Specialieji analizės skyriai

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Specialieji analizės skyriai"

Transcript

1 Specialieji analizės skyriai.

2 Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2

3 Kompleksinio kintamojo funkcijų teorija 1. Kompleksinių skaičių aibės. Kompleksinio kintamojo funkcija. Riba. Išvestinė. Analizinės funkcijos. Koši ir Rymano sąlygos. Laplaso lygtis. Harmoninės funkcijos. 2. Laipsninė funkcija. Rodyklinė funkcija. Trigonometrinės ir hiperbolinės funkcijos. Logaritminė funkcija. Apibendrintoji laipsninė funkcija. 3. Integralo apibrėžimas, savybės, skaičiavimas, įvertinimas. Koši integralinė teorema. Koši teorema daugiajungei sričiai. Koši integralinė formulė. Analizinių funkcijų aukštesniųjų eilių išvestinės. Koši nelygybė. Liuvilio teorema. Moreros teorema. 4. Kompleksinių skaičių sekos ir eilutės. Konvergavimo požymiai. Laipsninės eilutės. Teiloro ir Makloreno eilutės. 5. Analizinės funkcijos nuliai. Lorano eilutė. Ypatingieji taškai. Rezidiumai ir jų taikymas. 3

4 Kompleksinio kintamojo funkcijų teorija. Literatūra. A. Krylovas, J. Raulynaitis. Kompleksinio kintamojo funkcijų teorija, V.: Technika, 2006 A. Nagelė, L. Papreckienė. Kompleksinio kintamojo funkcijų teorija, V., 1996 A. Kabaila, P. Rumšas. Kompleksinio kintamojo funkcijų teorija, V.: Mintis, 1971 A. Barauskas, Z. Navickas, V. Tėvelis. Kompleksinio kintamojo funkcijos ir operacinis skaičiavimas. V.: Mokslas, 1986 М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. Методы теории функций комплексного переменного, М., 2002 E. Kreyszig, Anvanced engineering mathematics, 2006 P. Alekna. Kompleksinio kintamojo funkcijų teorijos uždavinynas, ŠU, 2006 A. Krylovas. Kompleksinio kintamojo funkcijų teorijos savarankiško darbo užduotys. Sprendimai ir atsakymai. V.: Technika, 1996 A. Nagelė, L. Navickaitė. Kompleksinio kintamojo funkcijų teorijos uždaviniai, V., 1975 A. Nenortienė, Z. Navickas, I. Pranevičienė. Kompleksinio kintamojo funkcijų teorijos uždavinynas, V.,

5 Furjė eilutės ir Furjė integralai 1. Trigonometrinė Furjė eilutė. Funkcijų su periodu 2L Furjė eilutės. Lyginių ir nelyginių funkcijų Furjė eilutės. 2. Funkcijų išreiškimas Furjė eilute atkarpoje [0, L]. Furjė eilutės kompleksinė forma. 3. Furjė integralas. Kompleksinė Furjė integralo forma. Furjė transformacija. 5

6 Furjė eilutės ir Furjė integralai. Literatūra E. Bajorūnas, N. Janušauskaitė, V. Vėteris. Furjė eilutės, K., 1988 V. Pekarskas, Trumpas matematikos kursas. - Kaunas, Technologija, 2006 V. Iljinas, E. Pozniakas. Matematinės analizės pagrindai, V.: Mokslas, 1981, t.2, sk.x Г. П. Толстов, Ряды Фурье, М., Наука, 1980 E. Kreyszig, Anvanced engineering mathematics,

7 Operacinis skaičiavimas 1. Laplaso transformacija. Tiesiškumo teorema. Panašumo teorema. Postūmio teorema. Vėlavimo teorema. Egzistavimo ir vienaties teorema. Išvestinės ir integralo transformacijos. Laplaso transformacijos diferencijavimas ir integravimas. 2. Sąsuka. Sąsukos Laplaso transformacija. Diuamelio formulė. Atvirkštinė Laplaso transformacija. Atvirkštinės transformacijos skaičiavimas. 3. Laplaso transformacijos taikymai. Integralinės lygtys. Tiersninės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficinetais. Tiesinių diferencialinių lygčių sistemos. 7

8 Operacinis skaičiavimas. Literatūra J. Rimas. Operacinis skaičiavimas, K.: Technologija, 2006 E. Dagienė, E. Kirjackis, A. Krylovas. Operacinis skaičiavimas. V.: Technika, 2000 A. Barauskas, Z. Navickas, V.Tėvelis. Kompleksinio kintamojo funkcijos ir operacinis skaičiavimas. V.: Mokslas, 1986 E. Kreyszig, Anvanced engineering mathematics, 2006 П. И. Романовский, Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа, М., Наука,

9 Lauko teorijos elementai 1. Skaliarinis laukas. Vektorinis laukas. Gradientas. Kryptinė išvestinė. Potencialai.. 2. Divergencija. Rotorius. Kreiviniai integralai. Gryno teorema. Paviršiniai integralai. Gauso-Ostrogradskio teorema. 3. Lauko teorijos taikymai. Stokso teorema. 9

10 Lauko teorijos elementai. Literatūra E. Kirjackis, B. Kryžienė. Lauko teorijos pagrindai, V.: Technika, 1996 E. Kirjackis, B. Kryžienė. Lauko teorijos elementai, V.: Technika, 1998 (tęsinys) V. Iljinas, E. Pozniakas. Matematinės analizės pagrindai, V.: Mokslas, 1981, t.2, sk. V-VII I. Pranevičienė, H. Pranevičius, Lauko teorija, K., Technologija, 2004 E. Kreyszig, Anvanced engineering mathematics, 2006 М.Л. Краснов, А.И. Киселёв, Г.И. Макаренко. Векторный анализ, М.: Наука, 1978 P. Alekna, Kelių kintamųjų funkcijų integralai (dvilypiai, trilypiai, kreiviniai, paviršiniai): uždavinynas, Š., ŠU, 2003 V. Liutikas, A. Miliušas, E. Vakrina, Daugialypiai, kreiviniai ir paviršiniai integralai: uždavinių rinkinys, V., VISI,

11 Vertinimo tvarka 20% 20% 10% 50% 1 kolokviumas 2 kolokviumas Papildomi balai Egzaminas 11

12 Papildomi balai Savarankiški darbai Namų darbai Aktyvumas Teisingi atsakymai 12

13 Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas Tarkime, A aibė, kurioje apibrėžta algebrine operacija. a, b A : a b = c A. Šiuo atveju sakoma, kad aibė A yra uždara operacijos atžvilgiu. N + - / 2 n 2 n1 Z N Q Q {0} R {0} 13

14 Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas Realiųjų skaičių aibėje negalima ištraukti lyginio laipsnio šaknies iš neigiamo skaičiaus. Pvz., 2 R Arba, kas yra tas pats, negalima išspręsti lygtį z 2 2 = 0 Realiųjų skaičių aibę R galima praplėsti iki kompleksinių skaičių aibės C, kuri yra uždara visų keturių aritmetinių veiksmų atžvilgiu ir kurioje galima išspręsti (1) lygtį. (1) 14

15 Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas Pažymėkime C realiųjų skaičių porų aibę: C = {a, b : a R, b R }. Šioje aibėje sudėtis ir daugyba apibrėžiami taip: a, b c, d = a c, b d, a, b c, d = a c bd, a d bc. Aibė C elementai vadinami kompleksiniais skaičiais. 15

16 Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas Bet kurio kompleksinio skaičiaus (x,y) priešingasis skaičius (-x, -y) apibrėžiamas taip: x, y x, y = 0, 0. Skaičius (0,0) vadinamas kompleksiniu nuliu. Bet kurio nenulinio kompleksinio skaičiaus (x,y) atvirkštinis kompleksinis skaičius (x,y) -1 apibrėžiamas taip: x, y x, y 1 = 1, 0. Iš šių apibrėžimų gauname kompleksinių skaičių atimties ir dalybos formules. 16

17 Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas Kompleksinių skaičių atimties formulė: a, b c, d = a, b c, d = a c, b d. Kompleksinių skaičių dalybos formulė: a, b : c, d = a, b c, d 1 = a c bd c 2 d 2, bc a d c 2 d 2. Kodėl taip? 17

18 Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas Kas yra (c,d) -1? Pažymėkime (c,d) -1 = (x,y). Pagal apibrėžimą, c, d x, y = 1, 0 c x d y, c y d x = 1, 0. Gauname tiesinių lygčių sistemą { c x d y = 1 d x c y = 0 x = c c 2 d, y = d 2 c 2 d. 2 Taigi, x, y = c, d 1 = c c 2 d 2, d c 2 d 2. 18

19 Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas Turime, kad a, b : c, d = a, b c, d 1 = a, b c c 2 d 2, d c 2 d 2. Pritaikę kompleksinių skaičių daugybos apibrėžimą gauname, a, b p, q = a p bq, a q b p, a, b : c, d = a c bd c 2 d 2, bc a d c 2 d 2. Matome, kad kompleksinių skaičių aibė yra uždara keturių aritmetinių veiksmų atžvilgiu. 19

20 Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas Išnagrinėkime aritmetinių veiksmų išvestas formules, tuo atveju, kai kompleksinio skaičiaus antroji komponentė yra lygi nuliui. Turime a, 0 ± c, 0 = a ± c, 0, a, 0 c, 0 = a c, 0, a, 0 : c, 0 = a c, 0. Matome, kad skaičių (x,0) aibė sutampa su realiųjų skaičių aibe. Taigi R C ir (1,0) 1 yra realusis vienetas. 20

21 Kompleksinių skaičių sekos Tarkime, kad {z n } kompleksinių skaičių seka. Skaičius z 0 vadinamas k.s. sekos riba, jei bet kokiam ε > 0 egzistuoja N toks, kad visi sekos nariai su numeriais n > N, tenkina nelygybę z n z 0 < ε. Rašoma lim n z n =z 0 Kai riba egzistuoja, sakoma, kad seka konverguoja. Priešingai diverguoja. K. s. seka {z n } konverguoja tada ir tik tada, kai konverguoja sekos {Re z n }, {Im z n }. Kompleksinių skaičių sekų riboms būdingos šios savybės: lim z n ±w n =lim n n lim n z n w n =lim n z n ±lim n z n lim n w n w n lim n z n w n = lim n lim n z n w n 21

22 Kompleksinių skaičių sfera Kompleksinių skaičių sekos modulių riba yra, t.y., kai {z n } riba vadinama begalybe, kai šios sekos narių lim z n = n Kokia yra šios lygybės geometrinė prasmė? Stačiakampėje koordinačių sistemoje (u, v, t) nubrėžkime sferą (Rymano sfera), kurios centras yra taške (0, 0, ½) ir spindulys ½. Sferos taškas N(0, 0, 1) vadinamas šiaurės poliumi. Kompleksinė plokštuma (z) sutampa su u0v. 22

23 Kompleksinių skaičių sfera Tiesės, jungiančios kompleksinės plokštumos tašką z su šiaurės poliumi N, ir sferos sankirtos taškas vadinamas taško z stereografiniu vaizdu. Stereografinio vaizdo z' (u, v, t) koordinates apskaičiuojamos pagal formules: x y u= t= x2 y 2 v= 1x 2 y 2 1 x 2 y 2 1x 2 y 2 Žinant stereografinio vaizdo koordinates, tašką z randame pagal formules: x= u 1 t y= v 1 t Taigi, kiekvieną sferos tašką z', išskyrus šiaurės polį, atitinka baigtinis taškas z. Todėl Rymano sferos šiaurės polis laikomas be galo nutolusio kompleksinės plokštumos taško z = stereografiniu vaizdu. Kompleksinių skaičių aibės C ir taško z = sąjunga C U { } vadinama išplėstine kompleksine plokštuma. Žymima C=C 23

24 Kompleksinio kintamojo funkcijos sąvoka D C=C Tarkime, kad kiekvieną aibės tašką atitinka vienas, keli, arba be galo daug kompleksinių skaičių w = f(z). Gali būti ir w =. Tada sakoma, kad aibėje D apibrėžta kompleksinio kintamojo z funkcija w = f(z). Jei kiekvieną z atitinka tik viena reikšmė w, tai funkcija w = f(z) vadinama vienareikšme. Kompleksinių skaičių aibė D, kurioje apibrėžta funkcija w = f(z) vadinama funkcijos apibrėžimo aibe. Funkcijos reikšmių aibe vadinama aibė G={w :w= f z, z D} 24

25 Kompleksinio kintamojo funkcijos sąvoka Pažymėjus z = x + iy ir w = u + iv, galima išskirti kompleksinio kintamojo funkcijos realiąją dalį ir menamąją dalį: w= f z= f xiy=u x, yiv x, y, u x, y=r f z, v x, y=i f z Taigi, kompleksinio kintamojo funkciją galima apibrėžti dviem realiųjų kintamųjų x ir y realiosiomis funkcijomis u(x,y) ir v(x,y). 25

26 Kompleksinio kintamojo funkcijos geometrinis vaizdavimas Kiekvieną funkcijos apibrėžimo aibės D tašką z atitinka taškas w = f(z) (vaidas): funkcija f(z) vaizduoja aibę D į aibę G. Tarkime, kad z = z(t), t 1 t t 2 yra kreivė l srityje D. Tada šios kreivės taškai atvaizduojami į srities G kreivės L taškus, L={w: w= f z, z l } 26

27 Laipsninė funkcija Laipsnine vadinama funkcija w=z n, n N Ši funkcija yra vienareikšme, D=G=C 27

28 Tegu {z k } kompleksinių skaičių seka. Seka {s n }, vadinama kompleksinių skaičių eilutės dalinių sumų seka. Kompleksinių skaičių eilutės n s n = k=1 k =1 z k, z k Sakoma, kad kompleksinių skaičių eilutė konverguoja, ir jos suma lygi kompleksiniam skaičiui S, jei egzistuoja riba lim n S n =S. 28

29 Kompleksinių skaičių eilutės Eilutė konverguoja tik tada, kai konverguoja realijų skaičių eilutes n=1 R z n = n=1 x n, n=1 I z n = n=1 y n. Tarkime, kad konverguoja realiųjų skaičių eilutė Pastebėję, kad x n z n ir y n z n, gauname, kad eilutės x n ir z n absoliučiai konverguoja. Tada konverguoja ir eilutė z n ir sakoma, kad ji konverguoja absoliučiai. z n. n=1 Tarkime, kad {c n } yra kompleksinių skaičių seka. Tada laipsninė eilutė n=0 c n z n konverguoja absoliučiai skritulyje z < R. Šio skritulio spindulį R galima rasti, eilutei c n z n n=0 taikant Dalambero arba Koši konvergavimo požymius. 29

30 Trigonometrinės ir hiperbolinės funkcijos e z = n=0 z n n!, cos z= n=0 1 n z 2n 2n!, sin z= n=1 1 n 1 z 2n 1 2n 1!, cosh z= n =0 z 2n 2n!, sinh z= n=1 2n 1 z 2n 1!. 30

31 Logaritminė funkcija Apibrėžkime funkciją w = Ln z kaip lygties z = e w sprendinį. Pažymėję w = u+iv, gauname z=e u e iv = z e i arg z2 k, k Z Todėl, u=ln z, v=arg z2 k, w=l n z=ln z iarg z2 k. Taigi, Ln z turi be galo daug reikšmių. Kai k = 0, gauname pagrindinę logaritmo reikšmę: ln z=ln z i arg z. Funkcija ln z yra vienareikšmė. Kai z = x > 0, tai ln z = ln x. 31

32 Apibendrintoji laipsninė funkcija apibrėžiama taip: čia z, a kompleksiniai skaičiai Apibendrintoji laipsninė funkcija w=z a =e a L n z, 32

33 Išspręskime lygtį tg w = z. Gausime Atvirkštinės funkcijos w= 1 2 i L n 1iz 1 iz =Arctg z Panašiai apibrėžiamos kitos kompleksinio kintamojo z daugiareikšmės atvirkštinės funkcijos, areasinusas, areacosinusas, areakotangentas, it kt.: A rcsin z= i L ni z1 z 2 A rccos z= i L nz z 2 1 Arcctg z= 1 2 i L n iz1 iz 1 Arsh z=l nz z 2 1 Arch z=l nz z 2 1 Arth z= 1 2 L n 1z 1 z Arcth z= 1 2 L n z1 z 1 33

34 Funkcijos tolydumas Tarkime, kad {z n } kompleksinių skaičių seka ir lim n z n =a. Sudarykime funkcijos w = f(z) reikšmių seką: w n = f(z n ). Sakoma, kad funkcija f(z) turi ribą A, kai z artėja prie a, jei ši funkcija apibrėžta taško a aplinkoje ir lim n neatsižvelgiant į seką {z n }. Tada rašome w n =A, lim z a f z= A. 34

35 Funkcijos tolydumas Tarkime, kad funkcija f(z) apibrėžta taške a ir jo aplinkoje. Sakoma, kad ši funkcija yra tolydžioji taške a, jei teisinga lygybė Arba Čia lim z a lim ux, y=u a x, a y, x a x y a y f z=u x, yiv x, y, f z= f a. lim v x, y=va x, a y. x a x y a y a=a x ia y Kompleksinio kintamojo funkcija f(z) yra tolydi taške a tada ir tik tada, kai Re w = u, ir Im w = v yra dviejų realijų kintamųjų tolydžiosios taške (a x, a y ) funkcijos. Funkcija f(z) vadinama tolydžiąja aibėje D, jei ji yra tolydžioji visose aibės taškuose. Visos elementariosios funkcijos yra tolydžios jų apibrėžimo srityse. 35

36 Komplėksinio kintamojo funkcijos išvestinė Tarkime, kad kompleksinio kintamojo funkcija f(z) apibrėžta taško z=x+iy aplinkoje. Pažymėkime argumento z pokyti z= xi y ir funkcijos pokytį f z= f z z f z. Funkcijos f(z) išvestinė taške z - tai riba f ' z= lim z 0 f z z f z = lim z z 0 f z z. 36

37 Komplėksinio kintamojo funkcijos išvestinė Funkcija, turinti taške išvestinę, vadinama diferencijuojama tame taške. Diferencijuojama taške funkcija yra tolydi šiame taške Funkcija, diferencijuojama ne tik taške, bet ir jo aplinkoje, vadinama analizine šiame taške. Analizinė kiekviename srities taške funkcija vadinama analizine šioje srityje. Sandauga f'(z)δz vadinama funkcijos diferencialu ir žymima df(z). Kai f(z) = z, f'(z) = 1, ir Δz = dz. Taigi, df z= f ' zdz. Pastaba. Galioja visų elementariųjų funkcijų lentelė. 37

38 Koši ir Rymano sąlygos Tarkime, kad funkcija f(z) = u(x,y)+iv(x,y) yra diferencijuojama taške z = x + iy. Tada egzistuoja riba lim z 0 f z = lim z x 0 y 0 u x x, y yiv x x, y y ux, yivx, y xi y. Kadangi riba egzistuoja, neatsižvelgiant, kaip z z 0, galima nagrinėti ribą, kai Δx 0, o Δy = 0: lim z 0 f z = lim z x0 u x x, yiv x x, y u x, yiv x, y u x, y v x, y = i. x x x Apskaičiuokime tą pačią ribą, kai Δy 0, o Δx = 0: lim z 0 f z = lim z y 0 u x, yiv x, y u x, yiv x, y = i y v x, y u x, y i. y y 38

39 Koši ir Rymano sąlygos Taigi, iš funkcijos f(z) diferencijuojamo gaunamos Koši ir Rymano sąlygos: u x, y x = vx, y y ; vx, y ux, y = x x Iš Koši-Rymano sąlygų gaunamos kompleksinio kintamojo funkcijos diferencijavimo formulės: f ' z = u v i x x = v y i u y = u x i u y = v y i v x. Koši ir Rymano sąlygos yra būtinos ir pakankamos funkcijos diferencijavimo sąlygos. 39

40 Išvestinės modulio geometrinė prasmė Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizinė taško z 0 aplinkoje. Per tašką z 0 nubrėžkime glodžiąją kreivę γ. Pažymėkime z = x + iy, w = u + iv. Funkcija w = f(z) atvaizduoja krevę γ į kreivę Γ. 40

41 Išvestinės modulio geometrinė prasmė Kadangi funkcija f(z) yra analizinė, ji turi išvestinę taške z 0 : f ' z = lim z 0 f z 0 z =lim 0 f z f z 0 z z z z. 0 Išvestinės modulis rodo, kaip keičiasi santykis f z f z 0 = w w 0 z z 0 z z 0, vaizduojant vieną kreivę į kitą. Šis santykis nepriklauso nuo kreivės. Taigi, f'(z) yra ištempimo koeficientas taške z 0. 41

42 Tarkime, kad f '(z 0 ) 0. Tada Išvestinės argumento geometrinė prasmė arg f ' z 0 =arg lim z 0 f z 0 z = lim arg f z 0 lim z 0 z 0 arg z=. Čia Φ kampas, kurį sudaro kreivės Γ liestinė taške w 0 su Ou ašimi. φ kampas, kurį sudaro kreivės γ liestinė taške z 0 su Ox ašimi: 42

43 Išvestinės argumento geometrinė prasmė Taigi, arg f '(z 0 ) parodo, kokiu kampu pasisuks kreivės, vaizduojant jas funkcija f(z). Nors kampai φ ir Φ priklauso nuo kreivių γ ir Γ, bet šių kampų skirtumas Φ φ nesikeičia. Kampu tarp kreivių γ 1 ir γ 2 taške z 0 vadinamas kampas tarp jų liestinių. Kampas tarp bet kurių kreivių γ 1 ir γ 2 vaizduojant jas funkcija f(z) nesikeičia ir lygus arg f '(z 0 ) 0. Šia savybę turinčios funkcijos vadinamas konforminiais atvaizdžiais. Analizinė funkcija f(z), kuriai f '(z) 0 srityje D, yra konforminis atvaizdis: kiekviename srities taške kampai tarp glodžiųjų kreivių išlieka tie patys. 43

44 Harmoninės funkcijos Tarkime, kad funkcija φ(x,y) turi antrosios eilės tolydžiasias dalines išvestines. Funkcija vadinama harmonine srityje D, jei ji yra Laplaso lygties sprendinys. 2 x, y x 2 2 x, y y 2 =0. Bet kurios analizinės funkcijos realioji (arba menamoji) dalis yra harmoninė funkcija. Dvi harmoninės funkcijos, susietos Koši-Rymano sąlygomis vadinamos jungtinėmis harmoninėmis funkcijomis. Bet kuri harmoninė funkcija yra tam tikros analizinės funkcijos realioji arba menamoji dalis. 44

45 Integralo apibrėžimas Tarkime, kad srityje D žinoma dalimis glodžioji orientuota kreivė L, ir kreivės taškuose apibrėžta kompleksinio kintamojo funkcija f(z) = u(x,y)+iv(x,y) Padalijame kreivę L į n dalių: z 0 = a, z 1, z 2,..., z n = b ir kiekvienoje kreivės dalyje (z j-1, z j ) parenkame po vieną tašką ξ j = η j +iζ j. 45

46 čia Sudarome integralinę sumą Integralo apibrėžimas n S n = j=1 f j z j z j = z j z j 1 = x j i y j x j 1 i y j 1 = x j x j 1 i y j y j 1 = x j i y j. Pažymėkime = max z j = max x 2 2 j y j 1 j n 1 jn Baigtinė riba lim S n = L f z dz nepriklausanti nuo taškų ξ j parinkimo ir kreivės L padalijimo į dalis būdo, vadinama funkcijos f(z) integralu kreive L. 46

47 n...= j =1 n S n = j=1 n f j z j = j =1 Integralo savybės u j, j x j v j, j y j i j =1 u j, j i v j, j x j i y j =... n v j, j x j u j, j y j. Perėję prie ribos λ 0, gauname L f zdz= L u x, y dx vx, ydyi vx, ydxux, ydy. L Arba trumpiau, L f zdz= L u dx v dyi L v dxu dy= ui v dxi dy. L 47

48 Integralo savybės L a f zb g z dz=a L f zb L g z L. f z dz= L. f z dz Jei L = L 1 +L 2, tai L f zdz= L 1 f z dz L 2 f z dz 48

49 Tarkime, kad f(z) tolydžioji funkcija kreivės L taškuose. Pažymėkime čia l kreivės L ilgis. Tada Integralo įvertinimo teorema M =max f z, z L L f z dz M l. Jei kreivės L pradinis ir galinis taškai sutampa, tai kreivę L vadinama uždarąja ir integralas tokia kreive žymimas L f zdz. Jei kreivės apribota sritis lieka iš kairės pusės, tai kreivės L kryptis laikoma teigiama. 49

50 Integralo apskaičiavimas Tarkime, kad kreivė L išreiškiama parametrinėmis lygtimis L={z=xi y, x= t, y=t, t 0 tt 1 }. L Tada dx = α'(t) dt, dy = β'(t) dt ir gauname t 1 f zdz= t 0 t 1 ut, t ' t vt,t ' t dti vt, t ' tu t, t ' tdt. t 0 Kai x = t, y = y(x), t 0 = x 0, t 1 = x 1, formulė yra tokia: L x 1 f zdz= x 0 x 1 ux, yx vx, yx y' x dxi vx, yxu x, yx y' x dx x 0 Pažymėję dz(t) = (x'(t)+iy'(t))dt = z'(t)dt, formulę galime užrašyti taip: L t 1 f zdz= t 0 f zt z' t dt. 50

51 Koši integralinė teorema Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizinė srityje D. Uždaroji kreivė L iš D yra dalimis glodžioji, apriboja vienajungę sritį Ω ir jos taškuose f(z) irgi yra analizinė. Tada funkcijos f(z) integralas uždarąja kreive L lygus nuliui. L f zdz=0. Įrodymas išplaukia iš Grino formulės kreivinėms integralams: L P dxq dy = Q D x P dx dy. y 51

52 Koši teorema daugiajungei sričiai Tarkime, kad Koši integralinės teoremos sąlygose vietoje vienajungės srities Ω nagrinėjama daugiajungė sritis, apribota išorinių kontūru L ir vidiniais, vienas su kitu nesikertančiais kontūrais γ 1, γ 2,..., γ n. Čia n = 2: Pastaba 1.Jei srities siena susideda iš n komponenčių nesikertančių tolydžiųjų kreivių ar pavienių taškų, tai tokia sritis vadinama n-junge. Pastaba 2. Kontūrai γ j - turi neigiamą kryptį vidinių sričių atžvilgiu; o Ω - teigiamą. Pjūviais δ j ± pakeiskime sritį Ω - vienajunge sritimi Ω 1, kurios sieną L 1 sudaro kreivės l 1 (nuo A 1 iki A 2 ), δ 2 +, γ 2-, δ 2 -, l 2 (nuo B 2 iki B 1 ), δ 1 +, γ 2-, δ

53 Koši teorema daugiajungei sričiai Vienajungėje srityje Ω 1 funkcija f(z) yra analizinė ir L 1 f zdz= l 1. l 2 f z dz. 2 f z dz. 1 f z dz. 2 f z dz. 1 f zdz 2. f zdz 1. f z dz. f zdz=0. Jei taškai A 1 =B 1, A 2 =B 2, tai j. f zdz j. f zdz=0. ir kreivės l 1, l 2,..., l n sudaro srities kontūrą L. Taigi, kai n = 2, l 1 f zdz l 2 f z dz 1. f z dz 2. f zdz=0. 53

54 Koši teorema daugiajungei sričiai Arba, pakeitus kontūrų kryptį, L f zdz 1 f z dz 2 f z dz=0. Bendruoju atveju gauname Koši teoremą daugiajungiai sričiai. Daugiajungėje srityje Ω analizinės funkcijos f(z) integralai kontūrams L, γ 1, γ 2,..., γ n tenkina lygybę L n j=1 j f zdz= f z dz Pastaba. Visu kontūrų kryptis teigiamos (prieš laikrodžio rodyklę). 54

55 Integralas su kintamuoju viršutiniu rėžiu Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizinė srityje D. Du taškus, z 0, z 1 iš D sujunkime kreivėmis l 1+, l 2+, kurių kryptis yra nuo taško z 0 iki taško z 1. Tada kreivės l 1 + ir l 2 + sudaro uždarą kontūrą L ir L f zdz= l 1. f z dz l 2. f zdz= l 1. f z dz l 2. f z dz=0 arba l 1. f zdz= l 2. f z dz 55

56 Integralas su kintamuoju viršutiniu rėžiu Taigi, kai funkcija f(z) yra analizinė, jos integralas nepriklauso nuo kreivių l 1+, l 2 + parinkimo, o priklauso tik nuo pradinio ir galinio taškų z 0 ir z 1. Pažymėkime z F z= z 0 f w dw. Galima įrodyti, kad F(z) yra analizinė ir F'(z) = f(z), t.y. F(z) funkcijos f(z) pirmykštė funkcija. Analizinės funkcijos f(z) pirmykštės funkcijos užrašomos formule z z=f zc= z 0 f wdwc. ir apibrėžtinį integralą skaičiuojame pagal Niutono-Leibnico formulę: z z 0 f w dw= z z 0. 56

57 Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizinė vienajungėje srityje D. Uždaroji kreivė L iš D riboja sritį Ω, taškas z 0 iš Ω yra vidinis. f z z z 0 Koši integralinė formulė Tada funkcija yra analizinė srityje Ω išskyrus tašką z 0. Pažymėkime γ r apskritimą z z 0 = r ir parinkime spindulį r > 0 taip, kad skritulys B r = {z: 0 < z z 0 < r} priklausytų Ω. 57

58 Koši integralinė formulė Tada pagal Koši formulę dvijungei sričiai teisingos lygybės: L f z z z 0 dz= r f z z z 0 dz= r f z f z 0 z z 0 dz f z 0 r dz z z 0. Funkcija f(z) yra analizinė, todėl ji tolydžioji ir 0 0: f z f z 0, z: z z 0. Pirmą integralą galima įvertinti taip: r f z f z 0 z z 0 dz M l= r 2 r=2, M =max z r f z f z 0 z z 0 r Kadangi ε galima parinkti kiek norima mažą teigiamą skaičių, integralas yra lygus 0. Antras integralas, kaip buvo parodyta anksčiau, lygus 2πi. Taigi, f z= 1 2 i L f s s z ds 58

59 Analizinės funkcijos aukštesniųjų eilių išvestinės Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizinė srityje D. Uždaroji kreivė L iš D riboja sritį Ω, taškas z 0 iš Ω yra vidinis. Žinodami f(z) reikšmes kontūro L taškuose, galima išreikšti f '(z) visos srities Ω taškuose. Remdamiesi Koši integraline formule, turime f z z f z z = 1 2i L f s s zs z z ds. Taigi, f ' z= lim z 0 f z z f z = 1 z 2 i L f s s z 2 ds. Bendruoju atveju f n z= n! 2i L f s s z n1 ds. 59

60 Modulio maksimumo principas Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizinė srityje D. Uždaroji kreivė L iš D riboja sritį Ω. Pažymėkime M didžiausią funkcijos modulio reikšmę kontūro taškuose: M =max f z. z L Tada bet kuriame kreivės L taške z : f n z = f z n M n, n N. Funkcija f n (z) yra analizinė srityje D, todėl, pagal Koši integralinę formulę, f n z= 1 2 i L f n s s z ds. 60

61 Tegu l kontūro L ilgis ir δ > 0 vidinio srities Ω taško z trumpiausias atstumas iki kontūro L: Modulio maksimumo principas Įvertinkime funkcijos f n (z) modulį : =min s z. s L f z n = f n z 1 2 M n l, n N. Iš čia gauname, kad f z M n Perėję prie ribos n, gauname l 2. f z M = max f z. z L Taigi, analizinės srityje Ω funkcijos modulis įgyja savo didžiausiąją reikšmę srities kontūro L taškuose. 61

62 Liuvilio teorema Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizinė visoje kompleksinėje plokštumoje C. Tada visiems R > 0 ji yra analizinė skritulyje z < R. Tarkime, kad funkcija f(z) yra aprėžta visoje kompleksinėje plokštumoje C: M 0 : f z M, z C. Tada visiems R > 0 teisingas įvertinimas: f ' z 1 2 s z =R f s s z ds M R 2 2 R= M R. Kadangi R galima parinkti kiek norima didelį, perėję prie ribos R, gauname f ' z 0 f ' z 0. Taigi, jei funkcija f(z) yra analizinė visoje kompleksinėje plokštumoje C, tai ji arba neaprėžta, arba lygi konstantai. 62

63 Teiloro eilutė Teorema. Jei funkcija f(z) yra analizinė taško z = a aplinkoje, tai ši funkcija išreiškiama konverguojančia laipsnine eilute (Teiloro eilute) f z= n=0 f n a n! Įrodymas. Tarkime, kad apskritimas L riboja sritį z a n. {z: z a r} Tada bet kuriame vidiniame Ω taške z: f z= 1 2 i L f s s z ds be to, 1 s z = 1 s a 1 1 q, q= z a s a. 63

64 Teiloro eilutė Kadangi s yra srities Ω kontūro L taškas, o z vidinis srities taškas, tai z a s a =r q 1. Taigi, 1 s z = 1 s a n=0 q n = 1 s a n=0 z a n s a ir gauname Teiloro eilutę: f z= 1 n=0 2 i L f s s a ds = n1 z an n=0 f n a n! z a n. Kai a=0, Teiloro eilutė vadinama Makloreno eilute: f z= n=0 f n 0 n! z n. 64

65 Teiloro eilutė Teiloro eilutė yra vienintelė. Tarkime, egzistuoja kita laipsninė eilutė: f z=c 0 c 1 z ac 2 z a 2... Gauname, kad f a =c 0, f ' a=c 1,..., f n a=n! c n,... Taigi, eilutės sutampa, nes c n = f n a n!. Teiloro eilutės konvergavimo spindulys lygus taško a atstumui iki artimiausio z, kuriame f(z) yra nėra analizinė. Tokie taškai vadinami ypatingaisiais. 65

66 Makloreno eilutės e z = n=0 z n n!, cos z= n=0 1 n z 2n 2n!, sin z= n=1 1 n 1 z 2n 1 2n 1!, cosh z= n=0 z 2n 2n!, sinh z= n=1 2n 1 z 2n 1!. ln 1 z= n=1 z n n, ln 1z= 1 n1 z n n=1 n. 66

67 Analizinės funkcijos nuliai Taškas z=a vadinamas funkcijos f(z) nuliu, kai f(a) = 0. Šiuo atveju f(z) Teiloro eilutė taške a neturi nulinio nario c 0 = f(a) = 0 ir gali neturėti keliu pirmųjų narių: f z=c k z a k c k 1 z a k1... Jei f(z) nėra konstanta, tai egzistuoja koeficientas c k 0. Taškas z=a vadinamas f(z) k-osios eilės nuliu, kai f n a=0 0nk, f k a 0. Taigi, nulio eilė yra mažiausias Teiloro eilutės nenulinio koeficiento numeris. Kai k = 1, nulis vadinamas paprastuoju. Kai z=a yra funkcijos f(z) k eilės nulis, ja galima užrašyti sandauga f z= z a k z ; z=c k c k 1 z ac k2 z a 2... čia φ(z) yra analizinė taško z=a aplinkoje ir φ(a) 0. 67

68 Lorano eilutė Teorema. Kiekviena analizinė žiede r < z a < R funkcija f(z) išskleidžiama konverguojančia šiame žiede eilute f z=c 0 c 1 z ac 2 z a 2... c 1 z a z a...= c 2 n z a n n= Įrodymas. Parinkime skaičius r' ir R': r < r' < R' < R ir pažymėkime apskritimus l : z - a = r', L : z - a = R'. c 2 68

69 Lorano eilutė Funkcija f(z) yra analizinė žiede r' z a R', todėl, kai z yra žiedo vidinis taškas, galima taikyti Koši integralinę formulę: f z= 1 2 i L f s s z ds 1 2 i l f s s z ds. Pirmajame integrale z - a < s - a = R' ir 1 s z = 1 z a n s a n=0 s a Integruodami panariui, gausime 1 2i L f s s z ds= n=0 1 2 i L f s s a n 1 ds z an. 69

70 Lorano eilutė Kai z - a > s - a = r', antrąjį integralą galime pertvarkyti panašiai: 1 s z = 1 a z Integruodami panariui, gausime 1 1 s a z a = n=1 s a n 1 z a n Pažymėję 1 2 i l f s s z ds= n=1 1 2 i l f s s a n 1 ds 1 z a n. c n = 1 2i L f s s a ds ; c = 1 n1 n 2i l f s s a n 1 ds, n N 0 70

71 Gauname Lorano eilutė f z= n=0 c n z a n n=1 c n z a n = n = c n z a n Ši eilute vadinama Lorano eilute, jos pirmoji (+) dalis reguliariąją dalimi, jos antroji (-) dalis pagrindine dalimi. Lorano eilutės koeficientus taip pat galima skaičiuoti pagal formule c n = 1 2i f s ds, n Z, n1 s a kur γ - kontūras, priklausantis žiedui r < z a < R. Jei f(z) analizinė taške z = a, tai Lorano eilutės koeficientai c n, n = 0, 1,... sutampa su Teiloro eilutės koeficientais, o c -n = 0. Taigi, šiuo atveju Lorano eilutė neturi pagrindinės dalies ir sutampa su Teiloro eilute. 71

72 Ypatingieji taškai Taškas z 0 vadinamas f(z) izoliuotuoju ypatinguoju tašku, jeigu f(z) nėra analizinė taške z 0, tačiau yra analizinė jo pradurtoje aplinkoje 0 < z z 0 < r. Tarkime, kad z 0 yra funkcijos f(z) izoliuotasis ypatingasis taškas. Tada šio taško pradurtoje aplinkoje 0 < z z 0 < r analizinę funkciją f(z) galima išskleisti konverguojančiąja Lorano eilute c 2 f z=c 0 c 1 z ac 2 z a 2... c 1 z a z a

73 Ypatingieji taškai Izoliuotasis ypatingasis taškas z = z 0 vadinamas funkcijos f(z) pašalinamuoju ypatinguoju tašku, jei Lorano eilute neturi pagrindinės dalies, t.y. c -1 = c -2 =... = 0; k eilės poliumi, jei Lorano eilutės pagrindinė dalis turi tik baigtinį narių skaičių ir c -k 0, c -(k+1) = c -(k+2) =... = 0; kai k = 1, taškas z = z 0 vadinamas pirmosios eilės poliumi arba paprastuoju poliumi; esmingai ypatinguoju tašku, jei Lorano eilutės pagrindinė dalis turi be galo daug narių, t.y. n0 kn : c k 0. 73

74 Ypatingieji taškai Tarkime, kad z 0 yra funkcijos f(z) pašalinamasis ypatingasis taškas. Tuomet (iš Lorano eilutės) gauname, kad egzistuoja riba lim z z 0 f z=c 0. Teorema. Jei funkcija f(z) ypatingajame taške z 0 turi baigtinę ribą, tai šis taškas yra pašalinamasis ypatingasis taškas. 74

75 Tarkime, kad z 0 yra funkcijos f(z) k eilės polius. Tuomet (iš Lorano eilutės) gauname Ypatingieji taškai f z= 1 z z 0 k c 0 z z 0 k c 1 z z 0 k 1...c 1 z z 0 k 1...c k 1 z z 0 c k. Pažymėję φ(x) Teiloro eilutę šioje išraiškoje, gauname, kad z f z= z z 0. k Funkcija φ(x) yra analizinė taške z 0 ir φ(z 0 ) = c -k 0. Iš čia gauname, kad lim f z=, z z 0 t.y. funkcijos modulis f(z) neaprėžtai didėja, kai z z 0. 75

76 Ypatingieji taškai Teisingas ir atvirkštinis teiginys: jei funkcijos modulis f(z) neaprėžtai didėja, kai z z 0, tai z 0 yra funkcijos polius. Jei taškas z 0 yra funkcijos f(z) k eilės polius, tai egzistuoja riba lim z z 0 k f z=c k 0. z z 0 Funkcija 1/f(z) taške z 0 turi k eilės nulį. Tarkime, kad z 0 yra funkcijos f(z) esmingai ypatingasis taškas. Tada riba lim z z 0 f z neegzistuoja (priešingu atveju tai būtų polius arba pašalinamasis ypatingasis taškas) 76

77 Kriterijus ypatingojo taško tipui nustatyti yra riba Jei riba egzistuoja ir yra baigtinė, taškas z 0 yra pašalinamasis ypatingasis taškas. Ypatingieji taškai Jei riba yra begalinė, taškas z 0 yra polius, kurio eilę galima rasti iš formulės lim z z 0 k f z=c k 0. z z 0 lim z z 0 f z Jei riba neegzistuoja, taškas z 0 yra esmingai ypatingasis taškas. 77

78 Ypatingasis taškas z = Be galo nutolusio taško stereografinis vaizdas yra «šiaurės polius» N it jo aplinka yra z > R, t.y. tam tikro skritulio išorė. Pažymėkime w = 1/z ir išskleiskime funkciją φ(w) = f(1/w) = f(z) taško w=0 aplinkoje 0 < w < r Lorano eilute: w= n=0 c n w n n=1 c n w n. Pakeitę žymėjimus, gauname f z= n=0 c n z n n=1 c n z n. Tai ir yra funkcijos f(z) Lorano eilutė srityje 1/z < r arba z > R = 1/r, t.y. be galo nutolusio taško aplinkoje. Čia Lorano eilutės pirmoji dalis vadinama reguliariąja dalimi, o antroji dalis (turinti teigiamuosius laipsnius) vadinama pagrindine dalimi. 78

79 Ypatingasis taškas z = Jei Lorano eilutė neturi pagrindinės dalies, tai taškas z = vadinamas pašalinamuoju ypatinguoju tašku. Gauname lim z f z=c 0. Jei ši riba yra lygi nuliui, tai taškas z = vadinamas funkcijos f(z) nuliu. Sakoma, kad funkcija f(z) taške z = turi k eilės nulį, jei reguliariosios dalies koeficientai c 0 = c -1 =... = c -k+1 = 0, ir c -k 0. 79

80 Kai Lorano eilutės pagrindinė dalis turi tik baigtinį narių skaičių, ir c k 0, c k+1 = c k+2 =... = 0, tai sakoma, kad taškas z = yra funkcijos f(z) k eilės polius. Tokiu atveju Be to, ir f(z) galima išreikšti kaip Ypatingasis taškas z = lim z lim z f z=. z k f z = c k 0, z f z=, z k čia φ(z) analizinė taško z = aplinkoje funkcija ir lim z = c k 0. z Jei pagrindinė Lorano eilutės dalis turi be galo daug nariu, tai taškas z = vadinamas esmingai ypatinguoju tašku. Riba neegzistuoja. lim z f z 80

81 Tarkime, kad z = z 0 yra funkcijos f(z) izoliuotasis ypatingasis taškas. Išskleiskime funkciją Lorano eilute šio taško pradurtoje aplinkoje 0 < z z 0 < r : f z= n=0 Reziduumai c n z z 0 n n=1 c n z z 0 n. Lorano eilutės koeficientas c -1 vadinamas funkcijos f(z) reziduumu taške z = z 0 ir žymimas c 1 =Res z =z 0 f z. 81

82 Reziduumai Kadangi Lorano eilutės koeficinetai skaičiuojami pagal formulę c n = 1 2 i f s ds, n Z, n1 s a tai reziduumo išraiška yra Res z=z 0 f z= 1 2 i f zdz ; čia γ gali būti ne tik bet kuris apskritimas z z 0 = δ < r, bet ir uždaroji kreivė, ribojanti sritį, kuriai priklauso taškas z = z 0 ir kurioje nėra kitų funkcijos f(z) ypatingųjų taškų. 82

83 Jei taškas z = z 0 nėra funkcijos f(z) ypatingasis taškas, tai integralas lygus nuliui, ir funkcijos rezuduumas taške z = z 0 lygus nuliui. Jei taškas z = z 0 Reziduumai yra funkcijos f(z) pašalinamasis ypatingasis taškas, tai Lorano eilutė neturi pagrindinės dalies ir rezuduumas taške z = z 0 nuliui. lygus Taigi reziduumus reikia skaičiuoti tik poliuje ir esmingai ypatingajame taške. Jei taškas z = z 0 yra funkcijos f(z) pirmosios eilės polius, tai ir f z= 1 z z 0 c 1 c 0 z z 0 c 1 z z c 1 = Res z =z 0 f z = lim z z 0 z z 0 f z. 83

84 Jei taškas z = z 0 yra funkcijos f(z) k eilės polius, tai reziduumą galima skaičiuoti taip: Reziduumai Res z=z 0 f z = 1 k 1! lim z z 0 d k 1 dz k 1 z z 0 k f z. Dar viena formulė reziduumui pirmosios eilės poliuje skaičiuoti. Tarkime, kad f(z) = φ(z) / ψ(z), kai φ(z 0 ) 0, ψ(z 0 ) = 0, ψ'(z 0 ) 0. Tada c 1 = lim z z 0 z z 0 z z = z z 0 ' z 0. 84

85 Pagrindinė reziduumų teorema Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizinė srityje D, išskyrus baigtinį skaičių izoliuotųjų ypatingųjų taškų z 1, z 2,..., z n. Uždaroji kreivė L riboja sritį Ω iš D, f(z) yra analizinė kreivės L taškuose ir visi taškai z 1, z 2,..., z n priklauso Ω. 85

86 Pagrindinė reziduumų teorema Tada L n f zdz=2i j=1 Res z =z j f z. Įrodymas. Parinkime r > 0 tokį, kad visi skrituliai z z j < r būtų srityje Ω. Pažymėję δ j apskritimus z z j = r, pagal Koši integralinę teoremą daugiajungei sričiai gauname L n j=1 j f zdz= f z dz. Pritaikę formulę Res z =z j f z= 1 2 i j f z dz, gauname teoremos teiginį. 86

87 Tarkime, kad be galo nutolusio taško z = aplinkoje funkcija f(z) išskleista Lorano eilute Reziduumas be galo nutolusiame taške f z= n=0 c n z n n=1 c n z n. Šios Lorano eilutės pirmoji dalis vadinama reguliariąja dalimi, o antroji dalis (turinti teigiamuosius laipsnius) vadinama pagrindine dalimi. Funkcijos f(z) reziduumu be galo nutolusiame taške z = vadinamas Lorano eilutės reguliariosios dalies koeficientas c -1, paimtas su priešingu ženklu: Res z= f z= c 1. 87

88 Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizinė visoje kompleksinėje plokštumoje, išskyrus baigtinį skaičių izoliuotųjų ypatingųjų taškų z 1, z 2,..., z n. Parinkime R>0 tokį, kad visi z j < R. Tada, pažymėję L apskritimą z = R, gauname, kad Apeidami kreivę L neigiamąja kryptimi, turime Sudėję formulės, kairėje pusėje gausime nulį. Taigi įrodyta tokia teorema: Jei funkcija f(z) yra analizinė išplėstinėje kompleksinėje plokštumoje, išskyrus baigtinį skaičių izoliuotųjų ypatingųjų taškų z 1, z 2,..., z n, tai visų reziduumų suma lygi nuliui: Reziduumas be galo nutolusiame taške L L -- n j=1 n f zdz=2i j=1 f zdz=2 i Res z = Res z=z j f zres z= Res z =z j f z. f z. f z=0. 88

89 Trigonometrinių reiškinių integravimas Tarkime, kad R(u,v) yra racionalioji funkcija. Realiojo kintamoje integrale 2 0 Rsin t,cos t dt įveskime naują kintamąjį z = e it. Tuomet sin t= eit e it 2i = z z 1 2i, cost= eit e it 2 = zz 1 2, dt= dz i z Kai 0 t 2π, parametrinė lygtis z = e it reiškia apskritumą z = 1. Taigi 2 0 Rsin t,cos tdt= z =1 R z z 1 2 i, zz 1 2 dz i z. 89

90 Racionaliųjų funkcijų netiesioginiai integralai Tarkime, kad P n (x) yra n laipsnio daugianaris su realiaisiais koeficientais, o Q 2m (x) 2m laipsnio daugianaris su realiaisiais koeficientais. Be to, 2m n 2 ir lygties Q 2m (x) = 0 visos šaknys z 1, z 2,..., z 2m turi nenulinę menamąją dalį. Tokių atvejų, kai skaičius z j yra šaknis, jo kompleksinis jungtinis skaičius irgi yra lygties Q 2m (x) = 0 šaknis. Skaičius z j = α j + i β j sunumeruokime taip: z 1 = 1 i 1, z m1 = 1 i 1, 1 0 ; z 2 = 2 i 2, z m2 = 2 i 2, 2 0 ; z m = m i m, z 2m = m i m, m 0. Pažymėkime f(z) = P n (x) / Q 2m (x) ir įrodykime formulę m f x dx=2i j=1 Res z=z j f z. 90

91 Racionaliųjų funkcijų netiesioginiai integralai Parinkime R>0 tokį, kad visi z j < R. Pažymėkime L R apskritimo z = R viršutinę dalį. Tuomet uždaroji kreivė L yra pusapskritimio L R ir atkarpos [-R; R] sąjunga: 91

92 Racionaliųjų funkcijų netiesioginiai integralai Iš pagrindinės reziduumų teoremos gauname: L R f zdz= R f x dx L R n f z dz=2 i j =1 Res f z. z= z j Kai z = R, tai iš sąlygos 2m n 2 gauname, kad egzistuoja tokia C > 0, kad f z C z C 2 m n z = C 2 R. 2 Pritaikome integralo įvertinimo formulę: L R f z dz C R 2 R=C R. Perėję prie ribos, kai R, gauname formulę m f x dx=2 i j=1 Res z=z j f z. 92

93 Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizinė pusplokštumėje Im z 0, išskyrus baigtinį ypatingųjų taškų skaičių. Jei L R - apskritimo z = R viršutinė dalis ir lim R Žordano lema M R =lim max f z =0, R z L R tai lim R L R f ze i t z dz=0. Įrodymas. Integrale darome keitinį z =R e iφ. Gauname L R.= 0 f ze i t z dz= 0 f R e i e i t Rcos i sin i R e i d =. f R e i e R t sin e i t Rcos i i R d. 93

94 Pastebėję, kad teisinga nelygybė sin φ 2φ/π, kai 0 φ π/2, įvertiname integralą: L R Žordano lema f z e i t z dz R M R e R t sin d =. 0 2.=2 R M R 0 e R t sin d 2 R M R 0 2 e Rt 2 d =..= 2 R M R Rt 2 e Rt = t M R 1 e t R 0, kai R 0. Lema įrodyta. 94

95 Trigonometrinių funkcijų netiesioginiai integralai Tarkime, kad funkcijai f(z) galioja Žordano lemos sąlygos. Pažymėję L = L R U [-R; R], kai R, gauname lygybę arba L R L m f ze i t z dz=2i j=1 R f ze i t z dz R Res f z e i t z z =z j m f x e i t x dx=2 i j=1 Res f z e i t z ; z =z j čia z 1, z 2,..., z m - funkcijos f(z) ypatingieji taškai, kurių Im z m > 0. Taigi, kai R, ir t > 0, iš Žordano lemos gauname: m f x e i t x dx=2 i j=1 Res f ze i t z. z= z j 95

96 Trigonometrinių funkcijų netiesioginiai integralai Pritaikę Eulerio formulės, gauname dvi lygybes: R m f x costx dx = 2 i j=1 I m f xsin tx dx = 2 i j=1 Res f z e i t z. z =z j Res f z e i t z. z =z j Kai funkcija f(z) yra lyginė, antras integralas lygus nuliui, o pirmą formulę galima užrašyti taip: 0 R m f x costx dx = i j=1 Res f z e i t z. z =z j Kai funkcija f(z) yra nelyginė, gauname formulę 0 I m f xsin tx dx = i j=1 Res f z e i t z. z =z j 96

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις Μιαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Κεφάλαιο 1. Εισαωικά 5 Η αλεβρική δοµή 5 Η τοπολοική δοµή τού 6 Το εκτεταµένο µιαδικό επίπεδο 7 Συνεκτικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική Ανάλυση. Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης

Μιγαδική Ανάλυση. Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης Μιγαδική Ανάλυση Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης 2 Περιεχόμενα 1 Μιγαδικοί αριθμοί 1 1.1 Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες............................. 1 1.2 Γεωμετρική αναπαράσταση των μιγαδικών αριθμών.................

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINŲ CENTRAS STATISTINĖ ANALIZĖ

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINŲ CENTRAS STATISTINĖ ANALIZĖ LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINŲ CENTRAS 2010 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 2010 m. birželio 8 d. valstybinį matematikos

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα θαη εθαξκνγέο. Επηθακπύιην Οινθιήξωκα. Έζηω όηη ε βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,y,z) είλαη νξηζκέλε πάλω ζε κία

Διαβάστε περισσότερα

Kengūra Užduotys ir sprendimai. Senjoras

Kengūra Užduotys ir sprendimai. Senjoras Kengūra 2014 Užduotys ir sprendimai Senjoras KENGŪROS KONKURSO ORGANIZAVIMO KOMITETAS KENGŪRA 2014 TARPTAUTINIO MATEMATIKOS KONKURSO UŽDUOTYS IR SPRENDIMAI Autorius ir sudarytojas Aivaras Novikas Redaktorius

Διαβάστε περισσότερα

EUROPOS CENTRINIS BANKAS

EUROPOS CENTRINIS BANKAS 2005 12 13 C 316/25 EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO NUOMONĖ 2005 m. gruodžio 1 d. dėl pasiūlymo dėl Tarybos reglamento, iš dalies keičiančio Reglamentą (EB) Nr. 974/98 dėl euro įvedimo

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Β Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις Παράγωγος συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής Πριν ορίσουμε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης f(z) θα σταθούμε

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas. Algirdas Ma iulis. Duomenu tyrimas. Paskaitu konspektas

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas. Algirdas Ma iulis. Duomenu tyrimas. Paskaitu konspektas Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Algirdas Ma iulis Duomenu tyrimas Paskaitu konspektas 2011 Turinys Ivadas 5 1 Pagrindines tikimybiu teorijos ir informacijos teorijos s vokos

Διαβάστε περισσότερα

y(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

JONAS DUMČIUS TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA

JONAS DUMČIUS TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA JONAS DUMČIUS (1905 1986) TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA 1975 metais rotaprintu spausdintą vadovėlį surinko klasikinės filologijos III kurso studentai Lina Girdvainytė Aistė Šuliokaitė Kristina

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί αριθμοί και στοιχειώδεις συναρτήσεις

Μιγαδικοί αριθμοί και στοιχειώδεις συναρτήσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί και στοιχειώδεις συναρτήσεις Σε αυτό το κεφάλαιο εισάγονται οι µιγαδικοί αριθµοί, οι στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις, και οι βασικές τους ιδιότητες. Όπως θα δούµε, οι µιγαδικοί αριθµοί

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Α.Μ.: 2. Εστω ότι τα σηµεία z,..., Υπολογίστε όλες τις λύσεις της εξίσωσης. θ,n ισούται µε. (α) βρίσκονται στο ηµιεπίπεδο Im

( ) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Α.Μ.: 2. Εστω ότι τα σηµεία z,..., Υπολογίστε όλες τις λύσεις της εξίσωσης. θ,n ισούται µε. (α) βρίσκονται στο ηµιεπίπεδο Im ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Α.Μ.:. είξτε ότι η οσότητα συνθ + συν ( θ + a) +... + συν ( θ + na) θ,n ισούται µε ( ) ηµ (( n+ ) a/ ) συν ( θ + na /). (β) ηµ ( a /) ηµ ( na /) (γ) ηµ ( θ + na /). (δ) ηµ ( a /) συν ((

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής Ι

Ασκήσεις Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής Ι .. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ασκήσεις Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής Ι Κατά τη λύση των ασκήσεων επάνω στους µιγαδικούς αριθµούς είναι χρήσιµο να έχουµε υπόψη ότι ένας µιγαδικός αριθµός µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

FIZ 313 KOMPIUTERINĖ FIZIKA. Laboratorinis darbas FIZIKOS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS RUNGĖS KUTOS METODU

FIZ 313 KOMPIUTERINĖ FIZIKA. Laboratorinis darbas FIZIKOS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS RUNGĖS KUTOS METODU EUROPOS SĄJUNGA Europos socialinis fondas KURKIME ATEITĮ DRAUGE! 2004-2006 m. Bendrojo programavimo dokumento 2 prioriteto Žmogiškųjų išteklių plėtra 4 priemonė Mokymosi visą gyvenimą sąlygų plėtra Projekto

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Μερική Παράγωγος και Εφαρµογές ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 19 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των µε- ϱικών

Διαβάστε περισσότερα

Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ

Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ . Μέθοδος Frobenius Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ d w Γενική µορφή της γραµµικής.ε. ης τάξης: dz + P (z)dw + Q(z)w = dz Μορφή της.ε. όταν το σηµείο z = z είναι κανονικό ανώµαλο σηµείο d w dz

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα A z A y A x 1.1 Αλγεβρικές πράξεις µεταξύ διανυσµάτων 1.2 Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ca = ca x ˆx + ca y ŷ + ca z ẑ

ιανύσµατα A z A y A x 1.1 Αλγεβρικές πράξεις µεταξύ διανυσµάτων 1.2 Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ca = ca x ˆx + ca y ŷ + ca z ẑ 1 ιανύσµατα Ο ϕυσικός χώρος µέσα στον οποίο Ϲούµε και κινούµαστε είναι ένας τρισδιάστατος ευκλείδειος γραµµικός χώ- ϱος. Ισχύουν λοιπόν τα αξιώµατα της Γεωµετρίας του Ευκλείδη, το πυθαγόρειο ϑεώρηµα και

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.95. Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας.

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.95. Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας. Σηµειωσεις : Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων v..95 Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 1 Περιεχόµενα Προλογος 1 Οριο και Συνεχεια 1 1.1 Θεωρια....................................

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKOS PAGRINDINIO UGDYMO PASIEKIMŲ PATIKRINIMO PROGRAMA NEPRIGIRDINČIŲJŲ IR KURČIŲJŲ MOKYKLOMS

MATEMATIKOS PAGRINDINIO UGDYMO PASIEKIMŲ PATIKRINIMO PROGRAMA NEPRIGIRDINČIŲJŲ IR KURČIŲJŲ MOKYKLOMS PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 004 m. gegužės 7 d. įsakymu Nr. ISAK-75 MATEMATIKOS PAGRINDINIO UGDYMO PASIEKIMŲ PATIKRINIMO PROGRAMA NEPRIGIRDINČIŲJŲ IR KURČIŲJŲ MOKYKLOMS

Διαβάστε περισσότερα

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Κλίση συνάρτησης f Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Αν σε κάθε σημείο Px, y,z ενός τμήματος Δ του χώρου μία τιμή, ορίζεται μια συνάρτηση. f x, y,z : Δ, Δ αντιστοιχίσουμε την οποία ονομάζουμε σημειακή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ -11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ 11 Pappas Ath...page 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Nacionalinis egzaminų centras Projektas Brandos egzaminų kokybės sistemos plėtra m. brandos egzaminų užduočių analizė.

Nacionalinis egzaminų centras Projektas Brandos egzaminų kokybės sistemos plėtra m. brandos egzaminų užduočių analizė. Nacionalinis egzaminų centras Projektas Brandos egzaminų kokybės sistemos plėtra 2007 m. brandos egzaminų užduočių analizė Matematika Vilnius 2008 Išleista Europos Socialinio fondo ir Lietuvos Respublikos

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου

Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου u Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε Ψηφιακό (A/D Conversion) Ο µετασχηµατισµός Ζ u Μαθηµατική Ανάλυση της Διαδικασίας A/D Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h A n a l i s a M a n a j e m e n B P I H d i B a n k S y a r i a h I S S N : 2 0 8 7-9 2 0 2 I S L A M I N O M I C P e n e r b i t S T E S I S L A M I C V I L L A G E P e n a n g g u n g J a w a b H. M

Διαβάστε περισσότερα

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

AVIACINĖS RADIOLOKACINĖS SISTEMOS

AVIACINĖS RADIOLOKACINĖS SISTEMOS VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS Romualdas Malinauskas AVIACINĖS RADIOLOKACINĖS SISTEMOS Mokomoji knyga Vilnius 2007 UDK 621.396.9:629.7(075.8) Ma 308 Romualdas Malinauskas. AVIACINĖS RADIOLOKACINĖS

Διαβάστε περισσότερα

x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]

x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ] συνεχές τόξο (arc) - τροχιά R [a, b] t 1:1 επί x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n x i (t), i = 1, 2,..., n συνεχείς συναρτήσεις, π.χ c 1 : x(t) = (x(t), y(t)) = (1 t, 1 t), t [0, 1] [ c 2 : x(t)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ 996 Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν για τους φοιτητές του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου και καλύπτουν πλήρως το µάθηµα των

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Termochemija. Darbas ir šiluma.

Termochemija. Darbas ir šiluma. Termochemija. Darbas ir šiluma. Energija gyvojoje gamtoje. saulės šviesa CO 2 H 2 O O 2 gliukozė C 6 H 12 O 6 saulės šviesa Pavyzdys: Fotosintezė chloroplastas saulės 6CO 2 + 6H 2 O + šviesa C 6 H 12 O

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΜΦ Ι 1/ Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής ΙΙ. (Μάθηµα επιλογής) Μιγαδικοί αριθµοί - `Αλγεβρα των Μ.Α. + b n sin nπx. a n cos nπx.

ΜΜΦ Ι 1/ Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής ΙΙ. (Μάθηµα επιλογής) Μιγαδικοί αριθµοί - `Αλγεβρα των Μ.Α. + b n sin nπx. a n cos nπx. ΜΜΦ Ι /6--9 Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής Ι Το µάθηµα περιλαµβάνει:. Μιγαδικές συναρτήσεις.ανάλυση F ourier α. Σειρές F ourier β. Μετασχηµατισµοί F ourier 3. Συνάρτηση έλτα Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής ΙΙ

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINŲ PROGRAMA Programą rengė D. Dobravolskaitė, P. Gudynas, V. Sičiūnienė, M. Stričkienė

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINŲ PROGRAMA Programą rengė D. Dobravolskaitė, P. Gudynas, V. Sičiūnienė, M. Stričkienė MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINŲ PROGRAMA Prgramą rengė D. Dbravlskaitė, P. Gudynas, V. Sičiūnienė, M. Stričkienė 1. ĮVADAS Brands egzaminus laik mksleiviai, kurie mkėsi pagal Bendrąsias prgramas ir išsilavinim

Διαβάστε περισσότερα

Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató Automatická pračka Používateľská príručka

Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató Automatická pračka Používateľská príručka WMB 71032 PTM Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató utomatická pračka Používateľská príručka Dokumentu Nr 2820522945_LT / 06-07-12.(16:34) 1 Svarbūs

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6 η : Μερική Παράγωγος ΙΙ Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 6. Ορισμός επικαμπύλιου ολοκληρώματος 36 KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Τα επικαμπύλια ολοκληρώματα αποτελούν επέκταση της έννοιας του απλού ολο κληρώματος στην περίπτωση κατά την

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Έστω (z) = z iz, z. α) Να λύσετε την εξίσωση : (z) = i. β) Αν (z) = να βρείτε το z. γ) Αν z = να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w=(z) είναι κύκλος

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr - f= f= f t+ 0 ) max

Διαβάστε περισσότερα

ΧΙΙΙ ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ (ΤΕΜ)

ΧΙΙΙ ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ (ΤΕΜ) ΧΙΙΙ ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ (ΤΕΜ) ΧΙΙΙ. ΧΙΙΙ. ΧΙΙΙ.3 Οι εξισώσεις στροφής το Maxwell όταν τα διανύσµατα βρίσκονται στο εγκάρσιο στη διεύθνση διάδοσης επίπεδο Εξισώσεις το Maxwell

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k!

Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k! Bessel functions The Bessel function J ν (z of the first kind of order ν is defined by J ν (z ( (z/ν ν Γ(ν + F ν + ; z 4 ( k k ( Γ(ν + k + k! For ν this is a solution of the Bessel differential equation

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 6: Παράγωγος κατά κατεύθυνση, κλίση, εφαπτόμενα επίπεδα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος

ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Montavimo ir naudojimo vadovas Išmanusis radiatorių termostatas eco

Montavimo ir naudojimo vadovas Išmanusis radiatorių termostatas eco Montavimo ir naudojimo vadovas Montavimo vadovas Montavimo vadovas 1. Montavimas 1.1 Atpažinkite eco termostatą...4 1.2 Pakuotėje...4 1.3 Ventilių adapterių apžvalga...5 1.4 Tinkamo adapterio montavimas...6

Διαβάστε περισσότερα

. Σήματα και Συστήματα

. Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/16 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της

Διαβάστε περισσότερα

1 + Φ r /c 2 = 1 (1) (2) c 2 k y 1 + (V/c) 1 + tan 2 α = sin α (3) tan α = k y k x

1 + Φ r /c 2 = 1 (1) (2) c 2 k y 1 + (V/c) 1 + tan 2 α = sin α (3) tan α = k y k x ΛΥΣΕΙΣ ΣΕΙΡΑΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6 Θ. Τομαράς 1. Πρωτόνια στις κοσμικές ακτίνες φτάνουν ακόμα και ενέργειες της τάξης των 10 20 ev. Να συγκρίνετε την ενέργεια αυτή με την ενέργεια που έχει μια πέτρα που πετάτε με

Διαβάστε περισσότερα

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Daniel García-Lorenzo To cite this version: Daniel García-Lorenzo. Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015 Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 215 Άσκηση 1: (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (ax+b)(x 2 +1) αν το a είναι ϑετικός αριθµός. (ϐ) Το µεσηµέρι, ένα σαλιγκάρι που ϐρίσκεται στο κέντρο ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 007-8 ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΑ: α) R. A. SERWAY, PHYSICS FOR SCIENTISTS & ENGINEERS,

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

TERMOCHEMIJA. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika.

TERMOCHEMIJA. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika. TERMOCHEMIJA Termodinamikos dalis, nagrinėjanti cheminių reakcijų šiluminius efektus,

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογισμού ΙΙ

Σημειώσεις Λογισμού ΙΙ Σημειώσεις Λογισμού ΙΙ https://github.com/kongr45gpen/ece-notes 16, Εαρινό εξάμηνο Περιεχόμενα I Ατρέας 3 Διανυσματικές συναρτήσεις & καμπύλες στο χώρο 3..1 Όριο και συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων....................

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμός Jοukowski κυκλικού κυλίνδρου σε ομοιόμορφη ροή

Μετασχηματισμός Jοukowski κυκλικού κυλίνδρου σε ομοιόμορφη ροή Μετασχηματισμός Jοukowski κυκλικού κυλίνδρου σε ομοιόμορφη ροή Κυκλικός κύλινδρος (ακτίνας r ) βρίσκεται εντός επίπεδης, άτριβης, δυναμικής ροής. Η γωνία πρόσπτωσης της αδιατάρακτης (επ άπειρον) ροής είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 303: Μεπικέρ Διαφοπικέρ Εξισώσειρ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. u bu au, u au bu. c U du 0, d a b

ΜΑΣ 303: Μεπικέρ Διαφοπικέρ Εξισώσειρ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. u bu au, u au bu. c U du 0, d a b ΜΑΣ 33: Μεπικέρ Διαφοπικέρ Εξισώσειρ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Σελ 4 Φξεζηκνπνηώληαο ηελ αιιαγή κεηαβιεηώλ u bu cu Λύση: Έρνπκε κε ηελ αιιαγή κεηαβιεηώλ Άξα ε δνζείζα ΜΔΕ γξάθεηαη σο ή b b u( U ( u bu U u U bu θαη

Διαβάστε περισσότερα

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( )

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( ) 3 Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος Ολόµορφες συναρτήσεις Τοπολογικοί ορισµοί Ορισµός 3 Εστω και ε > Καλούµε ε-ανοικτή περιοχή ή ανοικτό δίσκο κέντρου και ακτίνας ε το σύνολο { ε} D ( ) = : < ε Ορισµός 3 Έστω Το

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mthemtic.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mthemtic.gr. Μετατροπές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2003

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2003 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο Θέµα Α. α) Έστω η συνάρτηση στο κάθε f δ) R τις τιµές του γ) Αν η συνάρτηση παραγωγίσιµη σε αυτό. Τότε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Προσανατολισμένο Ευθύγραμμο Τμήμα (π.ε.τ.) είναι το ευθύγραμμο τμήμα PQ στο οποίο ορίζουμε το άκρο Ρ αυτού να είναι η αρχή του π.ε.τ. και το άκρο Q αυτού να είναι το

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και επιφανειών

Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και επιφανειών Ν. Καδιανάκη Αν. Καθηγητή Ε.Μ.Π. Σημειώσεις Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και επιφανειών ΑΘΗΝΑ Απαγορεύεται η ανατύπωση, αναδημοσίευση, αντιγραφή όλου ή μέρους του παρόντος βιβλίου, η αποθήκευση σε ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS Gerard t Hooft Stefan Nobbenhuis Institute for Theoretical Physics Utrecht University, Leuvenlaan 4 3584 CC Utrecht, the Netherlands and Spinoza Institute Postbox 8.195

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΟ ΠΟΥ ΠΑΡΑΓΕΙ ΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΗ ΥΝΑΜΗ

ΕΡΓΟ ΠΟΥ ΠΑΡΑΓΕΙ ΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΗ ΥΝΑΜΗ Έργο και Ενέργεια ΕΡΓΟ ΠΟΥ ΠΑΡΑΓΕΙ ΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΗ ΥΝΑΜΗ Έστω ένα σωμάτιο πάνω στο οποίο εξασκείται μια σταθερή δύναμη F. Έστω ότι η κίνηση είναι ευθύγραμμη κατά την διεύθυνση του διανύσματος F. Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

Įvadas. Tomas Nemunas Mickevičius

Įvadas. Tomas Nemunas Mickevičius ISSN 1392 1126. PROBLEMOS 2013 83 HEIDEGGERIS IR PLATONAS: TIESOS SAMPRATA Tomas Nemunas Mickevičius Vilniaus universiteto Filosofijos istorijos ir logikos katedra Universiteto g. 9/1, LT-01513 Vilnius

Διαβάστε περισσότερα

Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία

Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία 0 3 10 71 < < 3 1 7 ; (y k ) 0 LU n n M (2; 4; 1; 2) 2 n 2 = 2 2 n 2 n 2 = 2y 2 n n ' y = x [a; b] [a; b] x n = '(x n 1 ) (x n ) x 0 = 0 S p R 2 ; S p := fx 2 R 2 : kxk p = 1g; p = 1; 2; 1 K i

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των πανελληνίων εξετάσεων δίνοντας τους τα θέματα των 4 χρόνων των κανονικών εξετάσεων του Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

, όπου D. το πεδίο ορισμού της y f ( x). Τότε θα έχουμε ( ) ( ) ( ) i i i. ανήκουν στην καμπύλη 2 και καθορίζουν τα ύψη των παραλληλογράμμων

, όπου D. το πεδίο ορισμού της y f ( x). Τότε θα έχουμε ( ) ( ) ( ) i i i. ανήκουν στην καμπύλη 2 και καθορίζουν τα ύψη των παραλληλογράμμων Έστω διάστημα B= ( b ) Df όπου D f το πεδίο ορισμού της f ( x) και διαμέριση ( B) = { t i n: t < t r n t = t = b} Τότε θα έχουμε n i r r+ n n ( b ] ( x x ] = Το ολοκλήρωμα της = f ( x) στο B άθροισμα του

Διαβάστε περισσότερα

Mόνιμη ροή προερχόμενη από κίνηση πλάκας σε άπειρο χώρο (Ροή Couette)

Mόνιμη ροή προερχόμενη από κίνηση πλάκας σε άπειρο χώρο (Ροή Couette) Mόνιμη ροή προερχόμενη από κίνηση πλάκας σε άπειρο χώρο (Ροή Couette) Εξετάζουμε την επίπεδη ροή που λαμβάνει μεταξύ δύο επίπεδων πλακών οι οποίες έχουν απόσταση κατά την διεύθυνση y, h (h=ύψος.) Το μήκος

Διαβάστε περισσότερα

6. Tikimybių modelių pavyzdžiai. Binominis skirstinys

6. Tikimybių modelių pavyzdžiai. Binominis skirstinys 6 Tikimybių modelių avyzdžiai Sakome, kad atsitiktiis dydis X yra asiskirstęs agal biomiį dėsį su arametrais ir <

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Η συνάρτηση f ( ) γράφεται f x y + x + y x y + x + y xy ( ) ( ) ( ) ( ) Το πραγματικό και

Διαβάστε περισσότερα

a -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa. a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa

a -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa. a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa 1 2 1 2 3 4 5 0.24 0.24 4.17 4.17 6 a m a -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa 1 7 max min m a r 8 9 1 ] ] S [S] S [S] 2 ] ] S [S] S [S] 3 ] ] S

Διαβάστε περισσότερα

ˆ ˆ ˆ - ˆ Šˆ ˆ Œ. B. ʱ Ï Î

ˆ ˆ ˆ - ˆ Šˆ ˆ Œ. B. ʱ Ï Î ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2003.. 34.. 6 Š 539.1.07: 621.384.8 Œ -. Œ ˆ ˆ ˆ - ˆ Šˆ ˆ Œ. B. ʱ Ï Î É Ê ± É ÉÊÉ Ö µ Ë ±, ƒ ÉÎ, µ Ö ˆ 1520 Œ ˆ ˆŠ Ÿ ˆ 1522 Š Œ - 1528 ˆ Œ Œ - 1542 Š ˆ Šˆ Œ Œ - 1548 ²µ. Œ ˆ ˆŒŒ ˆ ˆ -

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Χημεία Υλικών και Ηλεκτροχημεία. Φασματοσκοπία Εμπέδησης. κινητική μεταφοράς φορτίου. ιδανική χωρητική συμπεριφορά. φ = α π/2 έλεγχος από την

Φυσική Χημεία Υλικών και Ηλεκτροχημεία. Φασματοσκοπία Εμπέδησης. κινητική μεταφοράς φορτίου. ιδανική χωρητική συμπεριφορά. φ = α π/2 έλεγχος από την Φυσική Χημεία Υλικών και Ηλεκτροχημεία Φασματοσκοπία Εμπέδησης PE ρά C εριφο φ έλεγχος έλεγχος από από τη τη διάχυση διάχυση κινητική μεταφοράς φορτίου f *= 1 2 π Rct Cdl συμπ έλεγχος από την αγωγιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Μαθηματικός Λογισμός Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ- ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Παναγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή

Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα. x = rcos! y = rsin! r = x 2 + y 2 x. q Ο απλούστερος ορισμός διανύσματος είναι ότι μετρά μετατοπίσεις

Διανύσματα. x = rcos! y = rsin! r = x 2 + y 2 x. q Ο απλούστερος ορισμός διανύσματος είναι ότι μετρά μετατοπίσεις Διανύσματα ΦΥΣ 131 - Διάλ. 2 1 q Ο απλούστερος ορισμός διανύσματος είναι ότι μετρά μετατοπίσεις q Διανύσματα περιγράφουν μέτρο αλλά και κατεύυνση q Αντίετα, βαμωτά μεγέη περιγράφονται μόνο από το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία που με βοήθησε να ανταπεξέλθω στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία, σελ 53, σχολικού βιβλίου Α Θεωρία, σελ 9, σχολικού βιβλίου Α3 Θεωρία, σελ 58, σχολικού βιβλίου Α4 α) Σ, β) Σ, γ) Λ, δ) Λ,

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

3. Γραμμικά Συστήματα

3. Γραμμικά Συστήματα 3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 5ο Εξάμηνο Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Ανάλυση Ευσταθείας Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα 8 Θεµελίωση έννοιας αορίστου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο ορίσαµε την έννοια της αντιπαραγώγου µιας συνάρτησης f σ ένα κλειστό και φραγµένο διάστηµα Γενικότερα Ορισµός

Διαβάστε περισσότερα