Ivan Ivec SOBOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE

Transcript

1 Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odjel Ivan Ivec SOOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Nenad Antonić Zagreb, siječnja 001.

2 Zahvaljujem svojem mentoru doc. dr. sc. Nenadu Antoniću na pomoći pri izradi ovog diplomskog rada.

3 Sadržaj 1.Uvod 1.L p prostori 4 3.Fourierova pretvorba 18 4.Distribucije 6 5.Soboljevljev prostor H 1 ( ) 31 6.Soboljevljeve nejednakosti 35 7.Jedna primjena Soboljevljeve nejednakosti 38 Literatura 43

4 1. UVOD Ambijent u kojem radimo je d dimenzionalni euklidski prostor = {x = ( d ) 1 (x 1,..., x d ) : x 1,..., x d R} s normom x :=. Prisjetimo se da x i i=1 je skup K kompaktan ako i samo ako je zatvoren i omeden. S C k (Ω) označavamo skup kompleksnih funkcija definiranih na nekom otvorenom skupu Ω koje su k puta neprekidno diferencijabilne tj. koje imaju neprekidne parcijalne derivacije k tog reda, a s C (Ω) označavamo skup funkcija koje su u C k (Ω) za svaki k N 0. Za Ω i funkciju f : Ω C definiramo njezin nosač supp f := Cl {x Ω : f(x) 0}. Sada s Cc (Ω) označimo skup funkcija iz C (Ω) takvih da im je nosač kompaktan i sadržan u Ω. Klasičan primjer funkcije iz C c ( ) je funkcija j(x) = { [ ] exp 1, 1 x ako je x < 1 0, ako je x 1. Mjera s kojom radimo je restrikacija Lebesgueove mjere λ d na σ algebru orelovih skupova u (koja je generirana množinom otvorenih skupova u i koju označavamo s ). Ta mjera je translacijski invarijantna i podudara se s klasičnim volumenom na kuglama (i kvadrima) tj. λ d (K(x, r)) = 1 d Sd 1 r d,gdje je S d 1 = π d Γ( d ) ploština jedinične sfere Sd 1 = {x : x = 1}. Ako je, onda Lebesgueov integral izmjerive funkcije f : [0, ], odnosno sumabilne funkcije f : C označavamo s f(x)dx, ili kraće s fdx. f(x)dx definiramo i onda kada je funkcija f definirana samo skoro svuda na. Tada definiramo f(x)dx := f(x)dx, gdje je Z neki zanemariv \Z skup takav da je f definirana (svuda) na \ Z. Nije teško vidjeti da ta definicija ne ovisi o izboru skupa Z.

5 1. Uvod Funkcija f : C je sumabilna ako i samo ako je f sumabilna. Nadalje, ako su f, g : C sumabilne funkcije i ako su α, β C, onda vrijedi f(x)dx f (x)dx i (αf +βg)(x)dx = α f(x)dx+β g(x)dx. Navedimo sada (bez dokaza) osnovne teoreme o konvergenciji Lebesgueovog integrala, Fubinijev teorem, te teorem o zamjeni varijabli. Teorem 1.1 (o monotonoj konvergenciji) Neka je Tada je i neka je (f n ) rastući niz izmjerivih funkcija s u [0, ]. lim n f n (x)dx = lim n f n (x)dx. Lema 1. (Fatou) Neka je i neka je (f n ) niz izmjerivih funkcija s u [0, ]. Tada je lim inf f n (x)dx lim inf f n (x)dx. n n Teorem 1.3 (o dominiranoj konvergenciji) Neka je i neka je (f n ) niz izmjerivih funkcija s u C koji skoro svuda konvergira k izmjerivoj funkciji f : C. Ako postoji sumabilna funkcija g : [0, ] koja dominira niz (f n ) u smislu da je f n (x) g(x) (ss) za svaki n N, onda je i funkcija f sumabilna te je lim f n (x)dx = f(x)dx. n Teorem 1.4 (Fubini) Neka je 1 1, i neka je (x, y) f(x, y) izmjeriva funkcija na 1, gdje je x 1, a y. Ako je f( 1 ) [0, ] ili f kompleksna sumabilna, onda su sljedeća tri integrala jednaka: f(x, y)d(x, y), f(x, y)dxdy, f(x, y)dydx

6 1. Uvod Teorem 1.5 (o zamjeni varijabli) Neka je Ω otvoren i neka je G : Ω G(Ω) difeomorfizam. Ako je f izmjeriva funkcija na G(Ω), onda je i f G izmjeriva funkcija. Nadalje, ako je f(g(ω)) [0, ] ili f kompleksna sumabilna, onda vrijedi f(x)dx = (f G)(x) det DG(x) dx. G(Ω) Ω Što se oznaka tiče, s τ(x) označavamo topologiju prostora X, K(X) je množina kompaktnih podskupova topološkog prostora X, a K[x, r] je oznaka za zatvorenu kuglu u metričkom prostoru. Na kraju, spomenimo jedan nama važan rezultat(vidi [3]:Propozicija.53): [ exp ] ( a x π ) d dx =, a R +. a 3

7 . L p PROSTORI Neka je i neka je p [1,. Definiramo prostor { } L p () := f C : f je izmjeriva i f p je sumabilna, s tim da poistovjećujemo funkcije koje su jednake (ss). Nadalje, definiramo i prostor L () := { f C : f je izmjeriva i postoji konačna konstanta } K takva da je f(x) K (ss), s tim da poistovjećujemo funkcije koje su jednake (ss). Iz nejednakosti ( α, β C) α + β p p 1 ( α p + β p ) slijedi da je za p [1, ] L p () kompleksan vektorski prostor. Za p [1, na L p () definiramo normu ( ) 1 f L p := f(x) p p dx, a na L () definiramo normu f L := inf { K R + 0 : f(x) K (ss) }. Prema definiciji infimuma imamo ( ( n N) f(x) f L + 1 ), n (ss) a odatle (jer je prebrojiva unija zanemarivih skupova zanemariv skup) imamo i (1) ( ( f L ()) f(x) f L ) (ss). Neka je sada p [1, ]. Ako je = 1, onda kažemo da je q konjugirani p q eksponent za p, tj. kažemo da su p i q (medusobno) konjugirani eksponenti. Lema.1 Za a, b R + 0 i λ 0, 1 vrijedi nejednakost a λ b 1 λ λa + (1 λ)b, pri čemu jednakost vrijedi ako i samo ako je a = b.

8 . L p prostori Tvrdnja je trivijalna ako je a = 0 ili b = 0. Za a, b > 0 tvrdnja slijedi logaritmiranjem uz korištenje stroge konkavnosti funkcije ln. Teorem. (Hölderova nejednakost) Neka su p, q [1, ] konjugirani eksponenti te neka je f L p (), g L q (). Tada je fg L 1 () i vrijedi () fgdx fg L 1 f L p g L q. Nadalje, prva nejednakost u () je jednakost ako i samo ako je f(x)g(x) = e iϕ f(x) g(x) (ss) za neki ϕ R. Konačno, ako je f 0, g 0 i p 1,, druga nejednakost u () je jednakost ako i samo ako je f(x) p = α g(x) q (ss) za neki α 0. Dokazujemo samo drugu nejednakost u () (odatle slijedi fg L 1 ()) i promatramo samo slučajeve jednakosti u toj drugoj nejednakosti, a ostalo smatramo poznatim iz teorije Lebesgueovog integrala. Traženi rezultat je očigledan ako je f = 0 ili g = 0, a u slučaju p {1, } lako se dokazuje uz pomoć (1). Neka je dakle f 0, g 0 i p 1,. Uvrštavanjem a := f(x) f L p u nejednakost iz Leme.1 dobivamo p, b := g(x) g L q q i λ := 1 p (3) f(x)g(x) f L p g L q f(x) p p f p dx + g(x) q q g q dx. Integriranjem nejednakosti (3) slijedi fg L 1 f L p g L q 1 p + 1 q = 1 5

9 . L p prostori i to je tražena nejednakost iz teorema, a jednakost vrijedi ako i samo ako u (3) vrijedi jednakost skoro svuda, a prema Lemi.1 to vrijedi ako i samo ako je Korolar.3 g q L q f(x) p = f p L p g(x) q (ss). Neka su p, q, r [1, ] takvi da je 1 p + 1 q = 1 r i neka je f Lp (), g L q (). Tada je fg L r () i vrijedi fg L r f L p g L q. Ako je p, q, r <, tvrdnja slijedi primjenom Teorema. na konjugirane eksponente p r i q r i funkcije f r L p r (), g r L q r (). U ostalim slučajevima tvrdnja lako slijedi uz pomoć (1). Korolar.4 (Interpolacijska nejednakost) Neka je 1 p < q i neka je f L p () L q (). Tada je ( r p, q ) f L r () i vrijedi f L r f α L p f 1 α L q, pri čemu je α 0, 1 jednoznačno dan s 1 r = α p + 1 α q. Neka je q <. Uz p 1 := p i q α 1 := q imamo 1 1 α p q 1 = 1 pa tvrdnja slijedi r primjenom Korolara.3 na funkcije f α i f 1 α. U slučaju q = tvrdnja lako slijedi uz pomoć (1). Uvodimo i kompleksan vektorski prostor { L p (; C c ) := f = (f 1,..., f c ) : C c } : f i L p (), i = 1,..., c, 6

10 . L p prostori s tim da poistovjećujemo funkcije koje su jednake (ss), i na njemu normu ( c ) 1 f L p := f i p p L za p < te f p L := max { f 1 L,..., f c L } za p =. i=1 Očito f n f u L p (; C c ) ako i samo ako za svaki i {1,..., c} (f n ) i f i u L p (). Nadalje, obično i L p (; C c ) označavamo jednostavno s L p (). U tekstu koristimo sljedeće dvije nevažne nedosljednosti. Prvo, za izmjerivu funkciju f : [0, ] kažemo da je u L p () ako je f p sumabilna za p < ( p := ), odnosno ako postoji konačna konstanta K takva da je f(x) K (ss) za p =. Za takvu funkciju je uvijek f(x) < (ss). Drugo, za izmjerivu funkciju f : \ Z C, gdje je Z zanemariv skup kažemo da je u L p () ako je u L p () njeno proširenje nulom na. Teorem.5 Neka je (f n ) Cauchyjev niz u L p (). f L p () takva da f n f L p da je lim m f nm (x) = f(x) (ss). Prvu tvrdnju teorema dokazujemo samo za p <. Tada postoji (jedinstvena) funkcija 0. Nadalje, postoji podniz (f nm ) takav Odaberimo n 1 N takav da je f n1 f n L p 1 za svaki n n 1. Nadalje, odaberimo n > n 1 takav da je f n f n L p 1 4 za svaki n n, i tako dalje. Dobivamo podniz (f nm ) takav da je f nm f nm+1 L p m, m N. Promotrimo sada rastući niz (F l ) nenegativnih funkcija na zadanih formulom F l (x) := l m=1 nejednakosti trokuta imamo f nm (x) f nm 1 (x), gdje uzimamo f n0 (x) := 0. Prema (4) l F l L p f n1 L p + (m 1) f n1 L p + 1, l N. m= Definirajmo na i nenegativnu funkciju F formulom F (x) := lim F l (x) l [0, ]. Prema (4), uz pomoć Teorema 1.1 (o monotonoj konvergenciji) za p <, slijedi da je F u L p (). Posebno je F (x) < (ss), tj. red (fnm (x) f nm 1 (x)) (u C) apsolutno konvergira za svaki x \ Z, gdje 7

11 . L p prostori je Z neki zanemariv skup. Tada taj red i konvergira, tj. možemo definirati funkciju f : \ Z C, f(x) := lim f nm (x). Ta funkcija je izmjeriva kao m limes (po točkama) niza izmjerivih funkcija. Nadalje, uz pomoć nejednakosti trokuta lako slijedi da je ( m N) ( x ) f nm (x) F m (x) F (x) i sada, uz pomoć Teorema 1.3 (o dominiranoj konvergenciji) za p <, slijedi da je f u L p (), tj. u L p () je proširenje funkcije f nulom na. To proširenje označimo takoder s f i time je druga tvrdnja teorema dokazana (ako dokažemo prvu za tu funkciju f). udući da je f nm (x) f(x) F (x) + f(x), to uz pomoć Teorema 1.3 (o dominiranoj konvergenciji) slijedi (za p < ) da f nm f L p 0. Konačno, iz nejednakosti f n f L p f n f nm L p + f nm f L p i činjenice da je (f n ) Cauchyjev niz slijedi (za p < ) da f n f L p 0. Definirajmo sada pojam slabe konvergencije u L p prostorima. Kao prvo, s L p () označimo kompleksan vektorski prostor svih neprekidnih linearnih funkcionala L : L p () C. Neka je sada (f n ) niz u L p (). Kažemo da (f n ) slabo konvergira prema f L p () i pišemo f n f u L p () ako je ( L L p () ) lim L(f n ) = L(f). n Očito je da (jaka) konvergencija u L p () povlači slabu konvergenciju u L p (). Ako su p, q [1, ] konjugirani eksponenti i ako je g L q (), onda se uz pomoć Teorema. (Hölderova nejednakost) lako dokazuje da je s L g (f) := g(x)f(x)dx definiran L g L p (). Postavlja se pitanje da li su na taj način dani svi elementi skupa L p (). Pokazuje se da je u slučaju p [1, odgovor potvrdan. Dakle, u slučaju p < vrijedi: f n f u L p () ako i samo ako ( g L q ()) lim gf n dx = gfdx, gdje je q konjugirani eksponent za p. n Teorem.6 Neka je p [1, i neka f n f u L p (). Tada je lim inf n f n L p f L p. 8

12 . L p prostori Promatrajmo funkcional L(h) = ghdx, gdje je g(x) := { f(x) p f(x), ako je f(x) 0 0, ako je f(x) = 0. Lako se pokazuje da je g L q (), gdje je q konjugirani eksponent za p. Sada uz pomoć Teorema. (Hölderova nejednakost) slijedi f p L p = L(f) = lim L(f n ) = lim L(f n ) g L q lim inf f n L p pa, jer f 0 = n n n g L q = f p 1 L, slijedi tvrdnja. p Teorem.7 Neka je (f n ) niz u L p () takav da je za svaki L L p () niz (L(f n )) omeden. Tada postoji C R + takav da je ( n N) f n L p < C. Teorem dokazujemo za p 1,, a slično se dokazuje i za p {1, }. Pretpostavimo suprotno, tj. da niz ( f n L p) nije omeden. Nadalje, bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je f n L p = 4 n. Naime, uvijek možemo izabrati podniz niza (f n ) (koji takoder označavamo s (f n )) takav da je f n L p 4 n i tada niz (F n ) zadan s F n := 4n f n L p f n zadovoljava pretpostavku teorema te je F n L p = 4 n, n N. Definirajmo sada funkcije T n : C, n N: { F n 1 p L T n (x) := F n(x) p F p n (x), ako je F n (x) 0 0, ako je F n (x) = 0. Nadalje, definirajmo brojeve σ n C, n N: σ 1 := 1 i dalje rekurzivno, tj. zahtijevamo da je σ n = 1 i da σ n T n F n dx ima isti argument kao n 1 j=1 3 j σ j T j F n dx. Prema tome, n 3 j σ j j=1 T j F n dx 3 n 9 T n F n dx = 3 n F n L p = ( ) n 4. 3

13 . L p prostori Definirajmo sada linearan funkcional L : L p () C formulom L(f) := 3 j σ j T j fdx. Uz pomoć Teorema. (Hölderova nejednakost) i činjenice j=1 da je ( n N) T n L q da je L neprekidan. Na kraju, L(F n ) = 1 (q je konjugirani eksponent za p) lako se pokazuje n 3 j σ j j=1 3 n 4 n 3 n 4 n ( T j F n dx = 1 j=n+1 3 j )4 n ( ) n 4 3 i to je kontradikcija s omedenošću niza (L(F n )). Uvedimo sada pojam konvolucije. Neka su f, g : C dvije funkcije. Definiramo njihovu konvoluciju, tj. funkciju f g formulom (f g)(x) := f(x y)g(y)dy (ukoliko navedeni integral postoji). Uz pomoć Teorema 1.5 (o zamjeni varijabli) lako se vidi da je uvijek kada je definirano f g definirano i g f te da je tada f g = g f. Teorem.8 Neka je j L 1 ( ), neka je supp j kompaktan i neka je jdx = 1. Nadalje, za ε R + definirajmo j ε (x) := ε d j ( ) x ε, tako da je j ε dx = 1 i j ε L 1 = j L 1. Neka je sada p [1, i neka je f L p ( ) te neka je f ε := j ε f. Tada vrijedi: (5) (6) f ε L p ( ) i f ε L p j L 1 f L p, f ε f u L p ( ) kad ε 0. Nadalje, ako je j C c (7) ( ), onda je f ε C ( ) i vrijedi D α f ε = (D α j ε ) f, gdje je D α g = α 1 1 α d d g za proizvoljan izbor nenegativnih cijelih brojeva α 1,..., α d. 10

14 . L p prostori Primjedba. Gornji teorem vrijedi i za f{ L p (). Tada naime možemo definirati f L p ( ) formulom f(x) f(x), ako je x := Nadalje, definiramo 0, ako je x c. f ε := j ε f. Sada vrijedi f ε L p () f ε L p ( ) j L 1 f L p = j L 1 f L p, tj. vrijedi prva tvrdnja teorema. Druga tvrdnja teorema vrijedi zbog f ε f L p f ε f L p. Ako je otvoren, vrijedi i treća tvrdnja teorema (s C () umjesto C ( ) i f umjesto f). Neka je J ε := j ε i F := f. Tada je f ε J ε F i prema Teoremu. (Hölderova nejednakost), Teoremu 1.4 (Fubini) i Teoremu 1.5 (o zamjeni varijabli) za p > 1 imamo (pritom pišemo J ε = J 1 q ε J 1 p ε, gdje je 1 p + 1 q = 1) (8) f ε p dx i (5) je dokazano. = [ ] p J ε (y)f (x y)dy dx R {( d ) p } q J ε dx J ε (y)f (x y) p dy dx = R ( d ) Rd 1+ p q J ε dx F p dx = j p L f p 1 L p Rd Za p = 1 dokaz je još jednostavniji (nije potrebna primjena Hölderove nejednakosti). Nadalje, slijedeći upravo provedeni dokaz uz pomoć Fubinijevog teorema zaključujemo da je (J ε F )(x) < (ss x ), tj. da je funkcija f ε dobro definirana skoro svuda. Rastavljanjem funkcije f na realni i imaginarni dio te daljnjim rastavljanjem na pozitivne i negativne dijelove lako se pokazuje da je (6) dovoljno dokazati za nenegativnu funkciju f L p ( ). Dakle, neka je f L p ( ) nenegativna funkcija i definirajmo niz (f n ) u L p ( ) formulom { f(x), ako je f(x) < n i x < n f n (x) := 0, inače. 11

15 . L p prostori Prema Teoremu 1.3 (o dominiranoj konvergenciji) dobivamo lim n f n f L p = 0 i dalje, prema (5), (f n ) ε f ε L p j L 1 f n f L p 0. Sada zbog nejednakosti f ε f L p f ε (f n ) ε L p + (f n ) ε f n L p + f n f L p slijedi da je (6) dovoljno dokazati za nenegativnu funkciju f koja je odozgo omedena nekom konstantom C R + i koja identički iščezava izvan kugle r := K(0, r) za neki r R +. Takva je funkcija očito u L ( ). Kako je f ε (x) C j L 1 (ss), za p > imamo f ε (x) f(x) p [C(1 + j L 1)] p f ε (x) f(x). Ako je pak p <, možemo iskoristiti činjenicu da za dovoljno mali ε f ε identički iščezava izvan kugle r+1 pa prema Korolaru.3 dobivamo (za dovoljno mali ε) f ε f L p λ d ( r+1 ) 1 p 1 fε f L. Dakle, (6) je dovoljno dokazati za p =. Sada j ε dx = 1 povlači f ε (x) f(x) = j ε (y)[f(x y) f(x)]dy pa R d slično kao u (8) dobivamo f ε f L j L 1 J ε (y)g(y)dy, gdje je G(y) := f(x)[f(x) f(x y)]dx. Tvrdimo da je tako definirana funkcija G : C neprekidna u y = 0. Ako to dokažemo, onda je (6) dokazano jer prema Teoremu. (Hölderova nejednakost) i Teoremu 1.5 (o zamjeni varijabli) imamo G(y) f L pa prema Teoremu 1.3 (o dominiranoj konvergenciji) dobivamo J ε (y)g(y)dy = J(y)G(εy)dy 0 kad ε 0 (J := j ). Dakle, trebamo dokazati da I(y) := f(x)f(x y)dx f dx kad y 0. Očito je I(y) f dx (Teorem.) pa je dovoljno pokazati da je lim inf I(y) f dx. Ako raspišemo tu nejednakost koristeći formulu f(x) = χ {f>t} (x)dt, uz pomoć Teorema 1.4 (Fubini) i Leme 1. y 0 R d 0 (Fatou) dobivamo da je dovoljno dokazati lim inf χ A (x)χ (x + y)dx y 0 χ A (x)χ (x)dx, gdje su A i proizvoljni orelovi skupovi konačne (Lebesgueove) mjere. Za svaki δ R + vrijedi ( O τ( ))( O & λ d (O \ ) δ). Prema tome, prema Teoremu 1.3 (o dominiranoj konvergenciji) i činjenici 1

16 . L p prostori da je ( x O) lim χ O (x + y) = χ O (x) = 1 dobivamo y 0 lim inf χ A (x)χ (x + y)dx lim inf χ A (x)χ O (x + y)χ (x)dx δ = y 0 y 0 R d = χ A (x)χ (x)dx δ i tako je tražena tvrdnja dokazana. Preostaje dokazati treću tvrdnju teorema. Dokazat ćemo da je i f ε = i j ε f i da je ta funkcija neprekidna. To će povlačiti da je f ε C 1 ( ), a budući da je i j ε C ( ), induktivno slijedi i f ε C ( ). No, pomoću Teorema. (Hölderova nejednakost) moguće je provjeriti uvjete Teorema 1.3 (o dominiranoj konvergenciji), tj. obje tražene tvrdnje slijede uz pomoć Teorema 1.3. Lema.9 (Urysohnova lema) Neka je Ω otvoren i neka je K Ω kompaktan. Tada postoji funkcija J K C c (Ω) takva da je J K (Ω) [0, 1] i da je ( x K) J K (x) = 1. Kako je K kompaktan, postoji ε > 0 takav da je K := {x : ( y K) x y ε} Ω (to slijedi iz činjenice da funkcija x d(x, Ω c ) postiže na K minimum m > 0 (neprekidna funkcija na kompaktu)). Sličnom tehnikom pokazuje se i to da su skupovi K i K+ := {x : ( y K) x y ε} Ω kompaktni. Fiksirajmo sada neku funkciju j C c ( ) takvu da je supp j K[0, 1], j( ) [0, 1] i jdx = 1 (vidi primjer na stranici 1). Konačno, definirajmo, kao u Teoremu.8, j ε (x) := ε d j ( x ε ) i J K := j ε χ K+. Prema primjedbi nakon Teorema.8 imamo J K C (Ω), a ostale tražene tvrdnje lako se provjeravaju (npr. supp J K K). Teorem.10 Neka je Ω otvoren, p [1, i f L p (Ω). Tada postoji niz (h n ) u C c (Ω) takav da h n f L p 0. 13

17 . L p prostori Kao prvo, prema primjedbi nakon Teorema.8 postoji niz (f n ) u C (Ω) L p (Ω) takav da f n f L p 0. Definirajmo sada rastući niz (K n ) kompaktnih skupova u Ω formulom K n := { x Ω : d(x, Ω c ) 1 i x n} te n ( n N) g n := J Kn, gdje je J Kn kao u Lemi.9. Na kraju, definirajmo niz (h n ) u Cc (Ω) formulom h n := g n f n. udući da je ( n N)(g n (Ω) [0, 1] & g n Kn = 1) te kako ( x Ω) ( n(x) N) x K n(x), uz pomoć Teorema 1.3 (o dominiranoj konvergenciji) slijedi h n f L p g n f n g n f L p + g n f f L p ( ) 1 f n f L p + f p p χ Ω\Kn dx 0. Ω Lema.11 (separabilnost L p prostorâ) Postoji prebrojiv skup funkcija F = {ϕ 1, ϕ,...} sa sljedećim svojstvom: ( p [1, )( f L p ())( ε R + )( ϕ n F) f ϕ n L p < ε. Na primjer, možemo uzeti F := { } (pχ K[0,n] ) : p P d [Q + iq], gdje n N je P d [Q + iq] skup svih polinoma na s koeficijentima oblika q 1 + iq, pri čemu su q 1, q Q. Tvrdnju je dovoljno dokazati za = jer svaku funkciju iz L p () možemo nulom proširiti do funkcije iz L p ( ). Dakle, neka su p [1,, f L p ( ) i ε R + zadani. Prema Teoremu.10 postoji funkcija g Cc ( ) takva da je f g L p < ε. Neka je n N takav da je supp g K[0, n]. Uz pomoć [4]:Teorem III.4.9 dobivamo da za svaki ε > 0 postoji polinom p s kompleksnim koeficijentima takav da vrijedi g pχ K[0,n] L ε ; pritom možemo uzeti p P d [Q + iq](jer svaki otvoren interval realnih brojeva sadrži racionalan broj). Sada prema Korolaru.3 imamo g pχ K[0,n] L p χ K[0,n] L p g pχ K[0,n] L λ d (K[0, n])ε 14

18 . L p prostori pa za dovoljno mali ε dobivamo f pχ K[0,n] L p f g L p + g pχ K[0,n] L p < ε i dokaz je gotov jer, iz činjenica da je Q prebrojiv te da su prebrojiva unija i konačan Kartezijev produkt prebrojivih skupova ponovno prebrojivi, lako slijedi da je skup F := { } pχ K[0,n] : p P d [Q + iq] prebrojiv. Teorem.1 n N Neka je p 1, i neka je (f n ) omeden niz u L p (). Tada postoji podniz (f nm ) i funkcija f L p () takvi da f nm f u L p (). Dokazujemo ( da postoji ) podniz (f nm ) takav da za svaki g L q () konvergira niz f nm gdx (q je konjugirani eksponent za p). Nakon toga je dokaz teorema gotov jer ako pripadni limes označimo s L(g), uz pomoć Teorema. (Hölderova nejednakost) lako se pokazuje da je time zadan L L q (), tj. da postoji f L p () takva da je ( g L q ()) L(g) = fgdx. Uz pomoć Hölderove nejednakosti slijedi (f nm f nl )gdx (f nm f nl )ϕ n dx +( f nm L p+ f nl L p) g ϕ n L q pa Lema.11 povlači da je dovoljno ( ) dobiti konvergenciju niza f nm ϕ n dx za svaku funkciju ϕ n iz Leme.11. ( ) Krenimo od niza f n ϕ 1 dx koji je omeden (prema Hölderovoj nejednakosti) i koji stoga ima konvergentan podniz f n1 (m)ϕ 1 dx s limesom C 1. ( ) ( ) Nadalje, promatramo omeden niz f n1 (m)ϕ dx i neki njegov konvergentan podniz f n (m)ϕ dx s limesom C, i tako dalje. Na kraju ( ) definiramo niz (f nm ) formulom f nm := f nm (m). Lako se provjeri da je ( n N) lim f nm ϕ n dx = C n. m 15

19 . L p prostori Teorem.13 (Youngova nejednakost) Neka je p, q, r [1, ], 1 p + 1 q + 1 r =, f Lp ( ), g L q ( ) i h L r ( ). Tada je f(x)(g h)(x)dx = f(x)g(x y)h(y)dxdy R R f L p g L q h L r. d d Primjedba. Primijetimo da je prema gornjem teoremu s f f(g h)dx zadan neprekidan linearan funkcional na L p ( ), tj. za p < postoji l L p ( )(p je konjugirani eksponent za p) takva da je ( f L p ( )) f(g h)dx = fldx. Posebno je g hdx = ldx za svaki takav da je λ d () < i sada lagano razmatranje teorije Lebesgueovog integrala(vidi [3]:Propozicija.3(b)) pokazuje da je u stvari (g h)(x) = l(x) (ss), tj. g h L p ( ). Za p = ta tvrdnja slijedi iz formule g h L 1 g L 1 h L 1, koja se lako dobiva pomoću Teorema 1.4 (Fubini) i Teorema 1.5 (o zamjeni varijabli). Nadalje, pokažimo da i za p < vrijedi formula g h L p g L q h Lr, koja se takoder naziva Youngova nejednakost (primijetimo da je = ). Za p = 1 formula g h q r p L g L q h L r slijedi uz pomoć Teorema. (Hölderova nejednakost). Konačno, promotrimo slučaj p 1,. Neka je za svaki x (g h)(x) = e iϕ(x) (g h)(x) i f(x) := e iϕ(x) (g h)(x) p p. Sada direktnim računom dobivamo f(x)(g h)(x)dx R = d f L p g h L p pa tražena tvrdnja slijedi uz pomoć gornjeg teorema. Dovoljno je dokazati nejednakost jer jednakost tada lako slijedi uz pomoć Teorema 1.4 (Fubini). Označimo dvostruki integral iz teorema s I(f, g, h). Traženu nejednakost dovoljno je dokazati za nenegativne funkcije f, g, h jer tada imamo I(f, g, h) I( f, g, h ) f L p g L q h L r. Neka su dakle f, g i h nenegativne funkcije, p, q, r [1, i neka su p, q i r konjugirani eksponenti za p, q i r redom. Označimo I(f, g, h) = α(x, y)β(x, y)γ(x, y)dxdy, gdje je α(x, y) = f(x) p r g(x y) q r, β(x, y) = 16

20 . L p prostori g(x y) q p h(y) r p i γ(x, y) = f(x) p q h(y) r q. Uz pomoć Teorema 1.4 (Fubini) i Teorema 1.5 (o zamjeni varijabli) lako slijedi α L r β L p = g q/p L q h r/p L i γ r L q = f p/q L p = f p/r L p g q/r L, q h r/q L r. Konačno, kako je 1 p = 1, uz pomoć Teorema. (Hölderova nejednakost), Korolara.3 i q r Teorema 1.4 (Fubini) dobivamo I(f, g, h) α L r βγ L r α L r β L p γ L q = = f L p g L q h L r. Ako je pak p =, q = ili r =, tražena nejednakost lako slijedi uz pomoć (1), Teorema 1.4 (Fubini) i Teorema 1.5 (o zamjeni varijabli). 6.7). Slijede dva teorema bez dokaza(za dokaze vidi [1]:Teorem 4.3 te [3]:Teorem Teorem.14 (nejednakost Hardy Littlewood Soboljeva) Neka su p, r 1,, λ 0, d za d N i neka je 1 + λ + 1 =. Tada p d r postoji konstanta C(d, λ, p) R + 0 takva da vrijedi (9) ( f L p ( )) ( h L r ( )) f(x) x y λ h(y)dxdy C(d, λ, p) f L p h L r. Ako je p = r = d, onda je najbolja ocjena u (9) dana s d λ Γ ( d C(d, λ, p) = C(d, λ) = π ) { ( λ λ Γ d )} 1+ λ d Γ ( ) (10). d λ Γ(d) U tom slučaju u (9) vrijedi jednakost ako i samo ako su f i h višekratnici funkcije (γ + (x a) ) d λ za neki γ R + i neki a. Teorem.15 (Riesz Thorin) Neka je 1 1, i neka su p 0, p 1, q 0, q 1 [1, ]. Nadalje, neka su p t i q t za t 0, 1 definirani formulama 1 p t := 1 t p 0 + t 1 p 1, q t := 1 t q 0 + t q 1. Ako je T : L p 0 ( 1 ) + L p 1 ( 1 ) L q 0 ( ) + L q 1 ( ) linearan operator takav da ( f L p 0 ( 1 )) ( M 0 R + 0 ) T f L q 0 M 0 f L p 0 i ( f L p 1 ( 1 )) ( M 1 R + 0 ) T f L q 1 M 1 f L p 1, onda ( t 0, 1 ) ( f L pt ( 1 )) T f L q t M0 1 t M1 f t L p t. 17

21 3. FOURIEROVA PRETVORA Neka je f L 1 ( ). Fourierova pretvorba funkcije f je funkcija f : C dana s f(k) := e πi(k,x) f(x)dx, gdje je (k, x) = d k i x i. i=1 Lako se dokazuje da je f neprekidna omedena funkcija, da je f L f L 1, da je preslikavanje f f linearno i da je (1) () τ h f(k) = e πi(k,h) f(k), h, δ λ f(k) = λ d f(λk), λ > 0, gdje je (τ h f)(x) = f(x h) i (δ λ f)(x) = f ( x λ). Neka su sada f, g L 1 ( ). Prema Teoremu 1.4 (Fubini) slijedi f g L 1 ( ) i (3) Teorem 3.1 f g(x) = = e πi(k,x) f(x y)g(y)dydx = e πi(k,y) g(y) e πi(k,x y) f(x y)dxdy = = f(k)ĝ(k). Za λ > 0 definiramo g λ : C formulom g λ (x) := exp [ πλ x ]. Tada je ĝ λ (k) = λ d exp [ π k /λ]. Prema () tvrdnju je dovoljno dokazati za λ = 1. Nadalje, budući da je g 1 (x) = d exp [ π(x i ) ], uz pomoć Teorema 1.4 (Fubini) zaključujemo da je i=1 tvrdnju dovoljno dokazati za d = 1. Dakle, ĝ 1 (k) = e πikx exp [ πx ] dx = g 1 (k)f(k), R

22 3. Fourierova pretvorba gdje je (4) f(k) = exp [ π(x + ik) ] dx. R Uz pomoć Teorema 1.3 (o dominiranoj konvergenciji) vidi se da u (4) možemo prijeći s derivacijom pod integral proizvoljno mnogo puta. Dakle, f C (R) i df (k) = πi dk = i R R (x + ik) exp [ π(x + ik) ] dx = d dx exp [ π(x + ik) ] dx = = i exp [ π(x + ik) ] tj.(uz pomoć formule sa stranice 3) ( k R) f(k) = f(0) = = 0, exp [ πx ] dx = 1. R Teorem 3. (Plancherel) Ako je f L 1 ( ) L ( ), onda je f L ( ) i vrijedi sljedeća Plancherelova formula: (5) f L = f L. Preslikavanje f f može se na jedinstven način proširiti do neprekidnog linearnog operatora s L ( ) u L ( ), kojeg takoder označavamo kao f f i za kojeg isto vrijedi Plancherelova formula (5). Konačno, za f, g L ( ) vrijedi sljedeća Parsevalova formula: (6) (f, g) := f(x)g(x)dx = f(k)ĝ(k)dk = ( f, ĝ). Neka je f L 1 ( ) L ( ). Kako je f L ( ), to je f(k) (7) exp [ επ k ] dk 19

23 3. Fourierova pretvorba konačan za ε > 0. udući da je f L 1 ( ), prema Fubinijevom teoremu funkcija (x, y, k) f(x)f(y) exp [ επ k ] je iz L 1 (R 3d ). Prema Fubinijevom teoremu i Teoremu 3.1 možemo (7) izraziti kao [ f(x)f(y)e πi(k,x y) exp ] επ k d(x, y, k) = gdje je R 3d = R d = h ε (x) := [ ] ε d π x y exp f(x)f(y)d(x, y) = ε h ε (x)f(x)dx, [ ] ε d π x y exp f(y)dy. ε Prema Teoremu.8 h ε f u L ( ) kad ε 0 i sada iz h ε (x)f(x)dx f(x) dx = (h ε f)fdx R R h ε f L f L d d (posljednja nejednakost slijedi iz Teorema. (Hölderova nejednakost)) slijedi da (7) konvergira prema f L kad ε 0. S druge strane, prema Teoremu 1.1 (o monotonoj konvergenciji) (7) konvergira prema f L kad ε 0, tj. f L = f L i posebno f L ( ). Neka je sada f L ( ). Prema Teoremu.10 L 1 ( ) L ( ) je gust u L ( ), tj. postoji niz (f n ) u L 1 ( ) L ( ) takav da f n f L 0. Prema (5) je f n f m L = f n f m L i stoga je ( f n ) Cauchyjev niz u L ( ), koji prema Teoremu.5 konvergira u L ( ) prema funkciji koju nazovimo f. Pretpostavimo sada da za neki drugi niz (g n ) u L 1 ( ) L ( ) koji konvergira u L ( ) prema f ĝ n ĝ u L ( ). Tada je, uz pomoć (5), ĝ f L ĝ ĝ n L + ĝ n f n L + f n f L = = ĝ ĝ n L + g n f n L + f n f L ĝ ĝ n L + g n f L + f f n L + f n f L 0, 0

24 3. Fourierova pretvorba tj. ĝ = f, tj. f ne ovisi o izboru niza (fn ). f f s L ( ) u L ( ). Nadalje, iz (5) slijedi i f L = lim n f n L = lim n f n L = f L. Dakle, dobili smo proširenje Linearnost tog proširenja lako slijedi iz linearnosti polaznog preslikavanja, a neprekidnost je sada ekvivalentna omedenosti, tj. slijedi iz Plancherelove formule. Konačno, jedinstvenost traženog proširenja slijedi iz činjenice da je L 1 ( ) L ( ) gust u L ( )(Teorem.10) i iz neprekidnosti traženog proširenja. Na kraju, Parsevalova formula (6) slijedi iz (5) i jednakosti (f, g) = 1 { f + g L i f + ig L (1 i) f L (1 i) g L }. Za f L ( ) funkcija f definirana Teoremom 3. naziva se takoder Fourierova pretvorba funkcije f. Pokazuje se da je preslikavanje f f bijekcija s L ( ) na L ( ). Sljedećim teoremom dana je eksplicitna formula za inverzno preslikavanje te bijekcije. Teorem 3.3 Za f L ( ) definiramo ˇf(x) := f( x), x. Tada je f = ( f)ˇ. Dokažimo prvo da za f L ( ) vrijedi sljedeća formula: (8) ĝ λ (y x)f(y)dy = g λ (k) f(k)e πi(k,x) dk, gdje je x, λ > 0, g λ (k) = exp [ πλ k ] i (prema Teoremu 3.1) ĝ λ (y x) = λ d exp [ π x y /λ]. U tu svrhu odaberimo (kao u dokazu Teorema 3.) niz (f n ) u L 1 ( ) L ( ) takav da f n f L 0. Za svaki n N, prema Fubinijevom teoremu za f n vrijedi (8), tj. vrijedi (9) ĝ λ (y x)f n (y)dy = g λ (k) f n (k)e πi(k,x) dk. 1

25 3. Fourierova pretvorba Imamo g λ, ĝ λ, f, f, f n, f n L ( ) i f n f L 0, a odatle prema Teoremu 3. (Plancherel) imamo i f n f L 0. Sada prema Teoremu. (Hölderova nejednakost) slijedi da integrali u (8) postoje (kao kompleksni brojevi) i da lijeva strana od (9) konvergira prema lijevoj strani od (8), a isto to vrijedi i za desne strane od (8) i (9). Tako je (8) dokazano. Lijeva strana od (8) (kao funkcija varijable x) teži, prema Teoremu.8, prema f u L ( ) kad λ 0. Sada vidimo da je dovoljno pokazati da desna strana od (8) (kao funkcija varijable x) teži prema ( f)ˇ u L ( ) kad λ 0. No, desna strana od (8) jednaka je (g λ f)ˇ(x) pa je prema Teoremu 3. (Plancherel) i Teoremu 1.5 (o zamjeni varijabli) dovoljno dokazati da g λ f f u L ( ) kad λ 0. To pak lako slijedi uz pomoć Teorema 1.3 (o dominiranoj konvergenciji). Teorem 3.4 (Hausdorff Youngova nejednakost) Neka je p 1, i neka je f L 1 ( ) L p ( ). Tada je (10) f L q f L p, gdje je 1 q = 1 1 p. Analogno kao u dokazu Teorema 3. (Plancherel) zaključujemo da se preslikavanje f f može na jedinstven način proširiti do neprekidnog linearnog operatora s L p ( ) u L q ( ), kojeg isto označavamo kao f f i za kojeg takoder vrijedi (10). Za f L p ( ) funkcija f definirana ovim teoremom naziva se takoder Fourierova pretvorba (u L p ( )) funkcije f. Konačno, zaključujemo da (10) vrijedi za svaki p [1, ] i za svaki f L p ( ). Vidi [6]:stranice Primjedba. Neka je 1 < p < q i neka je f L p ( ) L q ( ). Uz pomoć Teorema.15 (Riesz Thorin) lako se pokazuje da f ne ovisi o tome da li na f gledamo kao na funkciju iz L p ( ) ili kao na funkciju iz L q ( ).

26 3. Fourierova pretvorba Teorem 3.5 Neka je f L p ( ), g L q ( ) i neka je r nadalje da je p, q, r [1, ]. Tada je f g = fĝ. = 1 p + 1 q. Pretpostavimo Prema primjedbi nakon Teorema.13 (Youngova nejednakost) vrijedi f g L r ( ). Neka su p, q i r konjugirani eksponenti za p, q i r redom. Prema Teoremu 3.4 vrijedi f L p ( ), ĝ L q ( ), f g L r ( ), i prema tome, prema Korolaru.3, vrijedi fĝ L r ( ). Ako je dodatno f, g L 1 ( ), onda je tražena tvrdnja dokazana pod (3). U protivnom odaberimo (kao u dokazu Teorema 3.) niz (f n ) u L 1 ( ) L p ( ) takav da f n f L p 0 i niz (g n ) u L 1 ( ) L q ( ) takav da g n g L q 0. Sada prema (3), Teoremu 3.4, primjedbi nakon Teorema.13 (Youngova nejednakost) i Korolaru.3 imamo f g fĝ L r f g f n g n L r + f n g n f n ĝ n L r + f n ĝ n fĝ L r f g f n g n L r + f n ĝ n fĝ L r = = f (g g n ) + (f f n ) g n L r + f n (ĝ n ĝ) + ( f n f)ĝ L r f L p g g n L q + f f n L p g n L q + + f n L p ĝ n ĝ L q + f n f L p ĝ L q ( f L p + f n L p) g g n L q + f f n L p ( g n L q + g L q) 0 i odatle slijedi tražena tvrdnja. Teorem 3.6 Neka je f Cc ( ), neka je α 0, d i neka je c α := π α Γ ( ) α. Tada je c α ( k α f(k))ˇ(x) = cd α x y R α d f(y)dy, x, gdje se operator ˇ d definira kao u Teoremu 3.3 i za funkcije koje nisu iz L ( ). Krećemo od elementarne formule (11) c α k α = 0 exp [ π k λ ] λ α 1 dλ, k \ {0}. 3

27 3. Fourierova pretvorba Pokazuje se da je funkcija k k α f(k) iz L 1 ( ) i sada uz pomoć (11), Fubinijevog teorema, Teorema 3.5 i Teorema 3.3 imamo { c α ( k α f(k))ˇ(x) = e πi(k,x) exp [ π k λ ] } λ α 1 dλ f(k)dk = = { 0 [ e πi(k,x) exp π k λ ] } f(k)dk λ α 1 dλ = = 0 λ d λ α 1 { [ exp π x y /λ ] } f(y)dy dλ = 0 = c d α x y d+α f(y)dy. Korolar 3.7 Neka je α 0, d, neka je f L p ( ), gdje je p = d i neka je c d+α α kao u Teoremu 3.6. Tada je funkcija g := c d α x α d f iz L ( ) i vrijedi ĝ = c α k α f. Takoder, c α k α f(k) dk = c d α f(x)f(y) x y α d dydx. Prema Teoremu.10 postoji niz (f n ) u C c ( ) takav da f n f L p 0. Uz pomoć Teorema.14, koristeći Fubinijev teorem, činjenicu (koja se može provjeriti uz pomoć (11)) da vrijedi (1) ( α, β, α + β 0, d ) z α d y z β d dz = c d α β c α c β c α+β c d α c d β y α+β d i Teorem 1.5 (o zamjeni varijabli), pokazuje se da je g L ( ). Analogno se može vidjeti da su i funkcije g n := c d α x α d f n iz L ( ) kao i činjenica da g n g L 0. Sada uz pomoć Teorema 3.4 dobivamo f n f L q 0, gdje je q = d d α, i ĝ n ĝ L 0. Prema Teoremu.5 postoje nadalje 4

28 3. Fourierova pretvorba podnizovi ( f nm ) i (ĝ nm ) takvi da je lim fnm (k) = f(k) (ss) i lim ĝ nm (k) = ĝ(k) m m (ss). Konačno, prema Teoremu 3.6 imamo ) ĝ(k) = lim ĝ nm (k) = lim (c α k α fnm (k) = c α k α lim fnm (k) = m m m = c α k α f(k) (ss), tj. ĝ = c α k α f. Prema Plancherelovoj formuli (Teorem 3.) i upravo dokazanoj jednakosti imamo c α k α f(k) dk = ĝ L = g L i sada posljednja tvrdnja teorema slijedi uz pomoć Fubinijevog teorema, formule (1) i Teorema 1.5 (o zamjeni varijabli). 5

29 4. DISTRIUCIJE U ovom paragrafu definiramo distribucije za proizvoljan neprazni otvoren skup Ω u, iako će nam u daljnjem trebati samo slučaj Ω =. Kompleksan vektorski prostor test funkcija D(Ω) = Cc (Ω) opremljen je sljedećim pojmom konvergencije: niz (ϕ n ) konvergira u D(Ω) prema funkciji ϕ D(Ω) ako i samo ako postoji kompaktan skup K Ω takav da je za svaki n N supp(ϕ n ϕ) K i da za svaki izbor nenegativnih cijelih brojeva α 1,..., α d vrijedi α 1 1 α d d ϕ n α 1 1 α d d ϕ uniformno na K. Pritom činjenica da niz neprekidnih funkcija (ψ n ) konvergira uniformno na K prema ψ znači da sup ψ n (x) ψ(x) 0. x K Distribucija T je neprekidan linearan funkcional na D(Ω), T : D(Ω) C, s tim da neprekidnost znači da iz ϕ n ϕ u D(Ω) slijedi T (ϕ n ) T (ϕ). Distribucije tvore kompleksan vektorski prostor D (Ω), dualni prostor za D(Ω). U D (Ω) uvodimo sljedeći pojam konvergencije: niz distribucija (T n ) konvergira u D (Ω) prema T D (Ω) ako za svaku ϕ D(Ω) niz (T n (ϕ)) konvergira prema T (ϕ). Najistaknutiji primjer distribucija su one koje potječu od funkcija i koje onda poistovjećujemo s funkcijama. U tu svrhu uvodimo kompleksan vektorski prostor L 1 loc (Ω), L 1 loc(ω) := { f C Ω : f je izmjeriva i ( K K(Ω)) f K L 1 (K) }, s tim da poistovjećujemo funkcije koje su jednake (ss). Pomoću Teorema. (Hölderova nejednakost) lako se dokazuje da je ( p [1, ]) L p (Ω) L 1 loc (Ω). Neka je dakle f L1 loc (Ω). Za svaku ϕ D(Ω) definirano je T f (ϕ) := fϕdx i T f je očito linearan funkcional na D(Ω). Dokažimo da je Ω T f distribucija, tj. da je neprekidan. No, ako ϕ n ϕ u D(Ω), vrijedi T f (ϕ) T f (ϕ n ) = (ϕ(x) ϕ n (x))f(x)dx Ω sup ϕ(x) ϕ n (x) x K f(x) dx 0 K

30 4. Distribucije (zbog uniformne konvergencije niza (ϕ n )). Dakle, T f D (Ω) i kažemo da je distribucija T f funkcija f, a ta terminologija bit će opravdana sljedećim teoremom. Prije toga spomenimo samo još jedan važan primjer distribucije, tzv. Diracovu delta funkciju δ x za proizvoljni x Ω, δ x (ϕ) := ϕ(x). Teorem 4.1 Neka su f i g iz L 1 loc (Ω) i neka je T f = T g, tj. ( ϕ D(Ω)) Ω Tada je f = g, tj. f(x) = g(x) (ss). fϕdx = Ω gϕdx. Za n N definiramo Ω n := { x Ω : K [ } x, n] 1 Ω i to je otvoren skup. Neka je j Cc ( ) takva da je supp j K[0, 1] i jdx = 1. Definirajmo j n (x) := n d j(nx). Fiksirajmo N N. Ako je n N, onda iz uvjeta teorema uz ϕ(y) = j n (x y) dobivamo ( x Ω N ) (j n f)(x) = (j n g)(x). Slično kao u primjedbi nakon Teorema.8 slijedi j n f f i j n g g u L 1 loc (Ω N) (tj. u L 1 (K) za svaki K K(Ω N )). Prema tome, f(x) = g(x) (ss x Ω N ). Na limesu N slijedi tvrdnja. Sada ćemo definirati pojam distribucijske ili slabe derivacije. Neka je T D (Ω) i neka su α 1,..., α d nenegativni cijeli brojevi. Definirajmo distribuciju α 1 1 α d d T, kraće označenu s Dα T, gdje je α = d i=1 ( ϕ D(Ω)) (D α T )(ϕ) := ( 1) α T (D α ϕ), α i i D α ϕ = α 1 1 α d d ϕ. i T označava D α T u slučaju kada je α i = 1 i α j = 0 za j i, a T označava ( 1 T,..., d T ), tj. to je distribucijski gradijent distribucije T. Ako je f C α (Ω), onda klasičnom parcijalnom integracijom dobivamo (D α T f )(ϕ) := ( 1) α Ω (Dα ϕ)fdx = Ω (Dα f)ϕdx =: T D α f(ϕ). Dakle, pojam slabe derivacije proširuje pojam klasične derivacije i podudara se s njim u slučaju kada postoje neprekidne klasične parcijalne derivacije dotičnog reda. Nadalje, glavna vrlina teorije distribucija je u tome što je u tom slabom 7

31 4. Distribucije smislu svaka distribucija beskonačno puta derivabilna. Takoder, primijetimo da distribucijska derivacija funkcije ne mora nužno biti funkcija. Dokažimo još da je D α T zaista distribucija. D α T je očito linearan funkcional pa preostaje za dokazati njegovu neprekidnost. Neka ϕ n ϕ u D(Ω). Tada i D α ϕ n D α ϕ u D(Ω) jer je supp(d α ϕ n D α ϕ) supp(ϕ n ϕ) K i jer D β (D α ϕ n ) = D β+α ϕ n D β+α ϕ = D β (D α ϕ) uniformno na K. Dakle, neprekidnost od T daje (D α T )(ϕ n ) = ( 1) α T (D α ϕ n ) ( 1) α T (D α ϕ) = (D α T )(ϕ) i imamo D α T D (Ω). Definirajmo sada produkt ψt funkcije ψ C (Ω) i distribucije T D (Ω): ( ϕ D(Ω)) (ψt )(ϕ) := T (ψϕ). Da je ψt D (Ω) slijedi lako iz činjenice da ϕ n ϕ u D(Ω) povlači da ψϕ n ψϕ u D(Ω). Iz definicije distribucijske derivacije i Leibnizove formule za C funkcije ( i (ψϕ) = ϕ i ψ + ψ i ϕ) lako se dobiva produktno pravilo za derivaciju distribucije ψt : (1) i (ψt ) = ψ( i T ) + ( i ψ)t. Uvedimo sada za naše potrebe prostor I 1,p (Ω), p [1, ]. Teorem 4. I 1,p (Ω) := { f L 1 loc(ω) : f L p (Ω) }. Neka je f I 1,p (Ω), p [1,. Tada je f I 1,p (Ω) i { 1 (R(x) R(x) + I(x) I(x)), ako je f(x) 0 f (x) ( f )(x) = 0, ako je f(x) = 0; ovdje R i I označavaju realni i imaginarni dio funkcije f. Posebno, ako je f realna, f(x), ako je f(x) > 0 ( f )(x) = f(x), ako je f(x) < 0 0, ako je f(x) = 0. 8

32 4. Distribucije Vidi [1]:Teorem Korolar 4.3 Neka su f i g realne funkcije iz I 1,p (Ω), p [1,. Tada su funkcije x min{f(x), g(x)} i x max{f(x), g(x)} takoder iz I 1,p (Ω) i g(x), ako je f(x) > g(x) () min{f(x), g(x)} = f(x), ako je f(x) < g(x) f(x) = g(x), ako je f(x) = g(x), f(x), ako je f(x) > g(x) (3) max{f(x), g(x)} = g(x), ako je f(x) < g(x) f(x) = g(x), ako je f(x) = g(x). Iz formula min{f(x), g(x)} = 1 [f(x)+g(x) f(x) g(x) ] i max{f(x), g(x)} = 1[f(x) + g(x) + f(x) g(x) ] te Teorema 4. slijedi sve što se traži ako dokažemo (4) f(x) = g(x) Definirajmo funkciju h : Ω C, (ss x {y Ω : f(y) = g(y)}). h(x) := max{f(x) g(x), 0} = 1 [f(x) g(x) + f(x) g(x) ]. Prema Teoremu 4. h(x) = 1 ( (f g))(x) ako je f(x) = g(x), a zbog h = h, opet prema Teoremu 4., h(x) = h (x) = 0 ako je f(x) g(x). Dakle, slijedi (4). Korolar 4.4 Neka je f realna funkcija iz I 1,p (Ω), p [1,. Tada je f(x) = 0 (ss x {y Ω : f(y) = 0}). Tvrdnja slijedi iz (4) za g = 0. 9

33 4. Distribucije Spomenimo na kraju jedan važan rezultat (koji će nam trebati u 7, a koji nije baš tako lako dokazati(vidi [1]:Teorem 6.11)). Teorem 4.5 Neka je T D (Ω), gdje je Ω povezan i neka je i T = 0 za i = 1,..., d. Tada postoji konstanta C C takva da je ( ϕ D(Ω)) T (ϕ) = C ϕ(x)dx. Ω 30

34 5. SOOLJEVLJEV PROSTOR H 1 ( ) Funkcija f : C je iz H 1 ( ) ako je f L ( ) i ako je njen distribucijski gradijent f funkcija iz L ( ). Prisjetimo se da f L ( ) znači da postoji d skalarnih funkcija b 1,..., b d iz L ( ), f = (b 1,..., b d ), takvih da za svaki ϕ D( ) vrijedi ϕ f(x) (x)dx = x i Prostor H 1 ( ) je linearan, a uz normu b i (x)ϕ(x)dx, i = 1,..., d. ( ) 1 f H 1 = f(x) dx + f(x) dx, gdje je f(x) = d b i (x) taj prostor je anachov, dapače Hilbertov i=1 (norma zadovoljava relaciju paralelograma). Lema 5.1 Neka je f H 1 ( ) i neka je ψ C ( ) omedena funkcija s omedenim (prvim) parcijalnim derivacijama. Tada je ψf H 1 ( ) i u D ( ) vrijedi (1) x i (ψf) = ψ x i f + ψ f x i. Formula (1) slijedi iz produktnog pravila 4(1), a ψf H 1 ( ) slijedi iz (1) i omedenosti ψ i njenih derivacija. Teorem 5. (Gustoća skupa C c ( ) u H 1 ( )) Ako je f H 1 ( ), onda postoji niz funkcija (f (i) ) u C c ( ) takav da f f (i) H 1 0.

35 5. Soboljevljev prostor H 1 ( ) Neka je j : R + 0 iz C c ( ) takva da je jdx = 1 i neka je za ε > 0 j ε (x) := ε d j ( x ε ), kao u Teoremu.8. Sada prema tom teoremu, budući da su f i f iz L ( ), f ε := j ε f f i g ε := j ε f f u L ( ) kad ε 0. Dakle, ako je g ε = f ε, imamo f ε f u H 1 ( ). I zaista, g ε = f ε prema Teoremu.8(7) i činjenici da vrijednosti pripadnih konvolucija u točki možemo pročitati kao djelovanje distribucije funkcije na odgovarajuću test funkciju. Prema Teoremu.8 f ε C ( ), no mi trebamo funkcije iz Cc ( ). Da bismo to postigli krenimo od funkcije k : [0, 1] iz Cc ( ) takve da je k(x) = 1 za x 1 (takva funkcija postoji prema Urysohnovoj lemi (Lema.9)). Definirajmo za i N g (i) (x) := k ( ) x i f(x). Prema Lemi 5.1 g (i) H 1 ( ) i g (i) (x) = 1f(x) k ( ) ( x i i + k x ) i f(x). Nadalje, ako označimo C := max{ i k(x) : x, i = 1,..., d}, prema Teoremu 1.3 (o dominiranoj konvergenciji) vrijedi f g (i) L f(x) dx 0 i f g (i) L x >i Dakle, g (i) f u H 1 ( ). C c x >i f(x) dx + dc i f L f L + dc i f L 0. Konačno, za i N definirajmo f (i) (x) := k ( ) x i f 1 (x). To su funkcije iz i ( ) i tvrdimo da f (i) f u H 1 ( ). No, f f (i) L f g (i) L + g (i) f (i) L f g (i) L + f f 1 L 0 i i f f (i) L f g (i) L + g (i) f (i) L ( f g (i) L + f f 1 L + i + dc i f f 1 i L f f 1 i ) 1 L + dc i f f 1 L i 0 (jer f 1 i f u H 1 ( )). 3

36 5. Soboljevljev prostor H 1 ( ) Teorem 5.3 Neka je f I 1, ( ). Tada vrijedi () f (x) dx f(x) dx. Prema Teoremu 4. je f I 1, ( ) i { 1 (R(x) R(x) + I(x) I(x)), ako je f(x) 0 f (x) ( f )(x) = 0, ako je f(x) = 0; ovdje R i I označavaju realni i imaginarni dio funkcije f. Sada se uz pomoć Korolara 4.4 lako uočava sljedeća jednakost f I R R I dx + dx = f f 0 f dx, a odatle očito slijedi (). Teorem 5.4 (Fourierova karakterizacija prostora H 1 ( )) Neka je f L ( ). k k f(k) iz L ( ). Ako je tako, onda je f(k) = πik f(k) i prema tome Tada je f H 1 ( ) ako i samo ako je funkcija f H 1 = Pretpostavimo prvo da je f H 1 ( ). f(k) (1 + 4π k )dk. Prema Teoremu 5. postoji niz (f (i) ) u C c ( ) koji konvergira prema f u H 1 ( ). Zbog f (i) C c ( ) klasičnom parcijalnom integracijom odmah dobivamo f (i) (k) = πik f (i) (k). Prema dokazu Teorema 3. (Plancherel) f (i) f i f (i) f u L ( ). Dvostrukim prijelazom na podniz prema Teoremu.5, možemo dobiti da te obje konvergencije budu konvergencije skoro svuda. Dakle, πik f (i) (k) f(k) (ss) i πik f (i) (k) πik f(k) (ss). Prema tome, f(k) = πik f(k). 33

37 5. Soboljevljev prostor H 1 ( ) Pretpostavimo sada da je funkcija k k f(k) iz L ( ). To znači da je i funkcija ĥ(k) := πik f(k) iz L ( ). Neka je nadalje h := (ĥ)ˇ L ( ) i ϕ Cc ( ). Tvrdimo (i onda je dokaz gotov) da je h = f ili, što je isto, da je h = f, tj. da je f ϕdx = hϕdx. No, koristeći Parsevalovu formulu (Teorem 3.) i gore dobivenu formulu za f (i), pa prema tome i za ϕ, dobivamo f ϕdx πi R d f ϕdx = = f(x)x ϕ(x)dx = = ĥ ϕdx = hϕdx. 34

38 6. SOOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI Općenito Soboljevljeva nejednakost znači ocjenu nižih derivacija funkcije u ovisnosti o njenim višim derivacijama. Mi ćemo ovdje dokazati samo jedan osnovni i jednostavan primjer Soboljevljeve nejednakosti. Za iskaz te nejednakosti potrebna nam je definicija prostora D 1, ( ): funkcija f : C je u D 1, ( ) ako je u L 1 loc (Rd ), ako je njen distribucijski gradijent f funkcija iz L ( ) i ako f iščezava u beskonačnosti u smislu da {x : f(x) > a} ima konačnu mjeru za svaki a > 0. Lako se vidi da je H 1 ( ) D 1, ( ) I 1, ( ). Teorem 6.1 (Soboljevljeva nejednakost) Za d 3 neka je f D 1, ( ). Tada je f L ( ), gdje je = vrijedi sljedeća nejednakost: d d i (1) gdje je () S d = d(d ) 4 f L S d f L, ( ) S d d(d ) d = d π 1+ 1 d + 1 d d Γ 4 ( S d je ploština jedinične sfere S d +1 ). U (1) vrijedi jednakost ako i samo ako je f višekratnik funkcije (µ + (x a) ) (d ), gdje su µ R + i a proizvoljni. Primjedba. Slična nejednakost vrijedi za L p norme funkcije f za svaki p 1, d, tj. f L p C p,d f L p, gdje je 1 p 1 p = 1 d. G y (x) := [ (d ) S d 1 ] 1 x y d je Greenova funkcija za Laplaceov operator, tj. G y = δ y. Koristit ćemo oznake (G g)(x) = G y (x)g(y)dy i (f, g) = f(x)g(x)dx.

39 6. Soboljevljeve nejednakosti Naš cilj je dokazati nejednakost (3) (f, g) f L(g, G g) za f H 1 ( ) L ( ) i g L p ( ), gdje je p konjugirani eksponent za 1, tj. + 1 = 1. Ako to dokažemo, onda imamo (1) jer prema Teoremu. p (Hölderova nejednakost) slijedi f L = sup{ (f, g) : g L p 1}, i dakle, zbog (3), f L f L sup{(g, G g) : g L p 1} što je konačno prema Teoremu.14 i odatle odmah slijedi (1) za f H 1 ( ) L ( ). Prvo ćemo nejednakost (3) dokazati za f H 1 ( ) L ( ) i g L p ( ) L ( ). udući da su f i g iz L ( ), Parsevalova formula (Teorem 3.) daje (4) (f, g) = ( f, ĝ) = ( k f(k) )( ) k 1 ĝ(k) dk. Prema Korolaru 3.7 imamo h(k) := c d 1 ( x 1 d g ) b (k) = c1 k 1 ĝ(k). Prema Teoremu 3. (Plancherel) i Teoremu.14, koristeći Teorem 1.4 (Fubini) i činjenicu da je(vidi 3(1)) z 1 d y z 1 d dz = c d c 1 y d, c c d 1 dobivamo da je h iz L ( ) i sada, kad u (4) primijenimo Teorem. (Hölderova nejednakost) dobivamo gornju medu ( k f(k) dk ) 1 ( Rd ) 1 k ĝ(k) dk. Prvi faktor te mede jednak je (π) 1 f L prema Teoremu 5.4 (Fourierova karakterizacija prostora H 1 ( )), a drugi faktor jednak je π(g, G g) 1 prema Korolaru 3.7. Tako smo dokazali (3) za f H 1 ( ) L ( ) i g L p ( ) L ( ). Prema Teoremu.10 L p ( ) L ( ) je gust u L p ( ) pa pomoću aproksimirajućeg niza, koristeći Teorem.14 lako dobivamo da (3) vrijedi za 36

40 6. Soboljevljeve nejednakosti g L p ( ). Ako sada uzmemo g := f f L p ( ), iz (3) i Teorema.14(9),(10) izlazi (5) gdje je f L f L ( f f, G ( f f )) e d f L f ( 1) L, e d = [ (d ) S d 1 ] ( 1 d d π [Γ )] 1 { Γ ( d ) Γ(d) } d Koristeći činjenicu da je d [ ( S d 1 = π Γ d )] 1 i duplikacijsku formulu za Γ funkciju, tj. ( Γ(z) = (π) 1 z 1 Γ(z)Γ z + 1 ) dobivamo (1) i () za f H 1 ( ) L ( ). Da bismo pokazali da (1) vrijedi za f D 1, ( ), primijetimo prvo da prema Teoremu 5.3 možemo pretpostaviti da je f nenegativna funkcija. Promatrajmo sada funkciju f c (x) := min { max{f(x) c, 0}, 1 }, c gdje je c > 0 konstanta. udući da je f c omedena i da skup na kojem ona ne iščezava ima konačnu mjeru, slijedi f c L ( ) L ( ). Nadalje, prema Korolaru 4.3 f c (x) = f(x) za svaki x za koji je c < f(x) < x + 1 c, a inače je f c (x) = 0. Dakle, f c H 1 ( ) L ( ), tj. za f c vrijedi (1). Sada prema (1) i Teoremu 1.1 (o monotonoj konvergenciji) imamo f L = lim c 0 f c L S d lim c 0 f c L = S d f L, tj. f L ( ) i vrijedi (1). Na isti način vidi se da (5), tj. () vrijedi za svaku nenegativnu funkciju iz D 1, ( ). Činjenica da (5) vrijedi za svaku funkciju iz D 1, ( ) može se iskoristiti da se utvrde svi slučajevi jednakosti u (1). Da bi u (1) pa dakle i u (5) vrijedila jednakost, nužno je da f f povlači jednakost u nejednakosti iz Teorema.14, primijenjenoj u (5), tj. f mora biti višekratnik funkcije (µ + (x a) ) (d ), gdje su µ R + i a proizvoljni. Uvrštavanje pokazuje da funkcije tog tipa zaista daju jednakost u (1). 37.

41 7. JEDNA PRIMJENA SOOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI f nm i ϕdx = i f nm ϕdx = Niz (f n ) u D 1, ( ) konvergira slabo prema f D 1, ( ) ako(definicija!) i f n i f u L ( ) za i = 1,..., d. Sada ćemo iskoristiti Teorem 6.1 (Soboljevljeva nejednakost) da dokažemo kako slaba konvergencija u D 1, ( ) za d 3 povlači (jaku) konvergenciju na skupovima konačne mjere u L p ( ) za p [1,, i konvergenciju skoro svuda na podnizu. Teorem 7.1 Neka je (f n ) niz u D 1, ( ) za d 3 i neka i f n v i u L ( ) za i = 1,..., d. Tada je (v 1,..., v d ) =: v = f za neku jedinstvenu funkciju f D 1, ( ). Nadalje, neka je i neka je λ d () <. Tada χ f n χ f u L p ( ) za p [1,. Prvo dokazujemo da je niz (f n ) omeden u L ( ). To slijedi iz Teorema.7 prema kojem je niz ( f n ) omeden u L ( ) i zatim iz Teorema 6.1 (Soboljevljeva nejednakost). Prema tome, prema Teoremu.1 imamo podniz (f nm ) takav da f nm f u L ( ). Sada dokazujemo da f n f u L ( ). Uzmimo prvo bilo koji podniz (f nl ) takav da f nl g u L ( ). Prema definiciji slabe konvergencije u L p prostorima ( (1) ( ϕ Cc ( )) f i ϕdx = lim m R d ) = lim m v i ϕdx, a slično računamo i za g, tj. (f g) i ϕdx = 0 što znači da je i (f g) = 0 za i = 1,..., d. Prema Teoremu 4.5 f g je konstanta, a budući da su f, g L ( ), ta konstanta jednaka je nuli (tako se dokazuje i u teoremu tražena jedinstvenost). Dakle, svaki podniz niza (f n ) koji u L ( ) slabo konvergira

42 7. Jedna primjena Soboljevljeve nejednakosti ima isti slabi limes f i, prema tome f n f u L ( ) (u suprotnom, postojao bi L L ( ) takav da nije istina L(f n ) L(f), tj. postojao bi ε > 0 takav da bi ( n 0 N) ( n n 0 ) L(f n ) / K(L(f), ε), tj. postojao bi podniz (f nk ) takav da bi ( k N) L(f nk ) / K(L(f), ε), ali prema Teoremu.1 postoji podniz (f nk(j) ) takav da f nk(j) f u L ( ) i tu je kontradikcija). Konačno, prema (1) je f = v. Neka je sada i neka je λ d () <. Tvrdimo da je () ( f D 1, ( )) ( t R + ) χ (f e t f) L f L t, gdje je (e t f)(x) := (4πt) d } x y exp { f(y)dy 4t (posljednji integral postoji prema Teoremu. (Hölderova nejednakost) i Teoremu 6.1). Prvo dokazujemo () za f H 1 ( ). Prema Teoremu 3.5, njegovom dokazu te Teoremu 3.1 imamo e t f L ( ) i e t f(k) = exp[ 4π k t] f(k) pa sada prema Parsevalovoj formuli (Teorem 3.) slijedi f e t f L = f e t f L = f e t f L = = f(k) (1 exp[ 4π k t]) dk f(k) (1 exp[ 4π k t])dk. Konačno, iz činjenice da je 1 exp[ 4π k t] 4π k t pomoću Teorema 5.4 slijedi f e t f L f L t pa tražena tvrdnja slijedi iz Teorema 3. (Plancherel). Rastavljanjem funkcije f na realni i imaginarni dio pomoću Teorema 5.3 (daljnjim rastavljanjem na pozitivne i negativne dijelove) zaključujemo da je dovoljno dokazati () za nenegativnu funkciju f D 1, ( ). Promatrajmo sada funkciju { f c (x) := min max{f(x) c, 0}, 1 }, c 39

43 7. Jedna primjena Soboljevljeve nejednakosti gdje je c > 0 konstanta. U dokazu Teorema 6.1 pokazali smo da je f c H 1 ( ) i da je lim f c L = f L. Nadalje, prema Lemi 1. (Fatou) c 0 dobivamo lim inf f c e t f c L f e t f L. Sve zajedno, dokazali smo c 0 (). Primijetimo još da smo dobili i (za t R + ) ( f D 1, ( )) f e t f L ( ). U cilju da dokažemo drugu tvrdnju teorema, dokažimo prvo da za, λ d () < i f D 1, ( ) vrijedi χ f L p ( ) za p [1,. To lako slijedi iz činjenice da je f L ( ) (Teorem 6.1) i Teorema. (Hölderova nejednakost). Dokažimo sada drugu tvrdnju teorema za p =. Prema Teoremu.7 ( n N) f n L < C za neki konačni C > 0. Prema () čitamo χ (f n e t f n ) L C t. Pretpostavimo da za svaki t R + g n := χ e t f n g := χ e t f u L ( ) i dokažimo traženu tvrdnju. Očito je χ (f n f) L χ (f n g n ) L + χ (g n g) L + χ (g f) L. Prema () i Teoremu.6 koji povlači da je f L lim inf f n L imamo sada χ (f n f) L C t + χ (g n g) L. Konačno, za dani ε R + izaberimo t > 0 takav da je C t < ε i zatim n 0 N takav da je ( n n 0 ) χ (g n g) L < ε. Tada je ( n n 0) χ (f n f) L < ε i tražena tvrdnja je dokazana. Ostaje dokazati da g n g u L ( ). Kao prvo, prema Teoremu. (Hölderova nejednakost) imamo (3) ( g n (x) (4πt) d exp [ y q/4t ] dy n ) 1 q fn L χ (x), gdje je 1 q = 1 1 i odatle slijedi ( n N) g n L ( ), a na isti način se vidi i g L ( ). Analogno kao (3) dobivamo (4) ( g n (x) g(x) (4πt) d exp [ y q/4t ] dy 40 ) 1 q ( fn L + f L ) χ (x).