Υδραυλική των Υπόγειων Ροών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Υδραυλική των Υπόγειων Ροών"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Υδραυλική των πηγαδιών Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιφαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Θεοδοσίου Καθηγητής Περικλής Λατινόπουλος ΑΠΘ

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Υδραυλική των πηγαδιών

5 Ορισμοί και γενικότητες (1/4) Πηγή: Ξυγγόπουλος Α., Οι τοιχογραφίες του Αγίου Νικολάου Ορφανού, Αθήνα 1964, σελίδα 46, Πίνακας 90. 5

6 Ορισμοί και γενικότητες (/4) Χειροκίνητη αντλία νερού. Πηγή: Προσωπικό Αρχείο Κ. Κατσιφαράκη. 6

7 Ορισμοί και γενικότητες(3/4) Πτώση στάθμης : s(x, y, t) Σχήμα 1: Πτώση στάθμης σε υπόγειους υδροφορείς: (α) με ελεύθερη επιφάνεια (β) με πίεση. Πηγή: Π. Λατινόπουλος,, Υπηρεσία Δημοσιευμάτων ΑΠΘ, 1986, σελ

8 Ορισμοί και γενικότητες(4/4) Let us do everything as simply as possible, but then, no more simply than that A. Einstein 8

9 Υπόθεση οριζόντιας ροής (1/) Σχήμα : Εξαιρέσεις της υπόθεσης οριζόντιας ροής: (α) άντληση από φρεάτιο υδροφορέα με σημαντική πτώση στάθμης (β) ροή σε πηγάδι μερικής διείσδυσης σε περιορισμένο υδροφορέα. Πηγή: Π. Λατινόπουλος 1986, σελ

10 Υπόθεση της μόνιμης ροής (/) Σε έναν άπειρης έκτασης υδροφορέα, θεωρητικά δεν είναι δυνατόν να υπάρξει μόνιμη ροή, αφού αντλούμε συνεχώς νερό από το πηγάδι, άρα ο κώνος πτώσεως αυξάνεται συνεχώς. Πρακτικά μετά από κάποιο χρονικό διάστημα, η πρόσθετη πτώση στάθμης γίνεται ανεπαίσθητη. Έτσι μπορούμε να ορίσουμε την ακτίνα επιρροής του πηγαδιού με τον ακόλουθο τρόπο: Ακτίνα επιρροής ενός πηγαδιού είναι η απόσταση πέρα από την οποία η ροή δεν επηρεάζεται από τη λειτουργία του πηγαδιού αυτού. Αξίζει να σημειωθεί ότι στα μόνιμα φαινόμενα δεν υπεισέρχεται η αποθηκευτικότητα. 10

11 Μόνιμες ροές σε πηγάδια Πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα (1/) Σχήμα 3: Πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα Πηγή: Π. Λατινόπουλος 1986, σελ

12 Μόνιμες ροές σε πηγάδια Πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα (/) d φ dr 1 r dφ dr 0 d s dr s C 1 1 r ds dr lnr C 0 πr Tds dr o (Darcy) (s 0 για r R) s o πt R ln r (σχέση του Dupuit) s 1 s o πt r ln r 1 (σχέση του Thiem) s s o o πt ln r r o 1 1

13 Ακτίνα του πηγαδιού Μπορεί να χρησιμοποιηθεί με ασφάλεια μόνο στην περίπτωση ανεπένδυτης γεώτρησης, οπότε είναι ίση νε την ακτίνα της οπής της γεώτρησης. Στις συνηθισμένες περιπτώσεις, όπου οι αντλήσεις γίνονται από διάτρητα τμήματα σωληνώσεων των γεωτρήσεων και ιδιαίτερα όταν υπάρχουν αμμοχαλικώδη φίλτρα, η στάθμη του νερού μέσα στο πηγάδι είναι σε διαφορετικό βάθος από τη στάθμη της πιεζομετρικής επιφάνειας εξωτερικά του πηγαδιού. Σε αυτές τις περιπτώσεις το r 0 που υπεισέρχεται στις εξισώσεις είναι μεγαλύτερο από την ακτίνα της γεώτρησης. 13

14 Μόνιμες ροές σε πηγάδια Πηγάδι σε φρεάτιο υδροφορέα (1/) Σχήμα 4: Πηγάδι σε φρεάτιο υδροφορέα. Πηγή: Π. Λατινόπουλος 1986, σελ

15 Μόνιμες ροές σε πηγάδια Πηγάδι σε φρεάτιο υδροφορέα (/) πrhq r σταθ. dh πrhk dr o (Darcy) hdh C 1 lnr C h H H o πk h h o dr r o lnr C πk o R ln πk r o R ln πk r o (h H για r R) (h h o για r r ) o (σχέση Dupuit - Forchheimer) s o πkh1 s H ln R r (s H h) s o πt R ln r (T KH) 15

16 Μόνιμες ροές σε πηγάδια-πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα με διαρροή (1/7) Σχήμα 5: Πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα με διαρροή. Πηγή: Π. Λατινόπουλος 1986, σελ

17 Μόνιμες ροές σε πηγάδια - Πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα με διαρροή (/7) 17

18 Μόνιμες ροές σε πηγάδια - Πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα με διαρροή (3/7) 18

19 Μόνιμες ροές σε πηγάδια-πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα με διαρροή (4/7) Τροποποιημένες συναρτήσεις Bessel Λύσεις της εξίσωσης: x y xy x n y 0 19

20 Μόνιμες ροές σε πηγάδια-πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα με διαρροή (5/7) Άσκηση Υδροφορέας υπό πίεση, πάχους 18 m και υδραυλικής αγωγιμότητας m/s, περιορίζεται από κάτω από αδιαπέρατο πυθμένα, ενώ από πάνω από ημιπερατό στρώμα πάχους 3 m και υδραυλικής αγωγιμότητας m/s. Ο υπερκείμενος φρεάτιος υδροφορέας εμφανίζει μια οριζόντια, σταθερής στάθμης, ελεύθερη επιφάνεια. Στον υπό πίεση υδροφορέα λειτουργεί πηγάδι άντλησης, εσωτερικής διαμέτρου 0.50 m, με παροχή 0.05 m 3 /s. Θεωρώντας ότι έχει αποκατασταθεί το μόνιμο φαινόμενο, ζητούνται: α) Να υπολογισθεί η πτώση στάθμης στην παρειά του πηγαδιού. β) Να υπολογισθεί η απόσταση r από τον άξονα του πηγαδιού στην οποία η πτώση στάθμης στον υδροφορέα είναι το 1/8 της αντίστοιχης τιμής στην παρειά του πηγαδιού. γ) Να υπολογισθεί η παροχή του υπόγειου νερού που περνάει από την κυλινδρική διατομή του υδροφορέα με ακτίνα r (που υπολογίσθηκε στο ερώτημα β). 0

21 Μόνιμες ροές σε πηγάδια-πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα με διαρροή (6/7) Λύση Τ = bk = = m/s λ = (Τb 1 /K 1 ) 1/ = /( ) = m r 0 /λ = << 1 1

22 Μόνιμες ροές σε πηγάδια-πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα με διαρροή (7/7)

23 Μόνιμες ροές σε πηγάδια-πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα με διαρροή (7α/7) 3

24 Μόνιμες ροές σε πηγάδια-πηγάδι σε φρεάτιο υδροφορέα με διαρροή (1/) Σχήμα 6: Πηγάδι σε φρεάτιο υδροφορέα με διαρροή. Πηγή: Π. Λατινόπουλος 1986, σελ

25 Μόνιμες ροές σε πηγάδια-πηγάδι σε φρεάτιο υδροφορέα με διαρροή (/) C dc dr dh πtr dr φ h πr c (Darcy) (εξίσωση συνέχειας) d h dr 1 r dh dr φ h Tc 0 (h H για r και o για r r o ) h φ o K πt o (r λ) o r λ K 1 ( r λ ) (λ (Tc) 1 ) 5

26 Συστήματα πηγαδιών (1/3) Εφαρμογή της αρχής της επαλληλίας Ροή υπό πίεση s n s i i1 s 1 K n i1 i ln (x x i ) (y R y i ) n i1 i T ln R r i Ροή με ελεύθερη επιφάνεια H h 1 1 K n i1 i ln (x x i ) (y R y i ) 6

27 Συστήματα πηγαδιών (/3) Ειδική περίπτωση. Ίσες παροχές πηγαδιών σε ροή υπό πίεση 1 = = = n = 0 s n i1 0 T ln R r i n0 T ln R r * i όπου r * i r 1 r... r n 1/ n 7

28 Συστήματα πηγαδιών (3/3) Σχήμα 7: Γραμμή πηγαδιών σε περιορισμένο υδροφορέα. s i o πτ j j ln [ x R (y jα) ] 1 s i o πτ ln cosh π(x cosh π(x R) / α R) / α cos πy / α cos πy / α 8

29 Η μέθοδος των εικόνων (1/8) Η μέθοδος των εικόνων χρησιμοποιείται για την κατασκευή του μαθηματικού ομοιώματος σε ημιάπειρα πεδία ροής, στα οποία υπάρχουν ευθύγραμμα όρια. Στην ουσία είναι η διαδικασία με την οποία μπορούμε να αναχθούμε σε ένα ισοδύναμο άπειρο πεδίο ροής και να χρησιμοποιήσουμε τους γνωστούς τύπους υπολογισμού του υδραυλικού φορτίου και των ταχυτήτων, που ισχύουν σε αυτό. Το τίμημα που πληρώνουμε για να απαλλαγούμε από τα όρια είναι ότι στο ισοδύναμο άπειρο πεδίο υπάρχουν πολλαπλάσια πηγάδια από τα πραγματικά. Έτσι, αν στο πραγματικό πεδίο υπάρχει ένα ευθύγραμμο όριο και n πηγάδια, στο ισοδύναμο θα υπάρχουν συνολικά n πηγάδια. Τα πρόσθετα φανταστικά πηγάδια είναι συμμετρικά των πραγματικών ως προς το όριο, όπως φαίνεται στο σχήμα 1. Σε αυτό το γεγονός οφείλει η μέθοδος το όνομά της, αφού τα φανταστικά πηγάδια είναι «εικόνες» των πραγματικών ως προς το όριο. 9

30 Η μέθοδος των εικόνων (/8) Σχήμα 8: Εφαρμογή της μεθόδου εικόνων για πηγάδι κοντά σε όριο δεξαμενής. Πηγή: Π. Λατινόπουλος 1986, σελ

31 Η μέθοδος των εικόνων (3/8) Σχήμα 9: Εφαρμογή της μεθόδου εικόνων για πηγάδι κοντά σε όριο δεξαμενής. 31

32 Η μέθοδος των εικόνων (4/8) Εφαρμογή της μεθόδου εικόνων για πηγάδι κοντά σε όριο δεξαμενής. Ροή υπό πίεση s o πτ R ln r o πτ R ln r' o πτ r' ln r o 4πΤ ln (x (x x x o o ) ) y y s 1 K n i1 i ln (x (x x x i i ) ) (y (y y y i i ) ) Ροή με ελεύθερη επιφάνεια H h 1 1 K n i1 i ln (x (x x x i i ) ) (y (y y y i i ) ) 3

33 Η μέθοδος των εικόνων (5/8) Σχήμα 10: Εφαρμογή της μεθόδου εικόνων για πηγάδι κοντά σε αδιαπέρατο όριο. Πηγή: Π. Λατινόπουλος 1986, σελ

34 Η μέθοδος των εικόνων (6/8) Σχήμα 11: Εφαρμογή της μεθόδου εικόνων για πηγάδι κοντά σε αδιαπέρατο όριο. 34

35 Η μέθοδος των εικόνων (7/8) Εφαρμογή της μεθόδου εικόνων για πηγάδι κοντά σε αδιαπέρατο όριο Ροή υπό πίεση s o πτ R ln r o πτ R ln r' o πτ R ln rr' o 4πΤ ln [(x x o ) 4 R y ][(x x o ) y ] Ροή με ελεύθερη επιφάνεια H h 1 1 K n i1 i ln (x x i ) (y y i ) R (x x i ) (y y i ) 35

36 Η μέθοδος των εικόνων (8/8) Υδροφορέας μεταφορικότητας Τ=510-3 m /s, περιορίζεται από κάτω από οριζόντιο αδιαπέρατο πυθμένα, ενώ από πάνω από οριζόντιο ημιπερατό στρώμα με συντελεστή αντίστασης c = s. Από το πηγάδια Α και Β, που βρίσκονται κοντά σε λίμνη (όπως φαίνεται σε κάτοψη στο σχήμα), αντλείται συνολική παροχή =0.09 m 3 /s. Πώς πρέπει να κατανεμηθεί η παροχή στα αυτά πηγάδια, ώστε να παρουσιάζεται ίση πτώση στάθμης στις παρειές τους; Πόση είναι αυτή η πτώση στάθμης; Δίνεται ότι οι ακτίνες των πηγαδιών είναι r A = r B = 0.0 m, ενώ η ροή θεωρείται μόνιμη. 40 A Λίμνη B 36

37 Η μέθοδος των εικόνων (9/8) 37

38 Η μέθοδος των εικόνων (10/8) 40 A Λίμνη B 38

39 Η μέθοδος των εικόνων (11/8) 40 A Λίμνη B 39

40 Η μέθοδος των εικόνων (11α/8) 40 A Λίμνη B 40

41 Η μέθοδος των εικόνων (1/8) Για να γίνουν εργασίες σε ξηρό πυθμένα στην ορθογωνική εκσκαφή ΑΒΓΔ, που φαίνεται σε τομή και κάτοψη στο σχήμα, θα κατασκευασθεί ένα πηγάδι, στο μέσο της πλευράς ΑΒ ή στο μέσο της ΓΔ ή στο μέσο της ΔΑ. α) Σε ποιο σημείο πρέπει να κατασκευασθεί το πηγάδι αυτό, ώστε να μη μπαίνει νερό σε κανένα σημείο της εκσκαφής με το μικρότερο δυνατό κόστος άντλησης; β) Πόσο είναι αυτό το ελάχιστο κόστος και πόση η αντίστοιχη αντλούμενη παροχή; Δίνεται ότι: α) Ο συντελεστής σχετικής διαπερατότητας του υδροφορέα είναι Κ= m/s. β) Η ακτίνα του πηγαδιού είναι r = 0.0 m και γ) Το κόστος C δίνεται από τον τύπο: C = A ΔH w όπου A είναι ένας σταθερός συντελεστής, η αντλούμενη παροχή και ΔH w η απόσταση της επιφάνειας του εδάφους από τη στάθμη του νερού στο πηγάδι. Σημείωση: Δώστε το αποτέλεσμα για το κόστος ως συνάρτηση του συντελεστή Α. 41

42 Η μέθοδος των εικόνων (13/8) θάλασσα 6 Α Β 50 Δ Γ

43 Η μέθοδος των εικόνων (14/8) θάλασσα 6 Α Β 50 Δ Γ 30 H h 1 1 K π ln (x x (x x i i ) ) (y y (y y Θα πρέπει να ελεγχθούν και οι 3 περιπτώσεις τοποθέτησης του πηγαδιού α) Τοποθέτηση του πηγαδιού στο Ε (μέσο της ΑΒ). Κρίσιμα σημεία ελέγχου είναι το Γ (ή το Δ), που είναι το πιο απομακρυσμένο από το πηγάδι και το Α (ή το Β), που είναι το σχετικώς πιο απομακρυσμένο από το πηγάδι, από τα σημεία που είναι πλησιέστερα στη θάλασσα Έλεγχος στο Α 8 85 πk Έλεγχος στο Γ ln πk ln(0.1) 501πK.119 i i ) ) m 3 / s 8 85 πk ln πk ln(0.99) 501πK m 3 / s 43

44 Η μέθοδος των εικόνων (15/8) Η ελάχιστη απαιτούμενη παροχή, αν το πηγάδι τοποθετηθεί στο Ε, είναι: = m 3 /s Η στάθμη στη θέση του πηγαδιού για τη συγκεκριμένη παροχή είναι: H 85 K 0. ln K ( 6.43) H 67.49m Άρα: ΔΗ w = = 1.51 m και το αντίστοιχο κόστος άντλησης: C = A ΔH w =Α = 1.486Α β) Τοποθέτηση του πηγαδιού στο Ζ (μέσο της ΓΔ). Κρίσιμο σημείο ελέγχου είναι το Α (ή το Β), που είναι το πιο απομακρυσμένο από το πηγάδι και συγχρόνως από τα πλησιέστερα στη θάλασσα. Είναι: 8 85 πk ln πk ln(0.99) 501πK m 3 / s H 85 K ln K ( 7.01) H 65.65m 44

45 Η μέθοδος των εικόνων (16/8) Α 50 Δ Άρα: ΔΗ w = = 3.35 m θάλασσα 6 Β Γ 30 και C = A ΔH w =Α = 1.613Α β) Τοποθέτηση του πηγαδιού στο Η (μέσο της ΑΔ). Κρίσιμο σημείο ελέγχου είναι το Β, που είναι το πιο απομακρυσμένο από το πηγάδι και συγχρόνως από τα πλησιέστερα στη θάλασσα. Είναι: 8 85 K ln K ln(0.57) 501K m 3 / s 0. H 85 ln 75 ( 6.768) H 68.78m K 174 K Άρα ΔΗ w = = 0. m και C = A ΔH w =Α = 1.4Α Συνεπώς το πηγάδι πρέπει να κατασκευασθεί στο μέσο της ΑΔ και η απαιτούμενη παροχή είναι = m 3 /s 45

46 Η μέθοδος των εικόνων (17/8) A 3 y A 1 Ο x A 4 Η μέθοδος των εικόνων ισχύει και σε ορισμένες περιπτώσεις τεμνομένων ευθύγραμμων ορίων. Για να είναι ακριβής η λύση πρέπει: α) Ο αριθμός των εικονικών πηγαδιών να είναι πεπερασμένος β) Το είδος τους (άντλησης ή φόρτισης) να είναι μονοσήμαντα ορισμένο και γ) Να μην τοποθετούνται εικονικά πηγάδια μέσα στο πραγματικό πεδίο ροής. A 46

47 Η μέθοδος των εικόνων (18/8) Η μέθοδος των εικόνων εφαρμόζεται και όταν το όριο διαχωρίζει δύο ζώνες του υδροφορέα με διαφορετική μεταφορικότητα. Αν Τ 1 και Τ είναι οι μεταφορικότητες των δύο ζωνών αντιστοίχως και το πηγάδι βρίσκεται στη ζώνη 1, τότε η πτώση στάθμης σε οποιοδήποτε σημείο (x,y) της ίδιας ζώνης δίνεται από τη σχέση: Αν το εξεταζόμενο σημείο βρίσκεται στην άλλη ζώνη (εν προκειμένω την ζώνη ), η πτώση στάθμης δίνεται από την ακόλουθη σχέση: 47

48 Η μέθοδος των εικόνων (19/8) Στο κτήμα ΑΒΓΔ, που φαίνεται σε κάτοψη στο σχήμα, θα κατασκευασθεί μία γεώτρηση ακτίνας r 0 = 0.5 m από την οποία θα αντλείται παροχή = 30 l/s. Σε ποιο σημείο του κτήματος πρέπει να κατασκευασθεί η γεώτρηση αυτή, ώστε η πτώση στάθμης στην παρειά της να είναι η μικρότερη δυνατή; Πόση είναι αυτή η πτώση στάθμης; Δίνεται ότι: α) Η ροή γίνεται υπό πίεση β) ο συντελεστής σχετικής διαπερατότητας του υδροφορέα είναι Κ = 10-5 m/s και το πάχος του α = 30 m. γ) Λόγω της μεγάλης διάρκειας της άντλησης μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι τύποι για τη μόνιμη ροή. Αιτιολογήστε την απάντησή σας. 48

49 Η μέθοδος των εικόνων (0/8) Δ Γ Αδιαπέρατος εδαφικός σχηματισμός Α Β 40 Λίμνη 49

50 Η μέθοδος των εικόνων (1/8) Στο ορθογωνικό αγροτεμάχιο ΑΒΓΔ, που φαίνεται σε κάτοψη στο σχήμα, λειτουργεί η γεώτρηση Ε, που βρίσκεται στο μέσο του, και από την οποία αντλούνται 40 l/s για αρδευτικούς σκοπούς. Σε ποιό σημείο του αγροτεμαχίου πρέπει να γίνει μια δεύτερη γεώτρηση, από την οποία θα αντλούνται άλλα 5 l/s, ώστε η πτώση στάθμης στην παρειά της να είναι η μικρότερη δυνατή; Πόση είναι αυτή η πτώση στάθμης (σε συνθήκες μόνιμης ροής); Δίνεται ότι: α) Η μεταφορικότητα του υποκείμενου υδροφορέα είναι Τ = 0.00 m /s β) Η ακτίνα της γεώτρησης είναι 0.5 m γ) Η ροή γίνεται παντού υπό πίεση. 50

51 Η μέθοδος των εικόνων (/8) Δ Γ Ε 50 Λίμνη Α Β 30 Αδιαπέρατος εδαφικός σχηματισμός 51

52 Η μέθοδος των εικόνων (3/8) Ποια είναι η μέγιστη παροχή max που μπορούμε να αντλήσουμε μέσω του πηγαδιού Α από τον ημιάπειρο υδροφορέα, που φαίνεται σε κάτοψη στο σχήμα, ώστε να πληρούνται συγχρόνως οι ακόλουθοι περιορισμοί: α) Η πτώση στάθμης να μην ξεπερνά τα 31 m σε κανένα σημείο του υδροφορέα και β) Η πτώση στάθμης στην προστατευόμενη περιοχή να μην ξεπερνά τα 17 m. Δίνεται ότι: α) Το πάχος του υδροφορέα είναι α = 50 m και ο συντελεστής σχετικής διαπερατότητας Κ= 10-4 m/s β) Η ακτίνα του πηγαδιού είναι r 0 = 0.0 m και η ακτίνα επιρροής R = 3000 m γ) Η ροή είναι μόνιμη και γίνεται παντού υπό πίεση. Ως σημείο ελέγχου για την προστατευόμενη περιοχή να θεωρηθεί το Β, δηλαδή το πλησιέστερο στο πηγάδι. αδιαπέρατος εδαφικός σχηματισμός Α Β προστατευόμενη περιοχή αδιαπέρατος εδαφικός σχηματισμός 5

53 Η μέθοδος των εικόνων (4/8) s ln K x x y y x x y y x x y y x x y y A A A A R 4 A A A A Η μέγιστη πτώση στάθμης εμφανίζεται στην παρειά του Α. Είναι: s A r ln ln ln K R R R K ( ) 0.05 m 3 /s αδιαπέρατος εδαφικός σχηματισμός Α 50 Β προστατευόμενη περιοχή αδιαπέρατος εδαφικός σχηματισμός 53

54 Η μέθοδος των εικόνων (5/8) Για το σημείο Β έχουμε: s B ln K 40 R ln R ln 40 R 17 K m / s αδιαπέρατος εδαφικός σχηματισμός Α 50 Β προστατευόμενη περιοχή αδιαπέρατος εδαφικός σχηματισμός 54

55 Η μέθοδος των εικόνων (6/8) Στο αγροτεμάχιο ΑΒΓΔ, που φαίνεται σε κάτοψη στο σχήμα, λειτουργεί η γεώτρηση Ε, από την οποία αντλείται παροχή Ε = 44 l/s. Σε ποιο σημείο του αγροτεμαχίου πρέπει να γίνει μια δεύτερη γεώτρηση, από την οποία θα αντλείται πρόσθετη παροχή 3 l/s, ώστε η πτώση στάθμης στην παρειά της να είναι η μικρότερη δυνατή; Πόση είναι αυτή η πτώση στάθμης; Δίνεται ότι: α) Το πάχος του υδροφορέα, που επικοινωνεί υδραυλικά με τη λίμνη είναι α = 50 m και ο συντελεστής σχετικής διαπερατότητας Κ= 10-4 m/s β) Η ακτίνα κάθε πηγαδιού είναι r0= 0.0 m γ) Η ροή είναι μόνιμη και γίνεται παντού υπό πίεση. δ) Οι συντεταγμένες των Α, Β, Γ, Δ και Ε (με άξονες συντεταγμένων τα όρια) είναι: Α (10,160), Β(10, 110), Γ(170,110), Δ(10,160) και Ε(145,135). 55

56 56 Α Β Γ Δ λίμνη λίμνη (0,0) Ε Η μέθοδος των εικόνων (7/8) n 1 i i i i i i i i i i ) y y ( ) x x ( ) y y ( ) x x ( ) y y ( ) x x ( ) y y ( ) x x ( ln Ka 1 h π Δ Λύση Η πτώση στάθμης σε τυχόν σημείο (x,y) του πεδίου είναι:

57 Η μέθοδος των εικόνων (8/8) Αν κατασκευασθεί η νέα γεώτρηση στο Β, η πτώση στάθμης είναι: Δh Δ B h B 1 πka B 0. ln E ln ( ) 9. 1 ( ) 45 m 5 ( ) 65 Αν κατασκευασθεί η νέα γεώτρηση στο Δ, η πτώση στάθμης είναι: Δh Δ 1 πka Δ 0. ln E ln ( ) ( ) ( ) ( ) 5 Δh Δ ( m 57

58 Μη μόνιμη ροή σε περιορισμένο υδροφορέα (1/6) Σχήμα 1: Πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα. Πηγή: Π. Λατινόπουλος 1986, σελ

59 Μη μόνιμη ροή σε περιορισμένο υδροφορέα (/6) S 1 T t r r r S s s 1 s T t r r r 59

60 Μη μόνιμη ροή σε περιορισμένο υδροφορέα (3/6) οριακές και αρχικές συνθήκες s(r,0) = 0 s(,t) = 0 60

61 Μη μόνιμη ροή σε περιορισμένο υδροφορέα (4/6) s o Wu 4πT u Sr 4Tt 61

62 Μη μόνιμη ροή σε περιορισμένο υδροφορέα (5/6) W(u) ln u n1 n ( 1) u n n! n s(r, t) o 4πT ln.5tt r S o πt ln 1.5(tT r S) 1 (u 0.01) 0 s 4T ln u 6

63 Μη μόνιμη ροή σε περιορισμένο υδροφορέα (6/6) Τιμές της συνάρτησης W(u) 63

64 Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια - Παροχή μεταβλητή κατά βαθμίδες (1/3) s(r, t) 1 4πT n i1 ( i o i1 o Sr )W( 4T(t t i1 ) ) όταν t n1 t t n s(r, t n ) 1 4πT n i1 i o Sr W( 4T(t t i1 ) ) Sr W( 4T(t ) ti) (για t t n ) 64

65 Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια - Παροχή μεταβλητή κατά βαθμίδες (/3) Σχήμα: Περιπτώσεις μεταβολής παροχής άντλησης. (α) αύξηση της αντλούμενης παροχής και (β) διακοπή της άντλησης. Πηγή: Π. Λατινόπουλος 1986, σελ

66 Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια - Παροχή μεταβλητή κατά βαθμίδες (3/3) Περιπτώσεις μεταβολής παροχής άντλησης: α) Αύξηση παροχής s( r, t) 1 o Sr W ( ) αν t t 4πT 4Tt 1 s( r, t) 1 o Sr W ( 4πT 4Tt o ) 4πT 1 o Sr W ( 4T ( t t 1 ) ) αν t t 1 β) Διακοπήτης άντλησης s( r, t) 1 o Sr W ( 4πT 4Tt ) αν t t 1 s( r, t) 1 o 4πT Sr W ( 4Tt Sr ) W ( 4T ( t t 1 ) ) αν t t 1 Για t t s( r, t) 1 1 o 4πT s υπολειμματική πτώση στάθμης t ln t t 1 ( για u 0. 01) 66

67 Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια Ασκήσεις (1/9) Τα πηγάδια Α, Β και Γ, που φαίνονται σε κάτοψη στο σχήμα, έχουν ακτίνα r 0 = 0.5 m και μπορούν να αντλήσουν νερό από περιορισμένο υδροφορέα μεγάλης έκτασης. Ο υδροφορέας αυτός έχει μεταφορικότητα T = m /s και αποθηκευτικότητα S = 10-4 Την χρονική στιγμή t = 0 αρχίζει άντληση με παροχή Β = 0.05 m 3 /s από το πηγάδι Β. Μισή ώρα αργότερα (t = 1800) αρχίζει άντληση με παροχή Α = 0.04 m 3 /s από το πηγάδι Α. Μετά από μισή ώρα ακόμη (t = 3600) αρχίζει άντληση παροχής Γ =από το πηγάδι Γ. Ποιά είναι η μεγαλύτερη δυνατή τιμή, που μπορεί να έχει η Γ, ώστε η πτώση στάθμης για t = 700s να μη ξεπερνά τα 3m σε κανένα σημείο του υδροφορέα; Α Β Γ

68 Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια Ασκήσεις (/9) Λύση Οι χαμηλότερες στάθμες εμφανίζονται στις παρειές των πηγαδιών. Χρειάζεται να ελεγχθεί η παρειά του Α; Στο σημείο Β έχω: s B 4 B W 4T A 4T W T W n W0.05 W

69 Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια Ασκήσεις (3/9) 69

70 1.593 Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια Ασκήσεις (4/9) Άρα, για s B = 3 έχουμε: m 3 / s Στο σημείο Γ έχω: s 4T W B 4T W A 4T W

71 Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια Ασκήσεις (5/9) B A 10 W W W ,99 B A , Άρα, για s Γ = 3 έχουμε: 3 = Γ Γ =.667 Γ = m 3 /s Η μεγαλύτερη δυνατή τιμή για την Γ είναι η μικρότερη από τις, επομένως Γ = 0.0 m 3 /s 71

72 Τέστ (1/) Θέμα 1 ο (6 μονάδες) Για να γίνουν εργασίες σε ξηρό πυθμένα σε καθένα από τα ορθογωνικά οικόπεδα ΑΒΓΔ, που φαίνονται σε κάτοψη στα σχήματα α, β και γ, θα κατασκευασθεί γεώτρηση στο κέντρο τους (σημείο τομής των διαγωνίων τους). Σε ποιο σημείο (πιθανόν διαφορετικό για κάθε σχήμα) πρέπει να γίνει έλεγχος, ώστε να καθορισθεί η ελάχιστη απαιτούμενη παροχή άντλησης; Σε ποια από τις 3 εκσκαφές η ελάχιστη απαιτούμενη παροχή είναι η μεγαλύτερη; Θεωρήστε ότι οι υποκείμενοι υδροφορείς έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά, οι εκσκαφές είναι ίσες και έχουν ίδιες αποστάσεις από τα όρια. Αιτιολογήστε τις απαντήσεις σας. 7

73 Τέστ (/) Θέμα ο (4 μονάδες) Θέλετε να υπολογίσετε την πτώση στάθμης σε μη μόνιμη ροή υπό πίεση σε υδροφορέα με μεταφορικότητα Τ= 10-3 m /s και αποθηκευτικότητα S = 10-4, σε απόσταση r 1 = 60 m από το πηγάδι τη χρονική στιγμή t= 1800 s. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο: s 4T ln.5tt 1 r S 73

74 Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια Ασκήσεις (6/9) Τα πηγάδια Α και Β, που απέχουν το ένα από το άλλο 10 m, έχουν ακτίνα r 0 = 0.5 m και αντλούν νερό από περιορισμένο υδροφορέα μεγάλης έκτασης. Ο υδροφορέας αυτός έχει μεταφορικότητα Τ= m /s και αποθηκευτικότητα S = Τη χρονική στιγμή t = 0 αρχίζει άντληση παροχής Α = 0.05 m 3 /s από το πηγάδι Α. Μια ώρα αργότερα (t =3600 s) αρχίζει άντληση παροχής Β από το πηγάδι Β. Το κόστος άντλησης Κ, κάθε χρονική στιγμή, δίνεται από τη σχέση: K C s i i i1 Ποια είναι η μεγαλύτερη δυνατή τιμή της παροχής Β, ώστε το κόστος άντλησης μέχρι τη χρονική στιγμή t =700 s να μη ξεπερνά την τιμή C. Σημείωση: Οι παροχές Α και Β θα παραμείνουν σταθερές στο εξεταζόμενο χρονικό διάστημα. 74

75 Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια Ασκήσεις (7/9) Λύση Κρίσιμη χρονική στιγμή είναι η t =700 s. Γιατί; Υπολογίζουμε τις πτώσεις στάθμης s A και s B για τη χρονική αυτή στιγμή. Είναι: 4 4 A B s A W W 3 3 4ππ ππ n W B B 1.59 ln( ) B 75

76 Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια Στο πηγάδι Β έχουμε: Ασκήσεις (8/9) s B A 4πT W B 4πT W B W(0.0) n B B 76

77 Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια Ασκήσεις (9/9) Με βάση τη σχέση που δίνεται για το κόστος έχουμε: B =0.031 m 3 /s (η άλλη ρίζα απορρίπτεται, διότι είναι αρνητική). 77

78 Παράδειγμα (1/6) 78

79 Παράδειγμα (/6) 79

80 Παράδειγμα (3/6) 80

81 Παράδειγμα (4/6) 81

82 Παράδειγμα (5/6) 8

83 Παράδειγμα (6/6) 83

84 Πηγάδι σε φρεάτιο υδροφορέα: r s r 1 r s t s T S r h r 1 r h t h T S r h r 1 r h t h K S Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια - Φρεάτιοι υδροφορείς 84

85 Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια Παραδείγματα Πηγάδι σε φρεάτιο υδροφορέα Θεωρείται ότι: (α) ομογενής και ισότροπος όσον αφορά στο Κ και στο S (β) για δοσμένη πτώση στάθμης η απόκριση του υδροφορέα με τη μορφή παροχής όγκου νερού από τα αποθηκευμένα αποθέματα είναι άμεση. Η θεώρηση αυτή δεν είναι ισχυρή αφού τα διάκενα δεν αδειάζουν στιγμιαία αλλά τροφοδοτούνται από πάνω από το νερό της ακόρεστης ζώνης. Επιπλέον πρόβλημα η μη γραμμικότητα της οριακής συνθήκης που ισχύει στην ελεύθερη επιφάνεια. 85

86 Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια - Υδροφορείς με διαρροή Πηγάδια σε υδροφορείς με διαρροή: S T s t s r 1 r s r s Tc Οριακές συνθήκες : o για r r o και 0 για r s(r, t) W(u,r o W(u,r λ) 4πΤ λ) : συνάρτησηπηγαδιού για υδροφορέαμε διαρροή 86

87 Αποκλίσεις από τις ιδεατές συνθήκες ροής (1/3) Πηγάδι σε ανισότροπο υδροφορέα K' ( K xx K yy ) 1, r' x K'( K xx y K yy ) 1 Οι αποστάσεις x και y του σημείου όπου υπολογίζεται η πτώση στάθμης από το πηγάδι άντλησης μετρούνται κατά τις κύριες διευθύνσεις της υδραυλική αγωγιμότητας. Στις περιπτώσεις αυτές οι καμπύλες ίσης πτώσης στάθμης είναι ελλείψεις.

88 Αποκλίσεις από τις ιδεατές συνθήκες ροής (/3) Σχήμα 9: Πηγάδι μερικής διείσδυσης. Πηγή: Π. Λατινόπουλος 1986, σελ.18. Δs o o πτ (1 p) p ln(αh r o ) 1 p h H : ποσοστό διείσδυσης και e δ H : εκκεντρότητα 88

89 Δs o : πρόσθετη πτώση στάθμης Αποκλίσεις από τις ιδεατές συνθήκες ροής (3/3) όπου: p= h/h το ποσοστό διείσδυσης και α συνάρτηση του ποσοστού αυτού και της εκκεντρότητας e =d/η

90 Άσκηση 1 (1/)

91 Άσκηση 1 (/) ΔS 0 0 π Τ (1- p) p ah ln ro p=8/16=0.5 e=4/16=0.5 α=0.51( από πίνακα σελ.19) Έτσι 0 ΔS0-4 π (16x3x10 ) Για t 1 =30 έχουμε ln 0.51x8 0.4 Για t =60 u =u 1 (30/60) = 5.144x S r0 3.x10 x 0.4 u1 1.09x T t 4 x 16x 3x10 x 30x ΔS 0 = x 0 x.34 = 77 x 0-10 Από τους πίνακες (παράρτημα Α.) έχουμε: w 1 =.44 και w =3.1 Έτσι S 0(60) - S 0(30) 0 4 π Τ (3.1.44) 0 w - w π16x3x10 ή 0.10 = οπότε 0 = 8.87x10-3 m 3 /s Έτσι τελικά x10 x S0(60) 77x8.87x m -4 4 π16x3x10

92 Άσκηση (1/3)

93 Άσκηση (/3) Περίπτωση 1: (από πίνακα) Περίπτωση :

94 Άσκηση (3/3) Επίλυση Μόνιμης Ροής για πλήρη διείσδυση πηγαδιού Έτσι η συνολική πτώση στάθμης θα είναι: Περίπτωση 1: Περίπτωση : και η ποσοστιαία αύξηση της συνολικής πτώσης στάθμης:

95 Σημείωμα Αναφοράς Copyright. Κωνσταντίνος Κατσιφαράκης, Νικόλαος Θεοδοσίου, Περικλής Λατινόπουλος. «Υδραυλική των Υπόγειων Ροών. Ενότητα 4. Υδραυλική των πηγαδιών». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

96 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1]

97 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Ιωάννης Αυγολούπης Θεσσαλονίκη, <Εαρινό Εξάμηνο >

98 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σημειώματα

99 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

Υπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία

Υπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Συστήματα πηγαδιών Μέθοδος εικόνων Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιφαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Θεοδοσίου ΑΠΘ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Υδραυλική των Υπόγειων Ροών

Υδραυλική των Υπόγειων Ροών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Δοκιμαστικές αντλήσεις υπόγειων υδροφορέων Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιφαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Θεοδοσίου

Διαβάστε περισσότερα

Υπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία

Υπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Αναλυτική επίλυση του μαθηματικού ομοιώματος: Σύμμορφη Απεικόνιση Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιφαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Υπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία

Υπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Μόνιμες ροές προς τάφρους και πηγάδια. Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιφαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Θεοδοσίου ΑΠΘ

Διαβάστε περισσότερα

Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων

Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων Ενότητα 1: Εισαγωγή Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Θεοδοσίου ΑΠΘ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Υπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία

Υπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Πεπερασμένες διαφορές: Παραδείγματα και ασκήσεις Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιφαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Θεοδοσίου

Διαβάστε περισσότερα

Υδραυλική των Υπόγειων Ροών

Υδραυλική των Υπόγειων Ροών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Το μαθηματικό πρόβλημα των υπόγειων ροών Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Θεοδοσίου Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Υπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία

Υπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Ανομογενή και ανισότροπα εδάφη Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιφαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Θεοδοσίου ΑΠΘ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Υπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία

Υπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ DARCY Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιφαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Θεοδοσίου ΑΠΘ Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων

Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων Ενότητα 9: Ζώνες προστασίας γεωτρήσεων Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Θεοδοσίου

Διαβάστε περισσότερα

Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων

Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων Ενότητα 10: Οριοθέτηση ζωνών προστασίας γεωτρήσεων Μέθοδος ιχνηλάτισης σωματιδίων

Διαβάστε περισσότερα

Υπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία

Υπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Εισαγωγή Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιφαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Θεοδοσίου ΑΠΘ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Υδρεύσεις Αποχετεύσεις - Αρδεύσεις

Υδρεύσεις Αποχετεύσεις - Αρδεύσεις ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Υδρεύσεις Αποχετεύσεις - Αρδεύσεις Ενότητα 7. ΑΣΚΗΣΗ 1. Διαστασιολόγηση εξωτερικού δικτύου Ζαφειράκου Αντιγόνη Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 7: Σειρές Taylor, Maclaurin. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 7: Σειρές Taylor, Maclaurin. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Σειρές Taylor, Maclaurin Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative

Διαβάστε περισσότερα

Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων

Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων Ενότητα 6: Μεταφορά ρύπων σε υδροφορείς Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Θεοδοσίου

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Παράκτια Τεχνικά Έργα

Παράκτια Τεχνικά Έργα ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΘΕΣΗ ΥΓΡΩΝ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΑ ΥΠΟΒΡΥΧΙΟΙ ΑΓΩΓΟΙ Ενότητα 5 η : Κατασκευαστικά παραδείγματα Γιάννης Ν. Κρεστενίτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 19: Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή (2 ο Μέρος) Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 19: Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή (2 ο Μέρος) Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή ( ο Μέρος) Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της μετάφρασης

Ιστορία της μετάφρασης ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Μεταφραστές και πρωτότυπα. Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Υδραυλική των Υπόγειων Ροών

Υδραυλική των Υπόγειων Ροών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Αριθμητικά μοντέλα υπόγειων υδροορέων Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Θεοδοσίου Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 17: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 17: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Υδραυλική των Υπόγειων Ροών

Υδραυλική των Υπόγειων Ροών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Το νερό στους υπόγειους υδροφορείς Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιφαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Θεοδοσίου Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Εγγειοβελτιωτικά Έργα και Επιπτώσεις στο Περιβάλλον

Εγγειοβελτιωτικά Έργα και Επιπτώσεις στο Περιβάλλον ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εγγειοβελτιωτικά Έργα και Επιπτώσεις στο Περιβάλλον Ενότητα 3 : Βασικές Υδραυλικές και Μαθηματικές Έννοιες Ευαγγελίδης Χρήστος Τμήμα Αγρονόμων

Διαβάστε περισσότερα

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 7η: Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ Ενότητα # 17: Ταχύτητα Αντιδράσεων Ακρίβος Περικλής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Εκκλησιαστικό Δίκαιο ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11η: Οργανισμοί της Εκκλησίας της Ελλάδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής Ενότητα 4: Τοποθέτηση d ηλεκτρονίων σε οκτάεδρα Σύμπλοκα Περικλής Ακρίβος Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 10η: Απεσταλμένοι του Ρωμαίου Ποντίφικα και Ρωμαϊκή Κουρία Κυριάκος Κυριαζόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 7: Μορφές αγοράς και συγκέντρωση των ΜΜΕ

Οικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 7: Μορφές αγοράς και συγκέντρωση των ΜΜΕ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Οικονομία των ΜΜΕ Ενότητα 7: Μορφές αγοράς και συγκέντρωση των ΜΜΕ Γιώργος Τσουρβάκας, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Δημοσιογραφίας και

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Εκκλησιαστικό Δίκαιο ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8η: Ο νέος αντιρατσιστικός νόμος και ο ν.4301/2014 Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.9: Το Διαφορικό Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.9: Το Διαφορικό 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 13: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 13: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων

Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων Ενότητα 7: Τεχνικές εξυγίανσης υπόγειων υδροφορέων Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΑΝΟΙΚΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γενικά Μαθηματικά Ι Ενότητα 11 : Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΑΝΟΙΚΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γενικά Μαθηματικά Ι Ενότητα 11 : Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα : Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Commos. Για

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής Ενότητα 9: Μέτρηση Αγωγιμότητας Διαλυμάτων Περικλής Ακρίβος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 6

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 6 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 6: Ανάδραση Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχ. Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ατομικά Δίκτυα Αρδεύσεων

Ατομικά Δίκτυα Αρδεύσεων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5 : Άρδευση Ευαγγελίδης Χρήστος Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ 6. ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΝΕΡΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ 6. ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΝΕΡΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ 6. ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΝΕΡΩΝ 6.1 ΓΕΝΙΚΑ Το νερό που υπάρχει στη φύση και χρησιμοποιείται από τον άνθρωπο: - Επιφανειακό: Το νερό των

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων

Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων Ενότητα 11: Οριοθέτηση ζωνών προστασίας γεωτρήσεων Μαθηματική διερεύνηση της αρχής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ Ενότητα # (5): Δεσμοί και Τροχιακά Ακρίβος Περικλής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της μετάφρασης

Ιστορία της μετάφρασης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Η μετάφραση των εβδομήκοντα, η εκπαίδευση των μεταφραστών κατά Κικέρωνα, η τέχνη της μετάφρασης από την αρχαιότητα μέχρι τα

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση και ανάλυση της μυϊκής δύναμης και ισχύος

Αξιολόγηση και ανάλυση της μυϊκής δύναμης και ισχύος ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αξιολόγηση και ανάλυση της μυϊκής δύναμης και ισχύος Ενότητα 3: Εργαστηριακή πρακτική Τίτλος: Ισοκίνηση (Εργαστηριακό) Πατίκας Δ. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων

Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων Ενότητα 8: Μοντέλα προσομοίωσης σε πορώδεις υδροορείς Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 4: Το γενικευμένο πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου για συστήματα συνεχούς Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 7: Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις

Γενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις Γενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Βούλγαρης Τμήμα: Μαθηματικό Σελίδα 2 1. Ερωτήσεις Ταλαντώσεων... 4 1.1 Ερώτηση 1... 4 2. Ασκήσεις Ταλαντώσεων... 4 2.1 Άσκηση 1... 4 2.2 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 11η: Σύγκριση Ρωσικής Ορθόδοξης Εκκλησίας και Καθολικής Εκκλησίας Κυριάκος Κυριαζόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική

Διοικητική Λογιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 9: Εταιρική διασπορά και στρατηγικές τιμολόγησης

Οικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 9: Εταιρική διασπορά και στρατηγικές τιμολόγησης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Εταιρική διασπορά και στρατηγικές τιμολόγησης Γιώργος Τσουρβάκας, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Δημοσιογραφίας και ΜΜΕ Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4 Ενότητα 17

Λογισμός 4 Ενότητα 17 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 17: Το επί-επιφάνειο ολοκλήρωμα διανυσματικών πεδίων. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΕΑΤΑ. Α. ΝΑΝΟΥ-ΓΙΑΝΝΑΡΟΥ Οκτώβριος 2007

ΦΡΕΑΤΑ. Α. ΝΑΝΟΥ-ΓΙΑΝΝΑΡΟΥ Οκτώβριος 2007 ΦΡΕΑΤΑ Α. ΝΑΝΟΥ-ΓΙΑΝΝΑΡΟΥ Οκτώβριος 007 Φρέατα - Παραδοχές Ισχύει ο νόµος του Dacy Υδροφόρο στρώµαοµογενές ισότροπο και άπειρης έκτασης Πυθµένας της στρώσης οριζόντιος Στην περίπτωση περιορισµένου υδροφορέα,

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 4: Τομές ΙΙ Όνομα Καθηγητή: Γιώργος Ανδρεάδης Τμήμα: Μηχανολόγων Μηχ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Εκκλησιαστικό Δίκαιο ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6η: Ελληνική νομολογία Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 3: Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση μεταφράσεων ιταλικής ελληνικής γλώσσας

Αξιολόγηση μεταφράσεων ιταλικής ελληνικής γλώσσας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αξιολόγηση μεταφράσεων ιταλικής ελληνικής γλώσσας Ενότητα 1: Αυτοαξιολόγηση μεταφραστών Κασάπη Ελένη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 8: Η Οικονομική πολιτική της Ευρωπαϊκής Ένωσης Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.08.4: Υπολογισμός Όγκων Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.08.3: Εμβαδά εκ Περιστροφής Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων. Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργική Εκπαίδευση Ενότητα 9

Γεωργική Εκπαίδευση Ενότητα 9 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Σχεδιασμός εκπαιδευτικών προγραμμάτων για τον αγροτικό χώρο Αφροδίτη Παπαδάκη-Κλαυδιανού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής Ενότητα 3: Θεωρία του Ligand Περικλής Ακρίβος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ Μάθημα ασκήσεων 6: Μακριά γραμμή μεταφοράς -Τετράπολα Λαμπρίδης Δημήτρης Ανδρέου Γεώργιος Δούκας Δημήτριος

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές πληροφορικής σε θέματα πολιτικού μηχανικού

Εφαρμογές πληροφορικής σε θέματα πολιτικού μηχανικού ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμογές πληροφορικής σε θέματα πολιτικού μηχανικού Ενότητα 4: Εφαρμογές λογιστικών φύλλων στη Στατική: Γεωμετρικά μεγέθη πολυγωνικά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ. Ενότητα: Μαγνητοστατική ΜΑΪΝΤΑΣ ΞΑΝΘΟΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ. Ενότητα: Μαγνητοστατική ΜΑΪΝΤΑΣ ΞΑΝΘΟΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ Ενότητα: Μαγνητοστατική ΜΑΪΝΤΑΣ ΞΑΝΘΟΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Σελίδα 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ... 4 Σελίδα 3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαγνητοστατική. Σωματίδιο μάζας m φορτίου Q βρίσκεται αρχικά ακίνητο μέσα σε ομογενές μαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Εκκλησιαστικό Δίκαιο ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1η: Εισαγωγή Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6: 1η εργαστηριακή άσκηση και προσομοίωση με το SPICE Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ Μάθημα ασκήσεων 4: Κοντή γραμμή μεταφοράς Λαμπρίδης Δημήτρης Ανδρέου Γεώργιος Δούκας Δημήτριος Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Διπλωματική Ιστορία Ενότητα 2η:

Διπλωματική Ιστορία Ενότητα 2η: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2η: Η εμφάνιση των εθνών-κρατών και οι συνέπειες στο διεθνές σύστημα Ιωάννης Στεφανίδης, Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 10: Παραγώγιση Διανυσματικών Συναρτήσεων. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 10: Παραγώγιση Διανυσματικών Συναρτήσεων. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10: Παραγώγιση Διανυσματικών Συναρτήσεων. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σεάδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ Μάθημα ασκήσεων 2: Ηλεκτρικά χαρακτηριστικά γραμμών μεταφοράς Λαμπρίδης Δημήτρης Ανδρέου Γεώργιος Δούκας

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Μορφή της συνάρτησης: Πολυωνυμική, αντίστροφη και αλληλεπίδραση μεταβλητών

Οικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Μορφή της συνάρτησης: Πολυωνυμική, αντίστροφη και αλληλεπίδραση μεταβλητών Οικονομετρία Εξειδίκευση του υποδείγματος Μορφή της συνάρτησης: Πολυωνυμική, αντίστροφη και αλληλεπίδραση μεταβλητών Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 9: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΤΟΠΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 2: Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 2: Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4 Ενότητα 19

Λογισμός 4 Ενότητα 19 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Το Θεώρημα του Gauss. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής Ενότητα 6: Προσδιορισμός δ0 σε οκτάεδρα σύμπλοκα Περικλής Ακρίβος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα