τα µαθηµατικά; Τι σηµαίνει εξηγώ; Ρώτησε η Λόλα.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "τα µαθηµατικά; Τι σηµαίνει εξηγώ; Ρώτησε η Λόλα."

Transcript

1 τα µαθηµατικά; Τι σηµαίνει εξηγώ; Ρώτησε η Λόλα. Δυνατά ξεκίνησες! Εξηγούµαι στα αρχαία Ελληνικά σηµαίνει οδηγώ έξω από την απορία, δείχνω το κατανοητό. Μετά την εξήγηση όλα γίνονται πιο καθαρά µέσα στο µυαλό, όλα φωτίζονται, γι αυτό λέµε ότι µια εξήγηση «διαφωτίζει». Είναι η πνοή του αέρα που διώχνει τα σύννεφα. Ο Ρέι περίµενε να διώξει τα σύννεφα ο αέρας. Λόλα τι είναι για σένα τα µαθηµατικά; Η Λόλα δεν χρειάστηκε πολύ χρόνο για να απαντήσει: Είναι ένα µάθηµα όλο ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ, γεµάτο µε ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ, όπου σε περικυκλώνουν ΚΑΝΟΝΕΣ. Ένα µάθηµα όπου ο καθηγητής θέτει τα προβλήµατα Όπως πολλές συµµαθήτριές της, η Λό ΣΚΡΑΠΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Ή τουλάχισ διακήρυσσε η ίδια, µε επιδεικτική αυθάδεια. Ω αυτή την άκρως διεκδικητική διακήρυξη, δεν κανείς να µη διακρίνει ένα είδος φιλαρέσκεια έννοια ότι για µερικούς µαθητές η ανεπά µαθηµατικά αποτελεί τίτλο τιµής. Ήταν άραγε κ στ αλήθεια περήφανη γι αυτό, ή επρόκειτο α έναν τρόπο να διεκδικεί ένα µειονέκτηµα από πίστευε πως δεν θα µπορούσε ποτέ να απαλλα Ο Ρέι και η Λόλα είχαν συµφωνήσει ότι για να τη συζήτηση, ο καθένας τους θα δήλωνε τι του τι απεχθανόταν στα µαθηµατικά. Πρώτη ξεκίνησ και ξεκίνησε δυνατά: Για να είµαι ειλικρινής, δυσκολεύοµαι πολ κάτι που να µου αρέσει... Μπορείς όµως εύκολα να βρεις, ένα τραγ να σου αρέσει. Γι αυτό δε χρειάστηκε καθόλου χρόνο η γρήγορα ανέφερε το αγαπηµένο της τραγού

2 συναισθήµατα του καλλιτέχνη µεταφέρονται σε σένα, χωρίς εσύ να προβάλλεις κάποια αντίσταση και να απαιτείται κατανάλωση «πνευµατικής ενέργειας» για να την εξαλείψεις. Κι αυτό γιατί όποια ακουστική αισθητική αντίσταση προβάλλεται µηδενίζεται από την ίδια τη σύνθεση το τραγουδιού κι η µεταφορά των συναισθηµάτων γίνεται εντελώς ανέξοδα. Εποµένως είναι πολύ λογικό το τραγούδι αυτό να σου αρέσει. Στα µαθηµατικά όµως δεν συµβαίνει το ίδιο. Εκεί, κατά τη µεταφορά της αλήθειας από τις υποθέσεις ενός προβλήµατος στα συµπεράσµατά του, δηλαδή κατά τη διαδικασία της απόδειξης, εµφανίζονται λογικές αντιρρήσεις (δυσπιστίες) για την αποδοχή των νέων ισχυρισµών, τις οποίες, για να υπερνικήσουµε, απαιτείται να καταναλώσουµε µεγάλη πνευµατική ενέργεια! Κι αυτό ακριβώς κάνει τα µαθηµατικά να µην είναι προσιτά και άµεσα αποδεκτά σε µεγάλο αριθµό ανθρώπων. Μια λοιπόν αιτία που µπορεί να µην αγαπάς τα µαθηµατικά και να το πω τώρα αµέσως; Κατ αρχάς στα µαθηµατικά δεν ξέρω πράγµα µιλάµε. Έπειτα, δεν ξέρω ποτέ τι χωρίζοντας τις συλλαβές. Σταµατώ ή συνεχ µαθηµατικά. Θέλω να πω, σε τι χρησιµε Ο Niels Steensen έλεγε πως, ωραία Πολύ όµορφο αυτό, αλλά νοµίζω πως λόγος για να βρίσκω ωραία τα µαθηµατικά. Η Λόλα σαν παιδί συνεχίζει να κρίνε Τώρα αµέσως. Και τότε, ξέσπασε η οµοβροντία. για να λύσω ένα πρόβληµα. Κι ύστ κατάλαβα ποτέ τι είναι Α-ΠΟ-ΔΕΙ-ΞΗ, Συνέχισε. Δεν καταλαβαίνω σε τι χρησιµε ζωή. πράγµατα που βλέπουµε, ωραιότερ καταλαβαίνουµε και ωραιότερα όλων καταλαβαίνουµε.

3 συνεχίζει. Από αιώνες τώρα, καθώς αναπτύσσεται η φυσική επιστήµη βήµα µε βήµα, το φυσικό περιβάλλον µαθηµατικοποιείται και τα µαθηµατικά διεισδύουν σχεδόν παντού στον φυσικό κόσµο που µας περιβάλει. Έτσι δεν είναι καθόλου εύκολο να δούµε τη σύνδεσή τους µε την πραγµατική ζωή άρα και τη χρησιµότητά τους. Σε ένα αεροπλάνο που πετά, σε ένα αυτοκίνητο που κινείται αλλά και γενικότερα στη µορφή της τεχνολογίας και του κόσµου που αντιλαµβανόµαστε, δε φαίνεται ο τρόπος µε τον οποίο τα µαθηµατικά συνέβαλαν στην εξέλιξή τους. Λένε πως ο Κόσµος δηµιουργήθηκε έτσι ώστε τα πράγµατα που βλέπουµε να είναι φτιαγµένα από πράγµατα που δεν τα βλέπουµε - και νοµίζω πως αυτό ισχύει κι εδώ. Όσο εύλογη όµως και να είναι η συχνά επαναλαµβανόµενη µαθητική απορία σου για τη την πραγµατική ζωή είναι αναµφισβήτητη. Αυτή ακριβώς η αντίληψη εκφράζεται απ αιώνα, όταν «ποιητικά» ο Γαλιλαίος ισχυρίζ «Το βιβλίο της φύσης είναι γραµ µαθηµατικούς χαρακτήρες». Η φράση έµεινε κλασική και εκφράζει µε τρόπο ποιη ο φυσικός κόσµος, δηλαδή η πραγµατικότητα χωρίς τον συνυφασµένο κόσµο των συναισθηµάτων, δεν είναι τίπ από µια υλοποίηση των µαθηµατικών θε άποψη αυτή τουλάχιστον µέχρι σήµερα φα δικαιώνεται από τα γεγονότα και µάλιστα ό αν έχουν ειπωθεί για τα µαθηµατικά απ µετά, δεν αναιρούν, αλλά τονίζουν ένα γε οποίο µε την εξέλιξη της επιστήµης γίνετα πιο αληθοφανές. Κι αυτό είναι πως όχι µόνο ο φυσικός κόσ µια υλοποίηση κάποιας µαθηµατικής θεωρ και, αντίστροφα, τα µαθηµατικά στο σύνολό την πρόοδο της επιστήµης προβάλλουν όλ

4 µε απόδειξη όπως την εννοούµε στα µαθηµατικά. Γιατί ενώ σ αυτά η αλήθεια µε αφετηρία τις υποθέσεις ενός προβλήµατος µεταφέρεται µε λογική στον τελικό στόχο που είναι τα συµπεράσµατα του προβλήµατος, στη φιλοσοφία (ή τα µετα- µαθηµατικά) δεν ισχύει κάτι τέτοιο. Εκεί δεν υπάρχουν τελικοί στόχοι, υπάρχουν µόνο αφετηρίες. Και το ερώτηµά σου που αφορά στη χρήση των µαθηµατικών στη ζωή αλλά και αυτό για το οποίο µιλούν, δεν είναι µαθηµατικό ερώτηµα αλλά φιλοσοφικό (ή µετα-µαθηµατικό). Ξεκίνησε δυνατά η Λόλα, αλλά κι εκείνος δεν πάει πίσω. Πολύ θαρραλέο εκ µέρου του να επιχειρήσει να παρουσιάσει µ αυτόν τον τρόπο την άποψή του για τα µαθηµατικά. Η ηλικία της ίσως να µην της επιτρέπει να διαχειριστεί µε ικανοποιητικό τρόπο τέτοιες απόψεις και θα µπορούσε να µειωθεί το ενδιαφέρον της για τη συνέχεια. Μου φαίνεται υπερφίαλη αυτή η άποψη. Ίσως, προς το παρόν όµως φαίνεται χρήσιµη και Τα µαθηµατικά είναι βίαια! Ο Ρέι την κοίταξε εµβρόντητος. Βίαια τα µα Μόνο η Λόλα θα µπορούσε να εκτοξεύσει κατηγορία. Γρήγορα όµως συνήλθε από τ της είπε χαµογελώντας αδιόρατα. Αν όµως νιώθεις ότι υπάρχει βία στα µα αυτό σηµαίνει πως δε σε αφήνουν αδιάφορ Η Λόλα κλονίστηκε, και τελικά του πέταξε: Μήπως η φυλακή αφήνει αδιάφ φυλακισµένο; Φυλακή τα µαθηµατικά!!! Είναι µια αναλογία, απλώς για να αντικρ επιχείρηµά σου και να σου δείξω ότι δεν απ τίποτε. Πώς είναι δυνατόν να µε αφήνει ένα µάθηµα που µε υποχρεώνουν παρακολουθώ πολλές ώρες την εβδοµ µικρό κοριτσάκι; Μπορείς ίσως να µου πεις µε ποια έν

5 λεπίδες. Αρκεί να κάνεις ένα ασήµαντο σφάλµα, και την έχεις πατήσει, είναι όλα τελείως λάθος, και όχι... λιγάκι λάθος. Ο Ρέι ξέσπασε σε γέλια. Έπειτα, συνέχισε ακάθεκτη η Λόλα,έχεις την αίσθηση ότι είναι έτσι κι οχι αλλιώς, να τι µε ενοχλεί. Νιώθω ανήµπορη. Είναι σαν να σε αποστοµώνουν. Και εµένα δε µου αρέσει να αποστοµώνοµαι. Τα µαθηµατικά... έχουν πάντα την τελευταία λέξη. Κι εσύ τι θα ήθελες να απαντήσεις, για να έχεις την τελευταία λέξη; Για την ακρίβεια, τίποτε. Η Λόλα παρατήρησε το χαµόγελο που διαγραφόταν στα χείλη του Ρέι: Μη χαίρεσαι! Αν δεν έχω τίποτε να απαντήσω, είναι επειδή το θέµα δε µε ενδιαφέρει αρκετά ώστε να έχω κάτι να πω. Έχω να πω πράγµατα µόνο πάνω σε ό,τι µε ενδειαφέρει! Είσαι βέβαιη ότι µόνο στα µαθηµατικά τα έτσι και όχι αλλιώς. Η Βαστίλη έπεσε στις 1 του 1789 και όχι στις 13. Είναι έτσι και όχι α Ναι αλλά θα µπορούσε. Θα µπορούσε τι; Να είχε πέσει στις 13. Έκπληκτος από την απάντηση της Λόλ κατάλαβε ότι η συζήτηση - η αντιπαράθεσ ήταν εύκολη. Σύµφωνοι, είπε τελικά. Τι κάνει ο καθηγ της Ιστορίας; Εξηγεί γιατί η Βαστίλη έπεσ Ιουλίου, παραθέτει αιτίες, εκθέτει γεγονότ για ποιό λόγο το συγκεκριµένο γεγονός εκείνη την ηµέρα. Το ίδιο και στη Γεωγραφ ρου του Σκουάνα. Τα πράγµατα θα µπορ ήταν αλλιώς, σίγουρα, υπάρχουν όµως αιτίες που είναι όπως είναι. Συχνά αυτό εξηγώ: παραθέτω αιτίες. Στα µαθηµατικά έχω την εντύπωση πράγµατα δε θα µπορούσαν να είναι αλλι

6 µέσα σου: Τι κάνω εγώ εδώ πέρα; Σωστά, στα µαθηµατικά τα πράγµατα δε θα µπορούσαν να µην είναι όπως είναι. Στην Ιστορία, στη γεωγραφία, αλλά και γενικότερα στο φυσικό χώρο, είπαµε πως, ενώ τα πράγµατα θα µπορούσαν να είναι αλλιώς, δεν είναι, γιατί οι αιτίες που τα δηµιούργησαν δεν µπορούσαν να παράγουν τίποτε διαφορετικό. Από το 17 ο αιώνα ο Νεύτωνας στο κλασσικό του έργο Principia, µε το οποίο θεµελίωσε τη νεότερη φυσική, έλεγε πως οι ίδιες αιτίες παράγουν τα ίδια αποτελέσµατα. Καθώς όµως τα αξιώµατα µιας µαθηµατικής θεωρίας, για παράδειγµα της γεωµετρίας, εκφράζουν τις ιδιότητες του ενός και µοναδικού φυσικού χώρου, η «πειστικότητα» των αξιωµάτων µέσω της λογικής περνά σε άλλες προτάσεις της θεωρίας και κάνει τα πράγµατα σ αυτές να είναι «έτσι κι όχι αλλιώς». Έτσι ένα ισοσκελές τρίγωνο, δεν µπορεί να µην έχει δυο γωνίες ίσες. Σαν κάποιο µαγικό ραβδί να µεταµόρ γεωµετρία σε µια λίµνη και τις προτάσε χρυσόψαρα. Και κάθε που αποδεικνύ πρόταση, είναι σα να αλιεύεται το α χρυσόψαρο. Αυτό όµως υπήρχε µέχρι τ µέσα στη λίµνη, κι απλώς δεν είχε αλιευθεί Όµως κι ο ρους του Σηκουάνα έχει «Όπως λες πριν φτάσεις. Αυτό είναι αλήθεια, όµως το α διαφορετικά. Για ποιό λόγο κατά τη γνώµη σου; Πιστεύω στ αλήθεια πως αυτό συµβαίν στα µαθηµατικά δεν καταλαβαίνω για ποιο γίνεται λόγος. Στην ιστορία, στη γεωγρα γλώσσα, στη χηµεία, στη φυσική, ξέρω. Α αν δεν καταλαβαίνω πάντα, έχω µια κάποι ποιο πράγµα γίνεται λόγος. Στα µαθηµατικά να υπάρχει µια µυστική γλώσσα. Α! αναφώνησε ο Ρέι. Αν πρόκειται για

7 περιπτώσεις δεν ξέρω για ποιο πράγµα γίνεται λόγος. Όχι. Δεν είναι το ίδιο, διότι αν είναι µια γλώσσα, µυστική ή όχι, αυτή µιλά για κάτι. Άρα, µπορείς να δοκιµάσεις να την αποκρυπτογραφήσεις. Συµφωνείς λοιπόν τουλάχιστον ότι τα µαθηµατικά δεν είναι δυνατό να µιλούν για το τίποτε; Έτσι όπως το λες, είµαι αναγκασµένη να συµφωνήσω ότι σίγουρα µιλούν για κάτι, Όµως για τι; Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό είπαµε πως δίνεται από τη φιλοσοφία ή τα (µετα-µαθηµατικά). Κι είναι ένας ισχυρισµός, ο οποίος φαίνεται πως χρειάζεται συνεχή επανάληψη για να γίνει κατανοητός. Σύµφωνα µ αυτόν, πίσω από το συµβολικό κόσµο των µαθηµατικών βρίσκεται ο ένας και µοναδικός φυσικός κόσµος και γι αυτόν µιλούν µε τη συµβολική τους γλώσσα τα µαθηµατικά. Ε, λοιπόν, σου ανακοινώνω πως, όταν όπως το µάθηµα των κινέζικων, αλλά σίγ µάθηµα γλώσσας. Στα Ελληνικά, ή στα κινέζικα, υ άνθρωποι, κείµενα, άτοµα που επικοινωνο εκφράσουν ιδέες, συναισθήµατα, πλη ακόµη και λόγια αγάπης. Ξαφνικά της ήρθε µια ίδέα: Στα µαθηµατικά µπορείς να πεις «Σ αγαπ Αιφνιδιασµένος ο Ρέι για λίγο, αναγκάστηκε παραδεχτεί ότι στα µαθηµατικά δεν µπορει να «σ αγαπώ». Μέχρι σήµερα, το «σ αγαπώ» λογί συνάισθηµα κι είναι έξω από κάθε έννοια λο Βέβαια, το συναίσθηµα καλύπτει τη λογικ και όπου υπάρχει αγάπη δεν είναι απαρ λογική. Κι αυτό ίσως πρέπει να το σ καλύτερα εµείς οι µαθηµατικοί. Παρόλα αυτά, όµως, τα µαθηµατικά µιλ για όσα επιδέχονται κάποια λογική ερµηνε

8 «σ αγαπώ». Δεν είπα ποτέ ότι µπορούµε να πούµε τα πάντα, µπορούµε όµως να εκφράσουµε πολλές ιδέες: «βρίσκεται ανάµεσα», «βρίσκονται εκατέρωθεν», «είναι το µεγαλύτερο», «είναι το µικρότερο», «γειτνιάζουν», «επικαλύπτονται», «συναντιού-νται».. Έχοντας ανακτήσει την αυτοπεποίθησή του ο Ρέι δήλωσε: Τα µαθηµατικά είναι µια γλώσσα, χωρίς βεβαίως να είναι µόνο αυτό. Μια γλώσσα που µας επιτρέπει να εκφράσουµε σχέσεις, να διατυπώνουµε ιδέες, να ορίζουµε αναλογίες, να θέτουµε ερωτήµατα, να καταφάσκουµε να αντιφάσκουµε, να ανακατασκευάζουµε, να περιγράφουµε. Και δεν πρόκειται για µυστική γλώσσα, εφόσον οι κανόνες γραφής που τη διέπουν είναι δηµόσιοι και µπορεί ο καθένας να τους µάθει. Ή, µάλλον, όλοι οι µαθητές όχι µόνο µπορούν αλλά πρέπει να τους µάθουν. Αποτελούν ουσιώδες µέρος του µαθήµατος. τη γλώσσα; Δείξ τη µου στο χάρτη, για µπο εγγραφώ σ ένα πρόγραµµα γλωσσικής διαµ Η δεσποινίς σαρκάζει. Τη γλώσσα µαθαίνεις στο µάθηµα των µαθηµατικών. Ίσως θα έπρεπε να κάνω και γλωσσικές και µεταφράσεις µαθηµατικών... Οπωσδήποτε. Η µετάφραση ενός µαθ κειµένου στην κοινή γλώσσα είναι µια άσκηση. Όµως, όπως σε κάθε γλώσσα, έτσι µαθηµατικά, για να διατυπώσουµε µια πρότασ ανάγκη από ένα αλφάβητο και από ένα συντ τους κανόνες γραφής. Ας προχωρήσουµε σε µια απογραφή λέ των συµβόλων που συναντάµε. Ο Ρέι έγραψε κάτι σύντοµα σε ένα φύλο χα έδωσε στη Λόλα. Ορίστε τρεις µαθηµατικές εκφράσε µαθηµατική έκφραση ακριβώς επειδή

9 έννοια: «2 + =», «2 = 1 +3», «2 = 1 +1» «2 + =», η έκφραση αυτή δε σηµαίνει τίποτε. Για να σηµαίνει κάτι, πρέπει το νοηµατικό της περιεχόµενο να χαρακτηρίζεται ως αλήθεια η ψέµα. Δεν είναι ψευδής, θα µπορούσαµε να πούµε ότι δεν είναι καν ψευδής. Για να είναι ψευδής, θα έπρεπε να έχει κάποιο νόηµα. Όµως δεν έχει. Είναι άσχηµα διατυπωµένη, διότι δεν έχει διατυπωθεί σύµφωνα µε τους κανόνες γραφής. «2 = 1 + 3», καταλαβαίνω τι σηµαίνει: ο αριθµός 2 και ο αριθµός είναι ίσοι µεταξύ τους. Το καταλαβαίνω. Είναι όµως ψευδές. «2 = 1 + 1», καταλαβαίνω τι σηµαίνει: ο αριθµός 2 και ο αριθµός είναι ίσοι µεταξύ τους. Το καταλαβαίνω, κι είναι αληθές. Τα περισσότερα σφάλµατα στα µαθηµατικά προέρχονται από το γεγονός ότι οι φράσεις που γράφουµε δεν έχουν νόηµα. Πρώτη προφύλαξη «Ε +Ε = 2», «2 // 3». Να δύο φράσει διατυπωµένες. Α, ξέχασα: Ε και Ε είναι ευθ Η φράση «Ε +Ε = 2» δεν έχει νόηµα, γνωρίζουµε τι σηµαίνει «το άθροι ευθειών», εφόσον το σύµβολο + δεν στη γεωµετρία. Ας περάσουµε τώρα σε µια απογρ τύπων λέξεων που χρησιµοποιούν µαθηµατική γλώσσα. Λέξεις της κοινής γ άρθρα: ο, η, το, οι, τα, ένας, µία, ένa* επ εντός* σύνδεσµοι: και, που, ότι* ρήµατα, από τα οποία εκφράζουν ένα αίτηµα: κατασ βρείτε, ορίστε, επαληθεύστε, χαράξτε, ε παρουσιάζουν αντικείµενα: υποτεθείσθω, λέξεις ειδικές, που χρησιµοποιούνται µ µαθηµατικά, συνήθως ονόµατα αντι διάµεσος, µεσοκάθετος, διαγώνιος, συ κύλινδρος, ηµίτονο, συνηµίτονο, κ.λ.π.* επίθετα: ισοσκελές, ισόπλευρο, παρ

10 Είναι φυσικό, ο ορισµός είναι µια θεµελιώδης «Η φύση δεν κάνει µε πολλά έξοδα εκ µας επιτρέπουν να γράφουµε µε απλουστευµένο τρόπο πράξεις, όπως +, x, ή σχέσεις, όπως =, // Ας περάσουµε στις φράσεις: τι τύπου φράσεις συναντάµε στα µαθηµατικά; Φράσεις που εξαγγέλλουν µια πρόταση, που παρουσιάζουν αντικείµενα ή καταστάσεις, που διατυπώνουν αιτήµατα. Όταν ένα νέο αντικείµενο εµφανίζεται στο σύµπαν των µαθηµατικών, οφείλουµε να συντάξουµε τη ληξιαρχική πράξη γέννησής του. Αυτός είναι ο ρόλος του ορισµού, που σηµατοδοτεί την επίσηµη είσοδο του νέου αντικειµένου στο µαθηµατικό σύµπαν. Ο ορισµός περιλαµβάνει το όνοµα και τις πληροφορίες που µας επιτρέπουν να χαρακτηρίσουµε το αντικείµενο. Οι ορισµοί αρχίζουν απαρεγκλίτως µε Η Λόλα τον διέκοψε: Ο καθηγητής αλλάζει ύφος, και µε ποµπώδη φωνή αναγγέλλει: «Ορισµός. Ονοµάζουµε τάδε» λέξεων, οι µαθηµατικοί ορισµοί δεν είνα περιγραφικοί, αλλά έµεσα λειτουργικοί, δη µπορούµε να χειριστούµε τα µαθηµατικά π αν γνωρίζουµε τους ακριβείς ορισµούς, λ Γύρω στο δεκατο τέταρτο αιώνα, ο Γο θεολόγος, γνωστός ως Γουλιέλµος Όκκ 1350) σε προφορικές παραδόσεις του συ να διαµορφώνουµε τις σκέψεις και τη δρ χρησιµοποιώντας µόνο τα απαραίτητα στ να κόβουµε τα περιττά. Γνωστή γι αυτό τ παραίνεση ως ξυράφι του Όκκαµ διατυπώ «Είναι µάταιο να κάνεις µε περισσότ λέξη, χρησιµοποιώντας όλες τις λέξ εµφανίζονται στον ορισµό. Όκαµ, Άγγλος σχολαστικός φιλόσοφ εξής: µπορεί να γίνει µε λιγότερα». Το 16 ο αιώνα ο Γαλιλαίος γενικεύοντας άποψη, πιο παραστατικός, δίδασκε:

11 γενικά διατύπωσε ο Γαλιλαίος κι ακριβώς µια εξειδίκευσή της αποτελεί κι η άποψη ότι ορισµός ενός αντικειµένου στα µαθηµατικά είναι το πιο ευάριθµο πλήθος πληροφοριών που µας επιτρέπουν να το χαρακτηρίσουµε. Να γιατί πρέπει να γνωρίζουµε κάθε ορισµό λέξη προς λέξη. Αρκεί να ξεχάσουµε µία µόνο λέξη και είναι εντελώς λάθος, κι όχι λίγο λάθος. Αυτό ακριβώς δεν αντέχω. Κι όµως, αυτό είναι ένα από τα πιο σηµαντικά πράγµατα που µπορούν να σου προσφέρουν τα µαθηµατικά: η ακριβολογία. Είναι µια ιδιότητα των µαθηµατικών που µπορεί να σου χρησιµεύσει «στη ζωή» όπως λες. Η ακριβολογία δεν είναι µονοµανία. Αποτελεί και την ειδοποιό διαφορά µεταξύ των παρακτικών και των θεωρητικών µαθηµατικών. Για παράδειγµα, στην πρακτική γεωµετρία οι γεωµετρικές ιδιότητες εξάγονται µόνο µε µετρήσεις σε υλικά σχήµατα, γι αυτό είναι προσεγγιστικές, ενώ στη θεωρητική γεωµετρία, µέσω των αποδείξεων, οι τις οποίες υποθέσαµε αληθείς. Όταν οι µαθηµατικοί ανακαλύπτουν νέες ιδ έννοιες, νέα αντικείµενα, συµβαίνει συχνά δίνουν ένα όνοµα, ώστε να µπορούν να αυτά και να τα χρησιµοποιούν, χωρίς ω παραθέτουν τον ακριβή ορισµό Παραδείγµατος χάρη, η ευθεία, ο κύκλο «λειτουργούσαν» πολύ πριν διατυπώσει το τους ο Ευκλείδης. Το ίδιο και σήµερα Και γιατί γράφουµε διαρκώς το ίσον; Η έννοια της ισότητας είναι άµεση συνέ σύγκρισης των µεγεθών, η οποία θεµελιώδες πνευµατικό επίτευγµα, συνυ απόλυτα µε το ανθρώπινο λογικό. Μπορείς να φανταστείς τα µαθηµατικά ίσον; Είναι το σπουδαιότερο µαθηµατικό Όταν γράφω 2 = 1 + 1, τι λέω; Λέω ότι ο α και ο αριθµός (1+1) είναι Ο ΙΔΙΟΣ αριθµός

12 εξισώνω όλα τα δυνατά ονόµατα του 2: Και σε τι σε ωφελεί αυτό; Αν, για οποιονδήποτε λόγο, έχω ανάγκη να παρουσιαστεί το 2 σαν άθροισµα, το παρουσιάζω ως (1+1). Αν θέλω να εµφανιστεί σαν διαφορά, το παρουσιάζω ως (5 3), κ.λ.π. Έτσι, ανάλογα µε τις ανάγκες, χρησιµοποιώ µία από αυτές τις αναρίθµητες ταυτότητες. Όταν γράφω α = β είναι αµοιβαία ανταλλάξιµα: όπου βρίσκεται το α, µπορώ να το αντικαταστήσω µε το β. Και αντιστρόφως. Το αντίθετο του ίσον,. Διάφορον σηµαίνει «όχι ίσον», και µόνο αυτό. Γι αυτό δεν πρέπει επ ουδενί να συγχέουµε το διάφορον µε το µικρότερο, «<», ή το µεγαλύτερο, «>». Το ίσον υπήρχε πάντα; Η ιδέα της ισότητας ναι, αλλά όχι το σηµείο. Το τον ρώτησαν για ποιο λόγο το επέλεξε απάντησε: «Διάλεξα ένα ζευγάρι παράλ δίδυµων γραµµών επειδή τίποτα δεν είνα από δύο διδύµους». Και πριν τι έκαναν; Έγραφαν ίσον ολογράφως, aeguali στα Όλες τις λέξεις των µαθηµατικών τις ολογράφως, δεν υπήρχε κανένα σύµβ γραφή κυριολεκτική, απείρως πιο περίπλ µακροσκελής, και ελάχιστα περιεκτική. Άρα, τα µαθηµατικά κείµενα έµοιαζα υπόλοιπα κείµενα; Ακριβώς. Και τα σύµβολα + και ; Το + είναι πιθανόν να προέρχετ συντοµογραφία της Λατινικής λέξης et που και. Γιατί και η πρόσθεση στα λατιν προγραφτεί ολογράφως. Δηλαδή έγραφαν ένα ίσον δύο. Ίσως το et αργότερα να µ

13 στο γνωστό µας +. και από το εµπόριο στην άλγεβρα. Βέβαια, για την προέλευση των συµβόλων + και έχουν ειπωθεί πάρα πολλές ιστορίες αλλά καµιά απ αυτές δεν είναι τεκµηριωµένη. Το µόνο σίγουρο είναι ότι τα γνωστά µας σύµβολα + και, για να παριστάνουν την πρόσθεση και την αφαίρεση, χρησιµοποιήθηκαν για πρώτη φορά το 16 ο αιώνα από τον Βιέτ. Επειδή όµως ό,τι είναι όµορφο µπορεί να είναι και αληθινό, θα σου πως την πιο όµορφη από τις ιστορίες που αναφέρονται για την προέλευσή τους. Είναι µια ιστορία κιβωτίων. Κιβωτίων; Γύρω στο 1500, στη Γερµανία, ορισµένα εµπορεύµατα πωλούνταν µέσα σε ξύλινα κιβώτια. Γεµάτα τα κιβώτια έπρεπε να ζυγίζουν 4 centner (γύρω στα 50 κιλά). Αν κάποιο από αυτά είχε έλλειµµα βάρους, ας πούµε, 5 λίβρες, έγραφαν στο κιβώτιο 4c 5l. Αν εµφάνιζε περίσσευµα βάρους, φέρ ειπείν, 3 λίβρες, τότε διέγραφαν µε µιά κάθετη Υπήρχαν όµως και πολύ πιο πριν από αιώνα σύµβολα τα οποία παρίσταναν τις αριθµητικές πράξεις. Οι Αιγύπτιοι, για παράδειγµα, από την πλε χρησιµοποιούσαν δύο ιερογλυφκά: πρόσθεση αφαίρεση αυτά βλέπουµε τα εξής: Πρόσθεση: τα δύο πόδια προχωρούν π κατεύθυνση της γραφής. Αφαίρεση: τα δύο πόδια προχωρούν αντί την κατεύθυνση της γραφής. Το συν είναι ένα διαγραµµένο µείον, το είναι ένα διαγραµµένο ίσον. Πολύ σωστά. Στα µαθηµατικά υπάρχ

14 βρίσκουµε τη διαφορά (α β). Αν αυτοί δεν είναι µηδενική, τότε οι δύο αριθµοί δεν είναι ίδιοι. Υπάρχει και ένας άλλος τρόπος, τον οποίο δε σκεφτόµαστε αρκετά: το πηλίκον. Βρίσκουµε το πηλίκον της διαίρεσης. Αν, οι αριθµοί είναι διαφορετικοί. Και τα άλλα σηµεία; Ο σταυρός του πολλαπλασιασµού; Τον επινόησε ένας Άγγλος, ο Άουτριντ, γύρω στο Και το µεγαλύτερο και µικρότερο; Και πάλι ένας Άγγλος, ο Τόµας Χάριου, λίγα χρόνια νωρίτερα. Γιατί το ένα είναι ανοιχτό προς τα δεξιά και το άλλο προς τα αριστερά; Δεν έχω ιδέα. Ή, µάλλον, έχω, διόρθωσε. Νοµίζω ότι είναι ανοιχτό προς την πλευρά του µεγαλύτερου αριθµού. Λέγεται ότι το είναι µετατροπή του R λέξη Radix, που στα λατινικά σηµαίνει «ρίζα «υψώνουµε» στο τετράγωνο. Έτσι, υψών στο τετράγωνο, λαµβάνουµε το 2. Έρ νου η ιδέα της ρίζας ενός φυτού, π βυθισµένη στο χώµα και όταν υψώνεται, αριθµός ο οποίος πιστεύουµε ότι βρίσκ τέλος µιας ατελείωτης διαδικασίας προσεγ Ναι, αλλά γιατί ρίζα; Τι είναι το ; Είναι ο αριθµός του ο τετράγωνο ισούται µε δύο:. Λέµε ε φυτό. Εξάλλου ο είναι ουσιαστικά ένας ά οποία γεννιέται από τη συνθήκη αν και µόνο αν. Εποµένως, ό,τι γνωρίζουµε για τον π

15 , οι οποίες µεταβιβάζονται κληρονοµούνται στον άγνωστο απόγονο. Για παράδειγµα, ας υποθέσουµε ότι ένα αντρόγυνο έχει αποκτήσει ένα παιδί το οποίο όµως δεν έχουµε συναντήσει ποτέ. Οι µόνες ιδιότητες που µπορούµε να του αποδώσουµε µε βεβαιότητα είναι όσες έχει κληρονοµεί απ τους γονείς του. Έτσι, είναι άνθρωπος, γιατί οι γονείς του είναι, έχει το επώνυµα τους, την περιουσία τους κ.λ.π. Στη θέση των γονέων είναι η συνθήκη, αν και µόνο αν, και στη θέση του παιδιού είναι ο, για τον οποίο γνωρίζουµε µόνο τις ιδιότητες που του µεταβιβάζονται από την καταγωγή του και τις ρίζες του. Για το λόγο αυτό ίσως µπορεί κανείς να ισχυριστεί ότι ο αριθµός του οποίου το τετράγωνο ισούται µε δύο, ονοµάζεται ρίζα του 2. Όµορφη εξήγηση. Και τώρα, µια ερώτηση που µε

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

1 / 15 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 3 ης Γυµνασίου. Μάρτιος 2007

1 / 15 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 3 ης Γυµνασίου. Μάρτιος 2007 1 / 15 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Έρευνα υποστηριζόµενη από τη Γενική ιεύθυνση Εκπαίδευσης και Πολιτισµού της Ε.Ε., στο πλαίσιο του προγράµµατος Σωκράτης «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

1 / 13 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 5 ης ηµοτικού. Μάρτιος 2007

1 / 13 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 5 ης ηµοτικού. Μάρτιος 2007 1 / 13 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Έρευνα υποστηριζόµενη από τη Γενική ιεύθυνση Εκπαίδευσης και Πολιτισµού της Ε.Ε., στο πλαίσιο του προγράµµατος Σωκράτης «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Μαμά, γιατί ο Φώτης δε θέλει να του πιάσω το χέρι; Θα σου εξηγήσω, Φωτεινή. Πότε; Αργότερα, όταν μείνουμε μόνες μας. Να πάμε με τον Φώτη στο δωμάτιό

Μαμά, γιατί ο Φώτης δε θέλει να του πιάσω το χέρι; Θα σου εξηγήσω, Φωτεινή. Πότε; Αργότερα, όταν μείνουμε μόνες μας. Να πάμε με τον Φώτη στο δωμάτιό - Μαμά, γιατί ο Φώτης δε θέλει να του πιάσω το χέρι; Θα σου εξηγήσω, Φωτεινή. Πότε; Αργότερα, όταν μείνουμε μόνες μας. Να πάμε με τον Φώτη στο δωμάτιό μου να παίξουμε; Αν θέλει, ναι. Προσπάθησε να μην

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοψαρούλη, μην εμπιστεύεσαι ΠΟΤΕ... αχινό! Εκπαιδευτικός σχεδιασμός παιχνιδιού: Βαγγέλης Ηλιόπουλος, Βασιλική Νίκα.

Τριγωνοψαρούλη, μην εμπιστεύεσαι ΠΟΤΕ... αχινό! Εκπαιδευτικός σχεδιασμός παιχνιδιού: Βαγγέλης Ηλιόπουλος, Βασιλική Νίκα. Ήρθε ένας νέος μαθητής στην τάξη. Όλοι τον αποκαλούν ο «καινούριος». Συμφωνείς; 1 Δεν είναι σωστό να μη φωνάζουμε κάποιον με το όνομά του. Είναι σαν να μην τον αναγνωρίζουμε. Σωστά. Έχει όνομα και με αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση;

Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Ξεκινώντας θα ήθελα να θυµίσω κάποια στοιχεία που σχετίζονται µε τον ορισµό της συχνότητας σε ένα περιοδικό φαινόµενο, άρα και στην ΑΑΤ.

Διαβάστε περισσότερα

Το ταξίδι στην 11η διάσταση

Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το κείμενο αυτό δεν αντιπροσωπεύει το πώς παρουσιάζονται οι 11 διστάσεις βάση της θεωρίας των υπερχορδών! Είναι περισσότερο «τροφή για σκέψη» παρά επιστημονική άποψη. Οι σκέψεις

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΛΕΜΕΣΟΥ (Κ.Α.) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ:

ΙΕ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΛΕΜΕΣΟΥ (Κ.Α.) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: ΙΕ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΛΕΜΕΣΟΥ (Κ.Α.) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: 2007-2008 Τάξη: Γ 3 Όνομα: Η μύτη μου είναι μεγάλη. Όχι μόνο μεγάλη, είναι και στραβή. Τα παιδιά στο νηπιαγωγείο με λένε Μυτόγκα. Μα η δασκάλα τα μαλώνει: Δεν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.)

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Ε.Κ.Π. (Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο) Κοινό όταν δύο άτομα έχουν ένα κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Πώς να διαβάζεις στο σπίτι γρήγορα και αποτελεσματικά για μαθητές τάξης Teens 2 & 3 (B & C Senior)

Πώς να διαβάζεις στο σπίτι γρήγορα και αποτελεσματικά για μαθητές τάξης Teens 2 & 3 (B & C Senior) Πώς να διαβάζεις στο σπίτι γρήγορα και αποτελεσματικά για μαθητές τάξης Teens 2 & 3 (B & C Senior) Να ξεκινάς πάντα απο το κείμενο μέσα στο οποίο βρίσκεται η ιστορία (coursebook), το λεξιλόγιο και η γραμματική

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Μια νύχτα. Μπαίνω στ αμάξι με το κορίτσι μου και γέρνει γλυκά στο πλάϊ μου και το φεγγάρι λες και περπατάει ίσως θέλει κάπου να μας πάει

Μια νύχτα. Μπαίνω στ αμάξι με το κορίτσι μου και γέρνει γλυκά στο πλάϊ μου και το φεγγάρι λες και περπατάει ίσως θέλει κάπου να μας πάει Μια νύχτα Μπαίνω στ αμάξι με το κορίτσι μου και γέρνει γλυκά στο πλάϊ μου και το φεγγάρι λες και περπατάει ίσως θέλει κάπου να μας πάει Μια νύχτα σαν κι αυτή μια νύχτα σαν κι αυτή θέλω να σου πω πόσο σ

Διαβάστε περισσότερα

Δεύτερη διδακτική πρόταση Έλεγχος επίδοσης στο σχολείο. 1 φωτοτυπία ανά μαθητή με τον έλεγχο παραγωγή προφορικού λόγου, παραγωγή γραπτού λόγου

Δεύτερη διδακτική πρόταση Έλεγχος επίδοσης στο σχολείο. 1 φωτοτυπία ανά μαθητή με τον έλεγχο παραγωγή προφορικού λόγου, παραγωγή γραπτού λόγου Κατανόηση προφορικού λόγου Επίπεδο B Δεύτερη διδακτική πρόταση Έλεγχος επίδοσης στο σχολείο Ενδεικτική διάρκεια: Ομάδα-στόχος: Διδακτικός στόχος: Στρατηγικές: Υλικό: Ενσωμάτωση δραστηριοτήτων: 1 διδακτική

Διαβάστε περισσότερα

παραδειγματα επεισοδίων

παραδειγματα επεισοδίων παραδειγματα επεισοδίων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΝΟΗΜΑ Οι μαθητές ερμηνεύουν τα δρώμενα στην τάξη: ως προς το νόημα εννοιών και διαδικασιών ως προς τη φύση και την αξία αυτών στο μάθημα των μαθηματικών Καλδρυμίδου,

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Αν δούµε κάπου τα παρακάτω σήµατα πώς θα τα ερµηνεύσουµε; 2. Πού µπορείτε να συναντήσετε αυτό το σήµα; (Κάθε σωστή απάντηση 1 βαθµός)

Αν δούµε κάπου τα παρακάτω σήµατα πώς θα τα ερµηνεύσουµε; 2. Πού µπορείτε να συναντήσετε αυτό το σήµα; (Κάθε σωστή απάντηση 1 βαθµός) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1 Φύλλο εργασίας 1 Ερµηνεύουµε σύµβολα! Αν δούµε κάπου τα παρακάτω σήµατα πώς θα τα ερµηνεύσουµε; Επικοινωνούµε έτσι κι αλλιώς 26 2. Πού µπορείτε να συναντήσετε αυτό το σήµα; Σύνολο: (Κάθε σωστή.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ. Εργασία για το σπίτι. Απαντούν μαθητές του Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ. Εργασία για το σπίτι. Απαντούν μαθητές του Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Εργασία για το σπίτι Απαντούν μαθητές του Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Απαντά η Μαρίνα Βαμβακίδου Ερώτηση 1. Μπορείς να φανταστείς τη ζωή μας χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Μανώλης Ισχάκης - Πνευματικά δικαιώματα - για περισσότερη εκπαίδευση

Μανώλης Ισχάκης - Πνευματικά δικαιώματα -  για περισσότερη εκπαίδευση 1 Έβδομο Μάθημα Οδηγός Δραστηριότητας Επισκόπηση... 3 Περίληψη... 3-5 Ώρα για δράση... 6-15 Σημειώσεις... 16 2 Μάθημα Έβδομο - Επισκόπηση Σε αυτό το μάθημα θα μάθουμε τη δύναμη της αντίληψης. Θα ανακαλύψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΕΤΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΝΟΜΙΛΙΑ. ΑΡΗΣ (Συναντώνται μπροστά στη σκηνή ο Άρης με τον Χρηστάκη.) Γεια σου Χρηστάκη, τι κάνεις;

ΣΚΕΤΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΝΟΜΙΛΙΑ. ΑΡΗΣ (Συναντώνται μπροστά στη σκηνή ο Άρης με τον Χρηστάκη.) Γεια σου Χρηστάκη, τι κάνεις; ΣΚΕΤΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΝΟΜΙΛΙΑ ΑΡΗΣ (Συναντώνται μπροστά στη σκηνή ο Άρης με τον Χρηστάκη.) Γεια σου Χρηστάκη, τι κάνεις; ΧΡΗΣΤΑΚΗΣ Μια χαρά είμαι. Εσύ; ΑΡΗΣ Κι εγώ πολύ καλά. Πάρα πολύ καλά! ΧΡΗΣΤΑΚΗΣ Σε βλέπω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2013/14. Μιχαηλίδου Αγγελική Λάλας Γεώργιος

ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2013/14. Μιχαηλίδου Αγγελική Λάλας Γεώργιος ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2013/14 Μιχαηλίδου Αγγελική Λάλας Γεώργιος Περιγραφή Πλαισίου Σχολείο: 2 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αθηνών Τμήμα: Β 3 Υπεύθυνος καθηγητής: Δημήτριος Διαμαντίδης Συνοδός: Δημήτριος Πρωτοπαπάς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΔΡΑΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΟΥ ΤΡΟΜΟΥ

ΑΠΟΔΡΑΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΟΥ ΤΡΟΜΟΥ ΑΠΟΔΡΑΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΟΥ ΤΡΟΜΟΥ - Α,α,α,α,α,α,α! ούρλιαξε η Νεφέλη - Τρομερό! συμπλήρωσε η Καλλιόπη - Ω, Θεέ μου! αναφώνησα εγώ - Απίστευτα τέλειο! είπε η Ειρήνη και όλες την κοιτάξαμε λες και είπε

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

«Φυσική Αγωγή στο δημοτικό σχολείο. Πως βλέπουν το μάθημα οι μαθητές του σχολείου.»

«Φυσική Αγωγή στο δημοτικό σχολείο. Πως βλέπουν το μάθημα οι μαθητές του σχολείου.» «Φυσική Αγωγή στο δημοτικό σχολείο. Πως βλέπουν το μάθημα οι μαθητές του σχολείου.» «Ποιο είναι το αγαπημένο σου μάθημα;» Μία κλασσική ερώτηση για κάθε παιδί οποιασδήποτε βαθμίδας της εκπαίδευσης. Ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 2 6xy + 11y 2 8y + 8 = 0

Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 2 6xy + 11y 2 8y + 8 = 0 Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 6xy + 11y 8y + 8 = 0 Τι είναι αυτό που έχει δοθεί στην άσκηση; Μία ισότητα την οποία επαληθεύουν οι x, y. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΥΤΟΒΙΟΓΡΑΦΙΑ ΙΑΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ

ΑΥΤΟΒΙΟΓΡΑΦΙΑ ΙΑΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ ΑΥΤΟΒΙΟΓΡΑΦΙΑ ΙΑΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ Πληροφορίες για τον εκπαιδευτικό: Η Αυτοβιογραφία ιαπολιτισµικών Συναντήσεων, είναι ένα υλικό το οποίο µπορεί να χρησιµοποιηθεί ευρύτερα από τους εκπαιδευτικούς

Διαβάστε περισσότερα

Πώς γράφεις αυτές τις φράσεις;

Πώς γράφεις αυτές τις φράσεις; Πρόλογος Όταν ήμουν μικρός, ούτε που γνώριζα πως ήμουν παιδί με ειδικές ανάγκες. Πώς το ανακάλυψα; Από τους άλλους ανθρώπους που μου έλεγαν ότι ήμουν διαφορετικός, και ότι αυτό ήταν πρόβλημα. Δεν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1: Κεφάλαιο 2: Κεφάλαιο 3: Κεφάλαιο 4:

Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1: Κεφάλαιο 2: Κεφάλαιο 3: Κεφάλαιο 4: Περιεχόμενα Πρόλογος...9 Κεφάλαιο 1: Η πρώτη έκπληξη...13 Κεφάλαιο 2: Η διοίκηση ξεκινάει από τον σκοπό και τους στόχους...19 Κεφάλαιο 3: Τι είναι διοίκηση;...25 Κεφάλαιο 4: Home Management!...39 Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Αγαπητέ μαθητή/ αγαπητή μαθήτρια, Διεξάγουμε μια έρευνα και θα θέλαμε να μάθουμε την άποψή σου για τo περιβάλλον μάθησης που επικρατεί στην τάξη σου. Σε παρακαλούμε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Λήστευαν το δημόσιο χρήμα - Το B' Μέρος με τους αποκαλυπτικούς διαλόγους Άκη - Σμπώκου

Λήστευαν το δημόσιο χρήμα - Το B' Μέρος με τους αποκαλυπτικούς διαλόγους Άκη - Σμπώκου Λήστευαν το δημόσιο χρήμα - Το B' Μέρος με τους αποκαλυπτικούς διαλόγους Άκη - Σμπώκου - από τον Φουάτ σε τρεις εταιρίες χρήματα... μπλου μπρουμέλ, άλλη μια P.A κάπως έτσι και άλλη μία που μου είχες πει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ (για τους μαθητές Γυμνασίων, ΓΕ.Λ., ΕΠΑ.Λ, ΕΠΑ.Σ, Καλλιτεχνικών, Μουσικών, Πρότυπων Πειραματικών Σχολείων.)

ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ (για τους μαθητές Γυμνασίων, ΓΕ.Λ., ΕΠΑ.Λ, ΕΠΑ.Σ, Καλλιτεχνικών, Μουσικών, Πρότυπων Πειραματικών Σχολείων.) Ημερομηνία:.. Σχολείο:. Τάξη:. ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ (για τους μαθητές Γυμνασίων, ΓΕ.Λ., ΕΠΑ.Λ, ΕΠΑ.Σ, Καλλιτεχνικών, Μουσικών, Πρότυπων Πειραματικών Σχολείων.) Πρόλογος Αγαπητέ/ή μαθητή/τρια, Το ερωτηματολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΜΕΠΑ Πρακτική Άσκηση Μαθηματικών Β' Φάση. Εργασία πειραματισμού με μαθητή

ΔΙΜΕΠΑ Πρακτική Άσκηση Μαθηματικών Β' Φάση. Εργασία πειραματισμού με μαθητή ΔΙΜΕΠΑ Πρακτική Άσκηση Μαθηματικών Β' Φάση Εργασία πειραματισμού με μαθητή Διδάσκων: Χαράλαμπος Λεμονίδης Φοιτήτρια: Χατζή Κυριακή- Ιωάννα ΑΕΜ: 3659 Εξάμηνο: ΣΤ Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή... 2. Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Μεταξία Κράλλη! Ένα όνομα που γνωρίζουν όλοι οι αναγνώστες της ελληνικής λογοτεχνίας, ωστόσο, κανείς δεν ξέρει ποια

Μεταξία Κράλλη! Ένα όνομα που γνωρίζουν όλοι οι αναγνώστες της ελληνικής λογοτεχνίας, ωστόσο, κανείς δεν ξέρει ποια Δευτέρα, Ιουνίου 16, 2014 ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΗΣ ΜΕΤΑΞΙΑΣ ΚΡΑΛΛΗ Η Μεταξία Κράλλη είναι ένα από τα δημοφιλέστερα πρόσωπα της σύγχρονης ελληνικής λογοτεχνίας. Μετά την κυκλοφορία του πρώτου της βιβλίου, "Μια φορά

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Η προβληματική κατάσταση Χρήστος Πανούτσος

Η προβληματική κατάσταση Χρήστος Πανούτσος Η προβληματική κατάσταση Χρήστος Πανούτσος Η Τζούλι και η μαμά της έχουν βγει για να αγοράσουν ένα τζιν για το σχολείο. Παρατηρούν έναν πάγκο με την εξής ταμπέλα πάνω: 40% έκπτωση των τιμών στις ετικέτες

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Πιστεύουν οι νέοι, και γιατί. Πέλα Μαράκη Ιωάννα Κλάδη Μαργαρίτα Μαρκάκη Γιώργος Περάκης

Πιστεύουν οι νέοι, και γιατί. Πέλα Μαράκη Ιωάννα Κλάδη Μαργαρίτα Μαρκάκη Γιώργος Περάκης Πιστεύουν οι νέοι, και γιατί Πέλα Μαράκη Ιωάννα Κλάδη Μαργαρίτα Μαρκάκη Γιώργος Περάκης Τι είναι η πίστη; Πίστη είναι η βεβαιότητα κάποιας ή κάποιου για την αλήθεια ενός ισχυρισμού, ανεξάρτητα αν η βεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

«ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012

«ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012 «ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012 1 ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ; Γράφει ο Ηλίας Δερμετζής «Τη ζωή μου χωρίς αριθμούς δεν μπορώ να τη φανταστώ,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Η ΆΝΝΑ ΚΑΙ Ο ΑΛΈΞΗΣ ΕΝΆΝΤΙΑ ΣΤΟΥΣ ΠΑΡΑΧΑΡΆΚΤΕΣ

Η ΆΝΝΑ ΚΑΙ Ο ΑΛΈΞΗΣ ΕΝΆΝΤΙΑ ΣΤΟΥΣ ΠΑΡΑΧΑΡΆΚΤΕΣ ΤΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ EURO RUN www.nea-trapezogrammatia-euro.eu Η ΆΝΝΑ ΚΑΙ Ο ΑΛΈΞΗΣ ΕΝΆΝΤΙΑ ΣΤΟΥΣ ΠΑΡΑΧΑΡΆΚΤΕΣ - 2 - Η Άννα και ο Αλέξης είναι συμμαθητές και πολύ καλοί φίλοι. Μπλέκουν πάντοτε σε φοβερές καταστάσεις.

Διαβάστε περισσότερα

κι η τιμωρία των κατηγορουμένων. Βέβαια, αν δεν έχεις πάρει καθόλου βάρος, αυτό θα σημαίνει ότι ο κατηγορούμενος

κι η τιμωρία των κατηγορουμένων. Βέβαια, αν δεν έχεις πάρει καθόλου βάρος, αυτό θα σημαίνει ότι ο κατηγορούμενος 14 Φτάνοντας λοιπόν ο Νικήτας σε μια από τις γειτονικές χώρες, εντυπωσιάστηκε από τον πλούτο και την ομορφιά της. Πολλά ποτάμια τη διέσχιζαν και πυκνά δάση κάλυπταν τα βουνά της, ενώ τα χωράφια ήταν εύφορα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΘΟΛΟΓΙΑ ΣΤΙΧΩΝ ΤΡΑΓΟΥΔΙΩΝ ΜΕ ΘΕΜΑ ΤΟΝ ΕΡΩΤΑ

ΑΝΘΟΛΟΓΙΑ ΣΤΙΧΩΝ ΤΡΑΓΟΥΔΙΩΝ ΜΕ ΘΕΜΑ ΤΟΝ ΕΡΩΤΑ ΜΑΘΗΤΡΙΑ: ΜΑΡΙΑ ΚΑΡΑΜΠΕΛΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΤΜΗΜΑ:Γ1 ΣΧΟΛΟΚΟ ΕΤΟΣ: 2007-2008 ΑΝΘΟΛΟΓΙΑ ΣΤΙΧΩΝ ΤΡΑΓΟΥΔΙΩΝ ΜΕ ΘΕΜΑ ΤΟΝ ΕΡΩΤΑ (Στίχοι που δείχνουν τα όνειρα και τον πόνο των ερωτευμένων) Όλοι οι

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Ένα Ο ισολογισμός και η θεμελιώδης αρχή

Κεφάλαιο Ένα Ο ισολογισμός και η θεμελιώδης αρχή 1 Κεφάλαιο Ένα Ο ισολογισμός και η θεμελιώδης αρχή Στοιχεία Ενεργητικού, Στοιχεία Παθητικού και Ισολογισμοί Ο προσωπικός ισολογισμός της Ιωάννας Ο ισολογισμός μιας εταιρείας Το διάγραμμα του ισολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Σοφία Παράσχου. «Το χάνουμε!»

Σοφία Παράσχου. «Το χάνουμε!» 1 Σειρά Σπουργιτάκια Εκδόσεις Πατάκη «Το χάνουμε!» Σοφία Παράσχου Εικονογράφηση: Βαγγέλης Ελευθερίου Σελ. 52 Δραστηριότητες για Α & Β τάξη Συγγραφέας: Η Σοφία Παράσχου γεννήθηκε στην Κάρπαθο και ζει στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Εκτός της Ευκλείδειας γεωµετρίας υπάρχουν και άλλες γεωµετρίες µη Ευκλείδιες.Οι γεω- µετρίες αυτές διαφοροποιούνται σε ένα ή περισσότερα

Διαβάστε περισσότερα

Περί της «Αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων»

Περί της «Αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων» Περί της «Αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων» Παρακολουθώ στο δίκτυο τις τελευταίες µέρες να γίνεται συζήτηση για την «Αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων» ή την «επαλληλία εξισώσεων κίνησης». Προσπαθώ στο µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Όταν κάποιος ξεκινήσει τον πλειστηριασμό με μια αγορά σκοπός του είναι να περιγράψει όσο καλύτερα μπορεί το χέρι του στον συμπαίκτη του.

Όταν κάποιος ξεκινήσει τον πλειστηριασμό με μια αγορά σκοπός του είναι να περιγράψει όσο καλύτερα μπορεί το χέρι του στον συμπαίκτη του. Πλειστηριασμός Όταν κάποιος ξεκινήσει τον πλειστηριασμό με μια αγορά σκοπός του είναι να περιγράψει όσο καλύτερα μπορεί το χέρι του στον συμπαίκτη του. Πλειστηριασμός Ο συμπαίκτης του ανοίξαντα αναλαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτηµατολόγιο PMP , +

Ερωτηµατολόγιο PMP , + Ερωτηµατολόγιο PMP Διαβάστε προσεκτικά κάθε ένα από τα παρακάτω προβλήµατα. Για κάθε πρόβληµα υπάρχουν τέσσερις εναλλακτικές απαντήσεις από τις οποίες µόνο µία είναι η σωστή. Παρακαλώ επιλέξτε τη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1. Λέξεις και νόημα Η γλώσσα αποτελείται από λέξεις. Η λέξη είναι το μικρότερο τμήμα της γλώσσας

Διαβάστε περισσότερα

Τράντα Βασιλική Β εξάμηνο Ειδικής Αγωγής

Τράντα Βασιλική Β εξάμηνο Ειδικής Αγωγής Τράντα Βασιλική Β εξάμηνο Ειδικής Αγωγής Ο Μικρός Πρίγκιπας έφτασε στη γη. Εκεί είδε μπροστά του την αλεπού. - Καλημέρα, - Καλημέρα, απάντησε ο μικρός πρίγκιπας, ενώ έψαχνε να βρει από πού ακουγόταν η

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

A READER LIVES A THOUSAND LIVES BEFORE HE DIES.

A READER LIVES A THOUSAND LIVES BEFORE HE DIES. A READER LIVES A THOUSAND LIVES BEFORE HE DIES. 1. Η συγγραφέας του βιβλίου μοιράζεται μαζί μας πτυχές της ζωής κάποιων παιδιών, άλλοτε ευχάριστες και άλλοτε δυσάρεστες. α) Ποια πιστεύεις ότι είναι τα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 18/02/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/18/2016

Διαβάστε περισσότερα

Τα σύννεφα έχουν τέτοια ποικιλία σχημάτων, χρωμάτων και μεγεθών, που. κανένας δε βελτίωσε το σύστημα το οποίο επινόησε το 1803 ο Αγγλος φαρμακοποιός

Τα σύννεφα έχουν τέτοια ποικιλία σχημάτων, χρωμάτων και μεγεθών, που. κανένας δε βελτίωσε το σύστημα το οποίο επινόησε το 1803 ο Αγγλος φαρμακοποιός +ΑΡΘΡΟ I ποιος, ποσού 1. Zuvvccpa Η Μαρίνα μιλάει με τον Αλέξη στο τηλέφωνο και του λέει ότι διάβασε ένα κείμενο για τα σύννεφα. Εκείνος τη ρωτάει γι αυτά που διάβασε. Εμείς ακούσαμε μόνο τις απαντήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Y404. ΔΙΜΕΠΑ: ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΜΑΘΗΤΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΗΡΑΚΛΗΣ ΑΕΜ: 3734 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α Τι συμβαίνει όταν η περίοδος δεν ξεκινάει αμέσως μετά το κόμμα όπως συμβαίνει με τον αριθμό 3,4555 και θέλουμε να γραφεί σαν κλάσμα; 345 Υπήρχαν πολλές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φοιτητής: Παύλου Νικόλαος, Α.Ε.Μ: 2245, Ε Εξάμηνο Σχολείο: 1 ο Πειραματικό

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτηματολόγιο Προγράμματος "Ασφαλώς Κυκλοφορώ" (αρχικό ερωτηματολόγιο) Για μαθητές Δ - Ε - ΣΤ Δημοτικού

Ερωτηματολόγιο Προγράμματος Ασφαλώς Κυκλοφορώ (αρχικό ερωτηματολόγιο) Για μαθητές Δ - Ε - ΣΤ Δημοτικού Ερωτηματολόγιο Προγράμματος "Ασφαλώς Κυκλοφορώ" (αρχικό ερωτηματολόγιο) Για μαθητές Δ - Ε - ΣΤ Δημοτικού Tάξη & Τμήμα:... Σχολείο:... Ημερομηνία:.../.../200... Όνομα:... Ερωτηματολόγιο Προγράμματος "Ασφαλώς

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΦΑΣΗ 1 η )

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΦΑΣΗ 1 η ) ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΦΑΣΗ 1 η ) 1 ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΟΥ JACKSON POLLOCK ΣΤΟΝ ΔΗΜΟΣΙΟΓΡΑΦΟ WILLIAM WRIGHT ΤΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ ΤΟΥ 1950. Το καλοκαίρι του 1950 o δημοσιογράφος William Wright πήρε μια πολύ ενδιαφέρουσα ηχογραφημένη

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2 A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:

Διαβάστε περισσότερα

Το Ηµερολόγιο των Μάγιας και τα Χρήµατα από τον ρ. Καρλ Τζοχάν Κάλλεµαν

Το Ηµερολόγιο των Μάγιας και τα Χρήµατα από τον ρ. Καρλ Τζοχάν Κάλλεµαν Το Ηµερολόγιο των Μάγιας και τα Χρήµατα Από τον ρ. Καρλ Τζοχάν Κάλλεµαν Λοιπόν, ήθελα να µιλήσω για δυο πράγµατα που νοµίζω δεν συνδέονται πάντα αλλά, πραγµατικά θα τους άξιζε µια σύνδεση. Το ένα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Σχολείο: Τμήμα: Βαθμός στη φυσική αγωγή:

Σχολείο: Τμήμα: Βαθμός στη φυσική αγωγή: 1 ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ Ηλικία:. Φύλο: Αγόρι Κορίτσι Ασχολείσαι με κάποιο άθλημα εκτός σχολείου; ΝΑΙ ΟΧΙ Σχολείο: Τμήμα: Βαθμός στη φυσική αγωγή: Πόσο συμφωνείς με κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις; Βάλε σε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

VAN HIELE GEOMETRY TEST * (USISKIN) ΟΔΗΓΙΕΣ

VAN HIELE GEOMETRY TEST * (USISKIN) ΟΔΗΓΙΕΣ VAN HIELE GEOMETRY TEST * (USISKIN) ΟΔΗΓΙΕΣ Μην γυρίσετε την επόμενη σελίδα πριν σας το πουν. Για το test αυτό πρέπει να γνωρίζετε ότι: Δεν επηρεάζει τη βαθμολογία σου στο σχολείο. Χρησιμοποιείται αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή. 2. Τεχνικές και «κρατούμενα»

1. Εισαγωγή. 2. Τεχνικές και «κρατούμενα» 1. Εισαγωγή Η προσέγγιση των Μαθηματικών της Β Δημοτικού από το παιδί προϋποθέτει την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών που παρουσιάστηκαν στην Α Δημοτικού και την εξοικείωση του παιδιού με τις πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Πώς είναι δυνατόν να είναι ισοδύναµες οι εξισώσεις που αναφέρονται στο ερώτηµα ii, αφού δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού 2 ;

Πώς είναι δυνατόν να είναι ισοδύναµες οι εξισώσεις που αναφέρονται στο ερώτηµα ii, αφού δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού 2 ; 1 Ισοδύναµες εξισώσεις και η έννοια του «κοντά» ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-thedrpuls.gr Εισαγωγή Στην εργασία αυτή αναλύονται και αναπτύσσονται οι έννοιες που

Διαβάστε περισσότερα

ΝΗΦΟΣ: Ένα λεπτό µόνο, να ξεµουδιάσω. Χαίροµαι που σε βλέπω. Μέρες τώρα θέλω κάτι να σου πω.

ΝΗΦΟΣ: Ένα λεπτό µόνο, να ξεµουδιάσω. Χαίροµαι που σε βλέπω. Μέρες τώρα θέλω κάτι να σου πω. Νήφο. Πεταλία; Εγώ, ναι. Σήκω. Δεν ξέρω αν µπορώ. Μπορείς. Είµαι κουρασµένος. Ήρθε η ώρα, όµως. Τα χέρια µου έχουν αίµατα. Τα πόδια µου είναι σαν κάποιου άλλου. Δεν έχουµε πολύ χρόνο. Ένα λεπτό µόνο, να

Διαβάστε περισσότερα

ο ΣΤΑΤΙΚΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ

ο ΣΤΑΤΙΚΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ ο ΣΤΑΤΙΚΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ η ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΓΕΓΟΝΟΤΑ και ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ οι ΙΔΕΕΣ και οι ΕΝΝΟΙΕΣ ηλεκτρικό φορτίο και ηλεκτρικό φορτίο στο µεταξύ κάποιος τον αναγκάζει να µε πλησιάζει κι όσο µε πλησιάζει τόσο περισσότερο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Οι θέσεις µου... Ένα υλικό σηµείο κάθε φορά βρίσκεται σε ένα µόνο σε ένα σηµείο του χώρου και άρα κάνει µία µόνο κίνηση.

Οι θέσεις µου... Ένα υλικό σηµείο κάθε φορά βρίσκεται σε ένα µόνο σε ένα σηµείο του χώρου και άρα κάνει µία µόνο κίνηση. Οι θέσεις µου... ) Η παράγραφος.7α του σχολικού βιβλίου Κατεύθυνσης Γ Λυκείου είναι λάθος, γιατί σύνθεση απλών αρµονικών ταλαντώσεων ίδιας συχνότητας ίδιας διεύθυνσης ούτε υπάρχει ούτε υποστηρίζεται θεωρητικά.

Διαβάστε περισσότερα

Οι αριθμοί σελίδων με έντονη γραφή δείχνουν τα κύρια κεφάλαια που σχετίζονται με το θέμα. ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑ

Οι αριθμοί σελίδων με έντονη γραφή δείχνουν τα κύρια κεφάλαια που σχετίζονται με το θέμα. ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑ Τί σε απασχολεί; Διάβασε τον κατάλογο που δίνουμε παρακάτω και, όταν συναντήσεις κάποιο θέμα που απασχολεί κι εσένα, πήγαινε στις σελίδες που αναφέρονται εκεί. Διάβασε τα κεφάλαια, που θα βρεις σ εκείνες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις Η Φύση της Επιστήµης Ενότητες Κεφαλαίου 1 Μοντέλα Θεωρίες και Νόµοι Μετρήσεις και αβεβαιότητα (σφάλµατα); Σηµαντικά ψηφία Μονάδες, Πρότυπα, και το Διεθνές Σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτηματολόγιο Προγράμματος "Ασφαλώς Κυκλοφορώ" (αρχικό ερωτηματολόγιο) Για μαθητές Β - Γ Δημοτικού

Ερωτηματολόγιο Προγράμματος Ασφαλώς Κυκλοφορώ (αρχικό ερωτηματολόγιο) Για μαθητές Β - Γ Δημοτικού Ερωτηματολόγιο Προγράμματος "Ασφαλώς Κυκλοφορώ" (αρχικό ερωτηματολόγιο) Για μαθητές Β - Γ Δημοτικού Tάξη & Τμήμα:... Σχολείο:... Ημερομηνία:.../.../200... Όνομα:... Ερωτηματολόγιο Προγράμματος "Ασφαλώς

Διαβάστε περισσότερα

ALBUM ΤΟ ΚΛΕΙΔΙ 2010 ΦΥΣΑΕΙ

ALBUM ΤΟ ΚΛΕΙΔΙ 2010 ΦΥΣΑΕΙ ALBUM ΤΟ ΚΛΕΙΔΙ 2010 ΦΥΣΑΕΙ Μη µου µιλάς γι' αυτά που ξεχνάω Μη µε ρωτάς για καλά κρυµµένα µυστικά Και µε κοιτάς... και σε κοιτώ... Κι είναι η στιγµή που δεν µπορεί να βγεί απ' το µυαλό Φυσάει... Κι είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΓΟΝΤΑΣ ΤΟ ΔΡΟΜΟ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΘΕΤΙΚΗ ΑΛΛΑΓΗ. Του Ρόµπερτ Ηλία Νατζέµυ

ΑΝΟΙΓΟΝΤΑΣ ΤΟ ΔΡΟΜΟ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΘΕΤΙΚΗ ΑΛΛΑΓΗ. Του Ρόµπερτ Ηλία Νατζέµυ ΑΝΟΙΓΟΝΤΑΣ ΤΟ ΔΡΟΜΟ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΘΕΤΙΚΗ ΑΛΛΑΓΗ Του Ρόµπερτ Ηλία Νατζέµυ Στην σελίδα http://www.armonikizoi.com/2016/ek θα βρείτε χρήσιµες πληροφορίες και τεχνικές για την απελευθέρωση από εσωτερικά εµπόδια

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα»

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Α] Ασκήσεις κλειστού τύπου (Σωστό Λάθος) Για τον Πλάτωνα οι καθολικές έννοιες, τα «καθόλου», δεν είναι πράγματα ξεχωριστά

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Από όλα τα παραμύθια που μου έλεγε ο πατέρας μου τα βράδια πριν κοιμηθώ, ένα μου άρεσε πιο πολύ. Ο Σεβάχ ο θαλασσινός. Επτά ταξίδια είχε κάνει ο

Από όλα τα παραμύθια που μου έλεγε ο πατέρας μου τα βράδια πριν κοιμηθώ, ένα μου άρεσε πιο πολύ. Ο Σεβάχ ο θαλασσινός. Επτά ταξίδια είχε κάνει ο 4 Από όλα τα παραμύθια που μου έλεγε ο πατέρας μου τα βράδια πριν κοιμηθώ, ένα μου άρεσε πιο πολύ. Ο Σεβάχ ο θαλασσινός. Επτά ταξίδια είχε κάνει ο Σεβάχ. Για να δει τον κόσμο και να ζήσει περιπέτειες.

Διαβάστε περισσότερα

«Πούλα τα όσο θες... πούλα ας πούµε το καλάµι από 200 ευρώ, 100. Κατάλαβες;»

«Πούλα τα όσο θες... πούλα ας πούµε το καλάµι από 200 ευρώ, 100. Κατάλαβες;» «Πούλα τα όσο θες... πούλα ας πούµε το καλάµι από 200 ευρώ, 100. Κατάλαβες;» Οπου (Α) ο καλούµενος - χρήστης της υπ' αριθ. 698... (µέλος της Χ.Α.) Οπου (Β) ο καλών Ηµεροµηνία: 20/09/2013 Εναρξη: 22:12':00''

Διαβάστε περισσότερα

«Γκρρρ,» αναφωνεί η Ζέτα «δεν το πιστεύω ότι οι άνθρωποι μπορούν να συμπεριφέρονται έτσι μεταξύ τους!»

«Γκρρρ,» αναφωνεί η Ζέτα «δεν το πιστεύω ότι οι άνθρωποι μπορούν να συμπεριφέρονται έτσι μεταξύ τους!» 26 σχεδιασε μια ΦωτογρΑΦιΑ τήσ προσκλήσήσ που ελαβεσ Απο τον ΔΑσκΑλο σου. παρουσιασε το λογοτυπο και το σλογκαν που χρήσιμοποιει το σχολειο σου για τήν εβδομαδα κατα τήσ παρενοχλήσήσ. ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΠΑΡΕΝΟΧΛΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΣΤΑΣΙΑΣ ΠΡΩΤΟΓΗΡΟΥ Πρωτοδίκου Διοικητικών Δικαστηρίων ΟΜΙΛΙΑ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΚΔΗΛΩΣΗ ΤΗΣ ΧΟΡΩΔΙΑΣ ΟΡΧΗΣΤΡΑΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΗΣ ΙΕΡΑΣ ΜΗΤΡΟΠΟΛΕΩΣ ΧΑΛΚΙΔΟΣ

ΑΝΑΣΤΑΣΙΑΣ ΠΡΩΤΟΓΗΡΟΥ Πρωτοδίκου Διοικητικών Δικαστηρίων ΟΜΙΛΙΑ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΚΔΗΛΩΣΗ ΤΗΣ ΧΟΡΩΔΙΑΣ ΟΡΧΗΣΤΡΑΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΗΣ ΙΕΡΑΣ ΜΗΤΡΟΠΟΛΕΩΣ ΧΑΛΚΙΔΟΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑΣ ΠΡΩΤΟΓΗΡΟΥ Πρωτοδίκου Διοικητικών Δικαστηρίων ΟΜΙΛΙΑ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΚΔΗΛΩΣΗ ΤΗΣ ΧΟΡΩΔΙΑΣ ΟΡΧΗΣΤΡΑΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΗΣ ΙΕΡΑΣ ΜΗΤΡΟΠΟΛΕΩΣ ΧΑΛΚΙΔΟΣ Κυριακή 19 Δεκεμβρίου 2010 Έμπλεη ευγνωμοσύνης, με βαθιά

Διαβάστε περισσότερα

Μάχη Νικολάρα: Δεν ακούγεται και πολύ δημιουργικό αυτό, έτσι όπως το περιγράφετε.

Μάχη Νικολάρα: Δεν ακούγεται και πολύ δημιουργικό αυτό, έτσι όπως το περιγράφετε. Μάχη Νικολάρα: Θα μιλήσουμε για τον τομέα της εκπαίδευσης από μια άλλη σκοπιά. Οι ανακοινώσεις του Υπουργείου Παιδείας εχθές ανέτρεψαν κατά κάποιο τρόπο τον προγραμματισμό αυτής της εκπομπής, όμως όλα

Διαβάστε περισσότερα

"Να είσαι ΕΣΥ! Όλοι οι άλλοι ρόλοι είναι πιασμένοι." Oscar Wilde

Να είσαι ΕΣΥ! Όλοι οι άλλοι ρόλοι είναι πιασμένοι. Oscar Wilde 1 Αγαπημένε μου φίλε/η, "Να είσαι ΕΣΥ! Όλοι οι άλλοι ρόλοι είναι πιασμένοι." Oscar Wilde Θα ήθελα να σε καλωσορίσω σε αυτό το σεμινάριο. Είναι πολύ σημαντικό για εμένα να ξέρεις πώς δεσμεύομαι με το πέρας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕ ΡΟ ΧΟΥΑΝ ΓΚΟΥΤΙΕΡΕΣ

ΠΕ ΡΟ ΧΟΥΑΝ ΓΚΟΥΤΙΕΡΕΣ Ηµερολόγιο 2016 28 ΔΕΥΤΕΡΑ iανουaριος 29 ΤΡΙΤΗ 30 ΤΕΤΑΡΤΗ 31 ΠΕΜΠΤΗ 51 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 62 Πρωτοχρονιά (αργία) ΣΑΒΒΑΤΟ ρεϊμοντ καρβερ dfsfsdfsdfsdfdsfsd Απέκτησες τελικά, έστω κι έτσι, αυτό που ήθελες από τούτη

Διαβάστε περισσότερα

Εντολές της LOGO (MicroWorlds Pro)

Εντολές της LOGO (MicroWorlds Pro) Εντολές της LOGO (MicroWorlds Pro) Εντολές εμφάνισης (εξόδου) και αριθμητικές πράξεις δείξε Εμφανίζει στην οθόνη έναν αριθμό, το αποτέλεσμα πράξεων, μια λέξη ή μια λίστα (ομάδα) λέξεων. δείξε 200 200 δείξε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΕΣ. Α ομάδα. Αφού επιλέξεις τρία από τα παραπάνω αποσπάσματα που σε άγγιξαν περισσότερο, να καταγράψεις τις δικές σου σκέψεις.

ΕΡΓΑΣΙΕΣ. Α ομάδα. Αφού επιλέξεις τρία από τα παραπάνω αποσπάσματα που σε άγγιξαν περισσότερο, να καταγράψεις τις δικές σου σκέψεις. Α ομάδα ΕΡΓΑΣΙΕΣ 1. Η συγγραφέας του βιβλίου μοιράζεται μαζί μας πτυχές της ζωής κάποιων παιδιών, άλλοτε ευχάριστες και άλλοτε δυσάρεστες. α) Ποια πιστεύεις ότι είναι τα μηνύματα που θέλει να περάσει μέσα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα