Ταξινόμηση 34 παραστάσεων της Γέννησης της Παναγίας ή / και του Προδρόμου με μεθόδους «Παραγοντικής Ανάλυσης»

Transcript

1 Ταξνόμηση 34 παραστάσεων της Γέννησης της Παναγίας ή κα του Προδρόμου με μεθόδους «Παραγοντκής Ανάλυσης» Δημήτρος ΔΙΑΛΕΤΗΣ, Μχάλης ΜΕΪΜΑΡΗΣ Δελτίον XAE 11 ( ), Περίοδος Δ'. Στη μνήμη του Αναστασίου Κ. Ορλάνδου ( ) Σελ ΑΘΗΝΑ 1983

2 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ 34 ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΓΕΝΝΗΣΗΣ ΤΗΣ ΠΑΝΆΓΙΑΣ ΗΚΑΙ ΤΟΥ ΠΡΟΔΡΌΜΟΥ ΜΕ ΜΕΘΌΔΟΥΣ «ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ»* Στή μελέτη αυτή επχερείτα μά ταξνόμηση 34 παραστάσεων μέ θέμα τή γέννηση της Παναγίας ήκαί του Προδρόμου (βλ. παραπάνω, σ. 127 κ.έ.) χρησμοποώντας στατστκές μεθόδους παραγοντκής ανάλυσης. "Η ταξνόμηση αυτή βασίστηκε σέ ορσμένα μορφολογκά χαρακτηρστκά τους. Ή ανάλυση του πίνακα των χαρακτηρστκών αυτών μέ δαφορετκές μεθόδους επβεβαώνε τή σταθερότητα των ομαδοποήσεων πού προτείνοντα καί επτρέπε τόν προσδορσμό των χαρακτηρστκών, στά όποα κατά κύρο λόγο οφείλοντα οί δαφοροποήσες μεταξύ τών ομάδων. "Ετσ αποδεκνύετα οτ μά αποτελεσματκή ταξνόμηση τών εκόνων μπορεί νά βασστεί σέ περορσμένο αρθμό χαρακτηρστκών. 1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ Γά τήν πραγματοποίηση της μελέτης αυτής χρησμοποήθηκαν μέθοδο της παραγοντκής ανάλυσης (analyse factorielle). Ή παραγοντκή ανάλυση μαζί μέ τίς τεχνκές της «αυτόματης ταξνόμησης» (classification automatique) αποτελούν ενα σύνολο μεθόδων, πού στή γλώσσα της στατστκής είνα γνωστές μέ τήν ονομασία «ανάλυση δεδομένων» (analyse des données) (Β en zé cri, 1971) ή καί «πολυδάστατη στατστκή ανάλυση» (analyse statistique multidimensionelle). Οί μέθοδο αυτές, πού χρησμοποούντα κυρίως γά τήν επεξεργασία μεγάλων συνόλων αρθμητκών δεδομένων καί εφαρμόζοντα χάρη στή χρήση τών ηλεκτρονκών υπολογστών, έχουν σκοπό τήν ανίχνευση τής πληροφορίας πού κρύβετα στά πολυπληθή αυτά δεδομένα. Αυτό επτυγχάνετα μέ τή δημουργία νέων γεωμετρκών ή καί αρθμητκών συνθετκών καί εύκολα κατανοητών παραστάσεων τής αρχκής πληροφορίας (Blackith-Reyment, 1971). Οί τρες μέθοδο τής παραγοντκής ανάλυσης πού χρησμοποήθηκαν εδώ είνα ή «παραγοντκή ανάλυση τών αντστοχών» (analyse factorielle des correspondances), ή «ανάλυση ενός πίνακα αποστάσεων» (analyse d'un * Οί παραγοντκές αναλύσες της εργασίας αυτής πραγματοποήθηκαν μέ τό μκροϋπολογστή τοϋ Έθνκοϋ 'Αστεροσκοπείου 'Αθηνών.

3 182 Δ. ΔΙΑΛΕΤΗΣ - Μ. ΜΕΪΜΑΡΗΣ tableau des distances) καί ή «δακρτκή ανάλυση» (analyse discriminante). Καί οί τρες βασίζοντα στό λεγόμενο «γεωμετρκό μοντέλο», όπου τό σύνολο των παρατηρήσεων (ή μετρήσεων) πού πραγματοποήθηκαν αποτελεί ενα νέφος σημείων σέ ενα χώρο πολλών δαστάσεων. Κάθε παρατήρηση είνα ενα σημείο σέ ενα χώρο τόσων δαστάσεων όσες είνα οί μεταβλητές πού μετρήθηκαν. Ή «παραγοντκή ανάλυση τών αντστοχών» είνα μία μέθοδος πού επτρέπε τήν περγραφή μεγάλων πνάκων δεδομένων δαφόρων τύπων. 'Επεδή δέ δακρίνε τίς παρατηρήσες άπό τίς μεταβλητές δρα συμμετρκά ως προς τίς γραμμές καί τίς στήλες του πίνακα καί δίνε έτσ τή δυνατότητα της ταυτόχρονης μελέτης τους (Dialétis-Meïmaris, 1979). Αυτό επτυγχάνετα μέ τήν εσαγωγή μας εδκής απόστασης χ 2 στό χώρο τών μετρήσεων. Ή «ανάλυση ενός πίνακα αποστάσεων» είνα μία μέθοδος πού βασίζετα πάλ στό γεωμετρκό μοντέλο καί αποτελεί μία παραλλαγή της γενκότερης μεθόδου της «ανάλυσης σέ κύρες συνστώσες» (analyse en composantes principales), μέ αντκεμενκό σκοπό τήν ανάλυση πνάκων μας εδκής μορφής οπού ή κάθε παρατήρηση συνδέετα μέ τίς άλλες μέ μά «απόσταση» μέ τήν τυπολογκή έννοα τοϋ όρου. "Οσο πό πολύ μοάζουν δύο παρατηρήσες, τόσο μκρότερη θά είνα αυτή ή απόσταση μεταξύ τους. Σκοπός της μεθόδου είνα ή αναπαράσταση τών παρατηρήσεων σέ ενα σύστημα αξόνων μέ τέτοο τρόπο, ώστε νά δατηρούντα κατά τόν καλύτερο δυνατό τρόπο οί αρχκές αποστάσες. Τέλος, ή «δακρτκή ανάλυση» είνα πάλ μά γεωμετρκή μέθοδος πού χρησμοποείτα κυρίως σέ προβλήματα ταξνόμησης καί σέ προβλήματα λήψης αποφάσεων. Μελετά τή σχέση πού υπάρχε μεταξύ μας ποοτκής μεταβλητής καί πολλών ποσοτκών μεταβλητών. Οί τμές τής ποοτκής μεταβλητής αποτελούν τό κρτήρο ταξνόμησης. Σκοπός τής μεθόδου είνα νά προσδορίσε τήν ποότητα τής ταξνόμησης πού πραγματοποείτα μέ τή βοήθεα τής ποοτκής μεταβλητής καθώς καί νά εντοπίσε ποες άπό τίς ποσοτκές μεταβλητές δημουργούν αυτή τήν ταξνόμηση. 2. Ο ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Ό αρχκός πίνακας μέ τά χαρακτηρστκά τών παραστάσεων έχε 34 γραμμές (μία γά κάθε παράσταση) καί 30 στήλες (μία γά κάθε μορφολογκό χαρακτηρστκό). Περέχε λοπόν 1020 στοχεία. (Λεπτομερεακή περγραφή του βλ. παραπάνω, σ. 138, Πίν. Ι). Πρόκετα γά έναν πίνακα δυαδκής μορφής, δηλαδή πίνακα πού έχε ώς στοχεία μόνο τους αρθμούς 1 (γά τήν παρουσία κάποου χαρακτηρστκού) καί 0 (γά τήν απουσία του). "Αν παραστήσουμε τό σύνολο τών 34 παραστάσεων μέ Ι καί τά στο-

4 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΥΣ «ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ» 183 χεΐα του (παραστάσες) μέ i (i=l, 2,..., 34), καθώς καί τό σύνολο των 30 χαρακτηρστκών μέ J καί τά στοχεία του (χαρακτηρστκά) μέ j (j=l, 2,..., 30), τότε κάθε στοχείο του αρχκού πίνακα Χ πού βρίσκετα στην τομή της γραμμής i καί τής στήλης] συμβολίζετα μέ x ir j (i=l, 2,..., 34 καί j=l, 2,..., 30). "Ετσ γά παράδεγμα αν Xs, 6=1 αυτό σημαίνε ότ στην πέμπτη παράσταση εμφανίζετα τό έκτο μορφολογκό χαρακτηρστκό. Ένώ άν Χ21,3=0 αυτό σημαίνε οτ στην εκοστή πρώτη παράσταση δέν εμφανίζετα τό τρίτο μορφολογκό χαρακτηρστκό. 3. ο ΑΝΑΛΎΣΕΙΣ 3.1. Παραγοντκή 'Ανάλυση των 'Αντστοχών (Π.Α.Α.) Δαδοχκές αναλύσες του άρχκοΰ πίνακα Χ μέ τήν Π.Α.Α. επέτρεψαν τόν προσδορσμό οκτώ χαρακτηρστκών, τά όποα παίζουν τόν αποφασστκό ρόλο στίς δαφοροποήσες των παραστάσεων στό σύνολο Ι καί στή δημουργία ομάδων άπό αυτές δηλαδή τά οκτώ αυτά μορφολογκά χαρακτηρστκά επαρκούν γά τήν αναπαράσταση τών ομαδοποήσεων πού δημουργούντα άν ληφθούν υπόψη καί τά 30 χαρακτηρστκά. Τά οκτώ αυτά χαρακτηρστκά είνα τά παρακάτω: 1) Ή ύπαρξη «μκρότερης θεραπανίδας μέ ρπίδο» στην παράσταση (χαρακτηρστκό 6). 2) Μά δευτερεύουσα σκηνή πού παρστάνε τόν «Ασπασμό» στην παράσταση (χαρακτηρστκό 13 Α). 3) «Δύο κτίρα αρστερά καί δεξά στή σύνθεση, τό ενα τύπου α'» (χαρακτηρστκό IIA). 4) «Δύο κτίρα αρστερά καί δεξά στή σύνθεση, τό ενα τύπου β'» (χαρακτηρστκό IIB). 5) Ή ύπαρξη «λίκνου καί βρέφους στό πλά (χαρακτηρστκό 8Β). 6) «Δύο κτίρα αρστερά καί δεξά στή σύνθεση, άλλου τύπου» (χαρακτηρστκό 11Ε). 7) Τό χαρακτηρστκό «άλλη κοπέλα» (7). 8) Τό χαρακτηρστκό «δύο κοπέλες» (5Β). Ή τελκή Π.Α.Α. γίνετα σέ ενα νέο πίνακα Χ' πού προέρχετα άπό τόν αρχκό Χ άν παραληφθούν ολα τά χαρακτηρστκά (στήλες) εκτός άπό τά 8 προηγούμενα. Πρόκετα λοπόν γά έναν πίνακα μέ 34 γραμμές καί 8 στήλες, πού σύμφωνα μέ αυτά πού είπαμε παραπάνω περέχε τήν 'ίδα σχεδόν πληροφορία μέ τόν αρχκό Χ (δηλαδή τά 1020 στοχεία τοϋ Χ «αντκαταστάθηκαν» άπό τά 272 τοΰ Χ'). Στην Είκ. 1 παρουσάζετα ή γεωμετρκή παράσταση τής σύγχρονης

5 Δ. ΔΙΑΛΕΤΗΣ - Μ. ΜΕΪΜΑΡΗΣ Ι Ι Α 2 Î3Â ^ + ' Τ" 11Α #" 2ü* 7 89 " «17 15, ' ( Χ 2 ) Ι 4 '13. * ' W 31 34! 27 ' 11 ν * 30 JUL 26 Φ J 29 * -*" 1 22,, m v *., " "Β" Είκ. 1. Προβολή στό πρώτο παραγοντκό επίπεδο (αξονες 1 καί 2) των σημείων πού αντστοχούν στίς 34 παραστάσες καί τά 8 μορφολογκά χαρακτηρστκά (Παραγοντκή 'Ανάλυση Αντστοχών). προβολής στό πρώτο παραγοντκό επίπεδο (αξονες 1 καί 2) των σημείων πού αντστοχούν τόσο στίς 34 παραστάσες όσο καί στά 8 χαρακτηρστκά. Ή παράσταση αυτή είνα ή καλύτερη δυνατή «άποψη» πού μπορεί νά έχουμε γά τήν πολυδάστατη πραγματκότητα τών στοχείων του πίνακα Χ' σέ ενα χώρο δαστάσεως 2 (επίπεδο). Δακρίνουμε δύο κύρες ομάδες παραστάσεων Α καί Β, κατανεμημένες

6 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΥΣ «ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ» 185 κυρίως κατά μήκος του άξονα 1. Ή Α περλαμβάνε τίς παραστάσες 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 16, 17, 18, 20 καί 21. Πρόκετα γά παραστάσες πού προέρχοντα από κονό πρότυπο (Ν. Χατζηδάκη, 1983) καί ή ομαδοποίηση τους χαρακτηρίζετα κύρα από τίς μεταβλητές 6 καί 13Α καί άπό τίς IIB καί IIA. Σ' αυτή τήν ομάδα κατατάσσετα καί ή εκόνα άρ. 1 πού, λόγω εδκών χαρακτηρστκών, απομακρύνετα στή δεύθυνση του δεύτερου παραγοντκού άξονα, πράγμα πού εϊχε παρατηρηθεί καί σέ όλες τίς προηγούμενες αναλύσες, στίς όποες καί είχε ληφθεί υπόψη τό σύνολο τών 30 χαρακτηρστκών. Στό δεξί άκρο του άξονα 1 παρατηρούμε μά άλλη ομαδοποίηση (Β). Πρόκετα κυρίως γά τοχογραφίες του 'Αγίου "Ορους, άρ. κατ. 26, 27, 28, 29, 30 καθώς καί γά τήν είκόνα άρ. κατ. 11. Ή ομαδοποίηση τους χαρακτηρίζετα κύρα άπό τίς μεταβλητές 5Β, 7 καί 11Ε. Μεταξύ τών ομάδων Α καί Β κατανέμοντα οί άρ. κατ. 4, 10, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 25, 33, 34 πού εμφανίζουν χαρακτηρστκά καί τών δύο ομάδων συγχρόνως. Είνα αξοσημείωτο ότ οί παραστάσες άρ. κατ. 22, 23, 24, 25, πού ανήκουν στον ίδο ζωγράφο, προβάλλοντα στό ίδο σχεδόν σημείο 'Ανάλυση ενός Πίνακα 'Αποστάσεων (Α.Π.Α.) 3.2.α. 'Αποστάσες μεταξύ τών παραστάσεων Άπό τόν αρχκό πίνακα Χ δημουργήσαμε ενα νέο πίνακα D (34x34) πού θά τόν λέμε πίνακα αποστάσεων γατί τά στοχεία του αποτελούν ενα είδος απόστασης μεταξύ τών εκόνων μέ τήν τοπολογκή έννοα του όρου. Δηλαδή γά κάθε δυνατό ζευγάρ εκόνων ί καί ί', ορίζουμε σάν απόσταση τους τό: 30 d(i,i')= Σ Xi, j-xr.il j=l Ισχύε βέβαα ότ d (ί, Γ) =0 εφόσον Xj_j=X;,- S γά κάθε j=l, 2,...,30. Δηλαδή μόνο δύο παραστάσες πού έχουν ίδα ολα τους τά χαρακτηρστκά έχουν απόσταση ϊση προς τό μηδέν. Μέ βάση έναν τέτοο ορσμό απόστασης, δύο παραστάσες θά «μοάζουν» περσσότερο όσο μκρότερη είνα ή απόσταση τους. Ό πίνακας D είνα συμμετρκός ως προς τή δαγώνο του γατί βέβαα είνα: d (i, i')= d (Γ, i) γά κάθε i, i'=l, 2,..., 34. Κάθε στοχείο της δαγωνίου θά είνα μηδέν γατί d (i, i) = 0 σάν απόσταση της παράστασης i μέ τόν εαυτό της. 'Εκτός άπό τό ότ ό πίνακας τών αποστάσεων D προσφέρε αυτός καθαυτός ουσαστκή πληροφορία γά τίς ομαδοποήσες τών εκόνων, ή παραγοντκή ανάλυση του επβεβαώνε τίς ομαδοποήσες πού προέκυψαν άπό τήν Π.Α.Α.

7 186 Δ. ΔΙΑΛΕΤΗΣ-Μ. -' Α. *"* > ^ "β ~- ^ χ Μ, ' Ι t 18, 21, 3 3 * 3'.-'' Ι 22» 26» ν ν 30 ' """'"Β Είκ. 2. Προβολή στό πρώτο παραγοντκό επίπεδο (Αξονες 1 καί 2) τον σημείων πού άντστοχοον στίς 34 παραστάσες ('Ανάλυση ενός Πίνακα Αποστάσεων). Στην Εκ. 2 παρουσάζετα ή γεωμετρκή παράσταση της προβολής στό πρώτο παραγοντκό επίπεδο (αξονες 1 καί 2) των σημείων πού αντστοχούν στίς 34 παραστάσες. Δακρίνοντα βέβαα πάλ οί ίδες ομάδες. 3.2.β. Αποστάσες μεταξύ των μορφολογκών χαρακτηρστκών Κατά τόν Ιδο τρόπο καί μέ τόν ίδο τύπο απόστασης δημουργήσαμε από τόν αρχκό πίνακα Χ έναν πίνακα αποστάσεων D' (30 x 30), μεταξύ των

8 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΥΣ «ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ» μορφολογκών χαρακτηρστκών αύτη τή φορά. Δύο χαρακτηρστκά έ χουν απόσταση μηδέν αν όλες οί παραστάσες έχουν τήν ίδα κατανομή εμφανίσεων καί απουσών των χαρακτηρστκών αυτών. Ή ανάλυση του πίνακα αύτοϋ υποδεκνύε ώς ξεχωρστή ομάδα χαρακτηρστκών τά οκτώ ήδη γνωστά μας χαρακτηρστκά Δακρτκή 'Ανάλυση (A.A.) Τέλος, εφαρμόζοντας επανελημμένα τή μέθοδο της δακρτκής ανάλυσης στον πίνακα Χ' (34 x 8) καί κατανέμοντας κάθε φορά τίς παραστάσες μέ τυχαίο τρόπο σέ τρες δαφορετκές ομάδες αποδείξαμε γά μά ακόμα φορά δτ τό ποσοστό τών παραστάσεων πού ανήκουν στή σωστή ομάδα (μέ βάση τή δάκρση πού επφέρουν οί 8 δακρτκές μεταβλητές) μεγστοποείτα όταν οί παραστάσες ανήκουν στίς ομάδες πού υπέδεξε ή Π.Α.Α. καί ή Α.Π.Α. Δ. ΔΙΑΛΕΤΗΣ 'Αστρονομκό 'Ινσττούτο Ε.Α.Α. Μ. ΜΕΪΜΑΡΗΣ 'Αγροτκή Τράπεζα της 'Ελλάδος ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ - ΣΥΝΤΟΜΟΓΡΑΦΙΕΣ Ben zécr i, 1971: J.-P. Benzécri, L'analyse des données. Tome I: La taxinomie; TomeII: L'analyse des correspondances, Dunod, Paris. Β 1 a c k i t h - R e y m e n t, 1971 : R. E. Blackith - R. A. Reyment, Multivariate morphometries. Academic Press, London-New York. Dialétis-Meïmaris, 1979 : D. Dialetis - M. Meïmaris, Elaboration d'un modèle de segmentation, Cahiers de l'analyse des Données IV, 4. Dunod, Paris. Ν. Χατζηδάκη, 1983, Γέννηση Παναγίας - Γέννηση Προδρόμου. Παραλλαγές καί αποκρυστάλλωση ενός θέματος στην κρητκή εκονογραφία τοϋ 15ου-16ου αιώνα, ΔΧΑΕ, περ. Δ', τ. ΙΑ' ( ), σ

9 188 Δ. ΔΙΑΛΕΤΗΣ-Μ. ΜΕΪΜΑΡΗΣ RÉSUMÉ ÉVALUATION D'UNE TAXINOMIE DE LTCONOGRAPHIE BYZANTINE D'APRÈS QUELQUES CARACTÉRISTIQUES FORMELS. TRAITEMENT DES DONNÉES RELATIVES AUX 34 REPRÉSENTATIONS Cette étude porte sur la possibilité de l'utilisation des méthodes de l'analyse des données pour la taxinomie de 34 représentations étudiées par Th. Chatzidakis dans l'article, d'origine et de datation différente, d'après un nombre restreint de caractéristiques formels. Le tableau principal des données comportait 34 lignes et 30 colonnes qui correspondent respectivement aux 34 représentations et aux 30 caractéristiques choisis pour la description de chacune (Th. Chatzidakis, sch. I). Pour l'étude de ce tableau nous avons utilisé l'analyse factorielle des correspondances (Fig. 1). Les regroupements obtenus correspondent aux variantes d'un modèle iconographique commun. Pour tester ces regroupements nous avons créé un tableau des distances qui calcule le degré de similitude entre les différentes représentations (Fig. 2). L'analyse de ce tableau met au point les mêmes regroupements. En plus nous avons montré qu'un nombre restreint de huit caractéristiques suffit pour l'évaluation de cette taxinomie. La valeur discriminante de ces huit caractéristiques (traits 6, 13 A, IIA, IIB, 8 Β, UE, 7, 5Β) a été confirmée par la méthode de l'analyse discriminante. D. DIALÉTIS - M. MÉIMAMS