SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD"

Transcript

1 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujna Mario Aračić

2 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Proračun otpornosti elemenata izloženih savijanju i tlačnoj sili prema Metodi 1 Osijek, 15. rujna Mario Aračić

3 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZNANSTVENO PODRUČJE: ZNANSTVENO POLJE: ZNANSTVENA GRANA: TEMA: PRISTUPNIK: TEHNIČKE ZNANOSTI GRAĐEVINARSTVO METALNE KONSTRUKCIJE PRORAČUN OTPORNOSTI ELEMENATA IZLOŽENIH SAVIJANJU I TLAČNOJ SILIPREMA METODI 1 MARIO ARAČIĆ sveučilišni preddiplomski studij U radu je potrebno opisati problem otpornosti elemenata izloženih savijanju i tlačnoj sili prema Metodi 1 te opisanu problematiku primijeniti na primjeru proračuna čelične konstrukcije. Proračunom je potrebno provesti dokaz nosivosti svih elemenata uz maksimalnu iskoristivost istih. Za usporedbu izraza Metode 1 navedeni su izrazi za proračun prema Metodi 2. Osijek,15. rujna Mentor: završne i diplomske ispite: Predsjednik Odbora za prof.dr.sc. Damir Markulak, dipl.ing.građ izv.prof.dr.sc. Mirjana Bošnjak-Klečina dipl.ing.građ.

4 SADRŽAJ 1 Uvod Element opterećen uzdužnom tlačnom silom Pojam kritične sile Eulerov kritični napon Otpornost tlačnog elementa Izvijanje savijanjem realnog konstrukcijskog elementa Izvijanje torzijom i savijanjem sa torzijom Element opterećen momentom savijanja Element opterećen momentom savijanja i uzdužnom tlačnom silom Opća razmatranja Otpornost poprečnog presjeka Utjecaj sekundarnog momenta Teorija II. reda Povijest interakcijskih izraza Element opterećen momentom savijanja i uzdužnom vlačnom silom Otpornost elementa izloženog istovremenom savijanju i tlačnoj sili prema EN Proračun nosivosti elemenata izloženih savijanju i tlačnoj sili prema Metodi Proračun nosivosti elemenata izloženih savijanju i tlačnoj sili prema Metodi Proračun nosivosti elemenata izloženih savijanju i tlačnoj sili prema britanskim standardima 37 7 Proračun čelične konstrukcije prema EN Podatci o konstrukciji i analiza opterećenja Proračun otpornosti elementa STUP Proračun otpornosti elementa STUP Proračun otpornosti elementa STUP Proračun otpornosti elementa GREDA Proračun otpornosti elementa GREDA Zaključak Popis literature Popis slika Popis tablica Aračić, Mario I

5 1 Uvod U elementima realne konstrukcije je istovremena pojava momenta savijanja i uzdužne sile gotovo uvijek prisutna. Ukoliko je uzdužna tlačna sila dosta izraženija, a moment savijanja niske vrijednosti element se promatra kao stup, u suprotnom slučaju element se promatra kao greda. Predmet ovog rada najvećim će dijelom biti slučaj kada su obje veličine značajno izražene i tada koristimo termin stupgreda. Takvi elementi podvrgnuti su kombinaciji tlačnih, vlačnih i naprezanja od momenta savijanja te moraju osigurati prostornu (globalnu) sigurnost uz lokalnu stabilnost uslijed izbočavanja pločastih elemenata. Ipak, da bi mogli shvatiti ovu kompleksnu pojavu bitno je shvatiti ponašanje elementa kada je opterećen samo uzdužnom tlačnom silom odnosno momentom savijanja o čemu će biti govora u narednim poglavljima. Ponašanje stup-greda je predmet proučavanja dužni niz godina. Iako ova problematika nije potpuno razjašnjena proračunske metode su najvećim dijelom temeljene na empirijskim formulama. U tradicionalnim pristupima granična elastična stanja su korištena kao osnova proračunskih metoda. Nedavni razvoj pristupa preko graničnih stanja posebnu je pozornost usmjerio na dva zahtjeva: točne informacije o ponašanju konstrukcije pri maksimalnom opterećenju u kojem plastično ponašanje mora biti uzeto u obzir te jednostavne instrukcije pomoću kojih inženjeri mogu ocijeniti ponašanje elemenata i čitave konstrukcije. Većina današnjih standarda odvojeno promatra elemente konstrukcije pri proračunu. Istraživanja MacPhedrana i Grondina godine pokazala su da interakcijske formule u nekim rijetkim, ali mogućim slučajevima ne pokrivaju dovoljno interaktivno van-ravninsko izvijanje dok bi sagledavanje elementa kao dio cijele konstrukcije polučilo preciznije rezultate, a Massonnet je prije više od tri desetljeća izjavio: izolirane stup-grede...postoje samo u teorijskim modelima i testnim uređajima. Ovo samo ostavlja prostor daljnjem proučavanju čeličnih elemenata i konstrukcija te poboljšanju trenutnih izraza s ciljem sigurnosti konstrukcije. Primjena zadnjih standarda na ovim prostorima (Eurocode) bit će prikazana u sedmom poglavlju ovog rada na primjeru proračuna čelične konstrukcije predviđene za rad trgovine. Aračić, Mario 1

6 2 Element opterećen uzdužnom tlačnom silom Element opterećen samo uzdužnom tlačnom silom u realnim konstrukcijama pojavljuje se u vrlo malom broju slučajeva, ali usprkos tome potrebno ih je detaljno razmatrati jer tlačni konstrukcijski elementi predstavljaju elementarni slučaj koji pomaže razumijevanju učinku tlaka u ponašanju elemenata opterećenih kombinacijom tlačne sile i momenta savijanja. Budući da je većina ovakvih konstrukcijskih elemenata vrlo vitka oni otkazuju izvijanjem. S ciljem što boljeg razumijevanja ponašanja tlačnih konstrukcijskih elemenata potrebno je objasniti osnovne pojmove vezane uz problem stabilnosti ovakvih konstrukcijskih elemenata. 2.1 Pojam kritične sile Centrično opterećen idealno ravan štap, koji se izvija u slučaju malih deformacija s najnižom vlastitom vrijednosti, daje izraz za Eulerovu kritičnu silu izvijanja: N cr = π2 E I L cr 2 (2.1) Uz pretpostavke: - važi Bernoullijeva hipoteza ravnih presjeka - deformacije su male veličine - osnovni materijal je izotropan - nema vlastitih napona - os štapa je idealno ravna - djelovanje sile je idealno u težištu presjeka štapa - materijal je idealno elastičan (važi Hookeov zakon) Lcr u formuli 2.1. može se definirati kao dužina izvijanja i predstavlja razmak točaka infleksije elastične linije u trenutku dostizanja kritične sile izvijanja Ncr. Izvijanje dvozglobnog konstukcijskog elementa predstavlja elementarni slučaj teorije izvijanja. Međutim, drugačiji uvjeti oslanjanja tlačnog konstrukcijskog elementa bitno utječu na vrijednost kritične sile. Dužina izvijanja daje se u odnosu na dužinu promatranog konstrukcijskog elementa. Ovaj odnos obuhvaćen je faktorom efektivne dužine k. k = L cr L (2.2) 2.2 Eulerov kritični napon Eulerov kritični napon može se definirati kao omjer kritične sile Ncr i površine poprečnog presjeka promatranog konstrukcijskog elementa A, prema sljedećem izrazu: σ cr = N cr A = π2 E I L cr 2 A (2.3) Aračić, Mario 2

7 Uvođenjem radijusa inercije, i=(i/a) 0,5, i vitkosti λ=lcr/i, izraz (2.3) poprima sljedeći oblik: σ cr = π2 E λ 2 (2.4) Prikaz krivulje σ cr kao funkcije vitkosti λ, (slika 2.1.), s linijom koja predstavlja idealno plastično ponašanje σ=fy, daje idealizirana područja koja predstavljaju otkazivanje izvijanjem kao i otkazivanje tečenjem. Slika 2.1. Eulerova krivulja izvijanja i načini otkazivanja Točka P u kojoj se sijeku Eulerova krivulja izvijanja i linija koja predstavlja idealno plastično ponašanje predstavlja maksimalnu teoretsku vrijednost vitkosti konstrukcijskog elementa izloženog tlačnom naprezanju do granice popuštanja fy. Ova granična vitkost, kada je Eulerov kritični napon σ cr jednak granici popuštanja čelika, dana je izrazom: λ 1 = π E f y = 93,9 ε (2.5) Uz ε=(2335/fy) 0,5 izraz (2.5) poprima oblik primjenjiv za sve kvalitete čelika: λ 1 = 93,9 ε (2.6) Slika 2.1. može se prikazati i u bezdimenzijskom obliku (slika 2.2). Ako se Eulerov kritični napon podijeli s granicom popuštanja (σ cr /ff yy ) i vitkost s graničnom vitkosti (λ/λ 1 ). Ovakav bezdimenzijski pristup Aračić, Mario 3

8 vrlo je praktičan budući da omogućava primjenu na konstrukcijske elemente različitih vitkosti i kvalitete materijala. Ovaj oblik usvojen je i za europske krivulje izvijanja. Slika 2.2. Bezdimenzijska krivulja izvijanja 2.3 Otpornost tlačnog elementa Elementi izloženi tlačnoj sili mogu se klasificirati prema njihovoj dužini odnosno vitkosti. Kratki elementi otkazuju iscrpljenjem otpornosti poprečnog presjeka odnosno gnječenjem (slika 2.3.a). Njihova je otpornost jednaka jednaka tlačnoj otpornosti poprečnog presjeka. Dugački ili vitki elementi otkazuju izvijanjem (slika 2.3.b). Sila kod koje se događa ovakvo otkazivanje manja je nego u slučaju otkazivanjem gnječenjem kratkog elementa i ovisi o stupnju njegove vitkosti. Stup I poprečnog presjeka pod djelovanjem uzdužne tlačne sile N, s jednakim dužinama izvijanja oko glavnih osi poprečnog presjeka, otkazuje izvijanjem oko slabije z-z osi (slika 2.3.c). Dakle, otpornost takvih elemenata ovisi o njihovoj otpornosti na izvijanje. Otpornost elementa na izvijanje, stupa odnosno štapa izloženog djelovanju uzdužne tlačne sile, funkcija je njegove vitkosti, granice popuštanja čelika, oblika poprečnog presjeka i načina proizvodnje profila. Aračić, Mario 4

9 Slika 2.3. Ponašanje konstrukcijskog elementa izloženog djelovanju uzdužne tlačne sile 2.4 Izvijanje savijanjem realnog konstrukcijskog elementa Realno ponašanje čeličnih kontrukcijskih elemenata se uvelike razlikuje od idealiziranog ponašanja elemenata. Općenito, konstrukcijski element otkazuje neelastičnim izvijanjem prije dosezanja Eulerove sile izvijanja zbog različitih imperfekcija sadržanih u realnom konstrukcijskom elementu. Imperfekcije realnih konstrukcija možemo razvrstati u nekoliko skupina: - geometrijske imperfekcije, početno odstupanje od idealno ravnog konstrukcijskog elementa, neparalelne pojasnice, asimetrija poprečnog presjeka itd. - materijalne imperfekcije, rezidualni naponi (uzrokovani valjanjem profila ili zavarivanjem kod zavarenih presjeka) ili neelastičnosti materijala (očvršćivanje) - odstupanje uzdužnih sila koje djeluju na konstrukcijski element od idealnog položaja zbog nesavršenosti spojeva, tolerancije izvedbe itd. Sve imperfekcije utječu na izvijanje i prema tome na krajnju otpornost konstrukcijskog elementa. Ispitivanja su pokazala da učinak imperfekcije najviše pogađa elemente srednje vitkosti koji su ujedno i najučestalija izvedba konstrukcijskih elemenata. Ponašanje takvih elemenata srednje vitkosti u velikoj mjeri odstupa od Eulerove teorije. U trenutku izvijanja neka od vlakanaca poprečnog presjeka već su dosegnula granicu popuštanja i krajnja sila otkazivanja nije jednostavna funkcija vitkosti. Početno odstupanje od idealno ravnog konstrukcijsko elementa, e0, ima za posljedicu moment savijanja N e0, odnosno maksimalno naprezanje od savijanja σb, slika 2.4. Aračić, Mario 5

10 Slika 2.4. Učinak geometrijskih imperfekcija Naprezanja uslijed savijanja σb mogu se zbrojiti s naprezanjima od uzdužne sile σn, i rezidualnim naprezanjima σr, tako dobijemo raspodjelu naprezanja prikazanu na slici 2.5. Slika 2.5 Raspodjela naprezanja po poprečnom presjeku Ukoliko je σmax veći od granice popuštanja, konačna raspodjela će biti djelomično plastična i dio poprečnog presjeka u tlaku teče. (slika 2.6.) Aračić, Mario 6

11 Slika 2.6. Djelomično tečenje tlačnog konstrukcijskog elementa 2.5 Izvijanje torzijom i savijanjem sa torzijom U prethodnim razmatranjima problema izvijanja savijanjem pretpostavljeno je bilo da se element ne može zakretati oko uzdužne osi. U praksi ovaj uvjet nije u potpunosti zadovoljen. U slučaju konstrukcijskih elemenata koji se mogu zakretati oko uzdužne osi mogu biti mjerodavna otkazivanja stabilnosti prikazana na slici 2.7. Slika 2.7. Problemi stabilnosti tlačnih konstrukcijskih elemenata Aračić, Mario 7

12 Kao i u slučaju izvijanja savijanjem, ovi problemi stabilnosti predstavljaju problem račvanja ravnoteže. U indiferentnom ravnotežnom stanju konstrukcijski element nalazi se u bliskom stabilnom ravnotežnom položaju pri čemu je poprečni presjek pretrpio pomak i istovremeno zakretanje oko uzdužne osi. Izvijanje torzijom i izvijanje savijanjem sa torzijom neće dati kritičnu silu manju od izvijanja savijanjem u slučaju dvoosnog simetričnog presjeka I i H pod uvjetom da su obje pojasnice pridržane na mjestima bočnih pridržanja te u slučaju zatvorenih poprečnih presjeka. Međutim, u nekim određenim slučajevima, izvijanje torzijom ili izvijanje savijanjem sa torzijom može dati kritičnu silu manju od kritične sile u slučaju izvijanja savijanjem, osobito za otvorene poprečne presjeke. 3 Element opterećen momentom savijanja Puni metalni nosači su najčešće izloženi djelovanju vanjskih sila koje izazivaju savijanje oko jače osi inercije. Savijanje oko slabije osi je uglavnom manjeg intenziteta ili ga uopće nema. Zbog toga se uglavnom koriste I presjeci, kod kojih je krutost na savijanje oko jače osi Iy znatno veća od krutosti na savijanje oko slabije osi Iz. Geometrijske karakteristike nosača I presjeka prilagođene su dakle vanjskim utjecajima. Osim toga, nosači I presjeka spadaju u tankostjene nosače otvorenog poprečnog presjeka pa je njihova torzijska krutost veoma mala. Pošto je torzijska krutost, kao i krutost na savijanje oko slabije osi inercije jako mala, ovakvi nosači su veoma osjetljivi na bočna pomicanja i rotaciju oko centra posmika. Ako promatramo konzolni nosač opterećen na savijanje oko jače osi inercije (slika 3.1), može se uočiti da uslijed opterećenja malog intenziteta dolazi do pomicanja nosača samo u ravnini opterećenja. Slika 3.1. Deformiranje konzolnog nosača opterećenog savijanjem Međutim, pri daljnjem povećanju opterećenja, kada ono dostigne kritičnu vrijednost, dolazi do bočnog pomjeranja tlačnog dijela nosača, praćenog torzijskom rotacijom (uvijanjem nosača). Na ovaj način nosač gubi svoju funkciju, odnosno doživljava lom, prije dostizanja svoje pune nosivosti definirane plastifikacijom poprečnog presjeka. (slika 3.2) Aračić, Mario 8

13 Slika 3.2. Puna plastifikacija poprečnog presjeka Ovaj fenomen gubitka stabilnosti nosača naziva se bočno-torzijsko izvijanje. Kako je kod elemenata opterećenih na čisto savijanje naponski dijagram, shodno Bernoullijevoj hipotezi, linearan, samo je polovina nosača opterećena na tlak. Međutim, pošto su nosači monolitni, pritisnuta polovica nosača ne može samostalno da se izvije okomito na slabiju os inercije. Preostala vlačna polovica presjeka sprječava njegovo slobodno izvijanje pa dolazi i do rotacije poprečnog presjeka. Prema tome, problem bočnog torzijskog izvijanja ne može se tretirati kao prosto izvijanje tlačnog dijela nosača, već se mora uzeti u obzir i utjecaj torzije na njegovu stabilnost. Problem bočnog torzijskog izvijanja prvi je obradio Timoshenko, koji je ujedno i uspostavio teoriju linearnog elastičnog bočno-torzijskog izvijanja. On je razmatrao problem bočnog-torzijskog izvijanja na prostoj gredi opterećenoj na čisto savijanje. Rezultati su pokazali da čisto savijanje u nedeformiranom položaju, pri njegovom deformiranju prelazi u koso savijanje. Problem savijanja oko slabije osi (bočno savijanje) u vezi je sa torzijskim naprezanjem nosača pa se rješavanjem ovog složenog problema dobiva vrijednost kritičnog momenta bočnog-torzijskog izvijanja Mcr. U deformiranom položaju nosača torzija nosača potiče od promjene položaja ravnina poprečnog presjeka. Vektor momenta savijanja My, koji djeluje na krajevima nosača u ravnini poprečnog presjeka, u proizvoljnom poprečnom presjeku zadržava svoj položaj (ostaje paralelan sa y-y osi). Uslijed rotacije nosača ravnina promatranog poprečnog presjeka više nije paralelna sa ravninom u kojoj leži moment My pa se vektor momenta savijanja razlaže na dvije komponente, jednu koja leži u ravnini poprečnog presjeka deformiranog nosača i drugu koja je okomita na ravninu poprečnog presjeka. Ova druga komponenta predstavlja moment torzije MT. Rješavanjem diferencijalnih jednadžbi dobiva se izraz za kritičan moment savijanja pri kojem dolazi do gubitka stabilnosti nosača uslijed bočnog-torzijskog izvijanja: M cr = π2 l 2 EI Z I ω I Z + l2 π 2 GI t EI Z (3.1) Aračić, Mario 9

14 Gdje je: Mcr - idealni moment bočnog izvijanja E - modul elastičnosti G - modul posmika IZ - moment površine drugog stupnja oko slabije z-osi IW - moment površine drugog stupnja kod krivljenja - moment površine drugog stupnja kod torzije It Ovaj izraz odnosi se samo na nosače sa opterećenjem i uvjetima oslanjanja prikazanim na slici 3.3. Slika 3.3. Opterećenje i uvjeti oslanjanja za osnovni slučaj U praksi se, međutim, ovakvi slučajevi opterećenja, a posebno oslanjanja gotovo i ne pojavljaju. Nosači su uglavnom izloženi djelovanju poprečnog opterećenja, koja izazivaju promjenjiv momentni dijagram. Problemom bočno-torzijskog izvijanja ovakvih nosača bavili su se mnogi istraživači. Clart, Hill i Djalaly su došli do općeg izraza za kritičan moment bočno-torzijskog izvijanja. M cr = C 1 π 2 EI Z (k l) 2 k k ω I ω I Z + (k l)2 GI t π 2 EI Z + (C 2 Z g C 3 Z j ) 2 C 2 Z g C 3 Z j (3.2) Gdje je: C1,C2,C3 k i kω Zg=Za-Zs Za Zs koeficijenti koji zavise od oblika opterećenja (dani su pripadajućim tablicama) koeficijenti dužine izvijanja koji se odnose na okretanje i krivljenje krajnjeg presjeka koordinata točke u kojoj se nanosi poprečno opterećenje koordinata centra posmika Linearno elastična teorija bočno-torzijskog izvijanja zasniva se na pretpostavkama o idealnom nosaču, bez strukturalnih i geometrijskih nesavršenosti. Tretira se, dakle, kao i u linearno elastičnoj teoriji izvijanja uzdužno tlačnog opterećenog štapa kao problem bifurkcijske stabilnosti. Naime, smatra se da su pri opterećenjima manjim od kritičnog, torzijska rotacija φ, kao i bočni pomak v jednake nuli, a da spomenute deformacijske veličine, kada opterećenje dostigne kritičnu vrijednost teže beskonačnosti. Aračić, Mario 10

15 Međutim, kod realnih nosača prisutne su i geometrijske i strukturalne nesavršenosti u vidu početnih deformacija i zaostalih naprezanja. Stoga je otpornost realnih nosača na bočno-torzijsko izvijanje Mu manja od vrijednosti kritičnog naprezanja Mcr, prema bifurkcijskom modelu stabilnosti (slika 3.4.) Slika 3.4. Modeli bočno-torzijskog izvijanja realnog nosača 4 Element opterećen momentom savijanja i uzdužnom tlačnom silom 4.1 Opća razmatranja U realnim konstrukcijama je istovremena pojava momenta savijanja i uzdužne sile česta pojava. Ravnotežni položaj pri istodobnom djelovanju tlaka i savijanja koje može djelovati oko obe glavne osi ovisi o više čimbenika. Najvažniji je tip strukture, način nanešenog opterećenja, pozicija elementa u konstrukciji i način na koji su elementi međusobno spojeni. Moment savijanja može biti posljedica poprečnog opterećenja između krajeva nosača (slika 4.1a), poznatog ekscentričkog djelovanja uzdužne sile na jednom ili oba kraja konstrukcijskog elementa (slika 4.1b) ili od elementa s kojim je spojen promatrani element okvirnog sustava (slika 4.1c) Aračić, Mario 11

16 Slika 4.1. Elementi izloženi istovremenom momentu savijanja i uzdužnoj tlačnoj sili. Otkazivanje elemenata izloženih istodobnom djelovanju tlačne sile i momenta savijanja iskazuje se na različite načine. Za vrlo kratke elemente zanemaruju se problemi stabilnosti, a on otkazuje iscrpljenjem otpornosti poprečnog presjeka. Načini otkazivanjam u koje je uključen i instabilitet štapova, vrlo su složeni problemi, a rješavaju se principijelno različitim pristupima. Za jasnije razumijevanje ove problematike bitno je razlikovati moguće kombinacije opterećenja elementa i bočne pridržanosti. Na slici 4.2a) element određene vitkosti izložen je djelovanju uzdužne sile N i momenta savijanja oko jače osi poprečnog presjeka y-y. Oko slabije osi z-z element je pridržan, tako da je moguće savijanje samo oko y-y osi. Način otkazivanja elementa vezan je uz otkazivanje uslijed izvijanja oko osi y-y. Ukoliko je uzdužna sila N mala ili ako element nema preveliku vitkost, plastični se zglobovi mogu formirati na krajevima. Na slici 4.2b) element određene vitkosti je izložen djelovanju uzdužne sile N i momentu savijanja oko slabije osi z-z. Način otkazivanja elementa vezan je uz izvijanje savijanjem oko osi z-z te je očito da u tom slučaju element ne može otkazati uslijed bočnog izvijanja. Slika 4.2c) prikazuje element koji je opterećen kao u slučaju a), ali nije pridržan oko slabije osi z-z. Uslijed savijanja oko jače osi y-y, element otkazuje uslijed izvijanja izraženim savijanjem i torzijom. U zadnjem slučaju vrijede uvijeti kao u slučaju sa slike c) samo što je element opterećen momentima savijanja oko obje osi. Obično se problem nosivosti javlja oko slabije z-z osi. (slika 4.2d). Aračić, Mario 12

17 Slika 4.2. Elementi izloženi djelovanju uzdužne sile i momentima savijanja Aračić, Mario 13

18 Otpornost konstrukcijskih elemenata izloženih dvoosnom savijanju i uzdužnoj tlačnoj sili prema EN provodi se na način da moraju biti zadovoljeni uvjeti dani sljedećim interakcijskim izrazima: N Ed χ y N Rk /γ M1 + k yy M y,ed M z,ed + k χ LT M y,rk /γ yz 1,0 (4.1) M1 M z,rk /γ M1 Gdje je: M y,ed N Ed M z,ed + k χ z N Rk /γ zy + k M1 χ LT M y,rk /γ zz 1,0 (4.2) M1 M z,rk /γ M1 NEd NRk My,Ed Mz,Ed My,Rk Mz,Rk γm1 χy(z) χlt kij - računska uzdužna sila - karakteristična otpornost poprečnog presjeka na djelovanje uzdužne sile - računski moment savijanja oko osi y-y - računski moment savijanja oko osi z-z - karakteristična otpornost poprečnog presjeka na savijanje oko osi y-y - karakteristična otpornost poprečnog presjeka na savijanje oko osi z-z - parcijalni koeficijent - faktor redukcije za odgovarajući način izvijanja - faktor redukcije momenta pune plastičnosti uslijed bočnog torzijskog izvijanja - interakcijski faktori Cijeli postupak proračuna momenata izloženih momentu savijanja i uzdužnoj tlačnoj sili bit će u sedmom poglavlju. Na slici 4.3. je prikaz osnovnog pristupa ovom konceptu preko grafa interakcije uzdužne tlačne sile i momenta savijanja. Svaka kombinacija je reprezentirana točkom na dijagramu. Točke koje su unutar koordinatnih osi predstavljaju zonu sigurnosti, one koje leže na sigurnoj liniji su na granici sigurnosti, a točke izvan sigurne linije predstavljaju nesigurnu kombinaciju istovremenog djelovanja momenta savijanja i uzdužne tlačne sile. Kod dvodimenzionalne interakcije dovoljno je poznavati jednu veličinu i točan oblik krivulje, a druga vrijednost se očitava iz grafa. Pristupamo li interakciji na ovaj način, točan izgled grafa će ovisiti o nekoliko faktora koji uključuju vrstu i način nanešenog opterećenja, mogući odgovor konstrukcije te vitkost i oblik poprečnog presjeka elementa. Ova metoda stoga mora uravnotežiti sukobljene zahtjeve koji kreiraju sigurnu granicu koja odražava utjecaj svih faktora koje treba uobziriti i kod jednostavnijih slučajeva. Aračić, Mario 14

19 Slika 4.3. Koncept interakcije za kombinirano opterećenje: a) dvodimenzionalno, b) trodimenzionalno U sljedećem tekstu bit će razmatrano ponašanje elementa sa slike 4.2a). Element je opterećen uzdužnim tlakom i momentom savijanja oko jače osi te je bočno pridržan u osi y-y. Linija A na slici 4.4 prikazuje elastično ponašanje elementa opterećenog samo savijanjem (N=0). Linija F odnosi se na isto opterećenje, ali po pojednostavljenoj teoriji plastičnosti. Elasto-plastično ponašanje elementa u slučaju savijanja prikazano je linijom B koja je omeđena linijama A i F.Izvijanje idealno tlačnog elementa (M=0) prikazano je linijom D koja odgovara Eulerovoj kritičnoj sili izvijanja Ncr. Interakcija momenta savijanja i uzdužne tlačne sile u elastičnom području prikazano je krivuljom C. Odmak od linije A za slučaj savijanja u elastičnom području predstavlja doprinos sekundarnog momenta savijanja nastalog zbog progiba elementa w i utjecaj uzdužne sile (N w) na deformiranom elementu. Krivulja G prikazuje interakicju savijanja i uzdužne sile na elementu do dosezanja pune plastifikacije elementa. Vrijednost maksimalnog plastičnog momenta Mpl se zbog prisustva udzužne sile smanjuje na Mpl,N, a zatim se daljnji odmak od linije F za slučaj čistog savijanja plastičnog materijala ponovno događa zbog utjecaja sekundardnog momenta. Krivulja E prikazuje interakciju savijanja i uzdužne sile za slučaj elastoplastičnog materijala, gdje se krivulja u elastičnom području prvo podudara s krivuljom C za elastično područje, a potom se asimptotski približava krivulji G za plastično područje. Aračić, Mario 15

20 Slika 4.4. Ponašanje elementa izloženog jednoosnom savijanju i uzdužnoj sili Analiziranjem ovako opterećenog elementa i izgledom grafa sa slike 4. može se zaključiti: - deformiranje elementa zbog uzdužne sile dovodi do dodatnog(sekundarnog) momenta savijanja koji sesuperponira (primarnim) momentom - povećanje ekscentriteta uslijed deformiranja elementa općenito smanjuje otpornost elementa i u elastičnom i u plastičnom području - uzdužna sila bitno smanjuje plastičnu otpornost presjeka na savijanje - plastifikacijom poprečnog presjeka također se smanjuje njegova nosivost zbog smanjenja aktivnog dijela poprečnog presjeka Kod bočno nepridržanih elemenata opterećenih na uzdužni tlak i savijanje oko jače osi također može doći do pojave bočnog izvijanja (pri opterećenju bitno manjem od onoga koje bi element mogao preuzeti kada bi ova pojava bila spriječena). To se može dogoditi dok je element još u elastičnom području ili pak nakon pojave tečenja (zvog savijanja u ravnini opterećenja i uzdužne tlačne sile) kako je prikazano na slici 4.5. Aračić, Mario 16

21 Slika 4.5. Bočno izvijanje elemenata izloženih savijanju i uzdužnoj sili 4.2 Otpornost poprečnog presjeka Kod elemenata opterećenih momentum savijanja i uzdužnom tlačnom silom koriste se valjani i zavareni profili otvorenog i zatvorenog preseka. Otvoreni I, U i drugi profili koriste se uglavnom kada je osigurano bočno pridržavanje, pa ne postoji opasnost od gubitka stabilnosti na bočno-torzijsko izvijanje. Sandučasti presjeci formirani zavarivanjem, kao i šuplji kružni i pravokutni valjani profili imaju znatno veću torzijsku krutost, pa su povoljniji za bočno nepridržane elemente. Njihove ujednačene geometrijske karakteristike za savijanje oko obe osi (Iy, Iz, Wy, Wz,...) omogućavaju racionalnu primjenu ovakvih presjeka kod elemenata kod kojih se, osim uzdužne tlačne sile javljaju i momenti savijanja oko obe glavne osi inercije (My i Mz ). Provjera naprezanja u najopterećenijem presjeku može se provesti na sljedeći način: σ MMMMMM = N CC AA + M yy W yy + M zz W zz σ DDDDDD (4.3) Međutim, kod tlačnih elemenata osim kontrole naprezanja najopterećenijeg vlakanca mjerodavnog poprečnog presjeka treba provesti i kontrolu stabilnosti elementa na zajedničko interaktivno djelovanje tlačne sile i momenta savijanja. Prethodni izraz može da posluži samo kao orijentacija pri pretpostavljanju poprečnog presjeka elementa. Provjera stabilnosti stup-greda vrši se iterativnim postupkom pretpostavlja se poprečni presjek, pa se dokazuje njegova stabilnost. Naprezanja u elastičnom području elementa opterećenog momentom savijanja i tlačnom silom se dobivaju superponiranjem naprezanja od momenta savijanja i naprezanja od tlačne sile (slika 4.6) Aračić, Mario 17

22 Slika 4.6. Elastično ponašanje poprečnog presjeka opterećenog momentom savijanja i uzdužnom tlačnom silom S pretpostavkom plastičnog ponašanja materijala pri istovremenom djelovanju momenta savijanja i uzdužne tlačne sile plastična otpornost Mpl se smanjuje na manju vrijednost Mpl,N. Raspodjela naprezanja H profila izgledat će kao na slici 4.7. Pri manjem intenzitetu uzdužne sile neutralna linija prolazi kroz hrbat (slika 4.6a) dok se kod većih intenziteta pomiče i do pojasnice (slika 4.6b). Na točan položaj neutralne osi osim uzdužne sile utječe i veličina momenta savijanja te oblik poprečnog presjeka. Aračić, Mario 18

23 Slika 4.7. Plastična raspodjela naprezanja i položaj neutralne osi: a) neutralna os u hrbatu, b) neutralna os u pojasnici 4.3 Utjecaj sekundarnog momenta Teorija II. reda Teorija I. reda podrazumijeva analizu ravnotežnog stanja na nedeformiranom nosaču. Ipak, djelovanjem momenta savijanja na element dešavaju se deformacije elementa koje uz prisutnost tlačne sile dovode do dodatnog momenta što zahtjeva drugačiju analizu ravnotežnog stanja. Takav proračunski pristup na deformiranom sustavu naziva se Teorija II. reda. Element je opterećen tlačno i momentnom savijanja kao na slici 4.8. i pretpostavlja se da će odgovor elementa biti progib u ravnini djelovanja opterećenja. Pod djelovanjem nanešenog momenta savijanja dolazi do otklona elementa δ. Moment savijanja u bilo kojoj točki unutar duljine L poprima dvije komponente, konstantni primarni moment savijanja M uzrokovan vanjskim momentima pri rubovima elementa i sekundarni moment N x δ nastao djelovanjem uzdužne tlačne sile N na deformiranom elementu. Moment savijanja od uzdužne tlačne sile N će uzrokovati dodatni otklon koji će rezultirati stvaranjem još većeg ukupnog momenta te će se proces nastavljati sve do granice ravnoteže. Slika 4.8. Povećanje momenta savijanja bočno pridržanog stupa uslijed djelovanja momenta i tlačne sile Aračić, Mario 19

24 Postoje različiti pristupi određivanja potrebne čvrstoće kod efekta II. reda od jednostavnih aproksimacija do vrlo složenih proračuna. Nije ispravno raditi odvojenu analizu I. reda i II. reda te superponirati reultate jer je to nelinearan problem. Ukupan progib ne dobiva se izravno jednostavnim proračunom nego se koriste iterativne računske tehnike implementirane u računalne programe. Američki institut za čelične konstrukcije (AISC) u svojim specifikacijama daje 3 metode za proračun potrebnih čvrstoća s različitim pristupima na efekt 2. reda: - Metoda izravne analize (Direct analysis method) δ - Metoda efektivne duljine (Effective length method) - Metoda analize prvog reda (First-Order analysis method) U prethodnom tekstu promatran je efekt II. reda na stupu s jednolikim momentom gdje je ukupni momentni dijagram imao jedno-krivuljni oblik. Međutim, u praksi je rezultirajući moment najčešće promjenjiv po dužini nosača. (slika 4.9.) slika 4.9. Efekt II. reda bočno pridržanog stupa sa promjenjivim momentnim dijagramom U ovom slučaju primjenjena su dva zasebna momenta savijanja na različitim pozicijama i kako pokazuje crtež manji sekundarni moment, a ukupan maksimalni moment je sada pri rubovima elementa. Sekundarni moment može biti i veći te sumirati ukupni moment na drugo mjesto nešto odmaknutije od rubova elementa. Teorijske i eksperimentalne studije vezane za različitu raspodjelu momenta pokazuju da je ovu nejednolikost potrebno uobziriti faktorom omjera numerički većeg i manjeg rubnog momenta. U literaturama se različito imenuje ovaj faktor, ali za ovaj slučaj koristi ćemo izraz faktor Ψ. Aračić, Mario 20

25 slika Interakcija promjenjivog momenta Faktor Ψ jasno pokazuje tendenciju porasta vrijednosti sile koja uzrokuje gubitak stabilnosti kada Ψ varira od +1 (jedno-krivuljni momentni dijagram) do -1 (promjenjiv dvokrivuljni momentni dijagram) uz pretpostavku da svi ostali parametri imaju konstantnu vrijednost. Može se zaključiti da bi proračun s faktorom Ψ=1 išao na stranu sigurnosti ali takav pristup je dosta konzervativan. 4.4 Povijest interakcijskih izraza Proučavanje stabilnosti elemenata konstrukcije počinje u osamnaestom stoljeću. Problem izvijanja stupa u tom vremenu proučavali su Petrus van Musschenbruch i Leonhard Euler. Povećanje primjene metalnih konstrukcija od željeza i čelika zahtijevalo je nova saznanja o ponašanju materijala i elemenata, a proučavanje se nastavilo preko Johana Bauschingera, F. S. Jasinskya i drugih. Napredak u elastičnoj stabilnosti nastavilo se do početka dvadesetog stoljeća s radom Stephena Timoshenka, Ludwiga Prandtla i drugih. Theodore von Kármán proučavao je plastičnu nestabilnost stup-greda opterećenih momentom savijanja i uzdužnom tlačnom silom u prvom desetljeću dvadesetog stoljeća. Herbert Wagner proučavao je fleksijkso-torzijsko izvijanje otvorenih profila 1929.g. i nastavio proučavanje van-ravninske nestabilnosti stupa-grede. Prvi konstrukcijski standardi su bili bazirani na teoriji dozvoljenih naprezanja u elastičnom području. Današnji standardi koriste granična stanja koja uobziruju varijabilnost strukturnih opterećenja i otpornosti te dopuštaju popuštanje kod graničnog stanja nosivosti. U sljedećem tekstu bit će opisane interakcijske formule korištene u Kanadskim standardima (CESA kasnije CSA-i), no slične ili iste formule korištene su i u drugim dijelovima svijeta paralelno s vremenom pojavljivanja u Kanadi. Prvi izraz iz zasnivao se na sumiranju tlačnog naprezanja i naprezanja od momenta savijanja te je jedini uvjet bila granica od 14 ksi (95 MPa), a ista je 1930-te godine povećana na 15 ksi (105 MPa). (izraz 4.4.) F a P A + M c I (4.4) Aračić, Mario 21

26 1940-te godine uočeno je da naprezanja od savijanja i uzdužnih sila predstavljaju različite uvjete i dodijeljene su im odvojene vrijednosti. Nanešena naprezanja su uspoređena sa dotičnim dozvoljenim naprezanjima (izraz 4.5.) dajući minimalni poprečni presjek, ali uz poznavanje momenata tromosti i udaljenosti do najopterećenijih dijelova presjeka. Dozvoljeno uzdužno naprezanje p (izraz 4.6.) i naprezanje od momenta savijanja f (izraz 4.7) su bazirane na omjeru vitkosti (l/r) tlačnog elementa i duljini nepridržane pojasnice prikazane u obliku omjera širine pojasnice (l/b). A C p + M y f r 2 (4.5) p = 0,546 fy + (1 + 0,0015 l r )f e 2 f e = + f y + (1 + 0,0015 l r )f e 2 2 f y f e, π2 E (l/r) 2 = 2,86x108 (l/r) 2 psi (4.6) f = (25, l/b) 6 10 ff yy, za l/b > 15 (4.7) Izraz iz te godine je nanešena naprezanja (fa, fb) uspoređivala direktno sa dozvoljenim naprezanjima (Fa, Fb) (izraz 4.8.) f a F a + f b F b 1,0 (4.8) Pedesetih godina prošlog stoljeća pojavila su se udruženja za proučavanje čeličnih stupova i greda, a jedno od njih (The Column Research Council - CRC) je izdalo vodič za proračun metalnih tlačnih elemenata ( The Guide to Design Criteria for Metal Compression Members ) g. CRC je izdao izraz za dopuštena naprezanja koji se ubrzo počeo koristiti u praksi. (izraz 4.9.) f y F a = (20,000 70KL/r) 33,000 f y 145,000,000 KL 2, (psi) (4.9) r Utjecaj nejednolikog momenta proučavao je Massonnet g. te izdao izraz za ekvivalentni moment. (izraz 4.10.), a na slici prezentirana je usporedba ove jednadžbe sa drugim pristupima za faktor ekvivalentnog momenta. Ovi faktori su izvorno razvijeni i kasnije primjenjeni kod P-δ efekta. M d = 0,3 M M ,4M 1 M 2 (4.10) Aračić, Mario 22

27 Slika Faktori ekvivalantnog momenta Plastični pristup započeo je godine i interakcijske formule su bile nešto kompliciranije i oslanjale su se na redukciju čvrstoće bazirane na tabličnim vrijednostima. (izrazi ) Pored izraza postojalo je nekoliko restrikcija pri plastičnom proračunu koje su osiguravale da plastični gubitak stabilnosti mehanizma može nastati prije drugih oblika gubitka stabilnosti. 2P + L 1,0 (4.11) P y 70r M o M p 1,18 1,18 P P y (4.12 a) M o M p B G P P y M o 1,0 K P J P 2 M p P y P y (4.12 b) (4.12 c) M o M p 1,0 (4.13) Standardi iz godine izdali su odvojenu provjeru kroz dvije formule. Izraz vrši provjeru čvrstoće koristeći dozvoljeno naprezanje od 0,60fy. Izraz odnosi se na provjeru stabilnosti. Naprezanje od momenta savijanja (f'b) je izračunato modifikacijom maksimalnog momenta savijanja sa Aračić, Mario 23

28 Austinovim ekvivalentnim faktorom. (izraz 4.16.) te je uobziren faktor uvećanja momenta za slučaj P-δ efekta. U ovim standardima dani su i faktori sigurnosti: 1,67 za popuštanje; 1,92 za elastično izvijanje i interpolacija od 1,67 1,92 za srednje stupove. Faktor sigurnosti 1,92 također je korišten pri proračunu faktora uvećanja momenta za stup-grede. f a 0,60F y + f b F b 1,0 (4.14) f a F a + f b F b 1 f a F e 1,0, gdje je F e = 149,000 KL r 2 = π 2 E 1,92 KL r 2 (4.15) C m = 0,6 + 0,4 M 1 M 2 0,4 (4.16) te godine predstavljena je interakcijska formula za dvoosno savijanje. Dozvoljeno naprezanje od savijanja (izraz 4.17) je raslo uzimavši u obzir St. Venantovu komponentu torzije i komponentu od savijanja, dok je prethodni standard u obzir uzimao samo veću od ove dvije. F be = L d/a f L/r t (4.17) f a 0,60F y + f bx F bx + f by F by 1,0 (4.18) f a + C mxf bx α x + C myf by α y 1,0, gdje je α = F a F bx F by 1 1 f a F e (4.19) Interakcijske formule za plastični proračun su se također promijenile godine. Tri izraza za provjeru stupa-grede u plastičnom proračunu okvira su prikazane izrazima Za stupove pridržanog okvira, faktor efektivne dužine k je uziman sa vrijednošću 1,0 M x M px + M y M py 1,0 (4.20) P f + 0,85M x + 0,85M y 1,0 (4.21) P y M px M py P f + C mxm x β x + C mym y β y 1,0 (4.22) 1,67 A FF aa M px M py Novi proračunski pristup temeljen na konceptu pouzdanosti imena granična stanja prvi puta je predstavljen godine. To je dovelo do proračuna izvan elastičnog područja. Ovaj koncept osim u Aračić, Mario 24

29 Kanadi počeo se primjenjivati i u drugim zemljama svijeta. Interakcijski odnosi su promijenjeni u tri izraza. Izraz provjerava čvrstoću elementa na sličan način kao u prethodnim izrazima zadopuštena naprezanja. Izraz 4.24 je alternativna formulacija posebno za I-profilne elemente klase 1 i 2. Izraz provjerava stabilnost elementa, a izraz provjerava dali element ima dovoljno momentnog kapaciteta. U izrazu članovi u zagradi odnosi se na P-δ efekt, a član ω je faktor ekvivalentniog jednolikog momenta dobiven korištenjem formule C f C r + M fx M rx + M fy M ry 1,0 (4.23) C f + 0,85M fx + 0,60M fy 1,0 (4.24) C r M rx M ry C f C r + ω x M fx M rx 1 C f C ex + ω y M fy M ry 1 C f C ey 1,0, ω = 0,6 0,4 M 2 M 1 0,4 (4.25) M fx M rx + M fy M ry 1,0 (4.26) Ovi standardi su ostali nepromijenjeni do godine. Tada se uvelo nekoliko promjena. Samo se klasa 1 poprečnih presjeka koristila u jednadžbama za punu plastifikaciju. Istraživanja Kulaka i Dawea 1984 g. pokazala su da će poprečni presjeci klase 2 doživiti lokalno izvijanje prije nastanka punog plastičnog momenta. P-δ efekt je kombiniran u jedan faktor U1, vrijednost koja uključuje faktor ekvivalentnog momenta ω1. Kako je prikazano u sljedećim izrazima, svaki interakcijski izraz (izraz 4.27 i 4.28.) ponaša se kao 3 jednadžbe. Izraz je isključivo za I poprečne presjeke. Izraz pokriva druge presjeke. Izraz za provjeru čvrstoće na djelovanje momenta i dalje je bila na snazi. C f + 0,85U 1xM fx + 0,60U 1yM fy 1,0 (4.27) C r M rx M ry C f + U 1xM fx + U 1yM fy 1,0 (4.28) C r M rx M ry Ove jednadžbe izvode tri funkcije koristeći različite definicije otpornosti. Razmatramo li Cr i Mr kao kapacitet stupa nulte duljine i bočno pridržane grede, formule provjeravaju čvrstoću poprečnog presjeka. S Cr baziranim na izvijanju u ravnini savijanja (ili oko slabije osi kod dvoosnog savijanja) sa faktorom efektivne duljine 1,0 dobivamo ravninsku stabilnost. Sa Cr baziranim na izvijanju oko slabije osi i uzimajući bočno-torzijsko izvijanje u račun za Mr dobivamo provjeru van-ravninske stabilnosti. Standard iz godine nije unio značajnije promjene u interakcijske formule. No krivulja čvrstoće stupa je promjenjena u eksponencijalni prikaz i dodan je Appendix D kod proračuna torzijskog izvijanja pri djelovanju uzdužne sile. Novi standard izašao je godine i na njemu su detaljno radili Essa i Kennedy godine. Faktor uvećanja momenta U1 uziman je sa vrijednošću 1,0 sa elemente pomaknutih okvira jer je P-Δ efekt mnogo veći nego P-δ efekt. Poprečni presjeci klase 2 su pridruženi klasi 1. Analiza naknadnog izvijanja pokazuje da je čvrstoća ovih presjeka adekvatna za postizanje pune plastifikacije, čak i s lokalnim izvijanjem stupa-grede. Poprečni presjeci klase 4 su također uključeni u ovaj standard. Aračić, Mario 25

30 Najznačajnija promjena u interakcijskim izrazma je formula za interakciju oko slabije osi. Promijenjena je na način da ispravi nekonzervativne rezultate u elementima u kojima prevladava moment. Izraz je izmjenjen kako bi zamijenio modifikator momenta oko slabije osi 0,6 sa varijablom β (Izraz 4.30.) čineći Izraz C f + 0,85U 1xM fx + βu 1yM fy 1,0 (4.29) C r M rx M ry β = 0,6 + 0,4λ 1,0, gdje je λ = L πr y F y E (4.30) U tablici 4.1. prikazan je razvoj interakcijskih izraza u kanadskim standardima u periodu od godine. Standard Broj jednadžbi Broj parametara Broj kalkulacija S S S S S16.1-M S Tablica 4.1. Trend interakcijskih izraza 5 Element opterećen momentom savijanja i uzdužnom vlačnom silom Momenti savijanja u kombinaciji sa vlačnim napregnutim elementima nisu toliko opasni kao u kombinaciji sa tlačno opterećenim elementima jer vlačna naprezanja nastoje umanjiti bočne deformacije dok ih tlačna naprezanja nastoje povećati. Ipak, zanemarivanje uzdužne vlačne sile s momentom savijanja je konzervativan pristup i takva kombinacija se mora provjeriti na moguće gubitke nosivosti. Na razini elementa treba provjeriti otpornost na bočno izvijanje a na razini poprečnog presjeka naprezanja u presjeku. Uobičajeno je pristupiti problemu samo kroz analizu I. reda. Kod proračuna geometrijskih karakteristika poprečnog presjeka A i W treba uzeti u obzir eventualna oslabljenja presjeka zbog spojnih sredstava te koristiti neto karakteristike presjeka. Bitno je i voditi računa o tome da vlačna sila može povećavati ili smanjivati utjecaj vanjskog momenta od poprečnog opterećenja te u skladu s tim odabrati predznak dodatnog momenta savijanja od uzdužne sile. Aračić, Mario 26

31 Slika 5.1. Elementi opterećeni uzdužnom vlačnom silom i momentom savijanja Aračić, Mario 27

32 6 Otpornost elementa izloženog istovremenom savijanju i tlačnoj sili prema EN U ovom poglavlju biti će prikazani interakcijski izrazi po Eurocode propisima koji su preuzeti iz knjige Proračun čeličnih konstrukcija prema EN autora prof.dr.sc. Damira Markulaka. Izrazi se odnose na proračunsku razinu 1 za jednolike elemente s dvostruko simetričnim poprečnim presjecima neosjetljivim na distorzijske deformacije, ali se može primijeniti i na presjeke simetrične samo oko slabije osi i to samo za elastičnu otpornost. Pri proračunu treba voditi računa i o tome jesu li promatrani elementi osjetljivi na torzijske deformacije. Eurocode daje na izbor dvije metode koje se najviše razlikuju po načinu određivanja vodećeg interakcijskog faktora k. Metoda 1 podrazumijeva složeniji proračun, dok je Metoda 2 puno jednostavnija za svakodnevnu inženjersku praksu. Za elemente izložene istovremeno savijanju i uzdužnoj tlačnoj sili, općenito treba dokazati da vrijedi: N Ed χ y N Rk γ M1 + k yy M y,ed + M y,ed χ LT M + k yz y,rk γ M1 M z,ed + M z,ed M z,rk 1,0 (6.1) γ M1 N EEEE χ z N RRRR γ MM1 + k zy M yy,eeee + M y,ed χ LT M + k zz yy,rrrr γ MM1 M z,ed + M z,ed M zz,rrrr 1,0 (6.2) γ MM1 gdje je: NEd NRk My,Ed My,Rk My,Ed Mz,Rk ΔMy,Ed ΔMz,Ed χy, χz χlt kij - proračunska uzdužna sila kao učinak djelovanja - karakteristična otpornost poprečnog presjeka na tlačnu silu - proračunski moment savijanja oko osi y-y kao učinak djelovanja - karakteristična otpornost poprečnog presjeka na savijanje oko osi y-y - proračunski moment savijanja oko osi z-z kao učinak djelovanja - karakteristična otpornost poprečnog presjeka na savijanje oko osi z-z - proračunski moment savijanja oko osi y-y zbog pomaka neutralne osi kod presjeka klase 4 - proračunski moment savijanja oko osi z-z zbog pomaka neutralne osi kod presjeka klase 4 - faktori redukcije za izvijanje elementa - faktori redukcije za bočno-torzijsko izvijanje elementa - interakcijski faktori Vrijednosti interakcijskih faktora kyy, kyz, kzy i kzz ovise o metodi po kojoj se vrši proračun. Vrijednost faktora χlt za elemente neosjetljive na torzijske deformacije iznosti 1,0. U tablici 6.1 dane su karakteristične otpornosti poprečnog presjeka u skladu s klasom poprečnog presjeka. Aračić, Mario 28

33 Tablica 6.1 Vrijednosti pri određivanju karakterističnih vrijednosti NRk, My,Rk i Mz,Rk Klasa presjeka A i A A A A eff W y W pl,y W pl,y W el,y W eff,y W z W pl,z W pl,z W el,z W eff,z ΔM y,ed e N,y N Ed ΔM z,ed e N,z N Ed Osjetljivost elemenata na torzijske deformacije utvrđuje se prema izračununatoj vrijednosti svedene vitkosti λ 0 za proračun bočno-torzijskog izvijanja uslijed jednolikog mometa savijanja. Granična vrijednost svedene vitkosti λ 0,lim računa se prema izrazu: 4 λ 0,lim = 0,2 C 1 1 N Ed 1 N Ed N cr,z N cr,tf (6.3) Gdje je: - elastična fleksijska sila izvijanja oko osi z-z - elastična torzijsko-fleksijska sila izvijanja C1 - faktor koji ovisi o raspodjeli momenata savijanja i pridržanjima (tablica 6.2) Ncr,z Ncr,TF Ukoliko je vrijednost λ 0 λ 0,lim, element nije osjetljiv na torzijske deformacije te je i bočno torzijsko izvijanje spriječeno pa vrijedi χlt = 1,0. U protivnom, element je osjetljiv na torzijske deformacije te ih treba uzeti u obzir pri proračunu. Elastična fleksijska sila izvijanja oko osi z-z računa se prema izrazu: Gdje je: N cr,y = π2 E I z Lcr, z 2 (6.4) Iz Lcr,z - moment tromosti poprečnog presjeka elementa oko osi z-z - duljina izvijanja elementa oko osi z-z (najčešće se uzima kao razmak bočnih pridržanja) U slučaju nepoklapanja težišta presjeka i centra posmika, kritična elastična torzijsko-fleksijska sila izvijanja poprečnog presjeka simetričnog oko osi y-y računa se pomoću izraza: N cr,tf = I 0 2 I y + I z N cr,z + N cr,t N cr,z + N cr,t 2 4 I y + I z N I cr,z N cr,t (6.5) 0 Gdje je: Iy A - moment tromosti poprečnog presjeka oko osi y-y - površina poprečnog presjeka Aračić, Mario 29

34 y0, z0 - udaljenost između težišta poprečnog presjeka i centra posmika u odnosu na osi y i z (u slučaju dvostruko simetričnih presjeka vrijedi y0=0 i z0=0) G - modul posmika čelika Lcr,T - duljina izvijanja elementa za torzijsko izvijanje (razmak između torzijskih pridržanja) IT - torzijska konstanta - konstanta krivljenja IW I 0 = I y + I z + (y 2 0 +z 2 0 )A (6.6) Elastična torzijska sila izvijanja se dobije pomoću izraza; N cr,t = A I 0 G I T + π2 E I W L cr,t 2 (6.7) Za dvostruko simetrični presjek vrijedi N cr,tf = N cr,t Faktori C1 ovisno o raspodjeli momenata savijanja određuju se prema tablici 6.2. Tablične vrijednosti vrijede u slučaju bočnog pridržanja za koje vrijedi k=1,0. Faktor k je faktor efektivne dužine elementa s obzirom na bočno-torzijsko izvijanje, a njegova pretpostavljena vrijednost odnosi se na slučaj kada se element može slobodno rotirati oko osi z-z, ali su mu spriječeni bočni pomaci. Tablica 6.2 Faktori C1 za izračun kritičnog momenta bočno-torzijskog izvijanja OPTEREĆENJE I UVJETI OSLANJANJA DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA Ψ +1,00 +0,75 +0,50 +0,25 +0,00-0,25-0,50-0,75-1,00 Vrijednost faktora C 1 C 2 C 3 1,00 1,14 1,31 1,52 1,77 2,05 2,33 2,57 2,55 1,00 0,99 0,98 0,98 0,94 0,85 0,68 0,37 0,00 1,13 0,45 0,52 2,57 1,55 0,75 1,35 0,63 1,73 1,68 1,64 2,64 Aračić, Mario 30

35 6.1 Proračun nosivosti elemenata izloženih savijanju i tlačnoj sili prema Metodi 1 Za proračun nosivosti elemenata istovremeno izloženog savijanju oko jače osi i tlačnoj uzdužnoj sili izrazi 6.1 i 6.2 mogu se zapisati na ovaj način: - poprečni presjeci klase 1 i 2: N Ed χ y A f y γ M1 + k yy M y,ed χ LT W pl,y f y γ M1 1,0 (6.8) N Ed χ z A f y γ M1 + k zy M y,ed χ LT W pl,y f y γ M1 1,0 (6.9) - poprečni presjeci klase 3: N Ed χ y A f y γ M1 + k yy M y,ed χ LT W el,y f y γ M1 1,0 (6.10) N Ed χ z A f y γ M1 + k zy M y,ed χ LT W el,y f y γ M1 1,0 (6.11) - poprečni presjeci klase 4: N Ed χ y A eeeeee f y γ M1 M y,ed + e NN,yy NN EEEE + k yy χ LT W 1,0 (6.12) eff,y f y γ M1 N Ed χ z A eeeeee f y γ M1 M y,ed + e NN,yy NN EEEE + k zy χ LT W 1,0 (6.13) eff,y f y γ M1 Interakcijski faktori kij iz prethodnih izraza računaju se prema tablici 6.3. Aračić, Mario 31

36 Interakcijski faktori k yy k yz C mz µ y Tablica 6.3 Određivanje interakcijskih faktora kij Proračunske pretpostavke Plastična svojstva poprečnog presjeka (klase 1 i 2) µ y C my C mlt 1 N Ed 1 N Ed N cr,y k zy C my C mlt µ z k zz C mz 1 N Ed N cr,y Elastična svojstva poprečnog presjeka (klase 3 i 4) 1 C yy C my C mlt µ y 1 N Ed N cr,y 1 0,6 w µ z y C mz C yz w y 1 N Ed N cr,y N cr,y µ z 1 N Ed N cr,z 1 0,6 w µ y z C my C mlt C zy w z 1 N Ed 1 C zz C mz µ z N cr,y 1 N Ed N cr,z Za izračun interakcijskih faktora potrebno je prethodno izračunati neke pomoćne parametre: µ y = µ z = 1 N Ed N cr,y 1 χ y N Ed N cr,y 1 N Ed N cr,z 1 χ z N Ed N cr,z w y = W pl,y W el,y 1,5 C yy = 1 + w y 1 2 1,6 w y C my 2 λ max 1,6 w y C my 2 λ max 2 npl b LT M y,ed W el,y 2, gdje je b W LT = 0,5a LT λ 0 pl,y χ LT M pl,y,rd C yz = 1 + (w z 1) 2 14 C mz 2 λ max w z 5 gdje je c LT = 10a LT λ 0 2 C zy = 1 + w y C my 2 λ max w y 5 M z,ed M pl,z,rd n pl c LT 0,6 w z W el,z w y M y,ed W pl,z λ z C my χ LT M pl,y,rd n pl d LT 0,6 w y W el,y, w z W pl,y w z = W pl,z W el,z 1,5 NN EEEE n pl = N Rk /γγ MM1 a LT = 1 II tt II yy 0 M y,ed M z,ed λ 0 gdje je d LT = 2a LT 4 0,1 + λ C z my χ LT M pl,y,rd C mz χ LT M pl,z,rd C zz = 1 + (w z 1) 2 1,6 C 2 w mz λ max 1,6 C 2 2 z w mz λ max npl e LT z W el,z λ 0, gdje je e W LT = 1,7a LT 4 pl,z 0,1 + λ z M y,ed C my χ LT M pl,y,rd gdje je: λ 0 - svedena vitkost za proračun bočno-torzijskog izvijanja uz jednoliku raspodjelu momenta savijanja (tj. Ψ y=1,0) λ LT - svedena vitkost za bočno-torzijsko izvijanje λ 0 = max λ y λ z Aračić, Mario 32

37 Vrijednosti C my, C mz i C mlt određuju se na sljedeći način: - za λ 0 λ 0,lim C my = C my,0 C mz = C mz,0 C mlt = 1,0 - za λ 0 > λ 0,lim εε yy aa LLLL C my = C my,0 + (1 C my,0 ) 1 + εε yy aa LLLL C mz = C mz,0 C mlt = C 2 aa LLLL my 1 N Ed N 1 N 1 Ed cr,z N cr,t gdje je: λ 0,lim - granična vrijednost svedene vitkosti prema izrazu 6.3 N cr,y - elastična fleksijska sila izvijanja oko osi y-y N cr,z - elastična fleksijska sila izvijanja oko osi z-z - elastična torzijska sila izvijanja N cr,t ε y = M y,ed N Ed A za poprečne presjeke klase 1,2 i 3 W el,y ε y = M y,ed N Ed A eff W eff,y za poprečni presjeke klase 4 Vrijednosti faktora C mi,0 određuju se prema tablici 6.3 Aračić, Mario 33

38 Tablica 6.3 Određivanje vrijednosti faktora CC mmmm,00 Momentni dijagram C mi,0 C mi,0 = 0,79 + 0,21 ψ + 0,36 (ψ 0,33) N Ed N cr,i C mi,0 = 1 + π2 E I i δ L 2 M i,ed N Ed N cr,i M i,ed (x) = maksimalni moment M y,ed ili M z,ed δ = maksimalni progib elementa (duž elementa) C mi,0 = 1 0,18 N Ed N cr,i C mi,0 = 1 0,03 N Ed N cr,i Aračić, Mario 34

39 6.2 Proračun nosivosti elemenata izloženih savijanju i tlačnoj sili prema Metodi 2 Najbitnija razlika između Metode 1 i 2 je u načinu određivanja interakcijskih faktora kij. Interakcijski izrazi određuju se prema tablici 6.4. Tablica 6.4 Interakcijski faktori kij za elemente neosjetljive na torzijske deformacije Faktori k ij Tip presjeka Proračunske pretpostavke Klasa presjeka 1 i 2 Klasa presjeka 3 i 4 k yy N Ed C my 1 + λ y 0,2 χ y N Rk /γ M1 N Ed C my 1 + 0,8 χ y N Rk /γ M1 N Ed C my 1 + 0,6λ y χ y N Rk /γ M1 N Ed C my 1 + 0,6 χ y N Rk /γ M1 k yz 0,6k zz k zz k zy 0,6k yy 0,8k yy N Ed C mz 1 + 2λ z 0,6 χ y N Rk /γ M1 k zz C mz 1 + 1,4 N Ed C mz 1 + λ z 0,2 χ z N Rk /γ M1 χ z N Rk /γ M1 C mz 1 + 0,6λ y N Ed χ z N Rk /γ M1 N Ed N Ed C mz 1 + 0,6 χ z N Rk /γ M1 N Ed C mz 1 + 0,8 χ z N Rk /γ M1 Za I i H presjeke te za pravokutne cijevne profile izložene tlačnoj sili i jednoosnom savijanju M y,ed oko jače osi profila, može se uzeti da je k zy,k yz = 0 Aračić, Mario 35

40 Ako je element s I, H ili pravokutnim cijevnim poprečnim presjekom izložen istovremeno tlačnoj sili i jednoosnom savijanju oko jače osi poprečnog presjeka y-y, interakcijski faktor kzy može se uzeti kao 0 pa izrazi 6.1 i 6.2 imaju drugačiji oblik za klase 1,2 i 3: N Ed M y,ed χ y N + k yy 1,0 (6.14) Rk M y,rk γ M1 γ M1 N Ed χ z N Rk γ M1 1,0 (6.15) Faktori k ij k yy Tablica 6.5 Interakcijski faktori kij za elemente osjetljive na torzijske deformacije Proračunske pretpostavke klasa presjeka 1 i 2 klasa presjeka 3 i 4 N Ed C my 1 + λ y 0,2 χ y N Rk /γ M1 N Ed C my 1 + 0,6λ y χ y N Rk /γ M1 C my 1 + 0,8 χ y N Rk /γ M1 C my 1 + 0,6 χ y N Rk /γ M1 k yz 0,6 k zz k zz 0,1λ z N Ed 1 (C mlt 0,25) χ z N Rk /γ M1 0,1 N Ed 0,05λ z N Ed 1 1 (C mlt 0,25) χ z N Rk /γ M1 (C mlt 0,25) χ z N Rk /γ M1 k zy 0,05 N Ed 1 za λ z < 0,4: (C mlt 0,25) χ z N Rk /γ M1 0,1λ z N Ed k zy = 0,6 + λ z (C mlt 0,25) χ z N Rk /γ M1 N Ed N Ed N Ed C mz 1 + 2λ z 0,6 χ z N Rk /γ M1 k zz C mz 1 + 1,4 N Ed χ z N Rk /γ M1 C mz 1 + 0,6λ z N Ed χ z N Rk /γ M1 N Ed C mz 1 + λ z 0,2 χ z N Rk /γ M1 N Ed C mz 1 + 0,6 χ z N Rk /γ M1 N Ed C mz 1 + 0,8 χ z N Rk /γ M1 Aračić, Mario 36

41 Tablica 6.6 Faktori jednolikog ekvivalentnog momenta Cm Momentni dijagram Područje jednoliko opterećenje C my,c mz i C mlt koncentrirano opterećenje 1 ψ 1 0,6 + 0,4ψ 0,4 0 α s 1 1 ψ 1 0,2 + 0,8α s 0,4 0,2 + 0,8α s 0,4 α s = M s /M h 1 α s 0 0 ψ 1 0,1 0,8α s 0,4 0,8α s 0,4 1 ψ 0 0,1(1 ψ) 0,8α s 0,4 0,2( ψ) 0,8α s 0,4 0 α h 1 1 ψ 1 0,95 + 0,05α h 0,90 + 0,10α h 1 α h 0 0 ψ 1 0,95 + 0,05α h 0,90 + 0,10α h 1 ψ 0 0,95 + 0,05α h (1 + 2ψ) 0,90 0,10α h (1 + 2ψ) α s = M s /M h Za elemente s pomičnim modom izvijanja za faktore jednolikog momenta treba uzeti C my=0,9 ili C mz=0,9 C my,c mz i C mlt treba odrediti obzirom na oblik momentnog dijagrama između relevantnihpridržanih točaka kako slijedi: faktor momenta: os savijanja: točke pridržanja u smjeru C my y-y z-z C mz z-z y-y C mlt y-y y-y 6.3 Proračun nosivosti elemenata izloženih savijanju i tlačnoj sili prema britanskim standardima Sličnost Eurokod propisa sa ostalim europskim i drugim međunarodnim propisima prikazana je izrazima 6.16 i 6.17 na primjeru interakcijskih formula iz britanske specifikacije BS :2000 Section 4: F c P c + m x M x p y Z x + m y M y p y Z y 1 (6.16) F C + m LT M LT + m y M y 1 (6.17) P c,y M b p y Z y Aračić, Mario 37

42 gdje su: Fc Mb MLT Mx My Pc Pc,x Pc,y Zx Zy mlt uzdužna sila otpornost elementa na savijanje maksimalni moment oko jače osi na segmentu dužine L maksimalni moment oko jače osi na segmentu dužine Lx maksimalni moment oko slabije osi na segmentu dužine Ly manja vrijednost između P c,x i P c,y otpornost od tlačne sile uzimajući u obzir izvijanje samo oko glavne osi otpornost od tlačne sile uzimajući u obzir izvijanje samo oko slabije osi moment otpora oko jače osi moment otpora oko slabije osi faktor ekvivalentnog jednolikog momenta Aračić, Mario 38

43 7 Proračun čelične konstrukcije prema EN Aračić, Mario 39

44 7.1 Podatci o konstrukciji i analiza opterećenja Lokacija: Osijek, 90 m.n.m. Profili: IPE Kvaliteta čelika S 275 Opterećenja: stalno - vlastita težina konstrukcije - slojevi poda međukatne konstrukcije: qk= 0,7 kn/m 2 ; qk= 0,7 6m = 4,2 kn/m' - pregradni zidovi: qk= 0,5 kn/m 2 ; qk= 0,5 6m = 3,0 kn/m' - slojevi neprohodnog krova: qk= 0,3 kn/m 2 ; qk= 0,3 6m = 1,8 kn/m' promjenjiva: uporabno - trgovine: qk= 5 kn/m 2 ; qk= 5 [kn/m 2 ] 6 [m] = 30 kn/m' - neprohodan krov: qk= 0,4 kn/m 2 ; qk= 0,4[ kn/m 2 ] 6 [m] = 2,4 kn/m' Aračić, Mario 40

45 snijeg S = Sk µ Ce Ct µ = 0,8 Ce = 1 Ct = 1 Sk = 1,10 kn/m 2 (do 100 m.n.m.) S = 1,10 0, = 5,28 kn/m' vjetar (s lijeve strane) h=7,80m stupanj zaštićenosti - poluzaštićen W0=0,55 kn/m2 razmak okvira - 6m IMPLOZIJA po metru dužine Wploha1 = (0,8+0,3) 0,55[kN/m 2 ] 6[m] = 3,63 kn/m' Wploha2 = (-0,4+0,3) 0,55[kN/m 2 ] 6[m] = - 0,33 kn/m' Wploha3 = (-0,4+0,3) 0,55[kN/m 2 ] 6[m] = - 0,33 kn/m' EKSPLOZIJA po metru dužine Wploha1 = (0,8-0,3) 0,55[kN/m2] 6[m] Wploha2 = (-0,4-0,3) 0,55[kN/m2] 6[m] Wploha = (-0,4-0,3) 0,55[kN/m2] 6[m] = 1,65 kn/m' = - 2,31 kn/m' = - 2,31 kn/m' Aračić, Mario 41

46 Kombinacije opterećenja 1. Stalno + vodeće: uporabno + snijeg 2. Stalno + uporabno; 3. Stalno + vodeće: uporabno + vjetar (implozija) + snijeg 4. Stalno + vodeće: uporabno + vjetar (implozija) 5. Stalno + vodeće: uporabno + vjetar (eksplozija) + snijeg 6. Stalno + vodeće: uporabno + vjetar (eksplozija) 7. Stalno + vodeće: vjetar (implozija) + uporabno + snijeg 8. Stalno + vodeće: vjetar (implozija) + uporabno 9. Stalno + vodeće: vjetar (eksplozija) + uporabno + snijeg 10. Stalno + vodeće: vjetar (eksplozija) + uporabno 11. Stalno + vodeće: vjetar (implozija) + snijeg 12. Stalno + vjetar (implozija) 13. Stalno + vodeće: vjetar (eksplozija) + snijeg 14. Stalno + vjetar (eksplozija) 15. Stalno + vodeće: snijeg + uporabno 16. Stalno + vodeće: snijeg + uporabno + vjetar (implozija) 17. Stalno + vodeće: snijeg + uporabno + vjetar (eksplozija) 18. Stalno + snijeg 19. Stalno + vodeće: snijeg + vjetar (implozija) 20. Stalno + vodeće: snijeg + vjetar (eksplozija) Aračić, Mario 42

47 7.2 Proračun otpornosti elementa STUP 3 STUP 3 (zbog simetričnosti okvira mjerodavan i za stup 1 u slučaju vjetra s desne strane) Kombinacija opterećenja: stalno + vodeće uporabno + vjetar implozija + snijeg Aračić, Mario 43

48 Odabrani profil IPE 330 Kvaliteta materijala S 275 KLASIFIKACIJA HRBAT (tlak) c = h - 2 tf - 2r , c = 271 mm t = tw = 7,5mm c/t = 36,13 uvjet za klasu 1: c/t 33ε [ε = 0,92] 36,13 > 30,36 uvjet za klasu 2: c/t 38ε [ε = 0,92] 36,13 > 34,96 Aračić, Mario 44

49 uvjet za klasu 3: c/t 42ε [ε = 0,92] 36,13 < 38,64 HRBAT KLASE 3 POJASNICA (tlak) c = b t w 2r 2 c = 58,25 mm t = tf = 11,5 mm c/t = 5,065 uvjet za klasu 1: c/t 9ε [ε = 0,92] 5,065 < 8,28 POJASNICA KLASE 1 PP KLASE 3 OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA Otpornost na uzdužnu tlačnu silu N c,rd = N el,rd = A f y 62,61 27,5 = = 1721,78 kn γ M0 1,0 uvjet nosivosti N Ed N el,rd 1,0 214, ,78 1,0 12,45% Otpornost PP izloženog savijanju M c,rd = M el,y,rd = W el,y f y 713,1 27,5 = = 19610,25 kncm = 196,10kNm γ M0 1,0 uvjet nosivosti M y,ed M el,rd 1,0 85,84 = 0,438 < 1,0 43,80% 196,10 Aračić, Mario 45

50 Posmična otpornost PP h w t w 72 ε η hw = h - 2 tf hw = 307 mm tw = 7,5mm 307 7,5 72 0,92 1,2 40,93 55,2 // nema opasnosti od izbočavanja hrpta τ Ed f y / 3 γ M0 1,0 τ Ed = V z,ed S y I y t w S y = W pl,y 2 = 804,3 = 402,15 cm 3 2 τ Ed = 22,06 402, ,75 = 1,005 kn cm 2 1,005 1,0 0,063 < 1,0 27,5/ 3 1,0 Otpornost poprečnog presjeka na istovremeno djelovanje momenta savijanja, uzdužne i poprečne sile (interakcija M-V-N) (za x=2m) My,Ed = 42,92 knm Vz,Ed = 21,47 kn = 213,63 kn NEd Vz,Ed 0,5 Vpl,z,Rd V pl,z,rd = A V,Z f y 3 γ M0 Aračić, Mario 46

51 djelotvorna posmična površina A V,Z = A 2 b t f + (t w + 2r) t f η h w t w A V,Z = 62, ,15 + (0, ,8) 1,15 η 30,7 0,75 30,81 27,63 30,81 27,5 V pl,z,rd = = 489,17 kn 3 1,0 Vz,Ed 0,5 489,17 21,47 < 244,59 // ne moramo raditi redukciju poprečne sile M y,ed M el,y,rd + N Ed N el,rd 1,0 42,92 196, , ,78 1,0 0,343 1,0 OTPORNOST ELEMENTA Otpornost elementa na izvijanje duljine izvijanje Lcr,y = 400 k K C = I y L = = 29,43 (stup 3) 400 K 11 = 1,5 I y L K 1 = 1,5 I y L η 1 = = 1, = 1, = 143,83 (greda 8) = 46,46 (stup 4) K CC + K 1 29, ,46 = K CC + K 1 + K 11 + K 12 29, , , η 1 = 0,345 η 2 = 1,0 Aračić, Mario 47

52 k = 1 0,2 (η 1 + η 2 ) 0,12 η 1 η 2 1 0,8 (η 1 + η 2 ) + 0,6 η 1 η 2 1 0,2 (0, ) 0,12 0,345 1 k = 1 0,8 (0, ) + 0,6 0,345 1 = 2,29 Lcr,y = 400 2,29 = 916 cm Lcr,z = 400 cm (zbog bočnih pridržanja u drugom smjeru) Eulerove kritične sile izvijanja N cr,y = π2 E I y Lcr, y 2 N cr,y = π = 2907,40 kn N cr,z = π2 E I z Lcr, z 2 N cr,z = π , = 1020,89 Bezdimenzionalne vitkosti λ y = A f y 62,61 27,5 = N cr,y 2907,40 = 0,770 λ z = A f y 62,61 27,5 = N cr,z 1020,89 = 1,30 odabir linija izvijanja h/b = 2,06; tf < 40 mm y y = a α = 0,21 z z = b α = 0,34 Aračić, Mario 48

53 faktori reduckije za izvijanje oko osi y-y χ y = 1 φ y + φ 2 y λ 2 y φ y = 0,5 [1 + α λ y 0,2 + λ 2 y ] φ y = 0,5 [1 + 0,21 (0,770 0,2) + 0,770 2 ] φ y = 0,856 1 χ y = 0, , ,770 = 0,812 2 za izvijanje oko osi z-z 1 χ z = φ z + φ 2 z λ 2 z φ z = 0,5 [1 + α λ z 0,2 + λ 2 z ] φ z = 0,5 [1 + 0,34 (1,30 0,2) + 1,30 2 ] φ z = 1,532 1 χ z = 1, , ,30 = 0,427 2 χ = min ( χ y, χ z ) = 0,427 Proračunska otpornost na izvijanje N b,rd = χ N el,rd = 0, ,78 γγ 1 1,1 N b,rd = 734,00 kn uvjet nosivosti N Ed N b,rd 1,0 214,44 = 0,321 < 1,0 32,10 % 668,36 Otpornost elementa na bočno-torzijsko izvijanje π 2 EI Z M cr = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z Aračić, Mario 49

54 M cr = 1,77 π ,1 (1 400) ,1 + (1 400) ,15 π 2 + (0 Z ,1 g ) 2 0 Z g Mcr = 39396,63 kncm = 393,97 knm bezdimenzionalna vitkost λ LT = W eeee,yy f y 713,1 27,5 = M cr 39396,63 = 0,706 faktor redukcije (za opći slučaj) 1 χ LT = φ LT + φ 2 LT λ 2 LT φ LT = 0,5 [1 + α LT λ LT 0,2 + 2 λ LT ] h/b = 2,06 > 2 ; krivulja b, α LT = 0,34 φ LT = 0,5 [1 + 0,34 (0,706 0,2) + 0,706 2 ] φ LT = 0,835 1 χ LT = 0, , ,706 2 χ LT = 0,781 proračunska otpornost M b,rd = χ LT M el,rd = 0, ,10 γγ MM1 1,10 M b,rd = 139,23 knm uvjet nosivosti M Ed M b,rd 1,0 85,84 = 0,617 < 1,0 61,65% 139,23 Aračić, Mario 50

55 INTERAKCIJA M-N (po Metodi 1) π 2 EI Z M cr,0 = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z M cr,0 = 1,0 π ,1 (1 400) ,1 + (1 400) ,15 π 2 + (0 Z ,1 g ) 2 0 Z g Mcr = 22257,99 kncm = 222,58 knm λ 0 = W el,y f y 713,1 27,5 = M cr 22257,99 = 0,939 4 λ 0,lim = 0,2 C 1 1 N Ed 1 N Ed N cr,z N cr,tf N cr,tf = N cr,t za dvoosno simetrične presjeke N cr,t = 1 i 0 2 G I t + π2 E I w L cr,t 2 i 0 2 = i y 2 + i z 2 + y z 0 2 i y = I y A = = 13,71 cm 62,61 i z = I z A = 788,1 = 3,55 cm 62,61 yy 0, zz 0 = 0 (centar posmika i težište pp se poklapaju) i 0 2 = 13, , = 200,85 cm 2 N cr,t = 1 200, ,15 + π , N cr,t = 2416,13 kkkk Aračić, Mario 51

56 4 λ 0,lim = 0,2 1, ,44 214, , ,13 λ 0,lim = 0,245 Za slučaj: λ 0 > λ 0,lim ε y a LT C my = C my,0 + (1 C my,0 ) 1 + ε y a LT C mlt = C my 2 aa LLLL 1 N Ed N cr,z 1 N Ed N cr,t 0 određivanje C my,0-1 Ψ 1 C my,0 = 0,79 + 0,21 ψ + 0,36 (ψ 0,33) N Ed N cr,y C my,0 = 0,79 + 0, ,36 (0 0,33) C my,0 = 0,781 ε y = M y,ed N Ed A W el,y za klase 1,2,3 ε y = ,44 62,61 713,1 = 3,51 a LT = 1 I tt I y = 1 28, a LT = 0, , ,40 3,51 0,9976 C my = 0,781 + (1 0,781) 1 + 3,51 0,9976 C my = 0,924 < 1 Aračić, Mario 52

57 C mlt = 0, , , , , ,13 C mlt = 1,004 > 1 za klase 3 i 4 1 N Ed N cr,y 1 214, ,40 µ y = 1 χ y N = = 0,985 Ed 214,44 N 1 0,812 cr,y 2907,40 1 N Ed N 1 214,44 cr,z 1020,89 µ z = 1 χ z N = = 0,868 Ed 214,44 N 1 0,427 cr,z 1020,89 k yy = C my C mlt k yy = 0,924 1,004 k yy = 0,987 k zy = C my C mlt k zy = 0,924 1,004 k zy = 0,869 µ y 1 N Ed N cr,y 0, , ,40 µ z 1 N Ed N cr,y 0, , ,40 Aračić, Mario 53

58 1. 2. N EEEE χ y N RRRR γ MM1 + k yy 214,44 0, ,78 1,1 0, , ,0 0,778 1,0 77,80 % M yy,eeee χ LT M yy,rrrr γ MM1 + 0,987 + k yz 85,84 M zz,eeee M zz,rrrr γ MM1 1,0 0, ,10 1,1 + k yz 0 M zz,rrrr γ MM1 1,0 N EEEE χ z N RRRR γ MM1 + k zy 214,44 0, ,78 1,1 0, , ,0 M yy,eeee 0,857 1,0 85,70 % χ LT M yy,rrrr γ MM1 + 0,869 + k zz 85,84 M zz,eeee M zz,rrrr γ MM1 1,0 0, ,10 1,1 + k zz 0 M zz,rrrr γ MM1 1,0 Aračić, Mario 54

59 7.3 Proračun otpornosti elementa STUP 4 STUP 4 (zbog simetričnosti okvira mjerodavan i za stup 2 u slučaju vjetra s desne strane) Kombinacija opterećenja: stalno + vodeće uporabno + vjetar eksplozija + snijeg Aračić, Mario 55

60 Odabrani profil IPE 330 Kvaliteta materijala S 275 KLASIFIKACIJA HRBAT (tlak) c = h - 2 tf - 2r , c = 271 mm t = tw = 7,5mm c/t = 36,13 uvjet za klasu 1: c/t 33ε [ε = 0,92] 36,13 > 30,36 Aračić, Mario 56

61 uvjet za klasu 2: c/t 38ε [ε = 0,92] 36,13 > 34,96 uvjet za klasu 3: c/t 42ε [ε = 0,92] 36,13 < 38,64 HRBAT KLASE 3 POJASNICA (tlak) c = b t w 2r 2 c = 58,25 mm t = tf = 11,5 mm c/t = 5,065 uvjet za klasu 1: c/t 9ε [ε = 0,92] 5,065 < 8,28 POJASNICA KLASE 1 PP KLASE 3 OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA Otpornost na uzdužnu tlačnu silu N c,rd = N el,rd = A f y 62,61 27,5 = = 1721,78 kn γ M0 1,0 uvjet nosivosti N Ed N el,rd 1,0 21, ,78 1,0 1,27% Otpornost PP izloženog savijanju M c,rd = M el,y,rd = W el,y f y 713,1 27,5 = = 19610,25 kncm = 196,10kNm γ M0 1,0 uvjet nosivosti M y,ed M el,rd 1,0 98,89 = 0,504 < 1,0 50,40 % 196,10 Aračić, Mario 57

62 Posmična otpornost PP h w t w 72 ε η hw = h - 2 tf hw = 307 mm tw = 7,5mm 307 7,5 72 0,92 1,2 40,93 55,2 // nema opasnosti od izbočavanja hrpta τ Ed f y / 3 γ M0 1,0 τ Ed = V z,ed S y I y t w S y = W pl,y 2 = 804,3 = 402,15 cm 3 2 τ Ed = 39,36 402, ,75 = 1,79 kn cm 2 1,79 1,0 0,113 < 1,0 27,5/ 3 1,0 Otpornost poprečnog presjeka na istovremeno djelovanje momenta savijanja, uzdužne i poprečne sile (interakcija M-V-N) (za x=1,90) My,Ed = -27,84 knm Vz,Ed = 35,41 kn = -21,11 kn NEd Vz,Ed 0,5 Vpl,z,Rd V pl,z,rd = A V,Z f y 3 γ M0 djelotvorna posmična površina A V,Z = A 2 b t f + (t w + 2r) t f η h w t w A V,Z = 62, ,15 + (0, ,8) 1,15 η 30,7 0,75 Aračić, Mario 58

63 30,81 27,63 30,81 27,5 V pl,z,rd = = 489,17 kn 3 1,0 Vz,Ed 0,5 489,17 35,41 < 244,59 // nije potrebna redukcija poprečne sile M y,ed M el,y,rd + N Ed N el,rd 1,0 27,84 196, , ,78 1,0 0,154 1,0 OTPORNOST ELEMENTA Otpornost elementa na izvijanje duljine izvijanje Lcr,y = 380 k K C = I y L = = 30,97 (stup 4) 380 K 11 = 1,5 I y L K 21 = 1,5 I y L = 1, = 1, = 25,22 (greda 10) = 143,83 (greda 8) K 2 = 1,5 I y = 1,5 = 44,14(stup 3) L 400 K CC + K 1 30, η 1 = = K CC + K 1 + K 11 + K 12 30, , η 2 = K CC + K 2 30, ,14 = K CC + K 2 + K 21 + K 22 30, , , η 1 = 0,551 η 2 = 0,343 Aračić, Mario 59

64 k = 1 0,2 (η 1 + η 2 ) 0,12 η 1 η 2 1 0,8 (η 1 + η 2 ) + 0,6 η 1 η 2 1 0,2 (0, ,343) 0,12 0,551 0,343 k = 1 0,8 (0, ,343) + 0,6 0,551 0,343 = 1,416 Lcr,y = 380 1,416 = 538 cm Lcr,z = 380 cm (zbog bočnih pridržanja u drugom smjeru) Eulerove kritične sile izvijanja N cr,y = π2 E I y Lcr, y 2 N cr,y = π = 8428,13 kn N cr,z = π2 E I z Lcr, z 2 N cr,z = π , = 1131,18 Bezdimenzionalne vitkosti λ y = A f y 62,61 27,5 = N cr,y 8428,13 = 0,452 λ z = A f y 62,61 27,5 = N cr,z 1131,18 = 1,234 odabir linija izvijanja h/b = 2,06; tf < 40 mm y y = a α = 0,21 z z = b α = 0,34 Aračić, Mario 60

65 faktori reduckije za izvijanje oko osi y-y χ y = 1 φ y + φ 2 y λ 2 y φ y = 0,5 [1 + α λ y 0,2 + λ 2 y ] φ y = 0,5 [1 + 0,21 (0,452 0,2) + 0,452 2 ] φ y = 0,629 1 χ y = 0, , ,452 = 0,939 2 za izvijanje oko osi z-z 1 χ z = φ z + φ 2 z λ 2 z φ z = 0,5 [1 + α λ z 0,2 + λ 2 z ] φ z = 0,5 [1 + 0,34 (1,234 0,2) + 1,234 2 ] φ z = 1,437 1 χ z = 1, , ,234 = 0,460 2 χ = min ( χ y, χ z ) = 0,460 Proračunska otpornost na izvijanje N b,rd = χ N el,rd = 0, ,78 γγ 1 1,1 N b,rd = 720,02 kn uvjet nosivosti N Ed N b,rd 1,0 21,88 = 0,03 < 1,0 3,0 % 720,02 Otpornost elementa na bočno-torzijsko izvijanje π 2 EI Z M cr = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z ψ = 35,67 98,89 = 0,361 Aračić, Mario 61

66 INTERPOLACIJA C 1 2,05 = C 1 = 2,17 C 2 0,85 = C 2 = 0,77 2,33 2,05 ( 0,361 ( 0,25)) 0,50 ( 0,25) 0,68 0,85 ( 0,361 ( 0,25)) 0,50 ( 0,25) M cr = 2,17 π ,1 (1 380) ,1 + (1 380) ,15 π 2 + (0,77 0) ,1 2 (0,77 0) Mcr = 52281,14 kncm = 522,81 knm bezdimenzionalna vitkost λ LT = W eeee,yy f y 713,1 27,5 = M cr 52281,14 = 0,612 faktor redukcije (za opći slučaj) 1 χ LT = φ LT + φ 2 LT λ 2 LT φ LT = 0,5 [1 + α LT λ LT 0,2 + 2 λ LT ] h/b = 2,06 > 2 ; krivulja b, α LT = 0,34 φ LT = 0,5 [1 + 0,34 (0,612 0,2) + 0,612 2 ] φ LT = 0,757 1 χ LT = 0, , ,612 2 χ LT = 0,832 Aračić, Mario 62

67 proračunska otpornost M b,rd = χ LT M el,rd = 0, ,10 γγ MM1 1,10 M b,rd = 148,32 knm uvjet nosivosti M Ed M b,rd 1,0 98,89 = 0,667 < 1,0 66,70% 148,32 INTERAKCIJA M-N (po Metodi 1) π 2 EI Z M cr,0 = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z M cr,0 = 1,0 π ,1 (1 380) ,1 + (1 380) ,15 π 2 + (0 Z ,1 g ) 2 0 Z g Mcr = 24092,69 kncm = 240,93 knm λ 0 = W el,y f y 713,1 27,5 = M cr 24092,69 = 0,902 4 λ 0,lim = 0,2 C 1 1 N Ed 1 N Ed N cr,z N cr,tf N cr,tf = N cr,t za dvoosno simetrične presjeke N cr,t = 1 i 0 2 G I t + π2 E I w L cr,t 2 i 0 2 = i y 2 + i z 2 + y z 0 2 i y = I y A = = 13,71 cm 62,61 i z = I z A = 788,1 = 3,55 cm 62,61 Aračić, Mario 63

68 yy 0, zz 0 = 0 (centar posmika i težište pp se poklapaju) i 2 0 = 13, , = 200,85 cm 2 N cr,t = 1 200, ,15 + π N cr,t = 2554,85 kkkk 4 λ 0,lim = 0,2 2, ,88 21, , ,85 λ 0,lim = 0,296 Za slučaj: λ 0 > λ 0,lim εε yy aa LLLL C my = C my,0 + (1 C my,0 ) 1 + εε yy aa LLLL C mlt = C my 2 aa LLLL 1 N Ed N cr,z 1 N Ed N cr,t 0 određivanje C my,0-1 Ψ 1 ψ = 35,67 98,89 = 0,361 C my,0 = 0,79 + 0,21 ψ + 0,36 (ψ 0,33) N Ed N cr,y 21,88 C my,0 = 0,79 + 0,21 ( 0,361) + 0,36 ( 0,361 0,33) 8428,13 C my,0 = 0,714 ε y = M y,ed N Ed A W el,y za klase 1,2,3 ε y = ,88 62,61 713,1 = 39,68 Aračić, Mario 64

69 a LT = 1 I tt I y = 1 28, a LT = 0,9976 C my = 0,714 + (1 0,714) C my = 0,961 < 1 39,68 0, ,68 0,9976 C mlt = 0, , , , , ,85 C mlt = 0,935 > 1 C mlt = 1,0 za klase 3 i 4 1 N Ed N cr,y 1 21, ,13 µ y = 1 χ y N = = 0,999 Ed 21,88 N 1 0,939 cr,y 8428,13 1 N Ed N 1 21,88 cr,z 1131,18 µ z = 1 χ z N = = 0,990 Ed 21,88 N 1 0,460 cr,z 1131,18 k yy = C my C mlt k yy = 0,961 1,0 k yy = 0,963 k zy = C my C mlt k zy = 0,961 1,0 k zy = 0,954 µ y 1 N Ed N cr,y 0, , ,13 µ z 1 N Ed N cr,y 0, , ,13 Aračić, Mario 65

70 1. 2. N EEEE χ y N RRRR γ MM1 + k yy 21,88 0, ,78 1,1 0, , ,0 0,657 1,0 65,70 % M yy,eeee χ LT M yy,rrrr γ MM1 + 0,963 + k yz 98,89 M zz,eeee M zz,rrrr γ MM1 1,0 0, ,10 1,1 + k yz 0 M zz,rrrr γ MM1 1,0 N EEEE χ z N RRRR γ MM1 + k zy 21,88 0, ,78 1,1 0, , ,0 M yy,eeee 0,609 1,0 60,90 % χ LT M yy,rrrr γ MM1 + 0,869 + k zz 98,89 M zz,eeee M zz,rrrr γ MM1 1,0 0, ,10 1,1 + k zz 0 M zz,rrrr γ MM1 1,0 Aračić, Mario 66

71 7.4 Proračun otpornosti elementa STUP 5 STUP 5 Kombinacija opterećenja: stalno + vodeće uporabno + vjetar implozija + snijeg Aračić, Mario 67

72 Odabrani profil IPE 330 Kvaliteta materijala S 275 KLASIFIKACIJA HRBAT (tlak) c = h - 2 tf - 2r , c = 271 mm t = tw = 7,5mm c/t = 36,13 uvjet za klasu 1: c/t 33ε [ε = 0,92] 36,13 > 30,36 uvjet za klasu 2: c/t 38ε [ε = 0,92] 36,13 > 34,96 Aračić, Mario 68

73 uvjet za klasu 3: c/t 42ε [ε = 0,92] 36,13 < 38,64 HRBAT KLASE 3 POJASNICA (tlak) c = b t w 2r 2 c = 58,25 mm t = tf = 11,5 mm c/t = 5,065 uvjet za klasu 1: c/t 9ε [ε = 0,92] 5,065 < 8,28 POJASNICA KLASE 1 PP KLASE 3 OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA Otpornost na uzdužnost tlačnu silu N c,rd = N el,rd = A f y 62,61 27,5 = = 1721,78 kn γ M0 1,0 uvjet nosivosti N Ed N el,rd 1,0 453, ,78 1,0 26,35 % Otpornost PP izloženog savijanju M c,rd = M el,y,rd = W el,y f y 713,1 27,5 = = 19610,25 kncm = 196,10kNm γ M0 1,0 uvjet nosivosti M y,ed M el,rd 1,0 37,03 = 0,189 < 1,0 18,90% 196,10 Aračić, Mario 69

74 Posmična otpornost PP h w t w 72 ε η hw = h - 2 tf hw = 307 mm tw = 7,5mm 307 7,5 72 0,92 1,2 40,93 55,2 // nema opasnosti od izbočavanja hrpta τ Ed f y / 3 γ M0 1,0 τ Ed = V z,ed S y I y t w S y = W pl,y 2 = 804,3 = 402,15 cm 3 2 τ Ed = 16,30 402, ,75 = 0,743 kn cm 2 0,743 1,0 0,047 < 1,0 27,5/ 3 1,0 Otpornost poprečnog presjeka na istovremeno djelovanje momenta savijanja, uzdužne i poprečne sile (interakcija M-V-N) (za x=1m) My,Ed = -20,78 knm Vz,Ed = 16,30 kn = -453,21 kn NEd Vz,Ed 0,5 Vpl,z,Rd V pl,z,rd = A V,Z f y 3 γ M0 Aračić, Mario 70

75 djelotvorna posmična površina A V,Z = A 2 b t f + (t w + 2r) t f η h w t w A V,Z = 62, ,15 + (0, ,8) 1,15 η 30,7 0,75 30,81 27,63 30,81 27,5 V pl,z,rd = = 489,17 kn 3 1,0 Vz,Ed 0,5 489,17 16,30 < 244,59 // ne moramo raditi redukciju poprečne sile M y,ed M el,y,rd + N Ed N el,rd 1,0 20,78 196, , ,78 1,0 0,369 1,0 OTPORNOST ELEMENTA Otpornost elementa na izvijanje duljine izvijanje Lcr,y = 400 k K C = I y L = = 29,43 (stup 5) 400 K 11 = 1,5 I y L K 12 = 1,5 I y L K 1 = 1,5 I y L = 1, = 1, = 1, K CC + K 1 η 1 = K CC + K 1 + K 11 + K 12 η 1 = = 143,83 (greda 7) = 143,83 (greda 8) = 46,46 (stup 6) 29, ,46 29, , , ,83 Aračić, Mario 71

76 η 1 = 0,209 η 2 = 0 k = 1 0,2 (η 1 + η 2 ) 0,12 η 1 η 2 1 0,8 (η 1 + η 2 ) + 0,6 η 1 η 2 1 0,2 (0, ) 0,12 0,209 0 k = 1 0,8 (0, ) + 0,6 0,209 0 = 1,07 Lcr,y = 400 1,07 = 428 cm Lcr,z = 400 cm (zbog bočnih pridržanja u drugom smjeru) Eulerove kritične sile izvijanja N cr,y = π2 E I y Lcr, y 2 N cr,y = π = 13317,05 kn N cr,z = π2 E I z Lcr, z 2 N cr,z = π , = 1020,89 Bezdimenzionalne vitkosti λ y = A f y 62,61 27,5 = N cr,y 13317,05 = 0,360 λ z = A f y 62,61 27,5 = N cr,z 1020,89 odabir linija izvijanja h/b = 2,06; tf < 40 mm y y = a α = 0,21 z z = b α = 0,34 = 1,30 Aračić, Mario 72

77 faktori reduckije za izvijanje oko osi y-y χ y = 1 φ y + φ 2 y λ 2 y φ y = 0,5 [1 + α λ y 0,2 + λ 2 y ] φ y = 0,5 [1 + 0,21 (0,360 0,2) + 0,360 2 ] φ y = 0,582 1 χ y = 0, , ,360 = 0,962 2 za izvijanje oko osi z-z 1 χ z = φ z + φ 2 z λ 2 z φ z = 0,5 [1 + α λ z 0,2 + λ 2 z ] φ z = 0,5 [1 + 0,34 (1,30 0,2) + 1,30 2 ] φ z = 1,532 1 χ z = 1, , ,30 = 0,427 2 χ = min ( χ y, χ z ) = 0,427 Proračunska otpornost na izvijanje N b,rd = χ N el,rd = 0, ,78 γγ 1 1,1 N b,rd = 668,36 kn uvjet nosivosti N Ed N b,rd 1,0 453,61 = 0,679 < 1,0 67,90% 668,36 Otpornost elementa na bočno-torzijsko izvijanje π 2 EI Z M cr = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z ψ = 28,17 37,03 = 0,761 C 1 = 2,56 Aračić, Mario 73

78 M cr = 2,56 π ,1 (1 400) ,1 + (1 400) ,15 π 2 + (0 Z ,1 g ) 2 0 Z g Mcr = 56980,44 kncm = 569,80 knm bezdimenzionalna vitkosta λ LT = W eeee,yy f y 713,1 27,5 = M cr 56980,44 = 0,587 faktor redukcije (za opći slučaj) 1 χ LT = φ LT + φ 2 LT λ 2 LT φ LT = 0,5 [1 + α LT λ LT 0,2 + 2 λ LT ] h/b = 2,06 > 2 ; krivulja b, α LT = 0,34 φ LT = 0,5 [1 + 0,34 (0,587 0,2) + 0,587 2 ] φ LT = 0,738 1 χ LT = 0, , ,587 2 χ LT = 0,844 proračunska otpornost M b,rd = χ LT M el,rd = 0, ,10 γγ MM1 1,10 M b,rd = 150,46 knm uvjet nosivosti M Ed M b,rd 1,0 37,03 = 0,246 < 1,0 24,61% 150,46 Aračić, Mario 74

79 INTERAKCIJA M-N (po Metodi 1) π 2 EI Z M cr,0 = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z M cr,0 = 1,0 π ,1 (1 400) ,1 + (1 400) ,15 π 2 + (0 Z ,1 g ) 2 0 Z g Mcr = 22257,99 kncm = 222,58 knm λ 0 = W el,y f y 713,1 27,5 = M cr 22257,99 = 0,939 4 λ 0,lim = 0,2 C 1 1 N Ed 1 N Ed N cr,z N cr,tf N cr,tf = N cr,t za dvoosno simetrične presjeke N cr,t = 1 i 0 2 G I t + π2 E I w L cr,t 2 i 0 2 = i y 2 + i z 2 + y z 0 2 i y = I y A = = 13,71 cm 62,61 i z = I z A = 788,1 = 3,55 cm 62,61 yy 0, zz 0 = 0 (centar posmika i težište pp se poklapaju) i 0 2 = 13, , = 200,85 cm 2 N cr,t = 1 200, ,15 + π N cr,t = 2416,13 kkkk Aračić, Mario 75

80 4 λ 0,lim = 0,2 2, ,61 453, , ,13 λ 0,lim = 0,262 Za slučaj: λ 0 > λ 0,lim εε yy aa LLLL C my = C my,0 + (1 C my,0 ) 1 + εε yy aa LLLL C mlt = C my 2 aa LLLL 1 N Ed N cr,z 1 N Ed N cr,t 0 određivanje C my,0-1 Ψ 1 C my,0 = 0,79 + 0,21 ψ + 0,36 (ψ 0,33) N Ed N cr,y C my,0 = 0,79 + 0,21 ( 0,731) + 0,36 ( 0,731 0,33) C my,0 = 0,623 ε y = M y,ed N Ed A W el,y za klase 1,2,3 ε y = ,61 62,61 713,1 = 0,717 a LT = 1 I tt I y = 1 28, a LT = 0,9976 0,717 0,9976 C my = 0,623 + (1 0,623) 1 + 0,717 0,9976 C my = 0,796 < 1 C mlt = 0, , , , , ,13 453, ,05 Aračić, Mario 76

81 1. C mlt = 0,941 > 1 C mlt = 1,0 1 N Ed N cr,y 1 453, ,05 µ y = 1 χ y N = = 0,999 Ed 453,61 N 1 0,963 cr,y 13317,05 1 N Ed N 1 453,61 cr,z 1020,89 µ z = 1 χ z N = = 0,686 Ed 453,61 N 1 0,427 cr,z 1020,89 za klase 3 i 4 k yy = C my C mlt k yy = 0,796 1,0 k yy = 0,823 k zy = C my C mlt µ y 1 N Ed N cr,y 0, , ,05 µ z 1 N Ed N cr,y 0,868 k zy = 0,796 1, , ,05 k zy = 0,715 N EEEE χ y N RRRR γ MM1 + k yy M yy,eeee χ LT M yy,rrrr γ MM1 453,61 0, ,78 + 0,823 1,1 0, , ,0 0,504 1,0 50,4 % + k yz M zz,eeee M zz,rrrr γ MM1 1,0 37,03 0, ,10 1,1 + k yz 0 M zz,rrrr γ MM1 1,0 Aračić, Mario 77

82 2. N EEEE χ z N RRRR γ MM1 + k zy 453,61 0, ,78 1,1 0, , ,0 M yy,eeee 0,855 1,0 85,50 % χ LT M yy,rrrr γ MM1 + 0,715 + k zz 37,03 M zz,eeee M zz,rrrr γ MM1 1,0 0, ,10 1,1 + k zz 0 M zz,rrrr γ MM1 1,0 Provjera otpornosti elementa na kombinaciju opterećenja s maksimalnim momentom savijanja. Kombinacija 12 (robot); stalno + vodeće vjetar implozija + uporabno + snijeg Odabrani profil IPE 330 Kvaliteta materijala S 275 KLASIFIKACIJA HRBAT (tlak) c = h - 2 tf - 2r , c = 271 mm Aračić, Mario 78

83 t = tw = 7,5mm c/t = 36,13 uvjet za klasu 1: c/t 33ε [ε = 0,92] 36,13 > 30,36 uvjet za klasu 2: c/t 38ε [ε = 0,92] 36,13 > 34,96 uvjet za klasu 3: c/t 42ε [ε = 0,92] 36,13 < 38,64 HRBAT KLASE 3 POJASNICA (tlak) c = b t w 2r 2 c = 58,25 mm t = tf = 11,5 mm c/t = 5,065 uvjet za klasu 1: c/t 9ε [ε = 0,92] 5,065 < 8,28 POJASNICA KLASE 1 PP KLASE 3 OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA Otpornost na uzdužnost tlačnu silu N c,rd = N el,rd = A f y 62,61 27,5 = = 1721,78 kn γ M0 1,0 uvjet nosivosti N Ed N el,rd 1,0 353,45 = 0,205 1,0 20,50 % 1721,78 Aračić, Mario 79

84 Otpornost PP izloženog savijanju M c,rd = M el,y,rd = W el,y f y 713,1 27,5 = = 19610,25 kncm = 196,10kNm γ M0 1,0 uvjet nosivosti M y,ed M el,rd 1,0 61,71 = 0,318 < 1,0 31,50 % 196,10 Posmična otpornost PP h w t w 72 ε η hw = h - 2 tf hw = 307 mm tw = 7,5mm 307 7,5 72 0,92 1,2 40,93 55,2 // nema opasnosti od izbočavanja hrpta τ Ed f y / 3 γ M0 1,0 τ Ed = V z,ed S y I y t w S y = W pl,y 2 = 804,3 = 402,15 cm 3 2 τ Ed = 27,17 402, ,75 = 1,239 kn cm 2 1,239 1,0 0,078 < 1,0 27,5/ 3 1,0 Otpornost poprečnog presjeka na istovremeno djelovanje momenta savijanja, uzdužne i poprečne sile (interakcija M-V-N) (za x=1m) My,Ed = - 34,64 knm Vz,Ed = 27,17 kn = - 353,05 kn NEd Aračić, Mario 80

85 Vz,Ed 0,5 Vpl,z,Rd V pl,z,rd = A V,Z f y 3 γ M0 djelotvorna posmična površina A V,Z = A 2 b t f + (t w + 2r) t f η h w t w A V,Z = 62, ,15 + (0, ,8) 1,15 η 30,7 0,75 30,81 27,63 30,81 27,5 V pl,z,rd = = 489,17 kn 3 1,0 Vz,Ed 0,5 489,17 27,17 < 244,59 // ne moramo raditi redukciju poprečne sile M y,ed M el,y,rd + N Ed N el,rd 1,0 34,64 196, , ,78 1,0 0,382 1,0 OTPORNOST ELEMENTA Otpornost elementa na izvijanje duljine izvijanje Lcr,y = 400 k K C = I y L = = 29,43 (stup 5) 400 K 11 = 1,5 I y L K 12 = 1,5 I y L K 1 = 1,5 I y L = 1, = 1, = 1, = 143,83 (greda 7) = 143,83 (greda 8) = 46,46 (stup 6) Aračić, Mario 81

86 K CC + K 1 η 1 = K CC + K 1 + K 11 + K 12 η 1 = 29, ,46 29, , , ,83 η 1 = 0,209 η 2 = 0 k = 1 0,2 (η 1 + η 2 ) 0,12 η 1 η 2 1 0,8 (η 1 + η 2 ) + 0,6 η 1 η 2 1 0,2 (0, ) 0,12 0,209 0 k = 1 0,8 (0, ) + 0,6 0,209 0 = 1,07 Lcr,y = 400 1,07 = 428 cm Lcr,z = 400 cm (zbog bočnih pridržanja u drugom smjeru) Eulerove kritične sile izvijanja N cr,y = π2 E I y Lcr, y 2 N cr,y = π = 13317,05 kn N cr,z = π2 E I z Lcr, z 2 N cr,z = π , = 1020,89 Bezdimenzionalne vitkosti λ y = A f y 62,61 27,5 = N cr,y 13317,05 = 0,360 λ z = A f y 62,61 27,5 = N cr,z 1020,89 odabir linija izvijanja h/b = 2,06; tf < 40 mm = 1,30 Aračić, Mario 82

87 y y = a α = 0,21 z z = b α = 0,34 faktori reduckije za izvijanje oko osi y-y χ y = 1 φ y + φ 2 y λ 2 y χ y = φ y = 0,5 [1 + α λ y 0,2 + λ 2 y ] φ y = 0,5 [1 + 0,21 (0,360 0,2) + 0,360 2 ] φ y = 0, , , ,360 2 = 0,962 za izvijanje oko osi z-z 1 χ z = φ z + φ 2 z λ 2 z φ z = 0,5 [1 + α λ z 0,2 + λ 2 z ] φ z = 0,5 [1 + 0,34 (1,30 0,2) + 1,30 2 ] φ z = 1,532 χ z = 1 1, , ,30 2 = 0,427 χ = min ( χ y, χ z ) = 0,427 Proračunska otpornost na izvijanje N b,rd = χ N el,rd = 0, ,78 γγ 1 1,1 N b,rd = 668,36 kn uvjet nosivosti N Ed N b,rd 1,0 353,05 = 0,528 < 1,0 52,80% 668,36 Aračić, Mario 83

88 Otpornost elementa na bočno-torzijsko izvijanje π 2 EI Z M cr = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z ψ = 46,95 61,71 = 0,761 C 1 = 2,56 M cr = 2,56 π ,1 (1 400) ,1 + (1 400) ,15 π 2 + (0 Z ,1 g ) 2 0 Z g Mcr = 56980,44 kncm = 569,80 knm bezdimenzionalna vitkost λ LT = W eeee,yy f y 713,1 27,5 = M cr 56980,44 = 0,587 faktor redukcije (za opći slučaj) χ LT = 1 φ LT + φ 2 LT λ 2 LT φ LT = 0,5 [1 + α LT λ LT 0,2 + 2 λ LT ] h/b = 2,06 > 2 ; krivulja b, α LT = 0,34 φ LT = 0,5 [1 + 0,34 (0,587 0,2) + 0,587 2 ] φ LT = 0,738 1 χ LT = 0, , ,587 2 χ LT = 0,844 Aračić, Mario 84

89 proračunska otpornost M b,rd = χ LT M el,rd = 0, ,10 γγ MM1 1,10 M b,rd = 150,46 knm uvjet nosivosti M Ed M b,rd 1,0 61,71 = 0,410 < 1,0 41,00% 150,46 INTERAKCIJA M-N (po Metodi 1) π 2 EI Z M cr,0 = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z M cr,0 = 1,0 π ,1 (1 400) ,1 + (1 400) ,15 π 2 + (0 Z ,1 g ) 2 0 Z g Mcr = 22257,99 kncm = 222,58 knm λ 0 = W el,y f y 713,1 27,5 = M cr 22257,99 = 0,939 4 λ 0,lim = 0,2 C 1 1 N Ed 1 N Ed N cr,z N cr,tf N cr,tf = N cr,t za dvoosno simetrične presjeke N cr,t = 1 i 0 2 G I t + π2 E I w L cr,t 2 i 0 2 = i y 2 + i z 2 + y z 0 2 i y = I y A = = 13,71 cm 62,61 Aračić, Mario 85

90 i z = I z A = 788,1 = 3,55 cm 62,61 yy 0, zz 0 = 0 (centar posmika i težište pp se poklapaju) i 0 2 = 13, , = 200,85 cm 2 N cr,t = 1 200, ,15 + π N cr,t = 2416,13 kkkk 4 λ 0,lim = 0,2 2, ,45 353, , ,13 λ 0,lim = 0,277 Za slučaj: λ 0 > λ 0,lim εε yy aa LLLL C my = C my,0 + (1 C my,0 ) 1 + εε yy aa LLLL C mlt = C my 2 aa LLLL 1 N Ed N cr,z 1 N Ed N cr,t 0 određivanje C my,0-1 Ψ 1 C my,0 = 0,79 + 0,21 ψ + 0,36 (ψ 0,33) N Ed N cr,y C my,0 = 0,79 + 0,21 ( 0,731) + 0,36 ( 0,731 0,33) C my,0 = 0,626 ε y = M y,ed N Ed A W el,y za klase 1,2,3 353, ,05 Aračić, Mario 86

91 ε y = ,45 62,61 713,1 = 1,533 a LT = 1 I tt I y = 1 28, a LT = 0,9976 1,533 0,9976 C my = 0,626 + (1 0,626) 1 + 1,533 0,9976 C my = 0,833 < 1 C mlt = 0, , , , , ,13 C mlt = 0,926 > 1 C mlt = 1,0 1 N Ed N cr,y 1 353, ,05 µ y = 1 χ y N = = 0,999 Ed 353,45 N 1 0,963 cr,y 13317,05 1 N Ed N 1 353,05 cr,z 1020,89 µ z = 1 χ z N = = 0,768 Ed 353,05 N 1 0,427 cr,z 1020,89 za klase 3 i 4 k yy = C my C mlt k yy = 0,833 1,0 k yy = 0,855 k zy = C my C mlt k zy = 0,833 1,0 k zy = 0,657 µ y 1 N Ed N cr,y 0, , ,05 µ z 1 N Ed N cr,y 0, , ,05 Aračić, Mario 87

92 1. N Ed χ y N Rk γ M1 + k yy 353,45 0, ,78 1,1 0, , ,0 0,585 1,0 58,5 % M y,ed χ LT M y,rk γ M1 + 0,855 + k yz 61,71 M z,ed M z,rk γ M1 1,0 0, ,10 1,1 + k yz 0 M z,rk γ M1 1,0 2. N Ed χ z N Rk γ M1 + k zy M y,ed χ LT M y,rk γ M1 353,45 0, ,78 + 0,657 1,1 0, , ,0 0,798 1,0 79,80 % + k zz M z,ed M z,rk γ M1 1,0 61,71 0, ,10 1,1 + k zz 0 M z,rk γ M1 1,0 Profil IPE 330 zadovoljava uvjete nosivosti pri maksimalnom momentu savijanja i pripadajućoj uzdužnoj i poprečnoj sili. Aračić, Mario 88

93 7.5 Proračun otpornosti elementa GREDA 7 GREDA 7 (zbog simetričnosti okvira mjerodavna i za gredu 8 u slučaju vjetra s desne strane) Kombinacija opterećenja: stalno + vodeće uporabno + vjetar eksplozija Aračić, Mario 89

94 Odabrani profil IPE 550 Kvaliteta materijala S 275 KLASIFIKACIJA HRBAT (tlak + savijanje) c = d = h - 2 tf - 2r , c = d = 467,6 mm t = tw = 11,1 mm c/t = 42,13 Aračić, Mario 90

95 određivanje položaja neutralne osi a = N Ed = 2 t w f y γ M0 4,53 2 1,11 27,5 1 = 0,074 cm α = 1 d d 2 + a = 1 46,76 46,76 0,074 = 0,498 2 uvjet za klasu 1: za αα >0,5 c/t 396 ε /(13 αα -1) [ε = 0,92] 42,13< 396 0,92 / (13 0,502-1) 42,13 < 65,93 HRBAT klase 1 POJASNICA (tlak) c = b t w 2r 2 c = 75,45 mm t = tf = 17,2 mm c/t = 4,75 = , uvjet za klasu 1: c/t 9ε [ε = 0,92] 69,30/ 14,60 9 0,92 4,39 < 8,28 POJASNICA KLASE 1 PP KLASE 1 OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA Otpornost PP izloženog savijanju M c,rd = M pl,rd = W pl,y f y ,5 = = 76642,5 kncm = 766,43 knm γ M0 1,0 uvjet nosivosti M Ed M el,rd 1,0 267,46 = 0,349 < 1,0 34,90% 766,43 Aračić, Mario 91

96 Posmična otpornost PP h w t w 72 ε η hw = h - 2 tf = ,2 hw = 515,6 mm tw = 11,1 mm 515,6 11,1 72 0,92 1,2 46,45 55,2 // nema opasnosti od izbočavanja hrpta Otpornost PP na istovremeno djelovanje momenta savijanja i poprečne sile V z,ed 0,5 V pl,z,rd V pl,z,rd = A V,Z f y 3 γ M0 djelotvorna posmična površina poprečnog presjeka A V,Z = A 2 b t f + (t w + 2r) t f η h w t w A V,Z = 134, ,72 + (1, ,4) 1,72 1,2 51,56 1,11 = 72,33 68,68 V pl,z,rd = A V,Z f y 50,84 27,5 = = 1148,39 kn 3 γ M0 3 1 V z,ed 0,5 1148,39 209,09 < 574,20 OTPORNOST ELEMENTA Otpornost elementa na bočno torzijsko izvijanje π 2 EI Z M cr = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z Aračić, Mario 92

97 Vrijednost faktora C1 i C2 s obzirom na nesimetriju momentnog dijagrama za slučaj: µ < 0 µ = q L2 8M q = stalno opterećenje + uporabno opterećenje stalno opterećenje vlastita težina = 106 kg 9,81 1,35 = 1403,81N = 1,40 kn/m m slojevi poda međukatne konstrukcije = 4,20 1,35 = 5,67 kn/m pregradni zidovi = 3 1,35 = 4,05 kn/m uporabno opterećenje uporabno opterećenje od trgovine = 30 1,5 = 45 kn/m q = 1,40 + 5,67 + 4, q = 56,12 kn/m 56,12 72 µ = 8 267,46 = 1,285 ψ = 156,46 267,46 = 0,585 Aračić, Mario 93

98 µ < 0 očitano: C1 = 2,39, C2 = 1,38 Aračić, Mario 94

99 M cr = 2,39 π (1 700) (1 700) ,20 π 2 + (1,38 27,5) (1,38 27,5) C1 = 2,39, C2 = 1,38 L = 700 cm E = kn/cm 2 IZ = 2668 cm 4 Iw = cm 6 It = 123,20 cm 4 G = 8077 kn/ cm 2 Zg = h/2 = 27,5 cm k = kw = 1,0 Mcr = 46062,88 kncm = 460,63 knm bezdimenzionalna vitkost λ LT = W pppp,yy f y ,5 = M cr 45609,06 = 1,296 λ LT,0 = 0,4 λ LT > λ LT,0 mora se uzeti u obzir bočno-torzijsko izvijanje faktor redukcije (opći slučaj) χ LT = φ LT = 0,5 [1 + α LT λ LT 0,2 + λ 2 LT ] h/b = 2,62 > 2 ; krivulja b, α LT = 0,34 φ LT = 0,5 [1 + 0,34 (1,296 0,2) + 1,296 2 ] φ LT = 1,517 1 φ LT + φ 2 LT λ 2 LT Aračić, Mario 95

100 1 χ LT = 1, , ,296 2 χ LT = 0,432 proračunska otpornost M b,rd = χ LT M pl,rd = 0,432 76,43 γγ MM1 1,1 M b,rd = 301,00 knm uvjet nosivosti M Ed M b,rd 1,0 267,46 = 0,8857 < 1,0 88,86 % 301,00 Aračić, Mario 96

101 Proračun otpornosti poprečnog presjeka (IPE 550)i elementa pri djelovanju maksimalne tlačne sile Kombinacija opterećenja: stalno + vjetar implozija KLASIFIKACIJA HRBAT (tlak) c = d = h - 2 tf - 2r , c = d = 467,6 mm t = tw = 11,1 mm c/t = 42,13 uvjet za klasu 1: c/t 33 ε [ε = 0,92] 42,13 > 30,36 uvjet za klasu 2: c/t 38 ε [ε = 0,92] 42,13 > 34,96 Aračić, Mario 97

102 uvjet za klasu 3: c/t 42 ε [ε = 0,92] 42,13 > 38,64 HRBAT klase 4 POJASNICA (tlak) c = b t w 2r 2 c = 75,45 mm t = tf = 17,2 mm c/t = 4,75 = , uvjet za klasu 1: c/t 9ε [ε = 0,92] 69,30/ 14,60 9 0,92 4,39 < 8,28 POJASNICA KLASE 1 PP KLASE 4 Redukcija poprečnog presjeka djelotvorna površina poprečnog presjeka HRBAT u tlaku ψ = σσ 1 σσ 2 = 1 h = b = d = 46,76cm λ p = b t 28,4 ε k σ = 46,76 1,11 28,4 0,92 4 = 0,806 > 0,673 redukcija ρ = λ p 0,055 (3 + ψ) 0,806 0,055 (3 + 1) λ 2 = p 0,806 2 = 0,902 h eff = 0,902 h = 0,902 46,76 h eff = 42,18cm A eff = A A = 134,4 (46,76 42,18) 1,11 A eff = 129,32 cm 2 Aračić, Mario 98

103 visina reduciranog dijela hrpta 46,76-42,18 = 4,58cm I y,eff = I y,a1 + I y,a2 + I y,a3 + I y,a4 I y,a1 = b h P A1 S ,723 = + (21 1,72) 26,64 2 = 25642,89 cm 4 12 I y,a2 = b h P A2 S 2 1,11 23,493 = + (1,11 23,49) 14, = 6334,99 cm 4 I y,a3 = b h P A3 S ,723 = + (21 1,72) 26,64 2 = 25642,89 cm 4 12 I y,a4 = b h P A4 S 2 1,11 23,493 = + (1,11 23,49) 14, = 6334,99 cm 4 I y,eff = 25642, , , ,99 I y,eff = 63955,76 cm 4 Aračić, Mario 99

104 W eff,y,min = I y,eff ZZ = 63955,76 27,5 HRBAT u savijanju h = b = d = 46,76cm λ p = b t 28,4 ε k σ = nema redukcije I y = cm 4 W y,el = 2441 cm 3 OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA Otpornost na uzdužnu tlačnu silu = 2325,66 cm 3 46,76 1,11 = 0,303 < 0,673 28,4 0,92 23,9 N c,rd = N el,rd = A eff f y 129,32 27,5 = = 3556,3 kn γ M0 1,0 uvjet nosivosti N Ed N el,rd 1,0 19, ,3 1,0 0,55 % Otpornost PP izloženog savijanju M c,rd = M el,rd = W y,el f y ,5 = = 67127,5 kncm = 671,28 knm γ M0 1,0 uvjet nosivosti M Ed M el,rd 1,0 69,62 = 0,104 < 1,0 10,40 % 671,28 Posmična otpornost PP h w t w 72 ε η hw = h - 2 tf = ,2 hw = 515,6 mm tw = 11,1 mm Aračić, Mario 100

105 515,6 11,1 72 0,92 1,2 46,45 55,2 // nema opasnosti od izbočavanja hrpta τ Ed f y / 3 γ M0 1,0 τ Ed = V z,ed S y I y t w S y = W pl,y 2 = 2787 = 1393,5 cm3 2 τ Ed = 43, , ,11 = 0,823 kn cm 2 0,823 1,0 0,051 < 1,0 27,5/ 3 1,0 V z,ed 0,5 V pl,z,rd V pl,z,rd = A V,Z f y 3 γ M0 djelotvorna posmična površina poprečnog presjeka A V,Z = A 2 b t f + (t w + 2r) t f η h w t w = 134, ,72 + (1, ,4) 1,72 1,2 51,56 1,11 = 72,33 68,68 V pl,z,rd = A V,Z f y 50,84 27,5 = = 1148,39 kn 3 γ M0 3 1 V z,ed 0,5 1148,39 43,99 < 574,20 // nije potrebna redukcija poprečne sile M y,ed M el,y,rd + N Ed N el,rd 1,0 69,62 671, , ,3 1,0 0,109 1,0 Aračić, Mario 101

106 OTPORNOST ELEMENATA Otpornost elementa na izvijanje duljine izvijanje Lcr,y = 700 k K C = I y L = = 95,89 (greda 7) 700 K 11 = 1,5 I y L K 12 = 1,5 I y L K 21 = 1,5 I y L K 22 = 1,5 I y L = 1, = 1, = 1, = 1, = 46,46 (stup 6) = 44,14 (stup 5) = 46,46 (stup 2) = 44,14 (stup 1) K 1 = 1,5 I y L = = 143,83 (greda 8) 700 K CC + K 1 η 1 = K CC + K 1 + K 11 + K 12 η 1 = 95, ,83 95, , , ,14 η 1 = 0,726 K C + K 2 η 2 = K C + K 2 + K 21 + K 22 η 2 = 95, , , ,14 η 2 = 0,514 k = 1 0,2 (η 1 + η 2 ) 0,12 η 1 η 2 1 0,8 (η 1 + η 2 ) + 0,6 η 1 η 2 1 0,2 (0, ,514) 0,12 0,726 0,514 k = 1 0,8 (0, ,514) + 0,6 0,726 0,514 = 1,75 Aračić, Mario 102

107 Lcr,y = 700 1,75 = 1225 cm Lcr,z = 700 cm (zbog bočnih pridržanja u drugom smjeru) Eulerove kritične sile izvijanja N cr,y = π2 E I y,eff Lcr, y 2 N cr,y = π , = 8838,87 kn N cr,z = π2 E I z Lcr, z 2 N cr,z = π = 1128,52 Bezdimenzionalne vitkosti λ y = A eff f y 129,32 27,5 = N cr,y 8838,89 = 0,634 λ z = A eff f y 129,32 27,5 = N cr,z 1128,52 odabir linija izvijanja h/b = 2,62; tf < 40 mm y y = a α = 0,21 z z = b α = 0,34 faktori reduckije za izvijanje oko osi y-y χ y = 1 φ y + φ 2 y λ 2 y = 1,78 φ y = 0,5 [1 + α λ y 0,2 + λ 2 y ] φ y = 0,5 [1 + 0,21 (0,634 0,2) + 0,634 2 ] φ y = 0,747 Aračić, Mario 103

108 χ y = 1 0, , ,634 2 = 0,877 za izvijanje oko osi z-z 1 χ z = φ z + φ 2 z λ 2 z φ z = 0,5 [1 + α λ z 0,2 + λ 2 z ] φ z = 0,5 [1 + 0,34 (1,78 0,2) + 1,78 2 ] φ z = 2,353 1 χ z = 2, , ,78 = 0,257 2 χ = min ( χ y, χ z ) = 0,257 Proračunska otpornost na izvijanje N b,rd = χ N el,rd = 0, ,3 γγ 1 1,1 N b,rd = 830,88 kn uvjet nosivosti N Ed N b,rd 1,0 19,42 = 0,023 < 1,0 2,30 % 830,88 Otpornost elementa na bočno torzijsko izvijanje π 2 EI Z M cr = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z Vrijednost faktora C1 i C2 s obzirom na nesimetriju momentnog dijagrama za slučaj: Aračić, Mario 104

109 µ < 0 µ = q L2 8M q = stalno opterećenje stalno opterećenje vlastita težina = 106 kg 9,81 1,35 = 1403,81N = 1,40 kn/m m slojevi poda međukatne konstrukcije = 4,20 1,35 = 5,67 kn/m pregradni zidovi = 3 1,35 = 4,05 kn/m q = 1,40 + 5,67 + 4,05 q = 11,12 kn/m 11,12 72 µ = 8 69,62 = 0,978 ψ = 9,83 69,62 = 0,141 µ < 0 Aračić, Mario 105

110 očitano: C1 = 2,70, C2 = 1,08 µ < 0 M cr = 2,70 π (1 700) (1 700) ,20 π 2 + (1,08 27,5) (1,08 27,5) C1 = 2,70, C2 = 1,08 L = 700 cm E = kn/cm 2 IZ = 2668 cm 4 Iw = cm 6 It = 123,20 cm 4 G = 8077 kn/ cm 2 Zg = h/2 = 27,5 cm k = kw = 1,0 Mcr = 60937,26 kncm = 609,37 knm Aračić, Mario 106

111 Izračun bezdimenzionalne vitkosti λ LT = W y f y ,5 = M cr 60937,26 = 1,05 λ LT,0 = 0,4 λ LT > λ LT,0 mora se uzeti u obzir bočno-torzijsko izvijanje faktor redukcije (opći slučaj) 1 χ LT = φ LT + φ 2 LT λ 2 LT φ LT = 0,5 [1 + α LT λ LT 0,2 + λ 2 LT ] h/b = 2,62 > 2 ; krivulja b, α LT = 0,34 φ LT = 0,5 [1 + 0,34 (1,05 0,2) + 1,05 2 ] φ LT = 1,20 1 χ LT = 1,20 + 1,20 2 1,05 2 χ LT = 0,561 proračunska otpornost M b,rd = χ LT M el,rd = 0, ,28 γγ MM1 1,1 M b,rd = 342,35 knm uvjet nosivosti M Ed M b,rd 1,0 69,62 = 0,203 < 1,0 20,30 % 342,35 Aračić, Mario 107

112 INTERAKCIJA M-N (po Metodi 1) π 2 EI Z M cr,0 = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z M cr,0 = 1,0 π (1 700) (1 700) ,2 π 2 + (0 Z g ) 2 0 Z g Mcr,0 = 44969,88 kncm = 449,70 knm λ 0 = W y f y ,5 = M cr 44969,88 = 1,22 4 λ 0,lim = 0,2 C 1 1 N Ed 1 N Ed N cr,z N cr,tf N cr,tf = N cr,t za dvoosno simetrične presjeke N cr,t = 1 i 0 2 G I t + π2 E I w L cr,t 2 i 0 2 = i y 2 + i z 2 + y z 0 2 i y = I y A = = 22,35 cm 134,4 i z = I z A = 2668 = 4,45 cm 134,4 yy 0, zz 0 = 0 (centar posmika i težište pp se poklapaju) i 0 2 = 22, , = 519,33 cm 2 N cr,t = 1 519, ,2 + π N cr,t = 3450,57 kn Aračić, Mario 108

113 4 λ 0,lim = 0,2 2, ,42 19, , ,57 λ 0,lim = 0,326 Za slučaj: λ 0 > λ 0,lim εε yy aa LLLL C my = C my,0 + (1 C my,0 ) 1 + εε yy aa LLLL C mlt = C my 2 aa LLLL 1 N Ed N cr,z 1 N Ed N cr,t 0 određivanje C my,0 C my,0 = 1 + ππ2 EE II yy,eeeeee δδ N Ed LL 2 MM yy,eeee N cr,y δ = 1 mm C my,0 = 1 + ππ ,76 0,1 19, ,41 C my,0 = 1,00 ε y = M y,ed N Ed A eeeeee W eff,y,min za klasu 4 ε y = ,42 129, ,66 = 19,93 a LT = 1 I tt I y = 1 123, a LT = 0,998 Aračić, Mario 109

114 19,93 0,998 C my = 1,0 + (1 1) ,93 0,998 C my = 1,0 C mlt = 1,0 2 0, , , , ,57 C mlt = 1,009 > 1 C mlt = 1,009 za klase 3 i 4 1 N Ed N cr,y 1 19, ,87 µ y = 1 χ y N = = 1,00 Ed 19,42 N 1 0,877 cr,y 8838,87 1 N Ed N 1 19,42 cr,z 1128,52 µ z = 1 χ z N = = 0,987 Ed 19,42 N 1 0,257 cr,z 1128,52 k yy = C my C mlt k yy = 1,0 1,009 k yy = 1,01 k zy = C my C mlt k zy = 1,0 1,009 k zy = 0,998 µ y 1 N Ed N cr,y 1,0 1 19, ,87 µ z 1 N Ed N cr,y 0, , ,87 Aračić, Mario 110

115 1. N EEEE χ y N RRRR γ MM1 + k yy 19,42 0, ,3 1,1 M yy,eeee χ LT M yy,rrrr γ MM1 + 1,01 0, , ,0 0,212 1,0 21,2 % + k yz 69,62 0, ,28 1,1 M zz,eeee M zz,rrrr γ MM1 1,0 + k yz 0 M zz,rrrr γ MM1 1,0 2. N EEEE χ z N RRRR γ MM1 + k zy M yy,eeee χ LT M yy,rrrr γ MM1 19,42 0, ,3 + 0,998 1,1 0, , ,0 0,226 1,0 22,60 % + k zz 69,62 0, ,28 1,1 M zz,eeee M zz,rrrr γ MM1 1,0 + k zz 0 M zz,rrrr γ MM1 1,0 Profil IPE 550 zadovoljava uvjete nosivosti pri maksimalnoj tlačnoj sili Aračić, Mario 111

116 7.6 Proračun otpornosti elementa GREDA 9 GREDA 9 (zbog simetričnosti okvira mjerodavna i za gredu 10 u slučaju vjetra s desne strane) Kombinacija opterećenja: stalno + vodeće snijeg + vjetar implozija Aračić, Mario 112

117 Odabrani profil IPE 330 Kvaliteta materijala S 275 KLASIFIKACIJA HRBAT (tlak) c = h - 2 tf - 2r , c = 271 mm t = tw = 7,5mm c/t = 36,13 uvjet za klasu 1: c/t 33ε [ε = 0,92] 36,13 > 30,36 uvjet za klasu 2: c/t 38ε [ε = 0,92] 36,13 > 34,96 Aračić, Mario 113

118 uvjet za klasu 3: c/t 42ε [ε = 0,92] 36,13 < 38,64 HRBAT KLASE 3 POJASNICA (tlak) c = b t w 2r 2 c = 58,25 mm t = tf = 11,5 mm c/t = 5,065 uvjet za klasu 1: c/t 9ε [ε = 0,92] 5,065 < 8,28 POJASNICA KLASE 1 PP KLASE 3 OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA Otpornost na uzdužnu tlačnu silu N c,rd = N el,rd = A f y 62,61 27,5 = = 1721,78 kn γ M0 1,0 uvjet nosivosti N Ed N el,rd 1,0 214, ,78 1,0 12,45% Otpornost PP izloženog savijanju M c,rd = M el,y,rd = W el,y f y 713,1 27,5 = = 19610,25 kncm = 196,10kNm γ M0 1,0 uvjet nosivosti M y,ed M el,rd 1,0 52,16 = 0,266 < 1,0 26,60% 196,10 Aračić, Mario 114

119 Posmična otpornost PP h w t w 72 ε η hw = h - 2 tf hw = 307 mm tw = 7,5mm 307 7,5 72 0,92 1,2 40,93 55,2 // nema opasnosti od izbočavanja hrpta τ Ed f y / 3 γ M0 1,0 τ Ed = V z,ed S y I y t w S y = W pl,y 2 = 804,3 = 402,15 cm 3 2 τ Ed = 40,30 402, ,75 = 1,84 kn cm 2 1,84 1,0 0,116 < 1,0 27,5/ 3 1,0 Otpornost poprečnog presjeka na istovremeno djelovanje momenta savijanja, uzdužne i poprečne sile (interakcija M-V-N) (za x=2m) My,Ed = 18,61 knm Vz,Ed = 11,99 kn = -17,81 kn NEd Vz,Ed 0,5 Vpl,z,Rd V pl,z,rd = A V,Z f y 3 γ M0 djelotvorna posmična površina A V,Z = A 2 b t f + (t w + 2r) t f η h w t w A V,Z = 62, ,15 + (0, ,8) 1,15 η 30,7 0,75 Aračić, Mario 115

120 30,81 27,63 30,81 27,5 V pl,z,rd = = 489,17 kn 3 1,0 Vz,Ed 0,5 489,17 11,99 < 244,59 // ne moramo raditi redukciju poprečne sile M y,ed M el,y,rd + N Ed N el,rd 1,0 18,61 196, , ,78 1,0 0,106 1,0 OTPORNOST ELEMENTA Otpornost elementa na izvijanje duljine izvijanje Lcr,y = 700 k K C = I y L = = 16,81 (greda 9) 700 K 1 = 1,5 I y L K 12 = 1,5 I y L K 22 = 1,5 I y L η 1 = = 1, = 1, = 1, = 25,22 (greda 10) = 46,46 (stup 6) = 46,46 (stup 2) K CC + K 1 16, ,22 = K CC + K 1 + K 11 + K 12 16, , ,46 η 1 = 0,475 η 2 = K CC + K 2 16, = K CC + K 2 + K 21 + K 22 16, ,46 η 2 = 0,266 Aračić, Mario 116

121 k = 1 0,2 (η 1 + η 2 ) 0,12 η 1 η 2 1 0,8 (η 1 + η 2 ) + 0,6 η 1 η 2 1 0,2 (0, ,266) 0,12 0,475 0,266 k = 1 0,8 (0, ,266) + 0,6 0,475 0,266 = 1,316 Lcr,y = 700 1,41 = 921 cm Lcr,z = 700 cm (zbog bočnih pridržanja u drugom smjeru) Eulerove kritične sile izvijanja N cr,y = π2 E I y Lcr, y 2 N cr,y = π = 2875,92 kn N cr,z = π2 E I z Lcr, z 2 N cr,z = π , = 333,35 Bezdimenzionalne vitkosti λ y = A f y 62,61 27,5 = N cr,y 2875,92 = 0,774 λ z = A f y 62,61 27,5 = N cr,z 333,35 = 2,27 odabir linija izvijanja h/b = 2,06; tf < 40 mm y y = a α = 0,21 z z = b α = 0,34 Aračić, Mario 117

122 faktori reduckije za izvijanje oko osi y-y χ y = 1 φ y + φ 2 y λ 2 y φ y = 0,5 [1 + α λ y 0,2 + λ 2 y ] φ y = 0,5 [1 + 0,21 (0,774 0,2) + 0,774 2 ] φ y = 0,860 1 χ y = 0, , ,774 = 0,810 2 za izvijanje oko osi z-z 1 χ z = φ z + φ 2 z λ 2 z φ z = 0,5 [1 + α λ z 0,2 + λ 2 z ] φ z = 0,5 [1 + 0,34 (2,27 0,2) + 2,27 2 ] φ z = 3,43 1 χ z = 3,43 + 3,43 2 2,27 = 0,167 2 χ = min ( χ y, χ z ) = 0,167 Proračunska otpornost na izvijanje N b,rd = χ N el,rd = 0, ,78 γγ 1 1,1 N b,rd = 261,40 kn uvjet nosivosti N Ed N b,rd 1,0 17,81 = 0,068 < 1,0 6,80 % 261,40 Aračić, Mario 118

123 Otpornost elementa na bočno torzijsko izvijanje π 2 EI Z M cr = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z Vrijednost faktora C1 i C2 s obzirom na nesimetriju momentnog dijagrama za slučaj: µ < 0 µ = q L2 8M stalno opterećenje vlastita težina = 42 kg 9,81 1,35 = 558,88 N/m = 5,59 kn/m m slojevi neprohodnog krova = 1,80 1,35 = 2,43 kn/m promjenjivo opterećenje vodeće snijeg = 5,28 1,5 = 7,92 kn/m vjetar implozija = 0,33 1,5 0,6 = 0,297 kn/m q = 5,59 + 2,43 + 7,92 + 0,297 q = 16,24 kn/m 16, µ = 8 52,16 = 1,91 ψ = 26,30 52,16 = 0,504 Aračić, Mario 119

124 µ < 0 očitano: C1=1,20, C2=0,8 Aračić, Mario 120

125 M cr = 1,20 π ,1 (1 700) ,1 + (1 700) ,15 π 2 + (0,8 16,5) ,1 2 (0,8 16,5) Mcr = 8040,75 kncm = 80,41 knm bezdimenzionalna vitkost λ LT = W eeee,yy f y 713,1 27,5 = M cr 8040,75 = 1,562 λ LT,0 = 0,4 λ LT > λ LT,0 mora se uzeti u obzir bočno-torzijsko izvijanje faktor redukcije (opći slučaj) χ LT = 1 φ LT + φ 2 LT λ 2 LT φ LT = 0,5 [1 + α LT λ LT 0,2 + 2 λ LT ] h/b = 2,12 ; krivulja b, α LT = 0,34 φ LT = 0,5 [1 + 0,34 (1,562 0,2) + 1,562 2 ] φ LT = 1,951 1 χ LT = 1, , ,562 2 χ LT = 0,321 proračunska otpornost M b,rd = χ LT M el,rd = 0, ,10 γγ MM1 1,1 M b,rd = 57,23 knm Aračić, Mario 121

126 uvjet nosivosti M Ed M b,rd 1,0 52,16 = 0,911 < 1,0 91,10 % 57,23 INTERAKCIJA M-N (po Metodi 1) π 2 EI Z M cr,0 = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z M cr,0 = 1,0 π (1 700) (1 700) ,32 π 2 + (0 Z g ) 2 0 Z g Mcr,0 = 10191,53 kncm = 101,91 knm λ 0 = W y,el f y 713,1 27,5 = M cr 101,91 = 1,387 4 λ 0,lim = 0,2 C 1 1 N Ed 1 N Ed N cr,z N cr,tf N cr,tf = N cr,t za dvoosno simetrične presjeke N cr,t = 1 i 0 2 G I t + π2 E I w L cr,t 2 i 0 2 = i y 2 + i z 2 + y z 0 2 i y = I y A = = 13,71 cm 62,61 i z = I z A = 788,1 = 3,55 cm 62,61 yy 0, zz 0 = 0 (centar posmika i težište pp se poklapaju) i 0 2 = 13, , = 200,57 cm 2 Aračić, Mario 122

127 N cr,t = 1 200, ,15 + π N cr,t = 1553,49 kn 4 λ 0,lim = 0,2 1, ,81 17, , ,17 λ 0,lim = 0,216 Za slučaj: λ 0 > λ 0,lim εε yy aa LLLL C my = C my,0 + (1 C my,0 ) 1 + εε yy aa LLLL C mlt = C my 2 određivanje C my,0 aa LLLL 1 N Ed N cr,z 1 N Ed N cr,t 0 C my,0 = 1 + ππ2 EE II yy δδ N Ed LL 2 MM yy,eeee N cr,y δ = 5 mm C my,0 = 1 + ππ ,5 17, ,92 C my,0 = 1,00 ε y = M y,ed N Ed A W y,el ε y = ,81 62,61 713,1 = 25,71 Aračić, Mario 123

128 a LT = 1 I tt I y = 1 28, a LT = 0,998 C my = 1,0 + (1 1) C my = 1,0 19,93 0, ,93 0,998 C mlt = 1,0 2 0, , , , ,49 C mlt = 1,032 > 1 C mlt = 1,032 1 N Ed N cr,y 1 17, ,92 µ y = 1 χ y N = = 0,999 Ed 17,81 N 1 0,810 cr,y 2875,92 µ z = za klase 3 i 4 1 N Ed N cr,z k yy = C my C mlt k yy = 1,0 1,032 k yy = 1,037 k zy = C my C mlt 1 χ z N = Ed N cr,z µ y 1 N Ed N cr,y 0, , ,92 µ z 1 N Ed N cr,y 0,967 k zy = 1,0 1, , ,92 k zy = 1, ,81 333,35 1 0,167 17,81 = 0, ,35 Aračić, Mario 124

129 1. N EEEE χ y N RRRR γ MM1 + k yy 17,81 0, ,78 1,1 M yy,eeee χ LT M yy,rrrr γ MM1 + 1,037 0, , ,0 0,959 1,0 95,90 % + k yz 52,16 M zz,eeee M zz,rrrr γ MM1 1,0 0, ,10 1,1 + k yz 0 M zz,rrrr γ MM1 1,0 2. N EEEE χ z N RRRR γ MM1 + k zy M yy,eeee χ LT M yy,rrrr γ MM1 17,81 0, ,78 + 1,004 1,1 0, , ,0 0,9831 1,0 98,31 % + k zz M zz,eeee M zz,rrrr γ MM1 1,0 52,16 0, ,10 1,1 + k zz 0 M zz,rrrr γ MM1 1,0 Aračić, Mario 125

130 Proračun otpornosti poprečnog presjeka (IPE 330) i elementa pri djelovanju maksimalne tlačne sile Kombinacija opterećenja: stalno + vodeće uporabno + vjetar implozija + snijeg Odabrani profil IPE 330 Kvaliteta materijala S 275 KLASIFIKACIJA HRBAT (tlak) c = h - 2 tf - 2r , c = 271 mm t = tw = 7,5mm c/t = 36,13 uvjet za klasu 1: c/t 33ε [ε = 0,92] 36,13 > 30,36 uvjet za klasu 2: c/t 38ε [ε = 0,92] 36,13 > 34,96 Aračić, Mario 126

131 uvjet za klasu 3: c/t 42ε [ε = 0,92] 36,13 < 38,64 HRBAT KLASE 3 POJASNICA (tlak) c = b t w 2r 2 c = 58,25 mm t = tf = 11,5 mm c/t = 5,065 uvjet za klasu 1: c/t 9ε [ε = 0,92] 5,065 < 8,28 POJASNICA KLASE 1 PP KLASE 3 OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA Otpornost na uzdužnu tlačnu silu N c,rd = N el,rd = A f y 62,61 27,5 = = 1721,78 kn γ M0 1,0 uvjet nosivosti N Ed N el,rd 1,0 214, ,78 1,0 12,45% Otpornost PP izloženog savijanju M c,rd = M el,y,rd = W el,y f y 713,1 27,5 = = 19610,25 kncm = 196,10kNm γ M0 1,0 uvjet nosivosti M y,ed M el,rd 1,0 52,16 = 0,266 < 1,0 26,60% 196,10 Aračić, Mario 127

132 Posmična otpornost PP h w t w 72 ε η hw = h - 2 tf hw = 307 mm tw = 7,5mm 307 7,5 72 0,92 1,2 40,93 55,2 // nema opasnosti od izbočavanja hrpta τ Ed f y / 3 γ M0 1,0 τ Ed = V z,ed S y I y t w S y = W pl,y 2 = 804,3 = 402,15 cm 3 2 τ Ed = 23,78 402, ,75 = 1,08 kn cm 2 1,08 1,0 0,068 < 1,0 27,5/ 3 1,0 Otpornost poprečnog presjeka na istovremeno djelovanje momenta savijanja, uzdužne i poprečne sile (interakcija M-V-N) (za x=2m) My,Ed = 2,60 knm Vz,Ed = 10,78 kn = - 37,86 kn NEd Vz,Ed 0,5 Vpl,z,Rd V pl,z,rd = A V,Z f y 3 γ M0 djelotvorna posmična površina A V,Z = A 2 b t f + (t w + 2r) t f η h w t w A V,Z = 62, ,15 + (0, ,8) 1,15 η 30,7 0,75 30,81 27,63 Aračić, Mario 128

133 30,81 27,5 V pl,z,rd = = 489,17 kn 3 1,0 Vz,Ed 0,5 489,17 10,78 < 244,59 // ne moramo raditi redukciju poprečne sile M y,ed M el,y,rd + N Ed N el,rd 1,0 2,60 196, , ,78 1,0 0,035 1,0 OTPORNOST ELEMENTA Otpornost elementa na izvijanje duljine izvijanje Lcr,y = 700 k K C = I y L = = 16,81 (greda 9) 700 K 1 = 1,5 I y L K 12 = 1,5 I y L K 22 = 1,5 I y L η 1 = = 1, = 1, = 1, = 25,22 (greda 10) = 46,46 (stup 6) = 46,46 (stup 2) K CC + K 1 16, ,22 = K CC + K 1 + K 11 + K 12 16, , ,46 η 1 = 0,475 η 2 = K CC + K 2 16, = K CC + K 2 + K 21 + K 22 16, ,46 η 2 = 0,266 Aračić, Mario 129

134 k = 1 0,2 (η 1 + η 2 ) 0,12 η 1 η 2 1 0,8 (η 1 + η 2 ) + 0,6 η 1 η 2 1 0,2 (0, ,266) 0,12 0,475 0,266 k = 1 0,8 (0, ,266) + 0,6 0,475 0,266 = 1,316 Lcr,y = 700 1,41 = 921 cm Lcr,z = 700 cm (zbog bočnih pridržanja u drugom smjeru) Eulerove kritične sile izvijanja N cr,y = π2 E I y Lcr, y 2 N cr,y = π = 2875,92 kn N cr,z = π2 E I z Lcr, z 2 N cr,z = π , = 333,35 Bezdimenzionalne vitkosti λ y = A f y 62,61 27,5 = N cr,y 2875,92 = 0,774 λ z = A f y 62,61 27,5 = N cr,z 333,35 = 2,27 odabir linija izvijanja h/b = 2,06; tf < 40 mm y y = a α = 0,21 z z = b α = 0,34 Aračić, Mario 130

135 faktori reduckije za izvijanje oko osi y-y χ y = 1 φ y + φ 2 y λ 2 y φ y = 0,5 [1 + α λ y 0,2 + λ 2 y ] φ y = 0,5 [1 + 0,21 (0,774 0,2) + 0,774 2 ] φ y = 0,860 1 χ y = 0, , ,774 = 0,810 2 za izvijanje oko osi z-z 1 χ z = φ z + φ 2 z λ 2 z φ z = 0,5 [1 + α λ z 0,2 + 2 λ z ] φ z = 0,5 [1 + 0,34 (2,27 0,2) + 2,27 2 ] φ z = 3,43 χ z = 1 3,43 + 3,43 2 2,27 2 = 0,167 χ = min ( χ y, χ z ) = 0,167 Proračunska otpornost na izvijanje N b,rd = χ N el,rd = 0, ,78 γγ 1 1,1 N b,rd = 261,40 kn uvjet nosivosti N Ed N b,rd 1,0 37,86 = 0,145 < 1,0 14,50 % 261,40 Aračić, Mario 131

136 Otpornost elementa na bočno torzijsko izvijanje π 2 EI Z M cr = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z Vrijednost faktora C1 i C2 s obzirom na nesimetriju momentnog dijagrama za slučaj: µ < 0 µ = q L2 8M stalno opterećenje vlastita težina = 42 kg 9,81 1,35 = 558,88 N/m = 5,59 kn/m m slojevi neprohodnog krova = 1,80 1,35 = 2,43 kn/m promjenjivo opterećenje vjetar implozija = 0,33 1,5 0,6 = 0,297 kn/m snijeg = 5,28 1,5 0,5 = 3,96 kn/m q = 5,59 + 2,43 + 0, ,96 q = 12,28 kn/m 12,28 72 µ = 8 31,96 = 2,35 ψ = 24,75 31,96 = 0,774 Aračić, Mario 132

137 µ < 0 očitano: C1=1,20, C2=0,85 Aračić, Mario 133

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

6. Plan armature prednapetog nosača

6. Plan armature prednapetog nosača 6. Plan armature prednapetog nosača 6.1. Rekapitulacija odabrane armature Prednapeta armatura odabrano:3 natege 6812 Uzdužna nenapeta armatura. u polju donji rub nosača (mjerodavna je provjera nosivosti

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

MOSTOVI SA KOSIM ZATEGAMA

MOSTOVI SA KOSIM ZATEGAMA MOSTOVI SA KOSIM ZATEGAMA U toku posljednjih tridesetak godina mostovi sa kosim zategama doživljavaju spektakularan razvoj u cijelom svijetu. Ekonomičnost ovih mostova ne leži samo u odličnom iskorištenju

Διαβάστε περισσότερα

='5$9.2 STRUJNI IZVOR

='5$9.2 STRUJNI IZVOR . STJN KGOV MŽ.. Strujni krug... zvori Skup elektrotehničkih elemenata koji su preko električnih vodiča međusobno spojeni naziva se električna mreža ili elektrotehnički sklop. električnoj mreži, kada su

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΛΛΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΑΤΟΜΗΣ - ΜΕΛΟΥΣ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟΝ ΕΥΡΩΚΩ ΙΚΑ 3

ΜΕΤΑΛΛΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΑΤΟΜΗΣ - ΜΕΛΟΥΣ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟΝ ΕΥΡΩΚΩ ΙΚΑ 3 ΜΕΤΑΛΛΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΑΤΟΜΗΣ - ΜΕΛΟΥΣ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟΝ ΕΥΡΩΚΩ ΙΚΑ 3 ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΜΑΡΤΙΟΣ 1999 Α. ΑΝΤΟΧΗ ΙΑΤΟΜΗΣ 1.ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ( 5.4.3 ). N t.rd = min { N pl. Rd = A f y / γ M0, N u.

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11.

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11. OSNOVE EEKTOTEHNKE Vježba... Za redno rezonantno kolo, prikazano na slici. je poznato E V, =Ω, =Ω, =Ω kao i rezonantna učestanost f =5kHz. zračunati: a) kompleksnu struju u kolu kao i kompleksne napone

Διαβάστε περισσότερα

unutrašnja opterećenja

unutrašnja opterećenja * Ravnoteža u deformabilnom tijelu Koncentrisana sila (idealizacija) Površinska sila Spoljašnja opterećenja: površinske i zapreminske sile Reakcije oslonaca Jednačine ravnoteže Linearna raspodjela opterećenja

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

ZAVARENI SPOJEVI (elementi za spajanje nerastavljivi spojevi)

ZAVARENI SPOJEVI (elementi za spajanje nerastavljivi spojevi) ZAVARENI SPOJEVI (elementi za spajanje nerastavljivi spojevi) Zavarivanje = spajanje dijelova koji su na mjestu spoja dovođenjem topline omekšani ili rastopljeni, uz dodavanje dodatnog materijala ili bez

Διαβάστε περισσότερα

Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu/ Mašinski elementi 1/ Predavanje 3. Slika1.1 Primeri nepokretne i obrtne osovine

Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu/ Mašinski elementi 1/ Predavanje 3. Slika1.1 Primeri nepokretne i obrtne osovine ašinski fakultet Univerziteta u Beogradu/ ašinski elementi 1/ Predavanje.1 OSOVINE I VRATILA.1.1. Uvod Vratila i osovine, kao osnovni elementi obrtnog kretanja, moraju uvek biti preko kliznih i kotrljajnih

Διαβάστε περισσότερα

A 2 A 1 Q=? p a. Rješenje:

A 2 A 1 Q=? p a. Rješenje: 8. VJEŽBA - RIJEŠENI ZADACI IZ MEANIKE FLUIDA. Oreite minimalni protok Q u nestlačiom strujanju fluia ko koje će ejektor početi usisaati flui kroz ertikalnu cječicu. Zaano je A = cm, A =,5 cm, h=,9 m.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE I. Predavanja

BETONSKE KONSTRUKCIJE I. Predavanja BETONSKE KONSTRUKCIJE I Predavanja Zagreb, 010. Igor Gukov SADRŽAJ 1. UVOD...3. FIZIKALNO-MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA...6.1. Beton...7.1.1 Računska čvrstoća betona...11.1. Višeosno stanje naprezanja...11.1.3

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Matrična analiza linijskih

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 Uvod u numeričku matematiku Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 1 Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci Numerička integracija O problemima integriranja

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός µε τον Ευρωκώδικα 3

Σχεδιασµός µε τον Ευρωκώδικα 3 Σχεδιασµός µε τον Ευρωκώδικα 3 11 Μαΐου 2006 1 Γενικά Σε αυτό το κεφάλαιο περιγράφεται ο αλγόριθµος που χρησηµοποιεί το Steel για τον σχεδιασµό των µεταλλικών κατασκευών σύµφωνα µε τον Ευρωκώδικα 3. Το

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια μελών μεταλλικών κατασκευών

Ευστάθεια μελών μεταλλικών κατασκευών Ευστάθεια μελών μεταλλικών κατασκευών Χάρης Ι. Γαντές Αναπληρωτής Καθηγητής Χαλύβδινες και Σύμμικτες Κατασκευές Επιστημονικό Σεμινάριο Μυτιλήνη 9-10 Οκτωβρίου 009 Περιεχόμενα παρουσίασης Εισαγωγή Μορφές

Διαβάστε περισσότερα

A. STATIČKI PRORAČUN POLUMONTAŽNE STROPNE KONSTRUKCIJE "YTONG STROP" strana

A. STATIČKI PRORAČUN POLUMONTAŽNE STROPNE KONSTRUKCIJE YTONG STROP strana S A D R Ž A J OPĆI DIO: Izvadak iz sudskog registra o registraciji Rješenje o upisu u imenik ovlaštenih inženjera građevinarstva Izvješće o kontroli Tipskog projekta glede mehaničke otpornosti i stabilnosti

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE PRORAČUNA I DJELOVANJA NA KONSTRUKCIJE SADRŽAJ

OSNOVE PRORAČUNA I DJELOVANJA NA KONSTRUKCIJE SADRŽAJ OSNOVE PRORAČUNA I DJELOVANJA NA KONSTRUKCIJE SADRŽAJ 1 OSNOVE PRORAČUNA KONSTRUKCIJA... 2 2 DJELOVANJA NA KONSTRUKCIJE... 6 2.1 Klasifikacija djelovanja... 7 2.2 Vlastita težina... 8 2.3 Uporabna opterećenja

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

USB Charger. Battery charger/power supply via 12 or 24V cigarette lighter

USB Charger. Battery charger/power supply via 12 or 24V cigarette lighter USB Charger Battery charger/power supply via 12 or 24V cigarette lighter Compact charger for devices chargeable via USB For example ipod, iphone, MP3 player, etc. Output voltage: 5V; up to 1.2A; short-circuit

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel. Zdenko Novak 1. UVOD

VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel. Zdenko Novak 1. UVOD 10.2012-13. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel Zdenko Novak TEHNIČKA SREDSTVA U CESTOVNOM PROMETU 1. UVOD 1 Literatura: [1] Novak, Z.: Predavanja Tehnička sredstva u cestovnom prometu, Web stranice Veleučilišta

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

2. METODE RJEŠAVANJA STRUJNIH KRUGOVA ISTOSMJERNE STRUJE

2. METODE RJEŠAVANJA STRUJNIH KRUGOVA ISTOSMJERNE STRUJE 2. METOE RJEŠVNJ STRUJNH KRUGOV STOSMJERNE STRUJE U svrhu lakšeg snalaženja u analizi složenih strujnih krugova i električnih mreža uvode se nazivi za pojedine dijelove mreže. Onaj dio električne mreže

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJA KUGLE I SFERE

GEOMETRIJA KUGLE I SFERE Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Ružica Korać GEOMETRIJA KUGLE I SFERE Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Maja Starčević Zagreb, rujan 2015. Svaki dan je

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON 2 MATERIJALI, SUSTAVI I TEHNOLOGIJA PREDNAPINJANJA TE PODRUČJE PRIMJENE. Zahtjevi na beton u prednapetim konstrukcijama:

PREDNAPETI BETON 2 MATERIJALI, SUSTAVI I TEHNOLOGIJA PREDNAPINJANJA TE PODRUČJE PRIMJENE. Zahtjevi na beton u prednapetim konstrukcijama: PREDNAPETI BETON 2 MATERIJALI, SUSTAVI I TEHNOLOGIJA PREDNAPINJANJA TE PODRUČJE PRIMJENE BETON Zahtjevi na beton u prednapetim konstrukcijama: Visoka tlačna čvrstoća (s niskim v/c odnosom) Mali iznos skupljanja

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Školska godina 2006/2007 Fizika 1 Auditorne vježbe 5 Dinamika: Newtonovi zakoni 12. prosinca 2008. Dunja Polić (dunja.polic@fesb.hr)

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Snimanje karakteristika dioda

Snimanje karakteristika dioda FIZIČKA ELEKTRONIKA Laboratorijske vežbe Snimanje karakteristika dioda VAŽNA NAPOMENA: ZA VREME POSTAVLJANJA VEŽBE (SASTAVLJANJA ELEKTRIČNE ŠEME) I PRIKLJUČIVANJA MERNIH INSTRUMENATA MAKETA MORA BITI ODVOJENA

Διαβάστε περισσότερα

9. Loksodroma i ortodroma

9. Loksodroma i ortodroma Loksodroma 9. Loksodroma i ortodroma Loksodroma 1 je krivulje na površini Zemlje koja sve meridijane sijece pod istim kutom. Osim u posebnim slucajevima ima oblik spirale cije ishodište i završnica teže

Διαβάστε περισσότερα

Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu

Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu Postoji veći broj parametara koji karakterišu ponašanje sistema u prelaznom režimu. Ovi parametri pripadaju različitim prostorima u kojima se sistemi

Διαβάστε περισσότερα

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Tijekom ocjenjivanja nacionalnih ispita i ispita državne mature, neovisno o razini, uvidjeli smo neke probleme pri rješavanju zadataka. Ovdje želimo navesti

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Analiza vremena Pert metodom

2.2. Analiza vremena Pert metodom 2.2. Analiza vremena Pert metodom Dok je kod CPM metode poznato samo jedno vreme trajanja aktivnosti t, kod Pert metode dane su tri procjene: a - optimistično vreme (najkraće moguće vreme u kojemu se može

Διαβάστε περισσότερα

SPECIJALNE INŽENJERSKE GRAĐEVINE 4. PREDAVANJE

SPECIJALNE INŽENJERSKE GRAĐEVINE 4. PREDAVANJE SPECIJALNE INŽENJERSKE GRAĐEVINE 4. PREDAVANJE Visoke građevine VISOKE GRAĐEVINE SADRŽAJ PREDAVANJA (1.dio) Uvodno Povijest i kronologija visokih građevina Nosivi elementi za osnovna opterećenja Mjere

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Metode prognoziranja na vremenskim nizovima

Metode prognoziranja na vremenskim nizovima Metode prognoziranja na vremenskim nizovima Pomoću ovih metoda buduće vrijednosti prognoziraju se na temelju povijesnih podataka. Pravila po kojima se ponašaju podaci iz prošlosti primjenjuje se na buduće

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014 Nermin Okičić Vedad Pašić MATEMATIKA II 014 Sadržaj 1 Funkcije više promjenljivih 1 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih................ 1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja.............. 1.1. Grafičko

Διαβάστε περισσότερα

( pol funkcije), horizontalna ili kosa.

( pol funkcije), horizontalna ili kosa. 4. ANALIZA TOKA FUNKCIJE, EKSTREMI 4. Opci pojmovi Nultocke funkcije - su tocke u kojima je funkcija jednak nula. Za razlomljenu racionalnu funkciju, je kada je brojnik nula. Polovi funkcije - su tocke

Διαβάστε περισσότερα

6. TEHNIČKE MJERE SIGURNOSTI U IZVEDBI ELEKTROENERGETSKIH VODOVA

6. TEHNIČKE MJERE SIGURNOSTI U IZVEDBI ELEKTROENERGETSKIH VODOVA SIGURNOST U PRIMJENI ELEKTRIČNE ENERGIJE 6. TEHNIČKE MJERE SIGURNOSTI U IZVEDBI ELEKTROENERGETSKIH VODOVA Doc. dr. sc. Vitomir Komen, dipl. ing. el. 1/14 SADRŽAJ: 6.1 Sigurnosni razmaci i sigurnosne visine

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

PROPORCIONALNO-INTEGRACIJSKO-DERIVACIJSKA REGULACIJA

PROPORCIONALNO-INTEGRACIJSKO-DERIVACIJSKA REGULACIJA PROPORCIONALNO-INTEGRACIJSKO-DERIVACIJSKA REGULACIJA -Proporcionalno-integracijsko-derivacijska regulacija (PID-regulacija) temelji se na trikomponentnim PID regulatorima -PID-regualtori se dobivaju kad

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet strojarstva i brodogranje ZAVRŠNI RAD

Fakultet strojarstva i brodogranje ZAVRŠNI RAD Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogranje ZVRŠNI RD Voditelj rada: Prof.dr.sc. Milan Opalić Zagreb, 2013. Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogranje ZVRŠNI RD 0035163306 Zagreb,

Διαβάστε περισσότερα

KORISNOST VJETROENERGIJE

KORISNOST VJETROENERGIJE Karla Srnec Željka Toplek Mentor: Karmena Vadlja-Rešetar, prof. karmena.vadlja-resetar@ck.t-com.hr KORISNOST VJETROENERGIJE Čakovec 11.02.2013. Gimnazija Josipa Slavenskog Čakovec Vladimira Nazora 34 40

Διαβάστε περισσότερα

AKTIVNI I REAKTIVNI OTPORI U KOLU NAIZMJENIČNE STRUJE

AKTIVNI I REAKTIVNI OTPORI U KOLU NAIZMJENIČNE STRUJE MJEŠOVITA SREDNJA TEHNIČKA ŠKOLA TRAVNIK AKTIVNI I REAKTIVNI OTPORI U KOLU NAIZMJENIČNE STRUJE Električna kola Profesor: mr. Selmir Gajip, dipl. ing. el. Travnik, februar 2014. Osnovni pojmovi- naizmjenična

Διαβάστε περισσότερα

1.1.1 Harmonički oscilator (slobodni, bez prisile, bez gušenja; horizontalan)

1.1.1 Harmonički oscilator (slobodni, bez prisile, bez gušenja; horizontalan) . Jednostavno harmonijsko titranje Pri valnim fenomenima elementi vala izvode titranja. Stoga ćemo u početku razmotriti razne oblike titranja i njihova svojstva. Ako s ψ t) označimo opći pomak od ravnoteže,

Διαβάστε περισσότερα

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2)

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2) 1 RАVNSKE REŠETKE Rešetkasti nosači predstavljaju sistem sačinjen od lakih krutih štapova međusobno zglobno vezanih svojim krajevima. Zglobne veze krajeva štapova se nazivaju čvorovi. Rešetke su opterećene

Διαβάστε περισσότερα

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA Izmeriti neku veličinu u fizici znači naći brojni odnos merene fizičke veličine prema vrednosti iste fizičke veličine, koja je dogovorno izabrana za jedinicu.

Διαβάστε περισσότερα

Ventili sa dosjedom (PN 16) VF 2 prolazni ventil, prirubnica VF 3 troputni ventil, prirubnica

Ventili sa dosjedom (PN 16) VF 2 prolazni ventil, prirubnica VF 3 troputni ventil, prirubnica Tehnički podaci Ventili sa dosjedom (PN 16) VF 2 prolazni ventil, prirubnica VF 3 troputni ventil, prirubnica Opis VF 2 VF 3 Ventili VF 2 i VF 3 pružaju kvalitetno, isplativo rješenje za većinu primjena

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON. Predavanja. Zagreb, 2007.

PREDNAPETI BETON. Predavanja. Zagreb, 2007. PREDNAPETI BETON Predavanja Zagreb, 2007. SADRŽAJ 1. UVOD...3 2. SVOJSTVA MATERIJALA...7 2.1. Čelik za prednapinjanje...7 2.2. Beton...9 2.3. Mort za injektiranje...10 3. SUSTAVI ZA PREDNAPINJANJE...13

Διαβάστε περισσότερα

ZAKONI OČUVANJA U IZOLIRANOM SUSTAVU

ZAKONI OČUVANJA U IZOLIRANOM SUSTAVU Poglavlje 6 ZAKONI OČUVANJA U IZOLIRANOM SUSTAVU U praksi se često dogada da nekoliko tijela uzajamno djeluju jedno na drugo mnogo snažnije nego što na njih djeluju druga okolna tijela. Teorijsko razmatranje

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ELEKTRONIKA VEŽBA BROJ 4 ANALIZA AKTIVNIH FILTARA SA JEDNIM OPERACIONIM POJAČAVAČEM

LINEARNA ELEKTRONIKA VEŽBA BROJ 4 ANALIZA AKTIVNIH FILTARA SA JEDNIM OPERACIONIM POJAČAVAČEM ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU LINEARNA ELEKTRONIKA LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 4 ANALIZA AKTIVNIH FILTARA SA JEDNIM OPERACIONIM POJAČAVAČEM.. IME I PREZIME BR. INDEKSA

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

KGV Šutalo d.o.o. Vukovarska Jakšić, Hrvatska OIB VAT ID: HR

KGV Šutalo d.o.o. Vukovarska Jakšić, Hrvatska OIB VAT ID: HR KGV Šutalo d.o.o. Vukovarska 14 34308 Jakšić, Hrvatska +385 34 257 734 info@kgv-sutalo.hr OIB VAT ID: HR06692893248 grijač za bojler 1 1/4 ravni / water heating element 1 1/4 straight RTS12 1200W/230V

Διαβάστε περισσότερα

Uležišteni ventili (PN 6) VL 2 prolazni ventil, prirubnica VL 3 troputni ventil, prirubnica

Uležišteni ventili (PN 6) VL 2 prolazni ventil, prirubnica VL 3 troputni ventil, prirubnica Tehnički podaci Uležišteni ventili (PN 6) VL 2 prolazni ventil, prirubnica VL 3 troputni ventil, prirubnica Opis VL 2 VL 3 Ventili VL 2 i VL 3 pružaju kvalitetno, isplativo rješenje za većinu primjena

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

ORTODROMSKA, LOKSODROMSKA I KOMBINIRANA PLOVIDBA

ORTODROMSKA, LOKSODROMSKA I KOMBINIRANA PLOVIDBA David Brčić ORTODROMSKA, LOKSODROMSKA I KOMBINIRANA PLOVIDBA Riješeni zadaci DAVID BRČIĆ LOKSODROMSKA PLOVIDBA I. Loksodromski zadatak (kurs i udaljenost): tgk= II. Loksodromski zadatak (relativne koordinate):

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi o trokutu

Temeljni pojmovi o trokutu 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.

Διαβάστε περισσότερα