ГЛПБАЛНИ МИНИМУМ ВРЕМЕНА КРЕТАОА МЕХАНИЧКИХ СИСТЕМА СА ПГРАНИЧЕНИМ УПРАВЉАОИМА И РЕАКЦИЈАМА ВЕЗА

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ГЛПБАЛНИ МИНИМУМ ВРЕМЕНА КРЕТАОА МЕХАНИЧКИХ СИСТЕМА СА ПГРАНИЧЕНИМ УПРАВЉАОИМА И РЕАКЦИЈАМА ВЕЗА"

Transcript

1 УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТ Радослав Д. Радуловић ГЛПБАЛНИ МИНИМУМ ВРЕМЕНА КРЕТАОА МЕХАНИЧКИХ СИСТЕМА СА ПГРАНИЧЕНИМ УПРАВЉАОИМА И РЕАКЦИЈАМА ВЕЗА ДОКТОРСКА ДИСЕРТАЦИЈА Београд 017

2 UNIVERSITY OF BELGRADE FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING Radoslav D. Radulovć GLOBAL MINIMUM TIME FOR THE MOTION OF MECHANICAL SYSTEMS WITH LIMITED CONTROLS AND CONSTRAINT REACTIONS DOCTORAL DISSERTATION Belgrade 017

3 Комисија за преглед оцену и одбрану докторске дисертације Ментори: др Драгомир Зековић редовни професор Машински факултет Универзитета у Београду др Александар Обрадовић редовни професор Машински факултет Универзитета у Београду Чланови комисије: др Никола Младеновић редовни професор Машински факултет Универзитета у Београду др Зоран Стокић ванредни професор Машински факултет Универзитета у Београду др Славиша Шалинић ванредни професор Факултет за машинство и грађевинарство у Краљеву Универзитет у Крагујевцу Датум одбране:

4 Изјаве захвалности Аутор изражава неизмерну захвалност својим менторима проф. др Драгомиру Зековићу и проф. др Александру Обрадовићу на изузетној стручној помоћи и несебичној моралној подршци коју су му током свих ових година прижили. Такође аутор користи ову прилику да се најтоплије захвали проф. др Оливери Јеремић и проф. др Милану Дражићу на стручној помоћи и корисним саветима. У Београду 017. године Аутор

5 ГЛОБАЛНИ МИНИМУМ ВРЕМЕНА КРЕТАЊА МЕХАНИЧКИХ СИСТЕМА СА ОГРАНИЧЕНИМ УПРАВЉАЊИМА И РЕАКЦИЈАМА ВЕЗА Резиме Предмет истраживања ове докторске дисертације је формирање нових аналитичконумеричких поступака у циљу одређивања глобалног минимума времена кретања како материјалне тачке тако и холономних и нехолономних механичких система константне и променљиве масе са ограниченим управљањима и ограниченим реакцијама веза у општем случају. Посебна пажња у дисертацији биће посвећена одређивању диференцијалних једначина кретања нехолономних механичких система у конфигурационом простору V m а затим водећи рачуна о чињеници да се само оно време које је присутно у једначинама реономних веза и на оним местима где се јавља као последица замене зависних координата помоћу тих веза може разматрати као допунска координата изведене су диференцијалних једначина кретања нехолономних механичких система у проширеном конфигурационом простору Vm 1. Формулисани проблеми оптимизације решени су у оквиру теорије оптималног управљања користећи Понтрјагинов принцип максимума и теорију сингуларних оптималних управљања. У поступку одређивања решења постављеног двотачкастог граничног проблема (TPBVP) неопходно је претходно одредити процену интервала вредности непознатих граничних фазних и спрегнутих координата. Имајући у виду да не постоји теорема о јединствености и егзистенцији решења постављеног TPBVP природно се намећу следећа питања која ће бити разматрана у оквиру ове докторске дисертације: да ли постоји решење постављеног TPBVP? да ли је могуће у општем случају одредити процену интервала вредности свих непознатих граничних фазних и спрегнутих координата? као и да ли се може одредти општи нумерички поступак за одређивање свих могући решења TPBVP? Затим биће разматрани различити већ постојећи нумерички алгоритми (shootng

6 method Nelder Mead method genetc algorthm dfferental еvoluton smulated annealng random search C-GRASP algorthm) у циљу изналажења оптималних вредности параметара који утичу на тачност и брзину конвергенције решења уз дату упоредну анализа решења нумеричких алгоритама за глобалну оптимизацију. Такође урађене су и одређене модификације постојећих односно развој нових у циљу добијања што поузданијег нумеричког алгоритма за глобалну оптимизацију имајући у виду предности и мане већ постојећих нумеричких алгоритама. У досадашњој литератури и публикованим научним радовима нису разматрана постављена питања коју су од суштинског значаја при одређивању глобалног минимума времена кретања како материјалне тачке тако и холономних и нехолономних механичких система. Одговори на постављена питања дати у овој докторској дисертацији представљају крајњи циљ истраживања а самим тим и научне доприносе успешном реализацијом истих. Кључне речи: проширени конфигурациони простор једначине кретања материјална тачка механички системи TPBVP глобални минимум времена брахистохрони проблем изопериметријски проблем оптимално управљање сингуларно оптимално управљање реализација кретања реакције веза управљачке силе нумеричке методе глобалне оптимизације Mathematca MatLab Научна област: Машинство Ужа научна област: Механика УДК број:

7 GLOBAL MINIMUM TIME FOR THE MOTION OF MECHANICAL SYSTEMS WITH LIMITED CONTROLS AND CONSTRAINT REACTIONS Abstract The research topc of ths doctoral thess s the establshment of new analytcal-numercal procedures to determne the global mnmum tme for the moton of both the partcle and the varable and nvarable-mass holonomc and nonholonomc mechancal systems wth lmted controls and lmted reactons of constrants n a general case. Specal attenton s drected to determnng dfferental equatons of moton of nonholonomc mechancal systems n the confguraton space V m and thereafter takng nto account the fact that only the tme whch s present n the rheonomc constrants and at the locatons where t occurs as a consequence of the substtuton of dependent coordnates by the help of these constrants can be consdered as a supplementary coordnate dfferental equatons of moton of nonholonomc mechancal systems n the extended confguraton space Vm 1 are derved. The formulated optmzaton problems are solved wthn the framework of the optmal control theory usng Pontryagn s maxmum prncple and the sngular optmal control theory. In the procedure of seekng a soluton to a set up two-pont boundary value problem (TPBVP) t s needed frst to estmate the nterval of values of unknown boundary phase and conjugate coordnates. Takng nto account that there s not a theorem on the unqueness and exstence of the soluton to a set up TPBVP t s reasonable that some questons are mposed to be consdered n ths doctoral thess: Is there a soluton to TPBVP s t possble n a general case to estmate the nterval of values of all unknown boundary phase and conjugate coordnates and s t possble to determne a general numercal procedure for determnng all potental solutons of TPBVP? Thereafter consderatons nvolve dfferent already exstng numercal algorthms (shootng method Nelder Mead method genetc algorthm dfferental evoluton smulated annealng random search C- GRASP algorthm) n order to fnd optmum values of parameters that affect the accuracy

8 and rate of the convergence of soluton along wth gven comparatve analyss of the solutons to numercal algorthms for global optmzaton. Also certan modfcatons are carred out of the exstng.e. development of new ones n order to obtan as relable numercal algorthm as possble for global optmzaton keepng n mnd advantages and dsadvantages of the exstng numercal algorthms. In the current lterature and publshed scentfc papers the questons posed have not been consdered and they are of fundamental mportance when determnng the global mnmum tme for the moton of both partcle and holonomc and nonholonomc mechancal systems. The responses to posed questons gven n ths doctoral thess represent the ultmate objectve of the research and thereby a scentfc contrbuton to ts successful accomplshment. Key words: extended confguraton space equatons of moton partcle mechancal systems TPBVP global mnmum tme brachstochrone problem sopermetrc problem optmal control sngular optmal control realzaton of moton reactons of constrants control forces numercal methods for global optmzaton Mathematca MatLab Scentfc dscplne: Mechancal engneerng Scentfc subdscplne: Mechancs UDC number:

9 Садржај: Увод... 1 Диференцијалне једначине кретања механичких система са линеарним нехомогеним нехолономним везама разне форме и њихова еквивалентност Уводна разматрања Маџијеве једначине... 9 Волтерине једначине Вороњчеве једначине Чаплигинове једначине Генералисане Волтерине једначине Ферерсове једначине БолцманХамелове једначине Апелове једначине Лагранжеве једначине друге врсте са неодређеним множитељима Диференцијалне једначине кретања реономних механичких система са линеарним нехомогеним нехолономним везама разне форме и њихова еквивалентност Волтерине једначине Вороњчеве једначине Чаплигинове једначине Генералисане Волтерине једначине Ферерсове једначине БолцманХамелове једначине Апелове једначине... 6

10 Лагранжеве једначине друге врсте са неодређеним множитељима а) Нехолономни механички систем променљиве масе са управним брзинама б) Чаплигинове саонице в) Упрошћен модел возила Литература Глобални минимум времена при брахистохроном кретању материјалне тачке са ограниченом реакцијом везе Формулација проблема оптималног управљања Решење проблема оптималног управљања за случај неограничене реакције везе.. 93 Решење проблема оптималног управљања за случај ограничене реакције везе Литература... 1 Глобални минимум времена при брахистохроном кретању материјалне тачке у произвољном потенцијалном пољу сила Формулација проблема оптималног управљања Решење проблема оптималног управљања Одређивање интервала вредности непознатих координата спрегнутог вектора у почетном тренутку Нумерички пример Глобални минимум времена при брахистохроном кретању холономног механичког система Формулација проблема оптималног управљања Одређивање интервала вредности непознатих координата спрегнутог вектора у почетном тренутку Нумерички пример

11 Нумерички пример Литература Глобални минимум времена при брахистoхроном кретању нехолономног механичког система Формулација проблема оптималног управљања Нумерички пример Случај φf π/ Случај φ π/ 30 f Случај φ f Случај φf π Нумерички пример Анализа брахистохроног кретања система за граничне случајеве почетног положаја материјалне тачке В... 0 V t... 0 Случај B Случај B Случај 0 0 V t E m B 0 0 /... V t E m 0 0 /... 3 Литература... 8 Глобални минимум времена при брахистохроном кретању нехолономног механичког система са ограниченим управљањима Брахистохрони проблем као задатак оптималног управљања Решење проблема оптималног управљања за случај ограничених управљачких сила... 55

12 Нумерички пример Случај φ f = π / Случај φ f = π / Случај φ f = Случај φ f = π Решење проблема оптималног управљања за случај ограничених реакција нехолономних веза... 9 Литература Брахистохроно кретање нехолономног механичког система Чаплигиновог типа као изопериметријски проблем Пример Пример Литература Закључци... 3 Прилози... Прилог.1... Биографија... Изјава о ауторству... Изјава o истоветности штампане и електронске верзије докторског рада... a Изјава о коришћењу... b

13 Увод У последње три деценије значајно се променило схватање улоге рачунара у науци од спорих компликованих и тешко доступних машина до савремених рачунара и нумеричких алгоритама који све више мењају устаљени начин нашег размишљања. Многи напуштени и тешко решиви проблеми појавили су се у потпуно новом светлу о чему сведочи и ова докторска дисертација. Главни циљ ове докторске дисертације састоји се у одређивању глобалног минимума времена кретања како материјалне тачке тако и холономних и нехолономних механичких система константне и променљиве масе са ограниченим управљањима и ограниченим реакцијама веза у општем случају. Формулисани проблеми оптимизације решени су у оквиру теорије оптималног управљања користећи Понтрјагинов (руски: Лев Семёнович Понтрягин енглески: Lev Semyonovch Pontryagn ) принцип максимума и теорију сингуларних оптималних управљања. У основи теорије оптималног управљања је Понтрјагинов принцип максимума који даје потребне услове оптималности за широку класу проблема програмског управљања. Теорија оптималног управљања представља надоградњу класичног варијационог рачуна и даје могућност проширења примене на решавање нових сложенијих задатака наметнутих развојем савремене технике. Како је класичан брахистхрони проблем кога је формулисао Јохан Бернули (Johann Bernoull )1696. године у часопису Acta Erudtorum насловом Problema novum ad cujus Solutonem Mathematc nvtantur. Dats n plano vertcal duobus puncts A et B. Assgnare mobl M vam AMB per quam gravtate sua descendens et mover ncpens a puncto A brevssmo tempore pervenat ad alterum punctum Bˮ био камен темељацˮ за настанак и развој варијационог рачуна природно је да и савремена теорија оптималног управљања чији се настанак везује за годину када је Понтрјагин формулисао принцип максимума има своју потпуну примену у решавању проблема оптимизације 1

14 механичких система. Имајући у виду важност класичног брахистхроног проблема за развој не само варијационог рачуна већ и математике и механике генерално 1 у овој докторској дисертацији посебна пажња биће посвећена управо брахистохроним проблемима. Многи разматрани проблеми у овој докторској дисертацији указују на постојање сингуларних управљања за које се потребни услови принципа максимума дегенеришу на облик из којег није могуће експлицитно одредити екстремална управљања. Имајући у виду да су услови принципа максимума неефективни за одређивање оптималних сингуларних управљања неопходно је такође указати на допунске услове оптималности (Келијеви услови и услови спрезања) за сингуларна управљања. У том смислу докторска дисертација је подељена на седам поглавља. У првом поглављу најпре су изведене диференцијалне једначине кретања механичког система променљиве масе у коваријантном облику чије кретање ограничавају како холономне тако и нехолономне механичке везе за које се узима да су линеарне стационарне и нехомогене. Затим аутор доказује потпуну еквивалентност изведене форме са следећим добро познатим формама диференцијалних једначина кретања: Маџијевим (G. A. Magg) једначинама; Волтериним (V. Volterra) једначинама; Вороњчевим (P.V.Voronets) једначинама; 1 Теоријске основе варијационог рачуна поставили су Ојлер (Leonhard Euler ) и Лагранж (Joseph-Lous Lagrange ) у XVIII веку. Доприносе варијационом рачуну дали су и бројни врсни математичари током XVIII и XIX века као што су: Лежандре (Adren-Mare Legendre ) Јакаби (Carl Gustav Jacob Jacob ) Хамилтон (Sr Wllam Rowan Hamlton ) Вајерштрас (Karl Theodor Wlhelm Weerstrass ) Хилберт (Davd Hlbert ) и многи други. Хилберт је чак варијационом рачуну посветио један од својих знаменитих проблема. У 3. Хилбертовом проблему позивају се математичари да развијају методе варијационог рачуна.

15 Чаплигиновим (руски: Серге й Алексе евич Чаплы гин енглески: Sergey Alexeyevch Chaplygn ) једначинама; Генералисаним Волтериним једначинама; Ферерсовим (Н. М. Феррерс) једначинама; БолцманХамеловим (Ludwg Eduard Boltzmann ; Georg Karl Wlhelm Hamel ) једначинама; Апеловим (Paul Appell ) једначинама; Лагранжевим једначинама друге врсте са неодређеним множитељима; Овде је битно напоменути да литература у којој се разматрају нехолономни механички системи променљиве масе са различитих аспеката је веома оскудна. Детаљан преглед релевантне литературе у оквиру које су разматрани холономни механички системи променљиве масе са различитих аспеката дат је у [Obradovć Šalnć Jeremć 014; Cvetćann 1998; Cvetćann 016; Irschk Belyaev 014]. Диференцијалне једначине кретања механичког система константне масе у коваријантном и контраваријантном облику чије кретање ограничавају нехолономне хомогене везе приказане су у дисератцији [Čovć 1976] (Вукман Човић ). Преглед релевантне литературе у оквиру које су разматрани нехолономни механички системи са различитих аспеката дат је у [Soltakhanov Yushkov Zegzhda 009; Nemark Fufaev 1967; Bloch 003; Kovačć 00]. Детаљна анализа решења проблема материјалне реализације нелинеарних нехолономних веза дата је у раду [Zekovć 011.а]. У раду [Zekovć 011.b] изведен је најопштији тип диференцијалних једначина 3 кретања механичког система са нелинеарним нехолономним везама док се у раду [Zekovć 013] анализира кретање нехолономног механичког система који се састоји од две материјалне тачке којима су наметнута различита нелинеарна ограничења у виду паралених брзина брзина које су једнаке по интензитету као и управних брзина. У раду [Zekovć 011.c] разматра се кретање нелинеарног Такође приказе су и претходно поменуте форме диференцијалних једначина кретања. 3 Овде једначине представљају генерализацију Поенкареових (Jules Henr Poncaré ) једначина. 3

16 нехолономног механичког система у нерезонантном случају који се састоји од две материјалне тачке које су везане лаким механизмом типа вилаˮ којима је наметнуто ограничење у виду управности брзина посредством Чаплигинових сечива. У раду [Zekovć 015] анализирају се енергетске релације за нехолономне механичке системе чије кретање је ограничено нелинеарним нехолономним везама док се у раду [Mušck Zekovć 016] анализирају енергетске релације за нехолономне механичке системе чије кретање је ограничено нехолономним везама произвољног облика и порекла. За механичке системе са линеарним везама анализа енергетских релација урађена је у [Lure 00; Teodorescu 009; Johnsen 1941; Đukć 1974; Bahar Kwatny 1987; Papastavrds 1991]. У раду [Chang Ge 198] разматра се примена Канових (Thomas R. Kane 194) једначина у раду [Ge 1984] примена Даламбер (Jean-Baptste le Rond d'alembert )-Лагранжевог принципа док се у раду [Qao 1990] разматра примена Гибс (Josah Wllard Gbbs )- Апелових једначина. У раду [Ge Cheng 1983] проширен је Хамилтонов принцип за најопштији нехолономни механички систем променљиве масе. Са друге стране у раду [Luo Zhao 1993] изведене су Раутове (Edward John Routh ) једначине за механички систем променљиве масе који се креће у неинерцијалном референтном систему чије кретање ограничавају нелинеарне нехолономне везе. У дисертацији [Jeremć 1998] изведене су Лагранжеве једначине друге врсте за нехолономне нестационарене динамичке системе у Vn 1 простору као и генералисане реакције нехолономних веза. Дисертација [Kovačć 00] има за циљ детаљну анализу методе поља у хронолошком низу-метода поља генералисане коодринате уз проширење примене ове методе на поједине проблеме нехолономне механике и теорије нелинеарних осцилација. У другом делу другог поглавља полазећи од тога да су сада како холономне тако и нехолономне механичке везе линеарне нестационарне и нехомогене аутор изводи диференцијалне једначине кретања механичког система променљиве масе у коваријантном и контраваријантном облику у проширеном кофигурационом простору Vm 1 кинематски независних координата које одговарају независним 4

17 генералисаним брзинама. Проблеми динамике реономних система у основи се састоје у налажењу таквог простора у коме диференцијалне једначине кретања разматраног механичког система поред тога што су сагласне са геометријским концептом уоченог простора одражавају суштину механичког система на најједноставнији начин. У проширеном конфигурационом простору кинематски независних координата док је координата представља ва координата допунска односно реономна координата. Разматрајући сада кретање механичког система у простору у коме се време третира као било која друга просторна координата створили су се услови за геометризацију реономних механичких система која је знатно сложенија у односу на геометризацију склерономних механичких система код којих време игра улогу само независно променљиве. Гавни разлог томе лежи у чињеници да величине које карактеришу ове системе у општем случају зависе експлицитно од времена што има за последицу неинваријантност основних диференцијалних једначина кретања у односу на трансформације коорднината које између осталог зависе и од времена тј. у односу на групу кинематских трансформација координата [Jeremć 1998]. Затим изведене су Маџијеве Волтерине Вороњчеве Чаплигинове Генералисане Волтерине Ферерсове БолцманХамелове Апелове и Лагранжеве једначине друге врсте са неодређеним множитељима у проширеном кофигурационом простору. Vm 1 У другом поглављу разматра се брахистохроно кретање материјалне тачке у вертикалној равни у хомогеном гравитационом пољу силе Земљине теже како за случај неограничене тако и случај ограничене реакције везе до фиксних граница. У овом поглављу извршено је уопштење поменутог класичног брахистохроног проблема постављеног године од стране Јохана Бернулија 4. Аутор брахистохрони проблем сада поставља у следећем облику: потребно је одредити m 1 m m 4 Брахистохрони проблем заправо је први разматрао Галилео Галилеј (Galleo Galle ) у свом раду Two New Scencesˮ из године (Galleo G. TWO пп. 97 и 1-13). Галилејев закључак није потпуно тачан али је свакако послужио као инспирација Јохану Бернулију да јавно изазове све математичаре света у јуну година да реше брахистохрони проблем. 5

18 облик глатке криве y y x произвољног положаја облика која ће обезбедити да тачка која започиње кретање из M x y стигне на унапред одређену многострукост за најкраће време. Како бисмо боље сагледали постављени проблем у наставку дат је детаљан приказ остварених научних резултата на овом пољу имајући у виду притом литературу приказану на крају другог поглавља. Решење постављеног Бернулијевог проблема 5 добили су независно један од другог Јохан Бернули 6 Јакоб Бернули (Jacob Bernoull ) Исак Њутн (Sr Isaac Newton /7) Готфрид Вилхелм Лајбниц (Gottfred Wlhelm (von) Lebnz ) Ehrenfred Walther von Tschrnhaus ( ) и Гијом де Лопитал (Gullaume Franços Antone Marqus de l'hôptal ). Генерализација класичног брахистхроног проблема извршена је у оквиру варијационог рачуна [Elsgolc 1963; Gelfand 1964] или теорије оптималног управљања [Pontryagn Boltyansk Gamkreldze Mshchenko 196; Gabasov Krllova 1973]. Недавно је у [Parnovsky 1998] коришћењем Фермаовог принципа извршена генерализација брахистохроног проблема за случај нехомогеног гравитационог поља као и за случај хомогеног гравитационог поља при постојању отпора услед сувог и вискозног трења. У радовима [Ashby Brttn Love Wyss 1975; Gershman Nagaev 1976; Hayen 005 Šalnć 009; Van der Hejden Depstraten 1975; Vratanar Saje 1998; von Klenschmdt Schulze 1970; Shevchenko 1984; Shevchenko 1986; Sngh Kumar 1988] коришћењем варијационог рачуна разматран је проблем брахистохроног кретања материјалне тачке у пољу различитих врста сила док је у [Ivanov 1968; Russalovskaya Ivanov Ivanov 1973] разматрано брахистохроно кретање материјалне тачке променљиве масе. У радовима [Đukć 1976; Čovć Veskovć 008; Masser 1998] разматра се Ψ xy 0 f 5 Решење класичног брахистохроног проблема је циклоида. 6 Јохан Бернули је решио брахистхрони проблем користећи Фермаов (Perre de Fermat ) прицип (видети [Erlchson 1999; Čovć Lukačevć Veskovć 007]). 6

19 брахистхроно кретање материјалне тачке на површи и то у случају: глатке површи [Đukć 1976] Кулоновог (Charles-Augustn de Coulomb ) трења [Čovć Veskovć 008] и вискозног трења [Masser 1998]. У раду [Čovć Veskovć 008] показано је да резултати из [Ashby Brttn Love Wyss 1975; Hayen 005; Vratanar Saje 1998] представљају специјалне случајеве брахистхроног кретања материјалне тачке по површи. У радовима [Đukć Atanackovć 1976; Dooren Vlassenbroeck 1980; Lpp 1997; Hennessey Shakban 010; Gershman Nagaev 1979] брахистохрони проблем је решен користећи теорију оптималног управљања. Решење класичног брахистохроног проблема као задатка оптималног управљања применом Чебишевљевог (руски: Пафнутий Львович Чебышёв енглески: Pafnuty Lvovch Chebyshev ) низа приказано је у раду [Dooren Vlassenbroeck 1980] док је аналитичко решење проблема брахистохроног кретања при постојању Кулонове силе трења клизања приказано у раду [Lpp 1997]. У раду [Jeremć Šalnć Obradovć Mtrovć 011] разматра се брахистохроно кретање материјалне тачке променљиве масе у произвољном пољу познатих потенцијалних и непотенцијалних сила користећи Понтрјагинов принцип максимума [Pontryagn Boltyansk Gamkreldze Mshchenko 196; Bryson Ho 1975] и теорију сингуларних оптималних управљања [Gabasov Krllova 1973; Krk 004] где је за управљачку променљиву узет други извод координате y x у односу на независно променљив x 7 тј. u = d y / dx. У раду [Šalnć Obradovć Mtrovć Rusov 011] разматра се брахистохроно кретање материјалне тачке у произвољном пољу сила за случај ограничене силе реакције везе до фиксних граница. Крива се третира као билатерална или унилатерална веза која може да буде глатка или храпава. Као и у раду [Jeremć Šalnć Obradovć Mtrovć 011] за управљачку променљиву је такође узет други извод координате y x у односу на независно променљиву x. Брахистохрони проблем у другом поглављу решен je као задатак оптималног управљања користећи Понтрјагинов принцип максимума [Pontryagn Boltyansk 7 Независно променљива величина x представља хоризонталну координату материјалне тачке. 7

20 Gamkreldze Mshchenko 196; Bryson Ho 1975; Letman 1966] и теорију сингуларних оптималних управљања [Obradovć 1994; Gabasov Krllova 1973; Krk 004; Letmann 1981] узимањем пројекције силе реакције везе за управљачку променљиву 8. Затим су одређене параметарске једначине трајекторије тачке M као и закон промене брзине тачке. Дат је општи нумерички поступак за одређивање вишеструких решења одговарајућег двотачкастог граничног проблема (TPBVP 9 ) како за случај неограничене тако и случај ограничене реакције везе. Нумерички алгоритам GMTBMP() коришћен у овом поглављу формиран је у програмском окружењу MatLab. Програм GMTBMP() у основи представља Монте Карло (Monte Carlo) метод уз одређене модификације у циљу брже и поузданије конвергенције у односу на већ постојеће нумеричке алгоритме. Како је смањење граничне вредности реакције везе праћено смањењем временског интервала који одговара сингуларном делу оптималног управљања одређени су такође непознати гранични услови TPBVP за случај минималне граничне вредност реакције везе. У трећем поглављу разматра се проблем брахистохроног кретања материјалне тачке која се креће сада у еуклидовом (Eucld 300. п. н. е.) тродимензионалном простору E 3. Тачка М креће се у произвољном потенцијалном пољу сила. Брахистохрони проблем је формулисан као задатак оптималног управљања користећи Понтрјагинов принцип максимума узимањем пројекција брзине тачке за управљачке променљиве. Брахистохрони проблем састоји се у одређивању оптималних управљања као и њима одговарајућих координата стања тако да тачка полазећи из почетног положаја M x y z пређе у крајњи положај на многострукост уз неизмењену вредност механичке енергије за минимално време. У трећем поглављу дат је поступак процене интервала вредности координата спрегнутог Ψ x y z 0 f 8 Независно променљива величина у овом случају је време t. 9 На енглеском: two-pont boundary value problem (TPBVP). 8

21 вектора у почетном тренутку а услед хомогености спрегнутог система директно су пропорционалне изабраној непозитивној вредности координате. На основу датих процена може се тврдити да се сва решења одговарајућег TPBVP сигурно налазе унутар датих интервала а самим тим и глобални минимум времена при брахистохроном кретању тачке. У случају вишеструких решења принципа максимума глобални минимум је оно решење које одговара минималном времену. Решења одговарајућег TPBVP (непознате вредности величина стања на границама интервала кретања) могуће је и графички представити у простору непознатих величина тачкама добијеним пресеком одговарајућих линија где број тачака одговара броју решења TPBVP а координате тачака у разматраном простору одговарају решењима TPBVP. У четвртом поглављу 10 разматра се брахистохроно кретање холономног склерономног механичког система. Систем се креће у произвољном пољу потенцијалних сила. Користећи варијациони рачун у раду [McConnell 1930] извршена је генерализација проблема брахистохроног кретања конзерватиног холономног механичког система са λ0 0 n степена слободе (DOF 11 ) кретања. У четвртом поглављу проблем је формулисан као задатак оптималног управљања користећи Понтрјагинов принцип максимума где су генералисане брзине узете као променљиве управљања. У поступку решавања формулисаног проблема оптималног управљања могу се искористити методе који се генерално сврставају у две главне групе и то индиректне и директне методе. Преглед литературе у вези ових метода може се видети на пример у раду [Bertolazz Bral Da Lo 006]. Директне методе заснивају се на дискретизацији формулисаног задатка оптималног управљања у циљу добијања проблема нелинеарног програмирања (или проблема нелинеарне оптимизације) док се индиректне методе заснивају на нумеричком решавању одговарајућег TPBVP. У четвртом поглављу користи се поступак графичког представљања решења за механичке системе до 3 DOF кретања док за механичке система са произвољним 10 Детаљан приказ остварених научних резултата на овом пољу дат је на крају четвртог поглавља. 11 На енглеском: degrees of freedom (DOF). 9

22 бројем n DOF кретања користе се различите нумеричке методе глобалне оптимизације. Одговарајући TPBVP решен је различитим већ постојећим нумеричким алгоритмима (shootng method Nelder Mead method genetc algorthm dfferental evoluton smulated annealng random search C-GRASP algorthm) у циљу изналажења оптималних вредности параметара који утичу на тачност и брзину конвергенције решења уз дату упоредну анализу решења нумеричких алгоритама за глобалну оптимизацију. Затим је развијен нови нумерички поступак 1 на основу кога смо у могућности да графички представимо функцију грешке. Недостатак методе гађања 13 [Stoer Bulrsch 1993] као и нумеричких метода глобалне оптимизације начелно се састоји у томе што је конвергенција нумеричког решења TPBVP веома осетљива на почетни скуп недостајућих граничних вредности (почетну итерацију). Другим речима да би се остварила конвергенција потребно је да почетна итерација буде довољно близуˮ неког од решења TPBVP. Процена интервала вредности непознатих граничних фазних координата начелно се може одредити имајући у виду њихову физичку интерпретацију док процена интервала вредности непознатих граничних спрегнутих координата представља прави изазов имајући у виду да спрегнуте променљиве немају физичку интерпретацију. У том смислу у наставку предложене су различите методе за процену интервала вредности непознатих граничних спрегнутих координата. У раду [Dxon Bggs 197] приказан је метод у коме се спрегнуте координате у почетном тренутку изражавају у односу на променљиве стања за које као што је речено можемо одредити процену интервала вредности. У раду [Seywald Kumar 1996] користи се метод заснован на динамичком програмирању док се у раду [Fahroo Ross 001] користи Лежандреов (Adren-Mare Legendre ) псеудоспектрални метод 14. Са друге стране у радовима 1 Који се састоји у одређивању минималне вредности шутинг функције (функције грешке) при * унапред задатом крајњем тренутку од почетног t0 0 до задатког t t са одређеним кораком h. 13 Назив метод гађања је слободан превод енглеског термина shootng methodˮ док ће убудуће бити коришћен термин метод шутинга или шутинг метод. 14 Концизан преглед псеудоспектралног метода дат је у раду [Hull 008]. 10

23 [Grachen Pett 008; Jang Baoyn L 01] приказана су два различита поступка заснована на хомотопском приступу. У раду [Park Gubout Scheeres 006] представљен је метод заснован на теорији канонских трансформација и генерисању функција (generatng functons) у Хамилтоновој (Sr Wllam Rowan Hamlton ) динамици. У раду [Obradovć Šalnć Jeremć Mtrovć 014] одговарајућим избором функција управљања 15 избегнута је потреба за проценом интервала вредности непознатих граничних координата спрегнутог вектора у почетном тренутку. Коначно у недавно објављеном раду [Mehrpouya Shams 015] након формирања TPBVP одговарајућег задатка оптималног управљања врши се модификација самог TPBVP помоћу континуалних метода као и дискретизација коришћењем Гаусове (Johann Carl Fredrch Gauss ) псеудоспектралне методе чиме се добија систем нелинеарних алгебарских једначина. Нумеричким решавањем овог система добијене су апроксимативе вредности недостајућих координта спрегнутог вектора. У четвртом поглављу увођењем линеарне трансформације координата спрегнутог вектора одговарајућа позитивно дефинитна квадратна форма одређена у почетном тренутку своди се на канонски облик. Глобална процена интервала вредности непознатих координата спрегнутог вектора у почетном тренутку одређена је на основу канонске форме. Поступак је илустрован најпре на примеру брахистохроног кретања диска у вертикалној равни у хомогеном пољу силе Земљине теже а затим и на примеру брахистохроног кретања сфере у простору где је указано на постојање вишеструких решења. Део научних резултата изложених у четвртом поглављу публиковани су у реномираном часопису Meccanca категорије M1 [Radulovć Obradovć Šalnć 017]. У петом поглављу разматра се брахистохроно кретање склерономног механичког система чије кретање је ограничено нехомогеним нехолономним везама у општем 15 За управљачке променљиве узети су први изоди по времену генералисаних брзина тј. s s u q s 1 n 1. 11

24 случају. Проблем је формулисан као задатак оптималног управљања користећи Понтрјагинов принцип максимума где су квазибрзине узете као променљиве управљања. Брахистохрони проблем састоји се у одређивању оптималних управљања као и њима одговарајућих генералисаних координата тако да механички систем из одређеног почетног положаја пређе у крајњи положај на задатој многострукости уз неизмењену вредност механичке енергије за минимално време. У раду [Obradovć Čovč Veskovć Dražć 010] разматра се општи случај брахистохроног кретања реономног механичког система чије кретање је ограничено линеарним реономним нехолономним везама где су као пример узете Чаплигинове саонице које се крећу по хоризонталној санти леда чији је закон кретања познат. У разматраном примеру где се TPBVP своди се на решавање четворо-параметарског шутинга нису одређене процене интервала вредности недостајућих граничних услова као ни могућност постојања вишеструких решења TPBVP при крајњој вредности угла φ π/4. У раду [Radulovć Obradovć Jeremć 014.a] разматра се f брахистохроно кретање упрошћеног модела возила између два задата положаја у хоризонталној равни. Процена интервала вредности недостајућих граничних услова у овом случају се може одредити. Решење TPBVP при крајњој вредности угла φf π / је јединствено. У раду [Radulovć Zekovć Lazarevć Segla 014.b] разматра се брахистохроно кретање нехолономног механичког система са управним брзинама. Брахистхрони проблем у претходно поменутом раду формулисан је као задатак оптималног управљања16 где се TPBVP у овом случају такође своди на решавање четворо-параметарског шутинга код кога није било могуће дати процене интервала вредности непознатих координата λx и λy спрегнутог вектора. Имајући у виду да не постоји теорема о јединствености и егзистенцији решења TPBVP природно се намећу следећа питања која на пример у раду [Šalnć Obradovć Mtrovć 013] нису разматрана: да ли уопште постоји решење одговарајућег TPBVP при познатом почетном и крајњем положају разматраног механичког система? да ли 16 За управљачке променљиве узете су брзине тачака А и В респективно. 1

25 се може одредити процена интервала вредности свих недостајућих граничних услова? као и да ли постоји општи поступак за одређивање свих могућих решења TPBVP? Имајући у виду важност ових питања како бисмо са сигурношћу могли да тврдимо да постоји решење TPBVP као да је добијено решење и оптимално проистекла је мотивација аутора за писањем овог поглавља. У петом поглављу показано је да се глобална процена свих координата спрегнутог вектора у почетном тренутку у општем случају не може дати. Поступак је илустрован најпре на примеру брахистохроног кретања Чаплигинових саоница где је показано под којим условима се може одредити глобални минимум времена а затим и на примеру брахистохроног кретања нехолономног механичког система са управним брзинама. Део научних резултата до којих се дошло у петом поглављу публиковани су у реномираном часопису Mathematcs and Mechancs of Solds категорије M1 [Radulovć Šalnć Obradovć 016]. У шестом поглављу разматра се брахистохроно кретање нехолономног механичког система променљиве масе са ограниченим управљањима. Нехолономни механички систем креће се у произвољном пољу познатих потенцијалних и непотенцијалних сила. Истраживање аутора на овом пољу није било инспирисано само потребом да допринесе проширењу постојећем фундаменталном знању већ и различитим применама у инжењерској пракси [Legeza 008; Legeza 010.a; Legeza 010.b; Gershman Nagaev 1979; Đukć 1976; Masser 1998; Hennessey Shakban 010]. Следећи скуп рефернци обухвата референтне радове у којима се разматра брахистохроно кретање крутог тела [Legeza 008; Legeza 010.a; Legeza 010.b; Đukć 1976; Akulenko 009] односно брахистохроно кретање система крутих тела [Čovć Lukačevć Veskovć 007; Čovć Lukačevć 1999; Čovć Veskovć 00; Čovć Veskovć 009]. У раду [Čovć Lukačevć 1981] разматра се брахистохроно кретање холономног склерономног неконзервативног механичког система на кога дејствују активне силе које су експлицитно функције времена генералисаних коорднината и генералисаних брзина. Брахистохроно кретање конзервативног нехолономног механичког система разматрано је у раду [Đukć 1979] где су притом формиране диференцијалне једначине кретања разматраног система и одређене управљачке 13

26 силе. У раду [Čovć Lukačevć 1984] разматра се брахистохрони проблем механичког система чије кретање ограничавају нехолономне хомогене линеарне везе. У раду [Zekovć Čovć 1993] разматра се брахистохрони проблем механичког система чије кретање ограничавају нехолономне нехомогене линеарне везе док се у раду [Zekovć 1990] разматра брахистохрони проблем механичког система чије кретање ограничавају нелинеарне нехолономне везе у општем случају. У раду [Čovć Lukačevć 1999] разматран је брахистохрони проблем проширен на систем крутих тела у форми затвореног кинематског ланца без спољашњих веза док је у раду [Čovć Veskovć 00] разматран брахистохрони проблем система крутих тела у форми затвореног кинематског ланца који се крећу у хомогеном гравитационом пољу где је кретање разматраног система ограничено спољашњим везама. Брахистохроно кретање система крутих тела у познатом потенцијалном пољу сила и сила Кулоновог трења у специјалном случају разматрано је у раду [Čovć Veskovć 009] где је показано да постоји потпуна аналогија између брахистохроног кретања механичог система са два степена слободе кретања чији је метрички тензор константан и брахистохроног кретања материјалне тачке под дејством сила вискозног и Кулоновог трења. У раду [Šalnć Obradovć Mtrovć 01] инспирисани идејама из рада [Čovć Veskovć 009] аутори разматрају брахистохрони проблем механичког система 17 са два DOF кретања. Кретање разматраног механичког система ограничено је идеалним билатералним везама и једном унилатералном везом са Кулоновим трењем. У раду [Jeremć Radulovć Obradovć 016] разматра се проблем брахистохроног кретања нехолономног механичког система променљиве масе са управним брзинама. Закони промене маса материјалних тачака А и В су исти што је дало могућност ауторима рада да реше задатак оптималног управљања на најједноставнији могући начин без примене теорије сингуларних оптималних управљања. 17 У раду се претпоставља да су координате коваријантног метричког тензора константене тј. aj const. j 1. 14

27 У шестом поглављу закони промене маса материјалних тачака 18 као и релативне брзине припајања или одвајања или истовременог припајања и одвајања честица познати су. Први изводи по времену квазибрзина узети су као управљачке променљиве. Проблем је формулисан као задатак оптималног управљања користећи Понтрјагинов принцип максимума и теорију сингуларних оптималних управљања 19. Такође дати су различити поступци за реализацију брахистохроног кретања. Поступак је илустрован најпре на примеру брахистохроног кретања нехолономног механичког система променљиве масе са управним брзинама како за случај неограничених тако и случај ограничених управљачких сила а затим и на примеру брахистохроног кретања упрошћеног модела возила за случај неограничених и ограничених реакција нехолономних веза. Део научних резултата до којих се дошло у шетом поглављу публиковани су у реномираном часопису Nonlnear Dynamcs категорије M1а [Radulovć Obradovć Šalnć Mtrovć 016]. У седмом поглављу разматра се брахистохроно кретање нехолономног механичког система Чаплигиновог типа као изопериметријски проблем 0. Проблем је формулисан као задатак оптималног управљања користећи Понтрјагинов принцип максимума [Letmann 1981]. Нехолономни механички системи Чаплигиновог типа [Zekovć 01; Nemark Fufaev 1967] су специјалан тип система где једначине нехолономних веза кинетичка енергија потенцијална енергија као и непотенцијалне генералисане силе не зависе од кинематски зависних координата тј. генералисаних координата које одговарају зависним генералисаним брзинама. Изопериметријски проблеми [Fempl 1965; Pars 1968; Letmann 1981] представљају све оне проблеме у којима се траже екстремалне вредности функционала при чему су унапред задата ограничења у виду одређених интеграла. У [Letmann 1981] (13. пп ) изведени су потребни услови оптималности Понтрјагиновог принципа максимума 18 Закони промене маса материјалних тачака у општем случају су различити. 19 У шестом поглављу извршено је уопштење резултата из рада [Jeremć Radulovć Obradovć 016]. 0 Да се брахистохроно кретање нехолономног механичког система Чаплигиновог типа може решити као изопериметријски проблем први је уочио проф. др Вукман Човић. 15

28 при постојању допунских ограничења у виду одређених интеграла. У раду [Sumbatov 017] проблем брахистохроног ктерања материјалне тачке у хомогеном гравитационом пољу при постојању отпора услед сувог (Кулоновог) трења решен је као варијациони изопериметријски проблем. Притом су одређене коначне параметарске једначине екстремалне криве. Како се једначине нехолономних веза које ограничавају кретање механичког система Чаплигиновог типа могу записати у виду одређених интеграла аутор је у седмом поглављу показао да се брахистохроно кретање нехолономног механичког система Чаплигиновог типа може решити као изопериметријски проблем. Затим показао је да се код механичког система Чаплигиновог типа може извршити снижавање реда система. Изложени поступак је илустрован најпре на примеру брахистохроног кретања Чаплигинових саоница а затим и на примеру брахистохроног кретања нехолономног механичког система са управним брзинама. 16

29 Поглавље 1 Диференцијалне једначине кретања механичких система са линеарним нехомогеним нехолономним везама разне форме и њихова еквивалентност Уводна разматрања Разматра се кретање система материјалних тачака M p 1... N p маса m p које у општем случају могу бити променљиве масе. Положај система у еуклидовом тродимензионалном простору E 3 у потпуности је одређен Декартовим (Renè Descartes ) правоуглим координатама xp yp и z p. Уведимо уместо променљивих xp yp и p z уопштене Декартове координате N на уобичајен начин 3p xp 3p1 yp и 3p zp. Нека кретање разматраног система ограничава g холономних веза као и l нехолономних веза за које претпостављамо у првом делу овог излагања да су линеарне стационарне и нехомогене. У том случају положај система у конфигурационом простору V n где је n 3N g у потпуности је одређен са n генералисаних координата

30 q 1 q q... q n T за које кажемо да су независне у геометријском смислу. Сада смо у могућности да геометријски независне Декартове координате изразимо у функцији генералисаних координата q под условом да је детерминанта Јакобијеве (Carl Gustav Jacob Jacob ) матрице односно Јакобијан различит од нуле det j / q 0 j 1... n где је j nn / q Јакобијева матрица трансформације. Наиме сваки скуп одређених вредности координата q одређује једну конфигурацијуположај и облик система. Ако сваку такву конфигурацију система узмемо као тачку у простору имаћемо n димензионални простор кога називамо конфигурациони простор V n (римански простор (Georg Fredrch Bernhard Remann )) тако да свакој тачки овог простора одговара једна потуно одређена конфигурација разматраног система и обрнуто. Такође познати су закони промене маса материјалних тачака m m ( t) p 1 N (1.1) p p где су mp() t непрекидне и диференцијабилне функције времена. За масу mp по договору пишемо m3 p m3 p 1 и 3p m у циљу једноставнијег записа и бољег искоришћења индекса. Промена масе може наступити припајањем или одвајањем или истовременим припајањем и одвајањем честица тачкама при чему се претпоставља да је процес припајања или одвајања честица непрекидан. Релативне брзине припајања или одвајања честица су 1 n где је вектор генералисаних брзина q q... q rel rel v v ( qq t) p 1 N (1.) p p T q. Једначине нехолономних веза у разматраном случају имају следећи облик 18

31 qq B q B 0 1 (1.3) где су B B q и B B q непрекидне функције са непрекидним првим изводима у области у којој разматрамо кретање система. На тај начин положај разматраног система је одређен у 3N димензионалном афином векторском простору вектором положаја репрезентативне тачке где је r e (1.4) 1 ако је e e 0 ако је (1.5) при чему су Кронекерови делта симболи (Leopold Kronecker ). Положај система у конфигурационом простору који представља функцију генералисаних координата q V n одређен је вектором положаја r r = r q (1.6) имајући у виду да се координате свих тачака система могу изразити у функцији генералисаних координата q q. (1.7) Једначине нехолономних веза (1.3) можемо изразити и на следећи начин где су qq q b q b 0 (1.8) 1 Користи се Ајнштајнова конвенција о сабирању. Индекси узимају следеће вредности: j k r s t 1... n; α β γ δ ε=1... m ; ν ρ μ m1... ml n; ζ N. 19

32 b C B b C B C B (1.9) под условом да је детерминанта матрице B mm различита од нуле где је m n l det B 0 (1.10) број степена слободе кретања система који уједно представља и број кинематски независних координата q које одговарају независним генералисаним брзинама q. Независне генералисане брзине могу се изразити као хомогена линеарна форма независних квазибрзинa (кинематичких параметара) 1... q c (1.11) m где су q c c непрекидне функције са непрекидним првим изводима у области у којој разматрамо кретање система. Зависне генералисане брзине имајући у виду (1.8) и (1.11) сада се могу изразити на следећи начин q c b (1.1) где је c b c. У опшетм случају све генералисане брине q могу се изразити као j q c j (1.13) па уколико не умањујући општост даљег излагања за зависне квазибрзине изаберемо једначине нехолономних веза (1.3) B q B 0 (1.14) релација (1.13) добија следећи облик q c (1.15) 0

33 где је 0 и b што је у сагласности са (1.11) и (1.1). За потребе даљих разматрања независне квазибрзине следећем облику из релације (1.15) могу се изразити у d q (1.16) где је d c. Контраваријантне координате вектора убрзања имају следећи облик k r a q q q kr (1.17) где су kr Кристофелови (Elwn Bruno Chrstoffel ) симболи друге врсте у конфигурационом простору сређивања добија следећи облик V n. Имајући у виду (1.15) релација (1.17) после краћег a c c c q kr r c k r c r r r k k r c c. r r k r r q q q k r (1.18) Кинетичка енергија разматраног система је T 1 A (1.19) где су d A m m q. (1.0) dt q Кинетичка енергија система (1.19) сада добија следећи облик 1

34 T 1 j A j q q q q (1.1) што се може записати и као T 1 j ajq q (1.) где су a A. q q j j (1.3) Систем a j на основу релације (1.3) којом је дефинисан биће симетричан односно a j aj. (1.4) Величине aj у општем случају имајући у виду (1.1) и (1.3) су функције генералисаних координата и времена a a q t. (1.5) j Са друге стране с обзиром да је кинетичка енергија Т по својој природи независна од трансформација координатаскаларна инваријанта на основу критеријума за тензорску природу a j представљају координате симетричног двапут коваријантног тензора јер је q контраваријантни вектор. Из израза (1.) за кинетичку енергију система можемо писати j j Tdt a dq dq. (1.6) j Израз (1.6) у конфигурационом простору Vn може се узети као метричка форма тј. ds j a dq dq. (1.7) Дакле метричка форма конфигурационог простора V n је облика j

35 ds Tdt. (1.8) Како кинетичка енергија система представља позитивно дефинитну квадратну форму конфигурациони простор V n је простор позитивно дефинитне метрике. Кинетичка енергија система имајући у виду (1.15) сада добија следећи облик где је T * T 1 j 1 j a j j q c G a c a (1.9) j Ga q t ajcc (1.30) при чему су Ga координате коваријантног метричког тензора у односу на кинематски независне координате q 1... q m односно независне квазикоординатe 1 m.... У циљу формирања диференцијалних једначина које описују кретање нехолономног механичког система пођимо од израза за ЛагранжДаламберов принцип написан у облику тј. j j j 0 a a Q q (1.31) j aja Q q 0 (1.3) где су Q a Q j j коваријантне генералисане силе које одговарају геометријски независним координатама. Сагласно принципу ХерцаХелдера (Henrch Rudolf Hertz ; Otto Ludwg Hölder ) на основу (1.15) пишемо q c. (1.33) 3

36 Из једначине (1.3) имајући у виду (1.18) и (1.33) као и да су варијација независне у конфигурационом простору једначина у коваријантном облику V m добија се m диференцијалних j c j j k j r c k k j k r G ajc c krc ajc c k k k krc q q q j j r k ajc k kr Q q * (1.34) где су j kr Кристофелови симболи друге врсте у конфигурационом простору са метриком (1.7) док су генералисане силе које одговарају кинематски независним координатама * Q q π t c Q (1.35) 1 m где је вектор независних квазибрзина π... T. За случај да су нехолономне везе (1.3) односно (1.8) хомогене 0 диференцијалне једначине кретања (1.34) имају знатно једноставнији облик j c k j r G ajc c * krc Q. k (1.36) q Једначине (1.34) односно (1.36) могу се приказати у следећем облику где је G (1.37) 4

37 q j c * k j r t Q ajc c q π k krc j j j c k k j k r j r k ajc c krc ajc kr k k k q q q (1.38) док за случај да је механички систем подвргнут хомогеним нехолономним везама 0 постаје j c * k j r ( t) Q ajc c krc q. k (1.39) q Генералисане силе које одговарају геометријски независним координатама у општем случају могу се приказати у следећем облику где су Q Q qq t var Q qq t Q Q (1.40) q генералисане непотенцијалне силе док су Q t m v (1.41) N var rel rp qq p p p1 q генералисане реактивне силе које настају услед припајања (или одвајања) честица. Генералисане силе услед наметнутих ограничења кретања (1.3) односно (1.8) имају следећи облик v Q v ( qq ) q (1.4) где су Лагранжеви множитељи веза. На основу (1.8) (1.35) и (1.4) можемо писати v * v v v v. (1.43) Q c Q c Q c c b 5

38 Како је према (1.1) v b c генералисане силе * Q c које одговарају кинематски независним координатама односно независним квазикоординатама постају * Q 0. (1.44) Овим је показано да непознати Лагранжеви множитељи веза v не фигуришу у диференцијалним једначинама кретања (1.34) и (1.36) односно у конфигурационом простору V m чиме је поступак одређивања кретања у односу на поступак одређивања реакција нехолономних веза у потпуности раздвојен. Да су генералисане силе * Q заиста једнаке нули односно да важи (1.44) може се доказати полазећи од тога да је укупни рад реакција нехолономних идеалних веза на произвољним виртуелним померањима једнак нули A R r R q Q q Q c Q c 0. (1.45) n n r v v m1 m1 q Како су према (1.14) варијације v 0 израз (1.45) добија следећи облик где се имајући у виду да су варијација * A Q c Q 0 (1.46) *. независне коначно добија да су Q 0 Математичка формулација принципа ХерцаХелдера говори нам о начину варирања нехолономних веза а самим тим и о реакцијама тих веза. Наиме како је на основу (1.3) (1.4) и (1.45) A Q q B q 0 односно A B q 0 где је B q 0 што је у сагласности са принципом ХерцаХелдера приликом варирања нехолономних веза (1.3). Одредимо сада диференцијалне једначине кретање нехолономног механичког система полазећи од ЛагранжДаламберовог принципа написаног у облику 6

39 k k d T T k Qk q 0. dt k k (1.47) q q Како је према (1.33) q c из једначине (1.47) имајући у виду да су варијација независне добија се m једначина познатих под именом Маџијеве једначине (G. A. Magg) d T T k Qk c 0. dt k k q q (1.48) На основу (1.15) (1.) (1.9) (1.35) и (1.48) добија се m диференцијалних једначина кретања d T T c a c c c a c c dt q q q q q * * k j c k c k j k c k k j k k j k k j c k c k j k c k * aj c c aj c Q k k k k q q q q (1.49) док за случај да је механички систем подвргнут хомогеним нехолономним везама добија се * * d T T c k j k c k * k c a j c k c k c Q. dt q q q (1.50) Како бисмо доказали еквивалентност форми (1.34) и (1.49) неопходно је најпре приказати прва два члана форме (1.49) у развијеном облику у складу са (1.15) и (1.9) 7

40 * d T G c c c a c a c dt q q q j j c k a j c j k j k j k a q q q q j j k j c c k j k aj j k c c a k j c a k j c c c k k j k c k aj c aj c k q q j k + ac j k q j k j aj k j c k c c a k j k q q * j j T k 1 aj c j aj c j k c j j k c c a k c k c a k q q q q q j j 1 aj j k aj c a k j c. k k q q q (1.51) (1.5) Сада се имајући у виду (1.49) (1.51) и (1.5) може писати 8

41 j k aj j c c j k j k j k G c c c a c a c q q q j j k j c c k j k aj j k c c a k j c a k j c c c k k a q q q q j k k k j j k c a aj c a c c q q q j k 1 aj c j aj j + ajc c c a k j c c k k k q q q q c j 1 aj j k aj a k j c a k j c k k q q q q j j k j c k c a k j k j j j q j c k c k j k c k j k k j k k a c c c a c c q q q q j c k c k j k c k * k k j k k aj c c a c Q. q q q q (1.53) Форма (1.53) после трансформације појединих чланова и краћег сређивања добија облик (1.34) чиме је доказана потпуна еквивалентност форми (1.34) и (1.49). Маџијеве једначине Маџијеве једначине као што је речено имају облик (1.48). Оно што је овде битно истаћи је да једначине нехолономних веза нису директно садржане у њима. Дакле Маџијеве једначине се своде на облик (1.49) ако се у њима након формирања изврши трансформација свих генералисаних брзина облика q c. 9

42 Волтерине једначине Волтерине (V. Volterra) једначине су изведене као што је познато када се за геометриски незавине координате које одређују положај система у конфигурационом простору V n изаберу управо независне Декартове координате тачака система док су компоненте брзина формом независних квазибрзина Kинетичка енергија система је представљене у опшем случају нехомогеном линеарном c. (1.54) T 1 j A j (1.55) где су Aj j mm j односно у складу са (1.54) * 1 j j 1 j T T A c jc c Aj c A j. (1.56) Полазећи од ЛагранжДаламберов принципа записаног сада у облику d T T 0 dt (1.57) где је c има у виду да су варијација сагласно принципу ХерцаХелдера добија се m једначина ако се независне d T T c c c dt (1.58) 30

43 где су генералисане силе које одговарају геометријски независним Декартовим координатама. Како је на основу (1.56) T 0 (1.59) једначине (1.58) добијају облик d T * c dt (1.60) * где је c. На основу (1.54)(1.60) можемо формирати m диференцијалних једначина кретања познате под називом Волтерине једначине * d T j k c j c k c k j * Aj c c Aj c A j dt k k k (1.61) док за случај да су нехолономне везе хомогене добија се * j k c * j k d T A c c. dt (1.6) Како бисмо доказали еквивалентност форми (1.61) и (1.49) неопходно је најпре извршити трансформацију променљивих где је u k k k uq (1.63) uk q под условом да је као што је реченео rang j / q n. Хомогена линеарна трансформација променљивих (1.63) је реална и само о таквим трансформацијама ће убудуће бити речи. Како је на основу (1.63) q пишемо k k k k q q a q (1.64) 31

44 док се релација између коефицијената ak и uk диференцирањем по времену (1.63) имајући у виду (1.64) У складу са (1.57) и (1.64) пишемо u j j k k k може успоставити непосредним a u q. (1.65) q d T T k ak q 0 dt (1.66) односно у складу са принципом ХерцаХелдера d T T k akc 0. dt (1.67) На основу (1.67) имајући у виду да су варијација једначина независне добија се m d T T k akc 0. dt (1.68) Чланови једначина (1.68) у складу са (1.54) (1.55) и (1.56) могу се трансформисати респективно користећи следеће релације * d T k d T T k k a kc ak c akc dt dt * r r T k k T T k ar r c a r r akc c c c ar ar k k k k k q q q q q (1.69) (1.70) k k * akc Qk c Q Qk a k. (1.71) 3

45 Сада се на основу (1.68)(1.71) као и после трансформације појединих чланова и краћег сређивања добија облик (1.49) чиме је доказана потпуна еквивалентност форми (1.61) и (1.49). Вороњчеве једначине Вороњчеве (P.V.Voronets) једначине су изведене у односу на стварне генералисане брзине 1 n q... q и генералисане координате 1 n q... q узимајући у обзир и једначине веза при њиховом формирању. Наиме полазећи од (1.47) можемо писати d T T d T T d T T Q q Q q Q q 0. dt q q dt q q dt (1.7) q q Како је на основу принципа ХерцаХелдера и једначина веза (1.8) једначина (1.7) добија облик v q b q (1.73) d T d T T T b b Q b Q q 0 dt q dt q q q (1.74) односно ако се има у виду да су варијације q независне добија се m једначина d T d T T T b b Q b Q 0. dt q dt q q q (1.75) Поједини чланови једначина (1.75) могу се трансформисати користећи следеће релације * T T T q T T b q q q q q q (1.76) 33

46 * d T d T d T T b b b q q dt q dt q dt q q q q * T T T b T b q q q q q q q * T T T b T b q q q q q q q (1.77) (1.78) (1.79) ако се има у виду да је * T T. (1.80) q b q b Коначно имајући у виду (1.75)(1.80) можемо формирати Вороњчеве једначине * * * d T T T T b q Q dt q q q q (1.81) где су: b b b b b b q q q q b b b b b q q q Q Q Q b (1.8) док за случај да су нехолономне везе хомогене добија се да је 0. У наставку биће приказан поступак доказа којим се потврђује еквивалентност форми (1.81) и (1.49). У том циљу неопходно је извршти трансформацију свих чланова форме (1.81) у сагласности са (1.15) (1.16) (1.) и (1.9). Не умањујући општост даљег излагања а у циљу једноставнијег доказа узмимо за коефицијенте c c (1.83) 34

47 па је * * * * T T T T d q q (1.84) где је d ако се има у виду (1.83) као и да је dc једначина (1.81) збирно се могу приказати у следећем облику. Други и трећи члан * * * * * k T T T T T b b c k q q q q q (1.85) док се и (1.83) и Q респективно могу приказати на следећи начин у складу са (1.8) b b b b b b b b b b b b q q q q q q q q c k c r k c r c q q b b b c c k k b b c c k k q q q q q q q q k * Q Q Q b Q c Q c Qkc Q. (1.86) Како су на основу (1.8) 0 и 0 четврти члан једначина (1.81) можемо представити на следећи начин у складу са претходно наведеним T T c k c r c k k q c c q c k r k k q q q q q q a c c c a c c q q q q j c k c r j c k k j k r j k k j c k c r j k c k a j c c a k r j c. k k q q q q (1.87) 35

48 Узимајући у обзир (1.81)(1.87) као и после краћег сређивања коначно се добија облик (1.49) чиме је доказана потпуна еквивалентност форми (1.81) и (1.49). Чаплигинове једначине Чаплигинове (руски: Серге й Алексе евич Чаплы гин енглески: Sergey Alexeyevch Chaplygn ) једначине представљају специјалан случај Вороњчевих једначина. Оно што карактерише Чаплигинове системе је то да T T b b и Q не зависе од координата које одговарају зависним брзинама (тј. не зависе од q ). Полазећи од (1.81) имајући у виду речено можемо писати * * * q Q d T T T dt q q q (1.88) где су сада: b b q q b q Q Q Q b (1.89) док за случај да су нехолономне везе хомогене добија се да је 0. Генералисане Волтерине једначине Иако су назване по Волтеру генералисане Волтерине једначине извео је Вороњец. У опшетм случају све независне генералисане брзине могу се изразити као линеарна форма независних квазибрзинa (кинематичких параметара) 36

49 x c (1.90) док се зависне генералисане брзине узимајући у обзир једначине нехолономних веза могу изразити као x b x b (1.91) x c b. (1.9) Сада се имајући у виду (1.90) и (1.9) све генералисане брзине могу изразити на следећи начин x c (1.93) где је 0 и b што је у сагласности са (1.90) и (1.9). Независне квазибрзине из релације (1.90) могу се изразити у следећем облику d x (1.94) где је c d. Сагласно принципу ХерцаХелдера на основу (1.93) пишемо (1.95) x c. Полазећи од ЛагранжДаламберовог принципа у складу са (1.95) пишемо d T T d T T Q x Q c 0 dt dt x x x x (1.96) односно d T T * c c Q dt x x (1.97) где је Q * Qc. Кинетичка енергија система је 37

50 T 1 j ajx x (1.98) односно T * T 1 j j 1 j x c j j j a c c a c a. (1.99) Први и други члан једначина (1.97) у складу са (1.93) (1.98) и (1.99) респективно можемо трансфорисати користрећи следеће релације c * d T d T T c j j T j j j j c c c dt x dt x x x x * c c T T T T c c c c x x x x x x x x (1.100) (1.101) па се на основу (1.97) (1.100) и (1.101) добија d T T T T x dt x x x t x x * * k c r c k * c x c Q. k r k (1.10) Како је * T T T d c d x x (1.103) коначно се могу формирати генералисане Волтерине једначине d T T T dt x x x x x * * * j j c c c c c c c d j j T c x x x x x T c d x j j c c c c c j j c j j c x c j c * c c Q j x x x (1.104) 38

51 док за случај да су нехолономне везе хомогене постају d T T T dt x x x * * * c j c c c c d j T c x x x x x x j c T c j c * c c c d c c Q. j j (1.105) Еквивалентност форми (1.104) и (1.49) може се доказати полазећи од генералисаних Волтериних једначина у облику (1.10). Трећи и четврти члан у складу са претходно реченим респективно се могу трансформисати на следећи начин T c r j r r j j k j k x a c c c c j c c c c r r r k k x x q q q q T x k j c j c j j k k c a j c k k c k k c. x x q q q q (1.106) (1.107) На основу (1.10) (1.106) и (1107) као и после краћег сређивања коначно се добија облик (1.49) чиме је доказана потпуна еквивалентност форми (1.104) и (1.49). Ферерсове једначине Ферерсове (N. M. Ferrers) једначине су у основи исте као и Волтерине једначине у Декатровим координатама * j c k * j mm j. k d T dt (1.108) 39

52 БолцманХамелове једначине БолцманХамелове (Ludwg Eduard Boltzmann ; Georg Karl Wlhelm Hamel ) једначине формираћемо увођењем квазибрзина (кинематичких параметара) на следећи начин d q (1.109) v v B q B 0 (1.110) где је последња релација у сагласности са (1.3). Све квазибрзине на основу релација (1.109) и (1.110) можемо изразити и на следећи начин где је док је k k k d q + B (1.111) Сада се под условим да је det k d 0 где је d d и d B (1.11) B 0 и B B. (1.113) k d из релације (1.111) могу изразити на следећи начин где је r r nn све генералисане брзине q c (1.114) k k r r r r c d и c B. (1.115) Имајући у виду (1.) и (1.114) израз за кинетичку енергију у функцији свих квазибрзина добија облик 40

53 T T 1 j k r j r 1 j r q cr j k r j r j a c c a c a. (1.116) Полазећи од ЛагранжДаламберовог принципа (1.47) сагласно принципу r ХерцаХелдера ( q c r ) можемо писати d T T d T T Q q Q c dt q q dt q q d T T Q c 0. dt q q (1.117) Како је на основу (1.110) 0 једначина (1.117) добија облик d T T Q c 0 dt q q (1.118) одакле се имајући у виду да су варијација независне добија m једначина d T T * c c Q dt q q (1.119) где је Q * Qc. Чланови једначина (1.119) у складу са (1.) (1.114) и (1.116) могу се трансформисати користећи следеће релације c T q T (1.10) d T d T c c T dt dt q q k k T T T c s s c c c k q q q q q (1.11) (1.1) на основу којих се после краћег сређивања добијају БолцманХамелове једначине 41

54 k k d T T T s c r c c d s k c c dt r q q q k k T s c r * k s d r c Q q q (1.13) односно s s d T T T r dr d c c s c dt r q q q s k T d r s * k s c r d Q q q (1.14) при чему се у свим изразима после првог диференцирања ставља да је 0. За случај да су нехолономне везе хомогене једначине (1.14) постају s s d T T T r dr d * c c c Q. dt s r q q q (1.15) У циљу доказа еквивалентности форми (1.13) и (1.49) трећи и четврти члан форме (1.13) респективно се могу трансфорисати користећи следеће релације k k T s c r c j c r c k s d k r c c a j c r c k c q q q q j c r c k a j c c r k q q k k T s c r s d k r c j c r k ajc c r k q q q q j c r k a j c r k q q (1.16) ако се има у виду да је 4

55 T s j j s j a c c. (1.17) Тиме је доказана еквивалентност форми (1.13) и (1.49). Апелове једначине У циљу формирања Апелових (Paul Appell ) једначина кретања дефинишимо Апелову функцију убрзања 1 j S aja a (1.18) имајући у виду да је r c k c r r r k a c c krc c r r r krc q q q r q. k r kr (1.19) Полазећи као и до сада од ЛагранжДаламберовог принципа (1.47) сагласно принципу ХерцаХелдера ( q j c ) можемо писати Како су варијација j j 0 a a Q q a a Q c. (1.130) j j j независне из (1.130) добијамо m једначина облика j * j c a a Q (1.131) где је Q * Qc. Како је на основу (1.19) j j a c (1.13) 43

56 у складу са (1.18) и (1.13) може се писати j S c aja. (1.133) Коначно имајући у виду (1.131) и (1.333) Апелове једначине гласе S * Q. Апелове једначине у односу на стварне генералисане брзине (1.134) 1 n q... q и генералисане координате 1 n q... q могуће је такође извести полазећи од ЛагранжДаламберовог принципа j 0 a a Q q a a Q q a a Q q (1.135) j где је Како је q b q k r kr једначина (1.135) постаје a q q q. (1.136) 0 a Q a a b q. (1.137) Имајући у виду да су варијација q независне добија се m једначина 0 Једначине (1.138) могуће је записати у следећем облику где је a Q a a b. (1.138) j j a ajc Qjc (1.139) На основу рада проф. др Драгомира Зековића који још није публикован. 44

57 c c b (1.140) односно j aja c Q j Q c Q j. (1.141) На основу (1.136) можемо писати a q a b. q (1.14) Последње релације можемо записати и у следећем облику имајући у виду (1.140) j a j c. q (1.143) Апелова функција у односу на стварна убрзања (1.136) је 1 j S aja a. (1.144) Како је на основу (1.143) и (1.144) j S aja c q (1.145) Апелове једначине у стварним координатама гласе S Q. q (1.146) У циљу доказа еквивалентности форми (1.134) и (1.34) неопходно је одредити S k c r c k k r k aj c c krc c k k k krc q q q r k j kr c k q (1.147) 45

58 односно S G a c c c q j k c r j k kr j c k k r k j r k * ajc c krc + ajc kr Q k k k q q q (1.148) у складу са (1.18) и (1.19) чиме је уједно и доказана еквивалентност. Еквивалентност форми (1.134) и (1.146) може се доказати укулико се за независне квазибрзине изаберу управо незавине генералисане брзине q (1.149) па је q. (1.150) Имајући у виду (1.149) и (1.150) важи S S * Q Q (1.151) чиме је доказана еквивалентност форми (1.134) и (1.146). Лагранжеве једначине друге врсте са неодређеним множитељима Диференцијалне једначине кретања нехолономног механичког система променљиве масе чије кретање ограничавају везе облика (1.8) у форми Лагранжевих једначина друге врсте са неодређеним множитељима су d T T ψ Q Λ ν dt q q q ν (1.15) односно имајући у виду (1.8) 46

59 d T T ν Qα Λ νbα dt α α q q d T T Qν Λ ν dt ν ν q q (1.153) Елиминацијом Лагранжевих множитеља веза Λν из претходних једначина добија се d T T ν d T T Qα bα Qν 0 dt α α dt ν ν q q q q (1.154) што се може записати и у следећем облику d T T Q φα 0 dt q q (1.155) где су β β ν ν α α α α φ δ φ b. (1.156) Једначине (1.155) су еквивалентне диференцијалним једначинама кретања у Маџијевој форми (1.48). Потпуни систем диференцијалних једначина потребан за одређивање непознатих функција једначине веза q q t се добија када се систему (1.154) придруже нехолономне d T T ν d T T Qα bα Qν 0 dt α α dt ν ν q q q q ν ν α ν α q b q b. (1.157) 47

60 Диференцијалне једначине кретања реономних механичких система са линеарним нехомогеним нехолономним везама разне форме и њихова еквивалентност Основни проблем динамике реономних система састојао се у налажењу таквог простора чија ће метрика по аналогији са склерономним системима чија метрика је одређена у (1.38) бити одређена кинетичком енергијом разматаног система. Како кинетичка енергија реономних система експлицитно зависи и од времена то ће и дужина лука криве у уоченом простору зависити од времена. Сада разматрамо кретање механичког система у проширеном риманском конфигурационом простору V чије кретање ограничава g холономних веза као и l нехолономних веза за које n 1 претпостављамо да су линеарне нестационарне и нехомогене а које можемо приказати у следећем облику q 0 1 q f g (1.158) ' qq v t B v ' q B v 0 3 (1.159) 0 1 n T 0 1 n T где су q ( q q q q ) q ( q q q q ) B B q t и B B q t У проширеном конфигурационом простору n координата представља n Лагранжевих координата док је n 1 ва координата допунска односно реономна координата. Не умањујући општост даљег излагања дефинишимо допунску координату (реономну координату) тако да испуњава услов 0 0 ' ' f q t t 0. 4 (1.160). 3 Индекси сада узимају следеће вредности: j k r s t 1 n; ' j ' k ' r ' s' t ' 0 n; 1 m; ' ' ' ' ' 0 m; v m 1 n; 13 N. 48

61 Из (1.159) се види да нехомогене нехолономне везе и у Vn 1простору остају нехомогене а да се у коефицијентима v ' B и v B време t појављује експлицитно и после увођења реономне генералисане координате 0 q. Да се не може извршити хомогенизација нехолономних веза показано је у. Положај механичког система у конфигурационом простору Vn 1 одређен је вектором положаја r репрезентативне тачке који представља функцију генералисаних координата q r q e (1.161) где су уопштене Декартове координате имајући у виду да се координате свих тачака система могу изразити у функцији генералисаних координата q q. (1.16) Једначине нехолономних веза (1.159) сада можемо изразити и у следећем облику где су v ' qq ' t q b q b 0 (1.163) q q ' ' b t C B b t C B CB (1.164) под условом да је det B 0. Потребно је водити рачуна о томе да се само оно време које је присутно у једначинама реономних веза и на оним местима где се јавља као последица замене зависних координата помоћу тих веза може третирати као допунска генералисана координата. Овде ћемо користити формулисан став о 4 У општем случају се допунска координата може дефинисати као f 0 q 0 τt 0 где је τt реална функција времена. 49

62 постојању две врсте временаˮ [Jeremć 1998] према коме се само време присутно у једначинама реономних веза може посматрати и тумачити као допунска реономна координата. То даље значи да време које експлицитно фигурише у било којој другој функцији (потенцијалној енергији итд.) то јест време које у те функције није уведено помоћу једначина веза не може представљати реономну кординату! Узимајући да је α' α' π c δ и c α' α' 0 δ0 независне генералисане брзине могу се 0 1 изразити као хомогена линеарна форма независних квазибрзинa... ' ' ' c ' q (1.165) m ако се има у виду да је ' ' где су c c 0 q 1 ' ' q непрекидне функције са непрекидним првим изводима у области у којој разматрамо кретање система. Како је q c са једне стране док са друге према (1.165) 0 q c c 0 и q c c 0 1 евидентно је да је c α' α' 0 δ0 и c 0 0 α' δα'. Зависне генералисане брзине q имајући у виду (1.163) и (1.165) сада се могу изразити на следећи начин ' ' q c b (1.166) ' где је c q t b c ' ' '. Све генералисане брине ' q могу се изразити као ' ' j' ' j' q c (1.167) па уколико не умањујући општост даљег излагања за зависне квазибрзине изаберемо једначине нехолономних веза (1.159) ' B q B ' 0 (1.168) генералисане брине ' q добијају следећи облик ' ' ' ' c ' q (1.169) 50

63 ' где је 0 и b што је у сагласности са (1.165) и (1.166). Узимајући да је следећем облику d 0 0 ' δ' независне квазибрзине ' ' ' ' ' d q ' из (1.167) могу се изразити у (1.170) где је d ' ' ' ' c' '. Контраваријантне координате вектора убрзања сада имају следећи облик ' ' ' k ' r' kr ' ' a q q q (1.171) где су ' ' ' kr Кристофелови симболи друге врсте у конфигурационом простору Vn 1. Координате 0 ' a вектора убрзања на основу (1.169) (1.171) као и чињенице да је 0 добијају следећи облик a c c c q ' ' ' r ' c ' ' k ' ' ' ' r ' kr ' ' ' c q t q ' ' ' ' r ' c' r ' ' r ' k ' ' c ' ' ' r r kr ' ' c' q ' ' k ' r ' r ' kr ' ' t ' (1.17) где треба имати у виду да је c ' ' t 0. Кинетичка енергија разматраног система је T 1 A (1.173) где су сада 0 d ' ' A q m m q dt q (1.174) 51

64 при чему тачке M p 1... N p система маса m p у општем случају могу бити променљиве масе чији су закони промене познати 0 mp mp ( q ). (1.175) На основу анализе спроведене у закључено је да су закони промена маса 0 mp mp ( q ) и m m () t потпуно равноправни у проучавању кретања система променљиве масе. p p Кнетичка енергија система (1.173) сада добија следећи облик где су a 1 ' j' T a' j' q q (1.176) ' j' A ' j'. q (1.177) q q Из израза (1.175) за кинетичку енергију система можемо писати ' j' ' j' Tdt a dq dq. (1.178) Израз (1.177) у конфигурационом простору Vn 1 може се узети као метричка форма док је линијски елемент тог простора ds Tdt. (1.179) Како је квадратна форма (1.176) позитивно дефинитна конфигурациони простор Vn 1 је простор позитивно дефинитне метрике. Значај овог закључка огледа се у томе да се многа тврђења и ставови везани за за кретање склерономних механичких система у риманским конфигурационим просторима могу без посебног доказивања пренети и на кретање реономних система у проширеном кофигурационом простору. Имајући у виду (1.169) израз за кинетичку енергију система добија следећи облик 5

65 T * T 1 ' ' ' j' ' 1 ' j' ' ' ' ' ' ' ' j' ' ' j' q c ' G a c a (1.180) где су ' j' ' ' ' j' ' ' G q t a c c (1.181) при чему су G ' ' координате коваријантног метричког тензора у односу на кинематски независне координате 0 1 m q q... q односно независне квазикоординатe 0 1 m.... ЛагранжДаламберов принцип за реономне механичке системе има следећи облик j' ' ' j' ' 0 a a Q q (1.18) где су ' ' j' j' Q a Q коваријантне генералисане силе које одговарају геометријски независним координатама. На основу принципа ХерцаХелдера пишемо q ' ' ' c '. (1.183) Полазећи од (1.18) имајући у виду (1.17) (1.183) као и да су варијација независне у проширеном конфигурационом простору Vm 1 ' независних квазикоордината добија се m 1 на диференцијална једначина у коваријантном облику G a c c c q j ' c ' k ' ' j ' r ' ' ' ' ' j' ' ' k ' kr ' ' ' a c c c q t q a j' j' c j ' ' ' c k ' ' k ' j ' k ' r ' ' ' j' ' ' ' ' k k kr ' ' ' r' j ' k' ' * a jc Q q t j ' ' j ' ' j' c ' k ' kr ' ' ' ' ' ' (1.184) 53

66 односно G a c c c q j ' c ' k ' ' j ' r ' ' ' ' j' ' k ' kr ' ' ' a c c c q t q a j' j' c j ' ' ' c k ' ' k ' j ' k ' r ' ' ' j' ' ' ' k k kr ' ' ' q j ' ' j ' r ' k ' ' j' c k ' kr ' ' G a c c c q j ' c ' k ' ' j ' r ' ' ' 0 ' j' 0 ' k ' kr ' ' ' j ' ' * ' j' a c Q t a c c c q t q a j' j' c j ' ' ' c k ' ' k ' j ' k ' r ' ' ' j' 0 ' ' ' k k kr ' ' ' q j ' ' j ' r ' k ' ' j' c0 k ' kr ' ' j ' ' * ' j' 0 0 a c Q t (1.185) (1.186) где су генералисане силе које одговарају кинематски независним координатама где је * ' ' q ' ' 0 1 mt ( ) и j' j' β' j' Q' Q' q cβ' φ t Q ( t) c Q (1.187) q. Генералисана сила која одговара реономној генералисаној координати * ' 0 0 ' 0 0 q има следећи облик Q c Q R (1.188) док су генералисане силе реакција холономних веза које респективно одговарају генералисаним координатама 0 1 q q... q m R R f 0 λ 0 λ q f q 0 (1.189) 54

67 где су λ Лагранжеви множитељи веза имајући у виду да је у општем случају 0 grad f r / q 0. Једначине (1.185) могу се приказати у следећем облику p p G (1.190) односно G (1.191) где су q j ' c * ' k ' ' j ' r ' ' ' q π t Q a' j' c c ' k ' kr ' ' c ' a c c c q t q a j' j' c j ' ' ' c k ' ' k ' j ' k ' r ' ' ' j' ' ' ' k k kr ' ' ' j ' ' j ' j ' r ' k ' ' ' j' c k ' kr ' ' a' j' c. q t (1.19) Генералисане силе где су Q Q qqt Q ' у општем случају могу се приказати у следећем облику var ' Q qq t Q ' ' Q ' R ' q (1.193) ' ' генералисане непотенцијалне силе док су Q ( t ) v (1.194) N var dmp rel rp ' qq p ' p1 dt q генералисане реактивне силе које настају услед припајања или одвајања или истовременог и припајања и одвајања честица. Генералисане силе услед наметнутих ограничења кретања (1.159) односно (1.163) имају следећи облик Q' ( qq t) v ' q v (1.195) 55

68 док генералисане силе су * Q ' које одговарају кинематски независним координатама * ' 0 0 ' 0 0 Q c Q Q b Q * ' v v ' v Q c Q c c b. (1.196) Како је v b c и Q0 b0 c генералисане силе * Q ' које одговарају кинематски независним координатама односно независним квазикоординатама постају * Q ' 0. (1.197) Овим је показано да непознати Лагранжеви множитељи веза v не фигуришу у диференцијалним једначинама кретања (1.185) и (1.186) односно у конфигурационом простору Vm 1 чиме је поступак одређивања кретања у односу на поступак одређивања реакција нехолономних веза у потпуности раздвојен. Одредимо сада диференцијалне једначине кретање нехолономног механичког система полазећи од ЛагранжДаламберовог принципа написаног у облику d T T k ' Q ' ' k ' q 0. dt k k q q (1.198) Како је према (1.183) q k' k' ' c ' из једначине (1.198) имајући у виду да су варијација ' независне добија се m 1 на једначина d T T k ' Q ' ' k ' c ' 0. dt k k q q (1.199) Једначине (1.199) које описују кретање разматраног реономног механичког система у проширеном конфигурационом простору Vm 1 представљају Маџијеве једначине. На основу (1.168) (1.176) (1.180) (1.187) и (1.199) добија се m 1 на диференцијална једначина кретања 56

69 57 ' * * ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' j k k k j k k k j k k j k k j k j k k c c d T T c a c c c dt q q q c c a c c t q q c c a c c q q ' ' ' ' ' ' ' ' ' * ' ' ' ' ' ' ' ' k j k k j k k c c a c Q t q q (1.00) односно ' * * ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' j k k k j k k k j k k j k k j k k j k k c c d T T c a c c c dt q q q c c a c c t q q c c a c c q q ' ' ' ' ' ' ' * ' ' ' ' j k k j k k c c a c Q t q q (1.01) ' * * ' ' ' ' ' ' ' 0 0 ' ' 0 ' ' 0 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 0 0 ' ' 0 ' ' ' ' ' ' ' ' ' 0 ' ' 0 ' ' ' j k k k j k k k j k k j k k j k k j k k c c d T T c a c c c dt q q q c c a c c t q q c c a c c q q ' ' ' ' ' ' ' * 0 0 ' ' 0 0 ' '. j k k j k k c c a c Q t q q (1.0)

70 Како бисмо доказали еквивалентност форми (1.184) и (1.00) неопходно је најпре приказати прва два члана форме (1.00) у развијеном облику у складу са (1.169) и (1.180) d T dt q q q * ' j ' ' ' j' c k a ' j' c ' j' ' ' ' ' G ' ' c ' c k ' ' c ' a ' j ' c k ' ' a ' j ' c k ' ' a c c q q t q ' ' j ' ' j' c k ' ' j ' ' k ' j ' ' j ' ' c ' ' c ' a ' j ' c ' ' a k k ' j ' c ' a ' j ' k ' j ' c j ' ' ' ' a' j' ' j' k ' c ' ' k ' k ' j' ' ' j ' ' k ' ' ' ' j ' k ' ' ' j' k ' ' ' k' c a c c c a c a c c t q q q ' ' (1.03) a ' j' c c k' q q t j' j' k ' j ' ' k ' ' ' c ' a ' j ' a k' ' j ' ' ' j ' k ' + a' j' c ' k ' q t T c c c a c c q q q q * j ' k ' 1 a ' j ' c ' j' ' ' ' ' ' ' a ' j ' j' ' ' k ' ' k ' ' ' ' j' k ' ' k ' ' a a c a c q q q q j ' c ' j' ' ' ' j ' ' 1 a' j' ' j' ' ' j' k ' ' j' k ' ' k ' ' j' k k ' ' '. (1.04) Сада имајући у виду (1.00) (1.03) и (1.04) можемо писати 58

71 G c c c a c a c q q q ' j ' ' ' j' c k a ' j' c ' j' ' ' ' ' ' ' k ' ' ' ' j ' k ' ' ' j' k ' ' ' ' j ' ' j' c k ' ' j ' ' k ' j ' ' j ' ' k ' ' c ' ' c ' a ' j ' c ' ' a k k ' j ' c ' a ' j ' c k ' ' a c c q q t q j ' c j ' ' ' ' a' j' ' j' k ' c ' ' k ' k ' j' ' ' j ' ' k ' ' ' ' j ' k ' ' ' j' k ' ' ' a c c c a c a c c t q q q a j' j' ' j' k ' j' c ' k ' c ' ' j' c ' ' a ' ' j ' a ' ' j ' + a k k k ' j ' c ' q q t k ' q j ' ' j ' c ' j' ' ' ' ' ' ' a ' j ' j' ' ' c k ' ' c' a' j' c k ' ' c k ' ' 1 a q q q j ' c ' ' ' ' j ' ' 1 a' j' ' ' j ' k ' ' j ' k ' ' k ' a a c q q q a c c c q q ' ' j ' c ' k' c ' k' ' ' ' j' ' k' ' k' ' a c c q q a ' ' ' j ' k' c' k' c' ' ' j' ' k' ' k' ' j' j ' c q ' ' k' t ' k' c ' k' ' ' c k' ' c q a c Q q q t ' ' ' j ' k ' c' k ' c ' * ' j' k' ' k' '. ' t j ' j ' ' k ' a' j' c k ' ' q ' (1.05) Форма (1.05) после трансформације појединих чланова и краћег сређивања добија облик (1.184) чиме је доказана потпуна еквивалентност форми (1.184) и (1.05). 59

72 У наставку излагања биће дати познати облици диференцијалних једначина које описују кретање разматраног реономног механичког система променљиве масе добијене применом већ приказаног поступка у првом делу овог поглавља. Волтерине једначине d T dt t * ' ' ' j' k' c ' ' ' j' c ' c ' k' ' A ' ' j' c ' c ' A ' ' j' c ' k k' ' ' c ' c A ' ' j' t k ' k' j' * '. (1.06) Вороњчеве једначине * * * ' b ' ' ' ' ' q ' Q ' d T T T T dt q q q q b b ' ' ' b b ' ' ' ' b ' ' b ' q q q q b b b ' b ' ' b ' b ' t q q q Q Q Q b ' ' '. (1.07) Чаплигинове једначине * * d T T T dt ' ' q q q b b ' ' ' ' ' ' ' q ' b t q b ' q Q Q Q b ' ' '. ' ' ' q ' Q ' (1.08) 60

73 Генералисане Волтерине једначине d T T T dt x x x t x * * * ' ' ' ' ' c ' j ' ' c ' j ' c c ' ' ' ' c ' ' ' c ' j' ' c j' ' ' x x x x x ' ' ' T c ' j ' ' c ' j' c ' ' ' c ' ' d ' c j ' ' c j ' ' ' x t x x x ' ' ' ' c ' T ' c ' j ' ' c ' j' c c ' ' ' c ' d ' c j ' ' j ' c x x ' ' ' ' ' ' * c ' ' c ' ' Q ' t (1.09) где је T * T 1 ' j' ' ' ' j' ' 1 ' j' ' ' ' ' ' j' ' ' ' j' ' ' j'. x c ' a c c a c a (1.10) Ферерсове једначине d T dt * ' A ' j' ' j' c ' k' * k ' '. (1.11) БолцманХамелове једначине k ' k ' d T T ' T s' c ' r ' c ' ' ' c ' ' ' d s' k ' c r ' ' c ' ' dt q q q k' k' k ' T s' c ' r ' c ' ' * ' k ' ' ' ' ' s d r c Q q t q (1.1) односно 61

74 s' s' d T T ' T ' r ' dr ' d ' ' c ' ' ' c s' ' c ' dt ' r ' q q q s' s' k ' T ' d' r ' d' s' * ' ' ' ' k ' ' s c r d Q q t q (1.13) при чему се после првог диференцирања узима да је 0. Израз за кинетичку енергију у функцији свих квазибрзина има следећи облик T T 1 ' j' k ' r ' ' j' r' 1 ' j' ' ' r ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '. q c j k r j r j r ' a c c a c a (1.14) Апелове једначине У циљу формирања Апелових једначина кретања дефинишимо Апелову функцију убрзања 1 ' j' S a' j' a a (1.15) имајући у виду да је a c c c q ' ' ' ' r ' c ' ' k ' ' ' ' ' r ' kr ' ' ' ' ' c ' ' ' ' r ' c' r ' ' r ' k ' ' ' k ' r ' c ' ' ' k ' r ' c ' ' k ' r '. r t r r q q q t (1.16) Апелове једначине су S ' * Q ' (1.17) док су Апелове једначине у односу на стварне генералисане координате q q... q 0 1 n 6

75 S Q q (1.18) где је 1 S a a a Апелова функција у односу на стварна убрзања ' j' ' j' (1.19) ' ' ' k ' r' kr ' '. a q q q (1.0) Лагранжеве једначине друге врсте са неодређеним множитељима d T T ν Q Λ νb0 R0 dt q q d T T ν Qα Λ νbα dt α α q q d T T Qν Λ. ν ν ν dt q q (1.1) Претходна разматрања биће илустрована на различитим нехолономним механичким системима. а) Нехолономни механички систем променљиве масе са управним брзинама Нехолономни механички систем чине две материјалне тачке A и B променљиве масе којима је наметнуто ограничење кретања у виду управности брзина посредством Чаплигинових сечива занемарљивих маса као што је то приказано на слици 1.1. За потребе даљих разматрања неопходно је најпре увести два Декартова координатна система референције. Непокретни координатни систем Oxyz чија координатна раван Oxy се поклапа са хоризонталном равни кретања система док је покретни координатни систем Aξεδ чији координатни почетак се поклапа са тачком 63

76 А система тако да се координатна раван Aξε поклапа са равни Oxy. Оса покретног координатног система Aξ је одређена правцем AB односно B Aξ док су јединични вектори оса ξε и δ покретног координатног система λμ и ν респективно. Материјалне тачке променљиве масе A и B као и опруга крутости k и слободне дужине l 0 међусобно су спојене лаким механизмом типа вила који дозвољава да се растојање AB ξ const. мења. У тачкама A и B респективно дејствују непотенцијалне силе F1F1μ и F Fλ. Слика 1.1Нехолономни механички систем променљиве масе Конфигурација разматраног система дефинисана је скупом Лагранжевих координата q q q q q T где је 1 q φ угао између осе Ox и осе Aξ q ξ је релативна координата тачке B у односу на покретни координатни систем док су 3 q x и 4 q y Декартове координате тачке А. Закони промене маса материјаних тачака A и B у од функцији времена су m m t A B A m m t B. (1.) 64

77 Интензитети релативних брзина одвајања честица не умањујући општост даљег излагања су константни и међусобно једнаки rel A rel B где је ν одређена позитивна константа где су rel νa ν ν ν (1.3) rel νμ и ν B νλ Сходно ограничењу кретања тачака A и B система нехолономне хомогене везе имају облик. 3 xcos ysn 0 4 xsn ycos 0. (1.4) Услед наметнутих ограничења кретања (1.160) јављају се хоризонталне реакције нехолономних веза R R cos R sn j и R R sn R cos j у A A A тачкама A и B респективно. За независне квазибрзине изаберимо брзине тачака A и B B B B 1 V x sn y cos A V B. (1.5) Према (1.15) (1.160) и (1.161) све генералисане брзине могу се изразити у функцији независних квазибрзина 1 V V B A x sn V y cos V. A A (1.6) Кинетичка и потенцијална енергија система имају следећи облик 65

78 cos sn T mav A mbvb ma x y mb x y x y xsn ycos 1 k l0 L t0 l0 L (1.7) где је L AE BD. Израз за кинетичку енергију система независних квазибрзина V A и V B гласи * T која је функција * 1 T mav A mbvb. (1.8) Сада се могу формирати диференцијалне једначине кретања система у коваријантном облику mav A m A F1 m V k l L m F. B B 0 B (1.9) За случај да су материјалне тачке A и B константне масе једначине (1.165) имају облик mav A F1 m V k l L F. B B 0 (1.30) Волтерине једначине се добијају када се за геометриски незавине координате изаберу независне Декартове координате тачака система док су компоненте брзина xa ya xb yb (1.31) 66

79 V A V V B V A B (1.3) Изрази за кинетичку енергију T и * T гласе B 1 1 T ma m * 1 T mav A mbvb (1.33) док израз за потенцијалну енергију гласи k l0 L l0 L. (1.34) Волтерине једначине * j k α β γ * j j β γ k α d T c δ m m c c π π dt α π ξ Ξ (1.35) за разматрани систем гласе m V m F A A A mbv B k l L m F 0 B (1.36) где су генералисане силе * Ξ α 67

80 * 1 m A F1 * k l0 L m B F. (1.37) Волтерине једначине (1.17) за разматрани пример представљају уједно и Ферерсове једначине. Вороњчеве једначине * * * ν ν ν ν ν ρ bβ b α α β ρ β ν b α α ν α b ν β ρ β b α ρ α q Qα Qνbα d T T T T b b dt q q q q q q q q (1.38) за разматрани пример прелазе у Чаплигинове једначине као специјалан случај тј. * * ν ν b α β β ν q Q α α ν β α α Qνbα d T T T b dt q q q q q (1.39) где је B cos sn 1 1 T ma x y m x y x y xsn ycos * 1 1 T ma m B. (1.40) После одређених срачунавања из (1.175) следе диференцијалне једначине кретања разматраног механичког система ma ma m A F1 m k l L m F. B 0 B (1.41) У циљу формирања ХамелБолцманових једначина успоставимо релације између квазибрзина и генералисаних брзина 68

81 1 V 3 4 A V B x cos y sn 0 x sn y cos 0 (1.4) односно 1 V V B A x cos V sn y sn V cos. A A (1.43) Изрази за кинетичку енергију T и T као и потенцијалну енергију гласе B cos sn 1 1 T ma x y m x y x y xsn ycos 1 1 T m V m V 1 k l0 L t0 l0 L 3 4 A A B B. (1.44) Имајући у виду да је T q 0 ХамелБолцманове једначине кретања система су mav A m A F1 m V k l L m F. B B 0 B (1.45) Функција убрзања S разматраног система гласи S maa1 mba ma mb. (1.46) Како су компоненте брзина тачака A и B система 69

82 sn cos V 1 VA 3 VB 4 cos sn V B A (1.47) компоненте убрзања су snv A cos V A cosv A sn VA cosv B sn VAV B snv B cos VAV B. (1.48) Функција убрзања сада добија следећи облик 4 VA VAVB A A B B 1 1 S m V m V. (1.49) Како је на основу (1.185) S V A m V A A S mbv B V B (1.50) Апелове једначине кретања разматраног система гласе mav A m A F1 m V k l L m F. B B 0 B (1.51) У циљу формирања диференцијалних једначина кретања у форми Лагранжевих једначина друге врсте са неодређеним множитељима одредимо кинетичку енергију система B cos sn 1 1 T ma x y m x y x y xsn ycos. (1.5) Лагранжеве једначине друге врсте са неодређеним множитељима које одговарају генералисаним координатама 1 3 q q q и 4 q респективно су 70

83 3 4 m B q sn q cos 4q m B x cos y sn m B F k l0 L ma x m B x cos sn sn cos cos sn m sn m cos F sn F cos 3 4 A B 1 ma y m B y sn cos cos sn sn cos m cos m sn F cos F sn. 3 4 A B 1 (1.53) Ако се има у виду да је V xsn y cos x cos y sn V A B (1.54) на основу (1.189) као и после краћег сређивања добија се mav A m A F1 m V k l L m F B B 0 B (1.55) док се Лагранжеви множитељи веза 3 и 4 3 A 0 4 могу изразити у следећем облику m k l L m. (1.56) У наставку биће изложен поступак формирања диференцијалних једначина кретања разматраног системе на основу општих теорема динамике. На основу теореме о промени количине кретања механичког система променљиве масе можемо писати где је s F R dk F m (1.57) dt N s rel R p p p1 главни вектор спољашњих сила док се масе тачака система сматрају константим величинама приликом диференцирања по времену вектора количине B кретања K. Количина кретања разматраног механичког система је K m V m V A A B B. (1.58) 71

84 На основу (1.193) и (1.194) векторска диференцијална једначина кретања гласи m a m a R R F F m g m g N N m m (1.59) rel rel A A B B A B 1 A B 1 A A B B којој одговарају две скаларне диференцијалне једначине кретања у односу на осе A и A покретног координатног система респективно maaa mbab RA m B F maaa mbab RB m A F1. (1.60) Како су компоненте вектора убрзања тачака система A и B a V a V A A A A VV a A B B V B ab (1.61) једначине (1.196) добијају следећи облик m V m V R m F A A B B A B VV m A B AV A mb RB m A F1. (1.6) На основу теореме о промени момента количине кретања механичког система променљиве масе у односу на покретну тачку A можемо писати где је s M A dl dt A V K M AM m (1.63) N s rel A A p p p p1 главни момент спољашњих сила у односу на тачку A док се масе тачака система такође сматрају константим величинама приликом диференцирања по времену вектора момента количине кретања L A. Како је LA 0 за разматрани систем векторској једначини (1.199) одговара следећа скалрана једначина у односу на осу A m V V B A B R. (1.64) B 7

85 На основу теореме о промени количине кретања за штап BD (штап BD је занемарљиве масе) можемо писати B B На основу (1.198) (1.00) и (1.01) добија се m V F m k l L (1.65) B 0. mav A m A F1 m V m k l L F B B B 0 VV R A B B mb mb 4 R m V k( l L) A A A 0 3 (1.66) чиме је уједно доказана потпуна еквивалентност са претходно изведеним формама ако се има у виду да је 1 и V A V B. Предложени поступак формирања диференцијалних једначина кретања разматраног система применом општих теорема динамике је знатно једноставнији у односу на класичне поступке формирања у механици нехолономних система. б) Чаплигинове саонице У циљу формирања диференцијалних једначина кретања неопходно је најпре увести два Декартова координатна система референције. Непокретни координатни систем Oxyz чија координатна раван Oxy се поклапа са хоризонталном равни кретања и покретни координатни систем Aξεδ који је круто везан за сечиво тако да се координатна раван Aξε поклапа са равни Oxy где се оса Aξ поклапа са правцем сечива (слика 1.). Јединични вектори оса ξεи δ покретног координатног система су λμ и ν респективно. Конфигурација сечива у односу на систем Oxy дефинисана 1 3 је скупом Лагранжевих координата q q q где је 1 q φ угао између осе Ox и 73

86 осе Aξ док су q x и 3 q y Декартове координате тачке А. Даља анализа се односи на случај када се тачки А не дозвољава кретање у правцу управном на сечиво услед чега се јавља хоризонтална реакција непокретне површи R Rμ. Кретање сечива ограничено је једном идеалном нехолономном хомогеном везом ψ xsn φ y cos φ 0. (1.67) За независне квазибрзине изаберимо угаону брзину ω саоница као и брзину V тачаке A сечива где је ω ων и V V λ. 1 π ω φ π V xcosφ ysn φ (1.68) Центар масе саоница налази се на оси Aξ односно C Aξ на растојању AC a. Маса сечива је m док је I C момент инерције око главне централне осе инерције управне на раван Oxy. Нека у тачки C саоница дејствује непотенцијална сила F. Све генералисане брзине сада се могу изразити у функцији независних квазибрзина φ ω x V cos φ y Vsn φ. (1.69) 74

87 Слика 1. Чаплигинове саонице: а) Чаплигинове саонице; б) Чаплигиново сечиво Кинетичка енергија саоница је C C C T m x sn cos y I φ m x y a k φ aφ x φ y φ (1.70) где је k 1 IC / ma независних квазибрзина гласи. Израз за кинетичку енергију саоница * T која је функција * 1 T m V a k ω. (1.71) Сада се могу формирати диференцијалне једначине кретања саоница у коваријантном облику гд су F1 mv F maω 1 mak ω F mvω (1.7) F λ и F Fμ. Сада ће диференцијалне једначине кретања саоница бити формиране на основу Лагранжевих једначина друге врсте са неодређеним множитељима 75

88 d T T ψ Q Λ ν 13. dt q q q ν (1.73) На основу (1.03) (1.06) и (1.09) диференцијалне једначине кретања саоница које одговарају генералисаним координатама φx и y респективно су ma ak φ φ x cosφ y sn φ af m x aφ sn φ aφ cosφ F cosφ F sn φ Λ sn φ 1 m y aφ cosφ aφ sn φ F sn φ F cosφ Λ cos φ. 1 (1.74) Ако се има у виду да је Vφ xsn φ y cos φ V xcos φ ysn φ (1.75) на основу (1.10) и (1.11) може се формирати следећи систем једначина m ak φ φv F m V aφ F 1 (1.76) док се множитељ везе Λ може изразити у следећем облику I C Λ φ. (1.77) a Сада ће диференцијалне једначине кретања саоница бити формиране на основу теореме о промени количине кретања као и теореме о промени момента количине кретања за центар масе саоница dk F dt s R dl s C MC dt где је вектор количине кретања саоница K mvc mvλ aφμ (1.78) док је момент количине кретања саоница за центар масе LC ICφν. Главни вектор сила је s FR F R mg N где је N нормална реакција хоризонталне равни кретања док 76

89 главни момент сила у односу на центар масе сечива у односу на осу δ је s s MCδ MCν ar имајући у виду да управљачка сила F дејствује у тачки C. Векторским једначинама (1.79) одговарају следеће скаларне диференцијалне једначине у односу на покретни координатни систем Aξεδ m V aφ F m aφ Vφ F R I φ ar. C 1 (1.80) Потпуна еквивалентност система (1.08) (1.1) и (1.16) је очигледна док је Лагранжев множитељ везе једнак реакцији нехолономне везе Λ R. Предложени поступак формирања диференцијалних једначина кретања на основу општих теорема динамике као што је показано је знатно једноставнији у односу на класичне поступке формирања у механици нехолономних система. в) Упрошћен модел возила У циљу формирања диференцијалних једначина кретања нехолономног механичог система на примеру једног упрошћеног модела возила (слика 1.3) који је у потпуности преузет из неопходно је најпре увести два Декартова координатна система референције. Непокретни координатни систем Oxyz чија координатна раван Oxy се поклапа са хоризонталном равни кретања возила и покретни координатни систем Aξεδ који је круто везан за тело возила тако да се координатна раван Aξε поклапа са равни Oxy. Оса покретног координатног система Aξ је одређена правцем нормале на осу задње осовине возила и тачком C где је C Aξ. Тачка C представља центар масе тела возила док је тачка А центар масе предње осовине и дато је BC l и CA l1. Јединични вектори оса ξε и δ покретног координатног 77

90 система су λμ и ν респективно. Упрошћени модел возила састоји се од тела возила масе M1 и предње осовине масе M. Моменти инерције тела возила и предње осовине око главних централних оса инерције управних на раван Aξε су J1 и J респективно где је J1 J. Маса задње осовине и масе точкова се занемарују. Конфигурација возила у односу на систем Oxy је дефинисана скупом Лагранжевих координата q q q q где су 1 q φ угао између осе Ox и осе A и q угао између осе A и осе предње осовине возила док су 3 q x B и 4 q y B Декартове координате тачке B. Даља анализа се односи на случај када се тачки А не дозвољава кретање у правцу осе предње осовине док се тачки В возила не дозвољава кретање у правцу осе задње осовине (не дозвољава се бочно проклизавање предње и задње осовине). Услед наметнутих ограничења кретања јављају се хоризонталне реакције R R snλ + R cos μ R R μ респективно. Такво кретање возила је A A A и B B ограничено са две идеалне независне нехолономне хомогене везе 3 x sn y cos 0 4 B B y x sn cos 0 A A (1.81) где су x x l l и y y l l A B 1 cos A B 1 sn. 78

91 Слика 1.3 Упрошћен модел возила: а) Упрошћен модел возила; б) Предња осовина На возило током кретања дејствује погонска сила F1 F1 t λ у тачки B задње осовине као и унутрашњи управљачки момент L L t ν око вертикалне осе Aδ. 1 1 За независне квазибрзине изаберимо брзину V тачаке B возила као и релативну угаону брзину ω предње осовине 1 π V x cosφ y sn φ B π ω ζ ζ B (1.8) где је V V λ и ω ω ν. Све генералисане брзине сада се могу изразити у функцији независних квазибрзина V φ tan ζ l ζ ω ζ x V cos φ B y Vsn φ B (1.83) 79

92 где је l l1 l. Кинетичка енергија возила је 1 T M1V C MV A J1φ J φ ζ 1 1 * 1 M x B y B x B sn φ y B cos φml Ml1 φ J φ Jφζ Jζ (1.84) где је M M1 M J J1 J и * 1. Израз за кинетичку енергију J M l M l J возила * T која је функција независних квазибрзина V и ω ζ гласи * * 1 J J 1 ζ ζ T M tan ζ V tan ζvω J ω. l l (1.85) Диференцијалне једначине кретања возила у коваријантном облику гласе * * tan ζ 1 J J J ζ M tan ζ V tan ζω F Vωζ l l l cos ζ J J 1 tanζv Jω ζ L1 Vω ζ l l cos ζ (1.86) где је cos ζ V / V l φ. Сада ће диференцијалне једначине кретања возила бити формиране на основу Лагранжевих једначина друге врсте са неодређеним множитељима d T T ψ Q Λ ν 14. dt q q q ν (1.87) На основу (1.17) (1.0) и (1.3) диференцијалне једначине кретања возила које одговарају генералисаним координатама φ ζ x B и y B респективно су 80

93 * J φ J ζ x sn φ y cosφ Ml M l Λ l cos ζ B B 1 4 J φ ζ L 1 B B sn cos 1 1 cos Λ3 sn Λ4 sn cos sn 1 1sn Λ3 cos Λ4 cos. Mx φ φ φ φ Ml M l F φ φ φ ζ My φ φ φ φ Ml M l F φ φ φ ζ (1.88) Ако се има у виду да је V V ζ φ tan ζ l l cos ζ V x cosφ y sn φ Vφ x sn φ y cos φ B B B B (1.89) на основу (1.4) и (1.5) може се формирати следећи систем једначина φ * MV J φ Jζ F1 V J φ ζ L 1 (1.90) док се множитељи веза Λ 3 и Λ 4 могу изразити у следећем облику 1 Λ 3 M1l1 Vφ M1l1 l J φ Jζ l V l φ * 4 1 Λ J φ J ζ Ml M l Vφ. lv (1.91) Сада ће диференцијалне једначине кретања возила бити формиране на основу теореме о промени количине кретања као и теореме о промени момента количине кретања за покретну тачку B возила dk s dl s F B R VB K M B (1.9) dt dt где је вектор количине кретања возила K Mx Ml M l φ φ My Ml M l φ φ j B 1 sn B 1 cos (1.93) док је вектор кинетичког момента возила у односу на тачку B 81

94 B * L J φ J ζ k (1.94). Векторским једначинама (1.8) одговарају следеће скаларне диференцијалне једначине кретања возила у односу на осе Aξ Aε и Aδ система респективно покретног координатног B B 1 1 A M x cosφ y snφ Ml M l φ F R sn ζ M xb sn φ yb cosφ Ml Ml1 φ RB RA cos ζ * φl J φ Jζ Ml Ml1 RAl cos ζ tanζ (1.95) док диференцијална једначина обртања предње осовине око вертикалне осе Aδ има следећи облик J φ ζ L 1. (1.96) Ако се имају у виду релације (1.5) на основу једначина (1.31) и (1.3) могуће је изразити реакције нехолономних веза R A и R B као и погонску силу F 1 и управљачки момент L 1 у следећем облику 1 V l φ * RA J φ Jζ Ml Ml1 Vφ lv 1 RB M1l1Vφ M1l1l J φ Jζ l φ * F1 MV J φ Jζ V L J φ ζ. (1.97) 8

95 Литература Ajzenhart L. P.: Uvod u dferencjalnu geometrju Naučna Knjga Beograd AnĎelć T.: O jednom oblku dferencjalnh jednačna kretanja neholonomnog sstema bez multplkatora veza Matematčk vesnk 4(19) pp AnĎelć T.: Raconalna mehanka Zavod za zdavanje udžbenka SR Srbje Beograd1965. AnĎelć T.: Tenzorsk račun Naučna Knjga Beograd Bakša A.: Raconalna mehanka Beograd 000. Blmovć A.: Raconalna mehanka Naučna knjga Beograd Bloch A. M. Krshnaprasad P. S. Marsden J. E. Ratu T.S.: The Euler Poncar e equatons and double bracket dsspaton Communcatons n Mathematcal Physcs 175() pp ĐukćĐ.: Conservaton laws n classcal mechancs for quascoordnates Arch. Ret. Mech. Anal 56 pp Bahar L. Kwatny H.: Extenson of Noether s theorem to constraned non-conservatve dynamcal systems Int. J. Nonlnear Mech. pp Papastavrds J.: On energy rate theorems for lnear frstorder nonholonomc systems J. Appl. Mech. 58 pp Bloch A. M. Marsden J. E. Zenkov D.: Quas-veloctes and symmetres n nonholonomc systems Preprnt 009. Bloch A. M.: Nonholonomc Mechancs and Control Sprnger Berln 003. Čovć M. V.: Napomena o ntegralnm varjaconm prncpma 15. jugoslovensk kongres teorjske prmenjene mehanke Kupar

96 Čovć M. V.: On the Frst Integrals of Rheonomc Holonomc Mechancal Systems ZAMM 67(5) Čovć M. V.: Penleveov ntegral prncp staconarnog dejstva 19. jugoslovensk kongres teorjske prmenjene mehanke Ohrd Čovć V.: Dferencjalne jednačne stablnost kretanja neholonomnh sstema sa prmenom na dnamku objekata Doktorska dsertacja Beograd Crouch P. Slva Lete F.: The dynamc nterpolaton problem: on Remannan manfolds Le groups and symmetrc spaces Journal of Dynamcal and Control Systems 1() pp Cvetćann L.: Dynamcs of mechnes wth varable mass Amsterdam: Gordon and Bread Scence Publshers Đukć Đ. S.: Note on the dsturbed equatons of moton n the nonholonomc coordnates Annal d Matematca 96(4) pp Đukć Đ.: Zakon održanja klasčne mehanke u neholonomnm koordnatama 1. jugoslovensk kongres raconalne prmenjene mehanke Ohrd Ensenhart L.: Remannan geometry Prnceton Unv. Press 196. Gantmaher F. R.: Analtčka mehanka Zavod za zdavanje udžbenka SR Srbje Beograd1964. Ghor Q. K. Hussan M.: Poncares equarons for a nonholonomcs dynamcal system ZAMM 53 pp Greenwood D. T.: Classcal Dynamcs Dover: New York Huston R. L. Passarello C. E.: Another look at nonholonomc system J. Appl. Mechancs pp Jeremć O.: Prlog dnamc reonomnh sstema Doktorska dsertacja Beograd Kovačć I.: Metoda polja u neholonomnoj mehanc teorj nelnearnh osclacja Doktorska dsertacja Nov Sad

97 Teodorescu P.: Mechancal Systems Classcal Mechancs 3 Analytcal Mechancs Sprnger-Scence (Translated from Rumanan) 009. Johnsen L.: Dynamque générale des systems nonholonomques Skrfter Ungtt. Av. Det. Norske Vdenkaps. Akadem. Oslo I Mat. Nat. Klass 4 pp Lure A. I.: Analytcal Mechancs Sprnger-Verlag Berln 00. Maruskn J. M. Bloch A. M. Marsden J. E. Zenkov D.: A geometrc foundaton of quas-veloctes n nonholonomc and varatonal nonholonomc systems Preprnt 009. Mušck Đ. Zekovć D. N.: Energy ntegrals for the systems wth nonholonomc constrants of arbtrary form and orgn Acta Mech. 7 pp Nemark J. I. Fufaev N. A.: Dynamcs of Nonholonomc Systems Nauka Moscow Papastavrds J. G.: Analytcal Mechancs Oxford Unversty Press: Oxford 00. Pars L. A.: A treatse on analutycal mechancs London: Henemann Ray J.: Nonholonomcs Constrants Am. J. of Physcs 34(1) Rumjantzev V. V. Sumbatov A. S.: On the problem of a generalzaton of the Hamlton- Jacob method for nonholonomc systems ZAMM 58 pp Rumjantzev V. V.: Forms of Hamltons prncple for nonholonomc systems Facta Unverstats (10) pp Rund H.: The Hamlton-Jacoby theory n the calculus of varatons London: D Van Nostrand Company LTD Soltakhanov Sh. Kh. Yushkov M. P. Zegzhda S. A. : Mechancs of non-holonomc systems Sprnger-Verlag Berln 009. Stojanovć R.: Osnov dferencjalne geometrje GraĎevnska knjga Beograd Sutela T. Vujanovć B.: Moton of a nonconservatve dynamcal system va a complete ntegral of a partal dfferental equaton Tensor (NS) 38 pp

98 Udwada F. E. Kalaba R. E.: A new perspectve of constraned moton Proceedngs Mathematcal and Physcal Scences 39 Issue 1906 pp Udwada F. E. Kalaba R. E.: Fundamental prncples of Lagrangan dynamcs: Mechancal systems wth non-deal holonomc and non-holonomc constrants Journal of mathematcal analyss and applcaton 51 pp Van Dooren R.: Dervaton of the Lagrange equatons for nonholonomc Chetaev from a modfed Pontryagn maxmum prncple ZAMP Van Dooren R.: Moton of a rollng dsc by a new generalzed Hamlton-Jacob method ZAMP 7 pp Van Dooren R.: The generalzed Hamlton-Jacob method for nonholonomc dynamcal systems of Chetaevs type ZAMP 55 pp Vujanovć B.: On a gradent method n nonconservatve mechancs Acta mechanca 34 pp Vujčć A. V.: Preprncp mehanke Beograd 013. Vujčć A. V.: The modfcaton of Analytcal Dynamcs of Rheonomc Systems Tensor 46 Nov Sad Vujčć V.: Dynamcs of rheonomc systems Matematčk Insttut Beograd Zekovć D. N.: Dynamcs of mechancal systems wth nonlnear nonholonomc constrants I The hstory of solvng the problem of a materal realzaton of a nonlnear nonholonomc constrant ZAMM 91(11) pp a. Zekovć D. N.: Dynamcs of mechancal systems wth nonlnear nonholonomc constrants II Dfferental equatons of moton ZAMM 91(11) pp b. Zekovć D. N.: Dynamcs of mechancal systems wth nonlnear nonholonomc constrants III Analyss of moton ZAMM 93(8) pp Zekovć D. N.: Energy ntegrals for mechancal systems wth nonlnear nonholonomc constrants Int. Jor. of Non-Lnear Mech. 73 pp

99 Zekovć D. N.: On the moton of a nonholonomcally constraned system n the nonresonance case Mechancs Research Communcatons 38(4) pp c. Zekovć D.: Nek problem dnamke neholonomnh sstema prmenom na tehnčke objekte Doktorska dsertacja Beograd

100 Поглавље Глобални минимум времена при брахистохроном кретању материјалне тачке са ограниченом реакцијом везе Формулација проблема оптималног управљања Разматра се кретање материјалне тачке M масе m у вертикалној равни xoy Декартовог правоуглог координатног система референције где је оса Oy усмерена вертикално навише. Јединични вектори оса Ox и Oy су и j респективно. Тачка M креће се дуж глатке криве линије која се третира као задржавајућа (билатерална) веза у хомогеном гравитационом пољу силе Земљине теже. Тачка започиње кретање из положаја M x y при познатој вредности укупне механичке енергије E T Π E 0 5 (.1) где су T 1 mv и (.) 5 Имајући у виду да се тачка M креће у хомогеном гравитационом пољу силе Земљине теже важи закон о одржању укупне механичке енергије T Π const. 88

101 Π mgy (.3) кинетичка и потенцијална енергија тачке респективно док је E0 вредност механичке енергије тачке у почетном тренутку t0 0. Класичан брахистохрони проблем се састоји у одређивању облика криве (брахистохроне) y y x обезбедити да тачка која започиње кретање из положаја брзином 6 одређеном на основу (.1) (.) и (.3) која ће M x y са почетном V E m 0 0 gy0 (.4) где је V0 V0t 7 стигне у унапред одређен положај f f f M x y за најкраће време E t f где је y 0 0. Сада се брахистохрони проблем може поставити и у следећем mg облику: потребно је одредити облик криве y y x која започиње кретање из положаја унапред одређену многострукост облика која ће обезбедити да тачка M x y са почетном брзином (.4) стигне на Ψ f xy 0 (.5) за најкраће време t f. Најпре ће бити разматран случај неограничене а затим и случај ограничене пројекције силе реакције везе до фиксних граница * n ** N N N (.6) 6 У изворном брахистохроном проблему тачка започиње кретање из координатног почетка O 00 при чему је оса Oy усмерена вертикално наниже без почетне брзине. 7 Где је t јединични вектор тангенте на трајекторију у тачки M. 89

102 * ** где су N 0 и N 0 дате константе док је Nn N dt / dφ пројекција силе реакције везе на правац одређен јединичним вектором dt / dφ о коме ће у наставку бити више речи. Векторска диференцијална једначина кретања тачке M гласи где је g g j ma mg N убрзање силе Земљине теже док је N сила реакција везе 8. (.7) Како је dt t cos φ sn φ j и sn φ cos φ j dφ (.8) убрзање тачке може се написати у следећем облику dt a V t Vφ (.9) dφ где је dt / dφ јединични вектор који је нормалан на вектор t тј. dt / dφ t 0. Очигледно је да јединични вектор dt / dφ за разлику од јединичног вектора нормале n не мења оријентацију са променом конкавности криве и да је стално усмерен на истој страниˮ као и g што је разлог за увођење јединичног вектора dt / dφ. 8 Како се разматра кретање тачке дуж идеално глатке везе линија дејства силе реакције N везе колинеарна је са јединичним вектором d t / dφ. 90

103 Слика.1 Материјална тачка у хомогеном гравитационом пољу силе Земљине теже Кинематичке једначине кретања тачке M су x Vcos φ y Vsn φ. (.10) где је V V t.векторској диференцијалној једначини кретања (.6) одговарају следеће скаларне диференцијалне једначине у односу на правце одређене јединичним векторима t и dt / dφ где су N N t 0 t и N N dt / dφ n mv mg sn φ mvφ mg cos φ N n (.11). Са променом конкавности криве пројекција N n силе реакције везе неће променити знак што је још један од разлога за увођење вектора dt / dφ. На основу (.10) и (.11) могу се формирати диференцијане једначине првог реда у нормалном облику познате под називом једначине стања 91

104 x V cos φ y Vsn φ V gsn φ 1 1 φ g cos φ u V mv (.1) које описују кретање разматране тачке у простору стања где је као управљачка променљива узета пројекција силе реакције везе u N крајњим условима n са следећим почетним и E0 t0 0 xt0 x0 y t0 y0 V t0 gy0 m (.13) где су x f xt f и y f y t f t t Ψ x y 0 (.14) f f f f. Почетни положај M x y као и почетна брзина V 0 тачке је позната док је вредност угла φ 0 у почетном тренутку и крајњи тренутак t f непознат при чему је π φ0 π t f 0. (.15) Брахистохрони проблем кретања тачке описан диференцијалним једначинама (.1) састоји се у одређивању оптималног управљања и φ φt x x t y y t V V t u u t као и променљивих стања тако да тачка из почетног стања на многострукости (.13) пређе у крајње стање на многострукост (.14) за минимално време. То се може изразити у виду услова да функционал на интервалу 0 t f има минималну вредност. t f J x y V φ u dt (.16) 0 9

105 Решење проблема оптималног управљања за случај неограничене реакције везе У циљу решења проблема оптималног управљања формулисан Понтрјагиновим (руски: Лев Семёнович Понтрягин енглески: Lev Semyonovch Pontryagn ) принципом максимума формира се Понтрјагинова функција 9 у следећем облику 1 1 H x y V φ u λ λ0 λxv cos φ λyv sn φ λv g sn φ λφ g cos φ u (.17) m V 0 T λ спрегнути вектор и може се узети да је λ0 1 где је λ λx λy λv λφ λ док су λ 0 const. 0 φ : 0 t f у следећем облику λx : 0 t f λy : 0 t f λv : 0 t f и. За потребе даљих разматрања дефинише се функција прекида H 1 H 1 H 1 λφ u mv. (.18) Сада се на основу (.17) и (.18) Понтрјагинова функција H може написати у следећем облику где је H H 0 H 1 u (.19) 1 H0 1 λxv cos φ λyv sn φ λv g sn φ λφ g cos φ. (.0) V 9 У литератури се може срести и под називом Хамилтонијан. 93

106 Овакав случај када Понтрјагинова функција линеарно зависи од управљања у теорији оптималних управљања је познат као сингуларан где су потребни услови оптималности Понтрјагиновог принципа максимума у облику одакле се оптимално управљање u управљање H1 0 (.1) експлицитно не може одредити. Уколико припада отвореном скупу као што је то у овом делу услов (.1) представља једини услов за одређивање оптималног управљања. У случају ограничене пројекције силе реакције везе што је предмет анализе у наредном делу овог поглавља а самим тим управљање припада затвореном скупу оптимално управљање се у том случају састоји из сингуларних и несингуларних (bang bang) управљања уз одговарајуће услове спрезања сингуларних и несингуларних делова оптималне трајекторије. Принцип максимума мора бити задовољен на целом интервалу 0 t f уз одговарајуће услове трансверзалности на крајевима t0 0 и t f док у тачкама спрезања фазне координате и спрегнуте променљиве морају бити непрекидне. Имајући у виду граничне услове (.13) и (.14) као и чињеницу да време не фигурише експлицитно у једначинама стања (.1) постављени проблем оптималног управљања може се решити директном применом Теореме 3 која подразумева примену Теореме 1. Спрегнути систем диференцијалних једначина имајући у виду Понтрјагинову функцију (.17) има следећи облик 94

107 λ x λ y H 0 x H 0 y H 1 1 λ V λx cosφ λy sn φ λφ g cos φ u V m V H 1 λ φ λxv sn φ λyv cosφ λv g cosφ λφ g sn φ φ V (.) одакле следи да су λ const. и λ const. У циљу примене услова трансверзалности x y у почетном положају у складу са Теоремом 3 вектор почетне варијације x y V φ лежи у тангентној равни хиперповрши на многострукости (.13). Имајући у виду ортогоналност спрегнутог вектора на тангентну раван хиперповрши на многострукости (.13) могу се формирати услови трансверзалности који одговарају почетном положају тачке λ x 0 λ y 0 λ V 0 λ φ 0 0 (.3) x y V φ где представља асинхрону варијацију величине. Почетни услови (.13) доводе до следећих варијација фазних координата у почетном тренутку x 0 0 y 0 0 V 0 0. (.4) Имајући у виду независност варијације гранични услов у почетном тренутку следи φ0 као и (.3) и (.4) следећи λ 0 0. (.5) φ Услови трансверзалности у крајњем положају тачке на многострукост (.14) имају следећи облик 0 λ x t λ y t λ t V t λ t φ t (.6) x f y f V f f φ f f где је у складу са (.14) 95

108 Ψ x f f Ψf x t f y t f 0. y f (.7) Сада имајући у виду независност варијација x t f V t f и φt f гранични услови на основу (.6) и (.7) следе следећи Ψ / x Ψ 0 * f f f xf yf λx λy λx λy Ψ f / y f (.8) λ t 0 λ t 0. (.9) V f φ f Гранични услови (.5) (.8) и (.9) добијени из услова трансверзалности (.3) и (.6) који одговарају почетном и крајњем положају тачке на многострукостима (.13) и (.14) респективно такође задовољавају потребне услове оптималности (.1). Када време t f није унапред одређено као што је то у овом случају при решавању система једначина (.1) и (.) у складу са граничним условима и условима трансверзалности (.13) (.14) (.5) (.8) и (.9) треба придружити услов што следи директном применом Теореме 1 да је вредност Понтрјагинове функције на оптималној трајекторији у сваком тренутку једнака нули Ht 0 (.30) који узимајући у обзир граничне услове (.9) доводи до следећег услова у крајњем тренутку t f 1 λ V t cos t λ V t sn t 0. (.31) x f f y f f Поступак одређивања оптималног управљања u састоји се у даљем диференцирању функције прекида H 1 по времену у складу са једначинама (.1) и (.) све док се експлицитно не појави управљање u. У том циљу применимо добро познат 96

109 формализам Поасонових (Sméon Dens Posson ) заграда при израчунавању сингуларног управљања u H H H H H H H u 0. (.3) На основу (.1) и чињенице да дуж сингуларног дела оптималне трајекторије следећа релација важи добија се да је 1 1 H H 0 (.33) 1 H1 H0 λxv φ λyv φ gλv φ sn cos cos 0. (.34) mv На основу услова (.1) и (.34) у складу са (.18) и (.0) дуж сингуларног дела оптималне трајекторије важи V λφ t 0 λv t λy λx tan φ. (.35) g Даљим диференцирањем по времену релације (.3) добија се H H H H H H H u 0. (.36) Сада се на основу (.36) у складу са (.35) може одредити сингуларно управљање првог реда у облику uφ mg cos φ. (.37) Обједињујући услове (.19) (.0) (.1) (.30) и (.35) добија се λ x cosφ const. (.38) V док се на основу (.31) и (.38) добија 97

110 λ y sn φ f (.39) V f где је φt f φ f и V t f V. Гранични услов (.8) у складу са (.38) и (.9) f сада добија следећи облик Ψ / x Ψ cos sn 0 * f f f xf yf φf φf φf Ψ f / y f (.40) док λ V на основу (.35) (.38) и (.39) има следећи облик 1 V λv t sn φ sn φ f. g V f (.41) Неопходан Келијев (Kelley) услов оптималности за сингуларно управљање првог реда у складу са (.35) и (.38) сада се може записати применом Поасонових заграда у облику 1 H 1 H 0 H 1 0. (.4) mv Из релације (.4) јасно се може закључити да је Келијев услов оптималности задовољен током брахистохроног кретања тачке односно H H H 0 t 0 tf. Једначине стања (.1) у складу са (.37) сада имају следећи облик x V cos φ y Vsn φ V gsn φ g cosφ φ. V (.43) Параметарске једначине трајекторије тачке M добијене су интеграцијом прве две једначине стања (.43) имајући у виду притом (.38) 98

111 1 V 0 g g g cosφ0 V0 V0 x t x sn φ cosφ t sn φ cos φ t 1 V0 g g cosφ0 V0 y t y cos φ cosφ t cos φ (.44) док је закон промене угла φ у функцији од времена g φt φ0 cos φ0t (.45) V 0 где је t 0 tf. Такође закон промене брзине V тачке M из (.38) је V0 g Vt cosφ0 cos φ0t. cosφ0 V0 (.46) Сада је непознате параметре φ 0 и t f могуће одредити из граничних услова (.14) и (.40) Ψ x y 0 f f f Ψ / x Ψ cos sn 0 * f f f xf yf φf φf φf Ψ f / y f (.47) имајући у виду притом (.44) и (.45). Након одређених вредности непознатих параметара φ 0 и t f из система (.47) кога чине две у општем случају нелинеарне једначине могуће је одредити xt y t V t φt λ λ и λ t док је 0 x y V λ t. Иако се TPBVP може решити на претходно описан начин у овом раду TPBVP одређен једначинама стања (.43) као и одговарајућим граничним условима (.13) и (.47) биће решен применом методе гађања. Двопараметарски шутинг се састоји у одређивању непознате вредноси угла φ 0 као и минимално потребног времена Нумерички поступак одређивања непознатих параметара методом шутинга састоји φ t f. 99

112 се у гађању крајњих граничних услова (.47) у складу са (.43) при познатом почетном положају и почетној брзини (.13). У примени методе шутинга неопходно је дати процену интервала вредности параметара који се одређују. На основу датих процена (.15) може се тврдити да се сва решења одговарајућег TPBVP сигурно налазе унутар датих интервала а самим тим и глобални минимум времена при брахистохроном кретању тачке M. У случају вишеструких решења принципа максимума глобални минимум је оно решење које одговара минималном времену. С обзиром да је крајњи циљ одредити оно решење TPBVP које одговара минималном времену одредићемо решења TPBVP у интервалу крајњег тренутка * t f дата позитивна константа. * 0 tf tf где је У циљу решења постављеног TPBVP следеће функционалне релације у нумеричком облику могу бити успостављене 1 где је * f f f f f f f Γ z Ψ x y Ψ x y φ 1 0 (.48) Γ T z Γ 1 z Γ z шутинг функција и z tf φ 0 T. Решења TPBVP могу бити геометријски представљена у простору са осама t f и φ 0 имајући у виду (.15) посредством уграђене ContourPlot() Mathematca функције. Наиме решења TPBVP у простору t f φ 0 могуће је геометријски представити пресеком одговарајућих кривих (.48) као t f φ t f φ M Mr Γ Γ.... (.49) Број елемената скупа (.49) једнак је броју решења TPBVP док координате пресечних тачака у простору t f φ 0 представљају решења TPBVP. На основу пресека кривих (.49) могуће је извршити процену вредности координата t f φ свих пресечних тачака (.49). Процењене вредности координата t f φ 0 пресечних 100 0

113 тачака могу се користити као почетна итерација за одређивање тачних вредности непознатих t f и φ0 применом методе шутинга. TPBVP је решен за следеће вредности параметара док је kgm * m 1kg x0 πm y0 m E0 30 t s f (.50) s g m/s. Почетни услови (.13) за дате вредности параметара (.50) узимају следеће вредности E0 m t0 0 x t0 πm y t0 m V t (.51) mg s док су гранични услови (.47) x f t t f Γ 1t f φ0 Ψf y f a cos 0 a * x f Γ t f φ0 Ψf cos φf sn φf sn 0 a (.5) где је a 1m. На слици.а приказане су криве Ψ f и * Ψ f добијене посредством уграђене ContourPlot() функције * f ContourPlot[{ Ψ [ t φ ] 0 Ψ [ t φ ] 0}{ t 0}{ φ π π} f 0 f f 0 f 0 FrameLabel {StandardForm[ t [s]]standardform[ φ ]} LabelStyle Drectve[14] BoxRatos {11}] док су на слици.б приказане тачке пресека кривих Ψ f и f 0 * Ψ f добијене као 101

114 * f ContourPlot[{ Ψ [ t φ ] 0 Ψ [ t φ ] 0}{ t 0}{ φ π π} f 0 f f 0 f 0 FrameLabel {StandardForm[ t [s]]standardform[ φ ]} f LabelStyle Drectve[14]MeshFunctons {Functon[{ t φ } Ψ [ t φ ]]} 0 0 f f 0 MeshStyle {{PontSze[0.01]Blue}}Mesh {{0}}ContourStyle None BoxRatos {11}] m при вредности почетне брзине V s f Слика. Решења TPBVP при 0 f 0 m s V : (а) пресек кривих Γ 1 f 0 Γ t φ (б) пресечне тачке М 16. t φ и На слици.3а приказане су криве Ψ f и * Ψ f док су на слици.3б приказане тачке пресека кривих Ψ f и * m Ψ f при вредности почетне брзине V s 10

115 Слика.3 Решења TPBVP при 0 f 0 m s V : (а) пресек кривих Γ 1 f 0 Γ t φ (б) пресечне тачке М 71. t φ и Са слика. и.3 јасно се може закључити да решење TPBVP није јединствено. У наредним табелама приказана су решења TPBVP. m Табела.1 Нумеричка решења TPBVP при V s Решења s t f φ 0 1 Прво решење M Друго решење M Треће решење M Четврто решење M Пето решење M Шесто решење M

116 m Табела. Нумеричка решења TPBVP при V s Решења s t f φ 0 7 Седмо решење M Осмо решење M Девето решење M Десето решење M Једанаесто решење M Дванаесто решење M На основу решења TPBVP може се закључити да решењима 16 M приказана у табели.1 одговарају физички иста решења M 6 респективно приказана у табели. па ће у наставку бити разматрана само решења приказана у табели.1. На слици.4 приказани су закони промене y y( x) при одредђеним граничним вредностима приказаних у табели.1. На основу вредности приказаних у табели.1 може се закључити да глобални минимум времена при брахистохроном кретању тачке у вертикалној равни одговара првом и трећем решењу (тачке M 1 и M3 слици.) и износи t f s. приказане на 104

117 Слика.4 Трајекторије y y ( x ) тачке М које одговарају респективно решењима М 16 приказана у табели.1 На слици.5 приказани су закони промене пројекције силе нормалне реакције за свих шест решења у функцији од времена. На сликама.4 и.5 као и сликама које следе у наставку истој боји одговара исто решење. Слика.5 Пројекције n n N N t силе нормалне реакције које одговарају решењима приказана у табели.1 105

118 Решење проблема оптималног управљања за случај ограничене реакције везе У овом делу разматра се брахистохроно кретање тачке M за случај ограничене пројекције силе реакције везе па у складу са (.6) пишемо где је * N 1N и ** * N u N ** (.53) N 1N. На основу графичког приказа функције управљања ut датог на слици.5 не умањујући општост разматрања може се закључити да првом и четвртом решењу одговара sng max структура оптималног управљања usng 0t t1 u umax t1 t t f (.54) где је сингулано управљање на основу (.37) usng mg cos φ и umax 1N док трећем и шестом решењу одговара sng mn структура оптималног управљања usng 0t t1 u umn t1 t t f (.55) где је umn 1N док је t 1 тренутак прекида функције управљања ut. Имајући у виду структуре управљања (.54) и (.55) можемо закључити да функција управљања u t има прекид прве врсте у тачки t 1. Одговарајући услови спрезања између сингуларног и несингуларног дела оптималног управљања који представљају неопходне услове за оптимално спрезање морају бити задовољени што је одређено Теоремом 1. Наиме нека је q најнижи ред извода по времену функције прекида H1 која садржи експлицитно управљање u и ( r u ) ( r 0) најнижи ред извода управљања u који има прекид у тренутку t 1. У складу са Теоремом 1 неопходан услов за спрезање између сингуларног и несингуларног дела оптималног управљања 106

119 изражава се условом да је збир q r непаран цео број. У разматраном случају имамо да је q 1 и r 0 односно qr 1; на основу Теореме 1 можемо закључити да је неопходан услов за оптимално спрезање испуњен. На временском интервалу 0t 1 који одговара сингуларном делу управљања u sng важе једначине стања дате у (.43). На временском интервалу t t 1 f u max важе једначине стања које сада имају следећи облик који одговара несингуларном делу управљања x V cos φ y Vsn φ V gsn φ mg cosφ u φ mv max. (.56) Из граничног услова (.31) могуће је координату спрегнутог вектора λ y изразити у облику λ 1 y 1 x f cos f. V sn φ λ V φ (.57) f У складу са (.17) и (.58) спрегнути систем диференцијалних једначина који одговара несингуларном делу управљања u max има следећи облик f λ λ x y H 0 x H 0 y H sn φ 1 1 λ V λx sn φ φ f λφ umax mg cos φ V V sn f φ f mv H gsn φ 1 V λ φ g cosφλv λφ λxv f cosφ φ f cos φ. φ V sn φ V f f (.58) 107

120 У основном (.56) и спрегнутом (.58) систему диференцијалних једначина фигурисаће u mn уместо u max за случај структуре оптималног управљања дате у (.55) која одговара трећем и шестом решењу. Као и у претходном случају нумерички поступак за решавање одговарајућег TPBVP заснован је на методи шутинга. Петопараметарски шутинг састоји се у одређивању непознате координате спрегнутог вектора λ x тренутака 1 t прекида функције управљања крајњег тренутка t f као и координате x f тачке M и угла φ f у крајњем тренутку t f. Нумерички поступак за решавање Кошијевог (Augustn Lous Cauchy ) проблема система диференцијалних једначина првог реда може се представити у неколико следећих корака: У првом кораку погодно је извршити нумеричку интеграцију диференцијалних једначина (.56) и (.58) уназад у временском интервалу tf t1 несингуларном делу управљања u max са почетним условима који одговара E 0 x t f x f y t f y f V t f g cos x f m f f V f φ f φ t φ λ t 0 λ t 0 где је у разматраном задатку y f acos x f / a (.59). Коришћењем функције прекида (.18) као и извода по времену функције прекида (.34) могу се формирати следеће функционалне зависности у нумеричком облику Γ f f f x и H1 H0t1 Γ t f t1 xf φf λx H t t t x φ λ имајући у виду релацију (.57) приликом њиховог формирања које одговарају временском тренутку t 1. Коришћењем граничног услова (.8) може се формирати следећа * функционална зависност у нумеричком облику Ψf t f Γ 3t f t1 x f φf λx имајући у виду такође релацију (.57) која одговара временском тренутку t f. 108

121 У другом кораку погодно је такође извршити нумеричку интеграцију једначина стања (.43) уназад у временском интервалу t 1 0 који одговара сингуларном делу управљања sng u са почетним условима xt y t V t и φt добијају као решења нумеричке интеграције извршене у претходном кораку. 1 који се На основу одређеног почетног положаја x y тачке M могу се формирати следеће функционалне зависности у нумеричком облику Γ 4 f 1 f f x и y0 y0 Γ 5 t f t1 xf φf λx x x t t x φ λ временском тренутку t 0 0. које одговарају На основу претходно реченог може се сада формирати шутиг фукција 51 где је z T Γ z Γ z Γ z Γ z Γ z Γ z 0 (.60) Γ и z t f t1 x f φf λx. Процена вредности непознате координате спрегнутог вектора λ x може се у општем случају одредити на основу релације (.38) која важи на временском интервалу који одговара сингуларном делу управљања u sng у облику где се за 1 1 λ * x * (.61) V V * V по могућству може узети минимална вредност скупа бројева одређених максималним вредностима брзине тачке М за свако од решења TPBVP на временском интервалу који одговара сингуларном делу управљања. Како унапред није познат закон промене брзине тачке М за свако од решења TPBVP за случај ограничене реакције везе за * V може се узети позната вредност брзине тачке М са почетка или краја временског интервала који одговара сингуларном делу управљања. У разматраном задатку имајући у виду структуре (.54) и (.55) за * V 109

122 узета је почетна вредност брзине тачке М односно * V V 0. Процена вредности координате спрегнутог вектора λ x према (.61) је 0194 λ x 0194 (.6) док су 0 tf 0 t1 и π φf π. Процена вредности координате x f тачке M у крајњем тренутку може се дати као где су * x f и * f f ** f x x x (.63) ** x f дате константе. На основу графичког приказа функције xt () датог на слици.4 за интервал вредности координате x f тачке M у крајњем тренутку може се узети 08 x f 55 како бисмо били на страни сигурности. На основу датих процена интервала вредности свих непознатих граничних вредности може се такође тврдити да се решења одговарајућег TPBVP сигурно налазе унутар датих интервала а самим тим и глобални минимум времена при брахистохроном кретању тачке M са ограниченом реакцијом везе. Нумерички алгоритам GMTBMP() коришћен у овом раду који је у целости приказан у Прилог.1 формиран је у програмском окружењу MatLab. Поступак рада програма GMTBMP() који у основи представља Монте Карло (Monte Carlo) метод уз одређене модификације у циљу брже и поузданије конвергенције може се описати у неколико следећих корака: за унапред задати број случајних тачака (у конкретном примеру nstart = 10000) програм генерише случајну тачку у простору t f t1 x f φf λ x непознатих граничних вредности посредством уграђене функције rand() која генерише униформну дистрибуцију псеудослучајних бројева из унапред одређених интервала непознатих граничних вредности; програм најпре одређује вредност шутинг функције у случајној тачки па уколико је добијена вредност шутинг функције мања у односу на унапред одређен праг вредности (у конкретном примеру праг је 05) програм применом уграђене 110

123 функције fmnsearch() која користи Нилдер Мид (Nelder Mead) симплекс метод за локалну минимизацију одређује непознате граничне вредности t f t1 x f φ f и λ x при којима је шутинг функција минимална. Са смањењем прага вредности вероватноћа да се генерисана случајна тачка налази у околини једног од решења разматраног TPBVP је већа па самим тим и брзина конвергенције је већа али је неопходно у том случају генерисати већи број случајних тачака; уколико је минимална вредност шутинг функције мања у односу на унапред одређену вредност (у конкретном примеру као једно од решења TPBVP које се памти у матрицу RezT ) програм дато решења прихвата Решења разматраног TPBVP за umax 1N и umn 1N као резултат рада програма GMTBMP() приказана су у табели.3 и табели.4 респективно. Табела.3 Нумеричка решења TPBVP за umax 1N Решења t f s t x f m 1 s φ f λ x s/m * Прво решење M * Четврто решење M Табела.4 Нумеричка решења TPBVP за umn 1N Решења t f s t x f m 1 s φ f λ x s/m * Треће решење M * Шесто решење M

124 На слици.6 приказани су закони промене y y( x) при одредђеним граничним вредностима приказаних у табели.3 и табели.4. На основу вредности приказаних у табели.3 и табели.4 може се закључити да глобални минимум времена при брахистохроном кретању тачке у случају ограничене реакције везе одговара првом и трећем решењу (тачке * M 1 и * 3 M приказане на слици.6) и износи t s. f Слика.6 Трајекторије тачке М за случај ограничене реакције везе које одговарају решењима приказана у табелама.3 и.4 На слици.7 приказани су закони промене пројекције силе нормалне реакције у случају ограничене реакције везе у функцији од времена. 11

125 Слика.7 Пројекције n n N N t за случај ограничене реакције везе које одговарају решењима приказана у табелама.3 и.4 Будући да функције оптималног управљања ut N t имају прекид у тачкама спрезања сегмената (видети слику.7) може се закључити да су услови за спрезање између сингуларних и несингуларних делова управљања на оптималној трајекторији задовољени. На слици.8 где су графички приказане функције прекида H 1 n евидентно је да је H1 τ 0 τ t1 t f за свако од решења. Слика.8 Функције прекида H 1 које одговарају решењима приказана у табелама.3 и.4 113

126 Неопходан Келијев услов оптималности за сингуларно управљања првог реда је d u dt H 0 u (.64) који се може приказати у следећем облику d K u dt H u g cosφλ 1 φ sn φf φ V sn φ g λ sn 0. 3 V φ λxv m V m V sn φ f V f sn φ f (.65) На слици.9 приказани су закони промене функције K из (.65) одакле се јасно може закључити да је услов (.64) испуњен за свако од решења. 114

127 Слика.9 Нумеричка потврда Келијевог услова оптималности (.64) Како је смањење граничне вредности u max реакције везе праћено смањењем временског интервала који одговара сингуларном делу оптималног управљања тј. смањењу временског тренутка t 1 који одговара прекиду функције управљања у првом и трећем решењу природно се намеће следеће питање: колика је минимална гранична вредност * u max реакције везе? Минимална гранична вредност * u max реакције везе у првом решењу може се одредити користећи претходно дефинисане функционалне зависности у нумеричком облику Γ z...γ 1 5 z где је сада 115

128 * f max f f x z t u x φ λ и t 1 0. За овако формулисан TPBVP добијају се следеће граничне вредности: * max t s u N x m f f φ и λx s/m. На слици.10 приказан је закон промене f y y( x) док је на слици.11 приказан закони промене пројекције силе нормалне * реакције max N=const. u при претходно одређеним граничним вредностима. На слици.1 приказан је закон промене функција прекида H 1 док је на слици.13 приказан закони промене функције K. Слика.10 Трајекторија тачке М за случај минималне граничне вредности * max u N 116

129 Слика.11 Минимална гранична вредност * n N N силе реакције везе Слика.1 Функција прекида H 1 за случај минималне граничне вредности * max u N Слика.13 Нумеричка потврда Келијевог услова оптималности (.64) за случај * max минималне граничне вредности u N За случај несиметричног ограничења реакције везе у четвртом решењу * N u N ** (.66) 117

130 где је сада следећи облик * N 5N и ** N 1N структура оптималног управљања сада има umn 0 t t u usng t t t1 umax t1 t t f (.67) где је umn 5N и umax 1N. У овом случају оптимална трајекторија се састоји из три сегмента. Оптимална трајекторија најпре започиње са сегментом дуж кога је N 5N затим дуж сингуларног сегмента и на крају се завршава са сегментом дуж n кога је N 1N. Нумерички поступак за решавање Кошијевог проблема сада се n може представити у неколико следећих корака: У првом кораку погодно је извршити нумеричку интеграцију диференцијалних једначина (.56) и (.58) уназад у временском интервалу tf t1 који одговара несингуларном делу управљања u max са почетним условима (.59). Коришћењем функције прекида (.18) као и извода по времену функције прекида (.34) могу се формирати следеће функционалне зависности у нумеричком облику Γ f f f x и H1 H0t1 Γ t f t1 t xf φf λx H t t t t x φ λ имајући у виду релацију (.57) приликом њиховог формирања. Коришћењем граничног услова (.8) може се формирати следећа функционална зависност у нумеричком * облику Ψf t f Γ 3 t f t1 t x f φf λx која одговара временском тренутку t f. У другом кораку погодно је такође извршити нумеричку интеграцију диференцијалних једначина које одговарају сингуларном делу управљања уназад у временском интервалу λ t и V 1 φ првом кораку. 1 t t са почетним условима 1 x t y t V t φt λ t који се добијају као решења нумеричке интеграције извршене у 118

131 У трећем кораку погодно је такође извршити нумеричку интеграцију диференцијалних једначина (.56) и (.58) уназад у временском интервалу t 0 који одговара несингуларном делу управљања xt y t V t φt λ t и V φ u mn са почетним условима λ t који се добијају као решења нумеричке интеграције извршене у другом кораку. На основу одређеног почетног положаја 0 0 x y тачке M као и граничног услова (.5) могу се формирати следеће функционалне зависности у нумеричком облику x0 x0 Γ 4 t f t1 t x f φf λx y0 y0 Γ 5 t f t1 t x f φf λx и λφ 0 Γ 6 t f t1 t x f φf λx одговарају временском тренутку t 0 0. које На основу претходно реченог може се сада формирати шутиг фукција 61 где је z T Γ z Γ z Γ z Γ z Γ z Γ z Γ z 0 (.68) Γ и z t f t1 t x f φf λx. Решавањем тако добијеног нелинеарног система једначина по t f t1 t x f φ f и λ x добијају се следеће граничне вредности: t s φ t s t s x m и f f 1 λ s / m. На слици.14 приказан је закон промене y y( x) док је на x слици.15 приказан закони промене пројекције силе нормалне реакције при претходно одређеним граничним вредностима. На слици.16 приказан је закон промене функција прекида H 1 док је на слици.17 приказан закони промене функције K. f 119

132 Слика.14 Трајекторија тачке М за случај несиметричног ограничења реакције везе 5 N n 1 Слика.15 Пројекција n n N N t за случај несиметричног ограничења реакције везе 5 N n 1 10

133 Слика.16 Функција прекида H 1 за случај несиметричног ограничења реакције везе 5 N n 1 Слика.17 Нумеричка потврда Келијевог услова оптималности (.64) за случај несиметричног ограничења реакције везе 5 N n 1 11

134 Литература Agrachev A. Sachkov Y.: Control Theory from the Geometrc Vewpont Sprnger Berln 004. Akulenko L. D.: The brachstochrone problem for a dsc J. Appl. Math. Mech. 73(4) pp Antunes A. Sgaud C.: Controllng nonholonomc Chaplygn systems Braz J Phys 40 pp Antunes ACB. Sguad C.: Controlng nonholonomc Chaplygn systems Braz J Phys 40 pp Ashby N. Brttn W. E. Love W. F. Wyss W.: Brachstochrone wth Coulomb frcton Am. J. Phys. 43(10) pp Bhatt S.: Optmal reorentaton of spacecraft usng only control moment gyroscopes Master s Thess Rce Unversty U.S.A Bloch A. M.: Nonholonomc Mechancs and Control Sprnger Berln 003. Brockett R.W.: Control theory and sngular Remannan geometry New Drectons n Appled Mathematcs Sprnger Berln pp Bryson A.E. Ho Y.C.: Appled Optmal Control Hemsphere New York Bullo F. Lews A. D.: Geometrc Control of Mechancal Systems Sprnger Berln 005. Cortes F. Martnez S. Ostrowsk J. P. McIsaac K. A.: Optmal gats for dynamc robotc locomoton The Internatonal Journal of Robotcs Research 0(9) pp Čovć V. Lukačevć M. Veskovć M.: On Brachstochronc Motons Budapest Unversty of Technology and Economcs Budapest 007. Čovć V. Lukačevć M.: Extenson of the Bernoull s case of a brachstochronc moton to the multbody system n the form of a closed knematc chan Facta Unv. Mech. Autom. Control Robot. (9) pp Čovć V. Veskovć M.: Brachstochrone on a surface wth Coulomb frcton Int. J. Non- Lnear Mech. 43(5) pp

135 Čovć V. Veskovć M.: Brachstochronc moton of a multbody system wth Coulomb frcton Eur. J. Mech. A Solds 8(9) pp Čovć V. Veskovć M.: Extenson of the Bernoull s case of brachstochronc moton to the multbody system havng the form of a knematc chan wth external constrants Eur. J. Mech. A Solds 1 pp Cruz P. A. F. Torres D. F. M.: Evoluton strateges n optmzaton problems Proc. Est. Acad. Sc. Phys. Math. 56(4) pp Dooren R. V. Vlassenbroeck J.: A new look at the brachstochrone problem Z. Angew. Math. Phys. 31 pp Đukć Đ. Atanackovć T. M.: A note on the classcal brachstochrone Z. Angew. Math. Phys. 7 pp Đukć Đ.: On the brachstochronc moton of a dynamc system Acta Mech. 3 pp Đukc Đ.: The brachstochronc moton of a gyroscope mounted on the gmbals Theor. Appl. Mech. pp Đukć Đ.: The brachstochronc moton of a materal pont on surface Rv. Mat. Unv. Parma 4() pp Elsgolc L.E.: Calculus of Varatons Pergamon Press Oxford Erlchson H.: Johann Bernoull s brachstochrone soluton usng Fermat s prncple of least tme Eur. J. Phys. 0 pp Gabasov R. Krllova F.M.: Sngular Optmal Controls Nauka Moscow Gelfand I.M. Fomn S.V.: Calculus of Varatons Prentce Hall Englewood Clffs Gershman M. D. Nagaev R. F.: The oscllaton brachstochrone problem Mech. Solds 14() pp Gershman M.D. Nagaev R.F.: O frkconnoj brakhstokhrone Izv. Akad. Nauk SSSR Meh. Tverd. Tela 4 pp Gershman M.D. Nagaev R.F.: O frkconnoj brakhstokhrone Izvestya Akadem Nauk Mehanka Tverdogo Tela 4 pp Goldstne H. H.: A Hstory of the Calculus of Varatons from the 17 th through the 19 th Century Sprnger-Verlag Berln

136 Grachen K. Pett N.: A contnuaton approach to state and adjont calculaton n optmal control appled to the reentry problem In: Proceedngs of the 17th World congress the nternatonal federaton of automatc control Seoul Korea pp July Hayen J. C.: Brachstochrone wth Coulomb frcton Int. J. Non-Lnear Mech. 40 pp Hennessey M. P. Shakban Ch.: Brachstochrone on a 1D curved surface usng optmal control J. Dyn. Syst. Meas. Control Ivanov A. I.: On the brachstochrone of a varable mass pont wth constant relatve rates of partcle throwng away and adjonng Dokl. Akad. Nauk Ukr. SSR Ser. A pp Jeremć O. Šalnć S. Obradovć A. Mtrovć Z.: On the brachstochrone of a varable mass partcle n general force felds Math Comput Model 54 pp Julstrom B. A.: Evolutonary algorthms for two problems from the calculus of varatons In: Lecture Notes n Computer Scence Genetc and Evolutonary Computaton-GECCO Sprnger Berln pp Kang W. Bedrossan N.: Pseudospectral optmal control theory makes debut flght saves NASA 1m n under three hours SIAM News 40(7) 007. Kelley H.J. Kopp R.E. Moyer H.G.: Sngular extremals n optmal control n: G. Letmann (Ed.) Topcs n Optmzaton Academc Press New York London pp Krk D. E.: Optmal control theory: An ntroducton New York: Dover Publcatons 004. Koon W. S. Marsden J. E.: Optmal control for holonomc and nonholonomc mechancal systems wth symmetry and Lagrangan reducton SIAM Journal on Control and Optmzaton 35(3) pp Legeza P. V.: Condtons for pure rollng of a heavy cylnder along a brachstochrone Int. Appl. Mech. 46(6) pp а. Legeza P.V.: Quckest-descent curve n the problem of rollng of a homogeneous cylnder Int. Appl.Mech. 44(1) pp

137 Legeza V. P.: Brachstochrone for a rollng cylnder Mech. Solds 45(1) pp b. Letman G.: An Introducton to Optmal Control McGraw-Hll New York Lpp S. C.: Brachstochrone wth Coulomb frcton SIAM J. Control Optm. 35() pp Masser P.: Brachystochronen als zetkrzeste Fahrspuren von Bobschltten ZAMM 78(5) pp Mallpedd R. Suganthan P.N. Pan Q.K. Tasgetren M.F.: Dfferental evoluton algorthm wth ensemble of parameters and mutaton strateges Appled Soft Computng 11 pp Martnez S. Cortes J. de Leon M.: Symmetres n vakonomc dynamcs: applcatons to optmal control Journal of Geometry and Physcs 38 pp Martynenko Yu. G.:The theory of the generalzed Magnus efect for nonholonomc mechancal systems PMM-J. Appl. Math. Mech Maruskn J.M. Bloch A.M.: The Boltzmann Hamel equatons for optmal control The Proceedngs of the 46 th IEEE Conference on Decson and Control New Orleans LA pp December 007. Matyukhn V.I.: Control of a wheeled system takng nto account ts nertal propertes Mech. Solds 48 pp Matyukhn V.I.: The control of a wheeled mechancal system PMM-J. Appl. Math. Mech. 71 pp McDanell J. P. Powers W. F.: Necessary condtons for jonng optmal sngular and nonsngular subarcs SIAM J. Control 9() pp Mehrpouya M. A. Shams M.: Gauss pseudospectral and contnuaton methods for solvng two-pont boundary value problems n optmal control theory Appl Math Model 39 pp Njmejer H. van der Schaft A. J.: Nonlnear Dynamcal Control Systems Sprnger Berln

138 Obradovć A. Čovć V. Veskovć M.: Brachstochronc moton of a nonholonomc rheonomc mechancal system Acta Mech Obradovć A. Čovć V. Veskovć M. Dražć M.: Brachstochronc moton of a nonholonomc rheonomc mechancal system. ActaMech. 14(3 4) pp Obradovć A. Šalnć S. Jeremć O.: On the brachstochronc moton of a varable-mass mechancal system n general force felds Math Mech Solds 19 pp Obradovć A.: Sngularna optmalna upravljanja mehančkh sstema Doktorska dsertacja Beograd Park Ch. Gubout V. Scheeres D.: Solvng optmal contnuous thrust rendezvous problems wth generatng functons J Gud Control Dyn 9 pp Parnovsky A.S.: Some generalsatons of brachstochrone problem. Acta Phys. Pol. A 93 S55 S Pontryagn L.S. Boltyansk V.G. Gamkreldze R.V. Mshchenko E.F.: The Mathematcal Theory of Optmal Processes Wley New Jersey 196. Razzagh M. Sepehran B.: Sngle-term Walsh seres drect method for the soluton of nonlnear problems n the calculus of varatons J. Vb. Control 10 pp Russalovskaya A. V. Ivanov G. I. Ivanov A. I.: On brachstochrone of the varable mass pont durng moton wth frcton wth an exponental rule of mass rate flow Dokl. Akad. Nauk Ukr. SSR Ser. A pp Šalnć S. Obradovć A. Mtrovć Z. Rusov S.: Brachstochrone wth lmted reacton of constrant n an arbtrary force feld Nonlnear Dynamcs 69 pp Šalnć S. Obradovć A. Mtrovć Z. Rusov S.: Erratum: Brachstochrone wth lmted reacton of constrant n an arbtrary force feld (Nonlnear Dynamcs 69 pp ) Nonlnear Dynamcs 70 pp Šalnć S. Obradovć A. Mtrovć Z.: On the brachstochronc moton of the Chaplygn slegh Acta Mech 4 pp Šalnć S.: Contrbuton to the brachstochrone problem wth Coulomb frcton Acta Mech. 08(1 ) pp

139 Šalnć S.: Contrbuton to the brachstochrone problem wth Coulomb frcton Acta Mech. 08 (1 ) pp Shevchenko K. N.: Brachstochrone and the prncple of least acton Mech. Solds 1() pp Shevchenko K. N.: Tme-optmal moton of a pont acted upon by a system of central forces Mech. Solds 19(6) pp Sngh B. Kumar R.: Brachstochrone problem n nonunform gravty Indan J. Pure Appl. Math. 19(6) pp Stoer J. Bulrsch J.: Introducton to Numercal Analyss Sprnger Berln Stork D.G. Yang J.: The general unrestraned brachstochrone Am. J. Phys. 56(1) pp Van der Hejden A. M. A. Depstraten J. D.: On the brachstochrone wth dry frcton Int. J. Non-Lnear Mech. 10 pp Van der Hejden A. M. A. Depstraten J. D.: On the brachystochrone wth dryfrcton Internat. J. Non-Lnear Mech. 10 pp von Klenschmdt W. Schulze H. K.: Brachstochronen n enem zentralsymmetrschen Schwerefeld ZAMM 50 T34 T Vratanar B. Saje M.: On the analytcal soluton of the brachstochrone problem n a nonconservatve feld Int. J. Non-Lnear Mech. 33(3) pp Vujanovć B. D.: Metod optmzacje Nov Sad Wensrch C. M.: Evolutonary solutons to the brachstochrone problem wth Coulomb frcton Mech. Res. Commun. 31 pp Zekovć D. Čovć V.: On the brachstochronc moton of mechancal systems wth lnear nonholonomc nonhomogeneous constrants Mech. Res. Commun. 0(1) pp Zekovć D.: On the brachstochronc moton of mechancal systems wth non-holonomc non-lnear and rheonomc constrants J. Appl. Math. Mech. 54(6) pp

140 Поглавље 3 Глобални минимум времена при брахистохроном кретању материјалне тачке у произвољном потенцијалном пољу сила Формулација проблема оптималног управљања Разматра се кретање материјалне тачке M масе m у простору Oxyz Декартовог правоуглог координатног система референције где је оса Oz усмерена вертикално наниже. Јединични вектори оса Ox Oy и Oz су j и k респективно. Тачка M креће се дуж глатке просторне линије која се третира као задржавајућа (билатерална) веза у произвољном потенцијалном пољу сила. Тачка започиње кретање из положаја t 0 x t x y t y z t z. (3.1) Кинетичка и потенцијална енергија тачке М респективно су 1 T x y z mv и (3.) Π Π x y z (3.3) где је V x y z. Имајући у виду да се тачка M креће у потенцијалном пољу сила важи закон о одржању укупне механичке енергије 18

141 x y z x y z T x y z x y z E0 Φ Π 0 (3.4) где је E0 вредност механичке енергије тачке у почетном тренутку t0 0. Брахистохрони проблем тачке може бити формулисан као задатак оптималног управљања. Наиме узимањем пројекција брзине тачке М на осе Ox Oy и Oz за управљачке променљиве ux u y и u z респективно x u y u z u (3.5) x y z брахистохрони проблем тачке састоји се у одређивању оптималних управљања и u u t u u t u u t x x y y и z zt x x t y y t пређе у крајњи положај на многострукост z као и њима одговарајућих координата z тако да тачка полазећи из почетног положаја (3.1) t t Ψ x y z 0 (3.6) f f f f f уз неизмењену вредност механичке енергије (3.4) за минимално време може изразити у виду услова да функционал t f. То се t f J x y z u u u dt (3.7) x y z 0 на интервалу 0 t f има минималну вредност. Решење проблема оптималног управљања У циљу решења проблема оптималног управљања формулисан Понтрјагиновим принципом максимума формира се Понтрјагинова функција у следећем облику 0 H x y z u u u λ λ λ u λ u λ u (3.8) x y z x x y y z z 19

142 где је λ λx λy λz λ y : 0 0 T λ спрегнути вектор и 0 const. 0 t f и λ : 0 z t f λ док су λ : 0 x t f. Имајући у виду граничне услове (3.1) и (3.6) као и чињеницу да време не фигурише експлицитно у једначинама стања (3.5) постављени проблем оптималног управљања може се решити директном применом Теореме. Спрегнути систем диференцијалних једначина имајући у виду Понтрјагинову функцију (3.8) као и релацију ограничења (3.4) има следећи облик H Φ Π x y z λ x μ μ x x x H Φ Π x y z λ y μ μ y y y H Φ Π x y z λ z μ μ z z z (3.9) где је μ Лагранжев множитељ. Услови трансверзалности у почетном положају тачке су идентички задовољени имајући у виду да је почетни положај (3.1) тачке у потпуности одређен. Услови трансверзалности у крајњем положају тачке на многострукости (3.6) имају следећи облик где је у складу са (3.6) 0 λ t x t λ t y t λ t z t (3.10) x f f y f f z f f Ψf Ψf Ψf x t f y t f z t f 0 x y z f f f (3.11) где представља асинхрону варијацију величине. Сада имајући у виду независност варијација xt f и yt f и (3.11) следе следећи гранични услови на основу (3.10) 130

143 Ψ / x Ψ 0 * f f f 1 x f y f z f λxf λzf λxf λzf Ψ f / z f Ψ / y Ψ 0 * f f f x f y f z f λyf λzf λyf λzf Ψ f / z f (3.1) где су λxf λx t f λyf λy t f и λzf λz t f. Уколико дозвољена управљања припадају отвореном скупу као што је то у овом случају услови на основу којих се одређују екстремална управљања могу се изразити у облику H Φ μ x y z. u u (3.13) Из услова (3.13) имајући у виду (3.) (3.4) и (3.8) координате спрегнутог вектора λx λ y и λ z могу се изразити у следећем облику λ =mμu x y z. (3.14) Када време t f није унапред одређено као што је то у овом случају потребно је придружити услов што следи директном применом Теореме 1 да је вредност Понтрјагинове функције на оптималној трајекторији у сваком тренутку једнака нули односно у складу са Понтрјагиновом функцијом (3.8) Ht 0 (3.15) λ0 λxux λyuy λzuz 0. (3.16) На основу (3.) (3.3) (3.4) (3.14) и (3.16) одређен је Лагранжев множитељ μ λ μx y z 0 =. E 0 Π x y z (3.17) 131

144 На основу (3.14) и (3.17) одређена су екстремална управљања ux u y и u z у следећем облику 0 x y z mλ0 E Π x y z u x y z λ λ λ λ x y z (3.18) међу којима треба тражити оптимална. Уколико је екстремално управљање јединствено онда је и оптимално што не искључује могућност да за нејединствено екстремално управљање постоји и нејединствен оптимално управљање. Сада се може на основу (3.5) (3.9) (3.17) и (3.18) формирати основни и спрегнути систем диференцијалних једначина првог реда у нормалном облику E0 Π x y z x mλ E0 Π x y z y mλ E0 Π x y z z mλ λ x λ λ 0 Π λ λ x y z x E 0 Π x y z x 0 Π λ λ x y z y E 0 Π x y z y λ0 Π x y z λ z. E 0 Π x y z z y z (3.19) (3.0) О избору непозитивне константе λ 0 у наставку ће бити више речи. 13

145 Одређивање интервала вредности непознатих координата спрегнутог вектора у почетном тренутку На основу релације (3.16) одређене у почетном тренутку t0 0 имајући у виду притом (3.18) добија се следећа позитивно дефинитна квадратна форма у канонском облику mλ0 x0 y0 z0 E0 Π0 λ λ λ const. (3.1) где је Π Π x y z потенцијална енергија тачке и λ λ t λ λ t z0 z и x0 x 0 y0 y 0 λ λ t координате спрегнутог вектора одређене у почетном тренутку t0 0. Уколико је 0 0 z 0 λ из (3.17) (3.0) и (3.1) следи да је μt λ t λ t и λ t односно све координате спрегнутог вектора су идентички једнаке нули. Неопходни услови оптималности одређени Теоремом 1 за λ0 0 нису задовољени с обзиром да је спрегнути вектор за λ0 0 нула вектор што је у супротности са принципом максимума. Нумерички поступа за решавање одговарајућег двотачкастог граничног проблема (TPBVP) биће решен применом шутинг методе. Тропараметарски шутиг састоји се у одређивању непознатих координата λ x0 и λy0 x спрегнутог вектора у почетном тренутку ако се има у виду да се λ z0 може изразити из релације (3.1) у облику y mλ 0 E λ λ λ z0 x0 y0 0 Π0 (3.) као и минимално потребног времена t f. Нумерички поступак одређивања непознатих параметара методом шутинга састоји се у гађању крајњих граничних 133

146 услова (3.6) и (3.1) у складу са (3.19) и (3.0). У примени методе шутинга неопходно је дати процену интервала вредности непознатих параметара λx0 λ y0 и t f. Глобална процена интервала вредности координата λx0 λ y0 и λ z0 може се дати на основу канонске форме (3.1) у следећем облику 0 mλ0 mλ λ Π Π x0 E E mλ0 mλ λ Π Π y0 E E mλ0 mλ λ Π Π z0 E E (3.3) док је t f 0. На основу датих процена може се тврдити да се сва решења одговарајућег TPBVP сигурно налазе унутар датих интервала а самим тим и глобални минимум времена при брахистохроном кретању тачке M. У случају вишеструких решења принципа максимума глобални минимум је оно решење које одговара минималном времену. С обзиром да је крајњи циљ одредити оно решење TPBVP које одговара минималном времену одредићемо решења TPBVP у интервалу крајњег тренутка * f 0 t t (3.4) f где је * t f дата позитивна константа. Избором непозитивне а како је показано и ненулте константе λ 0 непосредно утичемо на процену интервала вредности координата λx0 λ y0 и λ z0. Сходно томе мањим вредностима константе λ 0 одговара ужи интервал вредности координата λx0 λ y0 и λ z0 па самим тим и краће време трајања нумеричког процеса у самом поступку одређивања решења. 134

147 У циљу решења постављеног TPBVP следеће функционалне релације у нумеричком облику могу бити успостављене Γ z Ψ f x f y f z f Ψ * f 1x f y f z f λxf λzf Ψ * f x f y f z f λyf λzf 0 31 T (3.5) Γ T z Γ 1 z Γ z Γ3 z шутинг функција и z λx 0 λy 0 t f. 31 где је Решења TPBVP могу бити геометријски представљена у простору λx0 λ y0 и t f 3 са осама имајући у виду (3.3) и (3.4) посредством уграђене ContourPlot3D() Mathematca функције. Наиме сада је могуће у простору λx0 λy0 t f одредити пресек површи (3.5) као p Γ λ λ t Γ λ λ t f 1 x0 y0 f 3 x0 y0 f q Γ λ λ t Γ λ λ t f x0 y0 f 3 x0 y0 f (3.6) где су p f и q f просторне линије представљене следећим функционалним зависностима у нумеричком облику 0 0 p f λ t q f λ t. (3.7) f p x f f q x f Сада решења TPBVP могу се геометријски представити тачкама добијеним пресеком просторних линија (3.7) у простору λx0 λy0 t f као f λ t f λ t M... M. (3.8) p x f q x f r Број елемената скупа (3.8) једнак је броју решења TPBVP док координате пресечних тачака у простору λx0 λy0 t f представљају решења TPBVP. На основу пресека кривих (3.8) могуће је извршити процену вредности координата свих пресечних тачака (3.8). Процењене вредности координата пресечних тачака могу се 135

148 користити као почетна итерација за одређивање тачних вредности непознатих λx0 λ y0 и t f применом методе шутинга. Нумерички пример Разматра се кретање материјалне тачке M масе m 3kg која је везана опругом крутоси c 00N/m слободне дужине l0 0m. Други крај опруге везан је за непокретну тачку О. Тачка М започиње кретање и положаја t 0 x t 0 y t 0 z t 0 m. (3.9) У разматраном примеру гранични услови (3.6) и (3.1) имају следећи облик xf yf Ψf zf a 5 sn sn 0 a a * x f Ψf 1 λxf λzf cos 0 a * y f Ψf λyf λzf cos 0 a (3.30) где је изразом a 1m. Потенцијална енергија тачке у разматраном примеру дата је следећим 1 Π mgz c x y z l 0. (3.31) Основни и спрегнути систем диференцијалних једначина за λ0 1 у складу са (3.19) (3.0) и (3.31) имају следећи облик 136

149 1 E0 mgz c x y z l 0 x m 1 E0 mgz c x y z l 0 y m 1 E0 mgz c x y z l 0 z m λ x λ λ l cx1 0 x y z λ x 1 E0 mgz c x y z l 0 l cy 1 0 x y z λ y 1 E0 mgz c x y z l 0 l cz 1 0 mg x y z λ z 1 E0 mgz c x y z l 0 y z (3.3) (3.33) где је у разматраном примеру E kgm /s. Глобална процена интервала вредности координата λx0 λ y0 и λ z0 на основу (3.3) је λ x λ y λ z0 (3.34) Одредићемо решења TPBVP у интервалу крајњег тренутка 137

150 0 t 018s. (3.35) f На слици 3.1 приказане су просторне линије p f и q f док су на слици 3. приказане пресечне тачке просторних линија. Са слике 3.1 односно слике 3. јасно се може закључити да TPBVP нема јединствено решење. Слика 3.1 Пресек просторних линија pf fp λx0 tf и qf fq λx0 tf 138

151 Слика 3. Пресечне тачке M 19 просторних линија pf fp λx0 tf q f λ t f q x0 f У табели 3.1 приказана су решења TPBVP за решења TPBVP за m E λ λ λ z0 x0 y0 0 Π0 Табела 3.1 Нумеричка решења TPBVP и m E λ λ λ z0 x0 y0 0 Π0 не постоје. док Решења t f s λ λ y0 s/m x0 s/m 1 Прво решење M Друго решење M Треће решење M

152 4 Четврто решење M Пето решење M Шесто решење M Седмо решење M Осмо решење M Девето решење M На слици 3.3 приказане су трајекторије тачке М при одређеним граничним вредностима приказаних у табели 3.1. На основу вредности приказаних у табели 3.1 може се закључити да глобални минимум времена при брахистохроном кретању тачке М у простору одговара првом решењу (тачка M 1 приказана на слици 3.) и износи t s. f 140

153 Слика 3.3 Трајекторије тачке М које одговарају респективно решењима М 19 приказана у табели 3.1 На сликама 3.4 и 3.5 приказани су респективно закони промене координата и z zt тачке М и оптимална управљања u u t u u t x x t y y t u u t z z која одговарају првом решењу 1 M. и x x y y Слика 3.4 Координате x xt y yt и z zt решењу M тачке М које одговарају првом 1 141

154 Слика 3.5 Оптимална управљања u u t u u t и u u t x x y y 1 првом решењу M z која одговарају z 14

155 Поглавље 4 Глобални минимум времена при брахистохроном кретању холономног механичког система Формулација проблема оптималног управљања Разматра се кретање холономног склерономног конзервативног механичког система са n степена слободе. Конфигурација система одређена је са n генералисаних координата 1 n q q... q су дате као T. Кинетичка и потенцијална енергија система респективно T 1 j qq ajq q 30 (4.1) где је 1 n q... q T Π Π q (4.) q вектор генералисаних брзина док су a a j j q координате коваријантног метричког тензора. Механички систем започиње кретање из положаја одређеног генералисаним координатама t 0 q t q (4.3) 30 Индекси у Поглављу 4 узимају следеће вредности: j r s 1 n; k 1 m; l m 1 n. 143

156 док је крајњи положај система одређен на многострукости T q q f q t f где је 1 n f qf... qf t t Ψ q 0 (4.4) f k f. Имајући у виду да се механички систем креће у потенцијалном пољу сила важи закон о одржању укупне механичке енергије q q Tq q q E0 Φ Π 0 (4.5) где је E0 вредност механичке енергије система у почетном тренутку t0 0. Брахистохрони проблем механичког система може бити формулисан као задатак оптималног управљања. Наиме узимањем генералисаних брзина q за управљачке променљиве u респективно q u (4.6) брахистохрони проблем механичог система састоји се у одређивању оптималних управљања q q t u u t као и њима одговарајућих генералисаних координата тако да механички систем полазећи из почетног положаја (4.3) пређе у крајњи положај на многострукости (4.4) уз неизмењену вредност механичке енергије (4.5) за минимално време t f. То се може изразити у виду услова да функционал J t f qu dt (4.7) 0 где је 1 n u u... u T на интервалу 0 t f има минималну вредност. У циљу решења проблема оптималног управљања формира се Понтрјагинова функција у следећем облику quλ 0 H λ λ u 31 (4.8) 31 Користи се Ајнштајнова конвенција о сабирању. 144

157 T λ0 λ1 λ n где је... λ спрегнути вектор и 0 const. 0 λ док су λ : 0 t f. Имајући у виду граничне услове (4.3) и (4.4) као и чињеницу да време не фигурише експлицитно у једначинама стања (4.6) постављени проблем оптималног управљања може се решити директном применом Теореме. Спрегнути систем диференцијалних једначина имајући у виду Понтрјагинову функцију (4.8) као и релацију ограничења (4.5) има следећи облик H Φ Φ λ qu μ μ (4.9) q q q где је μ Лагранжев множитељ. Уколико дозвољена управљања припадају отвореном скупу као што је то у овом случају услови на основу којих се одређују екстремална управљања могу се изразити у облику H u Φ μ. u (4.10) Из услова (4.10) имајући у виду (4.1) (4.5) и (4.8) координате спрегнутог вектора λ могу се изразити у следећем облику j λ =μa u. (4.11) j Када време t f није унапред одређено као што је то у овом случају потребно је придружити услов што следи директном применом Теореме 1 да је вредност Понтрјагинове функције на оптималној трајекторији у сваком тренутку једнака нули односно у складу са Понтрјагиновом функцијом (4.8) Ht 0 (4.1) λ0 λu 0. (4.13) На основу (4.1) (4.) (4.5) (4.11) и (4.13) одређен је Лагранжев множитељ μ 145

158 λ μ 0 q= E 0 Π q. (4.14) На основу (4.11) и (4.14) одређена су екстремална управљања где су a j a j 0 q u у следећем облику E0 Π j u q λ a q λj (4.15) λ q координате контраваријантног метричког тензора. Међу екстремалним управљањима (4.15) треба тражити оптимална. Уколико је екстремално управљање јединствено онда је и оптимално што не искључује могућност да за нејединствено екстремално управљање постоји и нејединствен оптимално управљање. Сада се може на основу (4.6) (4.9) (4.14) и (4.15) формирати основни и спрегнути систем диференцијалних једначина првог реда у нормалном облику 0 q E0 Π j q a q λj (4.16) λ λ0 Φ λ qu E0 Π q q 0 Π jk λλ 0 j k λ0 q E0 E q a q λ Π q Π q q. (4.17) Општа решења система једначина (4.16) и (4.17) садрже n непознатих интеграционих константи које је неопходно одредити. Имајући у виду да је почетни положај одређен генералисаним координатама (4.3) као и крајњи положај система на многострукости (4.4) одређен неопходно је обезбедити још n m услова. Услови трансверзалности у почетном положају система су идентички задовољени имајући у виду да је почетни положај система у потпуности одређен. Многострукост (4.4) представља пресек m хиперповрши за које ћемо претпоставити да су глатке тј. нека је 146

159 Ψ rank k m q f (4.18) где је mn Ψ k / q f Јакобијева матрица ограничења тада многострукост (4.4) у свакој тачки 1 f q f има јединствену тангентну раван у којој лежи вектор варијације Δ q...δ q n. Према томе је f Ψk Δ q f 0 q f (4.19) где представља асинхрону варијацију величине. Из услова ортогоналности спрегнутог вектора и вектора варијације у крајњем положају система на многострукости (4.4) добија се где је λf λ t f f λ Δq 0 (4.0) f. У првом кораку из (4.19) под условом да важи (4.18) можемо изразити m зависних координата вектора варијације у функцији од n m независних координата вектора варијације. У другом кораку елиминацијом зависних координата вектора варијације из (4.0) након увршћавања зависних координата вектора варијације добијених у првом кораку и изједначавањем са нулом коефицијенте уз независне координате вектора варијације добија се преосталих n m неопходних услова који се могу написати у следећем облику * Ψ q λ 0. (4.1) l f f Услови (4.1) представљају услове трансверзалности у крајњем положају и еквивалентни су једначинама (4.19) и (4.0). 147

160 Одређивање интервала вредности непознатих координата спрегнутог вектора у почетном тренутку На основу првог интеграла (4.13) одређеног у почетном тренутку t0 0 имајући у виду притом (4.15) добија се следећа позитивно дефинитна квадратна форма j 0 a λ λ 0 j0 0 λ E Π j j 1 n где су λ0 λt0 a0 a 0 0 q0... q0 0 0 const. q q и Π Π 0 0 (4.14) (4.17) и (4.) следи да је μt 0 и λ t 0 (4.) q. Уколико је λ0 0 из односно све координате спрегнутог вектора су идентички једнаке нули. Неопходни услови оптималности одређени Теоремом 1 за λ0 0 нису задовољени с обзиром да је спрегнути вектор за λ0 0 нула вектор што је у супротности са принципом максимума. У циљу свођења квадратне форме (4.) на канонски облик уводи се хомогена линеарна трансформација координата спрегнутог вектора у облику λ j * j c λ (4.3) под условом да је det j c 0 где је j c nn ортогонална матрица трансформације. Сада се позитивно дефинитна квадратна форма (4.) након увођења линеарне трансформације (4.3) своди на канонски облик nn λ n E Π 11* * * * * * a λ a λ a λ const. (4.4) где су a j* rs j 0 a0 crcs сопствене вредности матрице контраваријантног метричког тензора j a0 nn. Глобална процена интервала вредности координата се дати на основу канонске форме (4.4) у следећем облику * λ 0 може 148

161 λ0 * λ λ 0 * 0 * E Π a E Π a. (4.5) Основни (4.16) и спрегнути (4.17) систем диференцијалних једначина након увођења линеарне трансформације (4.3) има сада следећи облик q E Π q a c λ (4.6) q 0 j r * j r λ0 λ λ * 0 E0 q Φ qu Π q j 0 Π kr j s t * * d 0 ckc j r λs λt λ0 q E0 d E q a q λ Π q Π j q q j d j (4.7) где је j r j r δ cd. Ако се има у виду да се једна од координата спрегнутог вектора у почетном тренутку рецимо * 10 λ може изразити из канонске форме (4.4) у функцији од преосталих n 1 координата у следећем облику * * * * Π0 mλ0 n E λ λ λ λ (4.8) као и да је крајњи тренутак t f непознат број непознатих граничних услова који се одређују применом поменутих нумеричких алгоритама једнак је броју степена слободе (DOF 3 ) n разматраног холономног механичког система. За механичке системе до 3 DOF решења TPBVP могу бити геометријски представљена у простору 3 као што је то показамо у Поглављу 3. На основу процена (4.5) координата спрегнутог вектора * 0 λ док је t 0 може се тврдити да се сва решења f одговарајућег TPBVP сигурно налазе унутар датих интервала а самим тим и 3 На енглеском: degrees of freedom (DOF). 149

162 глобални минимум времена при брахистохроном кретању холономног механичког система. У случају вишеструких решења принципа максимума глобални минимум је оно решење које одговара минималном времену. С обзиром да је крајњи циљ одредити оно решење TPBVP које одговара минималном времену одредићемо решења TPBVP у интервалу крајњег тренутка * f 0 t t (4.9) f где је * t f дата позитивна константа. Следеће функционалне релације у нумеричком облику сада могу бити успостављене T z 1 f m f m1 f f n f f n1 * * Γ Ψ q...ψ q Ψ q λ...ψ q λ 0 (4.30) n1 где је T Γ z Γ 1 z...γn z шутинг функција и z λ 0... λn 0 t f. Нумерички пример 1 Разматра се кретање кружног диска полупречника R и масе M у вертикалној равни у хомогеном гравитационом пољу. Опруга крутости c и слободне дужине l 0 везана је једним крајем за непокретну тачку O (видети слику 4.1) док је другим крајем везана за центар маса C диска. Координатни почетак непокретног координатног система Oxyz постављен је у тачки O док се координатна раван Oxy поклапа са вертикалном равни кретања диска где је оса Oy усмерена вертикално наниже. Осе покретног координатног система Cξεδ који је круто везан за диск са R координатним почетком у тачки C диска у почетном тренутку t 0 0 биле су паралелне осама непокретног координатног система. Кофигурација диска у односу на 1 3 систем Oxyz дефинисана је скупом Лагранжевих координата q q q q T где су 150

163 1 q x C и диска. q y C координате центра маса C диска док је 3 q φ угао обртања Слика 4.1 Кретање диска у вертикалној равниoxy Кинетичка и потенцијална енергија диска респективно су T M q q R q (4.31) где је g g j 1 1 Π = Mgq + c q q R (4.3) и g убрзање силе Земљине теже. Почетни положај (4.3) као и крајњи положај диска на многострукости (4.4) одређени су 151

164 t 0 q 0 q R q 0 (4.33) 1 q f 3 t t f Ψ1 q f a5 sn 0 Ψ q f π 0 a (4.34) где је a 1m. Према (4.34) значи да се у крајњем тренутку t f мора налазити на кривој f x a 5 sn x / a са (4.31) и (4.3) има следећи облик центар маса C диска. Релација ограничења (4.5) у складу 1 1 q q Φ M q q R q Mgq c q q R E0 0. (4.35) Квадратна форма (4.) за λ0 1 у складу са (4.31) (4.3) и (4.33) има следећи облик λ λ λ M M MR E Mgq (4.36) где је Π 0 Mgq0. Како квадратна форма (4.36) има канонски облик није потребно извршити линеарну трансформацију координата спрегнутог вектора односно λ * λ. Као што је речено једна од координата спрегнутог вектора из (4.36) може се изаразити у функцији од преосталих M λ λ λ E0 Mgq0 R (4.37) док услов трансверзалности (4.1) у крајњем положају разматраног механичког система има следећи облик 15

165 1 * q f Ψ3 = λ 1 f + λ f cos 0. a (4.38) Коначно TPBVP у разматраном примеру одређен је диференцијалним једначинама првог реда у нормалном облику 1 q q q E 0 + Mgq c q q R M 1 1 E 0 + Mgq c q q R M E 0 + Mgq c q q R MR λ 1 λ λ 3 (4.39) c λ 1 1 q q E 0 + Mgq c q q R 3 q q R q 1 1 q q 1 q q R λ cq Mg (4.40) 1 1 E 0 + Mgq c q q R λ где је q q q T u као и граничним условима (4.33) (4.34) и (4.38). Нумерички поступа за решавање одговарајућег TPBVP биће решен применом шутинг методе. Тропараметарски шутиг састоји се у одређивању непознатих координата λ10 λ 30 спрегнутог вектора у почетном тренутку као и минимално потребног времена t f

166 Глобална процена интервала вредности координата λ10 λ 0 и λ 30 може се дати на основу канонске форме (4.36) у следећем облику M λ 10 E0 Mgq0 E0 Mgq0 M λ 0 E0 Mgq0 E0 Mgq0 MR λ 4 4 M M MR 30 E0 Mgq0 E0 Mgq0 (4.41) док ћемо решења TPBVP одредити у интервалу крајњег тренутка 0 t 0195s. (4.4) f Функционалне релације (4.30) у складу са (4.34) и (4.38) сада могу бити успостављене у нумеричком облику Γ λ λ t Ψ f 1 Γ λ λ t Ψ f * 3 λ10 λ30 t f 3 Γ Ψ 0. (4.43) Сада је могуће у простору λ10 λ30 t f одредити пресек површи (4.43) као p Γ λ λ t Γ λ λ t f f f q Γ λ λ t Γ λ λ t f f f (4.44) где су p f и rf просторне линије представљене следећим функционалним зависностима у нумеричком облику p f λ t r f λ t. (4.45) f p f f r f 154

167 Rешења TPBVP геометријски су представљена тачкама добијеним пресеком просторних линија (4.45) у простору λ10 λ30 t f као f λ t f λ t M... M. (4.46) p f r f r TPBVP је решен за следеће вредности параметара kgm kn E M 3kg R 0 m c 0 s m 3 m q0 0 m qf πrad g s (4.47) Глобалан процена интервала вредности координата λ10 λ 0 и λ 30 на основу (4.41) може се дати λ λ λ (4.48) На слици 4. приказане су просторне линије p f и r f као и пресечне тачке M 13 просторних линија за M λ λ λ E0 Mgq0 R док решења TPBVP за M λ λ λ E0 Mgq0 R се може закључити да TPBVP нема јединствено решење. не постоје. Са слике 1 јасно 155

168 Слика 4. Пресек просторних линија pf fp λ10 tf и rf fr λ10 tf тачке 13 У табели 4.1 приказана су решења TPBVP Табела 4.1 Нумеричка решења TPBVP M просторних линија Решења λ 10 s / m λ 30 s/rad t f s 1 Прво решење M Друго решење M Треће решење M ; пресечне 156

169 На основу вредности приказаних у табели 4.1 може се закључити да глобални минимум времена при брахистохроном кретању диска у вертикалној равни одговара првом решењу (тачка M1приказана на слици 4.) и износи t f 00936s. На сликама приказани су закони промене генералисаних координата q q t 13 које одговарају респективно решењима 13 закони промене оптималних управљања u u t 13 решењу M 1. M док су на слици 4.6 приказани која одговарају првом Слика 4.3 Генералисане координате q q t 13 решењу које одговарају првом M 1 157

170 Слика 4.4 Генералисане координате q q t 13 решењу које одговарају другом M 158

171 Слика 4.5 Генералисане координате q q t 13 решењу које одговарају трећем M 3 Слика 4.6 Оптимална управљања u u t 13 која одговарају првом решењу M 1 Реализација брахистохроног кретања механичког система уопштено се може остварити управљачким силама чија је укупна снага током брахистохроног кретања једнака нули које могу бити представљене у облику активних управљачких сила силама реакција веза или њиховом међусобном комбинацијом. Реализација брахистохроног кретања без дејста активних управљачких сила може се остварити накнадним наметањем систему s холономних идеалних стационарних механичких веза без дејства активних управљачких сила (што је најближе изворној Бернулијевој идеји реализације управљачких сила где ће реакције веза накнадно наметнутих механичких веза заменити дејство активних управљачких сила) у складу са претходно одређеним брахистохроним кретањем а без дејства других активних сила. Према томе накнадно наметнуте механичке везе су следећег облика 159

172 s φ q s n (4.49) где је s φ rank n 1. q (4.50) Свако кретање равне фигуре може се представити котрљањем без клизања покретне центроиде (рулета) по непокретној центроиди (база) угаоном брзином једнакој угаоној брзини равне фигуре. Под непокретном центроидом подразумева се геометријско место тренутних центара обртања у односу на непокретну раван док се под покретном центроидом подразумева геометријско место тренутних полова брзина у односу на раван фигуре. Иако се у сваком тренутку тренутни пол брзина поклапа са тренутним центром ротације треба имати у виду да је тренутни пол брзина тачка која припада равној фигури док је тренутни центар ротације тачка непокретне равни. Брахистохроно кретање диска у овом примеру који се креће у вертикалној равни Oxy биће реализовано котрљањем рулете по бази угаоном брзином једнакој угаоној брзини диска. Параметарске једначине непокретне центроиде су 1 q 1 q 3 3 x q y q q q (4.51) док су параметарске једначине покретне центроиде дате у следећем облику ξ = q sn q q cos q ε= q cos q q sn q. 3 3 q q (4.5) Непокретна и покретне центроиде за положај диска одређен како почетним t0 0 тако и крајњим тренутком t t f као и трајекторија центра маса C диска приказани су на сликама

173 Слика 4.7 Центроиде и трајекторија центра маса C диска која одговара првом решењу M 1 Слика 4.8 Центроиде и трајекторија центра маса C диска која одговара другом решењу M 161

174 Слика 4.9 Центроиде и трајекторија центра маса C диска која одговара трећем решењу Иако се решења TPBVP могу одредити користећи претходно описан поступак у наставку биће приказани различити већ постојећи нумерички алгоритми за глобалну оптимизацију у циљу изналажења оптималних вредности параметара који утичу на тачност и брзину конвергенције решења. У оквиру програмског окружења Wolfram Mathematca постоје уграђени нумерички алгоритми за глобалну оптимизацију. На располагању су следећи нумерички алгоритми: Dfferental Evoluton Nelder Mead 33 Random Search и Smulated Annealng. Нумерички алгоритми за нелинеарну оптимизацију начелно се могу поделити у две групе и то: M 3 нумерички алгоритми засновани на градијентним методама; нумерички алгоритми засновани на директним методама претраге. Непознати параметри који се одређују применом претходно наведених нумеричких алгоритама могу у општем случају бити подвргнути различитим типовима 33 Nelder Mead је заправо нумерички алгоритам за локалну оптимизацију. 16

175 ограничења. Посебна пажња биће посвећена управо нумеричким алгоритмима заснованим на директним методама претраге који спорије конвергирају у односу на нумеричке алгоритме засноване на градијентним методама али су са друге стране знатно толерантнији на присуство ограничења непознатих параметара који се одређује. Оно што је овде битно напоменути је да ми не одређујемо најбоље могуће решење TPBVP већ сва могућа решења TPBVP која су у нумеричком смислу подједнако добра. У том смислу с обзиром да нисмо у могућности да одредимо сва могућа решења разматраног TPBVP директном применом неког од нумеричких алгоритама за глобалну оптимизацију предлажемо следећи приступ. За унапред задату вредност крајњег тренутка f t h 0 n n где је h корак који може бити константан или променљив имајући у виду притом ограничења (4.5) одређује се минимална вредност шутинг функције (4.30) (функције грешке 34 ) односно одређују се непознате координате спрегнутог вектора у почетном тренутку при којима је вредност шутин функције минимална. Минимална вредност шутинг функције за механичкесистема са произвољним бројем DOF кретања може бити одређена у програмском окружењу Wolfram Mathematca на следећи начин 34 Иако се под функцијим грешке (такође позната и као Гаусова (Johann Carl Fredrch Gauss ) функција грешке) подразумева erf функција назива функција грешке. x t x e dt π уобичајено је такође да се и сама шутиг 0 163

176 λ0 nn* 0 0a0 * * * * * * λ 0 _... λ 0 _ n : Norm 1 λ0... λ n0... n λ0... λ n0 ; For 0 n t f h; * * λ0 * λ 0 NMn mze λ 0... λ n0 λ * 0 & &... * E0 0 a0 E0 0 a 0 && E λ * n0 E λ0 nn* 0 0a0 Method.. * * λ0... λn0. На основу тако одређених минималних вредности функције грешке од почетног t0 0 па до крајњег t f грешке. У уграђеној функцији nh тренутка можемо графички представити функцију NMnmze... неопходно је навести метод који се користи као и одређене вредности параметара 35 који утичу на тачност и брзину конвергенције решења: Nelder Mead ("ContractRato" "ExpandRato" "IntalPonts" "PenaltyFuncton" "PostProcess" "RandomSeed" "ReflectRato" "ShrnkRato" "Tolerance"); Dfferental Evoluton ("CrossProbablty" "IntalPonts" "PenaltyFuncton" "PostProcess" "RandomSeed" "ScalngFactor" "SearchPonts" "Tolerance"); Smulated Annealng ("BoltzmannExponent" "IntalPonts" "LevelIteratons" "PenaltyFuncton" "PerturbatonScale" "PostProcess" "RandomSeed" "SearchPonts" "Tolerance"); Random Search ("IntalPonts" "Method" "PenaltyFuncton" "PostProcess" "RandomSeed" "SearchPonts" "Tolerance"). 35 Избор оптималних вредности параметара који утичу на тачност и брзину конвергенције решења свакако зависе од примера до примера. 164

177 На основу детаљно спроведене анализе која се односи на избор методе као и избор оптималних вредности параметара у оквиру разматраних метода дошли смо до закључка да је метода Dfferental Evoluton најповољнија са аспекта тачности и брзине конвергенције. У наставку су дати графички прикази функције грешке добијени применом методе Dfferental Evoluton при вредности параметра "ScalngFactor" 05 који у највећој мери утиче како на тачност тако и брзину конвергенције. У разматраном примеру корак је h док је n 380. Слика 4.10 Функција грешке у интервалу крајњег тренутка 0 t 019s f Слика 4.11 Функција грешке у интервалу крајњег тренутка 0 t 008s f 165

178 Слика 4.1 Функција грешке у интервалу крајњег тренутка 008 t 01s Како би се јасно могло уочити оно решење TPBVP које одговара глобалном минимуму времена кретања неопходно је накнадно генерисати тачке у околини првог решења применом хибридног алгоритма за глобалну оптимизацију с обзиром да је прилично тешко постићи потребну тачност применом нумеричких метода за глобалну оптимизацију генерално. Хибридни алгоритам за глобалну оптимизацију у основи се састоји из Dfferental Evoluton и Nelder Mead методе. Након одређене минималне вредности функције грешке применом Dfferental Evoluton методе накнадно се применом Nelder Mead методе одређује већа тачност функције грешке у датој итерацији с обзиром да Nelder Mead метода има већу брзину конвергенције. f Слика 4.13 Глобалини минимум времена кретања t f 00936s 166

179 Јасно се са слика може видети да не постоје решења разматраног TPBVP у интервалу крајњег тренутка s односно да глобални минимум времена t f при брахистохроном кретању диска у вертикалној равни управо одговара првом решењу приказаног у табели 4.1 и износи t s. f Слика 4.14 Друго решење TPBVP t f s Слика 4.15 Треће решење TPBVP t f s Нумерички пример Разматра се кретање сфере полупречника R и масе M у хомогеном гравитационом пољу. Опруга крутости c и слободне дужине l 0 R везана је једним крајем за непокретну тачку O (видети слику 4.16) док је другим крајем везана за центар маса 167

180 C сфере. Кофигурација сфере у односу на систем Oxyz дефинисана је скупом координата q q q q q q q T где су 1 C q x q y и C 3 q z C координате центра маса C сфере док су 4 5 q ψ q ζ и 6 q φ Ојлерови углови прецесије нутације и сопствене ротације респективно. Слика 4.16 Кретање сфере у хомогеном гравитационом пољу Израз за кинетичку енергију сфере има следећи облик T M q q q J C (4.53) где је JC 5 MR имајући притом у виду Ојлерове кинематичке једначине q sn q sn q q cos q q sn q cos q q sn q q cos q q. (4.54) Израз за кинетичку енергију добија сада следећи облик 168

181 T M q q q MR q q q q q cos q 5 (4.55) док је потенцијална енергија сфере Π = Mgq + c q q q R. (4.56) Почетни (4.3) као и крајњи положај сфере на многострукости (4.4) одређени су t 0 q 0 q 0 q R q 0 q ζ q 0 (4.57) 1 3 q f q f 4 t t f Ψ1 q f a5 sn sn 0 Ψ q f 0 a a f 4 f Ψ q π / 0 Ψ q π 0 (4.58) где је a 1m. Према (4.58) значи да се у крајњем тренутку t f мора налазити на површи f x y a 5 sn x / a sn y / a (4.5) у складу са (4.55) и (4.56) има следећи облик центар маса C сфере. Релација ограничења q q M q q q MR q q q Φ q q cosq Mgq c q q q R E0 0. (4.59) Квадратна форма (4.) за λ0 1 у складу са (4.55) (4.56) и (4.57) има следећи облик λ λ λ λ λ λ M M M MR ζ MR MR ζ sn 0 sn 0 5 cosζ 1 λ λ MR ζ E Mgq sn (4.60) 169

182 где је Π 3 0 Mgq0. У циљу свођења квадратне форме (4.60) на канонски облик уводи се линеарна трансформација координата спрегнутог вектора у облику 1 * 1 * 3 * 3 4 * 4 * 6 5 * 5 6 * 4 * 6 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ. (4.61) Како је det j c 0 квадратна форма (4.60) после линеарна трансформација координата (4.61) добија канонски облик ζ cos 5 M M M MR ζ MR * * * * * λ10 λ0 λ30 λ 40 λ 50 sn 0 51 cosζ0 * 1 λ 60. MR sn ζ 3 0 E0 Mgq0 (4.6) Координата λ * 0 спрегнутог вектора може се изразити из (4.6) M 5 1 cos λ λ λ λ ζ0 λ ζ0 * * * * E0 Mgq 0 R sn ζ0 5 * 5 1 cos * λ50 60 R R sn ζ 0 1/ (4.63) док услови трансверзалности (4.1) у крајњем положају сфере имају следећи облик 1 * * * q f Ψ5 = λ 1 f + λ3 f cos 0 a * * * q f Ψ6 = λ f + λ3 f cos 0. a (4.64) TPBVP у разматраном примеру одређен је диференцијалним једначинама првог реда у нормалном облику 170

183 q q q E 0 + Mgq c q q q R M E 0 + Mgq c q q q R M E 0 + Mgq c q q q R M 1 * λ 1 * λ 3 * λ 3 (4.65) q q E 0 + Mgq c q q q R 5 MR sn q 5 * 5 * 1 cos q λ4 1 cos q λ E 0 + Mgq c q q q R MR 5 * λ 5 6 q E 0 + Mgq c q q q R 5 MR sn q 5 * 5 * 1 cos q λ4 1 cos q λ 6 171

184 λ * E 0 + Mgq c q q q R λ q q q * E 0 + Mgq c q q q R λ * 3 λ * 4 * 6 c q q q R q c q q q q q q R q q q q q q q R 3 cq Mg E 0 + Mgq c q q q R 0 1 * λ 5 E 0 + Mgq c 3 5 q q q R MR sn q (4.66) * 5 * 5 * 5 * 5 λ 4 1 cos q λ6 1 cos q λ4 1 cos q λ6 1 cos q λ где је q q q q q q T u као и граничним условима (4.57) (4.58) и (4.64). Шестопараметарски шутиг састоји се у одређивању непознатих координата * * * * * λ λ λ λ λ спрегнутог вектора у почетном тренутку као и минимално 17

185 потребног времена t f. Глобална процена интервала вредности координата * * * * * λ λ λ λ λ и облику * 60 λ може се дати на основу канонске форме (4.6) у следећем M * λ E0 Mgq0 E0 Mgq0 M * λ E0 Mgq0 E0 Mgq0 M * λ E0 Mgq0 E0 Mgq0 sn 0 * sn 0 MR ζ λ MR ζ 10 1 cos 10 1 cos ζ0 E0 Mgq0 ζ0 E0 Mgq0 M M M * MR MR λ E0 Mgq0 E0 Mgq0 sn 0 * sn 0 MR ζ MR ζ λ 10 1cos 10 1cos (4.67) ζ0 E0 Mgq0 ζ0 E0 Mgq0 док ћемо решења TPBVP одредити у интервалу крајњег тренутка 0 t 016s. (4.68) Функционалне релације (4.30) у складу са (4.58) и (4.64) сада могу бити успостављене у нумеричком облику f 173

186 * * * * * 1 λ10 λ30 λ40 λ50 λ60 t f 1 Γ Ψ 0 * * * * * λ10 λ30 λ40 λ50 λ60 t f Γ Ψ 0 * * * * * 3 λ10 λ30 λ40 λ50 λ60 t f 3 Γ Ψ 0 * * * * * 4 λ10 λ30 λ40 λ50 λ60 t f 4 Γ Ψ 0 * * * * * * 5 λ10 λ30 λ40 λ50 λ60 t f 5 Γ Ψ 0 * * * * * * 6 λ10 λ30 λ40 λ50 λ60 f 6 Γ t Ψ 0. (4.69) TPBVP је решен за следеће вредности параметара kgm E M 3kg R 0 m s kn m c 0 ζ0 π / g m s (4.70) Глобалан процена интервала вредности координата основу (4.64) може се дати * * * * * λ λ λ λ λ и * λ 60 на * 10 * 0 * 30 * 40 * 50 * λ λ λ λ λ λ (4.71) На основу датих процена интервала вредности свих непознатих граничних вредности може се тврдити да се решења одговарајућег TPBVP сигурно налазе унутар датих интервала а самим тим и глобални минимум времена при брахистохроном кретању сфере. Решења TPBVP приказана у табелама 4. и 4.3 одређена су применом нумеричког алгоритма GMTBMP(). 174

187 У табели 4. приказана су решења TPBVP за M λ λ λ λ * * λ50 λ60 5 * * * * E0 Mgq0 R 5 5 R R 1/ (4.7) док су решења TPBVP за M λ λ λ λ * * λ50 λ60 5 * * * * E0 Mgq0 R 5 5 R R 1/ (4.73) приказана у табели 4.3. Табела 4. Нумеричка решења TPBVP Решења λ * λ * λ * λ * 10 s / m 30 s / m 40 s 50 s * 60 s λ t f s 1 M M M M M M

188 Табела 4.3 Нумеричка решења TPBVP Решења λ * λ * λ * λ * 10 s / m 30 s / m 40 s 50 s * 60 s λ t f s 7 M M M На слици 4.17 приказане су трајекторије центра маса C сфере при одређеним граничним вредностима приказаних у табелама 4. и 4.3. На основу вредности приказаних у табелама 4. и 4.3 може се закључити да глобални минимум времена при брахистохроном кретању сфере одговара седмом решењу и износи t s. f Слика 4.17 Трајекторије центра маса C сфере које одговарају респективно решењима 19 М приказаних у табелама 4. и

189 На сликама 4.18 и 4.19 приказани су закони промене генералисаних координата q q t 16 док су на сликама 4.0 и 4.1 приказани закони промене оптималних управљања u u t 16 који одговарају седмом решењу M 7. Слика 4.18 Генералисане координате q q t q q t и q q t одговарају седмом решењу M 7 које 177

190 Слика 4.19 Генералисане координате q q t q q t и q q t одговарају седмом решењу M 7 које Слика 4.0 Оптимална управљања u u t u u t и u u t седмом решењу M 7 која одговарају 178

191 Слика 4.1 Оптимална управљања u u t u u t и u u t одговарају седмом решењу M 7 која Уколико бисмо занемарили део кинетичке енргије при релативном кретању сфере у односу на сам центар маса C сфере односно посматрајући сферу као материјалну тачку занемарљивог полупречника масе M решења приказана у табелама 4. и 4.3 била би идентична решењима приказана у табели 3.1 што је само потврда исправноси оба поступка. Литература Antunes A. C. B. Sgaud C.: Controllng nonholonomc Chaplygn systems Braz J Phys 40 pp Bloch A. M.: Nonholonomc mechancs and control Sprnger Berln 003. Caratheodory C. Der Schltten ZAMM-Z Angew Math Me 13 pp

192 Chaplygn S. A.: On the theory of moton of nonholonomc systems. The reducngmultpler theorem Math Collect 8 pp (Englsh translaton by Getlng AV. Regular Chaotc Dynam 008; 13 pp ) Čovć V. Lukačevć M. Veskovć M.: On brachstochronc motons Budapest: Budapest Unversty of Technology and Economcs 007. Hrsch M. J. Pardalos P. M. Resende MG. C.: Solvng systems of nonlnear equatons wth contnuous GRASP Nonlnear Anal Real 10 pp Hrsch M.J.: GRASP-Based heurstcs for contnuous global optmzaton problems Unversty of Florda 006. Hull D. G.: Intal Lagrange multplers for the shootng method J Gud Control Dyn 31 pp Jeremć O. Šalnć S. Obradovć A.: On the brachstochrone of a varable mass partcle n general force felds Math. Comput. Model 54 pp Letmann G.: The Calculus of Varatons and Optmal Control New York Sprnger Scence+Busness Nemark J. I. Fufaev N. A.: Dynamcs of nonholonomc systems (Translatons of Mathematcal Monographs 33).Provdence RI: AMS 197. Obradovć A. Čovć V. Veskovć M.: Brachstochronc moton of a nonholonomc rheonomc mechancal system Acta Mech. 14 pp Obradovć A. Šalnć S. Jeremć O.: On the brachstochronc moton of a varable-mass mechancal system n general force felds Math. Mech. Solds 19 pp Pontryagn L. S. Boltyansk V. G. Gamkreldze R. V.: The mathematcal theory of optmal processes New York/London: John Wley & Sons 196. Qn A. K. Huang V. L. Suganthan P. N.: Dfferental Evoluton Algorthm Wth Strategy Adaptaton for Global Numercal Optmzaton IEEE T Evolut Comput 13 pp

193 Radulovć R. Obradovć A. Jeremć B.: Analyss of the mnmum requred coeffcent of sldng frcton at brachstochronc moton of a nonholonomc mechancal system FME Trans. 4 pp a. Radulovć R. Šalnć S. Obradovć A. Rusov S.: A new approach for the determnaton of the global mnmum tme for the Chaplygn slegh brachstochrone problem Mathematcs and Mechancs of Solds (IF = 1836 за 015. годину) Frst Onlne: 14 March 016 (ISSN ) do: / Radulovć R. Zekovć D Lazarevć M. Segla Š. Jeremć B.: Analyss the brachstochronc moton of a mechancal system wth nonlnear nonholonomc constrant FME Trans. 4 pp b. Runa A.: Non-holonomc stablty aspects of pecewse-holonomc systems Rep Math Phys 4 pp Ruskeep aa H.: Mathematca Amsterdam: Academc Press 009. Navgator: Mathematcs statstcs and graphcs Šalnć S. Obradovć A. Mtrovć Z.: Brachstochrone wth lmted reacton of constrant n an arbtrary force feld Nonlnear Dynam. 69 pp Šalnć S. Obradovć A. Mtrovć Z.: Erratum to: Brachstochrone wth lmted reacton of constrant n an arbtrary force feld Nonlnear Dynam. 70 pp Šalnć S. Obradovć A. Mtrovć Z.: On the brachstochronc moton of the Chaplygn slegh Acta Mech. 4 pp Soltakhanov Sh. Kh. Yushkov M. P. Zegzhda S. A.: Mechancs of non-holonomc systems Berln: Sprnger 009. Song W. Wang Y. L H-X: Locatng multple optmal solutons of nonlnear equaton systems based on multobjectve optmzaton IEEE T Evolut Comput 19 pp Stoer J. Bulrsch J.: Introducton to numercal analyss Sprnger Berln Vujanovć B. D.: Metod optmzacje Nov Sad

194 Поглавље 5 Глобални минимум времена при брахистoхроном кретању нехолономног механичког система Формулација проблема оптималног управљања Разматра се кретање нехолономног склерономног конзервативног механичког система. Конфигурација система одређена је са n генералисаних координата q q 1... q n T које су независне у геометријском смислу. Кинетичка и потенцијална енергија система респективно су дате као T 1 j qq ajq q 36 (5.1) где је 1 n q... q T Π Π q (5.) q вектор генералисаних брзина док су a a j j q координате коваријантног метричког тензора. Кретање разматраног механичког система 36 Користи се Ајнштајнова конвенција о сабирању. Индекси у Поглављу 5 узимају следеће вредности: j k 1... n; r 1... z; s z 1... n; α β γ=1... m ; ν ρ m 1... m l n. 18

195 ограничава l идеалних независних нехолономних нехомогених механичких веза које се према (1.8) могу записати у следећем облику v qq q v b v q b v 0 (5.3) где су v v v v b q и b b b q. Број степена слободе кретања механичког система је m n l који уједно представља и број кинематски независних координата q које одговарају независним генералисаним брзинама q. Како се независне генералисане брзине могу изразити као хомогена линеарна форма независних квазибрзинa (кинематичких параметара) 1... све генералисане брине где су 0 и b m q c (5.4) q према (1.15) могу се изразити као q док су c c q c (5.5) непрекидне функције са непрекидним првим изводима у области у којој разматрамо кретање система. Кинетичка енергија система према (1.9) сада добија следећи облик где су T * 1 j 1 j q π T a j j q c G a c a (5.6) G j q a c c a j (5.7) координате коваријантног метричког тензора у односу на кинематски независне координате 1 m q... q односно независне квазикоординатe 1 m.... Механички систем започиње кретање из положаја одређеног генералисаним координатама t 0 q t q (5.8) 183

196 док је крајњи положај система одређен на многострукости где је 1 n f qf... qf q q f q t f T t t Ψ q 0 (5.9) f r f. Имајући у виду да се механички систем креће у потенцијалном пољу сила важи законˮ о одржању укупне механичке енергије где је 1 m π... π T * q π T q π q Φ Π E 0 (5.10) π док је E0 вредност механичке енергије система у почетном тренутку t0 0. Узимањем независних квазибрзинa променљиве α u респективно α α 0 α π за управљачке π u (5.11) брахистохрони проблем механичог система састоји се у одређивању оптималних управљања координата α α u u t q q t као и њима у складу са (5.5) одговарајућих генералисаних тако да механички систем полазећи из почетног положаја (5.8) пређе у крајњи положај на многострукости (5.9) уз неизмењену вредност механичке енергије (5.10) за минимално време t. То се може изразити у виду услова да функционал J t f 0 f qu dt (5.1) где је 1 m u u... u T на интервалу 0 t f има минималну вредност. Понтрјагинова функција сада има следећи облик T λ0 λ1 λ n где је... α 0 α H quλ λ λ c u φ (5.13) λ спрегнути вектор и 0 const. 0 λ док су λ : 0 t f. 184

197 Спроводећи поступак приказан у Поглављу 4 одређен је Лагранжев множитељ μ λ μ 0 q= E 0 Π q (5.14) док се екстремална управљања α u добијају у следећем облику q α αβ E0 Π j u q λ G q λ cβ ajφ cβ (5.15) λ0 где су G αβ G αβ q координате контраваријантног метричког тензора у односу на кинематски независне координате 1 m q... q. Диференцијалне једначине основног и спрегнутог систем сада имају следећи облик q αβ E0 Π j j k q G qc α λjcβ a jkφ cβ φ (5.16) λ0 q λ G λ λ c a φ c λ λ0 Φ qu E0 Π q q j αβ c E0 Π α k j k q j k β jk β j q λ0 φ j q (5.17) док за случај да је механички систем подвргнут хомогеним нехолономним везама φ 0 једначине (5.16) и (5.17) добијају следећи облик q E Π q G c c λ (5.18) q 0 αβ j α β j λ0 q E0 j αβ cα k λ0 q j k β λ0 q E0 Π Φ λ qu G λ λ c Π q q 0 Π j αβ E q k αβ cα 1 G q j λ0 Π q cβ G q c α λλ j k λ0 E0 Π q q q q. (5.19) 185

198 имајући у виду да је αγ αβ βδ γδ G G / q G G / q. Услови трансверзалности у крајњем положају система су * Ψ q λ 0. (5.0) s f f На основу првог интеграла α 0 0 α λ λ c u φ (5.1) одређеног у почетном тренутку t 0 0 имајући у виду притом (5.15) добија се E Π λ G c c λ λ G a φ c c λ λ φ 0 (5.) 0 0 αβ j αβ k j 0 0 α0 β0 0 j0 0 jk0 0 α0 β λ0 док за случај да је механички систем подвргнут хомогеним нехолономним везама φ 0 добија се следећа у општем случају семидефинитна квадратна форма αβ j 0 α0 β0 0 j0 G c c λ λ 0 λ E Π 0 0 const. (5.3) αβ αβ где су λ λ t a a q G G q c c q φ φ q Π Πq 0 0 j0 j α0 α n и 0 q0... q0 q. Уколико је 0 0 λ следи да је μt 0 и λ t 0 односно све координате спрегнутог вектора су идентички једнаке нули. Неопходни услови оптималности одређени Теоремом 1 за λ0 0 нису задовољени с обзиром да је спрегнути вектор за λ0 0 нула вектор што је у супротности са принципом максимума. Овим је показано да се глобална процена интервала вредности свих координата λ 0 за случај брахистохроног кретања нехолономног механичког система не може дати у општем случају имајући у виду (5.) односно (5.3). 186

199 Ако се има у виду да се једна од координата у почетном тренутку може изразити из (5.) односно (5.3) у функцији од преосталих координата спрегнутог вектора као и да је крајњи тренутак t f непознат број непознатих граничних услова који се одређују једнак је броју геометријски независних координата n. Иако се не може дати глобална процена интервала вредности свих координата λ 0 у општем случају у нумеричким примерима који следе биће разматрано код којих нехолономних механичких модела као и под којим условима смо у могућности да одредимо глобални минимум времена. Нумерички пример 1 У примеру 1 изложен је поступак одређивања глобалног минимума времена за случај брахистохроног кретања Чаплигинових саоница (видети слику 1.) између два задата положаја у хоризонталној равни уз неизмењену вредност механичке енергије у току кретања. Конфигурација саоница у односу на систем Oxy дефинисана је скупом Лагранжевих координата 1 3 q q q где је су q x и q 3 1 q φ угао између осе Ox и осе Aξ док y Декартове координате тачке А. Диференцијалне једначине кретања применом различитих поступака изведене у Поглављу 1. Релација ограничења (5.10) у складу са (1.71) има следећи облик где је k 1 IC / ma 1 1 Φ mv ma k ω T0 0 (5.4) док је T0 кинетичка енергија саоница у почетном тренутку t0 0. За управљачке променљиве 1 u и брзина ω саоница као и брзина V тачаке A сечива u респективно су узете угаона 187

200 1 1 π ω u π V u (5.5) где је ω ων и V V λ. Све генералисане брзине сада се могу изразити у функцији независних квазибрзина (управљања) 1 q φ ω q x V cos φ 3 q y V sn φ. (5.6) Почетни положај (5.8) као и крајњи положај (5.9) саоница респективно су одређени следећим вредностима генералисаних координата t 0 q 0 q 0 q 0 (5.7) f f f f f f f t t q t q q t q q t q (5.8) где су услови трансверзалности (5.0) у крајњем положају саоница идентички задовољени. За λ0 1 Лагранжев множитељ μ према (5.14) је 1 μ. T (5.9) 0 Екстремална управљања облик 1 u и u на основу (5.15) (5.4) и (5.6) имају следећи 1 T0 1 u ω λ φ m ak T u V 0 λxcos φ λysn φ m (5.30) где су λφ λ1 λx λ и λy λ3. Диференцијалне једначине основног и спрегнутог систем на основу (5.18) (5.19) и (5.4) имају следећи облик 188

201 T0 1 φ λ φ m ak T x 0 λxcosφ λysn φcos φ m T y 0 λxcosφ λysn φsn φ m T λ 0 φ λx cosφ λy sn φλx sn φ λy cos φ m λ x 0 λ 0 y (5.31) где су λ const. и λ const. x y Квадратан форма (5.3) у разматраном примеру има следећи облик λ φ0 λx. (5.3) ma k m T Процена интервала вредности координата λ φ0 и λ x може се дати на основу квадратне форме (5.3) 0 ma k ma k λ T (5.33) φ0 0 T0 m m λ T (5.34) x 0 T0 док се из (5.3) као што је речено λ φ0 може изразити у следећем облику m λφ0 ak λx. (5.35) T На основу позитивно дефинитне квадратне форме управљања (5.4) може се одредити домен дефинисаности управљања 1 u и 0 u респективно 189

202 T0 1 T u 0 (5.36) ma k ma k T0 T u 0. m m (5.37) На основу (5.30) (5.36) и (5.37) следеће двојне неједнакости могу бити успостављене ma k ma k λ T (5.38) φ 0 T0 m m λ cos φ λ sn φ. T (5.39) x y 0 T0 До (5.38) и (5.39) могло се доћи полазећи од тога да је вредност Понтрјагинове функције на оптималној трајекторији у сваком тренутку једнака нули α или у развијеном облику имајући у виду притом (5.30) α 1 λ c u 0 (5.40) 1 λx φ λy φ λφ cos sn m ak T (5.41) одакле се могу дати процене (5.38) и (5.39). Сада на основу (5.34) и (5.39) може се одредити процена интервала вредности координате λy 0 у следећем облику m φ m φ cot λ cot φ nπ n T (5.4) y 0 T0 где се за φ по могућству може узети минимална вредност * φ скупа бројева одређених максималним вредностима угла за свако од решења TPBVP. Како унапред није познат закон промене угла φ за свако од решења TPBVP за * φ узети она вредност угла која одговара крајњем положају сечива најпре се може 190

203 m φ m φf cot cot. T (5.43) f λy 0 T0 Важно је овде напоменути да при вредности крајњег угла сечива φf 0 као и при вредности φf π процена интервала вредности координате λy се не може дати те ће ови случајеви у наредном делу бити посебно разматрани. Имајући у виду да је крајњи положај саоница одређен генералисаним координата (5.8) следеће функционалне релације у нумеричком облику сада могу бити успостављене f f Γ φ x y f f f Γ x x y f f f Γ y x y f. φ t φ λ λ t x t x λ λ t y t y λ λ t (5.44) Решења TPBVP могу бити геометријски представљена у простору 3 са осама λ λ x y и t f посредством уграђене ContourPlot3D() Mathematca функције. Наиме сада је могуће у простору λx λy t f одредити пресек површи (5.44) као p Γ λ λ t Γ λ λ t f x y f 3 x y f q Γ λ λ t Γ λ λ t f x y f 1 x y f (5.45) где су p f и q f просторне линије представљене следећим функционалним зависностима у нумеричком облику p f λ t f p x f q f λ t. f q x f (5.46) Сада решења TPBVP могу се геометријски представити тачкама добијеним пресеком просторних линија (5.46) у простору λx λy t f као 1 f λ t f λ t M... M. (5.47) p x f q x f r 191

204 Број елемената скупа (5.47) једнак је броју решења TPBVP док координате пресечних тачака у простору λx λy t f представљају решења TPBVP. TPBVP је решен за следеће вредности параметара m kg a 1m x 1m y 1m kgm k 15 T0 00. s f f (5.48) У случајевима који следе у наставку биће разматран утицај промене вредности крајњег угла Случај φ π/ f φ f на појаву вишеструких решења TPBVP. Како бисмо упоредили резултате добијене применом изложеног поступка са резултатима добијеним у раду [] као и показали да је добијено решење у раду [] оптимално најпре ћемо разматрати случај када је φ f = π /. На основу (5.34) (5.43) и (5.48) може се дати процена интервала вредности координата λ x и λy λ λ x y (5.49) Имајући у виду да се одговарајуће површи односно просторне линије секу само у једној тачки (видети слике 5.1 и 5.) сада се са сигурношћу може тврдити да постоји решење TPBVP за случај φ π/ као и да је оно оптимално. На слици 5.1(а) дат је f пресек површи (5.44) за φ π/ у интервалу 0 t 06s док је на слици 5.1(б) дат f пресек површи за нешто ужи интервал како би се јасније уочила тачка пресека површи. На слици 5. је приказан пресек просторних линија може уочити тачка пресека М чије координате у 3 простору p f и q f где се јасно λx λy t f одговарају решењу TPBVP. Визуелна процена вредности координата пресечне тачке М са слике 19

205 5. су 000. које представљају почетну итерацију за налажење тачних вредности применом шутинг методе. Слика 5.1 (а) Површи Γ φ λx λy t f Γ x λx λy t f и Γ y x y f пресечна тачка M λ λ t за φ π/; (б) f Слика 5. Просторне линије pf fp λx tf и qf fq λx tf за φ π/ f 193

206 За φ π/ добијају се следеће граничне вредности: t s f λ s / m и λ s / m. Добијене граничне вредности се у x y потпуности поклапају са оним добијеним у раду []. Трајекторија тачке А као и закон промене брзине V тачке А сечива приказани су на слици 5.3. f Слика 5.3 Трајекторија и брзина V тачке А сечива за φ π/ Реализација брахистохроног кретања саоница може се остварити управљачким силама чија је укупна снага током брахистохроног кретања једнака нули које могу бити представљене у облику активних управљачких сила силама реакција веза или њиховом међусобном комбинацијом. Један од начина реализације брахистохроног кретања саоница је остварен активном управљачком силом F F1F која дејствује у тачки C (видети слику 1.(а)). Закони промене управљачких сила F1 и F као и реакције нехолономне везе R у функцији дефинисаних величина и њихових извода према (1.76) и (1.77) су f 194

207 1 F m V aω F m ak ω ωv I R ω C. a (5.50) На слици 5.4 приказани су закони промене управљачких сила F 1 и F. Слика 5.4 Управљачке силе F 1 и F за φ π/ Још један од могућих начина за реализацију брахистохроног кретања је накнадно наметање саоницама једне холономне стационарне идеалне независне механичке везе у складу са претходно одређеним брахистохроним кретањем а без дејства других активних сила []. Механичка веза је реализована посредством глатке вођице чија се линија путање поклапа са трајекторијом тачке C тако да су параметарске једначине линије вођице f x t x t a cos φt C y t y t asn φt. C (5.51) 195

208 На слици 5.5 приказани су закони промене реакције R нехолономне везе као и трајекторија тачк C. Тачка C0 представља почетни док тачка C f крајњи положај тачке C саоница. представља Слика 5.5 Реакција нехолономне везе R и трајекторија тачке C за φ π/ Случај φ π/ 30 f Имајући у виду да нисмо у могућности да одредимо процену вредности координате λ при вредности крајњег угла сечива φ 0 најпре ћемо одредити процену као и y f решења одговарајућег TPBVP при блиској вредности крајњег угла сечива φ π/ 30. У овом случају на основу (5.34) и (5.39) може се одредити процена интервала вредности координата λ x и λ y у следећем облику f f λ λ λ λ x x y x (5.5) што је и графички представљено на слици 5.6 односно на основу (5.43) процена интервала вредности координате λ y је 196

209 1349 λ y (5.53) Слика 5.6 Процена интервала вредности координата λ x и λ y за φf π/ Осенчен регион на слици 5.6 одговара проценама датих у (5.5). На слици 5.7(а) приказане су површи (5.44) за φ π/ 30 док су на слици 5.7(б) приказане пресечне f тачке M1 M и M 3. Осенчен регион на слици 5.6 одговара проценама датих у (5.5). На слици 5. приказан је пресек просторних линија p f и q за φ π/ 30 f f где се јасно може уочити да решење TPBVP није јединствено. Визуелна процена координата пресечних тачака M1 M и M 3 са слике 5.7(б) односно слике 5.8 су и Сва решења TPBVP у интервалу 0 t 06s приказана су у табели 5.1 а која су представљена респективно тачкама пресека M1 M и M 3 просторних линија q f. p f и 197

210 Слика 5.7 (а) Пресек површи Γ φ λx λy t f Γ x λx λy t f и Γ y x y f φf π/ 30 ; (б) пресечне тачке M1 M и M3 λ λ t за 198

211 Слика 5.8 Просторне линије pf fp λx tf и qf fq λx tf Табела 5.1 Решења TPBVP за φ π/ 30 Решења λ s / m λ s / m t s 1 x Прво решење M Друго решење M Треће решење M f y за φ π/ 30 f f Трајекторије и брзине тачке А које одговарају решењима TPBVP приказане су на слици 5.9. Тачка A0 представља почетни док тачка Af представља крајњи положај тачке А. На основу приказаних решења TPBVP за φ π/ 30 f у табели 5.1 глобални минимум времена одговара првом решењу и износи t s. f 199

212 Слика 5.9 Трајекторије и брзине V тачке А сечива за φ π/ 30 На слици 5.10 приказани су закони промене управљачких сила F 1 и F док су на слици 5.11 приказани су закони промене реакција нехолономне везе R као и трајекторије тачке C за решења приказана у табели 5.1. f Слика 5.10 Управљачке силе F 1 и F за φ π/ 30 f 00

213 Слика 5.11 Реакција нехолономне везе R и трајекторија тачке C за φ π/ 30 Како смо сада у могућности да одредимо закон промене угла φ (слика 5.1) за свако од решења TPBVP односно минималну вредност скупа бројева одређених максималним вредностима угла за свако од решења TPBVP * φ mn (5.54) процена интервала вредности координате λ y као што је речено сада се може дати на основу (5.4) λ (5.55) y f 01

214 Слика 5.1 Угао φ за φ π/ 30 f Случај φ 0 f Како се за вредност крајњег угла сечива φf 0 процена интервала вредности координате λy не може дати на основу (5.43) у овом случају имајући у виду да су положаји сечива одређени крајњим угловима φf 0 и φf π/ 30 међусобно блиски можемо претпоставити да се и решења TPBVP неће умногоме разликовати. У складу са реченим у овом случају за процену интервала вредности координате λy може се користити процена (5.53) односно (5.55). На слици 5.13(а) приказане су површи (5.44) за φf 0 док су на слици 5.13(б) приказане пресечне тачке M1 M и M 3. На слици 5.14 приказан је пресек просторних линија p f и q за φ 0 где се јасно f f може уочити да решење TPBVP такође није јединствено. Визуелна процена координата пресечних тачака M1 M и M 3 са слике 5.13(б) односно слике 5.14 су и

215 Сва решења TPBVP у интервалу 0 t 06s приказана су у табели 5. а која су представљена респективно тачкама пресека M1 M и M 3 просторних линија q f. p f и Слика 5.13 (а) Пресек површи Γ φ λx λy t f Γ x λx λy t f и Γ y x y f (б) пресечне тачке M1 M и M3 λ λ t за φ 0; f 03

216 Слика 5.14 Просторне линије pf fp λx tf и qf fq λx tf Табела 5. Решења TPBVP за φf 0 Решења λ s / m λ s / m t s x Прво решење M Друго решење M Треће решење M y f за φ 0 f На основу приказаних решења TPBVP за φf 0 у табели 5. глобални минимум времена одговара првом решењу и износи t s. f 04

217 Слика 5.15 Трајекторије и брзине V тачке А сечива за φ 0 f Слика 5.16 Управљачке силе F 1 и F за φ 0 f 05

218 Слика 5.17 Реакција нехолономне везе R и трајекторија тачке C за φ 0 f Како је за φf 0 * Слика 5.18 Угао φ за φ 0 f φ mn (5.56) 06

219 процена интервала вредности координате λy је λy Случај φf π Као што је речено при вредности крајњег угла сечива φf π процена интервала вредности кординате λy се не може одредити. У овом случају користиће се процене интервала вредности кордината λx и λ y дате у (5.49). Са слика 5.19 и 5.0 имајући у виду да се одговарајуће површи односно просторне криве секу само у једној тачки може се тврдити да је добијено решење TPBVP за случај φf π оптимално. Визуелна процена координата пресечне тачке М са слике 5.19(б) су Непознате граничне вредности TPBVP за случај φf π у интервалу 0 t 06 s су: t s λ s / m и λ s / m. f x y Слика 5.19 (а) Површи Γ φ λx λy t f Γ x λx λy t f и Γ y x y f λ λ t за φf π; (б) пресечна тачка M 07

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0 Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +

Διαβάστε περισσότερα

6.2. Симетрала дужи. Примена

6.2. Симетрала дужи. Примена 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права

Διαβάστε περισσότερα

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља Универзитет у Машински факултет Београду Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља -семинарски рад- ментор: Александар Томић Милош Живановић 65/

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

5.2. Имплицитни облик линеарне функције математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг

Διαβάστε περισσότερα

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе:

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: Њутнови закони 1 Динамика Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: када су објекти довољно велики (>димензија атома) када се крећу брзином много мањом

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: МЕХАНИКА 1 студијски програми: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 3. 1 Садржај предавања: Статичка одређеност задатака

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45

Διαβάστε περισσότερα

(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z.

(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z. Дефиниција функције више променљивих Околина тачке R График и линије нивоа функције : Дефиниција Величина се назива функцијом променљивих величина и на скупу D ако сваком уређеном пару D по неком закону

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1 За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c 6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Вежба 4. Графика. Наредба има облик plot(x,y) Аргументи x и y су вектори, који морају имати исти број елемената.

Вежба 4. Графика. Наредба има облик plot(x,y) Аргументи x и y су вектори, који морају имати исти број елемената. Вежба Графика У МATLAB-у постоји много команди за цртање графика. Изглед графика може се подешавати произвољним избором боје, дебљине и врсте линија, уношењем мреже, наслова, коментара и слично. У овој

Διαβάστε περισσότερα

Испитвање тока функције

Испитвање тока функције Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Испитвање тока функције Испитивање тока функције y f подразумева да се аналитичким путем дође до сазнања о понашању функције, као и њеним значајним тачкама у координантном

Διαβάστε περισσότερα

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова 4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ:

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ: Ваљак ВАЉАК P=B + M V= B H B= r p M=rp H Pосн.пресека = r H. Површина омотача ваљка је π m, а висина ваљка је два пута већа од полупрчника. Израчунати запремину ваљка. π. Осни пресек ваљка је квадрат површине

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван 2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван Човек је за своје потребе градио куће, школе, путеве и др. Слика 1. Слика 2. Основа тих зграда је често правоугаоник или сложенија фигура (слика 3). Слика 3.

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,

Διαβάστε περισσότερα

ЊУТНОВ ПОСТУПАК И ЊЕГОВЕ МОДИФИКАЦИЈЕ ТРЕЋЕГ РЕДА КОНВЕРГЕНЦИЈЕ

ЊУТНОВ ПОСТУПАК И ЊЕГОВЕ МОДИФИКАЦИЈЕ ТРЕЋЕГ РЕДА КОНВЕРГЕНЦИЈЕ УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Дара Бошковић ЊУТНОВ ПОСТУПАК И ЊЕГОВЕ МОДИФИКАЦИЈЕ ТРЕЋЕГ РЕДА КОНВЕРГЕНЦИЈЕ мастер рад Нови Сад, Садржај Предговор

Διαβάστε περισσότερα

КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1

КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 Лабораторијска вежба број 1 МОНОФАЗНИ ФАЗНИ РЕГУЛАТОР СА ОТПОРНИМ И ОТПОРНО-ИНДУКТИВНИМ ОПТЕРЕЋЕЊЕМ

Διαβάστε περισσότερα

МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ

МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАСТЕР РАД Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ МЕНТОР: КАНДИДАТ: Проф. др Драгољуб Кечкић Милинко Миловић

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. Владица Андрејић ( ) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2017.

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. Владица Андрејић ( ) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2017. АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА Владица Андрејић (27-04-2017) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2017. Глава 1 Вектори у геометрији 1.1 Увођење вектора Појам вектора у еуклидској геометрији можемо

Διαβάστε περισσότερα

СИМПСОНОВА КВАДРАТУРНА ФОРМУЛА И ПРИМЕНE

СИМПСОНОВА КВАДРАТУРНА ФОРМУЛА И ПРИМЕНE УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Марија Сретеновић СИМПСОНОВА КВАДРАТУРНА ФОРМУЛА И ПРИМЕНE Мастер рад Нови Сад,. Садржај СИМПСОНОВА КВАДРАТУРНА

Διαβάστε περισσότερα

Др Душан Дамиан MATLAB. (Скрипте) Београд, 2015.

Др Душан Дамиан MATLAB. (Скрипте) Београд, 2015. Др Душан Дамиан ML Скрипте Београд Матлаб УВОД Име Матлаб је настало као спој скраћеница од Mt Loto У овом програмском језику матрице су основни градивни елемент за даљи рад Скаларне величине се одређују

Διαβάστε περισσότερα

Писмени испит из Теорије плоча и љуски. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама.

Писмени испит из Теорије плоча и љуски. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. Београд, 24. јануар 2012. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. = 0.2 dpl = 0.2 m P= 30 kn/m Линијско оптерећење се мења по синусном закону: 2.

Διαβάστε περισσότερα

Сунчев систем. Кеплерови закони

Сунчев систем. Кеплерови закони Сунчев систем Кеплерови закони На слици је приказан хипотетички сунчев систем. Садржи једну планету (Земљу нпр.) која се креће око Сунца и једина сила која се ту појављује је гравитационо привлачење. Узимајући

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1 6. Четвороугао 6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова А Сл. 1 А На приложеним сликама сигурно уочаваш геометријске фигуре које су ти познате (троугао,

Διαβάστε περισσότερα

Друштво Физичара Србије Министарство просвете и науке Републике Србије ЗАДАЦИ П Група

Друштво Физичара Србије Министарство просвете и науке Републике Србије ЗАДАЦИ П Група УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКЕ 0/0. ГОДИНЕ I РАЗРЕД Друштво Физичара Србије Министарство просвете и науке Републике Србије ЗАДАЦИ П Група СЕНТА.0.0.. Играчи билијара су познати по извођењу специфичних удараца

Διαβάστε περισσότερα

Objektno orijentisano programiranje

Objektno orijentisano programiranje Matematički fakultet, Univerzizet u Beogradu Katedra za računarstvo i informatiku Objektno orijentisano programiranje vežbe školska 2016/ 2017 Biljana Stojanović Nemanja Mićović Nikola Milev 1 Наслеђивање

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛОГНА ЕЛЕКТРОНИКА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ

АНАЛОГНА ЕЛЕКТРОНИКА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИ ФАКУЛТЕТ У БЕОГРАДУ КАТЕДРА ЗА ЕЛЕКТРОНИКУ АНАЛОГНА ЕЛЕКТРОНИКА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ВЕЖБА БРОЈ 2 ПОЈАЧАВАЧ СНАГЕ У КЛАСИ Б 1. 2. ИМЕ И ПРЕЗИМЕ БР. ИНДЕКСА ГРУПА ОЦЕНА ДАТУМ ВРЕМЕ ДЕЖУРНИ

Διαβάστε περισσότερα

Са неким, до сада неуведеним појмовима из теоријских основа турбомашина, упознаћемо се кроз израду следећих задатака.

Са неким, до сада неуведеним појмовима из теоријских основа турбомашина, упознаћемо се кроз израду следећих задатака. Основе механике флуида и струјне машине 1/11 Са неким, до сада неуведеним појмовима из теоријских основа турбомашина, упознаћемо се кроз израду следећих задатака 1задатак Познате су следеће величине једнe

Διαβάστε περισσότερα

Теорија одлучивања. Анализа ризика

Теорија одлучивања. Анализа ризика Теорија одлучивања Анализа ризика Циљеви предавања Упознавање са процесом анализе ризика Моделовање ризика Монте-Карло Симулација Предности и недостаци анализе ризика 2 Дефиниција ризика (квалитативни

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2 АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА d AB x x y - удаљеност између двије тачке y x x x y s, y y s - координате средишта дужи x x y x, y y - подјела дужи у заданом односу x x x y y y xt, yt - координате тежишта троугла

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 1 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

Тест за 7. разред. Шифра ученика

Тест за 7. разред. Шифра ученика Министарство просвете Републике Србије Српско хемијско друштво Окружно/градско/међуокружно такмичење из хемије 28. март 2009. године Тест за 7. разред Шифра ученика Пажљиво прочитај текстове задатака.

Διαβάστε περισσότερα

УПРАВЉАЊЕ КРЕТАЊЕМ ЛИФТА У ФУНКЦИЈИ ВРИЈЕДНОСТИ ТРЗАЈА ELEVATOR MOVEMENT CONTROL IN THE FUNCTION OF JERK VALUE

УПРАВЉАЊЕ КРЕТАЊЕМ ЛИФТА У ФУНКЦИЈИ ВРИЈЕДНОСТИ ТРЗАЈА ELEVATOR MOVEMENT CONTROL IN THE FUNCTION OF JERK VALUE INFOTEH-JAHORINA Vol., Ref. A-9, p. 4-44, March. УПРАВЉАЊЕ КРЕТАЊЕМ ЛИФТА У ФУНКЦИЈИ ВРИЈЕДНОСТИ ТРЗАЈА ELEVATOR MOVEMENT ONTROL IN THE FUNTION OF JERK VALUE Бојан Кнежевић, Машински факултет, Бања Лука

Διαβάστε περισσότερα

ФИЗИКА Рад. Рад константне силе над системом = F d cos θ

ФИЗИКА Рад. Рад константне силе над системом = F d cos θ ФИЗИКА 2009 Понедељак, 26. Октобар, 2009 1. Рад 2. Кинетичка енергија 3. Потенцијална енергија 1. Конзервативне силе и потенцијална енергија 2. Неконзервативне силе. Отворенисистеми 4. Закон одржања енергије

Διαβάστε περισσότερα

10.3. Запремина праве купе

10.3. Запремина праве купе 0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка

Διαβάστε περισσότερα

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом).

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом). СЕЧИЦА(СЕКАНТА) ЦЕНТАР ПОЛУПРЕЧНИК ТАНГЕНТА *КРУЖНИЦА ЈЕ затворена крива линија која има особину да су све њене тачке једнако удаљене од једне сталне тачке која се зове ЦЕНТАР КРУЖНИЦЕ. *Дуж(OA=r) која

Διαβάστε περισσότερα

4. МЕЂУНАРОДНА КОНФЕРЕНЦИЈА Савремена достигнућа у грађевинарству 22. април Суботица, СРБИЈА

4. МЕЂУНАРОДНА КОНФЕРЕНЦИЈА Савремена достигнућа у грађевинарству 22. април Суботица, СРБИЈА 4. МЕЂУНАРОДНА КОНФЕРЕНЦИЈА Савремена достигнућа у грађевинарству. април 06. Суботица, СРБИЈА АНАЛИЗA СТАБИЛНОСТИ ВЕРТИКАЛНОГ ЗАСЕКА ПРИМЕНОМ МЕХАНИКЕ ЛОМА Предраг Митковић Никола Обрадовић Драгослав Шумарац

Διαβάστε περισσότερα

РЕШАВАЊЕ РАЧУНСКИХ ЗАДАТАКА ПРИ ОБРАДИ НАСТАВНЕ ТЕМЕ СИЛА И КРЕТАЊЕ

РЕШАВАЊЕ РАЧУНСКИХ ЗАДАТАКА ПРИ ОБРАДИ НАСТАВНЕ ТЕМЕ СИЛА И КРЕТАЊЕ Универзитет у Новом Саду Природно математички факултет Департман за физику РЕШАВАЊЕ РАЧУНСКИХ ЗАДАТАКА ПРИ ОБРАДИ НАСТАВНЕ ТЕМЕ СИЛА И КРЕТАЊЕ МАСТЕР РАД ментор: кандитат: Др Маја Стојановић Адријана Сарић

Διαβάστε περισσότερα

3.5. МЕРЕЊЕ СИЛЕ ДИНАМОМЕТРОМ

3.5. МЕРЕЊЕ СИЛЕ ДИНАМОМЕТРОМ 3.5. МЕРЕЊЕ СИЛЕ ДИНАМОМЕТРОМ Подсетимо се. Шта је сила еластичности? У ком смеру она делује? Од свих еластичних тела која смо до сада помињали, за нас је посебно интересантна опруга. Постоје разне опруге,

Διαβάστε περισσότερα

УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ОБРАЗАЦ 6.

УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ОБРАЗАЦ 6. УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ОБРАЗАЦ 6. ФАКУЛТЕТ ТЕХНИЧКИХ НАУКА ИЗВЕШТАЈ О ОЦЕНИ ДОКТОРСКЕ ДИСЕРТАЦИЈЕ -oбавезна садржина- свака рубрика мора бити попуњена (сви подаци уписују се у одговарајућу рубрику, а

Διαβάστε περισσότερα

4. МЕЂУНАРОДНА КОНФЕРЕНЦИЈА Савремена достигнућа у грађевинарству 22. април Суботица, СРБИЈА

4. МЕЂУНАРОДНА КОНФЕРЕНЦИЈА Савремена достигнућа у грађевинарству 22. април Суботица, СРБИЈА 4. МЕЂУНАРОДНА КОНФЕРЕНЦИЈА Савремена достигнућа у грађевинарству 22. април 2016. Суботица, СРБИЈА ПРИКАЗ МЕТОДА ЗА ПРОРАЧУН ПЛОЧА ДИРЕКТНО ОСЛОЊЕНИХ НА СТУБОВЕ Никола Мирковић 1 Иван Милићевић 2 Драгослав

Διαβάστε περισσότερα

МЕРЕЊЕ УЧЕНИЧКОГ НАПРЕТКА ПРИ КОРИШЋЕЊУ РАЧУНАРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ

МЕРЕЊЕ УЧЕНИЧКОГ НАПРЕТКА ПРИ КОРИШЋЕЊУ РАЧУНАРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Соња Вученов МЕРЕЊЕ УЧЕНИЧКОГ НАПРЕТКА ПРИ КОРИШЋЕЊУ РАЧУНАРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ -мастер рад- Нови Сад, 2012.

Διαβάστε περισσότερα

СТАБИЛНОСТ МАТРИЦЕ КОВАРИЈАНСЕ И ПРОБЛЕМ ОПТИМИЗАЦИЈЕ ПОРТФОЛИЈА

СТАБИЛНОСТ МАТРИЦЕ КОВАРИЈАНСЕ И ПРОБЛЕМ ОПТИМИЗАЦИЈЕ ПОРТФОЛИЈА УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Светлана Миловановић СТАБИЛНОСТ МАТРИЦЕ КОВАРИЈАНСЕ И ПРОБЛЕМ ОПТИМИЗАЦИЈЕ ПОРТФОЛИЈА - мастер рад - Ментор:

Διαβάστε περισσότερα

1. УВОД 1.1. ЗАШТО ИНДИВИДУАЛИЗАЦИЈА НАСТАВЕ МАТЕМАТИКЕ? ''Настава математике није наука. Она је уметност'' Ђерђ Поја - ''Математичко откриће''

1. УВОД 1.1. ЗАШТО ИНДИВИДУАЛИЗАЦИЈА НАСТАВЕ МАТЕМАТИКЕ? ''Настава математике није наука. Она је уметност'' Ђерђ Поја - ''Математичко откриће'' ''Настава математике није наука. Она је уметност'' Ђерђ Поја - ''Математичко откриће'' 1. УВОД Зашто су краљевићи и царевићи од античких па до наших времена имали своје приватне учитеље математике? Зашто

Διαβάστε περισσότερα

МЕТОДА ПИКОВА ЈЕДАН СТОХАСТИЧКИ МОДЕЛ ЗАПРЕМИНА ПРЕКОРАЧЕЊА

МЕТОДА ПИКОВА ЈЕДАН СТОХАСТИЧКИ МОДЕЛ ЗАПРЕМИНА ПРЕКОРАЧЕЊА МЕТОДА ПИКОВА ЈЕДАН СТОХАСТИЧКИ МОДЕЛ ЗАПРЕМИНА ПРЕКОРАЧЕЊА Драгутин Павловић 1 Војислав Вукмировић 2 Јасна Плавшић 3 Јован Деспотовић 4 УДК: 519.217 DOI: 10.14415/zbornikGFS24.008 Резиме: Метода пикова

Διαβάστε περισσότερα

ФОРМАЛИЗАЦИЈА РАЗЛИЧИТИХ МОДЕЛА ГЕОМЕТРИЈЕ И ПРИМЕНЕ У ВЕРИФИКАЦИЈИ АУТОМАТСКИХ ДОКАЗИВАЧА ТЕОРЕМА

ФОРМАЛИЗАЦИЈА РАЗЛИЧИТИХ МОДЕЛА ГЕОМЕТРИЈЕ И ПРИМЕНЕ У ВЕРИФИКАЦИЈИ АУТОМАТСКИХ ДОКАЗИВАЧА ТЕОРЕМА УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ Данијела Симић ФОРМАЛИЗАЦИЈА РАЗЛИЧИТИХ МОДЕЛА ГЕОМЕТРИЈЕ И ПРИМЕНЕ У ВЕРИФИКАЦИЈИ АУТОМАТСКИХ ДОКАЗИВАЧА ТЕОРЕМА докторска дисертација Београд, 2017. UNIVERSITY

Διαβάστε περισσότερα

3. Емпиријске формуле за израчунавање испаравања (4)

3. Емпиријске формуле за израчунавање испаравања (4) 3.1 3. Емпиријске формуле за израчунавање испаравања (4) 3.1 Основни појмови o испаравању 3.2 Кружење воде у природи У атмосфери водена пара затвара један круг који је познат под именом кружење воде или

Διαβάστε περισσότερα

ПРОЈЕКТОВАЊЕ РАМПЕ. Слика А.1 - (а) приказ рампе у основи, (б) подужни пресек рампе

ПРОЈЕКТОВАЊЕ РАМПЕ. Слика А.1 - (а) приказ рампе у основи, (б) подужни пресек рампе ПРОЈЕКТОВАЊЕ РАМПЕ Рампа представља косу подземну просторију која повезује хоризонте или откопне нивое, и тако је пројектована и изведена да омогућује кретање моторних возила. Приликом пројектовања рампе

Διαβάστε περισσότερα

УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ОБРАЗАЦ 6. НАЗИВ ФАКУЛТЕТА Медицински факултет

УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ОБРАЗАЦ 6. НАЗИВ ФАКУЛТЕТА Медицински факултет УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ОБРАЗАЦ 6. НАЗИВ ФАКУЛТЕТА Медицински факултет ИЗВЕШТАЈ О ОЦЕНИ ДОКТОРСКЕ ДИСЕРТАЦИЈЕ -oбавезна садржина- свака рубрика мора бити попуњена (сви подаци уписују се у одговарајућу

Διαβάστε περισσότερα

ПРЕДВИЂАЊЕ ВРЕМЕНА ИЗРАДЕ КАО ОСНОВА ЗА СИМУЛАЦИЈУ ПОНАШАЊА ПРОИЗВОДНОГ СИСТЕМА У РЕАЛНИМ УСЛОВИМА

ПРЕДВИЂАЊЕ ВРЕМЕНА ИЗРАДЕ КАО ОСНОВА ЗА СИМУЛАЦИЈУ ПОНАШАЊА ПРОИЗВОДНОГ СИСТЕМА У РЕАЛНИМ УСЛОВИМА ГЛАСНИК ШУМАРСКОГ ФАКУЛТЕТА, БЕОГРАД, 2005, бр. 92, стр. 7-13 BIBLID: 0353-4537, (2005), 92, p 7-13 Милан Вукићевић UDK: 684:65.015.2 Оригинални научни рад ПРЕДВИЂАЊЕ ВРЕМЕНА ИЗРАДЕ КАО ОСНОВА ЗА СИМУЛАЦИЈУ

Διαβάστε περισσότερα

5. Земанов ефекат (нормални и аномални)

5. Земанов ефекат (нормални и аномални) 5.1 Теоријски увод 5. Земанов ефекат (нормални и аномални) Фарадеј је још 1862. године испитивао да ли се спектар обојених пламенова мења у присуству магнетног поља, али безуспешно. Тек је 1885, Фиевез

Διαβάστε περισσότερα

ЕКСПЕРТНИ СИСТЕМИ У ФИЗИЦИ: МЕТОДОЛОГИЈА И РЕАЛИЗАЦИЈА

ЕКСПЕРТНИ СИСТЕМИ У ФИЗИЦИ: МЕТОДОЛОГИЈА И РЕАЛИЗАЦИЈА УНИВЕРЗИТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ ПРИРОДНО МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ мр Иван Петровић ЕКСПЕРТНИ СИСТЕМИ У ФИЗИЦИ: МЕТОДОЛОГИЈА И РЕАЛИЗАЦИЈА Докторска дисертација Крагујевац, 2016 године ИДЕНТИФИКАЦИОНА СТРАНИЦА ДОКТОРСКЕ

Διαβάστε περισσότερα

ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У ОСНОВНОЈ И СРЕДЊОЈ ШКОЛИ

ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У ОСНОВНОЈ И СРЕДЊОЈ ШКОЛИ УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Бојана Јанковић ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У ОСНОВНОЈ И СРЕДЊОЈ ШКОЛИ Мастер рад Нови Сад, 2012. године САДРЖАЈ Предговор...

Διαβάστε περισσότερα

Основи системске биофизике. Предиспитне обавезе: Први колоквијум (предавања): Други колоквијум (предавања): Писмени испит (вежбе):

Основи системске биофизике. Предиспитне обавезе: Први колоквијум (предавања): Други колоквијум (предавања): Писмени испит (вежбе): Обавезни предмет Шести семестар Молекуларна биологија и физиологија Наставник: др Мирослав Живић Структура испитних обавеза: Основи системске биофизике Предиспитне обавезе: Први колоквијум (предавања):

Διαβάστε περισσότερα

Основи системске биофизике

Основи системске биофизике Обавезни предмет Шести семестар Молекуларна биологија и физиологија Наставник: др Мирослав Живић Структура испитних обавеза: Основи системске биофизике Предиспитне обавезе: Први колоквијум (предавања):

Διαβάστε περισσότερα

МИЋО М. МИТРОВИЋ ФИЗИКА 6. уџбеник за шести разред основне школе

МИЋО М. МИТРОВИЋ ФИЗИКА 6. уџбеник за шести разред основне школе МИЋО М. МИТРОВИЋ ФИЗИКА 6 уџбеник за шести разред основне школе САЗНАЊЕ БЕОГРАД, 01 ФИЗИКА 6 уџбеник за шести разред основне школе Аутор Проф. др Мићо Митровић Редовни професор Физичког факултета Универзитета

Διαβάστε περισσότερα

Универзитет у Новом Саду Факултет техничких наука

Универзитет у Новом Саду Факултет техничких наука Универзитет у Новом Саду Факултет техничких наука Департман за енергетику, електронику и телекомуникације Аутор: Бранислав Поповић Ментор: Проф. др Владо Делић Хијерархијско кластеровање модела Гаусових

Διαβάστε περισσότερα

Дух полемике у филозофији Јован Бабић

Дух полемике у филозофији Јован Бабић Дух полемике у филозофији Јован Бабић У свом истинском смислу филозофија претпостаља једну посебну слободу мишљења, исконску слободу која подразумева да се ништа не подразумева нешто што истовремено изгледа

Διαβάστε περισσότερα

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА И ПОСЛЕДИЦЕ Мастер рад Кандидат: Рајка Милетић Ментор: проф др Неда Бокан Београд, 00 САДРЖАЈ Увод 3 I ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА 4 I Доказ Чевијеве теореме

Διαβάστε περισσότερα

1. Стандард бинарног кодовања ненумеричких података је: а) BCD код б) ASCII код в) PCI код г) Не знам

1. Стандард бинарног кодовања ненумеричких података је: а) BCD код б) ASCII код в) PCI код г) Не знам . Стандард бинарног кодовања ненумеричких података је: а) BCD код б) ASCII код в) PCI код. Од наведених цифара, бинарном бројном систему не припада цифра: а) б) в) 0 3. Од наведених знакова, не представља

Διαβάστε περισσότερα

Eлектричне силе и електрична поља

Eлектричне силе и електрична поља Eлектричне силе и електрична поља 1 Особине наелектрисања Постоје две врсте наелектрисања Позитивна и негативна Наелектрисања супротног знака се привлаче, а различитог знака се одбијају Основни носиоц

Διαβάστε περισσότερα

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити.

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити. IV разред 1. Колико ће година проћи од 1. јануара 2015. године пре него што се први пут догоди да производ цифара у ознаци године буде већи од збира ових цифара? 2. Свако слово замени цифром (различита

Διαβάστε περισσότερα

УТИЦАЈ ПАРАМЕТАРА РЕЗАЊА НА ГУБИТАК МАСЕ ПРИ ОБРАДИ ПЛОЧЕ ИВЕРИЦЕ AWJC МЕТОДОМ

УТИЦАЈ ПАРАМЕТАРА РЕЗАЊА НА ГУБИТАК МАСЕ ПРИ ОБРАДИ ПЛОЧЕ ИВЕРИЦЕ AWJC МЕТОДОМ UDK 674.05:621.9.048 UDK 674.05:621.7.044.4 Оригинални научни рад УТИЦАЈ ПАРАМЕТАРА РЕЗАЊА НА ГУБИТАК МАСЕ ПРИ ОБРАДИ ПЛОЧЕ ИВЕРИЦЕ AWJC МЕТОДОМ СРЂАН СВРЗИЋ 1 МАРИЈА МАНДИЋ ГРАДИМИР ДАНОН Извод: Технологија

Διαβάστε περισσότερα

ГЛАСНИК СРПСКОГ ГЕОГРАФСKОГ ДРУШТВА BULLETIN OF THE SERBIAN GEOGRAPHICAL SOCIETY ГОДИНА СВЕСКА LXXXVII- Бр. 2 YEAR 2007 TOME LXXXVII - N о 2

ГЛАСНИК СРПСКОГ ГЕОГРАФСKОГ ДРУШТВА BULLETIN OF THE SERBIAN GEOGRAPHICAL SOCIETY ГОДИНА СВЕСКА LXXXVII- Бр. 2 YEAR 2007 TOME LXXXVII - N о 2 ГЛАСНИК СРПСКОГ ГЕОГРАФСKОГ ДРУШТВА BULLETIN OF THE SERBIAN GEOGRAPHICAL SOCIETY ГОДИНА 2007. СВЕСКА LXXXVII- Бр. 2 YEAR 2007 TOME LXXXVII - N о 2 Оригиналан научни рад UDC 911.372.7 БРАНИСЛАВ БАЈАТ ДРАГАН

Διαβάστε περισσότερα

61. У правоуглом троуглу АВС на слици, унутрашњи угао код темена А је Угао

61. У правоуглом троуглу АВС на слици, унутрашњи угао код темена А је Угао ЗАДАЦИ ЗА САМОСТАЛНИ РАД Задаци за самостлни рад намењени су првенствено ученицима који се припремају за полагање завршног испита из математике на крају обавезног основног образовања. Задаци су одабрани

Διαβάστε περισσότερα

УПУТСТВО ЗА ОДРЕЂИВАЊЕ ВРСТЕ ДОКУМЕНАТА КОЈЕ ИЗРАЂУЈЕ ОПЕРАТЕР СЕВЕСО ПОСТРОЈЕЊА. август 2010.

УПУТСТВО ЗА ОДРЕЂИВАЊЕ ВРСТЕ ДОКУМЕНАТА КОЈЕ ИЗРАЂУЈЕ ОПЕРАТЕР СЕВЕСО ПОСТРОЈЕЊА. август 2010. УПУТСТВО ЗА ОДРЕЂИВАЊЕ ВРСТЕ ДОКУМЕНАТА КОЈЕ ИЗРАЂУЈЕ ОПЕРАТЕР СЕВЕСО ПОСТРОЈЕЊА август 2010. I. УВОД Сврха овог Упутства је да помогне оператерима који управљају опасним материјама, како да одреде да

Διαβάστε περισσότερα

ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕНИКЕ

ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕНИКЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ЗАЈЕДНИЦА ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИХ ШКОЛА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ЧЕТРНАЕСТО РЕГИОНАЛНО ТАКМИЧЕЊЕ ПИТАЊА И ЗАДАЦИ ИЗ ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ДРУГОГ РАЗРЕДА број задатка 1

Διαβάστε περισσότερα

Noriyasu MASUMOTO, Waseda University, Okubo, Shinjuku, Tokyo , Japan Hiroshi YAMAKAWA, Waseda University

Noriyasu MASUMOTO, Waseda University, Okubo, Shinjuku, Tokyo , Japan Hiroshi YAMAKAWA, Waseda University A Study on Predctve Control Usng a Short-Term Predcton Method Based on Chaos Theory (Predctve Control of Nonlnear Systems Usng Plural Predcted Dsturbance Values) Noryasu MASUMOTO, Waseda Unversty, 3-4-1

Διαβάστε περισσότερα

КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1

КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 Лабораторијска вежба број 2 ТРОФАЗНИ ПУНОУПРАВЉИВИ МОСТНИ ИСПРАВЉАЧ СА ТИРИСТОРИМА 1. ТЕОРИЈСКИ УВОД

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2014.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2014. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

РАЗАРАЊА ПОДНОЖЈА И БОКОВА ЗУБАЦА

РАЗАРАЊА ПОДНОЖЈА И БОКОВА ЗУБАЦА Машински факултет Универзитета у Београду/ Машински елементи / Предавање 5 РАЗАРАЊА ПОДНОЖЈА И БОКОВА ЗУБАЦА Носивост зупчастих преносника ограничена је запреминским и површинским разарањем зубаца. Запреминско

Διαβάστε περισσότερα

АТ-5 Вештачке неуронске мреже Проф. др Зоран Миљковић Методе одлучивања 1/35

АТ-5 Вештачке неуронске мреже Проф. др Зоран Миљковић Методе одлучивања 1/35 АТ-5 Вештачке неуронске мреже Проф. др Зоран Миљковић Методе одлучивања 1/35 Вештачке неуронске мреже Деф: Неуронска мрежа је парадигма вештачке интелигенције која се дефинише као конективни модел за резоновање

Διαβάστε περισσότερα

ФИЗИКА Кинематика тачке у једној. Шема прикупљања поена - измене. Предиспитне обавезе

ФИЗИКА Кинематика тачке у једној. Шема прикупљања поена - измене. Предиспитне обавезе ФИЗИКА 9. Понедељак, 1. октобар, 9. Кинематика тачке у једној димензији Кинематика кретања у две димензије 1 Предиспитне обавезе Шема прикупљања поена - измене Активност у току предавања 5 поена (са више

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1: Савремени аутоматски дифрактометар x зрака; принципијелна шема, изглед дифрактометра (горе лево)

Слика 1: Савремени аутоматски дифрактометар x зрака; принципијелна шема, изглед дифрактометра (горе лево) ОДРЕЂИВАЊЕ ПАРАМЕТАРА КРИСТАЛНЕ РЕШЕТКЕ МЕТОДОМ КРИСТАЛНОГ ПРАХА, ДЕБАЈ ШЕРЕРОВ МЕТОД ТЕОРИЈСКИ УВОД У параметре кристалне решетке убрајају се дужине ивица кристалне ћелије: a, b и c и дужина међураванског

Διαβάστε περισσότερα

ИЗВЕШТАЈ О ОЦЕНИ МАГИСТАРСКЕ ТЕЗЕ

ИЗВЕШТАЈ О ОЦЕНИ МАГИСТАРСКЕ ТЕЗЕ УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ФИЛОЗОФСКИ ФАКУЛТЕТ ИЗВЕШТАЈ О ОЦЕНИ МАГИСТАРСКЕ ТЕЗЕ I ПОДАЦИ О КОМИСИЈИ 1. Датум и орган који је именовао комисију: На седници одржаној 18. 6. 2010. године Наставно-научно веће

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 014/15. бр. XLIX-5 РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ III разред 1. а) 70 - седамсто три; б) двесто осамдесет два 8.. а) 4, 54, 54, 45, 504, 54. б)

Διαβάστε περισσότερα

Задатак 1: Несташни миш (10 поена) се равномерно креће по тасу 2. Сматрати да да у току посматраног кретања нити остају вертикалне. Слика 1. Слика 2.

Задатак 1: Несташни миш (10 поена) се равномерно креће по тасу 2. Сматрати да да у току посматраног кретања нити остају вертикалне. Слика 1. Слика 2. ШКОЛСКА /4. ГОДИНЕ. ЗАДАЦИ -.5.4. Задатак : Несташни миш ( поена) Идеалан котур занемарљиве масе је преко идеалног динамометра окачен о плафон. Преко котура је пребачена идеална нит, на чијим крајевима

Διαβάστε περισσότερα

АСИНХРОНЕ МАШИНЕ МАЛЕ СНАГЕ

АСИНХРОНЕ МАШИНЕ МАЛЕ СНАГЕ АСИНХРОНЕ МАШИНЕ МАЛЕ СНАГЕ Аутор: Ненад Костадиновић Факултет техничких наука, Чачак Електротехничко и рачунарско инжењерство, електроенергетика, школска 0/03 eakota87@gmail.com Ментор рада: Проф. др

Διαβάστε περισσότερα

ХИДРАУЛИЧКЕ И ПНЕУМАТСКЕ КОМПОНЕНТЕ

ХИДРАУЛИЧКЕ И ПНЕУМАТСКЕ КОМПОНЕНТЕ ХИДРАУЛИЧКЕ И ПНЕУМАТСКЕ КОМПОНЕНТЕ У следећим задацима заокружите број испред траженог одговора. Разводници су компоненте хидрауличког система које:. дозвољавају слободно протицање радног флуида у једном

Διαβάστε περισσότερα

Могућности коришћења методе случаја као наставне методе у настави физике. - мастер рад -

Могућности коришћења методе случаја као наставне методе у настави физике. - мастер рад - УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА ФИЗИКУ Могућности коришћења методе случаја као наставне методе у настави физике - мастер рад - Ментор: Проф. др Маја Стојановић Студент:

Διαβάστε περισσότερα

КРИТИЧНИ НАПОНИ И СТЕПЕН СИГУРНОСТИ

КРИТИЧНИ НАПОНИ И СТЕПЕН СИГУРНОСТИ Машински факултет Универзитета у Београду/ Машински елементи / Предавање 3 КРИТИЧНИ НАПОНИ И СТЕПЕН СИГУРНОСТИ Критична стања машинских делова У критичном стањеу машински делови не могу да извршавају своју

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ИНТЕРАКЦИЈА ТЕШКИХ НАЕЛЕКТРИСАНИХ ЧЕСТИЦА СА МАТЕРИЈОМ

2.1. ИНТЕРАКЦИЈА ТЕШКИХ НАЕЛЕКТРИСАНИХ ЧЕСТИЦА СА МАТЕРИЈОМ II ПРОЛАЗ ЗРАЧЕЊА КРОЗ МАТЕРИЈУ.. ИНТЕРАКЦИЈА ТЕШКИХ НАЕЛЕКТРИСАНИХ ЧЕСТИЦА СА МАТЕРИЈОМ Познавање физичких основа интеракције зрачења и преноса енергије је фундаментално у детекцији зрачења, мерењима

Διαβάστε περισσότερα

АНТИЧКА ПРОШЛОСТ У СРПСКИМ УЏБЕНИЦИМА КРАЈЕМ XIX ВЕКА

АНТИЧКА ПРОШЛОСТ У СРПСКИМ УЏБЕНИЦИМА КРАЈЕМ XIX ВЕКА 371.3::94(497.11)"18" 930.85(37+38) Др СВЕТОЗАР БОШКОВ Филозофски факултет Универзитет у Новом Саду АНТИЧКА ПРОШЛОСТ У СРПСКИМ УЏБЕНИЦИМА КРАЈЕМ XIX ВЕКА Апстракт: У овом раду се излажу промене у начину

Διαβάστε περισσότερα

МИЋО М. МИТРОВИЋ Практикум ФИЗИКА 7 збирка задатака и експерименталних вежби из физике за седми разред основне школе САЗНАЊЕ Београд, 2013.

МИЋО М. МИТРОВИЋ Практикум ФИЗИКА 7 збирка задатака и експерименталних вежби из физике за седми разред основне школе САЗНАЊЕ Београд, 2013. МИЋО М МИТРОВИЋ Практикум ФИЗИКА 7 збирка задатака и експерименталних вежби из физике за седми разред основне школе САЗНАЊЕ Београд, 1 ПРАКТИКУМ ФИЗИКА 7 Збирка задатака и експерименталних вежби из физике

Διαβάστε περισσότερα

Предмет: Извештај Комисије за оцену урађене докторске дисертације Aне Калушевић, дипл.инж. ИЗВЕШТАЈ 1. ОПШТИ ПОДАЦИ О ДОКТОРСКОЈ ДИСЕРТАЦИЈИ

Предмет: Извештај Комисије за оцену урађене докторске дисертације Aне Калушевић, дипл.инж. ИЗВЕШТАЈ 1. ОПШТИ ПОДАЦИ О ДОКТОРСКОЈ ДИСЕРТАЦИЈИ НАСТАВНО-НАУЧНОМ ВЕЋУ ПОЉОПРИВРЕДНОГ ФАКУЛТЕТА УНИВЕРЗИТЕТА У БЕОГРАДУ Датум: 25.03.2017. Предмет: Извештај Комисије за оцену урађене докторске дисертације Aне Калушевић, дипл.инж. Одлуком Наставно-научног

Διαβάστε περισσότερα

ЕЛЕКТРОМАГНЕТНА КОЧНИЦА СА ЈЕДНИМ ОБРТНИМ ДИСКОМ ЗА ЛАБОРАТОРИЈСКА ИСПИТИВАЊА ЕЛЕКТРИЧНИХ МОТОРА

ЕЛЕКТРОМАГНЕТНА КОЧНИЦА СА ЈЕДНИМ ОБРТНИМ ДИСКОМ ЗА ЛАБОРАТОРИЈСКА ИСПИТИВАЊА ЕЛЕКТРИЧНИХ МОТОРА Техничко решење ЕЛЕКТРОМАГНЕТНА КОЧНИЦА СА ЈЕДНИМ ОБРТНИМ ДИСКОМ ЗА ЛАБОРАТОРИЈСКА ИСПИТИВАЊА ЕЛЕКТРИЧНИХ МОТОРА Чачак, 2015 године 1 Садржај ОСНОВНИ ПОДАЦИ О ТЕХНИЧКОМ РЕШЕЊУ... 3 1 ОБЛАСТ НА КОЈУ СЕ

Διαβάστε περισσότερα

ПРОЦЕНА ДЕЈСТВА ГЛАСНЕ МУЗИКЕ НА ОШТЕЋЕЊЕ СЛУХА КОД МЛАДИХ ОСОБА. 2. Извештај о оцени научне заснованости теме докторске дисертације

ПРОЦЕНА ДЕЈСТВА ГЛАСНЕ МУЗИКЕ НА ОШТЕЋЕЊЕ СЛУХА КОД МЛАДИХ ОСОБА. 2. Извештај о оцени научне заснованости теме докторске дисертације УНИВЕРЗИТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ МЕДИЦИНСКИ ФАКУЛТЕТ КРАГУЈЕВАЦ 1.Одлука Изборног већа Одлуком Изборног већа Медицинског факултета у Крагујевцу, бр 01-1410/3-1 од 07.03 2012. године, именовани су чланови комисије

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИЗА УТИЦАЈА СПОЉАШЊИХ ТЕРЕТА И АСИМЕТРИЧНИХ ОПТЕРЕЋЕЊА НА ДИНАМИКУ ЛЕТА АВИОНА

АНАЛИЗА УТИЦАЈА СПОЉАШЊИХ ТЕРЕТА И АСИМЕТРИЧНИХ ОПТЕРЕЋЕЊА НА ДИНАМИКУ ЛЕТА АВИОНА УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ Машински факултет Предраг В. Стојаковић АНАЛИЗА УТИЦАЈА СПОЉАШЊИХ ТЕРЕТА И АСИМЕТРИЧНИХ ОПТЕРЕЋЕЊА НА ДИНАМИКУ ЛЕТА АВИОНА ДОКТОРСКА ДИСЕРТАЦИЈА БЕОГРАД, 2012. ПОДАЦИ О МЕНТОРУ,

Διαβάστε περισσότερα

Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела. Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела помоћу пикнометра

Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела. Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела помоћу пикнометра Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела Густина : V Специфична запремина : V s Q g Специфична тежина : σ V V V g Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела помоћу

Διαβάστε περισσότερα

ВИЗУAЛИЗАЦИЈА СТРУЈАЊА ОКО МОДЕЛА КЛАСИЧНОГ ОСНОСИМЕТРИЧНОГ ПРОЈЕКТИЛА

ВИЗУAЛИЗАЦИЈА СТРУЈАЊА ОКО МОДЕЛА КЛАСИЧНОГ ОСНОСИМЕТРИЧНОГ ПРОЈЕКТИЛА ВИЗУAЛИЗАЦИЈА СТРУЈАЊА ОКО МОДЕЛА КЛАСИЧНОГ ОСНОСИМЕТРИЧНОГ ПРОЈЕКТИЛА Дамир Јерковић, Војна академија, Београд Славица Ристић, Институт Гоша, Београд Душан Регодић, Универзитет Сингидунум, Београд Марија

Διαβάστε περισσότερα