Λφςεισ των θεμάτων ΠΑΡΑΚΕΤΘ 20 MAΪΟΤ 2016 ΜΑΘΘΜΑΣΙΚΑ ΚΑΙ ΣΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣΙΣΙΚΘ ΓΕΝΙΚΘ ΠΑΙΔΕΙΑ

Transcript

1 ΡΟΛΥΤΘΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ Γ ΤΞΘΣ ΘΜΕΘΣΙΟΥ ΓΕΝΙΟΥ ΛΥΕΙΟΥ Ι ΡΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ Γ ΤΞΘΣ ΕΡΛ (ΟΜΔ Β ) ΜΘΘΜΣΙ Ι ΣΟΙΧΕΙ ΣΣΙΣΙΘ ΓΕΝΙΘ ΠΙΔΕΙ ΠΡΕΤΘ 0 MAΪΟΤ 016 Λφςεισ τω θεμάτω Ζκδοςη 1 η (0/05/016, 16:00)

2 Οι απατιςεισ και οι λφςεισ είαι αποτζλεςμα ςυλλογικισ δουλειάσ τω Επιμελθτώ τω φακζλω του Λυκείου του Δικτυακοφ Τόπου mathematca.gr με βάςθ υλικό που ααρτικθκε ςτο mathematca υεργάςτηκα οι: δρζασ Βαρβεράκθσ, πφροσ Βαςιλόπουλοσ, Βαςίλθσ ακαβάσ, Γιώργθσ αλακάκθσ, Φωτειι αλδι, πφροσ αρδαμίτςθσ, Νίκοσ ατςίπθσ, Χριςτοσ υριαηισ, τάκθσ οφτρασ, Γρθγόρθσ ωςτάκοσ, Θάοσ Μάγκοσ, Βαγγζλθσ Μουροφκοσ, Ροδόλφοσ Μπόρθσ Μίλτοσ Παπαγρθγοράκθσ, Λευτζρθσ Πρωτοπαπάσ, Γιώργοσ Ρίηοσ, Γιώργοσ Ροδόπουλοσ, Μπάμπθσ τεργίου, ωτιρθσ τόγιασ, λζξαδροσ υγκελάκθσ, ώςτασ Σθλζγραφοσ, Χριςτοσ Σςιφάκθσ Το Δελτίο διατίκεται ελεφκερα από το δικτυακό τόπο mathematca.gr

3 ΠΝΕΛΛΘΝΙΕ ΕΞΕΣΕΙ Γ ΣΞΘ ΘΜΕΡΘΙΟΤ ΓΕΝΙΟΤ ΛΤΕΙΟΤ Ι ΕΠΛ (ΟΜΔ Β ) ΠΡΕΤΘ 0 MAΪΟΤ 016 ΕΞΕΣΗΟΜΕΝΟ ΜΘΘΜ: ΜΘΘΜΣΙ Ι ΣΟΙΧΕΙ ΣΣΙΣΙΘ ΓΕΝΙΘ ΠΙΔΕΙ ΘΕΜ 1. A και είαι δφο ςυμπλθρωματικά εδεχόμεα εόσ δειγματικοφ χώρου Ω, α αποδείξετε ότι για τισ πικαότθτζσ τουσ ιςχφει ( ) 1 ().. Να δώςετε το οριςμό τθσ διαμζςου (δ) εόσ δείγματοσ παρατθριςεω. Μοάδεσ 7 Μοάδεσ 3. Ζςτω f μία ςυάρτθςθ με πεδίο οριςμοφ το A. Ρότε λζμε ότι θ ςυάρτθςθ f παρουςιάηει τοπικό ελάχιςτο ςτο x0 A. Μοάδεσ. Να χαρακτθρίςετε τισ προτάςεισ που ακολουκοφ, γράφοτασ ςτο τετράδιό ςασ, δίπλα ςτο γράμμα που ατιςτοιχεί ςε κάκε πρόταςθ, τθ λζξθ ωςτό, α θ πρόταςθ είαι ςωςτι, ι Λάθοσ, α θ πρόταςθ είαι λακαςμζθ. α) A και B είαι δφο εδεχόμεα εόσ δειγματικοφ χώρου Ω με A B τότε για τισ πικαότθτζσ τουσ ιςχφει () (B). β) Ο ςτακμιςμζοσ αρικμθτικόσ μζςοσ ι ςτακμικόσ μζςοσ είαι μζτρο διαςποράσ. γ) οι ςυαρτιςεισ f και g είαι παραγωγίςιμεσ, τότε ιςχφει ότι (f(x) g(x)) f (x) g(x) f(x) g (x). δ) Το ραβδόγραμμα χρθςιμοποιείται για τθ γραφικι παράςταςθ τω τιμώ μιασ ποιοτικισ μεταβλθτισ. ε) μία ςυάρτθςθ f είαι παραγωγίςιμθ ςε ζα διάςτθμα Δ και ιςχφει f (x) 0 για κάκε εςωτερικό ςθμείο του Δ, τότε θ f είαι γθςίωσ φκίουςα ςτο Δ. Μοάδεσ 10 ΠΝΣΘΕΙ 1. Σχολικό Βιβλίο ςελ Σχολικό Βιβλίο ςελ Σχολικό βιβλίο ςελ. 1 (β περίπτωςθ ). α) ωςτό, Σχολικό Βιβλίο ςελ.151, Θεώρθμα β) Λάθοσ, Σχολικό Βιβλίο ςελ. 87 γ) ωςτό, Σχολικό Βιβλίο ςελ. 31 δ) ωςτό, Σχολικό Βιβλίο ςελ. 67 ε) Λάθοσ, Σχολικό Βιβλίο ςελ. 0 3

4 ΘΕΜ Β 3 x 5 Δίεται θ ςυάρτθςθ f με τφπο f(x) x 6x 1, x. 3 Β1. Να βρείτε τα ακρότατα τθσ ςυάρτθςθσ f. Μοάδεσ 9 Β. Να βρείτε τθ εξίςωςθ τθσ εφαπτομζθσ τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ ςυάρτθςθσ f ςτο ςθμείο τθσ A(0,f(0)). Μοάδεσ 8 Β3. Να υπολογίςετε το όριο f (x) 1 lm. x 1 x1 Μοάδεσ 8 ΛΤΘ: Β1. Θ f ωσ πολυωυμικι είαι παραγωγίςιμθ ςτο, με f (x) 0 x ι x 3 Είαι f (x) 0 x 3 f (x) 0 x ι x 3 f (x) x 5x 6. Συεπώσ για τθ ςυάρτθςθ f ιςχφει f () 0, f (x) 0 x 3 ςτο (,) και f (x) 0 ςτο (,3) άρα θ f παρουςιάηει για x τοπικό μζγιςτο. Πμοια, αφοφ f (3) 0, f (x) 0 ςτο (,3) και f (x) 0 ςτο (3, ) άρα θ f παρουςιάηει για x 3 τοπικό ε- λάχιςτο. f (x) f(x) T.M. T.E. Β. Ζςτω y λx β θ εξίςωςθ εφαπτομζθσ ςτο ςθμείo 0,f(0). Θ εφαπτομζθ τθσ καμπφλθσ τθσ f ςτο ςθμείο τθσ με x 0 ζχει ςυτελεςτι διεφκυςθσ λ f (0) 6. Επομζωσ θ εξίςωςι τθσ είαι y 6x β. Επειδι όμωσ το ςθμείο (0,f(0)), δθλαδι το (0, 1), αικει ςτθ εφαπτομζθ, ζχουμε 1 60β β 1 Άρα, θ εξίςωςθ τθσ εφαπτομζθσ είαι y 6x 1. Β3. f (x) 1 x 5x 6 1 x 5x 6 (x 1)(x 6) lm lm lm lm lm(x 6) 7 x 1 x 1 x 1 x 1 x1 x1 x1 x1 x1

5 ΘΕΜ Γ Μεταξφ τω οικογεειώ με τρία παιδιά επιλζγουμε τυχαία μία οικογζεια και εξετάηουμε τα παιδιά τθσ ωσ προσ το φφλο και τθ ςειρά γζθςισ τουσ. Γ1. Να προςδιορίςετε το δειγματικό χώρο Ω του πειράματοσ χρθςιμοποιώτασ ζα δεδροδιάγραμμα. Μοάδεσ Γ. Να παραςτακοφ με ααγραφι τω ςτοιχείω τουσ, τα εδεχόμεα που προςδιορίηοται από τθ ατίςτοιχθ ιδιότθτα: : «το πρώτο παιδί είαι κορίτςι» Β: «ο αρικμόσ τω κοριτςιώ υπερβαίει το αρικμό τω αγοριώ» Γ: «τα δφο πρώτα παιδιά είαι του ίδιου φφλου» Γ3. Υποκζτουμε ότι ο δειγματικόσ χώροσ Ω αποτελείται από ιςοπίκαα απλά εδεχόμεα. α) Να υπολογίςετε τθ πικαότθτα τω παρακάτω εδεχομζω: Δ Β, Ε Β, Η Γ Ε β) Να υπολογίςετε τθ πικαότθτα τω παρακάτω εδεχομζω: Θ: «δε πραγματοποιείται καζα από τα,β» Θ: «πραγματοποιείται ακριβώσ ζα από τα,β» Μοάδεσ 6 (μοάδεσ 9) (μοάδεσ 6) Μοάδεσ 15 ΛΤΘ: Γ1. Το παραπάω πείραμα τφχθσ περιλαμβάει 3 ςτάδια (όςα και τα παιδιά που ζχει θ οικογζεια). αταςκευάηουμε το διπλαό δεδροδιάγραμμα και διαβάηοτασ κάκε μία από τισ διαδρομζσ κάκε «κλαδιοφ» προςδιορίηουμε το δειγματικό χώρο Ω. Ω,,,,,,, Γ. Το εδεχόμεο : «το πρώτο παιδί είαι κορίτςι» είαι το,,, Το εδεχόμεο Β: «ο αρικμόσ τω κοριτςιώ υπερβαίει το αρικμό τω αγοριώ» είαι το Β,,, Τζλοσ, το εδεχόμεο Γ: «τα δφο πρώτα παιδιά είαι του ίδιου φφλου» είαι το Γ,,, ρχή 1 ο παιδί ο παιδί 3 ο παιδί X 5

6 Γ3. N(Δ) 3 με P(Δ) N(Ω) 8 α) Είαι Δ Β,, N(Ε) 5 και P(Ε) N(Ω) 8 Είαι Ε Β,,,, N(Η) 1 και P(Η) N(Ω) 8 Είαι ΗΓ Ε, β) Το εδεχόμεο Θ: «δε πραγματοποιείται καζα από τα,β» είαι το Θ Β, άρα 5 3 P(Θ) P Β 1-P Β Το εδεχόμεο Θ: «πραγματοποιείται ακριβώσ ζα από τα,β» είαι το Θ -Β Β- και επειδι τα εδεχόμεα A B και B A είαι αςυμβίβαςτα, ζχουμε P(Θ) P -ΒΒ- P -Β PΒ- PPΒ P Β διότι N() 1 N(Β) 1 P() και P(Β). N(Ω) 8 N(Ω) 8 ΘΕΜ Δ Οι χρόοι (ςε λεπτά) που χρειάςτθκα υπολογιςτζσ για α τρζξου ζα πρόγραμμα, ζχου ομαδοποιθκεί ςε ιςοπλατείσ κλάςεισ πλάτουσ c, όπωσ ςτο παρακάτω πίακα. Χρόοσ ςε λεπτά ετρική τιμή x υχότητα [8,...) 0 [...,...) 1 15 [...,...) 10 [...,...) v ΤΝΟΛΟ v... v Δ1. Να αποδείξετε ότι c. Μοάδεσ Δ. θ μζςθ τιμι τω χρόω είαι x 1, α αποδείξετε ότι v 5 (μοάδεσ ) και ςτθ ςυζχεια α μεταφζρετε ςτο τετράδιό ςασ το παραπάω πίακα κατάλλθλα ςυμπλθρωμζο (μοάδεσ ). Μοάδεσ 6 6

7 Δ3. οι παρατθριςεισ είαι ομοιόμορφα καταεμθμζεσ ςε κάκε κλάςθ, α βρείτε πόςοι υπολογιςτζσ χρειάςτθκα τουλάχιςτο 9 λεπτά για α τρζξου το πρόγραμμα. Μοάδεσ 5 Δ. Να αποδείξετε ότι θ τυπικι απόκλιςθ τω χρόω είαι s και α εξετάςετε α το δείγμα τω χρόω είαι ομοιογεζσ. Μοάδεσ 6 Δ5. τικακιςτοφμε το επεξεργαςτι κάκε υπολογιςτι με ζα ταχφτερο και βρίςκουμε ότι κάκε υπολογιςτισ τρζχει τώρα ςτο 80% του χρόου που χρειαηότα πρι. Να εξετάςετε ωσ προσ τθ ομοιογζεια το καιοφργιο δείγμα χρόω. Μοάδεσ ΛΤΘ: Δ1. Οι δφο πρώτεσ κλάςεισ είαι οι Δ. οπότε 8 c 8 c 16 3c [8, 8c), [8 c, 8 c) και x, 16 3c c 3c c 1 c. λάςεισ [, ) Χρόοσ (ςε λεπτά) ετρική τιμή x υχότητα x [8, 1) [1, 16) [16, 0) [0, ) v ΣΥΝΟΛΟ v Ιςχφει ότι: x 1 x, οπότε (5 )

8 Συεπώσ ο πίακασ ςυχοτιτω είαι ο παρακάτω: λάςεισ [, ) Χρόοσ (ςε λεπτά) ετρική τιμή x υχότητα [8, 1) [1, 16) [16, 0) [0, ) ΣΥΝΟΛΟ Δ3. Οι υπολογιςτζσ που χρειάςτθκα τουλάχιςτο 9 λεπτά αικου ςτο διάςτθμα [9,1) και ςτισ κλάςεισ [1,16), [16,0), [0,). Επειδι ςτθ κλάςθ [8,1) οι παρατθριςεισ καταζμοται ομοιόμορφα, το πλικοσ τω υπολογιςτώ 3 ςτο διάςτθμα [9,1) είαι ίςο με 1.Επομζωσ ζχουμε: , δθλαδι 5 υπολογιςτζσ χρειάςτθκα τουλάχιςτο 9 λεπτά για α τρζξου το πρόγραμμα. x Δ. Ιςχφει ότι: οπότε s s (x x) 1 (10 1) 0 (1 1) 15 (18 1) 10 ( 1) , άρα s s 16. O ςυτελεςτισ μεταβολισ είαι: , s 1 CV, x αφοφ που ιςχφει Συεπώσ το δείγμα δε είαι ομοιογεζσ. Δ5. Εά x είαι οι αρχικοί χρόοι επεξεργαςίασ του προγράμματοσ και y οι ατίςτοιχοι ζοι χρόοι μετά τθ ατικατάςταςθ του επεξεργαςτι με ταχφτερο, τότε για τουσ ζουσ χρόουσ ιςχφει: y 0,8x 8

9 πό εφαρμογι του ςχολικοφ βιβλίου, για τθ ζα μζςθ τιμι y και τυπικι απόκλιςθ s y τω χρόω y ιςχφει y 0,8x και s y 0,8 s 0,8s, οπότε ο ατίςτοιχοσ ςυτελεςτισ μεταβολισ είαι: CV s 0,8s s 1 y 0,8x x 7 10 y y CV. Επομζωσ και το ζο δείγμα δε είαι ομοιογεζσ. ΛΛΕ ΛΤΕΙ: Β. πό το τφπο y f(0) f (0)(x 0) που διδάςκεται ςτα Μακθματικά Ρροςαατολιςμοφ, θ εξίςωςθ εφαπτομζθσ είαι y ( 1) 6x y 6x 1 Β3. Ραρατθροφμε ότι f ( 1) 1 και επειδι θ ςυάρτθςθ f (x) x 5x 6 είαι παραγωγίςιμθ ωσ πο- f (x) f ( 1) λυωυμικι, άρα το ηθτοφμεο όριο που γράφεται lm, είαι θ δεφτερθ παράγωγοσ τθσ x 1 x ( 1) f ςτο 1. Επειδι f (x) x 5 άρα f ( 1) 5 7, το ηθτοφμεο όριο είαι ίςο με 7. Γ3. β) Μποροφμε α υπολογίςουμε τα εδεχόμεα H και Θ με ααγραφι τω ςτοιχείω τουσ και ζτςι α βροφμε τθ ατίςτοιχθ πικαότθτα α πραγματοποιθκοφ. Ρράγματι, επειδι H A B',,,, ' AKA,AAK,AAA άρα Ν(Θ) 1 άρα P(Θ). Ν(Ω) 8 επειδι Θ ΒB A KAA AKK KAA,A KK N(H) 3 P(H) και N(Ω) 8 Δ. Για τθ εφρεςθ του s μποροφμε α χρθςιμοποιιςουμε το τφπο και το παρακάτω βοθκθτικό πίακα λάςεισ ετρική [, ) τιμή x s 1 x 1 v 1 υχότητα v vx v v x v x [8, 1) [1, 16) [16, 0) [0, ) ΣΥΝΟΛΟ

10 Ζτςι, είαι απ όπου s =. v vx v s x Δ. Πίακασ για το υπολογιςμό του s (x x) 1 : λάςεισ ετρική υχότητα x x x x x x v [, ) τιμή x v [8, 1) [1, 16) [16, 0) [0, ) ΣΥΝΟΛΟ