ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗ Μέρος» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 6-7 Μ. ΚΑΒΒΑΔΑΣ, Αναπλ. Καθηγητής ΕΜΠ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπάρχει και την ιτοελίδα : Εξάμηνο ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ τη Σχολή Πολιτικών Μηχανικών ΕΜΠ Είδος Υ Υ Υ Υ Υ ΚΕΥ ΚΕΥ ΚΕΥ ΚΕΥ ΚΕΥ ΚΕΥ ΚΕΥ ΚΕΥ Μάθημα Γεωλογία Μηχανικού Εδαφομηχανική Ι Εδαφομηχανική ΙΙ Τεχνική Γεωλογία Θεμελιώεις Πειραματική Εδαφομηχανική Ειδικά Θέματα Θεμελιώεων Αλληλεπίδραη εδάφους-θεμελίων Βραχομηχανική Ειδικά Γεωτεχνικά Έργα Περιβαλλοντική Γεωτεχνική Εδαφοδυναμική Υπολογιτική Γεωτεχνική Υ Υποχρεωτικό, ΚΕΥ Κατ Εκλογήν Υποχρεωτικό

2 Αναλυτικές και αριθμητικές λύεις των προβλημάτων γεωτεχνικής Η λύη ενός προβλήματος γεωτεχνικής περιλαμβάνει τον προδιοριμό ενός πεδίου μετακινήεων (, παραμορφώεων (ε, ενεργών τάεων ( και πιέεων πόρων ( οι οποίες ικανοποιούν (ταυτοχρόνως τις εξής υνθήκες :. Εξιώεις ιορροπίας τάεων. Συνοριακές υνθήκες (φόρτιη το ύνορο και αρχικές υνθήκες (δηλ. Κατάταη για t. Κατατατικές χέεις του υλικού (χέεις ενεργών τάεων παραμορφώεων 4. Σχέεις παραμορφώεων μετακινήεων (υνήθως για μικρές παραμορφώεις 5. Σχέεις οριμού της ενεργού τάης ( Σε οριμένα (απλά προβλήματα υπάρχει αναλυτική λύη (δηλ. αναλυτικές υναρτήεις των ζητούμενων πεδίων Στα περιότερα (υνήθη προβλήματα απαιτείται η χρήη αριθμητικών μεθόδων για τον υπολογιμό των ζητούμενων πεδίων z P π z R 5 z Πρόβλημα Bossinesq «ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗ» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 5-6 Θεματολογία Μέρος (Γ. Μπουκοβάλας : Αρχές των αριθμητικών μεθόδων Μέρος (Μ. Καββαδάς : Μηχανική του υνεχούς μέου (ύνοψη Κατατατικά προομοιώματα εδαφικών υλικών Μέρος (Μ. Πανταζίδου : Υπόγεια ροή το έδαφος Αριθμητική επίλυη Μέρος 4 (Γ. Γκαζέτας : Ανάλυη εντατικών κατατάεων τατικής αλληλεπίδραης με το έδαφος

3 «ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗ Μέρος» Διδάκων : Μ. Καββαδάς Θεματολογία. Επανάληψη της Μηχανικής του Συνεχούς Μέου Τάεις το εωτερικό του εδάφους ενεργές τάεις - παραμορφώεις Σχέεις τάεων παραμορφώεων, Γραμμική Ιότροπη Ελατικότητα Διαδρομές τάεων Διατμητική αντοχή του εδάφους, Κριτήρια ατοχίας. Θεωρία Κρίιμης Κατάταης Αργιλικών Εδαφών Ιότροπη και μονοδιάτατη υμπίεη Τριαξονική θλίψη Διαδρομές ολικών και ενεργών τάεων Παρουίαη των διαδρομών τάεων ε χώρο p q v Επιφάνεια Roscoe για κανονικά τερεοποιημένες αργίλους Επιφάνεια Hvorslev για υπερ-τεροποιημένες αργίλους. Το Κατατατικό Προομοίωμα Εδαφών : Cam-Clay ΔΙΑΛΕΞΗ Επανάληψη της Μηχανικής του Συνεχούς Μέου Θεματολογία. Τάεις το εωτερικό του εδάφους ενεργές τάεις. Παραμορφώεις. Η αρχή των ενεργών τάεων 4. Σχέεις τάεων παραμορφώεων, Γραμμική Ιότροπη Ελατικότητα 5. Διαδρομές τάεων 6. Τάεις και παραμορφώεις του εδάφους λόγω επιβολής φορτίων 7. Διατμητική αντοχή του εδάφους, Κριτήρια ατοχίας

4 ΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΤΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ. Τάεις ε υνεχή υλικά II (κάθετος r r ΔF ΔS Ανηγμένη δύναμη : f lim, ΔS Η ανηγμένη δύναμη έχει διατάεις «τάης» ( F/L ή kpa Η ανηγμένη δύναμη ( f εξαρτάται από τη θέη (ημείο Μ και τη διεύθυνη (n της επιφάνειας ΔS Σε κάθε ημείο Μ ορίζονται άπειρες ανηγμένες δυνάμεις ( f, μία για κάθε επίπεδο που διέρχεται από το Μ. Τάεις ε υνεχή υλικά (υνέχεια f r r f Ανηγμένη δύναμη : r ΔF lim, ΔS ΔS Η εντατική κατάταη το ημείο Μ μπορεί να θεωρηθεί γνωτή, εάν είναι γνωτές οι ανηγμένες δυνάμεις ε κάθε επιπέδο δια του Μ Θεώρημα : Εάν είναι γνωτές οι ανηγμένες δυνάμεις (f, f, f ε τρία επίπεδα (n, n, n δια του Μ, τότε μπορεί να υπολογιθεί η ανηγμένη δύναμη (f ε κάθε άλλο επιπέδο (n δια του Μ. Πόριμα : Η εντατική κατάταη το ημείο Μ μπορεί να θεωρηθεί γνωτή, εάν είναι γνωτές οι ανηγμένες δυνάμεις ε τρία επίπεδα δια του Μ

5 Ειδική περίπτωη : Ετω ότι τα τρία επίπεδα δια του Μ τα οποία είναι γνωτές οι ανηγμένες δυνάμεις είναι ορθογώνια και κάθετα τους άξονες (x, y, z. Εάν είναι γνωτές οι ανηγμένες δυνάμεις τα τρία ορθογώνια επίπεδα δια του Μ : f r x (,, f r y ( yx,, f r (,, z zx zy Τότε. f r x (,, f r y ( yx,, f r (,, z zx zy M ηανηγμένηδύναμηεένα τυχαίο επίπεδο δια του Μ, με διεύθυνη : n r ( n, n, n x υπολογίζεται από τη χέη : y z f r yx zx zy n n n x y z

6 Οριμός της τάης το ημείο Μ : Το μέγεθος : yx zx που δίνει την ανηγμένη δύναμη ε οποιοδήποτε επίπεδο (n δια του r Μ μέω της χέης : r f zy n ονομάζεται τάη το ημείο Μ, και έχει χαρακτηριτικά τανυτή β τάξεως. Η τάη το ημείο Μ εξαρτάται μόνον από τη θέη του ημείου Μ και το ύτημα των υντεταγμένων (x, y, z. Αποδεικνύεται ότι η τάη είναι υμμετρικός τανυτής : ji Οι (έξι υνιτώες της τάης έχουν διατάεις ( F/L -> kpa M Κύριες τάεις : Προδιοριμός των επιπέδων δια του Μ, τα οποία η ανηγμένη δύναμη είναι ορθή, δηλαδή: r f r n λ yx zx r λ n λ zy ( λ I n n n λ n x y z r r Η ανωτέρω εξίωη έχει τρείς λύεις λ, λ, λ καιυνεπώςδίνειτρία επίπεδα n, n, n. Τα επίπεδα αυτά είναι ορθογώνια μεταξύ τους και ονομάζονται κύρια επίπεδα. Η ορθή ανηγμένη δύναμη ε καθένα από τα επίπεδα αυτά ονομάζεται ορθή τάη και υμβολίζεται με :,, Ουιατικά, προδιορίθηκαν οι ιδιο-τιμές και τα ιδιο-διανύματα του τανυτή της τάης M

7 Αναλλοίωτοι των τάεων ( p, q, J : Συνδυαμοί των υνιτωών της τάης που δεν εξαρτώνται από την επιλογή του υτήματος υντεταγμένων (x, y, z p q ή : J ( + + ( + + [( + ( + ( + 6( τ + τ + τ ] q jk [( + ( + ( ] ki ή, ιοδύναμα, η γωνίαlode (θ : Παρατήρηη : Συχνά χρηιμοποιείται η ιοδύναμη αναλλοίωτος : J ( s s q όπου : s pδ zy ( ( tanθ Αναλλοίωτοι των τάεων ( p, q, J : Συνδυαμοί των υνιτωών της τάης που δεν εξαρτώνται από την επιλογή του υτήματος υντεταγμένων (x, y, z Οι κύριες τάεις μπορούν να γραφούν υναρτήει των τριών αναλλοιώτων : p + q sin θ + p + q p + sin qsin θ ( θ π π

8 Αναλλοίωτοι των τάεων ( p, q, J : Συνδυαμοί των υνιτωών της τάης που δεν εξαρτώνται από την επιλογή του υτήματος υντεταγμένων (x, y, z Ειδικώς, την κυλινδρική τριαξονική δοκιμή ( : p ( + q θ - ο κατά τη αξονική υμπίεη ( θ ο κατά τον αξονικό εφελκυμό ( Γωνία Lode (θ : ( ( tanθ. Τάεις ε εδαφικά υλικά.. Τάεις ε εδαφικά υλικά χωρίς νερό τους πόρους Στο έδαφος, οι τάεις μεταδίδονται με την μηχανική επαφή μεταξύ των κόκκων. Συνεπώς ο οριμός της τάης μέω της έννοιας του ορίου της επιφάνειας ΔS-> δεν είναι μονοήμαντος (δεν υπάρχει το όριο. Παρά ταύτα χρηιμοποιείται ο ίδιος οριμός της τάης θεωρώντας ότι η τοιχειώδης επιφάνεια ΔSα είναι αρκετά μεγάλη ώτε να περιλαμβάνει αρκετούς εδαφικούς κόκκους. Ν υνιταμένη ορθή δύναμη την επιφάνεια α Τ υνιταμένη διατμητική δύναμη την επιφάνεια α lim a N τ lim a T a

9 .. Τάεις ε εδαφικά υλικά με νερό τους πόρους F i δύναμη που ακείται την επαφή μεταξύ δύο κόκκων Αναλύεται ε ορθή δύναμη (N i και διατμητική δύναμη (T i N a + N lim lim + lim a a N + a i i Ορθή τάη : δηλαδή : + ενεργός ορθή τάη πίεη πόρων ολικήορθήτάη Η ενεργός τάη ΔΕΝ είναι η τάη την επαφή μεταξύ των κόκκων.. Τάεις ε εδαφικά υλικά με νερό τους πόρους F i δύναμη που ακείται την επαφή μεταξύ δύο κόκκων Αναλύεται ε ορθή δύναμη (N i και διατμητική δύναμη (T i T T τ lim lim a a i Διατμητική τάη : τ δηλαδή : τ τ τ ενεργός διατμητική τάη τ ολική διατμητική τάη Διατμητικές τάεις μεταφέρονται μόνον τις επαφές μεταξύ των κόκκων. Το νερό δεν αναλαμβάνει διατμητικές τάεις

10 .. Τάεις ε εδαφικά υλικά με νερό τους πόρους (ύνοψη F i δύναμη που ακείται την επαφή μεταξύ δύο κόκκων Αναλύεται ε ορθή δύναμη (N i και διατμητική δύναμη (T i lim Ενεργός ορθή τάη : Ενεργός διατμητική τάη : N i a T τ lim i a Δράεις μεταξύ των κόκκων.. Τάεις ε εδαφικά υλικά με νερό τους πόρους (ύνοψη + τ τ ενεργός ορθή τάη πίεη πόρων ολικήορθήτάη τ ενεργός διατμητική τάη τ ολική διατμητική τάη Οο αυξάνει η πίεη πόρων (, μειώνεται η ενεργός τάη ( Εάν η πίεη πόρων αυξηθεί τόο ώτε, οι ορθές δυνάμεις μεταξύτωνκόκκωνείναιμηδέν. Τότε η τριβή είναι μηδέν, δηλαδή η αντοχή του υλικού μηδενίζεται (το έδαφος υμπεριφέρεται αν υγρό Γενικότερα, όομειώνεταιη, τόο μειώνεται η αντοχή του υλικού

11 Αναλλοίωτοι των ενεργών τάεων ( p, q, J : Συνδυαμοί των υνιτωών της ενεργού τάης που δεν εξαρτώνται από την επιλογή του υτήματος υντεταγμένων (x, y, z p ( + + ( + + q [( + ( + ( + 6( + + ] [( + ( + ( ] Σημείωη : q q Ειδικώς, την κυλινδρική τριαξονική δοκιμή ( : ( + p q zy Η ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ Η παραμόρφωη των υνεχών μέων περιγράφεται μέω του τανυτή της παραμόρφωης που δίνει τα χαρακτηριτικά της παραμόρφωης το ημείο Μ : r Μ ( x, y, z αρχική θέη Μ ( x+ x, y+ y, z+ z τελική θέη τανυτής της παραμόρφωης : διάνυμα της μετακίνηης : r ε ε ε ε (,, x yx zx y ε ε ε zy z ε ε ε όπου : ε i x j + x i j

12 Η ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ r Μ ( x, y, z αρχική θέη Μ ( x+ x, y+ y, z+ z τελική θέη διάνυμα της μετακίνηης : r (,, x y z Ο τανυτής της παραμόρφωης (ε έχει την εξής ιδιότητα : n r d r n Μ ( x, y, z Oταν πολλαπλαιαθεί με ένα μοναδιαίο διάνυμα (n, δίνει τα χαρακτηριτικά της παραμόρφωης (επιμήκυνη και τροφές τοημείομκατάτη διεύθυνη (n : r d n r ε n n r d r n Μ ( x, y, z Η ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ Κύριες διευθύνεις της παραμόρφωης : Υπάρχουν τρείς διευθύνεις ( n, n, n δια του ημείου Μ, κατά τις οποίες δεν υπάρχει τροφή, δηλαδή η παραμόρφωη περιλαμβάνει μόνον επιμήκυνη της ευθείας (n : r d n r r ε n λ n n r ( ε λ I r (ιδιο-διανύματα του τανυτή της παραμόρφωης d r n r n r d r Μ ( x, y, z Οι διευθύνεις ( n, n, n είναι ορθογώνιες και ονομάζονται κύριες διευθύνεις της παραμόρφωης. Οι κύριες διευθύνεις παραμορφώνονται χωρίς τρέβλωη των μεταξύ τους ορθών γωνιών.

13 Η ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ Οποιεδήποτε άλλες διευθύνεις (n εκτός των κυρίων διευθύνεων, παραμορφώνονται με τρέβλωη των ορθών γωνιών (και με επιμήκυνη. Οι επιμηκύνεις των τριών αξόνων των υντεταγμένων (x, y, z ονομάζονται ορθές παραμορφώεις και δίνονται από τις χέεις : x y z ε ε ε x y z Οι τρεβλώεις των ορθών γωνιών μεταξύ των τριών αξόνων (x, y, z ονομάζονται διατμητικές παραμορφώεις καιδίνονταιαπότιςχέεις: ε d r Μ y γ ε + ε y n r y n r ε yx x x yx d r x γ γ γ zx ε ε ε + ε + ε + ε yx zy zx x + y x y z + z y z x + x z y Συνιτώες της παραμόρφωης το επίπεδο ε x ε x z z γ zx ε ε + ε x zx x z + x z x z x + z x

14 Ογκομετρική παραμόρφωη Η ανηγμένη μεταβολή (ΔV ενός τοιχειώδους όγκου (V το ημείο Μ ονομάζεται ογκομετρική παραμόρφωη και δίνεται από τη χέη : ε vol ΔV V ε + ε + ε x x + y y + z z Παρατηρήεις : Οι ανωτέρω οριμοί αφορούν υνεχή υλικά επειδή προϋποθέτουν υνέχεια του υλικού ώτε να ορίζονται οι παράγωγοι. Τα εδαφικά υλικά δεν είναι υνεχή και υνεπώς οι ανωτέρω οριμοί δεν έχουν ακριβή έννοια. Παρά ταύτα, όπως και κατά τον οριμό της τάης, χρηιμοποιούνται οι ίδιοι οριμοί των παραμορφώεων, θεωρώντας ότι τα «όρια» δεν τείνουν το μηδέν αλλά ε κάποιο μικρό μέγεθος το οποίο όμως περιλαμβάνει αρκετούς κόκκους ώτε να εξαφαλίζεται η τατιτική ομοιογένεια Ενεργειακή αντιτοιχία ενεργών τάεων παραμορφώεων : Στα αναλλοίωτα μεγέθη των τάεων (p, q αντιτοιχούν τα εξής αναλλοίωτα μεγέθη παραμορφώεων ( vol, q : q vol + + [( ( ( ] + + με την έννοια της ενεργειακής αντιτοιχίας : i, j : p vol + q Στην κυλινδρική τριαξονική δοκιμή ( : p ( + q vol q q + (

15 Η ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΕΝΕΡΓΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Η παραμόρφωη των εδαφών γίνεται κυρίως με αναδιάταξη μεταξύ των κόκκων (ολίθηη και κύλιη, δηλαδή με μεταβολή της γεωμετρίας του εδαφικού κελετού ( της δομής των κόκκων. Η αναδιάταξη μεταξύ των κόκκων προκαλείται από μεταβολές των δυνάμεων που ακούνται μεταξύ των κόκκων, δηλαδή από μεταβολές των ενεργών τάεων. Μεταβολή των υδατικών πιέεων, χωρίς μεταβολή των ενεργών τάεων, δεν προκαλεί παραμόρφωη, αφού ιοδυναμεί με ιότροπη υμπίεη των κόκκων (οι οποίοι θεωρούνται πρακτικώς απαραμόρφωτοι Μεταβολή των ολικών τάεων χωρίς μεταβολή των ενεργών τάεων, δεν προκαλεί παραμόρφωη Δ Δ Δ Αρχή των ενεργών τάεων : Η μεταβολή οποιουδήποτε μηχανικού χαρακτηριτικού των εδαφών (π.χ. παραμόρφωη και αντοχή οφείλεται ε μεταβολή των ενεργών τάεων και αντιτρόφως, Πόριμα : Εάν δεν μεταβληθούν οι ενεργές τάεις*, τα μηχανικά χαρακτηριτικά των εδαφών δεν μεταβάλλονται, π.χ. τα εδάφη δεν παραμορφώνονται και δεν μεταβάλλεται η αντοχή τους. Δ Δ * δηλαδή, όλες οι υνιτώες των ενεργών τάεων να είναι ταθερές Παρατήρηη : Μπορεί να μεταβληθούν οι ολικές τάεις και οι υδατικές πιέεις χωρίς μεταβολή των ενεργών τάεων. Στην περίπτωη αυτή το έδαφος δεν παραμορφώνεται. Εάν : ( Δ, Δ : Δ Δ Δ

16 Αρχή των ενεργών τάεων - Παραδείγματα εφαρμογής Η βαλβίδα είναι κλειτή. Η πίεη της κυψέλης αυξάνεται. Θα υμπιεθεί το εδαφικό δείγμα ; Ολικές τάεις το εδαφικό δείγμα : Αρχική : Τελική : c c + Δ c Μεταβολή : Δ c V Vs + Vw ΔV ΔVs + ΔVw + Αρατοδείγμαδεναλλάζειόγκο, ούτε τρεβλώνεται (η φόρτιη είναι ιότροπη. Δηλαδή. Αρα οι ενεργές τάεις δεν μεταβάλλονται. Δ Δ Δ Δ Δ Συνεπώς : c Τούνολοτηςαύξηηςτηςολικήςπίεης, αναλαμβάνεται από τις πιέεις πόρων, χωρίς μεταβολή των ενεργών τάεων Φόρτιη των εδαφών υπό ατράγγιτες υνθήκες Ατράγγιτη είναι η φόρτιη κατά την οποία το έδαφος δεν αποβάλλει νερό και υνεπώς παραμορφώνεται υπό ταθερό όγκο : ΔV ΔV ΔV s + ΔV w Ατράγγιτη φόρτιη υμβαίνει υχνά τις αργίλους, όπου λόγω του πολύ μικρού μεγέθους των πόρων, το νερό δεν προλαβαίνει να διαφύγει εάν η φόρτιη είναι αρκετά ταχεία. ΔV ταχεία φόρτιη θεμελίου Προοχή : Ατράγγιτη φόρτιη ημαίνει μηδενική μεταβολή του όγκου, ΟΧΙ πάντοτε μηδενική παραμόρφωη. Συνεπώς μπορεί να υμβούν διατμητικές παραμορφώεις οπότε οι ενεργές τάεις μεταβάλλονται.

17 Μηχανική αλληλεπίδραη εδαφικών κόκκων - νερού Τα φορτία που επιβάλλονται το έδαφος αναλαμβάνονται εν-μέρει από τον εδαφικό κελετό (κόκκοι και εν-μέρει από το νερό των πόρων + Η μεταξύ τους αλληλεπίδραη μπορεί να περιγραφεί με το εξής μοντέλο : Μηχανική αλληλεπίδραη εδαφικών κόκκων - νερού ελατήριο κόκκοι νερό νερό πόρων Χρόνος από την επιβολή του κατακόρυφου φορτίου το έμβολο δύναμη το ελατήριο δύναμη το νερό

18 Μηχανική αλληλεπίδραη εδαφικών κόκκων - νερού ελατήριο κόκκοι νερό νερό πόρων Χρόνος από την επιβολή του κατακόρυφου φορτίου το έμβολο Το φορτίο αρχικώς αναλαμβάνεται από το νερό των πόρων χωρίς υμπίεη του εδάφους : Δ Δ, ενώ Δ, (αφού: Δ Δ - Δ. Βαθμιαία, το φορτίο μεταφέρεται τον εδαφικό κελετό (κόκκους και το έδαφος υμπιέζεται : Μείωη του Δ και ιόποη αύξηη του Δ. Η παραμόρφωη του εδάφους είναι χρονικά εξελιόμενη. Το φαινόμενο είναι πιό έντονο τα λεπτόκοκκα εδάφη λόγω δυχέρειας του νερού να διαφύγει διαμέου των λεπτών πόρων. Το φαινόμενο αυτό λέγεται τερεοποίηη του εδάφους. ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝ-ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΤΩΝ ΕΔΑΦΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Παράδειγμα : Φόρτιη ε μοναξονική θλίψη Στααρχικάτάδιατηςφόρτιης, όλα τα υλικά παρουιάζουν γραμμικώς ελατική υμπεριφορά Σε μεγαλύτερες τάεις η υμπεριφορά γίνεται μή-γραμμική (διαρροή, και τελικώς οριμένοι υνδυαμοί τάεων οδηγούν ε ατοχία

19 ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝ-ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΤΩΝ ΕΔΑΦΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Παράδειγμα : Φόρτιη ε μοναξονική θλίψη Οι χέεις μεταξύ των τάεων και των αντίτοιχων παραμορφώεων ονομάζονται κατατατικοί νόμοι Στα εδαφικά υλικά, παραμορφώεις ( προκαλούνται από μεταβολές των ενεργών τάεων (Δ kl Συνεπώς, τα εδαφικά υλικά οι κατατατικοί νόμοι υνδέουν : Παραμορφώεις ( με μεταβολές των ενεργών τάεων (Δ kl ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝ-ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΤΩΝ ΕΔΑΦΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Παράδειγμα : Φόρτιη ε μοναξονική θλίψη Ο απλούτερος κατατατικός νόμος είναι η γραμμική, ιότροπη ελατικότητα (ΓΙΕ

20 ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝ-ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΤΩΝ ΕΔΑΦΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Γραμμική Ιότροπη Ελατικότητα Στην γραμμική, ιότροπη ελατικότητα οι χέεις μεταξύ των μεταβολών των ενεργών τάεων και των αντίτοιχων παραμορφώεων περιλαμβάνουν δύο ταθερές : όπου : Ε μέτρο ελατικότητας G [ Δ ν( Δ + Δ ] [ Δ ν( Δ + Δ ] [ Δ ν( Δ + Δ ] ( + ν Δτ ν λόγος του Poisson Δ Δγ G Δγ G Δγ G Δτ Δτ Δτ Δγ Γραμμική Ιότροπη Ελατικότητα (ΓΙΕ [ Δ ν( Δ + Δ ] [ Δ ν( Δ + Δ ] [ Δ ν( Δ + Δ ] Δγ G Δγ G Δγ G Παρατηρήεις : Οταν το έδαφος είναι ξηρό οι ενεργές τάεις μπορούν να αντικαταταθούν με τις ολικές (αφού οι πιέεις πόρων είναι μηδέν, δηλαδή : Δ Δ Οι ορθές τάεις χετίζονται μόνον με τις ορθές παραμορφώεις Οι διατμητικές τάεις χετίζονται μόνον με τις διατμητικές παραμορφώεις Πόριμα : Εάν το έδαφος φορτιθεί μόνον με διατμητικές τάεις (π.χ. ειμός ο όγκος του δεν μεταβάλλεται και υνεπώς δεν υμβαίνει καθίζηη της επιφάνειας. Τούτο δεν επιβεβαιώνεται την πράξη. Αρα (τουλάχιτον κατά την ειμική φόρτιη το έδαφος δεν ακολουθεί την ΙΓΕ Δτ Δτ Δτ

21 Γραμμική Ιότροπη Ελατικότητα [ Δ ν( Δ + Δ ] [ Δ ν( Δ + Δ ] [ Δ ν( Δ + Δ ] Δγ G Δγ G Δγ G Δτ Δτ Δτ Παράγωγα μεγέθη των ελατικών ταθερών ( Ε, ν : Μέτρο διάτμηης : Μέτρο μονοδιάτατης υμπίεης : Μέτρο ιότροπης υμπίεης : G D K ( + ν ( ν ( + ν( ν ( ν Εκφραη των κατατατικών χέεων της ΓΙΕ ως προς τις αναλλοίωτες Οι κατατατικές χέεις της ΓΙΕ δίνουν : όπου : Δp Δq και : ( Δ + Δ + Δ Δp K Δq G vol + + q ( + ( + ( [( ( ( ] Δ Δ + Δ Δ + Δ Δ [ ] vol q

22 Γραμμική Ιότροπη Ελατικότητα Κατατατικές χέεις τάεων παραμορφώεων ε μητρωική μορφή : Δγ Δγ Δγ zx ή (με αντιτροφή : Δ Δ Δ Δτ Δτ Δτ zx A όπου : ν ν ν ν ν ν Δ C: ( ν ν ν ν ( ν ν ν ν ( ν A ( + ν ( ν ( + ν ( + ν Δ Δ Δ Δτ Δτ ( + ν Δτ zx S: Δ Προοχή : για ν.5 το S δεν αντιτρέφεται ( ν ( ν Δγ Δγ ( ν Δγ zx Γραμμική Ιότροπη Ελατικότητα [ Δ ν( Δ + Δ ] [ Δ ν( Δ + Δ ] [ Δ ν( Δ + Δ ] Ογκομετρική παραμόρφωη : Με άθροιη των ορθών παραμορφώεων προκύπτει : vol K vol Δγ G Δγ G Δγ G + Δτ Δτ Δτ + ( Δ + Δ + Δ ( Δ + Δ + Δ Δ K Πόριμα : Στην ΓΙΕ, κατά την ατράγγιτη φόρτιη εδαφών ( vol, η πίεη πόρων μεταβάλλεται κατά : Δ ( Δ + Δ + Δ ( Δ Δ Δ K

23 Γραμμική Ιότροπη Ελατικότητα (ΓΙΕ και πιέεις πόρων Κατά την ατράγγιτη φόρτιη εδαφών ( vol, η πίεη πόρων μεταβάλλεται κατά : Δ ( Δ + Δ + Δ Δp Η ανάπτυξη των ανωτέρω υπερπιέεων πόρων οφείλεται την απαίτηη μηδενικής μεταβολής του όγκου του εδάφους Οι υπερπιέεις πόρων βαθμιαία εκτονώνονται με υνέπεια την μεταβολή των ενεργών τάεων και χρονικά εξελιόμενες παραμορφώεις (τερεοποίηη του εδάφους Πορίματα : Σύμφωνα με την ΓΙΕ, εάν το έδαφος φορτιθεί μόνον με διατμητικές τάεις (π.χ. ειμός :. Ο όγκος του δεν μεταβάλλεται και υνεπώς δεν υμβαίνει καθίζηη της επιφάνειας. ν παρατηρούνται μεταβολές των υδατικών πιέεων πόρων Και τα δύο ανωτέρω πορίματα δεν επιβεβαιώνονται την πράξη. Αρα (τουλάχιτον κατά την ειμική φόρτιη το έδαφος δεν ακολουθεί την ΓΙΕ Σταφυικάεδάφη: Δ Δp + α Δq (υμμετοχή και των διατμητικών τάεων Δq α υντελετής (όχι πάντα ταθερός Εκφραη των κατατατικών χέεων της Γραμμικής Ιότροπης Ελατικότητας ως προς τις ολικές τάεις. Περίπτωη ξηρού εδάφους ή κορεμένου εδάφους με πλήρη τράγγιη : Ιχύει : ενεργές τάεις ολικές τάεις [ Δ ν( Δ + Δ ] [ Δ ν( Δ + Δ ] [ Δ ν( Δ + Δ ] Δ και υνεπώς : Δ Δγ G Δγ G Δγ G Δτ Δτ Δτ όπου : G ( +ν Οι ανωτέρω χέεις ιχύουν και την περίπτωη κορεμένου εδάφους, όταν οι υνθήκες φόρτιης είναι αρκετά αργές ώτε να επιτυγχάνεται πλήρης τράγγιη, δηλαδή φόρτιη χωρίς να αναπτύονται υπερπιέεις πόρων: Δ.

24 . Περίπτωη ξηρού εδάφους ή κορεμένου εδάφους με πλήρη τράγγιη : Μητρωική έκφραη των χέεων τάεων παραμορφώεων : Δγ Δγ Δγ zx ή (με αντιτροφή : Δ Δ Δ Δτ Δτ Δτ zx A όπου : ν ν ν ν ν ν Δ C: ( ν ν ν ν ( ν ν ν ν ( ν A ( + ν ( + ν ( ν ( + ν S: Δ Δ Δ Δ Δτ Δτ ( + ν Δτ zx Προοχή : για ν.5 το S δεν αντιτρέφεται ( ν ( ν Δγ Δγ ( ν Δγ zx Εκφραη των κατατατικών χέεων της ΓΙΕ ως προς τις ολικές τάεις. Περίπτωη κορεμένου εδάφους υπό ατράγγιτες υνθήκες : ( δηλαδή φόρτιη του εδάφους χωρίς μεταβολή του όγκου του Δ Δ Δ όπου : Δ ( Δ + Δ + Δ Αντικατάταη τις χέεις ελατικότητας : [ Δ ν( Δ + Δ ] [ Δ ν( Δ + Δ ] [ Δ ν( Δ + Δ ] Δγ G Δτ Δίνει : [ Δ ν ( Δ + Δ ] [ Δ ν ( Δ + Δ ] [ Δ ν ( Δ + Δ ] Δγ G Δτ όπου : G ν ν ( +

25 Εκφραη των κατατατικών χέεων της ΓΙΕ ως προς τις ολικές τάεις. Περίπτωη κορεμένου εδάφους υπό ατράγγιτες υνθήκες : ( δηλαδή φόρτιη του εδάφους χωρίς μεταβολή του όγκου του Μητρωική έκφραη των χέεων τάεων παραμορφώεων : Δγ Δγ Δγ zx ν ν ν ν ν ν S Δ Δ Δ Δτ Δτ Δτ zx : Δ Προοχή : Το μητρώο S δεν αντιτρέφεται επειδή ν.5. Άρα υχνά τίθεται (κατά προέγγιη : ν.495, οπότε με την αντιτροφή προκύπτει: Δ C : Το C έχει ίδια μορφή με το C, με ν v Μή-γραμμικές χέεις τάεων -παραμορφώεων. Βαιμένες τη θεωρία πλατικότητας Δ C: Περιγράφονται με μαθηματική χέη της μορφής : Tο μητρώο C δεν είναι ταθερό, αλλά εξαρτάται από τις τάεις και άλλα μεγέθη Ο προδιοριμός του C αποτελεί αντικείμενο της θεωρίας πλατικότητας Παράδειγμα : Το μοντέλο Cam-Clay που βαίζεται τη θεωρία της κρίιμης κατάταης των αργιλικών υλικών (βλέπε επόμενες διαλέξεις. Ημι-εμπειρικές Παράδειγμα : Υπερβολικό μοντέλο. Μονοδιάτατο μοντέλο μέω των αναλλοίωτων μεγεθών διατμητικής τάης (q και διατμητικής παραμόρφωης (ε q qa ε q Παράμετροι : 5 q a αντοχή του υλικού q ( q q Ε 5 τέμνον μέτρο ελατικότητας το 5% της αντοχής Ε r μέτρο ελατικότητας κατά την αποφόρτιη - επαναφόρτιη a

26 Μή-γραμμικές χέεις τάεων παραμορφώεων Ημι-εμπειρικές χέεις : Το υπερβολικό μοντέλο (Dncan & Chang, 97 qa ε q 5 q ( q q a q δηλαδή χέη της μορφής (υπερβολή : 5 ε q + q qa ε q ε A + Bε Μή-γραμμικές χέεις τάεων παραμορφώεων qa ε q q Ημι-εμπειρικές χέεις : Το υπερβολικό μοντέλο Απότηνπροηγούμενηχέηπροκύπτει(με διαφοριμό ητιμήτηςεκάτοτεκλίηςτηςκαμπύληςq ε q : Σχέη τάεων παραμορφώεων : Κατά τη φόρτιη ( q > : Κατά την αποφόρτιη ( q < : dq dε q Δ q 5 q q a Δq r q q 5 q a dq dε Αρχική κλίη : 5 Κλίη το q q a / : 5 q 5 q dq dε ( q q a q Το μοντέλο μπορεί να γενικευθεί τις τρείς διατάεις ως μοντέλο ολικών τάεων για την ατράγγιτη φόρτιη εδαφών : Δ C:

27 Περιγραφή της φόρτιης εδαφικού τοιχείου μέω της διαδρομής των τάεων Παρακολούθηη της εξέλιξης του κύκλου Mohr μέω της κίνηης της κορυφής του : Διαδρομή τάεων κατά την τριαξονική θλίψη Αρχικά και τη υνέχεια το αυξάνει ενώ το παραμένει ταθερό Περιγραφή της φόρτιης εδαφικού τοιχείου μέω της διαδρομής των τάεων κορυφή του κύκλου Mohr t t s ( + ( ( Κύκλος ενεργών τάεων Κύκλος ολικών τάεων Κύκλος ολικών και ενεργών τάεων (απέχουν κατά την πίεη πόρων -

28 Τυπικοί τρόποι φόρτιης του εδάφους. Ιότροπη θλίψη ( y Διαδρομή τάεων Δ Δ c Δ vol c K Δ Δ ν Δ c όπου : K Δγ ( ν Δγ Δγ Μέτρο ιότροπης υμπίεης Τυπικοί τρόποι φόρτιης του εδάφους. Μονοδιάτατη θλίψη ( y Διαδρομή τάεων Δ ν Δ K Δ όπου : vol K Δγ ( ν Δγ Δγ Μέτρο ιότροπης υμπίεης

29 . Μονοδιάτατη παραμόρφωη (υνέχεια y Διαδρομή τάεων Δγ Δγ Δγ D Δ Δ ν ν όπου : Δ Δ D ( ν ( + ν( ν Λόγος μονοδιάτατης παραμόρφωης : και με θεώρηη ΓΙΕ : K o ν ν K o Μέτρο μονοδιάτατης υμπίεης Δ h Δ v Δ Δ 4. Απλή διάτμηη Τυπικοί τρόποι φόρτιης του εδάφους Δ Δ Δ Δτ G Δγ Δτ Δτ zx

30 Τυπικοί τρόποι φόρτιης του εδάφους 5. Τριαξονική θλίψη 5. Τριαξονική θλίψη Τυπικοί τρόποι φόρτιης του εδάφους

31 Τυπικοί τρόποι φόρτιης του εδάφους 5. Τριαξονική θλίψη y Διαδρομή τάεων Δ - Δ Δ [ Δ ν Δ ] Δγ Δγ [( ν Δ ν Δ ] Δγ Αναλόγως του λόγου Δ /Δ Τάεις και παραμορφώεις του εδάφους λόγω επιβολής φορτίων Λόγω των εξωτερικών φορτίων, το έδαφος αναπτύονται πρόθετες τάεις (Δ και πιέεις πόρων (Δ που προκαλούν παραμορφώεις ( Το θεμελιώδες πρόβλημα : Ο προδιοριμός των παραμορφώεων, μετακινήεων και τάεων που προκαλούνται το έδαφος λόγω των εξωτερικών φορτίων

32 Τάεις και παραμορφώεις του εδάφους λόγω επιβολής φορτίων Οι αναπτυόμενες τάεις (Δ δεν εξαρτώνται μόνον από τη φόρτιη αλλά και από τις χέεις τάεων-παραμορφώεων του εδάφους (-ε Αρα : το πρόβλημα του προδιοριμού των παραμορφώεων δεν μπορεί να επιλυθεί μέω της απλής διαδικαίας : P -> (Δ, Δ -> Ο προδιοριμός των παραμορφώεων του εδάφους υνήθως απαιτεί τη λύη ενός ύνθετου προβλήματος υνοριακών τιμών με μερικές παραγώγους. Διαφορικές εξιώεις ιορροπίας : x x yx + y + y + z + z + + fˆ x fˆ y ή : + fˆ ( x zx + zy y + z + fˆ z. Σχέεις μεταξύ ενεργών τάεων και πιέεων πόρων : + δ ή : ˆ + Με αντικατάταη της ( την ( : + + f I ( Αγνωτοι : και (ενεργές τάεις και πίεη πόρων

33 . Κατατατικές χέεις ενεργών τάεων - παραμορφώεων : Δ Ckl kl ή : Δ C : όπου : Δ ( o Παράδειγμα την περίπτωη Γραμμικής Ιότροπης Ελατικότητας: Δ Δ Δ Δτ Δτ Δτ zx A 4. Σχέεις παραμορφώεων - μετακινήεων : όπου : kl ( ν ν ν A ν k xl ( ν ν ( + ν ( ν l + x ( ν k ν ν ( ν ( ν ή : ( + Δγ Δγ ( ν Δγ zx 5. Διατήρηη της μάζας του ρευτού των πόρων (προδιοριμός της πίεης των πόρων : Αρχή διατηρήεως της μάζας του ρευτού που πληρεί τους εδαφικούς πόρους : Ηκαθαρήειροήνερούεέναεδαφικόόγκοιούταιμετονρυθμόμεταβολήςτου νερού εντός του όγκου αυτού : q ρw v t ( ρ v + ( S ρ η w w Μάζα νερού εντός μοναδιαίου όγκου : m w S ρ w η Για κορεμένο έδαφος (S και αυμπίετο ομοιογενές ρευτό (ρ w ct : ε ( η t vol v ( ρ w πυκνότητα του ρευτού των πόρων v ανηγμένη ταχύτητα του ρευτού (τη υνολική επιφάνεια όχι το εμβαδόν των πόρων S βαθμός κορεμού η πορώδες ε vol ογκομετρική παραμόρφωη

34 5. Σχέεις προδιοριμού της πίεης των πόρων ( : Κατατατική χέη ροής (νόμος Darcy : Οριμός της πιεζομετρικής τάθμης (h : v k h h Στην υδροτατική κατάταη : h h s ct γ Οπότε : h ( w s z + γ h γ w ειδικό βάρος του ρευτού των πόρων v ανηγμένη ταχύτητα του ρευτού (τη υνολική επιφάνεια όχι το εμβαδόν των πόρων k τανυτής διαπερατότητας. Για ταθερή διαπερατότητα (k : k k I h πιεζομετρική τάθμη h s πιεζομετρική τάθμη την υδροτατική κατάταη ( ταθερή s υδροτατική πίεη πόρων πίεη πόρων s w s ε t γ Οι χέεις (, (, ( δίνουν για k ct : w vol + ( η γ k h s s z + γ w ( w z ( 5. Σχέεις προδιοριμού της πίεης των πόρων ( : γ w + k ε ( η t vol Η διαφορική εξίωη διατήρηης της μάζας δεν μπορεί να επιλυθεί ως προς την πίεη πόρων ( επειδή είναι υζευγμένη με τις εδαφικές παραμορφώεις (ε vol. Συνεπώς, απαιτείται η επίλυη των τεάρων εξιώεων (τρείς εξιώεις ιορροπίας και μία εξίωη διατήρηης της μάζας για τον προδιοριμό των τριών μετακινήεων ( x, y, z και της πίεης πόρων (. Εξιώεις ιορροπίας : + + fˆ Συνοριακές υνθήκες : (α Τάεων ή/και μετακινήεων το ύνορο : (β Πιέεων πόρων ή/και παροχών το ύνορο : n Tˆ ˆ Η επίλυη του υνδυαμού των ανωτέρω χέεων απαιτεί προηγμένες αριθμητικές μεθόδους (π.χ. πεπεραμένα τοιχεία Σε οριμένες περιπτώεις απλής γεωμετρίας και φόρτιης και με την παραδοχή γραμμικής ελατικότητας υπάρχουν αναλυτικές λύεις ˆ ή : ή : n q qˆ n ρw vˆ n

35 5. Σχέεις προδιοριμού της πίεης των πόρων ( :. Εάν θεωρηθεί ότι ο εδαφικός κελετός είναι απαραμόρφωτος (ε vol ήότιη ροή είναι μόνιμη ( / t : Ειδικές περιπτώεις : Αυτήηδιαφορικήεξίωη(εξίωη Laplace μπορεί να επιλυθεί ώτε να υπολογιθεί η πίεη πόρων (. Στη υνέχεια, επιλύονται (ανεξάρτητα οι εξιώεις ιορροπίας για τον προδιοριμό των μετακινήεων, παραμορφώεων και τάεων.. Μονοδιάτατη τερεοποίηη με ταθερή ολική τάη ( ct - Θεωρία Terzaghi : t D t t D t D t t vol ε ε ( + t k vol w ε η γ Οπότε, η εξίωη διατηρήεως της μάζας δίνει : t D k z w ( η γ t z c όπου : ( η γ w D k c Εξίωη διάχυης, c υντελετής τερεοποίηης. Μονοδιάτατη τερεοποίηη με ταθερή ολική τάη (θεωρία Terzaghi : t z c w z h γ + h Δ

36 Υπολογιμός της χρονικής εξέλιξης των καθιζήεων τερεοποιήεως (ρ c : ( t U ( t ( t ρ c ρ U ( t c ρ υντελετής τερεοποιήεως c ρ c ( t ( t καθίζηη την χρονική τιγμή t υνολική καθίζηη τερεοποιήεως Διατμητική αντοχή του εδάφους Παράδειγμα : Φόρτιη ε μοναξονική θλίψη ατοχία χαλάρωη Στααρχικάτάδιατηςφόρτιης, όλα τα υλικά παρουιάζουν γραμμικώς ελατική υμπεριφορά Σε μεγαλύτερες τάεις η υμπεριφορά γίνεται μή-γραμμική (διαρροή, και τελικώς οριμένοι υνδυαμοί τάεων οδηγούν ε ατοχία Ατοχία : Η κατάταη κατά την οποία το έδαφος έχει φθάει την αντοχή του και δεν μπορεί να αναλάβει πρόθετα φορτία (δηλαδή δεν μπορεί να αναλάβει μεγαλύτερες τάεις

37 Διατμητική αντοχή του εδάφους Ηκαμπύλητ ff f( ff είναι ιδιότητα του υλικού και ονομάζεται περιβάλλουα ατοχίας Τα κριτήρια ατοχίας καθορίζουν το χήμα και την θέη της περιβάλλουας ατοχίας για κάθε υλικό Το κριτήριο ατοχίας Mohr-Colomb ορίζει ως περιβάλλουα ατοχίας την ευθεία γραμμή : τ c + tan ϕ που ορίζεται από δύο παραμέτρους : c υνοχή, φ γωνία τριβής τ c + tan ϕ κύκλος ατοχίας Α: δεν ατοχεί Β: αδύνατος Κριτήριο ατοχίας Mohr-Colomb Το κριτήριο ατοχίας Mohr-Colomb δεν εξαρτάται από την ενδιάμεη κύρια τάη

38 Κριτήριο ατοχίας Mohr-Colomb. Ενα εδαφικό τοιχείο ατοχεί αν ο κύκλος Mohr εφάπτεται την περιβάλλουα ατοχίας : τ c + tan ϕ. Το επίπεδο ατοχίας αντιτοιχεί το ημείο επαφής του κύκλου με την περιβάλλουα ατοχίας Ζεύγος επιπέδων ατοχίας κατά το κριτήριο Mohr-Colomb Κριτήριο ατοχίας Mohr-Colomb. Ενα εδαφικό τοιχείο ατοχεί αν ο κύκλος Mohr εφάπτεται την περιβάλλουα ατοχίας. Το επίπεδο ατοχίας αντιτοιχεί το ημείο επαφής του κύκλου με την περιβάλλουα ατοχίας Τοεπίπεδοατοχίαςχηματίζειγωνία45+φ/ με το επίπεδο της

39 Προδιοριμός της περιβάλλουας ατοχίας με την τριαξονική δοκιμή Προδιοριμός της περιβάλλουας ατοχίας με την τριαξονική δοκιμή. Επιβολή ομοιόμορφης πίεης. Αύξηη της κατακόρυφης τάης μέχρι την ατοχία του δοκιμίου Αναλόγως των υνθηκών τράγγιης, μπορεί να μεταβάλλεται η πίεη πόρων ( κατά τη διάρκεια της δοκιμής

40 Προδιοριμός της περιβάλλουας ατοχίας με την τριαξονική δοκιμή f f Μία δοκιμή δεν αρκεί για τον προδιοριμό της περιβάλλουας, εκτός εάν το υλικό δεν έχει υνοχή (π.χ. άμμος Εάν το υλικό δεν έχει υνοχή (c : τ ff ff tan ϕ ϕ α 45 + f f ϕ tan 45 + Προοχή : Το κριτήριο ατοχίας εκφράζεται ως προς τις ενεργές τάεις Προδιοριμός της περιβάλλουας ατοχίας με την τριαξονική δοκιμή f f f Εάν το υλικό έχει και υνοχή, απαιτούνται τουλάχιτον δύο δοκιμές, για να προδιοριθείηκοινήεφαπτομένητουςδύοκύκλουςmohr κατά την ατοχία f Εάν το υλικό έχει και υνοχή : ϕ tan f f c tan 45 + ϕ

41 Περιβάλλουα ατοχίας Mohr - Colomb f f Σε χώρο ορθής και διατμητικής τάης (, τ Σε χώρο κυρίων τάεων (,, Παρατήρηη : Κατά το κριτήριο ατοχίας Mohr- Colomb, δεν μπορεί να υμβεί ατοχία του υλικού ε φόρτιη ιότροπης υμπίεης ή για φορτίεις με κυρίως υμπιετική υνιτώα (δηλαδή με χετικώς μικρή διατμητική υνιτώα Το κριτήριο ατοχίας εκφράζεται ως προς τις ενεργές τάεις : Περίπτωη θετικής πίεης πόρων : Εάνμετηνπάροδοτουχρόνουμειωθείηπίεη πόρων, αυξάνει η αφάλεια έναντι ατοχίας Παράδειγμα : Αύξηη της αντοχής εμπηγνυόμενων παάλων με την πάροδο του χρόνου

42 Το κριτήριο ατοχίας εκφράζεται ως προς τις ενεργές τάεις : Περίπτωη αρνητικής πίεης πόρων : Εάν με την πάροδο τουχρόνουμειωθείη αρνητική πίεη πόρων, μειώνεται η αφάλεια έναντι ατοχίας Παράδειγμα : Χρονική υτέρηη της ατοχίας πρανών ορυγμάτων ε τιφρές αργίλους Σύγκριη της ατοχίας δοκιμίων την τριαξονική δοκιμή κατά την: ( τραγγιμένη φόρτιη και ( ατράγγιτη φόρτιη ΔΕΤ Διαδρομή Ενεργών Τάεων Η αντοχή κατά την ατράγγιτη φόρτιη είναι πολύ μικρότερη

43 Αλλα κριτήρια ατοχίας :. Κριτήριο μέγιτης διατμητικής τάης (Tresca :. Γενικευμένο κριτήριο μέγιτης διατμητικής τάης (Mises : q y ( + ( + ( q q y Στα ανωτέρω κριτήρια, η ατοχία δεν εξαρτάται από την ορθή τάη (, δηλαδή τα κριτήρια αυτά δεν έχουν τα χαρακτηριτικά του νόμου τριβής. Συνεπώς δεν εφαρμόζονται ε αναλύεις εδαφών με ενεργές τάεις. Μπορούν όμως να εφαρμοθούν ε αναλύεις εδαφών υπό ατράγγιτες υνθήκες (τύπου φ κριτήριο Tresca ( qy Mohr. Κριτήριο Mohr - Colomb : Περιγραφή του κριτηρίου Mohr Colomb τον χώρο των κυρίων τάεων : a tan 45 + φ Αλλα κριτήρια ατοχίας : φ b c tan 45 + a + b. Κριτήριο Mises (για ατράγγιτη φόρτιη :. Κριτήριο Drcker - Prager : q q y Ηπαράμετροςq y ιούται με την αντοχή του υλικού ε ανεμπόδιτη θλίψη Ακτίνα του κυλίνδρου : r q y A tanφ + 4 tan φ A p + q B B c + 4 tan φ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 8. Ειαγωγή Ένα ύνηθες αποτέλεµα των έργων Πολιτικού Μηχανικού είναι η επιβολή φορτίων το έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία)

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία) Σειμολογία Ελατική Τάη, Παραμόρφωη (Κεφ., Σύγχρονη Σειμολογία) Τι είναι Σειμός O ειμός είναι η γένεη και μετάδοη ελατικών κυμάτων μέα από το φλοιό της γης, τα κύματα δημιουργούνται από τη διάρρηξη των

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΕΙΔΙΚΑ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΑ ΕΡΓΑ - Γεωτεχνική Σηράγγων» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 5-6 ΔΙΑΛΕΞΗ Τάεις και παραμορφώεις γύρω από κυκλικές ήραγγες 5.8.5 Κατανομές τάεων και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΜHXANIKH ΣYMΠΕΡΙΦΟΡΑ Ε ΑΦΙΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΜHXANIKH ΣYMΠΕΡΙΦΟΡΑ Ε ΑΦΙΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΜHXANIKH ΣYMΠΕΡΙΦΟΡΑ Ε ΑΦΙΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ 1 Οι υνηθέτερες δοκιμές της Εδαφομηχανικής 2 Μονοδιάτατη υμπίεη Τυπική υμπεριφορά ( v -ε v ) Μέτρο Συμπίεης (D) Φόρτιη αποφόρτιη επαναφόρτιη ιαφορές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Η περίπτωη του εφελκυμού και της θλίψης των ραβδωτών φορέων είναι ενδεικτική για την αφετηρία της μελέτης παραμορφώιμων τερεών. Πρόκειται για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής είναι η µαθηµατική υνθήκη που περιγράφει την εντατική κατάταη ε ένα ηµείο της µάζας του υλικού, ώτε το ηµείο αυτό να υµβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π.

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. 6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΑΣΚΗΣΗ 1 Θα χρηιμοποιηθούν οι χέεις που προκύπτουν από τη θεώρηη γραμμικής ιότροπης

Διαβάστε περισσότερα

«Αλληλεπίδραση Εδάφους Κατασκευής»

«Αλληλεπίδραση Εδάφους Κατασκευής» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «Αηεπίδραη Εδάφους Κατακευής» 8ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 5-6 ΔΙΑΛΕΞΗ Διάνοιξη και προωρινή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΕΙΔΙΚΑ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΑ ΕΡΓΑ - Γεωτεχνική Σηράγγων» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 2005-06 Μ. ΚΑΒΒΑΔΑΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα),

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα), ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Η έννοια του ελκυτή (tracto): M(υνιταµένη ροπή) F (υνιταµένη δύναµη) Θεωρείται παραµορφώιµο τερεό ε ιορροπία υπό εξωτερική φόρτιη (αποκλείονται ταχέως µεταβαλλόµενες φορτίεις και εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ Ενέργειας Η ανάλυη του προβλήµατος γίνεται µε την χρήη του διαγράµµατος Ειδικής (α) Υποκρίιµη ροή τα ανάντη επί Ήπιας Κλίεως Πυθµένα το Σχήµα 1 Έτω ότι οµοιόµορφη,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΜΑΡΤΙΟΣ 2013 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 7.2 Παράμετροι Σχεδιασμού Ορισμοί

Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΜΑΡΤΙΟΣ 2013 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 7.2 Παράμετροι Σχεδιασμού Ορισμοί 7. ΧΑΛΙΚΟΠΑΣΣΑΛΟΙ Γιώργος Μπουκοβάλας Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΜΑΡΤΙΟΣ 2013 7.1 Μέθοδοι Κατακευής ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7.2 Παράμετροι Σχεδιαμού Οριμοί 7.3 Εμπειρικές Μέθοδοι Σχεδιαμού 7.4 Αναλυτικές Μέθοδοι Σχεδιαμού ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Δδά Διδάσκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιστημών, Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών

Δδά Διδάσκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιστημών, Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 15780 ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ Δδά Διδάκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 2. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 2. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βιβλίο διδάκοντα με λύεις προβλημάτων Κεφάλαιο ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής epapamic@civil.auth.gr Euripides apamichos Digitally signed y Euripides apamichos DN: c=gr,

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 7.1

Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 7.1 7. ΧΑΛΙΚΟΠΑΣΣΑΛΟΙ Γιώργος Μπουκοβάλας Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2015 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7.1 Μέθοδοι Κατακευής 7.2 Παράμετροι Σχεδιαμού Οριμοί 7.3 Εμπειρικές Μέθοδοι Σχεδιαμού 7.4 Αναλυτικές Μέθοδοι Σχεδιαμού

Διαβάστε περισσότερα

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y 5 Απόκλιη και τροβιλιµός ενός διανυµατικού πεδίου Έτω F ένα C διανυµατικό πεδίο του R, δηλαδή υνάρτηη µε D ανοικτό το F = F, F, F. R και F : D R R Στο διανυµατικό πεδίο F αντιτοιχούµε ένα άλλο διανυµατικό

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ. ( είναι μια υνάρτηη που ε κάθε απλό ενδεχόμενο (ω ενός δειγματικού χώρου (Ω αντιτοιχεί έναν αριθμό. Ω ω (ω R ιακριτή τ.μ. : παίρνει πεπεραμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

Τελική γραπτή εξέταση διάρκειας 2,5 ωρών

Τελική γραπτή εξέταση διάρκειας 2,5 ωρών τηλ: 410-74178, fax: 410-74169, www.uth.gr Τελική γραπτή εξέταση διάρκειας,5 ωρών Ονοματεπώνυμο: Αριθμός Μητρώου Φοιτητή: Μάθημα: Εδαφομηχανική Ι, 5 ο εξάμηνο. Διδάσκων: Ιωάννης-Ορέστης Σ. Γεωργόπουλος,

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

Η αστοχία στα εδαφικά υλικά Νόμος Τριβής Coulomb

Η αστοχία στα εδαφικά υλικά Νόμος Τριβής Coulomb Η αστοχία στα εδαφικά υλικά Νόμος Τριβής Coulomb Ν u Τ 81 Η αστοχία στα εδαφικά υλικά Νόμος Τριβής Coulomb 82 Η αστοχία στα εδαφικά υλικά Νόμος Τριβής Coulomb 83 Η αστοχία στα εδαφικά υλικά Νόμος Τριβής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Μελέτη εντατικοπαραµορφωιακής κατάταης ρηγµατωµένων τερεών ωµάτων µε τη µέθοδο των αυνεχών µετατοπίεων» ΤΣΟΥΤΣΟΥΒΑ ΜΑΡΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι» - Τμήμα 2 (Μ-Ω)

ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι» - Τμήμα 2 (Μ-Ω) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι» - Τμήμα 2 (Μ-Ω) 5 ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 2016-17 Μ. ΚΑΒΒΑΔΑΣ, Αναπλ.

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων. Πίνακας Περιεχομένων 1. Πίνακας Σχημάτων 5. Πίνακας Πινάκων 11. Πίνακας Συμβολισμών Συντομογραφιών 13

Πίνακας Περιεχομένων. Πίνακας Περιεχομένων 1. Πίνακας Σχημάτων 5. Πίνακας Πινάκων 11. Πίνακας Συμβολισμών Συντομογραφιών 13 Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Σχημάτων 5 Πίνακας Πινάκων Πίνακας Συμβολιμών Συντομογραφιών Ειαγωγή Γενικότητες 5. Έννοιες από την μηχανική του υνεχούς μέου... 7.. Η χέη τάεων παραμορφώεων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Θεωρία Κρίσιμης Κατάστασης Αργιλικών Εδαφών

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Θεωρία Κρίσιμης Κατάστασης Αργιλικών Εδαφών ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗ Μέρος» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 006-07 ΔΙΑΛΕΞΗ Θεωρία Κρίσιμης Κατάστασης Αργιλικών Εδαφών 0.0.006 ΔΙΑΛΕΞΗ Θεωρία Κρίσιμης Κατάστασης

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ "Α"

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ Α Ε. Μ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ - ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΝΔΙΑΜΕΣΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι (Τμήμα Μ-Ω) Ακαδ. έτος 007-08 5 Ιανουαρίου 008 Διάρκεια: :30 ώρες ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων. 1. Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους. 2. Γεωστατικές τάσεις

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων. 1. Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους. 2. Γεωστατικές τάσεις ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ 3 η Σειρά Ασκήσεων 1. Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους Συνοχή (c) Γωνία τριβής (φ ο ) 2. Γεωστατικές τάσεις Ολικές τάσεις Ενεργές τάσεις Πιέσεις πόρων Διδάσκοντες: Β. Χρηστάρας

Διαβάστε περισσότερα

Σ. Η. ΔΡΙΤΣΟΣ. Kg/m³. Kg/m³ 0,80

Σ. Η. ΔΡΙΤΣΟΣ. Kg/m³. Kg/m³ 0,80 TΟΙΧΟΠΟΙΙΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ Η µηχανική υµπεριφορά της τοιχοποιίας περιράφεται από τα εξής χαρακτηριτικά: καθ. Στέφανος ρίτος Τµήµα Πολιτικών Σ. Μηχανικών, Πανεπιτήµιο Η. Πατρών ΔΡΙΤΣΟΣ Θλιπτική

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία προσδιορισμού των καμπύλων σύγκλισης-αποτόνωσης (p - u) και των καμπύλων απόστασης συντελεστή αποτόνωσης (λ x)

Διαδικασία προσδιορισμού των καμπύλων σύγκλισης-αποτόνωσης (p - u) και των καμπύλων απόστασης συντελεστή αποτόνωσης (λ x) Διαδικαία προδιοριμού των καμπύων ύγκιης-αποτόνωης ( - ) και των καμπύων απόταης υνττή αποτόνωης ( x) Μ. Καββαδάς, Αναπ. Καηγητής ΕΜΠ. Δδομένα : (α) Γωμτρία: Ακτίνα ήραγγας : (κυκική ήραγγα) Σήραγγα μγάου

Διαβάστε περισσότερα

Ένα µεγάλο Ευχαριστώ στον καθηγητή µου κ. Σαλπιστή Χρήστο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια...

Ένα µεγάλο Ευχαριστώ στον καθηγητή µου κ. Σαλπιστή Χρήστο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια... Ένα µεγάλο Ευχαριτώ τον καθηγητή µου κ. Σαλπιτή Χρήτο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια... ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΜΕΤΡΟΥ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΥΠΕΡΗΧΩΝ ΠΑΤΕΡΑΚΗΣ Ε.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Μέθοδος και Εφαρμογές. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ Στύλων Παράδειγμα Ο χεδιαμός των τη μέθοδο και γίνεται με βάη τη θεωρία της υνειφέρουας ς Κάθε τύλος φέρει το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

3/6/2017. Δρ. Σωτήρης Δέμης. Σημειώσεις Εργαστηριακής Άσκησης Κριτήρια Αστοχίας Διάτμηση Τοιχοποιίας. Πολιτικός Μηχανικός (Πανεπιστημιακός Υπότροφος)

3/6/2017. Δρ. Σωτήρης Δέμης. Σημειώσεις Εργαστηριακής Άσκησης Κριτήρια Αστοχίας Διάτμηση Τοιχοποιίας. Πολιτικός Μηχανικός (Πανεπιστημιακός Υπότροφος) /6/017 Σημειώεις Εργαηριακής Άκηης Κριήρια Αοχίας Διάμηη Τοιχοποιίας Δρ. Σωήρης Δέμης Πολιικός Μηχανικός (Πανεπιημιακός Υπόροφος) Έως ώρα Καααικός νόμος όλκιμων υλικών (αξονική κααπόνιη ε μία διεύθυνη)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ IΙΙ: TAΣΕΙΣ ΣΤΟ Ε ΑΦΟΣ. 1. Τάσεις σε συνεχή μέσα (ε πανάληψη) 2. Τάσεις σε α-συνεχή. μέσα. 3. Ενεργός και Ολική τάση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ IΙΙ: TAΣΕΙΣ ΣΤΟ Ε ΑΦΟΣ. 1. Τάσεις σε συνεχή μέσα (ε πανάληψη) 2. Τάσεις σε α-συνεχή. μέσα. 3. Ενεργός και Ολική τάση ΚΕΦΑΛΑΙΟ IΙΙ: 3. Ενεργός και Ολική άη TAΣΕΙΣ ΣΤΟ Ε ΑΦΟΣ. Τάεις ε υνεχή μέα (ε πανάληψη). Τάεις ε α-υνεχή μέα 4. Γεωαικές άεις (λόγω ιδίου βάρους) 5. Τάεις λόγω εξωερικών φορίων Θεωρία Ελαικόηας Καανομή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ (Με εφαρμογές σε προβλήματα μηχανικής των υλικών, υπογείων έργων και σηράγγων)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ (Με εφαρμογές σε προβλήματα μηχανικής των υλικών, υπογείων έργων και σηράγγων) Γ. Ε. ΕΞΑΔΑΚΤΥΛΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ ΚΡΗΤΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ (Με εφαρμογές ε προβλήματα μηχανικής των υλικών, υπογείων έργων και ηράγγων) Χανιά 006 Eιαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ 5.1. Ειαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται µία ύντοµη περιγραφή µερικών επιπλέον θεµάτων τα οποία οι βιοηλεκτρικές αρχές έχουν εφαρµογή. Τα θέµατα που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύεις ΘΕΜΑ Υλικό ηµείο κινείται τον άξονα x ' Ox υπό την επίδραη του δυναµικού ax x V( x) = a x, a > α) Βρείτε τα ηµεία ιορροπίας και την ευτάθειά τους β) Για

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιτροφής τη Βραχοµηχανική Appliaion of a paaboloid ieion in Rok Mehanis ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ, Μ.Γ., ρ Μηχ., Π.Μ. & Α.Τ.Μ., Αναπληρωτής Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στο παρόν

Διαβάστε περισσότερα

. Υπολογίστε το συντελεστή διαπερατότητας κατά Darcy, την ταχύτητα ροής και την ταχύτητα διηθήσεως.

. Υπολογίστε το συντελεστή διαπερατότητας κατά Darcy, την ταχύτητα ροής και την ταχύτητα διηθήσεως. Μάθημα: Εδαφομηχανική Ι, 7 ο εξάμηνο. Διδάσκων: Ιωάννης Ορέστης Σ. Γεωργόπουλος, Επιστημονικός Συνεργάτης Τμήματος Πολιτικών Έργων Υποδομής, Δρ Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π. Θεματική περιοχή: Υδατική ροή

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα Φοιτητή:... Εξάµηνο:... Αρ. Φοιτ. Ταυτ.:... Θέµα 1 Θέµα 2 Θέµα 3

Όνοµα Φοιτητή:... Εξάµηνο:... Αρ. Φοιτ. Ταυτ.:... Θέµα 1 Θέµα 2 Θέµα 3 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εξ. ιδ. Καθηγητής Ι. Βαδουλάκης Τοµέας Μηχανικής Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. ευτέα Αυγούτου Όνοµα Φοιτητή:... Εξάµηνο:... Α. Φοιτ. Ταυτ.:... Θέµα Θέµα Θέµα ΘΕΜΑ ίδεται

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

Ι. Βαρδουλάκης (2008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. 1

Ι. Βαρδουλάκης (2008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. 1 ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΤΟΧΗ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΤΟΧΗ 7. Η Μικροµηχανική Ερµηνεία του Τανυτή των Τάεων 9.. Η Αρχή των υνατών Έργων (Α..Ε.) τα κοκκώδη µέα 9.. Ο µικροµηχανικός οριµός της τάεως κατά Love 4. Οι Αναλλοίωτες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ»

ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ» 7 ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 2016-17 Μ. ΚΑΒΒΑΔΑΣ, Αναπλ. Καθηγητής ΕΜΠ Το

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ - ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ A

ΜΕ ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ - ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ A Σχολή Πολιτικών Μηχανικών ΕΜΠ Τομέας Γεωτεχνικής Εδαφομηχανική Ι Διαγώνισμα 26-10-2007 1 ΜΕ ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ - ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ A ΘΕΜΑ 1 ο : [Αναλογία στο βαθμό = 10%+15%+10%+10% = 45%] Βράχος

Διαβάστε περισσότερα

Μια ακόμη πιο δύσκολη συνέχεια.

Μια ακόμη πιο δύσκολη συνέχεια. Μια ακόμη πιο δύκολη υνέχεια. Μόνο για καθηγητές. Σαν υνέχεια της ανάρτηης «Μια...δύκολη περίπτωη, αν φύλλο εργαίας.» ας δούμε μερικά ακόμη ερωτήματα, αφήνοντας όμως έξω τους μαθητές-υποψήφιους. Ένα ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών Παράρτηµα Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 1. ΤΑΣΕΙΣ Οι ξωτρικές δυνάµις που πιβάλλονται ένα ώµα µπορούν να χωριθούν δύο κατηγορίς, τις καθολικές δυνάµις και τις πιφανιακές δυνάµις. Οι καθολικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

Κεφάλαιο 12 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Κεφάλαιο 1 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Ο προδιοριμός του φυικού εντατικού πεδίου έχει α κοπό να δώει αφενός μεν τη βαική γνώη για το πεδίο των τάεων, αφετέρου δε τη υγκεκριμένη γνώη των υνοριακών υνθηκών που

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Ιξώδης συμπεριφορά

Κεφάλαιο 11 Ιξώδης συμπεριφορά Κεφάλαιο Ιξώδης υμπεριφορά Οριμοί Ερπυμός (creep) καλείται η χρονικά εξαρτημένη παραμόρφωη του πετρώματος, που παρατηρείται όταν το πέτρωμα φορτίζεται υπό ταθερή εντατική κατάταη ε ταθερή θερμοκραία. Η

Διαβάστε περισσότερα

1. Αστοχία εδαφών στην φύση & στο εργαστήριο 2. Ορισμός αστοχίας [τ max ή (τ/σ ) max?] 3. Κριτήριο αστοχίας Μohr 4. Κριτήριο αστοχίας Mohr Coulomb

1. Αστοχία εδαφών στην φύση & στο εργαστήριο 2. Ορισμός αστοχίας [τ max ή (τ/σ ) max?] 3. Κριτήριο αστοχίας Μohr 4. Κριτήριο αστοχίας Mohr Coulomb ΚΕΦΑΛΑΙΟ VΙ: ΑΣΤΟΧΙΑ & ΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΑΝΤΟΧΗ Ε ΑΦΩΝ 1. Αστοχία εδαφών στην φύση & στο εργαστήριο 2. Ορισμός αστοχίας [τ max ή (τ/σ ) max?] 3. Κριτήριο αστοχίας Μohr 4. Κριτήριο αστοχίας Mohr Coulomb Παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών 11.6 Ελικοειδή θλιπτικά ελατήρια Στα προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε αναλυτικά τα ελικοειδή κυλινδρικά ελατήρια υμπίεης, κυκλικής διατομής ύρματος. Στο Σχήμα 11-7 φαίνονται (α) κυλινδρικό ελατήριο υμπίεης

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων Υπολογιτικές Εφαρμογές την Στατιτική Επεξεργαία Δεδομένων Στα πλαίια του μαθήματος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Δ. Φαουλιώτης, Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 3 3 Μέθοδοι Monte

Διαβάστε περισσότερα

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής.

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. η Εφαρμογή (Το επιτυχημένο service) Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. Νεαρός τενίτας που έχει ύψος h ν =,6m εκτελεί service και το μπαλάκι φεύγει από ύψος h =,4m πάνω από το κεφάλι του με

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΠΕ Η ΕΝΤΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

2. ΕΠΙΠΕ Η ΕΝΤΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 69. ΕΠΙΠΕ Η ΕΝΤΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ.1 Οριµοί Η µαθηµατική θεωρία των τάεων διατυπώθηκε από τον Louis Augustin Cauchy 1. Για την επεξήγηη της έννοιας της τάης θα θεωρήουµε εδώ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων. 1. Υπολογισµός Διατµητικής Αντοχής Εδάφους. 2. Γεωστατικές τάσεις

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων. 1. Υπολογισµός Διατµητικής Αντοχής Εδάφους. 2. Γεωστατικές τάσεις ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ 3 η Σειρά Ασκήσεων 1. Υπολογισµός Διατµητικής Αντοχής Εδάφους Συνοχή (c) Γωνία τριβής (φ ο ) 2. Γεωστατικές τάσεις Ολικές τάσεις Ενεργές τάσεις Πιέσεις πόρων Διδάσκοντες: Β. Χρηστάρας

Διαβάστε περισσότερα

Ι. Βαρδουλάκης (2008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. 1

Ι. Βαρδουλάκης (2008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. 1 ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΤΟΧΗ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΤΟΧΗ. Η Μικροµηχανική Ερµηνεία του Τανυτή των Τάεων 3.. Η Αρχή των υνατών Έργων (Α..Ε.) τα κοκκώδη µέα 3.. Ο µικροµηχανικός οριµός της τάεως κατά Love 8. Οι Αναλλοίωτες του

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εξίωη Schrıdinger Χρηιµότητα Εξαγωγή της εξίωης Schrıdinger Περιοχές κυµατοδήγηης οπτικού παλµού Αλληλεπίδραη µη γραµµικών φαινοµένων και διαποράς Αµελητέα η διαπορά και τα µη γραµµικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σχετική κίνηη 1 Υλικό ηµείο µάζας m=1 κινείται πάνω ε επίπεδο Ο που περιτρέφεται γύρω από τον άξονα Ο µε γωνιακή ταχύτηταω = ωk, όπου ω=1/ s -1 Αν κάποια τιγµή το ώµα βρίκεται ε απόταη r=1 m

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1: Υπολογίστε την ορθή και διατμητική τάση, οι οποίες ασκούνται στα επίπεδα με κλίση α ως, όπως φαίνονται στα παρακάτω σχήματα.

ΑΣΚΗΣΗ 1: Υπολογίστε την ορθή και διατμητική τάση, οι οποίες ασκούνται στα επίπεδα με κλίση α ως, όπως φαίνονται στα παρακάτω σχήματα. Ν. Ηράκλειο, Αττικής Τ.Κ. 4 2 Μάθημα: Εδαφομηχανική Ι, 7 ο εξάμηνο. Διδάσκων: Ιωάννης Ορέστης Σ. Γεωργόπουλος, Επιστημονικός Συνεργάτης Τμήματος Πολιτικών Έργων Υποδομής, Δρ Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π.

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i . Αν τα 4 6 8 δ, i, d, i και d αντιτοιχούν όλα το ίδιο αποτελεματικό επιτόκιο, τότε i 6 i 6 4 4 d 4 8 d 8 6 4 e δ (Α) 3 υ (Β) υ (Γ) υ (Δ) (Ε) + i . Ένα 0ετές αφαλιτικό προϊόν εγγυάται απόδοη 7% τα πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

Συμμετρία μορίων και θεωρία ομάδων

Συμμετρία μορίων και θεωρία ομάδων Συμμετρία μορίων και θεωρία ομάδων Συμμετρία πολυατομικών μορίων Τι μας χρειάζεται; Προβλέπει τη φαματοκοπία και τη υμπεριφορά ατόμων και μορίων Πράξεις Συμμετρίας: κινήεις του μορίου κατά τις οποίες η

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογή της θεωρίας πλαστικότητας σε στοιχεία σκυροδέµατος τετραγωνικής διατοµής περισφιγµένα µε σύνθετα υλικά

Εφαρµογή της θεωρίας πλαστικότητας σε στοιχεία σκυροδέµατος τετραγωνικής διατοµής περισφιγµένα µε σύνθετα υλικά Εφαρµογή της θεωρίας πλατικότητας ε τοιχεία κυροδέµατος τετραγωνικής διατοµής περιφιγµένα µε ύνθετα υλικά Π.. Κιούης ρ. Πολιτικός Μηχανικός. Καθηγητής Colorado School of Mines, Golden, CO 8, kiousis@mines.edu

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΙΟΣ 009 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Ειαγωγή... 3. ιαιθητική ειγµατοληψία... 6 3. ειγµατοληψία Κατά Πιθανότητα...

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 57 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Συχέτιη Διγαλάκης Βαίλης Η έννοια της υχέτιης Για τυχαίες μεταβλητές ΧΥ: Συχέτιη: ΕΧ Υ Συμμεταβλητότητα: Συντελετής υχέτιης: ρ / Έτω ΧΥ Τ.Μ. με ΥΧb και ΕΧμ Χ ΕΧ-μ Χ Χ Υπολογίτε

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και καµπύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

EKTIMHΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ

EKTIMHΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ» Μεταπτυχιακή ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ EKTIMHΣΗ ΚΙΝ

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή του τρόπου κρούσης και απώλεια επαφής Β Γ

Επιλογή του τρόπου κρούσης και απώλεια επαφής Β Γ Επιλογή του τρόπου κρούης και απώλεια επαφής Οι δύο µικρές φαίρες και του χήµατος έχουν ίες µάζες και κινούνται το λείο οριζόντιο δάπεδο. Οι φαίρες υγκρούονται και η κρούη τους είναι κεντρική και πλατική.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΕΣ ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ

ΘΕΩΡΙΕΣ ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ 105 Κεφάλαιο 5 ΘΕΩΡΙΕΣ ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ 5.1 Εισαγωγή Στα προηγούμενα κεφάλαια αναλύσαμε την εντατική κατάσταση σε δομικά στοιχεία τα οποία καταπονούνται κατ εξοχήν αξονικά (σε εφελκυσμό ή θλίψη) ή πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός δυναμική ενέργειας μιάς κατανομής φορτίων.

Υπολογισμός δυναμική ενέργειας μιάς κατανομής φορτίων. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μπορώ να φορτίω έναν αγωγό, π.χ. μεταλλική φαίρα, ε φορτίο δυναμικό : Υπολογιμός δυναμική ενέργειας μιάς κατανομής φορτίων. Σημειακά φορτία ε άπειρη απόταη Αποθήκευη και χρήη ηλεκτρικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΒΡΑΧΟΜΑΖΑΣ, ΘΕΩΡΟΥΜΕΝΗΣ ΩΣ ΜΕΣΟΥ ΜΕ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ, ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΒΡΑΧΟΜΑΖΑΣ, ΘΕΩΡΟΥΜΕΝΗΣ ΩΣ ΜΕΣΟΥ ΜΕ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ, ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 004 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΒΡΑΧΟΜΑΖΑΣ, ΘΕΩΡΟΥΜΕΝΗΣ ΩΣ ΜΕΣΟΥ ΜΕ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ, ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Έµφαη τα υπόγεια έργα Σ. ΚΟΖΑΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά.

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά. Δίνεται η υνάρτηη μεταφοράς ενός αυτόματου υτήματος πλοήγηης υπερηχητικού αεροπλάνου, το οποίο επικουρεί την αεροδυναμική ευτάθεια του, κάνοντας την πτήη ποιο ταθερή και ποιο άνετη. Ζητείται να μελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα