Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil."

Transcript

1 Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih decimalk. Z izborom čedalje boljših aproksimacij pridemo do zaporedja števil a = 3., a 2 = 3.4, a 3 = 3.4, a 4 = 3.45,... Več kot je decimalk, boljša je aproksimacija. Čeprav niti teoretično ne moremo števila π predstaviti s številom, ki ima samo končno mnogo neničelnih decimalk, pa ga lahko na ta način poljubno dobro aproksimiramo. Kot bomo spoznali v tem poglavju, smo s tem postopkom pravzaprav konstruirali zaporedje, ki konvergira k številu π. V klasični fiziki pridemo v podobno situacijo pri merjenju kakšne količine. Rezultati meritev nam predstavljajo zaporedje približnih vrednosti dane količine. Če bi lahko eksperiment izvedli poljubno natančno, bi bila dejanska vrednost količine limita zaporedja čedalje boljših približkov. Osnovne definicije in primeri Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil. Definicija. Zaporedje kompleksnih števil je funkcija a : N C. Zaporedje a : N C ponavadi označimo z a, a 2, a 3,...) ali pa še krajše kar z a n ), kjer je a n = an) za vse n N. Številu a n rečemo n-ti člen zaporedja a n ). Če so vsi členi zaporedja a n) realna števila, rečemo, da je a n ) zaporedje realnih števil. Zgled. ) Konstantno zaporedje števil a, a, a, a,...) je podano s predpisom a n = a, kjer je a C izbrano število. 2) Zaporedje naravnih števil je podano s predpisom a n = n oziroma, 2, 3, 4,...). 3) Izberimo kompleksni števili a in d. Aritmetično zaporedje z začetnim členom a in z razliko d je zaporedje s splošnim členom a n = a + n )d oziroma a, a + d, a + 2d, a + 3d,...). Aritmetično zaporedje lahko podamo tudi rekurzivno s predpisom: a = a, a n+ = a n + d.

2 4) Izberimo sedaj kompleksni števili a in q. Geometrijsko zaporedje z začetnim členom a in s količnikom q je dano s predpisom a n = aq n ali a, aq, aq 2, aq 3,...). Lahko ga podamo tudi z rekurzivnim predpisom: a = a, a n+ = a n q. 5) Poglejmo si še zaporedje s splošnim členom a n = n oziroma, 2, 3, 4,... ). Vsi členi tega zaporedja so različni od nič, kljub temu pa lahko število nič poljubno dobro aproksimiramo z dovolj poznim členom zaporedja. Pri obravnavi zaporedij je pomemben vrstni red členov, včasih pa nas zanima samo množica števil, ki jo tvorijo členi zaporedja. Definicija 2. Naj bo a n ) zaporedje kompleksnih števil. Slika zaporedja a n ) je množica Im a n ) = {a, a 2, a 3, } = {a n n N}. Slika kompleksnega zaporedja je podmnožica kompleksnih števil, slika realnega zaporedja pa podmnožica realnih števil. i e V nadaljevanju nas bodo zanimale točke v kompleksni ravnini ali pa na realni premici, okrog katerih se kopičijo členi zaporedja. Da bi lahko ta pojav natančno definirali, moramo najprej vpeljati nekaj pomožnih pojmov. Naj bo z C in r [0, ). Krog s središčem v z in s polmerom r je podmnožica kompleksne ravnine Kz, r) = {w C z w < r}. Če smo natančni, je množica Kz, r) odprt krog, saj ne vsebuje robne krožnice. Podobno lahko definiramo zaprt krog Kz, r) = {w C z w r}. 2

3 K z,r i r z e Naj bo sedaj A C poljubna podmnožica in z A. Množica A je okolica točke z, če obstaja tak r > 0, da je Kz, r) A. Množica A je odprta, če je okolica vsake svoje točke. Množica A je zaprta, če je A c odprta. Odprte ali pa zaprte podmnožice kompleksne ravnine so v splošnem lahko precej komplicirane. Kot preproste primere pa si lahko predstavljamo like, kot so npr. krogi, elipse in pa večkotniki. Takšen lik je odprta podmnožica, če vsebuje samo svojo notranjost. Če zraven štejemo tudi robno krivuljo, pa dobimo primer zaprte podmnožice. Odprte podmnožice kompleksne ravnine so dvodimenzionalne in imajo pozitivno oziroma neskončno ploščino. Zaprte podmnožice so lahko precej manjše. Vsaka končna množica kompleksnih števil je npr. zaprta, prav tako pa so zaprte sklenjene krivulje. Naslednja pomembna lastnost nekaterih podmnožic kompleksne ravnine je omejenost. Množica A C je omejena, če obstaja tak M R +, da je A K0, M). To pomeni, da so vse točke množice A oddaljene za manj kot M od koordinatnega izhodišča, med drugim pa od tod sledi, da sta poljubni točki množice A med sabo oddaljeni za manj kot 2M. K 0,M i A e Primeri omejenih množic v kompleksni ravnini so krogi, elipse, trikotniki, daljice, sklenjene krivulje in končne množice točk. Neomejene pa so npr. premice, polravnine in poltraki. 3

4 Sedaj lahko naštejemo nekaj osnovnih tipov zaporedij. Definicija 3. Zaporedje kompleksnih števil a n ) je omejeno, če je Im a n ) omejena podmnožica C. Definicija 4. Zaporedje realnih števil a n ) je: Navzgor/navzdol omejeno, če je Im a n ) navzgor/navzdol omejena. Strogo) naraščajoče, če velja a n+ > a n ) a n+ a n za vse n N. Strogo) padajoče, če velja a n+ < a n ) a n+ a n za vse n N. Strogo) monotono, če je bodisi strogo) naraščajoče bodisi strogo) padajoče. Zaporedje realnih števil a n ) je omejeno natanko takrat ko je navzdol in navzgor omejeno. Če je zaporedje a n) navzgor omejeno, je če pa je navzdol omejeno, pa je sup a n ) = sup Im a n ), inf a n ) = inf Im a n ). Zgled. ) Zaporedje naravnih števil, 2, 3, 4,...) je navzdol omejeno, navzgor pa ne. 2) Zaporedje s splošnim členom a n = n je omejeno in velja inf a n) = 0 ter sup a n ) =. Stekališča in limita zaporedja V tem razdelku bomo spoznali dva izmed ključnih pojmov matematične analize. Točkam v kompleksni ravnini, okrog katerih se kopičijo členi zaporedja, rečemo stekališča zaporedja. To so tiste točke, ki jih lahko poljubno dobro aproksimiramo z neskončno členi zaporedja. Če lahko dano točko poljubno dobro aproksimiramo z vsemi členi zaporedja od nekod naprej, je ta točka posebna vrsta stekališča, ki jo imenujemo limita zaporedja. i e 4

5 Na zgornji sliki imamo kandidata za stekališče zaporedja, ki pa morda ni limita, saj je precej členov zaporedja precej oddaljeno od njega. Zares bi to lahko preverili, če bi poznali ekspliciten opis členov zaporedja. Formalno lahko definiramo stekališča zaporedja na več ekvivalentnih načinov. Definicija 5. Točka a C je stekališče zaporedja kompleksnih števil a n ), če v vsaki okolici točke a leži neskončno mnogo členov zaporedja a n ). Po definiciji je torej točka a stekališče zaporedja a n ), če je za vsako okolico V C točke a množica {n N a n V } neskončna. Intuitivno si okolico V predstavljamo kot željeno natančnost, na katero bi radi aproksimirali stekališče dobesedno je to res, ko je V kar krog s središčem v stekališču). Množica {n N a n V } nam potem pove, kateri členi zaporedja dovolj dobro aproksimirajo stekališče, glede na izbrano natančnost. Po tej definiciji je točka a stekališče zaporedja, če jo lahko pri poljubni izbrani natančnosti dovolj dobro aproksimiramo z neskončno členi zaporedja. Pri preverjanju, ali je neka točka a stekališče zaporedja a n ), se lahko omejimo samo na okolice tipa Ka, ϵ) za poljuben ϵ > 0. Trditev 6. Točka a je stekališče zaporedja a n ) natanko takrat, ko za vsak ϵ > 0 in za vsak N N obstaja tak n N, da je n N in a n a < ϵ. Dokaz. = ) Naj bo a stekališče zaporedja a n ) po Definiciji 5. Izberimo poljuben ϵ > 0 in poljuben N N. Radi bi našli tak n N, da je n N in a n a < ϵ. Odprt krog Ka, ϵ) je okolica točke a, zato je po definiciji stekališča množica {n N a n Ka, ϵ)} neskončna. Torej lahko najdemo tak n, ki je v tej množici in je hkrati večji od N. Za ta n je potem a n Ka, ϵ) oziroma a n a < ϵ. =) Izberimo sedaj poljubno okolico V točke a in predpostavimo, da za vsak ϵ > 0 in za vsak N N obstaja tak n N, da je n N in a n a < ϵ. Radi bi pokazali, da je množica {n N a n V } neskončna. Ker je V okolica točke a, obstaja po definiciji okolice) ϵ > 0, da je Ka, ϵ) V. Trdimo, da krog Ka, ϵ) vsebuje neskončno členov zaporedja. Če bi jih vseboval samo končno mnogo, npr. {a n, a n2,..., a nk }, bi namreč obstajal tak N, ki bi bil večji od vseh n j za j {, 2,..., k}. Za ta N pa potem ne bi mogli najti nekega n N, ki bi bil večji od N in da bi bil a n Ka, ϵ). To bi bilo v protislovju z našo predpostavko. Torej krog Ka, ϵ) vsebuje neskončno členov zaporedja, od tod pa sledi, da neskončno členov zaporedja vsebuje tudi množica V, saj je Ka, ϵ) V. Zgled. ) Zaporedje naravnih števil, 2, 3, 4,...) nima nobenega stekališča, saj poljubna omejena odprta množica vsebuje samo končno mnogo členov. 5

6 2) Zaporedje s splošnim členom a n = n ima stekališče v točki 0. V krogu K0, ϵ) je za poljuben ϵ > 0 neskončno členov. V njem so celo vsi členi a n, za katere je n > ϵ, kar pomeni, da je točka 0 celo limita zaporedja. 3) Zaporedje s splošnim členom a n = ) n oziroma {,,,,,,...} ima stekališči {, }. V poljubni okolici točke so namreč vsi členi zaporedja z lihimi indeksi, medtem ko so v poljubni okolici točke vsi členi zaporedja s sodimi indeksi. Zaporedje naravnih števil je primer zaporedja brez stekališč, medtem ko imata obe preostali zaporedji po vsaj eno stekališče. Razlog tiči v tem, da sta zadnji dve zaporedji omejeni, medtem ko je zaporedje naravnih števil neomejeno. Pokazati se da, da ima poljubno omejeno zaporedje kompleksnih števil vsaj eno stekališče, mi pa si bomo zaenkrat pogledali to dejstvo samo v primeru realnih omejenih zaporedij. Izrek 7. Vsako omejeno zaporedje realnih števil ima vsaj eno stekališče. Dokaz. Naj bo a n ) omejeno zaporedje realnih števil. Označimo m = inf a n ) ter M = sup a n ). Izrek lahko dokažemo na dva načina..način: Definirajmo množico U = {x R x > a n le za končno mnogo n N}. V množici U so tista realna števila x, ki imajo na realni premici levo od sebe le končno mnogo členov zaporedja a n ). x Zagotovo vemo je v množiči U točka m, saj levo od nje sploh ni členov zaporedja. Prav tako hitro opazimo, da točke, ki so desno od M, niso v množici U, saj so levo od njih vsi členi zaporedja. Če se torej sedaj zvezno premikamo po realni premici od točke m proti desni, bomo nekje med potjo prišli iz območja točk, ki imajo levo od sebe končno členov zaporedja v območje točk, ki imajo levo od sebe neskončno členov zaporedja. Pokazali bomo, da je točka na meji obeh območij stekališče zaporedja a n ). Formalno se dokaza lotimo na naslednji način. Opazili smo že, da je množica U neprazna in navzgor omejena. Zato ima supremum a = supu). Pokazali bomo, da je točka a stekališče zaporedja a n ). Po Trditvi 6 je dovolj pokazati, da za poljuben ϵ > 0 leži v intervalu a ϵ, a+ϵ) neskončno členov zaporedja a n ). Izberimo torej poljuben ϵ > 0. Točka a je natančna zgornja meja množice U, zato obstaja nek x U, da je a ϵ < x. Ker je x U, je levo od x le končno mnogo členov zaporedja, levo od a ϵ pa jih je kvečjemu manj 6

7 in zato prav tako le končno mnogo. Po drugi strani je a < a + ϵ. Ker je a zgornja meja množice U, točka a + ϵ zagotovo ni v U, od koder sledi, da je levo od a + ϵ neskončno členov zaporedja. Izmed teh jih je hkrati levo od a ϵ le končno mnogo, kar pomeni, da je v intervalu a ϵ, a + ϵ) neskončno členov zaporedja a n ). 2.način: Izrek lahko dokažemo tudi s pomočjo bisekcije. Definirali bomo neskončno družino čedalje manjših zaprtih intervalov, izmed katerih bo vsak vseboval neskončno členov zaporedja a n ). Presek teh intervalov bo potem eno izmed stekališče zaporedja. Najprej definiramo m 0 = m, M 0 = M ter začetni interval I 0 = [m 0, M 0 ]. Denimo sedaj, da že imamo definirane m n, M n ter I n = [m n, M n ] za nek n N, tako da vsebuje interval I n neskončno členov zaporedja. Interval I n sedaj razpolovimo na dva enako velika podintervala. Ker vsebuje interval I n neskončno členov zaporedja, jih neskončno vsebuje tudi eden izmed teh dveh podintervalov. Če neskončno členov vsebuje levi podinterval, definiramo sicer pa definiramo m n+ = m n, M n+ = m n + M n, 2 I n+ = [m n+, M n+ ], m n+ = m n + M n, 2 M n+ = M n, I n+ = [m n+, M n+ ]. Na ta način induktivno dobimo družino intervalov I 0 I I 2, kjer je dolžina n-tega intervala enaka M n m n = M m 2 n. I 0 I 2 Iz konstrukcije sledi, da je zaporedje m, m 2, m 3,...) levih krajišč intervalov naraščajoče, zaporedje M, M 2, M 3,...) desnih krajišč pa padajoče. Poleg tega je vsako izmed desnih krajišč zgornja meja zaporedja levih krajišč, vsako izmed levih krajišč pa spodnja meja zaporedja desnih krajišč. Od tod dobimo sup m n ) inf M n ). 7

8 Če bi veljala neenakost, bi bilo inf M n ) sup m n ) = d > 0, od koder bi sledilo, da za vsak n N velja M n m n d, kar pa je v protislovju z dejstvom, da je število M n m n = M m 2 n pri dovolj velikem n poljubno majhno. Torej je sup m n ) = inf M n ). Pokažimo sedaj, da je a = sup m n ) = inf M n ) stekališče zaporedja a n ). Pokazali bomo, da za poljuben ϵ > 0 leži v intervalu a ϵ, a + ϵ) neskončno členov zaporedja a n ). Naj bo ϵ > 0 poljuben. Po definiciji natančne zgornje meje in natančne spodnje meje iz enakosti a = sup m n ) = inf M n ) sledi, da obstaja nek n N, da je a ϵ < m n < M n < a + ϵ. Interval a ϵ, a + ϵ) torej vsebuje interval [m n, M n ], ki pa po konstrukciji vsebuje neskončno členov zaporedja a n ). Izrek 7 nam zagotavlja, da ima vsako omejeno zaporedje realnih števil vsaj eno stekališče. Večina omejenih zaporedij, s katerimi se srečamo v praksi, ima natanko eno stekališče, ki je hkrati tudi limita zaporedja. Zato se lahko vprašamo, koliko stekališč lahko neko zaporedje sploh ima. Odgovor je morda nekoliko presenetljiv, saj lahko konstruiramo zaporedja, ki imajo neskončno stekališč. Če bi vzeli zaporedje, ki vsebuje vsako racionalno število natanko enkrat, bi bilo vsako realno število stekališče tega zaporedja. Analogno lahko konstruiramo tudi zaporedje kompleksnih števil, ki ima vsako kompleksno število za svoje stekališče. Pri dokazu Izreka 7 smo uporabili ključno lastnost realnih števil, ki sledi iz Dedekindovega aksioma. Vsaka omejena podmnožica realnih števil ima namreč natančno zgornjo mejo in natančno spodnjo mejo. Analognega izreka ne moremo dokazati za racionalna zaporedja, saj bi lahko npr. vzeli zaporedje.4,.4,.44,.442,...) decimalnih približkov števila 2. To zaporedje je omejeno, v racionalnih številih pa nima stekališča. Je pa realno število 2 stekališče in hkrati tudi limita tega zaporedja. Poglejmo si sedaj formalno definicijo pojma limite zaporedja. Definicija 8. Točka a C je limita zaporedja kompleksnih števil a n ), če v vsaki okolici točke a ležijo vsi členi zaporedja, z izjemo morda končno mnogo členov. V definiciji torej zahtevamo, da v vsaki okolici limite zaporedja ležijo vsi členi zaporedja od nekod naprej. Med drugim to pomeni, da v vsaki okolici limite leži neskončno členov zaporedja, kar pa pomeni, da je limita zaporedja zmeraj tudi stekališče zaporedja. Še več, če ima zaporedje limito, je ta limita hkrati tudi edino stekališče zaporedja. Torej ima zaporedje lahko največ eno limito. 8

9 Podobno kot Trditev 6 lahko dokažemo tudi naslednjo ekvivalentno definicijo pojma limite. Trditev 9. Točka a je limita zaporedja a n ) natanko takrat, ko za vsak ϵ > 0 obstaja tak N N, da za vsak n N velja a n Ka, ϵ) oziroma a n a < ϵ). Definicija 0. Zaporedje a n ) je konvergentno, če ima limito. Limito zaporedja a n ) označimo z lim a n) C. Če zaporedje ni konvergentno, je divergentno. Kadar imamo člene zaporedja podane eksplicitno, ponavadi spustimo oklepaja in limito zaporedja označimo kar z lim a n. Zgled. ) Konstantno zaporedje a, a, a, a,...) ima limito lim a n) = a. 2) Zaporedje s splošnim členom a n = n ima limito lim n = 0. 3) Zaporedje s splošnim členom a n = ) n ima dve stekališči {, }, kar pomeni, da nima limite in je divergentno. Pri delu z limitami in stekališči si pogosto pomagamo s podzaporedji. Kot osnovni primer si lahko predstavljamo na primer soda števila ali pa liha števila kot podzaporedji zaporedja naravnih števil. V splošnem primeru pa postopamo takole. Naj bo n k ) k N strogo naraščajoče zaporedje naravnih števil. Konstruiramo lahko novo zaporedje a nk ) k N, ki ga dobimo, tako da iz zaporedja a n ) vzamemo samo tiste člene, ki ustrezajo indeksom n k ). To zaporedje imenujemo podzaporedje zaporedja a n ), ki pripada zaporedju n k ). Zgled. Poglejmo si zaporedje s splošnim členom a n = n. Če vzamemo samo sode člene zaporedja oziroma n k = 2k), dobimo podzaporedje 2, 4, 6, ) 8,.... Vzamemo lahko tudi podzaporedje, 2, 4, 8, ) 6,..., 9

10 ki ustreza potencam števila 2. Če v danem zaporedju zamenjamo vrstni red prvih dveh členov, pa dobimo primer zaporedja 2,, 3, ) 4,..., ki ni podzaporedje zaporedja a n ). V naslednji trditvi si bomo pogledali povezavo med limito stekališči) osnovnega zaporedja in pa limito stekališči) njegovih podzaporedij. Trditev. Naj bo a nk ) podzaporedje zaporedja a n ). ) Če je lim a n) = a, je tudi lim k a n k ) = a. 2) Če je b stekališče zaporedja a n k ), je b tudi stekališče zaporedja a n ). 3) Število b je stekališče zaporedja a n) obstaja podzaporedje a nk ), za katerega je b limita. Dokaz. ) Če je a limita zaporedja a n), so v vsaki okolici točke a vsi členi zaporedja a n ) od nekod naprej. Potem so v vsaki okolici točke a tudi vsi členi podzaporedja a nk ) od nekod naprej, le da je morda indeks, kjer se to zgodi, drugačen. Če so npr. v neki okolici točke a vsi členi zaporedja a n ) od N-tega naprej, so v tej okolici tudi vsi členi zaporedja a nk ) od K-tega naprej, kjer je K tak, da velja n K > N. 2) Če je b stekališče podzaporedja a n k ), je v vsaki okolici točke b neskončno členov zaporedja a nk ), ki pa so hkrati tudi členi zaporedja a n ). 3) =) Naj bo b limita nekega podzaporedja a nk ) zaporedja a n ). Potem je b hkrati stekališče zaporedja a nk ), po točki 2) pa od tod sledi, da je b tudi stekališče zaporedja a n ). = ) Naj bo b stekališče zaporedja a n ). Skonstruirati moramo podzaporedje a nk ) zaporedja a n ), ki bo imelo točko b za limito. Uporabili bomo podobno idejo kot pri aproksimaciji iracionalnega števila z racionalnimi decimalnimi približki. Induktivno bomo konstruirali podzaporedje a nk ), katerega k-ti člen bo aproksimiral točko b na k -natančno. a n K b, i b a n2 K b, 2 e 0

11 Za začetek izberimo takšen n, da bo a n Kb, ). To gre, ker poljubna okolica točke b vsebuje neskončno členov zaporedja a n ), saj je b stekališče zaporedja a n ). Denimo sedaj, da smo že izbrali člene a n, a n2,..., a nk, tako da velja n < n 2 < < n k in a nl Kb, l ) za vse l {, 2,..., n}. Ker leži v okolici Kb, k+ ) neskončno členov zaporedja a n), lahko najdemo tak indeks n k+, da je n k+ > n k in a nk+ Kb, k+ ). Na ta način smo induktivno konstruirali podzaporedje a nk ) zaporedja a n ). Preverimo sedaj, da velja b = lim k a n k ). Uporabili bomo ekvivalentno definicijo limite zaporedja iz Trditve 9. Izberimo poljuben ϵ > 0. Potem obstaja K N, da je K < ϵ. Za k K pa potem velja a nk Kb, k ) Kb, ) Kb, ϵ). K Videli smo že, da ima vsako omejeno zaporedje števil vsaj eno stekališče. Če pa je zaporedje hkrati še monotono, pa je to stekališče eno samo in je posledično limita zaporedja. Trditev 2. Vsako omejeno, monotono realno zaporedje je konvergentno. Dokaz. Privzemimo, da je a n ) omejeno, naraščajoče zaporedje realnih števil. Pokazali bomo, da je število a = supa n ) limita zaporedja a n ) Vzemimo poljuben ϵ > 0. Pokazati moramo, da so vsi členi zaporedja a n od nekega naprej v intervalu a ϵ, a + ϵ). Število a je natančna zgornja meja zaporedja a n ), zato lahko najdemo tak N N, da je a N a ϵ, a + ϵ). Ker je zaporedje a n ) naraščajoče, za vse n N tako velja a n > a ϵ. Hkrati pa po definiciji zgornje meje zaporedja velja a n a za vse n N. Oboje skupaj nam pove, da za n N velja a n a ϵ, a] a ϵ, a + ϵ). Če je zaporedje a n ) omejeno in padajoče, lahko na podoben način pokažemo, da je število a = infa n ) limita zaporedja a n ). S pomočjo zgornje trditve lahko za konkretna zaporedja pokažemo, da so konvergentna. Ko enkrat vemo, da je neko zaporedje konvergentno, pa limito v praksi pogosto izračunamo s pomočjo osnovnih pravil pri računanju z zaporedji.

12 Trditev 3 Pravila za računanje z limitami). Naj bosta a n ) in b n ) konvergentni zaporedji kompleksnih števil in naj bo α C. Tedaj velja: ) Zaporedje a n + b n ) je konvergentno in lim a n + b n ) = lim a n) + lim b n). 2) Zaporedje αa n ) je konvergentno in lim αa n) = α lim a n). 3) Zaporedje a n b n ) je konvergentno in lim a nb n ) = lim a n) 4) Če je b n 0 za vsak n N in je lim konvergentno in an lim b n ) = ) ) lim b n). b n lim a n) lim b n). 0, je zaporedje a n bn ) Dokaz. Označimo a = lim a n) in b = lim b n). ) Pokazali bomo, da je število a+b limita zaporedja a n +b n ). Izberimo poljuben ϵ > 0. Najprej uporabimo dejstvo, da sta obe zaporedji v vsoti konvergentni. Po definiciji limite zaporedja torej obstajata N N, da za vsak n N velja a a n < ϵ 2, N 2 N, da za vsak n N 2 velja b b n < ϵ 2. Naj bo sedaj N večje izmed števil N, N 2. Za n N potem velja a + b) a n + b n ) = a a n ) + b b n ) a a n + b b n < ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ, oziroma a + b) a n + b n ) < ϵ. V izpeljavi smo uporabili trikotniško neenakost in pa dejstvo, da iz n N sledi n N in n N 2. 3) Pokazali bomo, da je ab limita zaporedja a n b n ). Izberimo poljuben ϵ > 0. Najdemo lahko tak δ > 0, da je δ < ϵ + a + b in δ < od tod med drugim sledi, da je δ 2 < δ). Podobno kot pri ) lahko najdemo tak N N, da za n N velja a n a < δ in b n b < δ. Računajmo: a n b n ab = a n a)b n b) + ab n b) + ba n a), a n a b n b + a b n b + b a n a, < δ 2 + a δ + b δ, < δ + a + b ) = ϵ. 2

13 Pokazali smo torej, da za n N velja a n b n ab < ϵ, kar dokazuje našo trditev. 2) Sledi iz 3), če za b n ) izberemo konstantno zaporedje s splošnim členom b n = α. 4) Po predpostavki so vsi členi zaporedja b n ) in posledično tudi b n )) neničelni. Zaporedje b n ) je navzdol omejeno z 0, zato ima natančno spodnjo mejo m = inf b n ) 0. Če bi bil m = 0, bi lahko število 0 poljubno dobro aproksimirali s členi zaporedja b n ), kar bi pomenilo, da je 0 stekališče zaporedja b n ). To pa bi bilo v nasprotju s predpostavko, da ima zaporedje b n ) eno samo stekališče limito) b 0. Torej je m > 0. Dokažimo trditev najprej v primeru, ko je a n = za vse n N. Izberimo poljuben ϵ > 0 in definirajmo δ = ϵ b m. Pokazati želimo, da je b limita zaporedja b n ). Najdemo lahko tak N N, da za vsak n N velja b n b < δ. Za n N potem velja tudi b b n = b n b bb n < δ b b n δ b m = ϵ. Pri izpeljavi smo uporabili, da je b n m oziroma b n m za vse n N. Dokaz trditve v splošnem primeru sledi iz obravnavanega posebnega primera in pa trditve 3). Velja namreč an lim b n ) ) ) = lim a n = lim b a n) lim = n b n lim a n) lim b n). Pri dokazovanju zgornje trditve smo nekajkrat brez pojasnila definirali ustrezen δ, s katerim smo začeli dokaz. V praksi dokazovanje ne poteka tako. Ponavadi skušamo najprej najti idejo dokaza in šele na koncu primerno določimo konstante, da se vse prav izide. Dokaze nato običajno predstavimo v čim bolj strnjeni obliki, iz katere je še mogoče brez večjih težav razbrati glavne ideje. Preprosta posledica zgoraj naštetih pravil za računanje z limitami nam pove, da so konvergentna zaporedja kompleksnih števil pravzaprav le pari konvergentnih zaporedij realnih števil. Trditev 4. Naj bosta a n ) in b n ) realni zaporedji in z n ) = a n + ib n ) zaporedje kompleksnih števil. Potem je zaporedje z n ) konvergentno natanko takrat, ko sta konvergentni zaporedji a n ) in b n ). V tem primeru velja lim z n) = lim a n) + i lim b n). 3

14 Dokaz. =) To je posledica kombinacije Trditev 3 ) in 2). = ) Predpostavimo sedaj, da ima zaporedje kompleksnih števil z n ) limito z. Enakost z n z = z n z = z n z nam pove, da člen z n aproksimira število z isto natančno kot člen z n aproksimira število z. Od tod sledi, da je zaporedje z n ) konvergentno z limito z. Sedaj lahko za vsak n N zapišemo a n = z n + z n, 2 b n = z n z n 2i in z uporabo Trditev 3 ) in 2) sklepamo, da sta zaporedji a n ) in b n ) konvergentni. Pokazali smo že, da ima vsako omejeno zaporedje realnih števil vsaj eno stekališče, sedaj pa bomo pokazali, da isto velja tudi za omejena zaporedja kompleksnih števil. Izrek 5. Vsako omejeno zaporedje kompleksnih števil ima vsaj eno stekališče. Dokaz. Naj bo z n ) = a n + ib n ) omejeno zaporedje kompleksnih števil. Najprej opazimo, da za vsak n N velja a n z n in b n z n. Od tod sklepamo, da sta a n ) in b n ) omejeni zaporedji realnih števil. Po Izreku 7 ima zaporedje a n ) neko stekališče a, zato lahko po Trditvi 3) najdemo podzaporedje a nk ), ki konvergira k a. Podzaporedje b nk ) zaporedja b n ), ki ustreza tako dobljenemu naraščajočemu zaporedju n k ), je omejeno in ima zato neko stekališče b. Torej lahko po Trditvi 3) spet najdemo neko podzaporedje b nkl ) zaporedja b nk ), ki konvergira k b. Našli smo torej strogo naraščajoče zaporedje naravnih števil n kl ) l N, za katerega velja: lim a n kl ) = a, l lim b n kl ) = b. l Od tod sklepamo, da podzaporedje z nkl ) zaporedja z n ) konvergira k a+ib, kar pa po Trditvi 3) pomeni, da je a + ib stekališče zaporedja z n ). Poglejmo si še en rezultat o povezavi med omejenostjo in pa konvergenco zaporedij. 4

15 Trditev 6. Naj bo a n ) zaporedje kompleksnih števil. ) Če je zaporedje a n) konvergentno, je omejeno. 2) Če je zaporedje a n) omejeno in ima natanko eno stekališče, je tudi konvergentno. Dokaz. ) Denimo, da je zaporedje a n ) konvergentno z limito a. a 3 K 0,M a i a N a K a, a 2 K 0, a a N e Po definiciji limite potem obstaja tak N N, da za vsak n N velja a n Ka, ). Krog Ka, ) je vsebovan v krogu K0, a + ), zato so vsi členi od N-tega naprej po absolutni vrednosti manjši od a +. Kakšen izmed prvih N členov je sicer lahko od izhodišča oddaljen za več kot a +, vendar pa med njimi zagotovo obstaja tak, ki je najdlje od izhodišča. Če definiramo M = max{ a, a 2,..., a N, a + }, bodo vsi členi zaporedja a n ) ležali v krogu K0, M), kar pa pomeni, da je zaporedje a n ) omejeno. 2) Denimo sedaj, da je a n ) omejeno zaporedje kompleksnih števil z natanko enim stekališčem a. Pokazali bomo, da je potem a tudi limita zaporedja a n ). Glavna ideja dokaza je opazka, da bi se v primeru, ko a ne bi bila limita zaporedja a n ), členi zaporedja kopičili še okrog neke druge točke, ki bi bila različna od a. To pa bi bilo v protislovju s predpostavko o enem samem stekališču. Formalno bomo trditev dokazali s protislovjem. Če a ne bi bila limita zaporedja a n ), bi obstajal tak ϵ > 0, da bi neskončno členov zaporedja ležalo izven kroga Ka, ϵ). Potemtakem bi lahko konstruirali podzaporedje a nk ), katerega vsi členi bi ležali izven kroga Ka, ϵ). Zaporedje a nk ) bi tudi bilo omejeno, zato bi imelo stekališče b za realna zaporedja smo to že dokazali, za kompleksna pa bomo v kratkem), ki pa bi moralo ležati izven kroga Ka, ϵ) in bi bilo zatorej različno od a. Ker je stekališče podzaporedja tudi stekališče zaporedja, bi tako v prišli v protislovje s predpostavko, da ima zaporedje a n ) natanko eno stekališče. 5

16 a n3 K 0,M a n a n2 i a K a,ε e a n4 Zgled. ) Najprej si poglejmo geometrijsko zaporedje s splošnim členom a n = aq n, kjer sta a, q C. Geometrijsko zaporedje lahko podamo tudi z rekurzivnim predpisom a n+ = a n q. Če bi geometrijsko zaporedje a n ) bilo konvergentno tega še ne vemo), bi bilo konvergentno tudi podzaporedje a n+ ), iz rekurzivnega predpisa pa bi dobili enačbo lim a n+) = lim a nq) = q lim a n). Ker imata zaporedje a n ) in podzaporedje a n+ ) isto limito, od tod sledi q) lim a n) = 0. Če je geometrijsko zaporedje konvergentno, ima torej limito 0, ali pa je q =. Poglejmo sedaj, kdaj geometrijsko zaporedje sploh konvergira. a = 0: V tem primeru imamo konstantno zaporedje s splošnim členom a n = 0, ki konvergira k 0. a 0: Če je q =, imamo konstantno zaporedje s splošnim členom a n = a, ki konvergira k a. Če pa je q, pa ločimo naslednje možnosti: q = : a n = aq n = a = limita ne more biti 0 = a n ) divergira. q > : a n = aq n > a = limita ne more biti 0 = a n ) divergira. q < : Iz enakosti a n = aq n = a q n sledi, da je zaporedje a n ) padajoče in navzdol omejeno z 0. Zato konvergira k 0, kar pa pomeni, da tudi zaporedje a n ) konvergira k 0. n 2) lim n + n + ) = lim n + + ) n n = + lim + lim n 6 = lim ) n + n lim + n, = + 0) =

17 n 2 + 3n 2 3) lim 5n n 2 n 2 5 = lim = 5 = lim + 3 lim ) ) 2 n = 5 n 2 lim ) n 2, ) = 5. V zgornjih zgledih smo videli, da pogosto vnaprej ne vemo, ali neko zaporedje konvergira, pač pa se to pokaže šele tekom računanja, ko hkrati pokažemo, da je zaporedje konvergentno in tudi izračunamo njegovo limito. V zvezi z zaporedji si bomo pobliže pogledali še eno pomembno lastnost konvergentnih zaporedij. Definicija 7. Zaporedje a n ) je Cauchyjevo, če za vsak ϵ > 0 obstaja tak N N, da za poljubna m, n N velja a n a m < ϵ. Zaporedje je torej Cauchyjevo, če so poljubno blizu skupaj vsi členi od nekega naprej. Definicija je zelo podobna definiciji limite zaporedja, le da nam tukaj limite ni treba eksplicitno poznati. Če bi vzeli npr. čedalje boljše decimalne približke nekega realnega števila, bi lahko hitro ugotovili, da se približki poljubno dobro ujemajo, čeprav ne bi nujno vedeli, katero število dejansko aproksimirajo. Trditev 8. Zaporedje kompleksnih števil je konvergentno natanko takrat ko je Cauchyjevo. Dokaz. = ) Denimo, da je zaporedje kompleksnih števil a n ) konvergentno z limito a. Pokazati moramo, da je potem zaporedje a n ) Cauchyjevo. Izberimo poljuben ϵ > 0. Ker je a limita zaporedja a n ), obstaja tak N N, da je a n a < ϵ 2 za vse n N. Če izberemo sedaj poljubna m, n, ki sta oba večja od N, lahko z uporabo trikotniške neenakosti dokažemo neenakost a n a m = a n a) + a a m ) a n a + a a m < ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ, ki dokazuje, da je zaporedje a n ) Cauchyjevo. =) Naj bo sedaj zaporedje a n ) Cauchyjevo. Pokazali bomo, da je potem tudi konvergentno. Dokaz bo precej podoben dokazu Trditve 6. Najprej bomo pokazali, da je zaporedje a n ) omejeno. Ker je Cauchyjevo, lahko pri izbiri ϵ = najdemo tak N N, da za vse n, m N velja a n a m <. Med drugim pri m = N to pomeni, da za vse n N velja a n a N < oziroma a n < a N +. S tem smo pokazali, da je zaporedje a n ) omejeno od N-tega člena naprej. To pa že pomeni, da je omejeno. Če namreč definiramo M = max{ a, a 2,..., a N, a N + }, bodo vsi členi zaporedja a n ) ležali v krogu K0, M). 7

18 Ker je zaporedje a n ) omejeno, ima vsaj eno stekališče. Če pokažemo, da ima natanko eno stekališče, bo po Trditvi 6 2) to pomenilo, da je konvergentno. Uporabili bomo dokaz s protislovjem. K b,ε b a m Ε Ε i Im Ε a a n K a,ε e Recimo, da ima zaporedje a n ) dve različni stekališči a in b. Definirajmo ϵ = b a 3. Kroga Ka, ϵ) in Kb, ϵ) sta potem disjunktna in razdelita daljico ab na tri enake dele. Ker je zaporedje a n ) Cauchyjevo, obstaja tak N N, da za vsaka m, n N velja a n a m < ϵ. Ker pa sta a in b stekališči zaporedja a n ), pa lahko najdemo tak n N, da je a n a < ϵ, oziroma tak m N, da je a m b < ϵ. To pomeni, da leži točka a n v krogu Ka, ϵ), točka a m pa v krogu Kb, ϵ). Ker je razdalja med tema dvema krogoma enaka ϵ, tako pridemo v protislovje s predpostavko, da je razdalja med a n in a m manjša od ϵ. Formalno lahko to dokažemo z uporabo trikotniške neenakosti. Iz naših predpostavk bi namreč sledilo b a = b a m ) + a m a n ) + a n a), b a m + a m a n + a n a, < ϵ + ϵ + ϵ, = b a, oziroma b a < b a, kar pa je protislovje. Za zaporedja kompleksnih števil se torej konvergenca ujema s Cauchyjevo lastnostjo. Podobno velja tudi za zaporedja realnih števil, ni pa to res za poljubna zaporedja. Kot protiprimer vzemimo zaporedje čedalje boljših racionalnih decimalnih približkov nekega iracionalnega števila. To je Cauchyjevo zaporedje racionalnih števil, ki pa nima racionalne limite. Malo bolj komplicirani primeri, ki jih bomo spoznali kasneje, se pojavijo pri aproksimaciji funkcij s polinomi. Analogno kot pri realnih/racionalnih številih lahko vsako zvezno funkcijo na omejenem zaprtem intervalu poljubno dobro aproksimiramo s polinomi. Torej obstajajo Cauchyjeva zaporedja polinomov, ki pa niso konvergentna. Omenimo še, da zmeraj velja, da je konvergentno zaporedje Cauchyjevo. Prostori, v katerih velja tudi obrat v slogu Trditve 8) se imenujejo polni prostori. Poleg realnih in kompleksnih števil so polni tudi Evklidski prostori. 8

19 Poseben primer divergentnih zaporedij realnih števil so zaporedja, kjer členi rastejo čez vse meje. Oznaka lim a n) = bo za nas pomenila, da za vsak M R obstaja tak N N, da je a n M za vsak n N. To pomeni, da so za vsak M R vsi členi zaporedja od nekod naprej večji od M. Zgornji pogoj lahko vzamemo kar za definicijo konvergence zaporedja a n ) k. Analogno definiramo lim a n) =, če za vsak m R obstaja tak N N, da je a n m za vsak n N. Za konec razdelka si poglejmo še definicijo števila e, ki igra ključno vlogo v matematični analizi in pri uporabi matematike v tehniških vedah. Zgled. Definirajmo zaporedji realnih števil a n ) in b n ) s predpisoma a n = + n) n, b n = ) n n za n 2. Pokazali bomo, da sta obe zaporedji konvergentni in da imata isto limito. Dokaz bomo razdelili na tri dele. ) V prvem koraku bomo pokazali, da neenakost + x) n > + nx ) velja za vsak x R, za katerega je 0 < x < in za vse n Z, n 2. Za pozitivne n-je si bomo pomagali z matematično indukcijo. n = 2: + x) 2 = + 2x + x 2 > + 2x. n n + : + x) n+ = + x) n + x) I.P. > + nx) + x), = + n + )x + nx 2, > + n + )x. Pri dokazu smo dvakrat upoštevali, da je pri naših predpostavkah x 2 > 0. Naj bo sedaj n 2. Za poljuben 0 < x < velja + x) x) = x 2 <, x < + x. 9

20 Od tod dobimo + x) n = ) n > x) n > + n) x) = + nx. + x Pri izpeljavi smo uporabili že dokazano neenakost ) za število n 2. 2) V naslednjem koraku bomo dokazali, da je zaporedje a n ) strogo naraščajoče, zaporedje b n ) pa strogo padajoče. Z uporabo neenakosti ) najprej dobimo, da za vsak n Z, n 2, velja + ) n n = n n) ) n n 2 > + n n ) 2 = n. 2) Torej je za vsak n 2 + n) n > n) n = n n) n+ ) n n = = + ) n n n oziroma a n > a n, kar pomeni, da je zaporedje a n ) strogo naraščajoče. Če v neenakost 2) vstavimo n = m, kjer je m 2, dobimo m) m > + m) m+ ) m m+) = = m + m + ) m+) oziroma b m > b m+ za vsak m 2. To pomeni, da je zaporedje b n ) strogo padajoče. 3) Sedaj bomo še pokazali, da je zaporedje a n ) omejeno navzgor, zaporedje b n ) pa omejeno navzdol. Za vsak n imamo b n+ = ) n+) = n + Ker je zaporedje b n ) padajoče, je za n ) n n+) = + ) n+ = a n + ) > a n. n + n n a n < b n+ b 2 = 4, kar pomeni, da je zaporedje a n ) navzgor omejeno s 4. Podobno dobimo, da za n 2 velja b n > a n a = 2. a 2.0 Trditev 2 sedaj zagotavlja, da sta zaporedji a n ) in b n ) konvergentni, izkaže pa se, da imata isto limito. To sledi iz enakosti b n+ = a n + n), ki smo jo pokazali pri izpeljavi monotonosti obeh zaporedij lim b n) = lim b n+) = lim a n) lim + ) = lim n a n). 20

21 Skupno limito obeh zaporedij označimo z e = lim + n = lim n) n. n) Število e je iracionalno, njegova približna vrednost pa je e

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

Tretja vaja iz matematike 1

Tretja vaja iz matematike 1 Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +

Διαβάστε περισσότερα

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja

Διαβάστε περισσότερα

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK 1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24

Διαβάστε περισσότερα

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor, Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),

Διαβάστε περισσότερα

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1 Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011

Matematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011 Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 00/0 Izpis: 9 avgust 0 Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7 5 Urejenost

Διαβάστε περισσότερα

Osnove matematične analize 2016/17

Osnove matematične analize 2016/17 Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja

Διαβάστε περισσότερα

Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega

Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,

Διαβάστε περισσότερα

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno

Διαβάστε περισσότερα

Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija

Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Jaka Cimprič

Matematika 1. Jaka Cimprič Matematika 1 Jaka Cimprič Predgovor Pričujoči učbenik je namenjen študentom tistih univerzitetnih programov, ki vključujejo samo eno leto matematike. Nastala je na podlagi izkušenj, ki jih imam s poučevanjem

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Mariboru. Fakulteta za logistiko MATEMATIKA. Univerzitetni učbenik

Univerza v Mariboru. Fakulteta za logistiko MATEMATIKA. Univerzitetni učbenik Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko MATEMATIKA Univerzitetni učbenik AJDA FOŠNER IN MAJA FOŠNER Junij, 2008 Kazalo 1 Množice 5 11 Matematična logika 5 12 Množice 10 2 Preslikave 18 21 Realne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009

Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.

Διαβάστε περισσότερα

Realne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1

Realne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1 Realne funkcije Funkcija f denirana simetri nem intervalu D = ( a, a) ali D = [ a, a] (i) je soda, e velja f(x) = f( x), x D; (ii) je liha, e velja f(x) = f( x), x D. Naj bo f denirana D f in x 1, x 2

Διαβάστε περισσότερα

Analiza I. (študijsko gradivo) Matija Cencelj

Analiza I. (študijsko gradivo) Matija Cencelj Analiza I (študijsko gradivo) Matija Cencelj 2. maj 2007 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Izjave............................... 5 1.2 Množice.............................. 7 1.3 Relacije..............................

Διαβάστε περισσότερα

Algebraične strukture

Algebraične strukture Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice

Διαβάστε περισσότερα

1 Fibonaccijeva stevila

1 Fibonaccijeva stevila 1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih

Διαβάστε περισσότερα

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12 Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I

ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I Skripta za vaje iz Matematike I (UNI + VSP) Ljubljana, množice Osnovne definicije: Množica A je podmnožica

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Funkcije in enačbe

Matematika. Funkcije in enačbe Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana

Διαβάστε περισσότερα

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke

Διαβάστε περισσότερα

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.

V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant. Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,

Διαβάστε περισσότερα

Splošno o interpolaciji

Splošno o interpolaciji Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo

Διαβάστε περισσότερα

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre

Διαβάστε περισσότερα

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Mariboru. Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik

Univerza v Mariboru. Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik BOJANA ZALAR Celje 2009 Izdala: Fakulteta za logistiko Univerze v Mariboru Naslov: Uporaba matematičnih metod

Διαβάστε περισσότερα

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa

Διαβάστε περισσότερα

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori s skalarnim produktom

Vektorski prostori s skalarnim produktom Poglavje IX Vektorski prostori s skalarnim produktom Skalarni produkt dveh vektorjev v R n smo spoznali v prvem poglavju. Sedaj bomo pojem skalarnega produkta razširili na poljuben vektorski prostor V

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA 29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,

Διαβάστε περισσότερα

1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem

1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo

Διαβάστε περισσότερα

Lastne vrednosti in lastni vektorji

Lastne vrednosti in lastni vektorji Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,

Διαβάστε περισσότερα

Dragi polinom, kje so tvoje ničle?

Dragi polinom, kje so tvoje ničle? 1 Dragi polinom, kje so tvoje ničle? Vito Vitrih FAMNIT - Izlet v matematično vesolje 17. december 2010 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a i R.

Διαβάστε περισσότερα

Kotni funkciji sinus in kosinus

Kotni funkciji sinus in kosinus Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje

Διαβάστε περισσότερα

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij): 4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n

Διαβάστε περισσότερα

REˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.

REˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23. Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija. 1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer

Διαβάστε περισσότερα

Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper. Geometrija. Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar

Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper. Geometrija. Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper Geometrija Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar Koper, 2007 PREDGOVOR Pričujoče študijsko gradivo je povzeto po naslednjih knigah Richard S. Millman, George

Διαβάστε περισσότερα

Reševanje sistema linearnih

Reševanje sistema linearnih Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje

Διαβάστε περισσότερα

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov

Διαβάστε περισσότερα

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne

Διαβάστε περισσότερα

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:

Διαβάστε περισσότερα

INŽENIRSKA MATEMATIKA I

INŽENIRSKA MATEMATIKA I INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije več spremenljivk

Funkcije več spremenljivk DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d) Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2

Διαβάστε περισσότερα

D f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,

D f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga

Διαβάστε περισσότερα

Analiza 2 Rešitve 14. sklopa nalog

Analiza 2 Rešitve 14. sklopa nalog Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dveh in več spremenljivk

Funkcije dveh in več spremenljivk Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu. Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.

Διαβάστε περισσότερα

Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti

Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih

Διαβάστε περισσότερα

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo

Διαβάστε περισσότερα

VERIŽNI ULOMKI IN NESKONČNE VRSTE

VERIŽNI ULOMKI IN NESKONČNE VRSTE UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA KATJA SKUBIC VERIŽNI ULOMKI IN NESKONČNE VRSTE DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 204 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA IN RAČUNALNIŠTVO KATJA SKUBIC Mentor:

Διαβάστε περισσότερα

Definicija 1. Naj bo f : D odp R funkcija. Funkcija F : D odp R je primitivna funkcija funkcije f, če je odvedljiva in če velja F = f.

Definicija 1. Naj bo f : D odp R funkcija. Funkcija F : D odp R je primitivna funkcija funkcije f, če je odvedljiva in če velja F = f. Nedoločeni integral V tem razdelku si bomo pogledali operacijo, ki je na nek način inverzna odvajanju. Za dano funkcijo bomo poskušali poiskati neko drugo funkcijo, katere odvod bo ravno dana funkcija.

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ

INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NIKA HREN INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 203 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA - RAČUNALNIŠTVO NIKA HREN Mentor: izr.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne lastnosti odvoda

Osnovne lastnosti odvoda Del 2 Odvodi POGLAVJE 4 Osnovne lastnosti odvoda. Definicija odvoda Odvod funkcije f v točki x je definiran z f f(x + ) f(x) (x) =. 0 Ta definicija je smiselna samo v primeru, ko x D(f), ita na desni

Διαβάστε περισσότερα

Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec

Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)

Διαβάστε περισσότερα

Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik

Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI

Διαβάστε περισσότερα

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH

Διαβάστε περισσότερα

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 215 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda

Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010

Matematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010 Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 januar 00 KAZALO Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7

Διαβάστε περισσότερα

AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA

AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA Aleš Vavpetič AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA Ljubljana 2011 ii naslov: AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA avtorske pravice: Aleš Vavpetič izdaja: prva izdaja založnik: samozaložba Aleš Vavpetič, Ljubljana

Διαβάστε περισσότερα

Sklepanje je torej tudi interpretacija stavka predstavljena kot sekvenca instanc pravil.

Sklepanje je torej tudi interpretacija stavka predstavljena kot sekvenca instanc pravil. Poglavje 2 SKLEPANJE Teorija je definirana z množico pravil. Pravila lahko definirajo preverjanje tipov stavka danega jezika, definirajo interpretacijo jezika,... Sklepanje predstavimo s sekvenco aplikacij

Διαβάστε περισσότερα

Afina in projektivna geometrija

Afina in projektivna geometrija fina in projektivna geometrija tožnice () kiciraj stožnico v evklidski ravnini R, ki je določena z enačbo 6 3 8 + 6 =. Rešitev: tožnica v evklidski ravnini je krivulja, ki jo določa enačba a + b + c +

Διαβάστε περισσότερα

1. Trikotniki hitrosti

1. Trikotniki hitrosti . Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca

Διαβάστε περισσότερα

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.

Διαβάστε περισσότερα

Matrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1

Matrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1 Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]

Διαβάστε περισσότερα

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013 Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORJI. Operacije z vektorji

VEKTORJI. Operacije z vektorji VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,

Διαβάστε περισσότερα

Kateri logični shemi imajo matematični izreki? Matematični izreki imajo logično zgradbo implikacije(a=>b) ali zgradbo ekvivalence(a b)

Kateri logični shemi imajo matematični izreki? Matematični izreki imajo logično zgradbo implikacije(a=>b) ali zgradbo ekvivalence(a b) Matematika za inženirje 1 Vprašanja iz uvodnega poglavja Zapišite,kdaj je pravilna katera od logičnih operacij: disjunkcija, konjunkcija, implikacija in ekvivalenca. -Disjunkcija je pravilna (vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

Osnove kompleksne analize MARKO SLAPAR

Osnove kompleksne analize MARKO SLAPAR Osnove kompleksne analize MARKO SLAPAR Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Marko Slapar Osnove kompleksne analize Ljubljana, Avgust 22 Naslov: Osnove kompleksne analize Avtor: Marko Slapar Recenzenta:

Διαβάστε περισσότερα

Riemannove ploskve in analitična geometrija. Franc Forstnerič

Riemannove ploskve in analitična geometrija. Franc Forstnerič Riemannove ploskve in analitična geometrija Franc Forstnerič 11. februar 2018 Kazalo I Uvod v Riemannove ploskve 1 I.1 Motivacija.................................... 1 I.2 Definicija Riemannove ploskve

Διαβάστε περισσότερα

TRANZITIVNI GRAFI. Katarina Jan ar. oktober 2008

TRANZITIVNI GRAFI. Katarina Jan ar. oktober 2008 TRANZITIVNI GRAFI Katarina Jan ar oktober 2008 Kazalo 1 Uvodne denicije........................ 3 2 Vozli² na tranzitivnost.................... 8 3 Povezavna tranzitivnost.................... 10 4 Lo na

Διαβάστε περισσότερα

Del 5. Vektorske funkcije in funkcije več spremenljivk

Del 5. Vektorske funkcije in funkcije več spremenljivk Del 5 Vektorske funkcije in funkcije več spremenljivk POGLAVJE 1 Krivulje v R n 1. Risanje vektorskih funkcij in vektorskih zaporedij Funkcija iz R v R n je podana z dvema podatkoma: z definicijskim območjem,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1 Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK

GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK 2 1 Geometrija v ravnini 1.1 Osnove geometrije Točka je tisto, kar nima delov. Črta je dolžina brez širine. Ploskev je tisto, kar ima samo dolžino in širino. Osnovni zakoni,

Διαβάστε περισσότερα

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. 1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK

MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK abc MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK ŠTEVILA PRIBLIŽNO RAČUNANJE PRIBLIŽNO RAČUNANJE Ta fosil dinozavra je star 7 milijonov in šest let, pravi paznik v muzeju.??? Ko sem

Διαβάστε περισσότερα

(Ne)rešljiva Rubikova kocka in grupe

(Ne)rešljiva Rubikova kocka in grupe (Ne)rešljiva Rubikova kocka in grupe Maša Lah, Sabina Boršić, Klara Drofenik Mentor: Rok Gregorič Matematično raziskovalno srečanje 24. avgust 2016 Povzetek Cilj našega projekta je bil ugotoviti kriterij

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Reševanje nelinearnih sistemov

3.1 Reševanje nelinearnih sistemov 3.1 Reševanje nelinearnih sistemov Rešujemo sistem nelinearnih enačb f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0. f n (x 1, x 2,..., x n ) = 0. Pišemo F (x) = 0, kjer je x R n in F : R n

Διαβάστε περισσότερα

8. Diskretni LTI sistemi

8. Diskretni LTI sistemi 8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z

Διαβάστε περισσότερα

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih. TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij

Διαβάστε περισσότερα

VARIACIJSKE SUBDIVIZIJSKE SHEME

VARIACIJSKE SUBDIVIZIJSKE SHEME UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Seminar za Numerično analizo VARIACIJSKE SUBDIVIZIJSKE SHEME Ljubljana, 004 Marjeta Krajnc . Uvod Subdivizija je postala v zadnjih letih zelo pomembno

Διαβάστε περισσότερα