ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ. α/α Περιγραφή Ενότητας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ. α/α Περιγραφή Ενότητας"

Transcript

1 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ α/α Περιγραή Ενότητας Σελίδα 1. Εισαγωγή. Μέθοδοι Προσδιορισμού του Γεωγραικού Πλάτους Σημείου 3 α. Με τον Πολικό Αστέρα 3 β. Με τον Προσδιορισμό του Ύψους του Ήλιου πάνω από τον Ορίζοντα...4 γ. Με τη Μέτρηση του Μήκους Σκιάς Πασσάλου κατά τις Ισημερίες 6 δ. Με Βαρομετρική Χωροστάθμηση...6 ε. Με Προσδιορισμό της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας της Γης.8 (1) Με Βαρυτομετρία 8 () Με Μέτρηση της Περιόδου Ταλάντωσης Εκκρεμούς 9 στ. Με Μέτρηση Μεγεθών του Μαγνητικού Πεδίου της Γης...10 ζ. Με τον Τοπογραικό Χάρτη και Όργανα Μετρήσεως Γωνιών Λοιποί Μέθοδοι Προσδιορισμού των Γεωγραικών Συν-νων Σημείου.. 1 α. Υπολογισμός Γεωγραικού Μήκους Σημείου με Βάση τα Τοπικά Ημερολογιακά του Στοιχεία και το Γεωγραικό του Πλάτος.. 1 β. Υπολογισμός των Συν-νων ενός Σημείου με τη Βοήθεια Οργάνων Τύπου GPS (Glbals Psitining Systems) Μετασχηματισμός των Γεωγραικών Συν-νων σε Συν-νες UTM 14 α. Αριθμητικά Δεδομένα της Εγκάρσιας Μερκατορικής Προβολής [Universal Transverse Mercatr (UTM])...14 β. Μέθοδοι Μετασχηματισμού Γεωγραικών Συν-νων σε Συν-νες UTM. 16 (1) Με τη Χρήση GPS 16 () Με Σειρά Μαθηματικών Υπολογισμών..16 (3) Με Κατάλληλο Λογισμικό (Sftware) H/Y..17 Βιβλιογραία..19 Πίνακες 1. Πίνακας απόδοσης υσικών τριγωνομετρικών αριθμών ακεραίων γωνιών του 1ου τεταρτημορίου σε δεκαδική (άρρητη) μορή.. Ενδεικτικός πίνακας απόδοσης τριγωνομετρικών αριθμών συγκεκριμένων ρητών γωνιών του 1ου τεταρτημορίου σε πραγματική μορή. 3. Πίνακας μέσων πυκνοτήτων του ατμοσαιρικού αέρα (d Α ) σε διάορα υψόμετρα (h Α ). 4. Πίνακας μέσων πυκνοτήτων του ατμοσαιρικού αέρα (d Α ) σε διάορες θερμοκρασίες και h=0. 5. Πίνακας μέγιστων τάσεων κορεσμένων ατμών (e s ) νερού και πάγου σε διάορες μονάδες μέτρησης πίεσης και θερμοκρασίες. 6. Πινάκας ταχυτήτων του ήχου (v h ) στον ατμοσαιρικό αέρα σε διάορες θερμοκρασίες και h=0. 7. Ενδεικτικός χρονικός πίνακας ημερών - άσεων και ωρών ανατολής και δύσης σελήνης. 8. Πίνακας διάρκειας λυκαυγούς και λυκόωτος ανά μήνα και παρατηρούμενων αινομένων ανάλογα με το ύψος του ηλίου άνω του ορίζοντα. 9. Πίνακας κατευθύνσεων και ονομασιών ανέμων. 10. Πίνακας αριθμών κλίμακας eaufrt και παρατηρούμενων αινομένων. 11. Διηνεκές ημερολόγιο Πίνακας προσεγγιστικής αντιστοιχίας ημερών ενός ημερολογιακού έτους ανάλογα με τη διάρκεια ημέρας (ίδιες ώρες ανατολής δύσης ηλίου). 13. Ενδεικτικός χρονικός πίνακας ωρών ανατολής - δύσης ηλίου για τον ελλαδικό χώρο (GMT + h, Α =39 ο, λ Α =4 ο ) κατά το έτος Πίνακας βλητικών συντελεστών πιθανών κινήσεων σώματος με αρχική γωνία βολής και αρχική ταχύτητα v 0 στο κενό, μέσα σε βαρυτικό πεδίο g. 15. Βλητικός πίνακας πιθανοτήτων. 16. Πίνακας ακραίων σημείων του ελλαδικού χώρου και μεταξύ τους αποστάσεων.

2 ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΘΕΣΕΩΣ ΕΝΟΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΤΟΥ ΓΗΙΝΟΥ ΕΛΛΕΙΨΟΕΙΔΟΥΣ 1. Εισαγωγή α. Κατά την αρχαιότητα, δύο από τα βασικά προβλήματα που αντιμετώπιζαν τόσο οι μαθηματικοί γεωγράοι, όσο και οι αστρολόγοι της τότε εποχής, ήταν ο προσανατολισμός σ ένα άγνωστο έδαος και ο προσδιορισμός ενός επίσης αγνώστου σημείου στάσεως πάνω στην επιάνεια της γης. Ο όρος προσανατολισμός μας οδηγεί στη λέξη ανατολή, με την εύρεση της οποίας αυτομάτως γινόταν γνωστά και τα υπόλοιπα σημεία του ορίζοντα. Βέβαια, ο εντοπισμός της ανατολής ή της δύσης γινόταν ευεπίλυτο ζήτημα κατά την παρακολούθηση των σημείων ανόδου και καθόδου του ήλιου ή την παρακολούθηση της πορείας κινούμενης σκιάς πασσάλου, δυσεπίλυτο όμως κατά τη διάρκεια μιας συννειασμένης μέρας και επίσης κατά τη διάρκεια της νύκτας. Από την άλλη πλευρά, ο προσδιορισμός του σημείου στάσεως γινόταν μόνο με εμπειρικές αστρολογικές μεθόδους, από τους τότε γνωστούς «μάγους - αστρολόγους». β. Σήμερα, αενός μεν με την πλήθυνση της γνώσεως, αετέρου δε με την αλματώδη ανάπτυξη της τεχνολογίας, τα παραπάνω θέματα δεν θεωρούνται και τόσο σοβαρά προβλήματα, εόσον η μεθοδολογία επίλυσής τους έχει μελετηθεί και κατανοηθεί πλήρως από κάθε ενδιαερόμενο. Μια παρόμοια εικόνα θα παρουσιαστεί στη συνέχεια, προκειμένου να περιγράψει τις μεθόδους εύρεσης των συντεταγμένων ενός αγνώστου σημείου της επιανείας του γήινου ελλειψοειδούς 1. γ. Λέγοντας συντεταγμένες ενός σημείου Α, εννοούμε το αποτελούμενο από 3 αριθμούς μαθηματικό σύνολο, το οποίο εκράζει τις 3 διαστάσεις του χώρου και περιγράει την σχετική θέση του σημείου μέσα σ αυτόν. Οι συν-νες ενός σημείου Α της επιανείας της γης, αναλόγως του χρησιμοποιούμενου συστήματος αναοράς διακρίνονται κυρίως σε: (1) Γεωγραικές Συν-νες ( Α, λ, R Α ) με: (α) Α το γεωγραικό πλάτος (latitude) του σημείου Α. (β) λ Α το γεωγραικό μήκος (lngitude) του σημείου Α. (γ) R Α (=R e για το σχ.1) την ακτίνα (radius) του γήινου ελλειψοειδούς στο Α, προστιθέμενου και του υψομέτρου h. () Καρτεσιανές Συν-νες (x, y, z ) με: (α) x Α την τετμημένη (abscissa) του σημείου Α. (β) y Α την τεταγμένη (rdinate) του σημείου Α (γ) z την κατηγμένη (z-crdinate) του σημείου Α, προστιθέμενου και του υψομέτρου h. 1 Θεωρούμε τη γη ως το ελλειψοειδές του Hayfrd, σύμωνα με τα δεδομένα της 4α, πάνω στο οποίο βασίζεται το ισχύον σύστημα συντεταγμένων UTM. Οι καρτεσιανές συν-νες με τη σειρά τους διακρίνονται κυρίως σε: Σαιρικές, καμπυλόγραμμες, κυλινδρικές, γεωδαιτικές ή γεωκεντρικές, ελλειψοειδείς, τοποκεντρικές, αστρονομικές, προβολικές UTM, προβολικές Hatt κ.λπ.

3 - - δ. Σχηματική παράσταση των προαναερθεισών συντεταγμένων στο γήινο ελλειψοειδές, των διανυσμάτων αναπαράστασής τους, καθώς και μετατροπή των γεωγραικών σε καρτεσιανές σαιρικές συντεταγμένες, όπως στο σχήμα 1. y Γ H 1 GN (0,90 ο Ν) Δλ (0,0 ) x Ο x GRE z ω Α Ο Λ z λ Α z λ Α x α (κατεύθυνση Νότος - Βορράς). S N, x β α c αr Re h, e R 1e συν ω α E όπου e: η πρώτη εκκεντρότητα της έλλειψης. x x Δλ α (κατεύθυνση Δύση Ανατολή). λ W E, λ ω Α Ε 1 Α (ω Α,λ,R e ) = (x,y,z ) R e ω Α y Μ Δ 1 (0,90 ο Ε) Δλ λ Α R y 1 Κ 1 (0,λ Α ) β EQ τριγokλ : x Reσυνω συνλ x h συνω συνλ. 1e συν ω GS (0,90 ο S) Σχήμα 1 β τριγokm : y Reσυνω ημλ y h συνω ημλ. 1 e συν ω β τριγoo : z Re ημω z h ημω. 1 e συν ω ε. Ανάλογη παράσταση διακρίνουμε και στο σχήμα, στο οποίο αναπαρίσταται σε γενικότερες γραμμές, η μετατροπή των γεωγραικών συν-νων, σε καρτεσιανές γεωκεντρικές ή γεωδαιτικές συντεταγμένες. x y z x α S N x α α c GN (0,90 ο Ν) αr R h, e R 1 e ημ α h x αλ W E λ c y ( Α,λ Α, R ) GRE Ο α x λ Α Α Δ 1 (0,90 ο Ε) α β Ο 1 x h συνσυνλ. 1 e ημ ΙΣΗ 1 (0,λ Α ) 1 (0,0 ) α y h συνημλ. 1 e ημ GS (0,90 ο S) α 1 e z h ημ. z 1 e ημ Σχήμα

4 Μέθοδοι Προσδιορισμού του Γεωγραικού Πλάτους Σημείου α. Με τον Πολικό Αστέρα.000 μ.χ. Πολικός αστέρας μ.χ. Βέγας P S URS MJOR URS MINOR 1 (ε 1) GN (90 ο Ν, 0) (ε) Ο 1 Α Α Α(,λ ) x 5x POLR STR W E (0 ο Ν, λ Α) Ο R Γ Α EQ Σχήμα 3 GS Σχήμα 4 Σχήμα 5 Αού εντοπίσουμε τον πολικό αστέρα στον παρατηρούμενο από το Βόρειο ημισαίριο ουράνιο θόλο, όπως περιγράεται στα αποσπάσματα των ουρανογραικών χαρτών των σχημάτων 3 και 5, μετρούμε τη γωνία θέσεως με ένα όργανο μέτρησης κλίσεων. Συνήθως χρησιμοποιείται μια μαγνητική πυξίδα Μ (εικ. 1) ή ο εξάντας 3 (αστρολάβος, εικ. α, β) ή ένα ψηιακό κλισίμετρο (εικ. 3). Τότε από 3 Ο εξάντας είναι ένα γωνιομετρικό όργανο χαρακτηριζόμενο και αστρονομικό, που χρησιμοποιείται στη ναυσιπλοΐα για τη μέτρηση υψών ουρανίων σωμάτων, καθώς και κατακόρυων ή οριζόντιων γωνιών, γήινων ή επίγειων σταθερών αντικειμένων.

5 - 4 - το σχήμα 4 θεωρώντας την ημιευθεία (ε) = ΑΒ ως τη διεύθυνση του ορίζοντα στο σημείο Α, έχουμε: O P SO1 90 OO 1 O1 PS O1, αλλά OO1 OE, οπότε τελικά είναι PS. Δηλαδή η γωνία θέσεως του πολικού αστέρα, είναι ίση με το γεωγραικό πλάτος του τόπου από τον οποίο μετρήθηκε. Εύκολα διαπιστώνουμε από το σχήμα 4 ότι: GN = 90 και EQ = 0. Ανάλογη διαδικασία λαμβάνει χώρα και στο Νότιο ημισαίριο με το σταυρό του νότου, σχήμα 6. Εικόνα 1 Εικόνα a Εικόνα β Εικόνα 3 x β. Με τον Προσδιορισμό του Ύψους του Ήλιου πάνω από τον Ορίζοντα Γ μ S y Rμημ S 90-- h συν h m() m Rμημημhm h R ε 90+ Δ συν h Γ x m h m() Α ( 90+/ 90- Rμ 1 ημ Α,λ ) Γ R / μ τεμ ε συν ω=90-/ ω ο R GN (0,90 ο με 45 Ν) R GN R O y δ Α R R EQ Rμ 1 συν Rμημ, RGN R R R νr EQ R μ ν Σχήμα 7ήμα Σχήμα 6 1 (0,λ Α)

6 - 5 - x y GN (0,90 ο Ν) H Α ( Α,λ ) z S GRE Γ c Α Ο β 90 ο Α Α δ H R R 1 EQ GS (0,90 ο S) α h h 1 (0,λ Α ) Σχήμα 8 x ΥΠΟΜΝΗΜΑ GN: Gegraphic Nrd (Γεωγραικός Βορράς) GS: Gegraphic Sund (Γεωγραικός Νότος) GRE: 1ος μεσημβρινός του Αστεροσκοπείου Greenwich στη Μ. Βρετανία EQ: Equatr (Ισημερινός) R : Radius (Ακτίνα της γης στο σημείο Α) S: Sun (Ήλιος) h: height (ύψος) (1) Στη σαιρική αστρονομία μπορούμε να υπολογίσουμε το γεωγραικό πλάτος ενός τόπου με βάση τη μέτρηση του ύψους και των αποκλίσεων ενός αστέρα κατά την κίνησή του στον ουράνιο θόλο, όπως αυτό αίνεται στα σχήματα 7 και 8 αντίστοιχα για τον ήλιο. Από την σαιρική τριγωνομετρία λαμβάνουμε τη σχέση: ημhα ημαημδα συνασυνδ ΑσυνHΑ, (εξίσωση ως προς Α της μορής: αημ βσυν γ ), όπου: h : το ύψος του ήλιου άνω του ορίζοντα, μετρούμενο στο σημείο Α, ως γωνία θέσεως 4 του ήλιου στο Α, 0, 180 Α : το γεωγραικό πλάτος του σημείου Α, 0, 90 h, χρησιμοποιώντας τα όργανα της α, δ Α : η απόκλιση του ήλιου τη συγκεκριμένη ημέρα, μετρούμενη από το σημείο Α, 0, 90, Η Α : η ωριαία δίεδρη γωνία που σχηματίζεται μεταξύ του μεσημβρινού που διέρχεται από H 0 h, 4h. το Α και του ωριαίου κύκλου του ήλιου, 360 n n Είναι: δ τοξημ ημωε συν 0, ημ, όπου: 365,4 π 365,4 ω ε : η λόξωση της εκλειπτικής, ωε 3, (ή 3 6 1,4119 ) και n ο αριθμός των ημερών του χρόνου, ξεκινώντας από την 1η Ιανουαρίου, δηλ. n (1, 365). 5, () Με εισαγωγή της Ω Α στις παραπάνω σχέσεις και αντικατάσταση του Η Α 6 υπολογίζουμε το Α ως εξής: n n ημ τοξημ ημωε συν 0, ημ 365,4 π 365,4 τοξσυν, συν 15Ω όπου Ω Α η τοπική ώρα του Α, 0 h, 4h. 4 Η συμπληρωματική της γωνία, ονομάζεται ζενιθιαία γωνία (z). 5 Οι γεωγραικές συντεταγμένες Α και λ Α ενός τόπου, ως γωνίες (επίπεδη και δίεδρη αντίστοιχα), υπολογίζονται πάντα σε μοίρες (degrees) και όχι σε ακτίνια (radians) ή βαθμούς (grades). 6 Βλέπε 3α(1).

7 - 6 - γ. Με τη Μέτρηση του Μήκους Σκιάς Πασσάλου κατά τις Ισημερίες x y GN (0,90 ο Ν) Γ Β GRE Ο 1 (0, 0 ο ) λ Α Ο R Α R 1 EQ Α ( Α, λ ) 1 (0,λ Α) x S W GN GS 1 1:00 Μαρτίου & 1 1:00 Σεπτεμβρίου S GS (0,90 ο S) Σχήμα Σχήμα 9χ Σχήμα 10χ Μια παραλλαγή της παραπάνω μεθόδου, η οποία εαρμόζεται εξειδικευμένα, μόνο κατά τις ημέρες των ισημεριών (1 Μαρτίου, 1 Σεπτεμβρίου) και ώρα 1:00, όταν οι ακτίνες του ήλιου πέτουν κάθετα στον ορίζοντα [ή παράλληλα με τα επίπεδα των κυρίων κύκλων της γης, (σχήμα 10)], είναι και ο υπολογισμός του γεωγραικού πλάτους σημείου Α, με τη μέτρηση του μήκους σκιάς s σκ, ενός πασσάλου μήκους s π (σχήμα 9). Από το τριγγ έχουμε: ε Γ s Γ O σκ s, αλλά 1 π δ. Με Βαρομετρική Χωροστάθμηση s τοξε s (1) Υπολογίζοντας μετεωρολογικά στοιχεία της γήινης ατμόσαιρας σε δύο διαορετικούς σταθμούς Α και Β, μπορούμε να υπολογίσουμε το άγνωστο γεωγραικό πλάτος Β, εάν βέβαια το Α μας είναι γνωστό. Η αρχική σχέση έχει την παρακάτω μορή: p h h e O υδρ( ) e υδρ( ) 546,3 θ θ p h 1 0,0064συν 0,375 lg h dogo lg e R R p p TO p όπου: h, h, τα υψόμετρα των Α και Β, σε μέτρα (m), p, η ατμοσαιρική πίεση στην επιάνεια της θάλασσας (h=0), με θερμοκρασία θ=0 C και Α = 45 ο, ίση προς 1013, Pa. (=1013,504 hpa = 1013,504 mbars = 760 trr = 1 tm), (1 Pa=1Nt/m ), d, η πυκνότητα του ατμοσαιρικού αέρα σε ΚΣ (ΚΣ = Κανονικές Συνθήκες: θ=0 C, p =1 tm), ίση προς 1,931 Kgr/m 3 = 1,931 gr/lt, g, η επιτάχυνση της βαρύτητας σε =0 και h=0, ίση προς 9, m/sec, lge = 0, , ο δεκαδικός λογάριθμος του e. σκ π v 1 e lim 1, v v Α, Β, τα γεωγραικά πλάτη των Α και Β, σε degrees ( ο ), R, R οι ακτίνες του γήινου ελλειψοειδούς στα σημεία Α και Β, σε μέτρα (m), με R α ημ αc c συν Α Α και R α ημ αc c συν,

8 - 7 - α = ,155 m, ο μεγάλος ημιάξονας του γήινου ελλειψοειδούς εκ περιστροής κατά Hayfrd (τετμημένη και τεταγμένη, διότι α=β) (σχ. 1 & ), c = , m, ο μικρός ημιάξονας του γήινου ελλειψοειδούς εκ περιστροής κατά Hayfrd (κατηγμένη), e υδρ(), e υδρ(β), οι τάσεις των υδρατμών της ατμόσαιρας των Α και Β, σε Pa, με υδρ υδρ ο α1θ β1 θ υδρ 17,65Tυδρ 43,04 Tυδρ e e 10 e 6, , (θερμιδομετρική εξίσωση των Magnus Tetens) 7, όπου: e υδρ(ο), η τάση των κορεσμένων υδρατμών σε θερμοκρασία 0 ο C, ίση προς 610,48337 Pa, α 1 = 7,5 C και β 1 = 37,3 C για ατμούς με θ 0, α 1 = 9,7 C και β 1 = 65,5 C για ατμούς με θ 0, p, p, οι ατμοσαιρικές πιέσεις των Α και Β, σε Pa, θ Α, θ Β, οι θερμοκρασίες των Α και Β, σε C, po () Τέλος, ο εμπρόσθιος συντελεστής C, υπολογίζεται d g lg e περίπου στα m, ως εξής: O ο 45 C p O 1013, Pa 3 dogo lg e 1,931Kgr / m 9,806159m/ sec 0, , m. (3) Λύνοντας ως προς Β χωρίς αντικατάσταση των R, προκύπτει η παρακάτω σχέση 8 : R, p p p 0, ,3 θ θ lg R R p p p R R h h p p 546,3 θ θ lg 33,67986 R R p p 67,3597 h h p p 1,69948 eυδρ( ) eυδρ( ) R R τοξσυν (4) Στις εικόνες 4 έως 8, παραθέτουμε τα χρησιμοποιούμενα όργανα για τις μετρήσεις της δ. Από αριστερά προς τα δεξιά διακρίνουμε αντίστοιχα: Μεταλλικό βαρόμετρο για μέτρηση των p, p, ψηιακό βαρόμετρο για μέτρηση των p, p και h, h, υγρόμετρο ugust για μέτρηση των e υδρ(), e υδρ(β), ψηιακό θερμόμετρο εσωτερικού και εξωτερικού χώρου και μεταλλικό θερμόμετρο ακριβείας. Εικόνα 4 Εικόνα 5 Εικόνα 6 Εικόνα 8 7 Για τον υπολογισμό της τάσης των ατμών του Η Ο, χρησιμοποιείται και η εξίσωση του ntine: 170,63 lg eυδρ 8, ,46 T υδρ 170,63 8, ,46 T. Λύνοντας ως προς e υδρ, υδρ λαμβάνουμε τη σχέση: e 10 trr, όπου Τ υδρ ο η Απόλυτη Θερμοκρασία των υδρατμών στην κλίμακα του Kelvin. Είναι: T 73,15 C θ με (Τ tr και Τ C το τριπλό και κρίσιμο σημείο του νερού αντίστοιχα), οπότε η T T,T T 0,0098 C, 373,99 C υδρ tr c υδρ 170,63 8, ,46 73,15 θ εξίσωσή μας παίρνει τη μορή: eυδρ 10 trr. 8 Με ειδικά προγράμματα μαθηματικών, όπως είναι το Wlfram Mathematica ή το Math Lab, γίνεται εικτή η επίλυση της εξίσωσης ως προς Β και με αντικατάσταση των R και R. Είναι R Εικόνα 7 υδρ υδρ c 1 e συν 1 e συν R Α Β 1 ημ Β e 1 ημ.

9 - 8 - ε. Με Προσδιορισμό της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας της Γης (1) Με Βαρυτομετρία Σαίρα Γ 0 Km Β Ε Ελλειψοειδές 10 Km c=6.357 Km β α 10 Km Ο Α α=6.387 Km g Γεωειδές Δ Σχήμα 11 Σχήμα 1 (α) Η γεωδαισία από πολύ παλιά, αντιμετώπιζε ως βασικό πρόβλημα, τη γεωμορομέτρηση, δηλαδή τον προσδιορισμό της μορής των διαστάσεων του πλανήτη ή αλλιώς τον προσδιορισμό του σχήματος της γης. Έτσι κατά καιρούς υιοθετήθηκαν διάορα μοντέλα προσδιορισμού του (σχήμα 11), τα οποία κατά σειρά αύξουσας προσεγγίσεως προς το πραγματικό, είναι τα παρακάτω: 1/ Η σαίρα. / Το ελλειψοειδές εκ περιστροής. 3/ Το γεωειδές. (β) Στο σχήμα 1 αίνεται η διάκριση των χωροσταθμικών επιανειών του ελλειψοειδούς, του γεωειδούς, της υσικής επιάνειας της γης και της ΜΣΘ. 9 Παρατηρούμε ότι τα διανύσματα της επιτάχυνσης της βαρύτητας (g ) και της ακτίνας της υσικής επιάνειας της γης (R ) που έχουν σαν αετηρία ένα τυχαίο σημείο Α της επιάνειάς της, δεν συγκλίνουν μεταξύ τους. Γίνεται εύκολα κατανοητό, ότι σε κάθε μοναδικό σημείο Α της επιανείας της γης αντιστοιχούν μοναδικές τιμές των παραγόντων g και R, τις οποίες αν προσδιορίσουμε, θα προσδιορίσουμε αυτομάτως και το γεωγραικό πλάτος Α του σημείου Α. (γ) Από τη βαρυτομετρία, λαμβάνουμε την παρακάτω σχέση υπολογισμού του g για την επιανειακή βαρύτητα: 4 g g 1 0, ημ 0, ημ 0,3086h, από την οποία λύνοντας ως προς Α, προκύπτει: 9 Η Μέση Στάθμη της Θάλασσας (ΜΣΘ) είναι η ιδεατή επιάνεια που προκύπτει από τις στάθμες της θάλασσας, απομονώνοντας τις επιδράσεις της παλίρροιας, των κυματισμών και των θαλασσίων ρευμάτων. Η ΜΣΘ είναι επίσης μία ισοδυναμική επιάνεια ως προς το δυναμικό της βαρύτητας. Θεωρητικά αυτό σημαίνει πως σε κάθε σημείο της ΜΣΘ το διάνυσμα της βαρύτητας (g ) είναι κάθετο στην επιάνεια της γης. Η ΜΣΘ χρησιμοποιείται ως επίπεδο αναοράς (υψομετρική αετηρία) στους χάρτες, καθώς διαχωρίζει ουσιαστικά την επιάνεια της στεριάς, από αυτή της θάλασσας.

10 - 9 - τοξημ 0, ,6558 9,17863 g g 0,3086h 5,1693. (δ) Υπολογίζοντας δε τις τιμές g 0, g 45 και g 90, βρίσκουμε: 1/ g ( = 0, h 0) 9, m/sec², / 45 3/ g ( = 45, h 0) 9, m/sec², 90 g ( = 90, h 0) 9, m/sec². (ε) Σχηματική παράσταση και τιμές της βαρύτητας σε mgal (1 milligalilei = 1 mm/sec ), όπως στο σχήμα 13. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η βαρύτητα μεταβάλλεται κατά mgal από τον ισημερινό μέχρι τους πόλους, λόγω ελάττωσης του μήκους της ακτίνας της γης και της υγόκεντρης δύναμης που αναπτύσσεται, εξαιτίας της περιστροής της. (εικ. 9). (στ) Το όργανο υπολογισμού της g είναι το βαρυτόμετρο (ζ) Από τη γενική μετεωρολογία, λαμβάνουμε επίσης την παρακάτω σχέση υπολογισμού του g για την επιανειακή βαρύτητα, η οποία την εξαρτά ανάλογη με το τετράγωνο της ακτίνας της γης στο σημείο υπολογισμού Α και αντιστρόως ανάλογη με το τετράγωνο του αθροίσματος της παραπάνω ακτίνας με το υψόμετρο του Α, δηλ: 7 7 R g g 0( συνα συν Α ), από την οποία λύνοντας ως R h προς Α προκύπτει: g R h τοξσυν 3,5 1 0, , R () Με Μέτρηση της Περιόδου Ταλάντωσης Εκκρεμούς Μπορούμε επίσης να υπολογίσουμε την επιτάχυνση της βαρύτητας του σημείου στάσης μας Α, με μηχανική μέθοδο, χρησιμοποιώντας ένα απλό εκκρεμές. (Σχήμα 14). Η κίνηση (ταλάντωση) του εκκρεμούς μήκους νήματος l, οείλεται στην επίδραση της δύναμης F ολ ως συνισταμένης της τάσης του νήματος D και του βάρους της μάζας m, (Β=mg). Με τη βοήθεια ενός χρονομέτρου ακριβείας (εικ. 10), μετρούμε την περίοδο μιας πλήρους ταλάντωσης Τ ΑΓΑ. Από τη θεωρία της μηχανικής λαμβάνουμε τελικώς το επιθυμητό αποτέλεσμα: 4π mlσυν T π g. (Είναι Fολ mg ημ, D mg συν ). Τ l 4π l Γ g T ΑΓΑ ΑΓΑ

11 l D Γ Β F ολ Α =mg Σχήμα 13 Εικόνα 9 Σχήμα 14 Εικόνα 10 στ. Με Μέτρηση Μεγεθών του Μαγνητικού Πεδίου της Γης Σχήμα 15 (1) Με τη μέτρηση μεγεθών του μαγνητικού πεδίου της γης, όπως είναι η μαγνητική έγκλιση (ε) και η μαγνητική επαγωγή (Β), μπορούμε να υπολογίσουμε το γεωγραικό πλάτος δεδομένου σημείου Α. Στο σχήμα 15 διακρίνουμε την παράσταση του μαγνητικού πεδίου της γης, με τη ορά των μαγνητικών δυναμικών γραμμών. Είναι ανερό ότι ο πλανήτης μας προσομοιάζεται προς ένα τεράστιο μαγνήτη, του οποίου ο άξονας Βοράς Νότος, σχηματίζει γωνία 11,5 ο με τον άξονα GN GS. () Από τη θεωρία του μαγνητισμού είναι γνωστό, ότι η έγκλιση ε Α σε κάθε σημείο Α της επιάνειας της γης, η οποία μετράται πάντα σε degrees, ισούται κατά προσέγγιση με το γεωγραικό πλάτος του σημείου Α, δηλ. ε. (Σχήμα 16). Έτσι στον ισημερινό π.χ. είναι ε=0 και στους πόλους GN και GS, ε=±90 ο αντίστοιχα. (3) Επιπλέον μετρώντας τη μαγνητική επαγωγή Β Α στο υπόψη σημείο και χρησιμοποιώντας μετέπειτα κάποιο από τα ειδικά προγράμματα μαθηματικών της υποσημείωσης 7, υπολογίζουμε και πάλι το Α. Η αρχική σχέση εξεύρεσης της Β Α, προκύπτει από την επίλυση διαδοχικών παρατιθέμενων εξισώσεων της θεωρίας του γήινου μαγνητικού πεδίου και είναι η παρακάτω: 5 ημ x x 1 3ημ 3 x 1 1 x, όπου χ η μέση x 1 3ημ 9 1 x μαγνητική επιδεκτικότητα των υλικών του εδάους στο σημείο Α (αδιάστατο μέγεθος), η οποία υπολογίζεται από πίνακες, η δε Β Α υπολογίζεται στο σύστημα SI σε Tesla (T). (4) Τα όργανα μετρήσεως των μεγεθών των στ() και (3), είναι αντίστοιχα η μαγνητική πυξίδα εγκλίσεως (Εικ. 11) και το μαγνητόμετρο (Εικ. 1).

12 ε = 90 ο GN ε = 0 ο GS ε = - 90 ο Σχήμα 16 Εικόνα 11 Εικόνα 1 ζ. Με τον Τοπογραικό Χάρτη και Όργανα Μετρήσεως Γωνιών Εικόνα 13 (1) Εδώ γίνεται χρήση όλων των δεδομένων προσδιορισμού σημείου στάσεως, τα οποία περιγράονται στον ΣΚ Απαραίτητη προϋπόθεση είναι η ύπαρξη ενός τοπογραικού χάρτη (πχ χάρτης «ΤΡΙΚΑΛΑ» 1:50.000/ΓΥΣ, εικ. 13), έροντος κόκκινη ή μπλε διαγράμμιση σε συν-νες UTM ή Hatt αντίστοιχα, καθώς και ενός γωνιομετρικού οργάνου. Οι χρησιμοποιούμενοι μέθοδοι όπως κάποιοι εξ αυτών περιγράονται αναέρονται στον παραπάνω κανονισμό είναι οι εξής: (α) Της Όδευσης. (β) Της Οπισθοτομίας. (γ) Της Εμπροσθοτομίας. (δ) Της Τομής. (ε) Του Διαανούς. (στ) Της Πλαγιοτομίας. (ζ) Της Ακτινοειδούς μεθόδου. () Τα γωνιομετρικά όργανα της ζ, αναπαρίστανται στις εικόνες 14 έως 18 και είναι διαδοχικά η πυξίδα (απλή ή γωνιομετρική), το ταχύμετρο, το απλό θεοδόλιχο, το ηλεκτρονικό θεοδόλιχο και το θεοδόλιχο με δέκτη και κεραία GPS.

13 - 1 - Εικόνα 14 Εικόνα 15 Εικόνα 16 Εικόνα 17 Εικόνα Λοιποί Μέθοδοι Προσδιορισμού των Γεωγραικών Συν-νων Σημείου α. Υπολογισμός Γεωγραικού Μήκους Σημείου με Βάση τα Τοπικά Ημερολογιακά του Στοιχεία και το Γεωγραικό του Πλάτος (1) Από τη σαιρική αστρονομία, εξισώσεις χρονικών συντελεστών της οποίας αναπτύξαμε στην β, λαμβάνουμε και την παρακάτω σχέση που αορά στον προσδιορισμό της ωριαίας δίεδρης γωνίας Η Α, η οποία σχηματίζεται μεταξύ του μεσημβρινού που διέρχεται από το Α και του ωριαίου κύκλου του ήλιου: ο ο ο 360 n n n 81 4 λ 15 ΔtGMT 9,86ημ 7,53συν 1,5ημ 365,4 365,4 365,4 H 15 Ω 1, 60 όπου Δt GMT, η διαορά ώρας από το μεσημβρινό του Greenwich [Greenwich Mean Time = GMT ή Crdinated Universal Time = UTC = Ώρα ZULU (Ζ)]. Για την χώρα μας είναι Δt GMT = UTC+h = h. Εόσον οι χρονικοί συντελεστές Η Α, Ω Α, Δt GMT, n, είναι μοναδικοί για κάθε σημείο της γήινης επιάνειας, έπεται ότι εύκολα μπορούμε να υπολογίσουμε το λ Α, αού προηγουμένως με μία από τις προαναερόμενες μεθόδους υπολογίσουμε το Α, οπότε το αποτέλεσμα της επίλυσης της παραπάνω σχέσης ως προς λ Α, είναι το εξής: n n ημ τοξημ ημωε συν 0, ημ ο ο 70 n n n ,4 π 365,4 λ 15 1 ΔtGMT Ω 9,86ημ 7,53συν 1,5ημ τοξσυν 365,4 365,4 365,4 συν 15Ω () Στο σχήμα 17, στο οποίο αίνεται ο χάρτης του πλανήτη σε επίπεδο, αναπαρίσταται ο διαχωρισμός της γήινης επιάνειας σε ζώνες διαοράς μίας ώρας, καθώς και οι χώρες που έχουν την ίδια ώρα μεταξύ τους. Παρατηρούμε ότι δημιουργούνται 4 ζώνες (1 στο ανατολικό και 1 στο δυτικό ημισαίριο), των 15 ο έκαστη (4x15 =360 ), των οποίων ο κεντρικός μεσημβρινός είναι στρογγυλοποιημένος αριθμός, αρχής γενομένης από το μεσημβρινό του Greenwich, δηλ. 0, 15 ο, 30 ο, 45 ο, 60 ο, κ.ο.κ. Η ονομασία κάθε ζώνης δίνεται από ένα από τα 4 γράμματα του λατινικού αλαβήτου, ξεκινώντας από το Ζ (ZULU) για την πρώτη ζώνη του Greenwich, ακολουθώντας αύξουσα κατεύθυνση προς τα ανατολικά μέχρι την Internatinal Data Line [με χαρακτήρες Α Μ (κεντρικός μεσημβρινός στις 180 ο )] και συνεχίζοντας από Ν έως Υ αυξητικά για το δυτικό ημισαίριο και πάλι μέχρι την Internatinal Data Line. Η χώρα μας ευρισκόμενη στη ζώνη UTC+h, ανταποκρίνεται στα γράμματα Β (RVO) το χειμώνα και C (CHRLIE) το καλοκαίρι (UTC+3h).

14 Σχήμα 17 β. Υπολογισμός των Συν-νων ενός Σημείου με τη Βοήθεια Οργάνων Τύπου GPS (Glbals Psitining Systems) ή (1) Το GPS (Glbal Psitining System), Παγκόσμιο Σύστημα Θεσιθεσίας ή Αναοράς Θέσεως ή απλά θεσιολάβος, είναι ένα παγκόσμιο σύστημα εντοπισμού του σημείου στάσης μας, που βασίζεται σε ένα «πλέγμα» 4 δορυόρων της Γης, στους οποίους υπάρχουν ειδικές συσκευές που ονομάζονται «δέκτες GPS». Οι δέκτες αυτοί παρέχουν ακριβείς πληροορίες για τη θέση ενός σημείου, το υψόμετρό του, την ταχύτητα ή ακόμη και την κατεύθυνση της κίνησης του. Επίσης, σε συνδυασμό με ειδικό λογισμικό χαρτογράησης, μπορούν να απεικονίσουν γραικά όλες αυτές τις πληροορίες. Το εν λόγω δορυορικό σύστημα, ξεκίνησε από το Υπουργείο Άμυνας των ΗΠΑ και ονομάστηκε «NVSTR GPS» (Navigatin Signal Timing and Ranging Glbal Psitining System), το οποίο ρυθμίζεται καθημερινά από τη Βάση Πολεμικής Αεροπορίας Schriever με κόστος 400 εκατομμύρια δολάρια το χρόνο. () Με τη βοήθεια του GPS μπορούμε να υπολογίσουμε τις συν-νες ενός σημείου στάσης μας με ακρίβεια μέχρι και ±3 m, σε οποιοδήποτε σύστημα (γεωγραικές, UTM, Hatt κ.λπ), αού έχει την ικανότητα της μετατροπής τους από τη μια μορή στην άλλη ή ακόμη να εκτελέσουμε κι άλλες βοηθητικές εργασίες, όπως οδεύσεις, υπολογισμούς αποστάσεων, μετρήσεις οριζόντιων γωνιών, διαθημάτων κ. ά. (3) Στις εικόνες 19 έως 1 διακρίνουμε διαδοχικά GPS χειρός, navigatr οχήματος και το μηχανισμό ή υπολογιστή των Αντικυθήρων 10, ο οποίος θεωρείται το αρχαιότερο σύστημα προσδιορισμού θέσεως του πλανήτη μιας και 10 Ανακαλύθηκε σε ναυάγιο ανοικτά του νησιού Αντικύθηρα. Με βάση τη μορή των ελληνικών επιγραών που έρει χρονολογείται μεταξύ του 150 και του 100 π.χ., αρκετά πριν από την ημερομηνία του ναυαγίου, το οποίο ενδέχεται να συνέβη ανάμεσα στο 87 και 63 π.χ. Θα μπορούσε να ήταν κατασκευασμένο μέχρι μισόν αιώνα πριν το ναυάγιο. Το ναυάγιο ανακαλύθηκε το 1900 σε βάθος περίπου 40 με 64m. και βρίσκεται σήμερα στο Εθνικό Αρχαιολογικό Μουσείο Αθηνών.

15 κατασκευασμένος από το 150 π.χ., λειτουργούσε βασιζόμενος στις αινόμενες κινήσεις των αστέρων. Εικόνα 19 Εικόνα 0 Εικόνα 1 4. Μετασχηματισμός των Γεωγραικών Συν-νων σε Συν-νες UTM α. Αριθμητικά Δεδομένα της Εγκάρσιας Μερκατορικής Προβολής [Universal Transverse Mercatr (UTM]) Σχήμα 18 (1) Είδος προβολής: Κατακόρυη κυλινδρική (σχήμα 18). () Γεωδαιτικό σύστημα αναοράς (Datum) 11 : Eurpean Datum 1950 (ED 50). (3) Ελλειψοειδές αναοράς: Διεθνές ελλειψοειδές του Hayfrd (194). (4) Μεγάλος ημιάξονας ελλειψοειδούς α: ,155 m. (5) Μικρός ημιάξονας ελλειψοειδούς c: , m. (6) Επιπλάτυνση ελλειψοειδούς f: 1/97=3, x10-3. (7) Πρώτη εκκεντρότητα ελλειψοειδούς e: 0, (8) Δεύτερη εκκεντρότητα 1 ελλειψοειδούς e : 0, (9) Εύρος γεωγραικού πλάτους συστήματος: 0-84 ο Ν και 0-80 ο S. (10) Αριθμός δημιουργούμενων ζωνών: 60, πάχους 6 ο αριθμούμενες από 1-60, αρχής γενομένης από λ=180 ο E,W και κινούμενοι προς Ε (ανατολικά). (11) Αριθμός δημιουργούμενων σειρών: 0 (από 84 ο Ν-80 ο S), πάχους 8 ο (πλην τελευταίων βόρεια νότια που είναι 1 ο ), αριθμούμενες με τα γράμματα του λατινικού αλαβήτου C-X (πλην Ι,Ο), κινούμενοι από S προς N. (Σχήμα 19). (1) Συνολικά δημιουργούμενα τετράγωνα 6 ο (parallel) x8 (meridian): 60 x 0 = 100, διαστάσεων 511, Km x 888,8 Km (1 παραλλήλου = 85, Km, 1 μεσημβρινού = 111,1 Km). 11 Vertical (Height) Reference Datum: είναι η επιάνεια που χρησιμοποιούμε σαν αναορά (πάνω ή κάτω από την επιάνεια της γης). Στη γη αντιστοιχεί με τη ΜΣΘ. 1 α c Είναι e α και e α c c, η πρώτη και δεύτερη εκκεντρότητες της έλλειψης αντίστοιχα.

16 Σχήμα 19 (13) Αετηρία μέτρησης συστήματος: Σημείο τομής ισημερινού και κεντρικού μεσημβρινού ζώνης (ΚΜΖ). (14) Διαίρεση εκάστου των τετραγώνων 6 ο x8 σε υποτετράγωνα των 100 Km x 100 Km, συμβολισμένα με λατινικά γράμματα, π.χ. LC (Σχήμα 1). Το πρώτο δείχνει τη στήλη από W E, με αετηρία το δυτικό μεσημβρινό της πρώτης ζώνης και χρησιμοποιούμενα γράμματα Α Ζ (πλην Ι,Ο) και το δεύτερο τη σειρά από S N, με αετηρία τον ισημερινό και χρησιμοποιούμενα γράμματα V. (15) Το ίδιο γράμμα επαναλαμβάνεται κατά την έννοια W E κάθε 18 ο και κατά την έννοια S N κάθε.000 Km. (16) Ο κάθε ΚΜΖ έχει τιμή τετμημένων ως αετηρία, για να αποευχθούν αρνητικές συντεταγμένες, οπότε η γραμμή τομής δυτικά του ΚΜΖ έχει την τιμή x= και ανατολικά x= Έτσι π.χ σημαίνει = ανατολικά του ΚΜΖ. (17) Η αρίθμηση για τους οριζόντιους άξονες αρχίζει από τον ισημερινό με τιμή y= για το ΒΗ και y= για το ΝΗ, οπότε π.χ σημαίνει βόρεια του ισημερινού. (18) Συντελεστής κλίμακας σημείου (ή παραμόρωσης) Κ Α, που x δίνεται από τη σχέση: K K 1, όπου Κ ο = 0,9996, δηλαδή μήκος RK m στο έδαος, αντιστοιχεί σε μήκος 9996 m στο χάρτη (παραμόρωση 4 m) και για κλίμακα 1/ ισοδυναμεί με (1/1,5) mm = 0,08 mm, με μέγιστη παραμόρωση έως 10 m, δηλαδή αντίστοιχα (1/5) mm = 0, mm. (19) Στην περιοχή της ζώνης εκτός των γραμμών τομής, αλλά εντός του κυλίνδρου είναι Κ Α >1 (Κ Α =1.0010, επομένως μήκος 10 Km προβάλλεται σαν m). Στις γραμμές τομής είναι Κ Α =1 με παραμόρωση 0. (x= και x= ) και στον ΚΜΖ είναι Κ Α <1 (x= ). (0) Αριθμός ζωνών κάλυψης του Ελλαδικού χώρου: με ΚΜΖ λ 1 =1 και λ =7. Η Ελλάδα καταλαμβάνει τις ζώνες 34 και 35, αού τα γεωγραικά μήκη των άκρων της κυμαίνονται από 19 ο έως 8 ο (Σχήμα 0).

17 β. Μέθοδοι Μετασχηματισμού Γεωγραικών Συν-νων σε Συν-νες UTM (1) Με τη Χρήση GPS Το παραπάνω θέμα έχει αναπτυχθεί εκτενώς στην 3β(). ΚΜΖ = 33 ο Σχήμα 0 Σχήμα 1 () Με Σειρά Μαθηματικών Υπολογισμών (α) Αού προσδιορίσουμε τις γεωγραικές συν-νες ενός σημείου της επιανείας του γήινου ελλειψοειδούς με κάποια από τις μεθόδους των και 3α, μπορούμε να τις μετασχηματίσουμε προς στρατιωτική χρήση σε καρτεσιανές τύπου UTM με σειρά μαθηματικών υπολογισμών, οι οποίοι μας παρέχονται από την ανωτέρα γεωδαισία, όπως παρακάτω: λα λο συν λα λο συν Α ο x K R { λ λ συν 1 ε e συν 6 10 [ 5 18ε ε 14 e συν 58 e συν 13 e συν 4 e συν ε 179ε 8 7 Α ο λ λ συν 64ε e συν 4ε e συν ] 5040 ε } m.

18 λ λ λ λ 4 d Α ο Α ο 3 3 / 1 e ημ 4 y αk 1 e K R { ημ συν ημ συν [ 5 ε λα λο e συν 4 e συν ] ημσυν [ 61 58ε ε 70 e συν ε e συν 445 e συν 34 e συν 680ε 4 6 e συν λα λο 7 88 e συν 600ε e συν 19ε e συν ημσυν ε 543ε ε }. 8 z h ±3 ο )., όπου: λ ο το γεωδαιτικό μήκος του ΚΜΖ (δηλ. το μήκος εντός των ορίων των (β) Ο εντοπισμός των τετραγώνων 6 ο x8 και 100 Km x 100 Km, είναι μία εξεζητημένη διαδικασία, η οποία υλοποιείται βέβαια από τη γεωδαισία και δεν κρίνεται σκόπιμο να αναπτυχθεί επί του παρόντος. (γ) Επομένως μετά τους απαραίτητους υπολογισμούς πεδίου και γραείου, οι συν-νες του Α θα λάβουν τη μορή του παρακάτω υποδείγματος Πλήρους Στρατιωτικής Αναοράς: 13 Τετράγωνο 6 ο x8 Τετράγωνο 100x100Km Οριζόντια απόσταση Κατακόρυη απόσταση 34SGH Ζώνη Σειρά Στήλη Σειρά x (τετμημένη) y (τεταγμένη) Αριστερή ιώδης γραμμή Κάτω ιώδης γραμμή (3) Με Κατάλληλο Λογισμικό (Sftware) H/Y (α) Τέλος μπορούμε να υπολογίσουμε τις καρτεσιανές συν-νες τύπου UTM ενός σημείου Α με τη μορή πλήρους στρκής αναοράς, κάνοντας χρήση κατάλληλων προγραμμάτων Η/Υ, με μετατροπή των ευρεθεισών γεωγραικών συννων. Εκτός από τις συν-νες UTM, χρησιμοποιούνται για μη στρατιωτικούς σκοπούς και οι συν-νες της ισαπέχουσας αζιμουθιακής προβολής Hatt, κυρίως για τις δραστηριότητες του πολιτικού τομέα (από τοπογράους, πολιτικούς μηχανικούς, πολεοδόμους, οδοποιούς κ.λπ.). (β) Τα κυριότερα προγράμματα που χρησιμοποιούνται σήμερα για τις προαναερθείσες μετατροπές, είναι τα εξής (εικ. ): 1 TatukGIS Free Crdinate Calculatr Free Utilities Datums & Prjectins calculatr. 13 Η παράσταση α 1 e d υπολογισμού του y 3 /, στη σελ. 17, είναι το μήκος τόξου 0 1 e ημ μεσημβρινού της γης, από τον ισημερινό μέχρι το σημείο υπολογισμού των συν-νων Α {S [0 Φ(Α)] } και βρίσκει λύσεις μόνο μέσα από πίνακες (ατελές ή ελλειπτικό ολοκλήρωμα).

19 Πληροορίες / Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων και Χαρτογραικές 3/ Μετατροπή Συντεταγμένων (του Εθνικού Κέντρου Διαστημικών Εαρμογών). v1.0.exe). transfrms.exe). 4/ Gegraphic Calculatr Hellenic Tactic (HTF GC ge 5/ Crdinate transfrmatins with icrdstrans.dll (test 6/ «GG-TOP» ΕΠΙΛΟΓΕΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ. Εικόνα

20 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Βαρβόγλη Χαράλαμπου Σειραδάκη Ιωάννη: «Εισαγωγή στη Σύγχρονη Αστρονομία», Θεσσαλονίκη, Εκδόσεις Γαρταγάνη Δημητρίου Βλάχου: «Τοπογραία» Τόμος Α, Θεσσαλονίκη Λιβεράτος Ε. Φωτίου Α.: «Ελλειψοειδής Γεωδαισία και Γεωδαιτικά Δίκτυα», Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη Μακρογιάννη Τ. Σαχσαμάνογλου Χ.: «Στοιχεία Γενικής Μετεωρολογίας», Εκδόσεις rt f Text, Θεσσαλονίκη Σχίζα Ιωάννη: «Τοπογραία», Αθήνα ΣΚ 800-1/ΓΕΣ/ΔΕΚΠ/3α «Τοπογραία», Αθήνα ΣΚ 801-5/ΓΕΣ/ΔΕΚΠ/3α «Ανάγνωση Χάρτη Αεροωτογραιών», Αθήνα Σημειώσεις Τοπογραίας ου έτους, ΣΣΕ (Ακαδημαϊκό Έτος ). 9. Αριστείδη Ι. Φωτίου: «Γεωμετρική Γεωδαισία», Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη Συστήματα Αναοράς και Χρόνου, Συστήματα Καμπυλόγραμμων Συντεταγμένων (εικόνες, περιγραές τοπογραικών οργάνων κ.λπ.). 1. (εικόνες, περιγραές τοπογραικών οργάνων κ.λπ.) «Μεταβολές της ροής λόγω τροχιάς» «Slar Time» «Η Βαρυτική Μέθοδος» «Η Μαγνητική Μέθοδος» «Γήινη Μαγνητόσαιρα» equatin «Εξίσωση του ntine» «Εξίσωση του Clausius - Clapeyrn». 0. «Η κλίμακα eaufrt».

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Η Φυσική Γεωγραφία εξετάζει: τον γήινο

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Δημήτρης Δεληκαράογλου Αναπλ. Καθ., Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επισκ.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007 ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΔΙΟΝΥΣΟΥ Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 157 80 Ζωγράφος Αθήνα Τηλ.: 210 772 2666 2668, Fax: 210 772 2670 ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Να το πάρει το ποτάµι;

Να το πάρει το ποτάµι; Να το πάρει το ποτάµι; Είναι η σκιά ενός σώµατος που το φωτίζει ο Ήλιος. Όπως η σκιά του γνώµονα ενός ηλιακού ρολογιού που µε το αργό πέρασµά της πάνω απ τα σηµάδια των ωρών και µε το ύφος µιας άλλης εποχής

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. Περιεχόµενα... 7. Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11. Ευρετήριο Εικόνων... 18. Κεφάλαιο 1

Περιεχόµενα. Περιεχόµενα... 7. Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11. Ευρετήριο Εικόνων... 18. Κεφάλαιο 1 Περιεχόµενα Περιεχόµενα... 7 Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11 Ευρετήριο Εικόνων... 18 Κεφάλαιο 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ... 19 Θεωρία... 19 1.1 Έννοιες και ορισµοί... 20 1.2 Μονάδες µέτρησης γωνιών και µηκών...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 Τοπογραφικοί Χάρτες Περίγραμμα - Ορισμοί - Χαρακτηριστικά Στοιχεία - Ισοϋψείς Καμπύλες - Κατασκευή τοπογραφικής τομής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ Η κίνηση των πλανητών είναι το αποτέλεσμα της σύνθεσης 2 κινήσεων: μίας περιστροφής γύρω από τον Ήλιο, η περίοδος της οποίας μας δίνει το έτος κάθε πλανήτη, και πραγματοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΠΑΡΕΧΟΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ UTC ΑΠΟ ΤΟ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ, ΣΕ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΠΑΡΕΧΟΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ UTC ΑΠΟ ΤΟ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ, ΣΕ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΝΙΚΗΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΣ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΠΑΡΕΧΟΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ UTC ΑΠΟ ΤΟ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ, ΣΕ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΣΧΟΛΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΥΠΑΞΙΩΜΑΤΙΚΩΝ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΣΧΟΛΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΥΠΑΞΙΩΜΑΤΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΣΧΟΛΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΥΠΑΞΙΩΜΑΤΙΚΩΝ Φύλλο 47, Απρίλιος - Μάιος 2012 Επίδοση Ξιφών από τον κ. Α/ΓΕΣ στη ΣΜΥ Αθλητικοί αγώνες Ε- νόπλων Δυνάμεων και Σωμάτων Ασφαλείας Στρατιωτικών Σχολών Υπαξιωματικών

Διαβάστε περισσότερα

9/3/2014. Εισαγωγή ορισμοί. Χαρτογραφία. Αυτό οφείλεται πρώτα στη σημαντική συνεισφορά στις διαδικασίες της κατασκευής χαρτών πολλών επιστημών

9/3/2014. Εισαγωγή ορισμοί. Χαρτογραφία. Αυτό οφείλεται πρώτα στη σημαντική συνεισφορά στις διαδικασίες της κατασκευής χαρτών πολλών επιστημών Εισαγωγή ορισμοί Χαρτογραφία Αυτό οφείλεται πρώτα στη σημαντική συνεισφορά στις διαδικασίες της κατασκευής χαρτών πολλών επιστημών Διάλεξη 4 ΧΑΡΤΕΣ -DATUMs καθώς επίσης και στην χρησιμοποίηση αυτών από

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΝΑΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ. Δρ. ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Η. ΠΑΛΛΗΚΑΡΗΣ Αν.

ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΝΑΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ. Δρ. ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Η. ΠΑΛΛΗΚΑΡΗΣ Αν. ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΝΑΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ Δρ. ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Η. ΠΑΛΛΗΚΑΡΗΣ Αν. καθηγητής ΣΝΔ ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2011 Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης ΗλιακήΓεωµετρία Γιάννης Κατσίγιαννης ΗηλιακήενέργειαστηΓη Φασµατικήκατανοµήτηςηλιακής ακτινοβολίας ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιο ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιοµπορεί να αναλυθεί σε δύο κύριες συνιστώσες: Περιφορά

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία (Project) GPS. «Το Παγκόσμιο Σύστημα Εντοπισμού θέσης στη καθημερινή μας ζωή.

Ερευνητική Εργασία (Project) GPS. «Το Παγκόσμιο Σύστημα Εντοπισμού θέσης στη καθημερινή μας ζωή. GPS «Το Παγκόσμιο Σύστημα Εντοπισμού θέσης στη καθημερινή μας ζωή. Ποιες είναι οι εφαρμογές και η χρησιμότητα του GPS στη περιοχή του κέντρου της Αθήνας;» ΟΜΑΔΑ 1 η : ΑΝΑΣΤΑΣΑΚΗ ΕΛΕΝΗ (Δ1) ΓΟΥΣΙΑΣ ΛΑΜΠΡΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Μετρήσεις μήκους Η μέση τιμή. 1. Ποια μεγέθη λέγονται φυσικά μεγέθη; Πως γίνεται η μέτρησή τους; Οι ποσότητες που μπορούν να μετρηθούν ονομάζονται φυσικά μεγέθη. Η μέτρησή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ο : Ταλαντώσεις

Κεφάλαιο 4 ο : Ταλαντώσεις Κεφάλαιο 4 ο : Ταλαντώσεις Φυσική Γ Γυμνασίου Περιοδικές Κινήσεις Όλες οι κινήσεις επαναλαμβάνονται σε ίσα χρονικά διαστήματα. Περιοδικές κινήσεις: Οι κινήσεις που επαναλαμβάνονται σε ίσα χρονικά διαστήματα.

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

3. ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο

3. ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο Σηµειώσεις ΑΠΕ Ι Κεφ. 3 ρ Π. Αξαόπουλος Σελ. 1 3. ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο Η γνώση της ηλιακής ακτινοβολίας που δέχεται ένα κεκλιµένο επίπεδο είναι απαραίτητη στις περισσότερες εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

AΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ ΙΙ: Ο ΗΛΙΟΣ

AΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ ΙΙ: Ο ΗΛΙΟΣ AΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ ΙΙ: Ο ΗΛΙΟΣ 1. Ο Ήλιος μας είναι ένας από τους μεγαλύτερους αστέρες της περιοχής μας, του Γαλαξία μας αλλά και του σύμπαντος (NASA Science, εικόνα 1), όντας ο μοναδικός στο ηλιακό

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

Εµπειρία από το ΕΓΣΑ87

Εµπειρία από το ΕΓΣΑ87 Εµπειρία από το ΕΓΣΑ87 και τις εφαρµογές τύπου HEGNET ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΣΤΡΑΤΟΥ Ι. ΚΟΛΟΒΟΣ Β. ΚΑΓΙΑ ΑΚΗΣ ιηµερίδα: ιηµερίδα: HEPOS και σύγχρονα γεωδαιτικά συστήµατα αναφοράς, αναφοράς, 2525-26/09/08,

Διαβάστε περισσότερα

Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α

Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α Αναγνωστοπούλου Στρατηγούλα (5553), Σταυρίδη Δήμητρα (5861) 1 ΛΙΓΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1.1 Η κίνηση της Γης Η Γη κινείται με τρεις τρόπους: περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της σε 24h,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Φυσική Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Φυσική Β Γυμνασίου Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 2 Εισαγωγή 1.1 Οι φυσικές επιστήμες και η μεθοδολογία τους Φαινόμενα: Μεταβολές όπως το λιώσιμο του πάγου, η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 13 Απριλίου, 2014 Ώρα: 10:00-13:00 Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τα πιο κάτω, πριν απαντήσετε οποιαδήποτε ερώτηση. Γενικές οδηγίες: 1.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ. Σελίδα 1 από 6

Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ. Σελίδα 1 από 6 Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ Στόχος(οι): Η παρατήρηση της τροχιάς του ήλιου στον ουρανό και της διακύμανση της ανάλογα με την ώρα της ημέρας ή την εποχή. Εν τέλει, η δραστηριότητα αυτή θα βοηθήσει τους μαθητές να

Διαβάστε περισσότερα

18 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής 2013. 4 η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» Ανάλυση Δεδομένων

18 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής 2013. 4 η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» Ανάλυση Δεδομένων 18 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής 2013 4 η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» Ανάλυση Δεδομένων Παρακαλούμε, διαβάστε προσεκτικά τα παρακάτω: 1. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον χάρακα και το κομπιουτεράκι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Σύγχρονες γεωδαιτικές μέθοδοι για τον υπολογισμό επιτόπου όγκου εκσκαφών και την δημιουργία τρισδιάστατου μοντέλου εδάφους» ΠΡΟΚΟΠΑΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Παρατήρησης

Πρόγραμμα Παρατήρησης Πρόγραμμα Παρατήρησης Η αναζήτηση του ζοφερού ουρανού Άγγελος Κιοσκλής Οκτώβριος 2005 ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ * η παρατήρηση πραγματοποιείται κατά προτίμηση όταν η Σελήνη δεν εμφανίζεται στον ουρανό, διότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΗΣ ΘΕΤΙΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΗΣ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ Θέμα ο. ύλινδρος περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του με γωνιακή ταχύτητα ω. Αν ο συγκεκριμένος κύλινδρος περιστρεφόταν

Διαβάστε περισσότερα

συν[ ν Από τους υπολογισμούς για κάθε χαρακτηριστική ημέρα του χρόνου προκύπτει ότι η ένταση της ηλιακής ενέργειας στη γη μεταβάλλεται κατά ± 3,5%.

συν[ ν Από τους υπολογισμούς για κάθε χαρακτηριστική ημέρα του χρόνου προκύπτει ότι η ένταση της ηλιακής ενέργειας στη γη μεταβάλλεται κατά ± 3,5%. 1. ΗΛΙΑΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Το θεωρητικό δυναμικό, δηλαδή το ανώτατο φυσικό όριο της ηλιακής ενέργειας που φθάνει στη γή ανέρχεται σε 7.500 Gtoe ετησίως και αντιστοιχεί 75.000 % του παγκόσμιου ενεργειακού ισοζυγίου.

Διαβάστε περισσότερα

Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης

Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης Οδηγός για τον εκπαιδευτικό Περιεχόμενα Προετοιμασία δραστηριότητας Α. Υλικά και φύλλα εργασίας 3 Β. Εγκατάσταση του προγράμματος "Google

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές

1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές 1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές Διάλεξη 10 η Ομαλή κυκλική κίνηση Δθ = ω = σταθερό Δt X = Rσυν (ωt) => X 2 +Υ 2 = R 2 Υ = Rημ(ωt) Οι προβολές της κίνησης στους άξονες των x και y είναι αρμονικές ταλαντώσεις

Διαβάστε περισσότερα

SMART Notebook 11.1 Math Tools

SMART Notebook 11.1 Math Tools SMART Ntebk 11.1 Math Tls Λειτουργικά συστήματα Windws Οδηγός χρήστη Δήλωση προϊόντος Αν δηλώσετε το προϊόν SMART, θα σας ειδοποιήσουμε για νέα χαρακτηριστικά και αναβαθμίσεις λογισμικού. Κάντε τη δήλωση

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΥΝΑΜΕΙΣ Μέρος 1ο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΥΝΑΜΕΙΣ Μέρος 1ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΥΝΑΜΕΙΣ Μέρος 1ο Φυσική Β Γυμνασίου Βασίλης Γαργανουράκης http://users.sch.gr/vgargan Εισαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο μελετήσαμε τις κινήσεις των σωμάτων. Το επόμενο βήμα είναι να αναζητήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις)

Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις) Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις) Πότε µια κίνηση λέγεται περιοδική; Να γράψετε τρία παραδείγµατα. Μια κίνηση λέγεται περιοδική όταν επαναλαµβάνεται σε ίσα χρονικά διαστήµατα.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας και Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Μάθημα Μετεωρολογίας-Κλιματολογίας Υπεύθυνη : Δρ Μάρθα Λαζαρίδου Αθανασιάδου

ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας και Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Μάθημα Μετεωρολογίας-Κλιματολογίας Υπεύθυνη : Δρ Μάρθα Λαζαρίδου Αθανασιάδου ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΑΕΡΑ ΚΑΙ ΕΔΑΦΟΥΣ ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας και Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Μάθημα Μετεωρολογίας-Κλιματολογίας Υπεύθυνη : Δρ Μάρθα Λαζαρίδου Αθανασιάδου 3. ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΑΕΡΑ ΚΑΙ ΕΔΑΦΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

ικτυακές Τεχνικές του HEPOS - Μετασχηµατισµός µεταξύ HTRS07 και ΕΓΣΑ87

ικτυακές Τεχνικές του HEPOS - Μετασχηµατισµός µεταξύ HTRS07 και ΕΓΣΑ87 ικτυακές Τεχνικές του HEPOS - Μετασχηµατισµός µεταξύ HTRS07 και ΕΓΣΑ87 Μιχάλης Γιαννίου ρ. Αγρ. Τοπογράφος Μηχανικός Τµήµα Γεωδαιτικής Υποδοµής ιεύθυνση Υπηρεσιών και Προϊόντων ΚΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ Α.Ε. mgianniu@ktimatologio.gr

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών.

Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών. Μ4 Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή προσδιορίζεται πειραματικά η πυκνότητα του υλικού ενός στερεού σώματος. Το στερεό αυτό σώμα βυθίζεται ή επιπλέει σε υγρό γνωστής πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΕΩΡΟΛΟΓΙΑΣ Ν. ΧΑΤΖΗΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΕΩΡΟΛΟΓΙΑΣ Ν. ΧΑΤΖΗΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΕΩΡΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑΣ Ν. ΧΑΤΖΗΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ Φυσική της Ατμόσφαιρας (Β. Δ. Κατσούλης Ν. Χατζηαναστασίου) Ηλεκτρονικές Σημειώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε κίνηση ενός κινητού; 2. Τι ονομάζουμε τροχιά ενός κινητού; 3. Τι ονομάζουμε υλικό σημείο; 4. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΡΟΓΡΑΜΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ - 1 - ΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ Σελ. ερ. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Μονόμετρα και διανυσματικά μεγέθη. 4 0,5 1.2 Το Διεθνές

Διαβάστε περισσότερα

20 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

20 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 20 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αφιερωµένη στη µνήµη της Φυσικού Σύλβιας Γιασουµή Κυριακή, 19 Μαρτίου, 2006 Ώρα: 10:30-13:30 Οδηγίες: 1) Το δοκίµιο αποτελείται από έξι

Διαβάστε περισσότερα

Β Γυμνασίου 22/6/2015. Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής

Β Γυμνασίου 22/6/2015. Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής Β Γυμνασίου /6/05 Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής Β Γυμνασίου /6/05 Δείκτες Επιτυχίας (Γνώσεις και υπό έμφαση ικανότητες) Παρεμφερείς Ικανότητες (προϋπάρχουσες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ;

ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ; ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ; Α) Ακτίνα αστέρων (Όγκος). Στον Ήλιο, και τον Betelgeuse, μπορούμε να μετρήσουμε απευθείας τη γωνιακή διαμέτρο, α, των αστεριών. Αν γνωρίζουμε αυτή τη γωνία, τότε: R ( ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΤΟ ΕΓΣΑ87 ΜΕΣΩ ΤΟΥ HEPOS

ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΤΟ ΕΓΣΑ87 ΜΕΣΩ ΤΟΥ HEPOS ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΤΟ ΕΓΣΑ87 ΜΕΣΩ ΤΟΥ HEPOS Γιαννίου Μιχάλης ρ. ΑΤΜ Επιστηµονικός Σύµβουλος ΚΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ Α.Ε. Τµήµα Γεωδαιτικών εδοµένων ιεύθυνση Ψηφιακών Συστηµάτων, Υπηρεσιών & Προώθησης Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2008 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος.

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2008 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος. Θεωρητικό Μέρος Θέμα 1o A Λυκείου 22 Μαρτίου 28 Στις ερωτήσεις Α,Β,Γ,Δ,E μια μόνο απάντηση είναι σωστή. Γράψτε στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράμμα της ερώτησης και το μικρό γράμμα της σωστής απάντησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ. + 1) με Ν=0,1,2,3..., όπου d το μήκος της χορδής. 4 χορδή με στερεωμένο το ένα άκρο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. ,στο κενό (αέρα) co

ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ. + 1) με Ν=0,1,2,3..., όπου d το μήκος της χορδής. 4 χορδή με στερεωμένο το ένα άκρο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. ,στο κενό (αέρα) co ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Κύματα που t x t x σχηματίζουν το y1 = A. hm2 p ( - ), y2 = A. hm2 p ( + ) T l T l στάσιμο Εξίσωση στάσιμου c κύματος y = 2 A. sun 2 p. hm2p t l T Πλάτος ταλάντωσης c A = 2A sun 2p l Κοιλίες,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα πο αντιστοιχεί στη ράση η οποία τη

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 4: Πίεση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΠΙΕΣΗ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 4: Πίεση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΠΙΕΣΗ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΠΙΕΣΗ Φυσική Β Γυμνασίου Δύναμη και Πίεση Κρατάς μία πινέζα μεταξύ του δείκτη και του αντίχειρα σου, με δύναμη 10 Ν. Η μύτη της πινέζας έχει διάμετρο 0,1mm ενώ η κεφαλή της έχει διάμετρο 10mm.

Διαβάστε περισσότερα

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 0 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ . Γεωμετρική οπτική ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Η Γεωμετρική οπτική είναι ένας τρόπος μελέτης των κυμάτων και χρησιμοποιείται για την εξέταση μερικών

Διαβάστε περισσότερα

GMI 10. εγχειρίδιο γρήγορης εκκίνησης

GMI 10. εγχειρίδιο γρήγορης εκκίνησης GMI 10 εγχειρίδιο γρήγορης εκκίνησης Εισαγωγή Δείτε τον οδηγό Σημαντικές πληροφορίες για την ασφάλεια και το προϊόν στη συσκευασία του προϊόντος, για προειδοποιήσεις που αφορούν το προϊόν και άλλες σημαντικές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ TΡΙΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ: «ΧΩΡΟΣ ΕΚΘΕΣΗΣ ΚΕΡΑΜΙΚΩΝ ΕΙΔΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 9 Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ 4ωρο Τ.Σ. Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Τρίτη Ιουνίου 9 11. 14. ΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε.

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. «Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Μπολοτάκης Γιώργος Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, Διευθυντής Γυμνασίου Αγ. Αθανασίου Δράμας, Τραπεζούντος 7, Άγιος Αθανάσιος,

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Δομικών Έγων ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Άρτεμις Καραμπούκαλου Α.Μ. : 35260 Επιβλέπων καθηγητής :

Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Δομικών Έγων ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Άρτεμις Καραμπούκαλου Α.Μ. : 35260 Επιβλέπων καθηγητής : Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Δομικών Έγων ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ AUTOCAD ΣΤΙΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Άρτεμις Καραμπούκαλου Α.Μ. : 35260 Επιβλέπων καθηγητής : Γεώργιος

Διαβάστε περισσότερα

e-learning στην Αρχαιοαστρονομία (Επίδραση αστρονομίας στους πολιτισμούς και Εκμάθηση ψηφιακών τεχνικών)

e-learning στην Αρχαιοαστρονομία (Επίδραση αστρονομίας στους πολιτισμούς και Εκμάθηση ψηφιακών τεχνικών) (σύντομα δημοσιοποιούνται τα νέα Πιστοποιημένα Προγράμματα δια βίου του Παν/μιου Αιγαίου στο https://e-epimorfosi.aegean.gr. Σας προωθούμε εκ των προτέρων ενημέρωση σχετικά με το πρόγραμμά μας) e-learning

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΟΝΑ ΗΛΙΑΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ

ΕΝΤΟΝΑ ΗΛΙΑΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΕΝΤΟΝΑ ΗΛΙΑΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ Διαστημικός καιρός. Αποτελεί το σύνολο της ηλιακής δραστηριότητας (ηλιακός άνεμος, κηλίδες, καταιγίδες, εκλάμψεις, προεξοχές, στεμματικές εκτινάξεις ηλιακής μάζας) που επηρεάζει

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1. Κατά μήκος μιας χορδής μεγάλου μήκους, η οποία ταυτίζεται με τον άξονα x Ox, διαδίδονται ταυτόχρονα

1. Κατά μήκος μιας χορδής μεγάλου μήκους, η οποία ταυτίζεται με τον άξονα x Ox, διαδίδονται ταυτόχρονα ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ 1. Κατά μήκος μιας χορδής μεγάλου μήκους, η οποία ταυτίζεται με τον άξονα x Ox, διαδίδονται ταυτόχρονα δύο αρμονικά κύματα που έχουν εξισώσεις y 1 = 0,1ημπ(5t,5x) (S.I.) και y = 0,1ημπ(5t

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση

Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1 H θέση ενός κινητού που κινείται σε ένα επίπεδο, προσδιορίζεται κάθε στιγμή αν: Είναι γνωστές οι συντεταγμένες του κινητού (x,y) ως συναρτήσεις του χρόνου Είναι γνωστό

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ENOTHTA 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER ENOTHT 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Κρούση: Κρούση ονομάζουμε το φαινόμενο κατά το οποίο δύο ή περισσότερα σώματα έρχονται σε επαφή για πολύ μικρό χρονικό διάστημα κατά

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Γ Γυμνασίου - Κεφάλαιο 3: Ηλεκτρική Ενέργεια. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Ηλεκτρική Ενέργεια

Φυσική Γ Γυμνασίου - Κεφάλαιο 3: Ηλεκτρική Ενέργεια. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Ηλεκτρική Ενέργεια ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Ηλεκτρική Ενέργεια (παράγραφοι ά φ 3.1 31& 3.6) 36) Φυσική Γ Γυμνασίου Εισαγωγή Τα σπουδαιότερα χαρακτηριστικά της ηλεκτρικής ενέργειας είναι η εύκολη μεταφορά της σε μεγάλες αποστάσεις και

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου

Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ ΛΑΡΝΑΚΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2014-15 Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου 1) Να γράψετε 3 διανυσματικά μεγέθη και 2 μονόμετρα μεγέθη καθώς και τις μονάδες μέτρησής τους (στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΜΕΤΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΤΟΥ HEPOS (POST-PROCESSING SERVICES)

Ο ΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΜΕΤΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΤΟΥ HEPOS (POST-PROCESSING SERVICES) Ο ΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΜΕΤΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΤΟΥ HEPOS (POST-PROCESSING SERVICES) Έκδοση 2.0 Αθήνα, Μάιος 2009 ΚΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ Α.Ε. Ιστορικό εκδόσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α 1. Εισαγωγή... 3 2. Απαιτούµενος

Διαβάστε περισσότερα