Frekventne metode analize sistema automatskog upravljanja
|
|
- Βίων Μπουκουβαλαίοι
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Frekventne metode analize sistema automatskog upravljanja Pored odskočne pobude pri ispitivanju linearnih sistema automatskog upravljanja se često primenjuje i prostoperiodična, odnosno sinusna pobuda. U okviru frekventnih metoda se analizira odziv sistema u stacionarnom stanju na prostoperiodičnu pobudu. U okviru funkcije prenosa SAU G(s), promenljiva s se menja kompleksnom učestanošću jω, tako da se analizira funkcija prenosa sistema u frekventnom domenu G(jω), gde je ω promenljiva učestanost pobudnog signala. SAU čija je funkcija prenosa G(s) se pobuđuje sinusnim signalom u(t)=a u sin(ωt+φ u )=A u e j(ωt+φu). Odziv sistema Y(s) je: Y(s)=G(s)U(s). () U vremenskom domenu je odziv y(t), nakon primene konvolucije: t t y(t)=l - {G(s)U(s)}= g(τ)u(t-τ)dτ= A u e j(ω(t-τ)+φ u) g(τ)dτ, () 0 0 gde je g(t)=l - {G(s)} jedinični impulsni odziv sistema. Pošto je za t<τ h(t-τ)=0, podintegralna funkcija se može pomnožiti sa h(t-τ) a granice integrala proširiti, tako da je: y(t) = 0 A u e j(ω(t-τ)+φ u) h(t-τ)g(τ)dτ. (3) Pošto za svaku funkciju (signal) važi f(t-τ) 0 za t<τ, y(t) se može napisati kao: y(t) = A u e j(ω(t-τ)+φ u) g(τ)dτ = Au e j(ωt+φ u) e -jωτ g(τ)dτ. (4) 0 0 Pošto je i g(τ) 0 za τ<0 granice integrala se mogu proširiti pa je: y(t) = A u e j(ωt+φ u) e -jωτ g(τ)dτ, (4) - gde je: G(jω) = e -jωτ g(τ)dτ, (5) - prema definiciji Fourier-ove transformacije G(jω) funkcija prenosa sistema u frekventnom domenu. Smenom izraza (5) u (4) sledi: y(t) = A u e jωt+φ u G(jω). (6) G(jω) se, kao i bilo koji drugi kompleksan broj, može predstaviti u eksponencijalnom obliku: gde je: G(jω) = G(jω) e jarg{g(jω)}, (7) G(jω) = Re {G(jω)} + Im {G(jω)}, (8) Arg{G(jω)} = arctg Im{G(jω)} Re{G(jω)}. (9) Sada se izraz za odziv y(t) može napisati u obliku: Frekventne metode analize SAU0.doc str. od 0
2 y(t) = A i e jωt+φ i. (0) Na osnovu izraza (6),(7) i (0) se vidi da je: A i G(jω), () A u = φ i φ u = Arg{G(jω)}. () Prethodni izrazi pokazuju da linearan sistem pobuđen prostoperiodičnom pobudom, u stacionarnom stanju daje prostperiodičan odziv iste učestanosti kao pobudni signal, ali sa promenjenom amplitudom i faznim pomerajem. Odnos amplituda ulaznog i izlaznog signala je jednak modulu funkcije prenosa sistema za razmatranu učestanost ω, a fazni pomeraj izlaznog u odnosu na ulazni signal je jednak argumentu funkcije prenosa za razmatranu učestanost ω. Za različite ω će pojačanje i fazni pomeraj signala pri prolasku kroz sistem biti različito, odnosno za različite ω će vrednosti G(jω) i Arg{G(jω)} biti različite. Promena G(jω) pri promeni ω od - do se može predstaviti grafički, i ta kriva se naziva amplitudno fazna frekventna karakteristika (ili samo frekventna karakteristika, AFFK) sistema *. Frekventna karakteristika sistema se crta u kompleksnoj ravni promenljive G(jω). Jedan način je da se za nekoliko vrednosti ω na intervalu [0, ) sračuna vrednost Re i Im dela G(jω) ili G(jω) i Arg{G(jω)}, te tačke se unesu u koordinatni sistem na čijoj se apscisi nanosi vrednost za Re{G(jω)} a na ordinati za Im{G(jω)}, tačke se spoje, kriva se orijentiše u smeru porasta frekvencije ω i dobija se tražena frekventna karakteristika. Ovaj način se retko primenjuje jer je nepraktičan (potrebno je sračunavanje vrednosti kompleksne funkcije u većem broju tačaka) i postoji realna šansa da se neke važne (karakteristične) tačke izostave (kao što su preseci sa Re i Im osom), a upotrebna vrednost precizno nacrtanog dijagrama nije značajno veća od približne skice. Iz navedenih razloga se najčešće AFFK sistema samo skicira i to na taj način da se odrede početak i kraj krive (G(jω) za ω=0 i ω ) i tačke preseka krive sa Re i Im osom, spajanjem dobijenih tačaka u smeru porasta frekvencije ω, dobija se skica AFFK koja nosi dovoljnu količinu informacija za njenu najčešću primenu, a to je analiza stabilnosti sistema. Valja napomenuti, šta u stvari AFFK predstavlja fizički? Svaka tačka na AFFK odgovara tačno jednoj frekvenciji ω sa intervala [0, ). Udaljenost te tačke od koordinatnog početka jeste G(jω), to jest odnos amplituda izlaznog i ulaznog signala. Ugao koji zaklapa vektor povučen iz koordinatnog početka u tu tačku sa pozitivnim smerom Re ose jeste Arg{G(jω)}, to jest fazni pomeraj izlaznog u odnosu na ulazni signal. Teoretski, sa AFFK je moguće za proizvoljnu frekvenciju ω x očitati kolika će biti promena amplitude i fazni pomeraj (kašnjenje) tog signala pri prolasku kroz razmatrani sistem. Praktično, veoma je teško (ako ne i nemoguće) očitati navedene podatke sa AFFK jer se za veće vrednosti frekvencije tačke zgušnjavaju, a osim toga, frekvencija ω se pojavljuje kao parametar AFFK i teško je na crtežu fiksirati tačku koja odgovara tačno određenoj frekvenciji ω x. Za očitavanje navedenih podataka praktično se koriste mnogo podesniji Bodeovi dijagrami, o kojima će kasnije biti reči. * Formalno bi bilo ispravno da se posmatraju frekvencije - <ω<, ali će se u daljem razmatranju posmatrati samo frekvencije 0 ω<. Za to postoje sledeći razlozi: za negativne frekvencije se dobija kriva koja je simetrična u odnosu na realnu osu sa krivom za pozitivne frekvencije; ta kriva ne sadrži nikakvu novu informaciju pa je samim tim nepotrebna; nema fizičkog smisla definisanje negativnih frekvencija (osim ako se eksplicitno ne radi i smerovima obrtanja). Frekventne metode analize SAU0.doc str. od 0
3 Primer : Formirati frekventnu karakteristiku RC filtera prikazanog na slici.. + U (s) - R C Slika. + U (s) - Rešenje: Funkcija prenosa filtera je: G(s) = U (s) U (s) = RCs+, (.) odnosno u frekventnom domenu je: G(jω) = jωrc+ = j ω, (.) + ω gde je ω = RC. Nakon racionalizacije, izraz (.) postaje: ω G(jω) = + ω ω - j ω + ω ω, (.3) odakle je: G(jω) =, (.4) + ω ω Arg{G(jω)} = - arctg ω ω. (.5) Sada je moguće u nekoliko tačaka sračunati vrednosti G(jω), što je prikazano sledećom tabelom: ω Re{G(jω)} Im{G(jω)} G(jω) Arg{G(jω)} ω o 0.5ω o ω o 0 ω o 00 ω o o Na osnovu podataka iz tabele se može skicirati AFFK filtera, i ona je prikazanana slici.. Frekventne metode analize SAU0.doc str. 3 od 0
4 ω= ω=0 45 o G Re{G(jω)} ω=ω Slika. Primer. Skicirati AFFK sistema opisanog funkcijom prenosa G(s) = realni, pozitivni parametri. K s(st+), gde su K i T Rešenje: Smenom s=jω se prelazi u frekventni domen, gde je funkcija prenosa: K G(jω) = jω(jωt+) = K jω - ω T = - Kω T Kω ω + ω 4 T - j ω + ω 4 T. (.) Moduo i argument funkcije G(jω) su: G(jω) = K ω + ω 4 T, (.) φ(ω) = Arg{G(jω)} = - arctg -ωt (.3) Na osnovu izraza (.) do (.3) može se formirati tabela., a na osnovu podataka iz tabele skicira se tražena AFFK (slika.): ω Re{G(jω)} Im{G(jω)} G(jω) Arg{G(jω)} 0 -KT -90 o - 4KT 5-8KT 4KT KT - KT KT -35 o o Tabela. T T ω= Im{G(jω)} -7 o 35 o Re{G(jω)} ω=/t G ω 0 Slika. Frekventne metode analize SAU0.doc str. 4 od 0
5 Način formiranja AFFK može biti različit, ali dobijena kriva je jedinstvena za jedan sistem. Ograničenja ovako formirane AFFK su očigledna. Pri ubacivanju u sistem novih elemenata moraju se ponovo preračunati vrednosti iz tabele zbog uticaja novo dodatih nula i polova, što je zamoran posao. Dalje, na slici se vidi ukupan uticaj svih polova i nula sistema a ne pojedinačan, što je nepovoljna činjenica jer nisu svi polovi i nule u sistemu podjednako važni i uticajni (setite se priče o dominatnim polovima). Iz tog razloga dobro bi bilo frekventnu karakteristiku sistema predstaviti na drugačiji način. Prvo se razdvajaju amplitudna i fazna frekventna karakteristika, odnosno na jednom dijagramu se crta zavisnost G(jω) od promenljive frekvencije ω, a na drugom zavisnost Arg{G(jω)} od ω. Na taj način se dobijaju dva dijagrama sa kojih se direktno očitava vrednost modula i faze funkcije prenosa sistema za određenu frekvenciju ω. Drugo, radi proširenja intervala frekvencija koje se razmatraju uvodi se logaritamska podela na apscisi, tako da se umesto ω,a osi nezavisno promenljive prikazuje log 0 ω. Na taj način je moguće prikazati opseg od vrlo niskih (0-5 rad/sec) do vrlo visokih (0 5 rad/sec) učestanosti bez gubitka preciznosti crteža. Treće, radi dobijanja deo po deo linearne amplitudne karakteristike pogodno je i amplitudnu karakteristiku G(jω) predstaviti pomoću logaritma osnove 0 (kao što je usvojeno predstavljanje ω preko njenog logaritma), tako da se sada G(jω) izražava u decibelima (db) i prema definiciji je: G(jω) db = 0 log 0 G(jω). (3) Ako se frekventna karakteristika sistema formira na gore objašnjen način dobijaju se dva grafikona koji se nazivaju Bodeovi dijagrami. Njihov praktični značaj i primenljivost je veoma velika, a način formiranja se vidi iz sledećeg primera. Primer 3. Formirati Bodeove dijagrame za RC filter iz primera. Rešenje: Funkcija prenosa sistema, u frekventnom domenu, je: G(jω) = jωrc+ = jωt+, (3.) gde je T=RC (vremenska konstanta sistema). Moduo i argument G(jω) su: G(jω) = (3.), + ( ωt) Arg{G(jω)} = - arctg( ωt ). (3.3) Ako se G(jω) izrazi u decibelima, izraz (3.) postaje: G(jω) db = 0 log + ( ωt) = - 0 log ( + (ωt) ). (3.4) Iz izraza (3.4) se vidi da je za male frekvencije ω<</t (ωt<<): G(jω) db = -0log = 0db; ω<</t, (3.5) odnosno da je za velike frekvencije ω>>/t (ωt>>): G(jω) db = -0logωT; ω>>/t, (3.6) a da je za ω=/t (ωt=): G(jω) db = -0log = -3.0db; ω=/t. (3.7) Amplitudna (3.4) i fazna (3.3) karakteristika si predstavljene Bodeovim dijagramom na slici 3.. Daljim posmatranjem izraza (3.4) do (3.6) mogu se uvesti sledeće pretpostavke: neka je za svako ω</t ispunjen uslov da je ω<</t, odnosno da je G(jω) db = 0db; neka je za svako ω>/t ispunjen uslov da je ω>>/t, odnosno da je G(jω) db = - 0logωTdb. Frekventne metode analize SAU0.doc str. 5 od 0
6 Uz uvažavanje prethodnih pretpostavki, i uz činjenicu da je na apscisi logaritamska podela (log 0 ω) vidi se da kompletna amplitudna karakteristika može biti aproksimirana sa dva linearna segmenta. Jednim horizontalnim, koji ima vrednost 0db i odgovara frekvencijama 0 ω /T, i drugim kosim, vrednosti 0logωT, koji odgovara frekvencijama /T ω<. Presek ova dva segmenta se nalazi u tački koja odgovara frekvenciji ω=/t, i ta se frekvencija naziva prelomna ili ugaona učestanost. Ako se amplitudna karakteristika zameni aproksimacijom na gore navedeni način dobija se asimptotska amplitudna karakteristika koja se češće koristi, ali je i manje precizna (greška u prelomnoj učestanosti je, prema prethodnoj analizi oko 3db). Asimptotska karakteristika je prikazana zajedno sa realnom logaritamskom na amplitudnom dijagramu (slika 3.). Koliki je nagib "kosog" dela asimptotske amplitudne karakteristike? Posmatra se G(jω) db na frekvencijama ω i ω, koje su veće od /T. Može se napisati: G(jω ) db - G(jω ) db = -0log(ω T) (-0log(ω T)) = -0log ω ω. (3.8) Ako je frekvencija ω deset puta veća od ω (ω =0ω ) one tada čine dekadu, a iz izraza (3.8) sledi: G(jω ) db - G(jω ) db = -0log 0 = 0db, (3.9) odnosno, ako frekvencija ω poraste deset puta, amplitudna karakteristika opadne za 0db, pa je nagib tog dela karakteristika 0db/dekadi. U literaturi se susreće još i pojam oktave. Oktavu čine frekvencije koje se nalaze na intervalu između ω i ω, gde je ω =ω. Ako se u izraz (3.8) unesu granične vrednosti oktave dobija se: G(jω ) db - G(jω ) db = -0log = 6.0db, (3.0) pa je nagib kosog dela karakteristike je približno 6db/oktavi. Naravno, vidi se da je nagib 0db/dekadi isto što i 6db/oktavi. 0 0 log G(jw), db ArgG(jw), stepeni wt Slika 3. Frekventne metode analize SAU0.doc str. 6 od 0
7 Osnovna prednost logaritamskih dijagrama je to, što se multiplikativni elementi, kao što je npr (+jωt) pretvaraju u aditivne tipa 0log +jωt. Drugim rečima, množenje se pretvara u sabiranje što olakšava formiranje karakteristika i analizu sistema. Ovo se može ilustrovati sledećim primerom. Posmatra se funkcija prenosa sistema: Q K b (+jωt i ) i= G(jω) =, (4) R M (jω) N (+jωt m ) j ω ξ k + j ω + ω nk ω nk m= k= koja sadrži Q nula, N polova u koordinatnom početku, M polova na realnoj osi i R parova konjugovano kompleksnih polova. Izraz za logaritamsku amplitudnu karakteristiku je: Q M 0log G(jω) = G(jω) db = 0logK b + 0 log +jωt i - 0log (jω) N - 0 log +jωt m - i= m= R - log 0 + ξ k ω jω + jω nk ω, (5) nk k= tako da se Bodeov dijagram može formirati jednostavno dodavanjem jednog po jednog elementa na crtež. Izraz za formiranje fazne karakteristike glasi Q M φ(ω) = arctg(ωt i ) - N 90 o - arctg(ωt m ) - R arctg ξ k ω nk ω i= m= ω nk - ω, (6) k= tako da se i fazna karakteristika jednostavno formira dodavanjem fazne karakteristike svakog pojedinačnog elementa na crtež. Na osnovu izraza (4)-(6) se vidi da se u okviru funkcije prenosa sistema mogu pojaviti četiri različita elementa:. Konstantno pojačanje (±K b );. Pol (ili nula) u koordinatnom početku (jω); 3. Pol (ili nula) na realnoj osi (+jωt); 4. Par konjugovano kompleksnih polova (ili nula) + j ξ ω + j ω ω n ω. n Za svaki od navedenih elemenata će biti nacrtani karakteristični logaritamski amplitudni i fazni dijagrami.. Konstantno pojačanje (±K b ) Izraz za moduo (amplitudu) je 0log K b = const db. Izraz za argument (fazu) je φ(ω) = 0 o K b >0 φ(ω) = -80 o K b <0 Karakteristični dijagrami su prikazani na slici. Frekventne metode analize SAU0.doc str. 7 od 0
8 Slika.. Pol u koordinatnom početku (jω) l Zove se još i idealni integrišući elemenat, integrator ili astatizam. Izraz za amplitudu je (jω) l db = 0log (jω) l = -l 0log(ω). Amplitudna karakteristika ovog elementa je predstavljena pravom linijom čiji je nagib -l 0db/dec., što je prikazano na slici. Slika Izraz za fazu je φ(ω) = Arg (jω) l = -l arctg ω 0 = -l 90 o. Faznu karakteristiku ovog elementa predstavlja prava linija čija je vrednost celobrojni umnožak od 90 o (-l 90 o ), što je prikazano na slici 3. Frekventne metode analize SAU0.doc str. 8 od 0
9 Slika 3 3. Nula u koordinatnom početku [(jω) l ] Zove se još i idealni diferencijator ili diferencirajući elemenat. Izraz za amplitudu je (jω) l db = 0log (jω)l = l 0log(ω). Amplitudna karakteristika ovog elementa je predstavljena pravom linijom čiji je nagib l 0db/dec., što je prikazano na slici 4. Izraz za fazu je Slika 4 Frekventne metode analize SAU0.doc str. 9 od 0
10 φ(ω) = Arg( (jω) l ) Frekventne metode analize SAU = l arctg ω 0 = l 90o. Faznu karakteristiku ovog elementa predstavlja prava linija čija je vrednost celobrojni umnožak od 90 o (l 90 o ), što je prikazano na slici 5. Slika 5 4. Pol na realnoj osi +jωt Zove se još i aperiodični elemenat prvog reda. Izraz za amplitudu je = 0log +jωt db +jωt = -0log +(ωt). Umesto realne amplitudne karakteristike ovog elementa često se crta asimptotska amplitudna karakteristika. Ona se formira na sledeći način. ω T ω<< T ωt<< +(ωt) +jωt -0log() = 0db db ω T ω>> T ωt>> +(ωt) (ωt) +jωt -0log db (ωt) = -0log(ωT) Granična frekvencija ω = T se zove prelomna (ugaona) frekvencija (učestanost). Na osnovu prethodnih izraza se vidi da se amplitudna karakteristika sastoji od dve prave linije. Prva je horizontalna (0db) i odgovara frekvencijama manjim od prelomne (0 < ω T ),a druga je pod nagibom -0db/dec i odgovara frekvencijama ( T ω< ). Ove dve prave se seku u tački ω = T. Asimptotska i realna logaritamska karakteristika amplitude je prikazana na slici 6. Frekventne metode analize SAU0.doc str. 0 od 0
11 Slika 6. Izraz za fazu je φ(ω) = Arg +jωt = -arctg(ωt). Asimptotska i realna logaritamska karakteristika faze je prikazana na slici 7. Slika 7. Sa slika 6 i 7 se lako uočava da asimptotski dijagrami odstupaju od realnih. Veličina odstupanja u zavisnosti od frekvencije je prikazana u tabeli. 5. Nula na realnoj osi [ +jωt ] Izraz za amplitudu je ω 5T T T T 5 T Greška amplitude [db] Greška faze [ o ] Tabela. +jωt db = 0log +jωt = 0log +(ωt). Asimptotska amplitudna karakteristika se formira na sledeći način Frekventne metode analize SAU0.doc str. od 0
12 ω T +jωt db 0log() = 0db ω T +jωt db 0log (ωt) = 0log(ωT) Na osnovu prethodnih izraza se vidi da se amplitudna karakteristika i ovog elementa sastoji od dve prave linije. Prva je horizontalna (0db) i odgovara frekvencijama manjim od prelomne (0 < ω T ),a druga je pod nagibom 0db/dec i odgovara frekvencijama ( T ω< ). Ove dve prave se seku u tački ω = T. Asimptotska i realna logaritamska karakteristika amplitude je prikazana na slici 8. Slika 8. Izraz za fazu je φ(ω) = Arg( +jωt ) = arctg(ωt). Asimptotska i realna logaritamska karakteristika faze je prikazana na slici 9. Slika Konjugovano kompleksni par polova + j ξ ω + j ω ω n ω n Naziva se još i oscilatorni elemenat drugog reda. Funkcija prenosa je data izrazom Frekventne metode analize SAU0.doc str. od 0
13 Izraz za amplitudu je Frekventne metode analize SAU G(jω) = + j ξ ω + j ω ω n ω ; 0<ξ<. n G(jω) db = - 0 log - ω + ξω ω n ω n Asimptotski dijagram modula se formira na sledeći način ω<ω n ω<<ω n ω ω << ξω n ω << G(jω) n db - 0 log() = 0db ω>ω n ω>>ω n ω ω >> ξω n ω >> ω 4 ω G(jω) n db - 0 log = - 40 log ω n ω n Ovde se asimptotska amplitudna karakteristika takođe sastoji od dve prave linije. Prva je horizontalna (0db) i odgovara frekvencijama manjim od prelomne (0 < ω ω n ),a druga je pod nagibom -40db/dec i odgovara frekvencijama (ω n ω < ). Izraz za fazu je Arg{ G(jω) } = - arctg ξω ω n ω - ω n Amplitudni i fazni dijagrami su prikazani na slikama 0 i. Uočljiva je izrazito velika greška (odstupanje) asimptotskog amplitudnog dijagrama od stvarnog za vrednosti ξ<0.5. Slika 0. Asimptotski dijagram amplitude. Frekventne metode analize SAU0.doc str. 3 od 0
14 Slika. asimptotski dijagram faze. Očitavanje konstanti greške sa Bodeovih dijagrama. Prema definiciji, konstante greške su Kp = lim W(s) s 0 Kv = lim sw(s) s 0 Ka = lim s W(s) s 0 Ako se kompleksna promenljiva s zameni frekvencijom ω, vidi se da će za određivanje konstante greške biti potrebno posmatrati Bodeove dijagrame na jako niskim učestanostima ω 0. Ove niske učestanosti odgovaraju početnom segmentima Bodeovih dijagrama. Pošto je funkcija prenosa sistema pripremljena za crtanje Bodeovih dijagrama normalizovana za nju važi Kp = lim W(jω) = lim K P(jω) = K; ako je red astatizma r=0; ω 0 ω 0 Q(jω) Kv = lim jωw(jω) = lim K P(jω) = K; ako je red astatizma r=; ω 0 ω 0 jωq(jω) Ka = lim ω 0 (jω) W(jω) = lim ω 0 K P(jω) (jω) = K; ako je red astatizma r=. Q(jω) Iz prethodnog izlaganja se vidi da je konstanta greške uvek jednaka Bodeovom pojačanju normalizovane funkcije prenosa sistema u frekventnom domenu. Sada se postavlja pitanje kako se ova vrednost očitava sa dijagrama? Prvo se nacrta dijagram i odredi red astatizma sistema. Na osnovu početnog segmenta dijagrama se očitava vrednost konstante greške, na sledeći način.. Konstanta položaja Kp Početni segment amplitudne karakteristike sistema bez astatizma (r=0) je 0logK, i to je upravo vrednost Kp izražena u decibelima (slika ). Frekventne metode analize SAU0.doc str. 4 od 0
15 Slika. Brzinska konstanta Kv Početni segment amplitudne karakteristike sistema sa astatizmom prvog reda (r=) je 0logK-0logω. Rešavanjem jednačine 0logK-0logω=0 se dobija da je K=ω. To znači da je brzinska konstanta jednaka vrednosti frekvencije ω za koju početni segment Bodeovog amplitudnog dijagrama seče apscisu. Sa dijagrama se ova vrednost očitava tako da se prvi segment karakteristike produži do preseka sa ω-osom i očita se vrednost presečne tačke, kako je prikazano na slici 3. Slika 3. Konstanta ubrzanja Ka Početni segment amplitudne karakteristike sistema sa astatizmom drugog reda (r=) je 0logK-40logω. Rešavanjem jednačine 0logK-40logω=0 se dobija da je K=ω. To znači da je brzinska konstanta jednaka kvadratu vrednosti frekvencije ω za koju početni segment Bodeovog amplitudnog dijagrama seče apscisu. Sa dijagrama se ova vrednost očitava tako da se prvi segment karakteristike produži do preseka sa ω-osom, očita se vrednost presečne tačke i izračuna vrednost njenog kvadrata, kako je prikazano na slici 4. Slika 4 Frekventne metode analize SAU0.doc str. 5 od 0
16 Primer 4. Posmatra se funkcija prenosa A(s+a) W(s) = (s+b)(cs+d)(s +es+f), (4.) gde a, b, c, d, e i f imaju pozitivne realne vrednosti i a<b< d c < f. Formirati logaritamske dijagrame amplitude i faze. Rešenje. Najpre je potrebno izvršiti normalizaciju funkcije prenosa i svesti je na pogodnu formu Izraz za amplitudu je W(jω) db = 0log Aa bdf Izraz za fazu je W(jω) = Aa bdf + jω a + jω b + jωc d (jω) f +. (4.) e f jω+ + 0log + ω a - 0log +ω b - 0log c +ω φ(ω) = +arctg ω a - arctg ω b - arctg ωc d - arctg d - 0log - ω f + ω e f (4.3) f Na slici 4.a) su konstruisani asimptotski logaritamski dijagrami slabljenja za sve članove na desnoj strani jednačine (4.3). Ovo se vrši fiksiranjem tačaka za pojedine prelomne učestanosti i povlačenjem iz tih tačaka linija pod nagibom ±0db/dec, za faktore prvog stepena, i ±40db/dec, za faktore drugog stepena. Rezultantni dijagram amplitude, slika 4.b), je dobijen superpozicijom dijagrama sa slike 4.a). Na sličan način, isprekidanim krivama na slici 4.c) predstavljeni su logaritamski dijagrami faze pojedinih faktora, a superpozicijom ovih dijagrama je dobijena rezultantna logaritamska karakteristika faze, prikazana punom linijom. e f ω - ω (4.4) Frekventne metode analize SAU0.doc str. 6 od 0
17 Slika 4. Frekventne metode analize SAU0.doc str. 7 od 0
18 Primer 5. Posmatra se frekventna funkcija prenosa W(jω) = jω ( ) 4 ( +0.5jω) ( 0.5jω) +( ) +jω [ 0.05jω +] 4 + jω = jω + jω 0.5 jω 8 + jω 0 + Konstruisati asimptotsku amplitudnu i faznu logaritamsku karakteristiku. Rešenje. Frekventne metode analize SAU0.doc str. 8 od 0
19 Primer 6. funkcija prenosa 0 ( +jω) W(jω) = (jω) jω 4 + jω 4 + Konstruisati asimptotske logaritamske karakteristike amplitude i faze. Rešenje. W(jω) db = 0log0 + 0log +jω - 0log Arg{ W(jω) } = arctg(ω) - 90 o - arctg ω 4 ω 4 - (jω) - 0log - ω 4 + jω 4 ) Na slici 6. se nalaze asimptotske logaritamske karakteristike amplitude svakog elementa ponaosob. Na slici 6. se nalazi asimptotska logaritamska karakteristika amplitude celog sistema, dobijena superpozicijom karakteristika sa slike 6.. Na slici 6.3 se nalaze asimptotske logaritamske karakteristike faze svakog elementa ponaosob. Na slici 6.4 se nalazi asimptotska logaritamska karakteristika faze celog sistema, dobijena superpozicijom karakteristika sa slike 6.3. Slika 6. Frekventne metode analize SAU0.doc str. 9 od 0
20 Slika 6. Slika 6.3 Slika 6.4 Frekventne metode analize SAU0.doc str. 0 od 0
Frekventne metode analize sistema automatskog upravljanja
Frekventne metode analize sistema automatskog upravljanja Pored odskočne pobude pri ispitivanju linearnih sistema automatskog upravljanja se često primjenjuje i prostoperiodična, odnosno sinusna pobuda.
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu
OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραFunkcija prenosa. Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k.
OT3OS1 7.11.217. Definicije Funkcija prenosa Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k Y z X z k Z y n Z h n Z x n Y z H z X z H z H z n h
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραPREDMET: Upravljanje sistemima. Frekvencijske karakteristike
Osnovne akademske studije PREDMET: Upravljanje sistemima TEMA: Frekvencijske karakteristike Predmetni nastavnik: Prof. dr Milorad Stanojević Asistent: mr Marko Đogatović Kompleksna funkcija prenosa Ukoliko
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραNapisat demo program koji generira funkciju prijenosa G(s)=(2s+4)/(s2+4s+3) s=tf('s'); Br=2*s+4;Naz=s^2+4*s+3; G=Br/Naz
LV3 Napisat demo program koji generira funkciju prijenosa G(s)=(2s+4)/(s2+4s+3) s=tf('s'); Br=2*s+4;Naz=s^2+4*s+3; G=Br/Naz s=tf('s'); Br=2*(s+2);Naz=(s+1)*(s+3); G=Br/Naz s=tf('s'); Br=[2 4];Naz=[1 4
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραStabilnost linearnih sistema automatskog upravljanja
Stabilnost linearnih sistema automatskog upravljanja Najvažnija osobina SAU jeste stabilnost. Generalni zahtev koji se postavlja pred projektanta jeste da projektovani i realizovani SAU bude stabilan (u
Διαβάστε περισσότεραObrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema
Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότερα8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραDimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona.
Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona Prema osnovnoj formuli za dimenzionisanje maksimalni tangencijalni napon τ max koji se javlja u štapu mora biti manji
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραKarakteristike sistema automatskog upravljanja
Karakteristike sistema automatskog upravljanja Do sada je glavna tema bila matematičko modelovanje fizičkih sistema. Sada je potrebno ideju modelovanja, odnosno modele, proširiti i uključiti (obuhvatiti)
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραOvo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Διαβάστε περισσότεραMATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012
MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραII. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότεραAko prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραNa grafiku bi to značilo :
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραProgram testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότερα( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min
Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu
Διαβάστε περισσότερα