Transcript

1

2 Реч аутора Свеска припрема је скуп мојих припрема за час коригованих примедбама рецензената. Не представља обавезујући документ већ сваки наставник треба да је прилагоди свом одељењу и својим склоностима. Број часова који недостаје су часови предвиђени за контролне вежбе и остале писане провере знања. Њихов садржај зависи од одељења тако да свако треба да их прилагоди свом раду и одељењу. Сматрам да је потребно је да се поштује структура + (два лакша и три тежа задатка) или ++ (два из најлакше, два из средње и један из најтеже групе). Тежина задатка је одређена у збирци. Фронтални рад значи само да сви ученици имају исте задатке или приступ истим информацијама. То никако не значи да све задатке ради професор, а да су ученици пасивни. На часу обраде, сматрам, да мора да се ради фронтално већи део часа како би сви ученици чули исти део градива. И тада, а поготово на часовима вежбања и утврђивања, задатке не ради професор, већ ученици. Док један ученик ради на табли, остали раде у свесци и међусобно сарађују. Код поделе одељења на групе нема универзалног ни обавезујућег правила. Какве ће групе бити и колико ће их бити зависи од одељења и нивоа знања ученика, као и од опремљености школе. То треба да уради сваки наставник сам у зависности од нивоа знања и социјалне зрелости и способности за међусобну помоћ свог одељења. Да ли ће задаци бити приказани на рачунару, пројектору или подељене цедуље је нешто што не може бити обавезујуће за сваког наставника и свако одељење. Дужина трајања појединих делова часа, број и структура група, примена рачунара,... зависе од темпа наставника, брзине напредовања одељења и опремљености школе. Завршни део часа је доста кратак зато што сматрам да треба да садржи питања ученика, домаће задатке, договор о даљем раду и сл. Остављам колегама да га допуне по сопственим потребама. Начин на који ће бити подељени домаћи задаци који нису из збирке није универзалан. Припреме не треба да буду нешто непроменљиво, већ да се прилагођавају сваком часу, професору и одељењу. Нису написани резултати свих задатака, пошто сматрам да ће сваки колега пре часа урадити задатке и, евентуално, изменити њихов број или садржај. Празан простор на крају припреме предвиђен је за коментаре сваког наставника, вредновање часа и сл. Захваљујем свим рецензентима на уложеном времену, труду и знању. Трудила сам се да усвојим све њихове примедбе. Очекујем и примедбе и сугестије колега. У Београду, августа 6. Вера Ивковић, проф мат. 8. београдске гимназије

3 Функције Свеска припрема Математика за четврти разред гимназије Редни Број часова број Наставна тема теме Обрада Остало Укупно. Функције 6 8. Извод функције 8 9. Интеграл. Комбинаторика Вероватноћа и статистика Писмени задаци са исправком - Укупно часова Функције Допуна и систематизација знања о функцијама и њеним основним својствима. Преглед елементарних функција. Гранична вредност функције. Непрекидност функције.

4 Функције

5 Функције Редни број часа Појам функције, основни појмови Тип часа: понављање Облик рада: фронтални, индивидуални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање знања из различитих разреда у јединствену целину Образовни задатак: усвајање и правилно дефинисање функције и основних појмова везаних за функције, разумевање трансформација графика функције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину, развијање информатичке културе ученика Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова, разумевање појма функције и основних особина функције, прецизност језика Кључне речи: функција, график Активности наставника: вођење ученика кроз градиво и, у сарадњи са њима, прецизно дефинисање појмова, цртање графика, уочавање последица трансформација Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Ђорђе Кртинић: Математика +, Решени задаци са пријемних испита на универзитетима у Србији Уводни део часа: Дефиниција: Релација, тј. пресликавање : X Y је функција уколико важи X y Y y. Подразумеваћемо, тј. реалне функције. Уочимо следећа пресликавања скупа : X Y : X.. Y X. Y X... Y Прво пресликавање не представља, а следећа два представљају функцију. На графику је приказана крива која није функција. Скуп X се зове домен или област дефинисаности функције, а скуп Y кодомен или скуп вредности функције. X је независно променљива или аргумент функције, а y Y зависно променљива или вредност функције.?

6 Функције Главни део часа: Начини представљања функција: Веновим дијаграмом Таблично: Скупом уређених парова:,,,, 8,, 5,, 5,, 6, 5, 7, Формулом (аналитички): десно) Графички (слика горе Две функције су једнаке уколико су им једнаки домени и кодомени. Дефиниција: Ако је : X Y ; : X Y и уколико важи X X ; Y Y X, кажемо да је функција рестрикција (сужење) домена функције. Особине: X Y Дефиниција: Функција је сурјективна ( на ) уколико важи y Y X y Нпр. функција дата Веновим дијаграмом није сурјективна. Функција дата графиком није сурјективна, али њена рестрикција : R, јесте. Дефиниција: Функција је инјективна ( - ) уколико важи:, X Нпр. претходно дата функција није ни инјективна, а функција дата графиком није -. Функција реално за које је није сурјективна на скупу реалних бројева зато што нпр. не постоји. Функција није инјективна зато што из не следи бијективна функција Дефиниција: Функција која је и инјективна и сурјективна је бијективна (обострано једнозначно или биунивоко пресликавање). Функција дата графиком је бијективна.

7 Функције Задаци:. Доказати да су реалне функције бијекције (на скупу на ком су дефинисане). Поделити ученике на четири групе и свака нека уради по пример од прва два задатка и по један пример од следећа задатка: 7 ; 5 5. Испитати да ли су функције бијективне ; ;,,. Тачан је исказ: А) B) међу функцијама нема једнаких C) ln. Дате су функције e lne, D) E), log,. Дате су функције sin cos, Тачан је исказ: А) све функције су међусобно једнаке B) међу датим функцијама нема једнаких C) D) E), log, 5. Дате су функције tg ctg, исказ: А) све функције су међусобно једнаке B) међу датим функцијама нема једнаких C) D) E) 6. Дате су реалне функције log, log, log, log, где је реална променљива. Тачан је следећи исказ: А) B) C) међу датим функцијама нема међусобно једнаких D) E) Завршни део часа:.. Тачан је Трансформације графика функције (Задати за домаћи задатак да у GeoGebri или неком сличном програму испитају како се понаша график при неким трансформацијама.): Нацртати график произвољне функције y, а затим графике функција y ( ) y ( ) y ( ) c y ( c ) y ( ). Описати трансформације графика функција. Ако има времена поменути неке функције (или задати за домаћи задатак да ученици нацртају графике) које су помињали у настави информатике: y sgn( ) y највећи цео број мањи или једнак броју.,,, 5

8 6 Функције

9 Функције Редни број часа Домен функције Тип часа: обрада Облик рада: фронтални, рад у пару Методе рада: дијалошка, операцијска Циљ часа: способност закључивања, генерализације, способност математичке аргументације Образовни задатак: уочавање различитих класа функција и услова њихове дефинисаности, оспособљеност ученика да нађу домен функције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање прецизности у дефинисању и изражавању, развијање способности повезивања различитих информација у систематизовану целину, налажење сличности и разлика домена различитих класа функција Васпитни задатак: развијање прецизности и уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова, разумевање графика функције, прецизност језика Кључне речи: домен, услов дефинисаности Активности наставника: постављање питања која ће активирати раније стечена знања ученика, извођење закључака уз помоћ ученика Активности ученика: уочавање домена функција, израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити дефиницију функције, као и шта су домен и кодомен функције. Главни део часа: Уколико област дефинисаности није задана унапред, онда области дефинисаности (домен) подразумева скуп свих реалних вредности аргумента за које су дефинисане операције које се налазе у формули за функцију. Кодомен представља скуп вредности функције y. Алгебарске функције Целе рационалне функције: Полиноми облика ( ) дефинисане су на целом пољу реалних бројева. P Рационалне разломљене функције: Функције облика, где су функције Q P,Q целе рационалне функције дефинисане су за све за које важи Q. Примери: Наћи домен следећих функција; а) y је дефинисана када је б) y је дефинисана за Домен функције можемо записати као D,,,. 7

10 Функције Ирационалне функције: Разликујемо два случаја ( n N) а) n g; D R g Dg б) n g; D Dg Примери: а) y је дефинисана када је б) y је дефинисана за свако реално., тј. D, Задаци: Наћи област дефинисаности следећих функција (Пар ученика који седе у истој клупи бира једну функцију. Након завршетка рада урадити неколико задатака на табли.): ( ) ( ) e g g Експоненцијалне: Функције облика 8, a, a ; a Логаритамске: Функције облика log a g ; ln g a, a ) дефинисане су за D R : g Dg Примери: а) log D D g (где је ln log y је дефинисана ако и само ако је. б) ln. y је дефинисана ако и само ако је,, в) y ln је дефинисана акко је,, Задаци: Наћи област дефинисаности следећих функција (Пар ученика који седе у истој клупи бира једну функцију. Након завршетка рада урадити неколико задатака на табли.): 5 5 ln( ) ln log lg 5 arccos ln e Тригонометријске: Функције sin g( ); ( ) cos g( ) дефинисане су на домену функције g ( ), а функције ( ) tg( ); ( ) ctg( ) редом на k; k Инверзне тригонометријске (циклометријске): Функције arctg ; arcctg дефинисане су на целом пољу реалних бројева, а функције arcsin arccos на сегменту,. Примери: а) arcsin дефинисаности је D,. y је дефинисана акко је, тј. област б) функција y arctg је дефинисана за свако R. Завршни део часа: Домаћи задатак: Задаци.в),.и),.в),.ђ), 7.а), г) e

11 Функције Редни број часа Домен функције вежбање Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални Методе рада: дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног и логичког мишљења, усвајање знања неопходних за наставак школовања Образовни задатак: увежбаност у налажењу домена и кодомена функција Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање прецизности у дефинисању и изражавању, развијање способности за повезивање различитих функција у исту класу Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова, разумевање графика функције, прецизност у изражавању Кључне речи: домен, област дефинисаности, кодомен Активности наставника: постављање питања која ће активирати раније стечена знања ученика. Извођење закључака уз помоћ ученика Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Ђорђе Кртинић: Математика +, Решени задаци са пријемних испита на универзитетима у Србији Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Главни део часа: Користећи графике функција наћи скуп вредности (кодомен) функција y, Задаци: 7 Наћи домен функција:. ( ),,, 5 6 y e, Резултат:. e Резултат:,, ln( ). Резултат:,,. Наћи област дефинисаности функције односно декадни логаритам). Резултат: 5. Област дефинисаности функције log log А),B),C),D),E), 6. arccos Резултат:,, lg (где је lg log,,, је: Резултат: А y. 9

12 Функције 7. arcsin Резултат:,, Задаци: 6.г), 7.в), е. Завршни део часа: Домаћи задатак: Задаци.з),.г),.в), 7.б)

13 Функције Редни број часа Парност, непарност и периодичност функције Тип часа: обрада Облик рада: фронтални, рад у пару Методе рада: дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења и способности визуелизације Образовни задатак: усвајање и примена дефиниција парности и периодичности функција Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање прецизности у дефинисању и изражавању, повезивање различитих функција у исту класу Васпитни задатак: развијање прецизности и уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: оспособљеност ученика за одређивање парности и периодичности функција аналитички и графички Кључне речи: парност и периодичност функције Активности наставника: постављање питања која ће активирати раније стечена знања ученика, извођење закључака уз помоћ ученика Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци, уочавање особина функција Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Ученици треба да нацртају неку од функција које су симетричне у односу на симетричне у односу на координатни почетак. Закључити када важи,. y осу и које су Главни део часа: Дефиниција: Уколико за функцију важи D кажемо да је парна. Очигледно је да домен функције D мора бити симетричан у односу на нулу. График парне функције је симетричан у односу на y - осу. Дефиниција: Уколико за функцију важи D, кажемо да је непарна. График непарне функције је симетричан у односу на координатни почетак. Велики број функција нису ни парне ни непарне, а једина функција која је у исто време и парна и непарна је константна функција једнака нули (тј. () = за свако ). Примери:

14 Функције., 5 је парна функција зато што је 5 5. Функција,, y је непарна функција зато што је. Функција није ни парна ни непарна функција. Можемо то видети и без провере пошто домен функције није симетричан. Задаци:. Испитати парност функција (сваки пар из клупе ради по један пример из првог задатка и по један задатак од следећа два): 6 cos sin ln 5. Функција p 5 5 је парна ако је R p једнако: А) B) C) 5 D) - E) -. Функција p 5 5 је непарна ако је R p једнако: А) B) C) 5 D) - E) Дефиниција: Функција дефинисана на скупу D је периодична са основним периодом уколико је најмањи број за који важи D. Најкарактеристичнији примери периодичних функција су тригонометријске функције : y y y y ctg ; tg ; cos ; sin. Период прве две је, а друге две. Графици периодичних функција: Пример: Наћи основни период функције. sin Решење: 6 6 sin sin k k

15 Функције Може се закључити да је основни период функција облика ; а. a Задаци: Наћи основни период следећих функција: (Поделити сваком пару у клупи по један задатак.) y sin a; y cos a једнак cos 5 cos cos sin sin cos 6 cos sin sin ( ) tg ( ) sin cos Завршни део часа: Ако функције, имају периоде редом,, онда је функција периодична са периодом S,. Урадити на примеру sin cos Домаћи задатак: Задаци 7, 8, 9.б),.ж), и)

16 Функције

17 Функције Редни број часа Нуле и знак функције Тип часа: обрада Облик рада: фронтални, групни Методе рада: дијалошка, операцијска, графичка, илустрација Циљ часа: развијање свести о потреби за повезивањем знања Образовни задатак: усвајање појмова нула и знак функције и њихових дефиниција, оспособљеност ученика да нађу нуле функције и одреде њен знак Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање прецизности у дефинисању и изражавању Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности и систематичности Резултат часа: оспособљеност ученика за налажење нула и знака функција аналитички и графички Кључне речи: нуле, знак функције Активности наставника: постављање питања која ће активирати раније стечена знања ученика, помоћ ученицима у извођењу закључака, израда задатака на табли Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Дата је функција y. Скицирати њен график, наћи нулу и одредити знак функције. Главни део часа: Нула функције је вредност независно променљиве за коју је. Нула функције представља пресек графика функције са -осом. Нула Нуле и (у тој тачки функција има и екстремну вредност): Нула (у истој тачки је и превој): 5

18 Функције Функција је позитивна на интервалу a,b ако важи a,b. Функција је негативна на интервалу a,b ако важи a,b. Задаци: Наћи нуле и испитати знак функције:. (ради професор, остале задатке раде ученици) 5 Решење: Наћи ћемо прво област дефинисаности функције 5. Нула функције је 5 Знак ћемо одредити таблично y за за,,, y, y. 9 Решење: Домен функције R\, 9. Нуле добијамо решавањем једначине ;. 6

19 Функције y Функција је позитивна када,,,,,., а негативна када e Решење: Функција је дефинисана за. Због тога функција нема нуле. Пошто је функција y e увек позитивна знак је e y Функција је позитивна када,, а негативна када,. ln Решење: Функција је дефинисана за. Нуле функције добијамо решавањем једначине ln ln ln e. e ln y Функција је позитивна када,e, а негативна када e, Поделити ученике у групе и свакој дати по један задатак. Завршни део часа: Наћи нуле функција:. ln e Домаћи задатак: Задатак. 7

20 8 Функције

21 Функције Редни број часа Нуле и знак функције вежбање Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљеност за примену раније стечених знања Образовни задатак: оспособљавање ученика у решавању једначина и неједначина потребних за налажење нула и знака функције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање прецизности у дефинисању и изражавању Васпитни задатак: развијање прецизности и уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: способљеност ученика за налажење нула и знака функција аналитички и графички Кључне речи: нуле, знак функције Активности наставника: постављање питања која ће активирати раније стечена знања ученика, помоћ ученицима у решавању задатака, избор задатака Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Подела ученика у групе. Свака група бира по један пример из сваког задатка. Главни део часа: Наћи нуле и одредити знак функција:. y ; y ; y e ; y e y ; y 8 ; 8. ln. y log ; y log ; y log 5 7 ln. y sin ; y sin ; y tg 5. y ; y ; y 6. y arctg ; y arcsin На табли урадити задатке у којима су ученици највише грешили. y 7 6 9

22 Функције Завршни део часа: Коментар најчешћих грешака и задавање неких од неурађених задатака за домаћи. Домаћи задатак: Задатак.

23 Функције Редни број часа Сложена функција Тип часа: понављање Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање знања из различитих разреда у јединствену целину, развијање апстрактног мишљења Образовни задатак: понављање и продубљивање појма сложене функције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање способности за повезивање различитих информација у систематизовану целину Васпитни задатак: развијање прецизности и уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: оспособљеност ученика да нађу сложену функцију за задате функције и обрнуто Кључне речи: сложена функција Активности наставника: постављање питања која ће активирати раније стечена знања ученика, израда задатака на табли Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Ђорђе Кртинић: Математика +, Решени задаци са пријемних испита на универзитетима у Србији Уводни део часа: Поновити: Нека су дате функције ; g. Уочимо да је ; g g. То можемо графички представити на следећи начин: тј. Главни део часа: Дефиниција: Ако су дате функције g : A B; : B C онда је композиција тих функција (сложена функција) Ag : A C g g Треба уочити да не мора да важи Користи се и ознака g g

24 Функције Задаци:. Ако је онда је за,, једнако: А) B) C) D) E) Решење:. Aкo je, онда је једнако: A) 5 B) C) D) E) 5. Ако је g sin, онда је 6 g g једнако: А) 5 B) 7 C) 5 D) 7 E). Ако је онда је функција једнака: А) 5 6 B) 5 6 C) 5 6 D) 6 E) 5 6 Решење: 5 6 t t t t t t t t t t 5. Ако је \, R, онда је 5 једнако: A) B) 5 C) D) Е) 6. Ако је низ функција, дефинисан на следећи начин: N n n n n,,,, онда је једнако: A) -99 B) 99 C) 99 D) E) Решење: У низу постоје три различите функције, што значи да је 99.-га иста као и трећа (99 је дељиво са ), па је N n n,

25 Функције 7. Ако је,, израчунати Решење:. Завршни део часа: Домаћи задатак: (Поделити ученицима цедуље са задацима са пријемних испита на факултете). Ако је, тада је једнако: 5 А) B) C) D) E) 5 5. Ако је, g онда је збир g g једнак: 7 А) B) 5 C) 5 5 D) 5 5 E). Ако је ; g А) 5 B) C) D) E), онда је g g; једнако:. Одредити функцију из релације. 5. Нека је 5,. Наћи. n n N 5 једнака: А) -/ B) C) -/5 D) -5/ E) 5/ 6. Ако је ; ; n, да је вредност 5 за

26 Функције

27 Функције Редни број часа Сложена функција Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, рад са текстом Циљ часа: развијање аналитичности и апстрактног мишљења, примена раније стечених знања Образовни задатак: увежбавање поступка налажења сложене функције из датих функција и обрнуто Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, самосталност ученика у решавању задатака Васпитни задатак: развијање прецизности и уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова, разумевање графика функције Кључне речи: сложена функција Активности наставника: подела задужења ученицима и праћење њиховог напредовања Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Подела задужења ученицима. Главни део часа: Ученици треба да самостално решавају задатке и процењују свој рад уз помоћ збирке задатака. Задаци број 56., 57. Завршни део часа: Прокоментарисати на табли најкарактеристичније грешке. Домаћи задатак: Задаци 5, 55. 5

28 6 Функције

29 Функције Редни број часа Инверзна функција Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање знања из различитих разреда у јединствену целину Образовни задатак: усвајање дефиниције и особина инверзних функција, цртање и читање њиховог графика и налажење њиховог аналитичког облика Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, оспособљеност ученика за повезивање различитих информација у систематизовану целину, развијање информатичке писмености ученика Васпитни задатак: развијање прецизности и уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања. Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова о инверзној функцији, разумевање графика функције Кључне речи: инверзна функција Активности наставника: постављање питања која ће активирати раније стечена знања ученика, извођење закључака уз помоћ ученика, израда задатака на табли Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Домаћи задатак: помоћу програма GeoGebra уз његово упутство нацртати график бар једне функције и њене инверзне функције Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити: Дефиниција: Уколико је функција : X Y; X, Y R бијективна, онда има инверзну функцију : Y X такву да важи Графици инверзних функција су симетрични у односу на праву y. Главни део часа: Теорема: Инверзна функција је једнозначно одређена. Квадратна функција y није - функција на скупу R, па нема инверзну функцију. Због тога треба посматрати њену рестрикцију на интервалу, где је -, па има инверзну функцију. 7

30 Функције 8 Теорема: Ако је функција Y X : строго монотона и на тада има инверзну функцију. Уколико има могућности уз помоћ неког програма нпр. Geogebra, нацртати графике функција y e y, ln. Задаци:. Наћи инверзну функцију функције, 5. Решење: 6 5 5, одакле добијамо 6. Коначно.,. Наћи инверзну функцију функције,.. Од функција h g,, 5 5 својој инверзној функцији једнаке су: А) и g B) све три C) ниједна D) само E) и h Задатак 6.а)Доказати да функција e e y има инверзну функцију и наћи њен аналитички израз.

31 Функције 9 Решење: e e e e e e e Једно решење као негативно не може бити прихваћено, па је ln e Задатак.в) Наћи скуп вредности функције: y Скуп вредности ове функције је домен њене инверзне функције. Пошто је y y, мора бити,, y y Завршни део часа: Домаћи задатак: Задаци 58. и 59.. Наћи инверзне функције и нацртати њихове графике: а) y б) y в) ),, : ( y г) ) ;( y д) ) ;( y ђ) y,,,. Наћи инверзне функције функција (када оне постоје): 5 lg ) ( ; ) ( ; ) ( ;. (6.б)Доказати да функција e e y нема инверзну функцију и наћи инверзну функцију функције,,, e e y.. Одредити функцију која задовољава функционалну једначину:, ), ) б a

32 Функције 5. Одредити функције које задовољавају конјункцију: g g б g g а ) ) 6. Наћи скуп вредности функције:, y.

33 Функције Редни број часа Елементарне функције: линеарна, квадратна, степена понављање Тип часа: понављање Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање знања из различитих разреда у јединствену целину, примена знања Образовни задатак: уочавање особина ових функција, оспособљавање ученика за цртање и читање графика функција Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, оспособљавање ученика за повезивање различитих информација у систематизовану целину, развијање информатичке писмености ученика Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и примена раније усвојених појмова, разумевање графика функције Кључне речи: линеарна, квадратна функција, степена функција, график Активности наставника: постављање питања која ће активирати раније стечена знања ученика Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: У основне елементарне функције спадају константне функције y a;a R, линеарна (идентична) y, експоненцијална y e и синусна y sin. Елементарне функције су: -основне елементарне -ако су, g основне елементарне, онда су и g, g, g,, g, елементарне g (уколико постоје) Применом коначног броја основних операција,,, : и коначно много композиција елементарних функција или формирањем инверзне функције, добијају се, такође, елементарне функције. Главни део часа: Алгебарске функције су функције које представљају композицију рационалних, степених са рационалним експонентом и четири основне рачунске операције. Трансцедентне функције су функције које нису рационалне. У трансцедентне функције спадају експоненцијална, логаритамска, тригонометријске,... Функција y k n зове се линеарна функција (Елементарна је y ). k - коефицијент правца n -одсечак на y -оси

34 Функције Задаци: Коришћењем графика линеарне функције решити:. Једначина a, a R, има максималан број различитих реалних решења за све вредности реалног параметра a које припадају: А),, C), D),, B) E) Функција облика y a b c је квадратна функција. За a функција је конвексна, тј. има минимум, а за a функција је конкавна и има максимум. Теме параболе израчунава се по формулама b ac b T(, ); ;. a a Коришћењем графика функције решити задатке: Задаци:. Наћи најмању вредност функције 6 Грађевински факултет.). Одговор:. (Пријемни за. Једначина a, a R, има максималан број различитих реалних решења ако и само ако вредности реалног параметра a припадају: A), B), C), D), E),

35 Функције n Степена функција је функција облика y ; n Q. За n добија се линеарна, а за n квадратна функција. Слично и за остале парне n. За n (и све непарне n ) n n Завршни део часа: Домаћи задатак:. Колико решења има једначина. Одговор:.. Наћи број решења једначине 5. Одговор:.. Наћи број целобројних решења једначине. Одговор: 6.

36 Функције

37 Функције Редни број часа Експоненцијална и логаритамска функција понављање Тип часа: понављање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање знања из различитих разреда у јединствену целину, оспособљавање ученика да уоче битне особине функција Образовни задатак: уочавање особина функција, цртање и читање њиховог графика Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, оспособљавање ученика за повезивање различитих информација у систематизовану целину, развијање информатичке културе ученика Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и систематизација појмова везаних за експоненцијалну и логаритамску функцију, разумевање графика функције Кључне речи: експоненцијална, логаритамска функција, график Активности наставника: постављање питања која ће активирати раније стечена знања ученика, израда задатака на табли Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла, рачунар Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Поновити дефиницију логаритма, домен и основне особине. b log a b a ;, a, a y lg ; y ln 6 ; y log Наћи домен функција Главни део часа: Нацртати графике функција y ; y ; y ln ; y log 5

38 Функције Подсетити ученике да је ln log ; e,7 e Уочити инверзност логаритамске и експоненцијалне функције и симетричност њихових графика. Задаци:. Број реалних решења једначине је: A) B) већи од C) D) E). У зависности од реалног параметра решити једначину a. Број решења једначине log 9 је: А) B) C) D) E) већи од Завршни део часа: Прокоментарисати и илустровати графиком функцију Домаћи задатак: Задатак број. y a b cd Помоћу програма GeoGebra, уз упутство, нацртати график бар једне од функција поновљених на часу. 6

39 Функције Редни број часа Тригонометријске функције понављање Тип часа: понављање Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање знања из различитих разреда у јединствену целину, развијање апстрактног мишљења Образовни задатак: уочавање особина функција, цртање и читање њиховог графика Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину, развој информатичке писмености ученика Васпитни задатак: развијање прецизности и уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова. Разумевање графика функције Кључне речи: тригонометријска функција, график Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Активности наставника: постављање питања која ће активирати раније стечена знања ученика Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити које су основне тригонометријске функције. y sin ; y cos ; y tg; y ctg Главни део часа: Нацртати графике функција и прокоментарисати особине, домен, парност, периодичност, нуле, знак, монотоност, ограниченост. 7

40 Функције Задаци: Нацртати график и написати особине функције y sin Завршни део часа: Домаћи задатак: Задатак број 5. 8

41 Функције Редни број часа Инверзне тригонометријске функције Тип часа: понављање и продубљивање Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: развијањеапстрактног мишљења, примена знања, оспособљавање за математичку аргументацију Образовни задатак: усвајање дефиниције и особина инверзних тригонометријских функција, оспособљавање ученика за цртање и читање њиховог графика, израчунавање вредности инверзних тригонометријских функција Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање прецизности у дефинисању и изражавању, повезивање различитих информација у систематизовану целину, развијање информатичке писмености ученика Васпитни задатак: развијање прецизности и уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова, разумевање графика функције Кључне речи: аркус, инверзне тригонометријске функције Активности наставника: постављање питања која ће активирати раније стечена знања ученика, израда задатака и цртање графика функција на табли, извођење закључака уз помоћ ученика Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити: sin 6 arcsin 6 Главни део часа: Пошто тригонометријске функције : R, y sin ; y cos нису -, а ни на посматрају се њихове рестрикције и то за y sin на интервалу,, (узима све вредности, ), за y cos узима се рестрикција,,, за y tg рестрикција на интервалу,,, а за y ctg на интервалу,,. y sin arcsin y arcsin(sin ) sin(arcsin y) y, y, y,, 9

42 Функције Задаци:. Вредност израза sinarctg arcctg је: A) B) C) D) E). 8 Израчунати вредност израза sin arcsin arcsin Вредност израза arctg arctg је једнака: A) B) C) D) E). Ако је arctg arctg онда је:

43 Функције A) B) C) D) E) Вредност израза sin arctg је: A) -7/5 B) 7/5 C) /5 D) /5 E) -9/5 6. Нацртати графике функција (најбоље би било користити рачунар) y sin(arcsin ); y arcsin(sin ). Завршни део часа: Домаћи задатак: Задаци 6. и 7.

44 Функције

45 Функције Редни број часа Инверзне тригонометријске функције вежбање Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика да самостално изводе закључке, развијање логичког мишљења Образовни задатак: увежбаност у израчунавању вредности инверзних тригонометријских функција, оспособљавање ученика за цртање и читање њиховог графика Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање прецизности у дефинисању и изражавању, повезивање различитих информација у систематизовану целину, развијањеинформатичке писмености ученика Васпитни задатак: развијање прецизности и уредности Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова, разумевање графика функције, прецизност језика Кључне речи: аркус, инверзне тригонометријске функције Активности наставника: постављање питања и извођење закључака уз помоћ ученика Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћих задатака. Главни део часа:. Израчунати: arcsin ; arctg arccos ; arctg; ; arcsin arccos ; arctg arcctg arctg. Израчунати: sin arcsin ;arcsinsin. y Доказати да за y важи arctg arctg y arctg. y. Израчунати arcsin(sin ); tg(arcsin ) 5. Наћи инверзну функцију функције arctgln. Завршни део часа: ; arcctg ; Питања ученика.

46 Функције

47 Функције Редни број часа Монотоност и ограниченост функције Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, оспособљавање за примену знања Образовни задатак: оспособљавање ученика за правилно тумачење датих особина са графика функција и правилно дефинисање ових појмова Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање прецизности у дефинисању и изражавању Васпитни задатак: развијање прецизности и уредности, схватање значаја повезивања знања Резултат часа: оспособљавање ученика за налажење нула и знака функција аналитички и графички Кључне речи: монотоност и ограниченост функције Активности наставника: вођење ученика кроз градиво, увођење нових појмова и њихово дефинисање, израда цртежа на табли Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Монотонија (грчки μονότονος) једноликост, једнообразност Које монотоно растуће функције ученици знају - експоненцијална, логаритамска,... Када је експоненцијална функција растућа, а када опадајућа? Које ограничене одоздо (одозго) функције су нам познате експоненцијална, квадратна,... Навести у којим случајевима су функције ограничене одоздо (одозго). Уочити да је функција y sin ограничена (и одозго и одоздо). Главни део часа: Дефиниција: Функција је строго монотоно растућа на интервалу а, b уколико важи, a b, 5

48 Функције 6 Дефиниција: Функција је строго монотоно опадајућа на интервалу b а, уколико важи,, b a Функција која није монотона: Дефиниција: Функција је монотоно растућа (неопадајућа) на интервалу b а, уколико важи,, b a Дефиниција: Функција је монотоно опадајућа на интервалу b а, уколико важи ), (, b a Задатак.в) Нека је y y Значи, функција је строго растућа.

49 Функције Дефиниција: Функција је ограничена одозго уколико важи M R D је D домен функције. Дефиниција: Функција је ограничена одоздо уколико важи m R D је D домен функције. M m, где, где Дефиниција: Функција је ограничена уколико важи M,m R Dm M. Задатак 6.в) Функција је дефинисана за, функција је ограничена тј. y. R y, пошто је Завршни део часа: Ученици треба да дефинишу монотоност и ограниченост функција. Домаћи задатак: Задаци 5.г), д),. 7

50 8 Функције

51 Функције Редни број часа Испитивање особина функција вежбање, часа Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални Методе рада: дијалошка, операцијска Циљ часа: усвајање знања потребних за наставак школовања, развијање апстрактног мишљења Образовни задатак: увежбаност у испитивању особина функције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање прецизности у дефинисању и изражавању, повезивање различитих функција по сличности особина Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности и систематичности Резултат часа: оспособљеност ученика за налажење особина функција аналитички и графички Кључне речи: домен, нуле, знак, парност, периодичност, монотоност, ограниченост функција Активности наставника: постављање питања која ће активирати раније стечена знања ученика, извођење закључака уз помоћ ученика Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити дефиниције особина функције домен, парност, периодичност, нуле, знак, ограниченост. Главни део часа: Првих осам задатака урадити на првом часу, а остале на другом. За домаћи поделити по три задатка по часу.. Заокружити тачна тврђења R sin cos, ln ln А) B) R e C) е D) R arctg arctg E) Ниједно од понуђених тврђења није тачно. Дате су функције y e ; y ; y ; y ; y5 sin ; y6 cos А) Ограничене су следеће функције: B) Парне су следеће функције: C) Непарне су следеће функције: D) Периодичне су следеће функције:. Заокружити монотоно растуће функције на свом домену: А) y sin B) y 9

52 Функције C) y arctg D) y ln E) y log F) y tg. Одредити највећу и најмању вредност функције на сегменту, 5. Наћи област дефинисаности функције. ln : R,, ; g :,5,, g 6. Дате су функције А) Да ли је функција - пресликавање? B) Да ли је функција g - пресликавање? C) Да ли је функција g на пресликавање? D) Да ли је функција на пресликавање? 7. Заокружити тачна тврђења: А) arcsinsin B), C) R ln D) 5, e Е) Ниједно од претходних тврђења није тачно log А) Одредити област дефинисаности функције. B) Решити једначину. C) Решити неједначину. 8. Дата је функција. D) За које вредности параметра једначина има реална решења a 9. Скицирати графике функција: y y sin ; y, ; ; y log ;,, sin ; y y log log. y ; y ; y cos ; y ln( ). Одредити област вредности следећих функција: y arcsin ; y sin cos ; y ; y ; y sin cos ; y ln. Нацртати графике функција y e, y ln e и испитати да ли су једнаке. Завршни део часа: Коментар задатака. Домаћи задатак: Задаци. ж),. б),6.е),6.а),9.г),.ђ) y y 5

53 Функције Редни број часа Непрекидност функције (геометријски смисао). Гранична вредност функције. Тип часа: обрада Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, способности генерализације, оспособљавање за математичку аргументацију Образовни задатак: усвајање дефиниције непрекидности функције Функционални задатак: развијање аналитичности, развијање информатичке културе ученика Васпитни задатак: развијање прецизности, систематичности и уредности Резултат часа: усвајање појма непрекидности функције Кључне речи: непрекидност, прекид Активности наставника: вођење ученика кроз градиво и, у сарадњи са њима, дефинисање појмова, цртање графика, испитивање последица трансформација Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Непрекидна функција се може нацртати једним потезом. Главни део часа: Вајерштрасова дефиниција непрекидности функције у тачки: A a a 5

54 Функције 5 Отклоњив прекид : Прекид прве врсте: Прекид друге врсте (функција има вертикалну асимптоту): Задаци: Поделити ученике на три групе. Свака група ради по два задатка.. Испитати непрекидност користећи график функција:,,,,, sin. Користећи график функције, одредити вредност параметра R a, тако да функција буде непрекидна:, a, a,,, a, Завршни део часа: Поновити дефиницију непрекидности функције.

55 Функције Редни број часа Гранична вредност функције. Лева и десна гранична вредност. Вертикална асимптота Тип часа: обрада Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, развијање способности за употребу математичког језика, развијање способности за математичкуе аргументацију Образовни задатак: усвајање и правилно дефинисање граничне вредности функције, оспособљавање ученика да нађу вертикалне асимптоте Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање прецизности језика Васпитни задатак: схватање значаја правилне аргументације Резултат часа: разумевање појма вертикална асимптота, лева и десна гранична вредност и њихово налажење Кључне речи: лимес, вертикална асимптота, гранична вредност функције Активности наставника: вођење ученика кроз градиво и, у сарадњи са њима, прецизно дефинисање појмова, цртање графика, уочавање вертикалних асимптота Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Шта су непрекидне функције? Какве прекиде може имати функција? Главни део часа: Дефиниција: Ако је дата функција : A R; A R, A и ако важи A a Кажемо да функција има граничну вредност (лимес) у тачки и пишемо lim a Дефиниција: Број a је лева гранична вредност функције у тачки, што пишемо lim a, ако важи A a Дефиниција: Број a је десна гранична вредност функције у тачки, што пишемо lim a, ако важи A a Ако постоје и лева и десна гранична вредност функције у некој тачки и међусобно су једнаке, онда постоји и гранична вредност функције у тој тачки која је једнака тим граничним вредностима. Дефиниција: Нека је : A R; A R, A. Кажемо да је функција непрекидна у тачки ако важи lim ( ) ( ). Задатак: 5

56 Функције Додефинисати (a) тако да функција буде непрекидна у тачки a., 5, a,. a,,, Дефиниција: Ако је функција непрекидна за A, кажемо да је непрекидна на А. Дефиниција: Ако важи lim ( ) ( ), функција је непрекидна здесна. Дефиниција: Ако важи lim ( ) ( ), функција је непрекидна слева. Дефиниција: Права a је вертикална асимптота функције y ако важи lim lim a Пример:. Функција a y има вертикалну асимптоту.. Функција y може имати вертикалну асимптоту, пошто у тој тачки функција има прекид. Пошто је lim lim ; lim lim, закључујемо да је права вертикална асимптота ове функције. Задаци: Одредити вертикалне асимптоте функција:. Решење: ;. 6. Решење: Нема вертикалне асимптоте пошто је дефинисана R.. Решење: Функција је дефинисана за,,, па функција нема вертикалне асимптоте.. Решење: ln 5.(89.б) Решење: Функција је дефинисана за ln,, e e. lim lim ln, па није вертикална асимптота. ln lim ; lim Вертикална асимптота је. e e e 5

57 Функције 55 Завршни део часа: Домаћи задатак: Одредити вертикалне асимптоте функција: ; 8 ) ( ; ; Задатак 8.

58 56 Функције

59 Функције Редни број часа Теореме о граничним вредностима функције. Гранична вредност рационалне функције Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, оспособљавање за самостално закључивање Образовни задатак: усвајање особина граничних вредности и примена у задацима Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности и систематичности Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова, разумевање особина граничних вредности функције Кључне речи: гранична вредност збира, разлике, производа, количника Активности наставника: вођење ученика кроз градиво и, у сарадњи са њима, прецизно дефинисање особина граничних вредности функција Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити дефиницију граничне вредности функције. Главни део часа: Ако постоје lim a lim g b; a, b R тада важи:. lim g lim lim g. lim g lim lim g lim. lim ; ако важи g ; b g lim g Налажење граничних вредности: Облик : 6. lim 5 Решење: Скратићемо дати разломак са највећим степеном полинома из бројиоца и имениоца, а то је (тј. упоредићемо све чланове са највећом бесконачношћу) lim 6 6 lim 5 5, зато што је нпр. lim 57

60 Функције lim Решење: 8 lim 8 lim. 9 5 lim Решење: 9 5 lim 9 5 lim. lim 5. 5 lim Решење: Степен бројиоца је, па се разломак скраћује са. У бројиоцу се свака заграда дели са 5 lim 5 lim Облик :. 6 5 lim Решење: Задатак решавамо отклањањем облика, тј. скраћивањем разломка. lim lim 6 5 lim.. lim Решење:. lim Решење:. lim Решење: 6 5. lim Решење: 6. lim Решење: -

61 Функције lim Резултат: Завршни део часа: Домаћи задатак: ; lim 9. ; 5 5 lim 8. ; 6 lim 7. ; lim 6. ; lim 5. ; 6 6 lim. ; 7 lim. ; 5 lim. ; 5 6 lim. ; lim 5. ; lim. ; 6 lim. ; 6 8 lim. ; lim. ; lim. 5

62 6 Функције

63 Функције Редни број часа Хоризонтална и коса асимптота функције Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, оспособљавање за примену знања, развијање способности за математичку аргументацију Образовни задатак: усвајање појмова хоризонталне и косе асимптоте, схватање обрасца за њихово налажење Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: развијање прецизности и уредности Резултат часа: оспособљеност ученика за налажење хоризонталне и косе асимптоте Кључне речи: коса, хоризонтална асимптота Активности наставника: вођење ученика кроз градиво и извођење обрасца за налажење хоризонталне и косе асимптоте Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Поновити када функција има вертикалну асимптоту. Поновити да експоненцијална функција има хоризонталну асимптоту ( леву, односно у ) y. Главни део часа: Дефиниција: Права функције ако важи y b је хоризонтална асимптота b lim b lim. Пример: 5 Проверићемо да ли функција y има хоризонталне асимптоте lim lim y. Дакле права y је хоризонтална асимптота 8 8 функције. Дефиниција: Права y k nk је коса асимптота функције lim k n. 6 ако важи

64 Функције Теорема: Ако је y k nk коса асимптота функције k lim ; n lim k. Могуће је да функција има косу асимптоту само за или. Доказ: Пошто је, по дефиницији lim k n ~ k n / : ~ k n lim k Друга формула је такође директна последица дефиниције косе асимптоте. n, онда је функција која има косу асимптоту Пример: Наћи ћемо косу асимптоту функције y. lim k lim lim n lim lim lim Дакле коса асимптота је права y. Задаци: Наћи хоризонталне и косе асимптоте функција: 8 ; ; ( ) ; Завршни део часа: Закључити да рационална функција има хоризонталну асимптоту када је степен имениоца већи или једнак од степена бројиоца, а косу асимптоту када је степен бројиоца за један већи од степена имениоца. Домаћи задатак: Задатак 87. а), з), и), 88.г), 89.а) 6

65 Функције Редни број часа Асимптоте функција вежбање Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, рад са текстом Циљ часа: оспособљавање ученика за процену сопственог знања и напредовања Образовни задатак: увежбаност у налажењу асимптота функције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, оспособљавање за самостално решавање задатака Васпитни задатак: развијање способности за процену свог знања, развијање самопоуздања и жеље за напредовањем Резултат часа: увежбаност ученика у налажењу асимптота функција Кључне речи: функција, асимптота Активности наставника: вођење ученика кроз задатке и постепено повећавање захтева Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити када функција има вертикалну, хоризонталну и косу асимптоту. Поделити ученике у групе. Свака група налази асимптоте рационалне функције. Асимптоте експоненцијалне, ирационалне и логаритамске функције урадити на табли са целим одељењем. Главни део часа: Поделити ученике на три групе. Свака група ради по два задатка од првих 6. Након завршетка (око 5 минута) урадити један пример на табли. Остале задатке урадити фронтално. Наћи асимптоте функције:. y y Резултат: y 5 7. Збирка 87.б) y Резултат: ; y 6

66 Функције 9. Збирка 89.а) y Резултат: ; y e. Збирка 9. y Резултат: Завршни део часа: Домаћи задатак: Задаци: 88.г), и), 9.б) y ; ; y ; 6

67 Функције Редни број часа Гранична вредност ирационалне функције Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења и способности генерализације, развијање аналитичности Образовни задатак: схватање поступка за налажење граничне вредности ирационалних функција (повезати са низовима) Функционални задатак: развијање аналитичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину Васпитни задатак: схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова, увежбаност у налажењу граничних вредности ирационалних функција Кључне речи: гранична вредност, ирационална функција Активности наставника: вођење ученика кроз градиво и, у сарадњи са њима, проналажење поступка за налажење граничних вредности ирационалних функција Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Главни део часа: Задаци: Облик :. lim Решење: lim lim. lim lim lim. lim 5 Облик :. lim Решење: Рационалисањем разломка добија се 65

68 Функције 66 lim lim 5. lim Решење: 6. lim Решење: Решење: Треба обратити пажњу да, па је у израз једнак Облик : 7. Збирка 67.е) lim Решење: Рационалисаћемо бројилац разломка lim lim lim lim 8. Збирка 67.з) 7 5 lim Решење: lim lim lim 7 5 lim 9. Збирка 67.в) lim. Збирка 67.ђ) 9 lim 9 Завршни део часа: Домаћи задатак: ; 9 lim ; lim ; lim ; lim ; lim ; 9 lim ; 5 lim ; lim ; lim

69 Функције Редни број часа Гранична вредност тригонометријских функција Тип часа: обрада Облик рада: фронтални, индивидулани Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, примена раније стечених знања Образовни задатак: оспособљавање ученика за налажење граничних вредности тригонометријских функција Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, оспособљеност за повезивање градива различитих разреда Васпитни задатак: развијање аналитичности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и примена раније усвојених појмова Кључне речи: тригонометријске функције, лимес Активности наставника: вођење ученика кроз градиво и, у сарадњи са њима, помоћ ученицима при уочавању поступка за израчунавање граничних вредности тригонометријских функција Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Главни део часа: Са слике се може закључити sin tg / : sin sin cos sin cos sin Пошто када cos, важи lim. Задаци: sin sin sin sin. Збирка 7.а) lim Решење: lim lim lim sin tg tg sin. Збирка 7.г) lim Решење: lim lim cos lim cos 67

70 Функције. sin lim sin. Збирка 7.ј) cos lim sin cos lim lim Решење: cos sin 5. Збирка 7.д) lim cos sin Решење: cos sin lim lim cos sin sin 7 sin5 6. Збирка 7.б) lim sin sin sin lim lim cos sin cos sin cos sin sin cos sin 7 sin5 cos 6 Решење: lim lim lim или sin sin cos cos sin 7 sin5 7 5 lim... sin sin lim cos sin Завршни део часа: Домаћи задатак: Задаци: 7.в), к), м), 7.в), з), и), г) 68

71 Функције Редни број часа Неке значајније граничне вредности ( број е ) Тип часа: обрада Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање знања из различитих разреда у јединствену целину Образовни задатак: повезивање граничне вредности низа са граничном вредности функције Функционални задатак: развијање аналитичности, повезивање градива различитих разреда Васпитни задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање прецизности Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова Кључне речи: број e Активности наставника: вођење ученика кроз градиво и повезивање са градивом трећег разреда (гранична вредност низа) Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћих задатака. Поновити дефиницију броја e Главни део часа: lim n n n e lim e, или lim e Задаци: (Неодређеност облика ). lim Решење: lim Задатак се може урадити и увођењем смене t lim lim 6 e.. lim. lim 69

72 Функције 7 Решење: lim lim 5 lim 5 lim lim e e. lim 5. Збирка 7.з) lim Граничне вредности које се своде на, ;lim, ln lim ; ;lim ln lim k R k k a a a a e k. Збирка 76.е) lim e e. Збирка 76.ј) cos lim e. Збирка 76.м) lim e Решење: lim lim e e. ln ln lim Завршни део часа: Домаћи задатак: Задаци: 7.д), з), 7.а),д), е), и), 76.з), н)

73 Функције Редни број часа Граничне вредности вежбање, часа Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање градива, развијање аналитичког и логичког мишљења Образовни задатак: увежбаност у израчунавању граничне вредности функције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину Васпитни задатак: развијање прецизности, схватање значаја повезивања раније стечених знања, развијање сарадње међу ученицима Резултат часа: разумевање и систематизација раније усвојених појмова Кључне речи: функција, гранична вредност функције Активности наставника: вођење ученика кроз градиво и, у сарадњи са њима, прецизно дефинисање појмова, цртање графика, уочавање последица трансформација. Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци. Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поделити ученике на групе. Свака група извлачи по један пример од сваког задатка. Главни део часа: Први час: Задаци:. 68.а), б), в), г). 66.а), ђ), ж), л). 67.а), б), д), ж). 7.д), л), 7.а),б) 5. 7.б), в), г), ђ) Други час: У случају да ученици нису савладали граничне вредности, урадити неурађене примере у задацима Уколико је могуће урадити нешто захтевније примере:. lim sin 5 e. lim e. lim sin 7

74 Функције tg. lim sin 5. lim lim sin lim ln 8. lim 9. lim. lim. lim e tg. lim sin sin 5 Завршни део часа: Питања ученика и коментари грешака. Домаћи задатак: Задаци: 66.в),д), 67.г), и), 68.д), 69.а), д), 7.б) 7.е) 7.ж), 76.е) 7

75 Функције Редни број часа Функције систематизација Тип часа: систематизација Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање знања из различитих у јединствену целину, оспособљавање ученика за процену сопственог знања и напредовања Образовни задатак: оспособљеност ученика за систематизацију појмова и поступака потребних за налажење граничне вредности функције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, оспособљеност ученика за повезивање различитих информација у систематизовану целину Васпитни задатак: развијање сарадње међу ученицима, развијање свести о значају повезивања и систематизације знања Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова Кључне речи: гранична вредност, домен, парност Активности наставника: вођење ученика кроз градиво, праћење напредовања ученика Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити особине функција, дефиницију граничне вредности функције. Поделити ученике на групе. Сви ученици раде прва три задатка и по два примера из. и 5. задатка. Главни део часа:. Ако је скуп функција дефинисан на скупу реалних бројева R и tg sin, /, /, онда је функција : A) парна B) непарна C) ни парна ни непарна D) строго растућа E) строго опадајућа. Функција log log 6 7 је дефинисана за: 65 A) B) C) D) 5 E), за које је дефинисана функција. Целих бројева из интервала има: A) 6 B) C) D) 5 E) 7. Израчунати граничне вредности: 5 9 lim ; lim lim sin sin 7 ; 5 5. Наћи асимптоте функција: lim ; 5 lim 5 ; ; 7 lim lim ; 5 7 7

76 Функције 7 ; ; ; sin ; ; ; ; y y y e y y y y Завршни део часа: Оцењивање ученика. Домаћи задатак: Задаци: 8.,.а), 6.ђ), 7.д),.г)6.ђ), 9.в), д),57.е), 66.з), 7.и)

77 Извод функције. Извод функције Прираштај функције. Извод функције (проблем тангенте и брзине). Основне теореме о изводу, изводи елементарних функција. Диференцијал и његова примена код апроксимација функција. Испитивање функција (уз примену извода); график функције. Редни број часа Прираштај функције. Проблем тангенте и брзине. Дефиниција првог извода, леви и десни извод Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: стицање знања неопходних за наставак школовања, примена знања Образовни задатак: усвајање и правилно дефинисање и разумевање првог извода функције Функционални задатак: развијање аналитичности и логичког мишљења Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања знања Резултат часа: разумевање појма првог извода функције и усвајања његове дефиниције Кључне речи: први извод функције Активности наставника: увођење новог појма уз помоћ графика функције, постављање питања ученицима и формулисање дефиниција и теорема Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Шта је средња брзина? Дефиниција: Израз назива се прираштај независно променљиве у тачки, а y се назива прираштај функције у тачки. Уколико функција представља промену пута у функцији, y времена количник представља средњу брзину кретања за временски интервал. Главни део часа: Дефиниција: Ако је y s једначина пређеног пута неке тачке, онда је тренутна брзина једнака s v lim s 75

78 Извод функције Тангента криве: y Количник, такође, представља коефицијент правца сечице АВ криве. Уколико тачка В клизи по кривој ка тачки А у граничном случају, сечица АВ постаће тангента криве у тачки А. Количник k lim је коефицијент правца дате тангенте. Једначина тангенте у тачки A, је, дакле, y y k y. Извод функције lim, зове се први извод функције Дефиниција: Нека је дата функција y дефинисана у некој околини тачке. Ако постоји ' y у тачки de lim. и означава ' За функцију која има први извод у некој тачки, каже се да је диференцијабилна у тој тачки. За произвољну тачку први извод је ' lim. Уколико не постоји дата гранична вредност, функција није диференцијабилна у тој тачки, али је могуће ' ' да у тој тачки има леви lim или десни lim извод. Функција са слике није диференцијабилна у тачки, али у тој тачки има леви и десни извод.. тј. Уколико постоје леви и десни извод и међусобно су једнаки, тада постоји и извод у тој тачки 76

79 Извод функције Теорема: Ако је функција у некој тачки диференцијабилна, онда је у тој тачки непрекидна. Обрнуто тврђење не важи. Нпр. функција непрекидна у тачки, али у тој тачки није диференцијабилна. y је Наћи ћемо изводе неких елементарних функција по дефиницији. Задаци:. Наћи извод по дефиницији функције y C;C const. C C lim Решење:. Решење: lim.. Решење: lim e.. Решење:.. lim lim lim e e e e e lim 5. Одредити, по дефиницији, извод функције 5 Решење: 5 5 lim.. Завршни део часа: Поновити дефиницију првог извода функције. Домаћи задатак: 8. 77

80 78 Извод функције

81 Извод функције Редни број часа Изводи по дефиницији Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, оспособљеност ученика за математичку аргументацију Образовни задатак: правилно дефинисање и употреба дефиниције првог извода функције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: развијање прецизности језика, неговање уредности Резултат часа: оспособљеност ученика да, користећи дефиницију, нађу први извод функције Кључне речи: први извод функције Активности наставника: избор задатака и помоћ ученицима у изради задатака Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити дефиницију првог извода функције и њено значење. Поделити ученике у три групе. Свака група ради по четири задатка. Главни део часа: Наћи извод по дефиницији: ; ; ; ; y sin ; y cos ; ; ; ( ) ; y ln ; y e ; y ; 5; Завршни део часа: Урадити преостале задатке на табли. Уколико је потребно урадити и задатке у којима су ученици највише грешили. Ученици треба да припреме списак елементарних функција чије изводе треба израчунати. 79

82 8 Извод функције

83 Извод функције Редни број часа Таблица извода елементарних функција Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: систематизација усвојених појмова Образовни задатак: формирање таблице извода елементарних функција Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова Кључне речи: први извод функције Активности наставника: помоћ ученицима у формирању таблице првог извода функције Активности ученика: формирање таблице првог извода Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Прављење списка елементарних функција. Главни део часа: Ученици треба да направе таблицу извода елементарних функција: ' Домен C n, n R n n a, a, a a ln a R e e ln log a ln a a, a ; sin cos cos sin tg k, k Z cos ctg sin k, k Z 8

84 Извод функције Завршни део часа: Уколико буде времена урадити неколико примера из збирке применом таблице и извода. Домаћи задатак: Ученици треба на хамеру да направе пано са таблицом извода. 8

85 Извод функције Редни број часа Основне теореме о изводу и примена Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: усвајање градива неопходног за наставак школовања, оспособљавање за математичку аргументацију Образовни задатак: усвајање и доказ основних правила диференцирања и њихова примена Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање апстрактног мишљења Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности Резултат часа: усвајање правила диференцирања Кључне речи: правила диференцирања Активности наставника: формулисање правила и помоћ ученицима у њиховом доказивању Активности ученика: доказивање правила диференцирања и њихова примена на једноставнијим примерима Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити таблицу првих извода функције. Главни део часа: Ако постоје, g онда важи: g g C C ; C const. g g g g g ; g g g Доказ (ученици): C lim g lim g g g g C lim g C C lim... C 8

86 Извод функције 8 Задаци: Наћи извод функције:. ; y Решење: y y. ; y. ; 5 y. ; 5 y 5. e y Решење: Извод ћемо наћи као извод производа e e e e e y 6. Z k k y, ; tg 9 7. ; ln y 8. y sin 7 9. Z k k y, ; cos Решење: Извод ћемо наћи користећи формулу за извод количника cos sin cos cos cos cos y Наћи извод домен и први извод следећих функција у тачкама у којима постоји:. y. e e y. y tg sin Завршни део часа: Означавање за извод које користимо је Лагранжово, а користи се и Лајбницово d d d d d dy ); ( ; Домаћи задатак: Задаци: 5, 8.

87 Извод функције Редни број часа Извод елементарних функција вежбање, часа Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: увежбаност ученика у примени знања Образовни задатак: оспособљеност ученика да самостално нађу први извод функције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: оспособљеност ученика да нађу први извод функције Кључне речи: први извод функције Активности наставника: избор задатака и помоћ ученицима у њиховом решавању, подела ученика на групе и координација рада Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити таблицу извода и правила диференцирања. Подела ученика у групе. Свака група бира по један задатак из сваке од шест група (редова)из првог задатка и по још два од преосталих задатака. Другог часа урадити на табли задатке на којима су ученици најчешће грешили. Главни део часа: Задаци : Наћи извод функције: y 5;. y 6;. y ; y ; 5. y ; 6. y 6 ln ; 7. y ln ; 8. y sin cos ; 9. y ln sin ;. y 5ln e ;. y log e ;. y ln ;. y arctg ;. y arcsin arccos ; 5. y 6. y e ; 7. y ln ; 8. y e sin ; 9. y arctg ;. y ;. sin cos ln y ;. y ;. y ;. y ; 5. y ; sin cos ln 5 ; 85

88 Извод функције 86. Израчунати:, ако је.. Израчунати ако је.. Доказати да је ако је. ln 5. Доказати да је ако је. e 6. Доказати да је 6 6 ако је. cos 7. Решити неједначину g ако је а) ; g б). ln ; g в). ln 5 ; ln g Завршни део часа: Коментар најкарактеристичнијих и најчешћих грешака. Домаћи задатак: Задаци 6. и 9.

89 Извод функције Редни број часа Извод инверзне функције Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, усвајање знања неопходних за наставак школовања Образовни задатак: усвајање правила за извод инверзне функције и њихова примена Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности Резултат часа: разумевање и примена извода инверзне функције Кључне речи: извод инверзне функције Активности наставника: вођење ученика кроз градиво, формулација и доказ теорема Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Јован Д. Кечкић: Математика са збирком задатака за IV разред гимназије Уводни део часа: Поновити дефиницију првог извода функције. Шта је инверзна функција? Главни део часа:. Ако је функција Теорема: Нека је инверзна функција функције диференцијабилна у тачки и ако важи, тада је функција диференцијабилна у тачки и важи једнакост. Доказ: За инверзну функцију важи, односно lim lim. lim lim ( ( )) ( ( )) Пример:. tg; ( ) arctg arctg cos arctg cos arctg y arctg tg y cos y tg y 87

90 Извод функције cos arctg tgarctg. sin ; ( ) arcsin arcsin sin arcsin cos arcsin sinarcsin arctg arcctg arcsin arccos R R Задатак. Завршни део часа: Питања ученика. 88

91 Извод функције Редни број часа Извод сложене функције Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, развијање способности математичке аргументације Образовни задатак: усвајање извода сложене функције и примена на задатке Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности Резултат часа: разумевање извода сложене функције и оспособљеност за примену Кључне речи: извод сложене функције Активности наставника: формулација и доказ теореме, избор задатака Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци. Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Направити разлику између елементарних и сложених функција y sin, y sin Главни део часа:. Теорема: Нека су дате функције,g и нека постоје функције ', g' F g сложена функција, тада важи F ' ' g g'. Доказ: По дефиницији извода F lim У Лајбницовој нотацији Задаци: lim dy d F F g g g g g g dy du. du d lim g g Наћи извод сложене функције на њеној области дефинисаности:. ln ;,. Решење:. Ако је g g 89

92 Извод функције 9. y ln. y sin. 6 y 5. y cos ln tg tg 6. y Решење: ' y 7. e 9. Ако је ln израчунати ' Завршни део часа: Домаћи задатак: Задаци:, 7, 8. и 5.

93 Извод функције Редни број часа Извод сложене функције вежбање Тип часа: вежбање Облик рада: групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: увежбаност ученика у примени стечених знања Образовни задатак: оспособљеност ученика за налажење извода сложене функције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање апстрактног мишљења Васпитни задатак: схватање значаја примене раније стечених знања Резултат часа: оспособљеност ученика да самостално нађу извод сложене функције Кључне речи: извод сложене функције Активности наставника: избор задатака и помоћ ученицима у њиховој изради, подела ученика на групе и координација међу њима Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити како се налази извод сложене функције. F ' ' g g' Подела ученика на групе. Поделити ученике на три групе (нпр.по редовима). Свака група изабере по три задатка (од сваког по један). Главни део часа: Задаци: Наћи извод сложене функције на њеној области дефинисаности:. y ;. y ;. y ln ; y ln( y sin ; 9. ); 6. y ln sin y ln ; sin ;. y 7. y. ln ; arcsin ; y ln. ; y arcsin Завршни део часа: Урадити по један задатак из сваке групе на табли. Домаћи задатак: Задаци:, 9, 5, 5. и 55. 9

94 9 Извод функције

95 Извод функције Редни број часа Логаритамски извод и извод имплицитно задате функције Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање и примену знања Образовни задатак: схватање поступка за налажење извода имплицитно задате функције и логаритамског извода Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: оспособљеност ученика да нађу извод имплицитно задате функције и да примене логаритам за налажење извода функције Кључне речи: имплицитно задата функција, логаритамски извод Активности наставника: израда примера на табли, избор задатака и помоћ ученицима при њиховој изради Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Функција може бити задата експлицитно, тј. у облику y или имплицитно, тј. у облику, y. Пример: y је пример експлицитно задате функције, а y 5 је имплицитно задата функција. Главни део часа: Извод имплицитно задате функције Задаци: Наћи извод имплицитно задатих кривих:. y Решење: yy' y' ; y y p. y p; p, Решење: yy ' p y' ;. y 6 Решење: yy' y' ; y y. y 5. 9y 7 9

96 Извод функције Задатак: Којом брзином ће опадати ниво течности у вертикалном цилиндричном резервоару ако течност истиче брзином од литара у минути? Решење: Полупречник резервоара је константан. Запремина течности једнака је V r h. Пошто и запремина и висина течности ( h ) зависе од протеклог времена, можемо записати V t r h t. Користећи дефиницију извода функције запремине као однос промене запремине и промене времена, можемо записати V t (негативан извод, пошто се запремина смањује). V r h t, па је однос промене висине и промене времена h t. r Уколико је могуће искористити запис dv dt dh r dt Логаритамски извод Ако је скуп вредности функције ln логаритма, y e Уколико нађемо извод функције у овом облику добијамо Некада је лакше наћи извод Задаци: Наћи извод функције:. y ' y скуп позитивних реалних бројева, тада је, по дефиницији ln e ln ' ' ln ' ln него извод функције. Решење: ln y ln ln y ln. Диференцирањем ове једнакости добијамо y ln y ln y ln. y. y. y cos. y sin 5. y ln 6. y sin Решење: ln y ln sin sin ln. Диференцирањем ове једнакости добијамо sin y cos ln sin y y cos ln sin ' Завршни део часа: Домаћи задатак: Задаци: 65.б), г) 9

97 Извод функције Редни број часа Други извод; изводи вишег реда Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: усвајање знања неопходних за наставак школовања, повезивање знања Образовни задатак: оспобљеност ученика да нађу други, трећи,... извод функције Функционални задатак: развијање свести о значају примене знања Васпитни задатак: развијање самопоуздања и мотивације ученика Резултат часа: разумевање и успешно налажење извода вишег реда Кључне речи: други извод, изводи вишег реда Активности наставника: вођење ученика кроз градиво, избор задатака и помоћ ученицима у њиховом решавању Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Анализа домаћег задатка и, уколико има потребе, израда задатак који нису решени на претходном часу. Главни део часа: Дефиниција: Други извод функције извода). Уопштено n извод функције је, у ознаци '' '' ' је n n ' ' (први извод првог Ознаке за изводе у Лагранжовој нотацији су,,, IV,... У Лајбницовој нотацији ознаке за други извод је d y d d d dy d Задаци:. Наћи други извод функције: а) y e б) y sin в) y г) y ln 95

98 Извод функције д) y 6 ђ) y ln. (Задатак 7.а))Доказати да функција y e sin задовољава једначину y y y. (Задатак 7.б))Доказати да функција y задовољава једначину y y.. Наћи трећи извод функције: а) y 8 6 б) y ln 5. Наћи n ти извод функција: a) y e ; b) y ; 7. ) y ln Решење: a) y e y e ; y e ; y 8e 6. Наћи други извод имплицитно задате криве y. Решење: yy ; y y y y... y n n n e Завршни део часа: За домаћи задатак дати задатке који нису урађени на часу. 96

99 Извод функције Редни број часа Изводи вишег реда вежбање Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање логичког и апстрактног мишљења, оспособљавање ученика за самосталан рад Образовни задатак: увежбаност у налажењу извода вишег реда функције Функционални задатак: развијање аналитичности, развијање концентрације Васпитни задатак: развијање прецизности и уредности Резултат часа: разумевање и налажење другог и виших извода функције Кључне речи: други извод, изводи вишег реда Активности наставника: избор задатака и помоћ при њиховом решавању Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Главни део часа:. Доказати да функција y e cos задовољава једначину y y.. Наћи трећи извод функција: y 5 ; y 6 ; y ln ; y e n. Наћи n ти извод функције: y, y ; y ln ; y e ;. Наћи,,, ако је: А) e sin Б) e y n e 5. Дате су функције ; g за које је тачна неједнакост. g 6. Дата је функција a b, a,b R. а) Одредити реалне бројеве, b б) За добијене вредности a, b одредити 97 a тако да важи. lim в) Решити систем неједначина. Завршни део часа: Домаћи задатак: Задаци: 67. б), в), д), л), 68., 7.в), 7.ђ) За наредни час ученици морају да имају калкулатор.. Одредити све реалне вредности

100 98 Извод функције

101 Извод функције Редни број часа Диференцијал и његова примена код апроксимације функције Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: прихватање математике као корисног алата, оспособљавање ученика за примену знања Образовни задатак: разумевање и усвајање појма диференцијала и његова примена на апроксимације функција Функционални задатак: развијање аналитичности Васпитни задатак: схватање значаја изучавања и примене математике Резултат часа: оспособљеност ученика да примене диференцијал за апроксимацију функције у једноставнијим примерима Кључне речи: диференцијал, апроксимација функције Активности наставника: увођење појма диференцијала, исписивање теорема и цртање слика на табли, избор задатака и помоћ у њиховом решавању Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла, калкулатор Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити дефиницију првог извода на графику функције. Главни део часа: y у некој тачки има први извод, онда израз Дефиниција: Ако функција зовемо диференцијал дате функције у тачки. Диференцијал функције се означава са dy, па можемо написати: ' dy ' Ако је y, добијамо да је d, па дата формула постаје dy d. Одавде следи да је dy ' (Лајбницова ознака за извод функције). d Геометријска интерпретација диференцијала: y dy 99

102 Извод функције За довољно мало њим. Теорема: важи да је.... y dy. Пошто је d линеаран (види слику), лакше је радити са d g d dg d g d g dg d g dg d ; g g g z g ' ' dz g d g d Уочити да су правила за диференцијал последица правила за извод. Може се узети да је y dy (видети слику, када ) y Ова формула се користи за апроксимацију (приближно израчунавање) функције.. Користићемо је у облику Задаци: Коришћењем y dy израчунати:. arctg, Решење: arctg arctg arctg arctg како је ;,, добијамо arctg,,, 787. sin 6. cos., 5., 6.,; 7,; 5; 7. Ако n доказати да важи sin ; arctg ;, n N n Завршни део часа: Домаћи задатак: Задатак 8.

103 Извод функције Редни број часа Тангента и нормала у датој тачки криве Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: развијање способности закључивања и способности сачињавања математичког модела Образовни задатак: оспособљеност ученика да нађу једначину тангенте и нормале криве у датој тачки применом ранијих знања о изводу Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих знања Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања, схватање значаја могућности примене знања Резултат часа: оспособљеност ученика да самостално нађу тангенту и нормалу криве за различите функције. Кључне речи: тангента криве, нормала криве Активности наставника: извођење једначина тангенте и нормале, цртање графика, избор задатака и помоћ при њиховом решавању Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити једначину праве кроз једну или две дате тачке, као и услов паралелности и нормалности правих. Поновити дефиницију извода криве у тачки. Поновити формулу за угао између две праве. Главни део часа: Тангента криве y Количник представља коефицијент правца сечице криве АВ. Уколико тачка В клизи по кривој ка тачки А у граничном случају, сечица АВ постаће тангента криве у тачки А. Количник k lim је коефицијент правца дате тангенте. Једначина тангенте криве у тачки A, дакле, y y y. је,

104 Извод функције Уколико се искористи услов нормалности две праве ( k ), добија се једначина нормале криве у k датој тачки: y y Задаци: Написати једначину тангенте и нормале на криву у датој тачки:. y 5; A(,). 6 y ; A(,). y sin ; A(, ). Одредити тачке у којима је тангента криве y паралелна са осом. Угао под којим се секу криве Угао између две криве је угао између њихових тангенти у пресечној тачки те две криве. Пример: Наћи угао под којим се секу криве y ; 6y 7. Решење: Пресечна тачка кривих је тачка (,), а тангенте кривих у тој тачки су редом y ; y. Пошто праве испуњавају услов нормалности криве се секу под углом од 9. Задаци: Наћи угао под којим се секу криве:. y 8; y. y 6; y Завршни део часа: Домаћи задатак: Задаци: 75.г), ж), 8, 8, 8.

105 Извод функције Редни број часа Тангента и нормала криве вежбање Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања Образовни задатак: примена стечених знања о тангенти и нормали криве у различитим примерима Функционални задатак: оспособљеност за процену сопственог знања и напредовања Васпитни задатак: развијање способности самопроцене, вршњачка помоћ у учењу Резултат часа: оспособљеност ученика да самостално примене знања о тангенти и нормали Кључне речи: тангента, нормала криве Активности наставника: избор задатака, подела ученика на групе и координација рада у групи и између група Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити једначину тангенте и нормале криве. Подела ученика у три групе. Главни део часа: Прва група:. Одредити једначину тангенте криве y у тачки A (, y).. Одредити тангенте криве y које су паралелне са правом 7 y 8.. Одредити једначину тангенте параболе y 7 која је нормална на праву одређену координатним почетком и теменом дате параболе.. Наћи угао под којим се секу криве y ; y. Скицирати график. 5. Наћи угао под којим се секу крива y e и права y. Друга група:. Одредити једначину тангенте криве y у тачки A (,).. Одредити тангенте криве y 5 које су нормалне на праву 6y.. Одредити тачке у којима је тангента криве y паралелна са апсцисном осом.. Под којим углом крива y ln сече осу? 5. Наћи угао под којим се секу криве y ; y. Скицирати график.

106 Извод функције Трећа група:. Одредити једначину тангенте криве y у тачки A (, y).. У којој тачки параболе y 7 је тангента паралелна са правом y 5?. Одредити тачке у којима је тангента криве y паралелна са осом.. Наћи оштар угао под којим се секу криве y ; y. Скицирати график. 5. a Одредити вредност параметра a, тако да график функције сече осу под углом од 5. Завршни део часа: Прокоментарисати задатке и најчешће грешке. За домаћи задатак ученици треба да ураде задатке које нису урадили на часу. Бонус задатак: (Задатак са матурског испита у Русији):На цртежу је приказан график функције. На основу података са слике наћи вредност извода функције за.

107 Извод функције Редни број часа Ролова, Лагранжева (геометријско тумачење) и Лопиталова теорема Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, развијање способности математичке аргументације Образовни задатак: схватање Ролове, Лагранжове и Лопиталове теореме и уочавање могућности њихове примене Функционални задатак: развијање аналитичности Васпитни задатак: развијање жеље за проширивањем знања Резултат часа: разумевање теорема Кључне речи: извод Активности наставника: формулација и објашњење теорема Активности ученика: праћење доказа теорема, израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Миодраг Петковић, Љиљана Петковић: Математички времеплов Уводни део часа: Поновити шта значи да је функција диференцијабилна. Шта је коефицијент правца тангенте у некој тачки функције? Када је тангента паралелна са неком правом (х-осом)? Главни део часа: Ролова теорема: Ако је реална функција, непрекидна на затвореном интервалу [a, b], диференцијабилна на отвореном интервалу (a, b), и ако је (a) = (b), тада постоји тачка c из отвореног интервала (a, b), таква да је (c) =. Први познати формални доказ понудио је Михаел Рол (француски математичар) 69. a b a c b График функције представља горњи полукруг са центром у координатном почетку. Постоји тачка где је извод нула. 5

108 Извод функције Ако посматрамо функцију ;,. На њу се не може применити Ролова теорема пошто функција није диференцијабилна у нули. Овде се може генерализовати теорема са левим и десним изводом. (није неопходно) Лагранжова теорема ( Joseph-Louis Lagrange ( 76 8), француско- пруски математичар и астроном) (теорема о средњој вредности): Ако је функција непрекидна на затвореном интервалу [a, b], и на отвореном интервалу (a, b), онда постоји тачка c, из отвореног интервала (a, b), таква да је: b b a a c Теорема (Лопиталова): Нека су функције, g, g тачке a, осим, можда, у самој тачки a. Ако је lim lim g a a ако постоји lim, тада lim a g a g a g a може бити једнако диференцијабилне у некој околини или lim lim g и lim (у некој околини тачке a ). a a Лопиталова теорема се често користи приликом одређивања неких граничних вредности функције. L Hospital, Guillaume Francois Antoine de (66.-7.), француски математичар. Интересантно је да је овај резултат Лопиталу продао Јохан Бернули. Верује се да је правило дело Јохана Бернулија, пошто је Лопитал, који је био племић плаћао Бернулију франака годишње, да га обавештава о открићима на пољу анализе, и да му помогне у решавању проблема. Међу овим проблемима је био лимес неодређених облика. Када је Лопитал објавио књигу, дао је заслуге Бернулију, и не желећи да преузме заслуге за било шта у књизи, рад је објавио анонимно. Бернули, који је био врло љубоморан, је тврдио да је он стваралац целокупног дела, и до скора се веровало да је тако. Па ипак, правило је названо по Лопиталу, који никад није ни тврдио да га је измислио. Задаци: Испитати да ли су испуњени услови и применом Лопиталове теореме, наћи следеће граничне вредности функције:. (9.в) lim Решење:. lim lim 6 lim lim 6 а y c b 6

109 Извод функције sin. lim cos. lim arctg 5. lim 6. lim e sin 7. lim 8. lim ln Решење: Дату граничну вредност написаћемо у облику ln lim lim Завршни део часа: lim Домаћи задатак: Задаци: 9, 9, 95. 7

110 8 Извод функције

111 Извод функције Редни број часа Интервали монотоности и екстремне вредности функције (применом извода) Тип часа: oбрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања Образовни задатак: оспособљавање ученика за разумевање и примену поступка за налажење интервала монотоности и екстремних вредности функције Функционални задатак: развијање способности за примену знања и схватање значаја примене стечених знања Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања, развијање свести о могућностима примене стечених знања Резултат часа: оспособљеност ученика да разумеју поступак испитивања монотоности функције Кључне речи: монотоност, екстремне вредности функције Активности наставника: формулација теорема, избор примера, постављање питања ученицима Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити Ролову теорему. Ако постоји тангента која је паралелна са -осом онда функција може да има екстремну вредност закључити. Главни део часа: Дефиниција: Нека је дата функција максимум функције ако важи Дефиниција: Нека је дата функција минимум функције ако важи која је дефинисана на сегменту a,b. Тачка, тако да је за, 9 је локални. која је дефинисана на сегменту,b, тако да је за, a. Тачка је локални. Локални максимум и минимум функције зову се локалне екстремне вредности функције. Теорема: Ако је екстремна вредност функције тачки, тада важи. Важно је приметити да услов није довољан, већ само потребан за постојање екстремума функције. Пример: Функција y има први извод y који је једнак нули, када је, али у тој тачки нема екстремну вредност. Тачке у којима је називају се стационарним тачкама. и ако је диференцијабилна функција у

112 Извод функције Теорема: Нека је дата функција y која је диференцијабилна у тачки и нека је испуњен услов Ако је функција у тој тачки има максимум, а уколико је функција. има минимум у тој тачки. Услов повлачи услов да мења знак у тачки. Екстремне вредности су тзв. локалне екстремне вредности, тј. екстремне вредности у некој околини тачке, што не мора да значи да су апсолутне екстремне вредности, тј. екстремне вредности на читавом домену функције. Због тога неки локални минимум може имати вредност која је већа од локалног максимума, као што је то случај код функције приказане на слици. непрекидна функција на сегменту,b тада је функција тада је функција Теорема: Нека је a,b. Ако је, a,b a,b. Ако је, a,b a,b. Теорема: Ако је за a,b, тада је функција a и диференцијабилна на интервалу монотоно растућа функција на сегменту монотоно опадајућа функција на сегменту константна на том интервалу. Задаци: Наћи екстремне вредности и одредити интервале монотоности функције:. y y y Функција има две екстремне вредности, yma ;, ymin,,, функција је монотоно опадајућа.. Када или функција је монотоно растућа, а ако је 5 7. y Решење: Функција је дефинисана за y Да бисмо одредили интервале монотоности функције треба да одредимо знак њеног првог извода.

113 Извод функције y y. У тачки има максимум y, зато што у тој тачки први извод мења знак, а у тачки минимум y. Функција је растућа за,,, а опадајућа за,, ma ln а) Одредити нуле и домен дате функције. Дата је функција б) Испитати монотоност и одредити екстремне вредности. Испитати монотоност и наћи екстремне вредности функције y e. 5. Испитати монотоност и наћи екстремне вредности функције y. min Завршни део часа: Домаћи задатак: Задатак 97. г), е), з) и), к) Бонус задатак: Функција је представљена графиком десно. Познато је да један од понуђених графика представља функцију. Који? Образложити одговор.

114 Извод функције

115 Извод функције Редни број часа Екстремне вредности функције вежбање Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљеност за примену знања о изводима, развијање способности за прављење математичког модела Образовни задатак: налажење екстремних вредности и интервала монотоности функција Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развој апстрактног мишљења Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, способност самопроцене Резултат часа: оспособљеност ученика да нађу екстремне вредности и интервале монотоности функција Кључне речи: минимум, максимум, монотоност функције Активности наставника: вођење ученика кроз градиво, избор задатака и помоћ ученицима у њиховом решавању Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Главни део часа: Задаци:. Наћи екстремне вредности функције 8.. Наћи екстремне вредности функције. Наћи екстремне вредности функције sin cos. Наћи екстремне вредности на сегменту, Задатак 98.а), б), д), ж).. Завршни део часа: Домаћи задатак: Задаци: 97.ж), 98.ђ), е), з) х 8 Бонус задатак: (Задатак са матурског испита у Израелу): Површина сваке странице брошуре за козметику треба да буде 6cm.(види слику) a) Изразити помоћу дужине страница. б) Изразити преко површину осенченог дела на слици. в) Наћи тако да површина осенченог дела буде максимална. 8

116 Извод функције

117 Извод функције Редни број часа Екстремне вредности функције проблеми Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљеност за примену знања, развијање способности за прављење математичког модела Образовни задатак: налажење екстремних вредности у практичним ситуацијама, усвајање знања потребних за наставак школовања Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање научног погледа на свет Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја изучавања математике и широке могућности њене примене Резултат часа: оспособљеност ученика да направе математички модел и примене знање о изводима Кључне речи: минимум, максимум функције Активности наставника: вођење ученика кроз градиво и, у сарадњи са њима, прецизно дефинисање појмова, цртање графика, уочавање последица трансформација Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Ђорђе Кртинић: Математика +, Решени задаци са пријемних испита на универзитетима у Србији Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Главни део часа: Задаци са пријемних испита:. Дужина странице квадрата ABCD је a cm. Нека су E и F тачке, редом, на страницама AD и AB такве да је АЕ АF и да је површина четвороугла CDEF максимална. Наћи површину. (Резултат: ).. У фигуру ограничену контуром криве y и осом O уписан је правоугаоник тако да су му два суседна темена на оси O. Колика је максимална површина таквог правоугаоника? ( Резултат: 6).. Око сфере полупречника cm описана је права кружна купа најмање запремине. Наћи висину добијене купе. ( Резултат: cm ).. У сферу полупречника дужине 6 cm уписана је правилна тространа призма највеће запремине. Израчунати висину добијене призме. ( Резултат: 6) 5. У праву купу висине H и полупречника основе R уписан је ваљак максималне површине омотача. Колики су полупречник основе r и висина h тога ваљка? ( Резултат: r R, h H ). 6. Дате су тачке А(,) и В(,). На y оси наћи тачку С тако да израз АС +ВС има најмању вредност. А) С(,/) B) С(,) C) С(,5/) D) С(,/) E) С(,-/) 5

118 Извод функције Завршни део часа: Домаћи задатак:. Обим правоугаоника је cm. Колико износи максимална површина таквог правоугаоника?. У троугао ABC је уписан паралелограм максималне површине тако да му две странице припадају страницама AB и AC датог троугла. Ако је AB c, AC b, A, колика је површина паралелограма?. Максимална површина правоугаоника уписаног у параболички одсечак ограничен параболом y и правом y, тако да му једна страница припада оси, јесте: 8 A) B) C) D) E). У сферу полупречника дужине 9 уписати праву кружну купу највеће запремине. Колика је запремина добијене купе? 5. У сферу полупречника R 6cm уписан је ваљак максималне запремине. Израчунај полупречник основе тог ваљка. 6. Однос полупречника основе и висине правог ваљка који, при датој запремини, има најмању површину, је: А) : B) : C) : D) : E) : 7. Дате су тачке A, aи B, b, a b. Ако се из тачке C,,, дуж види под максималним углом, тада је једнако: a b A) ab B) C) ab a D) bb a E) ab 6

119 Извод функције Редни број часа Конвексност, конкавност и превојне тачке функције Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: примена знања Образовни задатак: оспособљавање ученика за примену другог извода на испитивање конвексности функције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање знања Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања и примене раније стечених знања Резултат часа: оспособљеност ученика да испитају конвексност функције и нађу њене превојне тачке Кључне речи: други извод, конвексност, превојне тачке функције Активности наставника: формулација теорема, мотивисање ученика да повезују знање, избор задатака и помоћ ученицима у њиховој изради Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Главни део часа: y има други извод у интервалу a, b и ако је Теорема: Ако функција функција конвексна на интервалу a, b. Теорема: Ако функција функција конкавна на интервалу a, b. Дефиниција: Тачка у којој функција мења конвексност зове се превојна тачка функције. Задаци: y има други извод у интервалу a, b и ако је Испитати конвексност и наћи превојне тачке функција:. y Решење: Функција је дефинисана на целом скупу реалних бројева. y ; y Значи да је функција конкавна за,,, тада је, тада је Превојна тачка функције, а конвексна за. У тачки функција има превојну тачку. 7

120 Извод функције. y. y Решење: Функција је дефинисана за. Знак другог извода ћемо одредити таблично. y ; y y y Функција је конвексна за,,, конкавна за,. y y e 5. Решење: Функција је дефинисана за свако реално. и има превојну тачку у. y y e e e e e e e y y

121 Функција је конвексна за,,, конкавна за, тачке у и. 6. y ln 7. y ln Решење: Функција је дефинисана за. y ln ln y ln ln e y ln Извод функције и има превојне e y Функција има превојну тачку за e y e Завршни део часа: Домаћи задатак: Задатак 5, 6. 9

122 Извод функције

123 Извод функције Редни број часа Монотоност и конкавност функције вежбање Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање и примену знања Образовни задатак: увежбаност ученика у испитивању особина функција Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања и примене раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и примена раније усвојених појмова Кључне речи: монотоност, конвексност, екстремна вредност, превојне тачке Активности наставника: избор задатака, подела на групе, координација између група, помоћ ученицима у изради задатака Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: графици, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити основне теореме о примени првог и другог извода на испитивање особина функција. Подела ученика на групе. Свака група ради један пример задатка број један и још један задатак. Када заврше замене задатке... Главни део часа:. Одредити тачке минимума и максимума и интервале монотоности функција: а) y 8 ; б) y ; в) г) y ; y e ; д) y ln ; ђ) y. Одредити конвексност, конкавност и наћи превојне тачке функција: y ; y ln.. Показати да функција y 6 нема екстремних вредности.. Доказати да је график функције y arctg свуда конвексан. a a ; а расте за R? 6. Наћи највећу запремину ваљка уписаног у сферу полупречника 6 cm. 7. Колика је максимална запремина праве купе уписане у лопту полупречника R? 5. За које вредности реалног параметра a функција R

124 Извод функције 8. Израчунати збир најмање и највеће вредности функције на сегменту,5 9. Наћи највећу вредност функције 6 6 на сегменту,6 Завршни део часа: Питања ученика и коментари задатака. Задатке које су задавали највише проблема урадити на табли или прокоментарисати грешке и дати упутства..

125 Извод функције Редни број часа Испитивање функција целе функције Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање и примену знања Образовни задатак: увежбаност ученика у испитивању особина функција и цртању графика Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања и примене раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и примена раније усвојених појмова Кључне речи: функција, график Активности наставника: цртање графика функције, избор задатака, подела на групе, координација између група, помоћ ученицима у изради задатака Активности ученика: испитивање особина функција и цртање графика Наставна средства: креде у боји Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити које особине функција ученици знају: Домен, парност, периодичност, асимптоте, нуле, знак, монотоност, екстремне вредности, конвексност, превојне тачке. Поделити ученике у групе. Свака група треба да испита једну или више особина функције. Након десетак минута представници групе исписују резултате на табли уз коментар свих ученика. Цео разред учествује у цртању графика. Прво у својим свескама, а затим и на табли уз разрешавање недоумица. Главни део часа: Испитати функцију и скицирати њен график 8. в) y. Домен: функција је дефинисана над целим пољем реалних бројева.. Парност:. Функција није ни парна ни непарна.. Периодичност: Функција очигледно није периодична (ову особину нећемо испитивати код функција које је очигледно немају).. Асимптоте: Функције облика полинома немају асимптоте пошто су дефинисане и непрекидне на читавом скупу R. (Уколико је потребно испитати). 5. Нуле: Поновити Безуов став и наћи нуле функције и коришћењем Безуовог става. 6. Знак: y

126 Извод функције y y 8.Екстремне вредности: yma ; ymin Конвексност: y y. Превојне тачке:. График: y 7 7 Поделити ученике у групе и свака група нека ради неки од примера из задатка 8. Завршни део часа: Домаћи задатак: Завршити започете задатке. Уколико је све завршено на часу групе нека размене задатке и ураде по један код куће.

127 Извод функције Редни број часа Испитивање функција рационалне функције Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање и примену знања Образовни задатак: увежбаност ученика у испитивању особина функција и цртању графика Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања и примене раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и примена раније усвојених појмова Кључне речи: функција, график Активности наставника: цртање графика функције, избор задатака, подела на групе, координација између група, помоћ ученицима у изради задатака Активности ученика: испитивање особина функција и цртање графика Наставна средства: креде у боји Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Поделити ученике у групе. Свака група треба да испита једну или више особина функције. Након десетак минута представници групе исписују резултате на табли уз коментар свих ученика. Цео разред учествује у цртању графика. Прво у својим свескама, а затим и на табли уз коментар недоумица. Главни део часа: Испитати функцију и скицирати њен график y. Домен: Функција је дефинисана за, тј.,,,.. Парност:. Функција је непарна.. Асимптоте: Вертикалне асимптоте су lim lim lim lim lim lim, значи y је хоризонтална асимптота. Хоризонталне: y lim. Нуле: 5

128 Извод функције 5. Знак: y Монотоност: y y y Екстремне вредности: Функција нема екстремне вредности. 9. Конвексност: y y y. Превојне тачке: y. График: Завршни део часа: Домаћи задатак: Задатак:. Сваки пар из клупе добија по један пример. 6

129 Извод функције Редни број часа Испитивање функција експоненцијална функција Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање и примену знања Образовни задатак: увежбаност ученика у испитивању особина функција и цртању графика Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања и примене раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и примена раније усвојених појмова Кључне речи: функција, график Активности наставника: цртање графика функције, избор задатака, подела на групе, координација између група, помоћ ученицима у изради задатака Активности ученика: испитивање особина функција и цртање графика Наставна средства: креде у боји Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Поделити ученике у групе. Свака група треба да испита једну или више особина функције. Након десетак минута представници групе исписују резултате на табли уз коментар свих ученика. Цео разред учествује у цртању графика. Прво у својим свескама, а затим и на табли уз коментар недоумица. Главни део часа: Испитати функцију и скицирати њен график. Домен: Функција је дефинисана за y e,,. тј.. Парност: e. Функција није ни парна ни непарна. Пошто је домен симетричан парност можемо проверити и заменом вредности нпр. за y e, а за y, па функција није e ни парна ни непарна.. Асимптоте: Вертикалне: Треба уочити да је е ; е lim e e e lim e lim lim e Десна гранична вредност је израчуната применом Лопиталове теореме. Функција има вертикалну асимптоту само с десне стране. 7

130 Извод функције Косе: y k n k lim lim e e ; Коса асимптота је права y.. Нуле: Функција нема нуле. n lim lim lim k e e lim e 5. Знак: 6. Монотоност: 7.Екстремне вредности: ymin e 8. Конвексност: y e е y e y е y y е y y 9. Превојне тачке: нема. График: Завршни део часа: Домаћи задатак: y e ; y e ; y e ; y e 8

131 Извод функције Редни број часа Испитивање функција логаритамска функција Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање и примену знања Образовни задатак: увежбаност ученика у испитивању особина функција и цртању графика Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања и примене раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и примена раније усвојених појмова Кључне речи: функција, график Активности наставника: цртање графика функције, избор задатака, подела на групе, координација између група, помоћ ученицима у изради задатака Активности ученика: испитивање особина функција и цртање графика Наставна средства: креде у боји Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Поделити ученике у групе. Свака група треба да испита једну или више особина функције. Након десетак минута представници групе исписују резултате на табли уз коментар свих ученика. Цео разред учествује у цртању графика. Прво у својим свескама, а затим и на табли уз коментар недоумица. Главни део часа: Испитати функцију и скицирати њен график y ln. Домен: Функција је дефинисана за,.. Парност: Због несиметричности домена функција није ни парна ни непарна.. Асимптоте: Вертикална: ln lim ln lim lim, па функција нема вертикалну асимптоту. Коса: y k n, тј. k lim lim ln Функција нема ни косу асимптоту (ни хоризонталну, пошто је коса за k хоризонтална.). Нуле: ln ln e 9

132 Извод функције 5. Знак: ln y Монотоност: y ln e y ln y 7.Екстремне вредности: 8. Конвексност: ymin e e y y 9. Превојне тачке: нема. График: Поделити ученике у групе и свака група нека ради неки од примера из задатка 8. Завршни део часа: Домаћи задатак:.а), б)

133 Извод функције Редни број часа Испитивање функција ирационалне функције Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање и примену знања Образовни задатак: увежбаност ученика у испитивању особина функција и цртању графика Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања и примене раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и примена раније усвојених појмова Кључне речи: функција, график Активности наставника: цртање графика функције, избор задатака, подела на групе, координација између група, помоћ ученицима у изради задатака Активности ученика: испитивање особина функција и цртање графика Наставна средства: креде у боји Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Поделити ученике у групе. Свака група треба да испита једну или више особина функције. Након десетак минута представници групе исписују резултате на табли уз коментар свих ученика. Цео разред учествује у цртању графика. Прво у својим свескама, а затим и на табли уз коментар недоумица. Главни део часа: Испитати функцију и скицирати њен график y. Домен: Функција је дефинисана за,.. Парност: Због несиметричности домена функција није ни парна ни непарна.. Асимптоте: lim Коса: y k n k lim n lim lim, тј. Функција нема ни косу ни хоризонталну асимптоту. lim

134 Извод функције. Нуле: 5. Знак: y Монотоност: y y ++++ y 7.Екстремне вредности: нема 8. Конвексност: y y y 9. Превојне тачке: нема. График: Завршни део часа: Домаћи задатак: 8.ђ), е)

135 Извод функције Редни број часа Испитивање функција Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање и примену знања Образовни задатак: увежбаност ученика у испитивању особина функција и цртању графика Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања и примене раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и примена раније усвојених појмова Кључне речи: функција, график Активности наставника: цртање графика функције, избор задатака, подела на групе, координација између група, помоћ ученицима у изради задатака Активности ученика: испитивање особина функција и цртање графика Наставна средства: креде у боји Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: У договору са ученицима испитивати неку од функција. Главни део часа: Испитати промене и нацртати график функције: y ln. Домен: Функција је дефинисана за, тј.,.. Парност: Због несиметричности домена функција није ни парна ни непарна.. Асимптоте: Коса: y k n k lim lim n lim ln ln lim ln, применити Лопиталову теорему нпр. Функција нема ни косу ни хоризонталну асимптоту.. Нуле: ln, одакле је ln, пошто функција није дефинисана за једина нула функције је ln e

136 Извод функције 5. Знак: ln y Монотоност: y ln 7.Екстремне вредности: за е ln y y e функција има минимум ymin e 8. Конвексност: y ln y ln = e y 9. Превојне тачке: Функција има превојну тачку за. График: e Завршни део часа: Питања ученика и предлог задатака за вежбање у зависности од знања ученика.

137 Интеграл. Интеграл Неодређени интеграл. Основна правила о интегралу; таблица основних интеграла; интеграли неких елементарних функција. Метод замене, метод парцијалне интеграције. Одређени интеграл; Њутн-Лајбницова формула (без доказа). Примене одређеног интеграла (ректификација, квадратура, кубатура). Редни број часа Појам примитивне функције и неодређеног интеграла. Својства неодређеног интеграла Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења. Усвајање знања потребних за наставак школовања. Образовни задатак: усвајање и правилно дефинисање појма неодређеног интеграла и његових особина. Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање способности за апстрактно мишљење Васпитни задатак: схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: усвајање појма неодређеног интеграла Кључне речи: неодређени интеграл Активности наставника: увођење новог појма, активирање ученика у повезивању градива са изводом Активности ученика: учествовање у извођењу особина неодређеног интеграла. Израда једноставнијих задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити: Инверзне операција множење, дељење; инверзне функције степена, корен; експоненцијална, логаритамска,..., диференцијал функције. Главни део часа: Дефиниција: Нека је функција примитивна функција дате функције у интервалу Пример: Примитивна функција функције што је R функције дефинисана на интервалу a,b. Функција F назива се a,b уколико важи a,bf, која је дефинисана за R. Али и функције F ; F 8. Дакле, примитивна функција није једнозначно одређена.. је функција F, зато су примитивне функције 5

138 Интеграл F примитивна функција функције на интервалу a,b F, где је C произвољна константа, такође примитивна функција функције Теорема: Ако је C Доказ: a,bf C F. Теорема: Свака непрекидна функција на интервалу,b функцију. Дефиниција: Скуп свих примитивних функција неодређени интеграл функције и обележава се Задатак:. d, тада је и функција. a има на том интервалу примитивну F неке функције d. (Први је ознаку за интеграл увео Лајбниц.) (Последица дефиниције неодређеног интеграла.). d C у интервалу,b a зове се Проверити да ли важи: Решење: d C d cos cos Може се закључити да не важи d C. d, али d. d C d d C d tg C cos cos d d пошто нпр. за C. d d важи Теорема: C d C d Теорема: Уколико постоје d; gd, важи gd d g 5. Из претходне две теореме може се закључити да важи: Пример: e a bgd a d b gd, уколико постоје d g d e C, зато што је R e C e d ; d. Задатак:.а), б), в), г), д),и), ј) Завршни део часа: Домаћи задатак: Аналогно таблици извода ученици треба да направе таблицу интеграла. 6

139 Интеграл Редни број часа Основна правила интеграције. Таблица основних интеграла Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: уочавање везе између таблица извода и интеграла Образовни задатак: формирање и усвајање табличних интеграла Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање градива, развијање апстрактног мишљења, оспособљавање за коришћење аналогија Васпитни задатак: развијање позитивног става према настави математике, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: усвајање таблице неодређених интеграла Кључне речи: неодређени интеграл Активности наставника: вођење и мотивисање ученика за повезивању градива са изводом Активности ученика: израда таблице интеграла, израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Поновити правила интеграције. Главни део часа: d n d d a d, a, a e d d d d cos d sin d ТАБЛИЦА НЕОДРЕЂЕНИХ ИНТЕГРАЛА C R n C n n R n ln C a C ln a e C R sin cos C R cos sin C R tg C k; k Z d ctg C k ; k Z arcsin C arctg C R 7

140 Интеграл Исписати на једном делу табле таблицу интеграла коју ће ученици током часа користити при изради задатака. Задаци: Израчунати интеграле:. (6.а) d d.. 5 d Решење: d d C C Завршни део часа: Ученици треба на хамеру да направе таблицу интеграла. Домаћи задатак: Задаци:.ђ),ж), 5.д),е), 6.д),ј), 7.и) 8 Решење: Применом правила за налажење неодређеног интеграла добијамо. 5 d 5 5. d 6. 5 C 5 d d d 5d 5 5 d d d ln 5 Решење: 5 ln C d 7. (6.ђ) d e 8. (7.в) d 9. sin а d. (8.в) tg d cos. (8.а) d cos sin 5 C d ln 5 C cos cos sin Решење: d d d cos sin cos sin sin cos d ctg tg C

141 Интеграл Редни број часа Интеграли који се своде на табличне вежбање Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, рад у пару Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: увежбаност у примени стечених знања Образовни задатак: препознавање табличних интеграла и њихово решавање, оспособљеност за примену особина неодређеног интеграла Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: употреба математичког језика, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: способност ученика да израчунају интеграле који се своде на табличне Кључне речи: интеграл, таблица Активности наставника: вођење и активирање ученика у повезивању градива Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити таблицу интеграла. Нпр. сваки пар из клупе нека напише по један таблични интеграл на табли, као и правила интеграције. Главни део часа: Задаци:. (.е). (6.з) d. 7. г d. (6.ј) d 5. (6.м) d 6. e (7.ж) e d d 7. (9.б) d d d d 8. (9.в) d arctg C 9

142 Интеграл d 9. cos sin Завршни део часа: Коментари задатака, питања ученика и сл. Домаћи задатак: Задаци:.г),з), 5.а),ђ), 6.в),ж),к), 7.а),з), 8.б),е), 9.д), е)

143 Интеграл Редни број часа Метода замене код неодређеног интеграла Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, оспособљеност за коришћење математичког језика и аргументације Образовни задатак: оспособљеност ученика за правилну употребу замене код одређеног интеграла Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: употреба математичког језика, развијање прецизности и уредности Резултат часа: способност ученика да препознају задатак који се ради методом замене и да је изврше Кључне речи: неодређени интеграл, метода замене Активности наставника: вођење и активирање ученика у повезивању градива Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Павле Миличић, Драган Бањевић, Драгољуб Аранђеловић, Зоран Ивковић: Математика са збирком задатака за IV разред Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Уочити да се нпр. интеграл sin d не може израчунати само коришћењем таблице и правила интеграције. Главни део часа: Примери: Констатовати, заједно са ученицима, да нису сви интеграли таблични (кроз примере):. (.а) 5 d Решење: Уведимо смену 5 t. Диференцирањем ове једнакости добијамо d dt. Заменом у интеграл добијамо t dt t C 5 C. (.ж) cos d Решење: уводимо смену t d dt d dt и добијамо cos tdt sin t C sin C Може се закључити да важи cos ad sin a C; а. a

144 Интеграл Теорема: Ако је функција интервалу J I, тада важи g t непрекидна на интервалу I, и функција g d gt g' t dt, g t, d gd Ову формулу користимо за интеграцију сложених функција. диференцијабилна на Задаци: e. d e. 5 d Решење: Смена 5 t d dt d dt. dt ln t C ln 5 C t. d Решење: Смена 6 t d dt 6 dt ln t C ln 6 C t. 5. d 5 9 d d dt arcsin arcsin ; a t C C а a a t a a a Смена t. Ово се може записати и као a d d a arcsin C a a a d d 6. (.а) Решење: Смена t d dt d dt arctgt C arctg C t d

145 Интеграл e 8. d d Решење: Смена t dt t t e dt e C e C ln 9. (.д) d d. Решење: Смена ln dt t ln t ln t d C ln ln C dt Завршни део часа: Домаћи задатак:.б),ђ),ј),.г),5.а)б), 8.б),з), 9.а),.и)

146 Интеграл

147 Интеграл Редни број часа Метода замене вежбање Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, усвајање знања потребних за наставак школовања Образовни задатак: увежбаност у одређивању интеграла методом замене Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање способности за апстрактно мишљење Васпитни задатак: развијање сарадње међу ученицима, неговање тимског духа, вршњачка едукација Резултат часа: усвајање појма неодређеног интеграла Кључне речи: неодређени интеграл, метода замене Активности наставника: подела ученика на групе, избор задатака, координација између група Активности ученика: израда задатака, међусобна помоћ у изради задатака Наставна средства: креда, табла, листићи са задацима Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: На неком од примера и кроз коментар домаћег задатка поновити усвојено на претходном часу: sin tg d Упутство: tg d = d cos Главни део часа:. Смена cos t. (.г) sin cos d Упутство: Смена cos t. d cos ln. d cos sin d d d cos d sin C. d t t (8.к) Решење: Смена tg t, cos sin sin t t Диференцирањем ове једнакости добијамо d dt tg d dt d dt t cos dt d t ln t C ln tg C sin t t 5

148 Интеграл dtg d d d Други начин: ln tg C sin sin cos tg cos tg Задатке можемо урадити коришћењем различитих смена. d. може да се реши увођењем смене t t одакле се добија t tdt t arcsin t C arcsin C. Задатак се може урадити и коришћењем смене sin t sin t cos t интеграл једнак dt t C arcsin C sin t cos t sin t t arcsin, па је дати. Слично се интеграл d може решити коришћењем смена или tgt t Задаци: 8.в),д),и), 9.в),.в),ј) Завршни део часа: Коментари и питања. Домаћи задатак: 9.е),л), 9.д),.е),.ж) 6

149 Интеграл Редни број часа Метода замене вежбање Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, усвајање знања потребних за наставак школовања Образовни задатак: увежбаност у одређивању интеграла методом замене Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, оспособљеност за апстрактно мишљење Васпитни задатак: развијање сарадње међу ученицима, неговање тимског духа, вршњачка едукација Резултат часа: усвајање појма неодређеног интеграла Кључне речи: неодређени интеграл, метода замене Активности наставника: подела ученика на групе, избор задатака, координација између група Активности ученика: израда задатака, међусобна помоћ у изради задатака Наставна средства: креда, табла, листићи са задацима Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћих задатака. Подела ученика на групе и подела задатака. Главни део часа: Прва група: d; а a b Решења: ln а d; 5 e 5 d; arcsin d 5 a b C; 5 5 C; e C; arcsin C Друга група: 6 Решења: d; 5 C; 5 d 5 ; C; e e d; C; d ln ln ln C 7

150 Интеграл 8 Трећа група: arctg ; ; sin ; 6 6 d d d d Решења: C C C C arctg ; ; cos ; 6 ln Са целим одељењем урадити на табли:.б) Одреди F ако је, F F Завршни део часа: Домаћи задатак:.а),.г),е), 5.б),ж), 6.ђ), 8.а), 9.г)

151 Интеграл Редни број часа Метода парцијалне интеграције Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, усвајање знања потребних за наставак школовања Образовни задатак: усвајање и примена парцијалне интеграције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, оспособљеност за апстрактно мишљење Васпитни задатак: неговање прецизности и уредности Резултат часа: оспособљеност ученика да самостално реше задатак парцијалном интеграцијом Кључне речи: парцијална интеграција Активности наставника: увођење новог појма, мотивисање и активирање ученика да повезују градиво са изводом Активности ученика: уочавање особина неодређеног интеграла, израда једноставнијих задатака Наставна средства: збирка, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити правило за извод производа. Главни део часа: Теорема: Нека су,g g, онда постоји и интеграл g d диференцијабилне функције. Ако постоји неодређени интеграл d и важи једнакост gd gg d Ради лакшег памћења формуле може се написати d du;g d dv облик: Доказ: Интеграцијом формуле за извод производа добија се: uv uv vu uv d uvd uv udv uv udv uv vdu udv vdu vdu vud, па формула добија 9

152 Интеграл Задаци:. (.ђ) ln d d Решење: ln u du (диференцирањем), d dv; d dv v C d (интеграљењем) ln d ln ln C. (.г) e d Решење: u d du, e. sin d Решење: u d du d dv cos v d dv e sin, I d cos cos d cos sin v. (.а) e sin d Решење: e u e d du, sin d dv cos v Ову парцијалну интеграцију поновимо два пута. sin C sin d I e sin d e cos e cos d e cos e sin e sin d e cos e sin I Уколико дату једнакост схватимо као једначину у којој је непознат интеграл, добијамо I e cos e sin I e cos e sin C 5. (.з) d 6. (.и) arctg Резултат: arctg ln C d cos Резултат: tg ln cos C Завршни део часа: Домаћи задатак:.б),и),ј),м), њ),.г) 5

153 Интеграл Редни број часа Метода парцијалне интеграције вежбање Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, развој логичког мишљења, усвајање знања потребних за наставак школовања Образовни задатак: усвајање и правилно дефинисање појма неодређеног интеграла и његових особина Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање способности за апстрактно мишљење Васпитни задатак: схватање значаја повезивања раније стечених знања, вршњачка помоћ при учењу Резултат часа: развијање способности ученика да самостално ураде задатак применом парцијалне интеграције Кључне речи: парцијална интеграција Активности наставника: подела ученика на групе, избор задатака и координација међу групама, као и међу члановима група Активности ученика: израда задатака, помоћ другима у раду Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити поступак парцијалне интеграције: Подела ученика на групе. udv uv vdu. Главни део часа: Прва група: cos d; e d; e cos d; arctg d Решења: C; e sin cos C; arctg ln C sin cos C; e Друга група: e d; 5 6cos d; arctg d; cosln d Решења: е C; 5 sin 5 sinln cosln C cos C; 5 arctg arctg C;

154 Интеграл Трећа група: d; Решења: ln ln d; cos 8 ln d; C; tg ln cos C; Завршни део часа: Вредновање рада ученика. ln d ln C; ln C 5

155 Интеграл Редни број часа Интеграција рационалних функција Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, усвајање знања потребних за наставак школовања, уочавање аналогија Образовни задатак: разумевање и усвајање интеграције рационалних функција Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, оспособљавање за апстрактно мишљење, развијање способности за уочавање и примену аналогија Васпитни задатак: схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: оспособљавањеученика да израчунају интеграле рационалне функције Кључне речи: интеграл рационалне функције Активности наставника: систематизација интеграла рационалних функција Активности ученика: учествовање у налажењу неодређених интеграла рационалних функција коришћењем упутстава наставника Наставна средства: збирка, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: n an... a a Дефиниција: Функција облика ; m bm... b b m, n N ; an, bm (која представља количник два полинома) зове се рационална функција. Посматрајмо најпре случајеве када је степен бројиоца мањи од степена имениоца, тј. n m. Пример: Поновити d. решавамо сменом t d dt. Дати интеграл се своди на dt ln t C ln C t Главни део часа: Интеграли са квадратним триномом у имениоцу: (Само овакве интеграле урадити) Идеја је трансформација квадратног тринома на канонски облик a b c a. p q I случај: Квадратни трином нема реалне нуле. Интеграл облика d, када је a b c а) m d d d dt (6.а) arctgt C arctg 5 t Смена t. б) m C 5

156 Интеграл 5 (6.б) C d d d d d d arctg 5 ln II случај: Квадратни трином има реалне нуле. а) Трином има двоструку нулу C d d d б) Трином има два различита корена C d d d ln ln b a b a b a b a b a b b a a b a III случај: Интеграл облика d c b a r q p се дељењем полинома своди на претходне случајеве. Пример: C d d ln Завршни део часа: Домаћи задатак: 6.б),7.б),8.а), б)

157 Интеграл Редни број часа Одређени интеграл дефиниција и особине Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка, илустрација Циљ часа: схватање могућности примене стечених знања Образовни задатак: усвајање и правилно дефинисање појма одређеног интеграла и његових особина Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање способности за примену знања Васпитни задатак: схватање значаја изучавања математике, развијање интересовања за математику Резултат часа: усвајање појма одређеног интеграла и схватање његове примене Кључне речи: одређени интеграл, границе Активности наставника: увођење новог појма, мотивисање ученика у повезивању градива са неодређеним интегралом Активности ученика: учествовање у извођењу особина одређеног интеграла, Израда једноставнијих задатака Наставна средства: збирка, креда, табла, компјутер, видео бим Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Површине многоуглова, круга и сл. израчунавају се помоћу различитих формула. Међутим, уколико треба да израчунамо површину фигуре са слике не можемо употребити ниједну од до сада познатих формула. a b Главни део часа: непрекидна и ненегативна на сегменту Претпоставимо да је функција a,b. Поделимо одсечак a,b на n делова тачкама,,...,n ; a,n b, при чему је... n. Уочимо правоугаонике уписане у овај криволинијски трапез. Основице правоугаоника су дужи,,..., n n, што можемо означити са,,..., n,а висине трапеза су ординате тачака m,m,...,mn, где смо са m i означили mi min на одсечку i i. Збир површина свих правоугаоника је на тај начин m m m... m m. n n n i i i 55

158 Интеграл Уколико са M i означимо на одсечку i i збир површина свих ових правоугаоника је на тај начин ma n n n i M M M... M M. Може се уочити да је m P M, где смо са P означили површину криволинијског трапеза. i i Уколико збир површина уписаних и описаних правоугаоника ће се све више приближавати један другом, а самим тим и површини криволинијског трапеза. 56

159 дефинисана и ограничена на сегменту Интеграл Дефиниција: Нека је функција a,b. Нека је дата подела сегмента a,b a... n n b и нека је на сваком сегменту i i изабрана тачка n i i i i i i ;i,,,..., n. Збир ; назива се интегрална сума функције која одговара датој подели сегмента a,b и избору тачака i ;i,,,..., n. Означимо са највећи сегмент у подели, i,,,..., n. Нека дужине сегмената теже нули, односно i i i и уколико постоји гранична вредност интегралне суме lim I независно од избора тачака I се зове одређени интеграл функције i на сегменту,b b a d a и означава Ако постоји претходна гранична вредност функција је интеграбилна на сегменту a,b. (Симбол за интеграл је стилизовано латинично слово S сума) монотона и ограничена на a,b Теорема: Ако је функција одсечку. Теорема: Ако је функција непрекидна на сегменту a,b, тада је она интеграбилна на том, онда је и интеграбилна на том сегменту. i број Особине одређеног интеграла: Ако су функције g b. C d C a b, интеграбилне важи: b a d. gd d g a b d ; b a. Ако постоји c a b a b a d и ако је c произвољна тачка a c b, тада постоје интеграли d; d и важи једнакост d d c b a c d.. Ако је функција интеграбилна на сегменту a,b и за a,b b a d. 5. Нека су,g интеграбилне функције на сегменту,b a b c a и нека је g ; a,b, тада важи неједнакост d g b a d. b a, тада је 57

160 Интеграл 6. Ако је интеграбилна на сегменту a,b, тада је и функција интеграбилна на том сегменту и важи неједнакост d b 7. d a Завршни део часа: a b d, последица дефиниције интеграла. b a b d. Уколико постоје могућности у програму GeoGebra или неком сличном приказати доњу и горњу суму и како се оне мењају кад се број деоних тачака повећава. Домаћи задатак: Неко од ученика нека припреми причу о математичком сукобу Њутна и Лајбница. a 58

161 Интеграл Редни број часа Њутн-Лајбницова формула Тип часа: обрада Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка, илустрација Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, схватање значаја улоге математике кроз историју Образовни задатак: оспособљеност ученика да примене Њутн-Лајбницову формулу Функционални задатак: развијање радозналости и интересовања ученика за математику, развијање способности самосталног краћег излагања Васпитни задатак: схватање важности изучавања математике кроз историју, развијање позитивног става према математици Резултат часа: оспособљеност ученика да израчунају одређени интеграл Кључне речи: одређени интеграл, границе интеграла, Њутн-Лајбницова формула Активности наставника: помоћ ученицима у приказу историјског сукоба Њутна и Лајбница, увођење Њутн-Лајбницове формуле Активности ученика: прича о математичком сукобу Њутна и Лајбница, израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа; National Geographic Srbija; Лајбницова инфинитезимална метода- Димитрије Нешић, Архимедес, Београд,996 Уводни део часа: Прокоментарисати домаћи задатак. У складу са могућностима приказати неку анимацију са горњом и доњом сумом. Главни део часа: дефинисана и непрекидна функција на сегменту,b Теорема (Њутн-Лајбницова): Ако је је F било која њена примитивна функција, тада важи формула b d Fb Fa. a a и ако Доказ: Извршимо поделу сегмента a,b a... n n b. Примитивна функција функције F и важи F. F је b Fa F F F F F F F F F n n n n n... На основу Лагранжове теореме о средњој вредности важи добијамо F k F k F k k k k k k сегмента,, важи: k k F F k k k k F k. Одавде. Ако са означимо дужину најдужег 59

162 Интеграл b n F b F a lim n i i i i Како је d lim, следи d Fb Fa a i i i i Пример: d ln ln ln ln b a. Задаци: Применом Њутн-Лајбницове формуле израчунати одређене интеграле:. 8 8 d Решење: d.. d. cos d 6 d. sin d d Решење: d d d d d 7. d e 8. d d 9. d Решење: arctg arctg arctg Завршни део часа: Домаћи задатак: Задатак:. 6

163 Интеграл Редни број часа Њутн-Лајбницова формула - вежбање Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање за примену знања, схватање значаја и могућности примене математике Образовни задатак: увежбаност ученика у израчунавању одређеног интеграла Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину Васпитни задатак: схватање значаја повезивања раније стечених знања, вршњачка едукација Резултат часа: оспособљеност ученика за налажење одређеног интеграла Кључне речи: интеграл, границе, Њутн-Лајбницова формула Активности наставника: подела ученика на групе, избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити Њутн-Лајбницову формулу. Неко од ученика: Спор Њутна и Лајбница око тога ко је први дошао до формуле претворио се у опште ривалство енглеске и континенталне школе математике. Континенталну школу су заступали математичари Француске, Швајцарске и Немачке. Њутнова победа допринела је стагнирању енглеске школе и стварању преимућства пре свега француске школе. Док се Њутнов приступ базирао на кинетици, Лајбницов је био више геометријски и значајније је утицао на развој математике, нарочито на Декарта и Паскала. Овај проналазак данас припада обојици, великим математичарима не само 7-ог века већ једних од највећих умова свих времена. Подела ученика на групе. Главни део часа: Прва група: (.а) е d d d d d cos Друга група: (.б) d 5 8 d d 5d d sin Трећа група: (.в) sin d e d 8 d d d 6

164 Интеграл Четврта група: (.ж) d 7e d cos d d d Кад нека група заврши рад, дати јој задатке неке од преосталих група. Завршни део часа: Израда најкарактеристичнијих примера на табли. Размена задатака између група за домаћи задатак. 6

165 Интеграл Редни број часа Метода замене код одређеног интеграла Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика за примену стеченог знања Образовни задатак: схватање примене методе замене код одређеног интеграла Функционални задатак: развијање свести о значају примене стечених знања Васпитни задатак: схватање значаја изучавања математике и могућности њене примене, неговање прецизности и уредности Резултат часа: оспособљеност ученика да реше одређени интеграл методом замене Кључне речи: одређени интеграл, границе, метода замене Активности наставника: формулисање теореме, израда и избор задатака Активности ученика: израда задатака Наставна средства: збирка, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити методу замене код неодређеног интеграла на неком једноставнијем примеру. Нпр. e d... arcsin e C e Главни део часа: дефинисана и непрекидна на сегменту a,b. Нека је функција g t, и. Ако је a,g b и Теорема: Нека је функција дефинисана и непрекидна на сегменту t, g t a, b t, g t који је непрекидан, тада важи формула Задаци: b a d gg t Важно је уочити да се приликом замене променљиве, морају заменити и границе интеграла.. d Решење: Смена d. dt t 6 d dt d dt, за је t, а за је t 6 5 t d 6 t dt

166 Интеграл d.. ln d 9 5. e d e t e d tdt Решење: Смена dt d e t e t ln t dt e d arctg dt t t t 6. sin cos d Завршни део часа: Домаћи задатак: 7. 6

167 Интеграл Редни број часа Метода замене код одређеног интеграла вежбање Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка, илустрација Циљ часа: оспособљавање ученика за самостално решавање проблема Образовни задатак: увежбаност ученика у израчунавању одређеног интеграла Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину Васпитни задатак: развијање способности процене сопственог нивоа знања. Неговање упорности и систематичности, развијање способности за процену сопственог знања Резултат часа: увежбаност ученика у решавању одређених интеграла Кључне речи: интеграл, границе, замена Активности наставника: вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: збирка, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Уочити да је cos d због тога што је функција чији се интеграл израчунава непарна, а границе симетричне. Ту особину можемо искористити у решавању неких задатака нпр. d d Главни део часа: Исписати све задатке на табли (или само 5-6 задатака) и оставити ученицима да сами бирају задатак који су способни да ураде. Након 5-6 минута бирати ученике (или задатке) и радити их на табли. 65

168 Интеграл Задаци: d sin d d tgd e d 9 d ln е d d d cos Завршни део часа: Оцењивање ученика и коментарисање проблема који су настали током израде задатака. 66

169 Интеграл Редни број часа Метода парцијалне интеграције код одређеног интеграла Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика да направе аналогију међу проблемима Образовни задатак: оспособљеност ученика да изврше парцијалну интеграцију одређеног интеграла Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих знања Васпитни задатак: схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: оспособљеност ученика да самостално изврше парцијалну интеграцију одређеног интеграла Кључне речи: парцијална интеграција Активности наставника: израда и избор задатака и помоћ ученицима у изради задатака Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити парцијалну интеграцију код неодређеног интеграла нпр. e d. Главни део часа: Теорема: Нека су функције u u,v непрекидне на сегменту,b 67 a и нека имају непрекидне изводе b,v за a,b, тада важи формула u v d u v vu a Задаци:. (8.а) cos d Решење: u d du, cos d dv sin v cos sin sin cos d d e. ln d.. e d e d b a b a d

170 Интеграл e 5. (8.б) ln d Завршни део часа: Домаћи задатак: 8.в),д),ж),з),и) 68

171 Интеграл Редни број часа Метода парцијалне интеграције код одређеног интеграла вежбање Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, рад у пару Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања Образовни задатак: увежбаност ученика у израчунавању одређеног интеграла парцијалном интеграцијом Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: схватање значаја повезивања раније стечених знања, развијање способности за процену сопственог напредовања, мотивисање ученика за рад Резултат часа: разумевање методе парцијалне интеграције и оспособљеност ученика да је примене на израчунавање одређеног интеграла Кључне речи: парцијална интеграција Активности наставника: избор задатака, подела ученика на групе и координација између група Активности ученика: израда задатака, помоћ другима у решавању задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поделити сваком пару у клупи по један задатак. Главни део часа: Након 6-7 минута пар који је први урадио задатак ради га на табли и након тога бира нови пар који ради задатак... d ; arctg d; e ln d ; d; e d ; d; 8 d ; ln e d; tgd ; cos sin cos d sin d; cos Завршни део часа: Коментар задатака и грешака које су се појављивале током рада. 69

172 Интеграл Редни број часа Примена одређеног интеграла на израчунавање површине равне фигуре Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка, илустрација Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, схватање могућности примене интеграла Образовни задатак: разумевање поступка за израчунавање површина помоћу одређеног интеграла Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину Васпитни задатак: схватање значаја повезивања раније стечених знања. Схватање широких могућности примене математике Резултат часа: оспособљеност ученика да израчунају површину равне фигуре применом одређеног интеграла Кључне речи: график, површина, одређени интеграл Активности наставника: вођење ученика кроз градиво, израда цртежа и задатака на табли, избор задатака Активности ученика: уочавање случајева, који зависе од особина функције, који могу да се појаве при израчунавању површине фигура, израда задатака Наставна средства: креда, табла, цртеж Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити дефиницију одређеног интеграла. Приказати цртеж или га нацртати, у зависности од опремљености. Главни део часа: У складу са дефиницијом можемо формулисати следеће тврђење: Теорема: Нека је функција дефинисана и непрекидна на сегменту,b a,b (Слика ). Тада је површина криволинијског трапеза ограниченог и правама a b једнака Размотрићемо неке случајеве који могу наступити у зависности од типа функције. Слика : Функција је на сегменту a,b непрекидна, али је криволинијског трапеза је онда P b a d a и нека је за осом кривом y за a,b. Површина P b a d 7

173 Интеграл y a b a b y y y g y a b a c d b Слика : Ако су дате непрекидне функције,g a, b; a b и ако је g за a,b функцијама на интервалу а, b једнака: чији се графици секу у тачкама чије су апсцисе, онда је површина равне фигуре ограничене овим b P g a d c Слика : P d d a d c Пример: Израчунати површину фигуре ограничене параболом y, осом и правама,. Решење: P d 8 7 b d d Задаци:. Израчунати површину фигуре ограничене кривом y и правом y. 7

174 Интеграл. Израчунати површину фигуре ограничене кривом y и правом y. Напомена: Површина се може израчунати одједном пошто је интеграл између праве и х-осе негативан његовим одузимањем површине се сабирају. Уколико је потребно урадити на оба начина са ученицима.. Израчунати ln d. d ln u du; d dv v t Вредност интеграла се добија парцијалном интеграцијом, па се интеграл даље решава сменом Уколико се израчунава површина ограничена кривом и -осом на истом интервалу, треба уочити да је функција непарна, па се интеграл рачуна P ln ln 5 dt 5 ln 5 t 5 5 ln 5 d dt ln 5 ln 5 ln5 I ln 5 ln t 5 d t Завршни део часа: Домаћи задатак:.а),в),.б),д),ј),њ) 7

175 Интеграл Редни број часа Израчунавање површина помоћу одређеног интеграла вежбање, часа Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: развијање способности за примену знања Образовни задатак: увежбаност ученика у израчунавању површина, повезивање раније стечених знања о кривама Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности,оспособљеност за повезивање различитих информација Васпитни задатак: схватање значаја и могућности примене математике, процена нивоа сопственог знања, вршњачка едукација Резултат часа: правилно цртање слике и израчунавање површине Кључне речи: одређени интеграл, границе, површина, график Активности наставника: подела ученика на групе, избор задатака, координација између група Активности ученика: израда задатака, помоћ другим ученицима Наставна средства: креда, табла, листићи са задацима Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Први час: Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Подела ученика на групе и подела задужења. Главни део часа: Прва група:. Израчунати површину фигуре ограничене кривом y 6 и правом y.. У тачки са апсцисом конструисана је тангента криве y 9. Наћи једначину ове тангенте и површину фигуре ограничене тангентом, y осом и параболом.. Израчунати површину фигуре ограничене кривим линијама y y. 7

176 Интеграл Друга група:. Израчунати површину фигуре ограничене кривом y и правом y 6.. Израчунати површину фигуре ограничене параболама y y 6.. Израчунати површину фигуре ограничене кривим y y. Трећа група:. Израчунати површину фигуре ограничене параболом y и правом y.. Израчунати површину фигуре ограничене параболама y 8 8 y 8.. Израчунати површину фигуре ограничене кривим линијама y y. Завршни део часа: Урадити задатке који су задавали највише проблема. Остале задатке ученици нека размене за домаћи задатак. 7

177 Интеграл Други час: Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Главни део часа: Прва група:. У ком односу парабола y дели површину круга y 8? 5. Израчунати површину фигуре ограничене луком криве y и одсечком х-осе између две узастопне нуле.. Израчунати површину дела равни ограничену кривим линијама y, y. Друга група: y. Наћи површину елипсе. a b. Израчунати површину ограничену кривом y осом и ординатама минимума и максимума.. Израчунати површину фигуре ограничене линијама y e, y e, ; 75

178 Интеграл Трећа група:. Израчунати површину дела равни ограничену кривим линијама 6y 6, y 6.. Израчунати површину фигуре ограничене линијама y y e,.. Израчунати површину фигуре ограничене кривим линијама y y. Завршни део часа: Урадити задатке који су задавали највише проблема. Остале задатке ученици нека размене за домаћи задатак. 76

179 Интеграл Редни број часа Израчунавање запремине обртних тела применом одређеног интеграла Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка, илустрација Циљ часа: оспособљавање ученика за израчунавање запремине помоћу одређеног интеграла Образовни задатак: развијање способности за примену стечених знања о одређеном интегралу на израчунавање запремине обртних тела Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину, развијање способности за визуелну представу објеката Васпитни задатак: употреба математичког језика у решавању практичних проблема, схватање значаја повезивања раније стечених знања, неговање уредности и прецизности Резултат часа: правилно цртање слике и израчунавање запремине Кључне речи: одређени интеграл, границе, запремина, график Активности наставника: вођење ученика кроз градиво, избор и израда задатака Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити основне формуле за израчунавање запремине кроз примере ротационих тела: Правоугаоник ротира око једне своје странице, правоугли трапез ротира око краћег крака,... Главни део часа: Уз помоћ ученика формулисати: Ако крива запремина добија као Примери: y, која је непрекидна на сегменту,b b a a ротира око осе добијамо тело чија се ( ) V d.. Израчунати запремину тела које се добија ротацијом око осе криве y 6, ако је а) б) 5. 77

180 Интеграл. Израчунати запремину тела које се добија ротацијом око осе дела равни ограниченог кривим y y 6.. Израчунати запремину тела које се добија ротацијом око осе дела равни ограниченог кривим y y.. Израчунати запремину која се добија ротацијом дела равни ограниченог кривим y e,,, y око осе Завршни део часа: Домаћи задатак:.а),б),в),г),д) 78

181 Интеграл Редни број часа Израчунавање запремина вежбање Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспосољавање ученика за примену знања, схватање великих могућности примена математике Образовни задатак: оспособљеност за примену стечених знања о одређеном интегралу на израчунавање запремине обртних тела Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање способности за визуелну представу објеката Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, схватање значаја повезивања раније стечених знања, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљеност ученика за правилно цртање слике и израчунавање запремине Кључне речи: одређени интеграл, границе, запремина, график Активности наставника: избор задатака, давање упутстава ученицима Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Поновити формуле за израчунавање запремине обртних тела. Главни део часа:. Израчунати запремину тела које се добија ротацијом око осе дела равни ограниченог кривим y y.. Израчунати запремину тела које се добија ротацијом око осе дела равни ограниченог кривим y y. 79

182 Интеграл. Израчунати површину и запремину тела које се добија ротацијом око осе дела равни ограниченог кривом y. Овако добијено тело назива се Торичелијева (Евангелиста Торичели, италијански математичар 7. века, Галилејев ученик, направио први барометар) или Габријелова труба ( арханђел Гаврило- Габријел трубом означава судњи дан). Површина трубе је бесконачна, а запремина коначна! Овакав интеграл (где је једна граница бесконачна или тачка у којој функција није дефинисана) назива се несвојствени интеграл. a a P d d ln a lim ln a a V a d lim a a a. Израчунати површину и запремину тела које се добија ротацијом око y осе дела равни ограниченог кривом y ; ; ; y. 5. Израчунати површину и запремину тела које се добија ротацијом око осе дела равни ограниченог кривом y y. Завршни део часа: Домаћи задатак: 5.а),б),.а),в),г) 8

183 Интеграл Редни број часа Израчунавање дужине лука криве Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: развијање способности за примену знања Образовни задатак: оспособљеност ученика за примену стечених знања о одређеном интегралу на израчунавање дужине лука криве Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање способности за визуелну представу објеката Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, схватање значаја повезивања раније стечених знања, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљеност ученика за правилно цртање слике и израчунавање дужина лука криве Кључне речи: одређени интеграл, границе, дужина лука, график Активности наставника: краће излагање, избор задатака, израда примера Активности ученика: израда задатака Наставна средства: збирка, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Главни део часа: Теорема: Дужина l лука криве l y између тачака чије су апсцисе a b; a b b l y' d a ; износи a b Задаци:. Израчунати дужину лука параболе. Израчунати дужину криве y ln O,, A,. y између тачака у интервалу,.. Израчунати дужину лука криве y од до. 8

184 Интеграл. Одредити дужину лука криве y ln у границама, 8. Завршни део часа: Питања ученика. 8

185 Интеграл Редни број часа Интеграл систематизација теме Тип часа: систематизација Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: систематизације градива о интегралима Образовни задатак: систематизација стечених знања о одређеном интегралу Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину, развијање способности за визуелну представу објеката Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљеност ученика за правилно цртање слике и израчунавање површине и запремине Кључне речи: одређени интеграл, границе, график Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити формуле за израчунавање површине геометријских фигура, запремине обртних тела и дужине лука криве. Главни део часа:. Израчунати површину дела равни ограниченог y tg y.. Израчунати површину дела равни ограничену кривим линијама y y. 8

186 Интеграл. Израчунати површину дела равни ограничену кривим линијама y y y.. Израчунати дужину лука параболе y између пресечних тачака са апсцисном осом. Завршни део часа: Коментар задатака и презентација решења. 8

187 Комбинаторика. Комбинаторика Основна правила. Варијације, пермутације, комбинације (без понављања). Биномни образац. Редни број часа Увод у комбинаторику. Правило збира и производа. Примена основних правила на решавање задатака Тип часа: понављање Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: понављање правила збира и производа и њихова примена приликом решавања задатака Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање логичког мишљења Васпитни задатак: употреба математичког језика, неговање уредности и прецизности, повећање интересовања за математику и њене примене Резултат часа: оспособљеност ученика да правилно употребе правило збира и производа Кључне речи: кардинални број скупа Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Комбинаторика је област математике која се бави проблемима избора и распореда елемената неког скупа у складу са датим правилима. Настала је радовима Паскала и Ферме посвећеним теорији хазардних игара. Израз комбинаторика увео је Лајбниц, који је са Ј. Бернулијем и оформио као самосталну математичку дисциплину. Велики допринос развоју комбинаторике дао је и Леонард Ојлер. Главни део часа: Блез Паскал (6-66), француски математичар, физичар и филозоф Дефиниција: Број елемената неког скупа зовемо кардинални број скупа и означавамо carda. Дефиниција: За скупове A, B кажемо да су дисјунктни уколико је A B. Теорема: Уколико су скупови A, B дисјунктни, онда важи card A B carda cardb. Правило збира: Ако је скуп А унија n међусобно дисјунктних подскупова таквих да важи: Аi Aj ; i j; A A... An A, онда је carda carda... carda n carda Пример: Баца се коцка за игру. На колико начина може пасти број или број већи од? 85

188 Комбинаторика Решење: На += начина. Дефиниција: Декартов производ скупова је скуп уређених парова A B a,b a A b B. Специјално пишемо A A A. k Елементе скупа A A... A a,a,...,ak зовемо уређене k торке, k N. kпута Правило производа: Ако су А, А,..., Аn, n N непразни скупови онда важи carda A... An carda carda... cardan Пример: Из Београда до Смедерева може се стићи на два начина, а из Смедерева до Тополе на начина. На колико начина се може стићи од Београда до Тополе? Решење: 6 Београд Смедерево Топола Дефиниција:! nn n... n (чита се n факторијел). Колико парних четвороцифрених бројева се може написати цифрама,,,,5,6 и 7 ако се цифре не могу поновити? Решење: Број ће бити паран уколико му је последња цифра, или 6, тј.постоје три могућности за цифру. Пошто се цифре не могу поновити за сваку следећу цифру, остаје прво 6 могућности, а затим по једна цифра мање Могуће је и раздвојити случајеве и искористити и правило збира и правило производа: Бројева који се завршавају цифром има 6 5. Толико има и бројева који се завршавају цифром и бројева који се завршавају цифром 6. Стога је укупан број ++=6.. Колико парних четвороцифрених бројева се може написати помоћу цифара,,,,5,6? А непарних? Решење: Нагласити да, уколико није изричито написано у задатку, цифре могу да се понове парних и исто толико непарних.. Колико парних четвороцифрених бројева се може написати помоћу цифара,,,,,5,6? А непарних? Решење: ; или Колико се седмоцифрених бројева дељивих са може написати помоћу цифара,,,,,5 и 6 ако се цифре не могу поновити у једном броју? Решење: Број се мора завршавати на,,6,,,,6,,5,56,6 или 6. Посебно се рачунају бројеви који имају нулу међу последње две цифре ( случаја), пошто се онда нула не може поновити на првом месту На жребању за светско првенство Србија се налази у четвртом шеширу, од могућих пет. Од екипа се формирају групе у које иде по једна екипа из сваког шешира. Ако у сваком шеширу има шест екипа у колико се различитих група може бити; у колико различитих група се може наћи Србија? Решење: ; Колико се шифри од 5 слова може написати помоћу слова наше азбуке ако се слова у речи могу понављати. (Није битно да ли написана реч има смисла или не.) Решење:. 86

189 Комбинаторика 7. Колико седмоцифрених телефонских бројева почиње цифрама, а завршава се на 6? Решење: 8. У фудбалском првенству Енглеске учествује клубова. Колико је различитих табела могуће на крају првенства? Решење:! 9. Колико има петоцифрених бројева са различитим цифрама чије су цифре једнаке парности? Решење: 5 6. а) Колико се различитих регистарских таблица може направити од два латинична слова (српска латиница) и осмоцифреног броја? (сви бројеви су могући од до ) Слова се налазе на почетку таблице. Решење: 8 б) Колико се таблица може направити уколико су слова једно до другог али на било ком месту у таблици? Решење: 8 9 Завршни део часа: Домаћи задатак:,,,, 7. 87

190 88 Комбинаторика

191 Комбинаторика Редни број часа Варијације и пермутације без понављања Тип часа: обрада Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање логичког мишљења Образовни задатак: усвајање појмова варијација и пермутација Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повећање интересовања за предмет математике Васпитни задатак: оспособљавање ученика за коришћење математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да разумеју текст и правилно примене усвојене формуле Кључне речи: варијације, пермутације без понављања Активности наставника: увођење појмова варијације и пермутације, избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Поновити правило збира и производа. Главни део часа: Варијације: Дефиниција: Ако претпоставимо да је k n, варијација без понављања k те класе од n елемената скупа A је k торка различитих елемената скупа A. Пример : Написати све варијације треће класе без понављања скупа A a,v,e,r. Решење: аve vae eav rav avr var ear rae aev vea eva rva aer ver evr rve arv vra era rea are vre erv rev Треба напоменути да је обичај да се варијације пишу по азбучном редоследу, ако су елементи скупа слова, односно по величини, уколико су елементи скупа бројеви. Пребројати колико има варијација и, уз помоћ ученика, доћи до: Теорема: Нека је k n, k N, n N. Број варијација без понављања k те класе од n елемената скупа A једнак је 89

192 Комбинаторика Задаци : V k n n n n... n k n! n k!. Од девојке треба изабрати мис, прву и другу пратиљу. На колико начина је могуће начинити избор? Решење: V. Од 56 чланова скупштине треба изабрати председникa и потпредседника. На колико начина је могуће начинити избор? 56 Решење: V На кросу учествује такмичара. На колико начина је могуће доделити златну, сребрну и бронзану медаљу? Решење: V. На шаховском турниру учествује играча. Турнир се игра двокружно тј. сваки играч одигра по партије са сваким противником. Колико је партија одиграно? Решење: V 9 5. Решити једначину: а) V 8 Пермутације: Дефиниција: Пермутације скупа A од n, Пример: Задаци: 7! Израчунати: а) 5! 6! б) 5! 5! n N елемената су уређене n торке скупа A. n! в) n! Теорема: Број пермутација скупа A од n, n N елемената једнак је Pn n! Задаци:. Написати све пермутације скупа,,, Решење: A.. На колико начина се може распоредити 8 особа на 8 различитих места? Решење: 8!. На семинару учествује 5 предавача. На колико начина је могуће направити редослед предавања? 9

193 Комбинаторика Решење: 5!. Која је по реду пермутација БЕОГРАД од почетне АБГДЕОР? Решење: Која је 8. пермутација од почетне АИЛМН? Решење: МИЛАН Завршни део часа: Домаћи задатак: 9,,,, 8, 5. 9

194 9 Комбинаторика

195 Комбинаторика Редни број часа Варијације и пермутације без понављања вежбање Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање логичког мишљења, оспособљавање ученика за примену знања Образовни задатак: оспособљавање ученика да правилно протумаче текст и употребе одговарајућу формулу (или задатак реше без формуле) Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање језичке културе Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: увежбаност ученика у примени варијација и пермутација у задацима Кључне речи: варијације, пермутације без понављања Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Ђорђе Кртинић: Математика +, Решени задаци са пријемних испита на универзитетима у Србији Уводни део часа: Поновити формуле за пермутације и варијације. Главни део часа:. 7 5 V V Решити једначину: 89, 5 V Решење: n N Пошто се ради о природним бројевима, одговара само друго решење. Pn 5. Наћи n : ; n k, n, k N. k Vn Pn k n 5n... Решење:... n 9n n. n n... n k n k! k P Може се уочити да важи V n n, n k N n k!, Vn. Решити неједначину:, n N P P n n 9

196 Комбинаторика Решење: n n nn n n nn! n! n n! n,,...,6. Колико има пермутација цифара,,...,9 у којима није испред? Решење: 9!. 5. Колико има петоцифрених бројева са различитим цифрама, дељивих са 5, чије цифре су из скупа,,,,5? А) 6 B) C) D) 8 E) Решење: Број може да се заврши са или 5, али не сме да почне нулом: 6. Од цифара,,,,5,6,7,8,9 формирани су сви могући троцифрени природни бројеви са различитим цифрама. Збир свих тих бројева је једнак: А) 5 B) 559 C) 595 D) 596 E) 797 Решење: Бројева има Свака цифра се на свакој позицији појављује 56 пута. Збир је На шест нумерисаних седишта на једној клупи распоредити три девојке и три младића тако да никоје две особе истог пола не седе једна до друге. То се може учинити на следећи број начина: А) 7 B) 6 C) 6 D) 7 E) 8 Решење: Може на првом седишту да буде младић или девојка!! 8. Колико има четвороцифрених бројева чије су цифре различите и код којих је збир последње две цифре једнак 5? А) 6 B) 5 C) 68 D) 86 E) 8 Решење: Збир је 5 у следећим случајевима +5, +, +, а сваки има два могућа редоследа У равни је дато тачака. Колико вектора одређују ове тачке? Решење: 9. На колико начина се може људи поделити у парове? Решење: 9 75 Завршни део часа: Бонус задатак: У одељењу је 5 ученика. Миша каже: Свако од нас има тачно пријатеља. Немогуће!, каже Предраг. Зашто? Решење: Ако су пријатељи повезани кончићима свако би требало да у руци има крајева што је укупно 5 85 крајева што је немогуће. Домаћи задатак:, 5, 7, 9, 5, 7, 7. 9

197 Комбинаторика Редни број часа Варијације са понављањем Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање логичког мишљења, оспособљавање ученика за примену знања Образовни задатак: усвајање формуле за варијације са понављањем и њена примена у задацима Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање способности за правилно тумачење текста задатка Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: развијање способности ученика да разумеју текст и препознају варијације са понављањем Кључне речи: варијације са понављањем Активности наставника: увођење новог појма, избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Поновити дефиниције и формуле за варијације без понављања и пермутације. Главни део часа: Нека је дат скуп A чији је кардинални број једнак n, n N. Дефиниција: Варијација са понављањем k те класе од n елемената скупа A је уређена k торка елемената скупа A. Пример: Нека је A,, написати све варијације друге класе скупа A. Решење: Теорема: Број варијација k те класе од n елемената скупа A је једнак k k Ово записујемо формулом Vn n. (Црта изнад ознаке за варијације означаваће могућност да се елементи понављају.) k n. Примери:. Написати све варијације са понављањем треће класе скупа A a,v,e,r. 95

198 Комбинаторика Решење: aaa vaa eaa raa aav vav eav rav aae vae eae rae aar var ear rar ava vva eva rva avv vvv evv rvv ave vve eve rve avr vvr evr rvr aea vea eea rea aev vev eev rev aee vee eee ree aer ver eer rer ara vra era rra arv vra erv rrv are vre ere rre arr vrr erv rrr. Колико се петоцифрених бројева може написати од цифара,,...,9 тако да се цифре: (а) могу понављати (б) не могу понављати? Решење: а) 9 б) Новчић се баца три пута. Колико различитих исхода има? Решење: 8. На листићу спортске прогнозе налази се 5 парова. За сваки пар могуће је одиграти, х или. На колико начина је могуће попунити листић? Решење: 5 = 5. Нека је E a, b, c, d, e,, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w,, y, zскуп од 6 слова енглеске абецеде. Колико различитих речи дужине 5 се може саставити од ових 6 слова ако се захтева да прво и пето слово буду различити самогласници a, e, i, o, u, док су остала три слова било који ( не нужно различити) сугласници? Решење: 85= Телефонски број у Новом Саду може бити петоцифрен или шестоцифрен и не сме почети цифрама,,9. Колико различитих телефонских бројева може бити у Новом Саду? Решење: Колико има природних бројева n, n у чијем декадном запису никоје две суседне цифре нису једнаке? Решење: Двоцифрених: 9. 9=8, троцифрених =79, четвороцифрених: =656 Укупно = Kолико редова има истинитосна таблица са исказна слова? Решење: =6 9. На колико начина је од 5 карте могуће изабрати тако да од сваког знака буде по једна карта? Решење: Завршни део часа: Домаћи задатак: 7, 7, 76, 77,

199 Комбинаторика Редни број часа Варијације са понављањем Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање логичког мишљења, развијање способности примене знања Образовни задатак: примена варијација у решавању комбинаторних проблема Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање способности за правилно тумачење текста задатка Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљеност ученика да разумеју текст и препознају варијације са понављањем Кључне речи: варијације са понављањем Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака. Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Ђорђе Кртинић: Математика +, Решени задаци са пријемних испита на универзитетима у Србији Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Главни део часа:. Колико има троцифрених бројева који се могу записати помоћу цифара,,,,5? Решење: 5 5. Колико се речи дужине четири слова може написати помоћу слова наше азбике уколико није битно да ли речи имају смисла? Решење:. Колико различитих седмоцифрених шифри за сеф (од до ) постоји? Решење: 7. Регистарске таблице састоје се од два слова која означавају подручје, укупно 79 могућих ознака и, иза њих, четвороцифреног броја (од до 9999) иза којих су два слова (од азбуке од слова). Колико различитих регистарских таблица је могуће направити? Решење: Колико се четвороцифрених бројева може написати помоћу цифара,,,,,5? Решење: Пошто број не може почети нулом, од укупног броја варијација одузимамо оне које почињу нулом тј. V V Колико се седмоцифрених бројева може записати у бројевном систему са основом? 97

200 Комбинаторика ( У бројевном систему са основом цифре су,,,)? 6 Решење: 7. Колико различитих могућности постоји у игри Скочко (Слагалица, 6 симбола се распоређује у четири поља)? Решење: 6 8. Дата су три различита производа фабрике А, четири различита производа фабрике В и пет различитих производа фабрике С. На колико различитих начина се сви производи могу поређати у низ уз следеће услове производи фабрике В су један поред другог, производи фабрике С су један поред другог, никоја два производа фабрике А нису један поред другог? А) 5! B)!5! C)!!5! D)!!!5! E)! Решење: Производи фабрике А налазе се између производа В и С! могућности,! за производе из В, а 5! за производе из С. В и С могу да се распореде на начина. 9. На колико различитих начина особа може да формира ред пред благајном у биоскопу, али тако да две уочене особе стоје једна до друге? Решење: 9!, постоје распореда те две уочене особе. Две уочене особе могу да стоје на 9 места, а број распореда осталих особа је 8! Завршни део часа: Питања ученика. 98

201 Комбинаторика Редни број часа Пермутације са понављањем Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање језичке културе, развијање логичког мишљења Образовни задатак: усвајање појма пермутације са понављањем Функционални задатак: развијање аналитичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да препознају проблем где ће употребити пермутације са понављањем Кључне речи: пермутације са понављањем Активности наставника: увођење новог појма, избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака и учешће у увођењу појма пермутација са понављањем Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Понављање пермутација без понављања. Задатак: На колико начина је могуће на шаховску таблу поставити 8 топова да не нападају један другог? Решење: 8! Главни део часа: Пример: Колико пермутација од слова речи МАМА постоји? Уочити да замена места два иста слова не мења пермутацију. Исписати све пермутације и доћи до формуле: Теорема: Број пермутација скупа A a,a,...,a n у којима се елементи понављају редом k, k,..., kn N, k k k... n n, n N пута једнак је Задаци: P n! k, k,, k n n k! k!... k. Колико пермутација од слова речи МАТЕМАТИКА постоји?! Решење: P,, пошто се слова М и Т појављују два пута, а слово А три пута. Остала!!! слова се појављују само једанпут, па! не морамо писати.. Колико бројева се може написати помоћу цифара,,,,,,,,,?! Решење: P,,!!! n! 99

202 Комбинаторика. Приликом бацања новчића 5 пута је пало писмо, а 7 пута грб. На колико различитих начина је могуће да се ово деси? Решење: P 5,7! 5!7!. Пуж се креће по решетки из тачке А у тачку Б тако што може да иде само десно и горе. На колико различитих начина може да преће пут? Б А Решење: Пуж треба да направи осам потеза горе и осам десно. 5. Колико се анаграма може направити од слова речи: а) Весна; б) Звезда; в) Партизан; г) абракадабра; д) комбинаторика? а) 5!; б) 6!/; в) 8!/!; г)!/(5!.!.!); д)!/(!). 6. На колико начина се могу распоредити три иста речника енглеског, иста речника француског и 5 истих речника немачког језика на полици? Решење: 5! 5. 5!!! 6! 8! 8! Завршни део часа: Питања ученика. Домаћи задатак: 75, 79, 8, 8, 85, 87, 88.

203 Комбинаторика Редни број часа Комбинације Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: неговање прецизности у изражавању, развијање логичког мишљења, развијање способности примене знања Образовни задатак: овладавање пребројавањем неуређених скупова Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да разумеју проблем и примене одговарајућу формулу Активности наставника: увођење појма комбинација, избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака, учешће у увођењу новог појма Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Пример: На колико начина је могуће изабрати три ученика за ђачки парламент од ученика из одељења? Решење: Треба уочити да су изабрани ученици равноправни, тј.није битан редослед којим су изабрани. Три ученика могу бити изабрана на! начина. (АБВ,АВБ,БAВ, БВA,ВAБ,ВБA.) 9 8 6! У случају када пребројавамо неуређен скуп кажемо да су у питању комбинације. Нагласити разлику у говорном језику када се и варијације некада називају комбинацијама. Главни део часа: n n! Дефиниција: (чита се n над k ), n N, k N k k! n k! n n Дефиниција: n Дефиниција: Комбинације k те класе елемената скупа A који има n елемената представљају сви подскупови скупа A од k елемената. Теорема: Број комбинација Задаци: y y C C. Решити систем једначина:, y N C 66 Решење: C n k те класе од n елемената једнак је C k n ; n k. k

204 Комбинаторика Пошто се ради о природним бројевима oдговара само прво решење. Из друге једначине следи y y y y C C y 5 y y y y. У игри ЛОТО извлачи се 7 од 9 бројева. На колико начина је могуће извући добитну комбинацију? Од учесника такмичења треба изабрати троје који ће ићи у финале. На колико начина је могуће извршити избор?! Решење: C!9!. Од 56 чланова парламента треба изабрати осморо за административни одбор. На колико начина је могуће извршити избор? 8 56! Решење: C 56 8! 8! 5. Од 5 испитних питања студент извлачи три питања. Колико различитих цедуља је могуће сачинити? 5! Решење: C 5!7! 6. У школи има ученика првог, ученика другог и по ученика трећег и четвртог разреда. За школски кошаркашки тим треба изабрати играча тако да их буде по 5 из трећег и четвртог разреда и по један из првог и другог. На колико начина је могуће начинити избор? Решење: 5 5 C C C C 7. На колико начина се од 5 карте може изабрати 6 карата тако да буде тачно једна дама? 8 Решење: 5 8. На колико начина се од 5 карте може изабрати 6 карата тако да међу њима буде бар једна дама? Решење: или Речник садржи све речи од пет слова које се могу образовати од три различита слова скупа A, B, C, D, E, F. Ако је n број речи у том речнику, онда је: A) 5 n B) 5 n C) n 5 D) n 5 E) 5 n 65 5! 5! Решење:.!!!!!! Комбинације са понављањем (није предвиђено програмом) Теорема: Број комбинација k те класе од n елемената скупа A са понављањем код којих се један елемент може понављати до k пута. n k n, k N рачуна се по формули

205 Комбинаторика Примери: C k n n k k. На колико начина људи може купити три кошуље? (могу бити и исте) Решење:. На колико се начина 5 бомбона може поделити на четворо деце. При томе неко дете може добити и више бомбона, а неко ниједну. 5 Решење: Први начин: 56 ; други начин: Разликујемо 5 ситуација:. Једно дете добије 5 5, а друга деца ниједну бомбону могућности,. Једно дете добије, једно, а остала деца! ниједну бомбону могућности,. Једно дете добије, једно, а остали ниједну бомбону! као у претходном случају могућности,. Два детета добију по, једно, а једно ниједу бомбону = могућности, 5. Два детета добију по једну, а једно бомбоне, поново могућности и 6. Три детета добију по једну бомбону, а једно могућности. Укупно +++++=56 могућности.. На колико начина је могуће од ружа, каранфила и љиљана направити букет од 9 цветова? 9 Решење: C У ресторану се могу изабрати два јела. А) на колико начина 5 особа може да наручи храну? Решење: 5. Б) На колико начина је могуће извршити наруџбину 5 јела за понети? 5 Решење: 6. 5 Завршни део часа: Домаћи задатак: 89, 9, 9, 9, 95, 5.

206 Комбинаторика

207 Комбинаторика Редни број часа Комбинације без понављања вежбање Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање логичког мишљења, процена нивоа напредовања ученика Образовни задатак: оспособљеност ученика за правилно тумачење текста проблема и примена формуле за комбинације Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање прецизности у изражавању, развијање способности представљања свог рада Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности, развијање сарадње међу ученицима Резултат часа: оспособљавање ученика да правилно протумаче текст и примене одговарајућу формулу. Кључне речи: комбинације без понављања Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке, подела ученика на групе и координација међу ученицима Активности ученика: израда задатака, међусобна подршка и помоћ Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Ђорђе Кртинић: Математика +, Решени задаци са пријемних испита на универзитетима у Србији Уводни део часа: Подела ученика на групе и подела задатака. Главни део часа: Прва група:. Од три математичара и пет инжењера треба формирати експертски тим од шест чланова у којем ће бити бар два математичара. То се може учинити на: A) 5 начина B) 5 начина C) начина D) 8 начина E) 7 начина 5 5 Решење:. Колики је број тимова од играча ( голман) ако на располагању имамо 6 играча од којих су голмани, а остали играчи не могу бити голмани? 6 6 6! A) B) C) D)!! E)!! Решење: Бирамо посебно голмана, а посебно играче.. Број пресечних тачки свих дијагонала унутар конвексног седмоугла ABCDEFG код којег се никоје три дијагонала не секу у једној унутрашњој тачки тог седмоугла је једнак: A) B) 8 C) 5 D) E) 5 5

208 Комбинаторика Друга група: Решење: Да би се добила пресечна тачка потребне су две дијагонале, тј. четири тачке. 7. Број начина на који се може формирати петочлана екипа од математичара и 8 физичара, тако да је у њој бар један математичар износи: А) B) 96 C) D) E) 8 8 Решење:. Ако је Р скуп свих петоцифрених бројева у којима се цифра 7 појављује тачно два пута и чије су преостале три цифре различити елементи скупа,,,,5,6, број елемената скупа Р је: А)6 B) C) D) E) 6 5 Решење: Бирамо прво места за седмице Колико има правоугаоника на шаховској табли који се састоје од целих поља шаховске табле? 99 Решење: Треба изабрати по две тачке на свакој страни табле. 96 Трећа група:. У разреду има девојака и дечака. На колико различитих начина се може одабрати 8 ученика, тако да међу њима буде 5 девојчица и дечака? Решење: 5. Дате су две паралелне праве. На једној од њих је, а на другој различитих тачака. Број троуглова које одређују ове тачке је: A) B) C) D) 9 E) Решење: Треба изабрати две тачке са једне и једну са друге праве.. Од десет ученика треба изабрати екипу од шест ученика, при чему међу тих кандидата постоје два који не могу бити заједно у екипи. Број начина на који се то може учинити је: А) 8 B) C) D) 5 E) 8 8 Решење: У екипи може бити један или ниједан од те двојице.. Задатак се може 5 6 решити и тако што се од укупног броја екипа одузме број екипа у којима су кандидати који не 8 могу бити заједно. 6 Завршни део часа: Урадити неке задатке на табли и заједнички урадити бонус задатак: Од задатака Јована зна да уради. На писменом испиту добиће пет задатака и положити испит уколико тачно уради бар три задатка. Колико је повољних могућности? Решење: 5 C C5 C 5 C 6

209 Комбинаторика 7 Редни број часа Биномна формула; Паскалов троугао Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: схватање значаја проучавања математике кроз историју, повезивање и развијање способности примене знања Образовни задатак: усвајање Њутнове биномне формуле Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину Васпитни задатак: развијање позитивног става према математици Резултат часа: оспособљавање ученика за примену биномне формуле Кључне речи: биномна формула, Паскалов троугао Активности наставника: кратак увод кроз историју математике, приказ биномне формуле и њених особина, избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: повезивање претходно стечених знања, израда задатака Наставна средства: креда, табла, лаптоп, видео бим Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, В.А Успенски: Троугао Паскала Уводни део часа: Блез Паскал: Рођен у Клермону у Француској 9. јуна 6. Умро 9. августа 66. Поновити: y y y y y y y y y y Главни део часа: Теорема (Њутнова биномна формула):., ;... N k N n y n n y n y n y k n y n n n n k k n k n Коефицијенте n n,..., n, n зовемо биномни коефицијенти. Општи члан у развоју бинома је облика k k n k y k n T Пример: Развићемо бином

210 Комбинаторика Уколико дефинишемо биномни коефицијенти се могу одредити из тзв. Паскаловог троугла (аритметички троугао). То је троугао састављен од бројева тако да су у свакој врсти први и последњи члан једнаки, а сваки други је једнак збиру два суседна броја из претходне врсте Особине биномних коефицијената (Уколико постоји могућност приказати кратку презентацију о особинама биномних коефицијената). n n n... n n (Збир коефицијената у свакој врсти једнак је степену броја, нпр. збир коефицијената у шестој врсти је 6 ). По дефиницији је n n n (Први и последњи члан реда у Паскаловом троуглу једнаки су ).. n k k n n k n (Паскалов троугао је симетричан тј. нпр. у петој врсти је други коефицијент с леве стране једнак другом коефицијенту с десне стране.). n k k n k n k n (Сваки елемент, осим првог и последњег у врсти, једнак је збиру два суседна елемента из предходне врсте.)

211 Комбинаторика 5. Степени броја : Ред : = Ред : = Ред : = Ред : = Ред : = 6 6. Палица за хокеј : n n i = =76 += k ik Задаци:.. Наћи пети члан у развоју бинома 9 T Решење:. Наћи коефицијент уз 8 a у развоју бинома 9 a a Решење: Општи члан у развоју бинома једнак је k k T k a a k k 8 k 9, па је коефицијент k. Уочити да је биномни коефицијент, а коефицијент Израчунати збир биномних коефицијената Решење: 7 8. У биномном развоју наћи члан који не садржи. 8.

212 Мала математичка шала: Epand (a+b) (a+b) Комбинаторика 8 8k Решење: Општи члан развоја је облика Tk. Члан неће садржати уколико k 8 је степен броја једнак нули, односно 8 k k k. Члан је. 5. Наћи n N, тако да је збир коефицијената другог и трећег члана у развоју 5. За такво n одредити члан који не садржи. Решење: n n 5 n n 6 n n n n 8 n Пошто је n природан број може бити само 7, па је тражени члан. 5 k 5 6 n једнак Завршни део часа: ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) Неком од ученика дати да за домаћи задатак припреми кратак приказ из живота Блеза Паскала, а другиом ученику историјат Паскаловог троугла. За све ученике: 57.а), 5, 5, 5, 5.

213 Комбинаторика Редни број часа Биномна формула вежбање Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање логичког мишљења, оспособљавање ученика за примену знања Образовни задатак: увежбаност ученика у примени биномне формуле и особинама биномних коефицијената Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности, развијање сарадње међу ученицима Резултат часа: оспособљавање за примену биномне формуле Кључне речи: биномна формула Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака, међусобна помоћ и сарадња Наставна средства: збирка, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Приказ домаћих задатака о Блезу Паскалу и историјату Паскаловог троугла. Главни део часа: Прва група:. У развоју бинома члан који не садржи је: A) други B) трећи C) четврти D) пети. Коефицијент уз 8 8 a у развоју бинома A) B) 56 C) D) 7 E) 7 a a. Број ирационалних чланова у развоју степена бинома једнак је: A) 7 B) 75 C) 6 D) E) 5. Сума биномних коефицијената чланова на непарним местима у разлагању бинома n a b a5 једнака је 8. Члан који садржи a је: 7 a A) - 6a b B) 6a b C) a b D) a b Е) 56a b Решења: Захтевати комплетан поступак: DСBA је: 9

214 Комбинаторика Друга група:. У развоју степена бинома, не садржи: A) пети члан B) седми члан C) десети члан D) једанаести члан. У развоју степена бинома A) B) 56 C) 56 D) 7 E) 7 8 / 6 један члан је a. Тада је a једнако:. Број рационалних чланова у развоју степена бинома 6 99 је: A) B) C) D) E). Збир свих биномних коефицијената у развоју бинома n N. Средњи члан у том развоју је: A) 7 B) 5 C) 7 D) 7 Е) Решења: CСAC 56 n једнак је 56 за неко Трећа група:. У развоју степена бинома сабирак који не садржи једнак је: A) 95 B) 79 C) -79 D) 9 E) такав сабирак не постоји. Један члан у развоју степена бинома је облика C.Тада C износи: A) 5 B) C) 7 D). Збир биномних коефицијената трећег од почетка и трећег од краја члана развоја бинома n, n N једнак је 5. Број рационалних чланова у том развоју једнак је: A) 7 B) 6 C) 5 D) E) a b су три узастопна члана растуће аритметичке прогресије. Степен n је тада: A) прост број B) непаран број C) број мањи од D) број већи од E) не постоји такав број Решења: EАDD. Пети, шести и седми коефицијент у развоју степена бинома n 7 Завршни део часа: Коментар задатака.

215 Комбинаторика Редни број часа Комбинаторика систематизација теме Тип часа: систематизација Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: систематизација градива, оспособљавање ученика за примену знања Образовни задатак: систематизација стечених знања из комбинаторике Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину Васпитни задатак: оспособљавање за употреба математичког језика, неговање уредности и прецизности, оспособљавање за процену свог знања Резултат часа: оспособљавање ученика да примене знање у задацима из комбинаторике Кључне речи: варијације, пермутације, комбинације Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: збирка, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Ђорђе Кртинић: Математика +, Решени задаци са пријемних испита на универзитетима у Србији Уводни део часа: Поновити дефиниције и формуле за варијације, пермутације и комбинације. Ученици извлаче задатак. Након тога бирају да ли желе да га ураде на табли или проследе неком другом. Други ученик нема право да проследи задатак даље. Уколико ниједан од два ученика не уме да уради задатак на табли га ради неко од ученика (ако се јави) или професор. Главни део часа:. На колико различитих начина се могу од првих 8 природних бројева одабрати три броја тако да им збир буде дељив са? Решење: Збир је дељив са уколико су сва три броја дељива са или сва три имају остатак или један је дељив са, а остала два дају остатке и или сва три дају остатак Срећке су нумерисане шестоцифреним бројевима од до Срећка се сматра срећном ако су прве три цифре непарне и различите, а друге три цифре (четвртa, петa, шеста) парне, при чему цифре 7 и 8 не могу стајати једна поред друге. Колико има свега срећних срећака? Решење: Треба уочити да се парне цифре могу поновити Колико има четвороцифрених бројева који се у броjном систему са основом записују помоћу највише две цифре? А) 9 B) 576 C) 68 D) 7 E) 58 Решење: Бројева који се записују само са једном цифром је 9, а код оних са две цифре треба разликовати случај када је једна од њих нула (осталих може бити 9) и када није (од 9 које нису 9!! нуле изабране су ). 9 9!!!

216 Комбинаторика. Природних бројева који имају бар две цифре и код којих је свака цифра мања од предходне има: А) B) C) 9! D) E) 9!- Решење: Посматрамо опадајући низ из кога избацујемо по,,,...,9 цифара (водећи рачуна да не може остати нула пошто није природан број). Искористити особину биномних коефицијената Број начина на које могу да се изаберу два двоцифрена несуседна броја је: А) 86 B) 87 C) 96 D) 95 E) 96 Решење: Уочити да бројеви 99 и имају само по један несуседни број, а остали бројеви по суседна броја. или Свих шестоцифрених бројева који имају три парне и три непарне цифре мање од a, а више од a, где је: A) a 5 B) a 6 C) a 7 D) a 8 E) a 9 Решење: Сви шестоцифрени бројеви који имају по парне и непарне цифре добију се када се изабере од 6 места за парне цифре. За свако место конкурише по 5 парних тј. непарних цифара. 6 5 Треба одузети оне који почињу нулом Коцка за игру чије су стране нумерисане бројевима,,,,5,6 баца се до појаве броја 6, а највише три пута. Резултат експеримента је број записан редом цифрама које су тако регистроване. Колико различитих бројева се може добити? А) 56 B) 86 C) D) E) 5 Решење: Једноцифрени, двоцифрених 5. =5, троцифрених =5 8. Шифра на сефу одређена је низом од пет декадних цифара. Колико има шифара чије цифре чине строго опадајући низ? А) B) 5 C) 756 D) 89 E) 5 Решење: Шифра се добија уколико се прецрта 5 цифара опадајућег низа 98765, а то се може учинити на 5 начина Нека је n број свих пермутација цифара,,,,5,6,7,8 у којима су на непарним местима непарне, а на парним местима парне цифре. Тада је: 8! A) n 8!! B) n! C) n! D) n E) n! Упутство: схватимо као два четвороцифрена броја са парним, односно непарним цифрама.. Број начина на које четири особе могу да поделе пет различитих књига, тако да свака особа добије бар једну књигу и да све књиге буду подељене, је: 5 A) 5 B) 5! C) D)! E) 5! Решење: 5! 8. Коефицијент уз a у развоју бинома a је: a A) 6 B) 65 C) D) 6 E) 8 a члан који не садржи a гласи:. У развоју бинома 5 ; a,

217 Комбинаторика A) 87 a B) a C) 9a D) 56 a E) 5 5a. Наћи n N, тако да је збир коефицијената другог и трећег члана у развоју 5. За такво n одредити члан који не садржи. 7 Решење: n 7; T. Средњи члан у развоју степена бинома по биномној формулу је: 7 / 7 / 5/ 7 / 7 / A) B) - C) D) E) 5 6 n једнак Завршни део часа: Коментар задатака. 5

218 6 Комбинаторика

219 Вероватноћа и статистика 5. Вероватноћа и статистика Случајни догађаји. Вероватноћа. Условна вероватноћа и независност. Случајне величине. Биномна, Пуасонова и нормална расподела. Средња вредност и дисперзија. Популација, обележје и узорак. Прикупљање, сређивање и приказивање података. Појам оцене параметара. Оцене вероватноће, средње вредности и дисперзије. Интервалне оцене за вероватноћу и средњу вредност. Редни број часа Опити и исходи опита, догађаји, случајан догађај, релације између догађајима Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: схватање значаја историје математике и могућности њене примене Образовни задатак: усвајање основних појмова везаних за вероватноћу: експеримент, случајан догађај, исход Функционални задатак: стварање основе за наставак учења Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, развијање радозналости и потребе за учењем Резултат часа: оспособљавање ученика да формирају простор елементарних исхода за једноставније случајне догађаје Кључне речи: случајни догађај, исход, експеримент Активности наставника: уводна прича о вероватноћи, увођење нових појмова Активности ученика: активно учешће у причи о настанку вероватноће Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Библија, Abrams, William, A Brie History o Probability Уводни део часа: Реч шанса потиче од старофранцуске речи cheance што значи на који начин нешто пада. У почетку се начин на који пада коцкица приписивао вољи богова. Астрагаломантија је уметност општења са таквим боговима. Прорицање помоћу коцкица за игру приписује се Лидијцима из Мале Азије (6.век п.н.е.) или Пармениду који је ово увео у Атину у. веку пре нове ере. Али коцке направљене од костију животиња, астрагали, пронађени су у преко година старим налазиштима у Африци! Модели коцкица за игру појављују се у обредима астрагали афричких племена и народа Маја. Шива, хиндуистички бог са хиљаду имена, када не игра или не уништава, приказан је како бацањем коцкица одређује судбину човечанства. У старом Тибету изасланик Далај ламе редовно се коцкао са националном жртвом и увек побеђивао, јер је играо са намештеним коцкицама које су, због олова у себи, увек показивале шестицу. 7

220 Вероватноћа и статистика Постоји легенда по којој су хиндуистички бог Шива и Парвати, богиња моћи, редовно играли игру са коцкама. Једном је игра постала веома занимљива па су кренули да се кладе за време игре. Парвати је заложила свој накит, а Шива свој трозубац. Шива је изгубио. Да би повратио трозубац Шива залаже свету змију коју такође губи. Постиђен одлази у шуму. Бог Вишну се умешао и рекао Шиви да поново игра и поврати изгубљено. Шива игра поново и враћа све изгубљено. Парвати се осећа превареном и назива Шиву преварантом. Поново се умешао бог Вишну и објавио да је он управљао коцком. Такође је рекао да је играње коцком непредвидљиво као сам живот и ван контроле, саветујући играчима да буду опрезни при клађењу. Иако Библија не помиње експлицитно коцкање, она помиње догађаје "среће" или "шанса". У Причама Соломоновим 6: каже: Ждријеб се баца у крило, али је од Господа све што излази. Главни део часа: Вероватноћа је грана математике која се бави случајним догађајима и процесима, тј. догађајима чији се исход не може са сигурношћу предвидети. Експерименте који се могу понављати бесконачно много пута и који не доводе до једнозначно одређеног исхода зову се случајни експерименти (у даљем тексту само експерименти). Резултати експеримента зову се исходи. Скуп свих исхода означава се словом и зове простор елементарних догађаја. Примери:. Посматрајмо експеримент бацања коцке. Могуће је да се појави један од бројева,,,,5,6.,,,, 5, 6.. У експерименту бацања новчића два пута ПП, ПГ, ГП, ГГ.. Уколико коцку за игру бацамо два пута. Треба уочити да се рачунају нпр. исходи и. У противном би збир 6 био једнаковероватан (интуитивно) као збир 7, што није тачно. Збир 6 може се добити као 5,(5),,(), а збир 7, као 6,(6),5,(5),,().,,,,,,,,,5,,6,,,,,,,,,,5,,6,,,,,,,,,,5,,6,,,,,,,,,,5,,6, 5,, 5,, 5,, 5,, 5,5, 5,6, 6,, 6,, 6,, 6,, 6,5, 6,6 8

221 Вероватноћа и статистика Дефиниција: Нека је простор елементарних догађаја неког експеримента. Сваки подскуп скупа зове се случајан догађај. (у даљем тексту само догађај) Пример: У експерименту бацања коцке догађај је пао је паран број. A,, 6 Догађај који се увек реализује зовемо сигуран догађај, а догађај који се никада не може реализовати зовемо немогућ догађај. Пример: У експерименту бацања коцке сигуран догађај је нпр. пао је број мањи од, а немогућ догађај пао је број 8. Ако је Ако је Догађај A B каже се да догађај A повлачи догађај B. A B каже се да су догађаји еквивалентни. Пресек догађаја A B (унија догађаја) се реализује ако се реализује бар један од догађаја A, B. A B се реализује ако се реализују и догађај A и догађај B. Пример: У експерименту бацања коцке догађај A је пао је број мањи од, тј. A,, B пао је паран број, тј. B,, 6 A B,,,, 6; A B Унију ћемо записивати и са A B, а пресек AB. Супротан догађај, у ознаци A је догађај \ A., а догађај Пример: Ако је у експерименту бацања новчића догађај A пао је грб, онда је догађај A пало је писмо. Догађаји су дисјунктни уколико је AB. Задаци:. Одредити супротне догађаје датим догађајима: А) Појава два грба при бацању два новчића Б) Бар један погодак од 5 гађања В) Не више од поготка од 5 гађања. Четири студента полажу испит. Нека су редом A,B,C,D догађаји да су положили. Приказати помоћу A,B,C,D следеће догађаје: А) Ниједан студент није положио Б) Положио је само први студент В) Положио је тачно један студент. Задаци: 68, 69, 6, 6. Завршни део часа: Домаћи задатак: 6, 6. 9

222 Вероватноћа и статистика

223 Вероватноћа и статистика Редни број часа Операције са случајним догађајима (збир и производ) Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: правилно извршавање операција над догађајима Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу употреба математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да правилно протумаче текст и примене одговарајућу операцију Кључне речи: случајни догађај Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити шта је случајни догађај и основне операције са скуповима. Главни део часа:. Од слова речи МАТЕМАТИКА на случајан начин бира се једно слово. Написати простор елементарних догађаја. Описати догађаје А избор слова које се налази међу првих 5 у азбуци, В избор једног од слова које се понављају С избор самогласника. Наћи пресек догађаја В и С.. У кутији се налазе куглице нумерисане бројевима од до. На случајан начин се бира једна куглица и посматра добијени број. Одредити простор елементарних догађаја. Одредити догађаје А- добијен је број дељив са, В добијен је број дељив са 5. Који елементарни догађаји чине ове догађаје? Наћи пресек, унију и разлику ових догађаја.. Одредити простор елементарних догађаја у игри ЛОТО.. Новчић се баца пута. Одреди простор елементарних догађаја. Описати догађаје А резултати првог и другог бацања су различити, В добијена су тачно два писма, С-добијена су бар два писма. Наћи пресек ових догађаја. Описати догађаје A B, A B, AС, A B. 5. Ако су А,В,С догађаји из истог простора елементарних догађаја проверити преко Венових дијаграма тачност следећих тврђења: A B C A B C; A B C A B C A B C A C B C ; A B C A C A C A B A B; A B A B.

224 Вероватноћа и статистика 6. На датој мапи је дозвољено кретање само удесно и на горе. Описати простор елементарних исхода, ако се пут бира на случајан начин. Описати догађај да случајно изабрани пут иде од А, преко В, до С. С В А 7. Четири српска клуба играју међународне утакмице. Ако са A, B, C, D означимо њихове успехе, изразити следеће догађаје А) ниједан није победио Одговор: A BCD Б) победио је само први клуб Одговор: A BCD В) победио је само један клуб Одговор: ABCD ABCD ABCD ABCD Г) победио је макар један клуб Одговор: A B C D ABCD Д) победила су два клуба Ђ) победила су највише два клуба Е) победила су најмање три клуба Ж) победила су највише три клуба Завршни део часа: Домаћи задатак: Неколико ученика нека припреми причу о настанку вероватноће, пар речи о математичарима који су за то заслужни: Кардано, Блез Паскал, Пјер Ферма, Јакоб Бернули, Абрахам де Муавр, Лаплас, Колмогоров.

225 Вероватноћа и статистика Редни број часа Статистичка дефиниција вероватноће. Класична дефиниција вероватноће. Основна својства вероватноће Тип часа: обрада Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења, оспособљавање ученика за примену знања, схватање значаја историје математике Образовни задатак: усвајање дефиниције вероватноће и њених особина Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности, развијање радозналости и жеље за учењем Резултат часа: оспособљавање ученика да правилно дефинишу и разумеју вероватноћу Кључне речи: вероватноћа, особине вероватноће Активности наставника: помоћ ученицима приликом излагања, приказ дефиниције и особина вероватноће, избор задатака Активности ученика: приказ настанка вероватноће и математичара који су томе допринели, израда задатака Наставна средства: креда, табла, слике Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Вукомановић: Вероватноћа и статистика, Петковић, Петковић: Математички времеплов Уводни део часа: Ученици представљају домаћи задатак: Како настаје вероватноћа: Иако већ у. веку ничу прва осигуравајућа друштва у Италији и Холандији у којима су израчунаване шансе ризика сматра се да вероватноћа настаје у 7. веку (65. године) при покушају разматрања исхода игара на срећу. Игра се прекида пре краја. Поставља се питање како поделити улог. Преписка између Паскала и Ферме (65. године) се узима као почетак развитка теорије вероватноће. Коцкар Шевалије де Мере поставља питања Паскалу у вези игре с коцком. Касније приказати проблем. Хајгенс такође има велику улогу у настанку теорије вероватноће. Јакоб Бернули (65-75.) пише Трактат о науци предвиђања, који након његове смрти, објављује Никола Бернули 7. год. У овој књизи прецизно је доказана прва гранична теорема. Закон великих бројева у своме најједноставнијем облику тврди да се релативна вероватноћа случајног догађаја приближава вероватноћи овог догађаја када се случајни експеримент понавља велики број пута. Теорема је више пута практично потврђивана. Буфон је бацио новчић пута и 99 пута се појавио грб. Пирсон је најпре бацио новчић пута и добио 69 пута грб, а касније се од бацања грб појавио пута. Фреквенције појаве грба су,9,,56,,55. Вероватноћа да новчић покаже писмо или главу износи /. Што се више пута понавља овај експеримент вероватније да ће број исхода када падне глава бити близак /. Ово се погрешно тумачи да ће се исходи који се нису до сада понављали сада чешће појављивати. Вероватноћа да падне глава је / без обзира на исходе претходних експеримената.

226 Вероватноћа и статистика У почетку су разматрани само случајеви који имају дискретне исходе и захтевају просту комбинаторику. Уочава се да се поједини догађаји реализују са релативно стабилном фреквенцијом. Нпр. бацање новчића. У 9. веку математичари на западу сматрају вероватноћу врстом математичке забаве и не придају јој значај. За разлику од њих вероватноћа се снажно развија у тадашњем СССР-у. Андреј Николајевич Колмогоров заснива аксиоматску теорију вероватноће. Њега следи доста математичара Марков, Чебишев,... Математичари који су допринели настанку и развоју вероватноће: (Испричати нешто од овога) Ђироламо Кардано (латински: Hijeronimus) (5-576), био је италијански математичар, филозоф и лекар. Отац му је био пријатељ Леонарда да Винчија и његов биограф. Био је ванбрачно дете и у биографији је тврдио да је мајка није хтела да га роди. Због тешке нарави, али и нелегитимног рођења, тешко је налазио посао након завршетка студија медицине. Живео је бурно. Често на ивици моралног и допустивог. Оба сина су му били ван закона. Старији је убијен од стране инквизиције због тога што је отровао жену, а млађи је, попут оца, био зависник од коцке и због дугова прибегавао крађи. И Кардано је био у затвору инквизиције пошто је урадио хороскоп Исуса Христа, али је брзо ослобођен због добрих веза са с двором. Неки тврде да је починио самоубиство да би доказао своју теорију о предвиђању сопствене смрти. Бавио се највише алгебром. За њега се везује решавање специјалног облика кубне једначине a b c. Био је у преписци са Тартаљом који га касније оптужује за крађу резултата. Схватао је постојање имагинарних бројева, али није знао њихову употребу. Увек је имао мало новца што је покушавао да надокна ди коцкањем и играњем шаха. Написао је Књигу о играма и шанси у којој се први пут на систематичан начин говори о вероватноћи. Познат је по Кардановом Карданова решетка тајне речи су саривене иза отвора на решетки вратилу (зглобна осовина), мада је вероватно проналазак нешто старији, као и по Кардановој решетки, систему за скривено писање порука. Блез Паскал (6-66), француски математичар, физичар и филозоф. У његовој кући су се састајали знаменити математичари и физичари, што касније прераста у Париску академију наука. Блезов отац, Етијен сам га је подучавао и сматрао да до 5.-те године не треба да се бави математиком. Настојао је да му син најпре научи латински и грчки. Али Блез је само још више развио своју радозналост и почео да ради геометрију већ у дванаестој години. Иако је био одушевљен његовим знањем, Блезов отац није одустајао од своје одлуке да сам подучава сина. У том раном периоду, међутим, за дечака су били значајни сусрети са Галилејем и Декартом, као и његово познанство са математичарем Фермаом, с којим ће створити темељ рачуна вероватноће. Паскал се сматра једним од најзначајнијих аутора француског класичног периода, као и једним од великих мајстора француске прозе. Карданово вратило (осовина)

227 Вероватноћа и статистика Пјер Ферма (6-665), француски (Баск по националности) правник и математичар. Његова преписка са Паскалом сматра се оснивањем теорије вероватноће. Де Ферма је познат по својој Великој Фермаовој теореми, која се још зове и Последња Фермаова теорема и каже: n n n Једначина y z нема целобројних решења за n, осим тривијалних са и. Када је преминуо, у његовој заоставштини је на маргини Диофантове књиге Аритметика пронађен запис у коме Ферма тврди како је пронашао елегантан доказ за ово тврђење, али да су маргине дате књиге сувише мале да би доказ на њима извео. Наредних година математичари широм света су покушавали да нађу овакав доказ, и у томе су успели тек крајем. века.фермаову теорему доказао је Ендру Вајлс 99. године, међутим испоставило се да је доказ имао неколико слабости, па је Вајлс уз помоћ колеге Ричарда Тејлора те слабости отклонио и доказ је коначно објављен 995. године. Ово је математичка теорема за чије решавање је додељена новчана награда. Јакоб Бернули I (65-75), швајцарски математичар. Доказао је један специјалан случај Закона великих бројева, Бернулијева (биномна) шема. Ојлеров отац био му је ученик. Открио је константу е проучавајући сложени интересни рачун е lim n n n Први је употребио реч интеграл. За надгробни споменик изабрао је логаритамску, али му је каменорезац урезао Архимедову спиралу и мото Промењен, а ипак исти, ја ћу поново устати (уздићи се).. Логаритамску спиралу сматрао је као симбол да се и након свих промена, па чак и након смрти, вратити самом себи. Абрахам де Муавр (667-75), енглески математичар, рођен у Француској. Увео је случајног догађаја. Систематизовао и развио резултате Паскала, Ферме, Бернулија. За време владавине Луја. Нантским едиктом, као протестанти, породица је протерана у Енглеску. У Енглеској није могао да предаје математику пошто је Француз. Био је лични Њутнов пријатељ, али је изјавио да би радије био Молијер него Њутн. Знао је сва Молијерова и Раблеова дела напамет. Никада се није женио. Као старији проценио је време своје смрти и одлучио да свакога дана спава 5 минута дуже док не преспава сата. Тако је и било. Умро је у сну. Увео је појам математичког очекивања. Доказао је теорему коју називамо Муавр-Лапласова теорема. Написао је књигу Аналитичка теорија вероватноће. По њему је названа Муаврова формула за степеновање комплексних бројева. Пјер Симон Лаплас (79-87), француски математичар, физичар и астроном. Наполеон га, након узимања власти државним ударом 799. именује за министра унутрашњих послова, али га Наполеонов брат смењује након само 6 недеља, када је учвршћена револуционарна власт. Кажу да је мењао своје политичке ставове према промени власти. Једном приликом, када је Наполеону приказано Лапласово дело Наполеон је рекао: Господине Лаплас кажу да сте написали ово велико дело о систему Универзума, а да ниједном нисте поменули његовог Творца. Лаплас: Нисам имао потребу 5

228 Вероватноћа и статистика за том хипотезом. Стивен Хокинг изјавио је 999. Не мислим да је Лаплас тврдио да Бог не постоји, већ само да не интервенише, да не крши законе науке. Лапласова последња реченица наводно је била мисао: Оно што знамо је мало, а оно што не знамо огромно. Сви ефекти природе су само математички резултати малог броја непроменљивин закона. Од Лапласа потиче узречица Стога је јасно да... за нешто чему је доказ затурен или за неку истину коју је тешко доказати. Андреј Николајевич Колмогоров (9-987.) руски математичар. Приписује му се изрека: Сваки математичар верује да је изнад осталих. Разлог зашто то не кажу јавно је што су то паметни људи. Главни део часа: m Дефиниција (емпиријска, класична): Вероватноћа случајног догађаја A је pa, где је број n m број тзв. повољних исхода, тј. број елемената скупа A, а n укупан број догађаја, тј. број елемената скупа. Важе следеће теореме: Теорема: За сваки догађај А важи A p. Теорема: Вероватноћа сигурног догађаја једнака је. Теорема: Ако се догађај А може разложити на два дисјунктна догађаја важи pa pa pa. Теорема: Вероватноћа супротног догађаја једнака је pa pa. Теорема: Вероватноћа немогућег догађаја једнака је. Примери:. У експерименту бацања коцке догађај A је «пао је паран број». Вероватноћа догађаја је p A. 6. Од производа је неисправно. Колика је вероватноћа да ће случајно изабрани производ бити неисправан? Решење: p, Особине вероватноће:. Ненегативност:, pa. Нормираност: A. p. 6

229 Вероватноћа и статистика. p ()=. Адитивност: ако је A,B и AB p A B p A p B онда је 5. pa pa 6. Ако је B A онда је pa pb Задаци:. Одредити вероватноћу да коцка покаже на горњој страни број дељив са.. Одредити вероватноћу да коцка покаже на горњој страни број који није већи од. (Водити рачуна да може бити једнак.). Oдредити вероватноћу да две бачене коцке покажу бројеве чији је збир 8.. Међу природних бројева налази се 55 прост број. Одредити вероватноћу појаве простог броја. 5. Неписмено дете слаже коцке на којима се налазе следећа слова А,А,А,Е,И,К,М,М,Т,Т. Колика је вероватноћа да ће саставити реч МАТЕМАТИКА? 6. Од производа је неисправно. Колика је вероватноћа да ће се при истовременом избору два производа изабрати оба исправна? 9968 Решење: p. 7. У кутији се налази 5 црвених, жуте и 7 белих куглица. Колика је вероватноћа да ћемо при истовременом извлачењу две куглице извући обе жуте куглице? Решење: p У робно-новчаној лутрији од срећака су са новчаном наградом, а са робном наградом. Колика је вероватноћа да ће једна купљена срећка донети добитак? 9. Исти текст као у претходном задатку. Колика је вероватноћа да ће од две купљене срећке бар једна бити добитна Решење: p 7

230 Вероватноћа и статистика Завршни део часа: За домаћи задатак урадити неурађене задатке са часа. Парадокс де Мере-а: Шта је вероватније да у бацања једне коцке бар једном падне 6 или да се у бацања две коцке бар једном појаве две шестице? ,586 8

231 Вероватноћа и статистика Редни број часа Вероватноћа уније и пресека догађаја Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: разумевање поступка за израчунавање вероватноће пресека и уније догађаја и примена у задацима Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да правилно реше задатак о налажењу вероватноће уније и пресека Кључне речи: вероватноћа уније, вероватноћа пресека догађаја Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: слике, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Петковић, Петковић: Математички времеплов Уводни део часа: Поновити дефиницију пресека и уније догађаја и шта су дисјунктни скупови. Главни део часа: p p A B pa pb pab A B C pa pb pc pab pac pbc pabc Примери:. Одредити вероватноћу да из шпила од 5 карте извучемо или краља или даму. 8 Решење: pa B pa pb, 586 Уочити да је, због дисјунктности скупова, p A B.. Од 5 карте извлачимо једну карту. Одредити вероватноћу да ће извучена карта бити или дама или херц. 6 Решење: p A B pa pb pab, Бацамо две коцке. Одредити вероватноћу да ће оне показати два једнака броја или два броја чији је збир 7 или два броја чији је збир 8. Решење: p A B C pa pb pc pab pac pbc pabc ,. Колика је вероватноћа да од карте за игру извучемо или краља или аса или слику. 9

232 Вероватноћа и статистика 6 Решење: p, 5 5. Из шпила од 5 карте на случајан начин се извлачи једна карта. Израчунати вероватноћи следећих догађаја: А) Извучена карта је краљ херц. (/5) Б) Извучена карта је херц (/5) В) Извучена карта је кец пик или карта херц (7/6) Г) Извучена карта је пик или херц. (/) 6. Из скупа двоцифрених бројева бирамо један број. Колика је вероватноћа да он буде дељив са или са 5? 7. Бацамо две коцке. Колика је вероватноћа да ће оне показати или два једнака броја, или два броја чији је збир 7 или два броја чији је збир 9? 8. Из шпила од 5 карте извучена је једна карта. Колика је вероватноћа да је извучен краљ или пик или карта мања од? Дефиниција: За догађаје A и В кажемо да су независни уколико реализација једног догађаја нема p A B p A p B. утицаја на реализацију другог догађаја, тј. да важи Примери:. Правилни тетраедар има једну страну обојену у црвено, другу бело, трећу зелено, а четврта страна је тробојна бело-црвено-зелена. Пирамида се баца и бележе догађаји: А-на основи има беле боје, В-на основи има црвене боје, С- на основи има зелене боје. Испитати независност ових догађаја. Решење:, али нису укупно независни пошто pa pb pc ; pab pbc pac ; pabc паровима пошто је нпр. pab pa pb pabc pa pb pc. Догађаји су независни у. У кутији се налази 5 белих и 8 црних куглица. Извлачи се куглица, региструје њена боја и куглица врати у кутију, па се поново извлачи куглица. Колика је вероватноћа да ће два пута за редом бити извучена а) бела б) црна куглица в) куглице различите боје? Решење: а) б) в) или Задаци:. Претпоставимо да је појава било које тачке интервала (,) једнако вероватна. Ако су догађаји A, 6, 9,B, 7,C, 5. Израчунати вероватноћу догађаја A B,A B,B C,B C.. Ако је pa,59, pb,9, pab, 9 одредити p A \ B.. Из шпила од 5 карте извучена је једна карта, а затим враћена у шпил. Поново је извучена једна карта. Израчунати вероватноћу да је оба пута извучена десетка.. Одредити вероватноћу да из карте извучемо или краља или аса? 5. У кутији се налази 7 белих и црне куглице. Извлаче се три куглице без враћања. Колика је вероватноћа да су све три куглице исте боје?

233 Вероватноћа и статистика 6. Између кандидата и кандидаткиње бира се одбор од 5 чланова. Наћи вероватноћу да ће већину у одбору чинити кандидаткиње Лутрија има срећки нумерисаних бројевима од до од којих су добитне оне чији су бројеви дељиви и са и са 5. Наћи вероватноћу да се при куповини једне срећке добије? (,5) Завршни део часа: Анегдота : На аеродрому ухвате математичара са бомбом у торби. Када су га привели питају га шта ће пристојном човеку бомба у торби, а он одговори: Вероватноћа да се у авиону нађе једна бомба је :. Вероватноћа да се у авиону нађу истовремено две бомбе је :. Дакле, ако понесем бомбу, смањујем вероватноћу да је у авиону бомба. Анегдота : Док се враћао кући, професору математике падне саксија на главу. Посете га студенти у болници и он им објасни: Видите, вероватноћа да саксија падне баш у тренутку када ја пролазим је :86 (број секунди у дану), веома мала, али и такви догађаји се дешавају. Првог дана по изласку из болнице поново му на истом месту падне саксија на главу. Он је објаснио студентима: Вероватноћа да се овај догађај деси два пута за редом је : 86, али и тако маловероватни догађаји се дешавају. Након изласка из болнице поново му падне саксија на главу. Он пита своје студенте: Децо, да ли мене неко гађа? Домаћи задатак: 66, 69, 6, 6, 66, 69.

234 Вероватноћа и статистика

235 Вероватноћа и статистика Редни број часа Задаци из вероватноће часа Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, рад са текстом Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: разумевање текста задатка и поступка за правилно израчунавање вероватноће Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да правилно реше задатке из вероватноће Кључне речи: вероватноћа Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: збирка, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Анализа домаћег задатка. По могућству поделити текст задатака да би ученици могли да раде редоследом и брзином која им одговара. Главни део часа:. Нека је вероватноћа догађаја А једнака,, а вероватноћа догађаја В,. Вероватноћа њихове уније је,6. Одредити вероватноћу: а) да се реализују и А и В б) да се реализује А, али не В в) реализује или комплемент А или комплемент В г) да се реализује комплемент А или комплемент В д) да се реализује разлика догађаја А и В.. Колика је вероватноћа да добијем седмицу на ЛОТО-у, ако уплатим једну комбинацију?. У кутији се налази 6 белих, 7 црвених и зелене куглице. Одредити вероватноћу: а) да ће се при истовременом извлачењу две куглице извући једна бела и једна зелена куглица. б) да се при истовременом извлачењу две куглице неће извући две црвене куглице. в) да ћемо четири пута узастопно извући црвену куглицу, уколико приликом извлачења враћамо извучену куглицу. г) да ћемо три пута за редом извући зелену куглицу уколико не враћамо извучену куглицу. д) да ћемо при извлачењу једне куглице извући или белу или црвену куглицу. 6 Решење: а) 7 г) p д) p б) p p в) p 7. Од особа међу којима је 7 мушкараца могуће је унапредити особе у више звање. Колика је вероватноћа да ће бити унапређено: а) тачно мушкарца и жене, б) најмање жена?

236 Вероватноћа и статистика 5. У предузећу је запослено 8 економиста и правника. Насумично се бира тим од 5 чланова. Колика је вероватноћа да ће тиму да буду троје економиста и двоје правника? 8 Решење: Цифре,,...9 су поређане у низ на случајан начин. Колика је вероватноћа да и не буду суседне? 9! Решење: p A pa.! 5 7. Никола је заборавио последње две цифре шестоцифреног броја телефона и једино се сећа да су биле различите. Колика је вероватноћа да ће у првом покушају погодити број? 8. Телефонски број се састоји од шестоцифреног броја између и Колика је вероватноћа да ће број имати све цифре различите? 9. Од карте играч добије карата. Одредити вероватноћу да ће добити пика, трефа, каро и срца.. Из шпила од 5 карте извуку се насумице три карте. Колика је вероватноћа да ће међу извученим картама бити тачно једна дама?. Међу производа су дефектна. Колика је вероватноћа да се међу 7 случајно изабраних налазе тачно дефектна?. Коцка чије су све стране обојене расечена је на коцкица истих димензија. Добијене коцкице су стављене у кутију и измешане. Колика је вероватноћа да случајно изабрана коцкица има: А) три обојене стране Б) две обојене стране В) једну обојену страну?. Шпил од 5 карте случајно се дели на два једнака дела (по 6 карата). Наћи вероватноћу да у оба 6 дела има једнак број црних и црвених карата Ако је вероватноћа рођења женског детета,5 одредити вероватноћу да ће у породици са четворо деце бити бар једна девојчица.,8 5. Направити скуп могућих исхода за истовремено бацање две коцке. Одредити вероватноћу да: А) збир на коцкицама буде 8 (5/6) Б) збир на коцкицама буде највише 5 (5/8) В) збир на коцкицама буде најмање 5 (5/6) Г) обе коцкице показују исти број (/6) Д) прва коцкица показује мањи број од друге (5/) Ђ) да су добијени бројеви узајамно прости (/6) 6. Два стрелца истовремено гађају у циљ. Један има 9% шансе да погоди, а други 6%. Наћи вероватноћу да бар један погоди циљ. 7. У кутији се налази црвених и зелених куглица. Извлаче се, без враћања, једна по једна куглица. Израчунати вероватноћу да ће у три извлачења бити извучена бар једна зелена куглица. 8. Коцка се баца два пута. Одредити вероватноћу догађаја: А: Збир добијених бројева је једнак 9. В: Збир добијених бројева је већи од 5, а мањи од, С: Збир добијених бројева је паран број, D: Први добијени број је већи од другог, E: Већи од добијених бројева је мањи од, F: Бар један од добијених бројева је непаран, G: Збир квадрата добијених бројева је 5.

237 Вероватноћа и статистика Решење: ; ; ; ; ; p F ;. Завршни део часа: Парадокс рођендана: Који је минималан број људи на скупу да би вероватноћа да постоје две особе рођене истог датума била већа од 5%? Одговор:. Уколико сретнете некога на улици вероватноћа да је рођен истог датума као и ви је /65, тј.,7%. Уколико зауставите људи вероватноћа је мало већа од 5% (/65). Уколико су у соби особе вероватноћа је 5%, а уколико је у соби људи вероватноћа је чак 9% n p.... Овај парадокс се користи у криптографији Парадокс бесконачног куцања на машини: Мајмун на случајан начин удара по тастатури. Колика је вероватноћа да ће у неком тренутку откуцати сабрана дела Виљема Шекспира? Одговор:. Сви смо чули да уколико милион мајмуна типка по милион тастатура постоји вероватноћа да ће откуцати комплетна дела Шекспира. Данас, захваљујући Интернету, ми знамо да то није истина. Роберт Силенски Домаћи задатак: Неурађени задаци са часа и 65, 67, 68. 5

238 6 Вероватноћа и статистика

239 Вероватноћа и статистика Редни број часа Независност и зависност догађаја. Условна вероватноћа Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, рад са текстом Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: усвајање појма независности догађаја и условне вероватноће Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, оспособљавање за употребу математичког језика Васпитни задатак: неговање уредности и прецизности, развијање прецизности језика Резултат часа: оспособљавање ученика да уоче разлику између независних и зависних догађаја и израчунају условну вероватноћу догађаја Кључне речи: независни догађаји, условна вероватноћа Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: решавање задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити: Дефиниција: За догађаје A, B кажемо да су независни уколико реализација једног догађаја нема утицаја на реализацију другог догађаја. За два независна догађаја важи pab pa pb Главни део часа: Дефиниција: Условна вероватноћа догађаја B у односу на догађај A (вероватноћа да се десио догађај B под условом да је реализован догађај A ) је p AB p B A. pa Може се уочити да је, уколико су догађаји независни, ова формула еквивалентна са p AB p A p B. Примери:. Вероватноћа догађаја А једнака је, а вероватноћа догађаја АВ је 5. Догађаји А и В су независни. Израчунати AB pb A p,.. У кутији се налази 6 плавих и 5 црвених куглица. Извлаче се три куглице одједном. Ако се зна да је извучена бар једна плава куглица израчунати вероватноћу да су извучене све три плаве куглице. Решење: Нека је догађај А извучена је бар једна плава куглица, а догађај В извучене су све три плаве куглице. Из тога следи да је 7

240 Вероватноћа и статистика p 5 6 p A ; pb pb A AB A. Стрелци гађају два циља. Вероватноћа да ће бити погођен циљ А износи,98, а вероватноћа да ће бити погођен циљ В износи,75. Ако се зна да циљ А није погођен колика је вероватноћа да је погођен циљ В? Решење: Нека је догађај А догађај погођен је циљ А, а догађај В погођен је циљ В. Онда је p A,98,; pb,75; pab,5 pb A, 75, p,,75,5. У кутији се налази белих и 5 црвених куглица. Извлаче се једна по једна куглица, без враћања извучене куглице. Наћи вероватноћу да је друга извучена куглица црвена. Ако је прво извучена црвена куглица колика је вероватноћа да ће поново бити извучена црвена куглица? Решење: Нека је А у првом извлачењу је извучена црвена куглица, а догађај В у другом извлачењу је извучена црвена куглица. p 5 5 A ; pb ; pab p B A У продавници се налази 5 аутомобилских гума произведених у једној и гума произведених у другој фабрици. Купац насумице купује гуме. Колика је вероватноћа да ће друга купљена гума бити из друге фабрике, ако је прва гума била из те фабрике? 7 Решење: Нека је догађај А прва купљена гума је из прве фабрике, а догађај В друга купљена гума је из друге фабрике p A ; pab pb A У неком граду % становника има плаву косу, 5% има плаве очи, а 5% има плаву косу и плаве очи. Насумице је одабран један становник тога града. Одредити вероватноћу да: а) Ако има плаву косу да ће имати и плаве очи; б) Ако има плаве очи да неће имати плаву косу; в) Колика је вероватноћа да неће имати ни плаву косу ни плаве очи? p Решење: а) OK 5 p O K б) p K O pk O pk в) p O K po pk pok po K po K 5 5 Завршни део часа: Домаћи задатак: 66, 67, 68, 69. 8

241 Вероватноћа и статистика Редни број часа Тотална вероватноћа. Формула тоталне вероватноће Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, рад са текстом Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: усвајање формуле тоталне вероватноће и њене примене приликом решавања задатака Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да правилно употребе формулу тоталне вероватноће Кључне речи: формула тоталне вероватноће Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Посматрајмо следећи проблем: У просторији се налазе три једнаке кутије. У првој се налази 5 белих и црне, у другој 6 белих и црних, а у трећој беле и црне куглице. Насумице се из произвољне кутије извуче једна куглица. Одредити вероватноћу да ће извучена куглица бити бела. Решење: Куглицу можемо изабрати из прве, друге или треће кутије. Са A означимо догађај да је изабрана прва, са A да је изабрана друга, а са A да је изабрана трећа кутија. Зваћемо их хипотезе. p A pa pa. Нека је догађај В извучена је бела куглица. 5 6 p B A ; pb A ; pb A B pa pb A pa pb A pa pb A p Ова формула зове се формула тоталне вероватноће. Главни део часа: Теорема (формула тоталне вероватноће): Нека су B A A... A n, тада је A,A,...,An међусобно дисјунктни догађаји. Ако је B А А А А 9 Ω

242 Вероватноћа и статистика Задаци: p B pa pb A pa pb A... pan pb An pai pb Ai. Три стрелца гађају циљ и погађају га редом са вероватноћама p,7; p,95; p, 8. Случајно се бира стрелац који гађа циљ. Колика је вероватноћа да је циљ погођен? Решење: p, 7, 95, 8. У рачуноводственој фирми ради 5 жена и 5 мушкараца. Вероватноћа да погреши код жена је,; а код мушкараца,. Случајно се бира један рачуновођа. Колика је вероватноћа да ће направити грешку? 5 5 Решење: p,,. У продавници се налази производа из једне, из друге и из треће фабрике. Вероватноћа да производ буде неисправан је редом,;,;,5 за сваку фабрику. Колика је вероватноћа да случајно изабрани производ буде исправан? Решење: p, 9, 68, На семинару учествује Енглеза, Француза и Срба. Вероватноћа да учесници говоре руски језик је редом, за Енглезе,, за Французе и, за Србе. Колика је вероватноћа да случајно изабрани учесник говори руски? Решење: p,,,. 5. Магационеру су враћене кутије са шкартом. Пошто је у кутији било и исправних производа, он их је разврстао на следећи начин: - кутије са по три производа, од тога шкарт - кутију са производа свих шкарт - кутије са по производа од тога по један шкарт Контролор насумице узима једну кутију и, не гледајући, извлачи из ње производ. Колика је вероватноћа да је извучен исправан производ? (/7) 6. Прва партија производа из једне фабрике упакована је у 5 кутија. У свакој кутији заједно са производима прве класе је и % производа друге класе. Друга партија производа упакована је у 5 кутија и у свакој од њих је 95% производа прве и 5% производа друге класе. Наћи вероватноћу да се из случајно изабране кутије извуче производ прве класе. (,965) 7. Авион се гађа са три метка. Вероватноћа поготка првим метком је,5, другим,6 и трећим,8. Од једног поготка авион ће бити оборен са вероватноћом,, од два поготка са вероватноћом,6 и од три поготка сигурно. Колика је вероватноћа да авион буде оборен? (,59) 8. У корпи се налази 8 тениских лоптица, од којих су нове. За први меч се на случајан начин бирају лоптице, које се након меча враћају у корпу, па се за други меч поново узимају лоптице. Која је вероватноћа да се друга партија игра само са новим лоптицама?(5/9) Завршни део часа: Домаћи задатак: 656, 657, 658, 659. n i

243 Вероватноћа и статистика Редни број часа Бајесова (Бејзова) формула Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, рад са текстом Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: усвајање Бајесове формуле и њена примена приликом решавања задатака Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да правилно употребе Бајесову формулу Кључне речи: Бајесовава формула Активности наставника: увођење Бајесове формуле и израда примера, избор задатака и вођење ученика кроз задатке. Активности ученика: израда задатака. Наставна средства: слике, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити формулу тоталне вероватноће. Вратимо се на пример са претходног часа: У просторији се налазе три једнаке кутије. У првој се налази 5 белих и црне, у другој 6 белих и црних, а у трећој беле и црне куглице. Насумице се из произвољне кутије извуче једна куглица. Одредити вероватноћу да ће извучена куглица бити бела. Можемо ли наћи вероватноћу да је куглица узета из прве кутије уколико знамо да је извучена бела куглица? Thomas Bayes (7 76), енглески математичар Главни део часа: Теорема (Бејзова формула): Нека су B A A... A n, тада је p A B A,A,...,An међусобно дисјунктни догађаји. Ако је pai pb Ai n pai pb Ai Значи да је одговор на постављено питање: Означимо са В догађај «извучена је бела куглица», следи да је i i p A pb A i p B i.

244 Вероватноћа и статистика Задаци: p 5 5 A B 8,. Три стрелца гађају циљ истовремено. Вероватноће да погоде циљ су редом p,; p,; p,8. Ако је циљ погођен једним метком колика је вероватноћа да га је погодио први стрелац? Решење: Нека је В догађај «циљ је погођен једном». По формули тоталне вероватноће је p,,667 B,,,8,667 pa B, 86. Узроци смрти пацијената су срчана обољења, карцином, остало, редом,;,;,. Вероватноћа смрти за болесника оболелог од срчаног обољења је,, за болесника од карцинома,65, а код осталих обољења,5. Ако је познато да је наступила смрт колика је вероватноћа да је у питању срчани болесник? Решење: p B,,,,65,,5,56 p,,,56 A B, 7. У стоваришту се налази производа из фабрике А, из фабрике В и из фабрике С. Вероватноћа да је производ исправан је редом,78;,56;,9 за сваку фабрику. Ако је случајно изабрани производ неисправан, израчунати вероватноћу да је из друге фабрике. Решење: p B 9 p,,6,,5 9 9,6 A B 9, 88,5. Два стрелца гађају у мету независно један од другог. Вероватноћа да ће погодити први је,8, а други,. Констатовано је да је мета погођена једанпут. Колика је вероватноћа да је погодио први, а колика вероватноћа да је погодио други стрелац? Решење: А: Мета је погођена једанпут, Н : Погодио је први стрелац, Н : Погодио је други стрелац p H,8,6,8; p H,,,8; p A p H p A H p H p A H,8,8,56 p H A p H pa H A,8,86; ph,56 A p H pa H A,8,,56 p p 5. У кутији А налази се 9 листића нумерисаних бројевима,,...,9, а у кутији В 5 листића нумерисаних бројевима,,,,5. Насумице бирамо кутију и извлачимо један листић. Ако је број на листићу паран одредити вероватноћу да је извучен из кутије А. Решење: А: Извучен је паран број, Н : Изабрана је прва кутија, Н : Изабрана је друга кутија,

245 Вероватноћа и статистика p p H ph ; pa H ; pa H A ph pa H ph pa H p H A p H pa H A, ; 5, 5 p 6. Становништво се састоји од % мушкараца и 6% жена. 5% жена и % мушкараца пуши. Колика је вероватноћа да је насумице изабрани пушач мушкарац? pm pp M,,, Решење: M P p, 9. p,,, 6, 5, M pp M pz pp Z 7. У предузећу ради 6% мушкараца и % жена. Факултетско образовање има 6% мушкараца и 55% жена. Случајно је изабрана једна факултетски образована особа. Колика је вероватноћа да је у питању жена? pz pf Z,, 55, Решење: pz F, 8. p M p F M p Z p F Z, 6, 6,, 55, 58 Монти Хол парадокс: Учесник сте у квизу у коме бирате између троје врата. Иза једних су кола, а иза преосталих двоје врата коза. Изабрали сте врата. Водитељ отвара једна од преосталих врата иза којих је коза. Водитељ Вас пита желите ли да промените своју одлуку. Да ли су Вам веће шансе уколико промените одлуку? Аутомобил се налази иза врата број Аутомобил се налази иза врата број Играч прво бира врата број Аутомобил се налази иза врата број Водитељ отвара врата број Водитељ отвара врата број Водитељ отвара врата број Водитељ отвара врата број Вероватноћа / Вероватноћа /6 Вероватноћа /6 Вероватноћа / Заменом побеђује Заменом губи Заменом губи Заменом побеђује Променом одлуке удвостручује шансе. Променом одлуке удвостручује шансе. Завршни део часа: Домаћи задатак: 66., 66., 66.

246 Вероватноћа и статистика

247 Вероватноћа и статистика Редни број часа Условна и тотална вероватноћа вежбање Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, рад са текстом Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: усвајање правила збира и производа и њихова примена приликом решавања задатака Функционални задатак: развијање аналитичности, систематичности и концизности и прецизности језика Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности, развијање интересовања за математику, вршњачка подршка Резултат часа: оспособљавање ученика да самостално или уз помоћ групе реше задатак из вероватноће Кључне речи: формула тоталне вероватноће, Бајесова формула Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: збирка, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Подела ученика на групе и подела задатака. Главни део часа: Прва група:. У фабрици се % делова производи на стругу, 5% на брусилици, док се остали делови обрађују ручно и то са вероватноћом дефекта,;, и,5, респективно. Израчунати вероватноћу да је дефектни артикл произведен ручно. (,7). Постоје две серије истих артикала. У првој серији су сви артикли исправни, а у другој / од читаве серије су неисправни. На случајан начин је узет један артикал из случајно изабране серије и показало се да је исправан. Колика је вероватноћа да је узети артикал из прве, а колика да је извучена из друге серије? (,57;,857). У радионици се 5% артикала производи на машини А, 5 % на машини А, а остали на машини А. Проценат неисправних производа произведених на машинама А, А и А износи редом 5%, % и %. А) Израчунати вероватноћу да је случајно изабрани артикал неисправан. (,9) B) Ако се зна да је случајно изабрани артикал неисправан, израчунати вероватноћу да је произведен на машини А. (,6). У магацину се налазе сандуци са резервним деловима. У једном сандуку су сви делови исправни, а у другом је 5% неисправних. Одлучено је да се тај сандук врати произвођачу. Не знајући за договор, магационер насумице вади резервни део из једног сандука. Део је био исправан. Колика је вероватноћа да је магационер погрешио, тј. да је узео део из сандука који је предвиђен за враћање? (,) 5. Претпоставимо да је вероватноћа да понесем новчаник са собом,7. Ако је новчаник код мене, вероватноћа да је у једном од 5 џепова је подједнака. У аутобусу ми прилази џепарош, 5

248 Вероватноћа и статистика претреса џепа и не нашавши новчаник, одустаје. Колика је сада вероватноћа да је новчаник код мене? (,8) Друга група:. Три, на први поглед, исте кутије имају следеће садржаје: прва 5 белих и 5 црвених куглица, друга беле и 8 црвених, а трећа 9 белих и црвене куглице. А) Шта је вероватније: да ће из друге кутије бити извучена бела куглица, или да ће бела куглица бити извучена из случајно изабране кутије? (, је мање од,578) Б) Ако је извучена бела куглица, одредити вероватноћу да је она из друге кутије. (,5). На територији неке општине, у популацији радно способних становника, налази се 5% са нижим, % са средњим и 8% са вишим и високим образовањем. Међу средње образованим налази се 6% незапослених, а међу радно способним са вишим и високим образовањем %. За оне са нижом стручном спремом се зна да је % незапослених. Ако се на случајан начин бира један радно способан житељ општине и констатује да је он запослен, колика је вероватноћа да је он: А) са нижим образовањем (,88) Б) са средњим образовањем (,8). Професор математике зна из претходног искуства да студент који стално ради домаће задатке са вероватноћом,95 полаже испит, док за студента који не ради домаће задатке та вероватноћа иозноси,. Познато је да 5% студената ради домаће задатке. А) Одредити вероватноћу да ће случајно изабрани студент положити испит. (,65) Б) Ако случајно изабрани студент положи испит, која је вероватноћа да је он стално радио домаће задатке? (,55). У кутији се налази једна куглица која може бити бела или црна. У кутију се ставља једна бела куглица, па се из кутије на случајан начин бира куглица. Колика је вероватноћа да је у кутији већ била бела куглица ако је извучена бела куглица? (/) 5. Милош и Душан играју шах. Да би меч био занимљивији Милош баца коцкицу. Ако добије 5 или 6 Милош игра белим фигурама и побеђује са вероватноћом,6, уколико добије,, или Милош игра црним фигурама и побеђује са вероватноћом,5. Милош је добио партију. Колика је вероватноћа да је играо белим фигурама? (,) Трећа група:. У једној кутији се налази 8 белих и 6 црних куглица, а у другој белих и црне куглице. Случајно је изабрана кутија и куглица. Извучена је црна куглица. Одредити вероватноћу да је изабрана прва кутија. (,6). Тест крви за ретку болест која се појављује код од људи биће позитиван са вероватноћом од,95 код оболеле особе, а са вероватноћом,5 код особе која није оболела. Ако је тест позитиван, која је вероватноћа да је особа од које је узета крв оболела? (,). Вероватноћа да је случајно изабрани купац намештаја мушкарац је,65. Вероватноћа да је купац у браку је,75, а вероватноћа да је ожењени мушкарац је,5. Ако случајно бирамо једног купца, израчунати вероватноћу да је одабрано лице: А) женског пола (,5) B) неудата жена (,875) C) особа која није у браку (,5) D) удата жена (,65) E) ако је одабран купац мушког пола, одредити вероватноћу да је он у браку. (,769) 6

249 Вероватноћа и статистика. Међу туристима у једном туристичком месту 65% су мушкарци. Поред тога, 75% жена и 6% мушкараца су домаћи туристи. Израчунати вероватноћу да ће случајно изабрана особа бити: А) држављанин наше земље (,655) B) страна туристкиња (,875) C) Ако је случајно изабран мушкарац, одредити вероватноћу да је он странац. (,) 5. У једној кутији се налази 5 белих и 7 црвених куглица, а у другој беле и црвене куглице. На случајан начин се из прве у другу кутију пребацују куглице, а затим се из друге кутије извлачи једна куглица. А) Одредити вероватноћу да је извучена куглица беле боје. (,78) B) Ако је извучена бела куглица, одредити вероватноћу да су из прве у другу кутију пребачене једна бела и две црвене куглице. (,9) Завршни део часа: Парадокс медицинског теста: Посматрајмо случајну болест X која је релативно ретка и има је један човек од њих. Тест на дату болест има тачност 99%. (Ако пацијент болује од те болести резултат теста је позитиван у 99% случајева.) Ако пацијент који се тестира нема ту болест, вероватноћа да је тест позитиван је,5. Пацијент се тестирао и тест је позитиван. Колика је вероватноћа да има ову болест? Решење: За очекивати је да је вероватноћа 5%, али она је знатно мања: Нека А буде догађај да пацијент има ретку болест, а В догађај да је тест позитиван. pb ApA,99, pa B,98 p B A p A p B A p A,99,,5,9999 Лечење ретких болести је веома скупо и због овако мале вероватноће се тестови раде више пута. Универзитет у Тексасу користи Бејзову формулу приликом прављења тестова за тестирање различитих болести. 7

250 8 Вероватноћа и статистика

251 Вероватноћа и статистика Редни број часа Задаци из вероватноће Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, рад са текстом Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: оспособљавање ученика да реше једноставније задатке из вероватноће Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика да правилно употребуе математички језик, неговање уредности и прецизности, развијање међусобне сарадње Резултат часа: оспособљавање ученика да самостално или уз помоћ групе реше задатак из вероватноће Кључне речи: вероватноћа Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака, помоћ групи у изради задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Подела ученика на групе и подела задатака. Главни део часа: Прва група:. Одредити вероватноћу: А) две петице у два бацања коцкице (/6) Б) тројке на обе коцкице које се бацају истовремено (/6) В) три дечака у породици са троје деце (,5). Телефонски број се састоји од 7 цифара. Ако се претпоставља да постоје сви телефонски бројеви од до , колика је вероватноћа да у произвољно изабраном броју све цифре буду различите?. Од одборника, међу којима се налази жена и 8 мушкараца, бира се двочлана делегација. Колика је вероватноћа да се при случајном избору изаберу а) обе жене б) оба мушкарца в) један мушкарац и једна жена?. У једној кутији се налази 6 куглица од којих су беле, а у другој 7 куглица од којих су две беле. Извлачи се једна куглица из прве кутије и ставља у другу кутију. Затим се извлачи једна куглица из друге кутије. а) Колика је вероватноћа да је из друге кутије извучена куглица беле боје? б) Ако је из друге кутије извучена бела куглица, колика је вероватноћа да је куглица извучена из прве кутије била бела? 9

252 Вероватноћа и статистика Друга група:. У кутији се налази 5 лоптица црвене боје, плаве и зелене. Одредити вероватноћу: А) да се извуку две плаве куглице у два извлачења без враћања Б) три плаве куглице у три извлачења без враћања В) три плаве куглице у три извлачења са враћањем. Нека се у скупу од 5 професора очекује да 6% њих има здравствене тегобе. Ако се на случајан начин изабере 5 професора, колика је вероватноћа да међу њима има са здравственим тегобама? (,). Новчић се баца пута. Колика је вероватноћа да се грб појави не мање од пута и не више од 5 пута?. Имамо кутије са куглицама. У првој кутији се налазе бела и црна куглица. У другој кутији се налазе беле и црне куглице. У трећој кутији су беле и 5 црних, а у четвртој кутији 7 белих и црне куглице. Догађај A i, i,,, је избор i те кутије. Вероватноћа избора i кутије је pa i. Случајно се бира једна кутија и из ње се на случајан начин извлачи једна куглица. Колика је вероватноћа да је извучена куглица бела? Трећа група:. Два студента полажу један испит. Први има 7% шансе, а други 9% шансе да положи испит. Колика је вероватноћа да је бар један од њих положио испит?. Одредити вероватноћу да се из шпила од 5 карте, на случајан начин извуку: А) два кеца у два извлачења без враћања (,5) Б) Редом кец - пик и пик у два извлачења без враћања (,5) В) редом треф и кец пик у два извлачења без враћања (,9). Наћи вероватноћу да случајно изабрани двоцифрени број буде дељив: А) са и 5 истовремено (9/9) Б)са или са 5 (/5). Баца се коцка. Ако се појави или 6 узима се куглица из прве кутије, у супротном се узима куглица из друге кутије. Прва кутија садржи 8 белих и црне, а друга 5 белих и црне куглице. Колика је вероватноћа да извучена куглица буде бела? Прокоментарисати задатке и са целим одељењем урадити задатак:. Из шпила од 5 карте одједном су извучене. Одредити вероватноћу: А: Извучене су све четири десетке, В: Извучена је бар једна десетка С: Све изабране карте су различитог знака, D: Све изабране карте су исте боје (црвена, црна) 8 6 Решење: ; 5 ; 5 5 ; 5 Завршни део часа: Домаћи задатак: 6, 68, 6, 65. 5

253 Вероватноћа и статистика Редни број часа Геометријска вероватноћа (није предвиђено програмом) Тип часа: вежбање и проширивање Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка, илустрација Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: проширивање појма вероватноће Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да прошире знање о вероватноћи на проблеме из геометрије Кључне речи: геометријска вероватноћа Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Главни део часа:. (676.)У квадрат је уписан круг. Колика је вероватноћа да ће случајно изабрана тачка бити у кругу? a Решење: p,79. a. Средине страница квадрата чине нови квадрат. Случајно се бира тачка из већег квадрата. Одредити вероватноћу да је и у мањем квадрату. Решење: a p a,5. У дату коцку уписана је лопта. Одредити вероватноћу да је случајно изабрана тачка из коцке ван лопте. 5

254 Вероватноћа и статистика a a Решење: p,8. a. Две особе заказале су састанак у току једног сата, уз обавезу чекања од минута. Одредити вероватноћу сусрета ако је долазак сваке од особа једнако вероватан у сваком тренутку тог сата. Решење: Због договора око чекања мора да важи y y y, што је приказано 5 графички. p Бирају се, на случајан начин, два броја између и. Колика је вероватноћа да њихов производ буде мањи од 5? Решење: Вероватноћа је једнака односу осенченог дела према површини квадрата странице. Површина се састоји од правоугаоника и дела ограниченог хиперболом и -осом, па је тражена вероватноћа једнака P,5,5 5 d ln,5 ln ln,5 5 ln,

255 Вероватноћа и статистика 6. Буфонова игла: На столу су нацртане паралелне линије на међусобном растојању cm. На сто се баца игла дужине cm. Колика је вероватноћа да ће игла пресећи линију? Решење: Да ли ће игла пресећи линију зависи од растојања средишта игле (y) и угла који захвата у односу на паралелне линије. Очигледно је да важи y ; 8. Помоћу леве слике закључујемо y sin y y sin. Стога је тражена вероватноћа једнака односу површине дела равни ограниченог синусоидом и -осом и површине правоугаоника. P sin d (cos cos ) Завршни део часа: Питања ученика. Бонус задатак: На случајан начин се бирају бројеви квадратна једначина b c имати реална решења. b, c из интервала,. Наћи вероватноћу да ће Решење: Да би једначина имала реална решења дискриминанта не сме бити негативна тј. b, cтаквих да важи b, c b c. Догађај А: Решења једначине су реални бројеви је b d b, cc P A, A 8 5

256 Вероватноћа и статистика Бертранов (француски математичар 9.века) парадокс: У круг је уписан једнакостранични троугао. На случајан начин изабрана је тетива круга. Колика је вероватноћа да ће изабрана тетива бити дужа од странице троугла? Предложена су три решења. У првом случају један крај тетиве је теме троугла, а други крај случајно изабрана тачка кружног лука одређеног преосталим теменима троугла. У другом случају изабране су тетиве паралелне са страницом троугла, а у трећем случају тетиве садрже тачку уписаног круга једнакостраничног троугла. p p p Парадокс је последица непрецизне формулације произвољно изабрана тетива. 5

257 Вероватноћа и статистика Редни број часа Случајне променљиве. Закон расподеле случајне променљиве Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка, илустрација Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: усвајање појма случајне променљиве Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање логичког мишљења Васпитни задатак: оспособљавање ученика да правилно употребе математички језик, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да нађу закон расподеле случајне променљиве Кључне речи: случајна променљива, закон расподеле случајне променљиве Активности наставника: увођење новог појма, избор и решавање задатака Активности ученика: израда задатака Наставна средства: збирка, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: На примерима бацања коцке и новчића одредити скуп елементарних догађаја и њихове вероватноће. Главни део часа: Функција која пресликава скуп елементарних догађаја у скуп реалних бројева назива се случајна променљива. Примери:. У експерименту бацања новчића П,Г. Догађаји су једнаковероватни и уколико им доделимо нпр. вредности и добијамо случајну променљиву X :.. Бацају се две коцке истовремено и бележи збир добијених бројева. Може се писати нпр. p px. Расподела случајне променљиве је: X :

258 Вероватноћа и статистика 56 Расподела се може представити полигоном или хистограмом. Очигледно је да важи: Задаци:. Истраживање тврди да се 6% ученика плаши математике. Одабрана су два ученика на случајан начин. Ако X представља број ученика који се плаше математике наћи расподелу случајне променљиве X. Решење:. У кутији се налазе три куглице означене бројем, четири означене бројем и две означене бројем. Извлачи се једна куглица. Случајна променљива Х представља извучени број. Наћи расподелу случајне променљиве и израчунати вероватноћу А: Извучен је непаран број. Решење: : X 9 5 X p X p A p. У кутији се налази беле и 6 црних куглица. Извлачи се по једна куглица без враћања, док се не извуче црна куглица. Ако је Х случајна променљива која представља број извлачења наћи њену расподелу. Решење: : X. У кутији се налази 5 црвених и беле куглице. Извлаче се три куглице одједном. Случајна променљива представља број белих куглица. Наћи њену расподелу. Решење: : X,6,8,6 :,6,6,;,6,6,,;, X X p X p X p n i i i p p

259 Вероватноћа и статистика 5. Динар се баца док се не појави грб, али највише 5 пута. Наћи закон расподеле случајне променљиве Х која представља број бацања. 5 Решење: Завршни део часа: X : 8 Домаћи задатак: 68, 685, 687,

260 58 Вероватноћа и статистика

261 Вероватноћа и статистика Редни број часа Биномна расподела. Пуасонова расподела Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: усвајање биномне и Пуасонове расподеле Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика да правилно употребе математички језик, неговање уредности и прецизности Резултат часа: усвајање и примена биномне и Пуасонове расподеле Кључне речи: биномна и Пуасонова расподела Активности наставника: увођење појма биномне расподеле, избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: слике, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Анализа домаћег задатка. Главни део часа: Посматрајмо догађаје који имају само два исхода. (Нпр. бацање новчића или при бацању коцке посматрамо Пао је паран број или Пао је број 6.) 5 Бацамо коцку. Нека је догађај А: Пао је број 6. Очигледно је да је p A ; pa Уколико експеримент поновимо пута наћи вероватноћу да се број 6 појавио пута. 6 5 p 6 6 због тога што 6 може да се појави у четири од покушаја. У општем случају нека је догађај А такав да је pa p, онда је pa p q. Уколико експеримент поновимо n пута и посматрамо случајну променљиву која представља број n k реализација догађаја А важи: pk px k p k q n. Оваква расподела зове се биномна k расподела или Бернулијева шема. 59

262 Вероватноћа и статистика Задаци:. Стрелац погађа мету са вероватноћом,8. Колика је вероватноћа да ће у покушаја погодити 7 пута? 7 Решење:, 8,, 7. Међу производима једне фабрике налази се 6% неисправних производа. Ако узмемо узорак од 5 производа ( са враћањем) колика је вероватноћа да ће бити лоша? Наћи расподелу случајне променљиве X која представља број неисправних производима међу изабраним. 5 Решење:, 9, 6 5 X :., 79, 5, 99, 99, 6, Због заокругљивања могуће је да се код збира вероватноћа појави број који мало одступа од, што зависи од тачности одређивања вероватноћа p,9 ; p,9,6; p,9,6 ; p,9,6 ; p,9,6 ; p5,6. У банци ради људи у тиму на заједничком пројекту. Вероватноћа да неко од чланова тима погреши је,. Одредити вероватноћу да ће погрешити члана тима. 96 Решење: P ( X ),,98. Уочавамо да постоји проблем у раду са великим бројевима као што је, као и малим 96,98. У таквим случајевима када је вероватноћа p мала, а n велико, тако да је np користимо апроксимацију: n k nk k np p p np e k k! У нашем примеру добијамо P ( X ) e,! Завршни део часа: Домаћи задатак: 667, 668, 669, 67. 6

263 Вероватноћа и статистика Редни број часа Функција расподеле случајне променљиве и њена својства Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка, илустрација Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: усвајање појма функције расподеле Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика да правилно употребе математички језик, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да одреде функцију расподеле Кључне речи: функција расподеле Активности наставника: увођење појма функције расподеле Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Анализа домаћег задатка. Главни део часа: Функција расподеле је функција у ознаци F X која за сваки реалан број, одређује вероватноћу да је случајна променљива X узела вредност мању од или једнаку : F X PX До сада смо помињали дискретне случајне променљиве. То су случајне променљиве које узимају вредности из пребројивог скупа (скупа чији је кардинални број, тј.број елемената скупа, једнак кардиналном броју неког подскупа природних бројева, односно скупа који је коначан). P ( X ) P X p( ) F i i p p p n Пример: У некој школи 5% ученика су ученици првог разреда, % ученици другог разреда, трећег %, а преостали ученици су ученици четвртог разреда. Наћи расподелу случајне променљиве X која представља разред који похађа случајно одабрани ученик. Наћи функцију расподеле и прикажи је графички. i i 6

264 Вероватноћа и статистика Решење: Расподела случајне променљиве је: :,5,,,5 X, а функција расподеле: F ;,5;,65;,85; Задатак 686. Завршни део часа: Питања ученика. 6

265 Вероватноћа и статистика Редни број часа Гаусова (нормална) расподела Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка, илустрација Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења, развијање интересовања за математику Образовни задатак: усвајање Гаусове расподеле Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика да правилно употребе математичкоги језик, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да схвате и правилно примене нормалну расподелу Кључне речи: нормална расподела, Гаус Активности наставника: увођење појма нормалне расподеле, цртање графика или приказ на видео биму Активности ученика: постављање питања, уочавање и испитивање особина функције Наставна средства: збирка, креда, табла, видео бим, лаптоп Литература: Ивановић, Огњановић: Математика, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Случајна променљива је непрекидна уколико узима вредности из скупа који се не може приказати као низ (пребројив скуп). Нпр. узима вредности из интервала,. Не може се за сваки појединачни број узети позитивна вероватноћа пошто би збир вероватноћа, уместо да буде једнак, био бесконачан. Због тога је вероватноћа сваког броја (тачке) једнака нули по дефиницији тј. P ( X ) Главни део часа: Непрекидна функција је густина расподеле случајне променљиве уколико важи:. p( ), R. p ( ) d. a X b P p( ) d b а За случајну променљиву кажемо да има нормалну (Гаусову) расподелу ако је њена густина вероватноће једнака p( ) e, R. где је математичко очекивање и стандардна девијација Неке особине ове функције су (уколико има времена ученици нека испитају функцију):. Функција је дефинисана за R.. Функција је позитивна за R. 6

266 Вероватноћа и статистика. Функција је симетрична у односу на праву. Функција има хоризонталну асимптоту y. 5. Функција је растућа за и опадајућа за 6. Функција има максимум, 7. Функција има две превојне тачке. 8. График функције је: Стога важи p p За имамо нормирану нормалну расподелу p( ) e, чији је график приказан зеленом бојом. Вредности функције расподеле добијају са рачунара. e t dt већ се одређују из таблице вредности или се Завршни део часа: Галтонова кутија: Лоптица пада у кутију одбијајући се о клинове. Убачене лоптице образују Гаусову расподелу.