ПОТВРДА ИСПРАВНОСТИ И ПРИМЕНА БОШКОВИЋЕВЕ ТЕОРИЈЕ ПРИРОДНЕ ФИЛОЗОФИЈЕ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ПОТВРДА ИСПРАВНОСТИ И ПРИМЕНА БОШКОВИЋЕВЕ ТЕОРИЈЕ ПРИРОДНЕ ФИЛОЗОФИЈЕ"

Transcript

1 Предавање одржано на скупу "300 година од рођења Руђера Бошковића", Српска академија наука и уметности, Одељење за математику, физику и гео-науке и Астрономска опсерваторија, Београд, 26. октобар 2011., Београд Драгослав Стоиљковић Технолошки факултет, Нови Сад, Булевар Цара Лазара 1, ПОТВРДА ИСПРАВНОСТИ И ПРИМЕНА БОШКОВИЋЕВЕ ТЕОРИЈЕ ПРИРОДНЕ ФИЛОЗОФИЈЕ БОШКОВИЋЕВА ТЕОРИЈА ПРИРОДНЕ ФИЛОЗОФИЈЕ Теорија природне филозофије сведена на један једини закон сила које постоје у природи /1/ је Бошковићево животно дело у ком је објединио своја филозофска и природно-научна схватања. Полазећи од претпоставке Лајбница (Gottfried Wilhelm Leibnitz) да су основни елементи материје сићушни као тачке, које немају величину и које су недељиве, он не прихвата Лајбницову претпоставку да се тачке додирују већ сматра да су удаљене неким размаком, који се може бесконачно повећавати или смањивати, али не може потпуно нестати. Од Њутна (Isаac Newton) прихвата постојање узајамних сила између ових тачака. Док Њутн сматра да при веома малим удаљеностима влада снажна привлачна сила између честица, Бошковић сматра да тада постоји велика одбојна сила, која је утолико већа уколико је растојање мање (слика 1а). Слика 1. Општи (а) и посебни облици (б и в) Бошковићеве криве показују промену привлачне и одбојне силе (доња и горња ордината, редом) са променом растојања (апсциса) између елементарних тачака или честица материје /1,2/ Бошковић прихвата Њутнову претпоставку да се спајањем тачака добијају сложеније честице првог реда, спајањем ових добијају се честице другог, па затим трећег реда... Даљим спајањем настају атоми, који нису елементарне честице већ се састоје од делова. За молекуле сматра да су још крупније честице. Честице виших редова, атоми, молекули, чак и читав Сунчев систем, само су поједини ступњеви у хијерархији материје. Бошковић указује да би сви светови мањих димензија, узети заједно, били као једна једина тачка у односу на онај већи свет. Сматра да за сваки пар честица на било ком ступњу хијерархије материје важи нека крива приказана на слици 1, при чему број лукова, њихова величина и облик, могу бити различити.

2 Бошковић указује да су при неким растојањима одбојна и привлачна сила изједначене, а честице су у равнотежи. Међутим, разликује две врсте случајева. У случајевима E, I, N и R (слика 1а) при повећању растојања расте привлачна, а при смањивању растојања расте одбојна сила. Тад се честице налазе у постојаној равнотежи, јер ако се случајно повећа (или смањи) растојање између њих, тад настаје привлачна (или одбојна) сила и поново их враћа на претходно растојање. Те положаје је назвао границама кохезије. У положајима G, L и P су честице су у непостојаној равнотежи јер повећање (или смањивање) растојања доводи до појаве одбојне (или привлачне) силе и до још већег растављања (или приближавања) честица. Ове положаје је назвао границама некохезије. Квантни смисао Бошковићеве теорије /3/ По Бошковићу, ако се некe масивнe честицe налазе у центру, друга се може кретати по сфери (орбитали) чији је полупречник једнак некој граници кохезије. При том постоји онолико орбитала колико има тих граница (слика 2). Ова честица може да прелази са једне на другу орбиталу. При том се мења њена брзина. Указује да промена квадрата брзине има одређену вредност, једнаку разлици површина испод одбојног и изнад привлачног лука између те две границе кохезије. Кад се та површина помножи са масом честице и подели са два, добија се одређена промена енергије квант енергије како се данас назива. Бошковићева Теорија је заправо прва квантна теорија, изречена век и по пре Планка (Max Karl Ernst Ludwig Planck) и Бора (Niels Bohr), којима се обично приписује заслуга за откриће те теорије. Слика 2. Орбитале у Бошковићевој теорији /1, слика 33/ УЛОГА БОШКОВИЋЕВЕ ТЕОРИЈЕ У ОТКРИЋУ СТРУКТУРЕ АТОМА /4/ У литератури се раније редовно наводио значај Бошковића за откриће структуре атома, али се од г. то најчешће изоставља. Данас се најчешће наводе Далтон (John Dalton), Џ. Томсон (Joseph John Thomson), Радерфорд (Ernst Rutherford) и Бор. А, како је заиста било? Леукип (Leucipos) и Демокрит (Democritos) су у 5. в. пне. дошли на помисао да је све направљено од атома (сићушних недељивих честица) и празнине. Далтон је на почетку 19. в. закључио да сваки хемијски елемент има своје најситније делиће и назвао их атомима, верујући да су недељиви. Крајем 19. в. је утврђено да ови атоми, ипак, имају делове негативно наелектрисане електроне и позитиван остатак атома. Поставило се питање како су размештени ови делови. В. Томсон (William Thomson, познатији као Лорд Келвин) је г. истицао да се то питање може решити помоћу Бошковићеве теорије и предложио планетарни модел атома : позитивно наелектрисање је смештено у језгру атома, а електрони круже око њега. Као теоријску подлогу да се електрони крећу само по неким стазама (орбиталама) око језгра, Џ. Томсон је од до г. наводио Бошковићев атом који делује на једну честицу средишњом силом, која се мења од одбојне до привлачне и од привлачне до одбојне неколико пута и то приказао Бошковићевом кривом (слика 3, лево) /5/. У координатном почетку се налази позитивно наелектрисано језгро атома. На апсциси је растојање електрона од језгра, а на ординати су силе: одбојна (доле) и привлачна (горе). Томсон је означио положаје орбитала (слика 3, лево). На овим

3 положајима су на слици 3 (десно) доцртане су дозвољене (пуна линија) и забрањене (испрекидана линија) орбитале негативних електрона /6/. Слика 3. Томсон је приказао Бошковићеву криву и означио положаје орбитала (слика лево) /5/, а на слици десно су доцртане те орбитале /6/. Радерфорд је био сарадник Џ. Томсона у Кембриџу, а касније је постао професор у Манчестеру. Опитима је г. потврдио планетарни модел, који је назван Радерфордов модел. Бор је г. боравио седам месеци код Томсона и четири месеца код Радерфорда, упознао се са овим резултатима, па је г. израчунао могуће стазе електрона, узимајући у обзир да електрони могу прећи са једне на другу орбиталу само ако приме или предају одређену количину (квант) енергије што је Бошковић указао век и по раније. Данас се овај модел атома назива Боров модел. Међутим, Џил (Henry Vinsent Gill) /6/ сматра да такви називи модела нису оправдани и указује да је у периоду до г. Џ. Томсон показао да се концепт дозвољених и забрањених орбитала може непосредно извести из Бошковићевог закона сила, да је Бошковић дао суштински елемент модерном схватању атома, а да су други пожњели оно што је Бошковић посејао две стотине година раније. Зато је то за Џила Бошковић-Томсонов модел атома. Џил сматра да не би било исправно да се занемари допринос Бошковића, када се буде писала историја атомске теорије. БОШКОВИЋЕВ НОВИ СВЕТ ОД ЕЛЕМЕНТАРНИХ ТАЧАКА КА СЛОЖЕНИЈИМ ЧЕСТИЦАМА /7/ Бошковић указује да би било могуће да неке врсте честица немају никакве силе и да би оне сасвим слободно пролазиле кроз супстанцију друге врсте без икаквог судара (/1/, одељак 518). Ово је истоветно данашњим схватањем понашања честице неутрино. Описан је и значај Бошковићеве теорије за савремену теорију елементарних честица и глуона. /8/. Ринард (Phillip M. Rinard) указује да се Бошковићева теорија може повезати са савременом теоријом кваркова /9/. Штавише, нобеловац Ледермен (Leon Ledermann) је г. написао да је Бошковић имао једну замисао, потпуно лудачку за осамнаести век (а можда и за било који други)... Бошковић тврди, ни мање ни више, да је материја саздана од честица које немају никакве димензије! Ми нађосмо, ево пре двадесетак година, једну честицу која одговара том опису. Назвасмо је кварк /10/. По Бошковићеву најситнији делови материје су недељиве и непротежне елементарне тачке, које су истоветне, не разликују се међу собом. Он те тачке никада није називао атомима. Међутим, многи тумачи његове теорије те тачке погрешно називају Бошковићевим атомима. Зато и не разматрају оне честице које Бошковић заиста назива атомима, а под тим појмом подразумева честицу која има делове. Атоми се спајају тако да један увлачи своју квачицу у рупицу друге. Да је квачицу једног атома означио као електрон, а рупицу другог као непопуњену атомску орбиталу, то би одговарало савременом тумачењу спајања атома у молекуле. За још крупнију честицу Бошковић користи појам молекул и то пола века пре Авогадра (Amedeo Avogadro) и један век пре Канизара (Stanislao Cannizzaro), којима се обично приписује откриће молекула!

4 Данас се сматра да је Штаудингер (Hermann Staudinger) г. први дао хипотезу о постојању низова атома, тј. макромолекула (тзв. полимера). Међутим, Бошковић још г. написао да би се могле обликовати спирале атома и велики низови тачака који би имали велику еластичну силу. Потврђено је да постоје неки природни (беланчевине, целулоза, ДНК и РНК) и синтетски полимери и да имају све ове одлике /11/. Бошковић указује да би могао постојати низ малих коцки од атома који су смештени у њиховим рогљевима. Речено савременим језиком, то би била нано-цевчица квадратног пресека. Додаје, ако би честице биле у рогљевима тетраедра, тело би имало бесконачну чврстоћу и несавитљивост. Ако би биле у једној равни, тело би се могло смотати попут старих свитака. Када је почетком 19. в. утврђено да се тврди дијамант и меки графит састоје од истих атома, тј. угљеника, Дејви (Humphry Davy) је предложио Бошковићево тумачење њихове структуре, што је касније и потврђено. Зато Вилијамс (L. Pearce Williams) сматра да је Бошковић кумовао настанку структурне хемије. Потврда Бошковићеве филозофије резултатима савремене физике и хемије Открићем кваркова и сложенијих честица (протона, неутрона, атома, молекула, макромолекула...) савремена наука је потврдила Бошковићево схватање о хијерархији материје од елементарних честица до све сложенијих ентитета (слика 4). Многи нивои у структури материје су потврђени, а многи (основни, међу-нивои и бочни нивои) ће тек бити откривени. Слика 4. Након велике експлозије од кваркова и лептона настале су сложеније честице и тела По Бошковићу, за сваки пар честица на било ком нивоу треба да важи неки од облика криве приказане на слици 1. За проверу исправности Бошковићеве теорије пресудно питање је: Да ли је савремена наука потврдила да се узајамно дејство честица на различитим нивоима хијерархије материје заиста описује Бошковићевом кривом? Ако није потврдила - онда се о Бошковићевој теорији може говорити само као пролазној етапи у историји науке. Aко јесте онда је то другачији приступ овој теорији.

5 Док Бошковић приказује промену привлачних и одбојних сила у зависности од растојања честица, у савременој литератури се то приказује као промена потенцијалне енергије. Међутим, сила (F) је заправо негативна вредност диференцијалне промене енергије (E) са растојањем (r), тј. F = - de/dr, те су обе криве веома су сличне (слика 5n: спајање два атома), а могу се извести једна из друге. Постојаним и непостојаним растојањима (границе кохезије и некохезије, тј. пресеци са апсцисом на Бошковићевој кривој, слика 5n доле) одговарају минимуми и максимуми потенцијалне енергије (слика 5n горе), а то су постојана и непостојана растојањима према савременом схватању. Посматрањем промене потенцијалне енергије са растојањем честица може се извести закључак о промени силе, а тиме и проверити исправност Бошковићеве криве. Слика 5. Резултати савремене науке /7/ потврђују исправност Бошковићеве криве за различите нивое (n) Ови (слика 5) и многи други примери /7/ показују да је савремена наука дошла до сазнања да се међудејство честица на сваком нивоу описује неким обликом осцилаторне криве. Неки савремени научници та своја открића стављају на насловне стране својих књига (слика 5). Не позивају се на Бошковића, јер вероватно и не знају за њега, иако се та њихова открића темеље на Бошковићевој теорији. Наиме, потврђивање Бошковићевог закона сила, објављеног у 18. в., трајало је вековима. Бошковићева теорија је утицала на његове савременике, а имала је многе следбенике у 18., 19. и у првој декади 20. в.: Ампер (Andre-Marie Ampere), Коши (Augustin-Louis Cauchy, барон), Фехнер

6 (Gustav Theodor Fechner), Пристли (Joseph Priestly), Геј-Лисак (Joseph Louis Gay-Lussac), Фарадеј (Michael Faraday), Лорд Келвин, Џ. Томсон, Мендељејев (Дмитрий Иванович Менделеев), Хелмхолц (Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz), Хенри (William Henry), Максвел (James Clark Maxwell), Лоренц (Hendrik Lorentz), Дејви... То су научници који су велелепно здање савремене науке изградили на темељима Бошковићеве теорије. Много генерација научника је учествовало у том зидању, па се једноставно заборавило шта су били почетни темељи и да их је Бошковић поставио. А онда је изненада, као феникс из пепела, васкрснула Бошковићева теорија. Многи горостаси савремене науке су у буњишту историје науке запазили тај драгуљ. Уочили су да су се овом теоријом инспирисали многи значајни научници, наведени творци савремене науке. Бошковићев појам поља силе имао је одлучујућу улогу у развитку физике (Werner Heisenberg, 1958.) /12/. Његова теорија је имала велики утицај на следеће генерације физичара и поплочала је пут даљем развоју (Бор, 1958.) Други су пожњели то што је он посејао две стотине година раније (Џил, 1941.). Бошковић је кумовао настанку структурне хемије (L. P. Williams, 1961.). Његове идеје не само да су одиграле важну улогу у развоју науке, већ оне представљају кључ за целокупну модерну физику (Ледермен, 1993). Не треба се томе чудити. Његов закон сила је био полазна претпоставка (хипотеза) за тумачење структуре и међудејства честица. Када се сазнала структура материје и када се теоријски и експериментално утврдио закон сила које делују између честица, сасвим је разумљиво да се потврдила полазна претпоставка, тј. Бошковићев закон сила. То је уобичајени методолошки пут у истраживању (хипотеза логичне последице експериментална потврда доказана теорија) који савремена наука превали за неколико година. Међутим, Бошковићевом теорија се проверавала и потврђивала вековима. Сменило се више од десет генерација научника, па се зато заборавило да је Бошковићева теорија дала велики допринос развоју савремене науке. ФИЗИЧКА И МАТЕМАТИЧКА АНАЛОГИЈА БОШКОВИЋЕВЕ ТЕОРИЈЕ И ТЕОРИЈЕ САВИЋ-КАШАНИН /13/ Од настанка Бошковићеве теорије па до појаве теорије Савић-Кашанин /14/ постоји раздобље од читава два века. Прва теорија се темељи на закону континуитета и полази од начела класичне Њутнове механике, а друга свој основ има у квантној механици. Кад се узме у обзир да је Бошковић у свој закон сила углавном примењивао на примарне елементе материје (непротежне и недељиве тачке), као и на честице првог и другог реда, а да Савић и Кашанин своја разматрања усредсређују на честице од атома до небеских тела /15/, тада нам се чини да су предмети ове две теорије потпуно различити. Но, ипак има много заједничког у обе теорије. Пре свега то је дијалектичка основа и једне и друге теорије /16,17/. Овде ћемо указати само на сличности ових теорија при тумачењу згушњавања при компримовању материје. Густина материје представља однос између масе и запремине тела које се састоји од великог броја честица. Бошковићев закон сила и тада важи; две по две честице сачињавају парове који се покоравају његовом закону сила. По Бошковићу, ако се расуте честица сажимају, тада се густина тела постепено мења, без икаквих скокова /1, одељак 51/. Скоковита промена густине није могућа, јер ако би нека одређена густина трајала један сат, те ако би се тада у временском тренутку подвостручила у другу, која ће исто тако трајати идући сат, у временском тренутку који дели сатове ће морати да постоје две густине заједно, тј. она једнострука и она двострука... /1, одељак 52/. Тело би у том тренутку имало две густине, што је непојмљиво. До које мере може ићи сажимање материје? Бошковић сматра да као што нема границе у повећању разређености, тако нема никакве границе повећању густине /1, одељак 89/. Савић и Кашанин сматрају да се при компримовању материје наизменично смењују интервали постепене и скоковите промене густине (слика 6) /15/. Густина се постепено мења од d 1 0 до d 1 * у интервалу притиска од p 0 * до p 1 *. Затим при p 1 * настаје скоковита промена густине од d 1 * до d 2 0. Све до притиска p 2 * опет је интервал постепене промене густине, затим опет скоковита промена итд. Материја може имати само оне вредности густине које одговарају интервалима 1, 2, 3, 4...

7 Сваком интервалу одговара једно фазно стање материје у коме се густина постепено мења. Прелазак из једне фазе у другу је скоковит у погледу промене густине. Слика 6. Промена густине материје (d) са променом притиска (p) према теорији Савић- Кашанин /15/ Узроке оваквим наизменично скоковитим и постепеним променама густине материје Савић и Кашанин траже у квантно-механичким законима, којима се описују структура и својства атома. При приближавању атома настаје тренутак када су они довољно близу један другом да им се путање спољних електрона додирују. Пошто у истој путањи не могу бити више од два електрона (Паулијево начело забране), даље сажимање је могуће само ако електрони напусте дотадашњу путању и отисну се од атома тражећи нова пространства за сопствено кретање. А атоми, огољени због одбеглих електрона, могу се даље зближавати све док се поново не додирну преосталим спољним електронима. Како су електрони распоређени по дискретним, размакнутим нивоима, који су одсечно одвојени једни од других..., биће њихово приближавање под притиском у скоковима. Сагласно томе се и густине материјала под притиском морају мењати у скоковима или одсечним прелазима с једне вредности на другу /15, стр. 70/. Густина тела се постепено мења, без икаквих скокова тврди Бошковић. Густина материје под притиском се мора мењати у скоковима тврде Савић и Кашанин. Бошковић, грађанин 18. века, гради своја схватања на закону континуитета и класичној Њутновој физици. Савић и Кашанин потпору налазе у модерној квантној механици, која је скоро у потпуности истисла закон континуитета и Њутнову механику из микро-света. Стога се Савић и Кашанин не позивају на Бошковића, мада им је његова теорија позната. Ко је од њих у праву Бошковић или Савић и Кашанин? У претходном тексту смо указали на карике које чине спону између наизглед противречних схватања. Веза између Бошковићевог закона сила и савременог модела атома је остварена кроз радове Лорда Келвина, Џ. Томсона, Радерфорда и Бора. То је прва карика од Бошковића ка Савићу, будући да је Боров модел атома послужио Савићу као приказ за тумачење узрока скоковитих промена густина. Другу карику представља прорачун промене потенцијалне енергије при приближавању два атома, прорачун који се заснива на квантно-механичком моделу атома. Трећу карику представља примена резултата овог прорачуна за предвиђање својстава различитих фазних стања материје. Ове две карике су описане у књигама Крокстона /18/ и Портноја /19/, мада ови аутори не наводе радове Бошковића, Савића и Кашанина. Међутим, показало се да се промена потенцијалне енергије при приближавању два атома, уз уважавање њихове дискретне квантномеханичке структуре (управо она појава коју узимају у обзир Савић и Кашанин), описује кривом (слика 5n: физичко међудејство два атома), која је истоветна са Бошковићевом. Овим је повезан пут од Бошковића, преко Лорда Келвина, Џ. Томсона, Радерфорда, Бора, Крокстона и Порноја до Савића и Кашанина. Штавише, и Бошковић запажа да на његовој кривој постоје размаци при којима се честице спонтано сажимају и размаци када је сажимање могуће само ако постоји спољни притисак /1,

8 одељци /. Рецимо, ако су два атома на растојању R (слика 1), тада је даље зближавање ових атома могуће само ако се делује спољним притиском, довољно великим да се савлада одбојни лук RQP. А када атоми дођу на растојање мање од P, међу њима делује привлачна сила и они се спонтано и убрзано приближавају; није потребан никакав спољни притисак. Кад дођу на растојање мање од N, опет се јавља одбојна сила и поново је потребно деловати спољним притиском да би дошло до сажимања материје. На Бошковићевој кривој се наизменично смењују интервали спонтаног и присилног приближавања честица. Границе кохезије и некохезије Бошковићевој кривој (E, G, I, L, N, P, R) су почетци и завршетци појединих степеника у дијаграму Савића и Кашанина (слика 6). На тај начин, сваком степенику у дијаграму Савића и Кашанина одговара један одбојни и један привлачни лук Бошковићеве криве. Одбојном луку Бошковићеве криве одговара постепена, а привлачном луку скоковита промена густине. Штавише, сличан је смисао координата на сликама 1 и 6. На дијаграму Савића и Кашанина је на апсциси приказан притисак, тј. сила која делује на јединицу површине, а та сила је приказана као ордината на Бошковићевој кривој. А на његовој кривој је на апсциси приказан размак између честица, а мањем размаку одговара већа густина, која је приказана на ординати дијаграма Савића и Кашанина. Није ли онда Бошковић погрешио кад је тврдио да се густина материје мора континуално мењати, без скокова? Није! Познато је да се густина скоковито мења при преласку из парног у течно, а потом из течног у чврсто стање (слика 7). То су фазне промене првог реда. Али су такође познати и примери код којих се, идући из једног фазног стања у друго, густина постепено мења, пролазећи кроз све међувредности. Например, ако се пара загреје изнад температуре критичне тачке, затим се гас сажима обилазећи критичну тачку, па потом хлади до течног стања. То су фазне промене другог и вишег реда. Но у оба случаја, промена се остварује тако што делић по делић система честица прелази из једног фазног стања у друго. (Не кондензује се цео облак одједном, већ кап по кап.) На том микро-нивоу прелаз је скоковит. И то је оно што описују и Бошковићева крива и дијаграм Савића и Кашанина. Али на макроскопском нивоу, промена густине је постепена. Због тога, на питање, ко је у праву Бошковић или Савић и Кашанин, постоји дијалектички одговор: и Бошковић и Савић и Кашанин. Слика 7. Фазна стања материје /20/ Савић и Кашанин у виду једног степенастог дијаграма приказују промену густине материје на почетку и на крају појединих фаза (слика 8). Они овај закон о скоковитим променама густине нису теоријски извели из квантно-механичког модела атома, већ су на основу података о густинама планета у Сунчевом систему емпиријски дошли до правила да се густине материје (d) на крајевима појединих фаза (i) скоковито удвостручују, једн. (1). d i+1 * = 2 d i * (1)

9 Слика 8. Густине на почетку d i 0 и на крају d i * појединих фаза (i=1, 2, 3...) према теорији Савић-Кашанин /15/ Густине на почетку фаза се израчунавају тако што се густине на крајевима поделе са параметром α, при чему је α=5/3 за парну фазу, односно са α=6/5 за непарну фазу. Ове вредности параметара α су израчунали на основу ван дер Валсове (van der Waals) једначине стања за стварне гасове (2). (P + a/v 2 ) (V - b) = RT (2) где су P, V и T притисак, молска запремина и апсолутна температура гаса, редом; а и b су константе различите за поједине гасове; R је универзална гасна константа. Из једн. (2) следи да константа b, тзв. коволумен, представља запремину V 0, коју би гас имао на апсолутној нули, тј. Т = 0 К (слика 7). Познато је да из једн. (2) следи да је b једнако трећини запремине коју материјал има у критичној тачци (V c на слици 7) /20/. Савић и Кашанин за израчунавање параметра α узимају наведене односе ових запремина (3), што је једна од битних претпоставки за добијање њиховог математичког модела (слика 8). b = V 0 = V c /3 (3) Зна се да је специфична запремина материје (V) једнака реципрочној вредности густине (d) (4), тако да је једноставно израчунавати вредност једне од њих ако је друга позната. V = 1/d (4) Друга важна претпоставка Савића и Кашанина за добијање математичког модела је да на крају нулте фазе материја има запремину, односно густину, која одговара критичној тачци (5). d 0 * = 1/V c (5) Наведени математички модел (слика 8) су Савић и Кашанин применили за израчунавање средње густине планета у Сунчевом систему и резултате прорачуна упоредили са астрономским подацима који су им тада стајали на располагању. Према њиховом прорачуну нека планета треба да има густину 0,67 g/cm 3, што приближно одговара густини Сатурна (0,65 g/cm 3 ). За једну групу планета је израчуната густина 1,33 g/cm 3, што одговара густинама Јупитера, Урана и Нептуна. За другу групу планета је израчуната густина 5,33 g/cm 3, што одговара густинама Земље, Венере и Меркура. Слагање израчунатих и измерених вредности је веома добро. Велико неслагање је једино у случају средње густине Марса која би по прорачуну требало да буде 5,33 g/cm 3, а емпиријска

10 вредност је 3,94 g/cm 3. Савић и Кашанин су сматрали да је њихов прорачун исправан, а ово неслагање су приписали грешци астрономског податка о полупречнику Марса. ПРИМЕНА БОШКОВИЋЕВЕ ТЕОРИЈЕ Имајући у виду да је Бошковићева теорија потврђена резултатима савремене науке, намеће се питање: Да ли је Бошковићева теорија применљива и корисна за савремену науку? Она не може непосредно дати решење савремених научних проблема, али је добар путоказ ка налажењу решења савременим научним методама. Аутор овог рада је неколико пута следио Бошковићеве путоказе и успешно налазио одговоре на нека отворена научна питања, што ће овде бити само укратко приказано. Штавише, нобеловац Ледермен је г. написао да неке Бошковићеве идеје представљају кључ за целокупну модерну физику /10/. Карактеристичне запремине материје и њихов смисао /21/ Бошковић указује на могућност да две честице крену у сусрет једна другој из веома велике удаљености, али путањама које нису на истој правој, већ се мимоилазе. Када приђу на растојање које одговара некој граници кохезије, могуће је да остану једна поред друге и да се врте око непокретне средишње тачке простора /1, одељак 201/. Својим кретањем ће пар честица описивати сферу, чији пречник зависи од размака честица на тој граници кохезије. Данас се зна да се молекули у гасовима налазе на великом растојању и да се брзо крећу. Ако би два молекула пришла један другом на растојање које одговара граници кохезије (по Бошковићу), односно минимуму потенцијалне енергије (према савременом начину приказивања), тада се запремина сфере за ротацију молекулског пара може израчунати помоћу израза (6): V p = (2/3) r e 3 N (6) где је V p запремина сфере коју окупира молекулски пар, срачуната на један мол; r e је равнотежно растојање између молекула, за које постоје експериментални подаци за велики број супстанци; = 3,14; N је Авогадров број (6, молекула по молу). Ако би скоро сви молекули гаса били спарени у ротирајуће парове на растојању r e које одговара првој граници кохезије (растојање R на слици 1), тада би то било неко карактеристично стање материје, а њена запремина би била приближно једнака V p. На основу експерименталних података за 92 супстанце показано је да то одговара запремини материје у критичној тачци V c (слика 9). Слика 9. Једнакост критичне запремине V c и запремине молекулског пара V p /21/ ( експериментални подаци за 92 супстанце; регресиона права; - - очекивана права; границе поверења); стандардна грешка 60,1 cm 3 /mol; коефицијент корелације 0,94.)

11 Може се закључити да прва граница кохезије (растојање R на слици 1) има одређени физички смисао и да одговара одређеном особеном стању материје, тј. критичној тачци. Разумно је упитати се да ли и друге границе кохезије и некохезије имају неки физички смисао. Да би израчунали запремине материје чији се молекули налазе на другим границама кохезије и некохезије, могли би се послужити дијаграмом Савића и Кашанина (слика 8), јер сваком степенику тог дијаграма одговара један одбојни и један привлачни лук Бошковићеве криве. Међутим, запазили смо да су они извођење свог математичког модела засновали на неколико претпоставки, од којих три нису у складу са новијим емпиријским подацима. Прва претпоставка: емпиријски подаци показују да нису тачни односи дати изразом (3), већ изразом (7). V c = 2 b = 4 V 0 (7) Друга претпоставка: разматрање компримовања гасовитог етилена је показало да заиста настају различите фазе (видети ниже) /22/. Међутим, етилен има густину једнаку критичној на крају прве, а не на крају нулте фазе како су претпоставили Савић и Кашанин (израз 5). Трећа претпоставка: По теорији Савића и Кашанина почетно (нулто) стање материје, пре сажимања, је стање разређеног гаса, чија густина је блиска нули. Међутим, према њиховом степенастом моделу (слика 8), почетак нулте фазе има неку коначну густину. Због тога је било потребно прилагодити параметре у складу са наведеним емпиријским чињеницама /21/. На основу израза (1), (4) и (7) може се закључити да запремине материје на крајевима прве, друге и треће фазе одговарају критичној запремини (V c ), коволумену (тј. ван дер Валсовој константи b) и запремини материје на апсолутној нули (V 0 ). Отуд, параметри (i), уместо 5/3 и 6/5, као код Савића и Кашанина, добијају вредности према изразу (8). Кад се овим прилагођеним параметрима (8) помноже запремине на крају фаза, добијају се запремине на почетку фаза, (слика 10) и израз (9). Показало се да и запремине на почетку фаза имају одређени физички смисао: V M одговара запремини, коју окупирају појединачни ротирајући молекули; b 0 је запремина чврсте сфере, коју окупирају два молекула на растојању при ком је потенцијална енергија једнака нули; V t,s је запремина чврсте фазе у тројној тачци (слика 7). Веома добро слагање израчунатих са експерименталним вредностима наведених запремина је потврђено за 143 различите супстанце (слика 11). α(i) = V 0 i /V * i = d * i /d 0 i =2 1/i где је i редни број фазе; i = -1, 0, 1, 2, 3... (8) Vx/Vc = 1/2 i-1, где је Vx= Vc, b, Vo за i = 1, 2, 3 (редом) (9а) Vy/Vc = 2 1/i /2 i-1, где је Vy= bo, Vt за i = 2, 3 (редом) (9б) Слика 10. Однос између запремина материје и карактеристичним стањима и критичне запремине V c /21/

12 Слика 11. Однос између критичне V c и других карактеристичних запремина: запремина чврсте сфере b 0, коволумен b, запремина чврсте фазе у тројној тачци V t,s и запремина на апсолутној нули V 0. Линије су очекиване вредности на основу нашег модела (слика 10), а тачке су емпиријске вредности, узете из литературе, за 143 супстанце и то: метали, инертни гасови, елементи, незасићени и засићени угљоводоници, ароматски угљоводоници, органска и неорганска једињења кисеоника, азота, сумпора и халогена /21/. Битно је запазити да наш степенасти дијаграм описује промену запремине материје од стања идеалног гаса, када молекули постоје појединачно и имају највећу слободу кретања (транслационог и ротационог), до апсолутне нуле температуре, када је материја у чврстом стању, а молекули су потпуно престали да се крећу. У спрези сажимања (компримовања) и хлађења, постепено се смењују (настају и нестају) различити облици кретања молекула, а материја пролази кроз нека карактеристична стања, као што су нпр. критична тачка и тројна тачка. Запремине наведене у нашем моделу (слике 10 и 11) се односе на таква карактеристична стања материје, која не зависе од притиска и температуре, већ су одређена само њеним хемијским саставом, природом саме материје и Бошковићевим законом атрактивних и репулзивних сила које постоје у природи. Имајући у виду да исти математички модел описује згушњавање различитих супстанци од идеалног гаса до чврстог стања, могу се извући следећи важни закључци: 1. Све супстанце су изложене истој промени структуре при прелазу из једног у друго карактеристично стање. У противном, промене запремина би се описивала различитим математичким моделом за различите супстанце. 2. Све супстанце имају исту надмолекулску структуру у истом карактеристичном стању. Овај закључак је логична последица претходног закључка. На основу ова два закључка је разумно претпоставити да све супстанце имају исту структуру у почетном стању (идеалан гас) која се преобликује у неку другу структуру исту за све супстанце када пређу у неко друго стање. Заиста, без обзира на хемијски састав све супстанце у стању идеалног гаса имају неуређено хаотично кретање појединачних молекула, исто просечно растојање између молекула, исту енергију једнаку производу притиска и запремине... Не само у стању идеалног гаса, већ и у условима када гасови различитих супстанци имају запремину која је

13 једнака критичној, њихови молекули су спарени, а запремина ротирајућег пара је једнака критичној запремини (слика 9). Mеђудејство молекула у реалним гасовима и течностима Савремена наука је у највећој мери успела да опише структуру и објасни својства материје у уређеном кристалном стању и потпуно неуређеном стању идеалног гаса. Међутим, и данас постоје многа отворена питања у погледу тумачења структуре флуида, а то су гасови на повишеним притисцима (тзв. реални гасови) и течности. Сматра се да у течностима постоји делимична уређеност молекула која се протеже само на малим растојањима. Путокази за разматрање структуре флуида налазе се у Бошковићевој теорији. По њему, у течностима се међудејство честица може описати кривом на слици 1в која има две границе кохезије и једну границу некохезије (односно два минимума и један максимум потенцијалне енергије) /2/. До испаравања долази када честице заузимају веће удаљености него што су удаљености граница кохезије, али тако да су задњи привлачни лук и задњи одбојни лук који следи иза њега знатно јачи /1, одељак 431/. На основу ових описа је С. Паушек-Баждар /23,24/ нацртала Бошковићеву криву (слика 12) за промене физичког стања, а ми смо на њој означили растојања која одговарају карактеристичном запреминама материје и навели одговарајуће честице на основу нашег степенастог дијаграма (слика 10). Слика 12. Бошковићева крива промене физичког стања /23,24/ на којој смо означили карактеристичне запремине материје и одговарајуће честице на основу нашег степенастог дијаграма (слика 10) У идеалним гасовима су молекули на великом растојању, транслационо и ротационо се крећу и међу њима преовладава одбојна сила. При сажимању идеалног гаса смањује се простор за транслационо кретање и преовлађује обртно кретање молекула, а затим настају ротирајући молекулски парови на растојању које одговара првој граници кохезије и који окупирају запремину која је једнака критичној запремини. Даље згушњавање гаса (кондензација) до густине течности је могуће само ако се молекули још више приближе и приљубе један уз други настају бимолекули који могу да ротирају око све три просторне осе и при томе окупирају запремину која је једнака коволумену b. Хлађењем се смањује способност ротације бимолекула тако да могу да се обрћу само око једне осе, а усклађивањем њиховог кретања настајању низови молекула (тзв. олигомолекули) који ротирају само око једне осе. Течности се састоје од смеше бимолекула и олигомолекула. Даљим хлађењем, све већи број бимолекула постепено се спаја у олигомолекуле.

14 Када се сви споје, даљим хлађењем се олигомолекулима одузима обртно кретање, што доводи до њиховог спајања и настају снопови. Овакав след промена су експериментално утврдили Корољев и сарадници /29/ испитујући више од 8000 супстанци: при хлађењу гаса, на температури кондензације појединачни молекули прелазе у течност са спареним молекулима. Даљим хлађењем настаје линеарни олигомер, а потом се сви молекули у течности међусобно повезују физичким везама стварајући непрекидну асоцијативну структуру. Физичко-хемијско стање и полимеризација компримованог етилена /22/ Молекул етилена има двоструку везу и може се полимеризовати слободно-радикалним механизмом: на радикал (R ) се везује молекул етилена (CH 2 =CH 2 ) уз раскидање двоструке везе и обнављања радикала на управо везаном молекулу етилена (R CH 2 CH 2 ). Затим се везује следећи молекул, па опет следећи и тако неколико стотина или хиљада пута у секунди. Настаје ланац од повезаних молекула, тзв. макромолекул или полимер. Добијена пластична маса се назива полиетилен (ПЕ). Особеност ове полимеризације је да се она може извести само ако је гасовити етилен компримован до веома високог притиска ( bar) и загрејан у опсегу C. Од открића овог процеса г. и наредних неколико деценија је остало нерешено питање због чега је неопходан тако велики притисак. Хантер (Eric Hunter) /25/ је запазио да је густина гасовитог етилена у условима полимеризације приближно 0,46 g/cm 3 што знатно премашује густину насумично сложених молекула. Израчунао је да просечно растојање између молекула износи 0,4-0,5 nm, што је мање од пречника самог молекула (0,5 nm). Закључио је да се компримовањем молекули правилно слажу и изобличују и да је то предуслов за успешну полимеризацију. Међутим, он није објаснио како су молекули сложени и изобличени. Уобичајено је да се међудејство већине молекула, па и етилена, представља Ленард-Џонсовим (Lennard-Jones) потенцијалом (слика 13), који је објављен г., а који је сличан Бошковићевој кривој (слика 1б), која је објављена још г. Емпиријска вредност растојања између два молекула етилена на минимуму потенцијалне енергије је r e = 0,466 nm. При мањим растојањима се очекује снажна одбојна сила. Али, густина етилена, чији су молекули на том растојању, је само 0,22 g/cm 3. То је знатно мање него што је густина у условима полимеризације. То значи да молекули могу да дођу на растојање мање од 0,466 nm. Слика 13. Потенцијална енергија E int у зависности од растојања R два молекула етилена /26/. Криве 1 и 2 су срачунате различитим методама. E int је у атомским јединицама (A.U.), где је A.U. = 2, kj/mol; R је у а 0 јединицама, где је а 0 = 5, cm. Стога смо претпоставили да је исправније применити Бошковићеву криву на слици 1а или 1в и предложили надмолекулску организацију компримованог етилена (слика 14) /22, 27/. На основу нашег математичког модела (слика 10) израчунате су запремине потребне за ротацију приказаних надмолекулских честица: 127,6; 63,8 и 40 cm 3 /mol за молекулски пар, бимолекул и олигомолекул, редом. Ове вредности су блиске емпиријским вредностима: 127,6; 57,1 и 37,8 cm 3 /mol, редом. Постојање ових честица и фазни прелази другог и трећег реда у компримованом етилену су потврђени термодинамичким, физичким и спектроскопским методама. Фазни прелаз у фазу је при условима када је запремина етилена једнака критичној (V/V c =1), а прелаз у фазу када је ентропија етилена једнака критичној (S/S c =1).

15 Слика 14. Фазно стање, надмолекулске честице и њихове запремине (емпиријске вредности) компримованог етилена /22,27/ Показали смо да је полимеризација могућа само у и фази, а најбржа је на фазном прелазу -, када етилен из мање неуређене прелази у више уређену квази-кристалну фазу. Надмолекулске честице етилена пресудно утичу на механизам и брзину полимеризације, као и на структуру и својства ПЕ. Из уређене фазе етилена настаје веома кристалан ПЕ са правилно сложеним макромолекулима, а из неуређене фазе настаје мање кристални ПЕ са неуређеним макромолекулима. Ово наше тумачење је проистекло захваљујући Бошковићевом путоказу, а његова примене у тумачењу полимеризације етилена објављене су у неколико десетина научних и стручних радова /27/, а имају велики значај за боље разумевање и вођење индустријског производње ПЕ. Утицај притиска на температуру топљења полиетилена /27/ ПЕ је пластични материјал у облику чврстих делимично кристалних гранула. Те грануле се загревају и топе у машинама за израду различитих производа: фолије, плоче, боце, канистери, бурад, изолација електричних каблова... На атмосферском притиску се ПЕ топи на С. Будући да је растоп ПЕ у машинама изложен притисцима од неколико стотина до неколико хиљада бара и постоји опасност да растоп очврсне и изазове оштећење машине или да се добије неисправан производ. Зато растоп треба загрејати знатно изнад 120 С. Једном приликом се од нас хитно захтевало да предложимо температуру на коју треба загрејати растоп, а да не очврсне. Пошто тада нисмо располагали одговарајућим емпиријским подацима, путоказ смо нашли у закону континуитета, који је први изразио Лајбниц, а Бошковић детаљно разрадио /1,28/. Једна последица овог закона је да кад год су два променљива квантитета, који,

16 дакако, могу да мењају величину, међусобно повезани, онда се одређеним величинама једнога може одредити величина другога /28, одељак 102/. Претпоставили смо да таква два повезана квантитета могу бити: степен уређености компримованог етилена (бројно се исказује ентропијом) и степен кристалности ПЕ, који се експериментално одређује. Бошковић наставља:...нека се замисле две величине првог (рецимо Ei и Em на слици 15) и две величине другог квантитета... (рецимо Pi и Pm) и ако први квантитет сталним мењањем пређе од прве величине до друге, пролазећи кроз све величине... (рецимо Ej...Ek...El), то ће се десити и са другим квантитетом, тј. и он ће проћи кроз одговарајуће величине (Pj...Pk...Pl). Ако са Еi означимо фазу, а са Еm означимо фазу етилена, тада је Pi и Pm представљају ПЕ који се добија полимеризацијом одговарајућих фаза етилена. Ако Ek представља прелаз из у фазу у чистом етилену, тј. топљење квазикристалне фазе на некој температури која зависи од притиска, онда Pk мора представљати одговарајући фазни прелаз, тј. топљење кристалних области ПЕ, који се мора јавити при истој температури и притиску. Другим речима, квазикристални етилен и делимично кристални ПЕ треба да се топе на истој температури при истом притиску. Слика 15. Уз објашњење примене закона континуитета на примеру етилена и полиетилена /22/ Знали смо да се етилен на повишеним притисцима топи при температури на којој је ентропија једнака критичној (S/Sc=1), a тачне вредности тих температура су познате из термодинамичких података. Закључили смо да ће се и ПЕ топити на истим температурама као и етилен. Накнадно прикупљени експериментални подаци су у потпуности потврдили овај закључак (слика 16) /22, 27/. Слика 16. Услови фазног прелаза - у чистом етилену (S/Sc=1) одговарају условима топљења полиетилена (тачке) при повишеним притисцима /22,27/

17 Полимеризација течног метилметакрилата /30/ Молекул метилметакрилата (ММА), H 2 C=C(CH 3 )COOCH 3, има двоструку везу (C=C). Течни ММА може се полимеризовати механизмом слободних радикала на атмосферском притиску на 60 до 90 С. Настаје полиметилметакрилат (ПММА) од кога се израђује органско стакло (тзв. плексиглас), зубне пломбе и разни други производи. Сматрало се да се ова реакција може објаснити теоријом радикалне полимеризације, по којој реакција у почетку треба да је брза, а потом све спорија сразмерно трошењу ММА. У почетку је заиста тако, али након неког времена, почиње да се убрзава, достиже велику вредност, да би затим нагло успорила и сасвим престала. То није у складу са теоријским очекивањима, а такође прави проблеме при полимеризацији ММА. Да би се они спречили, треба им знати узрок. Од г. је предложено десетак теорија да би се објаснио узрок самоубрзања. Но, без успеха. Једну хипотезу су још 1960-тих година предложили Каргин и Кабанов полазећи од претпоставке да је течни ММА, као и свака друга течност, делимично уређени систем неки молекули су правилно сложени, а неки нису. Стога, они сматрају да за тумачење полимеризације ММА треба користити теорију полимеризације организованих система мономера. Међутим, ова хипотеза није даље проверавана. Према схватању Ејринга и Марчија све течности се састоје од две фазе, једне налик на гас и друге налик на кристал. Сасуга и Такехиса су експериментално потврдили да се течни ММА састоји од области у којој су молекули правилно сложени и од области у којима су насумично сложени. Корољев и сарадници /29/ су потврдили за ММА и за 8000 других течних супстанци да се састоје од уређених и неуређених области. Међутим, није предложен метод како да се одреде удели (количина) молекула ММА у уређеним и неуређеним областима. Да би израчунали те уделе прихватили смо Бошковићево схватање да се међудејство честица течности може описати кривом на слици 1в која има две границе кохезије и једну границу некохезије /2/. Разрадом ових његових схватања закључили смо да се течност састоји од две фазе олигомолекула (уређене) и бимолекула (неуређене) (слика 12). Неуређена фаза има специфичну молску запремину једнаку коволумену b, а уређена фаза једнаку V t,s, а ове вредности се могу израчунати помоћу нашег модела (слика 10), ако је позната критична запремина. Течност је смеша те две фазе, а њена специфична запремина зависи од удела и специфичних запремина тих фаза према изразу (10). V = Y b b + (1-Y b ) V t,s d = 1/V = X b d b + (1-X b ) d t,s (10а) (10б) где су V и d специфична запремина и густина течности, редом; b и d b су коволумен и густина прве фазе, редом; X b и Y b, су масени и запремински удео прве фазе, редом; V t,s и d t,s су специфична запремина и густина друге фазе, редом Специфична запремина течног ММА се повећава од V =106,7 до 113,9 cm 3 /mol у опсегу од 25 до 75 С. За ММА је V c = 315 cm 3 /mol. На основу степенастог дијаграма (слика 10) смо израчунали да је b=157,5 cm 3 /mol и V t,s = 99,2 cm 3 /mol, а на основу (10а и 10б) уделе ових фаза (слика 17). Да би проверили оправданост оваквих схватања и тачност прорачуна, полимеризовали смо ММА и експериментално одредили уделе ПММА који су настали у тим фазама /30/. Веома добро слагање израчунатих и експериментално одређених вредности је потврда ваљаности и овог Бошковићевог путоказа. Уз то, доказали смо да самоубрзање настаје када почиње да се полимеризације уређена фаза ММА, што је у складу са теоријом Каргина и Кабанова.

18 Слика 17. Израчунати удели уређене и неуређене фазе(горња и доња линија, редом) течног ММА; експериментално одређени удели ПММА добијени у уређеној (квадрати) и неуређеној (троуглови) фази /30/ Израчунавање средње густине планета нашим степенастим моделом Наш степенасти модел (израз 9 и слика 10) се може представити и помоћу густине материјала, која је реципрочна вредност запремине (4). На основу наведеног је и добијен математички модел који приказује однос средње густине планета и густине Сунца (слика 18). Слика 18. Однос средње густине планета и густине Сунца (d s =1,41 g/cm 3 ) према нашем моделу /7,31/ Имајући у виду да је средња густина Сунца једнака 1,41 g/cm 3, израчунали смо средње густине планета (табела 1) /7,31/. Слагање са емпиријским подацима је веома добро. Уз то, за разлику од степенастог модела Савића и Кашанина (слика 9), наш модел показује да средња густина Марса треба да буде приближно 4 g/cm 3, што је блиско емпиријским подацима. На основу нашег модела, у Сунчевом систему могло би да постоји небеско тело (или више тела) средње густине 2,8 g/cm 3, што приближно одговара густинама астероида (2,0 до 3, 5 g/cm 3 ). Густина Плутона (недавно је избрисан из списка планета) би према нашем моделу могла бити 1,41 g/cm 3 што је у складу са неким емпиријским подацима (1,75 g/cm 3 ), мада се у литератури могу наћи и друге веома различите вредности. Смер згушњавања је стрелицом означен на слици 18. Ако би Сатурн следио тај смер, тада не би дошло до његовог згушњавања, већ ширења до стања разређеног гаса. Другим речима, према овом нашем моделу планета Сатурн не може да се згусне.

19 Табела 1. Средње густине планета у Сунчевом систему Средња густина (g/cm 3 ) израчуната помоћу Емпиријски подаци Модела Савића и Кашанина (слика 9) Нашег модела (слика 19) /7,31/ Меркур 5,43 5,33 5,64 Венера 5,25 5,33 5,64 Земља 5,52 5,33 5,64 Марс 3,93 5,33 4,00 Јупитер 1,33 1,33 1,41 Сатурн 0,71 0,67 0,71 Уран 1,27 1,33 1,41 Нептун 1,77 1,33 1,41 Постоји хипотеза да Сунце има свог двојника, који је назван Немезис. Средња густина Немезиса би требала да буде 79,21 g/cm 3. Екстраполацијом нашег степенастог модела се може израчунати да би могло постојати тело густине 80,63 g/cm 3, што је у доброј сагласности са наведеним податком за Немезис. ЗАКЉУЧАК Иако се ради о различитој природи сила, међумолекулским силама и гравитационој, математички модели приказани на сликама 10 и 18 су потпуно истоветни, што је у складу са Бошковићевим схватањима да постоји аналогија закона у природи, да су ти закони једноставни и да постоји један јединствени закон сила у природи. За извођење ових једноставних математичких модела је био потребан веома мали броје емпиријских података (критична запремина, коволумен и запремина на апсолутној нули) уз коришћење најједноставнијих математичких поступака: израчунавање запремина лопте и ваљка, четири аритметичке радње, степеновање и кореновање. При томе су постигнуте веома значајне примене у различитим областима. Објашњен је (1) смисао критичне запремине материје и (2) развијен је метод за израчунавање карактеристичних запремина материје; објашњено је (3) међудејство молекула у реалним гасовима и течностима, (4) физичкохемијско стање и полимеризација компримованог етилена, (5) утицај притиска на температуру топљења полиетилена, (6) протумачена је полимеризација течног метилметакрилата и (7) дат је модел за израчунавање средње густине планета. Закон природе, по коме се густине материје на крају појединих фаза односе према изразу d = d 0 2 a, кога су уочили Савић и Кашанин анализирајући густине планета у Сунчевом систему, има далеко дубљи смисао него што су му сами аутори приписали. Тумачећи скоковите промене у густини материје скоковитим преласком електрона са једне путање на другу, Савић и Кашанин су, додуше несвесно, у своју теорију уградили и Бошковићев закон о узајамном деловању честица материје. Сваком степенику у дијаграму Савића и Кашанина одговара један пар суседних лукова Бошковићеве криве. Ова сличност, као и заједничко дијалектичко језгро обе теорије даје обема универзалност својствену општим законима природе на чијим темељима почива велелепно здање савремене науке. И док је Бошковићева теорија еволуирала од узајамног деловања непротежних тачака материје до квантног модела атома, одатле теорија Савића и Кашанина наставља описујући како ти исти атоми граде планете тела и Сунчев систем. Стога и није изненађујуће да је уродио плодом и наш покушај да у степенике Савића и Кашанина и Бошковићеве лукове уградимо молекулске и надмолекулске честице. Тако смо добили да запремине на почетку и на крају сваке фазе представљају карактеристичне запремине материје. То су универзална стања материје, једнозначно одређена природом саме материје и Бошковићевим законом сила.

20 ЛИТЕРАТУРА 1. Bošković R., Philosophiae naturalis theoria redacta ad unicam legem virium in natura existentium, Beč, (прво издање), Venecija, 1763 (друго издање); A Theory of natural philosophy, The Massachusetts Institute of Technology, M.I.T. Press, Cambridge, i 1966.; Teorija prirodne filozofije svedena na jedan jedini zakon sila koje postoje u prirodi, (dvojezično: latinski i hrvatski), Liber, Zagreb, Boscovich R., De viribus vivis, 1745., videti Martinović I., Filozofija znanosti Ruđera Boškovića, Filozofsko-teološki institut Druţbe Isusove, Zagreb, 1987., str Stoiljković D., Teorija Ruđera Boškovića kao putokaz ka kvantnoj mehanici, Arhe, 2, 181 (2005) 4. Стоиљковић Д., Руђер Бошковић претеча савременог схватања структуре атома, Хемијски преглед, 49 (3), (2008) 5. Thomson J. J., The Corpuscular Theory of Matter, Charles Scribner's Sons, New York, Gill H. V., Roger Boscovich, S. J. Forerunner of modern physical theories, M. H. Gill and Son, Ltd., Dublin, Стоиљковић Д., Руђер Бошковић утемељивач савремене науке, Петничке свеске 65, Истраживачка станица Петница, Silbar M. L., Gluons and Glueballs, Analog, 102, 52 (1982) 9. Rinard P. M., Quarks and Boscovich, Am. J. Phys., 44, 704 (1976) 10. Ледермен Л., Терези Д., Божија честица, Сфинга, Београд, (Lederman L., Teresi D., The God particle, 1993.) 11. Stoiljković D., Importance of Boscovich's theory of natural philosophy for polymer science, Polimery, 52, (2007) 12. Dadić Ţ., Ruđer Bošković, Školska knjiga, Zagreb, (prvo izdanje), (treće izdanje) 13. Stoiljković D., Saţimanje materije - Odjeci Boškovićevih shvatanja u teoriji Savić-Kašanin, Flogiston, br. 13, (2005); Vasiona, 53 (4) (2005) 14. Savić P., Kašanin R., The Behaviour of the materials under high pressures, Serbian academy of sciences and arts, Monographs, Vol. 351, Section for Natural Sciences and Mathematics, No. 29, Beograd, Savić P., Od atoma do nebeskih tela poreklo rotacije nebeskih tela, drugo izdanje, Radivoj Ćirpanov, Novi Sad, Stoiljković D., Dijalektičko-materijalistička osnova teorije Savić-Kašanin o ponašanju materije pri visokim pritiscima i o nastanku rotacije nebeskih tela, Dijalektika, 14, 137 (1979) 17. Stoiljković D., Atrakcija i repulzija shvatanja Boškovića, Hegela i Engelsa, Filozofska istraţivanja, 32-33, God. 9, Sv. 5-6, 1567 (1989) 18. Портной К. И., Богданов В. И., Фукс Д. Л., Расчет взаимодействия и стабильности фаз, Металлургия, Москва, Croxton A. C., Liquid state physics A statistical mechanical introduction, Cambridge University Press, Cambridge, Sirs F. V., Uvod u termodinamiku, kinetičku teoriju gasova i statističku mehaniku, Vuk Karadţić, Beograd, (Original: Sears F. W., An introduction to thermodynamics, the kinetic theory of gases and statistical mechanics, Addison-Wesley Pubilishing Co., 1953.) 21. Stoiljković D., Macanović R., Pošarac D., The correlation between characteristic volumes of matter - a mathematical model and its physical meaning, J. Serb. Chem. Soc., 60, 15 (1995) 22. Stoiljković D., Mehanizam i kinetika polimerizacije etilena pri visokom pritisku, doktorska disertacija, Tehnološko-metalurški fakultet, Beograd, Paušek-Baţdar S., Kemijski aspekti Boškovićeve teorije, Jugoslavenska akademija znanosti i umjetnosti, Rasprave i građa za povijest znanosti knjiga 4, Razrada za matematičke, fizičke i tehničke znanosti, Zagreb, Kutleša S., Prirodno-filozofijski pojmovi Ruđera Boškovića, Hrvatsko filozofsko društvo, Zagreb, 1994.

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm 1 Два тачкаста наелектрисања 1 400 p и 100p налазе се у диелектрику релативне диелектричне константе ε на међусобном растојању ( 1cm ) као на слици 1 Одредити силу на наелектрисање 3 100p када се оно нађе:

Διαβάστε περισσότερα

1.2. Сличност троуглова

1.2. Сличност троуглова математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)

Διαβάστε περισσότερα

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА . колоквијум. Наставни колоквијум Задаци за вежбање У свим задацима се приликом рачунања добија само по једна вредност. Одступање појединачне вредности од тачне вредности је апсолутна грешка. Вредност

Διαβάστε περισσότερα

Универзитет у Крагујевцу Факултет за машинство и грађевинарство у Краљеву Катедра за основне машинске конструкције и технологије материјала

Универзитет у Крагујевцу Факултет за машинство и грађевинарство у Краљеву Катедра за основне машинске конструкције и технологије материјала Теоријски део: Вежба број ТЕРМИЈСКА AНАЛИЗА. Термијска анализа је поступак који је 903.год. увео G. Tamman за добијање криве хлађења(загревања). Овај поступак заснива се на принципу промене топлотног садржаја

Διαβάστε περισσότερα

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве в) дијагонала dd и страница aa квадрата dd = aa aa dd = aa aa = није рац. бр. нису самерљиве г) страница aa и пречник RR описаног круга правилног шестоугла RR = aa aa RR = aa aa = 1 јесте рац. бр. јесу

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола i i i Милка Потребић др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Висока техничка школа струковних студија у Нишу предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Садржај предавања: Систем

Διαβάστε περισσότερα

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0 Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +

Διαβάστε περισσότερα

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је:

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је: Пример 1. III Савијање правоугаоних плоча За правоугаону плочу, приказану на слици, одредити: a) израз за угиб, b) вредност угиба и пресечних сила у тачки 1 ако се користи само први члан реда усвојеног

Διαβάστε περισσότερα

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда ОБЛАСТИ: ) Тачка ) Права Jov@soft - Март 0. ) Тачка Тачка је дефинисана (одређена) у Декартовом координатном систему са своје две коодринате. Примери: М(5, ) или М(-, 7) или М(,; -5) Jov@soft - Март 0.

Διαβάστε περισσότερα

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг

Διαβάστε περισσότερα

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 8.. Линеарна једначина с две непознате Упознали смо појам линеарног израза са једном непознатом. Изрази x + 4; (x 4) + 5; x; су линеарни изрази. Слично, линеарни

Διαβάστε περισσότερα

Количина топлоте и топлотна равнотежа

Количина топлоте и топлотна равнотежа Количина топлоте и топлотна равнотежа Топлота и количина топлоте Топлота је један од видова енергије тела. Енергија коју тело прими или отпушта у топлотним процесима назива се количина топлоте. Количина

Διαβάστε περισσότερα

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10 Tестирање хипотеза 5.час 30. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 30. март 2016. 1 / 10 Монте Карло тест Монте Карло методе су методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,

Διαβάστε περισσότερα

Закони термодинамике

Закони термодинамике Закони термодинамике Први закон термодинамике Први закон термодинамике каже да додавање енергије систему може бити утрошено на: Вршење рада Повећање унутрашње енергије Први закон термодинамике је заправо

Διαβάστε περισσότερα

6.2. Симетрала дужи. Примена

6.2. Симетрала дужи. Примена 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 013/014. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ. VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне

Διαβάστε περισσότερα

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2.1. МАТЕМАТИЧКИ РЕБУСИ Најједноставније Диофантове једначине су математички ребуси. Метод разликовања случајева код ових проблема се показује плодоносним, јер је раздвајање

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 011/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ ТРАПЕЗ Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце Ментор :Криста Ђокић, наставник математике Власотинце, 2011. године Трапез

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 01/01. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

ФИЗИКА Час број 11 Понедељак, 8. децембар, Aвогадров закон. Увод. Авогадров закон. Гасовито агрегатно стање

ФИЗИКА Час број 11 Понедељак, 8. децембар, Aвогадров закон. Увод. Авогадров закон. Гасовито агрегатно стање ФИЗИКА Час број Понедељак, 8. децембар, 008 Једначина стања идеалног и реалног гаса Притисак и температура гаса Молекуларно кинетичка теорија идеалног гаса Болцманова и Максвелова расподела Средњи слободни

Διαβάστε περισσότερα

10.3. Запремина праве купе

10.3. Запремина праве купе 0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом . Решимо једначину 5. ( * ) + 5 + Провера: + 5 + 0 5 + 5 +. + 0. Број је решење дате једначине... Реши једначину: ) +,5 ) + ) - ) - -.. Да ли су следеће једначине еквивалентне? Провери решавањем. ) - 0

Διαβάστε περισσότερα

Анализа Петријевих мрежа

Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Мере се: Својства Петријевих мрежа: Досежљивост (Reachability) Проблем досежљивости се састоји у испитивању да ли се може достићи неко, жељено или нежељено,

Διαβάστε περισσότερα

ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ИЗ ФИЗИКЕ ПРВИ КОЛОКВИЈУМ I група

ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ИЗ ФИЗИКЕ ПРВИ КОЛОКВИЈУМ I група ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ИЗ ФИЗИКЕ ПРВИ КОЛОКВИЈУМ 21.11.2009. I група Име и презиме студента: Број индекса: Термин у ком студент ради вежбе: Напомена: Бира се и одговара ИСКЉУЧИВО на шест питања заокруживањем

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

Тест за 7. разред. Шифра ученика

Тест за 7. разред. Шифра ученика Министарство просвете Републике Србије Српско хемијско друштво Окружно/градско/међуокружно такмичење из хемије 28. март 2009. године Тест за 7. разред Шифра ученика Пажљиво прочитај текстове задатака.

Διαβάστε περισσότερα

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја.

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја. СЛУЧАЈНА ПРОМЕНЉИВА Једнодимензионална случајна променљива X је пресликавање у коме се сваки елементарни догађај из простора елементарних догађаја S пресликава у вредност са бројне праве Први корак у дефинисању

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује

Διαβάστε περισσότερα

6.5 Површина круга и његових делова

6.5 Површина круга и његових делова 7. Тетива је једнака полупречнику круга. Израчунај дужину мањег одговарајућег лука ако је полупречник 2,5 сm. 8. Географска ширина Београда је α = 44 47'57", а полупречник Земље 6 370 km. Израчунај удаљеност

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

5.2. Имплицитни облик линеарне функције математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.

Διαβάστε περισσότερα

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА TЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА Два тачкаста наелектрисања оптерећена количинама електрицитета и налазе се у вакууму као што је приказано на слици Одредити: а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А; б) Електрични

Διαβάστε περισσότερα

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе:

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: Њутнови закони 1 Динамика Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: када су објекти довољно велики (>димензија атома) када се крећу брзином много мањом

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре 0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских

Διαβάστε περισσότερα

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну

Διαβάστε περισσότερα

Температура. везана за топло и хладно ово није једнозначно у субјективном смислу

Температура. везана за топло и хладно ово није једнозначно у субјективном смислу ФИЗИКА 2010 Понедељак, 15. новембар и 22. новембар 2010 Температура Топлотно ширење чврстих тела и течности Закони који важе за идеални гас Кинетичка теорија Фазне трансформације Влажност, испаравање,

Διαβάστε περισσότερα

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ:

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ: Ваљак ВАЉАК P=B + M V= B H B= r p M=rp H Pосн.пресека = r H. Површина омотача ваљка је π m, а висина ваљка је два пута већа од полупрчника. Израчунати запремину ваљка. π. Осни пресек ваљка је квадрат површине

Διαβάστε περισσότερα

Разлика потенцијала није исто што и потенцијална енергија. V = V B V A = PE / q

Разлика потенцијала није исто што и потенцијална енергија. V = V B V A = PE / q Разлика потенцијала Разлика потенцијала између тачака A и B се дефинише као промена потенцијалне енергије (крајња минус почетна вредност) када се наелектрисање q помера из тачке A утачку B подељена са

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Писмени испит из Теорије површинских носача. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама.

Писмени испит из Теорије површинских носача. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. Београд, 24. јануар 2012. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. dpl = 0.2 m P= 30 kn/m Линијско оптерећење се мења по синусном закону: 2. За плочу

Διαβάστε περισσότερα

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА 1. Допуни шта недостаје: а) 5m = dm = cm = mm; б) 6dm = m = cm = mm; в) 7cm = m = dm = mm. ПОЈАМ ПОВРШИНЕ. Допуни шта недостаје: а) 10m = dm = cm = mm ; б) 500dm = a

Διαβάστε περισσότερα

Флукс, електрична енергија, електрични потенцијал

Флукс, електрична енергија, електрични потенцијал Флукс, електрична енергија, електрични потенцијал 1 Електрични флукс Ако линије поља пролазе кроз површину A која је нормална на њих Производ EA је флукс, Φ Генерално: Φ E = E A cos θ 2 Електрични флукс,

Διαβάστε περισσότερα

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2 8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1 За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика

Διαβάστε περισσότερα

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису.

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису. ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА 5.. Функција = a + b Функционалне зависности су веома значајне и са њиховим применама често се сусрећемо. Тако, већ су нам познате директна и обрнута пропорционалност ( = k; = k, k ),

Διαβάστε περισσότερα

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила.

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Вектори 1 Вектори vs. скалари Векторске величине се описују интензитетом и правцем Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Скаларне величине су комплетно описане само интензитетом Примери: Температура,

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима 50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ

ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ 1. Удео снаге и енергије ветра у производњи електричне енергије - стање и предвиђања у свету и Европи. 2. Навести називе најмање две међународне организације

Διαβάστε περισσότερα

У к у п н о :

У к у п н о : ГОДИШЊИ (ГЛОБАЛНИ) ПЛАН РАДА НАСТАВНИКА Наставни предмет: ФИЗИКА Разред: Седми Ред.број Н А С Т А В Н А Т Е М А / О Б Л А С Т Број часова по теми Број часова за остале обраду типове часова 1. КРЕТАЊЕ И

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45

Διαβάστε περισσότερα

Упутство за избор домаћих задатака

Упутство за избор домаћих задатака Упутство за избор домаћих задатака Студент од изабраних задатака области Математике 2: Комбинаторика, Вероватноћа и статистика бира по 20 задатака. Студент може бирати задатке помоћу програмског пакета

Διαβάστε περισσότερα

Писмени испит из Метода коначних елемената

Писмени испит из Метода коначних елемената Београд,.0.07.. За приказани билинеарни коначни елемент (Q8) одредити вектор чворног оптерећења услед задатог линијског оптерећења p. Користити природни координатни систем (ξ,η).. На слици је приказан

Διαβάστε περισσότερα

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011 Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ. Томсонов ефекат. семинарски рад. Нови Сад, 2010.

УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ. Томсонов ефекат. семинарски рад. Нови Сад, 2010. УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Томсонов ефекат семинарски рад професор: Светлана Р. Лукић студент: Драгиња Прокић87/06 Нови Сад, 00. Термоелектричне

Διαβάστε περισσότερα

ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Јун 2003.

ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Јун 2003. Природно-математички факултет 7 ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Јун 00.. Одредити све вредности параметра m за које су оба решења једначине x x + m( m 4) = 0 (a) реална; (b) реална и позитивна. Решење: (а) [ 5, + (б) [

Διαβάστε περισσότερα

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова 4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид

Διαβάστε περισσότερα

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно

Διαβάστε περισσότερα

Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела. Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела помоћу пикнометра

Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела. Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела помоћу пикнометра Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела Густина : V Специфична запремина : V s Q g Специфична тежина : σ V V V g Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела помоћу

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола Др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола Милка Потребић Др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА

РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА 006. Задатак. Одредити вредност израза: а) : за, и 69 0, ; б) 9 а) Како је за 0 и 0 дати израз идентички једнак изразу,, : : то је за дате вредности,

Διαβάστε περισσότερα

Сунчев систем. Кеплерови закони

Сунчев систем. Кеплерови закони Сунчев систем Кеплерови закони На слици је приказан хипотетички сунчев систем. Садржи једну планету (Земљу нпр.) која се креће око Сунца и једина сила која се ту појављује је гравитационо привлачење. Узимајући

Διαβάστε περισσότερα

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА Стандардна девијација показује расподелу резултата мерења око средње вредности, али не указује на облик расподеле. У табели 1 су дате вредности за 50 поновљених одређивања

Διαβάστε περισσότερα

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,

Διαβάστε περισσότερα

Примена првог извода функције

Примена првог извода функције Примена првог извода функције 1. Одреди дужине страница два квадрата тако да њихов збир буде 14 а збир површина тих квадрата минималан. Ре: x + y = 14, P(x, y) = x + y, P(x) = x + 14 x, P (x) = 4x 8 Први

Διαβάστε περισσότερα

Механика флуида Б - уводни поjмови

Механика флуида Б - уводни поjмови Механика флуида Б - уводни поjмови Александар Ћоћић Машински факултет Београд Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-01 1 / 11 Информациjе o предмету, професору, итд. Александар Ћоћић, доцент email: acocic@mas.bg.ac.rs

Διαβάστε περισσότερα

Осцилације система са једним степеном слободе кретања

Осцилације система са једним степеном слободе кретања 03-ec-18 Осцилације система са једним степеном слободе кретања Опруга Принудна сила F(t) Вискозни пригушивач ( дампер ) 1 Принудна (пертурбациона) сила опруга Реституциона сила (сила еластичног отпора)

Διαβάστε περισσότερα

Писмени испит из Теорије плоча и љуски. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама.

Писмени испит из Теорије плоча и љуски. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. Београд, 24. јануар 2012. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. = 0.2 dpl = 0.2 m P= 30 kn/m Линијско оптерећење се мења по синусном закону: 2.

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 1 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

Од површине троугла до одређеног интеграла

Од површине троугла до одређеног интеграла Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.i.ac.rs/mii Математика и информатика (4) (5), 49-7 Од површине троугла до одређеног интеграла Жарко Ђурић Париске комуне 4-/8, Врање

Διαβάστε περισσότερα

4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА

4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА 4. Закон великих бројева 4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА Аксиоматска дефиниција вероватноће не одређује начин на који ће вероватноће случајних догађаја бити одређене у неком реалном експерименту. Зато треба наћи

Διαβάστε περισσότερα

ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева

ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције Diffie-Hellman размена кључева Преглед Биће објашњено: Diffie-Hellman размена кључева 2/13 Diffie-Hellman размена кључева први алгоритам са јавним

Διαβάστε περισσότερα

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом).

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом). СЕЧИЦА(СЕКАНТА) ЦЕНТАР ПОЛУПРЕЧНИК ТАНГЕНТА *КРУЖНИЦА ЈЕ затворена крива линија која има особину да су све њене тачке једнако удаљене од једне сталне тачке која се зове ЦЕНТАР КРУЖНИЦЕ. *Дуж(OA=r) која

Διαβάστε περισσότερα

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x) ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити

Διαβάστε περισσότερα

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике део Страна пасус први ред треба да гласи У четвртом делу колима променљивих струја Штампарске грешке у четвртом издању уџбеника Основи електротехнике

Διαβάστε περισσότερα

Атомска и нуклеарна физика

Атомска и нуклеарна физика Атомска и нуклеарна физика 23.5.2008. Физика 2008 Структура материје Демокрит: добро наоштримо нож и почнемо да рецкамо материју шта ћемо видети? 23.5.2008. Физика 2008 2 Развој представа о атому чврсте

Διαβάστε περισσότερα

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23 6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2016/17. бр. LI-4

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2016/17. бр. LI-4 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 06/7. бр. LI-4 РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ III разред. а) 50 4 = 00; б) 0 5 = 650; в) 0 6 = 6; г) 4 = 94; д) 60 : = 0; ђ) 0 : = 40; е) 648 :

Διαβάστε περισσότερα

8.2 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА 2 Задатак вежбе: Израчунавање фактора појачања мотора напонским управљањем у отвореној повратној спрези

8.2 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА 2 Задатак вежбе: Израчунавање фактора појачања мотора напонским управљањем у отвореној повратној спрези Регулциј електромоторних погон 8 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА Здтк вежбе: Изрчунвње фктор појчњ мотор нпонским упрвљњем у отвореној повртној спрези Увод Преносн функциј мотор којим се нпонски упрвљ Кд се з нулте

Διαβάστε περισσότερα

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља Универзитет у Машински факултет Београду Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља -семинарски рад- ментор: Александар Томић Милош Живановић 65/

Διαβάστε περισσότερα

РЈЕШЕЊА ЗАДАТАКА СА ТАКМИЧЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИНА Електријада 2004

РЈЕШЕЊА ЗАДАТАКА СА ТАКМИЧЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИНА Електријада 2004 РЈЕШЕЊА ЗАДАТАКА СА ТАКМИЧЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИНА Електријада 004 ТРАНСФОРМАТОРИ Tрофазни енергетски трансформатор 100 VA има напон и реактансу кратког споја u 4% и x % респективно При номиналном оптерећењу

Διαβάστε περισσότερα

МЕХАНИЧКЕ ОСЦИЛАЦИЈЕ. Осиловање

МЕХАНИЧКЕ ОСЦИЛАЦИЈЕ. Осиловање МЕХАНИЧКЕ ОСЦИЛАЦИЈЕ Понедељак, 29. децембар, 2010 Хуков закон Период и фреквенција осциловања Просто хармонијско кретање Просто клатно Енергија простог хармонијског осцилатора Веза са униформним кретањем

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола Др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 07. Вишефазне електричне системе је патентирао српски истраживач Никола Тесла

Διαβάστε περισσότερα

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате

Διαβάστε περισσότερα

I Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( )

I Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( ) Шт треба знати пре почетка решавања задатака? АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА У РАВНИ I Тачка. Растојање две тачке:. Средина дужи + ( ) ( ) + S + S и. Деоба дужи у односу λ: 4. Површина троугла + λ + λ C + λ и P

Διαβάστε περισσότερα

& 2. Брзина. (слика 3). Током кратког временског интервала Δt тачка пређе пут Δs и изврши елементарни (бесконачно мали) померај Δ r

& 2. Брзина. (слика 3). Током кратког временског интервала Δt тачка пређе пут Δs и изврши елементарни (бесконачно мали) померај Δ r &. Брзина Да би се окарактерисало кретање материјалне тачке уводи се векторска величина брзина, коју одређује како интензитет кретања тако и његов правац и смер у датом моменту времена. Претпоставимо да

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: МЕХАНИКА 1 студијски програми: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 3. 1 Садржај предавања: Статичка одређеност задатака

Διαβάστε περισσότερα

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c 6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно

Διαβάστε περισσότερα

ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 2 (13Е013ЕП2) октобар 2016.

ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 2 (13Е013ЕП2) октобар 2016. ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ (3Е03ЕП) октобар 06.. Батерија напона B = 00 пуни се преко трофазног полууправљивог мосног исправљача, који је повезан на мрежу 3x380, 50 Hz преко трансформатора у спрези y, са преносним

Διαβάστε περισσότερα

T. max Т / [K] p /[ 10 Pa] 1,01 1,23 1,74 2,39 3,21 4,42 5,87 7,74 9,35 11,60

T. max Т / [K] p /[ 10 Pa] 1,01 1,23 1,74 2,39 3,21 4,42 5,87 7,74 9,35 11,60 II РАЗРЕД 49. РЕПУБЛИЧКО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ ФИЗИКЕ УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКЕ /. ГОДИНЕ Друштво Физичара Србије Министарство просвете и науке Републике Србије ЗАДАЦИ ФИЗИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 9.4... Малу плочицу,

Διαβάστε περισσότερα