Κεφάλαιο 8 ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΙΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ

Transcript

1 Κεφάλαιο 8 ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΙΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Θεωρούµε όι Έσω X µία διακριή χρονοσειρά 0 ± ±. µ x Ε{X } και γ { X X } E { [ X µ ][ X µ ] } ( 0 ± cov + + x x Το φάσµα ισχύος ης X ορίζεαι ως εξής ( π γ ( exp( iλ λ + ( -π<λ<π (8. αρκεί + γ ( < Το φάσµα ισχύος (λ είναι µία άρια και περιοδική συνάρηση (µε περίοδο π. Από η σχέση (8. µπορεί να δειχθεί όι ισχύει π ( iα ( α dα γ ( exp 0 ± ±. π (8. Αν θέσουµε 0 σην (8. έχουµε VarX π π ( α dα (8.3

2 Περνώνας η χρονοσειρά Χ µέσα από ένα φίλρο βρίσκουµε X Y α X ( λ A( λ (8.4 όπου (λ (λ είναι ο φάσµαα ισχύος ων χρονοσειρών Y X και Α(λ είναι η συνάρηση µεαφοράς ου φίλρου α A ( λ α exp( iλ (8.5 Από ις σχέσεις (8.3 και (8.4 έχουµε VarY π π A( α ( α dα (8.6 Χρησιµοποιώνας ην (8.6 µπορούµε να επιύχουµε µία ερµηνεία ου φάσµαος ισχύος. Υποθέουµε όι α είναι ένα σενό ζωνοπεραό (narrow band-pass φίλρο έχονας συνάρηση µεαφοράς ( 4 α ± λ < A ( α (8.7 0 διαϕορεικα όπου είναι µικρό. Τόε VarY ( α dα A( α ( α dα ( λ δηλαδή ο φάσµα ισχύος ης χρονοσειράς Χ σε συχνόηα λ είναι ανάλογο προς η διασπορά ης εξόδου από ένα σενό χαµηλοπεραό φίλρο σε συχνόηα λ. 50

3 Από η σχέση α Y x έχουµε όι µ y A (0 µ x (8.8 Η µ 0 αν λ είναι µεγαλύερο ου και διάφορο από α 0 ±π y ( E Y αν λ 0 ±π και 0 ± (8.9 Τώρα αν Υ είναι ο δυναµικό που εφαρµόζεαι σε ένα απλό ηλεκρικό κύκλωµα που περιέχει µία ανίσαση R Ohm όε η σιγµιαία ισχύς που κααναλίσκεαι είναι Y (8.9 δείχνει όι η. Εξέαση ης σχέσης µπορεί να ερµηνευθεί ως η αναµενόµενη ποσόηα ης ισχύος που κααναλίσκεαι σε ένα ηλεκρικό κύκλωµα όπως ο ανωέρω. ίνουµε ώρα ορισµένα παραδείγµαα συναρήσεων αυοδιασποράς µε α ανίσοιχα φάσµαα ισχύος (Σχ Για παράδειγµα αν η γ ( συγκενρώνεαι γύρω από ο σηµείο 0 όε η είναι περίπου σαθερά. Αν η γ ( ελαώνεαι αργά καθώς αυξάνει όε η συγκενρώνεαι κονά σις ιµές λ0 ±π Αν η γ ( εναλλάσσεαι γύρω από ο 0 καθώς αυξάνει όε η έχει σηµανική µάζα µακριά από ο λ0 ±π 5

4 Σχήµα 8.. Συναρήσεις αυοδιασποράς ( γ και ανίσοιχα φάσµαα ισχύος. Παράδειγµα 8.. Έσω { Ζ } µία καθαρά διακριή υχαία χρονοσειρά µε µέση ιµή 0 και cov( Z Να υπολογισθεί ο φάσµα ισχύος ης Ζ. + Z σ Λύση : Για η συνάρηση αυοσυσχέισης ης Ζ έχουµε cov ( Z + Z σ οπόε εφαρµόζονας ον ύπο (8. βρίσκουµε 5

5 σ -π<λ<π π Άρα ο φάσµα ισχύος µιας καθαράς διακριής υχαίας χρονοσειράς είναι σαθερό σο διάσηµα (-π π. Παράδειγµα 8.. Να δειχθεί ο φάσµα ισχύος ενός ΜΑ( µονέλου δίνεαι από η σχέση σ ( λ ( + β cos λ + β -π<λ<π π Λύση : Από ο προηγούµενο κεφάλαιο γνωρίζουµε όι για ένα ΜΑ( µονέλο ισχύουν οι σχέσεις γ ( σ ( + β βσ και γ ( 0 > Εφαρµόζονας ον ύπο (8. βρίσκουµε ( λ γ ( 0 + γ ( cos λ π k σ π [ + β + β cos λ] -π<λ<π Το σχήµα ου φάσµαος ισχύος εξαράαι από ην ιµή ου β. Αν ο β>0 η ισχύς συγκενρώνεαι σε χαµηλές συχνόηες. Αν β<0 η ισχύς συγκενρώνεαι σε υψηλές συχνόηες. 53

6 Παράδειγµα 8.3. Να δειχθεί όι ο φάσµα ισχύος ενός AR( µονέλου δίνεαι από η σχέση σ π α cos λ + α (-π<λ<π Λύση : Από ον ορισµό ου φάσµαος ισχύος έχουµε χχ iλ iλ γ ( 0 + γ ( e + γ ( e π Επειδή ( α γ ( 0 γ ( > 0 παίρνουµε χχ χχ γ ( 0 iλ + α e + iλ χχ α e π γ π ( 0 α e iλ + iλ α e i α e + α e λ iλ γ π ( 0 α cos λ + α σ π α cos λ + α (-π<λ<π και σ γ ( 0 ( -α Όαν ο α>0 η ισχύς συγκνρώνεαι σε χαµηλές συχνόηες ενώ αν ο α<0 η ισχύς συγκενρώνεαι σε υψηλές συχνόηες. Παράδειγµα 8.4. Να υπολογισθεί ο φάσµα ισχύος ενός ARΜΑ( µονέλου. Λύση : Η εξίσωση ενός ARΜΑ( µονέλου δίνεαι από η σχέση X α X Z + β Z Αν θέσουµε Y Z + β Z όε από ο Παρ. 8. βρίσκουµε 54

7 σ ( β cos λ + β π (-π<λ<π Τώρα αν θέσουµε Y X α X µπορούµε να αποδείξουµε χρησιµοποιώνας ο Παρ. 8.3 και η σχέση (8.4 όι ( λ α cos λ + α Τελικά βρίσκουµε όι σ ( β cos λ + β π α cos λ + α -π < λ < π Συνεπείς εκιµηές ου φάσµαος ισχύος Ένας εκιµηής ου φάσµαος ισχύος µιας διακριής χρονοσειράς είναι ο περιοδόγραµµα ο οποίο ορίζεαι από η σχέση ( T I πt d ( T x (8.0 Όπου d T ( T iλ x X e είναι ο πεπερασµένος µεασχηµαισµός Fourier ης 0 χρονοσειράς Χ. Μπορεί να αποδειχθεί όι ισχύει η εξής σχέση I ( T ( T ( T iλ ( λ c e c0 + c π ( T π cos λ (8. 55

8 T όπου c ( X X ( X X + είναι ένας εκιµηής ης συνάρησης T αυοδιασποράς. Η σχέση (8. µας λέει όι ο περιοδόγραµµα είναι ο πεπερασµένος µεασχηµαισµός Fourier ης συνάρησης c. ( T Το περιοδόγραµµα I δεν είναι συνεπής εκιµηής για ο φάσµα ισχύος γι αυό χρειάζεαι να βρούµε µια µέθοδο που θα µας δίνει συνεπείς εκιµηές ου φάσµαος ισχύος. Μία έοια µέθοδος σηρίζεαι σον εκιµηή (8. που βελιώνεαι χρησιµοποιώνας ένα σύνολο «βαρών» α οποία καλούναι σύνολα βαρών. Η ακρίβεια ων συνελεσών c ελαώνεαι καθώς ο αυξάνει και εποµένως θα ήαν λογικό να δώσουµε λιγόερο βάρος σις ιµές ων c καθώς αυξάνει. Ένας έοιος εκιµηής ορίζεαι ως εξής M ( λ c0 + w c cos λ π (8. όπου {w } είναι ο σύνολο ων βαρών και Μ(<Τ είναι ο σηµείο αποκοπής ων συνελεσών αυοσυσχέισης. Συγκρίνονας ις σχέσεις (8. και (8. βλέπουµε όι οι ιµές ων c για Μ < < Τ δεν χρησιµοποιούναι πλέον ενώ οι ιµές ων c για Μ πολλαπλασιάζοναι µε ένα συνελεσή βάρους w. Για η χρησιµοποίηση ου εκιµηού (8. χρειάζεαι να εκλέξουµε ένα καάλληλο σύνολο «βαρών» και ένα καάλληλο σηµείο αποκοπής. ύο σύνολα βαρών που χρησιµοποιούναι συνήθως σην πράξη είναι : (α Σύνολο Βαρών ου Tukey. Το σύνολο αυό ων βαρών υπολογίζεαι από η σχέση w π + cos M για 0 Μ (α Σύνολο Βαρών ου Paren. Σην περίπωση αυή α βάρη υπολογίζοναι από η σχέση 56

9 w M M 3 M 3 για για M 0 M M Η διασπορά ου εκιµηού (8. δίνεαι από η σχέση Var M [ ] (8.3 w M Σχήµα 8.. Παράθυρα Tukey και Paren. Για µεγάλο Μ η Var [ (λ] είνει σο µηδέν άρα ο εκιµηής (λ είναι συνεπής εκιµηής ου φάσµαος ισχύος [ { λ } (λ] E. ( Όαν έχουµε ση διάθεσή µας πολλές παραηρήσεις για η χρονοσειρά µπορούµε ο συνολικό µήκος Τ ου διασήµαος που παραηρείαι η χρονοσειρά να ο χωρίσουµε σε ανεξάρηα υποδιασήµαα µήκους V δηλαδή Τ LV όπου L είναι ο αριθµός ων υποδιασηµάων. Σε κάθε υποδιάσηµα µπορούµε να υπολογίσουµε ο περιοδόγραµµα ως εξής ( I V ( λ j d L πv ( λ j j 0... (8.4 57

10 Ένας εκιµηής για ο φάσµα ισχύος µπορεί ώρα να υπολογισθεί µε ον ακόλουθο ρόπο ~ ( λ L L j 0 I ( V ( λ j (8.5 Η µέθοδος αυή εκίµησης ου φάσµαος ισχύος χρησιµοποιείαι σο Κεφ. 6 για ον υπολογισµό ου φάσµαος ισχύος ου µαγνηοεγκεφαλογραφήµαος ενός αόµου. 58