Η λύση του προβλήματος των ιδιοτιμών και ιδιομορφών είναι εύκολη μόνο σε περιπτώσεις συστημάτων λίγων Β.Ε. Μέθοδος Rayleigh

Transcript

1 Η λύση του προβλήματος των ιδιοτιμών και ιδιομορφών είναι εύκολη μόνο σε περιπτώσεις συστημάτων λίγων Β.Ε. Μέθοδος Raylegh βασίζεται στο ομώνυμο πηλίκο προσεγγίζει το άνω όριο της τιμής της πρώτης ιδιοτιμής Μέθοδος Dukerley προσεγγίζει το κάτω όριο της τιμής της πρώτης ιδιοτιμής Επαναληπτική μέθοδος πινάκων παρέχει με διαδοχικό και επαναληπτικό τρόπο τις ιδιοτιμές και ιδιομορφές Μέθοδος Jacob παρέχει με επαναληπτικό τρόπο ταυτόχρονα όλες τις ιδιοτιμές και ιδιομορφές Μέθοδος Holzer παρέχει ένα ζεύγος ιδιοτιμών ιδιομορφών κάθε φορά Δυναμική Μηχανών και Μηχανισμών 89

2 Η μέθοδος Raylegh Η μέθοδος βασίζεται σε ενεργειακά μεγέθη Προσεγγίζει την πρώτη ιδιοτιμή (πρώτη φυσική κυκλική συχνότητα) Βασίζεται στο πηλίκο του Raylegh και στο θεώρημα της επέκτασης = = { } σ { } Αυθαίρετο διάνυσμα { } { }, =,,... ({ },{ } ) { },{ } K R({ }) = ω, =,,..., ( ) [ ] [ M ] Δυναμική Μηχανών και Μηχανισμών 90

3 Η μέθοδος Raylegh Το σφάλμα εξαρτάται από το προσεγγιστικό διάνυσμα f k = σ / σ =,,.., k, k+,.., { } { } k appr R({ }) = = σ σ σ ω = = [ K ] = σ { }, { } σ σ = = [ M ] = { }, { } = = { } σ { } ({ }) R ω ω f ω f k appr. = k + + = ωk = k+ ωk Δυναμική Μηχανών και Μηχανισμών 9

4 Η μέθοδος Raylegh Η προσεγγιστική τιμή για την ιδιοτιμή είναι μεγαλύτερη της ακριβούς ({ } ) { }. ( ) { } k k ω ω ω ω L = R R( ) = ωk 0 appr k appr k + f + f ωk f f = ωk = k+ ω = + > k = ωk = k+ ωk Για την πρώτη ιδιοτιμή ({ } ) { } appr ( ) { } appr ω ω L = R R. ( ) = ω + f ω = f 0 > = ωk = ωk Δυναμική Μηχανών και Μηχανισμών 9

5 Η μέθοδος Raylegh Η μέθοδος σε αλγοριθμική μορφή: Θέσε μια αρχική τιμή για την η ιδιομορφή Υπολόγισε την προσεγγιστική τιμή της ιδιοτιμής με βάση τη σχέση: ω = ({ } { } ) [ K ] { },{ }, ( ) [ M ] Η ακριβής τιμή της ιδιοτιμής προσεγγίζεται περισσότερο αν η αρχική πρόβλεψη βρίσκεται κοντά στην ακριβή τιμή της ης ιδιομορφής Για ορισμένα μηχανολογικά συστήματα (άξονες, δοκούς με συγκεντρωμένες μάζες ή αδράνειες, κλπ.) μία καλή προσέγγιση της ης ιδιομορφής για εγκάρσιες ταλαντώσεις είναι το διάνυσμα των στατικών αποκλίσεων των μαζών του συστήματος λόγω ίδιου βάρους Δυναμική Μηχανών και Μηχανισμών 93

6 ΑΣΚΗΣΗ 4 Να προσδιορισθεί η θεμελιώδης φυσική συχνότητα του συστήματος του σχήματος μέσω της μεθόδου Raylegh k = 3 m x k m x k = k = k3 = k k m = m = m3 = m m x Δυναμική Μηχανών και Μηχανισμών 94

7 Η μέθοδος Holzer Η μέθοδος θέτει αυθαίρετες τιμές για το πρώτο στοιχείο μιας ιδιοτιμής και την φυσική κυκλική συχνότητα και ελέγχει την σύγκλιση βάσει της σχέσης Holzer Είναι μέθοδος ελέγχου σφάλματος (try-ad-error method) Εφαρμόζεται σε συστήματα "σειριακής" διάταξης μαζών και ελαστικών στοιχείων Δυναμική Μηχανών και Μηχανισμών 95

8 Η μέθοδος Holzer k 0 x (t) k x (t) k - x (t) k m m m Διάγραμμα ταλαντούμενης μάζας [ ( ) ( )] k x t x t [ ( ) ( ) ] k x t x t + m mx && ( t) x (t) Εφαρμογή του ου νόμου του Newto ( ) ( ) m && x = k x x k x x+, =,3,..., Δυναμική Μηχανών και Μηχανισμών 96

9 Η μέθοδος Holzer Οι κινήσεις των ακραίων μαζών εξαρτώνται από το είδος στήριξης του συστήματος στα άκρα Σταθερή στήριξη ( ) m&& x = k x k x x 0 ( ) m && x = k x k x x (t) m x (t k 0 m k Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης x ( t) = s( ωt), =,,..., Δυναμική Μηχανών και Μηχανισμών 97

10 Η μέθοδος Holzer ΟιΔ.Ε. με την γενική λύση = + ( k0 mω ) ( ) ( ) ( ) = ω m k0 k = ω m k k 3 LLLLLLLL ( ) ( ) = ω m k k + LLLLLLLL ( ) = ω m k k Εναλλακτικά!!! (Ξεκινώντας από το ) k 3= + k0 ω m j j k j=... k ω m = + 0 j j k j= k ω m = + + j j k j= + ω m j j = k0+ k j= Η σχέση Holzer Δυναμική Μηχανών και Μηχανισμών 98

11 Η μέθοδος Holzer H μέθοδος ξεκινά με αρχική αυθαίρετη τιμή για το πρώτο στοιχείο της ης ιδιοτιμής και αυθαίρετη τιμή για την φυσική κυκλική συχνότηταω H σχέση Holzer είναι σχέση ελέγχου της ορθότητας των τιμών των,,..., καιω Rω ( ) = ω m j j k0 k j= Γίνεται 0 -με κάποιο σφάλμα όταν το ω είναι φυσική κυκλική συχνότητα!!! Δυναμική Μηχανών και Μηχανισμών 99

12 Η μέθοδος Holzer Η μέθοδος σε αλγοριθμική μορφή: Θέσε το πλήθος των Β.Ε. ίσο προς Θέσε αρχική τιμή στοωκαι στο Θέσε ίσο προς τον δείκτη τάξης της ιδιοτιμής ιδιομορφής Καθόρισε το βήμα μεταβολής και το πεδίο ορισμού τηςω Καθόρισε το όριο της τιμής μηδενισμού e (σφάλμα) Όσο τοωλαμβάνει τιμές στο πεδίο ορισμού και το Όσο το R(ω) είναι μεγαλύτερο του e Προσδιόρισε διαδοχικά τα,,..., Προσδιόρισε την διαφορά R(ω) Αύξησε τοωκατά το βήμα μεταβολής Τέλος επανάληψης Τύπωσε την - ιδιοτιμή και την ιδιομορφή Αύξησε το κατά Θέσε αρχική τιμή στο Τέλος επανάληψης Δυναμική Μηχανών και Μηχανισμών 00

13 ΑΣΚΗΣΗ 8 Να προσδιορισθεί η θεμελιώδης φυσική συχνότητα του συστήματος του σχήματος μέσω της μεθόδου Holzer k m x k m x = 3 k = k = k3 = k k m = m = m3 = m m x Δυναμική Μηχανών και Μηχανισμών 0