Karakteristične kontinualne funkcije Laplasova transformacija
|
|
- Δημοσθένης Παπάγος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Karakteristične kontinualne funkcije Laplasova transformacija
2 Signali Fizikalne karakteristike signala ćemo opisati matematičkim modelima koji će s dovoljno tačnosti prikazati osnovna svojstva realnih signala. Signali imaju prostornu i vremensku raspodelu. Informacija je sadržana u onom parametru signala koji poprima promenljivu vrednost. Ta promena zavisi od karaktera i količine informacije. Signali kod kojih su nosioci informacija samo koordinate mesta nazivamo konfiguracijama. Ako je informacija opisana samo vremenskom koordinatom ili vremensko prostornim koordinatama onda se signali kojima se prenose takve informacije nazivaju zbivanja. Pomoću tih koordinata opisujemo i fizikalna svojstva signala odnosno tako razlikujemo signale po njihovim fizikalnim svojstvima (pritisak zvuka, električni napon, temperatura itd.).
3 Signali Elementarne podprocese spajaju energetski, materijalni i informacioni tokovi tj. procesni signali. Procesne signale karakterišu pokazatelji stanja, kao što su: masa, protok, napon, struja, pritisak, temperatura itd. Pokazatelji stanja procesnih signala su merljive veličine. Signali su vremenske, prostorne funkcije koje pored svog fizičkog iznosa i konkretnog efekta na okruženje uvek nose sa sobom i informacije. Analizom informacionog sadržaja signala utvrđuje se stanje i ispunjenost tehnoloških zahteva u tehnološkom procesu. U tehničkim sistemima signal je uvek fizička veličina koja je usmerena tj. ima svoj izvor i odredište. Sa stanovišta upravljanja procesima značaj uvek ima informacioni, a ne materijalno-energetski karakter signala.
4 Informacija je deo saznanja kojim se smanjuje ili u potpunosti odstranjuje neka neizvesnost. Npr. neizvesnost u oceni stanja nekog tehnološkog procesa može se otkloniti samo ako se poseduje određena količina informacija o procesu. Informacije koje nosi signal kvantitativno se mogu iskazati preko parametara signala. Informacije iz signala dobijaju se odabirom i obradom podataka o parametrima signala. Podaci o signalima tj. stanjima tehnološkog procesa prikupljaju se posmatranjem, logičkim zaključivanjem i merenjem parametara signala. Povećavanje informatičkog sadržaja signala može se postići matematičkim preslikavanjem funkcionalnih zavisnosti signala iz vremenskog domena u neki drugi često imaginarni domen kao što je npr. kompleksna ravan.
5 Karakteristike rada sistema u vremenskom domenu su jako bitne, pošto se i ponašanje sistema automatskog upravljanja prati u toku vremena. Iz tog razloga odziv sistema u vremenskom domenu je od primarnog značaja, a sa njim i određene karakteristike. Pre svega, potrebno je utvrditi da li je sistem stabilan. Ako jeste, pobuđuje se određenim pobudnim signalom, meri se (registruje) odziv i na taj način se dolazi do podataka o određenim merama performansi. Pošto je stvarni pobudni signal nekog sistema unapred nepoznat, to se za određivanje mera performansi koriste standardni pobudni test signali.
6 Postoji nekoliko razloga koji opravdavaju ovakav postupak: postoji korelacija između odziva na test signal i ponašanja sistema u realnim uslovima; koristeći iste ulazne signale moguće je uporediti različita rešenja nekog problema i izabrati najbolje; realni ulazni signali su veoma slični standardnim test signalima.
7 Signal jediničnog skoka Ovo je signal koji je najlakše generisati i grafički predstaviti. Mnogi ulazni signali objekta upravljanja se mogu približno aproksimirati ovom funkcijom (uključivanje napona u električnom kolu, skokovita promena sile u mehaničkom sistemu, zakret kormila broda u cilju promene pravca ). Pretpostavka je da ovaj signal ima vrednost jedan od trenutka posmatranja (t=0) što je dato na sledećoj slici. Ovaj signal se obično opisuje sa: f ( t) 1: t f 0 = 0 : tp 0 Funkcija jediničnog skoka
8 Treba primetiti da funkcija nije definisana za t=0, jer je pretpostavka da se u tom trenutku vrednost skokovito promeni sa nula na jedan. To predstavlja matematičku idealizaciju jer je za takvu promenu neophodno neko, ma koliko kratko, vreme. Funkcija se često označava i sa 1(t). Napomena: Od interesa je navesti i zakašnjenu jediničnu funkciju za vrednost τ, gde je τ konstanta. Ova funkcija se zapisuje u obliku 1(t-τ), a predstavljena je grafički na slici.
9 Impulsna funkcija - impulsni signal Ova funkcija se jednostavno dobije diferenciranjem funkcije jediničnog skoka. Za lakše razumevanje oblika ove funkcije pogodno je poći od njene aproksimacije date na sledećoj slici. Aproksimacija impulsne funkcije
10 Ova aproksimacija odgovara razlici dve odskočne funkcije sa skokom 1/ε pri čemu je druga zakašnjena za ε u odnosu na prvu. U graničnom slučaju kada ε teži vrednosti nula dobija se impulsna funkcija. Ona se obično označava sa δ i piše u obliku: 0; t 0 δ = lim δ *( t) = ε 0 ; t = 0 δ ( t) dt = 1.
11 Iz zadnjeg se vidi da funkcija ima beskonačnu vrednost za t=0 ali je istovremeno površina ispod funkcije konačna i jednaka 1. Ona se grafički obično predstavlja kao na slici. Bez obzira na neuobičajenu matematičku definiciju ova funkcija je pogodna za aproksimaciju nekih signala. Signali intenzivnih smetnji koji su vrlo kratkog trajanja (snažni ali kratki udari vetra na letelicu, kratkotrajan kratak spoj u električnoj mreži i slično) mogu se dosta uspešno aproksimirati ovom funkcijom.
12 Linearna (rampa) funkcija Ako se uzme integral jedinične odskočne funkcije dobije se funkcija čija vrednost raste linearno u vremenu od vrednosti nula, koju ima u trenutku t=0. Ova funkcije se predstavlja izrazom: f ( t) t; t f 0 = 0; tp 0 Očigledno se takođe može predstaviti sa: f(t)=t*1(t). Grafički je ova funkcija predstavljena na sledećoj slici.
13 Sa dijagrama je očigledno zašto se ova funkcija naziva i brzinskom funkcijom. Ona je pogodna za predstavljanje signala koji se karakterišu konstantnom promenom (ugao zakreta osovine motora koja se obrće konstantnom brzinom). Specifičnost ove funkcije je to što sa vremenom njena vrednost teži prema beskonačnosti.
14 Eksponencijalna funkcija Polazi se od eksponencijalne funkcije at f ( t) = e ; af 0; e Tangenta na krivu u t=0 ima nagib određen prema: df dt at d( e ) = = a. dt t= 0 t= 0
15 Kako je eksponent neimenovan broj zgodno je usvojiti T=1/, jer se dobije konstanta koja ima dimenziju vremena. Tada je: a df dt t= 0 = 1. T Očigledno za veće vrednosti T funkcija f(t) ima sporiju promenu (opadanje prema stacionarnoj vrednosti). Važi i obrnuto za poznat oblik f(t) može se odrediti vrednost T. Funkcija je grafički predstavljena na sledećoj slici.
16 Funkcija je očigledno različita od nule za t<0, pa je od većeg praktičnog značaja njena modifikacija data sa: f t e t T t/ T ( ) = (1 )1( ); f 0. Grafik ove funkciju je dat na sledećoj slici.
17 Tangenta na krivu u t=0 ima nagib određen prema: df d e dt dt T t/ T (1 ) 1 t= 0 = t= 0 =.
18 Očigledno za veće vrednosti T funkcija f(t) ima sporiji porast prema stacionarnoj vrednosti. Važi i obrnuto; za poznat oblik f(t) može se odrediti vrednost T. Takođe iz izraza: f T 1 ( ) = 1 e = = se vidi da funkcija za t=t ima vrednost 63.24% od vrednosti ( stacionarnog stanja). f ( ) = lim f ( t) t
19 Sinusna funkcija Ova funkcija u slučaju jedinične amplitude se može napisati u obliku: f ( t) sin ωt; t f 0 = 0; t p 0 Funkcija je osnova za kompletnu frekvencijsku analizu. Fenomeni oscilovanja promenljive bilo da se radi o ulaznom delovanju, smetnji ili signalu koji generiše sam sistem od posebnog su interesa. Veličine bitne za kompletno predstavljanje ovih funkcija su: amplituda, frekvencija i fazni pomak.
20 U odnosu na osnovnu funkciju (sa jediničnom amplitudom, jediničnom frekvencijom i nultim faznim pomakom) na sledećim slikama su dati prikazi iste za: amplitudu 1.5, dvostruko veću frekvenciju i fazno kašnjenje za jedan radijan, respektivno. Napomena: Režim oscilacija sa konstantnom amplitudom je samo specijalan slučaj režima oscilovanja sa promenljivom amplitudom (rastućom ili opadajućom).
21 Transformacija - definicija Transformacija -- matematička konverzija iz jednog načina razmišljanja u drugi kako bi se olakšalo rešavanje problema problem u originalnom načinu razmišljanja transformacija rešenje u transformisanom načinu razmišljanja inverzna transformacija rešenje u originalnom načinu razmišljanja
22 problem u vremenskom domenu Laplasova transformacija rešenje u s domenu inverzna Laplasova transformacija Rešenje u vremenskom domenu Druge transformacije Fourijeova z-transformacija wavelets (talasići)
23 Laplasova transformacija Korisno je a vrlo često i jako važno analizirati performanse i stabilnost novoprojektovanog sistema pre nego što se on napravi i implementira. Većina tehnika za analizu oslanja se na korišćenje transformisanih promenljivih kako bi se olakšao matematički pristup problemu. U analizi vremenski kontinualnih dinamičkih sistema dominira korišćenje Laplasove transformacije. Primena Laplasove transformacije je analogna korišćenju logaritma da se uproste neki tipovi matematičkih manipulacija i rešenja. Primenom logaritma brojevi se transformišu u stepene broja 10 ili neke druge osnove, npr. prirodni logaritam. Kao rezultat te transformacije, matematičko množenje i deljenje se zamenjuju sabiranjem i oduzimanjem respektivno.
24 Slično tome, primenom Laplasove transformacije u analizi sistema koji mogu da se opišu linearnim diferencijalnim jednačinama prevazilaze se neki od problema kompleksnosti rešenja takvih jednačina u vremenskom domenu. Laplasova transformacija se koristi za pretvaranje relacija iz vremenskog domena u skup jednačina koje se izražavaju preko članova Laplasovog operatora 's'. Stoga, rešavanje originalnog problema se Laplasovom transformacijom prevodi u jednostavne algebarske manipulacije po 's' u Laplasovom domenu.
25 u(t) Diferencijalna jednačina sistema y(t) U(s) Prenosna funkcija sistema Y(s) Definicija -- prenosna funkcija je izraz koji povezuje izlaz sa ulazom u s-domenu
26 Vremenski domen linearna diferencijalna jednačina rešenje u vremenskom domenu Laplasova transformacija inverzna Laplasova transformacija Laplasova transformisana jednačina algebra Laplasovo rešenje Laplasov domen ili domen kompleksne frekvencije
27 Problemi analize i sinteze svakog dinamičkog elementa/sistema redovno su vezani za rešavanje diferencijalnih jednačina. Jedan od najjednostavnijih postupaka rešavanja tih jednačina je vezan za primenu Laplasove transformacije. Iz tog razloga biće ukratko date teoretske osnove ove transformacije i neke jednostavnije primene. Definicija Za posmatrani kontinualan signal (funkciju) f (t), 0 t p, Laplasova transformacija je definisana sa st L f ( t) F( s) e f ( t) dt. { } = = 0
28 Nakon operacije integracije nestaje nezavisna promenljiva t, pa ostaje samo zavisnost od promenljive s. Kompleksna promenljiva s = σ + jω je takva da izraz e st u zadnjoj jednačini predstavlja prigušenje. Navedeni integral će konvergirati ako realna vrednost promenljive s zadovoljava uslov σ f σ a, gde je σ a realna pozitivna konstanta za koju važi sat e f ( t) dt p. 0
29 Za većinu signala u sistemima upravljanja ne mora se posebno voditi računa o ovom problemu. Uvedena transformacija prevodi funkciju f(t) (original) definisanu u vremenu u kompleksno područje F(s) (slika). Napomenimo još da je transformacija ograničena na funkcije koje zadovoljavaju uslov f(t)=0, t<0. Takve se funkcije nazivaju kauzalnim. Za poznatu funkciju F(s) korišćenjem inverzne Laplasove transformacije moguće je odrediti original prema { ( )} st L F s = f ( t) = e F( s) ds 2π j 1 1 σ + j σ j
30 Koristeći definicioni izraz može se odrediti Laplasova transformacija funkcija f(t) koje se pojavljuju u sistemima. Za složenije originale je računanje definicionog integrala složeno. Iz tog razloga se određivanje Laplasove transformacije složenijih funkcija svodi na izračunavanje preko transformacije elementarnih funkcija uz korišćenje pravila koja važe za Laplasovu transformaciju.
31 Laplasova transformacija elementarnih funkcija Funkcija jediničnog skoka U skladu sa definicijom Laplasove transformacije važi: st st 1 st F( s) = L{ 1( t) } = e 1( t) dt = e dt = e = ( e e ) = s 0 s s 0 0 Napomena: Na isti način se može pokazati da za Laplasovu transformaciju odskočne funkcije nejediničnog skoka a važi a L{ a1( t) } = F( s) =. s
32 Impulsna funkcija Prema definiciji Laplasove transformacije i impulsne funkcije važi: { } F( s) L δ ( t) e st δ ( t) dt δ ( t) dt 1 = = = = 0 0 Na sličan način se mogu odrediti Laplasove transformacije složenijih funkcija. U tim slučajevima moguće su računske greške kod izračunavanja odgovarajućih integrala. Iz tog razloga se često koriste tablice Laplasovih transformacija elementarnih funkcija.
33 Tablica Laplasove transformacije elementarnih funkcija
34 Osobine Laplasove transformacije 1. Linearnost l l L ai fi ( t) = aifi ( s) i= 1 i= 1 2. Vremensko (transportno) kašnjenje sτ L f ( t τ ) = e F( s) { }
35 3. Pomeranje kompleksnog lika (prigušenje originala) { at } L e f ( t) = F( s + a) 4. Laplasova transformacija izvoda L = s F s s k k i 1 d f ( t) k k i d f ( t) ( ) k i 1 dt i= 1 dt
36 Specijalno u slučaju prvog izvoda je očigledno df ( t) L = sf( s) f ( t) t dt = 0 5. Laplasova transformacija integrala t 1 L f ( τ ) dτ = F( s) s 0
37 6. Izvod kompleksnog lika k d F( s) k ds { k } k = ( 1) L t f ( t). Isto svojstvo se češće koristi u obliku tako da odgovara množenju originala linearnom funkcijom. Tada je prethodnu jednačinu zgodno transformisati na k { k } k d F( s) L t f ( t) = ( 1). k ds k =1 Specijalno za važi ( ) L{ tf ( t) } = ( 1) df s ds
38 7. Teorema početne vrednosti lim f ( t) = lim F( s) t 0 s 8. Teorema konačne vrednosti lim f ( t) = lim sf( s) t s 0
39 Odrediti Laplasovu transformaciju funkcija datih u narednim primerima 2 f ( t) = a + bt + ct, a, b, c = const Rešenje: Prema osobini linearnosti i izvodu kompleksnog lika imamo 2 { ( )} = { 1( )} + { } + { } L f t L a t L bt L ct 1 d( ) 1 L{ bt} = bl{ t1( t) } = b s = b 2 ds s 1 d( ) L{ ct } = cl{ t * t} = c s = c 3 ds s F( s) = a + b + c. 2 3 s s s
40 f ( t) = cos( at) Rešenje: d(sin at) dt = a cos at odatle sledi 1 d(sin at) cos at =. a dt Sada je očigledno da važi: 1 d(sin at) 1 a s L at L s a dt a s + a s + a { cos } = = =
41 Inverzna Laplasova transformacija Već je navedeno da je za poznatu funkciju F(s) korišćenjem inverzne Laplasove transformacije moguće odrediti original prema { ( )} st ( ) ( ) L F s = f t = e F s ds 2π j 1 1 σ + j σ j Računanje inverzije po ovom izrazu je veoma komplikovano pa se ista određuje na drugi način. Kao osnova se koristi poznavanje inverzne Laplasove transformacije elementarnih funkcija, već datih tabelom Laplasove transformacije.
42 Dalje ćemo posmatrati likove koji su oblika količnika polinoma: ( ) F s ( ) ( ) P s b s b s + b = = n Q s s + a s + + a s + a m m 1 0 n 1 n n f m gde je jer se u teoriji sistema najčešće susreću ovakve funkcije. Podsetimo da su nule polinoma P(s) i Q(s) nule i polovi funkcije F(s), respektivno.
43 Za nalaženje inverzne Laplasove transformacije su od posebnog interesa polovi funkcije koji predstavljaju rešenja jednačine: Q s = s + a s a s + a = 0 ( ) n n 1 n Zavisno od tih polova se razlikuje nekoliko slučajeva kod određivanja inverzne Laplasove transformacije koji su dalje navedeni.
44 Svi polovi su realni i prosti (jednostruki) U ovom slučaju se F(s) može napisati u obliku: ( ) F s = ili u obliku : P( s) ( s s )( s s ) ( s s ) n ( ) F s K K 1 2 = ( s s ) ( s s ) ( s s ) 1 2 Kn... n K i Koeficijenti se lako određuju metodom neodređenih koeficijenata. Nakon toga se inverzna Laplasova transformacija direktno dobija iz tablice Laplasovih transformacija.
45 Postoje konjugovano kompleksni polovi Pretpostavimo da pored realnih postoje i kompleksni polovi funkcije F(s). U tom slučaju F(s) se može predstaviti u obliku: K s + K K K = = ( ) F ( s) F s s + as + b s s1 s s1 Određivanje inverzne Laplasove transformacije od F(s) je sada specifično samo za komponentu F1 ( s) koja ima par konjugovano kompleksnih polova. Istu je potrebno svesti na oblik ( ) F s = K s + K ( ) s + α + β
46 α α β 2 α ; α β 2 2 = a + = Vrednosti i je lako odrediti iz. Za poznate i se F s lako napiše u obliku: ( ) F s β ( ) ( + α ) + ( s ) ( s ) K s K α K = + + α + β + α + β b Obe komponente funkcije su sada u obliku da se direktno mogu odrediti njihovi originali.
47 Postoje višestruki polovi Uzmimo da F(s) ima trostruki realan pol u jednostruki. Tada F(s) treba napisati u obliku: s = s 1 a da su ostali polovi ( ) F s K K K = ( s s ) ( s s ) ( s s ) ( ) R s gde R(s) odgovara komponentama koje su posledica svih preostalih polova. Očigledno se računanje u ovom slučaju svodi na korektnu primenu osobine o diferenciranju kompleksnog lika jer je svaki član koji odgovara trostrukom polu, oblika diferencijala prethodnog.
48 Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcija datih u narednim primerima s + 1 F ( s) = 2 s + 2s Rešenje: Funkcija ima dva realna i prosta pola direktno napisati u obliku: F s = K K s + s + 2 ( ) 1 2 s = 0, s = pa se može
49 Postupkom neodređenih koeficijenata lako se dobije: s + 1 K K = s + s s s K1 = ; K2 = f ( t) = L + = 1( t) + e 2s 2( s + 2) t ( ) ( s + 1) = K s K s 1 2 s + 1 = K s + 2K + K s ( ) s + 1 = s K + K + 2K 1 = 2K K = = K + K K =
50 ( ) = 2 F s s s s + 10 Rešenje: Polovi funkcije su: s = 1+ j3, s = 1 j3 1 2 Funkciju treba transformisati u oblik ( ) F s = s + 5 ( ) 2 2 s + α + β
51 Tada je 2α = 2 α = 1; 2 2 α β β + = 10 = 3. ( ) F s s + 5 s = = ( s ) ( s ) ( s ) ( ) t t f t e = cos3t + e sin 3t 3
52 Operacije Laplasove transformacije - podsetnik f ( t ) F( s ) f '( t ) sf( s) f (0) t f ( t ) dt F( s) 0 s αt e f ( t) F( s α) f ( t T) u( t T) st e F( s) f (0) lim sf( s) lim f ( t) t O-1 O-2 + O-3 O-4 s lim sf( s) s 0 *Poles of sf( s) must have negative real parts. * O-5 O-6
53 Operacije kod rešavanja diferencijalnih jednačina L[ f '( t)] = sf( s) f (0) 2 L[ f "( t)] = s F( s) sf (0) f '(0) L t f ( t) dt = 0 F( s) s
54 Procedura rešavanja diferencijalnih jednačina 2 d y dy b + b + b y = f ( t) 2 dt dt 2 d y dy L b2 + b b0 y = L f ( t) dt dt 2 b2 s Y s sy y [ ] 1 0 [ ] ( ) (0) '(0) + b sy ( s) y(0) + b Y ( s) = F( s) Y ( s) F( s) sb y(0) + b y '(0) + b y(0) = + b s b s b b s b s b
55 Primer: dy 2y 12 dt + = y (0) = 10 dy L + 2L[ y] = L[ 12] dt 12 sy ( s) Y ( s) = s 12 ( s + 2 ) Y ( s) = 10 + s Y ( s) = + s + 2 s( s + 2)
56 12 A 1 A2 = + s( s + 2) s s = = = A s 1 s ( s 2) s 2 + s= 0 + s = 0 6 A = ( s + 2) 6 s( s 2) = = s + s= 2 s= 2 Y ( s) = + = + s + 2 s s + 2 s s + 2 y( t) = t e
57 t=0:.01:.5; y=6+4*2.71.^(-2*t); plot(t,y); grid t=0:.01:5; y=6+4*2.71.^(-2*t); plot(t,y); grid
58 ?? * Materijal pripremljen za korišćenje u nekomercijalne obrazovne svrhe u skladu sa Članom 44. Zakona o autorskim i srodnim pravima - ("Sl. glasnik RS", br. 104/2009 i 99/2011)
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema
Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama
Διαβάστε περισσότερα4 Izvodi i diferencijali
4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραFunkcija prenosa. Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k.
OT3OS1 7.11.217. Definicije Funkcija prenosa Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k Y z X z k Z y n Z h n Z x n Y z H z X z H z H z n h
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραObrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραStabilnost linearnih sistema automatskog upravljanja
Stabilnost linearnih sistema automatskog upravljanja Najvažnija osobina SAU jeste stabilnost. Generalni zahtev koji se postavlja pred projektanta jeste da projektovani i realizovani SAU bude stabilan (u
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραElektromotorni pogon je jedan DINAMIČKI SISTEM, koji se može podeliti na više DINAMIČKIH PODSISTEMA između kojih postoji INTERAKCIJA.
ELEKTROMOTORNI POGON KAO DINAMIČKI SISTEM Elektromotorni pogon je jedan DINAMIČKI SISTEM, koji se može podeliti na više DINAMIČKIH PODSISTEMA između kojih postoji INTERAKCIJA. apstraktan. DINAMIČKI SISTEM
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραPeriodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti
MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Z transformacija. 1.1 Pojam z transformacije
Glava 1 Z transformacija 1.1 Pojam z transformacije U elektrotehnici se vrlo često susrećemo sa signalima koji su diskretnog tipa. To znači da je radimo sa signalima koji su zadati svoji vrednostima samo
Διαβάστε περισσότεραProgram testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραKonstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότεραSTATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA
Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότερα