Definicija 1. Naj bo f : D odp R funkcija. Funkcija F : D odp R je primitivna funkcija funkcije f, če je odvedljiva in če velja F = f.
|
|
- Πτοοφαγος Ζάνος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Nedoločeni integral V tem razdelku si bomo pogledali operacijo, ki je na nek način inverzna odvajanju. Za dano funkcijo bomo poskušali poiskati neko drugo funkcijo, katere odvod bo ravno dana funkcija. Nekatere fizikalne zglede verjetno že poznamo, ne da bi se dejansko zavedali, da v ozadju stoji integriranje. Pri študiju enakomerno pospešenega gibanja ali pa pri obravnavi gibanja pri poševnem metu znamo natanko opisati, kako se spreminja položaj točke. V obeh primerih dobimo rešitev z dvakratnim integriranjem pospeška ki je v omenjenih primerih konstanten). Bolj splošno lahko v preprostih primerih iz klasične mehanike gibanje sistemov določimo z integriranjem ustreznih funkcij, ki nastopajo v Newtonovem zakonu, v bolj kompliciranih primerih pa je treba rešiti diferencialno enačb. V splošnem je integriranje precej težje kot odvajanje, zato si v praksi pomagamo z računalniki, ki nam omogočajo numerično integracijo funkcij in diferencialnih enačb. Za motivacijo si poglejmo še geometrijsko interpretacijo nedoločenega integrala. Vemo že, da nam odvod funkcije pove, kakšen je njen naklon v dani točki. Če torej hočemo dano funkcijo integrirati, moramo poiskati neko drugo funkcijo, ki ima v vsaki točki predpisan naklon. Takšna funkcija ni ena sama, saj lahko s prištetjem poljubne konstante dobimo neko drugo funkcijo, ki ima v vsaki točki isti naklon. Če želimo, da je naklon funkcije konstanten, že vemo, da temu pogoju ustrezajo linearne funkcije V bolj kompliciranih primerih si lahko mislimo, da dana funkcija določa neko polje silnic, naša naloga pa je, da poiščemo družino funkcij, katerih grafi se dotikajo polja silnic. Iskanje trajektorij mehanskih sistemov večinoma temelji na tem geometrijskem principu, le da se stvari dogajajo v višjih dimenzijah. Definicija 1. Naj bo f : D odp R funkcija. Funkcija F : D odp R je primitivna funkcija funkcije f, če je odvedljiva in če velja F = f. Trditev. Če sta F in G dve primitivni funkciji funkcije f : a, b) R, je F G konstantna funkcija. 1
2 Dokaz. Po predpostavki je F G) = F G = f f = 0. Iz razdelka o odvodu že vemo, da je funkcija, ki ima ničeln odvod na intervalu a, b), konstantna. Torej obstaja konstanta C, da je F x) = Gx) + C za poljuben x a, b). Če je funkcija f v zgornji trditvi namesto na intervalu a, b) definirana na odprti množici D, funkcija F G ni nujno konstantna, ampak samo lokalno konstantna na D. Dve primitivni funkciji neke dane funkcije se torej razlikujeta kvečjemu za lokalno konstantno funkcijo. Ker pa je odvod lokalno konstantne funkcije enak nič, lahko primitivni funkciji prištejemo poljubno lokalno konstantno funkcijo, pa bomo spet dobili primitivno funkcijo. Trditev 3. Naj bo F primitivna funkcija funkcije f : D odp R. Za poljubno lokalno konstantno funkcijo C : D odp R je potem tudi funkcija F + C primitivna funkcija funkcije f. Če ima funkcija f kakšno primitivno funkcijo, jih ima torej neskončno, parametriziramo pa jih lahko z množico vseh lokalno konstantnih funkcij. Množico vseh primitivnih funkcij funkcije f imenujemo nedoločeni integral funkcije f in jo označimo z fx). Naš cilj pri integriranju funkcij se tako zreducira na iskanje ene same primitivne funkcije dane funkcije f. Če nam jo uspe najti, rezultat zapišemo v obliki fx) = F x) + C, kjer je F neka konkretna primitivna funkcija funkcije f, C pa poljubna lokalno konstantna funkcija. Pri računanju nedoločenih integralov si pomagamo z raznimi metodami oziroma algoritmi. S pomočjo našega predznanja o odvodih elementarnih funkcij lahko takoj napišemo tabelo elementarnih integralov, ki se jih velja zapomniti na pamet. Za integriranje bolj kompliciranih funkcij lahko nato uporabimo metodo integracije po delih ali pa si pomagamo z uvedbo nove spremenljivke. V splošnem je to vse, kar imamo na razpolago, res pa je, da obstajajo posebni algoritmi za integracijo racionalnih, iracionalnih, eksponentnih in pa kotnih funkcij. Če kakšne funkcije ne znamo integrirati analitično kar se zgodi dokaj pogosto), lahko vsaj približno izračunamo integral z numeričnimi metodami. Najprej si poglejmo tabelo nedoločenih integralov, ki jo lahko prepišemo neposredno iz tabele odvodov.
3 Zgled Tabela elementarnih integralov). 1) x r = xr+1 r C, r R \ { 1}, = ln x + C, x ) a x = ax + C, a 0, ) \ {1}, ln a e x = e x + C, 3) sin x = cos x + C, cos x = sin x + C, 4) cos = tg x + C, x sin = ctg x + C, x 5) = arc sin x + C, 1 x 6) = arc tg x + C, 1 + x 7) x + a = ln x + ) x + a + C, a > 0, x x a = ln + x a + C, a > 0. Pravilnost vseh teh integralov lahko preverimo z odvajanjem, malce bolj podrobno pa si poglejmo samo integral funkcije fx) = 1 x. Iz razdelka o odvodu že vemo, da za x > 0 velja ln x) = 1 x. Ker naravni logaritem ni definiran za negativna realna števila, si poglejmo funkcijo F x) = ln x, katere domena je odprta množica R\{0}. y f x ln x x 1 Na intervalu, 0) je F x) = ln x), zato je tam F x) = 1 x) x) = 1 x. 3
4 To pomeni, da je F primitivna funkcija funkcije f na odprti množici R\{0}, zato je = ln x + C. x Ker je v tem primeru množica R\{0} unija intervalov, 0) in 0, ), je lokalno konstantna funkcija C oblike { C1 ; x < 0, C = C ; x > 0, kjer sta C 1 in C poljubni konstanti. Situacija je podobna tudi v primerih 4) in 7), kjer je treba upoštevati, da domene funkcij niso intervali. V večini primerov želimo seveda integrirati funkcijo, ki je ni v zgornji tabeli. Pri tem nam je v pomoč nekaj pravil za integriranje. Dobili jih bomo, tako da bomo pravila za odvod vsote, produkta in pa kompozituma prebrali v obratni smeri. Trditev 4 Linearnost nedoločenega integrala). Če imata f, g : Dodp R primitivni funkciji, potem ima za poljubna α, β R tudi funkcija αf + βg primitivno funkcijo in velja αfx) + βgx)) = α fx) + β gx). Dokaz. Dokazi pri trditvah o integralih so praviloma lažji kot pri podobnih trditvah o odvodih. Če sta F in G primitivni funkciji funkcij f oziroma g, potem iz enakosti αf + βg) = αf + βg sledi, da je αf + βg primitivna funkcija funkcije αf + βg. Od tod sledi tudi linearnost nedoločenega integrala. Zgled. Iz linearnosti nedoločenega integrala sledi, da je nedoločeni integral polinoma P x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 enak P x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 1, x n+1 = a n n a x n n 1 n a x 1 + a 0x + C. Primitivna funkcija polinoma stopnje n je polinom stopnje n+1 določen do prostega člena natančno). Iz formule za odvod produkta fg) = f g + fg lahko izpeljemo pravilo za integracijo po delih oziroma per partes. 4
5 Trditev 5 Integracija po delih). Naj bosta f, g : D odp R dve odvedljivi funkciji. Če ima funkcija f g primitivno funkcijo, potem ima tudi funkcija fg primitivno funkcijo in velja fx)g x) = fx)gx) f x)gx). Dokaz. Za dokaz enakosti iz trditve je dovolj pokazati, da sta odvoda leve in desne strani enaka. Odvod leve strani enakosti je po definiciji nedoločenega integrala enak fx)g x) ) = fx)g x). Po drugi strani pa iz pravila za odvod produkta sledi fx)gx) f x)gx) ) = fx)gx)) f x)gx), = f x)gx) + fx)g x) f x)gx), = fx)g x). Pravilo za integracijo po delih pogosto pišemo v obliki z diferenciali u dv = uv v du. Pri tem uporabljamo oznake u = fx), v = gx), du = f x) in pa dv = g x). Če želimo uporabiti pravilo integracije po delih, moramo torej integrand zapisati v obliki u dv. Intuicijo, kaj se splača vzeti za u in kaj za dv, si pridobimo z integracijsko prakso, ponavadi pa se pri izbiri u in dv ravnamo po načelu: u... funkcija, ki se pri odvajanju poenostavi. dv... izraz, ki ga znamo integrirati. Tipični primeri funkcij, ki jih lahko integriramo po delih, so produkti polinomov s kotnimi, eksponentnimi in logaritemskimi funkcijami. Seveda pa lahko s to metodo rešimo tudi kakšen bolj kompliciran integral. 5
6 Zgled. 1) x n ln x : Vzemimo u = ln x in dv = x n. Potem sledi du = xn+1 x in v = n+1 + C. Ker potrebujemo nek konkreten v, lahko zaradi enostavnosti izberemo C = 0. Tako dobimo x n ln x = xn+1 ln x x n+1 n + 1 n x = xn+1 ln x x n n + 1 n + 1, = xn+1 ln x xn+1 n + 1 n + 1) + C, = xn+1 ln x 1 ) + C. n + 1 n + 1 Zgornji izračun je veljaven za vse n 1. V primeru n = 1 lahko integral izračunamo z uvedbo nove spremenljivke, še posebej pa izpostavimo primer n = 0, ki nam pove, da je integral logaritemske funkcije enak ln x = x ln x 1) + C. ) x sin x : V tem primeru znamo obe funkciji tako integrirati kot odvajati. Se pa linearna funkcija pri odvajanju poenostavi, zato bomo raje vzeli u = x in dv = sin x, kar nam da du = in v = cos x. Sledi x sin x = x cos x + cos x = x cos x + sin x + C. 3) x e x : V tem primeru bomo dvakrat uporabili pravilo integracije po delih. Obakrat bomo odvajali polinom, integrirali pa eksponentno funkcijo: x e x = x e x xe x, ) = x e x xe x e x, = e x x x + ) + C. 6
7 Zadnje pravilo, ki ga bomo obravnavali, je formula za uvedbo nove spremenljivke v nedoločeni integral. Formalno je to analog verižnega pravila pri odvajanju. Trditev 6 Uvedba nove spremenljivke). Če je F : D odp R primitivna funkcija funkcije f : D R in je g : E odp D odvedljiva funkcija, potem ima tudi funkcija f g) g primitivno funkcijo in sicer fgx))g x) = F gx)) + C. Dokaz. Z uporabo verižnega pravila dobimo, da je odvod desne strani enakosti enak F gx)) + C) = F gx))g x) = fgx))g x), in je torej enak odvodu leve strani. Intuitivno si lahko predstavljamo, da nam funkcija g določa zamenjavo koordinat bolj bo to jasno, ko bomo spoznali integrale funkcij večih spremenljivk). Če uvedemo novo spremenljivko t = gx), je potem dt = g x), enakost iz trditve pa se prepiše v ft) dt = F t) + C. Enakost iz trditve ni nič drugega kot definicija nedoločenega integrala, pogledana v ustreznih koordinatah. Če sumimo, da bi lahko dano funkcijo integrirali z uvedbo nove spremenljivke, najprej pogledamo, kako izgleda funkcija v novih koordinatah. Če znamo, dobljeno funkcijo integriramo, rezultat pa na koncu prepišemo v prvotnih koordinatah. Podobno kot pri integraciji po delih pa moramo tudi pri uvedbi nove spremenljivke najprej sami rešiti nekaj primerov, da dobimo dober občutek. Zgled. 1) x a : Ta integral bi sicer lahko kar uganili, formalno pa ga izračunamo z uvedbo nove spremenljivke t = x a, kar nam da dt =. Sledi dt x a = = ln t + C = ln x a + C. t 7
8 ) a + x : Uvedimo novo spremenljivko t = x a. Potem je dt = a in a + x = 1 a 1 + ) x = 1 dt a 1 + t = 1 arc tgt) + C, a a = 1 x ) a arc tg + C. a Zgornji rezultat je veljaven za a 0. V primeru a = 0 pa že vemo, da je x = 1 x + C. Vidimo, da je odvisnost nedoločenega integrala od parametra a precej nestabilna v okolici vrednosti a = 0. Če vrednost le malo spremenimo, se nedoločeni integral precej spremeni. 3) tg x : Tokrat vzemimo t = cos x, kar nam da dt = sin x. Dobimo dt tg x = = ln t + C = ln cos x + C. t Domena funkcije tangens je neskončna unija odprtih intervalov, zato je lokalno konstantna funkcija C v tem primeru določena s števno družino konstant {C k } po eno za vsak interval). Pravila, ki smo jih spoznali do zdaj, so bolj ali manj vse, s čimer si lahko v splošnem pomagamo pri integraciji funkcij. Čeprav v tem trenutku to morda še ni razvidno, je integriranje precej težje kot odvajanje. Kasneje bomo pokazali, da ima vsaka zvezna funkcija primitivno funkcijo, kljub temu pa večine funkcij ne znamo integrirati z analitičnimi metodami. Najbolj znan primer je Gaussova funkcija fx) = e x, katere primitivne funkcije ne moremo izraziti z elementarnimi funkcijami. Zaradi njene pomembnosti pa ustrezen večkratnik primitivne funkcije Gaussove funkcije označimo z erf in ji rečemo Gaussova funkcija napake f x erf x f x e x x 1 1 x 1 V nadaljevanju razdelka si bomo pogledali nekaj razredov funkcij, ki jih lahko integriramo s pomočjo znanih algoritmov. 8
9 Integrali racionalnih funkcij Racionalne funkcije lahko v principu vedno integriramo, je pa lahko to dokaj hitro precej zamudno početje. I) Integrali tipa A x a) k V tem primeru je k poljubno naravno število, a pa poljubno realno število. Ločimo primera k = 1 in pa k, ki ju lahko oba izračunamo z uvedbo nove spremenljivke t = x a, da dobimo A x a) k = A + C, k, k 1)x a) k 1 A = A ln x a + C. x a II) Integrali tipa Mx+N x +px+q Predpostavimo sedaj, da je imenovalec racionalne funkcije nerazcepen kvadratni polinom Qx) = x + px + q. To pomeni, da je D = p 4q < 0. Zapišimo najprej imenovalec Q v temenski obliki kjer smo uvedli oznaki x + px + q = x + p ) p 4 + q, = x + p ) 4q p +, 4 = x + p ) D + 4, = t + k, 4q p k =, 4 t = x + p. Z uvedbo nove spremenljivke v integral dobimo Mx + N Mt p x + px + q = M + N t + k dt, t dt = M t + k + N p ) M Spomnimo se, da je desni integral enak N p ) M dt t + k = N p M ) 1 k arc tg t k 9 dt t + k. ) + C,
10 medtem ko lahko levi integral izračunamo z uvedbo s = t + k ds = t dt), ki nam da t dt M t + k = M ds s = M ln s + C. Rezultat je torej enak ) Mx + N x + px + q = M N pm lnx + px + q) + arc tg x + p + C. 4q p 4q p Te formule se seveda nima smisla učiti na pamet, splača pa se zapomniti glavne ideje v izpeljavi rezultata. III) Integral splošne racionalne funkcije P x) Qx) Za integracijo bolj kompliciranih racionalnih funkcij imamo na voljo dva postopka. Lahko jih s pomočjo razcepa na parcialne ulomke prevedemo na bolj preproste funkcije in nato integriramo vsak del posebej, lahko pa uporabimo nastavek. 1. korak: V vsakem primeru moramo najprej števec in imenovalec zdeliti in nato racionalno funkcijo zapisati v obliki P x) Rx) = Sx) + Qx) Qx). Pri tem je S kvocient polinomov P in Q, R pa ostanek pri deljenju P s Q, kar pomeni, da je stopnja polinoma R manjša od polinoma stopnje Q. Tako dobimo P x) Rx) Qx) = Sx) + Qx). Polinom S že znamo integrirati, racionalno funkcijo R Q, ki ima števec nižje stopnje kot imenovalec, pa integriramo po postopku, ki ga bomo spoznali v nadaljevanju.. korak: Pomagali si bomo z osnovnim izrekom algebre, ki pove, da lahko vsak polinom zapišemo kot produkt linearnih funkcij s kompleksnimi koeficienti. Posledica tega je, da lahko vsak realen polinom razcepimo kot produkt linearnih in pa nerazcepnih kvadratnih členov obojih z realnimi koeficienti). To pomeni, da lahko števec Q razcepimo v obliki Qx) = Ax x 1 ) α1 x x n ) αn x + p 1 x + q 1 ) β1 x + p m x + q m ) β m, kjer so {x 1, x,..., x n } različne realne ničle polinoma Q, a k stopnja ničle x k, polinomi x + p l x + q l pa so nerazcepni kvadratni realni polinomi. Na tem koraku se nam že lahko pojavijo prve težave, saj je v splošnem polinome težko razcepiti. V odvisnosti od oblike razcepa imamo sedaj na voljo dva postopka. Oba sicer zmeraj delujeta, ponavadi pa se splača ravnati 10
11 po naslednjem načelu. Če ima polinom Q samo linearne faktorje ali pa kvečjemu kvadratne faktorje na prvo potenco, poskusimo z razcepom na parcialne ulomke. Če ima Q kvadratne faktorje na višje potence, poskusimo racionalno funkcijo integrirati s pomočjo nastavka. Razcep na parcialne ulomke Recimo, da je m = 0, kar pomeni, da polinom Q nima nerazcepnih kvadratnih faktorjev in je torej oblike Racionalno funkcijo Rx) Qx) ulomkov oblike Qx) = Ax x 1 ) α1 x x n ) α n. lahko potem zapišemo kot vsoto parcialnih Rx) Qx) = A 11 x x 1 ) + A 1 x x 1 ) + + A 1α 1 x x 1 ) α A 1 x x ) + A x x ) + + A α x x ) α A n1 x x n ) + A n x x n ) + + A nα n x x n ) α n. Brez dokaza omenimo, da zmeraj obstajajo enolično določene konstante {A ij }, ki zadoščajo zgornji enakosti. Izračunamo pa jih lahko, tako da damo desno stran na skupni imenovalec, nato pa primerjamo števca leve in desne strani. Pri tem dobimo sistem linearnih enačb, ki se ga da enolično rešiti. Ko nam uspe racionalno funkcijo razcepiti na parcialne ulomke, lahko zapišemo Rx) Qx) = A 11 x x A nαn x x n ) α n. Integrale na desni smo že izračunali v I), kar pomeni, da v principu znamo integrirati racionalne funkcije, katerih števci razpadejo na linearne faktorje. Lahko pa to opravilo postane dokaj zamudno, če moramo integrale računati na roke. Če ima racionalna funkcija Rx) Qx) v imenovalcu tudi nerazcepne kvadratne faktorje, lahko uporabimo podobno shemo, le da moramo dodati še analogne sumande za kvadratne faktorje, konstante A ij v števcih pa zamenjamo z linearnimi členi B ij x + C ij. 11
12 Zgled. 4x + 1 x + 1) x ) : V tem primeru je racionalna funkcija takšne oblike, da deljenje ni potrebno, prav tako pa je imenovalec že zapisan v obliki produkta linearnih členov. Razcepimo najprej dano funkcijo na parcialne ulomke 4x + 1 x + 1) x ) = A 11 x A 1 x + 1) + A 1 x, = A 11x + 1)x ) + A 1 x ) + A 1 x + 1) x + 1), x ) = x A 11 + A 1 ) + x A 11 + A 1 + A 1 ) + A 11 A 1 + A 1 ) x + 1). x ) S primerjavo koeficientov polinomov v števcu pridemo do sistema treh enačb za tri neznanke: A 11 + A 1 = 0, A 11 + A 1 + A 1 = 4, A 11 A 1 + A 1 = 1. Sistematično rešujemo sisteme linearnih enačb z Gaussovim algoritmom, ki ga bomo spoznali v drugem semestru. Če pa neznank ni prav veliko, pa lahko sisteme rešujemo tudi z zaporedno eliminacijo spremenljivk. V našem primeru dobimo rešitev A 11 = 1, A 1 = 1 in A 1 = 1. Sledi 4x + 1 x + 1) x ) = x x + 1) + x, = ln x ln x + C. x + 1 Integracija s pomočjo nastavka Kot smo videli v dosedanjih primerih, dobimo pri integraciji racionalnih funkcij kot rezultat neko kombinacijo racionalnih funkcij, logaritmov in pa funkcije arc tg. V splošnem uporabimo to idejo, da uganemo obliko rešitve do konstant natančno, nato pa z odvajanjem in reševanjem sistema enačb še poračunamo te konstante. Naj bo kot prej Qx) = Ax x 1 ) α1 x x n ) αn x + p 1 x + q 1 ) β1 x + p m x + q m ) β m. 1
13 Nedoločeni integral Rx) Qx) potem izračunamo s pomočjo nastavka Rx) Qx) = A s x s + A s 1 x s A 1 x + A 0 x x 1 ) α 1 1 x x n ) αn 1 x + p m x + q m ) βm 1 + Pri tem je + B 1 ln x x B n ln x x n + + C 1 lnx + p 1 x + q C m lnx + p m x + q m )+ ) ) x + p1 x + pm + D 1 arc tg + + D m arc tg + C. D1 Dm s = α 1 1) + + α n 1) + β 1 1) + + β m 1) 1, kar pomeni, da ima polinom v števcu racionalne funkcije v nastavku za ena manjšo stopnjo kot polinom v imenovalcu. V nastavku dobimo od vsakega linearnega faktorja polinoma Q po en logaritem, od vsakega kvadratnega faktorja pa po en logaritem in po en arc tg. Izkaže se, da je integral poljubne racionalne funkcije takšne oblike, seveda pri primernih vrednostih konstant A 1,..., A s, B 1,..., B n, C 1,..., C m, D 1,..., D m. Te konstante izračunamo, tako da desno stran najprej odvajamo, dobljeni odvod izenačimo z Rx) Qx) in nato rešimo sistem enačb. Zgled. 1) 1 + x ) : Deljenje in faktorizacija tudi v tem primeru nista potrebna. Glede na naše oznake je n = 0, m = 1 in β 1 =, zato bomo uporabili nastavek x + 1) = Ax + B ) x x D ln1 + x ) + E arc tg + C. 4 Če konstant ni veliko, jih ponavadi označimo kar s črkami z začetka abecede. Z odvajanjem zgornje enakosti dobimo x ) = Ax + 1) xax + B) 1 + x ) + Dx 1 + x + E 1 + x, = Ax + A Bx + Dx1 + x ) + E1 + x ) 1 + x ), = x3 D) + x A + E) + x B + D) + A + E) 1 + x ). Dobimo sistem štirih enačb za štiri neznanke: D = 0, A + E = 0, B + D = 0, A + E = 1, 13
14 ki ima rešitev A = 1, B = 0, D = 0 in E = 1. Sledi x + 1) = x 1 + x ) + 1 arc tg x + C. x 3 + 7x + 8x + 4 ) x + x + ) : Tokrat uporabimo nastavek x 3 + 7x + 8x + 4 x + x + ) = Ax + B x + x + +D lnx +x+)+e arc tg Z odvajanjem zgornje enakosti dobimo x 3 + 7x + 8x + 4 x + x + ) = Ax + x + ) Ax + B)x + ) x + x + ) + x + Dx + ) x + x + + ) +C. E x + x +, = Ax + x + ) Ax + B)x + ) + Dx + ) + E)x + x + ) x + x + ), = x3 D) + x A + 6D + E) + x B + 8D + E) + A B + D + E) x + x + ). Od tod dobimo sistem štirih enačb za štiri neznanke: D =, A + 6D + E = 7, B + 8D + E = 8, A B + 4D + E = 4, ki ima rešitev A = 0, B = 1, D = 1 in E = 1. Sledi x 3 + 7x + 8x + 4 x + x + ) = Integrali nekaterih iracionalnih funkcij 1 x + x + +lnx +x+)+arc tg x + 1)+C. Izmed iracionalnih funkcij se bomo omejili na takšne, ki imajo v imenovalcu kvadratni koren kvadratnega polinoma. Takšne funkcije se pogosto pojavijo pri integraciji enačb gibanja fizikalnih sistemov z eno prostostno stopnjo. I) Integrali tipa x +px+q 1 Integrand fx) = je definiran, kjer je kvadratni polinom x +px+q x +px+q pozitiven. Če je le-ta nerazcepen, je to povsod, sicer pa sestoji domena 14
15 funkcije f iz dveh polneskončnih intervalov. Podobno kot pri integraciji racionalnih funkcij tudi tukaj najprej zapišimo x + px + q = x + p ) 4q p +, 4 = t + h, kjer je h = 4q p 4 in t = x + p. Če je h = 0, je izraz pod korenom popoln kvadrat, zato nas bo bolj zanimal primer h 0. Iz tabele nedoločenih integralov v tem primeru preberemo, da je x + px + q = dt t t + h = ln + t + h + C, II) Integrali tipa = ln x + p + x + px + q + C. x +px+q V tem primeru ima kvadratni polinom pod korenom negativno predznačen vodilni člen, zato bo integrand definiran kvečjemu na enem intervalu, če bo diskriminanta kvadratnega polinoma pozitivna. Rezultat bo precej drugačen kot v prejšnjem primeru. Predpostavimo, da je D = p + 4q > 0 in pišimo x + px + q = x p ) p + 4q +, 4 = x p + e ), kjer je e = p +4q = e 1 t ), 4 in t = x p e. Od tod dobimo x + px + q = e dt e 1 t ) = dt 1 t, ) x p = arc sin t + C = arc sin + C, e ) x p = arc sin + C. p + 4q III) Integrali tipa P x) ax +bx+c Za konec si poglejmo še malo bolj splošen primer, ko je P polinom stopnje n 1. Ta integral lahko izračunamo s pomočjo nastavka P x) ax + bx + c = Qx) ax + bx + c + K ax + bx + c, 15
16 kjer je Q nek polinom stopnje n 1, K pa konstanta. Koeficiente polinoma Q in pa vrednost konstante K dobimo z odvajanjem zgornje enakosti in pa z reševanjem tako dobljenega sistema linearnih enačb. Nato nam še preostane, da izračunamo integral ax + bx + c. Ta integral lahko prevedemo na enega izmed že obravnavanih integralov. Če je a > 0, izpod korena izpostavimo a, če pa je a < 0, pa a = a. V primeru a = 0 je člen pod korenom linearen, integral pa lahko izračunamo z uvedbo nove spremenljivke t = bx + c. Zgled. α x : Integral najprej prepišemo v obliko α x = α x α x, ki nam omogoča, da uporabimo nastavek. V tem primeru se nastavek glasi α x α x = Ax + B) α x + K α x. Z odvajanjem te enakosti dobimo α x α x = A α x Ax + B) x) + K + α x α x, = Aα x ) xax + B) + K α x, = x A) + x B) + Aα + K) α x S primerjavo koeficientov polinomov v števcu pridemo do sistema treh enačb za tri neznanke A = 1, B = 0, Aα + K = α, ki ima rešitev A = 1, B = 0 in K = 1 α. V primeru II) smo že izračunali, da je x ) α x = arc sin + C. α Rezultat se torej glasi α x = x α x + 1 x α arc sin + C. α) 16
17 Integrali nekaterih kotnih funkcij Za konec si poglejmo še nekaj enostavnih zgledov integralov kotnih funkcij. I) Integrali tipa sin m x in cos m x Izračunali bomo samo integral potence funkcije sinus. Podobno idejo lahko uporabimo tudi za integriranje potenc funkcije kosinus. Ločili bomo dva primera. 1) m = k + 1 je liho število: Integral bomo rešili z uvedbo spremenljivke t = cos x, kar pomeni, da je dt = sin x. Sledi sin sin m x = x ) k sin x = 1 cos x) k sin x = 1 t ) k dt, kar pomeni, da smo integral prevedli na integral polinoma, ki pa ga znamo integrirati. ) m = k je sodo število: V tem primeru bomo uporabili adicijski izrek za kotne funkcije. Zapišemo lahko namreč ) 1 cos x k sin m x = sin x) k =. S tem smo integral prevedli v obliko ) 1 cos x k sin m x =, kjer kotna funkcija cos nastopa z najvišjo potenco k = m. Z uvedbo nove spremenljivke t = x dobimo integral linearne kombinacije potenc funkcije cos. Lihe potence lahko integriramo kot v primeru 1), pri sodih potencah pa induktivno razpolavljamo potence, dokler je potrebno. Zgled. cos 4 x : Računajmo ) 1 + cos x cos 4 x = = cos x + cos x), 4 = cos x + 1 cos x, = 1 4 x sin x ) 1 + cos 4x, 4 = 1 4 x sin x cos 4x,
18 = 1 4 x sin x x sin 4x, 4 = 3x sin x sin 4x C Integrala funkcij cos x in cos 4x bi lahko rešili z uvedbo nove spremenljivke, lahko pa jih tudi kar uganemo. II) Integrali tipa sin m x cos n x V tem primeru se ravnamo po naslednjih navodilih: Če je m lih, uporabimo substitucijo t = cos x. Če je n lih, uporabimo substitucijo t = sin x. Če sta m in n oba soda, z uporabo formul za dvojne kote znižamo potence. Zgled. 1) sin 3 x cos 3 x : Uporabili bomo substitucijo t = sin x dt = cos x ), od koder sledi sin 3 x cos 3 x = t 3 1 t ) dt = t4 4 t6 6 + C = sin4 x 4 sin6 x 6 + C. ) sin x cos x : V tem primeru bomo uporabili formulo sin x = sin x cos x. Računajmo sin x cos x = 1 sin x = 1 1 cos 4x = 1 1 cos 4x), = x sin 4x + C
Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NIKA HREN INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 203 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA - RAČUNALNIŠTVO NIKA HREN Mentor: izr.
Διαβάστε περισσότεραMatematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Διαβάστε περισσότεραD f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,
Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga
Διαβάστε περισσότεραFunkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.
II. FUNKCIJE 1. Osnovni pojmi 2. Sestavljanje funkcij 3. Pregled elementarnih funkcij 4. Zveznost Kaj je funkcija? Definicija Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA II Maribor, 2016 Kazalo Uvod v linearno algebro 1 1.1 Matrike................................ 1 1.2 Računanje
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραTema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe (študijsko gradivo) Matija Cencelj 1. maja 2003 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Preprosti primeri......................... 8 2 Diferencialne enačbe prvega reda 11 2.1 Ločljivi spremenljivki.......................
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότεραMnožico vseh funkcijskih vrednosti, ki jih pri tem dobimo, imenujemo zaloga vrednosti funkcije f. Oznaka: Z f
Funkcije Funkcija f : A B (funkcija iz množice A v množico B) je predpis (pravilo, postopek, preslikava, formula,..), ki danemu podatku x A priredi funkcijsko vrednost f (x) B. Množica A je množica vseh
Διαβάστε περισσότεραDragi polinom, kje so tvoje ničle?
1 Dragi polinom, kje so tvoje ničle? Vito Vitrih FAMNIT - Izlet v matematično vesolje 17. december 2010 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a i R.
Διαβάστε περισσότεραLJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA. MATEMATIKA 1 2. del. EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo. Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12
LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA 1 2. del EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12 KAZALO 1 POLINOMI... 1 1.1 Polinomi VAJE... 1 1.2 Operacije
Διαβάστε περισσότεραII. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Διαβάστε περισσότεραOdvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko:
4 Sisemi diferencialnih enačb V prakičnih primerih večkra naleimo na več diferencialnih enačb, ki opisujejo določen pojav in so medsebojno povezane edaj govorimo o sisemih diferencialnih enačb V eh enačbah
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότεραcot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.
TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva
Διαβάστε περισσότεραMatematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija
Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότερα3.1 Reševanje nelinearnih sistemov
3.1 Reševanje nelinearnih sistemov Rešujemo sistem nelinearnih enačb f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0. f n (x 1, x 2,..., x n ) = 0. Pišemo F (x) = 0, kjer je x R n in F : R n
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 215 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραFrekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič
Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov
Διαβάστε περισσότεραMatrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραRealne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1
Realne funkcije Funkcija f denirana simetri nem intervalu D = ( a, a) ali D = [ a, a] (i) je soda, e velja f(x) = f( x), x D; (ii) je liha, e velja f(x) = f( x), x D. Naj bo f denirana D f in x 1, x 2
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότεραOsnovne lastnosti odvoda
Del 2 Odvodi POGLAVJE 4 Osnovne lastnosti odvoda. Definicija odvoda Odvod funkcije f v točki x je definiran z f f(x + ) f(x) (x) =. 0 Ta definicija je smiselna samo v primeru, ko x D(f), ita na desni
Διαβάστε περισσότεραKombinatorika. rekurzivnih enačb in rodovne funkcije. FMF Matematika Finančna matematika. Vladimir Batagelj. Ljubljana, april
FMF Matematika Finančna matematika Kombinatorika Reševanje rekurzivnih enačb in rodovne funkcije Vladimir Batagelj Math fun: Pascal triangle Ljubljana, april 2008 4. Dec 2012 različica: December 4, 2012
Διαβάστε περισσότερα1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE
1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE A) Splošna oblika Definicija 1 : Naj bodo a, b in c realna števila in a 0. Realno funkcijo: f : x ax + bx + c imenujemo kvadratna funkcija spremenljivke x v splošni
Διαβάστε περισσότεραDomače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA
Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa
Διαβάστε περισσότεραDodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dveh in več spremenljivk
Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραPRIMER UPORABE FUNKCIJ 2. FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE DEFINICIJA IN LASTNOSTI FUNKCIJE. Upogibni moment. M(X )=F A x qx2 2
3 4 PRIMER UPORABE FUNKCIJ Upogibni moment 2. FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE T (x) =F A qx M(X )=F A x qx2 2 1 2 DEFINICIJA IN LASTNOSTI FUNKCIJE Naj bosta A in B neprazni množici. Enolična funkcija f : A
Διαβάστε περισσότεραInterpolacija in aproksimacija funkcij
Poglavje 4 Interpolacija in aproksimacija funkcij Na interpolacijo naletimo, kadar moramo vrednost funkcije, ki ima vrednosti znane le v posameznih točkah (pravimo jim interpolacijske točke), izračunati
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότεραRačunalniško vodeni procesi I
Šolski center Velenje Višja strokovna šola Velenje Trg mladosti 3, 33 Velenje Računalniško vodeni procesi I Osnove višješolske matematike Interno gradivo - druga, popravljena izdaja Robert Meolic. september
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Mariboru. Fakulteta za logistiko MATEMATIKA. Univerzitetni učbenik
Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko MATEMATIKA Univerzitetni učbenik AJDA FOŠNER IN MAJA FOŠNER Junij, 2008 Kazalo 1 Množice 5 11 Matematična logika 5 12 Množice 10 2 Preslikave 18 21 Realne funkcije
Διαβάστε περισσότεραOsnove linearne algebre
Osnove linearne algebre Matrike Matrika razsežnosti n m je A = a 1 1 a 1 2 a 1 m a 2 1 a 2 2 a 2 m a n 1 a n 2 a n m Če je n = m, tedaj matriko imenujemo kvadratna matrika Elementi matrike so lahko realna
Διαβάστε περισσότεραNajprej zapišemo 2. Newtonov zakon za cel sistem v vektorski obliki:
NALOGA: Po cesi vozi ovornjak z hirosjo 8 km/h. Tovornjak je dolg 8 m, širok 2 m in visok 4 m in ima maso 4 on. S srani začne pihai veer z hirosjo 5 km/h. Ob nekem času voznik zaspi in ne upravlja več
Διαβάστε περισσότεραPoliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 00/0 Izpis: 9 avgust 0 Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7 5 Urejenost
Διαβάστε περισσότεραShefferjeva polinomska zaporedja
Shefferjeva polinomska zaporedja Marko Razpet Matematični kolokviji Ljubljana, 23. marca 2006 Page 1 of 63 Predstavljen bo osnovni koncept umbralnega računa, kakršnega sta razvila Gian-Carlo Rota in Steven
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότερα11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE
11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE Hiperbolična kvazi linearna PDE ima obliko au xx + bu xy + cu yy = f, (1) kjer so a, b, c, f funkcije x, y, u, u x in u y, ter velja b 2 4ac > 0. Če predpostavimo,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραEnočlenske metode veljajo trenutno za najprimernejše metode v numeričnem reševanju začetnih problemov. Skoraj vse sodijo v
Enočlenske metode J.Kozak Uvod v numerične metode - / 4 Enočlenske metode veljajo trenutno za najprimernejše metode v numeričnem reševanju začetnih problemov. Skoraj vse sodijo v skupino Runge-Kutta metod.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα