Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling transformations)

Transcript

1 Μετασχηματισμοί Δ

2 Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling trnformtion) Καθορισμός μετασχηματισμών των αντικειμένων Τα αντικείμενα περιγράφονται στο δικό τους σύστημα συντεταγμένων Επιτρέπει την χρήση του ορισμού ενός αντικειμένου πολλές φορές σε μια σκηνή

3 Συνοπτικά D Μετασχηματισμοί Βασικοί D μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Πινάκων Σύνθεση πινάκων

4 D Μετασχηματισμοί Μοντέλων Συντεταγμένες Μοντέλου Αλλαγή Κλίμακας Αλλαγή Κλίμακας Περιστροφή Μετατόπιση Γενικές Συντεταγμένες

5 D Μετασχηματισμοί Μοντέλων Συντεταγμένες Μοντέλου Ας το δούμε Σε λεπτομέρεια Γενικές Συντεταγμένες

6 D Μετασχηματισμοί Μοντέλων Συντεταγμένες Μοντέλου Αρχική θέση σε t (, ) με βάση Τους - και - άξονες

7 D Μετασχηματισμοί Μοντέλων Συντεταγμένες Μοντέλου Κλίμακα.3,.3 Rotte -9 Trnlte 5, 3

8 D Μετασχηματισμοί Μοντέλων Συντεταγμένες Μοντέλου Κλίμακα.3,.3 Περιστροφή -9 Trnlte 5, 3

9 D Μετασχηματισμοί Μοντέλων Συντεταγμένες Μοντέλου Κλίμακα.3,.3 Περιστροφή -9 Μετατόπιση 5, 3 Γενικές Συντεταγμένες

10 Αλλαγή Κλίμακας (Κλιμάκωση) Αλλαγή Κλίμακας μιας συντεταγμένης σημαίνει πολλαπλασιασμό κάθε στοιχείου της με τον ίδιο αριθμό Ομοιόμορφη Αλλαγή Κλίμακας σημαίνει ότι η αλλαγή κλίμακας είναι ίδια για όλα τα στοιχεία της

11 Αλλαγή Κλίμακας (Κλιμάκωση) Μη ομοιόμορφη αλλαγή κλίμακας: Διαφορετικές κλίμακες για κάθε στοιχείο: X, Y.5 Πώς θα μπορούσαμε να το παρουσίασουμε σε μορφή πίνακα?

12 Αλλαγή Κλίμακας (Κλιμάκωση) Κλιμάκωση : Σε μορφή πίνακα: b Πίνακας κλίμακας b

13 -D Περιστροφή (, ) (, ) = co() - in() = in() + co()

14 -D Περιστροφή f (, ) (, ) = r co (f) = r in (f) = r co (f + ) = r in (f + ) Τριγωνομετρικές συναρτήσεις = r co(f) co() r in(f) in() = r in(f) in() + r co(f) co() Αντικατάσταση = co() - in() = in() + co()

15 -D Περιστροφή Περιγράφεται σε μορφή πίνακα: co in in co Παρόλο που in() και co() είναι μη γραμμικές συναρτήσεις της, είναι γραμμικός συνδυασμός των και είναι γραμμικός συνδυασμός των και

16 Βασικοί D Μετασχηματισμοί Μετατόπιση: = + t = + t Αλλαγή Κλίμακας: = * = * Στρέβλωση: = + h * = + h * Περιστροφή: = *coq - *inq = *inq + *coq Οι μετασχηματισμοί Μπορούν να συνδυάζονται (με απλή άλγεβρα)

17 Βασικοί D Μετασχηματισμοί Μετατόπιση: = + t = + t Κλιμάκωση : = * = * Στρέβλωση : = + h * = + h * Περιστροφή: = *coq - *inq = *inq + *coq

18 Βασικοί D Μετασχηματισμοί Μετατόπιση: = + t = + t Κλιμάκωση: = * = * Στρέβλωση : = + h * = + h * Περιστροφή: = *coq - *inq = *inq + *coq (, ) = * = * (,)

19 Βασικοί D Μετασχηματισμοί Μετατόπιση: = + t = + t Κλιμάκωση : = * = * Στρέβλωση : = + h * = + h * Περιστροφή: = *coq - *inq = *inq + *coq (, ) = (* )*coq - (* )*inq = (* )*inq + (* )*coq

20 Βασικοί D Μετασχηματισμοί Μετατόπιση: = + t = + t Κλιμάκωση: = * = * Στρέβλωση : = + h * = + h * Περιστροφή: = *coq - *inq = *inq + *coq (, ) = ((* )*coq - (* )*inq) + t = ((* )*inq + (* )*coq) + t

21 Βασικοί D Μετασχηματισμοί Μετατόπιση: = + t = + t Αλλαγή Κλίμακας: = * = * Στρέβλωση : = + h * = + h * Περιστροφήn: = *coq - *inq = *inq + *coq = ((* )*coq - (* )*inq) + t = ((* )*inq + (* )*coq) + t

22 Μετασχηματισμοί Δ και 3Δ Υπάρχουν 4 βασικοί γεωμετρικοί μετασχηματισμοί που χρησιμοποιούνται στα γραφικά: μετατόπιση, αλλαγή κλίμακας (κλιμάκωση), περιστροφή, στρέβλωση. Χωρίζονται σε γεωμετρικούς (εδώ) και αξόνων (αντίστροφοι) Οποιοσδήποτε μετασχηματισμός στις ή 3 διαστάσεις αποτελεί σύνθεση των παραπάνω μετασχηματισμών. Θέσεις αντικειμένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3Δ Μαθηματικά Μοντέλα 3Δ Μετασχ/σμοί Μοντέλου 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης Διαγραφή Πίσω Επιφανειών 3Δ Αποκοπή Είσοδοι (για κάθε καρέ) Παράσταση Στην Οθόνη: Σάρωση Αντιταύτιση Φωτισμός Υφή Απόκρυψη Γραμμών/ Επιφανειών Προβολή Γραφική σωλήνωση εξόδου

23 Σημεία & Διανύσματα E 3 ο 3διάστατος Ευκλείδιος χώρος σημείων, σημείο R 3 ο 3διάστατος Ευκλείδιος χώρος διανυσμάτων, Ορισμοί: διάνυσμα Q w Q u R R R Q R R) (Q Q) ( w ) ( w u R R,Q, 3 τέτοιοώστε 3. E

24 Αρχές διανυσματικών χώρων Σε ένα διανυσματικό χώρο Δ (π.χ. R 3 ) ορίζονται πράξεις Διανυσματική πρόσθεση α+b Βαθμωτός πολλαπλασιασμός λα, λ R Ιδιότητες διανυσματικής πρόσθεσης ( α, b, c Δ) : Αντιμεταθετικότητα : α + b = b + α Προσεταιρισμός : ( b c) ( b) c Ύπαρξη μηδενικού στοιχείου Δ: Ύπαρξη αντιθέτου: ( ) Ιδιότητες βαθμωτού πολλαπλασιασμού (, b Δ,,,R) Επιμερισμός βαθμωτού πολλαπλασιασμού ως προς πρόσθεση: ( b) b Επιμερισμός πρόσθεσης ως προς βαθμωτό πολλαπλασιασμού : ( ) Προσεταιρισμός: ( ) ( ) Τέλος,

25 Διανυσματικοί Χώροι Παραδείγματα Δ & 3Δ Ευκλείδιοι διανυσματικοί χώροι π.χ. για πολυώνυμα βαθμού κ Γραμμικός συνδυασμός Γραμμική ανεξαρτησία υπάρχει μόνο αν η έχει μόνη λύση την μηδενική π.χ. τα του Ε 3 είναι γραμμικά ανεξάρτητα Αν είναι γραμμικά ανεξάρτητα τότε η έκφραση του είναι μοναδική ),, ( ),, ( ),, (,, b b b b b b b b 3 R : : Δ Δ m m m m m m (,,) (,,),,,), ( k j i m m m m

26 Διανυσματικοί Χώροι Βάση: σύνολο γραμμικώς ανεξαρτήτων διανυσμάτων Μπορούν να να παράγουν τον R 3, δηλαδή κάθε διάνυσμα του R 3 μπορεί να γραφτεί σαν γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων της βάσης. Το πλήθος τους καλείται διάσταση του διανυσματικού χώρου. Έστω Ε 3,R 3. Ύπαρξη πολλαπλών βάσεων π.χ. (,,), (,,), (,,) είναι επίσης βάση του Ε 3. Αν = i + j + zk όπου ( i, j, k ) είναι βάση(δηλ. είναι 3 διανύσματα του R 3 ) τότε (,, z) ονομάζονται συντεταγμένες ( O, i, j, k ) ονομάζεται σύστημα συντεταγμένων όπου O σταθερή αρχή και βάση. Δεξιόστροφα, αριστερόστροφα. ορίζουν άξονες συντεταγμένων. Μήκος διανύσματος ορίζεται ως ( i, j, k ) ( i, j, k ) Απόσταση μεταξύ (,, z) και ορίζεται z ( ) ( ) ( z z) Συνήθως τα i,j,k είναι τα μοναδιαία διανύσματα(μέτρο ) σε κάθε διάσταση: j k i z

27 Εσωτερικό Γινόμενο 3Δ Ευκλείδιος χώρος: Ιδιότητες Συμμετρική: Διγραμμική: Κανονικοποίηση: είναι μοναδιαίο. Υπολογισμός γωνίας θ μεταξύ και Ισχύει Άρα n i i w i w z z w w w w w w ) ( ) ( w u w u. w w w co w co w w w w w, ) ( co ) ( co αν μοναδιαία, δηλαδή έχουν μέτρο ίσο με, ή w

28 Εξωτερικό Γινόμενο Στον 3Δ Ευκλείδιο χώρο είναι είναι διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν το και Αντιμεταθετική δεν ισχύει: k w w j w w i w w w z z z z ) ( ) ( ) ( w w w w

29 Συσχετισμένοι(Affine) Μετασχηματισμοί Συσχετισμένος (ή βαρυκεντρικός) συνδυασμός σημείων n j j j 3 E n 3 Αποτέλεσμα είναι σημείο E n ονομάζονται συσχετισμένες συντεταγμένες του αναφορικά με τα n Ένας συσχετισμένος συνδυασμός είναι κυρτός αν επιπλέον j Αποτέλεσμα κυρτού συνδυασμού εντός της κυρτής περιβάλλουσας των 3 3 Συσχετισμένος Μετασχηματισμός : E E που αφήνει συσχετισμένους συνδυασμούς αναλλοίωτους όπου R και n j j n j ( ) n j j ( j ) Ένα σημείο στον R 3 είναι ένας 3 πίνακας: (,,z) ό,ό z ά ή (,,) έ

30 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Π.χ. εφαρμογή συσχετισμένου μετασχηματισμού πάνω σε ευθύγραμμο τμήμα απεικονίζει το μέσο του στο μέσο της συσχετισμένης εικόνας Φ() Συσχετισμένος μετασχηματισμός με μορφή πίνακα τότε Α είναι πίνακας 33 Απόδειξη 3 ) ( E αν όπου t A n j n j j j j j n j n j j j j n j j j n j j j t A t A t A ) ( ) (

31 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Γραφικά: συσχετισμένοι μετασχηματισμοί Μετατόπιση T I d όπου I μοναδιαίος 33 και το διάνυσμα μετατόπισης Στροφή (έστω γύρω από z-άξονα κατά γωνία φ) R R co in όπου R z, in co Αλλαγή κλίμακας S D όπου D z Στρέβλωση (έστω στις και με z σταθερή) d d d d b όπου SH, c d Οποιοσδήποτε συσχετισμένος μετασχηματισμός μπορεί να δημιουργηθεί με συνδυασμό των παραπάνω τεσσάρων. SH SH z,, z

32 Μετατόπιση: Αλλαγή κλίμακας: ομοιόμορφη αν Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Δ, d d d d οπότε, d d d όπου d ά, ), S( όπου ), S( Y X (, ) (, 5) (3, 7) (4, 5) (4, ) Y X (4, ) (4,.5) (6, 3.5) (8,.5) (8, ) Π.χ διπλασιασμός στον άξονα και υποδιπλασιασμός στον άξονα καθώς = και =.5 (,) (+d,+d) d d Y X

33

34 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Δ Στροφή κατά γωνία θ ( αντίθετα από φορά δεικτών ρολογιού) Y, R( ) με mco min mco co in in co in mco in in co in co Ισχύει co R( ) in m f mcoθ in co m και m inθ co R( ) in, X in co co in in co

35 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Δ Στρέβλωση κατά Χ άξονα με παράγοντα Στρέβλωση κατά Υ άξονα με παράγοντα SH SH SH δηλ. b SH b με Αρχικό τετράγωνο X X (6, ) (8, ) (, 4) (, 4) B Y Στρέβλωση κατά μήκος του άξονα Χ (, ) (4, ) (, 4) (4, 4) A Y (, 6) (, 8) (4, ) (4, ) C Y X Στρέβλωση κατά μήκος του άξονα Υ

36 Αναπαράσταση Πινάκων Αναπαράσταση D Μετασχηματισμού με πίνακα c b d Πολλαπλασιαμός πίνακα με στήλη πίνακα εφαρμογή μετασχηματισμού στο σημείο c b d c b d

37 Αναπαράσταση Πινάκων Μετασχηματισμοί συνδυασμένου με πολλαπλασιασμό l k j i h g f e d c b Οι πίνακες είναι ένας εύκολος τρόπος αναπαράστασης ακολουθίας μετασχηματισμών!

38 Πίνακες Τι είδη μετασχηματισμού μπορεί να αναπαραστήσει ένας πίνακας? D Μοναδιαίος? D Κλιμάκωση γύρω από (,)? * *

39 Πίνακες Τι είδη μετασχηματισμού μπορεί να αναπαραστήσει ένας πίνακας? D Περιστροφή γύρω από (,)? * co * in * in * co Q Q Q Q Q Q Q Q co in in co D Στρέβλωση? h h * * h h

40 Πίνακες Τι είδη μετασχηματισμού μπορεί να αναπαραστήσει ένας πίνακας? D Είδωλο γύρω από τον άξονα Y? D Είδωλο γύρω από το (,)?

41 Πίνακες Τι είδη μετασχηματισμού μπορεί να αναπαραστήσει ένας πίνακας? D Μετατόπιση? t t ΟΧΙ! Μόνο γραμμικούς D μετασχηματισμοί Μπορούν να αναπαρασταθούν με έναν πίνακα

42 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικοί μετασχηματισμοί είναι συνδυασμοί από Κλιμάκωση, Περιστροφή, Στρέβλωση Είδωλο Ιδιότητες γραμμικών μετασχηματισμών: c b d Ικανοποιούν: T( p p) T ( p) T ( p Σημεία αντιστοιχούν σε σημεία Γραμμές απεικονίζονται ως γραμμές Παράλληλες γραμμές παραμένουν παράλληλες Διατηρούνται οι αναλαγίες Είναι κλειστές μετά από σύνδεση )

43 Ομογενείς Συντεταγμένες Πώς μπορούμε να αναπαραστήσουμε μια μετατόπιση ως πίνακα 33? t t

44 Ομογενείς Συντεταγμένες Ομογενείς συντεταγμένες Αναπαραστούν συντεταγμένες διαστάσεων με ένα διάνυσμα τριών διαστάσεων Ομογενείς Συντετ Οι ομογενείς συντεταγμένες διευκολύνουν τις πράξεις στα γραφικά

45 Ομογενείς Συντεταγμένες Πώς αναπαριστούμε μια μετατόπιση με ένα πίνακα 33? Απάντηση: Χρησιμοποιώντας την δεξιά στήλη : t t t t

46 Ομογενείς Συντεταγμένες Προβλήματα Η μεταφορά δεν υλοποιείται με πολ/μό πινάκων Ύπαρξη σταθερού σημείου O για όλους τους μετασχηματισμούς Ομογενείς συντεταγμένες,,, w με w Άπειρες τριάδες για κάθε σημείο του Ε, w παριστάνει σημείο, Βασική παράσταση: w,, / w, / w E W,, w M O O M Επίπεδο w= / w, / w, X Y

47 Ομογενείς Συντεταγμένες Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί: πίνακες 33 Μεταφορά Σύνθεση: Αλλαγή κλίμακας Σύνθεση: Αν έχουμε σμίκρυνση και πλησίασμα στο, παρομοίως για d d d T d T με d T d T d d d d d d d d d T d T,, S S με S S /, /, S S,, O

48 Ομογενείς Συντεταγμένες Στροφή Σύνθεση: Στρέβλωση co in in co R R με T R R R R R R co in in co b SH SH

49 Σύνθεση Μετασχηματισμών Π.χ. αλλαγή κλίμακας ως προς Μεταφορά κατά Αλλαγή κλίμακας κατά Μεταφορά κατά Προσοχή: Η σειρά έχει σημασία (αντιμεταθετική δεν ισχύει γενικά) Ο πρώτος μετασχηματισμός που εφαρμόζεται γράφεται τελευταίος Σύνθεση είναι πολύ αποδοτική στα γραφικά Ισχύουν,, c c C C O c c, O C c c c T S c T S, S R R S R R R R R S S S S S T T T T T δ) γ),,,,,,,,,,,, β) α) μόνο εάν

50 Γεωμετρικές Ιδιότητες συσχετισμένο μετασχηματισμό F και σημεία, Q ισχύει F Q F F Q για Q είναι το ευθύγραμμο τμήμα μεταξύ και Q Άρα η F παράγει πάλι ένα ευθ. τμήμα Σχέση λ/(-λ) παραμένει αναλοίωτη από F Άρα αρκεί απεικόνιση άκρων μόνο Ακόμα παράλληλες ευθείες παραμένουν παράλληλες π.χ. Α Ορίζουσα F T, S, R, SH, SH Α είναι ορθογώνιος αν

51 Γεωμετρικές Ιδιότητες M είναι μετασχηματισμός ομοιότητας αν t t είναι ορθογώνιος Ένας μετασχηματισμός ομοιότητας διατηρεί αναλοίωτα μήκη & γωνίες π.χ. μοναδιαίο τετράγωνο μοναδιαίο τετράγωνο Οποιαδήποτε σύνθεση Τ & R είναι μετασχηματισμός ομοιότητας Αν στη σύνθεση υπάρχουν S & SH έχουμε μετασχηματισμό συσχετισμένο αλλά όχι ομοιότητας Διατηρείται παραλληλία ευθειών όχι όμως μήκη & γωνίες

52 Μετατόπιση Παράδειγμα μετατόπισης t t t t t = t = Ομογενείς Συντεταγμένες

53 Ομογενείς Συντεταγμένες Προσθέτουμε μια τρίτη συντεταγμένη σε κάθε διδιάστατο σημείο D (,, w) αναπαραστά ένα σημείο στη θέση (/w, /w) (,, ) αναπαραστά εάν σημείο στο άπειρο (,, ) δεν επιτρέπεται (,,) or (4,,) or (6,3,3) Ένα νέο σύστημα συντεταγμένος κατάλληλο να αναπαραστά πολλούς χρήσιμους μετασχηματισμούς

54 Βασικοί D Μετασχηματισμοί Βασικοί D μετασχηματισμοί ως 33 πίνακες Q Q Q Q co in in co t t h h Μετατόπιση Περιστροφή Στρέβλωση Κλιμάκωση

55 Ομογενείς μετασχηματισμοί Ομογενείς μετασχηματισμοί είναι συνδυασμοί Γραμμικών μετασχηματισμών Μετατοπίσεων Ιδιότητες των ομογενών μετασχηματισμών: Η αρχή των συντεταγμένων δεν παραμένει η ίδια Γραμμές αντιστοιχούν σε γραμμές Παράλληλες γραμμές παραμένουν παράλληλες Οι αναλογίες διατηρούνται w f e d c b w

56 Συνοπτικά D Μετασχηματισμοί Βασικοί D μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Πινάκων Σύνθεση πινάκων 3D Μετασχηματισμοί Βασικοί 3D μετασχηματισμοί Αντίστοιχοι με τους D

57 Σύνθεση Πινάκων Οι μετασχηματισμοί συνδυάζονται από πολλαπλασιασμό πινάκων Q Q Q Q w t t w co in in co p = T(t,t ) R(Q) S(, ) p

58 Σύνθεση Πινάκων Οι πίνακες είναι κατάλληλοι να αναπαραστήσουν μια ακολουθία μετασχηματισμών Γενική Αναπαράσταση Το Hrdwre μπορεί να υλοποιήσει πολλαπλασιασμό πινάκων p = (T * (R * (S*p) ) ) p = (T*R*S) * p

59 Σύνθεση Πινάκων Έχει σημασία η σειρά των μετασχηματισμών Ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός p = T * R * S * p Globl Locl

60 Σύνθεση Πινάκων Εάν θέλουμε να περιστρέψουμε και να μετατοπίσουμε? Να περιστρέψετε ένα τμήμα κατά 45 σε σχέση με το τέλος του

61 Σειρά πολλαπλασιασμού: Λαθος Το τμήμα ορίζεται από σημεία Εφαρμογή περιστροφής για 45 μοίρες, R(45), επηρεάζει και τα δύο σημεία Λάθος R(45) Σωστό T(-3) R(45) T(3)

62 Σειρά Πολλαπλασιασμού - Σωστό Απομόνωση άκρων από την επίδραση της περιστροφής Μετατόπιση στην Αρχή των αξόνων: T (-3) Περιστροφή κατά 45 μοίρες: R(45) Μετατόπιση πίσω όπου βρισκόταν: T(3)

63 Αυτή η ακολουθία είναι κατάλληλη? Σύνθεση Πινάκων 3 co(45) in(45) in(45) co(45) 3

64 Αυτή είναι η σωστή!! Σύνθεση Πινάκων 3 co(45) in(45) in(45) co(45) 3

65 Κατηγοριοποίηση Μετασχηματισμών

66 Ασκήσεις. Εξηγήστε πως μπορούμε να μετατρέψουμε τις τυπικές καρτεσιανές συντεταγμένες (,,z) σε ομογενείς και το αντίστροφο. i. Μετατροπή από καρτεσιανές συντεταγμένες σε ομογενείς: (,,z) (,, z,) ή (,,z) (w, w,zw,w) ii. Μετατροπή από ομογενείς συντεταγμένες σε καρτεσιανές: (,,z,w) ( w, w,z w,)

67 Ασκήσεις. Δείξτε πως μπορούμε να υλοποιήσουμε μία Δ περιστροφή γύρω από ένα αυθαίρετο σημείο. Περιγράψτε και έναν πίνακα στις ομογενείς συντεταγμένες για κάθε βήμα της παραπάνω διαδικασίας. Περιστροφή κατά γωνία φ γύρω από το σημείο p=(,). i. Μεταφορά του p στην αρχή των αξόνων. Βασικός πίνακας μετασχηματισμού: ii. Περιστροφή κατά γωνία φ γύρω από την αρχή των αξόνων: Βασικός πίνακας μετασχηματισμού: iii. Μεταφορά του p στην αρχική του θέση: Βασικός πίνακας μετασχηματισμού: co in in co f f f f

68 Ασκήσεις 3. Υπολογισμός του πίνακα μετασχηματισμού του συμμετρικού ενός σημείου ως προς έναν άξονα W που σχηματίζει γωνία θ με τον άξονα Χ. Υ A(,) W Οι βασικοί μετασχηματισμοί είναι γνωστοί μόνο ως προς συγκεκριμένο σταθερό σημείο Ο. Οποιοσδήποτε μετασχηματισμός μπορεί να προκύψει ως σύνθεση των τεσσάρων βασικών μετασχηματισμών. Διαδοχικά βήματα: θ Στροφή της εικόνας κατά θ γωνία, ώστε ο άξονας W να ευθυγραμμιστεί με τον X. Εύρεση του συμμετρικού του Α ως προς τον άξονα Χ ( S(,-) γιατί στο cling με και έχουμε και ) Στροφή της εικόνας κατά γωνία +θ ώστε να επιστρέψει ο W στην αρχική του θέση και να υπολογίσουμε έτσι το συμμετρικό του Α ως προς τον W. X

69 Ασκήσεις Βήμα: στροφή κατά γωνία -θ co( ) in( ) A R( ) A R( ) in( ) co( ) Βήμα : Συμμετρικό ως προς τον X A S(, ) A S(, ) Βήμα: Στροφή κατά γωνία θ Τελικά: co in A R( ) A R( ) in co A (R( ) S(. ) R( )) A ί ύ Υ -θ θ θ A(,) Το αρχικό σημείο Α(,) Το σημείο μετά την περιστροφή κατά -θ W X Α (,) το τελικό σημείο Α (,) το συμμετρικό του A ως προς τον Χ co R( ) S(. ) R( ) in in co

70 Ασκήσεις 4. Υπολογισμός του πίνακα μετασχηματισμού που περιστρέφει ένα δοσμένο σημείο Q(,) κατά γωνία θ ως προς ένα δοσμένο κέντρο περιστροφής (h,k). Υ Q (, ) Q(,) Q (, ) θ Q (, ) V (h,k) Διαδοχικά βήματα: Μεταφορά του κέντρου περιστροφής στην αρχή των αξόνων Ο. Η μεταφορά θα γίνει κατά ένα διάνυσμα V ( h, k). Βασικός μετασχηματισμός T() Περιστροφή κατά γωνία θ ως προς την αρχή των αξόνων, εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό R(θ) Μεταφορά του στην αρχική του θέση. Η μεταφορά θα γίνει κατά ένα διάνυσμα (h, k) Βασικός μετασχηματισμός Άρα, O(,) Q(, T( ) ) Χ T( ) R( ) T() Q(, ) R(,) Q(, )

71 Ασκήσεις o 5. Εκτελέστε περιστροφή κατά 45 του τριγώνου A(,), B(,), C(5,) α)ως προς την αρχή των αξόνων και β)ως προς το σημείο (-,-). α) To τρίγωνο ABC περιγράφεται υπό μορφή πίνακα ως εξής: ΑΒC= Αρκεί μια απλή περιστροφή κατά o 45, άρα A B C 5 ABC R(45 o co 45 ) ABC in 45 o o in 45 co 45 o o 5 β)η περιστροφή δεν γίνεται ως προς το Ο(,) αλλά ως προς το (-,-). Άρα, κάνουμε εφαρμογή o του προηγούμενου παραδείγματος στον τύπο R(θ,) για θ= 45 και (-,-).

72 5. Εκτελέστε περιστροφή κατά του τριγώνου A(,), B(,), C(5,) α) ως προς την αρχή των αξόνων και β) ως προς το σημείο (-,-). β) Η περιστροφή δεν γίνεται ως προς το Ο(,) αλλά ως προς το (-,-). Άρα, κάνουμε εφαρμογή Μεταφορά του κέντρου περιστροφής στην αρχή των αξόνων Ο. Η μεταφορά θα γίνει κατά ένα διάνυσμα. Περιστροφή κατά γωνία θ=45 ως προς την αρχή των αξόνων, εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό R(θ)=R (45) Μεταφορά του στην αρχική του θέση. Ασκήσεις o 45 5 co45 in 45 in 45 co45 ) ( ) (45 ) ( o o o o o ABC T R T A B C k) h, ( V

73 Ασκήσεις 6. Υπολογισμός του μετασχηματισμού που κάνει cling(αλλαγή κλίμακας) ενός αντικειμένου ως προς ένα δοσμένο σημείο (h,k). Το cling θα πρέπει να γίνεται κατά μονάδες στον άξονα Χ και κατά b στον άξονα Υ. Διαδοχικά βήματα: Βήμα :Μεταφορά του στην αρχή των αξόνων, κατά ένα διάνυσμα ( h, k) Βασικός πίνακας μετασχηματισμού T( ) Υ θ Βήμα :Εκτελούμε cling ως προς την αρχή των αξόνων με και b. Βασικός πίνακας μετασχηματισμού S(,b) Βήμα 3:Επαναφορά του στην αρχική θέση. Βασικός πίνακας μετασχηματισμού T() S(,b,) T() S(, b) T( ) h k b O(,) V h k.(h,k) Άρα ο ζητούμενος μετασχηματισμός είναι η σύνθεση των τριών αυτών μετασχηματισμών, δηλαδή ο τελικός πίνακας μετασχηματισμού είναι ο Χ

74 7. Να διπλασιαστεί το μήκος των πλευρών ενός τριγώνου με κορυφές Α(,), Β(,) και C(5,), διατηρώντας σταθερή την κορυφή C(5,). Ασκήσεις Χ Υ Β Α C 5 Αρχικό τρίγωνο Θα πρέπει να μεταφέρουμε στην αρχή των αξόνων το σημείο ως προς το οποίο κάνουμε το cling δηλαδή το σημείο C(5,) αφού αυτό θα πρέπει να διατηρείται σταθερό. Στην συνέχεια εφαρμόζουμε cling κατά = στον άξονα Χ και b= στον άξονα Υ, αφού θέλουμε να διπλασιάσουμε το μήκος των πλευρών του τριγώνου. Και στο τέλος επιστρέφουμε το σημείο ως προς το οποίο κάναμε cling στην αρχική του θέση. 5 5 ) ( ), ( ) ( ),, ( T b S T b S

75 7. Να διπλασιαστεί το μήκος των πλευρών ενός τριγώνου με κορυφές Α(,), Β(,) και C(5,), διατηρώντας σταθερή την κορυφή C(5,). Ασκήσεις Χ Υ Β Α C 5 Α Χ Υ Β C 5-5 Αρχικό τρίγωνο Τελικό τρίγωνο ) ( (,) ) ( ),, ( ABC T S T C S A B C

76 Ασκήσεις 8. Να περιγραφεί ο μετασχηματισμός που βρίσκει το συμμετρικό ενός αντικειμένου ως προς μια ευθεία L, που τέμνει τον άξονα Υ στο (,b) και σχηματίζει γωνία θ με τον Χ. Υ Υ L θ (,b) Χ Ο τελικός μετασχηματισμός θα προκύψει ως σύνθεση βασικών μετασχηματισμών: Βήμα :Μεταφέρουμε το σημείο (,b) στην αρχή των αξόνων (μεταφορά κατά το διάνυσμα (, b) ). Βασικός πίνακας μετασχηματισμού T( )

77 Ασκήσεις Βήμα :Στροφή της ευθείας L κατά γωνία θ για να ευθυγραμμιστεί με τον Χ. Βασικός πίνακας μετασχηματισμού R(-θ). Βήμα 3: Υπολογισμός του συμμετρικού του σημείου ως προς τον άξονα Χ. Β. Βασικός πίνακας μετασχηματισμού S(,-). Βήμα 4:Στροφή της ευθείας L κατά γωνία θ. Βασικός πίνακας μετασχηματισμού R(θ). Βήμα 5: Επαναφορά του (,b) στην αρχική του θέση. Βασικός πίνακας μετασχηματισμού T() Άρα, ο τελικός μετασχηματισμός θα είναι: T() R( ) S(, ) R( ) T( ) M L

78 9. Βρείτε το συμμετρικό του πολυγώνου Π με κορυφές Α(-,), Β(,-),C(,) και D(,)ως προς )Την οριζόντια ευθεία = b)την κατακόρυφη ευθεία = c)την ευθεία =+ ) Το πολύγωνο παριστάνεται σε μορφή πίνακα ως: Π= Θέλουμε να βρούμε το συμμετρικό ως προς την ευθεία, = η οποία έχει σημείο τομής με τον άξονα Υ το (,) και είναι παράλληλη ως προς τον άξονα. Ασκήσεις Χ Υ (,) L ) ( ) (, ) ( T S T D ) ( ) (, ) ( ABC T S T A B C D

79 Ασκήσεις b)η = είναι ευθεία παράλληλη με τον άξονα Υ, άρα δεν έχει σημείο τομής με αυτόν. Έχει δηλαδή άπειρη κλίση. Επομένως θα πρέπει να ακολουθήσουμε τα εξής βήματα: Υ = (,) Χ Βήμα :Μεταφορά κατά το διάνυσμα (,) ώστε η ευθεία να συμπέσει με τον άξονα Υ. Βασικός πίνακας μετασχηματισμού T( ) Βήμα :Υπολογισμός του συμμετρικού ως προς τον Υ. Βασικός πίνακας μετασχηματισμού S(-,). Βήμα 3:Μεταφορά κατά το διάνυσμα (,) για να επαναφέρουμε την ευθεία στην αρχική της θέση. Βασικός πίνακας μετασχηματισμού T() Άρα, M T() S(,) T( ) L

80 b)η = είναι ευθεία παράλληλη με τον άξονα Υ, άρα δεν έχει σημείο τομής με αυτόν. Έχει δηλαδή άπειρη κλίση. Επομένως θα πρέπει να ακολουθήσουμε τα εξής βήματα: Ασκήσεις Χ Υ (,) = ) T(,) S( T() M L

81 Ασκήσεις Βρείτε το συμμετρικό του πολυγώνου Π με κορυφές Α(-,), Β(,-),C(,) και D(,) ως προς =+ 45 H ευθεία =+ έχει κλίση, άρα εφθ=, δηλαδή άξονα Υ είναι το (,), δηλαδή b=. Υ 45. Το σημείο τομής με τον =+ (,) 45 Χ Ο τελικός μετασχηματισμός θα προκύψει ως σύνθεση βασικών μετασχηματισμών: Βήμα :Μεταφέρουμε το σημείο (,b)=(,) στην αρχή των αξόνων (μεταφορά κατά το διάνυσμα (, b) ). Βασικός πίνακας μετασχηματισμού T( )

82 Ασκήσεις Βήμα : Στροφή της ευθείας L κατά γωνία θ=-45 για να ευθυγραμμιστεί με τον Χ. Βασικός πίνακας μετασχηματισμού R(-θ)= R(-45). Βήμα 3: Υπολογισμός του συμμετρικού του σημείου ως προς τον άξονα Χ. Β. Βασικός πίνακας μετασχηματισμού S(,-). Βήμα 4:Στροφή της ευθείας L κατά γωνία θ=45. Βασικός πίνακας μετασχηματισμού R(θ)= R(45). Βήμα 5: Επαναφορά του (,b)= (,) στην αρχική του θέση. Βασικός πίνακας μετασχηματισμού T() Άρα, ο τελικός μετασχηματισμός θα είναι: T ( ) R( ) S(, ) R( ) T ( ) M L

83 Ασκήσεις M T R S R T L ) ( ) ( ) (, ) ( ) ( 3 4

84 Συνοπτικά D Μετασχηματισμοί Βασικοί D μετασχηματισμοί Αναπαράσταση πινάκων Σύνθεση Πινάκων