ερωτήµατος Ο υπολογισµός των προσδιορισµού R TSS, RSS θα γίνει µε βάση τον ορισµό του συντελεστή = ESS ESS 5 TSS 5 TSS = R =,9 =. Οπότε γνωρίζοντας ότι ισχύει ο τύπος TSS = ESS+ RSS θα έχουµε ότι RSS = Απάντηση του d) ερωτήµατος Ο πίνακας ANOVA θα δοθεί όπως στην θεωρία και µε βάση τις τιµές των ESS,RSS και TSS. ρ. Κουνετάς Κωνσταντίνος

3 ΤΜΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΜΑΤΩΝ Απάντηση του e) ερωτήµατος Το διάστηµα εµπιστοσύνης δίνεται από τον παρακάτω τύπο: P( β t ese( β ) β β + t ese( β )) = α ( a /, N k ) ι ( a /, N k ) Άσκηση εκτίµηση για µια συνάρτηση ζήτησης ενός αγαθού Α δίνεται από την παρακάτω Y = X, n= 6, TSS = 9.34, R =.76 σχέση p value (.35) (.4). Να απαντήσετε στα e.s.e (53.) (4.98) παρακάτω ερωτήµατα: a. Να σχολιάσετε τα αποτελέσµατα της εκτίµησης από οικονοµική άποψη αναφερόµενοι στο πρόσηµα αλλά και στο µέγεθος των εκτιµητών. b. Να υπολογιστεί η ελαστικότητα ζήτησης στο σηµείο ( X = 3.3, Y = 8). Πως θα ερµηνεύατε το παρακάτω αποτέλεσµα; c. Να αξιολογήσετε την στατιστική σηµαντικότητα των εκτιµητών σας δεδοµένου ότι το ε.σ είναι 5%. d. Να κατασκευάσετε τον πίνακα ανάλυσης της διακύµανσης. e. Να κατασκευάσετε ένα διάστηµα εµπιστοσύνης 95% για το εκτιµητή του συντελεστή Χ. Απάντηση του a) ερωτήµατος Οµοίως µα το Α ερώτηµα της άσκησης. Απάντηση του b) ερωτήµατος ελαστικότητα ζήτησης στο σηµείο ( X = 3.3, Y = 8) θα υπολογιστεί µε βάση τον παρακάτω τύπο ε yx Y X X 3.3 = = β = ( 35) = 5.8Παρατηρούµε ότι κατά X Y Y 8 απόλυτη τιµή η ελαστικότητα ζήτησης είναι µεγαλύτερη της µονάδας, Συνεπώς µπορούµε να µιλήσουµε για ελαστική ζήτηση ( Τι σηµαίνει ουσιαστικά αυτό;). Απάντηση του c) ερωτήµατος Εξετάζουµε τον παρακάτω έλεγχο για τον εκτιµητή του σταθερού όρου. : ˆβ = (Στατιστικά µη σηµαντικός εκτιµητής) 3 ρ. Κουνετάς Κωνσταντίνος

4 ΤΜΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΜΑΤΩΝ : ˆβ (Στατιστικά σηµαντικός εκτιµητής) Παρατηρούµε ότι η τιµή p-value από τον παραπάνω έλεγχο για τον εκτιµητή του σταθερού όρου είναι p value=.35< α =.5 οδηγώντας µας σε απόρριψη της αρχικής µας υπόθεσης. Άρα ο εκτιµητής είναι στατιστικά σηµαντικός και έχει σηµασία για το υπόδειγµά µας. Οµοίως για τον εκτιµητή της τιµής θα έχουµε ότι. : ˆβ = (Στατιστικά µη σηµαντικός εκτιµητής) : ˆβ (Στατιστικά σηµαντικός εκτιµητής) Παρατηρούµε ότι η τιµή p-value από τον παραπάνω έλεγχο είναι p value=.4< α =.5 οδηγώντας µας σε απόρριψη της αρχικής µας υπόθεσης. Άρα ο εκτιµητής είναι στατιστικά σηµαντικός. Απάντηση του d) ερωτήµατος ίνεται παρακάτω ο πίνακας ανάλυσης της διακύµανσης Πηγή Μεταβλητότητας Άθροισµα Τετραγώνων Βαθµοί Ελευθερίας Μέσοι Τετραγώνων Παλινδρόµηση Κατάλοιπα 73.5 N-=4 8.3 Σύνολο 9.34 N-= F 5. Απάντηση του e) ερωτήµατος Το διάστηµα εµπιστοσύνης δίνεται από τον παρακάτω τύπο: P( β t ese( β ) β β + t ese( β )) = α ( a /, N k ) ι ( a /, N k ) β t( a /, N k ) ese( β ) β βι + t( a /, N k ) ese( β) Άρα το διάστηµα εµπιστοσύνης: Άσκηση 3 Οι εξαµηνιαίες πωλήσεις ( σε εκατοµµύρια µονάδες προϊόντος) και οι αντίστοιχες τιµές (σε χρηµατικές µονάδες) ενός προϊόντος µιας επιχείρησης κατά τα τελευταία εξάµηνα δίνονται από τον παρακάτω πίνακα ( πρόγραµµα SPSS). 4 ρ. Κουνετάς Κωνσταντίνος

5 ΤΜΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΜΑΤΩΝ Coefficients a Standardized Unstandardized Coefficients Coefficients Model B Std. Error Beta t Sig. (Constant) 5,3 7,985 6,88, prices -5,44,58 -,8-3,549,9 a. Dependent Variable: sales a. Να σχολιάσετε τα αποτελέσµατα της εκτίµησης από οικονοµική άποψη. b. Να υπολογιστεί η ελαστικότητα ζήτησης στο σηµείο ( X = 5., Y =.). Πως θα ερµηνεύατε το παρακάτω αποτέλεσµα; c. Να αξιολογήσετε την στατιστική σηµαντικότητα των εκτιµητών σας δεδοµένου ότι το ε.σ είναι α=5%. Άσκηση 4 Οι ετήσιες πωλήσεις ( σε χιλιάδες µονάδες προϊόντος) και οι ετήσιες δαπάνες διαφήµισης (σε χιλιάδες χρηµατικές µονάδες) ενός προϊόντος µιας επιχείρησης κατά τα τελευταία δέκα χρόνια δίνονται από τον παρακάτω πίνακα ( πρόγραµµα SPSS). Ποιες οι πληροφορίες που παίρνουµε από τους παρακάτω πίνακες του προγράµµατος SPSS; Variables Entered/Removed b Variables Variables Model Entered Removed Method dapanes a. Enter a. All requested variables entered. b. Dependent Variable: sales Model Summary Model R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate,968 a,937,99,664 a. Predictors: (Constant), dapanes 5 ρ. Κουνετάς Κωνσταντίνος

6 ΤΜΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΜΑΤΩΝ ANOVA b Model Sum of Squares df Mean Square F Sig. Regression 8,5 8,5 9,636, a Residual,55 8,69 Total 8,84 9 a. Predictors: (Constant), dapanes b. Dependent Variable: sales Coefficients a Unstandardized Coefficients Standardized Coefficients Model B Std. Error Beta t Sig. (Constant) 9,98,338 9,574, dapanes,8,,968,938, a. Dependent Variable: sales Άσκηση 5 Ένα τυχαίο δείγµα από οικογένειες έδωσε την ακόλουθη εκτίµηση σχετικά µε το εισόδηµα και τις µηνιαίες δαπάνες τους για τρόφιµα. Y = X, n=, TSS = e.s.e (.) (.98) a. Να σχολιάσετε τα αποτελέσµατα της εκτίµησης από οικονοµική άποψη αναφερόµενοι στο πρόσηµα αλλά και στο µέγεθος των εκτιµητών. b. Να υπολογιστεί η ελαστικότητα ζήτησης στο σηµείο ( X =.93, Y =.). Πως θα ερµηνεύατε το παρακάτω αποτέλεσµα; c. Να αξιολογήσετε την στατιστική σηµαντικότητα των εκτιµητών σας δεδοµένου ότι το ε.σ είναι 5%. d. Να κατασκευάσετε τον πίνακα ανάλυσης της διακύµανσης. e. Να υπολογίσετε τον συντελεστή συσχέτισης ανάµεσα στις δύο µεταβλητές. f. Να κατασκευάσετε ένα διάστηµα εµπιστοσύνης 95% για το εκτιµητή του συντελεστή Χ και να εξηγήσετε τι σηµαίνει. 6 ρ. Κουνετάς Κωνσταντίνος

Σχετικά έγγραφα

Μενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 6 ο

Μενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 6 ο Παράδειγμα 1 Ο παρακάτω πίνακας δίνει τις πωλήσεις (ζήτηση) ενός προϊόντος Υ (σε κιλά) από το delicatessen μιας περιοχής και τις αντίστοιχες τιμές Χ του προϊόντος (σε ευρώ ανά κιλό) για μια ορισμένη χρονική