. (2.116) v r. Prvi član s desne strane (2.119) je jednak nuli iz razloga što su vektori v = i p kolinearni: r r r. r d L0 =. (2.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ". (2.116) v r. Prvi član s desne strane (2.119) je jednak nuli iz razloga što su vektori v = i p kolinearni: r r r. r d L0 =. (2."

Transcript

1 48 DINAMIKA.9 Dinamika otacije.9. Momentna jednačina za mateijalnu tačku Posmatamo kivolinijsko ketanje mateijalne tačke, mase m, koja u datoj tački putanje ima bzinu v, vekto položaja u odnosu na efeentnu tačku O i na koju deluje ezultantna sila F ez kao na slici.8. Pomnožimo levu i desnu stanu j-ne ketanja vektoski s leve stane vektoom položaja: dp F ez =. (.6) v p L m F ez Definišimo novu fizičku veličinu koju ćemo nazvati moment M količine ketanja mateijalne tačke, u odnosu na efeentnu tačku O, na sledeći način: L = p. (.7) Pavac vektoa L je nomalan na avan u kojoj leže vektoi i p Slika.8 Uz izvođenje momentne j-ne, sme je u smeu penetacije desne zavojnice kada se okeće u smeu od vektoa ka vektou p, a intezitet je dat elacijom: L = p sin, p. (.8) ( ( )) Nađimo sada pvi izvod po vemenu izaza (.7): d L d d dp dp = ( p) = p + = v p +. (.9) d Pvi član s desne stane (.9) je jednak nuli iz azloga što su vektoi v = i p kolineani: d L dp =. (.) Na osnovu (.6) i (.) dobijamo: d L F ez =. (.) Definisaćemo novu fizičku veličinu koju ćemo nazvati moment sile (u našem slučaju ezultujuće sile) u odnosu na efeentnu tačku O na sledeći način: M ez = F ez. (.) ( ) Pincip odeđivanja pavca i smea vektoa M e ez je isti kao i kod vektoa L, a intenzitet je: M ez = F ez sin( (, F ez ). (.3) Iz (.) i (.) dobijamo da je moment ezultujuće sile jednak bzini pomene momenta količine ketanja: d L M ez =. (.4)

2 .9. II Njutnov zakon za otaciju mateijalne tačke Posmatamo otaciono ketanje mateijalne tačke, mase m, bzine v, po kužnici polupečnika R =. Moment količine ketanja mateijalne tačke u odnosu na efeentnu tačku O, koja se nalazi na osi otacije, je: = mv = m (. (.5) LO ) Pimenjujući jednakost iz vektoske analize: a b c = b ac c ab. (.P9) ( ) ( ) ( ) dobijamo da je: LO = m[ ( ) ( ) ]. (.6) Kako je = = + // i = cos ( α ) = // to je: [ = m // + ( // + ) ]. (.7) LO // Sada ćemo iskoistiti identitet: // = // ot( //) = // ot( //) = //.(.8) Iz (.7) i (.8) dobijamo: ( LO = m + m // ) = LO + L.(.9) O.9 Dinamika otacije 49 Vekto momenta količine ketanja možemo pedstaviti zbiom dve komponente: jedne u pavcu i smeu vektoa ugaone bzine-aksijalni moment količine ketanja ( LO ) i duge po pavcu, a supotnog smea u odnosu na vekto -centifugalni moment količine ketanja ( L ). O Ako se efeentna tačka izabee u centu kužne putanje O C, tada je = // LO =. U tom slučaju je: LC = LC = m. (.3) Iz momentne jednačine za mateijalnu tačku sledi: d L ( m c d M Cez = = ). (.3) Moment inecije mateijalne tačke je I = m, tako da je: di d M Cez = + I. (.3) Kako se otacija vši po kužnici konstantnog polupečnika i ako se masa mateijalne tačke ne menja, moment inecije mateijalne tačke je konstantan i dobija se: d M Cez = I = I α. (.33) Izaz (.33) pedstavlja II Njutnov zakon za otaciju. LO C // LO LO α O Slika. Rotaciono ketanje mateijalne tačke m v

3 5 DINAMIKA.9.3 Zakon odžanja vektoa momenta količine ketanja Ako je ezultantni moment spoljašnjih sila jednak nuli onda se ketanje mateijalne tačke odvija tako da joj je moment količine ketanja u vemenu nepomenljiv: d LO M Oez = = LO = const. (.34) Kao pime zakona navešćemo ketanje Zemlje oko Sunca. Putanja Zemlje je eliptična, a u jednoj od žiža nalazi se Sunce (vidi sl..p). Zemlja se keće pod dejstvom gavitacione sile Sunca. Kako je gavitaciona sila konzevativna onda je ona centalno-adijalna. M Oez = F g ms m = -γ = Z = ms m γ Z. (.P) Vektoski poizvod dva kolineana vektoa jednak je nuli. Pošto je moment ezultujuće spoljašnje sile jednak nuli vekto momenta količine ketanja Zemlje pi evoluciji oko Sunca odžava se konstantnim u vemenu = const LS. (.P).9.4 Rad i snaga pi otacionom ketanju Posmatamo otaciju mateijalne tačke, ugaone bzine, kao na slici.. lementani ad nad česticom pod dejstvom ezultujuće sile je: daez = F ez ds. (.35) Kako je ds d = v i v = to (.35) možemo napisati u obliku: daez = F ez ( ). (.36) Uzimajući u obzi osobinu mašovitog poizvoda vektoa: a b c = c a b = b c a, (.P) ( ) ( ) ( ) v Z F g Slika.P Revolucija Zemlje oko Sunca O F ez ds Slika. Uz ad i snagu pi otacionogm ketanju m.t. (.36) možemo pisati u obliku: daez = F ez = M Oez. (.37) gde je M Oez moment, u odnosu na efeentnu tačku O, ezultujuće sile koja deluje na mateijalnu tačku. Kako je vekto elementanog pebisanog ugla dθ =, (.37) možemo napisati u obliku: daez = M Oez dθ. (.38) Izaz za konačni ad pi otaciji mateijalne tačke iz položaja u dobijamo integacijom (.38): θ θ Aez = M Oez dθ = M Oez cos( ( M Oez, dθ ) dθ. (.39) Kako snaga pedstavlja bzinu všenja ada: θ θ S

4 3. Lineani hamonijski oscilato 5 ( M Oez) = M d Aez d P = = Oez. (.4) Izazi za ad i snagu pi otaciji kutog tela su identični samo što u tom slučaju M Oez pedstavlja sumu momenata, u odnosu na efeentnu tačku O, spoljašnjih sile koje deluju na kuto telo..9.5 Kinetička enegija otacije Kinetička enegija otacije mateijalne tačke, mase m, je: m v m kot = = v v m m = v ( ) = ( v). (.47) = ( m v) = LO O m v Slika. Uz kinetičku enegiju otacije kutog tela Pedstavljajući moment količine ketanja peko aksijalne i centifugalne komponente dobijamo: ( + ) kot = LO LO. (.49) = LO + LO Kako su i LO kolineani vektoi, a i L O uzajamno nomalni vektoi to je: = LO I. (.5) kot = 3. Mehaničke oscilacije Spadaju u gupu opštih peiodičnih ketanja, koja se odvijaju u oganičenom delu postoa po tajektoiji koja se ponavlja nakon odeđenog vemena-peioda ketanja. Tajektoija leži u jednoj avni i na njoj moa postojati tačka simetije (vidi sl.3.). 3. Lineani hamonijski oscilato (LHO) Slika 3. Tačke simetije na tajektoiji oscilatonih ketanja Telo koje vši ketanje po zakonima pavolinijskog ketanja (otud naziv lineani), a bzina, ubzanje i lučna koodinata mu se menjaju po hamonijskim zakonima (otud naziv hamonijski). Posmatamo jednodimenzionalno ketanje tela, duž pavca ose, koje se nalazi u fizičkom polju i ima potencijalnu enegiju p ( ). Kog oblika moa biti potencijalna enegija da bi se telo ponašalo kao LHO? Potencijalna enegija moa u tački simetije moa imati minimalnu vednost. Uzmimo da je tačka simetije = i da je ta minimalna vednost jednaka nuli. To možemo uaditi je poizvoljno biamo efeentni nivo potencijalne enegije. Kako je u tački simetije minimum

5 5 3 MHANIČK OSCILACIJ potencijalne enegije to pvi izvod potencijalne enegije po koodinati u tački simetije moa imati vednost nula. Osim toga dugi izvod potencijalne enegije u tački simetije moa imati vednost veću od nule. Dakle, imamo sledeću situaciju: d d d d p p p ( = ) =, / = = i / > =. (3.) Razvijanjem potencijalne enegije u Tejloov ed u okolini tačke simetije ( = ) dobijamo: 3 3 d p d p d p p ( ) = p ( = ) + / = + / = + / = + K 3 (3.)! d! d 3! d Zadžavanjem pva ti člana u azvoju u ed i uzimanjem u obzi (3.) dobijamo potencijalnu enegiju u obliku: p d =, (3.3)! d p ( ) / = k d p gde je k pozitivna konstanta vednosti k = / > =. d Dobili smo oblik funkcije koji teba da ima potencijalna enegija da bi se telo kada se nađe u potencijalnom polju ketalo kao LHO. Konzevativna sile, koja deluje na telo, oblika je: d p F kon = i = k i. (3.4) d Ova sila se naziva estituciona, stoga ćemo je obeležavati kao F es, ili kvazielastična (iz azloga što smo izaz za potencijalnu enegiju apoksimiali). Ona deluje po pavcu ketanja, intezitet joj je popocionalan astojanju tela oačke simetije (avnotežnog položaja), a sme joj je takav da teži vaćanju tela u avnotežni položaj. Napišimo sada II Njutnov zakon za ketanje tela koje je izloženo dejstvu estitucione sile: ma = F es. (3.5) Kako se ketanje vši duž pavca ose (3.5) svodi se na: d m i = k i. (3.6) Skalanim množenjem leve i desne stane (3.6) otom i i deljenjem sa masom tela m dobijamo homogenu difeencijalnu jednačinu II eda sa konstantnim koeficijentima: d k + =. (3.7) m Uvođenjem konstante = k m koju nazivamo kužna fekvencija (teba uočiti da to nije ugaona bzina) pethodna j-na dobija oblik: Teba naći vemensku zavisnost ( t) obliku: d + =. (3.8) = koja zadovoljava (3.8), a koju možemo napisati u d d + =. (3.9)

6 Množenjem leve i desne stane sa pomeajem tela odnosno, Integacijom (3.) dobijamo: Množenjem (3.) sa masom tela m : 3. Lineani hamonijski oscilato 53 d dobijamo: Odakle dobijamo da je mehanička enegija tela konstantna: d d d + d =, (3.) v dv + d =. (3.) v + = C, C = const. (3.) m v + m = mc. (3.3) k p = k + p mc, (3.4) meh = što je i posledica toga što na telo deluje samo konzevativna sila. Iz (3.3) dobijamo izaz za bzinu: v = C =. (3.5) C Uvođenjem smene = C (3.5) svodi se na: v =. (3.6) (3.6) definiše oblast u kojoj se telo keće. Bzina ima fizički smisao kada je potkoena veličina veća ili jednaka nuli, odnosno. Iz tog azloga opavdano je uvesti smenu: = sinϕ, (3.7) odakle dobijamo: ( t) ( ϕ( t) ) = sin. (3.8) Sada teba naći zavisnost ϕ = ϕ() t. Nađimo pvi izvod po vemenu (3.8): Iz (3.6), (3.8) i (3.9) dobijamo: odnosno: Integacijom (3.) dobijamo izaz: ( t) d ( t) dϕ = cos( ϕ() t ). (3.9) dϕ ( sin ( ϕ() t )) = cos( ϕ() t ), (3.) ( t) ( t) dϕ =. (3.) ( ) = t ϕ t. (3.)

7 54 3 MHANIČK OSCILACIJ Iz (3.8) i (3. ) dobijamo taženo ešenje difeencijalne jednačine (3.8): ( t) = ( t ϕ ) sin +. (3.3) Fizička veličina ϕ () t naziva se faza. To je bezdimenzionalna fizička veličina koja na implicitan način definiše položaj oscilatoa. ϕ pedstavlja vednost faze u tenutku t = i naziva se početna faza, = ma pedstavlja maksimalnu vednost koodinate, odnosno maksimalno udaljenje tela od avnotežnog položaja i naziva se amplituda. Nadalje u izazima za elongaciju umesto pisaćemo ma. () t je tenutna udaljenost tela od avnotežnog položaja i naziva se elongacija. Izaz za bzinu tela dobijamo nalaženjem pvog izvoda po vemenu izaza za elongaciju u (3.3): () t d v() t = = vma cos( t ) = vma sin( t + π ), (3.4) gde je v ma = ma. Bzina fazno pednjači u odnosu na elongaciju za ugao π. Izaz za ubzanje dobijamo nalaženjem pvog izvoda bzine po vemenu: () t dv a () t = = ama sin( t ) = ama sin( t + π ), (3.5) gde je a ma = vma = ma. Ubzanje fazno pednjači u odnosu na elongaciju za ugao π. Jedna oscilacija je deo ketanja pi kome telo, polazeći iz odeđenog položaja, dva puta pođe koz avnotežni položaj, dva puta dođe u amplitudni položaj i ponovo dođe u početni položaj. Veme tajanja jedne oscilacije ili peiod ketanja dobijamo iz j-ne (3.3). U tenutku t telo se nalazi u položaju: i nakon jedne oscilacije u tenutku t ( ) ( ϕ ) t, (3.6) = ma sin t + ponovo se nađe u istom položaju: ( ) = ( ) ( ) t ma sin t = t. (3.7) Kako je sinusna funkcija peiodična f-ja, sa peiodom π to iz (3.7) sledi: Veme tajanja jedne oscilacije T t + π = t. (3.8) = t t dobijamo iz (3.8): π T =. (3.9) Fekvencija oscilovanja definiše se kao boj oscilacija u jedici vemena. Ako se n za veme τ = nt, onda je fekvencija: jedinica za fekvenciju u SI je Hec [ ] oscilacija desi n n υ = = =. (3.3) τ nt T H z, H z = s. Iz (3.9) i (3.3) dobijamo vezu između kužne fekvencije i fekvencije: = π υ. (3.3) Ako υ shvatimo kao polupečnik ecipoočne vednosti vemenskog intevala, onda analogno sa obimom kuga, nazivamo kužnom fekvencijom. Kinetičku enegiju tela pi oscilatonom ketanju dobijamo iz (3.4):

8 k 3. Lineani hamonijski oscillato 55 cos ). (3.3) 4 () t = m () t = m ( t ) = m [ + cos( t + ϕ ] v Potencijalnu enegiju tela pi oscilatonom ketanju dobijamo iz (3.3): p sin ). (3.33) 4 () t = k () t = m ( t ) = m [ cos( t + ϕ ] Kao što vidimo kinetička i potencijalna enegija imaju dvostuko veću vednost kužne fekvencije od elongacije, bzine i ubzanja. Ukupna enegija ima konstantnu vednost: + = m const. (3.34) meh = k p = Ovakav tip oscilacija s konstatnom mehaničkom enegijom, odnosno amplitudom oscilovanja, nazivaju se nepigušene oscilacije. 3.. Peiod oscilovanja matematičkog klatna Telo značajne mase ali zanemaljivo malih dimenzija, tako da ga možemo smatati mateijalnom tačkom, obešeno o lak, neistegljiv konac dužine l, zanemaljive mase u odnosu na masu tela, koje osciluje u vetikalnoj avni nazivamo matematičkim klatnom. Kada se telo izvede iz avnotežnog položaja za mali ugao (između i 5 ) i pusti započeće hamonijsko oscilatono ketanje pod uticajem gavitacione sile Zemlje. Položaj tela tokom ketanja odeđen je ugaonom koodinatom θ (vidi slike 3. ). II Njutnov zakon za otaciju je C M = Iα θ l Cez. (3.36) T τ Rezultujuća spoljašnja sila je: n e F ez = F g + T, (3.37) n a ezultujući moment u odnosu na tačku C: F g M Cez = l n F ez = l n ( F g + T ). (3.38) Slika 3. Matematičko klatno Kako je T = T n gonju j-nu možemo napisati u obliku: M Cez = l n F g l n T n. (3.39) Dugi član s desne stane jednak je nuli je imamo vektoski poizvod dva kolineana vektoa. n F g = n F g sin( π θ ) e = mg sinθ e. (3.4) Iz (3.39) i (3.4) dobijamo da je moment ezultuluće spoljašnje sile u odnosu na tačku C : = lmg sinθ e. (3.4) M Cez Moment inecije matematičkog klatna u odnosu na tačku C je: Ugaono ubzanje možemo napisati u obliku: I = ml. (3.4) d θ α = e. (3.43)

9 56 3 MHANIČK OSCILACIJ Iz (3.4)-(3.43) dobijamo homogenu difeencijalnu j-nu dugog eda sa konstantnim koeficijentima oblika: d θ g + sinθ =, (3.44) l koja ne liči na jednačinu koja opisuje ketanja LHO. Međutim, kako su uglovi maksimalnog otklona veoma mali (petpostavka s početka azmatanja) možemo smatati da je sin θ θ. Tako da (3.44) popima oblik: d θ g + θ =, (3.45) l koji opisuje ketanje LHO. Na osnovu (3.45) dolazimo do zaključka da je: i da se ugaona koodinata menja po zakonu: = g l T = π l g, (3.46) ( ) = ( t ϕ ) gde je θ ma najveći ugaoni otklonod vetikalnog položaja. Kinetička enegija otacije matematičkog klatna je: θ t θ ma sin +, (3.47) d θ k = I = ml θ ( ϕ ) ( θ θ ma cos t + = mgl ma ). (3.48) Gavitaciona potencijalna enegija matematičkog klatna je: p = mgh, (3.49) gde je h visina u odnosu na avnotežni položaj koji uzimamo za nulti nivo potencijalne enegije. Sa slike 3. vidimo da je: θ mali ugao θ cos ( cos ) θ h = l l θ = l θ = l sin l. (3.5) Iz (3.49) i (3.5) dobijamo pibližni izaz za potencijalnu enegiju: mgl Mehanička (ukupna) enegija matematičkog klatna je: p θ. (3.5) meh = k + p = mglθ ma = const. (3.5) 3.. Peiod oscilovanja tozionog klatna Telo koje može da vši oscilatono ketanje u hoizontalnoj avni usled elastičnih svojstava vetikalno postavljene žice, koja je jednim kajem pičvšćena za njega, a dugim za oslonac, naziva se toziono klatno. Ako telo zaotiamo za izvestan ugao dolazi do uvijanja žice u kojoj se, usled elestičnih svojstava, javlja moment tozije koji se supostavlja uvijanju. Ako ugao uvijanja nije velik tako da se nalazimo u ganicama elastičnosti onda je intenzitet tozionog momenta popocionalan uglu uvtanja. Za slučaj kao na sl.3.3 moment tozije je: θ e Slika 3.3 Toziono klatno

10 3. Lineani hamonijski oscilato 57 M to = cθ e, (3.53) gde je c koeficijenat tozije za mateijal žice.ubacivanjem (3.53) u II Njutnov zakon za otaciju dobijamo: odnosno: Rešenje (3.55) je oblika: gde je: d θ θ e = I, (3.54) c d θ c + θ =. (3.55) I ( ) = ( t ϕ ) θ t θ ma sin +, (3.56) = c I T = π I c. (3.57) Kinetička enegija otacije tozionog klatna je: dθ k = I = I θ ma cos ( t ) = cθ ma cos ( t ). (3.58) Kako je moment tozije popocionalan uglu uvijanja i teži da vati telo u avnotežni položaj, na osnovu analogije sa estitucionom silom koanslatonog ketanja, gde je p = k, dolazimo do izaza za potencijalnu enegiju elastične defomacije: p = cθ = cθ ma sin ( t ). (3.59) Mehanička enegija tozionog klatna je: = k + p c θ ma. (3.6) meh = 3..3 Peiod oscilovanja fizičkog klatna Kuto telo poizvoljnog oblika koje vši oscilatono ketanje oko fiksne hoizontalne ose usled dejstva gavitacione sile naziva se fizičko klatno. Matematičko klatno pedstavlja idealizovan slučaj fizičkog klatna. Kuto telo osciluje oko ose koja polazi koz tačku O i nomalna je na avan cteža (vidi sliku 3.4 ). II Njutnov zakon za otaciju kutog tela na slici 3.4 glasi: O ( ) e M Oez = s F g = I Oα, (3.6) s C θ e gde je I O moment inecije tela u odnosu na osu otacije.ako je I C moment inecije tela u odnocu na osu koja polazi koz centa mase tela (tačka C ) i koja je paalelna osi otacije onda je po Štajneovoj teoemi: F g gde je m I O = I C + m s, (3.6) masa tela, a s astojanje centa mase od ose otacije. Iz (3.6) sledi: Slika 3.4 Fizičko klatno

11 58 3 MHANIČK OSCILACIJ odnosno: Za male maksimalne uglove otklona klatna d θ smg sinθ e = I O e, (3.63) d θ smg + sinθ =. (3.64) I O sin θ θ dobija se: odakle zaključujemo da je peiod oscilovanja fizičkog klatna: d θ smg + θ =, (3.65) I O ( ) mgs T = π = π I mgs = π I C + m s. (3.66) 3..4 Telo obešeno o elastičnu opugu koja osciluje u vetikalnoj avni U položaju () opuga je neopteećena i stoga nedefomisana. Njen donji kaj nalazi se u položaju definisanom koodinatom =. Opugu opteetimo telom mase m i usled toga opuga će se izdužiti za st, odnosno dolazi u novi položaj statičke avnoteže (položaj () na slici 3.5). Ulogu estitucione sile ima elastična sila opuge, intenziteta: k F el =, (3.67) gde k pedstavlja kutost opuge ([] k = N m ). U položaju (), gde telo miuje: F g = F es mg = k st, (3.68) Iz (3.68) dobijamo: mg st =. (3.69) k U položaju () dodatnom silom delujemo na opugu, istegnemo je i pustimo. U poizvoljnom položaju napišemo II Njutnov zakon smatajući da masu opuge možemo zanemaiti u odnosu na masu tela: d m i = ( mg k) i, (3.7) odakle dobijamo: d k + = g. (3.7) m Dobili smo nehomogenu difeencijalnu jednaččinu II eda sa konstantnim koeficijentima. Svodimo je na homogenu jednačinu na sledeći način: d k mg + =, (3.7) m k i st ( ) ( ) ( 3) F es F g Slika 3.5 Oscilovanje tela obešenog o opugu u vetikalnoj avni

12 ili uzimajući u obzi (3.69) i definiciju kužne fekvencije: 3. Pigušene oscilacije 59 d + st ( ) d d ( ) ( ) = d st st d Kako je st = const = =. Iz goe navedenog azloga (3.73) možemo napisati u obliku: d ( ) Rešenje ove difeencijalne j-ne nam je poznato: odnosno:. (3.73) st + ( ) = st. (3.74) ( t ϕ ) st = ma sin +, (3.75) ( ϕ ) = st + ma sin t +. (3.75a) Telo obešeno o elastičnu opugu vši hamonijske oscilacije oko novog položaja statičke avnoteže čiji je položaj definisan sa st. Pi koišćenju Zakona odžanja enegije u izazu za potencijalnu enegiju teba uzeti zbi gavitacione potencijalne i potencijalne enegije elastične defomacije: meh = mv = k mg + const. (3.76) Za telo okačeno o elastičnu opugu koje osciluje u houzontalnoj avni na čvstoj podlozi jednačina ketanja je oblika = ma sin ( t ). U avni nomalnoj na pavac ketanja deluju gavitaciona sila i sila eakcije podloge koje su iste po intezitetu tako da je =. 3. Pigušene oscilacije Kod idealnog hamonijskog oscilatoa zan i smo uticaj otponih sila sedine koje pouzokuju da amplituda oscilatoa postepeno, tokom oscilovanja, opada ka nultoj vednosti. U većini slučajeva otpona sila sedine je diektno popocionalna bzini tela, a po smeu se supostavlja ketanju tela. II Njutnov zakon u tom slučaju je oblika: gde je b = const. Gonju j-nu možemo napisati u obliku: d = k bv, (3.77) d d + α + =, (3.77a) gde je α = b m = const. Rešenje ove difeencijalne j-ne taži se u obliku: ( t) A e Uvštavanjem (3.78) u (3.77a) dobijamo kvadatnu jednačinu oblika: čija su ešenja: st =. (3.78) s + αs + =, (3.79) α s, = ± α. (3.8) st

13 6 3 MHANIČK OSCILACIJ Razlikovaćemo ti slučaja: ) α < b < km U ovom slučaju dobijamo konjugovano-kompleksna ešenja: s = α ± j α, j =. (3.8), Ubacivanjem (3.8) u (3.78) i nakon izvesnih algebaskih tansfomacija ešenje se dobija u obliku: ( ) αt ( t) = Ce sin( t ϕ ) +, (3.8) v+ α + gde je C =, = α, v = v( t = ), = ( t = ) i ϕ = acsin. C Izaz u (3.8) opisuje kvazi-peiodično ketanje (vidi sliku 3.6a ). U slučaju da je pigušenje beznačajno b α kvazi-peiodično ketanje se svodi na ketanje LHO. Odnos dveju uzastopnih amplituda definiše stepen pigušenja. Neka se telo u tenutku t nađe α t α t amplitudnom položaju ( t) = C e sin( t ) = C e. U tenutku t = t + T amplituda α t α ( t +T ) iznosi ( t) = C e sin( t ) = C e. Stepen pigušenja je: ( t ) ( ) αt t Logaitamski dekement pigušenih oscilacija definišemo kao: ( t ) ( ) = e. (3.83) ( e T ) T α δ = ln = ln = α. (3.84) t Fakto amotizacije (fakto dobote) definišemo kao ecipočnu vednost elativne pomene enegije osilatoa u toku jedne oscilacije: Δ Q = = Kako su enegije oscilatoa i enegije u amplitidskim položajima to je: Iz (3.85) i (3.86) dobijamo: = k ( ) i k ( ) t ( t) ( ) =. (3.85) = t. (3.86) α = = ( e ). (3.87) t Q T Za mala pigušenja kada je αt b α e <<, koisteći apoksimaciju + e +, za dobijamo: Q =. (3.88) α T δ

14 ) α > b > km Rešenje (3.77) u ovom slučaju je oblika: t () t = Ce + C e s t s. (3.89) Ovo je slučaj apeiodičnog ketanja koji nije od velikog inteesa za nas. 3.3 Pinudne oscilacije 6 T = e αt π e αt t Slika3.6b Apeiodično ketanje t Slika 3.6a Kvazipeiodično ketanje 3) α = b = km Rešenje (3.77) u ovom slučaju je oblika Ovo je slučaj kitičnog amotizovanog ketanja. t ( t) ( t) Sl.ika.6c Kitično amotizovano ketanje = e α A + A. (3.9) 3.3 Pinudne oscilacije Realni oscilato može se odžavati u stanju oscilovanja (a to je i potebno) pomoću spoljašnje peiodične sile oblika: ( t) F = F sin. (3.9) U tom slučaju II Njutnov zakon napisan za ealni oscilato ima oblik: odakle dobijamo: d P P d = k bv + F, (3.9) d F P α + = sin( P t). (3.93) m + Rešenje tažimo u obliku () t () t ( t) odnosno: =, gde je homogeni deo ešenje j-ne: h + d h a patikulani deo je ešenje jednačine: odnosno: d p dh α + =, (3.94) + h αt ( t) = sin ( t ) h C e, (3.95) d p F P α + p = sin( P t), (3.96) m p + ( t) = Asin( t ) p P +θ. (3.97) t

15 6 3 MHANIČK OSCILACIJ U stacionanom ežimu ada (posle dovoljno dugog vemena popima nultu vednost tako da je: () t = ( t) = Asin( t ) t ) homogeni deo ešenja p P +θ. (3.98) Vaćanjem (3.98) u (3.93) i izjednačavanjem članova s leve i desne stane uz sin( P t) cos( t) dobijamo sledeće izaze za amplitudu i početnu fazu: P i A = F, (3.99) m ( ) ( Pb m + P) b θ = actg. (3.4) k P + m P Analiziaćemo ti katakteistična slučaja. ) Ako je postopeiodična sila slabo pomenljiva, odnosno P veoma mala, u tom slučaju je >>, i za mala pigušenja b iz (3.99) dobijamo da je: P F A = m F k. (3.4) Spoo pomenljiva sila samo izbacuje oscilato iz avnotežnog položaja i on započinje ketanje kao LHO date amplitude i kužne fekvencije. ) Za veoma bze pomene postopeiodične sile, odnosno za velike vednosti P, dobijamo: A F. (3.4) m U ovom slučaju inecija oscilatoa dolazi do izažaja i iz tog azloga je amplituda obnuto sazmena masi oscilatoa. 3) = P ezonancija F A =. (3.43) b P Pi malim pigušenjima ( b ) amplituda popima ogomne vednosti što može dovesti do peteanog napezanja mateijala oscilatoa i dovesti do neželjenih posledica. P

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Fizika. Mehanika Sadržaj. dr Fedor Skuban. I godina studija na Tehnološkom fakultetu u Novom Sadu. Departman za fiziku, PMF Novi Sad

Fizika. Mehanika Sadržaj. dr Fedor Skuban. I godina studija na Tehnološkom fakultetu u Novom Sadu. Departman za fiziku, PMF Novi Sad d Fedo Skuban Fizika I godina studija na Tehnološkom fakultetu u Novom Sadu Depatman za fiziku, PMF Novi Sad Elementi vektoskog ačuna 4 Fizičke veličine. SI sistem jedinica 8 Osnovni pojmovi kinematike

Διαβάστε περισσότερα

Fizika za studente na Departmanu za matematiku i informatiku na PMF-u u Novom Sadu

Fizika za studente na Departmanu za matematiku i informatiku na PMF-u u Novom Sadu d Fedo Skuban Fizika za studente na Depatmanu za matematiku i infomatiku na PMF-u u Novom Sadu Depatman za fiziku, PMF Novi Sad Fizičke veličine. SI sistem jedinica 4 Osnovni pojmovi kinematike 0 Bzina

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika rotacionog kretanja krutog tela.

Dinamika rotacionog kretanja krutog tela. Dnamka otaconog ketanja kutog tela. Delovanje sla momenata sla na kuto telo Čvsto (kuto) telo je sstem čvsto povezanh matejalnh tačaka (masa Δm 1, Δm,, Δm,, Δm n ) koje maju svaka svoju težnu (ΔQ 1, ΔQ,,

Διαβάστε περισσότερα

Rad sile r (5.1)

Rad sile r (5.1) ELEKTROTEHNIČKI FKULTET SRJEVO INŽENJERSK FIZIK I -- Pedavanja II dio -- 5.. RD, SNG I ENERGIJ 5... Rad sile Pomjeanje mateijalne točke po nekom pavolinijskom putu s pod djelovanjem sile F u mehanici se

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Tehnologija bušenja II

Tehnologija bušenja II INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Rad, energija, snaga. Glava Rad

Rad, energija, snaga. Glava Rad Glava 4 Rad, energija, snaga Pojam energije je jedan od najvažnijih u nauci i tehnici ali se koristi i u svakodnevnom životu. U našoj svakodnevnici taj pojam se obično odnosi na gorivo za pokretanje automobila

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja Glava 2 Kinematika Gde god da pogledamo oko nas, možemo da uočimo tela u kretanju (u fizici je uobičajeno a se kaže u stanju kretanja ). Čak i kada smo u stanju mirovanja, naše srce kuca i na taj način

Διαβάστε περισσότερα

Mehanika, kinematika i elastičnost

Mehanika, kinematika i elastičnost Mehanika, kinematika i elastičnost Marko Petković Sreda, 9. Mart 006. god. 1 Osnovne relacije 1. Drugi Njutnov zakon: m v t = F ; m a = F + mω R + m( v ω). Priraštaj impulsa sistema: p p 1 = F t (ako je

Διαβάστε περισσότερα

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI.

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI. 1 O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI Ljubiša Nešić, Odsek za fiziku, PMF, Niš http://www.pmf.ni.ac.yu/people/nesiclj/ Uvod Kao što je poznato, fizičke veličine mogu da imaju dimenzije ili pak da budu bezdimenzionalne.

Διαβάστε περισσότερα

OBJEKTI POSMATRANJA U MEHANICI

OBJEKTI POSMATRANJA U MEHANICI OJEKTI POSMTRNJ U MEHNICI Pod mateijalnim telom se podazumeva deo postoa koji je nepekidno ispunjen mateijom u čvstom agegatnom stanju. Telo sa dve dimenzije zanemaljive je štap. Ploča je telo sa jednom

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Njutnov zakon univerzalne gravitacije

5.1 Njutnov zakon univerzalne gravitacije Glava 5 Gravitacija Orbitiranje prirodnih i veštačkih satelita oko Zemlje, planeta oko Sunca, fenomen plime i oseke, prenos toplote strujanjem fluida, visoka temperatura unutrašnjosti planeta, padanje

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

Matematički modeli sistema

Matematički modeli sistema Matematički modeli sistema U analizi i sintezi SAU se koriste kvantitativni matematički modeli koji opisuju fiziku sistema. Generalno, dinamika sistema je opisana običnim diferencijalnim jednačinama. lasa

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA-IV-DINAMIKA

MEHANIKA-IV-DINAMIKA 13 MEHANIKA-IV-DINAMIKA Četo o u pilici da uočio kako je neko telo iz naše okoline naglo poenilo pavac ketanja, ubzalo ili upoilo. Ikutvo na uči da pogledo potažio uzok takvog ponašanja, u obliku piutva

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive KOMPLEKSNA ANALIZA. Funkcije kompleksne promenljive Neka je R skup realnih brojeva, a C skup kompleksnih brojeva. Definicija. Ako je E R, preslikavanje f : E C se naziva kompleksna funkcija realne promenljive.

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Računske vežbe iz Fizike

Računske vežbe iz Fizike Računske vežbe iz Fizike Praktikum Decembar 2009 Mašinski Fakultet Kraljevo Zlatan Šoškić Predgovor Ovaj praktikum je zamišljen kao pomoćni materijal koji se koristi u nastavi predmeta Fizika na Mašinskom

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11.

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11. OSNOVE EEKTOTEHNKE Vježba... Za redno rezonantno kolo, prikazano na slici. je poznato E V, =Ω, =Ω, =Ω kao i rezonantna učestanost f =5kHz. zračunati: a) kompleksnu struju u kolu kao i kompleksne napone

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014 Nermin Okičić Vedad Pašić MATEMATIKA II 014 Sadržaj 1 Funkcije više promjenljivih 1 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih................ 1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja.............. 1.1. Grafičko

Διαβάστε περισσότερα

Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu

Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu Postoji veći broj parametara koji karakterišu ponašanje sistema u prelaznom režimu. Ovi parametri pripadaju različitim prostorima u kojima se sistemi

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

NAIZMENIČNA STRUJA koristiti kao dopunu udžbenika

NAIZMENIČNA STRUJA koristiti kao dopunu udžbenika NAIZMENIČNA STRUJA koristiti kao dopunu udžbenika 1 Da bude jasno na samom početku : Tesla nije izmislio struju jer je ona bila poznata ljudima pre nogo što je Tesla ušao u svet nauke. Njegov doprinos

Διαβάστε περισσότερα

Polinomske jednaqine

Polinomske jednaqine Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

REXENjA ZADATAKA OPXTINSKOG TAKMIQENjENjA IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA, Prvi razred, A kategorija ( 1)

REXENjA ZADATAKA OPXTINSKOG TAKMIQENjENjA IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA, Prvi razred, A kategorija ( 1) REXENjA ZADATAKA OPXTINSKOG TAKMIQENjENjA IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA, 0.0.008. Pvi azed, A kategoija Kako je 5 10510 nepaan boj, sledi da je 10 510510 ( 1) 510510 1 (mod 11). Kako je 5 5 =5 5 5 5

Διαβάστε περισσότερα

Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom

Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nevena Mutlak Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom -master rad- Mentor: prof.dr Marko Nedeljkov Novi Sad,

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2)

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2) 1 RАVNSKE REŠETKE Rešetkasti nosači predstavljaju sistem sačinjen od lakih krutih štapova međusobno zglobno vezanih svojim krajevima. Zglobne veze krajeva štapova se nazivaju čvorovi. Rešetke su opterećene

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

m 2 Slika 1: Slika uz zadatak 2.

m 2 Slika 1: Slika uz zadatak 2. ISPIT IZ FIZIKE ETF, Beograd, 0.09.00.. Zavisnost vektora ubrzanja aterijalne tačke od vreena, napisana u polarno koordinatno sisteu, je a = (R v 0/ρ 3 ) e ρ, gde je ρ = ρ(t). Vektor brzine tačke u početno

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIČKI PARAMETRI su veličine kojima opisujemo stanje sistema.

TERMODINAMIČKI PARAMETRI su veličine kojima opisujemo stanje sistema. TERMODINAMIKA U svakodnevnom govoru, često dolazi greškom do koriščenja termina temperatura i toplota u istom značenju. U fizici, ova dva termina imaju potpuno različito značenje. Razmatračemo kako se

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

PROIZVODNA FUNKCIJA PREDAVANJE 7 Prof. d r dr J ovo Jovo J ednak Jednak

PROIZVODNA FUNKCIJA PREDAVANJE 7 Prof. d r dr J ovo Jovo J ednak Jednak PROIZVODNA FUNKCIJA PREDAVANJE 7 Prof. dr Jovo Jednak Proizvodnja, proizvodna funkcija, dodata vrednost i priroda inputa Transformacija faktora proizvodnje (inputa) u učinak zove se proces proizvodnje.

Διαβάστε περισσότερα

KONTURNA INTEGRACIJA

KONTURNA INTEGRACIJA KONTURNA INTEGRACIJA Materijal sa sedme radne Ljaškijade - jun 14. Studentska asocijacija Eneter emineter.wordpress.com Ovo je materijal za rešavanje pet tipova integrala koristeći teoreme kompleksne analize

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1. U temenima kvadrata stranice a (Sl.1) nalaze se mala tela istoimene količine 11. naelektrisanja Q 4 10

Zadatak 1. U temenima kvadrata stranice a (Sl.1) nalaze se mala tela istoimene količine 11. naelektrisanja Q 4 10 adatak temenima kvadrata stranice a (Sl) nalaze se mala tela istoimene količine naelektrisanja Q 0 C u vakumu Koliku količinu elektriciteta negativnog znaka treba postaviti u tačku preseka dijagonala da

Διαβάστε περισσότερα

NAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ)

NAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ) NAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ) Trenutna vrednost naizmeničnog napona: u(t) = U max sin(ωt + θ) Trenutna vrednost naizmenične struje:

Διαβάστε περισσότερα

α (alfa) α = K -1 toplinski koeficijent α (alfa) koeficijent linearnog rastezanja Ω (om)- jedinica za električni otpor Ω = V / A

α (alfa) α = K -1 toplinski koeficijent α (alfa) koeficijent linearnog rastezanja Ω (om)- jedinica za električni otpor Ω = V / A Oguin 998. god e-mai ivan@infostudio.h Abecedni popis fomua, fizikanih veičina, oznaka i mjenih jedinica u fizici za sednje škoe - pazno mjesto za upis fizikane veičine np.: A, V, s, m, T, g, Ω, W, J,

Διαβάστε περισσότερα

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Erna Oklapi Gimnazija Novi Pazar ernaoklapii@yahoo.com Sanela Numanović Gimnazija Kruševac sanelanumanovic@yahoo.com Rezime U ovom radu predstavljen

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

Termofizika. Glava Temperatura

Termofizika. Glava Temperatura Glava 7 Termofizika Toplota je jedan od oblika energije sa čijim transferom sa tela na telo se svakodnevno srećemo. Tako nas na primer, leti Sunce zagreva tokom dana dok su vedre letnje noći često prilično

Διαβάστε περισσότερα

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I Gradimir V. Milovanović Radosav Ž. D ord ević MATEMATIČKA ANALIZA I Predgovor Ova knjiga predstavlja udžbenik iz predmeta Matematička analiza I koji se, počev od školske 2004/2005. godine, studentima Elektronskog

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 1. Ivica Sorić. Auditorne vježbe 1 Uvod. Procjena reda veličine. Vektori.

Fizika 1. Ivica Sorić. Auditorne vježbe 1 Uvod. Procjena reda veličine. Vektori. Fakultet elektotehnike, stojastva i bodogadnje Studij ačunastva Školska godina 2008/2009 Fizika 1 Auditone vježbe 1 Uvod. Pocjena eda veličine. Vektoi. 14. studenoga 2008. Ivica Soić (Ivica.Soić@fesb.h)

Διαβάστε περισσότερα

Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D

Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D Orijentacija Još jednom: Orijentacija i pravac - isto ili ne? Pravac je određen vektorom, ali rotacija vektora oko samog sebe nema daljeg uticaja. Orijentacija

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković Devizno tržište Devizni urs i devizno tržište Devizni urs - cena jedne valute izražena u drugoj valuti Promene deviznog ursa utiču na vrednost ative i pasive oje su izražene u stranoj valuti Devizni urs

Διαβάστε περισσότερα

Skinuto sa

Skinuto sa Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo

Διαβάστε περισσότερα

Stalne jednosmerne struje

Stalne jednosmerne struje Stalne jednosmerne struje Električna struja Električnom strujom se može nazvati svako ureñeno kretanje električnih naelektrisanja, bez obzira na uzroke ovog kretanja i na vrstu električnih naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTROTEHNIKE I ELEKTRIČNIH MAŠINA

OSNOVI ELEKTROTEHNIKE I ELEKTRIČNIH MAŠINA Tihomir Latinović Miroslav Prša Tihomir Latinović, Miroslav Prša OSNOVI ELEKTROTEHNIKE I ELEKTRIČNIH MAŠINA Banja Luka, 2013. 1 Osnovi elektrotehnike i električnih mašina Biblioteka: INFORMACIONE TEHNOLOGIJE

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

Fizika za studente na Departmanu za matematiku i informatiku na PMF-u u Novom Sadu

Fizika za studente na Departmanu za matematiku i informatiku na PMF-u u Novom Sadu d Fedo Skuban Fizika za sudene na Depamanu za maemaiku i infomaiku na PMF-u u Noom Sadu Depaman za fiziku, PMF Noi Sad Fizičke eličine. SI sisem jedinica 4 Osnoni pojmoi kinemaike Bzina 3 Ubzanje 5 Paolinijsko

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont w. ww lua so ab me lar m.co t me la sit po dis ion du c, bli pu via lar ca do w. ww me.co m, de la ion nta t do cu me on t ed hn iqu tec les en ce s, rι fιr ma rq ue se t lo go s, so nt la pr op riι tι

Διαβάστε περισσότερα

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA Izmeriti neku veličinu u fizici znači naći brojni odnos merene fizičke veličine prema vrednosti iste fizičke veličine, koja je dogovorno izabrana za jedinicu.

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Školska godina 2006/2007 Fizika 1 Auditorne vježbe 5 Dinamika: Newtonovi zakoni 12. prosinca 2008. Dunja Polić (dunja.polic@fesb.hr)

Διαβάστε περισσότερα

FIZIČKO-TEHNIČKA MERENJA: MERENJE BRZINE I UBRZANJA

FIZIČKO-TEHNIČKA MERENJA: MERENJE BRZINE I UBRZANJA : MERENJE BRZINE I UBRZANJA UVOD Iako brzina predstavlja prvi, a ubrzanje drugi izvod, ne preporučuje se njihovo određivanje preko izvoda, jer usled šuma greška može biti velika. Može se koristi sledeća

Διαβάστε περισσότερα

ZAKONI OČUVANJA U IZOLIRANOM SUSTAVU

ZAKONI OČUVANJA U IZOLIRANOM SUSTAVU Poglavlje 6 ZAKONI OČUVANJA U IZOLIRANOM SUSTAVU U praksi se često dogada da nekoliko tijela uzajamno djeluju jedno na drugo mnogo snažnije nego što na njih djeluju druga okolna tijela. Teorijsko razmatranje

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota

TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota TERMODINAMIKA TERMO TOPLO nauka o kretanju toplote DINAMO SILA Termodinamika-nauka odnosno naučna disciplina koja ispituje odnose između promena u sistemima

Διαβάστε περισσότερα

LABORATORIJSKE VEŽBE IZ FIZIKE

LABORATORIJSKE VEŽBE IZ FIZIKE LABORATORIJSKE VEŽBE IZ FIZIKE Ime i prezime: Broj indeksa: UPUTSTVO ZA IZRADU LABORATORIJSKIH VEŽBI IZ FIZIKE. Pre početka sa radom pažljivo se upoznati sa napomenama iz ovog uputstva!. Na početku opisa

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα