τα µαθηµατικά; Τι σηµαίνει εξηγώ; Ρώτησε η Λόλα.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "τα µαθηµατικά; Τι σηµαίνει εξηγώ; Ρώτησε η Λόλα."

Transcript

1 τα µαθηµατικά; Τι σηµαίνει εξηγώ; Ρώτησε η Λόλα. Δυνατά ξεκίνησες! Εξηγούµαι στα αρχαία Ελληνικά σηµαίνει οδηγώ έξω από την απορία, δείχνω το κατανοητό. Μετά την εξήγηση όλα γίνονται πιο καθαρά µέσα στο µυαλό, όλα φωτίζονται, γι αυτό λέµε ότι µια εξήγηση «διαφωτίζει». Είναι η πνοή του αέρα που διώχνει τα σύννεφα. Ο Ρέι περίµενε να διώξει τα σύννεφα ο αέρας. Λόλα τι είναι για σένα τα µαθηµατικά; Η Λόλα δεν χρειάστηκε πολύ χρόνο για να απαντήσει: Είναι ένα µάθηµα όλο ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ, γεµάτο µε ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ, όπου σε περικυκλώνουν ΚΑΝΟΝΕΣ. Ένα µάθηµα όπου ο καθηγητής θέτει τα προβλήµατα Όπως πολλές συµµαθήτριές της, η Λό ΣΚΡΑΠΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Ή τουλάχισ διακήρυσσε η ίδια, µε επιδεικτική αυθάδεια. Ω αυτή την άκρως διεκδικητική διακήρυξη, δεν κανείς να µη διακρίνει ένα είδος φιλαρέσκεια έννοια ότι για µερικούς µαθητές η ανεπά µαθηµατικά αποτελεί τίτλο τιµής. Ήταν άραγε κ στ αλήθεια περήφανη γι αυτό, ή επρόκειτο α έναν τρόπο να διεκδικεί ένα µειονέκτηµα από πίστευε πως δεν θα µπορούσε ποτέ να απαλλα Ο Ρέι και η Λόλα είχαν συµφωνήσει ότι για να τη συζήτηση, ο καθένας τους θα δήλωνε τι του τι απεχθανόταν στα µαθηµατικά. Πρώτη ξεκίνησ και ξεκίνησε δυνατά: Για να είµαι ειλικρινής, δυσκολεύοµαι πολ κάτι που να µου αρέσει... Μπορείς όµως εύκολα να βρεις, ένα τραγ να σου αρέσει. Γι αυτό δε χρειάστηκε καθόλου χρόνο η γρήγορα ανέφερε το αγαπηµένο της τραγού

2 συναισθήµατα του καλλιτέχνη µεταφέρονται σε σένα, χωρίς εσύ να προβάλλεις κάποια αντίσταση και να απαιτείται κατανάλωση «πνευµατικής ενέργειας» για να την εξαλείψεις. Κι αυτό γιατί όποια ακουστική αισθητική αντίσταση προβάλλεται µηδενίζεται από την ίδια τη σύνθεση το τραγουδιού κι η µεταφορά των συναισθηµάτων γίνεται εντελώς ανέξοδα. Εποµένως είναι πολύ λογικό το τραγούδι αυτό να σου αρέσει. Στα µαθηµατικά όµως δεν συµβαίνει το ίδιο. Εκεί, κατά τη µεταφορά της αλήθειας από τις υποθέσεις ενός προβλήµατος στα συµπεράσµατά του, δηλαδή κατά τη διαδικασία της απόδειξης, εµφανίζονται λογικές αντιρρήσεις (δυσπιστίες) για την αποδοχή των νέων ισχυρισµών, τις οποίες, για να υπερνικήσουµε, απαιτείται να καταναλώσουµε µεγάλη πνευµατική ενέργεια! Κι αυτό ακριβώς κάνει τα µαθηµατικά να µην είναι προσιτά και άµεσα αποδεκτά σε µεγάλο αριθµό ανθρώπων. Μια λοιπόν αιτία που µπορεί να µην αγαπάς τα µαθηµατικά και να το πω τώρα αµέσως; Κατ αρχάς στα µαθηµατικά δεν ξέρω πράγµα µιλάµε. Έπειτα, δεν ξέρω ποτέ τι χωρίζοντας τις συλλαβές. Σταµατώ ή συνεχ µαθηµατικά. Θέλω να πω, σε τι χρησιµε Ο Niels Steensen έλεγε πως, ωραία Πολύ όµορφο αυτό, αλλά νοµίζω πως λόγος για να βρίσκω ωραία τα µαθηµατικά. Η Λόλα σαν παιδί συνεχίζει να κρίνε Τώρα αµέσως. Και τότε, ξέσπασε η οµοβροντία. για να λύσω ένα πρόβληµα. Κι ύστ κατάλαβα ποτέ τι είναι Α-ΠΟ-ΔΕΙ-ΞΗ, Συνέχισε. Δεν καταλαβαίνω σε τι χρησιµε ζωή. πράγµατα που βλέπουµε, ωραιότερ καταλαβαίνουµε και ωραιότερα όλων καταλαβαίνουµε.

3 συνεχίζει. Από αιώνες τώρα, καθώς αναπτύσσεται η φυσική επιστήµη βήµα µε βήµα, το φυσικό περιβάλλον µαθηµατικοποιείται και τα µαθηµατικά διεισδύουν σχεδόν παντού στον φυσικό κόσµο που µας περιβάλει. Έτσι δεν είναι καθόλου εύκολο να δούµε τη σύνδεσή τους µε την πραγµατική ζωή άρα και τη χρησιµότητά τους. Σε ένα αεροπλάνο που πετά, σε ένα αυτοκίνητο που κινείται αλλά και γενικότερα στη µορφή της τεχνολογίας και του κόσµου που αντιλαµβανόµαστε, δε φαίνεται ο τρόπος µε τον οποίο τα µαθηµατικά συνέβαλαν στην εξέλιξή τους. Λένε πως ο Κόσµος δηµιουργήθηκε έτσι ώστε τα πράγµατα που βλέπουµε να είναι φτιαγµένα από πράγµατα που δεν τα βλέπουµε - και νοµίζω πως αυτό ισχύει κι εδώ. Όσο εύλογη όµως και να είναι η συχνά επαναλαµβανόµενη µαθητική απορία σου για τη την πραγµατική ζωή είναι αναµφισβήτητη. Αυτή ακριβώς η αντίληψη εκφράζεται απ αιώνα, όταν «ποιητικά» ο Γαλιλαίος ισχυρίζ «Το βιβλίο της φύσης είναι γραµ µαθηµατικούς χαρακτήρες». Η φράση έµεινε κλασική και εκφράζει µε τρόπο ποιη ο φυσικός κόσµος, δηλαδή η πραγµατικότητα χωρίς τον συνυφασµένο κόσµο των συναισθηµάτων, δεν είναι τίπ από µια υλοποίηση των µαθηµατικών θε άποψη αυτή τουλάχιστον µέχρι σήµερα φα δικαιώνεται από τα γεγονότα και µάλιστα ό αν έχουν ειπωθεί για τα µαθηµατικά απ µετά, δεν αναιρούν, αλλά τονίζουν ένα γε οποίο µε την εξέλιξη της επιστήµης γίνετα πιο αληθοφανές. Κι αυτό είναι πως όχι µόνο ο φυσικός κόσ µια υλοποίηση κάποιας µαθηµατικής θεωρ και, αντίστροφα, τα µαθηµατικά στο σύνολό την πρόοδο της επιστήµης προβάλλουν όλ

4 µε απόδειξη όπως την εννοούµε στα µαθηµατικά. Γιατί ενώ σ αυτά η αλήθεια µε αφετηρία τις υποθέσεις ενός προβλήµατος µεταφέρεται µε λογική στον τελικό στόχο που είναι τα συµπεράσµατα του προβλήµατος, στη φιλοσοφία (ή τα µετα- µαθηµατικά) δεν ισχύει κάτι τέτοιο. Εκεί δεν υπάρχουν τελικοί στόχοι, υπάρχουν µόνο αφετηρίες. Και το ερώτηµά σου που αφορά στη χρήση των µαθηµατικών στη ζωή αλλά και αυτό για το οποίο µιλούν, δεν είναι µαθηµατικό ερώτηµα αλλά φιλοσοφικό (ή µετα-µαθηµατικό). Ξεκίνησε δυνατά η Λόλα, αλλά κι εκείνος δεν πάει πίσω. Πολύ θαρραλέο εκ µέρου του να επιχειρήσει να παρουσιάσει µ αυτόν τον τρόπο την άποψή του για τα µαθηµατικά. Η ηλικία της ίσως να µην της επιτρέπει να διαχειριστεί µε ικανοποιητικό τρόπο τέτοιες απόψεις και θα µπορούσε να µειωθεί το ενδιαφέρον της για τη συνέχεια. Μου φαίνεται υπερφίαλη αυτή η άποψη. Ίσως, προς το παρόν όµως φαίνεται χρήσιµη και Τα µαθηµατικά είναι βίαια! Ο Ρέι την κοίταξε εµβρόντητος. Βίαια τα µα Μόνο η Λόλα θα µπορούσε να εκτοξεύσει κατηγορία. Γρήγορα όµως συνήλθε από τ της είπε χαµογελώντας αδιόρατα. Αν όµως νιώθεις ότι υπάρχει βία στα µα αυτό σηµαίνει πως δε σε αφήνουν αδιάφορ Η Λόλα κλονίστηκε, και τελικά του πέταξε: Μήπως η φυλακή αφήνει αδιάφ φυλακισµένο; Φυλακή τα µαθηµατικά!!! Είναι µια αναλογία, απλώς για να αντικρ επιχείρηµά σου και να σου δείξω ότι δεν απ τίποτε. Πώς είναι δυνατόν να µε αφήνει ένα µάθηµα που µε υποχρεώνουν παρακολουθώ πολλές ώρες την εβδοµ µικρό κοριτσάκι; Μπορείς ίσως να µου πεις µε ποια έν

5 λεπίδες. Αρκεί να κάνεις ένα ασήµαντο σφάλµα, και την έχεις πατήσει, είναι όλα τελείως λάθος, και όχι... λιγάκι λάθος. Ο Ρέι ξέσπασε σε γέλια. Έπειτα, συνέχισε ακάθεκτη η Λόλα,έχεις την αίσθηση ότι είναι έτσι κι οχι αλλιώς, να τι µε ενοχλεί. Νιώθω ανήµπορη. Είναι σαν να σε αποστοµώνουν. Και εµένα δε µου αρέσει να αποστοµώνοµαι. Τα µαθηµατικά... έχουν πάντα την τελευταία λέξη. Κι εσύ τι θα ήθελες να απαντήσεις, για να έχεις την τελευταία λέξη; Για την ακρίβεια, τίποτε. Η Λόλα παρατήρησε το χαµόγελο που διαγραφόταν στα χείλη του Ρέι: Μη χαίρεσαι! Αν δεν έχω τίποτε να απαντήσω, είναι επειδή το θέµα δε µε ενδιαφέρει αρκετά ώστε να έχω κάτι να πω. Έχω να πω πράγµατα µόνο πάνω σε ό,τι µε ενδειαφέρει! Είσαι βέβαιη ότι µόνο στα µαθηµατικά τα έτσι και όχι αλλιώς. Η Βαστίλη έπεσε στις 1 του 1789 και όχι στις 13. Είναι έτσι και όχι α Ναι αλλά θα µπορούσε. Θα µπορούσε τι; Να είχε πέσει στις 13. Έκπληκτος από την απάντηση της Λόλ κατάλαβε ότι η συζήτηση - η αντιπαράθεσ ήταν εύκολη. Σύµφωνοι, είπε τελικά. Τι κάνει ο καθηγ της Ιστορίας; Εξηγεί γιατί η Βαστίλη έπεσ Ιουλίου, παραθέτει αιτίες, εκθέτει γεγονότ για ποιό λόγο το συγκεκριµένο γεγονός εκείνη την ηµέρα. Το ίδιο και στη Γεωγραφ ρου του Σκουάνα. Τα πράγµατα θα µπορ ήταν αλλιώς, σίγουρα, υπάρχουν όµως αιτίες που είναι όπως είναι. Συχνά αυτό εξηγώ: παραθέτω αιτίες. Στα µαθηµατικά έχω την εντύπωση πράγµατα δε θα µπορούσαν να είναι αλλι

6 µέσα σου: Τι κάνω εγώ εδώ πέρα; Σωστά, στα µαθηµατικά τα πράγµατα δε θα µπορούσαν να µην είναι όπως είναι. Στην Ιστορία, στη γεωγραφία, αλλά και γενικότερα στο φυσικό χώρο, είπαµε πως, ενώ τα πράγµατα θα µπορούσαν να είναι αλλιώς, δεν είναι, γιατί οι αιτίες που τα δηµιούργησαν δεν µπορούσαν να παράγουν τίποτε διαφορετικό. Από το 17 ο αιώνα ο Νεύτωνας στο κλασσικό του έργο Principia, µε το οποίο θεµελίωσε τη νεότερη φυσική, έλεγε πως οι ίδιες αιτίες παράγουν τα ίδια αποτελέσµατα. Καθώς όµως τα αξιώµατα µιας µαθηµατικής θεωρίας, για παράδειγµα της γεωµετρίας, εκφράζουν τις ιδιότητες του ενός και µοναδικού φυσικού χώρου, η «πειστικότητα» των αξιωµάτων µέσω της λογικής περνά σε άλλες προτάσεις της θεωρίας και κάνει τα πράγµατα σ αυτές να είναι «έτσι κι όχι αλλιώς». Έτσι ένα ισοσκελές τρίγωνο, δεν µπορεί να µην έχει δυο γωνίες ίσες. Σαν κάποιο µαγικό ραβδί να µεταµόρ γεωµετρία σε µια λίµνη και τις προτάσε χρυσόψαρα. Και κάθε που αποδεικνύ πρόταση, είναι σα να αλιεύεται το α χρυσόψαρο. Αυτό όµως υπήρχε µέχρι τ µέσα στη λίµνη, κι απλώς δεν είχε αλιευθεί Όµως κι ο ρους του Σηκουάνα έχει «Όπως λες πριν φτάσεις. Αυτό είναι αλήθεια, όµως το α διαφορετικά. Για ποιό λόγο κατά τη γνώµη σου; Πιστεύω στ αλήθεια πως αυτό συµβαίν στα µαθηµατικά δεν καταλαβαίνω για ποιο γίνεται λόγος. Στην ιστορία, στη γεωγρα γλώσσα, στη χηµεία, στη φυσική, ξέρω. Α αν δεν καταλαβαίνω πάντα, έχω µια κάποι ποιο πράγµα γίνεται λόγος. Στα µαθηµατικά να υπάρχει µια µυστική γλώσσα. Α! αναφώνησε ο Ρέι. Αν πρόκειται για

7 περιπτώσεις δεν ξέρω για ποιο πράγµα γίνεται λόγος. Όχι. Δεν είναι το ίδιο, διότι αν είναι µια γλώσσα, µυστική ή όχι, αυτή µιλά για κάτι. Άρα, µπορείς να δοκιµάσεις να την αποκρυπτογραφήσεις. Συµφωνείς λοιπόν τουλάχιστον ότι τα µαθηµατικά δεν είναι δυνατό να µιλούν για το τίποτε; Έτσι όπως το λες, είµαι αναγκασµένη να συµφωνήσω ότι σίγουρα µιλούν για κάτι, Όµως για τι; Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό είπαµε πως δίνεται από τη φιλοσοφία ή τα (µετα-µαθηµατικά). Κι είναι ένας ισχυρισµός, ο οποίος φαίνεται πως χρειάζεται συνεχή επανάληψη για να γίνει κατανοητός. Σύµφωνα µ αυτόν, πίσω από το συµβολικό κόσµο των µαθηµατικών βρίσκεται ο ένας και µοναδικός φυσικός κόσµος και γι αυτόν µιλούν µε τη συµβολική τους γλώσσα τα µαθηµατικά. Ε, λοιπόν, σου ανακοινώνω πως, όταν όπως το µάθηµα των κινέζικων, αλλά σίγ µάθηµα γλώσσας. Στα Ελληνικά, ή στα κινέζικα, υ άνθρωποι, κείµενα, άτοµα που επικοινωνο εκφράσουν ιδέες, συναισθήµατα, πλη ακόµη και λόγια αγάπης. Ξαφνικά της ήρθε µια ίδέα: Στα µαθηµατικά µπορείς να πεις «Σ αγαπ Αιφνιδιασµένος ο Ρέι για λίγο, αναγκάστηκε παραδεχτεί ότι στα µαθηµατικά δεν µπορει να «σ αγαπώ». Μέχρι σήµερα, το «σ αγαπώ» λογί συνάισθηµα κι είναι έξω από κάθε έννοια λο Βέβαια, το συναίσθηµα καλύπτει τη λογικ και όπου υπάρχει αγάπη δεν είναι απαρ λογική. Κι αυτό ίσως πρέπει να το σ καλύτερα εµείς οι µαθηµατικοί. Παρόλα αυτά, όµως, τα µαθηµατικά µιλ για όσα επιδέχονται κάποια λογική ερµηνε

8 «σ αγαπώ». Δεν είπα ποτέ ότι µπορούµε να πούµε τα πάντα, µπορούµε όµως να εκφράσουµε πολλές ιδέες: «βρίσκεται ανάµεσα», «βρίσκονται εκατέρωθεν», «είναι το µεγαλύτερο», «είναι το µικρότερο», «γειτνιάζουν», «επικαλύπτονται», «συναντιού-νται».. Έχοντας ανακτήσει την αυτοπεποίθησή του ο Ρέι δήλωσε: Τα µαθηµατικά είναι µια γλώσσα, χωρίς βεβαίως να είναι µόνο αυτό. Μια γλώσσα που µας επιτρέπει να εκφράσουµε σχέσεις, να διατυπώνουµε ιδέες, να ορίζουµε αναλογίες, να θέτουµε ερωτήµατα, να καταφάσκουµε να αντιφάσκουµε, να ανακατασκευάζουµε, να περιγράφουµε. Και δεν πρόκειται για µυστική γλώσσα, εφόσον οι κανόνες γραφής που τη διέπουν είναι δηµόσιοι και µπορεί ο καθένας να τους µάθει. Ή, µάλλον, όλοι οι µαθητές όχι µόνο µπορούν αλλά πρέπει να τους µάθουν. Αποτελούν ουσιώδες µέρος του µαθήµατος. τη γλώσσα; Δείξ τη µου στο χάρτη, για µπο εγγραφώ σ ένα πρόγραµµα γλωσσικής διαµ Η δεσποινίς σαρκάζει. Τη γλώσσα µαθαίνεις στο µάθηµα των µαθηµατικών. Ίσως θα έπρεπε να κάνω και γλωσσικές και µεταφράσεις µαθηµατικών... Οπωσδήποτε. Η µετάφραση ενός µαθ κειµένου στην κοινή γλώσσα είναι µια άσκηση. Όµως, όπως σε κάθε γλώσσα, έτσι µαθηµατικά, για να διατυπώσουµε µια πρότασ ανάγκη από ένα αλφάβητο και από ένα συντ τους κανόνες γραφής. Ας προχωρήσουµε σε µια απογραφή λέ των συµβόλων που συναντάµε. Ο Ρέι έγραψε κάτι σύντοµα σε ένα φύλο χα έδωσε στη Λόλα. Ορίστε τρεις µαθηµατικές εκφράσε µαθηµατική έκφραση ακριβώς επειδή

9 έννοια: «2 + =», «2 = 1 +3», «2 = 1 +1» «2 + =», η έκφραση αυτή δε σηµαίνει τίποτε. Για να σηµαίνει κάτι, πρέπει το νοηµατικό της περιεχόµενο να χαρακτηρίζεται ως αλήθεια η ψέµα. Δεν είναι ψευδής, θα µπορούσαµε να πούµε ότι δεν είναι καν ψευδής. Για να είναι ψευδής, θα έπρεπε να έχει κάποιο νόηµα. Όµως δεν έχει. Είναι άσχηµα διατυπωµένη, διότι δεν έχει διατυπωθεί σύµφωνα µε τους κανόνες γραφής. «2 = 1 + 3», καταλαβαίνω τι σηµαίνει: ο αριθµός 2 και ο αριθµός είναι ίσοι µεταξύ τους. Το καταλαβαίνω. Είναι όµως ψευδές. «2 = 1 + 1», καταλαβαίνω τι σηµαίνει: ο αριθµός 2 και ο αριθµός είναι ίσοι µεταξύ τους. Το καταλαβαίνω, κι είναι αληθές. Τα περισσότερα σφάλµατα στα µαθηµατικά προέρχονται από το γεγονός ότι οι φράσεις που γράφουµε δεν έχουν νόηµα. Πρώτη προφύλαξη «Ε +Ε = 2», «2 // 3». Να δύο φράσει διατυπωµένες. Α, ξέχασα: Ε και Ε είναι ευθ Η φράση «Ε +Ε = 2» δεν έχει νόηµα, γνωρίζουµε τι σηµαίνει «το άθροι ευθειών», εφόσον το σύµβολο + δεν στη γεωµετρία. Ας περάσουµε τώρα σε µια απογρ τύπων λέξεων που χρησιµοποιούν µαθηµατική γλώσσα. Λέξεις της κοινής γ άρθρα: ο, η, το, οι, τα, ένας, µία, ένa* επ εντός* σύνδεσµοι: και, που, ότι* ρήµατα, από τα οποία εκφράζουν ένα αίτηµα: κατασ βρείτε, ορίστε, επαληθεύστε, χαράξτε, ε παρουσιάζουν αντικείµενα: υποτεθείσθω, λέξεις ειδικές, που χρησιµοποιούνται µ µαθηµατικά, συνήθως ονόµατα αντι διάµεσος, µεσοκάθετος, διαγώνιος, συ κύλινδρος, ηµίτονο, συνηµίτονο, κ.λ.π.* επίθετα: ισοσκελές, ισόπλευρο, παρ

10 Είναι φυσικό, ο ορισµός είναι µια θεµελιώδης «Η φύση δεν κάνει µε πολλά έξοδα εκ µας επιτρέπουν να γράφουµε µε απλουστευµένο τρόπο πράξεις, όπως +, x, ή σχέσεις, όπως =, // Ας περάσουµε στις φράσεις: τι τύπου φράσεις συναντάµε στα µαθηµατικά; Φράσεις που εξαγγέλλουν µια πρόταση, που παρουσιάζουν αντικείµενα ή καταστάσεις, που διατυπώνουν αιτήµατα. Όταν ένα νέο αντικείµενο εµφανίζεται στο σύµπαν των µαθηµατικών, οφείλουµε να συντάξουµε τη ληξιαρχική πράξη γέννησής του. Αυτός είναι ο ρόλος του ορισµού, που σηµατοδοτεί την επίσηµη είσοδο του νέου αντικειµένου στο µαθηµατικό σύµπαν. Ο ορισµός περιλαµβάνει το όνοµα και τις πληροφορίες που µας επιτρέπουν να χαρακτηρίσουµε το αντικείµενο. Οι ορισµοί αρχίζουν απαρεγκλίτως µε Η Λόλα τον διέκοψε: Ο καθηγητής αλλάζει ύφος, και µε ποµπώδη φωνή αναγγέλλει: «Ορισµός. Ονοµάζουµε τάδε» λέξεων, οι µαθηµατικοί ορισµοί δεν είνα περιγραφικοί, αλλά έµεσα λειτουργικοί, δη µπορούµε να χειριστούµε τα µαθηµατικά π αν γνωρίζουµε τους ακριβείς ορισµούς, λ Γύρω στο δεκατο τέταρτο αιώνα, ο Γο θεολόγος, γνωστός ως Γουλιέλµος Όκκ 1350) σε προφορικές παραδόσεις του συ να διαµορφώνουµε τις σκέψεις και τη δρ χρησιµοποιώντας µόνο τα απαραίτητα στ να κόβουµε τα περιττά. Γνωστή γι αυτό τ παραίνεση ως ξυράφι του Όκκαµ διατυπώ «Είναι µάταιο να κάνεις µε περισσότ λέξη, χρησιµοποιώντας όλες τις λέξ εµφανίζονται στον ορισµό. Όκαµ, Άγγλος σχολαστικός φιλόσοφ εξής: µπορεί να γίνει µε λιγότερα». Το 16 ο αιώνα ο Γαλιλαίος γενικεύοντας άποψη, πιο παραστατικός, δίδασκε:

11 γενικά διατύπωσε ο Γαλιλαίος κι ακριβώς µια εξειδίκευσή της αποτελεί κι η άποψη ότι ορισµός ενός αντικειµένου στα µαθηµατικά είναι το πιο ευάριθµο πλήθος πληροφοριών που µας επιτρέπουν να το χαρακτηρίσουµε. Να γιατί πρέπει να γνωρίζουµε κάθε ορισµό λέξη προς λέξη. Αρκεί να ξεχάσουµε µία µόνο λέξη και είναι εντελώς λάθος, κι όχι λίγο λάθος. Αυτό ακριβώς δεν αντέχω. Κι όµως, αυτό είναι ένα από τα πιο σηµαντικά πράγµατα που µπορούν να σου προσφέρουν τα µαθηµατικά: η ακριβολογία. Είναι µια ιδιότητα των µαθηµατικών που µπορεί να σου χρησιµεύσει «στη ζωή» όπως λες. Η ακριβολογία δεν είναι µονοµανία. Αποτελεί και την ειδοποιό διαφορά µεταξύ των παρακτικών και των θεωρητικών µαθηµατικών. Για παράδειγµα, στην πρακτική γεωµετρία οι γεωµετρικές ιδιότητες εξάγονται µόνο µε µετρήσεις σε υλικά σχήµατα, γι αυτό είναι προσεγγιστικές, ενώ στη θεωρητική γεωµετρία, µέσω των αποδείξεων, οι τις οποίες υποθέσαµε αληθείς. Όταν οι µαθηµατικοί ανακαλύπτουν νέες ιδ έννοιες, νέα αντικείµενα, συµβαίνει συχνά δίνουν ένα όνοµα, ώστε να µπορούν να αυτά και να τα χρησιµοποιούν, χωρίς ω παραθέτουν τον ακριβή ορισµό Παραδείγµατος χάρη, η ευθεία, ο κύκλο «λειτουργούσαν» πολύ πριν διατυπώσει το τους ο Ευκλείδης. Το ίδιο και σήµερα Και γιατί γράφουµε διαρκώς το ίσον; Η έννοια της ισότητας είναι άµεση συνέ σύγκρισης των µεγεθών, η οποία θεµελιώδες πνευµατικό επίτευγµα, συνυ απόλυτα µε το ανθρώπινο λογικό. Μπορείς να φανταστείς τα µαθηµατικά ίσον; Είναι το σπουδαιότερο µαθηµατικό Όταν γράφω 2 = 1 + 1, τι λέω; Λέω ότι ο α και ο αριθµός (1+1) είναι Ο ΙΔΙΟΣ αριθµός

12 εξισώνω όλα τα δυνατά ονόµατα του 2: Και σε τι σε ωφελεί αυτό; Αν, για οποιονδήποτε λόγο, έχω ανάγκη να παρουσιαστεί το 2 σαν άθροισµα, το παρουσιάζω ως (1+1). Αν θέλω να εµφανιστεί σαν διαφορά, το παρουσιάζω ως (5 3), κ.λ.π. Έτσι, ανάλογα µε τις ανάγκες, χρησιµοποιώ µία από αυτές τις αναρίθµητες ταυτότητες. Όταν γράφω α = β είναι αµοιβαία ανταλλάξιµα: όπου βρίσκεται το α, µπορώ να το αντικαταστήσω µε το β. Και αντιστρόφως. Το αντίθετο του ίσον,. Διάφορον σηµαίνει «όχι ίσον», και µόνο αυτό. Γι αυτό δεν πρέπει επ ουδενί να συγχέουµε το διάφορον µε το µικρότερο, «<», ή το µεγαλύτερο, «>». Το ίσον υπήρχε πάντα; Η ιδέα της ισότητας ναι, αλλά όχι το σηµείο. Το τον ρώτησαν για ποιο λόγο το επέλεξε απάντησε: «Διάλεξα ένα ζευγάρι παράλ δίδυµων γραµµών επειδή τίποτα δεν είνα από δύο διδύµους». Και πριν τι έκαναν; Έγραφαν ίσον ολογράφως, aeguali στα Όλες τις λέξεις των µαθηµατικών τις ολογράφως, δεν υπήρχε κανένα σύµβ γραφή κυριολεκτική, απείρως πιο περίπλ µακροσκελής, και ελάχιστα περιεκτική. Άρα, τα µαθηµατικά κείµενα έµοιαζα υπόλοιπα κείµενα; Ακριβώς. Και τα σύµβολα + και ; Το + είναι πιθανόν να προέρχετ συντοµογραφία της Λατινικής λέξης et που και. Γιατί και η πρόσθεση στα λατιν προγραφτεί ολογράφως. Δηλαδή έγραφαν ένα ίσον δύο. Ίσως το et αργότερα να µ

13 στο γνωστό µας +. και από το εµπόριο στην άλγεβρα. Βέβαια, για την προέλευση των συµβόλων + και έχουν ειπωθεί πάρα πολλές ιστορίες αλλά καµιά απ αυτές δεν είναι τεκµηριωµένη. Το µόνο σίγουρο είναι ότι τα γνωστά µας σύµβολα + και, για να παριστάνουν την πρόσθεση και την αφαίρεση, χρησιµοποιήθηκαν για πρώτη φορά το 16 ο αιώνα από τον Βιέτ. Επειδή όµως ό,τι είναι όµορφο µπορεί να είναι και αληθινό, θα σου πως την πιο όµορφη από τις ιστορίες που αναφέρονται για την προέλευσή τους. Είναι µια ιστορία κιβωτίων. Κιβωτίων; Γύρω στο 1500, στη Γερµανία, ορισµένα εµπορεύµατα πωλούνταν µέσα σε ξύλινα κιβώτια. Γεµάτα τα κιβώτια έπρεπε να ζυγίζουν 4 centner (γύρω στα 50 κιλά). Αν κάποιο από αυτά είχε έλλειµµα βάρους, ας πούµε, 5 λίβρες, έγραφαν στο κιβώτιο 4c 5l. Αν εµφάνιζε περίσσευµα βάρους, φέρ ειπείν, 3 λίβρες, τότε διέγραφαν µε µιά κάθετη Υπήρχαν όµως και πολύ πιο πριν από αιώνα σύµβολα τα οποία παρίσταναν τις αριθµητικές πράξεις. Οι Αιγύπτιοι, για παράδειγµα, από την πλε χρησιµοποιούσαν δύο ιερογλυφκά: πρόσθεση αφαίρεση αυτά βλέπουµε τα εξής: Πρόσθεση: τα δύο πόδια προχωρούν π κατεύθυνση της γραφής. Αφαίρεση: τα δύο πόδια προχωρούν αντί την κατεύθυνση της γραφής. Το συν είναι ένα διαγραµµένο µείον, το είναι ένα διαγραµµένο ίσον. Πολύ σωστά. Στα µαθηµατικά υπάρχ

14 βρίσκουµε τη διαφορά (α β). Αν αυτοί δεν είναι µηδενική, τότε οι δύο αριθµοί δεν είναι ίδιοι. Υπάρχει και ένας άλλος τρόπος, τον οποίο δε σκεφτόµαστε αρκετά: το πηλίκον. Βρίσκουµε το πηλίκον της διαίρεσης. Αν, οι αριθµοί είναι διαφορετικοί. Και τα άλλα σηµεία; Ο σταυρός του πολλαπλασιασµού; Τον επινόησε ένας Άγγλος, ο Άουτριντ, γύρω στο Και το µεγαλύτερο και µικρότερο; Και πάλι ένας Άγγλος, ο Τόµας Χάριου, λίγα χρόνια νωρίτερα. Γιατί το ένα είναι ανοιχτό προς τα δεξιά και το άλλο προς τα αριστερά; Δεν έχω ιδέα. Ή, µάλλον, έχω, διόρθωσε. Νοµίζω ότι είναι ανοιχτό προς την πλευρά του µεγαλύτερου αριθµού. Λέγεται ότι το είναι µετατροπή του R λέξη Radix, που στα λατινικά σηµαίνει «ρίζα «υψώνουµε» στο τετράγωνο. Έτσι, υψών στο τετράγωνο, λαµβάνουµε το 2. Έρ νου η ιδέα της ρίζας ενός φυτού, π βυθισµένη στο χώµα και όταν υψώνεται, αριθµός ο οποίος πιστεύουµε ότι βρίσκ τέλος µιας ατελείωτης διαδικασίας προσεγ Ναι, αλλά γιατί ρίζα; Τι είναι το ; Είναι ο αριθµός του ο τετράγωνο ισούται µε δύο:. Λέµε ε φυτό. Εξάλλου ο είναι ουσιαστικά ένας ά οποία γεννιέται από τη συνθήκη αν και µόνο αν. Εποµένως, ό,τι γνωρίζουµε για τον π

15 , οι οποίες µεταβιβάζονται κληρονοµούνται στον άγνωστο απόγονο. Για παράδειγµα, ας υποθέσουµε ότι ένα αντρόγυνο έχει αποκτήσει ένα παιδί το οποίο όµως δεν έχουµε συναντήσει ποτέ. Οι µόνες ιδιότητες που µπορούµε να του αποδώσουµε µε βεβαιότητα είναι όσες έχει κληρονοµεί απ τους γονείς του. Έτσι, είναι άνθρωπος, γιατί οι γονείς του είναι, έχει το επώνυµα τους, την περιουσία τους κ.λ.π. Στη θέση των γονέων είναι η συνθήκη, αν και µόνο αν, και στη θέση του παιδιού είναι ο, για τον οποίο γνωρίζουµε µόνο τις ιδιότητες που του µεταβιβάζονται από την καταγωγή του και τις ρίζες του. Για το λόγο αυτό ίσως µπορεί κανείς να ισχυριστεί ότι ο αριθµός του οποίου το τετράγωνο ισούται µε δύο, ονοµάζεται ρίζα του 2. Όµορφη εξήγηση. Και τώρα, µια ερώτηση που µε

1 / 15 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 3 ης Γυµνασίου. Μάρτιος 2007

1 / 15 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 3 ης Γυµνασίου. Μάρτιος 2007 1 / 15 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Έρευνα υποστηριζόµενη από τη Γενική ιεύθυνση Εκπαίδευσης και Πολιτισµού της Ε.Ε., στο πλαίσιο του προγράµµατος Σωκράτης «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

1 / 13 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 5 ης ηµοτικού. Μάρτιος 2007

1 / 13 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 5 ης ηµοτικού. Μάρτιος 2007 1 / 13 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Έρευνα υποστηριζόµενη από τη Γενική ιεύθυνση Εκπαίδευσης και Πολιτισµού της Ε.Ε., στο πλαίσιο του προγράµµατος Σωκράτης «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση;

Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Ξεκινώντας θα ήθελα να θυµίσω κάποια στοιχεία που σχετίζονται µε τον ορισµό της συχνότητας σε ένα περιοδικό φαινόµενο, άρα και στην ΑΑΤ.

Διαβάστε περισσότερα

Το ταξίδι στην 11η διάσταση

Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το κείμενο αυτό δεν αντιπροσωπεύει το πώς παρουσιάζονται οι 11 διστάσεις βάση της θεωρίας των υπερχορδών! Είναι περισσότερο «τροφή για σκέψη» παρά επιστημονική άποψη. Οι σκέψεις

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΛΕΜΕΣΟΥ (Κ.Α.) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ:

ΙΕ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΛΕΜΕΣΟΥ (Κ.Α.) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: ΙΕ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΛΕΜΕΣΟΥ (Κ.Α.) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: 2007-2008 Τάξη: Γ 3 Όνομα: Η μύτη μου είναι μεγάλη. Όχι μόνο μεγάλη, είναι και στραβή. Τα παιδιά στο νηπιαγωγείο με λένε Μυτόγκα. Μα η δασκάλα τα μαλώνει: Δεν

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοψαρούλη, μην εμπιστεύεσαι ΠΟΤΕ... αχινό! Εκπαιδευτικός σχεδιασμός παιχνιδιού: Βαγγέλης Ηλιόπουλος, Βασιλική Νίκα.

Τριγωνοψαρούλη, μην εμπιστεύεσαι ΠΟΤΕ... αχινό! Εκπαιδευτικός σχεδιασμός παιχνιδιού: Βαγγέλης Ηλιόπουλος, Βασιλική Νίκα. Ήρθε ένας νέος μαθητής στην τάξη. Όλοι τον αποκαλούν ο «καινούριος». Συμφωνείς; 1 Δεν είναι σωστό να μη φωνάζουμε κάποιον με το όνομά του. Είναι σαν να μην τον αναγνωρίζουμε. Σωστά. Έχει όνομα και με αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Δεύτερη διδακτική πρόταση Έλεγχος επίδοσης στο σχολείο. 1 φωτοτυπία ανά μαθητή με τον έλεγχο παραγωγή προφορικού λόγου, παραγωγή γραπτού λόγου

Δεύτερη διδακτική πρόταση Έλεγχος επίδοσης στο σχολείο. 1 φωτοτυπία ανά μαθητή με τον έλεγχο παραγωγή προφορικού λόγου, παραγωγή γραπτού λόγου Κατανόηση προφορικού λόγου Επίπεδο B Δεύτερη διδακτική πρόταση Έλεγχος επίδοσης στο σχολείο Ενδεικτική διάρκεια: Ομάδα-στόχος: Διδακτικός στόχος: Στρατηγικές: Υλικό: Ενσωμάτωση δραστηριοτήτων: 1 διδακτική

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ (για τους μαθητές Γυμνασίων, ΓΕ.Λ., ΕΠΑ.Λ, ΕΠΑ.Σ, Καλλιτεχνικών, Μουσικών, Πρότυπων Πειραματικών Σχολείων.)

ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ (για τους μαθητές Γυμνασίων, ΓΕ.Λ., ΕΠΑ.Λ, ΕΠΑ.Σ, Καλλιτεχνικών, Μουσικών, Πρότυπων Πειραματικών Σχολείων.) Ημερομηνία:.. Σχολείο:. Τάξη:. ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ (για τους μαθητές Γυμνασίων, ΓΕ.Λ., ΕΠΑ.Λ, ΕΠΑ.Σ, Καλλιτεχνικών, Μουσικών, Πρότυπων Πειραματικών Σχολείων.) Πρόλογος Αγαπητέ/ή μαθητή/τρια, Το ερωτηματολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΔΡΑΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΟΥ ΤΡΟΜΟΥ

ΑΠΟΔΡΑΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΟΥ ΤΡΟΜΟΥ ΑΠΟΔΡΑΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΟΥ ΤΡΟΜΟΥ - Α,α,α,α,α,α,α! ούρλιαξε η Νεφέλη - Τρομερό! συμπλήρωσε η Καλλιόπη - Ω, Θεέ μου! αναφώνησα εγώ - Απίστευτα τέλειο! είπε η Ειρήνη και όλες την κοιτάξαμε λες και είπε

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΦΑΣΗ 1 η )

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΦΑΣΗ 1 η ) ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΦΑΣΗ 1 η ) 1 ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΟΥ JACKSON POLLOCK ΣΤΟΝ ΔΗΜΟΣΙΟΓΡΑΦΟ WILLIAM WRIGHT ΤΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ ΤΟΥ 1950. Το καλοκαίρι του 1950 o δημοσιογράφος William Wright πήρε μια πολύ ενδιαφέρουσα ηχογραφημένη

Διαβάστε περισσότερα

Αν δούµε κάπου τα παρακάτω σήµατα πώς θα τα ερµηνεύσουµε; 2. Πού µπορείτε να συναντήσετε αυτό το σήµα; (Κάθε σωστή απάντηση 1 βαθµός)

Αν δούµε κάπου τα παρακάτω σήµατα πώς θα τα ερµηνεύσουµε; 2. Πού µπορείτε να συναντήσετε αυτό το σήµα; (Κάθε σωστή απάντηση 1 βαθµός) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1 Φύλλο εργασίας 1 Ερµηνεύουµε σύµβολα! Αν δούµε κάπου τα παρακάτω σήµατα πώς θα τα ερµηνεύσουµε; Επικοινωνούµε έτσι κι αλλιώς 26 2. Πού µπορείτε να συναντήσετε αυτό το σήµα; Σύνολο: (Κάθε σωστή.

Διαβάστε περισσότερα

Τράντα Βασιλική Β εξάμηνο Ειδικής Αγωγής

Τράντα Βασιλική Β εξάμηνο Ειδικής Αγωγής Τράντα Βασιλική Β εξάμηνο Ειδικής Αγωγής Ο Μικρός Πρίγκιπας έφτασε στη γη. Εκεί είδε μπροστά του την αλεπού. - Καλημέρα, - Καλημέρα, απάντησε ο μικρός πρίγκιπας, ενώ έψαχνε να βρει από πού ακουγόταν η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Σοφία Παράσχου. «Το χάνουμε!»

Σοφία Παράσχου. «Το χάνουμε!» 1 Σειρά Σπουργιτάκια Εκδόσεις Πατάκη «Το χάνουμε!» Σοφία Παράσχου Εικονογράφηση: Βαγγέλης Ελευθερίου Σελ. 52 Δραστηριότητες για Α & Β τάξη Συγγραφέας: Η Σοφία Παράσχου γεννήθηκε στην Κάρπαθο και ζει στην

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΆΝΝΑ ΚΑΙ Ο ΑΛΈΞΗΣ ΕΝΆΝΤΙΑ ΣΤΟΥΣ ΠΑΡΑΧΑΡΆΚΤΕΣ

Η ΆΝΝΑ ΚΑΙ Ο ΑΛΈΞΗΣ ΕΝΆΝΤΙΑ ΣΤΟΥΣ ΠΑΡΑΧΑΡΆΚΤΕΣ ΤΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ EURO RUN www.nea-trapezogrammatia-euro.eu Η ΆΝΝΑ ΚΑΙ Ο ΑΛΈΞΗΣ ΕΝΆΝΤΙΑ ΣΤΟΥΣ ΠΑΡΑΧΑΡΆΚΤΕΣ - 2 - Η Άννα και ο Αλέξης είναι συμμαθητές και πολύ καλοί φίλοι. Μπλέκουν πάντοτε σε φοβερές καταστάσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτηματολόγιο Προγράμματος "Ασφαλώς Κυκλοφορώ" (αρχικό ερωτηματολόγιο) Για μαθητές Δ - Ε - ΣΤ Δημοτικού

Ερωτηματολόγιο Προγράμματος Ασφαλώς Κυκλοφορώ (αρχικό ερωτηματολόγιο) Για μαθητές Δ - Ε - ΣΤ Δημοτικού Ερωτηματολόγιο Προγράμματος "Ασφαλώς Κυκλοφορώ" (αρχικό ερωτηματολόγιο) Για μαθητές Δ - Ε - ΣΤ Δημοτικού Tάξη & Τμήμα:... Σχολείο:... Ημερομηνία:.../.../200... Όνομα:... Ερωτηματολόγιο Προγράμματος "Ασφαλώς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Σύμφωνα με τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας που διατύπωσε ο Αϊνστάιν, το βαρυτικό πεδίο κάθε μάζας δημιουργεί μια καμπύλωση στον χώρο (μάλιστα στον χωροχρόνο),

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

«ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012

«ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012 «ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012 1 ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ; Γράφει ο Ηλίας Δερμετζής «Τη ζωή μου χωρίς αριθμούς δεν μπορώ να τη φανταστώ,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φοιτητής: Παύλου Νικόλαος, Α.Ε.Μ: 2245, Ε Εξάμηνο Σχολείο: 1 ο Πειραματικό

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Η Άννα και ο Αλέξης ενάντια στους παραχαράκτες

Η Άννα και ο Αλέξης ενάντια στους παραχαράκτες Η Άννα και ο Αλέξης ενάντια στους παραχαράκτες Η Άννα και ο Αλέξης είναι συμμαθητές και πολύ καλοί φίλοι. Μπλέκουν πάντοτε σε φοβερές καταστάσεις και έχουν ζήσει συναρπαστικές περιπέτειες. Είναι αδύνατον

Διαβάστε περισσότερα

ALBUM ΤΟ ΚΛΕΙΔΙ 2010 ΦΥΣΑΕΙ

ALBUM ΤΟ ΚΛΕΙΔΙ 2010 ΦΥΣΑΕΙ ALBUM ΤΟ ΚΛΕΙΔΙ 2010 ΦΥΣΑΕΙ Μη µου µιλάς γι' αυτά που ξεχνάω Μη µε ρωτάς για καλά κρυµµένα µυστικά Και µε κοιτάς... και σε κοιτώ... Κι είναι η στιγµή που δεν µπορεί να βγεί απ' το µυαλό Φυσάει... Κι είναι

Διαβάστε περισσότερα

Το Ηµερολόγιο των Μάγιας και τα Χρήµατα από τον ρ. Καρλ Τζοχάν Κάλλεµαν

Το Ηµερολόγιο των Μάγιας και τα Χρήµατα από τον ρ. Καρλ Τζοχάν Κάλλεµαν Το Ηµερολόγιο των Μάγιας και τα Χρήµατα Από τον ρ. Καρλ Τζοχάν Κάλλεµαν Λοιπόν, ήθελα να µιλήσω για δυο πράγµατα που νοµίζω δεν συνδέονται πάντα αλλά, πραγµατικά θα τους άξιζε µια σύνδεση. Το ένα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα»

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Α] Ασκήσεις κλειστού τύπου (Σωστό Λάθος) Για τον Πλάτωνα οι καθολικές έννοιες, τα «καθόλου», δεν είναι πράγματα ξεχωριστά

Διαβάστε περισσότερα

«Γκρρρ,» αναφωνεί η Ζέτα «δεν το πιστεύω ότι οι άνθρωποι μπορούν να συμπεριφέρονται έτσι μεταξύ τους!»

«Γκρρρ,» αναφωνεί η Ζέτα «δεν το πιστεύω ότι οι άνθρωποι μπορούν να συμπεριφέρονται έτσι μεταξύ τους!» 26 σχεδιασε μια ΦωτογρΑΦιΑ τήσ προσκλήσήσ που ελαβεσ Απο τον ΔΑσκΑλο σου. παρουσιασε το λογοτυπο και το σλογκαν που χρήσιμοποιει το σχολειο σου για τήν εβδομαδα κατα τήσ παρενοχλήσήσ. ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΠΑΡΕΝΟΧΛΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Q = (2 3 5... P) + 1.

Q = (2 3 5... P) + 1. Η ΑΠΟΛΟΓΙΑ ΕΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ G.H. Hardy ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ Η Η ΦΑΝΕΡΟ ότι, αν θέλουµε να έχουµε οποιαδήποτε πιθανότητα να προχωρήσει η συζήτηση, οφείλω να δώσω παραδείγµατα «πραγµατικών» µαθηµατικών θεωρηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Το τέλος -ένας µονόλογος-

Το τέλος -ένας µονόλογος- Το τέλος -ένας µονόλογος- Γυναίκα µόνη, όµορφη, τριακονταετής. Καθιστή, µετά όρθια, πάντα µόνη. Χώρος κλειστός, ελάχιστα φωτεινός, παλιά ωραίος. Η ατµόσφαιρα έχει κάτι το πένθιµο. Το πρόσωπο κάτι το µόνιµο

Διαβάστε περισσότερα

0001 00:00:11:17 00:00:13:23. Έλα δω να δεις. 0002 00:00:13:23 00:00:15:18. Η Χλόη είναι αυτή; 0003 00:00:16:21 00:00:18:10. Ναι.

0001 00:00:11:17 00:00:13:23. Έλα δω να δεις. 0002 00:00:13:23 00:00:15:18. Η Χλόη είναι αυτή; 0003 00:00:16:21 00:00:18:10. Ναι. 0001 00:00:11:17 00:00:13:23 Έλα δω να δεις. 0002 00:00:13:23 00:00:15:18 Η Χλόη είναι αυτή; 0003 00:00:16:21 00:00:18:10 Ναι. 0004 00:01:06:17 00:01:07:17 Σου έδειξα τη φωτογραφία; 0005 00:01:07:17 00:01:10:10

Διαβάστε περισσότερα

Τα σύννεφα έχουν τέτοια ποικιλία σχημάτων, χρωμάτων και μεγεθών, που. κανένας δε βελτίωσε το σύστημα το οποίο επινόησε το 1803 ο Αγγλος φαρμακοποιός

Τα σύννεφα έχουν τέτοια ποικιλία σχημάτων, χρωμάτων και μεγεθών, που. κανένας δε βελτίωσε το σύστημα το οποίο επινόησε το 1803 ο Αγγλος φαρμακοποιός +ΑΡΘΡΟ I ποιος, ποσού 1. Zuvvccpa Η Μαρίνα μιλάει με τον Αλέξη στο τηλέφωνο και του λέει ότι διάβασε ένα κείμενο για τα σύννεφα. Εκείνος τη ρωτάει γι αυτά που διάβασε. Εμείς ακούσαμε μόνο τις απαντήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλο βραβείο, μεγάλοι μπελάδες. Μάνος Κοντολέων. Εικονογράφηση: Τέτη Σώλου

Μεγάλο βραβείο, μεγάλοι μπελάδες. Μάνος Κοντολέων. Εικονογράφηση: Τέτη Σώλου Συλλογή Περιστέρια 148 Εικονογράφηση εξωφύλλου: Εύη Τσακνιά 1. Το σωστό γράψιμο Έχεις προσέξει πως κάποια βιβλία παρακαλούμε να μην τελειώσουν ποτέ κι άλλα, πάλι, από την πρώτη κιόλας σελίδα τα βαριόμαστε;

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ

ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ 2015 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: ΓΡΙΒΑ ΕΛΕΝΗ 5/2/2015 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αυτό το portfolio φτιάχτηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΕΙΝΗ ΕΝΑ ΤΡΑΓΟΥ Ι ΓΙΑ ΤΟΝ Γ

ΕΚΕΙΝΗ ΕΝΑ ΤΡΑΓΟΥ Ι ΓΙΑ ΤΟΝ Γ Πέρος Ζαχαρίας Ζαχαρίας Πέρος ψευδώνυμο, του σπουδαστή της Αντιρύπανσης Ζαχαρία Περογαμβράκη. Στην Κοζάνη ασχολήθηκε με το Θέατρο σαν ερασιτέχνης ηθοποιός σε αρκετές παραστάσεις, συμμετείχε σε μία ταινία

Διαβάστε περισσότερα

Εντολές της LOGO (MicroWorlds Pro)

Εντολές της LOGO (MicroWorlds Pro) Εντολές της LOGO (MicroWorlds Pro) Εντολές εμφάνισης (εξόδου) και αριθμητικές πράξεις δείξε Εμφανίζει στην οθόνη έναν αριθμό, το αποτέλεσμα πράξεων, μια λέξη ή μια λίστα (ομάδα) λέξεων. δείξε 200 200 δείξε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΣΤΑΣΙΑΣ ΠΡΩΤΟΓΗΡΟΥ Πρωτοδίκου Διοικητικών Δικαστηρίων ΟΜΙΛΙΑ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΚΔΗΛΩΣΗ ΤΗΣ ΧΟΡΩΔΙΑΣ ΟΡΧΗΣΤΡΑΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΗΣ ΙΕΡΑΣ ΜΗΤΡΟΠΟΛΕΩΣ ΧΑΛΚΙΔΟΣ

ΑΝΑΣΤΑΣΙΑΣ ΠΡΩΤΟΓΗΡΟΥ Πρωτοδίκου Διοικητικών Δικαστηρίων ΟΜΙΛΙΑ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΚΔΗΛΩΣΗ ΤΗΣ ΧΟΡΩΔΙΑΣ ΟΡΧΗΣΤΡΑΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΗΣ ΙΕΡΑΣ ΜΗΤΡΟΠΟΛΕΩΣ ΧΑΛΚΙΔΟΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑΣ ΠΡΩΤΟΓΗΡΟΥ Πρωτοδίκου Διοικητικών Δικαστηρίων ΟΜΙΛΙΑ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΚΔΗΛΩΣΗ ΤΗΣ ΧΟΡΩΔΙΑΣ ΟΡΧΗΣΤΡΑΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΗΣ ΙΕΡΑΣ ΜΗΤΡΟΠΟΛΕΩΣ ΧΑΛΚΙΔΟΣ Κυριακή 19 Δεκεμβρίου 2010 Έμπλεη ευγνωμοσύνης, με βαθιά

Διαβάστε περισσότερα

Εντυπώσεις μαθητών σεμιναρίου Σώμα - Συναίσθημα - Νούς

Εντυπώσεις μαθητών σεμιναρίου Σώμα - Συναίσθημα - Νούς Εντυπώσεις μαθητών σεμιναρίου Σώμα - Συναίσθημα - Νούς A...Τα αισθήματα και η ενεργεία που δημιουργήθηκαν μέσα μου ήταν μοναδικά. Μέσα στο γαλάζιο αυτό αυγό, ένιωσα άτρωτος, γεμάτος χαρά και αυτοπεποίθηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Οι αριθμοί σελίδων με έντονη γραφή δείχνουν τα κύρια κεφάλαια που σχετίζονται με το θέμα. ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑ

Οι αριθμοί σελίδων με έντονη γραφή δείχνουν τα κύρια κεφάλαια που σχετίζονται με το θέμα. ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑ Τί σε απασχολεί; Διάβασε τον κατάλογο που δίνουμε παρακάτω και, όταν συναντήσεις κάποιο θέμα που απασχολεί κι εσένα, πήγαινε στις σελίδες που αναφέρονται εκεί. Διάβασε τα κεφάλαια, που θα βρεις σ εκείνες

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσµατα ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο. Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια

Κλάσµατα ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο. Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο Κλάσµατα Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια Όπως φαίνεται όµως ο Σάκης έφαγε 1 κοµµάτι από τα 8 Το κοµµάτι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις Η Φύση της Επιστήµης Ενότητες Κεφαλαίου 1 Μοντέλα Θεωρίες και Νόµοι Μετρήσεις και αβεβαιότητα (σφάλµατα); Σηµαντικά ψηφία Μονάδες, Πρότυπα, και το Διεθνές Σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Πρώτη νύχτα Μονάδα Όνειρα ( εργασία ) Η έννοια του απείρου Φρόυντ Κλάσματα Αριθμητικό σύστημα ( εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως και να ήταν.

Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως και να ήταν. Ένα όνειρο που ονειρεύεσαι μόνος είναι απλά ένα όνειρο. Ένα όνειρο που ονειρεύεσαι με άλλους μαζί είναι πραγματικότητα. John Lennon Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως

Διαβάστε περισσότερα

σόκ. Σιώπησε και έφυγε μετανιωμένος χωρίς να πει τίποτα, ούτε μια λέξη.» Σίμος Κάρμιος Λύκειο Λειβαδιών Σεπτέμβριος 2013

σόκ. Σιώπησε και έφυγε μετανιωμένος χωρίς να πει τίποτα, ούτε μια λέξη.» Σίμος Κάρμιος Λύκειο Λειβαδιών Σεπτέμβριος 2013 Εμπειρίες που αποκόμισα από το Διήμερο Σεμινάριο που αφορά στην ένταξη Παιδιών με Απώλεια Ακοής στη Μέση Γενική και Μέση Τεχνική και Επαγγελματική Εκπαίδευση Είχα την τύχη να συμμετάσχω στο διήμερο σεμινάριο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

17.Β. ΜΙΚΡΑ ΑΝΕΚΔΟΤΑ ΜΕ ΤΟΝ ΤΟΤΟ 4 - ΧΑΤΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥ ΜΑΡΙΑ

17.Β. ΜΙΚΡΑ ΑΝΕΚΔΟΤΑ ΜΕ ΤΟΝ ΤΟΤΟ 4 - ΧΑΤΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥ ΜΑΡΙΑ Ήταν ο Σοτός στην τάξη και η δασκάλα σηκώνει την Αννούλα στον χάρτη και τη ρωτάει: Αννούλα, βρες μου την Αμερική. Σην βρίσκει η Αννούλα και ρωτάει μετά τον Σοτό η δασκάλα: -Σοτέ, ποιος ανακάλυψε την Αμερική;

Διαβάστε περισσότερα

«Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1)

«Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1) «Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1) Πρόσωπα: Μαθητές ασκάλα Κύριος Τροχαιάκης (αστυνοµικός της τροχαίας) Παιδιά ΣΚΗΝΗ 1 (στην τάξη) Χτυπά κουδούνι και µπαίνει µέσα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

«Πούλα τα όσο θες... πούλα ας πούµε το καλάµι από 200 ευρώ, 100. Κατάλαβες;»

«Πούλα τα όσο θες... πούλα ας πούµε το καλάµι από 200 ευρώ, 100. Κατάλαβες;» «Πούλα τα όσο θες... πούλα ας πούµε το καλάµι από 200 ευρώ, 100. Κατάλαβες;» Οπου (Α) ο καλούµενος - χρήστης της υπ' αριθ. 698... (µέλος της Χ.Α.) Οπου (Β) ο καλών Ηµεροµηνία: 20/09/2013 Εναρξη: 22:12':00''

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕ ΡΟ ΧΟΥΑΝ ΓΚΟΥΤΙΕΡΕΣ

ΠΕ ΡΟ ΧΟΥΑΝ ΓΚΟΥΤΙΕΡΕΣ Ηµερολόγιο 2016 28 ΔΕΥΤΕΡΑ iανουaριος 29 ΤΡΙΤΗ 30 ΤΕΤΑΡΤΗ 31 ΠΕΜΠΤΗ 51 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 62 Πρωτοχρονιά (αργία) ΣΑΒΒΑΤΟ ρεϊμοντ καρβερ dfsfsdfsdfsdfdsfsd Απέκτησες τελικά, έστω κι έτσι, αυτό που ήθελες από τούτη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ: Β06Σ03 «Στατιστική περιγραφική εφαρμοσμένη στην ψυχοπαιδαγωγική» ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ:

ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ: Β06Σ03 «Στατιστική περιγραφική εφαρμοσμένη στην ψυχοπαιδαγωγική» ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2011-2012 ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ: Β06Σ03 «Στατιστική περιγραφική εφαρμοσμένη στην ψυχοπαιδαγωγική» Διδάσκων: Κ. Χρήστου

Διαβάστε περισσότερα

Το παραμύθι της αγάπης

Το παραμύθι της αγάπης Το παραμύθι της αγάπης Μια φορά και ένα καιρό, μια βασίλισσα έφερε στον κόσμο ένα παιδί τόσο άσχημο που σχεδόν δεν έμοιαζε για άνθρωποs. Μια μάγισσα που βρέθηκε σιμά στη βασίλισσα την παρηγόρησε με τούτα

Διαβάστε περισσότερα

Φωνή: Θανούλη! Φανούλη! Μαριάννα! Φανούλης: Μας φωνάζει η μαμά! Ερχόμαστε!

Φωνή: Θανούλη! Φανούλη! Μαριάννα! Φανούλης: Μας φωνάζει η μαμά! Ερχόμαστε! 20 Χειμώνας σε μια πλατεία. Χιονίζει σιωπηλά. Την ησυχία του τοπίου διαταράσσουν φωνές και γέλια παιδιών. Μπαίνουν στη σκηνή τρία παιδιά: τα δίδυμα, ο Θανούλης και ο Φανούλης, και η αδελφή τους η Μαριάννα.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΤΡΙΚΟ 2 ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΚΟΥΖΙΝΑ

ΘΕΑΤΡΙΚΟ 2 ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΚΟΥΖΙΝΑ ΘΕΑΤΡΙΚΟ 2 ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΚΟΥΖΙΝΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΚΟΥΖΙΝΑ ΕΓΓΟΝΟΣ: Παππού, γιατί προτιμάς να βάζεις κανέλα και όχι κύμινο στα σουτζουκάκια; ΠΑΠΠΟΥΣ: Το κύμινο είναι κομματάκι δυνατό. Κάνει τους ανθρώπους να κλείνονται

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 Περίληψη Η Αλίκη µισεί τα µαθηµατικά και θεωρεί πως δε χρησιµεύουν σε τίποτα. Μια µέρα που κάθεται και διαβάζει στο πάρκο, ένα παράξενο άτοµο την προσκαλεί

Διαβάστε περισσότερα

Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά.

Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. Γ. Οι μαθητές και τα Μαθηματικά. Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. ΠΙΝΑΚΑΣ 55 Στάση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ερώτημα-κλειδί Ποια είναι τα πιο σημαντικά πράγματα που σκέφτονταν οι άνθρωποι της

Ερώτημα-κλειδί Ποια είναι τα πιο σημαντικά πράγματα που σκέφτονταν οι άνθρωποι της Τι σκεφτόμαστε; Διδακτική πρόταση 5: Τι να σκέφτονταν οι άνθρωποι της Ερώτημα-κλειδί Ποια είναι τα πιο σημαντικά πράγματα που σκέφτονταν οι άνθρωποι της Πρόοδος από το προηγούμενο μάθημα Τα παιδιά μεταφέρουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

«Ο Αϊούλαχλης και ο αετός»

«Ο Αϊούλαχλης και ο αετός» ΠΑΡΑΜΥΘΙ #25 «Ο Αϊούλαχλης και ο αετός» (Φλώρινα - Μακεδονία Καύκασος) Διαγωνισμός παραδοσιακού παραμυθιού ebooks4greeks.gr ΠΑΡΑΜΥΘΙ #25 Ψηφίστε το παραμύθι που σας άρεσε περισσότερο εδώ μέχρι 30/09/2011

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΗ Η πλέον διαδεδοµένη και αποδεκτή θεωρία είναι η τριµερής θεωρία της γνώσης που ορίζει τη γνώση ως δικαιολογηµένη αληθή πεποίθηση (justified true belief). Ανάλυση της τριµερούς

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΕΣ. Α ομάδα. Αφού επιλέξεις τρία από τα παραπάνω αποσπάσματα που σε άγγιξαν περισσότερο, να καταγράψεις τις δικές σου σκέψεις.

ΕΡΓΑΣΙΕΣ. Α ομάδα. Αφού επιλέξεις τρία από τα παραπάνω αποσπάσματα που σε άγγιξαν περισσότερο, να καταγράψεις τις δικές σου σκέψεις. Α ομάδα ΕΡΓΑΣΙΕΣ 1. Η συγγραφέας του βιβλίου μοιράζεται μαζί μας πτυχές της ζωής κάποιων παιδιών, άλλοτε ευχάριστες και άλλοτε δυσάρεστες. α) Ποια πιστεύεις ότι είναι τα μηνύματα που θέλει να περάσει μέσα

Διαβάστε περισσότερα

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10;

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10; C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 4 ο Τελεστές Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Ο τελεστής εκχώρησης = Ο τελεστής = χρησιµοποιείται για την απόδοση τιµής (ή αλλιώς ανάθεση τιµής) σε µία µεταβλητή Π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μάχη Νικολάρα: Δεν ακούγεται και πολύ δημιουργικό αυτό, έτσι όπως το περιγράφετε.

Μάχη Νικολάρα: Δεν ακούγεται και πολύ δημιουργικό αυτό, έτσι όπως το περιγράφετε. Μάχη Νικολάρα: Θα μιλήσουμε για τον τομέα της εκπαίδευσης από μια άλλη σκοπιά. Οι ανακοινώσεις του Υπουργείου Παιδείας εχθές ανέτρεψαν κατά κάποιο τρόπο τον προγραμματισμό αυτής της εκπομπής, όμως όλα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΟΝΙΖΟΝΤΑΣ ΕΝΑ USABILITY TEST

ΣΥΝΤΟΝΙΖΟΝΤΑΣ ΕΝΑ USABILITY TEST ΣΥΝΤΟΝΙΖΟΝΤΑΣ ΕΝΑ USABILITY TEST ΟΔΗΓΟΣ ΑΠΟ ΤΗ USERFOCUS Text Userfocus 2009. cartoon artwork bitstrips www.bitstrips.com ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΤΡΙΑ ΣΤΑΔΙΑ ΣΤΟ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟ ΕΝΟΣ USABILITY TEST ΑΡΧΙΚΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΔΩΣΕΤΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Συγγραφέας: Edward Hughes Εικονογράφηση:M. Maillot Διασκευή:E. Frischbutter; Sarah S. Μετάφραση: Evangelia Zyngiri Παραγωγός: Bible for Children

Διαβάστε περισσότερα

Ένας άθεος καθηγητής της φιλοσοφίας συζητά με έναν φοιτητή του, για την σχέση μεταξύ επιστήμης και πίστης στον Θεό.

Ένας άθεος καθηγητής της φιλοσοφίας συζητά με έναν φοιτητή του, για την σχέση μεταξύ επιστήμης και πίστης στον Θεό. Ένας άθεος καθηγητής της φιλοσοφίας συζητά με έναν φοιτητή του, για την σχέση μεταξύ επιστήμης και πίστης στον Θεό. Καθηγητής: Λοιπόν, πιστεύεις στον Θεό; Φοιτητής: Βεβαίως, κύριε. Καθ.: Είναι καλός ο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ 3.1 Η έννοια της δύναμης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Στο κεφάλαιο των κινήσεων ασχοληθήκαμε με τη μελέτη της κίνησης χωρίς να μας απασχολούν τα αίτια που προκαλούν την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΧΟΛΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΙV

ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΧΟΛΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΙV ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗΕΠΙΣΤΗΜΩΝΤΗΣΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟΤΜΗΜΑΔΗΜΟΤΙΚΗΣΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΧΟΛΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΙV :. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΙΑΓΙΑ ΕΙΡΗΝΗ Α.Μ.: 4918 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ: Z Μάθημα:Φυσική Τάξη:Ε'Μαθητές:19

Διαβάστε περισσότερα

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας Ιωαννίνων Αριθμητικός Γραμματισμός Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη ΘΕΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΗΣ «Προγραμματισμός-Οργάνωση και υλοποίηση μιας διδακτικής ενότητας στον Αριθμητικό Γραμματισμό» ΠΡΟΣΘΕΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΠΕΡΑΤΟΤΗΤΑ (ΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΥ) Τίτλος διερεύνησης: Ποιοί παράγοντες επηρεάζουν το πόσο νερό συγκρατεί το χώμα;

ΥΔΡΟΠΕΡΑΤΟΤΗΤΑ (ΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΥ) Τίτλος διερεύνησης: Ποιοί παράγοντες επηρεάζουν το πόσο νερό συγκρατεί το χώμα; ΥΔΡΟΠΕΡΑΤΟΤΗΤΑ (ΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΥ) Τίτλος διερεύνησης: Ποιοί παράγοντες επηρεάζουν το πόσο νερό συγκρατεί το χώμα; Σύντομη περιγραφή διερεύνησης: Σκοπός αυτής της διερεύνησης ήταν να κάνουν κάποιες υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Συγγραφέας: Edward Hughes Εικονογράφηση:M. Maillot Διασκευή:E. Frischbutter; Sarah S. Μετάφραση: Evangelia Zyngiri Παραγωγός: Bible for Children

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

«ΑΓΝΩΣΤΟΙ ΑΝΑΜΕΣΑ ΜΑΣ»

«ΑΓΝΩΣΤΟΙ ΑΝΑΜΕΣΑ ΜΑΣ» «ΑΓΝΩΣΤΟΙ ΑΝΑΜΕΣΑ ΜΑΣ» ΤΑΞΗ Γ1 2 ο Δ Σ ΓΕΡΑΚΑ ΔΑΣΚ:Αθ.Κέλλη ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Κατά τη διάρκεια της περσινής σχολικής χρονιάς η τάξη μας ασχολήθηκε με την ανάγνωση και επεξεργασία λογοτεχνικών βιβλίων

Διαβάστε περισσότερα