3. Μετρήσεις GPS Προβλήµατα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3. Μετρήσεις GPS Προβλήµατα"

Transcript

1 . Μετήσεις GPS Ποβλήµατα.. Μετήσεις G.P.S. και ποβλήµατα. Οι παατηήσεις που παγµατοποιούνται µε το σύστηµα GPS, όπως έχουµε άλλωστε ήδη αναφέει, διακίνονται σε δύο κατηγοίες: α) σε µετήσεις ψευδοαποστάσεων και β) σε µετήσεις φάσεων. Μετήσεις ψευδοαποστάσεων µε το G.P.S. Οι διαφοετικές µετήσεις και τεχνικές παατήησης εξατώνται από τον τύπο του δέκτη που χησιµοποιείται. Ως πος τις βασικές αχές λειτουγίας των δεκτών G.P.S διακίνουµε τους δέκτες συσχετισµού και τους δέκτες τεταγωνισµού. Οι δέκτες συσχετισµού παάγουν ένα ακιβές αντίγαφο του κώδικα που εκπέµπεται από το δουφόο το οποίο δεν ταυτίζεται µε το σήµα λήψης, λόγω των καθυστεήσεων που υφίσταται µέχι να φτάσει στο δέκτη. Ο δέκτης ποσπαθεί να ταυτίσει τα δύο σήµατα δηλαδή το αντίγαφο του κώδικα που έχει παάγει ο ίδιος και τον κώδικα αυτό καθ αυτό όπως τον λαµβάνει από το δουφόο. Συνεπώς, οι δύο κώδικες συσχετίζονται (cde celatin) µέχι να ταυτιστούν. Στην ουσία γίνεται µια χονική µετατόπιση του ενός σήµατος ως πος το άλλο µέχι να ταυτιστούν µέσω κάποιας αλγοιθµικής διαδικασίας και υπολογίζεται ο χόνος διάδοσης του σήµατος από το δουφόο µέχι το δέκτη (βλ. Σχ..6). Ο χόνος αυτός µετατέπεται σε ψευδοαπόσταση αφού πολλαπλασιαστεί µε την ταχύτητα του φωτός. Η χονική αβεβαιότητα της ταύτισης ισοδυναµεί για µεν τον κώδικα Ρ µε. m, για δε τον C/A µε m. Βέβαια εκτός από την πααπάνω χονική καθυστέηση λόγω διαδοµής (δηλαδή τον χόνο που χειάζεται το σήµα για να φτάσει από το δουφόο στο δέκτη σε πείπτωση που δεν υπάχουν άλλες καθυστεήσεις), έχουµε και τις χονικές καθυστεήσεις που οφείλονται στα χονόµετα του δέκτη και του δουφόου και τις καθυστεήσεις λόγω διέλευσης του σήµατος µέσα από την ατµόσφαια και συγκεκιµένα δύο στώµατα αυτής που είναι γνωστά ως τοπόσφαια και ιονόσφαια. Οι χονικές καθυστεήσεις µποούν να εκφαστούν από κατάλληλα µοντέλα κατά τη διαδικασία συνόθωσης των παατηήσεων. Η πληοφοία για τον υπολογισµό αυτών των διοθώσεων από τον δέκτη δίνεται από τον κώδικα D. Οι διοθώσεις λόγω ιονόσφαιας (το στώµα της ατµόσφαιας µεταξύ 8 Η km) εξατώνται από τη συχνότητα του σήµατος, ενώ λόγω της τοπόσφαιας (το στώµα της ατµόσφαιας µεταξύ Η 5 km) είναι ανεξάτητες από τη συχνότητα και εξατώνται από το λεγόµενο ξηό και υγό παάγοντα. Γι αυτό είναι ποτιµότεο να χησιµοποιούνται

2 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) δέκτες δύο συχνοτήτων ώστε να µποεί να υπολογιστεί το µεγαλύτεο ιονοσφαιικής διόθωσης (µεικές δεκάδες m ). µέος της Αν καλέσουµε p την παγµατική απόσταση µεταξύ δουφόου και δέκτη και την µετούµενη ψευδοαπόσταση (µέτηση στο δέκτη) µεταξύ δουφόου και δέκτη τότε η πιο αναπτυγµένη εξίσωση παατήησης θα είναι : ( dt dt ) + d in + d tp + εp p + d + c (.) όπου p είναι η αληθής απόσταση µεταξύ δουφόου και δέκτη, είναι η παατηηθείσα απόσταση, dt το σφάλµα συγχονισµού του ολογιού του δουφόου µε το χόνο του G.P.S, dτ το σφάλµα συγχονισµού των δύο ολογιών δουφόου δέκτη, c η ταχύτητα του φωτός, d tp η τοποσφαιική καθυστέηση, d in η ιονοσφαιική καθυστέηση, ε p ο θόυβος παατήησης (τυχαίο σφάλµα). Επειδή το σφάλµα dt του χονοµέτου του δουφόου είναι πολύ µικότεο σε σχέση µε το σφάλµα dt του δέκτη, µποεί να αγνοηθεί. Η γεωµετική απόσταση p µποεί να εκφαστεί συνατήσει των συντεταγµένων του δουφόου, τη χονική στιγµή της εκποµπής του σήµατος, και των συντεταγµένων του δέκτη. Έτσι, θα έχουµε τελικά, τη µη γαµµική εξίσωση παατήησης της ψευδοαπόστασης. Ας υποθέσουµε ότι ο δέκτης ονοµάζεται (eceive) και ο δουφόος πος τον οποίο γίνεται η παατήηση (atellite): ( ) + ( ) + ( ) + c( dt dt + dt tp + d in + ε R ) (.) Επειδή στην πααπάνω σχέση υπάχουν συνολικά άγνωστες παάµετοι (τεις οι συντεταγµένες του δέκτη και µία η χονική παάµετος dτ δηλαδή το σφάλµα του χονοµέτου του δέκτη), απαιτούνται τέσσεεις τουλάχιστον ταυτόχονες µετήσεις από τον δέκτη πος τέσσεεις αντίστοιχους διαφοετικούς δουφόους. Μετήσεις φάσεων µε το G.P.S. Οι µετήσεις των ψευδοαποστάσεων µε τις οποίες ασχοληθήκαµε ποηγουµένως γίνονται µε µετήσεις κώδικα. Ένα δεύτεο είδος παατηήσεων που είναι σηµαντικά πιο ακιβές από τις ψευδοαποστάσεις, είναι οι µετήσεις φάσης των φεόντων κυµάτων. Οι µετήσεις φάσης µποούν να γίνουν µε υψηλή ακίβεια της τάξης των mm. Οι µετήσεις φάσης αναφέονται στο φέον κύµα συχνότητας L ή στο φέον κύµα L ή ταυτόχονα και στα δύο ανάλογα µε τις δυνατότητες του δέκτη. Οι πεισσότεοι σηµεινοί δέκτες

3 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) διαθέτουν τη δυνατότητα µέτησης όλων των ειδών των µετήσεων, άσχετα αν ο κώδικας Ρ είναι σε ελεύθεη χήση. Η ποσότητα που µετάται στο δέκτη είναι η διαφοά φάσης µεταξύ της φάσης του εκπεµπόµενου σήµατος από τον δουφόο τη στιγµή της λήψης από το δέκτη και της φάσης ενός σήµατος γνωστής συχνότητας που παάγεται εσωτεικά στο δέκτη τη χονική στιγµή της λήψης. Τη στιγµή της λήψης ο δέκτης µετάει µόνο το κλασµατικό µέος της φάσης µιας και δεν µποεί να µετήσει και τον ακέαιο αιθµό κύκλων που αντιστοιχεί στην απόσταση δουφόου - δέκτη. Εποµένως οι µετήσεις φάσης παουσιάζουν το πόβληµα της αβεβαιότητας (amiguit) στον ποσδιοισµό του ακεαίου αυτού αιθµού (Ν). Συνεπώς όλες οι επόµενες µετήσεις φάσης πειέχουν την αβεβαιότητα αυτή και αυτό γιατί συνήθως ο δέκτης ποσθέτει κάθε φοά στις επόµενες µετήσεις τη µεταβολή της φάσης, µετά την αχική µέτηση, σε σχέση µε την ποηγούµενη. Για παάδειγµα η δεύτεη µέτηση φάσης θα πειέχει τον κλασµατικό αιθµό της πώτης µέτησης, το κλασµατικό αιθµό της δεύτεης µέτησης και ένα αιθµό ακεαίων κύκλων µεταξύ της πώτης και δεύτεης µέτησης λόγω µεταβολής της απόστασης δουφόου - δέκτη. Στην πείπτωση αδυναµίας λήψης του σήµατος (l f lck) χάνεται ένας αιθµός ακεαίων κύκλων µε συνέπεια όλες οι επόµενες µετήσεις να είναι µετατοπισµένες κατά τον ίδιο αιθµό κύκλων. Η αδυναµία λήψης µποεί να κυµαίνεται από µεικά δευτεόλεπτα µέχι και µεικά λεπτά. Αυτό το πόβληµα της ολίσθησης των κύκλων (ccle lip) όπως ονοµάζεται δεν παουσιάζεται στις µετήσεις των ψευδοαποστάσεων και αντιµετωπίζεται όπως και η ασάφεια των ακεαίων κύκλων (intege phae - amiguit) µε διάφοες τεχνικές κατά την ποεπεξεγασία ή και κατά τη διαδικασία της συνόθωσης. Η εξίσωση παατήησης φάσης του φέοντος κύµατος είναι η ακόλουθη (Λιβειάτος Ε., Φωτίου Α.,99) : φ N + f () t + & ( t ) ε ( t ) c k ( f + F )[ t + εk ( t )] + f ta (.) όπου ϕ είναι η διαφοά φάσης που µετιέται στο δέκτη µεταξύ του λαµβανόµενου σήµατος από δουφόο και του σήµατος που παάγεται στο δέκτη, N είναι ο ακέαιος αιθµός κύκλων για κάθε ζεύγος δέκτη-δουφόου, f i είναι η συχνότητα του σήµατος (L ή L ), () t είναι η γεωµετική απόσταση συνατήσει του χόνου t, () t η παάγωγος της απόστασης ως πος το χόνο t, ( t ) δέκτη, F είναι η συχνότητα του πααγόµενου σήµατος στο δέκτη, καθυστέηση σήµατος λόγω ατµόσφαιας, & είναι ε είναι το σφάλµα χονοµέτου του ta είναι η χονική

4 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) Η πααπάνω εξίσωση µποεί να γαφεί σε µια πιο απλή µοφή, αντίστοιχη αυτής για τις ψευδοαποστάσεις (βλ. εξίσωση.) ως εξής: ( dt dt ) + λn d in + d εφ λφ Φ + d + c + (.) tp όπου Φ είναι η παατηηθείσα διαφοά φάσης µεταξύ δουφόου και δέκτη, παατηηθείσα απόσταση σε µονάδες µήκους, dt το σφάλµα συγχονισµού του ολογιού του δουφόου µε το χόνο του G.P.S., dτ το σφάλµα συγχονισµού των δύο ολογιών δουφόου δέκτη, c η ταχύτητα του φωτός, d tp η τοποσφαιική καθυστέηση, d in η ιονοσφαιική καθυστέηση, ε Φ ο θόυβος παατήησης (τυχαίο σφάλµα), Φ είναι η αληθής δεκαδική διαφοά φάσης, Ν είναι ο ακέαιος αιθµός κύκλων για κάθε ζεύγος δέκτη-δουφόου (αθοίζοντας το Ν µε το δεκαδικό µέος λαµβάνουµε τον συνολικό αιθµό κύκλων µεταξύ δουφόου-δέκτη), f i είναι η συχνότητα του σήµατος (L ή L). Παατηώντας την εξίσωση. διαπιστώνουµε ότι είναι εκφασµένη σε µονάδες µήκους. Αυτό µποεί να γίνει χησιµοποιώντας την πολύ απλή εξίσωση που συνδέει τους κύκλους µε τη συχνότητα και το µήκος κύµατος. ηλαδή, αν έχουµε µετήσει έναν αιθµό Φ κύκλων και γνωίσουµε ότι το µήκος κύµατος της συχνότητας που χησιµοποιούµε είναι ίσο µε λ τότε οι κύκλοι αυτοί σε µονάδες µήκους θα είναι ΦλΦ. Ποσοχή: όταν γίνονται παατηήσεις φάσεως η ιονοσφαιική διόθωση υπεισέχεται µε (-) µιας και το σήµα υστεεί, ενώ στην πείπτωση των ψευδοαποστάσεων ποηγείται.... Επίλυση αχικής ασάφειας φάσης (amiguit elutin). Παατηώντας την εξίσωση παατήησης φάσης του φέοντος κύµατος βλέπουµε ότι η κύια δυσκολία είναι ο ποσδιοισµός του αιθµού των ακεαίων κύκλων Ν που είναι γνωστή και σαν αχική ασάφεια φάσης (amiguit elutin). Σαν συνέπεια αυτού έχουν αναπτυχθεί τεχνικές που σκοπό έχουν να ποσδιοίσουν αυτόν τον αιθµό (Ν) αλλά και τεχνικές µε σκοπό να αντιµετωπίσουν και τα υπόλοιπα σφάλµατα που υπεισέχονται στην εξίσωση. Μία από αυτές τις τεχνικές είναι οι διαφοές των αχικών παατηήσεων µεταξύ δεκτών (απλές διαφοές) ή µεταξύ δουφόων κατά την ίδια χονική στιγµή (διπλές διαφοές) ή και µεταξύ διαφοετικών εποχών (τιπλές διαφοές). Πεισσότεα στοιχεία για το σχηµατισµό των διαφοών αυτών (γνωστών και ως διαφοικό GPS θα δοθούν στο Κεφάλαιο ). Άλλες µέθοδοι που εφαµόζονται για την επίλυση των ασαφειών είναι οι ακόλουθες (Kahmen, Feig, 988) :

5 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) ) Η γεωµετική µέθοδος ) Συνδυασµοί κωδικών και φάσεων ) Μέθοδοι ανίχνευσης ασαφειών ) Συνδυασµένες µέθοδοι που πειλαµβάνουν όλες αυτές που αναφέθηκαν πααπάνω. Η χησιµοποίηση διαφοετικών γαµµικών συνδυασµών της L και L συχνότητας µειώνει την επίδαση της ιονοσφαιικής διάθλασης (L), παέχει λύσεις που είναι ανεξάτητες από τα ολόγια και από τη γεωµετία των δεκτών (L) και µειώνει κάθε συστηµατικό σφάλµα µη µοντελοποιηµένο (L5), (Rthache, 99) (βλ. Πίνακα.). Συχνότητα Μήκος κύµατος Γαµµικός συνδυασµός L λ9 cm φέον κύµα L λ cm φέον κύµα L λ cm in fee {f /(f -f )}L-{f /(f -f )}L L λ gemet fee L-L L5 λ86 cm wide lane {f /(f -f )}L-{f /(f -f )}L Πίνακας.: Γαµµικοί συνδυασµοί της L και L συχνότητας Η ανάγκη χησιµοποίησης του συνδυασµού των L και L συχνοτήτων σε µετήσεις ακιβείας τεκµηιώνεται από τους Fei και Schuening (99) ως εξής. Το εύος τιµών που καθοίζεται για κάθε ξεχωιστή ασάφεια που ποκύπτει από µετήσεις διπλής διαφοάς για συχνότητα f, µε και k τους δουφόους αναφοάς είναι ±(km k Nf ) όπου k k είναι ένας πολλαπλασιαστικός συντελεστής εξαγόµενος από τη στατιστική θεωία και m Nf είναι η τυπική απόκλιση µιας συγκεκιµένης πααµέτου ασάφειας. Αυτά τα δύο εύη τιµών καθοίζουν ένα πεδίο έευνας που πειέχει µέος του συνδυασµού των ακεαίων τιµών ασάφειας (Σχ..). Έχοντας µετήσεις από δέκτες µιας συχνότητας L το εύος τιµών µειώνεται όπως φαίνεται στο Σχ... Έτσι µειώνονται κατά ένα ποσοστό οι συνδυασµοί των πααπάνω ασαφειών οπότε γίνεται πιο εύκολη η εκτίµησή τους.

6 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) k m N ˆ N k m N ˆ N Σχήµα. : Εύος τιµών για δύο πααµέτους ασάφειας k m N ˆ N k m N ˆ N Σχήµα.: Εύος τιµών πααµέτων ασάφειας χησιµοποιώντας τη διαθέσιµη συσχετισµένη πληοφοία για τη συχνότητα L.

7 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) 5 Μια εντυπωσιακή µείωση του πεδίου έευνας µποεί να επιτευχθεί εάν είναι διαθέσιµες ταυτόχονες µετήσεις φάσεως και στις δύο συχνότητες L και L (σχήµα. ). Σαν αποτέλεσµα οι ασάφειες µποούν να εκτιµηθούν σε ένα πολύ υψηλό επίπεδο ακίβειας. k m N ˆ N k m N ˆ N Σχήµα.: Εύος τιµών πααµέτων ασάφειας χησιµοποιώντας τη διαθέσιµη συσχετισµένη πληοφοία για τις συχνότητες L και L... Σφάλµατα των µετήσεων G.P.S. Τα σφάλµατα των µετήσεων G.P.S. διακίνονται σε τέσσεεις βασικές κατηγοίες α) στα δουφοικά σφάλµατα, β) στα σφάλµατα των δεκτών, γ) στα σφάλµατα των παατηήσεων και δ) στα σφάλµατα σταθµού. Στα δουφοικά σφάλµατα διακίνονται τα τοχιακά σφάλµατα λόγω της λανθασµένης και µη ακιβούς γνώσης της παγµατικής τοχιάς των δουφόων καθώς και τα σφάλµατα των χονοµέτων των δουφόων. Στα σφάλµατα των δεκτών ανήκουν τα σφάλµατα των χονοµέτων των δεκτών και τα σφάλµατα θούβου στους δέκτες. Στα σφάλµατα παατηήσεων εντάσσονται τα ατµοσφαιικά σφάλµατα, δηλαδή οι επιδάσεις των στωµάτων της ατµόσφαιας µέσα από τα οποία διέχεται το δουφοικό σήµα. Πιο συγκεκιµένα, διακίνουµε δύο ειδών ατµοσφαιικά σφάλµατα, το ιονοσφαιικό και το τοποσφαιικό. Τέλος, στα σφάλµατα

8 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) 6 σταθµού διακίνουµε το σφάλµα λόγω µη ακιβούς γνώσης των παγµατικών συντεταγµένων του σταθµού και τα σφάλµατα λόγω των πολλαπλών ανακλάσεων του σήµατος µέχι να φτάσει από το δουφόο στο δέκτη. Τα τελευταία οφείλονται στο φαινόµενο της πολυδιαδοµής (multipath). Παακάτω θα αναλύσουµε πιο διεξοδικά τα σφάλµατα αυτά... Τα δουφοικά σφάλµατα Όπως αναφέθηκε και πααπάνω τα δουφοικά σφάλµατα διακίνονται στο σφάλµα της δουφοικής τοχιάς και στο σφάλµα του χονοµέτου του δουφόου. Τα τοχιακά σφάλµατα Για τον ακιβή ποσδιοισµό της δουφοικής τοχιάς, υπάχουν διασκοπισµένοι στη Γη διάφοοι σταθµοί (βλ. Σχ..6 και.7) που είναι επιφοτισµένοι, µεταξύ των άλλων, µε το να ποσδιοίζουν µε πολύ µεγάλη ακίβεια τα διάφοα στοιχεία της τοχιάς των δουφόων του συστήµατος G.P.S.. Αφού επιτευχθεί ο υπολογισµός της τοχιάς, αυτή η λύση µεταδίδεται από τους σταθµούς στους δουφόους και στη συνέχεια από τους δουφόους στους δέκτες G.P.S. µέσω του µηνύµατος ναυσιπλοΐας. Όπως είναι φυσικό, µιας και δεν υπάχει µέτηση που να µην πειέχει σφάλµατα, οι µεταδιδόµενες εφηµείδες των δουφόων για την τοχιά τους δεν παέχουν την παγµατική θέση του δουφόου αλλά κάποια διαφοετική που ποσεγγίζει την αληθή µε κάποιο σφάλµα. ιαφοές µεταξύ των ποβλεπόµενων εφηµείδων που είναι διαθέσιµες στο χήστη και της παγµατικής τοχιάς, µεταβιβάζονται στη θέση του δέκτη. Είναι ποφανές ότι η ακτινική συνιστώσα του σφάλµατος τοχιάς αλλοιώνει τον ποσδιοισµό της απόστασης και ως εκ τούτου τη θέση του χήστη σε µεγαλύτεο βαθµό κατά τον ποσδιοισµό της θέσης µονού σταθµού (ingle taτin) παά σε σχετικό ποσδιοισµό (diffeential G.P.S.). Για γειτονικούς σταθµούς, τα πεισσότεα από τα λάθη της τοχιάς απαλείφονται κατά τον διαφοικό ποσδιοισµό. Ένας εµπειικός κανόνας για την επίδαση d (σφάλµα στον ποσδιοισµό της βάσης), του σφάλµατος τοχιάς d, στον ποσδιοισµό µιας βάσης δίνεται από τη σχέση dd /, όπου είναι η απόσταση δουφόου-δέκτη και είναι πείπου ίση µε km (σχήµα.). Έτσι το σφάλµα βάσης d εξατάται κυίως από το λόγο του µήκους της βάσης πος την απόσταση του δουφόου από το δέκτη. Η µέγιστη απόσταση ενός δουφόου G.P.S. είναι πείπου 5. km. Για παάδειγµα, άν µετάµε µία βάση km τότε ένα σφάλµα της τάξης των m στην τοχιά ενός δουφόου (σύνηθες όταν η επιλεκτική διαθεσιµότητα δεν είναι ενεγοποιηµένη) που βίσκεται σε απόσταση km µεταφάζεται σε ένα σφάλµα cm στη θέση του δέκτη. Αυτό σηµαίνει ότι έχουµε ένα σφάλµα ppm για κάθε m σφάλµατος στην τοχιά.

9 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) 7 d Παγµατική τοχιά Εκπεµπόµενη τοχιά Γη Σχήµα.: Επίδαση του σφάλµατος τοχιάς στον ποσδιοισµό βάσης (aeline deteminatin). Ο παακάτω πίνακας (Πίνακας.) δείχνει ότι για σχετικό ποσδιοισµό θέσης και για µικές αποστάσεις η απαιτούµενη ακίβεια τοχιάς δεν αποτελεί κίσιµο παάγοντα. Αντιθέτως, η απαίτηση για ακίβεια cm για πολύ µεγάλες αποστάσεις, για παάδειγµα στη γεωδυναµική, ποϋποθέτει µια ακίβεια τοχιάς καλύτεη του m που είναι πολύ δύσκολο να επιτευχθεί. Μήκος βάσης Αποδεκτό σφάλµα τοχιάς. km 5 m. km 5 m km 5 m km.5 m km.5 m Πίνακας.. Σχέση µεταξύ σφάλµατος τοχιάς ανταποκινόµενου σε cm λάθους στο µήκος της βάσης. Στη συνέχεια ο επόµενος πίνακας (Πίνακας..) δίνει µεικά µεγέθη εκφασµένα σε µέη στο εκατοµµύιο (ppm). Τα στοιχεία των εκπεµπόµενων τοχιών υποδεικνύουν ένα επίπεδο ακίβειας της τάξης 5 ως 5 m. Σύµφωνα µε τον Πίνακα. αυτή η ακίβεια είναι ικανοποιητική για εγασίες µε αποστάσεις σηµείων ως km. Η ακίβεια της τοχιάς µποεί ωστόσο να µειωθεί κάτω από συνθήκες επιλεκτικής διαθεσιµότητας (Selective

10 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) 8 Availiailit cnditin). Επίσης όταν οι αποστάσεις των σηµείων αυξάνονται και απαιτείται µεγαλύτεη ακίβεια, η ακίβεια των εκπεµπόµενων εφηµείδων δεν είναι συνήθως επακής. Γι αυτό το λόγο είναι ποτιµότεο να χησιµοποιούνται ακιβείς εφηµείδες που παέχονται από διεθνής ογανισµούς και υπηεσίες. Σχετική ακίβεια Αποδεκτό σφάλµα τοχιάς 5 ppm 5 m ppm 5 m.5 ppm.5 m. ppm.5 m Πίνακας.. Σχέση µεταξύ σφάλµατος τοχιάς ανταποκινόµενου σε ppm λάθους για µήκος βάσης km. Σφάλµατα των δουφοικών χονοµέτων Οι δουφόοι του συστήµατος G.P.S. φέουν ολόγια, δηλαδή χονόµετα, που χησιµοποιούνται στην καταγαφή του χόνου εκποµπής του σήµατος από τον δουφόο πος το δέκτη. Λαµβάνοντας υπόψη ότι τα ηλεκτοµαγνητικά κύµατα µεταδίδονται µε την ταχύτητα του φωτός, δηλαδή c km/, διαπιστώνουµε ότι ένα σφάλµα της τάξης του m ( m. ) µεταφάζεται σε σφάλµα m στον ποσδιοισµό θέσης. Αντίστοιχα, ένα σφάλµα της τάξης του n ( n -9 ) µεταφάζεται σε σφάλµα cm στον ποσδιοισµό θέσης. Γίνεται εποµένως εύκολα αντιληπτό, ότι η ακίβεια των δουφοικών χονοµέτων πέπει να είναι πολύ µεγάλη, µιας και ένα µικό σφάλµα στο χονόµετο του δουφόου, µεταφάζεται σε ένα πολύ µεγάλο σφάλµα στον ποσδιοισµό θέσης. Ποκειµένου να αντιµετωπιστεί το πόβληµα αυτό, οι δουφόοι είναι εξοπλισµένοι µε ατοµικά ολόγια καισίου-ουβιδίου πολύ µεγάλης ακίβειας (Lachapelle ). Ακόµα και αυτά τα ολόγια όµως, συσσωεύουν λάθη λόγω του φαινοµένου της ολίσθησης των χονοµέτων, οπότε γενικά θεωείται ότι η ακίβειά τους είναι της τάξης του m. Ποσοχή πέπει να δοθεί στο ότι η πληοφοία για το χονόµετο του δουφόου έχεται µέσα από το λαµβανόµενο σήµα. Γίνεται κατανοητό ότι µε την ποαναφεθείσα ακίβεια των m δεν µποεί να γίνει ποσδιοισµός θέσης. Έτσι µέσα στο µήνυµα ναυσιπλοΐας πειέχονται τεις συντελεστές ενός πολυωνύµου το οποίο εφαµοζόµενο µας δίνει µία διόθωση στον χόνο του δέκτη, σύµφωνα µε τη σχέση

11 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) 9 dt f ( t t ) + a ( t t ) a + a (.) f c f c όπου a f, a f και a f είναι οι τείς συντελεστές του πολυωνύµου που εφαµόζεται ποκειµένου να πάουµε τη τη διόθωση του χονοµέτου του δουφόου. Πώς όµως ποσδιοίζονται οι συντελεστές αυτοί; Όπως αναφέθηκε και στο ο Κεφάλαιο, υπάχουν πολλοί σταθµοί παακολούθησης στη Γη οι οποίοι µεταξύ των άλλων παέχουν και πληοφοία για τις τοχιές των δουφόων. Κατ αντιστοιχία, παακολουθούν και τα δουφοικά χονόµετα και συγκίνοντας τον χόνο GPS που αυτά εκπέµπουν µε το κύιο χονόµετο ελέγχου (mate cntl clck), που είναι ένας συνδυασµός πεισσοτέων των δέκα µεγάλης ακιβείας ατοµικά χονόµετα, ποσδιοίζουν τα σφάλµατα των δουφοικών ολογιών. Τα λάθη και οι ολισθήσεις των χονοµέτων των δουφόων υπολογίζονται και πειλαµβάνονται στα µεταδιδόµενα από τους δουφόους σήµατα ( εµάνης 999). Στον υπολογισµό των αποστάσεων πος τους δουφόους, οι δέκτες GPS αφαιούν τα σφάλµατα των χονοµέτων των δουφόων από τον αναφεόµενο χόνο µετάδοσης, για να ποκύψει η «αληθής» διάκεια µετάδοσης του σήµατος. Βέβαια, ακόµη και µε την πααδοχή ότι το εφαµοζόµενο µοντέλο (Εξ..) καταφένει να πειγάψει ικανοποιητικά το σφάλµα του χονοµέτου του δουφόου, πααµένει ένα σφάλµα της τάξης των ~ n που µεταφάζεται σε σφάλµα των ~ m σε απόσταση. Ο µόνος τόπος για να απαλειφθεί εντελώς το σφάλµα του χονοµέτου του δουφόου είναι η χήση διαφοικού GPS και η εφαµογή απλών διαφοών µεταξύ δεκτών (βλ. Κεφ. )... Τα σφάλµατα των δεκτών Όπως αναφέθηκε και πααπάνω στα σφάλµατα των δεκτών πειλαµβάνονται το σφάλµα του χονοµέτου του δέκτη και ο θόυβος στο δέκτη. Το σφάλµα του χονοµέτου του δέκτη είναι ίδιο στη φύση µε αυτό του δουφοικού ολογιού και οφείλεται σε ατέλειες και σφάλµατα των χονοµέτων που χησιµοποιούνται. Θα πέπει και πάλι να τονιστεί ότι οποιαδήποτε µέτηση και οποιοδήποτε όγανο µέτησης κάποιας ποσότητας πειέχει σφάλµατα. Τα ολόγια των δεκτών δεν είναι φυσικά τόσο µεγάλης ακίβειας σαν αυτά των δουφόων µιας και αυτό θα σήµαινε κατακόυφη αύξηση του κόστους τους. Ακεί να αναφεθεί ότι τα ατοµικά χονόµετα ακιβείας µε τα οποία εξοπλίζονται οι δουφόοι ζυγίζουν πεισσότεο από κιλά, κοστίζουν πείπου $5 και απαιτούν εκτεταµένη φοντίδα (Lachapelle ). Γενικά, τα σφάλµα στο ολόγια των δεκτών είναι της τάξης των n µέχι µεικά m που σηµαίνει ότι το σφάλµα που εισαγάγουµε ποικίλει από 6 m ή και

12 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) πααπάνω. Όπως αναφέθηκε και πααπάνω, ποκειµένου να υπολογίσουµε τις συντεταγµένες ενός δέκτη, δηλαδή το διάνυσµα θέσης του (,,), παγµατοποιούµε πολλές µετήσεις πος πολλούς, τουλάχιστον τέσσεεις, δουφόους. Έτσι η λύση ποκύπτει από µια µέθοδο ελαχίστων τεταγώνων κατά την οποία εκτιµούµε τις άγνωστες πααµέτους ελαχιστοποιώντας το τετάγωνο του διανύσµατος των σφαλµάτων τους ( εµάνης 986). Σε πλήη αναλογία, έχουµε τη δυνατότητα να εισαγάγουµε το σφάλµα του χονοµέτου του δέκτη σαν µία τέτατη άγνωστη παάµετο σε αυτή τη διαδικασία συνόθωσης των παατηήσεων και να υπολογίσουµε µία βέλτιστη εκτίµησή της (βλ. και.6 και Κεφ. ). Βέβαια, ποκειµένου να εισαχθεί το χονόµετο του δέκτη σαν άγνωστη ποσότητα πέπει οι παατηήσεις πος τους (τέσσεεις) δουφόους να είναι ταυτόχονες µιας και αν παγµατοποιούνται διαφοετικές χονικές στιγµές θα έχουν διαφοετικά σφάλµατα χονοµέτου του δέκτη. Μία άλλη δυνατότητα απαλοιφής του σφάλµατος του χονοµέτου του δέκτη είναι το διαφοικό GPS δηλαδή ο σχηµατισµός απλών διαφοών µεταξύ δουφόων (βλ. Κεφ. )... Η δοµή της ατµόσφαιας και τα ατµοσφαιικά σφάλµατα Η πειοχή των αείων που πειβάλλει τον πλανήτη Γη είναι γνωστή σαν ατµόσφαια. Εξαιτίας της ύπαξης της ατµόσφαιας είναι δυνατή και η ύπαξη ζωής στη Γη καθώς και η δηµιουγία των γνωστών µετεωολογικών φαινοµένων όπως η βοχή, το χιόνι το χαλάζι και φυσικά η νέφωση. Η γήινη ατµόσφαια διακίνεται σε οµόκεντα, σχεδόν σφαιικά στώµατα τα οποία χωίζονται από στενές ζώνες µεταβίβασης από το ένα στο άλλο (Σχ..5). Το τελευταίο όιο της ατµόσφαιας, πέα από το οποίο τα ατµοσφαιικά αέια διαφεύγουν στην ατµόσφαια, βίσκεται σε ένα υψόµετα πείπου km πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας, ενώ πεισσότεο από 99% των ατµοσφαιικών αείων εντοπίζεται στα πώτα Km από την επιφάνεια της Γης. Η διακιτοποίηση των ποαναφεθέντων στωµάτων γίνεται βάσει των διαφοών στη χηµική σύσταση που έχουν σαν συνέπεια, µεταξύ των άλλων, και µεταβολές στη θεµοκασία. Έτσι, η ατµόσφαια της Γης διακίνεται στις: α) τοπόσφαια που εκτείνεται από την επιφάνεια της θάλασσας µέχι και ύψος km πάνω από αυτή, β) στατόσφαια που εκτείνεται από 8 5 km πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας, γ) µεσόσφαια που εκτείνεται από 5 8 km πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας, δ) ιονόσφαια που εκτείνεται από 8 5 km πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας και ε) εξώσφαια που εκτείνεται από 5 km πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας (βλ. Σχ..5). Μετά την εξώσφαια βίσκεται ο διαπλανητικός χώος.

13 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) ΙΑΠΛΑΝΗΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΞΩΣΦΑΙΡΑ km ΙΟΝΟΣΦΑΙΡΑ 5 km 8 km ΜΕΣΟΣΦΑΙΡΑ ΣΤΡΑΤΟΣΦΑΙΡΑ ΤΡΟΠΟΠΑΥΣΗ ΖΩΝΗ ΟΖΟΝΤΟΣ - km πάνω από τη ΜΣΘ 5 km 8 km km ΤΡΟΠΟΣΦΑΙΡΑ Σχήµα.5: Η δοµή της ατµόσφαιας της Γης.... Επιδάσεις της ιονόσφαιας στα σήµατα G.P.S. Η ιονόσφαια είναι στώµα της ανώτεης ατµόσφαιας το οποίο πειέχει φοτισµένα ιόντα και ηλεκτόνια. Η ιονόσφαια επιφέει στα κύµατα του GPS : Καθυστέηση του κύµατος του οποιού η ταχύτητα γίνεται µικότεη από αυτή του φωτός. ιάθλαση Η καθυστέηση και η διάθλαση του σήµατος στην ιονόσφαια, εξατάται από την πειεκτικότητα ηλεκτονίων κατά την ποεία του σήµατος και από τη συχνότητα του

14 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) διεχόµενου κύµατος. Η πειεκτικότητα των ηλεκτονίων επηεάζεται από την ηλιακή ακτινοβολία και το γεωµαγνητικό πεδίο. Η επίδαση της ιονόσφαιας εκφάζεται συνήθως σε σχέση µε τη λεγόµενη συνολική πειεκτικότητα ηλεκτονίων (ttal electn cntent - TEC) που αποτελεί τον συνολικό αιθµό των ηλεκτονίων σε µία κατακόυφη εγκάσια επιφάνεια εµβαδού m. Η πειεκτικότητα της ατµόσφαιας σε ηλεκτόνια έχει ηµεήσιες, εποχικές και πειοδικές µεταβολές µε συνέπεια η επίδαση της ιονόσφαιας στις µετήσεις GPS, και κατά συνέπεια το σφάλµα που εισάγεται, να ποικίλει. Έτσι το TEC και το ιονοσφαιικό σφάλµα είναι µεγαλύτεα τις µεσηµβινές ώες από ότι τις βαδινές, κατά τους µήνες Μάτιο Μάιο σε σχέση µε τους υπόλοιπους και τέλος κατά την κουφή της ηλιακής δαστηιότητας που λαµβάνει χώα κάθε χόνια. Στο Σχ..6 φαίνεται ο κύκλος της ηλιακής δαστηιότητας από το 75 έως σήµεα, από όπου διαπιστώνουµε την πειοδικότητα του φαινοµένου ( χόνια) καθώς και ότι σήµεα () τείνουµε πος το επόµενο ελάχιστο που θα λάβει χώα το 6. Μέσος αιθµός ηλιακών κηλίδων Χονολογία Σχήµα.6: Η ηλιακή δαστηιότητα από το 75 σήµεα (Φώτο από NASA ). Η ιονοσφαιική επίδαση εξατάται από τη συχνότητα, τη γεωγαφική θέση και το χόνο. Το σφάλµα στη µέτηση των αποστάσεων ποικίλει από λιγότεο του m έως και

15 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) πεισσότεο από m (Well et al. 986, Klucha 99). Οι δέκτες διπλής συχνότητας κάνουν χήση του γεγονότος ότι τα L και L σήµατα υφίστανται διαφοετική καθυστέηση στην ιονόσφαια. Ο συνδυασµός της L και L συχνότητας µειώνει την επίδαση της ιονοσφαιικής διάθλασης. Πέπει να επισηµανθεί επιπλέον ότι η ιονόσφαια είναι ένα µέσο διασποάς (dipeive) για τα αδιοκύµατα µε συνέπεια η καθυστέηση της φάσης να είναι διαφοετική αυτής του κώδικα. Ανωµαλίες στην ιονόσφαια της γης µποούν να παάγουν µικής πειόδου µεταβολές στο πλάτος του σήµατος και στη φάση (Wanninge L 99). Αυτές οι µεταβολές λαµβάνουν κατά κύιο λόγο χώα σε µία ζώνη ο εκατέωθεν του γήινου γεωµαγνητικού ισηµεινού και στις πολικές ζώνες (pla aual ne). Πολύ µεγάλη πειεκτικότητα ηλεκτονίων συναντάται σε πειοχές του ισηµεινού (βλ. Σχ..7). Όπως φαίνεται στο παακάτω σχήµα (Σχ..7) η Ελλάδα και η ευύτεη πειοχή βίσκονται εκτός της ζώνης επικινδυνότητας. Οι επιδάσεις στον ισηµεινό παίνουν µέγιστες τιµές µια ώα πείπου µετά την τοπική ανατολή του ηλίου µέχι πείπου τα µεσάνυχτα (Klucha JΑ 99). Η µεταβολή της πειεκτικότητας της ατµόσφαιας σε ηλεκτόνια για την Ελλάδα, φαίνεται στο Σχ..8 από όπου φαίνεται ότι το µέγιστο βίσκεται πεί τις : το µεσηµέι. Οι επιδάσεις λόγω ιονόσφαιας µποούν να ποκαλέσουν και έναν µεγάλο αιθµό κύκλων ολίσθησης (ccle lip) επειδή ο δέκτης δεν µποεί να ακολουθήσει τις σύντοµες διαλείψεις του σήµατος. Μια πολύ µεγάλη πειεκτικότητα ηλεκτονίων ποκαλεί αισθητά οιζοντιογαφικές αποκλίσεις και αλλοιώνει την επίλυση των ασαφειών µε τη γεωµετική µέθοδο, ακόµα και σε µικές αποστάσεις, επειδή η ιονοσφαιική επίδαση επικαλύπτει ακόµα και το µεγάλο µήκους κύµα L5 (wide lane λ 86 cm) µέσα σε λίγα λεπτά χόνου παατήησης (Wanninge and Jahn 99). Η µόνη αξιόπιστη πιθανότητα επίλυσης των ασαφειών έως τώα είναι ο συνδυασµός κώδικα - φάσης χησιµοποιώντας δεδοµένα από δέκτες που λαµβάνουν τον P - κώδικα. Τέλος µια εναλλακτική ποσπάθεια αντιµετώπισης της πααπάνω επίδασης είναι η µοντελοποίηση της ιονόσφαιας µε τη βοήθεια παατηήσεων TRANSIT (Lhma 985) ή µε παατηήσεις διπλής συχνότητας δέκτη G.P.S. τοποθετηµένο στο κέντο της πειοχής εγασίας (Gegiad and Kleueg 988). Η ιονόσφαια αποτελεί τον κύιο παάγοντα επίδασης σφαλµάτων στα σήµατα G.P.S.

16 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) Σχήµα.7: Πειοχές του κόσµου µε υψηλή ιονοσφαιική δαστηιότητα και πυκνότητα ηλεκτονίων (Πηγή: NASA - JPL ).

17 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) 5 6 Deceme -5, ITEC GPS_TEC 7 Deceme -6, Σχήµα.8: Πειεκτικότητα της ατµόσφαιας σε ηλεκτόνια σε σταθµό των Αθηνών κατά τη διάκεια πέντε ηµεών (Σχ. από Reinich et al. () ). ITEC GPS_TEC... Επιδάσεις της τοπόσφαιας στα σήµατα G.P.S. Ένα άλλο σφάλµα που υπεισέχεται στις µετήσεις G.P.S. είναι και το τοποσφαιικό εξαιτίας της καθυστέησης του σήµατος κατά τη διέλευσή του από την τοπόσφαια. Όπως αναφέθηκε και πιο πάνω, η τοπόσφαια αποτελεί εκείνο το στώµα της ατµόσφαιας στο οποίο δηµιουγούνται και λαµβάνουν χώα όλα τα µετεωολογικά φαινόµενα του πλανήτη µας, µιας και σε αυτό συγκεντώνεται το σύνολο σχεδόν των υδατµών της ατµόσφαιας. Η τοπόσφαια εκτείνεται σε ένα υψόµετο πείπου 9 km πάνω από τους πόλους και πείπου 6 km πάνω από τον ισηµεινό. Η καθυστέηση του σήµατος στην τοπόσφαια είναι σηµαντική για τον ακιβή ποσδιοισµό θέσης και βάσης µιας και οι τοποσφαιικές παάµετοι είναι φτωχά συσχετισµένες για µεγάλες αποστάσεις. Για συχνότητες του αδιοφάσµατος η τοποσφαιική καθυστέηση είναι ανεξάτητη από τη συχνότητα, γι αυτό και σε αντίθεση µε την επίδαση της ιονόσφαιας δεν µποεί να καθοιστεί από µετήσεις µε δέκτες διπλής συχνότητας. Η τοποσφαιική Reinich BW, Huang X, Belehaki A, Jdgne J-C () Bttm and Tpide Inpheic TEC Otained Fm Gund-Baed Innde Meauement. Beacn Satellite Smpium Pceeding.

18 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) 6 επίδαση µεταβάλλεται συνατήσει της ζενίθιας γωνίας µεταξύ δουφόου δέκτη και λαµβάνει τιµή. m όταν ο δουφόος βίσκεται στο ζενίθ της θέσης του δέκτη και τιµή 9. m για γωνία 75 ο. Σχετικά απλά µοντέλα ποσεγγίζουν τη συνολική επίδαση µε µια ακίβεια της τάξης των cm που είναι ακετή για ποσδιοισµό θέση χαµηλής ακίβειας. Όταν όµως το ζητούµενο είναι ο ποσδιοισµός θέσης µε πολύ µεγάλη ακίβεια (π.χ. καλύτεη του cm) τότε γίνεται κατανοητό ότι τέτοια µοντέλα δεν είναι επακή. Για τον υπολογισµός της τοποσφαιικής καθυστέησης θεωούµε ένα διαχωισµό της ατµοσφαιας σε δύο συνιστώσες την ξηή συνιστώσα, δηλαδή την επίδαση της ατµόσφαιας χωίς πειεκτικότητα υδατµών και την υγή συνιστώσα, δηλαδή την επίδαση της υγασίας της ατµόσφαιας που υπολογίζεται ξεχωιστά. Η υγή συνιστώσα εξατάται από την κατανοµή των υδατµών στην ατµόσφαια και γι αυτό είναι δύσκολο να µοντελοποιηθεί. Η υγή συνιστώσα αποτελεί το % του συνόλου της τοποσφαιικής διάθλασης. Η συνολική καθυστέηση στις ζενίθιες διευθύνσεις ανέχεται σε. m και αυξάνει κοντά στον οίζοντα ( κλίση) σε πείπου m. Η ξηή συνιστώσα µποεί να πειγαφεί µε ακίβεια του % από τα γνωστά µοντέλα. Αν οι σταθµοί παατηήσεις είναι κοντά µεταξύ τους το τοποσφαιικό υπολειπόµενο σφάλµα σχεδόν εξαλείφεται χησιµοποιώντας τη διαφοική µεθοδολογία µετήσεων. Εποµένως δεν ενδείκνυται η εισαγωγή παατηηθέντων µετεωολογικών δεδοµένων (ξεχωιστή για κάθε σταθµό) στη συνόθωση ενός µικού δικτύου. Σε πεδινές εκτάσεις οι τοπικές παατηήσεις συνήθως δεν πειγάφουν την κατάσταση της ατµόσφαιας στην πειοχή µε επακή ακίβεια. Όταν οι αποστάσεις των σταθµών είναι µεγαλύτεες των 5 Km ή οι υψοµετικές τους διαφοές είναι µεγάλες ιδιαίτεα σε οεινές πειοχές οι τοπικές ατµοσφαιικές συνθήκες δεν είναι πλέον ικανοποιητικά συσχετισµένες. εποµένως η µοντελοποίηση πααµένει δύσκολη. Θεωείται ότι η υγή καθυστέηση είναι η λιγότεο ελεγχόµενη από όλες τις αιτίες εισαγωγής λαθών στο σύστηµα G.P.S. (Bck, Shimada 99). Για µεγάλες βάσεις ή όταν η υψοµετική διαφοά των σταθµών είναι µεγάλη θα πέπει να χησιµοποιηθεί αδιόµετο υγασίας (wate-vapu adimete) ποκειµένου να µετώνται οι µετεωολογικές παάµετοι (θεµοκασία, πίεση, πειεκτικότητα σε υδατµούς, κ.λ.π.) του σταθµού. Βέβαια αυτή η λύση είναι πολύ ακιβή () και ενδείκνυται µόνο για µόνιµους σταθµούς G.P.S.... Η επίδαση της πολυδιαδοµής (multipath) στις µετήσεις GPS. Ένα από τα κύια σφάλµατα που επισέχεται στις µετήσεις µε το σύστηµα GPS είναι η (πολύ) διαδοµή-ανάκλαση του σήµατος. Λέγοντας (πολύ) διαδοµή-ανάκλαση (multipath)

19 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) 7 εννοούµε την άφιξη του σήµατος στην κεαία του δέκτη ύστεα από ακετές ανακλάσεις που έχουν συµβεί σ αυτό από την επιφάνεια του εδάφους και των γειτονικών αντικειµένων (π.χ. κτίια, αυτοκίνητα, δέντα κ.λπ.) (Σχ..9). Το ανακλώµενο σήµα πααποιεί όχι µόνο τους κώδικες αλλά και τις φάσεις. Κάτω από άσχηµες συνθήκες η ανάκλαση µποεί να επιφέει µέχι και χάσιµο του σήµατος (l f lck) (Σχ..9). Ανακλώµενο σήµα Ευθύ σήµα Επιφάνεια αντανάκλασης Σχήµα.9: Το φαινόµενο της πολυδιαδοµής (multipath). Η υποβάθµιση στις ψευδοαποστάσεις συµβαίνει εξαιτίας της πααποίησης της µέγιστης τιµής (κουφής) της συνάτησης συσχέτισης, µεταξύ του δουφοικού σήµατος και του αντίγαφου που παάγεται στο δέκτη, λόγω της ύπαξης του ανακλώµενου σήµατος. Η επίδαση στη φέουσα συχνότητα γίνεται κατανοητή µε το παακάτω σχήµα (βλ. Σχ..). Το στιγµιαίο λάθος εξαιτίας της διαδοµής στη συχνότητα είναι η γωνία ψ µεταξύ του διανύσµατος Ε d ευθύ σήµα (diect ignal) και του διανύσµατος Ε m που είναι το διάνυσµα του αθοίσµατος του ευθέως διαδιδόµενου σήµατος και του ανακλώµενου Ε (eflected ignal). Όπως φαίνεται από το σχήµα η γωνία ψ παίνει τη µέγιστη τιµή της όταν το διάνυσµα του ανακλώµενου σήµατος και το διάνυσµα αθοίσµατος (Ε + Ε d ) γίνουν κάθετα µεταξύ τους.

20 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) 8 E E d ψ E m E E d ψ E m Σχήµα.: Επίδαση της πολυδιαδοµής (multipath) στη φέουσα συχνότητα. Για µικές αποστάσεις (aeline) και µικά δίκτυα, το σφάλµα από την ανάκλαση θα είναι το ίδιο και στα δύο άκα κάθε απόστασης οπότε κατά την επεξεγασία του σχετικού ποσδιοισµού θα αφαιείται (Yung et al. 985). Η ύπαξη του φαινοµένου της ανάκλασης εξατάται κυίως από την ανακλαστικότητα των αντικειµένων που υπάχουν στο χώο γύω από την κεαία. Εάν η κεαία πααµένει στο ίδιο σηµείο (στατικός ποσδιοισµός) η επίδαση της ανάκλασης θα επαναληφθεί ξανά µετά από µία αστική ηµέα εξαιτίας της επαναλαµβανόµενης γεωµετίας δουφόων-δέκτη και ανακλώµενων επιφανειών. Το µέγεθος του σφάλµατος αυτού µποεί να φτάσει και τα - m για µετήσεις µόνο µε κώδικες. Οι Tanquilla και Ca ταξινοµούν τα λάθη από την ανάκλαση (για µετήσεις κωδικών) σε τεις τάξεις: () όταν το δουφοικό σήµα διέχεται µέσα σε ένα χώο όπου βίσκονται ακετές µεταλλικές κατασκευές γύω από την κεαία. Στην πείπτωση αυτή µποεί να εισαχθεί σφάλµα µέχι και m στην απόσταση δουφόου δέκτη, () ανακλάσεις από τα κτίια που βίσκονται κοντά στην κεαία, όπου το σφάλµα που επισέχεται τότε µποεί να φτάσει και τα 6 m και () ανακλάσεις από χαµηλής συχνότητας σήµατα που συνήθως πειέχονται στο δουφοικό σήµα όταν αυτό διέχεται πάνω από υδάτινες επιφάνειες. Το εισεχόµενο σφάλµα σ αυτή την πείπτωση µποεί να φτάσει και πάλι τα m. Στο Σχ.. φαίνεται γαφικά η διαφοά µεταξύ του ευθέως και του ανακλώµενου σήµατος.... Μαθηµατική πειγαφή των ανακλώµενων σηµάτων GPS Η τάση ενός σήµατος που λαµβάνεται από το κέντο φάσης της κεαίας πειγάφεται από την ακόλουθη σχέση: S d Vc(φ), όπου η ποσότητα V δηλώνει το εύος της τάσης του σήµατος και η φ τη φάση αυτού. Το ανακλώµενο σήµα θα έχει γενικά µία µετάθεση στη φάση κατά θ και µία µείωση στο εύος της τάσης κατά αv όπου α. Εποµένως, το

21 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) 9 ανακλώµενο σήµα θα ισούται µε S αvc(φ+θ). Οπότε το τελικό σήµα που θα φτάνει στην κεαία θα ισούται µε S S d + S, δηλαδή θα ισχύει ότι S S d + S Vc(φ)+ αvc(φ+θ) (.5) Εφαµόζοντας τον νόµο των συνηµιτόνων, καταλήγουµε ότι SVc(φ) + αvc(φ)c(θ) αvin(φ)in (θ) ((+Vc(θ))αc(φ) Vin(θ) αin(φ) (.6) το οποίο ισούται µε Sβ Vc(φ+ψ) θέτοντας ως: βc(ψ) +Vc(θ) και βin(ψ) Vin(θ). Υψώνοντας στο τετάγωνο τις δύο ποηγούµενες σχέσεις και αθοίζοντας ταυτόχονα έχουµε β +V c (θ) + Vc(θ) + V in (θ) β +V + Vc(θ) β και in( θ) ψ actan a + c( θ) ( + V + V c( θ) ) (.7) Θεωώντας ότι α<< έχουµε ότι ψ αin(θ). Εξαιτίας της συνεχούς αλλαγής της γεωµετίας µεταξύ δουφόων, δέκτη και ανακλώµενης επιφάνειας η διαφοά φάσης (θ) µεταξύ του ευθέως και του ανακλώµενου σήµατος θα αλλάζει σιγά-σιγά µε το χόνο επιφέοντας κυκλικές αλλαγές του σφάλµατος ψ. Για δεδοµένη τιµή του α η µέγιστη τιµή του ψ θα ισούται µε ψ ma ±acin(α) για θ (ψma) ±ac(-α). Από αυτό ποκύπτει ότι το εύος του ανακλώµενου σήµατος εξατάται µόνο από την ισχύ του που εκφάζεται µέσω του συντελεστή α. Το µέγιστο σφάλµα στη φάση συµβαίνει όταν α και θ9. Αυτό αντιστοιχεί σε ένα λάθος στην απόσταση πείπου ίσο µε.8 cm, για µετήσεις στη µία συχνότητα (L). Θα πέπει να αναφέουµε ότι το πααπάνω σφάλµα αυξάνει εάν χησιµοποιηθούν γαµµικοί συνδυασµοί συχνοτήτων, όπως για παάδειγµα ο συνδυασµός της ευείας οδού -wide lane- µε µήκος κύµατος λ86 cm.... Ανίχνευση και µείωση των ανακλώµενων σηµάτων στις µετήσεις GPS. Στις µετήσεις µε τις φέουσες συχνότητες το σφάλµα από την ανακλώµενη φάση είναι δύσκολο να ανιχνευθεί. Μόνο η ανάλυση των εκτιµήσεων των σφαλµάτων µετά την συνόθωση µποεί να δείξει την ύπαξη συστηµατικών σφαλµάτων. Όπως έχει αναφεθεί, ο κύιος σκοπός των µετήσεων και στις δύο συχνότητες είναι η µείωση - εξάλειψη- της ιονοσφαιικής επίδασης. Για µικές αποστάσεις η υπολειπόµενη

22 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) 5 ιονοσφαιική επίδαση θα είναι πολύ µική, οπότε οι µεγάλες διακυµάνσεις των σφαλµάτων θα είναι ένας δείκτης για την ύπαξη του φαινοµένου της ανάκλασης. Ο καλύτεος τόπος ποκειµένου να µειωθεί δαµατικά η επίδαση της ανάκλασης είναι να αποφεύγουµε τις µετήσεις µέσα σε πειοχές µε έντονη δόµηση και γενικά κοντά σε οποιαδήποτε επιφάνεια. Εάν όµως αυτό δεν είναι εφικτό τότε η ανάκλαση εισάγει ένα σηµαντικό σφάλµα στον ποσδιοισµό των αποστάσεων και κυίως σε αποστάσεις µικού εύους. Η µείωση τότε της ανάκλασης µποεί να επιτευχθεί εάν ο χόνος παατήησης είναι µεγαλύτεος από την µεγαλύτεη πείοδο ανάκλασης που συµβαίνει µέσα σε ταυτόχονες παατηήσεις. Αυτό όµως έχει σαν επίπτωση την αύξηση του κόστους των µετήσεων. Η εµπειία έδειξε ότι απαιτείται ένα παάθυο παατήησης τουλάχιστον λεπτών. Η επίδαση των ανακλώµενων σηµάτων γίνεται εξαιετικά επικίνδυνη στις κινηµατικές µεθόδους/εφαµογές. Ενδιαφέον παουσιάζει επίσης η χησιµοποίηση κεαίας τύπου Chke Ring όπως φαίνεται στο Σχ.., η οποία έχει σχεδιαστεί κατάλληλα µε σκοπό την µείωση της ανάκλασης. Σχήµα.: Το Chke Ring που χησιµοποιείται για την ελαχιστοποίηση του φαινοµένου της πολυδιαδοµής στους δέκτες GPS.. Ολίσθηση κύκλων Όταν ένας δέκτης GPS µπαίνει σε λειτουγία τότε παατηείται το κλασµατικό µέος της φάσης, δηλαδή η διαφοά µεταξύ του δουφοικού σήµατος και του αντίγαφου που παάγεται στο δέκτη, ενώ ένας µετητής ακεαίων τιµών είναι έτοιµος για να αχίσει να µετά. Κατά τη διάκεια της παατήησης ο µετητής αυξάνει κατά ένα κύκλο, όποτε η παατηούµενη διαφοά φάσης φ αλλάζει από π σε. Εποµένως, σε µία εποχή η παατηούµενη (συσσωευµένη) φάση φ θα είναι το άθοισµα των κλασµατικών διαφοών φάσης και των ακέαιων τιµών του µετητή. Η αχική τιµή, τη στιγµή της πώτης παατήησης, των ακέαιων κύκλων (Ν) µεταξύ δουφόου - δέκτη πααµένει άγνωστη. Αυτή η ασάφεια φάσης (Ν) πααµένει σταθεή από τη στιγµή που δεν υπάχει απώλεια του δουφοικού σήµατος. Σε πείπτωση που συµβεί αυτό, ο

23 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) 5 µετητής αχίζει να µετάει ξανά από την αχή το οποίο επιφέει τη λεγόµενη ολίσθηση των κύκλων στη στιγµιαία παατηούµενη (συσσωευµένη) φάση κατά κάποιο ακέαιο αιθµό κύκλων. Αυτή η ολίσθηση - πήδηµα των κύκλων (ccle lip) παατηείται µόνο στις µετήσεις φάσης. Μία γαφική παουσίαση ολίσθησης κύκλων φαίνεται στο διάγαµµα που ακολουθεί (Σχ..), όπου οι µετούµενες φάσεις (οµαλοποιηµένες) σχεδιάζονται σε σχέση µε το χόνο. Στην πείπτωση της ολίσθησης των κύκλων ένα απότοµο πήδηµα φαίνεται στη σχεδιασµένη καµπύλη. Οι αιτίες που ποκαλούν το φαινόµενο της ολίσθησης των ακέαιων κύκλων µποούν να συνοψιστούν σε τεις. Πώτη είναι η αιτία της ύπαξης φυσικών και τεχνητών εµποδίων µεταξύ δουφόου-δέκτη, όπως είναι η ύπαξη δένδων, ψηλών κτιίων, διέλευση του δέκτη κάτω από γέφυα, ανάµεσα από βουνά κ.λ.π. Η αιτία αυτή είναι και η πιο συνηθισµένη. Η δεύτεη αιτία είναι ο χαµηλός λόγος σήµατος πος θόυβο (ignal t nie ati) εξαιτίας άσχηµων ιονοσφαιικών συνθηκών, ανακλάσεων του σήµατος ή λόγω του χαµηλού ύψους διέλευσης του δουφόου. Τέλος ολίσθηση κύκλων µποεί να ποκύψει από κάποιο πόβληµα στο λειτουγικό πόγαµµα του δέκτη και έτσι να µην έχουµε σωστή επεξεγασία στο σήµα... Τεχνικές ανίχνευσης της ολίσθησης των κύκλων Όπως φαίνεται από το διάγαµµα, για την ανίχνευση και τη διόθωση του φαινοµένου της ολίσθησης των κύκλων χειάζεται να ξέει κανείς τη χονική στιγµή που αυτό έλαβε χώα και πιο το µέγεθος των χαµένων κύκλων, το οποίο µποεί να είναι από δεκάδες µέχι και εκατοµµύια (σπανίως). Η διόθωση τους γίνεται βίσκοντας τον αιθµό των κύκλων σε κάθε παατήηση φάσης. Η ανίχνευση τους, η οποία ποηγείται της διόθωσης, βασίζεται στον έλεγχο µε τη βοήθεια µετήσεων φάσης κωδικών, dpple και σε συνδυασµούς αυτών.

24 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) 5 Μετήσεις φάσεων (ccle) Η ολίσθηση κύκλων εµφανίζεται εδώ αλλά ο αιθµός των κύκλων δεν είναι γνωστός Σωστή µέτηση φάσης Σχήµα. : ιάγαµµα ολίσθησης κύκλων (παατηήστε ότι δεν γνωίζουµε τον ακέαιο αιθµό κύκλων που χάθηκαν κατά την ολίσθηση κύκλων). Όταν έχουµε µετήσεις µε δύο δέκτες τότε εφαµόζονται απλές, διπλές και τιπλές διαφοές για τον εντοπισµό των χαµένων κύκλων (Gad 985, Remndi 985, Hilla 986, Buetle et al. 987 ). Η µετούµενη φάση µεταξύ δουφόου - δέκτη θα ισούται µε: i () t j i j j Ai λφi () t i () t + λνi + c δi () t + (.8) f όπου τα i, j συµβολίζουν το δέκτη και το δουφόο αντίστοιχα. Η ποσότητα A j i () t ισούται.τvec µε τον όο ενώ πέπει να τονιστεί ότι αυτή η εξίσωση πειέχει ένα αιθµό c από χονικά ανεξάτητες ποσότητες (δεξί µέος), οι οποίες µποούν να βοηθήσουν στην ανίχνευση της ολίσθησης των κύκλων. Εάν διαθέτουµε µετήσεις και στις δύο συχνότητες τότε θα ισχύει ότι : λ λ () () t + λ Ν + c δ() t ( ) A t t L L (.9) f L Φ L + L () () t + λ Ν + c δ() t ( ) A t t L L (.) f L Φ L + L Χόνος (ecnd) άν αφαιέσουµε τις δύο εξισώσεις µεταξύ τους, τότε οι ποσότητες που είναι ανεξάτητες των συχνοτήτων απαλείφονται (δηλαδή τα (t) και c δ(t)). Οπότε είναι

25 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) 5 ( ) A( t ) A t λ LΦ L() t λlφl() t λlν L λlνl + (.) f f L L διαιώντας τη νέα σχέση µε λ L καταλήγουµε στην ( ) λ L λl A t f () () L Φ L t ΦL t NL NL λ λ (.) L L λlf L fl αλλά, όπως είναι γνωστό, ποκύπτει λ c L λ c fl και αντικαθιστώντας στην (.) f λl c fl ( ) f () L f () L A t f L Φ L t ΦL t NL NL (.) fl fl λlf L fl Η εξίσωση αυτή συχνά λέγεται και ως ιονοσφαιικό υπόλοιπο (inphee fee) Gad (986) και το δεξιό της µέος µας δείχνει ότι δεν πειέχει αλλαγές σε σχέση µε την πάοδο του χόνου εκτός από τις µεταβολές της ιονοσφαιικής επίδασης (ποσότητα Α(t)). Πέπει να πούµε ότι η επίδαση της ιονόσφαιας µε τον γαµµικό συνδυασµό διπλής συχνότητας µειώνεται κατά ένα συντελεστή (- (f L / f L ) ) ο οποίος φτάνει το 65% αυτής. Εάν δεν έχει συµβεί ολίσθηση κύκλων τότε οι ποσωινές µεταβολές του ιονοσφαιικού υπόλοιπου θα είναι µικές για κανονικές ιονοσφαιικές συνθήκες και για µικές βάσεις. είκτες ύπαξης ολίσθησης κύκλων θα είναι τα ξαφνικά πηδήµατα στις τιµές του ιονοσφαιικού υπόλοιπου. Το πόβληµα είναι να ποσδιοιστεί σε ποια συχνότητα συνέβη η ολίσθηση των κύκλων, στην L, στην L ή και στις δύο. Μία άλλη ποσότητα που χησιµεύει στην ανίχνευση είναι ο συνδυασµός από µετήσεις φάσης και κώδικα. Έτσι θα έχουµε ότι j j j i i i in + ( t) p ( t) + c dt ( t) + d ( t) d ( t) (.) tp j j j j j λ Φ ( t) ( t) Φ ( t) + c dt ( t) + λn ( t) d ( t) d ( t) (.5) i i i i i in + αφαιώντας και πάλι τις δύο σχέσεις καταλήγουµε στην εξίσωση: j j () t () t λν ( t) d () t j i i i λ Φ (.6) in Οι αλλαγές της ιονοσφαιικής επίδασης θα είναι οµαλές για µικά διαστήµατα εποχών. Επίσης µε την εφαµογή των διπλών διαφοών η d in (t) σχεδόν απαλείφεται. Εποµένως ο συνδυασµός των µετήσεων µε κώδικα και φάση θεωείται ο ιδανικότεος για τον εντοπισµό της ολίσθησης των κύκλων. tp

26 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) 5.. Τεχνικές διόθωσης της ολίσθησης των κύκλων. Όλες οι τεχνικές που αναφέθηκαν πααπάνω µας βοηθούν να εντοπίσουµε πότε συνέβη το φαινόµενο της ολίσθησης των κύκλων, ενώ παάλληλα µας δίνουν και µία ποσεγγιστική τιµή για το µέγεθος αυτών. Πέπει να τονιστεί ότι το µέγεθος των ακεαίων κύκλων θα πέπει να είναι ακέαιος αιθµός. Για τον ακιβή λοιπόν ποσδιοισµό του αιθµού των ακεαίων κύκλων εφαµόζονται οι παακάτω τεχνικές. Θέτουµε µε (t i ), i,,,... 7 τη χονική σειά των παατηήσεων, η οποία πειέχει µία ολίσθηση µεγέθους ε στην εποχή t, όπως φαίνεται γαφικά στο σχήµα που ακολουθεί (Σχ..). Στο παακάτω σχήµα συµβολίζουµε µε,,, τις διαφοές πώτης, δεύτεης, τίτης και τέτατης τάξης αντίστοιχα. Αντικαθιστώντας όπου (t i ) την αντίστοιχη µέτηση της φάσης και θεωώντας ε την ολίσθηση των κύκλων τότε εφαµόζοντας τις αντίστοιχες διαφοές γίνεται πλέον φανεή η ύπαξη των κύκλων. Μια µέθοδος ποσδιοισµού του µεγέθους των κύκλων είναι να εφαµόσουµε µία καµπύλη πάνω στις ελεγχόµενες ποσότητες (πχ. µετήσεις φάσης) πιν και µετά την ολίσθηση. Ο αιθµός των κύκλων θα ποκύψει από τη µετάθεση-διαφοά των δύο καµπύλων. Η εφαµογή της καµπύλης µποεί να γίνει µε µια απλή γαµµική παλινδόµηση (Made, 986) ή µε την εφαµογή µιας µεθόδου ελαχίστων τεταγώνων (Beutle et al. 98). Αυτές οι τεχνικές ονοµάζονται τεχνικές παεµβολών. Άλλες µέθοδοι είναι οι τεχνικές πόγνωσης των φίλτων Kalman (Kalman filteing). t t (t t ) 5 6 t t ε t ε -ε ε -ε 6ε t ε -ε ε -ε ε -ε t 5 ε -ε t 6 ε t 7 ε Σχήµα. : Ανίχνευση της ολίσθησης κύκλων µε απλές, διπλές, τιπλές και τεταπλές διαφοές.

27 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) 55 Μία επίσης διαδεδοµένη µέθοδος για τη διόθωση της ολίσθησης κύκλων είναι αυτή που αναπτύχθηκε από τον Hilla (986) και αποτελείται από δύο µέη. Το πώτο µέος έχει σαν σκοπό τη διόθωση του µεγάλου µέους των χαµένων κύκλων και αυτό διότι έχει ακίβεια ολίγων κύκλων, και το δεύτεο µέος να διοθώσει τους λίγους κύκλους που έχουν πααµείνει µε την βοήθεια των διπλών διαφοών. Η διαδικασία έχει ως εξής: ' ' ' ' Έστω οι µετήσεις φάσεων Φ,Φ,Φ,... Φ και έστω µε Φ, Φ, Φ,, Φ η οι αναµενόµενες φάσεις που υπολογίζονται από τις γνωστές θέσεις των δουφόων και τις ποσεγγιστικές συντεταγµένες του σηµείου παατήησης. Στη συνέχεια εφαµόζονται και για τις δύο σειές µετήσεων οι πώτες, δεύτεες αλλά και οι διαφοές µεταξύ των δεύτεων διαφοών τους, όπως φαίνεται και από τον πίνακα που ακολουθεί (Πίνακας.). Οι διαφοές D Φ και των δύο σειών (Φ και Φ ) που είναι στην τελευταία στήλη του πίνακα θα πέπει να είναι της τάξης των λίγων κύκλων, στην πείπτωση που στις µετήσεις των φάσεων δεν έχουν συµβεί ολισθήσεις κύκλων (ccle lip) και οι ποβλεπόµενες φάσεις είναι ικανοποιητικά ακιβείς. Σε πείπτωση που εµφανιστεί µία µεγάλη τιµή στις πααπάνω διαφοές, τότε υπάχει µεγάλη πιθανότητα για την ύπαξη µεγάλου αιθµού από χαµένους κύκλους. Έτσι φαίνεται και το ότι αυτές οι διαφοές (D Φ) µποούν να εντοπίσουν ολισθήσεις κύκλων µεγαλύτεες από ένα σχετικά µικό αιθµό. Ένας χαµένος κύκλος µποεί να οισθεί ως ΦΦ Φ όπου Φ είναι η άγνωστη παγµατική τιµή φάσης που θα µετούσαµε αν δεν συνέβαινε η ολίσθηση και Φ η παατηούµενη φάση επηεασµένη από ένα χαµένο κύκλο. Υποθέτοντας ότι το χάσιµο γίνεται σε µία µέτηση π.χ. Φ, τότε θα έχουµε Φ Φ - Φ και Φ Φ Φ Φ Φ Φ D Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ + Φ Φ Φ Φ + Φ (Φ Φ ) (Φ Φ ) + (Φ Φ ) Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ + Φ Φ Φ Φ + Φ (Φ Φ ) (Φ Φ ) + (Φ Φ ) Φ Φ Φ Φ Φ Φ Πίνακας.. ιόθωση της ολίσθησης κύκλων µε τη χήση πώτων και δεύτεων διαφοών.

28 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) 56 D Φ() (Φ -Φ ) -(Φ -Φ )+(Φ -Φ ) (Φ -Φ )-((Φ -Φ )+( Φ -Φ )- Φ Φ (.7) όπου Φ ο αιθµός των χαµένων κύκλων. Από την τίτη εποχή και µετά όλες οι µετήσεις φέουν τον ίδιο αιθµό χαµένων κύκλων Φ, δηλαδή D Φ() (Φ -Φ ) -(Φ -Φ )+(Φ -Φ ) (Φ -Φ )-((Φ -Φ )+( Φ -Φ )- Φ Φ (.8) Ποφανώς, θα ισχύει ότι οι διαφοές D Φ(i) για i, δεν θα είναι επηεασµένες από την ποσότητα Φ. Εποµένως, ποκύπτει το συµπέασµα ότι εάν µία ολίσθηση κύκλων συµβαίνει σε µία εποχή (t) θα εµφανίζεται σε δύο ακόµη συνεχόµενες εποχές µε αντίθετο όµως πόσηµο. Εάν µία ολίσθηση συµβαίνει σε δύο διαδοχικές εποχές, έστω στις εποχές και, τότε θα έχουµε ότι: D Φ() - Φ, D Φ() Φ - Φ, D Φ() Φ. Οι διαφοές D Φ(i) µε i δεν θα επηεάζονται από τις ποσότητες Φ και Φ. Οµοίως, εάν ένα χάσιµο κύκλων συµβαίνει σε τεις συνεχόµενες εποχές, τότε οι διαφοές από D Φ(i) µε i 5 δεν θα είναι επηεασµένες από τον αιθµό των χαµένων κύκλων. Η ακίβεια της πααπάνω µεθόδου µποεί να ανιχνεύσει και να διοθώσει την ολίσθηση των κύκλων µε µια ακίβεια ολίγων κύκλων και αυτό γιατί η ακίβεια της επηεάζεται από την ακίβεια των εκπεµπόµενων εφηµείδων και των ποσεγγιστικών συντεταγµένων του σηµείου παατήησης... ιόθωση ολίγων κύκλων. Ποκειµένου να µποέσει να διοθωθεί ένας χαµένος κύκλος, ο οποίος είναι πάντα ακέαιος, πέπει το επίπεδο του θούβου που υπάχει στις µετήσεις φάσεων να είναι µικό και πάντα µικότεο από ένα κύκλο. Σε πείπτωση που ο θόυβος των µετήσεων είναι επί πααδείγµατι ίσος µε. κύκλους τότε είναι πολύ δύσκολο να ξεχωίσουµε πιο µέος των κύκλων ανήκει στο «χαµένο» ακέαιο κοµµάτι και πιο στο θόυβο. Βέβαια ο θόυβος των µετήσεων είναι συνήθως µικότεος των. κύκλων οπότε και δεν αντιµετωπίζουµε το πααπάνω πόβληµα. Παόλα αυτά οι αστάθειες που υπάχουν στα ωολόγια των δουφόων και των δεκτών δηµιουγούν ένα θόυβο στις µετήσεις των φάσεων της τάξης των ολίγων κύκλων από εποχή σε εποχή. Αυτό αποκλείει την πιθανότητα διόθωσης των χαµένων κύκλων χησιµοποιώντας µετήσεις από τη µια µόνο συχνότητα (L) τις απλές και διπλές διαφοές φάσης (βλ. Παάγαφο.). Εφαµόζοντας διπλές και τιπλές διαφοές απαλείφουµε την επίδαση των ολογιών δουφόου και δέκτη και έτσι οι πααπάνω διαφοές µποούν να ανιχνεύσουν το χάσιµο µικών τιµών κύκλων. Από αυτές, η µέθοδος που χησιµοποιείται συνήθως είναι αυτή των διπλών διαφοών. Μία ολίσθηση κύκλου θα επιφέει ένα πήδηµα -µία απότοµη µεταβολή- στις εκτιµήσεις των σφαλµάτων των διπλών διαφοών για την εποχή στην οποία συνέβη. Στο σχήµα που

29 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) 57 ακολουθεί (Σχ..) φαίνονται οι εκτιµήσεις σφαλµάτων των διπλών διαφοών για τα πέντε κανάλια ενός δέκτη GPS. Όπως φαίνεται σε ένα από τα κανάλια (κανάλι 5) έχει συµβεί ολίσθηση κύκλων, όπου και έχουµε µια απότοµη µεταβολή των σφαλµάτων. Έχοντας λοιπόν ανιχνεύσει την ολίσθηση κύκλων από τις απότοµες αλλαγές των σφαλµάτων, το επόµενο βήµα είναι η συµπλήωση της αντίστοιχης παατήησης µε το χαµένο αιθµό αυτών. Στη συνέχεια η επίλυση των διαφοών επαναλαµβάνεται µε σκοπό τον έλεγχο της πααπάνω τεχνικής. σ mea Κανάλι 5 Κανάλι Κανάλι Κανάλι Κανάλι t Κανάλι 5 Ολίσθηση κύκλων Σχήµα.: ιάγαµµα ολίσθησης κύκλων (παατηήστε ότι δεν γνωίζουµε τον ακέαιο αιθµό κύκλων που χάθηκαν κατά την ολίσθηση κύκλων)... Ο όλος των τιπλών διαφοών στην ανίχνευση και διόθωση της ολίσθησης των κύκλων. Οι τιπλές διαφοές φάσης, οι οποίες είναι διαφοές διπλών διαφοών αλλά µεταξύ δύο (συνήθως συνεχόµενων) διαφοετικών χονικών εποχών π.χ. t και t µποούν να χησιµοποιηθούν στο στάδιο της ποεπεξεγασίας των δεδοµένων. Στο στάδιο αυτό, ένα από τα κύια σηµεία που ενδιαφέουν είναι ο εντοπισµός και η διόθωση των χαµένων κύκλων. Εάν λοιπόν µέσα σε ένα χονικό διάστηµα t,t οι δέκτες δεν έχουν χάσει το δουφοικό σήµα τότε (όπως αναφέθηκε και ποηγουµένως) δεν θα υπάχουν χαµένοι κύκλοι οπότε και οι εκτιµήσεις των σφαλµάτων δεν θα παουσιάζουν µεγάλα πηδήµατα. Εάν όµως συµβαίνει το αντίθετο, τότε οι αντίστοιχες τιπλές διαφοές θα παουσιάζουν

30 Εφαµογές Παγκοσµίου ουφοικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) 58 και αυτές απότοµες µεταβολές αλλά σε µία µόνο διαφοά (ή σε κάθε µία από αυτές). Αυτό είναι και το πλεονέκτηµα των τιπλών διαφοών έναντι των διπλών διαφοών, δηλαδή ένας µη εντοπιζόµενος κύκλος θα επηεάζει µόνο µία τιπλή διαφοά και όχι και όλες τις επόµενες όπως συµβαίνει µε τις διπλές διαφοές. Ένα γαφικό παάδειγµα φαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί (Σχ..5). Χόνος Τ Χόνος Σχήµα.5: ιπλές και τιπλές διαφοές µετήσεων φάσης για τον εντοπισµό των χαµένων κύκλων.. Γαµµικά µοντέλα για απόλυτο ποσδιοισµό σηµείου µε µετήσεις κωδικών Σύµφωνα µε όσα αναφέθηκαν πααπάνω η απόσταση µεταξύ δουφόου - δέκτη στο σηµείο A (βλ. Σχ..6) για την χονική στιγµή (t k ) θα ισούται µε ( tk ) p ( tk ) + c( dt dt ) + dtp + din + εp (.9) όπου µε συµβολίζεται ο δουφόος (atellite) και µε ο δέκτης (eceive). Εξαιείται το ιονοσφαιικό και τοποσφαιικό σφάλµα και το θόυβο των µετήσεων ο οποίος θεωούµε ότι λόγω της τυχαίας φύσης του -andm- θα εκτιµηθεί µε τα υπόλοιπα σφάλµατα στη διαδικασία της συνόθωσης. Τα διανύσµατα θέσης του δουφόου και του δέκτη σε ένα τισοθογώνιο κατεσιανό σύστηµα αναφοάς θα δίνονται ως X και R X (.)

Υπολογισμός γεωστροφικών ρευμάτων με τη χρήση δεδομένων από CTD. Σύγκριση με αποτελέσματα από A.D.C.P. & Drifters.

Υπολογισμός γεωστροφικών ρευμάτων με τη χρήση δεδομένων από CTD. Σύγκριση με αποτελέσματα από A.D.C.P. & Drifters. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΘΑΛΑΣΣΑΣ Υπολογισμός γεωστοφικών ευμάτων με τη χήση δεδομένων από CTD. Σύγκιση με αποτελέσματα από A.D.C.P. & Drifters. ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ (Επιβλέπων:

Διαβάστε περισσότερα

Επανέλεγχος ηλεκτρικής εγκατάστασης

Επανέλεγχος ηλεκτρικής εγκατάστασης Επανέλεγχος ηλεκτικής εγκατάστασης Οδηγίες διεξαγωγής μετήσεων και δοκιμών για επανελέγχους ηλεκτικών εγκαταστάσεων με τη χήση σύγχονων ογάνων 1. Εισαγωγή στις απαιτήσεις των επανελέγχων Τα οφέλη του τακτικού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματι ά ατεύθυνσης

Μαθηματι ά ατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματι ά ατεύθυνσης Ο Κύκλος Θεωία Μεθοδολογία -Ασκήσεις Σ υ ν ο π τ ι κ ή Θ ε ω ί α Ονομασία Διατύπωση Σχόλια Σχήμα Α. Κύκλος Οισμός: Ονομάζεται κύκλος με κέντο Ο και ακτίνα το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ 10. Aεροδυναµική Στερεών Σωµάτων

ΠΕΙΡΑΜΑ 10. Aεροδυναµική Στερεών Σωµάτων ΠΕΙΡΑΜΑ 10 Aεοδυναµική Στεεών Σωµάτων Σκοπός του πειάµατος Σκοπός του πειάµατος αυτού είναι η µελέτη της αντίστασης που αναπτύσσεται κατά τη σχετική κίνηση ενός αντικειµένου µέσα σε ένα αέιο. Οι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Ερευνητικό ενδιαφέρον. 1.2 Επισηµάνσεις από τη βιβλιογραφία. 1.3 Προσέγγιση λύσης προβληµάτων:

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Ερευνητικό ενδιαφέρον. 1.2 Επισηµάνσεις από τη βιβλιογραφία. 1.3 Προσέγγιση λύσης προβληµάτων: . Εευνητικό ενδιαφέον. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Επισηµάνσεις από τη βιβλιογαφία α) Ελλιπείς γνώσεις των πολύπλοκων φυσικών διεγασιών β) Ελάχιστα εφαµόζονται οι νόµοι της Μηχανικής των Ρευστών γ)ελάχιστα βιβλία διεθνώς

Διαβάστε περισσότερα

Χειμερινό εξάμηνο 2007 1

Χειμερινό εξάμηνο 2007 1 ΜΜΚ 3 Μεταφοά Θεμότητας Φυσική Συναγωγή ΜΜΚ 3 Μεταφοά Θεμότητας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Πααγωγής ΜΜK 3 Μεταφοά Θεμότητας Φυσική Συναγωγή (r convction) Στα ποηγούμενα ύο κεφάλαια ασχοληθήκαμε

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: ΣΕΙΡ: (ΛΥΣΕΙΣ) ΘΕΜ Οδηγία: Να γάψετε στο τετάδιό σας τον αιθμό καθεμιάς από τις παακάτω εωτήσεις -4 και δίπλα το γάμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση..

Διαβάστε περισσότερα

Απόδειξη. Θέτουµε τώρα δ= Απόδειξη. 1 συν. 4α + 4β. 3. Απόδειξη Σύµφωνα µε την 2 έχουµε. οπότε προκύπτει. και τελικά

Απόδειξη. Θέτουµε τώρα δ= Απόδειξη. 1 συν. 4α + 4β. 3. Απόδειξη Σύµφωνα µε την 2 έχουµε. οπότε προκύπτει. και τελικά 1., β R ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΕΜΒΑ ΟΥ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΥ ΣΕ ΚΥΚΛΟ a ισχύει ηµα ηµβ ηµ ηµα ηµβ ηµ ηµα ηµβ 1 συν ηµα ηµβ 1- συνα συνβ +ηµα ηµβ συν(α-β) 1 ηµα ηµβ 1- συν (α+β) + γ + δ. α, β, γ, δ (0, π ) ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

1) Ηλεκτρικό πεδίο φορτισμένου φύλλου απείρων διαστάσεων

1) Ηλεκτρικό πεδίο φορτισμένου φύλλου απείρων διαστάσεων 1) Ηλεκτικό πεδίο φοτισμένου φύλλου απείων διαστάσεων Σε αυτό το εδάφιο θα υπολογιστεί το ηλεκτικό πεδίο παντού στο χώο ενός φοτισμένου λεπτού φύλλου απείων διαστάσεων και αμελητέου πάχους όπως αυτό που

Διαβάστε περισσότερα

3. Αρμονικά Κύματα Χώρου και Επιφανείας. P, S, Rayleigh και Love

3. Αρμονικά Κύματα Χώρου και Επιφανείας. P, S, Rayleigh και Love 3. Αμονικά Κύματα Χώου και Επιφανείας P, S, Rayleigh και Lve ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3. Κύματα (P & S) σε ομοιογενή χώο 3. Κύματα σε ανομοιογενή μέσα με δι-επιφάνεια 3.3. Επιφανειακά κύματα Πόσθετο ιάβασμα Steven

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη της Άνωσης. Α = ρ υγρού g V βυθ..

Μελέτη της Άνωσης. Α = ρ υγρού g V βυθ.. Μελέτη της Άνωσης F 1 h 1 h 2 Α) Η Άνωση οφείλεται στην βαύτητα. Αν ένα σώμα βίσκεται μέσα σε υγό με πυκνότητα υγού η επάνω επιφάνειά του με εμβαδό S δέχεται δύναμη F 1 = P 1 S και η ίσου εμβαδού κάτω

Διαβάστε περισσότερα

Θέµα: Εφαρµογές Παγκόσµιου ορυφορικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) Καρπούζας Ηρακλής Μάρτιος 2008

Θέµα: Εφαρµογές Παγκόσµιου ορυφορικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) Καρπούζας Ηρακλής Μάρτιος 2008 Θέµα: Εφαρµογές Παγκόσµιου ορυφορικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) Καρπούζας Ηρακλής Μάρτιος 2008 ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΟΡΥΦΟΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ ΘΕΣΗΣ GLOBAL POSITIONING SYSTEM (GPS) ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Γενικά

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Ασκήσεις

Μάθηµα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Ασκήσεις Μάθηα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 7 ου εξαήνου ΣΕΜΦΕ ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΙΚΤΥΩΝ Ασκήσεις Αποστέλλονται πακέτα σταθεού ήκους ytes από τον κόβο # στον κόβο #4 έσω των κόβων # και #3 σε σειά, όπως

Διαβάστε περισσότερα

1 r ολοκληρώνοντας αυτή τη σχέση έχουµε:

1 r ολοκληρώνοντας αυτή τη σχέση έχουµε: Σελ-- ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ Α.Σ.Ε.Π 998 ΕΡΩΤΗΜΑ ο Με βάση τα χαακτηιστικά των βαυτικών δυνάµεων, ποια µεγέθη συµπεαίνετε ότι διατηούνται κατά τη κίνηση των πλανητών υπό την επίδαση

Διαβάστε περισσότερα

H 2 + x 2 cos ϕ. cos ϕ dϕ =

H 2 + x 2 cos ϕ. cos ϕ dϕ = . Άπειη γαμμική κατανομή ϕοτίου λ Θεωούμε την γαμμική κατανομή ϕοτίου στον άξονα των x και ζητάμε το ηλεκτικό πεδίο στο σημείο A που απέχει από την κατανομή. Το στοιχειώδες τμήμα dx της κατανομής στη θέση

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχει σηµείο χ 0 τέτοιο ώστε να ισχύει..

Υπάρχει σηµείο χ 0 τέτοιο ώστε να ισχύει.. Υπάχει σηµείο χ 0 τέτοιο ώστε να ισχύει.. ( ή διαφοετικά πεί ιζών εξίσωσης ) I. Για να δείξουµε ότι µια εξίσωση f(χ)=0 έχει µία τουλάχιστον ίζα στο διάστηµα (α, β) µποούµε να εγασθούµε ως εξής: 1 0ς τόπος:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Προσοµοιώσεις

Κεφάλαιο Προσοµοιώσεις Κεφάλαιο 4 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Όλες οι ακιβείς επιστήµες κυιαχούνται από την ιδέα της ποσέγγισης. Bertrad Russell 4. Ποσοµοιώσεις Σκοπός του παόντος κεφαλαίου είναι η παουσίαση της υπολογιστικής ποσέγγισης

Διαβάστε περισσότερα

Να βρίσκουμε τις σχετικές θέσεις δύο κύκλων, όταν γνωρίζουμε τις ακτίνες τους και το μήκος της διακέντρου.

Να βρίσκουμε τις σχετικές θέσεις δύο κύκλων, όταν γνωρίζουμε τις ακτίνες τους και το μήκος της διακέντρου. Ενότητα 6 Κύκλος Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να βίσκουμε τις σχετικές θέσεις δύο κύκλων, όταν γνωίζουμε τις ακτίνες τους και το μήκος της διακέντου. Να αποδεικνύουμε και να εφαμόζουμε τις σχέσεις εγγεγαμμένων

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις IV: Μαθηματικά Υπολογιστικής Τομογραφίας

Σημειώσεις IV: Μαθηματικά Υπολογιστικής Τομογραφίας HY 673 - Ιατική Απεικόνιση Στέλιος Οφανουδάκης Κώστας Μαιάς Σημειώσεις IV: Μαηματικά Υπολογιστικής Τομογαφίας Σεπτέμβιος 2003-Φεβουάιος 2004 Αχές Υπολογιστικής Τομογαφίας 1. Η ανάγκη απεικόνισης στις 3-Διαστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εύρωστοι Γεωμετρικοί Αλγόριθμοι Robust algorithms in Computational Geometry

Εύρωστοι Γεωμετρικοί Αλγόριθμοι Robust algorithms in Computational Geometry ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Εύωστοι Γεωμετικοί Αλγόιθμοι Roust lgorithms in Computtionl Geometr Ζαχάου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Θεωρίας Αναμονής

Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Θεωρίας Αναμονής Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Θεωίας Αναμονής Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Γιάννης Γαοφαλάκης Αν. Καθηγητής Οισμός συστημάτων αναμονής Συστήματα αναμονής (Queueing Syses): Συστήματα στα οποία οι αφίξεις

Διαβάστε περισσότερα

= = σταθ. Ι. που είναι. Η ροπή αδράνειας ενός σώματος μετρά την κατανομή της μάζας γύρω από τον άξονα περιστροφής, έτσι όσο

= = σταθ. Ι. που είναι. Η ροπή αδράνειας ενός σώματος μετρά την κατανομή της μάζας γύρω από τον άξονα περιστροφής, έτσι όσο Απαντήσεις ΘΕΜΑ Α Α. γ, Α. α, Α3. γ, Α4. α, Α5. Σ, Λ, Λ, Λ, Σ. ΘΕΜΑ Β Β. Σωστή απάντηση είναι η γ. Σε μία τυχαία θέση θα έχουμε: Στ = τf τ w = F g ηµθ θ F Στ = ( c + 0,5g ηµθ) g ηµ θ = c = σταθ. g Άα λοιπό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι Ν. ΔΕΡΒΑΚΟΥ Σημειώσεις Πααδόσεων Αθήνα 23 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Ι. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασική Δομή Ποβλημάτων Αναμονής Σύστημα Αναμονής Πηγή ποσέλευσης

Διαβάστε περισσότερα

x όπου Ε είναι η ολική ενέργεια ανά µονάδα µάζας και Η είναι η ολική ενθαλπία για τις οποίες ισχύει

x όπου Ε είναι η ολική ενέργεια ανά µονάδα µάζας και Η είναι η ολική ενθαλπία για τις οποίες ισχύει ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΕΡΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Κ.Χ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Αν. Καθηγητής, Τοµέας Ρευστών, Σχολή Μηχανολόγων Ε.Μ.Π. ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ EULER ιαφοετικές Γαφές των Εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΚΤΥΑ ΚΙΝΗΤΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΩΠΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Ασκήσεις για το ασύρματο

Διαβάστε περισσότερα

4. Μετρήσεις GPS Προβλήµατα

4. Μετρήσεις GPS Προβλήµατα 4. Μετρήσεις GPS Προβλήµατα 4.1. Μέθοδοι µετρήσεων. Η µέθοδος που θα χρησιµοποιήσουµε για τον προσδιορισµό θέσης µε το GPS εξαρτάται κυρίως από την ακρίβεια που απαιτείται σε κάθε εφαρµογή και από τον

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΕΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΑΠΛΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΜΕ ΠΕΛΑΤΕΣ ΠΟΥ ΑΠΟΘΑΡΡΥΝΟΝΤΑΙ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΕΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΑΠΛΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΜΕ ΠΕΛΑΤΕΣ ΠΟΥ ΑΠΟΘΑΡΡΥΝΟΝΤΑΙ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΕΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΑΠΛΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΜΕ ΠΕΛΑΤΕΣ ΠΟΥ ΑΠΟΘΑΡΡΥΝΟΝΤΑΙ ιατιβή που υπεβλήθη για την µεική ικανοποίηση των απαιτήσεων για την απόκτηση Μεταπτυχιακού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΕΙΩΣΗΣ

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΕΙΩΣΗΣ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΕΙΩΣΗΣ M. Λοέντζου* Γ. Γεωγαντζής Ν. Χατζηαγυίου ΕΣΜΗΕ Α.Ε. / Ε ΑΣΣ ΕΗ Α.Ε. / ΚΣ Ε.Μ.Π. / ΣΜΗ&ΜΥ Στόχος του σχεδιασµού των συστηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΜΕΡΚΑΤΟΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΜΕΡΚΑΤΟΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΜΕΡΚΑΤΟΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ Οι σχέσεις της Εγκάσιας Μεκατοικής Ποβοής στο εειψοειδές µποούν να ποκύψουν από την Εγκάσια Ισαπέχουσα Ποβοή Cassii εαµόζοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ κατεύθυνση Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Εφαρμογές Παγκοσμίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ιπλωµατική Εγασία : ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΩ ΙΚΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΞΟΝΟΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΕ ΙΩΝ ΡΟΗΣ ΓΙΑ ΟΜΗΜΕΝΑ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Doppler Radar. Μεταφορά σήµατος µε την βοήθεια των µικροκυµάτων.

Doppler Radar. Μεταφορά σήµατος µε την βοήθεια των µικροκυµάτων. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 101 10. Άσκηση 10 Doppler Radar. Μεταφορά σήµατος µε την βοήθεια των µικροκυµάτων. 10.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

Δορυφορική Γεωδαισία (GPS)

Δορυφορική Γεωδαισία (GPS) Τίτλος Μαθήματος ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ Δορυφορική Γεωδαισία (GPS)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Εισαγωγή στα ροϊκά φαινόμενα

Κεφάλαιο 2 Εισαγωγή στα ροϊκά φαινόμενα Κεφάλαιο Εισαγωγή στα οϊκά φαινόμενα Σύνοψη Η έννοια του ανοικτού συστήματος (όγκος ελέγχου) Ρυθμός μεταβολής των ιδιοτήτων του συστήματος Νόμος της συνέχειας Νόμος της ομής (δυνάμεις) Γενικευμένη εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Κυματική οπτική. Συμβολή Περίθλαση Πόλωση

Κυματική οπτική. Συμβολή Περίθλαση Πόλωση Κυματική οπτική Η κυματική οπτική ασχολείται με τη μελέτη φαινομένων τα οποία δεν μπορούμε να εξηγήσουμε επαρκώς με τις αρχές της γεωμετρικής οπτικής. Στα φαινόμενα αυτά περιλαμβάνονται τα εξής: Συμβολή

Διαβάστε περισσότερα

7. To GPS και άλλα συστήµατα GNSS

7. To GPS και άλλα συστήµατα GNSS 7. To GPS και άλλα συστήµατα GNSS 7.1 GPS και άλλα συστήµατα προσδιορισµού θέσης GNSS Παράλληλα µε το GPS η πρώην Σοβιετική Ένωση προχώρησε στη δηµιουργία ενός παρόµοιου συστήµατος προσδιορισµού θέσης

Διαβάστε περισσότερα

_ Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Ηλεκτρολογίας

_ Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Ηλεκτρολογίας _ Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαμογών Τμήμα Ηλεκτολογίας Υπετάσεις και Απαιτήσεις Μόνωσηςί \Λ - 'V k - O 6 Μια πειοχή μεγάλης σημαοτίας κατά το σχεδίασμά συστημάτων ισχύος είναι η μελέτη των απαιτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ

ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Διδάσκων: Δρ. Εμμανουήλ Θ. Μιχαηλίδης Διάλεξη #5 Φαινόμενα και Μηχανισμοί Διάδοσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο. 7.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ω ΜΕ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο. 7.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ω ΜΕ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙ 7.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΣ ω ΜΕ o ω 18 o 1. Πώς οίζονται οι τιγωνομετικοί αιθμοί μίας οξείας γωνίας σε οθογώνιο τίγωνο; ΠΝΤΗΣΗ Γ β α γ Το ημίτονο της οξείας γωνίας σε οθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάληψη αξονικού φορτίου από πάσσαλο

Ανάληψη αξονικού φορτίου από πάσσαλο ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «Αλληλεπίδαση Εδάφους Κατασκευής» 8 ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 6 7 Διδάσκοντες : Γ. Γκαζέτας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση Γεωµετρική θεώρηση του Φωτός Ανάκλαση ηµιουργίαειδώλουαπόκάτοπτρα. είκτης ιάθλασης Νόµος του Snell Ορατό Φάσµα και ιασπορά Εσωτερική ανάκλαση Οπτικές ίνες ιάθλαση σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) Μάθηµα 8 ο ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN

( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) Μάθηµα 8 ο ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN Γαµµική Άλγεβα ΙΙ Σελίδα από Μάθηµα 8 ο ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDN Έστω λ είναι ιδιοτιµή του ν ν πίνακα, αλγεβικής πολλαπλότητας ν > Ένα διάνυσµα τάξης x, διάφοο του µηδέν, ονοµάζεται γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα,,

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Η Επιδοµή της Γραµµής

4.4 Η Επιδοµή της Γραµµής 4. Η Υποδοµή της Γαµµής Η κατασκευή που βίσκεται κάτω από την επιδοµή, ονοµάζεται υποδοµή ή υπόβαση και αποτελείται από την στώση διαµόφωσης και την κυίως υποδοµή ή υπόβαση ή έδαφος θεµελίωσης. 4.4 Η Επιδοµή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 14. έκδοση DΥΝI-EXC b

ΑΣΚΗΣΗ 14. έκδοση DΥΝI-EXC b ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 14 έκδοση DΥΝI-EXC14-016b Copyright Ε.Μ.Π. - 016 Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Να διαβάσετε τις σελίδες 98 έως και 103 του σχολικού βιβλίου. Να προσέξετε ιδιαίτερα τα σχήµατα 5.4, 5.5, 5.9 και 5.13. Να γράψετε τις µαθηµατικές σχέσεις που δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Εντοπισμού Θέσης (GPS) Εργαστηριακές σημειώσεις. ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Γεωπληροφορικής και Τοπογραφίας

Εντοπισμού Θέσης (GPS) Εργαστηριακές σημειώσεις. ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Γεωπληροφορικής και Τοπογραφίας ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ Σχολή Τεχνολογικών Εφαμογών Τμήμα Γεωπληοφοικής και Τοπογαφίας Εφαμογές Παγκοσμίου Δουφοικού Συστήματος Εντοπισμού Θέσης (GPS) Κωδικός Μαθήματος 5 Εγαστηιακές σημειώσεις Ε Εξάμηνο Ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Συµβολή - Στάσιµα κύµατα.

Συµβολή - Στάσιµα κύµατα. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 47 4. Άσκηση 4 Συµβολή - Στάσιµα κύµατα. 4.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε το φαινόµενο της συµβολής των κυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο31 Εξισώσεις Maxwellκαι ΗλεκτροµαγνητικάΚύµατα. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο31 Εξισώσεις Maxwellκαι ΗλεκτροµαγνητικάΚύµατα. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο31 Εξισώσεις Maxwellκαι ΗλεκτροµαγνητικάΚύµατα ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου 31 Τα µεταβαλλόµενα ηλεκτρικά πεδία παράγουν µαγνητικά πεδία. Ο Νόµος του Ampère-Ρεύµα µετατόπισης Νόµος του Gauss s στο µαγνητισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΙΚΤΥΑ ΚΙΝΗΤΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΩΠΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Ασκήσεις για τη διαχείιση

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 14.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 14. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εγαστήιο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 4. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ

6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ 6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Είναι φυικό ότι ο δειγματικός υντελετής R, ως μια τατιτική υνάτηη, είναι μιά τυχαία μεταβλητή. Οπως είπαμε ήδη μποεί να χηιμοποιηθεί αν εκτιμήτια του. Για να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΑΣΘΕΝΗΣΗ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

ΕΞΑΣΘΕΝΗΣΗ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΕΞΑΣΘΕΝΗΣΗ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ Διάδοση κυλινδικού κύματος Καταγαφή σεισμού (Μ5.9) σε διαφοετικό πειβάλλον εξασθένησης ΗΕΞΑΣΘΕΝΗΣΗΤΩΝΕΛΑΣΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΟ ΜΕΣΟ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΑΠΟΣΒΕΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Όλα τα θέματα των εξετάσεων έως και το 2014 σε συμβολή, στάσιμα, ηλεκτρομαγνητικά κύματα, ανάκλαση - διάθλαση Η/Μ ΚΥΜΑΤΑ. Ερωτήσεις Πολλαπλής επιλογής

Όλα τα θέματα των εξετάσεων έως και το 2014 σε συμβολή, στάσιμα, ηλεκτρομαγνητικά κύματα, ανάκλαση - διάθλαση Η/Μ ΚΥΜΑΤΑ. Ερωτήσεις Πολλαπλής επιλογής Η/Μ ΚΥΜΑΤΑ 1. Τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα: Ερωτήσεις Πολλαπλής επιλογής α. είναι διαµήκη. β. υπακούουν στην αρχή της επαλληλίας. γ. διαδίδονται σε όλα τα µέσα µε την ίδια ταχύτητα. δ. Δημιουργούνται από

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Κινητών και Προσωπικών Επικοινωνιών

Δίκτυα Κινητών και Προσωπικών Επικοινωνιών Δίκτυα Κινητών και Προσωπικών Επικοινωνιών Ασύρματο Περιβάλλον στις Κινητές Επικοινωνίες Άγγελος Ρούσκας Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Πανεπιστήμιο Πειραιώς Ραδιοδίαυλοι Απαραίτητη η γνώση των χαρακτηριστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ Υ ΡΑΥΛΙΚΗΣ Ακ. Έτος 0-. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΑΠΩΛΕΙΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ. Γενικά - αντικείµενο του πειάµατος Οι αγωγοί υπό πίεση αποτελούν ένα από τα βασικά αντικείµενα των Πολιτικών

Διαβάστε περισσότερα

University of Crete. School of Science Department of Mathematics. Master Thesis. Lie Groups, Lie Algebras and the Hydrogen Atom

University of Crete. School of Science Department of Mathematics. Master Thesis. Lie Groups, Lie Algebras and the Hydrogen Atom Πανεπιστήµιο Κήτης Σχολή Θετικών Επιστηµών Τµήµα Μαθηµατικών Μεταπτυχιακή εγασία Le οµάδες, Le άλγεβες και το Άτοµο του Υδογόνου Νίκος Κωνσταντίνου Ανδιανός Επιβλέπων καθηγητής Μιχάλης Κολουντζάκης Ηάκλειο

Διαβάστε περισσότερα

Εργ.Αεροδυναμικής, ΕΜΠ. Καθ. Γ.Μπεργελές

Εργ.Αεροδυναμικής, ΕΜΠ. Καθ. Γ.Μπεργελές ΠΡΟΤΥΠΑ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (Υπολογιστική Ρευστομηχανική-Πεπεασμένες διαφοές) Γ. Μπεγελές Ιανουάιος 6 C 5 4 3 Z 3 3 4 5 6 7 ZC CON:..5..5.3.35.4.45.5.55.6.65.7.75.8.85.9.95 C ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Παάδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Δορυφορική Γεωδαισία (GPS)

Δορυφορική Γεωδαισία (GPS) Τίτλος Μαθήματος ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ Δορυφορική Γεωδαισία (GPS)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά Κυµατικής Είδη κυµάτων: ιαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της ιάδοσης κυµάτων ΗΕξίσωσητουΚύµατος Κανόνας

Διαβάστε περισσότερα

P l+1 (cosa) P l 1 (cosa) 2δ l,0 1

P l+1 (cosa) P l 1 (cosa) 2δ l,0 1 Λεοντσ ίνης Στέφανος Ηλεκτομαγνητισ μός 3 η Σειά Ασ κήσ εων 3 Tο δυναμικό λόγω αζιμουθιακής σ υμμετίας θα έχει τη μοφή φ r, θ [ Al + B l r l+] l cosθ Λόγω l Φ οιακών σ υνθηκών έχω: Φ in r R Φ out r R και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟΥ ΟΡΥΦΟΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ ΘΕΣΗΣ (GPS)

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟΥ ΟΡΥΦΟΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ ΘΕΣΗΣ (GPS) ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟΥ ΟΡΥΦΟΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ ΘΕΣΗΣ (GPS) ιδακτικές σηµειώσεις Γεώργιος

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά

Διαβάστε περισσότερα

2. Τύποι εκτών Είδη Μετρήσεων

2. Τύποι εκτών Είδη Μετρήσεων 2. Τύποι εκτών Είδη Μετρήσεων 2.1 Τύποι δεκτών - Είδη µετρήσεων Οι δέκτες του συστήµατος GPS (Σχ. 2.1) λαµβάνουν τα σήµατα των δορυφόρων και στη συνέχεια υπολογίζουν την απόσταση µεταξύ δορυφόρου δέκτη

Διαβάστε περισσότερα

Διάνυσμα μετατόπισης. Στοιχεία Διανυσματικής Ανάλυσης

Διάνυσμα μετατόπισης. Στοιχεία Διανυσματικής Ανάλυσης Στοιχεία Διανυσματικής νάλυσης Συστήματα Συντεταγμένων (D) Διανυσματικά και αμωτά Μεγέη Πάξεις και ιδιότητες διανυσμάτων Διανυσματικές συνατήσεις Πααγώγιση Διανυσματικών συνατήσεων Ολοκλήωση Διανυσματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscorses.wordpress.com/ Βασικές Έννοιες Ένα σώμα καθώς κινείται περνάει από διάφορα σημεία.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧ. Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Ασύρματη Διάδοση ΑΣΥΡΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΑ. Ευάγγελος Παπαπέτρου

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧ. Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Ασύρματη Διάδοση ΑΣΥΡΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΑ. Ευάγγελος Παπαπέτρου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧ. Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Ασύρματη Διάδοση ΑΣΥΡΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΑ Ευάγγελος Παπαπέτρου Διάρθρωση μαθήματος Ασύρματη διάδοση Εισαγωγή Κεραίες διάγραμμα ακτινοβολίας, κέρδος, κατευθυντικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. Απορρόφυση ακτινοβολίας. Μέρος 1ον : ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά.

ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. Απορρόφυση ακτινοβολίας. Μέρος 1ον : ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 53 ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. Απορρόφυση ακτινοβολίας. 5. Άσκηση 5 5.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ. Εξισώσεις Maxwell Όπως έχουµε, ήδη, αναφέει, ένα ηλεκτοστατικό πεδίο E µποεί να υφίσταται ανεξάτητα από την παουσία ή όχι µαγνητικού πεδίου H, όπως για

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 07 Ορμή Κρούσεις ΦΥΣ102 1

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 07 Ορμή Κρούσεις ΦΥΣ102 1 Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 07 Ορμή Κρούσεις ΦΥΣ102 1 Ορμή και Δύναμη Η ορμή p είναι διάνυσμα που ορίζεται από

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Αστρονομία

Εισαγωγή στην Αστρονομία Παπαδόπουλος Μιλτιάδης ΑΕΜ: 4 Εξάμηο: 7 ο Ασκήσεις: -4 Εισαγωγή στη Αστοομία Έα ομογεές μεσοαστικό έφος έχει μάζα Μ ΜΗ (μία μάζα Ηλίου) και πυκότητα ^ mp/m^ Η πείοδος αξοικής πειστοφής του είαι έτη Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

6.10 Ηλεκτροµαγνητικά Κύµατα

6.10 Ηλεκτροµαγνητικά Κύµατα Πρόταση Μελέτης Λύσε απο τον Α τόµο των Γ. Μαθιουδάκη & Γ.Παναγιωτακόπουλου τις ακόλουθες ασκήσεις : 11.1-11.36, 11.46-11.50, 11.52-11.59, 11.61, 11.63, 11.64, 1.66-11.69, 11.71, 11.72, 11.75-11.79, 11.81

Διαβάστε περισσότερα

4ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 21 εκέµβρη ο Κεφάλαιο - Κύµατα. Ενδεικτικές Λύσεις. Θέµα Α

4ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 21 εκέµβρη ο Κεφάλαιο - Κύµατα. Ενδεικτικές Λύσεις. Θέµα Α 4ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 21 εκέµβρη 2014 Α.1. Τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα : 2ο Κεφάλαιο - Κύµατα Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α (ϐ) υπακούουν στην αρχή της επαλληλίας. Α.2. υο σύγχρονες πηγές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ»

ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ» ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ» 7ο Εξ. ΠΟΛ-ΜΗΧ ΜΗΧ. ΕΜΠ - Ακαδ. Ετος 25-6 ΔΙΑΛΕΞΗ 11 Θεμελιώσεις με πασσάλους : Καθιζήσεις πασσάλων 5.1.26 1. Κατηγοίες πασσάλων 2. Αξονική φέουσα ικανότητα μεμονωμένου

Διαβάστε περισσότερα

Β. ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ

Β. ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ Α. Μια σύντοµη περιγραφή της εργασίας που εκπονήσατε στο πλαίσιο του µαθήµατος της Αστρονοµίας. Β. ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ Για να απαντήσεις στις ερωτήσεις που ακολουθούν αρκεί να επιλέξεις την ή τις σωστές

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Ταχέως Περιστρεφόµενων Αστέρων Νετρονίων

Μοντέλα Ταχέως Περιστρεφόµενων Αστέρων Νετρονίων ιπλωµατική Εγασία Μοντέλα Ταχέως Πειστεφόµενων Αστέων Νετονίων Πασχαλίδης Βασίλειος Α.Ε.Μ.: 1188 Κατεύθυνση Αστονοµίας Αστοφυσικής Επιβλέποντες Καθηγητές: Κ. Κόκκοτας, Ν. Στεγιούλας 8 Ιουλίου 3 Πλάνο Παουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό.

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 91 9. Άσκηση 9 ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. 9.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε τα φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Επιµέλεια. ΣΕΡΑΦΕΙΜ ΚΑΡΑΜΠΟΓΙΑΣ.

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Επιµέλεια. ΣΕΡΑΦΕΙΜ ΚΑΡΑΜΠΟΓΙΑΣ. ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Επιµέλεια. ΣΕΡΑΦΕΙΜ ΚΑΡΑΜΠΟΓΙΑΣ. ΑΘΗΝΑ 9 Τιγωνοµετικοί αιθµοί Γωνία π 6 π 4 π 3 π si ϕ 3 3 os ϕ ϕ 3 3 3. Τιγωνοµετικές ταυτότητες. os ± y os os y si si y. si ± y si os y

Διαβάστε περισσότερα

5. ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΘΑΛΑΣΣΙΝΟΥ ΝΕΡΟΥ- ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΜΑΖΕΣ

5. ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΘΑΛΑΣΣΙΝΟΥ ΝΕΡΟΥ- ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΜΑΖΕΣ 5. ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΘΑΛΑΣΣΙΝΟΥ ΝΕΡΟΥ- ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΜΑΖΕΣ 5.1 Καταστατική Εξίσωση, συντελεστές σ t, και σ θ Η πυκνότητα του νερού αποτελεί καθοριστικό παράγοντα για την κίνηση των θαλασσίων µαζών και την κατακόρυφη

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ Δ. Χαάλαπος Π. Στουθόπουλος Καθηγητής ΣΕΡΡΕΣ, ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΗ, ΑΤΡΙΒΗ (INVISCID) ΡΟΗ

ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΗ, ΑΤΡΙΒΗ (INVISCID) ΡΟΗ ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΗ, ΑΤΡΙΒΗ (INISCID) ΡΟΗ X Ολα τα παγµατικά ευστά έχουν ιξώδες. Οµως τα ευστά συχνά συµπειφέονται σαν ανιξώδη ή άτιβα (inviscid), π.χ. έχουν αµελητέο ιξώδες. Αυτή η πααδοχή απλοποιεί κατά πολύ

Διαβάστε περισσότερα

4ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 21 εκέµβρη ο Κεφάλαιο - Κύµατα

4ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 21 εκέµβρη ο Κεφάλαιο - Κύµατα 4ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 21 εκέµβρη 2014 2ο Κεφάλαιο - Κύµατα Σύνολο Σελίδων: έξι (6) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4

Διαβάστε περισσότερα

Aνάλυση του 10 ου Βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη και τεκµηρίωση της παλινδροµικής περιοδικότητας της ανθυφαίρεσης των τετραγωνικών αρρήτων

Aνάλυση του 10 ου Βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη και τεκµηρίωση της παλινδροµικής περιοδικότητας της ανθυφαίρεσης των τετραγωνικών αρρήτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr

Διαβάστε περισσότερα

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική

Διαβάστε περισσότερα

2 i d i(x(i), y(i)),

2 i d i(x(i), y(i)), Κεφάλαιο 2 Σύγκλιη ακολουθιών και υνέχεια υνατήεων 2.1 Σύγκλιη ακολουθιών Στον Απειοτικό Λογιμό μελετήαμε τη ύγκλιη ακολουθιών παγματικών αιθμών. Με τον όο ακολουθία παγματικών αιθμών εννοούμε κάθε υνάτηη

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ κατεύθυνση Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Εφαρμογές Παγκοσμίου

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ.

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΗ Η/Μ ΚΥΜΑΤΟΣ ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

1. Ανατοκισμός. 2. Ονομαστικό επιτόκιο

1. Ανατοκισμός. 2. Ονομαστικό επιτόκιο Ε5. ΣΥΝΕΧΗΣ ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ-ΠΑΡΟΥΣΕΣ ΑΞΙΕΣ.Ανατοισμός.Ονομαστιό επιτόιο 3.Παγματιό επιτόιο 4.Χόνος διπλασιασμού 5.Συνεχής ανατοισμός 6.Παούσα αξία οής 7.Εξέλιξη δημόσιου χέους 8.Νεολασσιό υπόδειγμα ανάπτυξης

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές Λύσεις Θεμάτων Τελικών Εξετάσεων στη Θεματική Ενότητα ΦΥΕ34

Ενδεικτικές Λύσεις Θεμάτων Τελικών Εξετάσεων στη Θεματική Ενότητα ΦΥΕ34 Κυματική ΦΥΕ34 0/07/0 Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Ενδεικτικές Λύσεις Θεμάτων Τελικών Εξετάσεων στη Θεματική Ενότητα ΦΥΕ34 KYMATIKH Διάρκεια: 80 λεπτά Ονοματεπώνυμο: Τμήμα: Θέμα ο (Μονάδες:.5) Α) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

Γεωγραφικά Συστήµατα Πληροφοριών και Αρχές Τηλεπισκόπησης

Γεωγραφικά Συστήµατα Πληροφοριών και Αρχές Τηλεπισκόπησης Γεωγραφικά Συστήµατα Πληροφοριών και Αρχές Τηλεπισκόπησης Ενότητα: Ο Δορυφορικός Ανιχνευτής Στίγµατος (GPS) Γεώργιος Σκιάνης Γεωλογίας και Γεωπεριβάλλοντος Σελίδα 2 1. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ... 4 2. Ο ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα