Laborator 3 I.S.A. Stabilitatea sistemelor liniare şi răspunsul în frecvență.

Transcript

1 Laborator 3 I.S.A. Stabilitatea sistemelor liniare şi răspunsul în frecvență. 1. Introducere Stabilitatea sistemelor liniare Stabilitatea internă Stabilitatea externă Exemple Trasarea caracteristicilor de frecvenţă logaritmice (Bode) Exemplu Analiza sistemelor liniare pe baza caracteristicilor de frecvenţă Exemplu Cerinţele lucrării de laborator Introducere Acest laborator urmăreşte: Prezentarea noţiunilor de stabilitate internă şi externă a sistemelor liniare şi a metodelor practice de testare a acestora. Trasarea caracteristicilor de frecvenţă logaritmice (Bode). Analiza sistemelor liniare utilizând caracteristicile în frecvență. 2. Stabilitatea sistemelor liniare Stabilitatea sistemelor este de două tipuri: internă, numită şi în sens Liapunov

2 2 Ingineria Sistemelor Automate Laborator 03 externă, numită şi în sens intrare mărginită, ieşire mărginită sau BIBO (Bounded Input, Bounded Output) 2.1 Stabilitatea internă Un sistem liniar este intern asimptotic stabil dacă evoluţia stărilor sale tinde către zero când t, în absenţa intrărilor (comenzi şi perturbaţii): (3.1) Din punct de vedere practic, verificarea stabilităţii interne asimptotice se face utilizând următoarea teoremă: Un sistem este intern asimptotic stabil dacă: Re( λ i ) < 0, t R în cazul sistemelor cu timp continuu (3.2) λ i < 1, t Z în cazul sistemelor cu timp discret unde: λ i sunt valorile proprii ale matricei A, din reprezentarea în spaţiul stărilor, adică soluţiile ecuaţiei: det(λi A) = 0. Relaţiile (3.2) definesc domeniile de stabilitate pentru sistemele liniare: Figura 3.1 Domeniul de stabilitate pentru sisteme liniare cu timp continuu. Figura 3.2 Domeniul de stabilitate pentru sisteme liniare cu timp discret.

3 Ingineria Sistemelor Automate Laborator 03 3 Observații: - Stabilitatea internă este determinată doar de valorile matricei A, celelalte matrice neavând nici o influență. - Dacă un sistem continuu este intern asimptotic stabil, prin discretizarea lui stabilitatea internă se păstrează. - În Matlab, valorile proprii ale unei matrici se pot obţine cu funcţia eig Exemplu: >> A=[0 1;-2-3]; >> eig(a) ans = Stabilitatea externă Din punct de vedere practic, verificarea stabilităţii externe stricte se face utilizând următoarea teoremă: Un sistem este extern strict stabil dacă: în cazul sistemelor cu timp continuu (3.3) în cazul sistemelor cu timp discret unde: p i sunt polii funcţiei de transfer, adică soluţiile ecuaţiei: Relaţiile (3.3) definesc aceleaşi domenii de stabilitate ca şi relaţiile (3.2), domenii prezentate în Figura 3.1 şi Figura 3.2. O definiţie alternativă a stabilităţii externe este: Un sistem este extern strict stabil dacă şi numai dacă, astfel încât pentru Altfel spus, dacă sistemul este extern strict stabil la o intrare mărginită, ieşirea este tot mărginită (Bounded Input, Bounded Output). Se poate demonstra că aceată condiţie se îndeplineşte numai dacă relaţiile (3.3) sunt respectate.

4 4 Ingineria Sistemelor Automate Laborator 03 Observaț ii: - Dacă un sistem este intern asimptotic stabil atunci el este şi extern strict stabil. În schimb este posibil ca un sistem să nu fie intern asimptotic stabil, dar să fie extern strict stabil. Acest lucru se întâmplă dacă în urma aducerii H(s) la forma ireductibilă se simplifică polii situaţi în zona de instabilitate. - În Matlab, rădăcinile unui polinom se pot obţine cu funcţia roots Exemplu: >> A=[1 4 3]; >> roots(a) ans = Exemple 1. Să se testeze stabilitatea internă şi externă pentru următorul sistem cu timp continuu: Rezolvare: a) Testarea stabilităţii interne. Se calculează valorile proprii ale matricei A, prin rezolvarea ecuaţiei det (si A) = 0 : Întrucât s 2 = 1 C sistemul nu este intern asimptotic stabil. b) Testarea stabilităţii externe. Se calculează funcţia de transfer cu sau alternativ utilizând >> A=[1 10;0-1]; >> b=[-1;1]; >> ct=[0 2]; >> d=0; >> [num,den]=ss2tf(a,b,ct,d) num = 0 2-2

5 Ingineria Sistemelor Automate Laborator 03 5 den = Se aduce H(s) la forma ireductibilă şi se determină polii, adică rădăcinile numitorului: Întrucât p 1 C - sistemul este extern strict stabil, deşi intern nu este asimptotic stabil. 2. Să se testeze stabilitatea internă şi externă pentru următorul proces discretizat: Rezolvare: a) Testarea stabilităţii interne. Se calculează valorile proprii ale matricei A, prin rezolvarea ecuaţiei det(zi A) = 0 : sau alternativ utilizând Matlab: >> Ad=[-0.5 0;0-0.5]; >> eig(ad) ans = Întrucât z 1, z 2 U 1 (0) sistemul este intern asimptotic stabil. b) Testarea stabilităţii externe. Deoarece sistemul este intern asimptotic stabil el este şi extern strict stabil. 3. Trasarea caracteristicilor de frecvenţă logaritmice (Bode) Pentru trasarea manuală a caracteristicilor de frecvenţă logaritmice se procedează astfel: Se aranjează H(s) în forma unde: k este factorul de amplificare de regim staţionar ;

6 6 Ingineria Sistemelor Automate Laborator 03 s q este numărul de integratoare (dacă q > 0 ) sau derivatoare (dacă q < 0 ) 1 + sτ i,k sunt polinoamele de ordinul 1 în s ale numărărorului şi numitorului 1 + 2ξτs j,l + τ 2 s 2 j,l sunt polinoame de ordinul 2 în s Se determină pulsaţiile de tăiere ale tuturor elementelor standard cu relaţia Trasarea caracteristiciilor se face începând cu frecvenţele joase. Valorile iniţiale pentru panta amplitudinii şi fază sunt: 20 q db respectiv -q π/2 unde s q este numărul de integratoare (dacă q > 0 ) sau derivatoare (dacă q < 0). Pentru caracteristica amplitudine-pulsaţie, dacă panta iniţială este nenulă, se calculează valoarea amplitudinii A(ω) pentru o anumită pulsaţie ω0 ω t1 unde ω t1 este cea mai mică pulsaţie de tăiere, astfel încât să se determine un punct prin care trebuie să treacă dreapta la frecvenţe joase. Caracteristica amplitudine-pulsaţie se ajustează ca pantă la fiecare pulsaţie de tăiere. În final, la frecvenţe înalte, panta caracteristicii logaritmice amplitudine pulsaţie trebuie să fie e 20 db, unde e = număr poli număr zerouri ale H(s). Caracteristica fază-pulsaţie se trasează cu aproximaţie, ajustându-se la fiecare pulsaţie de tăiere. În final, la frecvenţe înalte, defazajul trebuie să fie e π / 2, unde e = număr poli număr zerouri ale H(s) 3.1. Exemplu Să se traseze manual şi cu ajutorul Matlab, caracteristicile Bode, pentru funcţia de transfer: A) Trasarea manuală Funcţia este deja descompusă în elemente standard. Tabelul 1 prezintă polii şi zerourile ei precum şi pulsaţiile de tăiere asociate. Tabelul.1 - Pulsaţiile de tăiere corespunzătoare zerourilor şi polilor funcţiei de transfer Zerourile (rădăcinile numărătirului) Pulsațiile de tăiere Polii (rădăcinile numitorului) Pulsațiile de tăiere s = 0 zerou de ordin 2 - s = -10, pol de ordin 2 ω t = 10 s = zerou de ordin 1 ω t = 10 2 s = -10 3, pol de ordin 1 ω t = 10 3 s = zerou de ordin 2 ω t = 10 6 s = -10 5, pol de ordin 4 ω t = 10 5

7 Ingineria Sistemelor Automate Laborator 03 7 Panta iniţială este de + 40dB / decadă datorită dublului integrator s 2. La prima pulsaţie de tăiere ω t1 = 10-1 valoarea H(s) este: H 10 1 = H 10 1 db=20lg 10 1 = 20db Figura 3.3 Caracteristica logaritmică amplitudine-pulsaţie Figura 3.4 Caracteristica logaritmică fază-pulsaţie B) Trasarea utilizând Matlab >> s = tf('s') >> y = 10*s^2*(1+s/10^2)*((1+s/10^6)^2)/((1+s/10)^2*(1+s/10^3)*(1+s/10^ 5)^4); >>w = logspace(-1, 8, 100); % genereaza un vector de 100 de puncte, pe o % scara logaritmica, de 10-1 pana la 10 8 >> bode(y, w) >> grid

8 8 Ingineria Sistemelor Automate Laborator 03 Figura 3.5 Caracteristicile Bode obţinute cu Matlab 4. Analiza sistemelor liniare pe baza caracteristicilor de frecvenţă În cazul sistemelor de reglare automate, caracteristicile de frecvenţă logaritmice pot fi utilizate pentru: Proiectarea regulatoarelor Analiza sistemelor de reglare În cele ce urmează se va discuta cel de-al doilea punct. Figura 3.6 prezintă structura generală a unui sistem de reglare unde s-a notat cu H bd (s) = H R (s)h P (s) funcţia de transfer în buclă deschisă. Prin analiza caracteristicilor de frecvenţă ale H bd (s) se poate determina gradul de robusteţe al întregului sistem de reglare având funcţia de transfer echivalentă (în buclă inchisă): Figura 3.6 Schema unui sistem de reglare în buclă închisă Prima condiţie pentru ca un sistem de reglare să funcționeze este ca acesta să fie stabil.

9 Ingineria Sistemelor Automate Laborator 03 9 Acest lucru se poate deduce din caracteristicile de frecvență ale funcț iei de transfer în buclă deschisă H bd (s). Pentru ca sistemul în buclă închisă să fie stabil, este necesar ca amplitudinea (amplificarea) H bd (s) să fie subunitară (sau < 0 exprimată în db) când defazajul atinge minus 180 (vezi Figura 3.4). În acest moment, reacția negativă devine pozitivă ș i sistemul devine instabil dacă amplificarea H bd (s) ar fi supraunitară. Gradul de robusteț e al unui sistem de reglare este dat de rezerva disponibilă până la atingerea limitei de stabilitate. Această rezervă se poate exprima prin următorii indicatori de robustețe: Margine de amplitudine M A inversa amplitudinii (amplificării) când faza atinge minus 180 o. Marginea de amplitudine indică de câte ori mai poate fi crescută amplificarea sistemului pe bucla deschisă, până se atinge limita de stabilitate; Marginea de fază Mφ diferenț a dintre faza sistemului când amplitudinea (amplificarea) devine unitară şi -180 o. Marginea de fază indică defazajul suplimentar care mai poate fi introdus pe bucla deschisă, până se atinge limita de stabilitate; Marginea de întârziere timpul mort echivalent cu marginea de fază. Se calculează ca fiind raportul dintre marginea de fază (exprimată în radiani) şi pulsaţia ce corespunde acesteia. Marginea de întârziere indică durata timpului mort suplimentar ce poate fi introdus pe bucla deschisă, până când defazajul provocat de acesta devine egal cu marginea de fază când sistemul atinge limita de stabiltate. Marginea de întârziere reprezintă un alt mod de exprimare a marginii de fază; Marginea de modul valoarea minimă a expresiei 1 + H bd (jω). Inversa acestei expresii caracterizează gradul de sensibilitate al sistemului în raport cu perturbaţiile. Amplificarea maximă este dată de inversa marginii de modul. Marginea de modul reprezintă o măsură a sensibilităţii maxime a sistemului. Valorile limită ale acestor indicatori, necesare asigurării unui grad de robusteţe acceptabil, sunt: Marginea de amplitudine M A : > 2 (6dB); Marginea de fază Mφ: ; Marginea de întârziere > T = perioada de eşantionare; Marginea de modul > 0.5 (-6dB). Observație: Indicatorii de robusteţe: margine de amplitudine şi de fază se pot obţine în Matlab cu funcţia margin. Figura 3.4 Caracteristicile Bode cu evidenţierea marginii de fază şi de amplitudine

10 10 Ingineria Sistemelor Automate Laborator Exemplu Să se determine marginea de fază Mφ, marginea de amplitudine M A şi pulsaţiile corespunzătoare lor pentru funcţia de transfer: >> num = [ ]; >> den = [1/10 7/10 1 0]; >> w=logspace(-1,2,100); % genereaza un vector de 100 de puncte, pe o scară % logaritmica, de la 10-1 pana la 10 2 >> [mag, phase] = bode(num, den, w); % calculeaza raspunsul in frecventa >> [Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin(mag, phase, w) %caluleaza MA şi Mφ şi % pulsaţiile lor >> mag = 20*log10(mag); >> subplot(211), semilogx(w, mag) >>subplot(212), semilogx(w, phase) Gm = Pm = Wcg = Wcp = Marginea de amplitudine: Gm = 3,5017 (10,881 db), la 3,1623 rad/s Margine de fază: Pm =35,787 deg, la 1,5224 rad/sec. 5. Cerinţele lucrării de laborator 1. Să se traseze manual caracteristicile de frecvenţă pentru funcţia de transfer: Se vor compara graficele obţinute cu cele date de MATLAB. 2. Să se determine marginea de fază şi marginea de amplitudine pentru funcţia de transfer: