Ακολουθίες στον R n. ακολουθία διανυσµάτων στον. 1 1 ακολουθία στον 2 k. εφόσον 1+ e. k + R δεν είναι συγκλίνουσα. Πράγµατι αν

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ακολουθίες στον R n. ακολουθία διανυσµάτων στον. 1 1 ακολουθία στον 2 k. εφόσον 1+ e. k + R δεν είναι συγκλίνουσα. Πράγµατι αν"

Οἰδίπους Αναστασιάδης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ακοουθίες στον.4. Ορισµός Έστω ( ) ακοουθία διανυσµάτων στον 9, θα έµε ότι η ακοουθία ( ) συγκίνει στο θα γράφουµε, li = ή αν η ακοουθία πραγµατικών 0 Ισοδύναµα: li ( ε) : 0 = για κάθε ε > 0 υπάρχει = N < ε. + Παραδείγµατα: ) Έστω ( 0, e). =,, + ακοουθία στον, τότε Πράγµατι, ( ) Όµως 0, e =, + e = + + e + e Συνεπώς ( 0, e) 0 ( 0, e). () Η ακοουθία = ( ) υπήρχε : y εφόσον + e., του δεν είναι συγκίνουσα. Πράγµατι αν y y y τότε η ποσότητα y y θα γινόταν οσοδήποτε µικρή για µεγάο, π.χ. y y < για µεγάο.έπεται τότε από την τριγωνική ανισότητα 4 ότι για µεγάα µε θα είχαµε, y y y y + y y < + = =, + Όµως y y ( ) ( ) ( ) +, = + + > 4 αν άρτιος + + =, = ( ) + > 4 αν περιττός + + Έτσι y y + > για κάθε N στον.. Άρα η ( ) = y δεν είναι συγκίνουσα ακοουθία

2 .5Πρόταση Έστω ( ) (,..., ) =. Τότε, + + =,...,, ακοουθία στον για κάθε =,,...,. Απόδειξη: Θα χρειαστούµε την ακόουθη ανισότητα: a = a,..., a τότε, a a a a a Αν ( ) Πράγµατι, έστω a a ( a,..., a ) Επίσης, = τότε a a a = a ή a a a a a a = a ϕορές a a a 0 a. Προχωρούµε τώρα στην απόδειξη της πρότασης. Παρατηρούµε ότι για κάθε, a a. Από την ανισότητα αυτή έπεται αµέσως το συµπέρασµα. Παρατηρήσεις (). Η προηγούµενη πρόταση µας έει ότι µια ακοουθία ( ) ( ) =,...,, του συντεταγµένες. συγκίνει στο (,..., ) συγκίνει κατά Έτσι ο έεγχος της σύγκισης µιας ακοουθίας ( ) ( ) =,...,, του ανάγεται στην σύγκιση των «συνιστωσών» ακοουθιών πραγµατικών αριθµών ( ),, =,,..., Για παράδειγµα η ακοουθία y = ( ),, του ( βέπε παράδειγµα () ανωτέρω ), δεν είναι συγκίνουσα καθώς, όπως γνωρίζουµε, η ακοουθία ( ), δεν είναι συγκίνουσα στο. () Αν µια ακοουθία ( ) είναι συγκίνουσα στον Ευκείδειο χώρο, τότε το όριό της είναι µοναδικό. Αυτό έπεται εύκοα χρησιµοποιώντας τριγωνική ανισότητα Άγεβρα συγκινουσών ακοουθιών στον : Αν y y στον (α) + y + y (β) τότε: για κάθε (γ) y y ( εσωτερικό γινόµενο) Η απόδειξη των (α) (β) είναι ανάογη µε την αντίστοιχη ιδιότητα των πραγµατικών ακοουθιών έτσι αφήνεται ως άσκηση. ( Μπορεί να συναχθεί ακόµη από την πρόταση.5). Η απόδειξη της (γ) έπεται από την πρόταση.5 την αντίστοιχη ιδιότητα, για το όριο του γινοµένου πραγµατικών ακοουθιών.

3 Φραγµένες ακοουθίες στον.6 Ορισµός. Μια ακοουθία ( ) Μ > 0 : Μ για κάθε..7 Πρόταση. Κάθε συγκίνουσα ακοουθία αά όχι το αντίστροφο). έγεται φραγµένη αν υπάρχει του είναι φραγµένη ( Απόδειξη Έστω 0. Η µηδενική ακοουθία πραγµατικών αριθµών, είναι βέβαια φραγµένη, άρα υπάρχει c > 0 : 0 c για κάθε. Από την τριγωνική ανισότητα συµπεραίνουµε ότι ( ) = + + c+. Θέτουµε Μ = c+ Το παράδειγµα της ακοουθίας y ( ) =,, ( του παραδείγµατος () ανωτέρω ) η οποία δεν είναι συγκίνουσα στον, αά είναι φραγµένη. ( Εφόσον y = ( ) + y = +, για κάθε ) µας πείθει ότι το αντίστροφο της προηγουµένης πρότασης δεν ισχύει. Το θεµειώδες θεώρηµα του Bolzao για την πραγµατική ευθεία ισχύει γενικότερα για τον Ευκείδειο χώρο..8 Θεώρηµα (Bolzao). Έστω ( ) στοιχείων του Επειδή, τότε η ( ) =,...,, φραγµένη ακοουθία έχει συγκίνουσα υπακοουθία µέσα στον Απόδειξη: Υποθέτουµε για απότητα ότι. = έτσι ( ) =,,. a για κάθε N έπεται ότι οι δύο ακοουθίες πραγµατικών αριθµών ( ) ( ) είναι φραγµένες. Έστω ( l ) ( ) ώστε l ( θεώρηµα Bolzao για το ). Έπεται ότι η υπακοουθία ( ) της ( ) l l συγκίνουσα υπακοουθία έστω ( l ) Bolzao). Είναι τώρα σαφές ότι υπακοουθία ( ), l l της ( ) l συγκίνουσα υπακοουθία της που είναι βέβαια φραγµένη έχει µια ώστε (επίσης µε το θεώρηµα l από την πρόταση.5, έπεται ότι η είναι συγκίνουσα (, ) l + =. Όπως στην περίπτωση του ( ή ακόµη χρησιµοποιώντας την πρόταση.5), αποδεικνύεται η ακόουθη

4 ( ).9 Πρόταση: (α) Αν ( ), της ( ) (β) Αν συγκίνει στο ίδιο όριο ( τότε ). στο. ( ). τότε κάθε υπακοουθία Παρατήρηση: Μπορούµε να ορίσουµε την έννοια της ακοουθίας Cauchy (ή βασικής ακοουθίας ) στον (, ) πρόταση.5) ότι ο (, ) ( ) είναι συγκίνουσα στον ακοουθία είναι Cauchy κπ. να αποδείξουµε ( χρησιµοποιώντας την είναι πήρης χώρος, δηαδή ότι κάθε ακοουθία Cauchy. Ακόµη να αποδείξουµε ότι κάθε συγκίνουσα Επίσης µπορούµε να ορίσουµε την έννοια της σειράς στον να αποδείξουµε αντίστοιχα αποτεέσµατα όπως στον. Για παράδειγµα η σειρά του,, = όπου =,, είναι συγκίνουσα στον, εφόσον οι σειρές = = = π < +, =. Συνεπώς 6 π =, στον = 6. Οι παραπάνω ορισµοί αποδείξεις είναι ανάογοι µε τους αντίστοιχους ορισµούς αποδείξεις στο Παραδείγµατα: π )Να υποογιστούν τα όρια, αν υπάρχουν, li ηµ, συν li, + π Λύση: Η ακοουθία ηµ, συν, δεν είναι συγκίνουσα στο, εφόσον η π ακοουθία πραγµατικών συν, δεν είναι συγκίνουσα στο. Πράγµατι οι 4π υπακοουθίες συν = συν ( π ) =, ( + ) π π π συν = συν π + = 0, της ακοουθίας συν, συγκίνουν προφανώς σε διαφορετικά όρια. Για την δεύτερη ακοουθία παρατηρούµε ότι: + ακόµη ότι αφού αφού

5 Έπεται ότι, ( 0,0) )Να εεγχθεί αν οι ακοουθίες, (α) = ,... συν (β) y =, συγκίνουν να βρεθούν τα όριά τους οποτεδήποτε ηµ υπάρχουν. Λύση: Αρκεί σε κάθε περίπτωση να εέγξουµε τις συντεταγµένες ακοουθίες: (α) Η ακοουθία, εφόσον από το Λήµµα Cesaro. Η ακοουθία = άρα φορές συνεπώς Έπεται ότι (,) (β). συν συν Παρατηρούµε ότι ηµ για κάθε. Άρα ηµ έπεται ότι ηµ. Έτσι συµπεραίνουµε ότι Άρα ( 0,) y. ηµ = Παρατηρήσεις ) Η ακοουθία ηµ, δεν είναι συγκίνουσα. Αν συνέκινε έστω ηµ a, τότε θα είχαµε µε χρήση γνωστών τριγωνοµετρικών ταυτοτήτων: ( ηµ ( ) ηµ ) ηµ συν ( ) 0= li + = li + συνεπώς li συν = 0 (), + επίσης ( ) + ( συν συν ) ηµ ηµ ( ) + 0= li + = li +, άρα liηµ = 0 () Οι () () όµως αντιφάσκουν µε την γνωστή ταυτότητα ηµ + συν =, N. Υπενθυµίζουµε ότι: Αν, y τότε: y + y y + y ηµ ηµ y = ηµ συν συν συν y = ηµ ηµ ) Περαιτέρω σηµειώνουµε ότι η ακοουθία, έπεται από το θεώρηµα του Kroecer. ηµ είναι πυκνή στο [,]. Αυτό

6 ( Αν θ Q δηαδή άρρητος αριθµός τότε η ακοουθία 4 π iθ z = e, είναι πυκνή στο µοναδιαίο κύκο T { z C : z } i z e ηµ iσυν = =. Για θ = έχουµε ότι η π = = + είναι πυκνή στον κύκο Τ, από όπου έπεται ότι οι ακοουθίες συν είναι πυκνές στο [,] ηµ, σύνοο των ρητών στο ). ( Πρβ. το [6], σείδα 96-0.). Σηµειώνουµε ότι Q συµβοίζει το ) Το Λήµµα Cesaro ισχυρίζεται ότι, αν ( ) είναι ακοουθία πραγµατικών ώστε, µε , τότε. Ασκήσεις )Βρείτε τα όρια αν υπάρχουν των ακοουθιών: + 4! (α),, ( 0, ), (β) (γ),,, (δ)! ,, 5 8, )(α) ιατυπώστε τον ορισµό της ακοουθίας Cauchy ( βασικής ακοουθίας ) στον Ευκείδειο χώρο αποδείξτε ότι κάθε συγκίνουσα ακοουθία είναι Cauchy. (β) Αποδείξτε ότι ο Ευκείδειος χώρος είναι πήρης, δηαδή κάθε ακοουθία Cauchy είναι συγκίνουσα. )(α) Μια σειρά κ κ= πραγµατικών αριθµών στον συγκίνουσα σειρά είναι συγκίνουσα. (β) Αν η σειρά κ κ= έγεται απόυτα συγκίνουσα, αν η σειρά κ είναι συγκίνουσα. Αποδείξτε ότι κάθε απόυτα κ= είναι συγκίνουσα, αποδείξτε ότι η ακοουθία κ 0 [ Υπόδειξη για το (α): Η ακοουθία S = ,, των µερικών αθροισµάτων είναι Cauchy]. 4) Εξετάστε ως προς την σύγκιση ( απόυτη απή ) τις σειρές: (α) =,, (β)!, 4 5 = (γ) ( ) si,,. 5 =

Σχετικά έγγραφα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει