ΘΕΜΑ 2ο (2000) Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

Transcript

1 ΘΕΜΑ 2ο (2000) Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Αθροιστική Συχνότητα x i ν i f i f i % N i x i ν i 2 x i x 2 i ν i ΣΥΝΟΛΟ ν= Μονάδες 16 B. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο. Γ. Να δείξετε ότι η διακύμανση είναι s 2 =0,49. Μονάδες 4 ΘΕΜΑ 4 ο (2000) Στα σχολεία ενός Δήμου υπηρετούν συνολικά 100 εκπαιδευτικοί. Ο συνολικός χρόνος υπηρεσίας των εκπαιδευτικών δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: Χρόνια υπηρεσίας Σχετική Συχνότητα [ - ) f i % Α. Πόσοι εκπαιδευτικοί έχουν τουλάχιστον 15 χρόνια υπηρεσίας; Β. Με την προϋπόθεση ότι κάθε εκπαιδευτικός θα συνταξιοδοτηθεί, όταν συμπληρώσει 35 χρόνια: 1

2 α) πόσοι εκπαιδευτικοί θα συνταξιοδοτηθούν μέσα στα επόμενα 12,5 χρόνια; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β) πόσοι συνολικά εκπαιδευτικοί πρέπει να προσληφθούν μέσα στα επόμενα πέντε χρόνια, ώστε ο αριθμός των εκπαιδευτικών που υπηρετούν στα σχολεία του Δήμου να παραμένει ο ίδιος; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ΘΕΜΑ 3 ο (επαναληπτικές 2000) Σε ένα κυκλικό διάγραμμα παριστάνεται το μορφωτικό επίπεδο των 400 εργαζομένων μιας επιχείρησης σε τέσσερις κατηγορίες. Α Β Γ Δ Κατηγορία: Απόφοιτοι Γυμνασίου Κατηγορία: Απόφοιτοι Λυκείου Κατηγορία: Πτυχιούχοι Ανωτάτης Εκπαίδευσης Κατηγορία: Κάτοχοι Μεταπτυχιακού Τίτλου Κάθε εργαζόμενος ανήκει σε μία μόνον από τις κατηγορίες αυτές. Στην Α κατηγορία ανήκει το 25% των εργαζομένων της επιχείρησης. Η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στους εργαζόμενους της Δ κατηγορίας είναι 18. Οι εργαζόμενοι της επιχείρησης της Β κατηγορίας είναι εξαπλάσιοι των εργαζομένων της Γ κατηγορίας. α. Να υπολογίσετε τον αριθμό των εργαζομένων κάθε κατηγορίας. Μονάδες 20 β. Να μετατρέψετε το κυκλικό διάγραμμα σε ραβδόγραμμα συχνοτήτων. 2

3 ΘΕΜΑ 4 ο (επαναληπτικές 2000) Στις 12 το μεσημέρι, η θερμοκρασία (σε βαθμούς Κελσίου) δύο πόλεων Α και Β, το τελευταίο δεκαήμερο του Μαρτίου, ήταν : Πόλη Α: Πόλη Β: α. Να βρείτε τη μέση, τη διάμεσο και την επικρατούσα θερμοκρασία των πόλεων Α και Β. Μονάδες 9 β. Αν η τυπική απόκλιση των θερμοκρασιών (σε βαθμούς Κελσίου) των πόλεων Α και Β είναι s A = 2,66 και s B = 2,59 αντίστοιχα, να δικαιολογήσετε σε ποια από τις δύο πόλεις οι τιμές της θερμοκρασίας έχουν μεγαλύτερη διασπορά. γ. Εκ των υστέρων διαπιστώθηκε ότι το θερμόμετρο που χρησιμοποιήθηκε για τη μέτρηση της θερμοκρασίας στην πόλη Α παρουσίαζε, λόγω κατασκευαστικού λάθους, αυξημένη θερμοκρασία κατά 5 βαθμούς. Αφού υπολογίσετε τις σωστές θερμοκρασίες της πόλης Α, να βρείτε σε ποια από τις δύο πόλεις Α και Β οι τιμές της θερμοκρασίας έχουν μεγαλύτερη ομοιογένεια. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ΘΕΜΑ 1 ο (εσπερινά 2000) Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1, x 2,..., x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, κ ν. α) Τι ονομάζουμε (απόλυτη) συχνότητα ν i της τιμής x i, όπου i=1, 2, 3,...,κ ; Μονάδες 4 β) Τι ονομάζουμε σχετική συχνότητα f i της τιμής x i όπου i=1, 2, 3,...,κ ; Μονάδες 4 3

4 γ) Αν f 1, f 2,...,f κ είναι οι σχετικές συχνότητες των τιμών x 1, x 2,..., x κ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: f 1 +f f κ = 1. Μονάδες 4,5 Β. Εξετάζοντας 50 οικογένειες ως προς τον αριθμό των παιδιών τους, σχηματίσαμε τον επόμενο πίνακα κατανομής συχνοτήτων: Αριθμός παιδιών Αριθμός οικογενειών x i Σύνολο: 50 Για τις παρακάτω ερωτήσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1) Η (απόλυτη) συχνότητα της τιμής x 3 = 2 είναι ν i Α. 15 Β. 0,4 Γ. 0,14 Δ. 20 Ε. 42 2) Η σχετική συχνότητα της τιμής x 4 = 3 είναι A. 0,94 B. 0,1 Γ. 5 Δ. 4 Ε. 47,5 ΘΕΜΑ 4 ο (εσπερινά 2000) Για τον έλεγχο της κατανάλωσης καυσίμου (ίδιου τύπου) δυο αυτοκινήτων Α και Β μετρήθηκε η κατανάλωσή τους σε έξι διαδρομές για το Α και σε πέντε διαδρομές για το Β. Η κατανάλωση στις έξι διαδρομές (σε λίτρα ανά 100 χιλιόμετρα) για το αυτοκίνητο Α ήταν 9, 6, 7, 9, 9, 8 ενώ η κατανάλωση στις πέντε διαδρομές για το αυτοκίνητο Β ήταν 8, 10, 7, 8, 12. α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των μετρήσεων 4

5 που αφορούν το αυτοκίνητο Α. β) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των μετρήσεων που αφορούν το αυτοκίνητο Β. γ) Αν ένας πωλητής ήθελε να χρησιμοποιήσει τα πιο πάνω δεδομένα για να πείσει έναν υποψήφιο αγοραστή να αγοράσει το αυτοκίνητο Α και όχι το Β, ποιο μέτρο θέσης (μέση τιμή ή διάμεσο) θα χρησιμοποιούσε; Αν αντίστροφα ήθελε να πείσει τον υποψήφιο αγοραστή να αγοράσει το αυτοκίνητο Β και όχι το Α, ποιο μέτρο θέσης (μέση τιμή ή διάμεσο) θα χρησιμοποιούσε; ΘΕΜΑ 3 ο (επαναληπτικές εσπερινών 2000) Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον επόμενο πίνακα συχνοτήτων και στη συνέχεια να συμπληρώσετε τα στοιχεία που λείπουν σε κάθε μια από τις πέντε στήλες. x i ν i f i N i f i % F i % 1 2 0, ΣΥΝΟΛΟ Μονάδες 25 ΘΕΜΑ 4 ο (επαναληπτικές εσπερινών 2000) Μια εταιρεία απασχολεί 15 υπαλλήλους εκ των οποίων οι 8 εργάζονται στο τμήμα Α και οι 7 στο τμήμα Β. Οι μισθοί (σε χιλιάδες δραχμές)των 5

6 8 εργαζομένων στο τμήμα Α είναι 300, 325, 330, 305, 315, 310, 320, 315 ενώ των 7 εργαζομένων στο τμήμα Β είναι 310, 250, 290, 340, 270, 330, 310. α. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμε σο των μισθών των εργαζομένων στο τμήμα Α της εταιρείας. β. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των μισθών των εργαζομένων στο τμήμα Β της εταιρείας. γ. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των μισθών όλων των εργαζομένων της εταιρείας. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 3 ο (2001) Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανομή των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων του βάρους 80 μαθητών της Γ τάξης ενός Λυκείου. Τα δεδομένα έχουν ομαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις. Βάρος σε κιλά [ ) Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i , , Α. Αν γνωρίζετε ότι η σχετική συχνότητα της τρίτης κλάσης είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της πρώτης κλάσης, να βρείτε τις τιμές της αθροιστικής σχετικής συχνότητας που αντιστοιχούν στην τρίτη και τέταρτη κλάση. Β. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των παραπάνω δεδομένων. Μονάδες 9 Γ. Επιλέγουμε τυχαία από το δείγμα των 80 μαθητών ένα μαθητή. α. Να βρείτε την πιθανότητα να έχει βάρος μικρότερο από 65 κιλά. 6

7 Μονάδες 4 β. Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής να έχει βάρος μεγαλύτερο ή ίσο των 55 κιλών και μικρότερο των 75 κιλών. Μονάδες 4 ΘΕΜΑ 4ο (2001) Σε έρευνα που έγινε στους μαθητές μιας πόλης, για τον χρόνο που κάνουν να πάνε από το σπίτι στο σχολείο, διαπιστώθηκε ότι το 50% περίπου των μαθητών χρειάζεται περισσότερο από 12 λεπτά, ενώ το 16% περίπου χρειάζεται λιγότερο από 10 λεπτά. Υποθέτουμε ότι η κατανομή του χρόνου της διαδρομής είναι κατά προσέγγιση κανονική. Α. Να βρείτε το μέσο χρόνο διαδρομής των μαθητών και την τυπική απόκλιση του χρόνου διαδρομής τους. Β. Να εξετάσετε, αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Γ. Αν οι μαθητές της πόλης είναι 4.000, πόσοι μαθητές θα κάνουν χρόνο διαδρομής από 14 έως 16 λεπτά. Δ. Μια μέρα, λόγω έργων στον κεντρικό δρόμο της πόλης, κάθε μαθητής καθυστέρησε 5 λεπτά. Να βρείτε πόσο μεταβάλλεται ο συντελεστής μεταβολής ( CV). Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 2ο (επαναληπτικές 2001) Στο διπλανό πίνακα δίνονται οι θερμοκρασίες των 20 πρώτων ημερών του Μαΐου σε βαθμούς Κελσίου ( ο C). Τιμέ ς Θερμοκρασίας x i Πλήθος Ημερών v i

8 Α. Αν γνωρίζουμε ότι η μέση θερμοκρασία 23 4 των παραπάνω ημερών είναι 24,4 ο C, τότε: α. να βρείτε πόσες ημέρες είχαν θερμοκρασία 24 ο C και πόσες 25 ο C 27 3 β. να υπολογίσετε την επικρατούσα τιμή και τη διάμεσο. Β. Αν γνωρίζουμε ότι η διάμεσος είναι 24,5 ο C, να βρείτε πόσες ημέρες είχαν θερμοκρασία 24 ο C και πόσες 25 ο C. ΘΕΜΑ 3ο (επαναληπτικές 2001) To βάρος των αποσκευών καθενός εκ των 80 επιβατών μιας πτήσης κάποιας Αεροπορικής Εταιρείας είναι τουλάχιστον 11 κιλά αλλά μικρότερο από 26 κιλά. Γνωρίζουμε ότι 8 επιβάτες έχουν αποσκευές με βάρος μικρότερο από 14 κιλά, το 30% των επιβατών έχει αποσκευές με βάρος μικρότερο από 17 κιλά, 48 επιβάτες έχουν αποσκευές με βάρος μικρότερο από 20 κιλά και 15% των επιβατών έχει αποσκευές με βάρος τουλάχιστον 23 κιλά. α. Να παρασταθούν τα δεδομένα σε έναν πίνακα συχνοτήτων. β. Κάθε επιβάτης δικαιούται να μεταφέρει αποσκευές με βάρος μικρότερο των 20 κιλών, διαφορετικά έχει πρόσθετη οικονομική επιβάρυνση. Να βρείτε τι ποσοστό από τους 80 επιβάτες της πτήσης αυτής έχει πρόσθετη οικονομική επιβάρυνση. Μονάδες 7 γ. Να βρεθούν οι γωνίες των αντιστοίχων κυκλικών τομέων του κυκλικού διαγράμματος σχετικών συχνοτήτων, για τα δεδομένα του προβλήματος. 8

9 ΘΕΜΑ 2 ο (εσπερινά 2001) H εξέταση 10 μαθητών στο μάθημα της Στατιστικής έδωσε τους εξής βαθμούς: Να βρείτε: α) τη διάμεσο, β) τη μέση τιμή, γ) την επικρατούσα τιμή, δ) το εύρος και ε) τη διακύμανση της παραπάνω βαθμολογίας. Μονάδες 25 ΘΕΜΑ 3 ο (εσπερινά 2001) Δίνεται ο παρακάτω πίνακας κατανομής συχνοτήτων της μεταβλητής Χ: Κλάσεις [ - ) Κεντρικές τιμές x i Συχνότητα ν i Σχετική Συχνότητα f i Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i % Σύνολο 1 Να γράψετε στο τετράδιό σας συμπληρωμένο τον πίνακα. Μονάδες 25 ΘΕΜΑ 1ο (επαναληπτικές εσπερινών 2001) Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x 2,...,x k είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, k ν. 9

10 α) Συχνότητα ν i της τιμής x i της μεταβλητής Χ είναι ο φυσικός αριθμός, που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. β) Το άθροισμα όλων των συχνοτήτων των τιμών της μεταβλητής Χ είναι ίσο με 1. γ) Το άθροισμα όλων των σχετικών συχνοτήτων των τιμών της μεταβλητής είναι ίσο με το μέγεθος ν του δείγματος. δ) Οι αθροιστικές συχνότητες Ν i εκφράζουν το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής x i. ε) Οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες F i εκφράζουν το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής x i. Μονάδες 12,5 Β. Ένα δείγμα οικογενειών μιας περιοχής εξετάστηκε ως προς τον αριθμό των παιδιών τους και προέκυψε ο πίνακας: Αριθμός παιδιών Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Αθροιστική Συχνότητα Aθροιστική Σχετική Συχνότητα x i ν i f i Ν i F i Σύνολο: Να γράψετε στο τετράδιό σας συμπληρωμένο τον παραπάνω πίνακα. Μονάδες 12,5 ΘΕΜΑ 2ο (επαναληπτικές εσπερινών 2001) Οι βαθμοί επτά μαθητών στο δεύτερο τετράμηνο στα Μαθηματικά 10

11 ήταν: 19, 10, 16, 9, 20, α, β και η μέση βαθμολογία τους (μέσος όρος) 14. Αν ισχύει η σχέση α = 2β, να βρείτε: α) τα α και β Μονάδες 12 β) τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή της παραπάνω βαθμολογίας. Μονάδες 13 ΘΕΜΑ 1ο (2002) Α. Aς υποθέσουμε ότι x 1,x 2,,x k είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, όπου k,ν μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί με k ν. α. Τι ονομάζεται απόλυτη συχνότητα ν i, που αντιστοιχεί στην τιμή x i, i = 1,2,,k; Μονάδες 3 β. Τι ονομάζεται σχετική συχνότητα f i της τιμής x i, i = 1,2,,k; Μονάδες 3 γ. Να αποδείξετε ότι: i) 0 f i 1 για i = 1,2,,k ii) f 1 + f f k = 1. Μονάδες 4 ΘΕΜΑ 3ο (2002) Ένα προϊόν πωλείται σε 10 διαφορετικά καταστήματα στις παρακάτω τιμές, σε Ευρώ: 8, 10, 13, 13, 15, 16, 18, 14, 14, 9. α. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή. β. Να υπολογίσετε το εύρος, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβολής. 11

12 γ. Αν οι τιμές του προϊόντος σε όλα τα καταστήματα υποστούν έκπτωση 10%, να εξετάσετε αν θα μεταβληθεί ο συντελεστής μεταβολής. Μονάδες 13 ΘΕΜΑ 1ο (επαναληπτικές 2002) Β1. Σε μια κατανομή συχνοτήτων οι τιμές της μεταβλητής είναι x 1, x 2,...,x k με συχνότητες ν 1, ν 2,...,ν k αντίστοιχα και ν είναι το πλήθος των παρατηρήσεων. Πώς ορίζεται η μέση τιμή x ; Μονάδες 4 12

13 Β2. Να γράψετε στο τετράδιό σας το κείμενο που ακολουθεί συμπληρώνοντας τα υπάρχοντα κενά. Εάν σε κάθε τιμή x 1, x 2,...,x ν ενός συνόλου δεδομένων δώσουμε διαφορετική βαρύτητα που εκφράζεται με τους συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας) w 1, w 2,...,w ν τότε αντί του αριθμητικού μέσου χρησιμοποιούμε τον μέσο ή... μέσο που βρίσκεται από τον τύπο x =.... Μονάδες 3 ΘΕΜΑ 3 ο (επαναληπτικές 2002) Στο διπλανό σχήμα δίνεται το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, που παρουσιάζει τη βαθμολογία μίας ομάδας μαθητών στο μάθημα της Ιστορίας. Η βαθμολογία κυμαίνεται από 10 μέχρι 20. Δίνεται ότι 10 μαθητές έχουν βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 12 και μικρότερο του 14. α. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός των μαθητών είναι 50. β. Να βρείτε τη διάμεσο. γ. Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων. Μονάδες 7 δ. Επιλέγουμε τυχαία από το δείγμα των 50 μαθητών ένα μαθητή. Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής να έχει βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του

14 ΘΕΜΑ 3o(εσπερινά 2002) Τα αποτελέσματα των εκλογών σε ένα εκλογικό τμήμα δίνονται από τον παρακάτω (ελιπή) πίνακα: Κόμμα x i Συχνότητα ν i Σχετική Συχνότητα f i Α 0,15 Β 150 0,30 Γ 0,35 Δ Σύνολο α) Να βρείτε πόσοι εκλογείς ψήφισαν στο τμήμα αυτό. β) Να βρείτε πόσες ψήφους πήρε κάθε κόμμα σε αυτό το εκλογικό τμήμα. γ) Να σχεδιάσετε το ραβδόγραμμα των σχετικών συχνοτήτων. ΘΕΜΑ 4o(εσπερινά 2002) Μια εταιρεία απασχολεί 20 εργαζόμενους εκ των οποίων οι 10 εργάζονται στο τμήμα Α και οι 10 στο τμήμα Β. Η μέση τιμή των μηνιαίων μισθών του τμήματος Α είναι 720 ευρώ και ο μεγαλύτερος μισθός του τμήματος είναι 900 ευρώ. Οι μισθοί των εργαζομένων στο τμήμα Β είναι : 950, 900, 1060, 980, 920, 945, 975, 930, 900, 940. Να βρείτε : α) Το άθροισμα των μηνιαίων μισθών του τμήματος Α. β) Τη μέση τιμή, το εύρος και την επικρατούσα τιμή των μισθών του τμήματος Β. 14

15 Μονάδες 9 γ) Τη μέση τιμή και τη διάμεσο των μισθών όλων των εργαζομένων στην επιχείρηση. ΘΕΜΑ 2 ο (επαναληπτικές εσπερινών 2002) Ο αριθμός των ετήσιων επισκέψεων ενός δείγματος 80 μαθητών μιας περιοχής στα διάφορα μουσεία της χώρας δίνεται από το διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων που ακολουθεί: Για το ανωτέρω δείγμα βρείτε: α. την επικρατούσα τιμή, β. πόσοι μαθητές κάνουν ακριβώς μία επίσκεψη ετησίως, γ. το ποσοστό επί τοις εκατό των μαθητών που κάνει ακριβώς δύο επισκέψεις ετησίως, δ. το ποσοστό επί τοις εκατό των μαθητών που κάνει δύο τουλάχιστον επισκέψεις ετησίως. ΘΕΜΑ 4 ο (επαναληπτικές εσπερινών 2002) Δίνεται ο παρακάτω πίνακας κατανομής συχνοτήτων. Τιμή Συχνότητα Σχετική συχνότητα x i ν i f i 15

16 ,1 Σύνολο Αν x = 2,5 και δ = 2,5 α. Να αποδείξετε ότι το μέγεθος ν του δείγματος είναι 20. β. Να αποδείξετε ότι η συχνότητα ν 2 της τιμής x 2 = 2 ισούται με 2. γ. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον πιο πάνω πίνακα και να συμπληρώσετε όλα τα στοιχεία που λείπουν. Μονάδες 12 ΘΕΜΑ 1 ο (2003) Γ. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων. α. Το εύρος είναι μέτρο θέσης. β. Η διακύμανση εκφράζεται με τις ίδιες μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. ε. Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται μόνο για τη γραφική παράσταση των ποσοτικών μεταβλητών. ΘΕΜΑ 4 ο (2003) Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζεται η χρηματική παροχή από τους γονείς, σε Ευρώ, δείγματος έξι μαθητών της πρώτης τάξης (ομάδα Α) και έξι μαθητών της δεύτερης τάξης (ομάδα Β) ενός Γυμνασίου. Ομάδα Α Ομάδα Β 16

17 α. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των παρατηρήσεων κάθε ομάδας. β. Να συγκρίνετε μεταξύ τους ως προς την ομοιογένεια τις δύο ομάδες. γ. Αν σε κάθε παρατήρηση της ομάδας Α γίνει αύξηση 20% και οι παρατηρήσεις της ομάδας Β αυξηθούν κατά 5 Ευρώ η κάθε μία, πώς διαμορφώνονται οι νέες μέσες τιμές των δύο ομάδων; δ. Να συγκρίνετε μεταξύ τους ως προς την ομοιογένεια τις δύο ομάδες με τα νέα δεδομένα. ΘΕΜΑ 4ο (επαναληπτικές 2003) Το βάρος ενός δείγματος μαθητών λυκείου ακολουθεί κανονική ή περίπου κανονική κατανομή. Το 50% των μαθητών του δείγματος έχουν βάρος το πολύ 65 Kg, ενώ περίπου το 47,5% αυτών έχουν βάρος από 65 Kg έως 75 Kg. α. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο κ αι την τυπική απόκλιση του βάρους των μαθητών του δείγματος. β. Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. γ. Να υπολογίσετε το ποσοστό των μαθητών του δείγματος, που έχουν βάρος από 55 Kg έως 70 Kg. δ. Ο αριθμός των μαθητών του δείγματος αυτού που έχουν βάρος από 55 Kg έως 60 Kg, είναι 27. Να υπολογίσετε το σύνολο των μαθητών του δείγματος. 17

18 Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 1 ο (εσπερινά 2003) B) Ας υποθέσουμε ότι x 1, x 2,..., x k είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν (όπου k ν), ν i είναι η συχνότητα και f i είναι σχετική συχνότητα της τιμής x i, i = 1, 2,, k. α) Το άθροισμα όλων των σχετικών συχνοτήτων των τιμών της μεταβλητής Χ είναι ίσο με 100. k 1 β) Η μέση τιμή x ορίζεται από τη σχέση: x = ν γ) Για τη σχετική συχνότητα f i ισχύει ότι f i > 1, για κάθε i = 1, 2,, k. i 1 δ) Ο συντελεστής μεταβολής CV ορίζεται (για x 0) από το λόγο: CV τυπικήαπόκλιση. μέση τιμή x i ν i ε) Η διακύμανση (ή διασπορά) της μεταβλητής X ορίζεται από τη σχέση: s 1 ν 2 k _ 2 (x i - x ) ν i. i 1 Μονάδες 15 ΘΕΜΑ 2 ο (εσπερινά 2003) Ένα δείγμα εργαζομένων μιας εταιρείας εξετάστηκε ως προς το χρόνο (σε ώρες) υπερωριακής απασχόλησης κατά τη διάρκεια ενός μηνός και προέκυψε ο παρακάτω πίνακας. Ώρες υπερωριακής απασχόλησης Αθροιστική Κλάσεις [ - ) συχνότητα Ν i

19 Να βρείτε: α) το μέγεθος του δείγματος, β) τις συχνότητες και τις σχετικές συχνότητες των κλάσεων και γ) τη μέση τιμή. ΘΕΜΑ 4 ο (εσπερινά 2003) Οι χρόνοι σε ώρες (παρατηρήσεις) που έξι από τους επίγειους σταθμούς δεν είχαν επαφή με τον Ελληνοκυπριακό δορυφόρο είναι: t 1 = 0, t 2 = 0, t 3 = 1, t 4 = 2, t 5 = 4, t 6 = 5. α)να βρείτε τη μέση τιμή x και τη διάμεσο δ των παρατηρήσεων. β) Αν f(x) = (t 1 x) 2 +(t 2 x) 2 +(t 3 x) 2 +(t 4 x) 2 +(t 5 x) 2 +(t 6 x) 2, τότε: i) να αποδείξετε ότι f ( x ) = 0 ii) να αποδείξετε ότι f( x ) = 6s 2, όπου s 2 είναι η διακύμανση των παρατηρήσεων και iii) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α( x, f( x )). ΘΕΜΑ 1 ο (επαναληπτικές εσπερινών 2003) Α. Έστω ότι t 1, t 2,..., t ν είναι οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος, μεγέθους ν και η μέση τιμή των παρατηρήσεων. 19

20 Να αποδείξετε ότι: (t - 1 x) + (t 2 - x ) (t ν ν -x ) = 0 Μονάδες 13 ΘΕΜΑ 2 ο (επαναληπτικές εσπερινών 2003) Η εξέταση ενός δείγματος 20 υπαλλήλων μιας επιχείρησης, ως προς τον αριθμό των ημερών που αυτοί απουσίασαν κατά το μήνα Δεκέμβριο του 2002, έδωσε τις εξής παρατηρήσεις: 0, 1, 1, 3, 0, 0, 2, 4, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 3, 0, 0, 0, 0, 0. α) Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα και να συμπληρώσετε όλα τα στοιχεία που λείπουν. Ημέρες απουσίας x i Σύνολο Συχνότητα ν i Σχετική Συχνότητα β) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή f i Αθροιστική Συχνότητα N i x των παρατηρήσεων. γ) Να βρείτε τη διάμεσο δ των παρατηρήσεων. Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i ΘΕΜΑ 1 ο (2004) α. Η συχνότητα της τιμής x i μιας μεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθμός. β. Στην κανονική κατανομή το 95% των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα ( x s, x + s), όπου x είναι η μέση τιµή των 20

21 παρατηρήσεων και s η τυπική τους απόκλιση. γ. Αν διαιρέσουµε τη συχνότητα ν i μιας μεταβλητής Χ µε το μέγεθος ν του δείγματος, προκύπτει η σχετική νσυχνότητα f i της τιμής x i. ΘΕΜΑ 3 ο (2004) Στην «Αττική οδό» εξυπηρετούνται καθημερινά 200 χιλιάδες οχήματα, τα οποία διανύουν από 5 έως 45 χιλιόμετρα. Η διανυόμενη απόσταση σε χιλιόμετρα από τα οχήματα αυτά παρουσιάζεται στην πρώτη στήλη του πίνακα: Κλάσεις Κέντρο Συχνότητα Σχετική Αθροιστική Αθρ. Σχετ. σε χλµ. κλάσης x i ν i σε χιλ. μονάδες συχνότητα f i % Συχνότητα Ν i σε χιλ. μονάδες Συχνότητα F i % [5, 15) 60 [15, 25) 68 [25, 35) 180 [35, 45) Σύνολο 200 Α. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα και να συµπληρώσετε τις τιμές των αντίστοιχων μεγεθών. Β. Να σχεδιάσετε το ιστόγραμμα (x i, f i %) και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων. Γ. Να βρείτε τη μέση τιµή x.. Να βρείτε το πλήθος των οχημάτων που διανύουν απόσταση τουλάχιστον 25 χιλιομέτρων. 21

22 ΘΕΜΑ 1 ο (επαναληπτικές 2004) στ. Το μέτρο διασποράς εύρος ισούται µε τη διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρηση. ΘΕΜΑ 3 ο (επαναληπτικές 2004) Η μέση τιμή των βαθμών που πήραν οι 25 μαθητές της Γ τάξης ενός Λυκείου στα Μαθηματικά είναι 14, ενώ η μέση τιμή των βαθμών των 10 μαθητών που παρουσίασαν τη μικρότερη βαθμολογία είναι 11. α. Να βρείτε τη μέση τιμή της βαθμολογίας των 15 υπόλοιπων μαθητών. Μονάδες 12 β. Αν το άθροισμα των τετραγώνων των βαθμών των 25 αυτών μαθητών είναι 5000, να βρείτε το συντελεστή μεταβολής (CV). Μονάδες 13 ΘΕΜΑ 1 ο (εσπερινά 2004) Α) Να γράψετε τον ορισμό της διαμέσου δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά. B) Ας υποθέσουμε ότι t 1, t 2,, t ν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τις παρατηρήσεις ενός δείγματος μεγέθους ν. Να γράψετε τη σχέση που δίνει τη μέση τιμή x των παρατηρήσεων του δείγματος. Γ) Αν οι τιμές x 1, x 2,..., x k μιας ποσοτικής μεταβλητής X είναι σε αύξουσα διάταξη και οι αντίστοιχες απόλυτες συχνότητές τους είναι ν 1, ν 2,..., ν k, τότε η αθροιστική συχνότητα της τιμής x i είναι Ni = ν 1 + ν ν i, για i = 1, 2,..., k. Μονάδες 2 ) Γενικά δεχόμαστε ότι ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής 22

23 θα είναι ομοιογενές εάν ο συντελεστής μεταβολής (CV) ξεπερνά το 10%. Μονάδες 3 ΘΕΜΑ 3 ο (εσπερινά 2004) Οι εισπράξεις (σε χιλιάδες ευρώ) ενός δείγματος δέκα υποκαταστημάτων μιας εμπορικής επιχείρησης, κατά το μήνα Απρίλιο του 2004, ήταν: 50, 15, 15, 20, 15, 30, 15, 20, 50, 50. α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή x των εισπράξεων. β) Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα και να συμπληρώσετε όλα τα στοιχεία του. Εισπράξεις (σε χιλιάδες ευρώ) x i 15 Συχνότητα ν i Σχετική συχνότητα f i x i - x ( x i - x ) 2 ( x i - x ) 2 ν i Σύνολο Μονάδες 15 γ) Θεωρώντας γνωστό ότι για τη διακύμανση ισχύει ο τύπος s 2 1 κ x ν i 1 i x 2 νi, να υπολογίσετε: γ 1 ) τη διακύμανση των εισπράξεων, Μονάδες 3 γ 2 ) την τυπική απόκλιση. 23 Μονάδες 2

24 ΘΕΜΑ 1 ο (επαναληπτικές εσπερινών 2004) Γ. Η σχετική συχνότητα f i της τιμής x i, μιας μεταβλητής Χ, είναι f i = ν ι ν, i = 1, 2,..., k, v i η συχνότητα της τιμής x i και v το μέγεθος του δείγματος.. Αν f 1, f 2,..., f k είναι οι σχετικές συχνότητες των τιμών Μονάδες 3 x 1, x 2,..., x k μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους v, ισχύει: f 1 + f f k = 100. Ε. Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής θα είναι ομοιογενές, αν ο συντελεστής μεταβολής ξεπερνά το 10%. ΘΕΜΑ 2 ο (επαναληπτικές εσπερινών 2004) Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι βαθμολογίες, στην Μονάδες 3 Μονάδες 3 εκατοντάβαθμη κλίμακα, των μαθητών ενός τμήματος της τάξης, κάποιου Εσπερινού Ενιαίου Λυκείου, στα μαθηματικά γενικής παιδείας. α. Να βρείτε πόσοι είναι οι μαθητές του τμήματος. Μονάδες 7 β. Να βρείτε πόσοι είναι οι μαθητές που έχουν βαθμό από 40 µόρια και πάνω. Μονάδες 7 24

25 γ. Να κατασκευάσετε τον πίνακα µε τις συχνότητες v i, τις κεντρικές τιμές x i και τα γινόμενα x i v i. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των βαθμών των μαθητών του τμήματος. Μονάδες 11 ΘΕΜΑ 3 ο (επαναληπτικές εσπερινών 2004) Τα βάρη μιας ομάδας, πέντε μαθητών, είναι: 62, 77, 65, 72, 69 κιλά α. Να αποδείξετε ότι το μέσο βάρος των πέντε μαθητών είναι 69 κιλά. β. Να υπολογίσετε τη διάμεσο των τιμών των βαρών. γ. Να υπολογίσετε το εύρος των τιμών των βαρών. δ. Αν προστεθεί στην ομάδα ένας έκτος μαθητής και το μέσο βάρος των έξι μαθητών γίνει 72 κιλά, να βρείτε το βάρος του έκτου μαθητή που προστέθηκε στην ομάδα. ΘΕΜΑ 1 ο (2005) Β. α. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; Μονάδες 3 β. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; Μονάδες 4 γ. Η διακύμανση είναι μέτρο θέσης. Μονάδες 2 ΘΕΜΑ 2 ο (2005) Σε ένα διαγώνισμα Βιολογίας η βαθμολογία των μαθητών δίνεται από το παρακάτω ιστόγραμμα συχνοτήτων: 25

26 α. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Κλάσεις βαθ/γίας [ ) [ 4, 8 ) [ 8, 12 ) [ 12, 16 ) [ 16, 20 ) Σύνολο Κέντρο κλάσης x i Συχνότητα ν i Σχετική συχνότητα f i Αθροιστική συχνότητα Ν i Αθρ. σχετ. συχνότητα F i Μονάδες 11 β. Να βρείτε τη μέση τιμή των βαθμών. γ. Πόσοι μαθητές έχουν βαθμό μέχρι και 10; ΘΕΜΑ 4 ο (2005) 1 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x), x (0, + ). x α. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της f στο σημείο Λ(1,1). Μονάδες 7 β. Από τυχαίο σημείο Μ(x, y) της γραφικής παράστασης της f φέρνουμε παράλληλες ευθείες προς τους άξονες xx και yy, 26

27 οι οποίες σχηματίζουν με τους ημιάξονες Οx, Oy ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Μ, ώστε η περίμετρος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου να είναι ελάχιστη. γ. Οι τετμημένες πέντε διαφορετικών σημείων της εφαπτομένης του ερωτήματος (α) έχουν μέση τιμή x = 5 και τυπική απόκλιση s x = 2. Να βρεθεί η μέση τιμή y και η τυπική απόκλιση sy των τεταγμένων των σημείων αυτών. ΘΕΜΑ 1 ο (επαναληπτικές2005) A.2. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας μιας μεταβλητής x, αν x > 0 και πώς, αν x < 0 ; Μονάδες 4 α. Οι ποιοτικές μεταβλητές διακρίνονται σε διακριτές και συνεχείς. Μονάδες 2 γ. Στην περίπτωση των ποσοτικών μεταβλητών, εκτός από τις συχνότητες f i και v i, χρησιμοποιούνται και οι λεγόμενες αθροιστικές συχνότητες F i, N i. Μονάδες 2 δ. Τα σπουδαιότερα μέτρα διασποράς μιας μεταβλητής είναι η μέση τιμή και η διάμεσος αυτής. Μονάδες 2 ΘΕΜΑ 3 ο (επαναληπτικές2005) Σε μια κανονική ή περίπου κανονική κατανομή το 50% των παρατηρήσεων έχουν τιμή μεγαλύτερη του 20. Το 81,5% των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα (16,22) με άκρα του 27

28 διαστήματος χαρακτηριστικές τιμές της κανονικής κατανομής x 3s, x 2s, x s, x. α. Να δείξετε ότι x =20 και s = 2. β. Να βρείτε το α Ν *, αν είναι γνωστό ότι στο διάστημα x α s, x α s ανήκει το 95% περίπου των παρατηρήσεων. γ. Αν R είναι το εύρος της κατανομής, να βρείτε την ελάχιστη R 2 τιμή της συνάρτησης f(x) x x 4 x 9s. 2 Θ Ε Μ Α 1 ο ( ε σ π ε ρ ι ν ά ) α ) Σ ε μ ί α κ α ν ο ν ι κ ή ή π ε ρ ί π ο υ κ α ν ο ν ι κ ή κ α τ α ν ο μ ή τ ο ε ύ ρ ο ς ι σ ο ύ τ α ι π ε ρ ί π ο υ μ ε έ ξ ι τ υ π ι κ έ ς α π ο κ λ ί σ ε ι ς, δ η λ α δ ή R 6 s. Μ ο ν ά δ ε ς 2 β ) Ο σ υ ν τ ε λ ε σ τ ή ς μ ε τ α β ο λ ή ς ε ν ό ς δ ε ί γ μ α τ ο ς τ ι μ ώ ν μ ι α ς ο ι α σ δ ή π ο τ ε μ ε τ α β λ η τ ή ς Χ ο ρ ί ζ ε τ α ι ( γ ι α s 0 ) α π ό τ ο x λ ό γ ο C V =, ό π ο υ x η μ έ σ η τ ι μ ή κ α ι s η τ υ π ι κ ή s α π ό κ λ ι σ η. Μ ο ν ά δ ε ς 2 ε ) Σ ε έ ν α δ ε ί γ μ α τ ι μ ώ ν μ ι α ς ο ι α σ δ ή π ο τ ε μ ε τ α β λ η τ ή ς X τ ο ε ύ ρ ο ς R ο ρ ί ζ ε τ α ι α π ό τ η σ χ έ σ η : R = μ ε γ α λ ύ τ ε ρ η π α ρ α τ ή ρ η σ η + μ ι κ ρ ό τ ε ρ η π α ρ α τ ή ρ η σ η. Μ ο ν ά δ ε ς 2 Θ Ε Μ Α 3 ο ( ε σ π ε ρ ι ν ά ) Ο ι ώ ρ ε ς π α ρ α κ ο λ ο ύ θ η σ η ς τ η λ ε ο π τ ι κ ώ ν π ρ ο γ ρ α μ μ ά τ ω ν α π ό 2 0 ά τ ο μ α σ ε δ ι ά σ τ η μ α μ ι α ς ε β δ ο μ ά δ α ς α ν α γ ρ ά φ ο ν τ α ι σ τ ο ν π α ρ α κ ά τ ω ( ε λ λ ι π ή ) π ί ν α κ α : 28

29 Ώρες παρακολούθησης Συχνότητα x i ν i Σύνολο ν = 2 0 x i ν i x i 2 ν i Σ τ ο κ υ κ λ ι κ ό δ ι ά γ ρ α μ μ α σ υ χ ν ο τ ή τ ω ν τ ο υ π α ρ α π ά ν ω Π ί ν α κ α δ ί ν ε τ α ι ό τ ι η γ ω ν ί α τ ο υ κ υ κ λ ι κ ο ύ τ ο μ έ α, π ο υ α ν τ ι σ τ ο ι χ ε ί σ τ η ν π α ρ α τ ή ρ η σ η x 1 = 2 ώ ρ ε ς, ε ί ν α ι α 1 = α ) Ν α μ ε τ α φ έ ρ ε τ ε σ τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ό σ α ς τ ο ν π α ρ α π ά ν ω π ί ν α κ α κ α ι ν α τ ο ν σ υ μ π λ η ρ ώ σ ε τ ε. Μ ο ν ά δ ε ς 1 2 β ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ η ν τ υ π ι κ ή α π ό κ λ ι σ η s. Μ ο ν ά δ ε ς 5 γ ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ν σ υ ν τ ε λ ε σ τ ή μ ε τ α β ο λ ή ς C V τ ο υ δ ε ί γ μ α τ ο ς. Μ ο ν ά δ ε ς 8 Θ Ε Μ Α 4 ο ( ε σ π ε ρ ι ν ά ) Σ τ ο ν π α ρ α κ ά τ ω π ί ν α κ α π α ρ ο υ σ ι ά ζ ο ν τ α ι ο ι ώ ρ ε ς π ρ ω ι ν ή ς ε ρ γ α σ ί α ς τ ω ν μ α θ η τ ώ ν ε ν ό ς τ μ ή μ α τ ο ς Ε σ π ε ρ ι ν ο ύ Λ υ κ ε ί ο υ : Ώρες εργασίας μαθητών Συχνότητα x i ν i 1 α β

30 5 1 Ό π ο υ α κ α ι β ε ί ν α ι ο ι τ ι μ έ ς τ ο υ τ ο π ι κ ο ύ μ ε γ ί σ τ ο υ κ α ι τ ο υ τ ο π ι κ ο ύ ε λ α χ ί σ τ ο υ α ν τ ί σ τ ο ι χ α τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f ( x ) = 2 x 3-9x x - 1, x Ι R.. α ) Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : α = 4 κ α ι β = 3. Μ ο ν ά δ ε ς 1 0 β ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ η μ έ σ η τ ι μ ή x κ α ι τ η δ ι ά μ ε σ ο δ τ ω ν ω ρ ώ ν π ρ ω ι ν ή ς ε ρ γ α σ ί α ς τ ω ν μ α θ η τ ώ ν. Μ ο ν ά δ ε ς 1 0 γ ) Π ό σ ο ι μ α θ η τ έ ς ε ρ γ ά σ τ η κ α ν τ ο π ο λ ύ 4 ώ ρ ε ς. Μ ο ν ά δ ε ς 5 Θ Ε Μ Α 1 ο ( ε π α ν α λ η π τ ι κ έ ς ε σ π ε ρ ι ν ώ ν ) δ) Η διάμεσος ε νός δείγματος ν παρατηρήσεων δεν είνα ι μέτρο θέσης. Μ ονάδες 3 ε) Σ ε μ ί α κ α ν ο ν ι κ ή ή π ε ρ ί π ο υ κ α ν ο ν ι κ ή κ α τ α ν ο μ ή τ ο 9 5 % π ε ρ ί π ο υ τ ω ν π α ρ α τ η ρ ή σ ε ω ν β ρ ί σ κ ε τ α ι σ τ ο διάστημα x 2s, x 2s όπο υ x η μέση τιμή και s η τ υπική απόκλιση. Μ ονάδες 3 Θ Ε Μ Α 3 ο ( ε π α ν α λ η π τ ι κ έ ς ε σ π ε ρ ι ν ώ ν ) Στον παρακάτω πίνα κ α δί νο νται οι τιμές μιας μεταβλητής Χ με τι ς α ντίστοι χε ς συχνότητές τους. Το μέγεθος του δείγμ ατος εί ναι ν = 80 και η μέση τιμή εί ναι x = 2,6. x i ν i μ 30

31 3 λ Σύνολο ν = 8 0 α) Να απο δείξετε ότι μ = 33 και λ = 10. β ) Να υπο λογίσετε τη διάμεσο του δείγματος. Μ ονάδες 10 Μ ονάδες 6 γ ) Να υπο λογίσετε τη διακύμανση του δείγμ ατος. Θ Ε Μ Α 4 ο ( ε π α ν α λ η π τ ι κ έ ς ε σ π ε ρ ι ν ώ ν ) Οι μηνι αίοι μισθοί τ ω ν υπαλλήλων μιας Αμερικα νική ς Μ ονάδες 9 εται ρείας έχουν μέση τιμή x A = δολάρια και τυπική α πόκλιση s A = 125 δολά ρια. Οι μισθοί τ ω ν υπαλλήλων μιας Ευρωπαϊκής εταιρείας έχουν μέση τιμή x E = 800 ευρώ και τυπική από κλιση s E = 90 ευρώ. α) Να β ρείτε ποια από τις δύο εται ρείες έχει μεγα λύτερη ομοιογέ νεια μισθών. Μ ονάδες 8 β ) Η Αμερι κα νι κή εται ρεία αποφασίζει να αυξήσει τ ο μηνι αίο μισθό κάθε υπαλλή λου κατά 250 δολά ρια. Επίσης η Ευρωπαϊκή εταιρεί α αποφασίζει να αυξήσει το μηνιαίο μισθό κάθε υπαλλή λου κατά 20%. Να βρείτε τη νέ α μέση τιμή και τη νέα τυπική από κλιση των μηνι αίων μισθών κ αι για τις δύο εται ρείες. Μ ονάδες 10 γ ) Ποια από τις δύο εταιρείες έχει μεγα λύτερη ομοιογένεια τ ω ν μηνι αί ω ν μισθών μετά τι ς αυξήσεις; Μ ονάδες 7 ΘΕΜΑ 1o (2006) δ. Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση μόνο ποσοτικών δεδομένων. 31 Μονάδες 2

32 ΘΕΜΑ 2o (2006) Κατά την αρχή της σχολικής χρονιάς οι 50 μαθητές της τρίτης τάξης ενός Λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά με τον αριθμό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των θερινών διακοπών. Σύμφωνα με τις απαντήσεις που δόθηκαν, συντάχθηκε ο παρακάτω πίνακας: Αριθμός Βιβλίων Αριθμός Μαθητών x i ν i 0 α+4 1 5α+8 2 4α 3 α-1 4 2α Σύνολο 50 α. Να υπολογίσετε την τιμή του α. Μονάδες 3 Στη συνέχεια να βρείτε: β. Τη μέση τιμή του αριθμού των βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές. Μονάδες 7 γ. Τη διάμεσο του αριθμού των βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές. Μονάδες 7 δ. Την πιθανότητα ένας μαθητής να έχει διαβάσει τουλάχιστο 3 βιβλία. ΘΕΜΑ 4o (2006) Έστω η συνάρτηση f(x) = -2x 2 +kx + 4 x + 10, x 0. α. Aν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο Α(1,f(1)) είναι παράλληλη στον άξονα x x, να αποδείξετε ότι k=2 και να βρείτε την εξίσωσή της. 32

33 β. Μία τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή 2f (4) με μέση τιμή x =f(1) και τυπική απόκλιση s Τρεις παρατηρήσεις, αντιπροσωπευτικού δείγματος μεγέθους ν, είναι μικρότερες ή ίσες του 8. (i) Να βρείτε τον αριθμό των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο διάστημα (10,16). (ii) Να αποδείξετε ότι το δείγμα των παρατηρήσεων που έχει ληφθεί, δεν είναι ομοιογενές. Να βρείτε τη μικρότερη τιμή της παραμέτρου α>0, που πρέπει να προστεθεί σε κάθε μία από τις προηγούμενες παρατηρήσεις, ώστε το δείγμα των νέων παρατηρήσεων να είναι ομοιογενές. ΘΕΜΑ 1ο (επαναληπτικές 2006) γ. Ο συντελεστής μεταβλητότητας (CV) είναι ανεξάρτητος από τις μονάδες μέτρησης των δεδομένων. Μονάδες 2 δ. Η διάμεσος δ είναι μέτρο διασποράς. Μονάδες 2 ΘΕΜΑ 4ο (επαναληπτικές 2006) Οι απουσίες των μαθητών της Γ τάξης ενός Ενιαίου Λυκείου κατά τους μήνες Ιανουάριο Φεβρουάριο Μάρτιο Απρίλιο του έτους 2006 έχουν ομαδοποιηθεί σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους και εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα σχετικών συχνοτήτων: Απ ο υ σ ί ε ς μ α θ η τ ώ ν Κέ ν τ ρ ο κλ ά σ η ς Σ χ ε τ ι κ ή σ υ χ ν ό τ η τ α f i [ )... 0,1 [... 7 ) [ )... 0,3 [ ) Σύνολο /////////////////////// 1 x i 33

34 Αν επιπλέον δίνεται ότι η σχετική συχνότητα της 4 ης κλάσης f 4 είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της 2 ης κλάσης f 2, τότε: α. Να αποδείξετε ότι το πλάτος c των κλάσεων ισούται με 2. β. Να μεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα σχετικών συχνοτήτων στο τετράδιό σας και να συμπληρώσετε τα κενά, αφού υπολογίσετε τις αντίστοιχες τιμές. γ. i. Να βρείτε τη μέση τιμή x. ii. Να βρείτε την τυπική απόκλιση s. Μονάδες 4 ΘΕΜΑ 1ο (εσπερινά 2006) δ) Η διάμεσος επηρεάζεται από ακραίες παρατηρήσεις. Μονάδες 3 ε) Έστω x, x,, x οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα 1 2 k άτομα ενός δείγματος μεγέθους v, k v. Για τις αντίστοιχες (απόλυτες) συχνότητες ισχύει: v + v + + v = v. 1 2 k Μονάδες 3 ΘΕΜΑ 2ο (εσπερινά 2006) Για τη μελέτη του αριθμού των τροχαίων ατυχημάτων, που γίνονται σε μια κεντρική διασταύρωση κάποιας επαρχιακής πόλης, πήραμε δείγμα πέντε παρατηρήσεων που αφορούν στον αριθμό των ατυχημάτων σε κάθε έναν από τους πέντ ε τελευταίους μήνες. Οι παρατηρήσεις είναι αντίστοιχα: 1, 2, 3, 3, 1. α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διασπορά του δείγματος. 34

35 β) Να βρείτε τη διάμεσο του δείγματος. γ) Ποια είναι η (απόλυτη) συχνότητα και ποια η σχετική συχνότητα της τιμής 3; δ) Ποιο είναι το εύρος του δείγματος; ΘΕΜΑ 4ο (εσπερινά 2006) Ο χρόνος αναμονής των πολιτών μέχρι να εξυπηρετηθούν σε μια δημόσια υπηρεσία ακολουθεί κανονική κατανομή, με μέση τιμή 5 λεπτά και τυπική απόκλιση 1 λεπτό. Ι. Να βρείτε πόσο είναι περίπου το ποσοστό των πολιτών που εξυπηρετούνται σε χρόνο α) από 4 έως 6 λεπτά. β) από 3 έως 6 λεπτά. ΙΙ. Να βρείτε τη διάμεσο και το εύρος της κατανομής του χρόνου αναμονής των πολιτών. ΙΙΙ. Να υπολογίσετε το συντελεστή μεταβολής της κατανομής του χρόνου αναμονής. ΘΕΜΑ 1o (2007) β. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων, όταν ο ν είναι άρτιος αριθμός. 35 Μονάδες 3 α. Στην περίπτωση των ποσοτικών μεταβλητών, οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες F i εκφράζουν το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής x i. ΘΕΜΑ 4o (2007) Μονάδες 2

36 Θεωρούμε δύο δείγματα Α και Β με παρατηρήσεις: Δείγμα Α: 12, 18, t 3, t 4,..., t 25 Δείγμα B: 16, 14, t 3, t 4,..., t 25. Δίνεται ότι t 3 +t t 25 =345. α. Να αποδείξετε ότι οι μέσες τιμές x A και δειγμάτων Α και Β αντίστοιχα είναι x A = x B των δύο x B = 15. Μονάδες 7 β. Αν 2 sa είναι η διακύμανση του δείγματος Α και η διακύμανση του δείγματος Β, να αποδείξετε ότι s A 2 -s B 2 =16/25. 2 s B είναι γ. Αν ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος Α είναι ίσος με CV A =1/15, να βρείτε τον συντελεστή μεταβολής CV Β του δείγματος Β. Θ Ε Μ Α 1 ο ( ε π α ν α λ η π τ ι κ έ ς ) α. Έστω ότι έχουμε ένα δ ε ί γ μ α μ ε γ έ θ ο υ ς ν κ α ι ό τ ι f i, i =1,2,,κ, εί να ι ο ι α ντ ί σ τ ο ι χες σχετικές συχνό τ η τ ε ς τ ω ν τ ι μ ώ ν x i μ ι α ς μ ε τ α β λ η τ ή ς. Α ν α i ε ί να ι τ ο α ντ ί σ τ ο ι χ ο τ ό ξ ο ε νό ς κ υ κ λ ι κ ο ύ τ μ ή μ α τ ο ς σ τ ο κ υ κ λ ι κ ό δ ι ά γ ρ α μ μ α σ υ χ ν ο τ ή τ ω ν, τ ό τ ε : α i =360f i, γ ι α i =1,2,,κ. Μ ο ν ά δ ε ς 2 Θ Ε Μ Α 4 ο ( ε π α ν α λ η π τ ι κ έ ς ) Έστω x 1, x 2,...,x 11 ένα δεί γμα με πα ρατηρήσεις: 7, 5, α, 2, 5, β, 8, 6, γ, 5, 3, όπου α, β, γ φυσικοί αριθμοί με α <β<γ. Δί νεται ότι η μέση τιμή, η διάμεσος και το εύρο ς τ ω ν π αρατηρήσεων είνα ι x = 6, δ = 6 και R = 8 αντίστοιχα. α. Να βρε θούν οι τιμές τ ω ν α, β, γ, έτσι ώστε να ισχύει α 2 + β 2 + γ 2 = 217. Μ ονάδες 8 β. Για τις τιμές των α, β, γ, που β ρέθηκα ν στο προηγούμενο ε ρώτημα, να δει χθεί ότι η τ υπική απόκλιση του δείγματ ος 36

37 58 εί ναι ίση με s x = και να εξετασθεί αν το δείγμ α εί ναι 11 ομοιογε νές. Μ ονάδες 8 γ. Έστω y 1, y 2,, y 11 οι πα ρατηρήσει ς πο υ προκύπτουν αν πο λλαπλασιάσουμε τις x 1,x 2,, x 11 επί μια θετική σταθερά c 1 και στη συνέχεια προ σθέσουμε μια σταθερά c 2. Αν y =9 κ αι s y =2 s x, να βρε θούν οι τιμές των σταθερών c 1 και c 2. Μ ονάδες 9 ΘΕΜΑ 1ο (εσπερινά 2007) α) Το εύρος R ενός δείγματος ν παρατηρήσεων δεν επηρεάζεται από τις δύο ακραίες παρατηρήσεις. Μονάδες 3 β) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής. Μονάδες 3 γ) Σε ένα ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με 1. Μονάδες 3 ΘΕΜΑ 3ο (εσπερινά 2007) Στον παρακάτω (ελλιπή) πίνακα παρουσιάζονται οι σχετικές συχνότητες των τιμών σε Ευρώ ενός συγκεκριμένου προϊόντος σε 50 καταστήματα μιας πόλης: Τιμή προϊόντος (σε Ευρώ) Σχετική Συχνότητα [ ) , f , f 4 f i 37

38 α) Αν η μέση τιμή των τιμών του προϊόντος στα καταστήματα αυτά είναι X=11,60 Ευρώ, να βρείτε τις σχετικές συχνότητες f 2 και f 4. β) Αν f 2 =0,4 και f 4 =0,1 τότε, i) να βρείτε σε πόσα καταστήματα η τιμή του προϊόντος είναι μεγαλύτερη ή ίση των 10 Ευρώ. ii) να κατασκευάσετε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. ΘΕΜΑ 4ο (εσπερινά 2007) Μονάδες 7 Σε ένα δείγμα ν παρατηρήσεων x 1, x 2,, x ν μιας μεταβλητής X είναι X =8 και s x 2 =4. α) Αν y 1, y 2,, y ν είναι το δείγμα των παρατηρήσεων που προκύπτουν αντιστοίχως από τις x 1, x 2,, x ν όταν κάθε μία αυξηθεί κατά 10% τότε: i) Να εξετάσετε αν το δείγμα y 1, y 2,, y ν είναι ομοιογενές. ii) Να συγκριθούν μεταξύ τους τα δύο δείγματα ως προς την ομοιογένεια. β) Αν x -x i z= i για κάθε i=1,2,,ν s x i) να βρείτε τη μέση τιμή Z και την τυπική απόκλιση s Z των z 1, z 2,, z ν. ii) να εξετάσετε αν ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής (CV) των z 1, z 2,, z ν. ΘΕΜΑ 1ο (επαναληπτικές εσπερινών 2007) Α. Αν x1, x 2,, xκ, είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, κ ν και f1, f2,, fκ οι 38

39 αντίστοιχες σχετικές συχνότητες των τιμών της μεταβλητής, να αποδείξετε ότι : f1 + f fκ = 1. Β. Να δώσετε τον ορισμό της μέσης τιμής ενός δείγματος ν παρατηρήσεων μιας μεταβλητής Χ. β ) Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο των ποιοτικών, όσο και των ποσοτικών δεδομένων, όταν οι διαφορετικές τιμές της μεταβλητής είναι σχετικά λίγες. γ) Οι τιμές μιας ποιοτικής μεταβλητής είναι αριθμοί. Μονάδες 3 Μονάδες 3 δ ) Η διακύμανση των τιμών μιας μεταβλητής Χ είναι μέτρο θέσης. ΘΕΜΑ 3ο (επαναληπτικές εσπερινών 2007) Μονάδες 3 Οι βαθμοί των μαθητών σε ένα διαγώνισμα Μαθηματικών μιας τάξης ενός Λυκείου ακολουθούν κανονική κατανομή. Το 50% των μαθητών έγραψε τουλάχιστο 13, ενώ το 34% από 13 έως 14: α) Να βρείτε τη διάμεσο δ, τη μέση τιμή X και την τυπική απόκλιση s των βαθμών των μαθητών. β ) Αν 95 μαθητές της τάξης έγραψαν από 11 έως 13: Μονάδες 12 i. Να βρείτε το πλήθος των μαθητών της τάξης. Μονάδες 7 ii. Να βρείτε το πλήθος των μαθητών που έγραψαν από 14 έως 15 στο διαγώνισμα αυτό. 39

40 ΘΕΜΑ 4ο (επαναληπτικές εσπερινών 2007) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x)=x 3 -sx 2 +2x+ x, όπου x η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση ενός δείγματος ν παρατηρήσεων μιας μεταβλητής Χ. Αν στο σημείο Μ(1, 5) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f η εφαπτομένη σχηματίζει γωνία 45 ο με τον άξονα x x: α)να βρείτε τη μέση τιμή x και την τυπική απόκλιση s του δείγματος. Μονάδες 15 β ) Αν x =4 και s = 2, τότε: i. Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Μονάδες 4 ii. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της παραγώγου της συνάρτησης f στο x 0 = 1. Θ ΕΜΑ 1ο ( 2008) B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν X >0 και πώς, αν X <0; Μονάδες 7 β. Η διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων t 1, t 2,, t ν είναι πάντοτε μία από τις παρατηρήσεις αυτές. Μονάδες 2 ε. Στο ιστόγραμμα συχνοτήτων ομαδοποιημένων δεδομένων, το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το μέγεθος του δείγματος. Μονάδες 2 Θ ΕΜΑ 3ο ( 2008) Για δύο τύπους μπαταριών Α και Β επιλέχθηκαν δύο δείγματα μεγέθους 5 το καθένα. Οι χρόνοι ζωής των μπαταριών για το κάθε δείγμα (σε χιλιάδες ώρες) δίνονται στον επόμενο πίνακα: 40

41 Α Β α. Να βρείτε τη μέση διάρκεια ζωής μιας μπαταρίας τύπου Α και μιας μπαταρίας τύπου Β. β. Αν μια μπαταρία τύπου Α στοιχίζει 38 ευρώ και μια μπαταρία τύπου Β στοιχίζει 40 ευρώ, ποιον τύπο μπαταρίας συμφέρει να αγοράσετε; (Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας). γ. Να βρείτε τις τυπικές αποκλίσεις S A και S B της διάρκειας ζωής των δύο τύπων μπαταριών. Μονάδες 7 δ. Να βρείτε ποιος από τους δύο τύπους μπαταριών Α και Β παρουσιάζει τη μεγαλύτερη ομοιογένεια ως προς τη διάρκεια ζωής του. Δίνεται ότι 11 3,3. ΘΕΜΑ 1o (επαναληπτικές 2008) B. α. Να δώσετε τον ορισμό της διακύμανσης των παρατηρήσεων t 1, t 2,, t 3 μιας μεταβλητής X. Μονάδες 3 α. Γενικά δεχόμαστε ότι ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενές, εάν ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος δεν ξεπερνά το 10%. Μονάδες 2 ε. Το διάγραμμα συχνοτήτων χρησιμοποιείται για τη γραφική 41

42 παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής. Μονάδες 2 ΘΕΜΑ 2o (επαναληπτικές 2008) Η μέση βαθμολογία των μαθητών μιας τάξης σε ένα τεστ είναι 70. Χωρίζουμε τη βαθμολογία σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Κλάσεις Κεντρικές τιμές Συχνότητα Σχετική συχνότητα [ ) Σύνολα x i ν i f i Δίνεται επιπλέον ότι το ποσοστό των μαθητών που έχουν βαθμό από 20 έως 40 είναι ίσο με το ποσοστό των μαθητών που έχουν βαθμό από 40 έως 60, ενώ στο κυκλικό διάγραμμα των δεδομένων, η γωνία του κυκλικού τομέα για την επίδοση από 80 έως 100 είναι 108 ο α. Να δείξετε ότι f 1 = f 2 =, f3 =, f4 = β. Αν ο αριθμός των μαθητών της τάξης είναι 50, τότε: i. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον πίνακα συχνοτήτων και να συμπληρώσετε όλα τα στοιχεία του. ii. Να βρείτε το πλήθος των μαθητών που έχουν βαθμολογία τουλάχιστον 60. iii. Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που έχουν βαθμολογία από 50 έως

43 ΘΕΜΑ 4o (επαναληπτικές 2008) Έχουμε περιφράξει με συρματόπλεγμα μήκους 200 m μια ορθογώνια περιοχή από τις τρεις πλευρές της. Η τέταρτη πλευρά είναι τοίχος. Έστω ότι το μήκος του τοίχου που θα χρησιμοποιηθεί είναι x. α 1 α. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της περιοχής που περιφράξαμε 1 δίνεται από τον τύπο f(x) = 100x x 2. 2 β. Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια που θα μπορούσαμε να περιφράξουμε με το συρματόπλεγμα των 200 m. Μονάδες 7 γ. Να βρείτε τη μέση τιμή των αριθμών f (100), f (101), f (102), f (103) και f (104). δ. Έστω CV ο συντελεστής μεταβολής των αριθμών f (100), f (101), f (102), f (103) και f (104) και CV ο συντελεστής μεταβολής που προκύπτει όταν αυξήσουμε καθέναν από τους αριθμούς αυτούς κατά c, όπου c 2. Να υπολογίσετε τo c, έτσι ώστε να ισχύει CV = 2CV. Μονάδες 7 Θ ΕΜΑ 1ο ( εσ περινά 2 008) β ) Οι ποσοτικέ ς μεταβ λητές διακρί νο νται σε διακριτές και σ υ νε χεί ς μεταβλητές. Μ ονάδες 3 γ) Δ ι άμεσος (δ) ενό ς δεί γματος ν παρατηρή σεων οι οποίες έ χουν διατ α χθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η μεσαία π αρατ ήρηση, όταν το ν εί ναι άρτιο ς αριθμός, ή ο μέσος 43

44 όρο ς (η μιάθροισμα) των δύο μεσαί ω ν πα ρατηρήσεων, όταν το ν εί ναι πε ριττός α ριθμός. Μονάδες 3 δ) Το εύρος R ενός δείγματος ν παρατηρήσεων είναι μέτρο θέσης. Μ ονάδες 3 Θ ΕΜΑ 3ο ( εσ περινά 2 008) Στο παρακάτω δείγμα των 10 παρατηρήσεων: 1, 2, 4, 2, 6, 1, 3, 6, α, 6 όπου α πραγματικός αριθμός, η μέση τιμή είναι X =4. A) Να βρείτε την τιμή του α. B) Για α=9 α) Να βρείτε τη διάμεσο. β) Να βρείτε τη διακύμανση. Μονάδες 7 γ) Α ν ό λε ς οι πα ραπά νω παρατηρήσεις αυξηθούν κατά 2008, τότε ποια θα εί ναι η μέση τιμή των νέων παρατηρήσεων; Θ ΕΜΑ 4ο ( εσ περινά 2 008) Σε ένα κυκλικό διάγραμμα πα ριστάνε ται η β αθμολογία των 150 μαθητών ενό ς Λυκείου σε τέσσερι ς κατηγορίες: «Άριστα», «Λίαν κα λώς», «Καλώς» και «Σχε δόν κα λώς». Τ ο 20% τ ω ν μαθητών έχουν επίδοση «Λίαν κα λ ώς». Η γωνί α του κυ κλι κού τομέα για τ η ν επίδοση «Άριστα» εί ναι 36. Οι μαθητές με βαθμό «Καλώς» εί ναι τ ετραπλάσιοι τ ω ν μαθητών μ ε «Άριστα». α) Να μεταφέρετε τον παρακάτ ω πί να κα στο τετράδιό σας και να τον συμπληρώσετε. Χαρα κτηρισμός Συχνότητα Σχετική Σχετική Γωνί α κυ κλ. βαθμολο γίας συχνότητα συχνότητα% τομέ α σε ν i μοίρες 44

45 i x i f i f i % α i 1 Άριστα 2 Λίαν κ αλώς 3 Καλώς 4 Σχεδόν κ αλώς Σύνολο Μονάδες 16 β) Να σχεδιάσετε στο τετράδιό σας το ραβδόγραμμα των σχετικών συχνοτήτων (f i %). Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 1o (2009) B. Αν x,x,,x είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X που αφορά τα άτομα ενός 1 2 κ δείγματος μεγέθους ν (κ ν), να ορίσετε τη σχετική συχνότητα f της τιμής i x, i=1,2,,κ. i δ. Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής. Μονάδες 2 ε. Η μέση τιμή ενός συνόλου ν παρατηρήσεων είναι ένα μέτρο θέσης. Μονάδες 2 ΘΕΜΑ 2o (2009) Στον επόμενο πίνακα δίνονται οι τιμές x i, i=1,2,3,4 μιας μεταβλητής Χ με αντίστοιχες συχνότητες ν i, i=1,2,3,4. Η συχνότητα ν 2 που αντιστοιχεί στην τιμή x 2 =3 είναι άγνωστη. ίνεται ότι η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι ίση με x 4. x i ν i ;

46 α. Να αποδείξετε ότι ν 2 =7. Μονάδες 9 β. Να αποδείξετε ότι η διακύμανση των παρατηρήσεων είναι ίση με 4,9. Μονάδες 9 γ. Να εξετάσετε αν το δείγμα των τιμών της μεταβλητής X είναι ομοιογενές. ίνεται ότι 4, 9 2, 2 Μονάδες 7 2 ΘΕΜΑ 1o (επαναληπτικές 2009) β. Αν t, t,..., t είναι οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής X σε δείγμα μεγέθους 1 2 ν ν, να ορίσετε τη μέση τιμή x των παρατηρήσεων. Μονάδες 3 γ. Η διάμεσος ενός δείγματος παρατηρήσεων είναι η τιμή για την οποία το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες από αυτήν και το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες από την τιμή αυτήν. Μονάδες 2 δ. Αν η καμπύλη συχνοτήτων για ένα χαρακτηριστικό είναι κανονική ή περίπου κανονική με τυπική απόκλιση s και εύρος R, τότε ισχύει s 6R Μονάδες 2 ΘΕΜΑ 3o (επαναληπτικές 2009) Έστω x, x, x, x οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν= με αντίστοιχες (απόλυτες) συχνότητες ν, ν, ν, ν, όπου ν = 3ν. ίνεται επίσης ότι τα τόξα του κυκλικού διαγράμματος συχνοτήτων που αντιστοιχούν στις τιμές x και x είναι αντίστοιχα 50 και α. Να βρεθούν οι συχνότητες ν, i=1,2,3,4 i β. Να βρεθούν τα τόξα που αντιστοιχούν στις τιμές x και x

47 γ. ίνεται ότι x 1 < 7, x 2 = 7, x 3 = 3, και x 4 >3. Να δειχθεί ότι 10 R+72 x =52 δ όπου R, x, δ είναι αντίστοιχα το εύρος, η μέση τιμή και η διάμεσος των παρατηρήσεων. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 1 ο (εσπερινά 2009) γ. Το διάγραμμα συχνοτήτων χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής. Μονάδες 3 δ. Το εύρος ενός δείγματος ν παρατηρήσεων είναι μέτρο διασποράς. Μονάδες 3 ΘΕΜΑ 2 ο (εσπερινά 2009) Στον επόμενο πίνακα δίνονται οι τιμές x i, i=1,2,3,4 μιας μεταβλητής Χ με τις αντίστοιχες συχνότητές τους ν i, i=1,2,3,4. Να υπολογίσετε: α. τη μέση τιμή x, β. τη διάμεσο δ, γ. τη διακύμανση s 2. Μονάδες 9 x i ν i ΘΕΜΑ 4 ο (εσπερινά 2009) Η ηλικία των κατοίκων μιας πόλης ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 50 έτη και τυπική απόκλιση 15 έτη. α. Να βρείτε τη διάμεσο της κατανομής της ηλικίας των κατοίκων. Μονάδες 4 β. Να βρείτε τον συντελεστή μεταβολής και να εξετάσετε αν το δείγμα 47

48 των ηλικιών είναι ομοιογενές. γ. Αν ο αριθμός των κατοίκων της πόλης είναι 4000, να βρείτε πόσοι περίπου κάτοικοι είναι ηλικίας (i) μεταξύ 35 και 65 ετών, (ii) μεταξύ 5 και 35 ετών. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Α (2010) Α1. Έστω t 1, t 2,.., t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν μέση τιμή x. Σχηματίζουμε τις διαφορές t 1 - x, t 2 - x,.., t ν - x. Να αποδείξετε ότι ο αριθμητικός μέσος των διαφορών αυτών είναι ίσος με μηδέν. Α2. Αν x 1, x 2,, x ν είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής Μονάδες 7 μεταβλητής X ενός δείγματος μεγέθους ν και w 1, w 2,, w ν είναι οι αντίστοιχοι συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας), να ορίσετε το σταθμικό μέσο της μεταβλητής Χ. ε) Η διάμεσος είναι ένα μέτρο θέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις. ΘΕΜΑ Γ (2010) Μονάδες 4 Οι τιμές της απώλειας βάρους, σε κιλά, 160 ατόμων, τα οποία ακολούθησαν ένα πρόγραμμα αδυνατίσματος, έχουν ομαδοποιηθεί σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους, όπως εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα: ΑΠΩΛΕΙΑ ΒΑΡΟΥΣ ΚΕΝΤΡΟ ΚΛΑΣΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΣΕ ΚΙΛΑ x i ν i [0 -...) [ ) 6 40 [ )

49 [ ) [ ) ΣΥΝΟΛΟ 160 Γ1. Να αποδείξετε ότι το πλάτος c κάθε κλάσης είναι ίσο με 4 Γ2. Αφού μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα σωστά συμπληρωμένο, να υπολογίσετε τη μέση τιμή x και την τυπική απόκλιση s. Γ3. Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Γ4. Αν κάθε άτομο έχει την ίδια πιθανότητα να επιλεγεί, να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α: «η απώλεια βάρους ενός ατόμου που επιλέχθηκε τυχαία να είναι από 7 μέχρι και 14 κιλά». ΘΕΜΑ Α (επαναληπτικές 2010) γ) Σε μια ομαδοποιημένη κατανομή με κλάσεις ίσου πλάτους οι διαδοχικές κεντρικές τιμές των κλάσεων διαφέρουν μεταξύ τους όσο και το πλάτος κάθε κλάσης. δ) Σε μια ομαδοποιημένη κατανομή με κλάσεις ίσου πλάτους το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το μέγεθος ν του δείγματος. Μονάδες 4 ΘΕΜΑ Β (επαναληπτικές 2010) Οι βαθμοί 60 μαθητών σε ένα διαγώνισμα Μαθηματικών κυμαίνονται από 10 έως 20 και έχουν ομαδοποιηθεί σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους. Αν: Η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στην κλάση [14, 16) του κυκλικού διαγράμματος είναι 144 ο. 49

50 Οι σχετικές συχνότητες των δύο πρώτων κλάσεων είναι ίσες. 48 μαθητές πήραν βαθμό έως 16 και 6 μαθητές πήραν βαθμό τουλάχιστον 18, τότε: Β1. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συμπληρωμένο. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ [ - ) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΤΙΜΗ x i ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ν i ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ f i ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ f i % ΣΥΝΟΛΟ Β2. Να βρείτε τη μέση τιμή x της βαθμολογίας των μαθητών. B3. Να βρείτε πόσοι μαθητές πήραν βαθμολογία από 10 έως 14. Β4. Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που πήραν βαθμολογία τουλάχιστον 17. Μονάδες 4 ΘΕΜΑ Δ (επαναληπτικές 2010) Έστω t 1, t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν μέση τιμή x και τυπική απόκλιση s s Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση f(t)= 3 50 t x 2 t R και s 0. Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Δ2. Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f γίνεται ελάχιστος για t = x και να βρείτε την ελάχιστη τιμή του.

51 Δ3. Αν f (0)=1, να υπολογίσετε το συντελεστή μεταβολής CV των παραπάνω παρατηρήσεων και να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Δ4. Να αποδείξετε ότι η μέση τιμή των αριθμών f (t 1 ), f (t 2 ),..., f (t ν ) είναι ίση με ΘΕΜΑ A (εσπερινά 2010) β. Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής. δ. Το άθροισμα όλων των σχετικών συχνοτήτων των τιμών μιας μεταβλητής X είναι ίσο με το μέγεθος του δείγματος. ε. Πλάτος μιας κλάσης ονομάζεται η διαφορά του κατώτερου από το ανώτερο όριο της κλάσης. ΘΕΜΑ Β (εσπερινά 2010) Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανομή συχνοτήτων των ωρών μελέτης των μαθητών της Α τάξης ενός Εσπερινού Γενικού Λυκείου στη διάρκεια μιας εβδομάδας. Ώρες Συχνότητα x i ν i α Β1. Αν η διάμεσος του δείγματος είναι δ=3,5 να βρείτε την τιμή του α. B2. Για α=30, να βρείτε τη μέση τιμή x των ωρών 51