Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Ηλεκτρονικής & Υπολογιστών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ: Σχεδιασμού Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών Λάγγα Ηλία του Γεωργίου Αριθμός Μητρώου: 6563 Θέμα Αρχιτεκτονικές υλικού για επαναληπτικούς δέκτες MIMO Επιβλέπων Αναπληρωτής καθηγητής Βασίλειος Παλιουράς Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Πάτρα, Ιούλιος 2015

2 ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η Διπλωματική Εργασία με θέμα Αρχιτεκτονικές υλικού για επαναληπτικούς δέκτες MIMO Του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Λάγγα Ηλία του Γεωργίου Αριθμός Μητρώου: 6563 Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις 10 / 07 / 2015 Ο Επιβλέπων Παλιουράς Βασίλειος Ο Διευθυντής του Τομέα Ευθύμιος Χούσος

3 Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Θέμα Αρχιτεκτονικές υλικού για επαναληπτικούς δέκτες MIMO Φοιτητής: Λάγγας Ηλίας Επιβλέπων: Παλιουράς Βασίλειος Περίληψη Τα τηλεπικοινωνιακά συστήματα τελευταίας γενιάς πετυχαίνουν υψηλή ροή δεδομένων και έξυπνη χρήση του διαθέσιμου εύρους συχνοτήτων, χρησιμοποιώντας πολλαπλές κεραίες, πολυπλεξία συχνοτήτων καθώς και σύνθετους δέκτες που είναι υπεύθυνοι για την επιτυχή ανάκτηση των πληροφοριών. Η ανάγκη όμως για επίτευξη των παραπάνω προσκρούει στις αυξανόμενες απαιτήσεις σε υλικό. Βασικό μέλημα των σχεδιαστών τηλεπικοινωνιακών συστημάτων είναι να σχεδιάζουν δέκτες οι οποίοι να βρίσκουν τη χρυσή τομή ανάμεσα σε αποδόσεις και αποτελεσματικότητα. Κοινός τόπος όλων των συστημάτων τέταρτης γενιάς είναι η χρήση πολλαπλών κεραιών τόσο στον πομπό όσο και στο δέκτη. Ο ρυθμός δεδομένων όλο και πλησιάζει την χωρητικότητα του καναλιού και για να επιτευχθεί αυτό έχουν προταθεί πολλοί αλγόριθμοι που βασίζονται στη χωρική πολυπλεξία. Η χωρική πολυπλεξία επιτρέπει την παράλληλη μετάδοση των δεδομένων από κάθε κεραία. Η τοπολογία αυτή απαιτεί υψηλότερο λόγο ισχύος σήματος προς ισχύ θορύβου αλλά και πολυπλοκότερο δέκτη, ώστε να πετύχει αποτελέσματα συγκρίσιμα με τη χωρητικότητα του καναλιού. Στην παρούσα διπλωματική μελετήθηκε ένας επαναληπτικός δέκτης που πετυχαίνει απόδοση παρόμοια με τη χωρητικότητα του μέσου μετάδοσης σε ένα περιβάλλον πολλών κεραιών σε είσοδο και έξοδο (MIMO), στο οποίο έχει χρησιμοποιηθεί ορθογώνια πολυπλεξία διαίρεσης συχνότητας (OFDM). Για την αποσυσχέτιση των δεδομένων που στέλνονται από κάθε κεραία και την απομάκρυνση τις επιρροής της κάθε κεραίας στις γύρω της, εφαρμόζουμε Soft-Interference Cancellation (SIC) ενώ σαν ισοσταθμιστής χρησιμοποιείται το κριτήριο του ελάχιστου μέσου τετραγωνικού σφάλματος (MMSE). Τα δεδομένα στη συνέχεια αποκωδικοποιούνται από LDPC κώδικες διόρθωσης λαθών των οποίων οι έξοδοι τροφοδοτούν ξανά τον δέκτη για εξάλειψη των παρεμβολών λόγω πολλαπλών διαδρομών. Ταυτόχρονα ο παραπάνω αποδιαμορφωτής σχεδιάστηκε σε υλικό και συγκεκριμένα σε συστοιχίες προγραμματιζόμενων πυλών (FPGA) με κύριο γνώμονα τη περιορισμένη επιφάνεια ώστε να υπάρχει η δυνατότητα ελέγχου σε ένα εύρος πλατφορμών και κάνοντας τους απαραίτητους συμβιβασμούς ανάμεσα σε μαθηματική ακρίβεια και χρησιμοποιούμενες πηγές. Ο αποδιαμορφωτής αυτός μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μελέτη ενός οποιουδήποτε τηλεπικοινωνιακού συστήματος σε συνεργασία με άλλες υλοποιημένες οντότητες.

4 Abstract Last generation telecommunication systems achieve high data rate and smart usage of the available bandwidth by exploiting multiple antennas, multiplexing techniques as well as complex receivers that are responsible for the successful retrieve of the information bits. The completion of the above though, faces serious hardware expectations. The basic concern for the telecommunication systems designers are implementing architectures that find the fine balance between performance and efficient use of the provided resources. A common attribute that all last generation systems share is the multipleinput multiple-output (MIMO) usage. As far as high data rate requirements are concerned, we need algorithms that take advantage of spatial-multiplexing which permits different parallel data streams to be transmitted from each antenna. This is necessary to achieve near-capacity results. Spatial-multiplexing requires systems with higher signal-to-noise ratio and a complex receiver. In the current diploma thesis we simulated an iterative receiver which manages to approach the transmission medium s capacity in a MIMO environment. Orthogonal frequency division multiplexing (OFDM) is also used to diminish inter-symbol interference. Responsible for the decorrelation of the data transmitted and the dealing with interference created by each antenna to its adjacent ones, we use Soft-Interference Cancellation (SIC) while as an equalizer scheme the minimum mean square error (MMSE) criterion is considered. Data are then decoded with the use of LDPC error-correction codes and the resulting expectations are then fed back into the receiver for further antenna interference elimination. In the same time, the above parallel detector was implemented into hardware design with the aid of Field-Programmable-Gate-Array (FPGA). The main focus was onto area minimization which allows for a series of platforms to be considered when it comes to testing. The necessary compromises were also made between mathematical accuracy and resources used. This detector can be used as a testing component for the study of many different telecommunication systems in cooperation with other implemented entities.

5 Ευχαριστίες Για την εκπόνηση της παρούσας διπλωματικής θα ήθελα να ευχαριστήσω κατά κύριο λόγο τον επιβλέποντα αναπληρωτή καθηγητή του τμήματος, κύριο Βασίλειο Παλιουρά, για την απεριόριστη υπομονή του και τη σημαντική βοήθεια που μου προσέφερε στη μακρά αυτή διαδρομή καθώς επίσης και στη σημαντική συμβολή του στα μελλοντικά σχέδιά μου. Επίσης αυτή η διπλωματική δεν θα μπορούσε να έχει έρθει σε πέρας χωρίς τη βοήθεια των υποψήφιων διδακτόρων Νίκου Κανίστρα και Παναγιώτη Σακελλαρίου οι οποίοι με υπέρμετρο ζήλο μου παρείχαν βοήθεια όποτε τη χρειάστηκα. Μεγάλο ευχαριστώ ακόμη και τα υπόλοιπα παιδιά του εργαστηρίου που έκαναν το κλίμα ευχάριστο και με βοήθησαν όπως μπορούσαν. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους εκείνους που ήταν δίπλα μου κατά τη διάρκεια εκπόνησής της, φίλους και γνωστούς αλλά κυρίως τους γονείς μου οι οποίοι μου έδωσαν τη δυνατότητα να είμαι σήμερα εδώ.

6 Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΟ ΑΣΥΡΜΑΤΟ ΚΑΝΑΛΙ ΚΑΝΑΛΙ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ RAYLEIGH ΚΑΝΑΛΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΙΣΟΔΩΝ ΕΞΟΔΩΝ ΜΙΜΟ 8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΠΛΗΣ ΕΙΣΟΔΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΞΟΔΩΝ (SIMO) ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΙΣΟΔΩΝ ΑΠΛΗΣ ΕΙΣΟΔΟΥ (MISO) ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΙΜΟ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 : MONTΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΝΑΛΙΩΝ ΜΙΜΟ 19 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΝΑΛΙ ΜΙΜΟ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΔΙΑΔΡΟΜΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΝΑΛΙΩΝ ΜΙΜΟ ΒΑΘΜΟΙ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΣΜΟΣ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΝΑΛΙΟΥ A.W.G.N ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΚΑΝΑΛΙΟΥ ΜΙΜΟ ΚΑΝΑΛΙ ΜΙΜΟ ΓΡΗΓΟΡΩΝ ΔΙΑΛΕΙΨΕΩΝ 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 : ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΕΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΣΗΣ 33 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΣΗΣ ΕΠΙΤΗΡΟΥΜΕΝΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΗ-ΕΠΙΤΗΡΟΥΜΕΝΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΣΕ ΜΙΜΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΑΠΟΣΥΣΧΕΤΙΣΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ MMSE ΔΕΚΤΗΣ ΕΞΑΛΕΙΨΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΣΤΕΣ TURBO 46

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΟ MATLAB 49 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ LDPC MIMO OFDM ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΙΝΑΚΑ 58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 : ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΥΛΙΚΟ 62 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΉ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΥΛΙΚΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΕ ΥΛΙΚΟ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΞΑΚΡΙΒΩΣΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 : ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ 83 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 85

8

9 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Οι ασύρματες επικοινωνίες είναι από τις πιο ενεργές ερευνητικά περιοχές στο πεδίο των επικοινωνιών στην εποχή μας. Ενώ αποτελεί θέμα μελέτης ήδη από τη δεκαετία του 1960, κατά τη διάρκεια των 2 προηγούμενων δεκαετιών υπήρξε έκρηξη ερευνητικών δραστηριοτήτων στην περιοχή αυτή. Αυτό είναι αποτέλεσμα αρκετών παραγόντων. Αρχικά μεγάλωσε δραματικά η ανάγκη για εν κινήσει συνδεσιμότητα, ανάγκη που μέχρι τώρα ικανοποιούταν από την ευρεία κάλυψη που παρείχαν τα δίκτυα κινητής τηλεφωνίας και που αναμένεται να παραμεριστεί από την ασύρματη μεταφορά δεδομένων. Δεύτερον, υπήρξε αξιοσημείωτη πρόοδος στην τεχνολογία ολοκληρωμένων (VLSI), που επέτρεψε με τη σειρά της υλοποίηση αυξημένης πολυπλοκότητας αλγορίθμους επεξεργασίας σήματος και τεχνικών κωδικοποίησης, μειώνοντας παράλληλα τις απαιτούμενες επιφάνειες υλικού και την κατανάλωση ενέργειας. Τρίτον, η επιτυχία των προτύπων ασύρματης επικοινωνίας δεύτερης γενιάς (2G) μας παρέχει μια ισχυρή απόδειξη πως η θεωρία πληροφορίας μπορεί να έχει σημαντική πρακτική εφαρμογή. Τα παραπάνω μας δείχνουν ότι υπάρχει ακόμα περιθώριο για επιπλέον βελτίωση των τηλεπικοινωνιακών μας συστημάτων. Η έρευνα επικεντρώνεται στον τρόπο με τον οποίο θα ξεπεραστούν τα υπάρχοντα προβλήματα που έχουν προκύψει από την υιοθέτηση καινούριων τεχνικών επικοινωνίας. Στις ασύρματες τηλεπικοινωνίες 2 είναι εκείνα τα χαρακτηριστικά τα οποία αλλάζουν τελείως την οπτική μας σε σύγκριση με τις παραδοσιακές ενσύρματες επικοινωνίες. Το πρώτο είναι το φαινόμενο της διάλειψης (fading), το οποίο αναφέρεται στη χρονική μεταβολή των χαρακτηριστικών του καναλιού. Αυτό προκύπτει είτε εξαιτίας των πολλών διαδρομών που μπορεί να ακολουθήσει ένα σήμα, είτε από μεγαλύτερης κλίμακας φαινόμενα όπως η χωρική μεταβολή των 2 σημείων επικοινωνίας ή εμποδίων ανάμεσα τους. Το δεύτερο είναι η επικάλυψη (interference) η οποία προκύπτει από τη χρήση του ίδιου μέσου (αέρα) για όλες τις επικοινωνίες σε μια περιοχή. Επικάλυψη μπορούμε να έχουμε σε διάφορα σενάρια όπως π.χ. στην περίπτωση ενός συστήματος κινητής τηλεφωνίας όπου ένας δέκτης λαμβάνει σήματα από πολλούς χρήστες. Η μεγάλη πρόκληση για τον μηχανικό είναι να σχεδιάσει συστήματα τα οποία θα μπορούν να αντιμετωπίζουν με ικανοποιητικό τρόπο τις προηγούμενες προκλήσεις, αναπτύσσοντας εύκολα υλοποιήσιμες λύσεις. 1

10 1.1 Τηλεπικοινωνιακό Σύστημα H καρδιά ενός συστήματος επικοινωνίας αποτελείται από τρία βασικά μέρη, συγκεκριμένα τον πομπό, το κανάλι και το δέκτη όπως φαίνεται και στο σχήμα. Σχήμα 1.1 : Μοντέλο τηλεπικοινωνιακού συστήματος Ο πομπός είναι εκείνο το στοιχείο που μετατρέπει το προς μετάδοση σήμα στην κατάλληλη μορφή για να μεταδοθεί μέσα από το φυσικό κανάλι ή από το μέσο διάδοσης. Στη γενική περίπτωση αυτό επιτυγχάνεται μέσω μιας διαδικασίας που λέγεται διαμόρφωση (modulation). Η τεχνική της διαμόρφωσης χρησιμοποιεί το σήμα πληροφορίας για να μεταβάλλει με συστηματικό τρόπο κάποια χαρακτηριστικά του ημιτονοειδούς φέροντος (π.χ. πλάτος, συχνότητα, φάση), ώστε να μετατραπεί σε μια μορφή που είναι κατάλληλη για μετάδοση μέσα από το κανάλι. Υπάρχουν και άλλες διαδικασίες σε αυτό το σημείο που εξασφαλίζουν πιο αποτελεσματική επικοινωνία όπως η κωδικοποίηση (encoding) ή η διεμπλοκή (interleaving). Το κανάλι επικοινωνίας είναι το φυσικό μέσο που χρησιμεύει για να στέλνεται το σήμα από τον πομπό στο δέκτη. Ανάλογα με το είδος της επικοινωνίας ποικίλλει και το φυσικό μέσο. Έτσι ως κανάλι μπορεί να νοείται ο αέρας, οι ενσύρματες γραμμές, τα καλώδια οπτικών ινών ή οι μικροκυματικές ραδιοζεύξεις. Οποιοδήποτε και αν είναι όμως το μέσο μέσα από το οποίο μεταδίδεται το σήμα, το κοινό χαρακτηριστικό είναι ότι το μεταδιδόμενο σήμα αλλοιώνεται κατά τυχαίο τρόπο από μια ποικιλία πιθανών μηχανισμών. Η συνηθέστερη μορφή αλλοίωσης του σήματος υπεισέρχεται κατά τη διαδικασία ενίσχυσης του σήματος στην είσοδο του δέκτη. Το σήμα αφού ληφθεί στο δέκτη, ενισχύεται στην πρώτη βαθμίδα και εμφανίζεται λόγω της ενίσχυσης ένας θόρυβος ο οποίος ονομάζεται θερμικός και έχει τη μορφή προσθετικού θορύβου. Άλλες μορφές θορύβου είναι ο θόρυβος «ανθρώπινων δραστηριοτήτων»(manmade noise), ατμοσφαιρικοί θόρυβοι, παρεμβολές άλλων χρηστών κ.α. Τόσο οι προσθετικοί όσο και οι μη προσθετικοί θόρυβοι χαρακτηρίζονται από τυχαία φαινόμενα και περιγράφονται με στατιστικά μαθηματικά μοντέλα. 2

11 Ο δέκτης είναι υπεύθυνος για την ανάκτηση του μηνύματος που περιέχεται στο λαμβανόμενο σήμα. Αν το σήμα διαβιβάζεται με διαμόρφωση φέροντος, τότε ο δέκτης πρέπει να αποδιαμορφώσει το φέρον προκειμένου να εξάγει το μήνυμα που μεταδόθηκε. Λόγω της παρουσίας του θορύβου, το αποδιαμορφωμένο σήμα στο δέκτη είναι εν γένει υποβαθμισμένης ποιότητας και παρουσιάζει διάφορες παραμορφώσεις. Τέλος εκτός από τη λειτουργία της αποδιαμόρφωσης ο δέκτης εκτελεί και διάφορες περιφερειακές λειτουργίες όπως το φιλτράρισμα του λαμβανόμενου σήματος και τον περιορισμό του θορύβου. 1.2 Το Ασύρματο Κανάλι Βασικό στοιχείο στην κατανόηση του θέματος προς μελέτη και στην μοντελοποίηση του όλου προβλήματος είναι η σωστή αντιμετώπιση του μέσου διάδοσης ή αλλιώς του ασύρματου καναλιού. Ένα κύριο χαρακτηριστικό του ασύρματου καναλιού είναι οι μεταπτώσεις της ισχύος στον άξονα του χρόνου και σε εκείνον της συχνότητας. Γενικά μπορούμε να τις διαχωρίσουμε σε 2 κατηγορίες: Διαλείψεις μεγάλης κλίμακας (large-scale fading), που προκύπτουν εξαιτίας της εξασθένισης του σήματος σε συνάρτηση με την απόσταση και τις παρεμβολές που προκύπτουν από μεγάλα αντικείμενα όπως κτίρια ή γεωγραφικές ανωμαλίες. Αυτό συμβαίνει όταν ο κινητός δέκτης διανύει μεγάλες αποστάσεις και είναι συνήθως ανεξάρτητο από τη συχνότητα. Διαλείψεις μικρής κλίμακας (small-scale fading), οι οποίες οφείλονται στην ενισχυτική και καταστροφική επικάλυψη των πολλαπλών διαδρομών που ακολουθεί το σήμα ανάμεσα στον πομπό και στο δέκτη. Κυρίως θα μας απασχολήσουν φαινόμενα μικρής κλίμακας μιας και είναι εκείνα τα οποία εμφανίζονται σε περιβάλλοντα πολλαπλών κεραιών (ΜΙΜΟ). Η αντιμετώπιση αυτών των προβλημάτων είναι ακόμα και σήμερα ένα επίκαιρο ζήτημα της τηλεπικοινωνιακής επιστήμης. Παραδοσιακός τρόπος για την αντιμετώπιση αυτών των προβλημάτων υπήρξε η προσπάθεια για αποφυγή αυτών των φαινομένων. Πρόσφατα έχουμε στραφεί σε άλλους τρόπους όπως η αύξηση της φασματικής απόδοσης και η καλύτερη εκμετάλλευση του fading. Ένα σημαντικό εργαλείο σε αυτήν την κατεύθυνση είναι η μαθηματική μοντελοποίηση του καναλιού Κανάλι προσθετικού θορύβου Το πιο απλό μαθηματικό μοντέλο καναλιού που δεν λαμβάνει υπόψη του τα παραπάνω φαινόμενα διαλείψεων, είναι το μοντέλο του σχήματος 1.2. Στο μοντέλο αυτό το σήμα s(t) εισερχόμενο στο κανάλι υφίσταται μια αλλοίωση, λόγω της προσθήκης μίας τυχαίας διαδικασίας θορύβου n(t). Ο θόρυβος αυτός είναι προσθετικός και μπορεί να προέρχεται από αντιστάσεις ή ηλεκτρονικά στοιχεία και ενισχυτές πριν το δέκτη αλλά από στοιχεία που βρίσκονται μέσα 3

12 Σχήμα 1.2 Κανάλι Προσθετικού (Gaussian) Θορύβου. στον ίδιο το δέκτη. Λέγεται αλλιώς και θερμικός θόρυβος και περιγράφεται στατιστικά ως μία γκαουσιανή (Gaussian) τυχαία μεταβλητή μηδενικής μέσης τιμής και φασματικής πυκνότητας ισχύος N o. Το μοντέλο αυτό είναι αρκετά 2 δημοφιλές για την προσέγγιση της συμπεριφοράς αρκετών φυσικών καναλιών καθώς εκτός από καλή ακρίβεια είναι και αρκετά απλό από μαθηματικής πλευράς. Το λαμβανόμενο σήμα στον δέκτη είναι r(t) = as(t) + n(t) όπου το a αναπαριστά τον παράγοντα εξασθένισης. Για να λάβουμε υπόψιν μας και φαινόμενα όπως τη μεταβαλλόμενη απόσταση του δέκτη από τον πομπό ή τις πολλαπλές διαδρομές που καλείται να διανύσουν τα δεδομένα πριν φτάσουν στον στόχο, μεταφράζουμε το κανάλι σαν γραμμικό χρονικά μεταβαλλόμενο σύστημα, στο οποίο οι διαλείψεις θεωρούμε ότι είναι ίδιες σε όλες τις συχνότητες. Σχήμα 1.3 Γραμμικό χρονικά μεταβαλλόμενο κανάλι με Προσθετικό θόρυβο Έχουμε λοιπόν, αν αυτή τη φορά ονομάσουμε τον παράγοντα εξασθένισης που μεταβάλλεται γραμμικά με το χρόνο h(t) και i τα διαφορετικά μονοπάτια (taps), ότι η απλή έξοδος που συνδέει την είσοδο με την έξοδο του συστήματος μας είναι: r(t) = h i (t) s(t τ ι ) + n(t) i 4

13 1.2.2 Κανάλι Rayleigh Στο παραπάνω μοντέλο αναγνωρίσαμε ότι τα διάφορα μονοπάτια έχουν διακριτές εξασθενίσεις οι οποίες είναι σαφώς διαχωρισμένες ως προς τον χρόνο. Μας ενδιαφέρει ωστόσο πραγματικά να βρούμε μία ακριβή περιγραφή τους, που να έχει ισχύ σε ένα ευρύ φάσμα συνθηκών. Για παράδειγμα, αναγνωρίζουμε ότι οι συντελεστές πρέπει να πάρουν συγκεκριμένες τιμές, αλλά χρειαζόμαστε ένα στατιστικό μέτρο του πόσες διαδρομές είναι απαραίτητες, πόσο γρήγορα αλλάζουν και πως μεταβάλλονται. Το πιο απλό πιθανοτικό μοντέλο για τους συντελεστές του καναλιού ανάλογα τη διαδρομή βασίζεται στην υπόθεση, ότι υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός στατιστικά ανεξάρτητα διασκορπισμένων μονοπατιών με τυχαία πλάτη και φάσεις στο χρονικό όριο που αντιστοιχεί σε μία μόνο διαδρομή. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι κάθε tap είναι το άθροισμα πολλών μικρότερων ανεξάρτητων μονοπατιών, που έχουν τη μορφή κυκλικά συμμετρικών τυχαίων μιγαδικών μεταβλητών. Σαν επακόλουθο από το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα έχουμε ότι ο κάθε παράγοντας εξασθένισης μπορεί να μοντελοποιηθεί σαν μια Gaussian μεταβλητή και να εξαρτάται μόνο από τον αριθμό του μονοπατιού, χωρίς να παίζει κανέναν ρόλο ο χρόνος. Οι μεταβλητές στις οποίες το πραγματικό και το φανταστικό μέρος είναι Gaussian διαδικασίες ονομάζονται Rayleigh και για αυτόν το λόγο το μοντέλο ονομάζεται Rayleigh. Το μοντέλο αυτό έχει μεγάλη εφαρμοσιμότητα σε διαθλαστικούς μηχανισμούς, όπου υπάρχουν πολλοί μικροί ανακλαστήρες, αλλά υιοθετείται κυρίως για την απλότητα του σε τυπικές κυψελοειδείς εφαρμογές, όπου ο αριθμός των ανακλαστήρων διατηρείται σε χαμηλά επίπεδα. Σχήμα 1.4 Διακύμανση πλάτους Rayleigh διαδικασίας. 5

14 1.3 Τηλεπικοινωνιακός Δέκτης Από τα πρώτα χρόνια της εμφάνισης των τηλεπικοινωνιών η μεγαλύτερη προσπάθεια ήταν η κατασκευή αξιόπιστων δεκτών που να μεγιστοποιούν την πιθανότητα σωστής ανάκτησης των μεταδιδόμενων δεδομένων. Από τις εργασίες του Shannon που άλλαξαν για πάντα τον τρόπο με τον οποίο αντιμετωπίζουμε την πληροφορία έως τον Gallager που εφηύρε τους LDPC κώδικες στο PHD του το 1960, οι τηλεπικοινωνιακοί δέκτες αποτελούν βασικό κομμάτι της κάθε γενιάς επικοινωνιών και ακολουθώντας τις τεχνολογικές προόδους στην τεχνολογία ολοκληρωμένων, διαρκώς βελτιώνονται σε απόδοση, ταχύτητα και κατανάλωση. Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε το λειτουργικό διάγραμμα ενός τηλεπικοινωνιακού δέκτη. Τα επιμέρους τμήματα από τα οποία απαρτίζεται είναι βασικά και το καθένα προσθέτει το δικό του χαρακτήρα στην επιτυχή ανάκτηση των δεδομένων. Σε αυτό το σημείο πρέπει να προστεθεί ότι ανάλογα την εφαρμογή, μπορεί να υπάρχουν και επιπλέον τμήματα όπως για παράδειγμα σε μια OFDM μετάδοση θα χρειαστούμε ένα κύκλωμα που θα επιτελεί αντίστροφους FFT στα ληφθέντα bits. Σχήμα 1.5 Τηλεπικοινωνιακό Σύστημα Equalizer : Ο ισοσταθμιστής παίζει σημαντικό ρόλο σε έναν τηλεπικοινωνιακό δέκτη καθώς είναι υπεύθυνος για τη μείωση της διασυμβολικής παρεμβολής. Η πολυπλοκότητά του ποικίλει καθώς μπορεί να είναι από ένα απλό γραμμικό φίλτρο έως υλοποίηση κάποιου πολύπλοκου αλγόριθμου. Είναι ένα μεγάλο κεφάλαιο των τηλεπικοινωνιών και αποτελεί κεντρικό θέμα αυτής της διπλωματικής. Demapper : Ο αποδιαμορφωτής είναι υπεύθυνος για τη μετατροπή των συμβόλων, που αποτελούν την έξοδο του ισοσταθμιστή σε bits. Συνήθως η έξοδος του ισοσταθμιστή έχει τη μορφή LLRs (Log-Likelihood-Ratios) και ο demapper κάνει μία απλή μετατροπή λαμβάνοντας υπόψη το συνδυασμό των προσήμων συμβόλου. De-interleaver : Τα περισσότερα κανάλια για συγκεκριμένες χρονικές περιόδους γίνονται θορυβώδη, μπαίνοντας σε κατάσταση βαθέων διαλείψεων. Αυτό είναι ιδιαίτερα προβληματικό για τη διαδικασία της αποδικωποίησης καθώς αν ο αριθμός των λαθών ξεπεράσει τη δυνατότητα διόρθωσης λαθών ενός κώδικα, τότε δεν γίνεται επιτυχής 6

15 ανάκτηση της απαιτούμενης λέξης. Οι περισσότεροι κώδικες λοιπόν χρειάζονται ανεξάρτητη διανομή λαθών για να λειτουργήσουν ικανοποιητικά. Αυτό επιτυγχάνεται με τον interleaver στον πομπό που αναδιανέμει τυχαία τα σύμβολα κατά την αποστολή. Ρόλος του deinterleaver είναι να βάλει στη σωστή σειρά τα σύμβολα πριν την τροφοδότηση του αποκωδικοποιητή. Decoder : Ο αποκωδικοποιητής είναι ένα περίπλοκο σύστημα που έχει τη δυνατότητα να εξωρήττει την πλεονασματική πληροφορία που εισάγεται από τον κωδικοποιητή στο δέκτη και να λαμβάνει την εκτιμώμενη κωδική λέξη στην έξοδο του δέκτη. Μπορεί από μόνος του να κάνει τη διαφορά ανάμεσα σε έναν λειτουργικό και σε έναν μη λειτουργικό δέκτη. Παρόλο που από μόνος του μπορεί να έχει σημαντική επίπτωση στην απόδοση, έχουμε αξιόλογη βελτίωση αν συνδυαστεί με τα παραπάνω. Η τελευταία λέξη της τεχνολογίας κάνει χρήση επαναλήψεων ανάμεσα στα στοιχεία αυτά πετυχαίνοντας αποδόσεις που πλησιάζουν τη χωρητικότητα του καναλιού. 7

16 Κεφάλαιο 2 Συστήματα Πολλαπλών Εισόδων Εξόδων MIMO Εισαγωγή Η κλασσική προσέγγιση της επικοινωνίας από σημείο σε σημείο (point to point), που συνήθως περιλάμβανει τη χρήση μιας κεραίας στο δέκτη και μιας στον πομπό έχει φτάσει στα όριά της, πετυχαίνοντας αποδόσεις που πλησιάζουν στην χωρητικότητα του καναλιού. Με τη συνεχόμενη αύξηση των αναγκών για όλο και μεγαλύτερες ταχύτητες στις επικοινωνίες, οι ερευνητές στράφηκαν στη χρήση πολλαπλών κεραιών σε πομπό και δέκτη. Χρησιμοποιώντας περισσότερες κεραίες κατάφεραν να αυξήσουν δραματικά τη χωρητικότητα της τηλεπικοινωνιακής ζεύξης, εκμεταλλευόμενοι τις πολλαπλές διαδρομές διάδοσης (multipath propagation). Είναι εύκολο να αναγνωρίσουμε τη μεγάλη επιτυχία που είχε η τεχνολογία MIMO αν δούμε την πληθώρα των εφαρμογών στις οποίες αποτελεί βασικό στοιχείο. Πρότυπα σαν το IEEE n (WiFi), το ΙΕΕΕ ac (WiFi), το HSPA+(3G), το WiMax(4G) και το Long Term Evolution (LTE 4G) είναι από τα πιο χαρακτηριστικά παραδείγματα ευρέως διαδεδομένων εμπορικών προτύπων που περιφέρονται γύρω από τη MIMO τεχνολογία. O βασικός λόγος που τα συστήματα MIMO συνάντησαν ευρεία διάδοση είναι η μεγάλη πιθανότητα το κανάλι να παρουσιάζει ανά τακτά χρονικά διαστήματα περιόδους μεγάλης εξασθένησης (deep fading), πράγμα που μεγαλώνει την πιθανότητα λάθους εκτίμησης για τα μεταδιδόμενα bits. Οι ερευνητές καλούνται λοιπόν να ανακαλύψουν τεχνικές οι οποίες θα μπορούν να παρακάμψουν τις ανωμαλίες του καναλιού που επηρεάζουν σε σημαντικό βαθμό τις επικοινωνίες. Η ανάγκη αυτή οδήγησε στην έρευνα τεχνικών διαφόρισης (diversity techniques) που βελτιώνουν αισθητά την απόδοση. Υπάρχουν πολλά διαφορετικά είδη διαφόρισης όπως η διαφόριση χρόνου, η διαφόριση συχνότητας ή η χωρική διαφόριση, των οποίων όμως η γενική ιδέα είναι η ίδια. Στέλνοντας σήματα που μεταφέρουν την ίδια πληροφορία μέσω διαφορετικών μονοπατιών, πολλαπλά ανεξάρτητα αντίγραφα συμβόλων λαμβάνονται στο δέκτη, καθιστώντας την επικοινωνία πιο αξιόπιστη. Από απλές τεχνικές που απλά επαναλαμβάνουν τα σταλμένα bits, μέχρι πιο σύνθετες που αξιοποιούν το διαφορισμό του καναλιού και ταυτόχρονα εκμεταλλεύονται όλους τους δυνατούς βαθμούς ελευθερίας οι επιλογές είναι πολλές και η καθεμία έχει διαφορετικά οφέλη. Στη συνέχεια του κεφαλαίου κάνουμε μία επισκόπηση των τεχνικών διαφόρισης, παραθέτοντας τα χαρακτηριστικά που διέπει την κάθε μία, επικεντρώνοντας την προσοχή μας στη χωρική διαφόριση (spatial diversity), η οποία είναι και αυτή που υλοποιείται από συστήματα MIMO. 8

17 2.1 Τεχνικές Διαφορισμού Υπάρχουν πολλοί τρόποι ώστε κάποιος να εκμεταλλευτεί τη διαφόριση. Η διαφόριση χρόνου αποκτάται μέσω κωδικοποίησης (coding) και διεμπλοκής (interleaving). Δηλαδή η πληροφορία κωδικοποιείται και τα κωδικοποιημένα σύμβολα διασκορπίζονται σε διαφορετικές περιόδους ώστε διαφορετικά μέρη των λέξεων να αντιμετωπίζουν διαφορετική εξασθένηση. Με ανάλογο τρόπο κάποιος θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει το διαφορισμό στη συχνότητα όπως για παράδειγμα σε επιλεκτικά στη συχνότητα κανάλια (frequency selective channels). Στην περίπτωση του καναλιού με πολλαπλές κεραίες σε πομπό και δέκτη, με κατάλληλη τοποθέτηση μεταξύ τους, ο διαφορισμός μπορεί να πάρει και χωρική μορφή. Αρκετά τηλεπικοινωνιακά συστήματα χρησιμοποιούν περισσότερους από έναν τύπο διαφορισμού, μιας και είναι τόσο σημαντικός πόρος. Διαφορισμός Χρόνου Ο χρονικός διαφορισμός επιτυγχάνεται προσπαθώντας να εξισωθεί η εξασθένηση του καναλιού στο χρόνο. Τυπικά το κανάλι έχει υψηλό βαθμό συσχέτισης ανάμεσα σε διαδοχικά σύμβολα μιας και ο χρόνος που χρειάζεται ώστε τα σύμβολα να είναι ανεξάρτητα από τις προηγούμενες τιμές τους (coherence time) πολλές φορές αγγίζει τα εκατοντάδες σύμβολα. Για να βεβαιωθούμε ότι τα κωδικοποιημένα σύμβολα μεταδίδονται μέσω ανεξάρτητων εξασθενήσεων απαιτείται διεμπλοκή των κωδικών λέξεων όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.1. Διαφορισμός Συχνότητας Στην περίπτωση που προσπαθούμε να εκμεταλλευτούμε το διαφορισμό στο πεδίο του χρόνου έχουμε να κάνουμε με στενής ζώνης επίπεδης διάλειψης κανάλια (narrowband flat fading channels). Αυτά τα κανάλια μοντελοποιούνται από φίλτρο μονής επαγωγής (single-tap filter) μιας και τα περισσότερα σύμβολα φτάνουν σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα, ακολουθώντας μια διαδρομή. Σε κανάλια ευρείας ζώνης ωστόσο το σταλμένο σήμα ακολουθεί πολλά διαφορετικά μονοπάτια φτάνοντας σε διαφορετικές χρονικές στιγμές στο δέκτη. Πλέον η απόκριση συχνότητας δεν είναι επίπεδη, δηλαδή το εύρος ζώνης W είναι μεγαλύτερο από το εύρος ζώνης του καναλιού W c. Ξεκινώντας από το μοντέλο βασικής ζώνης διακριτού χρόνου για το ασύρματο κανάλι έχουμε: y[m] = h l [m] x[m l] + w[m] l 9

18 Εδώ το h l [m] αναφέρεται στην l-οστή επαγωγή του καναλιού τη χρονική στιγμή m. Για να αποκτήσουμε μια ιδέα του διαφορισμού συχνότητας στην πιο απλή περίπτωση, ας θεωρήσουμε πρώτα ότι ένα σύμβολο x[0] στέλνεται τη χρονική στιγμή 0 και κανένα σύμβολο δεν ακολουθεί. Σχήμα 2.1 Τα σύμβολα μεταδίδονται σε διαδοχική σειρά (πάνω) και με interleaving (κάτω). Μία βαθιά εξασθένιση θα προκαλέσει αδυναμία ανάκτησης μιας ολόκληρης κωδικής λέξης στην πρώτη περίπτωση αλλά μόνο ένα κωδικοποιημένο σύμβολο από κάθε λέξη στη δεύτερη, πράγμα που δεν εμποδίζει την ανάκτησή της με επαρκή κωδικοποίηση. Ο δέκτης λοιπόν παρατηρεί: y[l] = h l [l]x[0] + w[l], l = 0,1,2, Αν υποθέσουμε ότι η απόκριση του καναλιού έχει συγκεκριμένο αριθμό taps L. Τότε τα καθυστερημένα αντίγραφα του σήματος μας παρέχουν L παρακλάδια διαφορισμού στην ανάκτηση του x[0] μιας και οι συντελεστές h l [l] υποθέτουμε ότι είναι ανεξάρτητοι. Αυτού του είδους ο διαφορισμός επιτυγχάνεται λοιπόν με την ικανότητα μας να αναλύουμε τα πολλαπλά μονοπάτια στο δέκτη, εξαιτίας της ευρυζωνικότητας του καναλιού και για αυτό ονομάζεται διαφορισμός συχνότητας. Το πιο απλό τηλεπικοινωνιακό πρότυπο μπορεί να χτιστεί στην παραπάνω ιδέα στέλνοντας ένα σύμβολο πληροφορίας κάθε L σύμβολα. Το μέγιστο κέρδος διαφορισμού μπορεί να επιτευχθεί με αυτό το πρότυπο, αλλά το πρόβλημα είναι ότι δεν χρησιμοποιεί όλους τους βαθμούς ελευθερίας του καναλιού. Σε περίπτωση που προσπαθήσουμε να εκμεταλλευτούμε όλο το διαθέσιμο εύρος του καναλιού μεταδίδοντας 10

19 σύμβολα πιο συχνά παρουσιάζεται διασυμβολική παρεμβολή (intersymbol interference (ISI)) - τα καθυστερημένα αντίγραφα των προηγούμενων συμβόλων επιδρούν στον παρόν σύμβολο. Το πρόβλημα που παρουσιάζεται τώρα είναι πως να αντιμετωπίσουμε την ISI ενώ ταυτόχρονα να εκμεταλλευτούμε τον έμφυτο διαφορισμό της συχνότητας στο κανάλι. Σε γενικές γραμμές, υπάρχουν 3 συνήθεις προσεγγίσεις: Συστήματα μονού φορέα με ισοστάθμιση (single carrier systems with equalization) Χρησιμοποιώντας γραμμική και μη-γραμμική επεξεργασία στο δέκτη, η διασυμβολική παρεμβολή μπορεί να εξαλειφθεί σε κάποιον βαθμό. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο της μέγιστης πιθανοφάνειας (Maximum-Likelihood) εφαρμόζοντας αλγορίθμους όπως ο Viterbi, οι οποίοι έχουν απαγορευτικό κόστος για μεγάλο αριθμό μονοπατιών. Εναλλακτικά υπάρχουν οι γραμμικοί ισοσταθμιστές που προσπαθούν να αναγνωρίσουν το παρόν σύμβολο ενώ γραμμικά καταπιέζουν την παρεμβολή από τα υπόλοιπα σύμβολα έχοντας σημαντικά μικρότερη πολυπλοκότητα. Συστήματα ευθείας ακολουθίας εξαπλωμένου φάσματος (direct sequence spread spectrum) Σε αυτή τη μέθοδο τα σύμβολα πληροφορίας διαμορφώνονται από μια ακολουθία ψευδοθορύβου και μεταδίδονται με ένα εύρος πολύ μεγαλύτερο από το ρυθμό αποστολής. Επειδή ο ρυθμός αποστολής των συμβόλων είναι πολύ μικρός, η διασυμβολική παρεμβολή είναι μικρή, απλοποιώντας σημαντικά το σχεδιασμό του δέκτη. Συστήματα πολλαπλών φορέων (multi-carrier systems) Εδώ, υιοθετούμε κατά την αποστολή κατάλληλη κωδικοποίηση ώστε να μετατρέψουμε το κανάλι σε ένα συνδυασμό μη-παρεμβολικών, ορθογωνίων υποφερουσών που η κάθε μία αντιμετωπίζει στενής ζώνης επίπεδες διαλείψεις. Διαχωρισμό πετυχαίνουμε κωδικοποιώντας τα σύμβολά μας στις διαφορετικές υποφέρουσες. Τυπικό παράδειγμα αυτής της προσέγγισης είναι η πολύπλεξη ορθογώνιου διαχωρισμού συχνότητας (Orthogonal Frequency Division Multiplexing - OFDM) την οποία θα παρουσιάσουμε αργότερα στην παρούσα διπλωματική εργασία. Διαφορισμός Χώρου Η πιο σημαντική μορφή διαφορισμού, η οποία και αποτελεί βασικό αντικείμενο της διπλωματικής εργασίας, είναι ο διαφορισμός χώρου. Απαραίτητη συνθήκη για τη χρήση του διαφορισμού χώρου είναι η τοποθέτηση πολλών κεραιών στον πομπό και στο δέκτη. Αν οι κεραίες είναι τοποθετημένες σε επαρκή απόσταση μεταξύ τους, τα κέρδη του καναλιού ανάμεσα σε διαφορετικά ζευγάρια κεραιών έχουν σε μεγάλο βαθμό ανεξάρτητες μεταβολές εξασθένησης με αποτέλεσμα να δημιουργούνται διαφορετικά μονοπάτια διάδοσης του σήματος. Η απαιτούμενη μορφολογία των κεραιών εξαρτάται από τον υπάρχον περιβάλλοντα χώρο καθώς επίσης και από τη συχνότητα της κάθε φέρουσας. 11

20 Παρακάτω θα εξετάσουμε το διαφορισμό δέκτη, χρησιμοποιώντας πολλαπλές κεραίες στο δέκτη (single input multiple output - SIMO) και διαφορισμό στον πομπό με αντίστοιχα πολλές κεραίες (multiple input single output MISO). Ακόμα περισσότερη δυναμική παρουσιάζουν τα συστήματα πολλαπλών κεραιών (multiple input multiple output -MIMO) τα οποία παρέχουν εκτός από σημαντικές ευκαιρίες διαφορισμού και επιπλέον βαθμούς ελευθερίας Συστήματα μιας εισόδου πολλαπλών εξόδων (SIMO) Σε ένα κανάλι επίπεδων διαλείψεων με μία κεραία αποστολής και L κεραίες λήψης όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.2, το μοντέλο του καναλιού είναι y l [m] = h l [m]x[m] + w l [m]l = 1,, L όπου ο θόρυβος w l [m] Ν(0, Ν 0 ) είναι ανεξάρτητος από κεραία σε κεραία. Θα θέλαμε να ανιχνεύσουμε το x[1] βασισμένοι στις παρατηρήσεις μας για τα y 1 [1],, y L [1]. Αν οι κεραίες έχουν επαρκή απόσταση μεταξύ τους, μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα κέρδη h l [1] είναι ανεξάρτητες μεταβλητές που ακολουθούν Rayleigh κατανομή, παίρνοντας με αυτόν τον τρόπο κέρδος διαφορισμού L. Σχήμα 2.2 Το SIMO μοντέλο καναλιού Στο διαφορισμό λήψης, υπάρχουν δύο πλεονεκτήματα με το να αυξήσουμε τον αριθμό L. Αυτό γίνεται εύκολα αντιληπτό αν λάβουμε υπόψη μας την έκφραση που μας δίνει την πιθανότητα λάθους σε ένα κανάλι χρησιμοποιώντας την απλή BPSK διαμόρφωση : Q ( 2 h 2 SNR) Τώρα αν σπάσουμε το συνολικό ληφθέν SNR θεωρώντας ότι είναι εξαρτημένο από τους συντελεστές του καναλιού, σε ένα γινόμενο 2 όρων έχουμε: 12

21 h 2 SNR = LSNR 1 L h 2 O πρώτος όρος αντιστοιχεί σε άμεσο κέρδος ισχύος : αυξάνοντας τον αριθμό των κεραιών στο δέκτη η ισχύς του λαμβανόμενου σήματος αυξάνεται γραμμικά με το L. Ο δεύτερος όρος αντικατοπτρίζει το κέρδος λόγω διαφορισμού: χρησιμοποιώντας πολλά ανεξάρτητα μονοπάτια για το σήμα, η πιθανότητα ότι θα έχουν όλα μεγάλη εξασθένηση ουσιαστικά εξαφανίζεται. Να σημειώσουμε εδώ ότι αν οι συντελεστές h l [m] είναι πλήρως συσχετισμένοι για μία τυχαία χρονική στιγμή m σε όλα τα taps τότε έχουμε μόνο κέρδος στην ισχύ αλλά κανένα στο διαφορισμό καθώς αυξάνουμε το L. Από την άλλη πλευρά ακόμα και όταν όλα τα h l είναι τελείως ανεξάρτητα, υπάρχει ένα όριο στο πόσο μπορούμε να το αυξήσουμε το L πριν αρχίσει να μην προσφέρει καμία βελτίωση και ακόμα και να χειροτερεύει το συνολικό αποτέλεσμα. Αυτό φαίνεται από το δεύτερο όρο στην παραπάνω εξίσωση 1 L h 2 = 1 L L h l[m] 2 o οποίος συγκλίνει στο 1 για αυξανόμενο L (αν υποθέσουμε ότι οι συντελεστές του καναλιού είναι κανονικοποιημένοι να έχουν διασπορά μονάδα). Ο περιορισμός αυτός δεν επηρεάζει ωστόσο το κέρδος ισχύος το οποίο με κάθε διπλασιασμό του L μεγαλώνει για 3 db Συστήματα πολλαπλών εισόδων μιας εξόδου (MISO) l=1 Ας θεωρήσουμε την περίπτωση όπου υπάρχουν L κεραίες εκπομπής και μία κεραία λήψης, που είναι το λεγόμενο MISO κανάλι που φαίνεται στο Σχήμα 2.3. Μία κοινή πρακτική εφαρμογή αυτής της τοπολογίας είναι στη ροή κατεβάσματος (downlink) ενός συστήματος κινητής τηλεφωνίας μιας και είναι αρκετά φθηνότερο το να έχουμε πολλές κεραίες στο σταθμό μετάδοσης, παρά σε κάθε κινητή μονάδα. Είναι αρκετά εύκολο να πετύχουμε διαφορισμό με κέρδος L, μεταδίδοντας πολύ απλά το ίδιο σύμβολο και στις L διαφορετικές κεραίες σε χρονικό διάστημα ίσο με L σύμβολα. Κάθε στιγμή μόνο μια κεραία είναι ενεργή και οι υπόλοιπες δεν λειτουργούν. Αυτό που έχει μεγάλη σημασία είναι ότι οποιαδήποτε τεχνική διαφορισμού στο χρόνο μπορεί να εφαρμοστεί στο συγκεκριμένο διαφορισμό πηγής χρησιμοποιώντας μία κεραία κάθε χρονική στιγμή και μεταδίδοντας τα κωδικοποιημένα σύμβολα του κώδικα χρονικού διαφορισμού διαδοχικά μέσω των διαφορετικών κεραιών. 13

22 Σχήμα 2.3 ΤΟ MISO μοντέλο καναλιού Ακόμα πιο αποτελεσματικοί όμως είναι κώδικες οι οποίοι σχεδιάζονται ακριβώς για το συγκεκριμένο είδος διαφορισμού. Έχουν υπάρξει αρκετές ερευνητικές δραστηριότητες σε αυτή την περιοχή που γέννησαν ένα νέο πεδίο των τηλεπικοινωνιών, τους κώδικες χώρου-χρόνου (space-time coding). Για να πάρουμε μια γεύση εδώ θα παρουσιάσουμε τον πιο απλό από αυτούς τους κώδικες που όμως βρήκε ευρεία εφαρμογή στα συστήματα 3 ης γενιάς, τον κώδικα Alamouti. Ο κώδικας Alamouti έχει σχεδιαστεί για 2 κεραίες στον πομπό χωρίς να αποκλείεται η γενίκευση του σε παραπάνω από 2 κεραίες. Alamouti Κώδικας Σε ένα σύστημα επίπεδης διάλειψης, το MISO κανάλι παίρνει τη μορφή: y[m] = h 1 [m]x 1 [m] + h 2 [m]x 2 [m] + w[m] όπου h ι είναι ο συντελεστής του καναλιού που αντιστοιχεί στην κεραία i. Ο κώδικας του Alamouti μεταδίδει δύο μιγαδικά σύμβολα u 1 και u 2 σε 2 διαδοχικές χρονικές τιμές. Τη χρονική στιγμή 1 x 1 [1] = u 1,x 2 [1] = u 2 και τη χρονική στιγμή 2 τα σύμβολα x 1 [2] = u 2, x 2 [2] = u 1. Αν υποθέσουμε ότι το κανάλι παραμένει σταθερό στη διάρκεια των 2 διαδοχικών χρονικών στιγμών και θέσουμε h 1 = h 1 [1] = h 1 [2], h 2 = h 2 [1] = h 2 [2] τότε μπορούμε να γράψουμε σε μορφή πινάκων : [y[1]y[2]] = [h 1 h 2 ] [ u 1 u 2 u 2 u 1 ] + [w[1] + w[2]] To πρόβλημα μας σε αυτό το σημείο είναι να βρούμε τα u 1, u 2 και έτσι ξαναγράφουμε την παραπάνω εξίσωση: [ y[1] y[2] ] = [ h 1 h 2 h 2 h 1 ] [ u 1 u 2 ] + [ w[1] w[2] ] Παρατηρούμε ότι οι στήλες του τετραγωνικού πίνακα είναι ορθογώνιες πράγμα που σημαίνει ότι το πρόβλημα εύρεσης των u 1, u 2 μεταμορφώνεται σε δύο ξεχωριστά, ορθογώνια, βαθμωτά προβλήματα. Παίρνοντας την προβολή λοιπόν του y σε κάθε μία από τις 2 στήλες για να αποκτήσουμε τα επαρκή στατιστικά 14

23 r i = h u i + w i, i = 1,2 όπου h = [h 1 h 2 ] t και w i Ν(0, Ν 0 ) και τα w 1, w 2 είναι ανεξάρτητα. Έτσι το κέρδος διαφορισμού είναι 2 για την ανίχνευση του κάθε συμβόλου (με την υπόθεση ότι η συνολική δύναμη πομπού είναι ίδια και στις 2 περιπτώσεις). Ο κώδικας Alamouti μπορεί να δουλέψει για κάθε πιθανό αστερισμό των συμβόλων u 1, u 2. Βλέπουμε για τη μετάδοση 2 συμβόλων χρειάζονται 2 χρονικές στιγμές που σημαίνει ότι ο κώδικας αυτός έχει λόγο μετάδοσης-1. Αυτό κάνει τον Alamouti κώδικα ξεχωριστό μιας και είναι ο μοναδικός από τους ορθογώνιους κώδικες χώρου-χρόνου που καταφέρνει να πετύχει λόγο μετάδοσης-1. Με άλλα λόγια είναι ο μόνος space-time κώδικας που καταφέρνει και πετυχαίνει το μέγιστο κέρδος διαφορισμού χωρίς να θυσιάζει καθόλου λόγο μετάδοσης δεδομένων. Αυτό βέβαια έχει ισχύ μόνο για μιγαδικούς αστερισμούς πράγμα που δεν αποτελεί πρόβλημα μιας και η πληθώρα των χρησιμοποιούμενων διαμορφώσεων γίνεται και στους 2 άξονες. Γλιτώνουμε έτσι αρκετούς πόρους καθώς στέλνουμε την ίδια πληροφορία με αρκετά λιγότερα db. 2.2 Συστήματα ΜΙΜΟ Προχωρώντας ένα βήμα παραπέρα στην προσπάθειά μας για εκμετάλλευση όλων των δυνατών τρόπων για πιο αξιόπιστη επικοινωνία, έχουμε το συνδυασμό των 2 παραπάνω προτύπων, με τη χρησιμοποίηση πολλαπλών κεραιών και στον πομπό και στο δέκτη. Όπως θα δούμε, αυτή η τοπολογία έχει πολλά οφέλη αλλά και πολλές προκλήσεις καθώς απαιτούνται περισσότεροι υπολογιστικοί πόροι για να έχουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα. Η τοπολογία ενός ΜΙΜΟ συστήματος φαίνεται στο Σχήμα 2.3. Παράλληλα η μαθηματική έκφραση του δίνεται y 1 h 11 h 12 h 1n x 1 w 1 y 2 h [ ] = [ 21 h 22 h 2n x 2 w 2 ] [ ] + [ ] y 4 h n1 h n2 h nn x 4 w 4 όπου [x 1, x 2,, x n ] T είναι τα σύμβολα που μεταδίδει η συστοιχία των κεραιών του πομπού, [y 1, y 2,, y n ] T αυτά που λαμβάνονται από τις κεραίες του δέκτη και [w 1, w 2,, w n ] T ο θόρυβος που συνήθως υποθέτουμε ότι είναι Gaussian. 15

24 Σχήμα 2.3 Κανάλι ΜΙΜΟ με τους συντελεστές Για την ακόλουθη μελέτη μας και τα συναφή συμπεράσματα που θα εξάγουμε, για απλούστευση θα θεωρήσουμε ένα σύστημα με δύο κεραίες στον πομπό και δύο στο δέκτη. Σε αυτό το 2x2 σύστημα οι συντελεστές h ij ακολουθούν την κατανομή Rayleigh και συμβολίζουν την επιρροή της κεραίας j στην κεραία i. Ας υποθέσουμε ακόμη ότι και στον πομπό και στο δέκτη οι κεραίες έχουν κατάλληλες αποστάσεις μεταξύ τους οπότε οι αντίστοιχες εξασθενήσεις είναι ανεξάρτητες. Υπάρχουν τέσσερα μονοπάτια που εξασθενούν ανεξάρτητα ανάμεσα στις δύο συστοιχίες, οδηγώντας μας στο συμπέρασμα ότι ο μέγιστος διαφορισμός που μπορούμε να πετύχουμε είναι 4. Όπως είδαμε και στα προηγούμενα πρότυπα διαφορισμού μπορούμε και εδώ να χρησιμοποιήσουμε τον πιο απλό τρόπο αποστολής που είναι να μεταδώσουμε το ίδιο σύμβολο και από τις δύο κεραίες σε δύο διαδοχικές χρονικές στιγμές (ενώ η μία στέλνει η άλλη παραμένει κλειστή). Αν το μεταδιδόμενο σύμβολο είναι το x τότε τα λαμβανόμενα σύμβολα στις δύο κεραίες είναι τη χρονική στιγμή 1 και y i [1] = h i1 x + w i [1]l = 1,2 y i [2] = h i2 x + w i [1]l = 1,2 τη χρονική στιγμή 2. Εφαρμόζοντας τη μέθοδο συνδυαστικού διαφορισμού maximal-ratio combining για τα 4 ληφθέντα σύμβολα, δημιουργούμε ένα κανάλι 2 2 με κέρδος h ij 2 i=1 j=1 που τετραπλασιάζει το κέρδος διαφορισμού μας. Όπως στην περίπτωση του MISO καναλιού δεν έχουμε με αυτόν τον τρόπο τη μέγιστη εκμετάλλευση των βαθμών ελευθερίας στο κανάλι. Υπό αυτή την 16

25 οπτική, ο κώδικας Alamouti τα καταφέρνει καλύτερα στέλνοντας 2 σύμβολα σε 2 χρονικές στιγμές. Αλλά στην προσπάθειά μας να βρούμε αν υπάρχει καλύτερη εναλλακτική από τον Alamouti πρέπει πρώτα να εντοπίσουμε πόσους βαθμούς ελευθερίας έχει στο συγκεκριμένο παράδειγμα το 2x2 σύστημά μας. Ορίζουμε τους βαθμούς ελευθερίας ενός συστήματος ως τη διάσταση που χαρακτηρίζει το χώρο στο δέκτη (κοινώς ποιος ο αριθμός των κεραιών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε κάθε χρονική στιγμή). Είναι λοιπόν προφανές ότι σε ένα 2x1 κανάλι έχουμε βαθμό ελευθερίας ένα για κάθε χρονική στιγμή. Σε αυτό το σενάριο ο κώδικας Alamouti χρησιμοποιεί όλους τους διαθέσιμους βαθμούς ελευθερλιας. Έχοντας L κεραίες στο δέκτη αλλά μία στον πομπό έχουμε πάλι βαθμό ελευθερίας ένα ανά σύμβολο καθώς δεν μπορούμε να εκμεταλλευτούμε παραπάνω από μία κεραία σε κάθε χρονική στιγμή. Τα πράγματα αλλάζουν σε ένα MIMO περιβάλλον και ειδικά στην περίπτωσή μας του 2x2 συστήματος όπου σε κάθε χρονική στιγμή μπορούμε να στείλουμε δύο διαφορετικά σύμβολα, αρκεί οι συντελεστές του καναλιού h 1 και h 2 να είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους. Το σήμα από την κεραία j φτάνει στον προορισμό του και με δύο υπάρχουσες κεραίες ο δέκτης μπορεί να κάνει το διαχωρισμό ανάμεσα στα δύο σήματα. Ο επιπλέον βαθμός ελευθερίας προκύπτει από το χωρικό πλεονασμό. Τώρα που οριοθετήσαμε το πλαίσιο με το οποίο μπορούμε να ξεκαθαρίσουμε τον βαθμό ελευθερίας ενός συστήματος, προκύπτει ξεκάθαρα ότι ο κώδικας Alamouti δεν καταφέρνει να χρησιμοποιήσει αποτελεσματικά τα περιθώρια που αφήνει το MIMO κανάλι. Εύκολα μπορούμε να καταλήξουμε σε ένα πρότυπο που τα καταφέρνει. Μπορούμε να στέλνουμε ανεξάρτητα μηκωδικοποιημένα σύμβολα σε διαφορετικές κεραίες σε κάθε χρονική στιγμή. Ο παραπάνω τρόπος ονομάζεται χωρική πολυπλεξία (spatial multiplexing) καθώς ανεξάρτητες ροές δεδομένων πολυπλέκονται στο χώρο καθώς στέλνονται ταυτόχρονα. Στη βιβλιογραφία εμφανίζεται συχνά και σαν V-BLAST. Ενώ είδαμε ότι η χωρική πολυπλεξία μας βοηθάει να εκμεταλλευτούμε πλήρως τους βαθμούς ελευθερίας του καναλιού, δεν καταφέρνει το ίδιο όσον αφορά το κέρδος διαφορισμού το οποίο για το V-BLAST στο 2x2 σύστημα είναι 2. Αυτό συμβαίνει εξαιτίας της έλλειψης κωδικοποίησης σε αντίθεση με τον κώδικα Alamouti, πράγμα που δεν μας επιτρέπει να χρησιμοποιήσουμε διαφορισμό αποστολής και μας περιορίζει στον διαφορισμό που προκύπτει από την πληθώρα των κεραιών. Από την άλλη η πλήρης εκμετάλλευση των χωρικών βαθμών ελευθερίας επιτρέπουν την πιο αποτελεσματική επικοινωνία, καταλήγοντας τελικά σε κέρδος κωδικοποίησης. Τα παραπάνω συμπεράσματα μπορούν να συνοψιστούν ως εξής. Πρώτον, βλέπουμε ένα νέο ρόλο για τις πολλαπλές κεραίες : εκτός από το διαφορισμό, μπορούν επίσης να προσφέρουν επιπλέον βαθμούς ελευθερίας για την επικοινωνία μας, πράγμα που πρακτικά σημαίνει γρηγορότερη μεταφορά 17

26 δεδομένων. Δεύτερον η χωρική πολυπλεξία αποδεικνύει ότι οι επιπλέον βαθμοί ελευθερίας ή ο διαφορισμός δεν έχουν ξεκάθαρα νικητή ανάμεσά τους στο ποιος μας προσφέρει καλύτερο κέρδος κωδικοποίησης δηλαδή μεγαλύτερη διαφορά σε κέρδος ισχύος ανάμεσα στην αποστολή κωδικοποιημένων και μηκωδικοποιημένων δεδομένων. Υπάρχει λοιπόν πρόσφορο έδαφος για την αναζήτηση ενός πιο καλά ορισμένου πλαισίου που να συνδυάζει τα δύο παραπάνω κριτήρια σε ένα που λαμβάνει υπόψη του την απόδοση και έρευνα για το αν υπάρχει ένα πρότυπο που να πετυχαίνει ταυτόχρονα τον μέγιστο διαφορισμό και τους μέγιστους βαθμούς ελευθερίας του καναλιού. Ένα άλλο πρόβλημα που προκύπτει από τα παραπάνω είναι το κόστος υλοποίησης των ψηφιακών δεκτών που πρέπει να σχεδιαστούν για να υποστηρίξουν τα παραπάνω πρότυπα επικοινωνίας. Στην περίπτωση του κώδικα Alamouti ο δέκτης που απαιτείται είναι ένας απλός δέκτης μέγιστης πιθανοφάνειας (Maximum-Likelihood) ιδιαίτερα χαμηλής πολυπλοκότητας. Δεν ισχύει το ίδιο ωστόσο και στην περίπτωση του V-BLAST ML δέκτη καθώς είναι αναγκαία η από κοινού ανίχνευση των 2 συμβόλων. Η αναζήτηση της χρυσής τομής ανάμεσα σε αποδόσεις και υπολογιστικό κόστος είναι μια μάχη η οποία έχει δώσει τροφή σε αμέτρητες αρχιτεκτονικές και αλγορίθμους και είναι ένα από τα πιο ενεργά σημεία των ερευνών για όλο και πιο σύγχρονους δέκτες που θα καλύπτουν τις αυξανόμενες ανάγκες για επικοινωνία. Εκτενές αφιέρωμα σε αρχιτεκτονικές MIMO δεκτών θα γίνει στη συνέχεια της διπλωματικής εργασίας. Σχήμα 3.4 Διαφορισμός και Βαθμοί Ελευθερίας για ένα ΜΙΜΟ 2x2 18

27 Κεφάλαιο 3 Μοντελοποίηση καναλιών MIMO Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε εκτενέστερα με τα ΜΙΜΟ κανάλια, τώρα που έχουμε μια καλή ιδέα για τα οφέλη που κερδίζουμε από τη χρήση τους. Θα ξεκινήσουμε με τη εύρεση ενός στατιστικού μοντέλου που να περιγράφει καλύτερα τη συμπεριφορά των καναλιών αυτών και να μας επιτρέπει τη μελέτη της χωρικής πολυπλεξίας. Βασική Προσέγγιση Στην προσπάθειά μας να μοντελοποιήσουμε το MIMO κανάλι, θα μπορούσαμε να ξεκινήσουμε βρίσκοντας ένα μοντέλο που να λαμβάνει υπόψη του τα ανεξάρτητα μονοπάτια που ακολουθεί το σήμα για να φτάσει στον προορισμό του. Καταλαβαίνουμε όμως ότι αυτό θα περιέπλεκε σε μεγάλο βαθμό τους ήδη περίπλοκους υπολογισμούς και τελικά καταλήγουμε στο ότι θα ήταν καλύτερο να εισάγουμε ένα πιο αφηρημένο φυσικό μοντέλο με υψηλότερο βαθμό αφαιρετικότητας που να λαμβάνει υπόψη του τα συνολικά χωρικά αναλύσιμα μονοπάτια (spatially resolvable paths). 3.1 Αναπαράσταση στο πεδίο της γωνίας Ανάλογη διαδικασία είχαμε ακολουθήσει όταν είχαμε αναλύσει το Rayleigh κανάλι σε προηγούμενο κεφάλαιο, όπου δώσαμε βάση στο άθροισμα της επίδρασης των πολλαπλών taps σε ένα συντελεστή για την κάθε χρονική στιγμή. Το ίδιο θα κάνουμε και σε αυτήν την περίπτωση μόνο που εδώ θα δούμε τη συνολική χωρική επίδραση του κάθε tap. Σημαντικό χαρακτηριστικό από το οποίο εξαρτάται αν ένα μονοπάτι συνεισφέρει στη χωρική προσθετικότητα του καναλιού, είναι τα μήκη των κεραιών δέκτη L t και πομπού L r. Συγκεκριμένα, διαδρομές κατά τις οποίες τα συνημίτονα των γωνιών που σχηματίζουνε με τις κεραίες στον πομπό διαφέρουν λιγότερο από 1 L t και στο δέκτη λιγότερο από 1 L r δεν συνεισφέρουν στη χωρική αναπαράσταση του καναλιού. Αυτό σημαίνει ότι θα πρέπει να δειγματοληπτήσουμε τον τομέα της γωνίας σε τακτά γωνιακά 1 1 διαστήματα μήκους και σε πομπό και δέκτη αντίστοιχα και να L t L r αναπαραστήσουμε το κανάλι σε συνάρτηση αυτών των διαστημάτων. Ο συντελεστής h kl σε αυτό το γωνιακό σύστημα που υιοθετήσαμε είναι η πρόσθεση όλων των μονοπατιών. Το συνημίτονο τους σε σχέση με τις κεραίες πομπού και δέκτη είναι σε μια στενή περιοχή διαστήματος 1 και 1 γύρω από τα συνημίτονα L t L r 19

28 k και l αντίστοιχα. Το Σχήμα 3.1 είναι μια καλή αναπαράσταση μιας συσχέτισης L t L r ανάμεσα στις γωνίες των διαδρομών και στην επιρροή τους στον χωρικό πίνακα. Σχήμα 3.1 Γωνιακή αναπαράσταση 4x6 συστήματος Κανάλι ΜΙΜΟ πολλαπλών διαδρομών Ας θεωρήσουμε τώρα το κανάλι ΜΙΜΟ στενής ζώνης. y = Hx + w Οι n t και n r κεραίες τοποθετούνται σε ομοιόμορφους γραμμικούς πίνακες κανονικοποιημένων μηκών L t και L r αντίστοιχα. Η κανονικοποιημένη απόσταση ανάμεσα στις κεραίες του πομπού είναι Δ t = L t n t και ανάμεσα στις κεραίες του δέκτη είναι Δ t = L r n r. Θεωρούμε επίσης ότι υπάρχει ένας αυθαίρετα μεγάλος αριθμός φυσικών μονοπατιών ανάμεσα στον πομπό και στο δέκτη όπου το i-οστό μονοπάτι έχει εξασθένηση a i και γωνία φ ti με συνημίτονο Ω ti = cosφ ti με τον πομπό και αντίστοιχα γωνία φ ri με συνημίτονο Ω ri = cosφ ri με το δέκτη. Ο πίνακας συντελεστών H δίνεται από H = a i b e r (Ω ri )e t (Ω ti ) i Ο λόγος που η αναπαράσταση αυτή είναι εξαιρετικά σημαντική είναι ότι υπάρχει μεγάλη διαφορά στην ισχύ του απεσταλμένου σήματος ανάλογα με τη γωνιακή του σχέση με το σύστημα αναφοράς. Η συνολική ισχύς λοιπόν είναι συγκεντρωμένη γύρω από βασικά διανύσματα e r ( k L r ) και σχεδόν μηδενική γύρο 20

29 από τα υπόλοιπα. Αν λοιπόν θεωρήσουμε σαν βάση του χώρου του ληφθέντος σήματος τα διανύσματα S r = {e r (0), e r ( 1 L r ),, e r ( n r 1 L r )} τα οποία σχηματίζουν μια ορθογώνια βάση διανυσματικού χώρου, έχουμε μια πολύ απλή αλλά εξαιρετικά ακριβή αναπαράσταση του λαμβανόμενου σήματος σε όλες τις διαστάσεις. Τα παραπάνω μπορούν να γενικευτούν και στην περίπτωση του πομπού στην οποία έχουμε μια αντίστοιχη ορθογώνια βάση διανυσμάτων από τα οποία ένα κάθε φορά θα αποτελεί το κεντρικό διάνυσμα με το οποίο θα μεταφέρεται η πλειονότητα της ισχύος. Παραδείγματα γωνιακών βάσεων Το Σχήμα 3.2 μας δίνει μια καλή εικόνα του πως κατανέμονται τα βάρη χρησιμοποιώντας διαφορετικές αποστάσεις για τα διανύσματα που αποτελούν βάση για το διανυσματικό χώρο των γωνιών. Διακρίνουμε 3 περιπτώσεις: Οι κεραίες είναι οριακά τοποθετημένες (critically spaced) με την απόσταση μεταξύ τους να είναι στο μισό μήκος κύματος (Δ r = 1 ). Σε αυτήν 2 την περίπτωση κάθε διάνυσμα βάσης e r ( k ) παρουσιάζει την κύρια ισχύ L r του γύρω από τις γωνίες ±arccos ( k L r ). Οι κεραίες είναι αραιά τοποθετημένες (sparsely spaced) με την απόσταση μεταξύ τους να είναι μεγαλύτερη από το Δ r > 1. Όπως βλέπουμε και στο 2 σχήμα κάποια από τα διανύσματα βάσης έχουν την κύρια ισχύ τους σε παραπάνω από δύο γωνίες. Οι κεραίες είναι πυκνά τοποθετημένες (densely spaced) με την απόσταση μεταξύ τους να είναι μικρότερη από το Δ r < 1 γεγονός που οδηγεί στο 2 συμπέρασμα ότι δεν χρειάζονται όλα τα διανύσματα βάσης για να αποτυπωθεί σε εξισώσεις γωνίας το κανάλι μιας και κάποια από αυτά δεν παρουσιάζουν μεγάλη ισχύ σε καμία γωνία. 21

30 Σχήμα 3.2 Κύριες γωνίες ανά βασικό διάνυσμα σε συνάρτηση με τον αριθμό των κεραιών α)οριακά τοποθετημένες β)αραιά τοποθετημένες γ)πυκνά τοποθετημένες Αναπαράσταση στο πεδίο γωνίας καναλιών ΜΙΜΟ Αφού εμφανίσαμε τα οφέλη της χρήσης του τομέα της γωνίας για την αναπαράσταση του καναλιού MIMO, τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε στη μαθηματική αναπαράσταση. Ας θεωρήσουμε ότι έχουμε τους πίνακες U t και U r που είναι κανονικοί (Unitary), οι στήλες των οποίων είναι τα διανύσματα που καθορίζουν τις βάσεις S t και S r αντίστοιχα. Εύκολα αποδεικνύεται ότι οι συντεταγμένες των σταλθέντων και ληφθέντων σημάτων μετατρέπονται στον τομέα της γωνίας με τις εξής σχέσεις : x a = U t x y a = U r y 22

31 Αντικαθιστώντας στη σχέση y = Hx + w παίρνουμε την ισοδύναμη αναπαράσταση y a = U r HU t x a + U r w = H a x a + w a Από την έκφραση του πίνακα H του καναλιού έχουμε για τον συντελεστή ανάμεσα σε κάθε k γωνία με κεραία του πομπού και κάθε l γωνία με κεραία του δέκτη : a i b i h a kl = e r ( k ) He L t ( k ) r L t [e r ( k ) e L r (Ω ri )] [e t ( k ) e r L t (Ω ti )] t O όρος e r ( k L r ) e r (Ω ri ) έχει τιμή σημαντικής αξίας μόνο αν Ω ri k L r < 1 L r a Για τον συντελεστή h kl τότε μπορούμε να πούμε ότι είναι κατά βάση συνάρτηση b των κερδών a i των μονοπατιών που έχουν σχηματίζουν γωνίες που ικανοποιούν την προηγούμενη σχέση με τον πομπό και το δέκτη. Βλέπουμε λοιπόν ότι η βάση για τη στατιστική περιγραφή των MIMO καναλιών με διαλείψεις είναι η προσέγγιση ότι τα φυσικά μονοπάτια χωρίζονται σε μέρη ανάλογα με τη γωνία τους και προστίθενται για να υπολογιστεί η συνολική επιρροή τους ανάμεσα σε 2 κεραίες. Υποθέτοντας ότι τα κέρδη a b i [m] είναι ανεξάρτητα προκύπτει το ίδιο και για τα κέρδη h a kl. Επιπροσθέτως οι γωνίες συνήθως μεταβάλλονται με πολύ μικρότερο ρυθμό από ότι τα αντίστοιχα κέρδη με αποτέλεσμα να κάνουμε τη θεώρηση ότι για τη διάρκεια που διατηρούνται σταθερά τα a b i [m] δεν παρατηρούμε μεταπήδηση από γωνία σε γωνία για συγκεκριμένο κέρδος και οι εξασθενήσεις h a kl [m] είναι ανεξάρτητες μεταξύ των κεραιών. Από το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα όταν έχουμε πολλά μονοπάτια σε συγκεκριμένες γωνιακές συντεταγμένες έχουμε τη δυνατότητα να προσεγγίσουμε τις εξασθενήσεις μας σαν συζυγείς κυκλικά συμμετρικές Gaussian διαδικασίες ενώ σε αντίθεση περίπτωση που δεν υπάρχουν σημαντικά μονοπάτια σε κάποιες συντεταγμένες οι τιμές τείνουν στο 0. Για αυτό το λόγο σε ένα κανάλι με μικρή διαφοροποίηση των γωνιών των τοποθετημένων κεραιών, οι πιο πολλές τιμές του H a [m] είναι μηδενικές. 23

32 3.1.3 Βαθμοί ελευθερίας και διαφορισμός Βαθμοί ελευθερίας Δοσμένου του παραπάνω στατιστικού μοντέλου, υπάρχει η δυνατότητα να ποσοτικοποιήσουμε τα μεγέθη για τα οποία αναφερθήκαμε προηγουμένως και αποτελούν τα μέτρα για την αποδοτική επικοινωνία : τους βαθμούς ελευθερίας του καναλιού και τον πιθανό διαφορισμό του. O βαθμός ενός τυχαίου πίνακα H a δίνεται από : Rank(H a )=min{αριθμός μη-μηδενικών σειρών, αριθμός μη-μηδενικών γραμμών} Ο παραπάνω αριθμός υποδεικνύει τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας που είναι διαθέσιμοι στο MIMO κανάλι. Αυτός ο αριθμός εξαρτάται με τη σειρά του σε δύο διαφορετικούς παράγοντες. Την ποσότητα διάθλασης και αντανάκλασης στο περιβάλλων πολλαπλών μονοπατιών. Όσο περισσότεροι διαθλαστές και ανακλαστές υπάρχουν, τόσο μεγαλύτερος ο αριθμός των μη-μηδενικών στοιχείων στον τυχαίο πίνακαh a και αντίστοιχα για τους βαθμούς ελευθερίας. Τα μήκη L t και L r των κεραιών στον πομπό και στο δέκτη. Με μικρά μήκη κεραιών πολλές διαφορετικές διαδρομές μπορεί να συγχωνευτούν σε λιγότερα μονοπάτια. Αυξάνοντας τα μήκη των κεραιών επιτρέπει τον κβαντισμό σε περισσότερες γωνίες και άρα στη δημιουργία περισσότερων μηδενικών τιμών στον H a. Διαφορισμός Σε ένα περιβάλλον αργών διαλείψεων εξίσου σημαντικός παράγοντας είναι η ποσότητα του εν δυνάμει διαφορισμού. Έχουμε ξανατονίσει ότι αυτός είναι ο αριθμός των ανεξάρτητων συντελεστών καναλιού που πρέπει να βρίσκονται σε βαθιά διάλειψη ώστε ολόκληρο το κανάλι να καταρρεύσει και να βρεθεί σε βαθιά εξασθένηση. Στον τομέα της γωνίας, ο διαφορισμός είναι απλά ο αριθμός των μη-μηδενικών τιμών στον H a. Παρατηρούμε εδώ ότι κανάλια που έχουν ακριβώς τους ίδιους βαθμούς ελευθερίας μπορεί να έχουν σημαντικά διαφορετικές δυνατότητες διαφορισμού. Ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας εξαρτάται πρωταρχικά από τις γωνιακές αποκλίσεις των διαθλάσεων/ανακλάσεων σε πομπό και δέκτη. Οι πιθανοί διαφορισμοί εξαρτώνται επίσης από τη συνδεσιμότητα ανάμεσα στις γωνίες αποστολές και λήψης. Σε ένα κανάλι με πολλά ανακλώμενα μονοπάτια, τα σήματα που στέλνονται με μία γωνία φθάνουν στο δέκτη σε πολλές διαφορετικές γωνίες. Είναι σημαντικό επίσης να σημειώσουμε ότι μέγιστο διαφορισμό μπορούμε να πετύχουμε τοποθετώντας τη μία κεραία από την άλλη σε μισό μήκος κεραίας απόσταση. Μια πιο αραιή αρχιτεκτονική μειώνει την υπολογισιμότητα 24

33 της συστοιχίας κεραιών και πιθανότατα μειώνει βαθμούς ελευθερίας και διαφορισμό. Μια πυκνότερη αρχιτεκτονική προσθέτει περιττά διανύσματα βάσης τα οποία δεν προσθέτουν στην προσπάθειά μας. Ανεξάρτητα ταυτοτικά κατανεμημένο Rayleigh μοντέλο διαλείψεων Όπως είδαμε και πριν το πιο προσφιλές μοντέλο που συνδυάζει απλότητα και ακρίβεια είναι το ανεξάρτητα ταυτοτικά κατανεμημένο (independent identically distributed i.i.d.) Rayleigh κανάλι. Μιας και ο πίνακας H[m] και ο αντίστοιχος στο πεδίο της γωνίας H a [m] συνδέονται στενά μεταξύ τους με τη σχέση H a [m] = U r H[m]U t και οι U r και U t είναι κανονικοί πίνακες, συμπεραίνουμε ότι και ο πίνακας H a θα πρέπει να έχει την ίδια κατανομή με τον H. Η προσέγγιση λοιπόν που κάνουμε εδώ μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι η φυσική βάση του μοντέλου που είχαμε εξάγει στο προηγούμενο κεφάλαιο και λαμβάνει υπόψη του τις πολλές διαδρομές ανάμεσα στον πομπό και στο δέκτη καθώς επίσης και τις συστοιχίες κεραιών. Για να έχει ισχύ αυτό το μοντέλο επιβάλλεται να υπάρχει μεγάλος αριθμός διαδρομών σε κάθε διαφορετική γωνία και η ενέργεια να είναι εξίσου κατανεμημένη ανάμεσα τους. Σε αντίθετη περίπτωση όπου σε κάποιες γωνίες δεν βρίσκουμε αρκετά taps, οι τιμές του H θα είναι συσχετισμένες. Εξίσου σημαντικό είναι να έχουμε οριακή η αραιή (critical or sparse) τοποθέτηση γιατί στην περίπτωση που έχουμε πυκνή (dense) τοποθέτηση οι τιμές θα ενισχύσουμε την συσχέτιση. Το ιδανικό σενάριο ώστε να ικανοποιείται σαν μοντέλο η i.i.d. Rayleigh υπόθεση είναι να έχουμε αραιή αρχιτεκτονική κεραιών επειδή με αυτόν τον τρόπο υπάρχουν περισσότερα γωνιακά διαστήματα με το περιθώριο για περισσότερα μονοπάτια στο καθένα. Όσο πιο μακριά τοποθετούμε τις κεραίες μεταξύ τους τόσο λιγότερο εξαρτημένες είναι. Η παραπάνω διαδικασία δεν είναι απαραίτητη εάν το περιβάλλον προσφέρει από μόνο του επαρκή αριθμό διαθλώμενων μονοπατιών και μας αρκεί οριακή τοποθέτηση. Τελικά το Rayleigh μοντέλο για το κανάλι θα χρησιμοποιηθεί από δω και στο εξής σαν βάση της ανάλυσης μας. 3.2 Χωρητικότητα Ένα από τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά του MIMO καναλιού και ταυτόχρονα ένας από τους πιο ισχυρούς λόγους που έχει καθιερωθεί σαν το κύριο πρότυπο στις επικοινωνίες είναι η χωρητικότητα. Όπως μαθαίνουμε από τη Θεωρία Πληροφορίας το βασικό μέτρο της απόδοσης ενός καναλιού είναι η χωρητικότητα του δηλαδή ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης δεδομένων για τον οποίο η πιθανότητα λάθους μπορεί να πλησιάσει ασυμπτωτικά το μηδέν. Αφού ρίξουμε μια ματιά στο Κανάλι Λευκού Προσθετικού Θορύβου και εξετάσουμε τη 25

34 χωρητικότητα του θα επιχειρήσουμε να διαλευκάνουμε το ιδιαίτερα δύσκολο πρόβλημα της χωρητικότητας στα ασύρματα κανάλια με διαλείψεις Χωρητικότητα καναλιού A.W.G.N. To πρώτο κανάλι που μελετήθηκε εκτενώς εξαιτίας της απλότητας του ήταν το κανάλι λευκού προσθετικού θορύβου. Η σημαντικότητα του είναι διπλή : Είναι ένα βασικό κανάλι το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εξάγουμε συμπεράσματα και για τα υπόλοιπα κανάλια που θα μελετήσουμε αργότερα. Είναι πολύ καλό μαθησιακό εργαλείο για να καταλάβουμε σε εκτενές βαθμό την πραγματική φύση της χωρητικότητας και μας δίνει μια καλή εικόνα του γιατί μπορούμε να πετύχουμε αυθαίρετα μικρή πιθανότητα λαθών με θετικό ρυθμό μετάδοσης δεδομένων. Το μαθηματικό μοντέλο του είναι ιδιαιτέρως απλό όπως έχει ξαναναφερθεί. y[m] = x[m] + w[m] με τα y[m] και x[m] να είναι η πραγματική έξοδος και είσοδος ταυτόχρονα τη χρονική στιγμή m και w[m] θόρυβος με κατανομή N(0, σ 2 ), ανεξάρτητος του χρόνου. Επαναληπτικός κώδικας Για να μελετήσουμε τη χωρητικότητα πρέπει πρώτα να αναφερθούμε στην πιθανότητα λάθους ανίχνευσης ενός συμβόλου. Ξεκινάμε θεωρώντας μη κωδικοποιημένα BPSK σύμβολα x[m] = ± P και είναι γνωστό ότι σε αυτήν την περίπτωση η πιθανότητα λάθους είναι Q ( P σ 2 ). Η πιο απλή ιδέα για να μειώσουμε την πιθανότητα λάθους είναι να επαναλάβουμε το ίδιο σύμβολο N φορές για να μεταδώσουμε ένα bit πληροφορίας (στη BPSK διαμόρφωση). Αυτός είναι ο πιο απλός κώδικας με κωδικές λέξεις x A = P[1,,1] t και x Β = P[ 1,, 1] t όπου P το όριο ισχύος σε joules/σύμβολο. Αν έχουμε στείλει το x A το διάνυσμα που παίρνουμε είναι το y = x A + w To λάθος συμβαίνει όταν το y είναι πιο κοντά στο x Β από ότι στο x A και η πιθανότητα να συμβεί κάτι τέτοιο είναι Q ( x A x Β ) = Q ( NP 2σ σ 2 ) 26

35 που όπως είναι προφανές μειώνεται εκθετικά με το μήκος των απεσταλμένων δεδομένων Ν. Παρατηρούμε ενώ βρήκαμε τρόπο να μειώσουμε ανεξέλεγκτα την πιθανότητα λάθους, μειώνουμε ταυτόχρονα την αποτελεσματική επικοινωνία. Αν υιοθετούσαμε διαφορετική διαμόρφωση απλά θα παίρναμε πιο γρήγορη σύγκλιση στην επιθυμητή πιθανότητα. Στο παραπάνω παράδειγμα προς εξέταση το ληφθέν σύμβολο y είναι πιθανό να βρίσκεται σε μία σφαίρα με ακτίνα N(P + σ 2 ) γύρω από το απεσταλμένη κωδική λέξη. Γεωμετρικά ο επαναληπτικός κώδικας τοποθετεί όλες τις κωδικές λέξεις σε μόνο μία διάσταση πράγμα που δεν λαμβάνει υπόψη του το γεγονός ότι ο χώρος του σήματος έχει ένα μεγαλύτερο αριθμό διαστάσεων N. Αποτελεσματικότερη επικοινωνία έχουμε λοιπόν εάν οι λέξεις απλωθούν σε όλες τις διαστάσεις. Ενδιαφέρον έχει και σε αυτό το σημείο να ανακαλύψουμε το μέγιστο αριθμό κωδικών λέξεων που μπορούν να χωρέσουν στο χώρο αυτό για δοσμένη ισχύ και να αναγνωριστούν επιτυχώς. Ο χώρος αυτός απεικονίζεται με σαφήνεια στο Σχήμα 3.3. Σχήμα 3.3 Πιθανές απεσταλμένες κωδικές λέξεις που μπορούν να ανιχνευθούν με ακρίβεια και απόστασή τους από τη ληφθείσα. Ενώ μπορούμε να επικεντρωθούμε στο τι γίνεται μέσα στη y -σφαίρα, σε περίπτωση που έχουμε μεγάλο Ν έχουμε από το νόμο των μεγάλων αριθμών N 1 N w2 [m] σ 2 m=1 για Ν. Αυτό σημαίνει ότι για μεγάλο Ν το ληφθέν y κινείται με σιγουριά στην επιφάνεια μιας σφαίρας θορύβου με ακτίνα Νσ γύρω από την κωδική λέξη που αποστέλλεται. Προκύπτει λοιπόν ότι ο μέγιστος αριθμός λέξεων που μπορεί να χωρέσει στη σφαίρα είναι ο λόγος του όγκου της y-σφαίρας προς τον όγκο μιας σφαίρας θορύβου: N(P + σ 2 ) Ν Νσ 2Ν 27

36 Έτσι καταλήγουμε στο ότι ο μέγιστος αριθμός των bit ανά σύμβολο που μπορεί να ανιχνευθεί με επιτυχία είναι Όριο του Shannon Ν 1 N log ( N(P + σ2 ) ) = 1 Νσ 2Ν 2 log (1 + P σ 2) Τώρα που έχουμε την χωρητικότητα του καναλιού μπορούμε να εξάγουμε κάποια χρήσιμα συμπεράσματα. Σύμφωνα με τον Shannon για οποιοδήποτε ρυθμό επικοινωνίας R μικρότερο από την χωρητικότητα C μπορούμε να έχουμε οσοδήποτε μικρή πιθανότητα λάθους. Μεγάλο ενδιαφέρον θα είχε να βρούμε για ποια ισχύ θα είχαμε αυτό το μέγιστο ρυθμό επικοινωνίας που να πλησιάζει τη χωρητικότητα. Θέλουμε R < Blog 2 (1 + ) bits/s N 0 B Αν συμφωνήσουμε ότι P = E b R η παραπάνω ανισότητα μεταμορφώνεται σε P R B < log 2 (1 + E b R N 0 B ) bits/s (3.1) H προηγούμενη είναι μια ανισωτική σχέση ανάμεσα στο R και το E b η οποία B N 0 ικανοποιείται στην περιοχή που φαίνεται στο σχήμα 3.4. Λύνοντας ως προς E b : N 0 και για R B 0 E b > 2 R B 1 N 0 R B E b N 0 > 1.6dB Αυτό σημαίνει ότι για SNR μεγαλύτερο από 1.6dB ισχύει η αρχική ανισότητα μας R<C, με το 1.6dB να ορίζεται σαν το όριο του Shannon για δυνατή επικοινωνία με αυθαίρετα μικρή πιθανότητα λάθους. 28

37 Σχήμα 3.4 Περιοχές για τις οποίες ικανοποιείται η σχέση Στην περίπτωση που το E b N 0 μικρύνει ακόμα περισσότερο από το όριο του Shannon θα έχουμε μικρότερη αποτελεσματικότητα του χρησιμοποιούμενου εύρους φάσματος R B. Στην αντιδιαμετρική περίπτωση όπου το εύρος ζώνης B είναι μεγάλο, όπως φαίνεται και από τη σχέση που μας δίνει τη χωρητικότητα αυτή θα είναι ανάλογη με τον όρο P N 0. C = lim Blog 2 (1 + P B N 0 B ) = P log N 2 e Χωρητικότητα χρονικά αμετάβλητου καναλιού MIMO Όπως έχουμε ξαναδεί η επικοινωνία στο χρονικά αμετάβλητο κανάλι εκφράζεται από : y[m] = Hx[m] + w[m], m=1,2, Αν θεωρήσουμε την ανάλυση του πίνακα H σε ιδιάζουσες τιμές (singular value decomposition), H = UΛV μπορούμε να αποδείξουμε ότι για να πετύχουμε την πιο αποτελεσματική επικοινωνία η καλύτερη στρατηγική είναι να μεταδώσουμε ανεξάρτητες ροές δεδομένων στην κατεύθυνση των ιδιοδιανυσμάτων H H, δηλαδή στο σύστημα συντεταγμένων που ορίζεται από τον πίνακα V. Αυτό το σύστημα εξαρτάται από το κανάλι οπότε μας περιορίζει στις πιθανές εφαρμογές. Εάν το κανάλι είναι άγνωστο γενικεύουμε την προηγούμενη αντιμετώπιση στην αρχιτεκτονική που φαίνεται στο Σχήμα 3.5 όπου οι ανεξάρτητες ροές δεδομένων 29

38 πολυπλέκονται σε κάποιο αυθαίρετο σύστημα συντεταγμένων που ορίζεται από έναν ορθοκανονικό πίνακα Q που δεν εξαρτάται απαραίτητα από το κανάλι H. Σχήμα 3.5 V-BLAST αρχιτεκτονική με κοινή κωδικοποίηση. Η παραπάνω αρχιτεκτονική είναι γνωστή σαν V-BLAST και τα δεδομένα προς αποστολή κωδικοποιούνται από κοινού. Οι k ροές δεδομένων έχουν ισχύ P k που συνολικά μας δίνουν ισχύ P που αποτελεί το πάνω όριο για το σύστημά μας και κωδικοποιούνται με έναν κώδικα που πετυχαίνει απόδοση κοντά στη χωρητικότητα ενός αντίστοιχου Gaussian καναλιού. Ο συνολικός λόγος n μετάδοσης είναι R = t k=1 R k. Στην περίπτωση που ο πίνακας Q = Ι nr βλέπουμε ότι στέλνουμε ανεξάρτητες ροές δεδομένων σε κάθε μία κεραία. Χρησιμοποιώντας μία λογική ανάλογη με τη y-σφαίρα που χρησιμοποιήσαμε για το AWGN κανάλι θα καταλήξουμε ότι το ανώτατο όριο για τον υψηλότερο επιτυχή ρυθμό επικοινωνίας είναι : R < logdet (Ι nr + 1 N 0 HK x H ) bits/s/hz όπου το K x είναι ο πίνακας συσχετίσεων των απεσταλμένων συμβόλων x και αποτελεί συνάρτηση του συστήματος συντεταγμένων και των κατανομών ισχύος K x = Qdiag{P 1,, P k }Q H V-BLAST αρχιτεκτονική έχει μεγάλη σημασία γιατί στην απλή περίπτωση του χρονικά αμετάβλητου καναλιού είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι είναι δυνατόν να επιτύχουμε απόδοση κοντά στη χωρητικότητα του καναλιού για Q = Ι nr στέλνοντας ανεξάρτητα bit streams δηλαδή σε κάθε κεραία, πράγμα που απλοποιεί σημαντικά τη δομή ενός πιθανού πομπού αλλά και δέκτη Κανάλι ΜΙΜΟ γρήγορων διαλείψεων Ένα κανάλι ΜΙΜΟ γρήγορων διαλείψεων (fast-fading MIMO channel) είναι ένα κανάλι στο οποίο ο χρόνος αποσυσχέτισης των συντελεστών του καναλιού (coherence time) είναι μικρότερος από τις καθυστερήσεις του καναλιού λόγω διάδοσης του σήματος ή και σχετικής κίνησης των σταθμών. Σε αυτό το κανάλι οι συντελεστές h ij αλλάζουν από μια χρονική στιγμή επεξεργασίας συμβόλου σε μια 30

39 άλλη και διαφέρουν σημαντικά μεταξύ τους όσον αφορά το πλάτος και τη φάση τους. Το μοντέλο περιγράφεται από τη σχέση : y[m] =H[m]x[m] + w[m], m=1,2, όπου το {H[m]} είναι μια τυχαία στατιστική διαδικασία. Για να μπορέσουμε να ορίσουμε τη χωρητικότητά μας σε αυτήν την περίπτωση κάνουμε την υπόθεση ότι το {H[m]} είναι μία στατική και εργοδική διαδικασία ενώ ταυτόχρονα είναι κανονικοποιημένο με Ε [ h ij 2 ] = 1. Επίσης θεωρούμε την περίπτωση που ο δέκτης μπορεί να αναγνωρίσει πλήρως το κανάλι (full channel state information full CSI). Ξεκινώντας από τη V-BLAST αρχιτεκτονική του σχήματος 3.5, ο λόγος μετάδοσης που μπορεί να επιτευχθεί για μια συγκεκριμένη στιγμή του καναλιού H είναι logdet (Ι nr + 1 N 0 HK x H ) Είναι προφανές ότι καθώς σε κάθε χρονική στιγμή θα έχουμε διαφορετικό H σε βάθος χρόνου αυτό το μέγιστο όριο θα είναι C = max K x :T r K x P E H [logdet (Ι nr + 1 N 0 HK x H )] Εδώ επιλέξαμε τον πίνακα συσχετίσεων K x σαν συνάρτηση των στατιστικών του καναλιού και συγκεκριμένα σαν συνάρτηση της ολικής ισχύος του συστήματος. Αν προχωρήσουμε ένα βήμα παραπέρα και κάνουμε την υπόθεση ότι υπάρχει επιπλέον συμμετρία ανάμεσα στις κεραίες του πομπού όπως στην περίπτωση όπου τα στοιχεία του H ακολουθούν κατανομή Rayleigh, τότε κάποιος μπορεί να ισχυριστεί ότι οι ισχείς είναι κατανεμημένες με ίσο τρόπο σε όλες τι κεραίες και τότε η σχέση που συνδέει τον πινάκα συσχετίσεων K x με τη συνολική ισχύ δίνεται από : K x = ( P n t Ι nt ) Καταλήγουμε έτσι στον εξής τύπο για τη χωρητικότητα : C = [logdet (Ι nr + SNR n t HH )] με το SNR=P N 0 ο λόγος σήματος προς θόρυβο σε κάθε κεραία του δέκτη. Αυτό που είναι σημαντικό να παρατηρήσουμε είναι το κέρδος από το σενάριο της επικοινωνίας από σημείο σε σημείο με μία κεραία σε πομπό και δέκτη. Παρακάτω 31

40 παραθέτουμε γραφικές παραστάσεις που δίνουν τη χωρητικότητα ενός i.i.d. Rayleigh καναλιού για διαφορετικό αριθμό κεραιών. Ειδικά για υψηλές τιμές του SNR η χωρητικότητα ενός nxn συστήματος μπορεί να ξεπεράσει το αντίστοιχο SISO κανάλι κατά n φορές. Είναι επίσης αξιοσημείωτη η συνεισφορά των βαθμών ελευθερίας στη χωρητικότητα ενός καναλιού και για αυτό για να έχουμε το μέγιστο κέρδος είναι επιτακτική ανάγκη να έχουμε πολλαπλές κεραίες και στον πομπό και στο δέκτη. Για να γίνει κατανοητός ο προηγούμενος ισχυρισμός στα παρακάτω διαγράμματα έχουμε προσθέσει και τη χωρητικότητα SIMO καναλιών. Σχήμα 3.6 Χωρητικότητα σε συστήματα με διαφορετικές συστοιχίες κεραιών 32

41 Κεφάλαιο 4 Αρχιτεκτονικές Ισοστάθμισης Εισαγωγή Το Σχήμα 3.5 είναι ένα παράδειγμα συστήματος που με τέλεια γνώση του καναλιού (perfect CSI) μπορεί να πετύχει επιτυχή λόγο μετάδοσης κοντά στη χωρητικότητα του καναλιού. Για να συμβεί αυτό χρησιμοποιούμε από κοινού αποκωδικοποίηση μέγιστης πιθανοφάνειας αλλά η πολυπλοκότητα της αυξάνεται εκθετικά με τον αριθμό των ανεξάρτητων ροών δεδομένων. Στη συνέχεια της διπλωματικής θα εξετάσουμε απλούστερους αλγορίθμους που έχουν παρόμοια απόδοση και περιστρέφονται γύρω από ένα σημαντικό κεφάλαιο του τηλεπικοινωνιακού δέκτη, τους ισοσταθμιστές (equalizers). Στις επικοινωνίες περιορισμένου εύρους ζώνης υψηλού λόγου επικοινωνίας η σημασία των ισοσταθμιστών είναι τεράστια. Η λειτουργία τους είναι να επαναφέρουν τη μορφή της μεταδιδόμενης πληροφορίας μειώνοντας η εξαλείφοντας την παρεμβολή του καναλιού. Μεγάλη άνθιση έχουν γνωρίσει εδώ και ήδη 70 χρόνια αποδεικνύοντας το βαθμό σημασίας τους. Αρχικά οι ερευνητές ενδιαφέρονταν να εξασφαλίσουν τη σωστή επικοινωνία ανάμεσα σε δύο σημεία που εκφράζονταν από την ύπαρξη μοναδικής κεραίας σε πομπό και δέκτη. Οι πρωταρχικές έννοιες της ισοστάθμισης αναπτύχθηκαν με αυτό το περιβάλλον. Για να καταλάβουμε τη βασική λειτουργία ενός ισοσταθμιστή θα πρέπει να θυμηθούμε το γραμμικά χρονικά αμετάβλητο μοντέλο του Gaussian καναλιού: r(t) = h i (t) s(t τ ι ) + n(t) i Εάν μεταθέσουμε τα σύμβολα για να ενισχύσουμε την παρουσία του s(t) r(t) = h[0]s(t) + h i (t) s(t τ ι ) + n(t) i,τ i 0 μας κάνει να καταλάβουμε ότι το ληφθέν σήμα είναι στην πραγματικότητα δοσμένο από το αρχικό σήμα που στείλαμε στο οποίο έχει προστεθεί θόρυβος και ένας ακόμα όρος που αποτελούν καθυστερημένες οντότητες του αρχικού. Αυτός είναι ο όρος τον οποίο έχουμε ονομάσει διασυμβολική παρεμβολή (ISI). Ο κυριότερος σκοπός ενός ισοσταθμιστή είναι να εξαλείψει την επίδραση της παράλληλα με αυτή του θορύβου ώστε να έχουμε επιτυχή ανάκτηση του σήματος. Συγκεκριμένα αν ο ισοσταθμιστής υποθέσουμε ότι λειτουργεί σαν ένα γραμμικά χρονικά αμετάβλητο φίλτρο τότε η γραμμική διαδικασία ισοστάθμισης παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα. Σε αυτήν την περίπτωση απλά 33

42 πολλαπλασιάζουμε την απόκριση του καναλιού στη συχνότητα με την αντίστροφη ποσότητα για να εξαλείψει τελείως τη δράση του καναλιού. Αυτή είναι η πιο απλή μορφή ισοστάθμισης που δεν είναι όμως πάντα εφικτή και ονομάζεται ισοστάθμιση μηδενικού εξαναγκασμού (zero-forcing equalization). Σχήμα 4.1 Σε αυτό το σημείο πρέπει να σημειώσουμε ότι ένα κανάλι δεν εισάγει μόνο διασυμβολική παρεμβολή αλλά και διαλείψεις (fading) όπως είδαμε στα προηγούμενα κεφάλαια. Είναι σημαντικό λοιπόν να λάβουμε υπόψη μας την κινητικότητα του χρήστη που προκαλεί διαταραχές στη φάση και στην ισχύ του σήματός μας. Οι ισοσταθμιστές πρέπει να προσαρμοστούν σε αυτές τις εναλλαγές εκμεταλλευόμενοι τις δυνατότητες διαφορισμού που παρέχει το εκάστοτε κανάλι. Η ανάγκη αυτή αυξάνεται κατακόρυφα ώστε να πετύχουμε καλύτερους ρυθμούς επικοινωνίας όσο μειώνεται η διαθέσιμη ισχύς. Τα τελευταία χρόνια εκτός από τον χρονικό και το συχνοτικό διαφορισμό οι οποίοι έχουν εξέχουσα σημασία, έχουν αναπτυχθεί πολλές τεχνικές οι οποίες λαμβάνουν υπόψη τους το διαφορισμό στο χώρο. Αν υιοθετήσουμε αρχιτεκτονικές ΜΙΜΟ πρέπει να τις συνοδεύσουμε με ικανοποιητικές προτάσεις ισοστάθμισης. Θα ήταν λάθος στην προσπάθειά μας να αυξήσουμε τους ρυθμούς επικοινωνίας και την χωρητικότητα του συστήματός μας να αγνοήσουμε τεχνικές που μπορούν να συμπληρώσουν τη διαδικασία της ισοστάθμισης, η οποία πολλές φορές μπορεί να μην είναι επαρκής για να πετύχουμε τους στόχους μας. Σε πρακτικά συστήματα η χρησιμοποίηση κωδίκων διόρθωσης λαθών είναι (error correction codes) είναι ζωτικής σημασίας. Σε αυτήν την περίπτωση η ισοστάθμιση γίνεται πάνω στις κωδικοποιημένες λέξεις που έχουν περάσει μέσα από το κανάλι ενώ στη συνέχεια ένας αποκωδικοποιητής λαμβάνει αποφάσεις για τα αρχικά bits. Επιχειρώντας να συνδυάσουμε τα αποτελέσματα ισοστάθμισης και κωδικοποίησης αντί να τις θεωρούμε παραδοσιακά ανεξάρτητες και μη επικοινωνούντες διαδικασίες καταφέρνουμε να σχεδιάσουμε σημαντικά καλύτερες λύσεις. Η παραπάνω ιδέα γέννησε τους turbo-equalizers οι οποίοι έχουν ομοιότητες στις βασικές αρχές τους με τους turbo κώδικες και είναι 34

43 το θέμα που μελετήθηκε σε θεωρητικό αλλά και επίπεδο αρχιτεκτονικής κυκλώματος στην παρούσα διπλωματική. 4.1 Κριτήρια Ισοστάθμισης Παρακάτω θα παρουσιάσουμε τα βασικά κριτήρια ισοστάθμισης. Μπορούν να χωριστούν σε επιτηρούμενα (supervised) και μη-επιτηρούμενα (unsupervised). Η πρώτη κατηγορία χρησιμοποιεί μια γνωστή ακολουθία εκπαίδευσης για να προσεγγίσει τους συντελεστές του καναλιού και έπειτα ψάχνει για τον αριθμό που ελαχιστοποιεί κάποια κριτήρια. Αμέσως μετά από τον αρχικό χρόνο εκτίμησης, ο ισοσταθμιστής αλλάζει λειτουργία ώστε να πάρει αποφάσεις για τις τιμές του καναλιού. Το κύριο μειονέκτημα σε αυτές τις τεχνικές είναι αυτή ακριβώς η καθυστέρηση που καταναλώνει εύρος ζώνης και μειώνει τον ωφέλιμο λόγο μετάδοσης. Από την άλλη μεριά έχουμε τις μη-επιτηρούμενες τεχνικές ισοστάθμισης οι οποίες πρωτοεισήχθησαν με το στόχο να ξεπεράσουμε τον προηγούμενο περιορισμό. Σε αυτήν την περίπτωση τα κριτήρια βασίζονται μόνο στη γνώση των στατιστικών στοιχείων του καναλιού. Ωστόσο εξαιτίας της ανάγκης για στατιστικά υψηλής τάξης, οι εμπλεκόμενοι αλγόριθμοι έχουν εκθετικά αυξανόμενη απαίτηση για υπολογιστικούς πόρους. Στα επόμενα παραθέτουμε τις πιο σημαντικές και συχνά χρησιμοποιούμενες τεχνικές, τα κριτήρια που ικανοποιούν και τους αλγόριθμους που τις υλοποιούν. Η μελέτη περιστρέφεται γύρω από το SISO σενάριο που όπως θα δούμε μπορεί να αποτελέσει τη βάση και για πιο πολύπλοκα συστήματα ΜΙΜΟ Επιτηρούμενες Τεχνικές Εδώ παρουσιάζουμε τις βάσεις των προσαρμοστικών φίλτρων πράγμα που αποτελούν οι προσαρμοστικοί επιτηρούμενοι αλγόριθμοι που προκύπτουν από συγκεκριμένα κριτήρια μιας και πριν από κάθε αλγόριθμο θα πρέπει να κατανοούμε τις απαιτήσεις του. Μέθοδος Ελάχιστων Μέσων Τετραγώνων (Least Mean Square) Θεωρούμε ένα φίλτρο διακριτού χρόνου με συντελεστές w i, i = 0,, N e 1. Αν το σήμα που στέλνουμε είναι μια στατική διαδικασία η έξοδος του όταν περάσει μέσα από το φίλτρο είναι : N e 1 y[n] = w i x[n i] = w H [n]x[n] i=0 Ο στόχος εδώ είναι να βρούμε τους συντελεστές του φίλτρου w[n] ώστε η έξοδος του σήματος να είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά σε ένα σήμα d[n Δ],όπου Δ είναι 35

44 μια σταθερά καθυστέρησης. Αν η απόκλιση ανάμεσα σε αυτά τα δύο σήματα δίνεται από : e[n] = d[n Δ] y[n] τότε σκοπός μας είναι να βρούμε το w με το οποίο ελαχιστοποιείται αυτό το λάθος. Μια απλή και αποτελεσματική επιλογή που μπορούμε να κάνουμε για τη συνάρτηση κόστους είναι το μέσο τετραγωνικό λάθος (Mean Squared Error - MSE) MSE = E[ e[n] 2 ] Χρησιμοποιώντας αυτή τη συνάρτηση καταλήγουμε στο κριτήριο του ελάχιστου μέσου τετραγωνικού λάθους (minimum-mean-square-error - MMSE), γνωστό και σαν κριτήριο Wiener. Βρίσκοντας τους συντελεστές w i που μας δίνουν λύση στο παραπάνω πρόβλημα καταλήγουμε στις γνωστές εξισώσεις Wiener-Hopf : w = R x 1 p xd όπου R x είναι ο πίνακας αυτοσυσχέτισης του x[n] και p xd ο πίνακας ετεροσυσχετίσεων ανάμεσα στο x[n] και το d[n Δ]. Σε πρακτικά προβλήματα η ευθεία λύση μπορεί να είναι δύσκολη μιας και η ακριβής στατιστική περιγραφή του x[n] μπορεί να μην είναι γνωστή και επίσης μπορεί να είναι κάπως απαιτητική σε πόρους αφού απαιτεί μια αντιστροφή πίνακα. Οι Widrow και Hopf το 1960 για να παρακάμψουν αυτές τις δυσκολίες πρότειναν αυτό που θα γινόταν ένας από τους πιο πολυχρησιμοποιημένους και πολυμελετημένους αλγόριθμους, τον αλγόριθμος του ελάχιστου μέσου τετραγώνου (LMS). O αλγόριθμος χρησιμοποιεί στιγμιαίες εκτιμήσεις των R x και p xd με μία στοχαστική προσέγγιση. Η διαδικασία αυτή είναι η : w[n + 1] = w[n] + μx[n]e [n] όπου το μ είναι το βήμα της επαναληπτικής διαδικασίας. Για αρχική τιμή θεωρούμε w[0] = 0. Τα μεγάλα πλεονεκτήματα του αλγορίθμου αυτού είναι η απλότητά του και το χαμηλό υπολογιστικό κόστος του. Επιπροσθέτως έχει πολύ καλές ιδιότητες σύγκλισης, είναι εύρωστος όσον αφορά το θόρυβο και φαινόμενα ακρίβειας και μπορεί να εφαρμοστεί σε πληθώρα διαφορετικών προβλημάτων. Από την άλλη η ταχύτητα σύγκλισής του δεν εντυπωσιάζει και εξαρτάται σημαντικά από την αυτοσυσχέτιση του σήματος εισόδου. 36

45 4.1.2 Μη-επιτηρούμενες Τεχνικές Αυτές οι τεχνικές διαφέρουν από τις επιτηρούμενες στο ότι λαμβάνουν υπόψη τους υψηλότερου βαθμού στατιστικά χαρακτηριστικά (μεγαλύτερα του 2ου) έτσι ώστε να αντιμετωπίσουν την έλλειψη επιπλέον πληροφοριών για το σήμα που ισοσταθμίζεται. Η αναφορά μας στις τεχνικές αυτές θα ξεκινήσει με την παράθεση των δύο πιο σημαντικών θεωρημάτων τα οποία εξηγούν το περιβάλλον στο οποίο είναι δυνατό το τυφλό φιλτράρισμα (blind filtering). Θεώρημα 1 ο. Αν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του y[n] ισούται με την αντίστοιχη του x[n], δοσμένου ότι το x[n] δεν ακολουθεί Gaussian κατανομή,τότε είναι εγγυημένη μια λύση μηδενικού εξαναγκασμού (zero forcing). O περιορισμός της Gaussian κατανομής προκύπτει από το γεγονός ότι ένα σήμα που περνά μέσα από μια τέτοια διαδικασία καταλήγει πάλι Gaussian. Τότε το πρόβλημα θα κατέληγε απλά σε μια μεταβολή ισχύων και δεν θα χρειαζόταν η διαδικασία της ισοστάθμισης. 10 χρόνια από το παραπάνω θεώρημα ακολούθησε το 2 ο θεώρημα το οποίο χρησιμοποιεί τους συντελεστές των γεννητριών συναρτήσεων των y[n] και x[n], C y p,q και C x p,q : Θεώρημα 2 ο. Με τις παραπάνω υποθέσεις, εάν E[ y[n] 2 ] = E[ x[n] 2 ] τότε C y p,q C x p,q για κάθε p + q 2, με την ισότητα να πραγματοποιείται αν και μόνο αν είναι εφικτή ισοστάθμιση μηδενικού εξαναγκασμού. Όλα τα κριτήρια τυφλής ισοστάθμισης εξαρτώνται, έμμεσα η άμεσα, σε αυτά τα δύο θεωρήματα. Αν και δεν θα μας απασχολήσουν περεταίρω σε αυτή τη διπλωματική, για λόγους πληρότητας θα παρουσιάσουμε εδώ επιγραμματικά την πρώτη οικογένεια τέτοιων αλγορίθμων, τους Bussgang αλγόριθμους. Σε γενικές γραμμές αυτοί οι αλγόριθμοι έχουν σαν στόχο την ελαχιστοποίηση μιας συνάρτησης κόστους που ορίζεται από J B = E [ y[n] s[n] ^ 2 ] με το s^[n] να είναι το εκτιμώμενο απεσταλμένο σύμβολο που βρήκαμε από μια συνάρτηση μηδενικής μνήμης s[n] = g(y[n]). O αλγόριθμος κατευθυνόμενης απόφασης ήταν ένα από τους πρώτους Bussgang αλγόριθμους και είναι ένας από τους πιο χρηστικούς αλγόριθμους της κατηγορίας, ειδικά αφού χρησιμοποιείται δίπλα δίπλα με επιτηρούμενες τεχνικές. Όπως προαναφέραμε αρκετές φορές τα συστήματα έχουν μια αρχική φάση η οποία εκπαίδευσης με στόχο να μειώσουν τη διασυμβολική παρεμβολή και αυτή τη φάση χρησιμοποιεί και αυτός ο αλγόριθμος αντί να εκτιμά το κανάλι, να κάνει εκτίμηση για τη μη-γραμμική συνάρτηση g(y[n]). Υπάρχουν πολλά ακόμα κριτήρια στην ίδια κατηγορία αλγορίθμων αλλά όλα περιστρέφονται γύρω από 37

46 κάποιο ανώτερης τάξης στατιστικό των ληφθέντων και αποσταλλόντων συμβόλων. 4.2 Ισοστάθμιση σε ΜΙΜΟ συστήματα Έχοντας αναλύσει παραπάνω τη βασική ιδέα των τεχνικών ισοστάθμισης προχωράμε σε MIMO συστήματα στα οποία έχουμε δει ότι μπορούμε να πετύχουμε τη χωρητικότητα του καναλιού με πολύπλοκες μεθόδους κοινής αποκωδικοποίησης. Εδώ ωστόσο επικεντρωνόμαστε σε αρχιτεκτονικές δεκτών που χρησιμοποιούν γραμμικές διαδικασίες έτσι ώστε να μετατρέψουμε το πρόβλημα των από κοινού κωδικοποιημένων ροών δεδομένων, σε πρόβλημα αποκωδικοποίησης ανεξάρτητων ροών Γραμμικός αποσυσχετιστής Για να αρχίσουμε τη μελέτη μας πρέπει να θεωρήσουμε το πιο απλό μοντέλο για τη ΜΙΜΟ επικοινωνία, το γραμμικά αμετάβλητο όπου ο πίνακας Η είναι συγκεκριμένος. Τη χρονική στιγμή m έχουμε : n t y[m] = h i [m]x i [m] + w[m] i με h 1,, h i είναι οι στήλες του Η και τα μεταδιδόμενα σύμβολα x i (m) σε κάθε i κεραία είναι ανεξάρτητα. Γράφοντας την εξίσωση επικεντρώνοντας την προσοχή μας στην k ροή η παραπάνω έκφραση γίνεται : n t y[m] = h k [m]x k [m] + h i [m]x i [(m)] + w[m] i k Στη σχέση φαίνεται ότι η k ροή αντιμετωπίζει μία επιπλέον μορφή παρεμβολής, αυτήν από τα δεδομένα των άλλων κεραιών. Μια ιδέα που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εξαλείψουμε την παρεμβολή είναι να προβάλουμε το ληφθέν σήμα y σε έναν υποχώρο ορθογώνιο σε αυτόν που σχηματίζεται από τα διανύσματα h 1,, h i (ας τον ονομάσουμε V k ). Επίσης ας θεωρήσουμε ότι η διάσταση του V k είναι d k. Την προβολή μπορούμε να την αναπαραστήσουμε με έναν d k xn r πίνακα Q k οι σειρές του οποίου σχηματίζουν μια ορθοκανονική βάση του V k. Το διάνυσμα Q k v μπορεί να μεταφραστεί σαν την προβολή του του διανύσματος v πάνω στο V k, αλλά εκφρασμένο από τη βάση V k και σχηματισμένο με τις σειρές του Q k. 38

47 Σχήμα 4.2 Προβολή του y στον υποχώρο που είναι κάθετος στο h 1 για να εξαλείψει την παρεμβολή του προσπαθώντας να ανιχνεύσει το h 2 Τώρα η εξάλειψη της παρεμβολής είναι επιτυχής εάν το h k δεν είναι γραμμικός συνδυασμός με τους συντελεστές των υπόλοιπων κεραιών. Αυτό μπορεί να συμβεί μόνο για αριθμό κεραιών πομπού μικρότερο από τον αντίστοιχο αριθμό του δέκτη. Σε αντίθετη περίπτωση ακόμα και για πλήρης τάξης πίνακα Η είναι προφανές ότι δεν μπορούμε να ξεχωρίσουμε πλήρως τα απεσταλμένα δεδομένα στην έξοδο. Αφού πραγματοποιήσουμε την προβολή το εκτιμώμενο ληφθέν σήμα είναι y^[m]: = Q k y[m] = Q k h k x k [m] + w^[m] Όπου w^[m] = Q k w[m] λευκός προσθετικός θόρυβος μετά την προβολή. Η διαμόρφωση μπορεί τώρα να πραγματοποιηθεί με ένα γραμμικό φίλτρο από το οποίο θα περάσουμε την ποσότητα Q k h k. Η έξοδος αυτού του φίλτρου θα έχει λόγο ισχύος σήματος προς θορύβου (SNR) P k Q k h k 2 N 0 O συνδυασμός της διαδικασίας της προβολής ακολουθούμενης από το γραμμικό προσαρμοσμένο φίλτρο (matched filter) ονομάζεται αποσυσχετιστής (decorrelator) ή αλλιώς ισοσταθμιστής μηδενικού-εξαναγκασμού (zero-forcing equalizing). Μιας και οι δύο διαδικασίες είναι γραμμικές, ο αποσυσχετιστής είναι κι αυτός με τη σειρά του ένα γραμμικό φίλτρο. Αν τον ονομάσουμε c k 39

48 c k = (Q k h k ) Q k = (Q k Q k h k ) δηλαδή η προβολή του h k στον υποχώρο V k, εκφρασμένο στις συντεταγμένες που ορίζονται από τον υποχώρο αυτόν. Ένα τέτοιο φίλτρο έχει αποδειχτεί ότι μεγιστοποιεί το SNR στην έξοδο του αποσυσχετιστή. Σχήμα 4.3 Αποσυσχετιστές που λειτουργούν ανεξάρτητα σε κάθε κεραία. Μέχρι εδώ ασχοληθήκαμε μόνο με την k ροή δεδομένων. Το πλεονέκτημα ενός τέτοιου γραμμικού φίλτρου είναι ότι μπορούμε να αποσυσχετίσουμε κάθε ροή δεδομένων μας ξεχωριστά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Για να γενικεύσουμε τη μελέτη μας στο συνολικό ΜΙΜΟ σενάριο αποδεικνύεται ότι ο αποσυσχετιστής για την k ροή είναι η k στήλη του ψευδοαντίστροφου + (H H) 1 H H Η ανάλυσή μας επικεντρώθηκε γύρω από τα ντετερμινιστικά κανάλια H. Εμάς όμως μας ενδιαφέρει στην περίπτωση του καναλιού με γρήγορες διαλείψεις (fast fading). Ο μέγιστος λόγος αποστολής είναι ο μέσος όρος των πιθανών λόγων που προκύπτουν από τον κάθε ισοσταθμιστή. R decorr = 40 n t C k=1 k με C k = Ε [log (1 + P k Q k h k 2 )] N 0

49 Από την παραπάνω έκφραση βλέπουμε ότι για μεγάλα SNR = P k η N 0 χωρητικότητα που πετυχαίνουμε στην έξοδο του φίλτρου είναι παρόμοια με την χωρητικότητα του καναλιού μιας και η συνεισφορά του όρου Q k h k 2 είναι αμελητέα. Όσο ωστόσο μικραίνει το SNR λόγω του πολλαπλασιαστικού βάρους της μεταβλητής αυτής τόσο πιο πολύ φαίνεται η διαφορά ανάμεσα στη χωρητικότητα του καναλιού και σε εκείνη του αποσυσχετιστή. Σχήμα 4.4 Χωρητικότητα γραμμικού αποσυσχετιστή έναντι χωρητικότητας ΜΙΜΟ καναλιού γρήγορων διαλείψεων Γραμμικός MMSE δέκτης Είδαμε ότι η επίδοση του αποσυσχετιστή είναι ικανοποιητική στα υψηλά SNR. Αντίστοιχα όμως παρατηρούμε χαμηλή απόδοση για χαμηλούς λόγους ισχύος σήματος προς θόρυβο. Στο να βγάλουμε συμπέρασμα θα μας βοηθήσει το παρακάτω Σχήμα 4.5 που παραθέτει την απόδοση ενός γραμμικού προσαρμοσμένου φίλτρου το οποίο εφαρμόζεται στη ροή δεδομένων της k κεραίας με την απόδοση του αποσυσχετιστή της προηγούμενης ενότητας. Με έκπληξη παρατηρούμε ότι ενώ ο αποσυσχετιστής χρησιμοποιεί μετά την προβολή της εισόδου στον χώρο των διανυσμάτων του καναλιού ένα προσαρμοσμένο φίλτρο, ότι η απόδοση των φίλτρων είναι κατά πολύ καλύτερη από αυτή του αποσυσχετιστή για χαμηλά SNR. 41

50 Σχήμα 4.5 Λόγος καναλιού προς χωρητικότητα σε συνάρτηση με το SNR. To παραπάνω παράδοξο συμβαίνει γιατί από τη μία ο αποσυσχετιστής εξαλείφει εντελώς την παρεμβολή της μίας ροής δεδομένων στην άλλη, μεγιστοποιώντας το SNR σε σχέση με όλους τους άλλους γραμμικούς δέκτες που κάνουν την ίδια δουλειά ενώ από την άλλη μεριά το προσαρμοσμένο φίλτρο μεγιστοποιεί το SNR σε κάθε κεραία όταν δεν υπάρχει παρεμβολή ανάμεσα στις κεραίες. Έτσι βλέπουμε μία εξισορρόπηση ανάμεσα στην ολική έκλειψη της παρεμβολής (χωρίς να λαμβάνεται υπόψη πόση ισχύ χάνεται από το σήμα που μας ενδιαφέρει στην πορεία) και στην ενίσχυση του λαμβανόμενου σήματος που θέλουμε να ανιχνεύσουμε. Σε υψηλά SNR η παρεμβολή ανάμεσα στις κεραίες είναι πιο δυνατή από τον Gaussian θόρυβο και ο αποσυσχετιστής λειτουργεί καλά. Σε χαμηλά SNR δεν έχουμε μεγάλο θέμα με την παρεμβολή και θα ήταν καλύτερα το ισοσταθμιστής μας να αποτελούταν από ένα απλό προσαρμοσμένο φίλτρο, χωρίς της διαδικασία της προβολής του σήματος σε ορθογώνια διανύσματα, χάνοντας στην πορεία μέρος της ισχύος του. Εδώ έρχεται η ανάγκη για μια νέα μορφή ισοσταθμιστή η οποία θα εξισορροπεί την απόδοση ανάμεσα στο να εξαλείφει την παρεμβολή από κεραία σε κεραία και στο να εξαλείφει την επίδραση του Gaussian θορύβου, πετυχαίνοντας σε όλο το μήκος των διαθέσιμων ισχύων αξιόλογα αποτελέσματα. Όπως πάντα έτσι και τώρα, ξεκινάμε θεωρώντας το επόμενο διανυσματικό μοντέλο για το κανάλι : y = hx + z όπου z είναι συμμετρικά κυκλικός συζυγής χρωματιστός θόρυβος με αντιστρέψιμο πίνακα συνδιασποράς K z ενώ τα z και x είναι ασυσχέτιστα. Εάν ο θόρυβος ήταν λευκός έχουμε δει ότι ο βέλτιστος τρόπος να ξεφορτωθούμε την παρεμβολή είναι πάρουμε την προβολή του y πάνω στον υποχώρο που ορίζεται από το h. Μπορούμε να φτάσουμε σε αυτό το σημείο λοιπόν αν μετατρέψουμε το 42

51 θόρυβο μας σε λευκό προσθετικό θόρυβο. Για να συμβεί αυτό αρκεί να 1 2 πολλαπλασιάσουμε την παραπάνω σχέση με K z και τότε : K z 1 2 y = K z 1 2 hx + K z 1 2 z 1 Ο παραγόμενος θόρυβος z~= K 2 z z είναι λευκός προσθετικός γιατί ο πίνακας συνδιασποράς του είναι διαγωνικός λόγο του μετασχηματισμού. Αν έπειτα πάρουμε την προβολή του καινούριου σήματος που δημιουργήθηκε από τον 1 1 μετασχηματισμό K 2 z y πάνω στο μετασχηματισμένο κανάλι K 2 z h : 1 1 (K 2 z y) K 2 z y = y K 1 z y = h K 1 z hx + h K 1 z z Στην παραπάνω σχέση ο γραμμικός δέκτης αντιπροσωπεύεται από το διάνυσμα v mmse : = K z 1 h και είναι αυτός που μεγιστοποιεί το SNR. Επίσης σημαντική ιδιότητά του είναι ότι ελαχιστοποιεί το μέσο τετραγωνικό λάθος (MSE) στην εκτίμηση του x αναφορικά με τα ληφθέντα σύμβολα y και για αυτό λέγεται MMSE (minimum mean squared error) receiver. To SNR που πετυχαίνεται είναι : σ x 2 h K z 1 h Έστω ότι στο σχήμα 3.5 αλλάζουμε τους αποσυσχετιστές με MMSE ισοσταθμιστές. Δουλεύοντας πάλι στην περίπτωση στατικού καναλιού έχουμε : y[m] = h k [m]x k [m] + z k [m] με z k [m] = h i [m]x i [m] + w[m] i k Επίσης μπορούμε να υπολογίσουμε τη συνδιασπορά του z k σε συνάρτηση της ισχύος της κάθε κεραίας P i σαν K zk = Ν 0 I nr + P i h i h i Αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση στη σχέση του γραμμικού δέκτη παραπάνω παίρνουμε n t i k 43

52 n 1 t v mmse : = (Ν 0 I nr + P i h i h i ) h i k Έχουμε τώρα τη δυνατότητα να υποστηρίξουμε τον προηγούμενο ισχυρισμό μας ότι η απόδοση του MMSE ισοσταθμιστή έγκειται κάπου ανάμεσα στο προσαρμοσμένο φίλτρο και στον αποσυσχετιστή. Σε χαμηλό SNR βλέπουμε το K zk Ν 0 I nr και ο γραμμικός MMSE δέκτης μετατρέπεται σε ένα προσαρμοσμένο φίλτρο. Από την άλλη σε υψηλό SNR το K zk γίνεται η προβολή του y στον υποχώρο του h και έχουμε τον αποσυσχετιστή. Η σοβαρή βελτίωση στην ποιότητα της εκτίμησης του συμβόλου y φαίνεται παραστατικά στο σχήμα 3.6. Σχήμα 4.6 Λόγος μετάδοσης προς χωρητικότητα (8x8 MIMO) για τις 3 τεχνικές που παρουσιάσαμε Εξάλειψη Παρεμβολής Οι παραπάνω μέθοδοι που συζητήθηκαν για να εκτιμήσουμε τα δεδομένα λειτουργούν με διαφορετικά φίλτρα σε διαφορετικές κεραίες. Θα είχαμε πολύ καλύτερα αποτελέσματα αν οι εκτιμήσεις της μία κεραίας θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για να βοηθήσουν στην απόφαση των άλλων. Αυτό επιτυγχάνεται με τεχνικές εξάλειψης παρεμβολής (interference cancellation). Η πιο απλή μορφή είναι η διαδοχική εξάλειψη παρεμβολής (successive interference cancellation) κατά την οποία τη στιγμή που τα δεδομένα σε μια κεραία χρίσουν επιτυχής αποκωδικοποίησης, τότε τα αφαιρούμε από το ληφθέν σήμα, μειώνοντας το φόρτο εργασίας των δεκτών στις υπόλοιπες κεραίες. Το σχήμα δίνει μια καλή γραφική αναπαράσταση της διαδικασίας. 44

53 Σχήμα 4.7 ΜΙΜΟ με διαδοχική εξάλειψη παρεμβολής Αν η πρώτη ροή εκτιμηθεί σωστά τότε ο δεύτερος αποσυσχετιστής έχει να εξαλείψει μόνο τις επόμενες ροές. Αυτή η διαδικασία συνεχίζεται έως ότου ο τελευταίος δεν αντιμετωπίζει καθόλου παρεμβολή με τη προϋπόθεση ότι όλα γίνονται σωστά. Εδώ εγείρεται και το πρόβλημα της φιλοσοφίας της διαδοχικής εξάλειψης των παρεμβολών : είναι εξαιρετικά ευαίσθητη σε μετάδοση μιας λανθασμένης εκτίμησης κατά το μήκος των κεραιών. Ειδικά αν το λάθος συμβεί νωρίς τότε εύκολα καταλαβαίνουμε ότι χωρίς λόγο επιβαρύνεται όλος ο σχεδιασμός μας. Στις περισσότερες περιπτώσεις ωστόσο χρησιμοποιούμε μεγάλες κωδικές λέξεις και κώδικες τέτοιους που να μηδενοποιούν τις πιθανότητες για ένα λάθος. Χωρίς βλάβη της γενικότητας λοιπόν, έχουμε το ελεύθερο να θεωρήσουμε ότι η κάθε κεραία λαμβάνει επηρεάζεται μόνο από το interference των επόμενων της στη σειρά. Έτσι όταν κάνουμε τη γνωστή προβολή, αυτή θα γίνει σε ένα νέο υποχώρο Q~ k που ορίζεται μόνο από τα διανύσματα h k+1,, h nt. Ακριβώς όπως και στην περίπτωση του απλού αποσυσχετιστή έχουμε χωρητικότητα που δίνεται από P k Q~ k h k 2 N 0 Όπως και προηγουμένως, για Rayleigh μοντέλο διαλείψεων, καταλήγουμε για το λόγο μετάδοσης σε R dec sic n min log SNR n t + E [ log( Q~ k h k 2 )] Λαμβάνοντας υπόψη τα στατιστικά χαρακτηριστικά του δεύτερου όρου της σχέσης, καταλήγουμε στο ότι ο λόγος μετάδοσης της διαδοχικής εξάλειψης παρεμβολής εμφανίζει μια σημαντική βελτίωση όσον αφορά το κέρδος ισχύος σε σχέση με τον αντίστοιχο του απλού παραδείγματός μας. Στην αντίπερα όχθη, 45 n t k=1

54 βλέπουμε ότι ο όρος πρώτης τάξης είναι ίδιος με τον απλό αλλά και τη χωρητικότητα, πράγμα που σημαίνει ότι η διαδικασία αυτή δεν παρέχει επιπλέον βαθμούς ελευθερίας. Η διαδικασία αυτή δεν είναι παρά μία από τις τεχνικές εξάλειψης παρεμβολής. Στο δέκτη τον οποίο μελετήσαμε χρησιμοποιείται μια πιο αποτελεσματική και ικανή μέθοδος, η soft-interference cancellation που συμβαίνει παράλληλα σε όλες τις κεραίες και προσφέρει καλύτερα αποτελέσματα. 4.3 Ισοσταθμιστές Turbo Οι ισοσταθμιστές που περιγράψαμε μέχρι τώρα είναι τεχνικές που προσπαθούν να ανακτήσουν το σήμα που μπαίνει στο κανάλι, βασισμένοι στην έξοδό του. Ωστόσο, στα περισσότερα συστήματα δεν μας ενδιαφέρει η είσοδος του καναλιού αλλά η ακολουθία των bit ακριβώς πριν τον κώδικα διόρθωσης λαθών που χρησιμοποιείται. Αυτοί οι κώδικες εισάγουν πλεονασματικότητα στα bits πληροφορίας, αυξάνοντας τις πιθανότητες σωστής ανάκτησης τους. Σε τέτοια συστήματα η στρατηγική ανίχνευσης που ελαχιστοποιεί την πιθανότητα του λάθους είναι αυτή που υιοθετεί τον ισοσταθμιστή μέγιστης πιθανοφάνειας. Σε αυτήν την περίπτωση όμως ο δέκτης πρέπει να αναζητήσει την ακολουθία πληροφορίας (την είσοδο του κωδικοποιητή) που μεγιστοποιεί την πιθανοφάνεια της εξόδου του καναλιού. Η μέθοδος αυτή απαιτεί την εξέταση όλων των δυνατών ακολουθιών πληροφορίας. Οι κώδικες λαθών ωστόσο λειτουργούν με τεράστιο αριθμό bits και έτσι ένα block το οποίο θέλουμε να εξετάσουμε μπορεί να έχει χιλιάδες bits. Αυτό σημαίνει ότι για 1000 μεταδιδόμενα bits θα πρέπει να εξετάσουμε διαφορετικές περιπτώσεις το οποίο καταλαβαίνουμε ότι είναι ανέφικτο. Στα πρακτικά συστήματα οι δέκτες ακολουθούν τεχνικές που δεν παράγουν βέλτιστες λύσεις αλλά έχουν χαμηλή πολυπλοκότητα. Αρχικά η ληφθείσα ακολουθία ισοσταθμίζεται με κάποιες από τις τεχνικές που έχουμε δει μέχρι τώρα. Οι ισοσταθμιστές αγνοούν το γεγονός ότι η είσοδος του καναλιού είναι κωδικοποιημένη λέξη και όχι τα αρχικά δεδομένα μας. Σε δεύτερο χρόνο η ισοσταθμισμένη έξοδος τροφοδοτεί τον αποκωδικοποιητή ο οποίος μας παρέχει στην έξοδο τα αποτελέσματα τα οποία πάρθηκαν θεωρώντας ότι ο ισοσταθμιστής έχει εξαλείψει εντελώς την διασυμβολική παρεμβολή. Με άλλα λόγια ισοσταθμιστής και αποκωδικοποιητής λειτουργούν ξεχωριστά. Εδώ αξίζει να σημειώσουμε ότι σε περίπτωση λάθους από τον ισοσταθμιστή, δηλαδή λάθους εκτίμηση για την υπάρχουσα παρεμβολή θα έχουμε χειροτέρευση της απόδοσης του αποκωδικοποιητή. Οι turbo-equalizers προσφέρουν μία μέση λύση ανάμεσα σε ανεφάρμοστες βέλτιστες τεχνικές και την ανεξάρτητη προσέγγιση η οποία είναι τόσο επιρρεπής στη διάδοση λάθους. Αυξάνοντας την πολυπλοκότητα κατά μια 46

55 ποσότητα που είναι πολλαπλάσιο της πολυπλοκότητας της ανεξάρτητης λύσης επιτρέπει στον ισοσταθμιστή να εκμεταλλευτεί των αποκωδικοποιητή. Αυτό επιτυγχάνεται μέσω επαναλήψεων ανάμεσα στις δύο οντότητες. Ο αποκωδικοποιητής κάνει εκτιμήσεις για τα bits και ο ισοσταθμιστής τις χρησιμοποιεί για να βελτιώσει τις αντίστοιχες δικές του που θα μπουν στον αποκωδικοποιητή. Λαμβάνοντας τις βελτιωμένες τιμές τότε ο αποκωδικοποιητής θα βοηθηθεί πολύ παρέχοντας ακόμα ορθότερα αποτελέσματα. Αυτή η διαδικασία συνεχίζεται ώστε η διασυμβολική παρεμβολή να εξαφανιστεί εντελώς. Βασικές Αρχές Οι turbo-equalizers βασίζονται σε δύο βασικές αρχές : soft πληροφορία και εξωγενή (extrinsic) πληροφορία. Η soft πληροφορία σημαίνει ότι ο ισοσταθμιστής και ο αποκωδικοποιητής ανταλλάσσουν πραγματικούς αριθμούς οι οποίοι χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση του μεταδιδόμενου συμβόλου και επίσης υποδεικνύουν πόσο αξιόπιστη είναι μια εκτίμηση. Συνήθως ένα καλό μέτρο για τη soft πληροφορία είναι η εκ-των-υστέρων (a-posteriori) πιθανότητα των bits δοσμένης της εξόδου του καναλιού η οποία υπολογίζεται με κάποιον αλγόριθμο όπως ο Viterbi η με κάποια τεχνική που παρουσιάσαμε παραπάνω. Αυτή η πληροφορία χρησιμεύει σαν εκ-των-προτέρων (a-priori) πιθανότητα σαν είσοδος στον αποκωδικοποιητή και η έξοδός του με τη σειρά της θεωρείται a- priori πιθανότητα για τον ισοσταθμιστή. Το γενικό διάγραμμα ενός turbo-equalizer φαίνεται στο σχήμα 4.8. Το πρώτο μέρος του δέκτη είναι ο ισοσταθμιστής soft εισόδου soft εξόδου. Σαν είσοδο έχει την ληφθείσα ακολουθία x που αντιστοιχεί σε μία ολόκληρη κωδική λέξη και την εξωγενή πληροφορία από τον αποκωδικοποιητή λ e. Η έξοδός του μετά το de-interleaving είναι λ d και χρησιμοποιείται από τον αποκωδικοποιητή για να βελτιώσει τα λ e. Σχήμα 4.8 Δομικό Διάγραμμα ενός turbo-equalizer Η πληροφορία που κινείται μεταξύ των κομματιών του turbo-equalizer πρέπει να είναι σε soft μορφή επειδή χρειάζεται στον ίδιο χρόνο και να προσφέρει εκτίμηση για τα bits αλλά και ένα μέτρο για το πόσο ικανοποιητική είναι αυτή η εκτίμηση. Μέσω των διαφορετικών αλγορίθμων σε ισοσταθμιστή και 47

56 αποκωδικοποιητή αυτή η βεβαιότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί κατάλληλα, με τα σύμβολα με χαμηλή βεβαιότητα να αγνοούνται ενώ εκείνα με σημαντική να προσφέρουν περισσότερο στην απόφαση. Παραδοσιακά η πιο ευρεία διαδεδομένη μορφή soft πληροφορίας είναι η a-posteriori πιθανότητα. Για το κάθε bit αυτή η πιθανότητα αντιπροσωπεύεται καλά από το λογάριθμο του λόγου ανάμεσα στις δύο a-posteriori πιθανότητες, δηλαδή της πιθανότητας το bit να είναι 1 ή 0. Η ποσότητα αυτή που εκφράζει το λόγο δύο διαφορετικών ενδεχομένων και έχει εφαρμογή σε όλα τα πιθανοτικά σενάρια και όχι μόνο στην αναφορά μας σε bits λέγεται log-likelihood ratio (LLR) και εκφράζεται ως : L n = log ( Pr(y[n] i = 1 x) Pr(y[n] i = 0 x) ) όπου y[n] i είναι το i bit του ληφθέντος συμβόλου y[n] δοσμένης της ακολουθίας συμβόλων x. Το πρόσημο της παραπάνω ποσότητας δίνει την εκτίμηση για την τιμή του bit που θα ελαχιστοποιεί την πιθανότητα λάθους. Σε περίπτωση που L n > 0 τότε έχουμε μεγαλύτερη πιθανότητα για 1 ενώ στην αντίθετη περίπτωση για 0. Επιπλέον το μέτρο του L n μας δείχνει πόσο δυνατή είναι η πεποίθησή μας. Τώρα αν εφαρμόσουμε τον κανόνα του Bayes βρίσκουμε : L n = log ( x Pr(y[n] i = 1) x Pr(y[n] i = 0) ) + log (Pr(y[n] i = 1) Pr(y[n] i = 0) ) O δεύτερος όρος λ e n = log ( Pr(y[n] i=1) ) στην εξίσωση ονομάζεται εκ-των-προτέρων Pr(y[n] i =0) (a-priori) πληροφορία και αντιπροσωπεύει το λόγο των a-priori πιθανοτήτων του μεταδιδόμενου συμβόλου. Γενικά χωρίς κάποια αρχική εκτίμηση αυτός ο όρος έχει μηδενική τιμή μιας και Pr(y[n] i = 1) = Pr(y[n] i = 0). Ωστόσο στην περίπτωση ενός turbo-equalizer ο όρος αυτός είναι η εσωγενής πιθανότητα που ενώνει τον ισοσταθμιστή με τον αποκωδικοποιητή και παίρνει τιμή ανάλογα την έξοδο του ισοσταθμιστή. Η παραπάνω εξίσωση υπογραμμίζει και ένα άλλο σημείο : το LLR είναι το άθροισμα της εξωγενούς πιθανότητας και ενός επιπλέον όρου. Αν το LLR από την έξοδο του αποκωδικοποιητή γυρνούσε αμέσως σαν είσοδός του, τότε η απόφαση θα δημιουργούσε εξάρτηση της εισόδου από την έξοδο προσθέτοντας θετική ανάδραση. Αυτό μπορεί να αποφευχθεί με μία απλή αφαίρεση. Η έξοδος λοιπόν του ισοσταθμιστή είναι L n λ n e και αμέσως μετά περνάει από τον de-interleaver που βοηθάει την εξωγενή πληροφορία να αποσυσχετιστεί από την a-priori. 48

57 Κεφάλαιο 5 Θεωρητική Μελέτη Συστήματος Εισαγωγή Τα προηγούμενα κεφάλαια λειτούργησαν εισαγωγικά έτσι ώστε να παρουσιαστεί το κατάλληλο υπόβαθρο στο οποίο βασίστηκε ο τηλεπικοινωνιακός δέκτης που μελετήθηκε στην παρούσα διπλωματική. Σε αυτό το κεφάλαιο θα παρουσιάσουμε λεπτομερώς τα βασικά αρχιτεκτονικά του στοιχεία, τις βασικές αρχές λειτουργίας του, καθώς επίσης θα παρουσιαστούν οι προσπάθειες προσομοίωσης με τα αποτελέσματα που μας προσέφεραν τα οποία θέτουν βάση για περαιτέρω συζήτηση. Σε αυτή τη διπλωματική μελετήθηκε και σχεδιάστηκε ένας τηλεπικοινωνιακός δέκτης που λειτουργεί σε MIMO OFDM περιβάλλον και καλείται να αντιμετωπίσει την πρόκληση της επιτυχής ανάκτησης των δεδομένων με έναν επαναληπτικό τρόπο, συνδυάζοντας soft εξάλειψη παρεμβολής (Soft Interference Cancellation - SIC), MMSE ισοστάθμιση και LDPC κώδικες λαθών. Ο συνδυασμός των παραπάνω είναι κάτι που χρησιμοποιεί σε όλα τα σημεία του δέκτη λύσεις οι οποίες μπορούν να συνδυάσουν ικανοποιητικές αποδόσεις με χαμηλές συναρτήσεις κόστους όσον αφορά το υπολογιστικό μέρος, αλλά και το σχεδιαστικό κατά τη μεταφορά τους σε κύκλωμα όπως θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο. Εδώ θα συνεχίσουμε αναλύοντας την κάθε πτυχή του συστήματος και θέτοντας την απαραίτητη ορολογία Περιγραφή ενός LDPC MIMO OFDM συστήματος Θεωρούμε ένα LDPC MIMO ODFM σύστημα με K υποφέρουσες, Ν κεραίες πομπού και Μ κεραίες στο δέκτη που εκφράζεται μέσω επιλεκτικών στη συχνότητα κανάλια διαλείψεων (frequency-selective fading channels). Η δομή του δέκτη φαίνεται στο σχήμα 5.1. Ένα block k bits δεδομένων πληροφορίας κωδικοποιείται από έναν LDPC κώδικα διόρθωσης λαθών με λόγο r = k n. Τα bits που γίνονται interleaved διαμορφώνονται για την αποστολή τους μέσα από το κανάλι σύμφωνα με τη διαμόρφωση Binary Phase Shift Keying (BPSK) η οποία υιοθετείται για την ευκολία της στην εξαγωγή των συναρτήσεων μελέτης του συστήματος. Κατά τη διάρκεια του κάθε OFDM συμβόλου, μεταδίδονται ΝK σύμβολα από τα συνολικά n μέσω των κεραιών ταυτόχρονα. Βλέπουμε εδώ τη γνώριμη τοπολογία της χωρικής πολυπλεξίας προκειμένου να πλησιάσουμε τη χωρητικότητα του καναλιού. Δεν έχουμε κάποιο θέμα να πράξουμε αλλιώς και για αυτό το λόγο τα ΝK σύμβολα αντιστοιχίζονται σε K υποφέρουσες και Ν κεραίες εκπομπής με οποιαδήποτε σειρά. Στο παρακάτω σχήμα προφανώς και οι LDPC θα μπορούσαν να αντικατασταθούν από άλλους κώδικες, ωστόσο τους επιλέξαμε εξαιτίας της εξαιρετικά χαμηλής πολυπλοκότητας αποκωδικοποίησης τους. 49

58 Σχήμα 5.1 Δομικό Διάγραμμα Πομπού συστήματος προς μελέτη ΜΙΜΟ OFDM Διαμόρφωση Ας θεωρήσουμε ένα ημιστατικό μοντέλο διαλείψεων για τη μελετώμενη MIMO OFDM διαμόρφωση όπως στο σχήμα 5.2. Υποθέτουμε ότι τα κανάλια διαλείψεων που σχηματίζονται παραμένουν στατικά κατά τη διάρκεια κάθε OFDM σχισμής αλλά ποικίλουν ανεξάρτητα από μία OFDM σχισμής σε μια άλλη. Επιπλέον για πρακτικά MIMO OFDM συστήματα με χωρικές συσχετίσεις, ο πίνακας απόκρισης του καναλιού στο πεδίο της συχνότητας στην k υποφέρουσα και p OFDM σχισμή δίνεται από L H[p, k] = R 2 2 l H l [p]s l l=0 exp ( j2πlk K ) όπου R l = R l 1 2 R l 1 2 και S l = S l 1 2 S l 1 2 είναι οι πίνακες αυτοσυσχέτισης σε πομπό και δέκτη και που ορίζονται από τη χωρική τοποθέτηση και τις γωνιακές συντεταγμένες των κεραιών. Σαν L έχουμε τον αριθμό των υπολογίσιμων μονοπατιών που η ισχύς τους συνεισφέρει στους συντελεστές του συχνοτικά επιλεκτικού καναλιού. H l [p] είναι ο πίνακας που σαν συντελεστές έχει ανεξάρτητες και ταυτοτικά κατανεμημένες (i.i.d) κυκλικά συμμετρικές συζυγείς Gaussian, τελείως ανεξάρτητες για διαφορετικά l και διαφορετικά p ενώ επιπροσθέτως η ισχύς είναι κανονικοποιημένη στο σύνολο των διαδρομών l. Η σχέση που προκύπτει ανάμεσα στην είσοδο και έξοδο αυτού του καναλιού είναι y[p, k] = H[p, k]x[p, k] + z[p, k], k = 0,, K 1, p = 0,, n 1 με y[p, k] και x[p, k] τα μεταδιδόμενα και ληφθέντα αντίστοιχα σήματα στην k υποφέρουσα και p OFDM σχισμή. Το z[p, k] είναι ο προσθετικός θόρυβος με i.i.d. τιμές και κατανομή Ν c (0, I). 50

59 Σχήμα 5.2 Ημιστατικό κανάλι διαλείψεων ΜΙΜΟ OFDM Κώδικες Χαμηλής-Πυκνότητας Ελέγχου Ισοτιμίας (Low-Density Parity Check codes - LDPC) Ένας κώδικας LDPC είναι ένας γραμμικός block κώδικας που έχει σαν χαρακτηριστικό έναν πολύ αραιό σε 1 πίνακα ισοτιμίας. Ο κώδικας ισοτιμίας P ενός κανονικού (n, k, s, t) LDPC κώδικα λόγου μετάδοσης r = k είναι ένας (n n k) n πίνακας που έχει s μονάδες σε κάθε στήλη και t > s σε κάθε σειρά, όπου s n και οι μονάδες συνήθως τοποθετούνται τυχαία μέσα στον πίνακα. Σε αυτό το σύστημα θα χρησιμοποιήσουμε μόνο κανονικούς κώδικες δηλαδή κώδικες που ο αριθμός των μονάδων είναι ίσος σε όλες τις στήλες Επαναληπτικός Δέκτης Για να πετύχουμε την απόδοση του δέκτη μέγιστης πιθανοφάνειας, υιοθετούμε τη δομή του LDPC MIMO OFDM δέκτη του σχήματος 5.3. Η εξωγενής πληροφορία που βγαίνει σαν έξοδος στον LDPC και τροφοδοτεί τον soft εισόδου soft εξόδου αποδιαμορφωτή ακολουθώντας την ίδια επαναληπτική διαδικασία αρκετές φορές ώστε να έχουμε ικανοποιητικά αποτελέσματα. Όσο διαρκεί μία εξωτερική επανάληψη ανάμεσα στον αποδιαμορφωτή και τον αποκωδικοποιητή, ο τελευταίος ακολουθεί μια σειρά εσωτερικών επαναλήψεων ώστε να συγκλίνει σε κάποιες εκτιμήσεις. Στο σχήμα παραθέτουμε την απλοποιημένη μορφή του δέκτη στην οποία θα μπορούσαμε να προσθέσουμε κάποια στοιχεία σημαντικά για πραγματικές εφαρμογές όπως ο deinterleaver και που όμως στην παρούσα εξομοίωση δεν θα προσέφεραν κάποια διαφορά μιας και το μοντέλο του καναλιού που εξετάζουμε δεν εισέρχεται σε κατάσταση βαθιάς διάλειψης. Όλες οι ποσότητες εξωγενούς πληροφορίας εκφράζονται σε μορφή LLRs και συγκεκριμένα χρησιμοποιούμε τη μεταβλητή L με διαφορετικούς δείκτες. Οι δείκτες (p, q) χρησιμεύουν για να υποδείξουν ποσότητες κατά τη διάρκεια της p επανάληψης του LDPC αποκωδικοποιητή και της q εξωτερικής επανάληψης. Ακόμα η μεταβλητή f ορίζει τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της L και m φανερώνει τη μέση τιμή της συνάρτησης αυτής. Ο δείκτης D L συμβολίζει ποσότητες που βγαίνουν από τον αποδιαμορφωτή και καταλήγουν σαν είσοδοι στον LDPC ενώ ο δείκτης L D συμβολίζει την αντίθετη πορεία. 51

60 Σχήμα 5.3 Δομικό διάγραμμα του επαναληπτικού δέκτη. Αποδιαμόρφωση του ΜΙΜΟ OFDM σεναρίου Θεωρώντας τέλεια CSI στο δέκτη έχουμε τη δυνατότητα να αποδιαμορφώσουμε το ληφθέν σήμα σε μία συγκεκριμένη υποφέρουσα και συγκεκριμένη σχισμή με ανεξάρτητο τρόπο. Επίσης για ευκολία εγκαταλείπουμε τη σημειολογία[p, k]. Όπως φαίνεται και στο παραπάνω σχήμα κατά την q turbo επανάληψη, ο soft αποδιαμορφωτής υπολογίζει την εξωγενή πληροφορία του LDPC κωδικοποιημένου bit b i σαν q L D L (b i ) = g (y, {L q 1 D L (b i )} j ) όπου {L q 1 D L (b i )} j είναι η εξωγενής πληροφορία που υπολογίστηκε από τον LDPC αποκωδικοποιητή στην προηγούμενη εξωτερική επανάληψη. Αρχικοποιούμε το μέγεθος αυτό θέτοντάς το για πρώτη φορά στο 0 για κάθε i. Επίσης η συνάρτηση g( ) ορίζει τη συνάρτηση διαμόρφωσης με τον τρόπου που συγκροτείται εδώ. Για συγκεκριμένη υποφέρουσα και χρονική σχισμή μεταδίδουμε N σύμβολα ή αλλιώς, επειδή έχουμε BPSK διαμόρφωση, N LDPC κωδικοποιημένα bits τα οποία στέλνονται ταυτόχρονα από τις N κεραίες εκπομπής. Όπως έχουμε δει η έξοδος ενός τέτοιου ισοσταθμιστή ο οποίος έχει σαν ρόλο να μην επανατροφοδοτήσει τον LDPC αποκωδικοποιητή με πληροφορία που ανακυκλώνεται είναι q L D L (b i ) = log ( P(b i = 1 y) P(b i = 1 y) ) log ( P(b i = 1) P(b i = 1) ) 52

61 q και βλέπουμε ότι το L D L (b i ) είναι όντως συνάρτηση του L q 1 D L (b i ) = log ( P(b i=1) ). P(b i = 1) Αν υλοποιήσουμε τον παραπάνω ισοσταθμιστή με το κριτήριο της μέγιστης πιθανοφάνειας εξετάζοντας την πιθανότητα του κάθε συμβόλου η υπολογιστική πολυπλοκότητα της λύσης μας ανέρχεται σε O( Ω N ),όπου Ω ο αστερισμός με τα πιθανά σύμβολα που χρησιμοποιήθηκε για τη διαμόρφωση, και βλέπουμε ότι είναι ακατάλληλη για μεγάλους αστερισμούς και μεγάλο αριθμό κεραιών εκπομπής. Η αντιπρόταση που μελετάται όπως ήδη έχει αναφερθεί είναι ένας soft αποδιαμορφωτής που βασίζεται σε γραμμικές τεχνικές εκτίμησης ελαχιστοποίησης του μέσου τετραγωνικού τετραγώνου (MMSE) και soft εξάλειψη παρεμβολής (SIC). Η πολυπλοκότητά του για οποιοδήποτε μέγεθος αστερισμού και αριθμό κεραιών πλησιάζει τοo( Ω 3 ). Σε αυτό βοηθάει το γεγονός ότι οι υπολογισμοί είναι στην ουσία γραμμικά φίλτρα τα οποία εφαρμόζονται ταυτόχρονα στις κεραίες με ανεξάρτητο τρόπο. Soft-Inteferense Cancellation Ξεκινούμε προσπαθώντας να εξαλείψουμε την παρεμβολή ανάμεσα στις κεραίες. Για να συμβεί αυτό αρχικά σχηματίζουμε soft εκτιμήσεις των συμβόλων που μεταδίδονται από την j κεραία σαν x~ j = x^p(x j = x^) x^ Ω Οι a-priori πιθανότητες υπολογίζονται από τα εξωγενή LLRs που παρέχονται από τον LDPC και υποθέτοντας τα bits από σύμβολο σε σύμβολο αλλά και στο ίδιο σύμβολο ακόμα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Η παραπάνω σχέση αν αναλύσουμε την a-priori πιθανότητα γίνεται στη γενική μορφή : log 2 Ω x~ j = x^ [1 + exp ( {x^} l L q 1 D L (b i ))] 1 x^ Ω l=1 όπου l αναφέρεται στο l-οστό bit από τα log 2 Ω που έχει ένα σύμβολο (θυμίζουμε στην περίπτωσή μας πως log 2 Ω = 1 αφού έχουμε BPSK). Μπορεί να αποδειχθεί ότι στην περίπτωσή μας που οι πιθανές τιμές για τα bits είναι ±1 έχουμε P(x j = x^) = 1 2 [1 + x jtanh ( 1 2 L q 1 D L(b i ))] και τελικά x~ j = tanh ( 1 2 L q 1 D L(b i )) 53

62 Στην αρχή της επαναληπτικής διαδικασίας δεδομένης της απουσίας εκτίμησης από τον αποκωδικοποιητή οι τιμές ±1 είναι ισοπίθανες και L q 1 D L (b i ) = 0. Εδώ ορίζουμε το διάνυσμα x~ j = [x~ 1,, x j 1 ~, 0, x j+1 ~,, x Ν 1 ~ ] T που είναι το διάνυσμα όλων των εκτιμήσεων πλην της κεραίας που μας ενδιαφέρει. Η soft εξάλειψη παρεμβολής αναφέρεται στο επόμενη διαδικασία στην οποία οι εκτιμήσεις μας πολλαπλασιάζονται με το κανάλι ώστε να τις μετατρέψουμε σε μορφή εξόδου καναλιού, και αυτή η έξοδος αφαιρείται από την πραγματική έξοδο δηλαδή τα δεδομένα που έχουμε λάβει. MMSE φίλτρο y~ j = y Hx~ j = H(x x~) j + n Εδώ θέλουμε να ισοσταθμίσουμε την επίδραση του καναλιού στο λαμβανόμενο σήμα και για αυτό καταφεύγουμε στις τεχνικές του κεφαλαίου 5. Έχοντας αναλύσει τη μέθοδο ελάχιστου τετραγωνικού λάθους προσπαθούμε να την εφαρμόσουμε χρησιμοποιώντας ένα w j MMSE φίλτρο από το οποίο θα περάσουμε τις ελεύθερες πλέον από παρεμβολή εισόδους μας. Η έξοδος του φίλτρου αυτού, που μας δίνει τις τιμές των εξόδων για τις οποίες ελαχιστοποιείται το λάθος ανάμεσα στα ληφθέντα και απεσταλμένα σύμβολα δίνεται από : z j = w H j y~ j To ζήτημα του υπολογισμού του w j είναι ένα από τα πιο σημαντικά θέματα που παρουσιάζονται από άποψη πολυπλοκότητας αλλά και σχεδιασμού. Η αναλυτική έκφραση που το περιγράφει είναι : w j = (HΔ j H H + N 1 SNR I) He To διάνυσμα e είναι ένα διάνυσμα με όλες τις τιμές 0 εκτός από την j τιμή διασφαλίζοντας ότι το φίλτρο w j θα έχει μία τιμή ανά κεραία. Το διάνυσμα Δ j αποτελεί έναν πίνακα συνδιασπορών ανάμεσα στις κεραίες και δίνεται από Δ j = cov{x j x~} j = diag [ σ 2 x 1,, σ x j 1 E x 2 E x, 1, σ 2 x j+1 E x,, σ 2 N ] E x 2 όπου σ xj είναι η διασπορά της j κεραίας : σ 2 xj = x^ x j 2 P(x j = x^) x^ Ω 54

63 Κάθε μία από αυτές τις διασπορές αποτυπώνει την εναπομένουσα παρεμβολή αμέσως μετά την διαδικασία του soft-inteference cancellation αλλά και των προηγούμενων εκτιμήσεων του MMSE και παίρνει τιμές ανάμεσα στο 0 και 1. Αν 2 δεν έχουμε πετύχει καμία απομάκρυνση της υπάρχουσας παρεμβολής, το σ xj γίνεται 1 μιας και υπάρχει τεράστια συσχέτιση ανάμεσα στο εκτιμώμενο και στο πραγματικό σύμβολο. Σε αυτήν την περίπτωση το φίλτρο καταλήγει στην απλή περίπτωση MMSE φίλτρου που είδαμε στο κεφάλαιο 5. Από την άλλη αν έχουμε καταφέρει να εξαλείψουμε την παρεμβολή εντελώς η τιμή της διασποράς γίνεται 0 και τα βάρη w j γίνονται ίδια με τα διανύσματα h j που είναι οι j στήλες του πίνακα H, δηλαδή καταλήγουμε σε ένα προσαρμοσμένο φίλτρο. Η έξοδος ενός τέτοιου φίλτρου εάν η είσοδός του είναι Gaussian τότε ακολουθεί και εκείνη την Gaussian κατανομή. Στο σενάριό μας που η είσοδός μας είναι περιορισμένη σε κάποιον αστερισμό, δεν έχουμε καμία κανονικότητα στην έξοδο, ούτε Gaussian, ούτε i.i.d. Έχει αποδειχθεί ωστόσο ότι δεν υπάρχουν σημαντικές αποκλίσεις αν θεωρήσουμε ότι η έξοδος είναι Gaussian ενώ αντίθετα το θεωρητικό όφελος είναι μεγάλο. Το ισοδύναμο κανάλι το οποίο θεωρούμε ότι έχει σαν έξοδο την έξοδο του φίλτρου θα είναι z j = μ j x j + η j και τα μ j και η j είναι η μέση τιμή και διασπορά του x j αντίστοιχα. Για τα μεγέθη αυτά καταλήγουμε στις σχέσεις : μ j = Ε{z j x j } = e T H H (HΔ j H H + N SNR I) 1 He η j 2 = var{z j } = μ j μ j 2 Σε αυτό το σημείο καλούμαστε να υπολογίσουμε την εξωγενή πληροφορία που παίρνουμε σαν έξοδο από τον SIC-MMSE δέκτη μας. Ενώ ένας δέκτης μέγιστης πιθανοφάνειας θα λάμβανε αυτήν την πληροφορία από το διάνυσμα του ληφθέντος σήματος και όλες τις πιθανές τιμές του, ο δέκτης που μελετάμε ελέγχει την πιθανότητα λαμβάνοντας υπόψη του τη βαθμωτή έξοδο του φίλτρου πράγμα που μας δίνει μεγάλη διαφορά όσον αφορά το υπολογιστικό κόστος ειδικά για μεγάλο αριθμό κεραιών και δυνατών συμβόλων του αστερισμού. Προηγουμένως αναφέραμε ότι q L D L (b i ) = log ( P(b i = 1 y) P(b i = 1 y) ) log ( P(b i = 1) P(b i = 1) ) Από τον κανόνα του Bayes αφού 55

64 ( P(b i = 1 y) P(b i = 1 y) ) = log ( y P(b i = 1) y P(b i = 1) ) + log ( P(b i = 1) P(b i = 1) ) log καταλήγουμε στην παρακάτω σχέση αν θεωρήσουμε την πιθανότητα γύρω από το z j q L D L (b i ) = log ( z j P(b i = 1) z j P(b i = 1) ) = z 2 j μ j 2 + z j + μ j 2 η j η j Αποτελέσματα Προσομοίωσης 2 = 4R{z j} 1 μ j Κριτήριο για να μετρήσουμε την αποτελεσματική επικοινωνία ανάμεσα σε έναν πομπό κι ένα δέκτη είναι η πιθανότητα λάθους ανίχνευσης κάθε συμβόλου. Αυτή γίνεται πιο συγκεκριμένη αν μετρήσουμε τα λάθη που συμβαίνουν σε σχέση με τις πραγματικές τιμές και τα αποτυπώσουμε σε ένα διάγραμμα λόγου δυαδικών λαθών (bit error rate - BER). Ένα τέτοιο διάγραμμα υποδεικνύει την αναλογία ανάμεσα στη σχέση ισχύος σήματος προς ισχύ θορύβου (συνήθως εκφρασμένη σε db) και στην πιθανότητα να έχουμε λάθος στην απόφαση για ένα bit. Για να έχουμε σταθερή επικοινωνία τα νούμερα πιθανοτήτων λάθους που πρέπει να πετύχουμε είναι αρκετά μικρά, με το 1 λάθος ανά 10 6 μεταδιδόμενα bits δηλαδή πιθανότητα λάθους 10 6 να είναι συνήθως ένα ικανοποιητικό κατώφλι που να εξασφαλίζει επιτυχή επικοινωνία. Στα παρακάτω διαγράμματα τα μετρήσιμα όρια λάθους κινήθηκαν σε σημαντικά υψηλότερες τιμές ώστε να έχουμε πιο ομαλούς όρους υπολογισμού μιας και σε κάποια συστήματα για BERs κάτω από 10 6 θα μπορούσε να απαιτηθεί μεγάλος χρόνος, ο οποίος δεν θα άλλαζε σημαντικά τα αποτελέσματα. Όπως θα δούμε και στα παρακάτω σχήματα μπορούμε να αποτυπώσουμε τη συμπεριφορά ενός μοντέλου και με λιγότερα λάθη. Οι προσομοιώσεις έγιναν με τη χρήση του προγράμματος Matlab το οποίο είναι ένα εξαίρετο πρόγραμμα με άπειρες δυνατότητες όσον αφορά τις μαθηματικούς χειρισμούς ενώ ταυτόχρονα προσφέρει μια πληθώρα έτοιμων βιβλιοθηκών και μερών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν στη μελέτη του μοντέλου μας. Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις για ένα 2x2 και ένα 4x4 σύστημα. 56

65 Σχήμα 5.4 BER για το 2x2 ΜΙΜΟ σύστημα με turbo-επαναληπτική διαδικασία στο δέκτη Σχήμα 5.5 BER για το 4x4 ΜΙΜΟ σύστημα με turbo-επαναληπτική διαδικασία στο δέκτη Για να παρθούν τα παραπάνω διαγράμματα μοντελοποιήσαμε το σύστημα μας με τις ακριβείς οδηγίες που δόθηκαν προηγουμένως. Για το κανάλι επιλέχθηκε ένα μοντέλο που να περιλαμβάνει δέκα κύρια taps στα οποία η συνολική ισχύς που μοιράστηκε αθροιστικά ισούται με 1. Ύστερα από το χωρισμό 57

66 σε υποφέρουσες και OFDM σχισμές αφού υποθέσουμε τη διαδικασία του αντίστροφου IFFT τα δεδομένα περνάνε μέσα από το κανάλι στο οποίο προστίθεται Gaussian θόρυβος, ο οποίος είναι ο ίδιος για όλες τις ροές δεδομένων με μέση τιμή 0 και διακύμανση 1. Αφού τα δεδομένα φτάσουν στο δέκτη αντιμετωπίζουμε το πρόβλημα του να υπολογίσουμε τους συντελεστές του MMSE φίλτρου, οι οποίοι συνδέονται άρρηκτα με την αντιστροφή του πίνακα (HΔ j H H + N SNR I) Στα προηγούμενα BER διαγράμματα αυτό έγινε μέσω του Matlab με την ενσωματωμένη εντολή του inv() η οποία λύνει το πρόβλημά μας χρησιμοποιώντας γνωστές τεχνικές όπως η LU decomposition. Τέτοιες μέθοδοι ενώ είναι ευρέως διαδεδομένες με πολύ καλές αποδόσεις και λογικές απαιτήσεις πολυπλοκότητας και ταυτόχρονα ευκολίας χρήσης σε προγράμματα προσομοίωσης, απαιτούν πολλές διαιρέσεις οι οποίες είναι απαγορευτικές για τη μεταφορά τους σε υλικό. Παρακάτω βλέπουμε μια εναλλακτική προσέγγιση η οποία μας δίνει λύση σε αυτό το πρόβλημα, διατηρώντας ικανοποιητικές αποδόσεις. 5.2 Επαναληπτικός Υπολογισμός Αντίστροφου Πίνακα Ένα από τα πιο σημαντικά ζητήματα που προκύπτουν στο σχεδιασμό σε υλικό ενός τέτοιου δέκτη είναι αυτή η αντιστροφή του πίνακα και πως θα μπορέσει να γίνει χρησιμοποιώντας όσο το δυνατό λιγότερο πόρους μιας και οι νέες εφαρμογές είναι απαιτητικές όσον αφορά τον όγκο δεδομένων που καλούνται να εξυπηρετήσουν. Εδώ ελέγχουμε μια εναλλακτική πρόταση στην αντιστροφή του επίμαχου πίνακα που προσεγγίζεται με έναν επαναληπτικό αλγόριθμο. Ο αλγόριθμος αυτός χρειάζεται μόνο πράξεις πολλαπλασιασμού και πρόσθεσης άρα είναι αρκετά εύρωστος και με μόλις ένα μικρό αριθμό επαναλήψεων καταφέρνει να πλησιάσει αρκετά παραδοσιακές μεθόδους αντιστροφής. Για να ξεκινήσουμε ας ορίσουμε AA H = (HΔ j H H + N SNR I) Η επαναληπτική διαδικασία που θα ακολουθήσουμε για να φτάσουμε τα επιθυμητά αποτελέσματα είναι η επανατροφοδότηση του συντελεστή W k ώστε W k+1 = W k + μ k W k (I AA H W k H W k ) Το μ k είναι το χρονικά αμετάβλητο βήμα σύγκλισης της επαναληπτικής διαδικασίας και k ο αριθμός κάθε επανάληψης. Η πολυπλοκότητα είναι της τάξης του O(Ν 3 ) για NxN πίνακα και είναι παρόμοια με την πολυπλοκότητα μιας πλήρης 58

67 αντιστροφής πίνακα. Επειδή όπως θα δείξουμε και στις προσομοιώσεις μας λίγες μόνο επαναλήψεις αρκούν για να έχουμε επαρκή ακρίβεια, υπάρχει η δυνατότητα να γλιτώσουμε υπολογιστικό κόστος που να πλησιάζει τη μια πλήρη αντιστροφή για ένα σύστημα MIMO. Δεν είναι στόχος μας να ακολουθήσουμε την πλήρη συλλογιστική απόδειξη των σχέσεων που μας δίνουν τα απαραίτητα εργαλεία για την υλοποίηση του αλγορίθμου αλλά εδώ θα αναφερθούμε επιγραμματικά σε κάποια χαρακτηριστικά του. Αποδεικνύεται ότι για κάθε επανάληψη το βήμα μ k πρέπει να κινείται στην περιοχή 2 0 < μ k < W k AA H W H k ώστε να εξασφαλίσουμε σύγκλιση του αλγορίθμου. Η διαίρεση εδώ δεν είναι σημαντική καθώς αυτό το όριο μπορεί να προσεγγιστεί από συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές που προκύπτουν από τη στρογγυλοποίηση του παρονομαστή στην κοντινότερη δύναμη του 2. Εάν η παραπάνω συνθήκη ικανοποιείται τότε ο πίνακας W k AA H W k H εγγυάται ότι θα συγκλίνει στον μοναδιαίο πίνακα και Και lim W kaa H W H k = Ι κ lim W k H W k = AA H 1 κ που είναι και η επιθυμητή κατάληξη. Για τις προσομοιώσεις που εμφανίζουμε χρησιμοποιήσαμε τον μοναδιαίο πίνακα σαν αρχική τιμή για τον επαναληπτικό αλγόριθμο δηλαδή W 0 = Ι. Επίσης σε περίπτωση που δεν γίνει καμιά επανάληψη η έξοδος δίνεται από W 0 H W 0 = Ι και ουσιαστικά έχουμε ένα προσαρμοσμένο φίλτρο στο δέκτη. Παράλληλα για να αποφύγουμε περιττούς υπολογισμούς καταφεύγουμε στη χρήση προ-ορισμένων τιμών για το μ k το οποίο με κάθε επανάληψη διπλασιάζεται για να δώσει γρηγορότερη σύγκλιση. Στα σχήματα παρακάτω ερευνούμε την ακρίβεια που πετυχαίνουμε υιοθετώντας την επαναληπτική διαδικασία για την αντιστροφή του πίνακά μας. Αρχικά παραθέτουμε σε ένα διάγραμμα τη διαφορά στην απόδοση για διαδοχικές επαναλήψεις στον υπολογισμό του MMSE πίνακα. Σε αυτό το σενάριο υποθέτουμε ότι ο συνολικός δέκτης μας δεν ακολουθεί την turbo λογική που έχουμε αναλύσει αλλά δεν συμβαίνει καμία επανάληψη και ανταλλαγή εξωγενούς πληροφορίας ανάμεσα στον LDPC αποκωδικοποιητή και τον αποδιαμορφωτή. 59

68 Σχήμα 5.5 Σύγκριση ΒER για το 4x4 ΜΙΜΟ σύστημα ανάμεσα στους διαφορετικούς τρόπους υπολογισμού της αντιστροφής του πίνακα MMSE Είναι φανερό ότι έχουμε σημαντική βελτίωση της απόδοσής μας για 3 επαναλήψεις και ότι πλησιάζουμε σημαντικά την απόδοση του καναλιού για την LU decomposition που είναι και η μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε για τα προηγούμενα αποτελέσματα από το Matlab. Ο μικρός αριθμός επαναλήψεων που μας επιτρέπει να εξοικονομήσουμε υπολογιστικούς πόρους, αλλά και ο γενικότερος αλγόριθμος που μας βοηθάει με την παράκαμψη της ανάγκης για διαίρεση, ξεπερνάει τις μικρές απώλειες που υπάρχουν στην απόδοση και μας βοηθούν στην απόφασή μας να επιλέξουμε την επαναληπτική μέθοδο στην προσπάθειά μας να υλοποιήσουμε τον δέκτη με αρχιτεκτονικές υλικού. Στη συνέχεια έχουμε το γράφημα που μας δίνει τη σύγκριση ανάμεσα σε μια turbo δομή δέκτη που αντιστρέφει τον MMSE πίνακα με μια συμβατική μέθοδο όπως η LU decomposition και στην ίδια δομή που χρησιμοποιεί επαναληπτικό αλγόριθμο ανάμεσα στις εξωτερικές επαναλήψεις και επαναλήψεις που έχουν σαν σκοπό την αντιστροφή. Για το διάγραμμα αυτό επιλέχτηκαν οι 3 επαναλήψεις που προσφέρουν τη χρυσή τομή ανάμεσα στην απόδοση και την χαμηλή πολυπλοκότητα. 60

69 Σχήμα 5.6 Σύγκριση ΒER για το 4x4 ΜΙΜΟ σύστημα ανάμεσα στους διαφορετικούς τρόπους υπολογισμού της αντιστροφής του πίνακα MMSE Αυτό που έχει μεγάλο ενδιαφέρον είναι το ποσοστό βελτίωσης που παρατηρείται μεταξύ των διαδοχικών επαναλήψεων του turbo-equalizer. Ενώ στο 2x2 σύστημα για 4 επαναλήψεις παρατηρούμε έως 2 db βελτίωση στα αποτελέσματα μας, έκπληξη προκαλεί η τεράστια διαφορά των σχεδόν 4 db που εμφανίζεται σε ένα 4x4 σύστημα. Όπως επιβεβαιώνεται και από αυτήν την παρατήρηση η αύξηση των κεραιών ενώ αυξάνει κατακόρυφα τη χωρητικότητα μετάδοσης ενός καναλιού, δημιουργεί μεγάλες δυσκολίες λόγω παρεμβολής ανάμεσα στις κεραίες. Αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που η αρχική καμπύλη του 4x4 ΜΙΜΟ συστήματος είναι μετατοπισμένη προς τα δεξιά σε σύγκριση με την αντίστοιχη καμπύλη χωρίς turbo επαναληπτική διαδικασία του 2x2 συστήματος κατά 2dB. 61

70 Κεφάλαιο 6 Υλοποίηση σε υλικό Εισαγωγή Σε αυτό το κεφάλαιο θα παρουσιάσουμε τη σχεδίαση του μοντέλου δέκτη που περιγράψαμε και μοντελοποιήσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Επιλέξαμε να δουλέψουμε ένα 4x4 σύστημα εξαιτίας του γεγονότος ότι συστήματα 4 κεραιών εισόδου και εξόδου είναι τα πιο ευρέως διαδεδομένα στις περισσότερες εφαρμογές που συναντάμε καθημερινά όπως για παράδειγμα το πρότυπο και όλες οι υπό-οικογένειες του. Στην παρούσα διπλωματική η υλοποίηση έγινε σε γλώσσα VHDL παραμετροποιημένη στα σημεία όπου απαραίτητο αλλά και επιτρεπόταν από τη φιλοσοφία της γλώσσας. Το κύκλωμα επιδέχεται παραμετροποίηση όσον αφορά την ακρίβεια των εισόδων του αλλά λόγω των ιδιαίτερων σχεδιαστικών του χαρακτηριστικών δεν ήταν δυνατό να παραμετροποιήσουμε άλλα χαρακτηριστικά όπως τον αριθμό των εισόδων ή τον αριθμό των εσωτερικών επαναλήψεων που απαιτούνται για την αντιστροφή του πίνακα. Η κατά μέρη παραμετροποίηση πετυχαίνεται με χρήση πακέτων (packages) που περιέχουν τις σταθερές (constants) του συστήματός μας. Ο τρόπος γραφής είναι περιγραφικός (behavioural) καθώς θέλουμε να δώσουμε στο υλικό τη δυνατότητα να χρησιμοποιήσει τους πόρους με το βέλτιστο δυνατό τρόπο. Ο περιγραφικός τρόπος κάνει το design ευανάγνωστο και πιο εύκολο για περεταίρω αλλαγές. 6.1 Αρχιτεκτονική Συστήματος Ο σχεδιασμός ενός ψηφιακού συστήματος έχει αρκετά επίπεδα. Ξεκινώντας από το πιο πάνω ιεραρχικά το υψηλότερο επίπεδο είναι αυτό που αναπαρίσταται στο σχήμα 6.1 και είναι και το τελικό entity που υλοποιείται στο hardware. Για τους χρήστες είναι ένα μαύρο κουτί που δέχεται δεδομένα με κάποιες προδιαγραφές και έπειτα από συγκεκριμένες χρονικές στιγμές μας δίνει τις εξόδους. Στο επόμενο επίπεδο έχουμε τα διάφορα components που απαρτίζουν το σύστημά μας και που αντιστοιχούν σε λογικά κομμάτια τα οποία υπήρχαν στη μοντελοποίηση του συστήματός μας. Το κάθε component υλοποιείται με διεργασίες (processes) οι οποίες περιγράφουν τη λειτουργία του και οι οποίες είναι χρονισμένες ώστε να παράγουν τις εξόδους τους σε αυστηρούς κύκλους ρολογιού. Το κύκλωμα λοιπόν εμπεριέχει μια μηχανή πεπερασμένων καταστάσεων (finite-state-machine - FSM) η οποία είναι υπεύθυνη για το συγχρονισμό και την ομαλή λειτουργία του. 62

71 Σχήμα 6.1 SIC-MMSE top entity Είσοδοι Το παραπάνω σχήμα είναι ενδεικτικό της δομής της σχεδίασής μας. Τα λειτουργικά σήματα clk, enabler και rst έχουν σαν στόχο την ομαλή λειτουργία και συγχρονισμό του κυκλώματός μας. Συγκεκριμένα το clk είναι το ρολόι που έρχεται από το χρήστη και είναι υπεύθυνο για τη σύγχρονη λειτουργία του design. Τα σήματα enabler και rst είναι δύο σήματα που ορίζουν έναν πίνακα 4 καταστάσεων ανάλογα με την τιμή που παίρνουν και καθορίζουν τα στάδια λειτουργίας του κυκλώματος. enabler 0 1 rst 0 Καμία Αλλαγή Κανονική Λειτουργία 1 Reset Reset Πίνακας 6.1 Πίνακας καταστάσεων λειτουργίας του design ανάλογα με τα λειτουργικά σήματα ελέγχου enabler και rst Οι υπόλοιπες είσοδοι του κυκλώματός μας είναι οι αριθμητικές είσοδοι που αντιπροσωπεύουν τα τηλεπικοινωνιακά μεγέθη που πρέπει να λάβουμε υπόψη μας για να έχουμε τα αποτελέσματα που θέλουμε. Βλέπουμε ότι είναι παραμετρικά μεγέθη με τη δυνατότητα να λάβουν μεγάλο εύρος τιμών. Εμείς σχεδιάσαμε το κύκλωμά μας με την υπόθεση ότι το N, ο αριθμός των κεραιών του συστήματός μας, ισούται με 4 για ένα 4x4 σύστημα. Μεταβλητές τιμές μπορεί να 63

72 πάρει το k το οποίο αντιπροσωπεύει το εύρος των χρησιμοποιουμένων αριθμών. Εμείς επιλέξαμε το k ώστε να πετυχαίνουμε ικανοποιητικό αριθμό ακρίβειας χωρίς ταυτόχρονα να κάνουμε απαγορευτικό στην υλοποίηση το design μας. Έτσι για k = 12 η βάση για την υλοποίησή μας είναι λέξεις 12 bits. Η σημασία των εισόδων λοιπόν είναι : Llr_in, είναι η εξωγενής πληροφορία που σε κάθε turbo-επανάληψη μεταφέρεται από τον αποκωδικοποιητή σαν είσοδος στον ισοσταθμιστή μας. Έχει τη μορφή LLR και πρέπει να είναι σε μορφή 12bit διανύσματος. Η_in, είναι οι συντελεστές εξασθένισης του καναλιού τους οποίους θεωρούμε γνωστούς. Μιας και έχουν πραγματικό και φανταστικό μέρος, ο κάθε ένας από αυτούς είναι δύο 12bit λέξεις ενωμένες σε μία σχηματίζοντας μια ακολουθία 24 bit όπου τα πρώτα 12 αντιστοιχούν στο πραγματικό μέρος και τα υπόλοιπα 12 στο φανταστικό. Για να εξασφαλίσουμε την σύγχρονη λειτουργία του κυκλώματός μας, αφού για έναν 4x4 πίνακα πρέπει να τροφοδοτήσουμε το σύστημά μας με 16 διαφορετικές τιμές και δεδομένου ότι οι υπόλοιπες είσοδοι έχουν μόνο 4 για το ίδιο σύστημα, αναγκαζόμαστε να εισάγουμε μια ολόκληρη σειρά του πίνακα σε κάθε κύκλο ρολογιού. Για αυτόν το λόγο η είσοδος H_in είναι ένας πίνακας 4 στοιχείων με 24 bits ο καθένας. y_in, είναι οι έξοδοι του καναλιού επικοινωνίας τις οποίες λαμβάνει σαν τιμές ο δέκτης. Είναι και αυτοί μιγαδικοί αριθμοί για αυτό αποτελούνται από ένα 12bit πραγματικό και ένα 12bit φανταστικό μέρος. EsN0dB_in, είναι η τιμή του SNR που αντιστοιχεί σε κάθε σύμβολο εκφρασμένη σε db. Συνδέεται με το EbN0dB δηλαδή την ενέργεια του κάθε bit σε σχέση με τον αντίστοιχο θόρυβο με τη σχέση E s N 0 (db) = E b N 0 (db) + 10log 10 r με r να είναι ο λόγος ωφέλιμης απεσταλμένης πληροφορίας. Έξοδοι Σαν εξόδους του συστήματός μας χρησιμοποιούμε δύο σήματα : Ένα λειτουργικό, το Data_out_ready, το οποίο ενεργοποιείται κάθε φορά που ο ισοσταθμιστής μας έχει αποτέλεσμα στην έξοδό του. Ένα εξωτερικός παρατηρητής μπορεί να ελέγχει το Data_out_ready και αν το δει ενεργοποιημένο τότε θα μπορεί να πάρει τιμή από την αριθμητική έξοδο του design, που δεν είναι άλλη από το llr_out, ένα σήμα που αποτελείται από 4 std_logic_vectors των 16 bits. Τα 4 αυτά llrs αντιστοιχούν στις soft εκτιμήσεις του SIC-MMSE δέκτη μας για κάθε ένα από τα y_in που είχαν έρθει σαν είσοδοι. Το μήκος των 16 bits δικαιολογείται από την εξίσωση που όπως έχουμε δει υπολογίζει το LLR σαν συνάρτηση του MMSE φίλτρου 64

73 q L D L (b i ) = 4R{z j} 1 μ j q Αν λοιπόν το πραγματικό μέρος του z j είναι 12bits το L D L (b i ) χρειάζεται 16bits για να αναπαρασταθεί. Θα μπορούσαμε να κόψουμε το σήμα αυτό αλλά προτιμήσαμε να το δίνουμε ακέραιο στο χρήστη ώστε αυτός να αποφασίζει το βαθμό ακρίβειας που επιθυμεί Περιγραφή εσωτερικών components To Σχήμα 6.1 αποτελεί την κορυφή της ιεραρχίας στο design μας. Στο αμέσως επόμενο επίπεδο βρίσκονται οι επιμέρους διεργασίες που υλοποιούν τον SIC-MMSE ισοσταθμιστή. Στο σχήμα 6.2 παραθέτουμε ένα διάγραμμα στο οποίο φαίνονται τα επιμέρους components και οι αφαιρετικές λειτουργίες τις οποίες επιτελούν. Συνολικά το κύκλωμά μας αποτελείται από 8 components των οποίων η λειτουργία παρατίθεται εδώ!!br0ken!! Comp_tanh Το μέρος αυτό του κυκλώματος είναι υπεύθυνο για την αντίστροφη διαδικασία της μετατροπής μίας εκτίμησης σε LLR. Έχουμε δει ότι οι εκτιμήσεις που προέρχονται από τον αποκωδικοποιητή είναι σε μορφή LLR, μια μορφή την οποία για να εκμεταλλευτεί το κύκλωμά πρέπει να μετατραπεί σε πιθανότητα. Αυτή η διαδικασία γίνεται εδώ με τη μετατροπή του LLR σε x~ j = tanh ( 1 2 L q 1 D L(b i )) Η πράξη αυτή πραγματοποιείται με ένα look-up table (LUT) το οποίο λαμβάνει σαν είσοδο την a-posteriori εκτίμηση L q 1 D L (b i ) και δίνει την αντίστοιχη tanh. Το LUT έχει 4098 διαφορετικές τιμές, για να μην χαθεί καθόλου ακρίβεια από όλες τις πιθανές εναλλαγές του L q 1 D L (b i ) που όπως είδαμε είναι μια 12bit είσοδος του design. Input_buffer Είναι το component εκείνο που είναι υπεύθυνο για την ομαλή είσοδο των δεδομένων στο υπόλοιπο κύκλωμα. Μιας και το design μας έχει αυστηρό χρονισμό τον οποίο θα δούμε αργότερα, το component input_buffer εξασφαλίζει ότι οι είσοδοι θα έχουν πάρει τις τιμές τους και θα είναι έτοιμες να τροφοδοτήσουν τα επόμενα στάδια υπολογισμών. 65

74 Σχήμα 6.2 Αντιστοίχηση των διάφορων μαθηματικών εκφράσεων του SIC-MMSE που σχεδιάσαμε με τα επιμέρους components που αποτελούν υπομέρη του συστήματός μας. 66

75 Comp_SIC Λαμβάνει σαν είσοδο το αποτέλεσμα του comp_tanh και την έξοδο του καναλιού y_in και παράγει σαν έξοδο τη νέα εκτίμηση του equalizer μας για την έξοδο του καναλιού, ελεύθερη πλέον από την παρεμβολή των γύρω κεραιών. Ταυτόχρονα, τη στιγμή πριν δώσει την έξοδό της στο επόμενο component, υπολογίζει σε έναν κύκλο ρολογιού, των πίνακα συνδιακυμάνσεων Δ j = cov{x j x~} j Comp_MMSE_mat Εδώ υπολογίζεται ο πίνακας που μας δίνει το κριτήριο MMSE και που χρειάζεται αντιστροφή. Μέσα στο component αυτό λαμβάνουν χώρα δύο πολλαπλασιασμοί πινάκων ανά κεραία καθιστώντας το, το δεύτερο πιο απαιτητικό από άποψη επιφάνειας αλλά και χρονικής καθυστέρησης. Comp_MMSE_inv Παίρνει σαν είσοδο την έξοδο του MMSE_mat και πραγματοποιεί την αντιστροφή του πίνακα με την επαναληπτική μέθοδο που παρουσιάσαμε κεφάλαιο 5. Είναι το πιο απαιτητικό component και αυτό ορίζει τη μέγιστη περίοδο του συστήματός μας, όσον αφορά τη συχνότητα με την οποία έχουμε νέα δεδομένα στην έξοδο. Βλέποντας τις εξισώσεις που μας δίνουν την αντιστροφή ενός πίνακα βλέπουμε ότι χρειάζονται 4 πολλαπλασιασμοί ανά επανάληψη. Έχοντας αποφασίσει ότι οι 3 επαναλήψεις είναι μια χρυσή τομή ανάμεσα στις επιδόσεις όπως είδαμε και στα διαγράμματα του προηγούμενου κεφαλαίου και στις περιορισμένες απαιτήσεις σε υλικό καταλήγουμε στο ότι κατά τη διάρκεια λειτουργίας του component λαμβάνουν χώρα 12 πολλαπλασιασμοί 4x4 πινάκων. Θα δούμε στη συνέχεια πως υλοποιείται αυτή η απαίτηση και πως περιορίζει τη συχνότητα λειτουργίας του συστήματος, καθώς και τη σχεδίαση των χρονισμών. Comp_MMSE_filter Χρησιμοποιεί τον αντίστροφο πίνακα έτσι όπως δίνεται από το MMSE_inv και εκτελεί τους απαραίτητους πολλαπλασιασμούς που απομένουν ώστε να πάρουμε τους συντελεστές του MMSE φίλτρου. Comp_equalization Παίρνει σαν είσοδο τους συντελεστές του MMSE φίλτρου και την softinterference cancellation και δημιουργεί τα νέα σύμβολα z j πάνω στα οποία καλούμαστε να αποφασίσουμε. 67

76 Comp_llr_calc Σε αυτό το component αντικατοπτρίζεται η φιλοσοφία ολόκληρου του design μιας και δεν εκτελεί παρά έναν πολλαπλασιασμό σε έναν κύκλο ρολογιού. Είναι ξεχωριστό component απλά και μόνο για λόγους λογικής συνέχειας του κυκλώματος. Ακολουθώντας την εξωτερική FSM ενημερώνει το κύκλωμά μας ότι έχουμε έγκυρες τιμές στην έξοδο και είναι σε κατάσταση idle για τον περισσότερο χρόνο. Τώρα που αναφέραμε τα υπάρχοντα components και πήραμε μια γεύση της λειτουργίας τους μπορούμε να περάσουμε σε λεπτομέρειες που αφορούν την σχεδίασή μας και αφορούν σε θέματα αριθμητικής και χρονισμού για να αποκτήσουμε μία καλύτερη ιδέα του πως δουλεύει το παρών κύκλωμα Αριθμητική συστήματος Αναπαράσταση αριθμών Σημαντική πρόκληση για την επιτυχή σχεδίαση του κυκλώματος ήταν ο τρόπος με τον οποίο τα διάφορα components θα χειρίζονται τις διάφορες αριθμητικές πράξεις και η σημασία των αριθμών τους οποίους θα χειρίζεται η αρχιτεκτονική που σχεδιάσαμε. Οι δύο επικρατέστερες μέθοδοι αναπαράστασης είναι η αναπαράσταση κινητής υποδιαστολής (floating point) και η αναπαράσταση σταθερής υποδιαστολής (fixed point). Η πρώτη μέθοδος προσφέρει ένα μεγάλο εύρος και δυναμικά μεταβαλλόμενο εύρος αριθμών προσφέροντας έτσι σημαντικά μεγαλύτερη ακρίβεια από τη δεύτερη στη οποία το εύρος των αριθμών είναι συγκεκριμένο από πριν. Από την άλλη η αναπαράσταση σταθερής υποδιαστολής είναι πιο εύκολη στο χειρισμό και προσφέρει σημαντικά πλεονεκτήματα όσον αφορά την ταχύτητα εκτέλεσης υπολογισμών και την κατανάλωση ισχύος. Χωρίς πολλή σκέψη καταλαβαίνουμε ότι η ιδανική αριθμητική για το σύστημα που θέλουμε να υλοποιήσουμε είναι η αριθμητική σταθερής υποδιαστολής. Είναι κοινή πρακτική των συστημάτων τηλεπικοινωνιών να υιοθετούν το πρότυπο αυτό αφού οι βασικές ανάγκες ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος είναι η ταχύτητα και η καταναλώμενη ισχύς. Στη συγκεκριμένη αριθμητική, οι αριθμοί αποτελούνται από δύο μέρη : ένα ακέραιο i και ένα δεκαδικό f. Η αριθμητική σταθερής υποδιαστολής έχει μία συγκεκριμένη σημειολογία, αναφέροντας τους αριθμούς χρησιμοποιώντας το γράμμα Q ακολουθούμενο από τα στοιχεία i και f για να υποδηλώσει τον αριθμό που θέλουμε να εκφράσουμε. Για παράδειγμα όταν έχουμε Q24 αναφερόμαστε σε έναν 6bit αριθμό με 2bit ακέραιο και δεκαδικό 4bit. Η αναπαράσταση σταθερής υποδιαστολής αναπαριστά και θετικούς και αρνητικούς αριθμούς. Οι αρνητικοί είναι συνήθως σε μια μορφή συμπληρώματος με επικρατέστερη το συμπλήρωμα του 2. Όταν έχουμε αρνητικό λοιπόν αριθμό 68

77 τον μετατρέπουμε σε θετικό λαμβάνοντας υπόψη μας το συμπλήρωμα. Στην περίπτωση του θετικού αριθμού τώρα έχουμε ότι το κάθε bit έχει τιμή ίση με το βάρος της αντίστοιχης θέσης. Για παράδειγμα εάν έχουμε έναν αριθμό με μορφή Q24 (έστω b 5 b 4, b 3 b 2 b 1 b 0 ) τον μετατρέπουμε σε δεκαδικό με τη σχέση Χ = b b b b b Στην παρούσα διπλωματική δίνεται ευελιξία στο χρήστη να επιλέξει το δικό του μήκος αναπαράστασης. Ωστόσο εμείς στο design μας χρησιμοποιούμε μήκος λέξης 12bits με σημειολογία Q48. Μπορούμε έτσι να δουλέψουμε με αριθμούς στο εύρος ±8 που διευκολύνει σημαντικά την ακρίβεια των υπολογισμών. Ιδιαίτερα στην αντιστροφή του πίνακα όπου υπάρχουν αριθμητικά οριακές καταστάσεις με τιμές που πλησιάζουν το 10 18, η καλή ακρίβεια που μας παρέχουν τα 12bits εξασφαλίζουν την ανοχή σε αποκλίσεις. Σε αρκετές περιπτώσεις όπου ο αριθμός είναι μιγαδικός επιλέγουμε να συγκολλήσουμε το πραγματικό με το φανταστικό μέρος δημιουργώντας 24bits λέξεις. Αυτό το κάνουμε για συντομία και για να μην χρησιμοποιούμε απαγορευτικά μεγάλο όγκο μεταβλητών αλλά δεν έχει κάποια λειτουργική επίπτωση στο κύκλωμά μας. Πρόσθεση στοιχείων Η πρόσθεση και αφαίρεση των στοιχείων υλοποιείται με τις έτοιμες βιβλιοθήκες της vhdl. Μετά από κάθε πράξη γίνεται έλεγχος για υπερχείλιση και άμεση διόρθωση του αποτελέσματος. Στην πρόσθεση μιγαδικών αριθμών, ο αριθμός χωρίζεται σε δύο λέξεις 12bit και στη συνέχεια πραγματοποιείται η πράξη δίνοντας προσοχή στο ότι έχουμε να κάνουμε με προσημασμένους αριθμούς. Έπειτα από την πράξη και τον έλεγχο υπερχείλισης επανενώνουμε τους αριθμούς μας σε μία ενιαία 24bit λέξη. Πολλαπλασιασμός στοιχείων Στην περίπτωση του πολλαπλασιασμού διαχωρίζουμε και πάλι σε πραγματικό και φανταστικό μέρος τον πολλαπλασιαστέο και τον πολλαπλασιαστή ώστε να υπολογίσουμε ξεχωριστά το πραγματικό και φανταστικό μέρος σύμφωνα με τη σχέση : (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i Είναι προφανές ότι οι υπομέρους πολλαπλασιασμοί παράγουν αποτελέσματα μεγέθους διπλάσιο από τα πολλαπλασιαζόμενα νούμερα. Κρατάμε την ακρίβεια που επιθυμούμε κρατώντας τα 12 bits γύρω από την υποδιαστολή. 69

78 Πολλαπλασιασμός πινάκων Κυρίαρχο στοιχείο στο design μας είναι οι πολλαπλασιασμοί πινάκων. Κύριο μέλημα της φιλοσοφίας του κυκλώματός μας είναι ο περιορισμός όσο το δυνατόν της χρησιμοποιούμενης επιφάνειας. Αυτό είναι εφικτό εάν περιορίσουμε σε ένα μεγάλο βαθμό τις λειτουργίες που πραγματοποιούνται κάθε χρονική στιγμή. Μια διαδικασία η οποία απαιτεί αρκετούς υπολογιστικούς πόρους και χρήζει παραμετροποίησης είναι ο πολλαπλασιασμός δύο πινάκων οποιουδήποτε μεγέθους. Είναι προφανές ότι σε όσο λιγότερες χρονικές στιγμές γίνει ο πολλαπλασιασμός, τόσο περισσότερο υλικό θα χρειαστεί. Ακολουθώντας την παραπάνω λογική, στο design μας καταφεύγουμε σε τμηματικό υπολογισμό του πολλαπλασιασμού δύο πινάκων. Όπως φαίνεται και στο σχήμα σε κάθε ένα στοιχείο του καινούριου πίνακα τοποθετούμε ένα άθροισμα γινομένων των επιμέρους στοιχείων των δύο μητρών που πολλαπλασιάζονται Σχήμα 6.3 Πολλαπλασιασμός Πίνακα Στην παρούσα υλοποίηση πήραμε την απόφαση να τμηματοποιήσουμε τον υπολογισμό του πίνακα έτσι ώστε σε κάθε κύκλο ρολογιού να υπολογίζεται το κάθε στοιχείο του καινούριου πίνακα. Έτσι για τον υπολογισμό ενός 4x4 πίνακα χρειάζονται 16 κύκλοι ρολογιού για να έχουμε το πλήρες αποτέλεσμα ενώ για έναν 4x1 απαιτούνται μόλις 4 κύκλοι. Για να γίνει αυτό δημιουργήθηκαν καταχωρητές οι οποίοι αποθηκεύουν τα επιμέρους γινόμενα πριν τα προσθέσουν μεταξύ τους. Είναι σημαντικό εδώ επίσης να μην ελέγχουμε την κάθε προσθαφαίρεση για την περίπτωση υπερχείλισης αλλά να κρατάμε τα συσσωρευμένα αθροίσματα σε έναν τελικό καταχωρητή περισσοτέρων bits ώστε να μην έχουμε σημαντικές αποκλίσεις στην ακρίβεια κατά την πρόσθεση 4 διαφορετικών αριθμών στη σειρά. Για το σύστημα των προσθέσεων τεσσάρων 24 bits γινομένων, ο καταχωρητής αποθήκευσης είναι 27 bits. Όταν έχουμε το άθροισμα που αντιστοιχεί στην τιμή της μήτρας που θέλουμε να υπολογίσουμε, ελέγχουμε τα extra bits που προσθέσαμε για έλεγχο και το πιο σημαντικό bit της λέξης αν είχαμε κρατήσει μήκος ίσο με τους αριθμούς που προστίθενται. Σε 70

79 περίπτωση που είναι όλα τα ίδια τότε κρατάμε τη λέξη και δεν κάνουμε καμία ενέργεια. Στην αντίθετη, καταλαβαίνουμε την υπερχείλιση και δίνουμε στο αποτέλεσμά μας τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή που μας επιτρέπει η αναπαράσταση. Στην πρώτη περίπτωση της μη υπερχείλισης το αποτέλεσμα παίρνει την τελική του μορφή, κρατώντας όπως και στην περίπτωση του απλού πολλαπλασιασμού τα bits που μας ενδιαφέρουν γύρω από την υποδιαστολή. Η διαδικασία που φαίνεται στο σχήμα 6.4 πραγματοποιείται σε ένα κύκλο ρολογιού. Το critical path μιας τέτοια ακολουθιακής δομής δεν είναι το βέλτιστο Σχήμα 6.4 Critical path για τον υπολογισμό ενός στοιχείου στον πολλαπλασιασμό πίνακα. Τα Χ1, Χ2, Χ3, Χ4 είναι τα επιμέρους γινόμενα από τον πολλαπλασιασμό σειράς στήλης αφού αναγκάζεται να περάσει μέσα από 4 αθροιστές και 3 multiplexers. Χρησιμοποιούμε ωστόσο εκπληκτικά λίγους πόρους μιας και αυτό είναι το κύκλωμα το οποίο θα χρησιμοποιηθεί και από τις τέσσερις κεραίες για τον υπολογισμό ενός πολλαπλασιασμού πινάκων. Το trade-off ταχύτητας και επιφάνειας ολοκλήρωσης έχει εύκολο νικητή στην υλοποίησή μας εξαιτίας της ανάγκης μας για ελαχιστοποίηση της τελευταίας Χρονισμός συστήματος Το κύκλωμα που σχεδιάσαμε έχει έναν συγκεκριμένο χρονισμό ο οποίος προκύπτει από τις αναγκαίες πράξεις που πρέπει να λάβουν χώρα ώστε να πάρουμε τα αποτελέσματα στην έξοδο. Το κύκλωμα συγχρονίζεται με ένα εξωτερικό ρολόι το οποίο είναι υπεύθυνο για την αλλαγή των εσωτερικών καταστάσεων. Για την επίτευξη καλύτερου χρόνου έχει υιοθετηθεί η λογική της παράλληλης επεξεργασίας δεδομένων (pipeline) ώστε να περιορίσουμε την καθυστέρηση του κυκλώματος στην μικρότερη δυνατή. Για να βρούμε ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός διαδοχικών λογικών πράξεων που απαιτούνται, πρέπει να ανακαλύψουμε με το ποιο είναι εκείνο το λογικό μέρος το οποίο δεν μπορούμε να σπάσουμε σε μικρότερα λογικά κομμάτια. Εύκολα καταλήγουμε ότι το σημείο του κυκλώματος που δεν μπορεί να σπάσει σε περισσότερα επίπεδα pipeline είναι η επαναληπτική διαδικασία για τον υπολογισμό του αντίστροφου MMSE πίνακα. Το κάθε επίπεδο αυτής της διαδικασίας πρέπει να παίρνει τιμές από την προηγούμενη επανάληψη και άρα το κύκλωμα πρέπει να περιμένει έως ότου έχουμε το τέλος της πλήρης επαναληπτικής διαδικασίας. 71

80 Ας δούμε τώρα την καθυστέρηση την οποία εισάγει η αντιστροφή του MMSE πίνακα. Από την παρακάτω εξίσωση W k+1 = W k + μ k W k (I AA H W k H W k ) έχουμε ότι για τον υπολογισμό του W k σε κάθε επανάληψη απαιτούνται τρεις πολλαπλασιασμοί δύο 4x4 μητρών και ακόμα ένας πολλαπλασιασμός μια βαθμωτής ποσότητας με έναν πίνακα ( μ k W k ). Οι προσθαφαιρέσεις που εμφανίζονται ανάμεσα σε αυτούς τους πολλαπλασιασμούς γίνονται σε έναν κύκλο ρολογιού ώστε να μην εισάγουν επιπλέον καθυστέρηση. Όπως δείξαμε στην αριθμητική του συστήματος, για τον πολλαπλασιασμό δύο 4x4 πινάκων, το αποτέλεσμα που είναι και αυτό ένας 4x4 πίνακας με 16 στοιχεία, απαιτεί 16 κύκλους ρολογιού για να υπολογιστεί. Επίσης ο υπολογισμός της ποσότητας μ k W k γίνεται μέσω του υπολογισμού ενός στοιχείου του νέου πίνακα σε κάθε κύκλο ρολογιού που οδηγεί στην αύξηση κατά 16 των συνολικών. Βλέπουμε λοιπόν ότι για μία επανάληψη του αλγόριθμου που χρησιμοποιούμε, το κύκλωμα που σχεδιάσαμε χρειάζεται 64 κύκλους ώστε να έχει έγκυρες τιμές στην έξοδο. Αυτές οι τιμές θα λειτουργήσουν σαν είσοδοι στο επόμενο επαναληπτικό στάδιο. Έχοντας αποφασίσει για τρεις επαναλήψεις της μεθόδου αντιστροφής, καταλήγουμε σε 192 κύκλους ρολογιού σαν τη μέγιστη καθυστέρηση κατά την οποία δεν γίνεται να μειώσουμε περαιτέρω την ταχύτητα εκτέλεσης των διεργασιών. Πρέπει να σημειώσουμε στο σημείο αυτό ότι η παραπάνω ανάλυση ισχύει για τη μία κεραία και ότι σχεδιάζονται 4 παράλληλα τέτοια συστήματα έτσι ώστε η επεξεργασία σε όλες τις κεραίες να γίνεται ταυτόχρονα. Θα μπορούσαμε να ελαττώσουμε και άλλο την επιφάνεια του κυκλώματος χρησιμοποιώντας την ίδια δομή για όλες τις κεραίες αλλά τότε θα μειώναμε τη συχνότητα λειτουργίας κατά 4 φορές, κάτι που δεν κρίθηκε απαραίτητο. 72

81 Σχήμα 6.5 Επίπεδα pipeline του κυκλώματος Η παραπάνω ανάλυση θέτει μία αρχή για το κύκλωμά μας. Κάθε FSM που σχεδιάζουμε πρέπει να έχει κύκλο ζωής 192 κύκλους ρολογιού. Με αυτόν τον χρονισμό ο διαχωρισμός του κυκλώματός μας σε επίπεδα pipeline φαίνεται εδώ. Κάθε ένα από αυτά τα επίπεδα κάθε 192 κύκλους έχει έτοιμα δεδομένα για το επόμενο επίπεδο στην έξοδό του. Στην περίπτωση που υπάρχουν περισσότερα από ένα component σε κάθε επίπεδο pipeline μοιράζονται το φόρτο εργασίας μέσα σε αυτό το χρονικό όριο των 192 κύκλων. Το κάθε component διαθέτει μία εσωτερική FSM η οποία το συγχρονίζει με τα γειτονικά του και εξασφαλίζει ότι δουλεύει μόνο για τη διάρκεια που έχει φόρτο εργασίας. Στις υπόλοιπες χρονικές στιγμές το κύκλωμα μένει σε κατάσταση idle ώστε να γίνεται η καλύτερη δυνατή διαχείριση της κατανάλωσης ισχύος. Στο επόμενο σχήμα φαίνεται μια γραφική αναπαράσταση των εσωτερικών καταστάσεων του κάθε component και το πως κατανέμονται στη χρονική διάρκεια ενός επιπέδου pipeline. Είναι σημαντικό να σημειώσουμε ότι το κάθε επίπεδο pipeline δεν διαβάζει τα δεδομένα της προηγούμενης εξόδου παρα μόνο στο τέλος κάθε εξωτερικού κύκλου 192 ρολογιών. 73

82 Σχήμα 6.5 Εσωτερικές καταστάσεις κάθε component και χρονισμός Σε κάθε σημείο επιλέγεται εάν χρησιμοποιήσουμε παράλληλους πολλαπλασιαστές για να μπορέσουμε να πραγματοποιήσουμε τους πολλαπλασιασμούς στην κάθε κεραία παράλληλα η εάν υπάρχει ο διαθέσιμος χρόνος ώστε να πάρουμε τις τιμές μας σειριακά και για τις 4 κεραίες με τον απλό πολλαπλασιαστή στοιχείων των πινάκων του σχήματος 6.4. Βλέπουμε ότι σε κάποια χρονικά σημεία ένα pipeline επίπεδο δεν έχει σε λειτουργία κανένα component. Αυτό συμβαίνει λόγο της δομής των μαθηματικών υπολογισμών που γίνονται και δεν επιφέρει κάποια επιβάρυνση στο κύκλωμα. Δεδομένων των περιορισμών που είδαμε παραπάνω για την ελάχιστη εξωτερική περίοδο λειτουργίας του κυκλώματος δεν θα μπορούσαμε να κάνουμε κάτι διαφορετικό, εκτός του να επεκτείνουμε κάποιους υπολογισμούς. Έτσι κι αλλιώς το critical path όπως θα δούμε βρίσκεται σε διαφορετικό σημείο από τα νεκρά διαστήματα που το κύκλωμα είναι idle. Τα παραπάνω components λειτουργούν σύγχρονα το ένα με το άλλο με τις οποιεσδήποτε αλλαγές στις καταστάσεις τους να γίνονται με την ανερχόμενη παρυφή του ρολογιού. Ο έλεγχος όμως των καταστάσεων γίνεται με τέσσερις counters οι οποίοι λειτουργούν σαν είσοδοι στο κάθε component και ουσιαστικά ορίζουν τις μεταβάσεις από τη μία κατάσταση των FSM στην επόμενη. Αυτοί οι counters αλλάζουν με την κάθε ανερχόμενη παρυφή του ρολογιού και τροφοδοτούν τα components ελέγχοντας κάθε στιγμή το σημείο λειτουργίας τους. Οι counters αυτοί είναι ταυτόχρονα συνδεδεμένοι με τα λειτουργικά σήματα 74

83 enabler και rst και παράγουν τη λειτουργία που βλέπουμε στον πίνακα 6.1. H σημασία και χρησιμότητα του κάθε counter φαίνεται εδώ Counter : καλύπτει το εύρος τιμών 0 έως 3 και λειτουργεί σαν τρόπος γεμίσματος διάφορων registers καθώς επίσης είναι ο βασικός μετρητής για τον πολλαπλασιασμό πινάκων A nxn B nx1 Counter1: καλύπτει το εύρος τιμών 0 έως 15 και εκτός από μετρητής θέσης για αναφορά στους καταχωρητές είναι ο βασικός counter στον πολλαπλασιασμό πινάκων A nxn B nxn Counter2: καλύπτει το εύρος τιμών 0 έως 63 και λειτουργεί κυρίως σαν ελεγκτής θέσης στους καταχωρητές. Counter3: καλύπτει το εύρος τιμών 0 έως 191 και είναι ο εσωτερικός μετρητής που εξασφαλίζει την μετάβαση από τη μία κατάσταση στις εσωτερικές FSM στην επόμενη. 6.2 Υλοποίηση σε υλικό Σε αυτό το σημείο θα παρουσιάσουμε τα αποτελέσματα της διαδικασίας μεταφοράς των παραπάνω σχηματικών ιδεών σε κύκλωμα και τη μεταφορά του σε FPGA, πράγμα που μας αποδεικνύει τη δυνατότητά να χρησιμοποιηθεί σαν αξιόλογο testing component σε μια πληθώρα δεκτών και να λειτουργήσει σαν ένας εύρωστος equalizer σαν προετοιμασία της διαδικασίας της αποκωδικοποίησης Σύνθεση Για να μπορέσουμε να φτάσουμε στο σημείο να δούμε το κύκλωμά μας υλοποιημένο χρησιμοποιούμε τη σουίτα ISE της Xilinx στην οποία αναλύουμε και εξετάζουμε το design μας πριν το κατεβάσουμε στο FPGA. Η υλοποίηση έγινε γύρω από το evaluation board της Xilinx Kintex-7 KC705. H πλατφόρμα αυτή προσφέρεται για την ανάπτυξη και έλεγχο σχεδίων που έχουν αυξημένες απαιτήσεις σε χώρο λειτουργίας καθώς επίσης και απαιτήσεις σε ταχύτητα. Εδώ παραθέτουμε δύο υλοποιήσεις για το κύκλωμά μας. Στην πρώτη έχουμε το design μας σαν αυτοτελές κύκλωμα στο οποίο δεν μπορούμε να ελέγξουμε τη λειτουργία του καθώς δεν μπορούμε να το τροφοδοτήσουμε με εισόδους ούτε να παρατηρήσουμε της εξόδους στην έξοδό του. Στη δεύτερη χρησιμοποιούμε block ROM στην είσοδο και στην έξοδο του κυκλώματος για να προσομοιώσουμε την πραγματική λειτουργία του όπου θα τροφοδοτεί έναν αποκωδικοποιητή και τροφοδοτείται με τη σειρά του από αυτόν σε συνδυασμό με τις εξόδους του καναλιού καθώς επίσης και το ίδιο το κανάλι. 75

84 Τα αποτελέσματα της πρώτης περίπτωσης δίνονται παρακάτω. Να σημειώσουμε ότι αυτά τα αποτελέσματα δεν λαμβάνουν υπόψη τους περεταίρω κυκλώματα που είναι απαραίτητα για την ορθή λειτουργία στο FPGA όπως το διαχειριστή ρολογιού (clk_wizard) και τις εξωτερικές FSM οι οποίες είναι απαραίτητες για να συγχρονιστεί το κύκλωμά μας με περιφερειακά components όπως ROMS ή αποκωδικοποιητές. Σχήμα 6.6 Χωρική ανάλυση του κυκλώματός μας Στη συνέχεια παραθέτουμε την ανάλυση που μας δίνει στοιχεία για το χρονισμό του κυκλώματος, συμπεριλαμβανομένης της μέγιστης συχνότητας στην οποία μπορεί να λειτουργήσει. Επειδή ο τρόπος που υλοποιήσαμε το design είναι behavioural το κύκλωμα δεν μπορεί να λειτουργήσει ακριβώς σε αυτή τη συχνότητα. Αυτό συμβαίνει επειδή σε πολλά σημεία έχουμε αρκετούς υπολογισμούς που συμβαίνουν σε έναν χρόνο ρολογιού, συνδυάζοντας πολλά στοιχεία πάνω στο FPGA. Το FPGA σε αυτό το σημείο υπερεκτιμά τις δυνατότητές του και δεν μπορεί να λάβει σωστά υπόψη του φυσικούς παράγοντες όπως αθροιστικές καθυστερήσεις από στοιχείο σε στοιχείο και χρόνους μεταβολής κατάστασης των διαφόρων καταχωρητών. Αυτό είναι ένα μειονέκτημα του τρόπου γραφής που επιλέξαμε, που ενώ δίνει μεγάλη ευελιξία στο σχεδιασμό του κυκλώματος, αφήνοντας το εργαλείο να πάρει τις βέλτιστες αποφάσεις, δημιουργεί κάποιες ασάφειες που καταλήγουν σε λανθασμένες εκτιμήσεις χρονισμού. Η πραγματική συχνότητα στην οποία το κύκλωμα δουλεύει 76

85 απρόσκοπτα είναι τα 70 ΜΗz νούμερο στο οποίο καταλήξαμε έπειτα από ενδελεχείς δοκιμές Σχήμα 6.7 Αναφορά Χρονισμού του κυκλώματός μας Επόμενο βήμα στην ανάλυσή μας είναι ο εντοπισμός του critical path δηλαδή του μονοπατιού εκείνου από είσοδο στοιχείου σε είσοδο άλλου στοιχείου που παίρνει τη μεγαλύτερη διάρκεια σε κύκλο ενός ρολογιού. Αυτό είναι και το σημείο στο οποίο άμεσα θα μπορούσε κανείς να βελτιώσει το κύκλωμά μας και να του δώσει μεγαλύτερη συχνότητα λειτουργίας. 77

86 Σχήμα 6.8 Critical Path Τα παραπάνω αποτελέσματα αφορούν το κύκλωμά μας χωρίς κάποιο έλεγχο της λειτουργικότητάς του. Για να έχουμε ένα κύκλωμα το οποίο παίρνει τιμές και παράγει αποτελέσματα πρέπει να κάνουμε κάποιες προσθήκες οι οποίες θα προσομοιώνουν πραγματικές συνθήκες λειτουργίας και θα παράγουν τιμές τις οποίες να μπορούμε να ελέγξουμε. Αυτό συμβαίνει εισάγοντας blocks ROM μνημών με αποθηκευμένες τιμές ώστε να τροφοδοτούμε σε διαδοχικές χρονικές στιγμές το κύκλωμά μας. Το σχηματικό διάγραμμα του πλήρες συστήματος το οποίο υλοποιούμε στο hardware ώστε να έχουμε αποτελέσματα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα : 78

87 Σχήμα 6.9 Σχηματικό διάγραμμα Λειτουργικά το component που έχει μεγάλη σημασία εδώ είναι το control unit. Είναι υπεύθυνο για το συγχρονισμό της μνήμης ROM και την κατάλληλη τροφοδοσία του equalizer μας με τα σήματα λειτουργίας του. Περιέχει μία FSM η οποία ελέγχει το διάβασμα της ROM καθώς επίσης και ένα κύκλωμα clocking wizard το οποίο είναι υπεύθυνο για τη μεταφορά του διαφορικού ρολογιού του FPGA στο κύκλωμά μας με την κατάλληλη συχνότητα. Ταυτόχρονα με τα παραπάνω εισάγουμε στο κύκλωμα και ένα μικρό component το οποίο ονομάζεται chipscope και είναι ένας πυρήνας που έχει τη δυνατότητα να ελέγχει και να εμφανίζει στον υπολογιστή μας τιμές του κυκλώματος δειγματοληπτώντας και αποθηκεύοντας δεδομένα όταν του ζητηθεί Εξακρίβωση λειτουργίας Η διαδικασία με την οποία πιστοποιούμε τη λειτουργία του κυκλώματός μας είναι μια διαδικασία η οποία αποτελείται από πολλά στάδια. Παρακάτω ακολουθούμε τη διαδικασία αυτή τμηματικά 1. Το πρώτο βήμα σε κάθε προσπάθεια σχεδιασμού ενός κυκλώματος είναι ο λογικός έλεγχος στον οποίο υπόκειται. Πριν ξεκινήσουμε την προσπάθεια υλοποίησής του σε FPGA θα πρέπει να είμαστε σίγουροι για την ορθή λειτουργία του. Η διαδικασία αυτή λαμβάνει χώρα χρησιμοποιώντας το Modelsim το οποίο μας δίνει τη δυνατότητα να αναπαραστήσουμε τη λειτουργία και να παρακολουθήσουμε σε κάθε χρονική στιγμή την επιθυμητή συμπεριφορά του κυκλώματός μας. Για να συμβεί αυτό αρχικά πρέπει να μπορούμε να συγκρίνουμε τις τιμές που βγάζει σαν έξοδο η σχεδίασή μας με τις αναμενόμενες θεωρητικές τιμές. Εδώ μπαίνει στην εξίσωση το Matlab στο οποίο έχουμε ήδη στήσει το θεωρητικό μοντέλο που παρουσιάσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο και από το οποίο έχουμε τη δυνατότητα να κρατήσουμε τις τιμές που μας ενδιαφέρουν. 79

88 Χρησιμοποιώντας το Matlab δημιουργούμε ακολουθίες διανυσμάτων δεδομένων τις οποίες αποθηκεύουμε σε txt αρχεία. Συγκεκριμένα αποθηκεύουμε τιμές που αναπαριστούν τους συντελεστές του καναλιού, τις εξόδους του καναλιού που αποτελούν τα ληφθέντα σύμβολά μας, LLRs που θεωρούμε ότι είναι η a-posteriori πληροφορία από την προηγούμενη αποκωδικοποίηση καθώς και τις διάφορες τιμές SNR με τις οποίες θα δουλέψουμε. Στη συνέχεια έχουμε δημιουργήσει ένα μη-συνθέσιμο κομμάτι κώδικα στο Modelsim που λειτουργεί σαν testbench, διαβάζοντας τα δεδομένα από τα txt αρχεία και τροφοδοτώντας το design. 2. Σε οποιοδήποτε άλλο κύκλωμα θα αρκούσε να συγκρίνουμε τα αποτελέσματα του Matlab με τα αποτελέσματα του Modelsim και να ελέγξουμε τυχόν αποκλίσεις. Στην περίπτωσή μας δεν συμβαίνει αυτό. Οι αριθμητικές πράξεις τις οποίες χειρίζεται το κύκλωμά μας είναι εξαιρετικά περίπλοκες και πολλές φορές έχουν ακραία νούμερα τα οποία δημιουργούν λάθη που μεταδίδονται δια μέσω του κυκλώματος. Ακόμα και για 12bit που είναι αρκετά μεγάλη ακρίβεια υπάρχει μεγάλη απόκλιση ανάμεσα στις εξόδους του κυκλώματος και τις αριθμητικές τιμές που προκύπτουν από την προσομοίωση. Η μέθοδος που χρησιμοποιούμε στην προκειμένη περίπτωση είναι αν τα αποτελέσματα που παίρνουμε μπορούν να παράγουν το ίδιο αποτέλεσμα με τις αντίστοιχες θεωρητικές τιμές. Για να ελέγξουμε σε αυτό το επίπεδο τη λειτουργία του κυκλώματός μας, μετατρέπουμε τις εξόδους του σε τιμές που μπαίνουν στο Matlab ξανά και τροφοδοτούν τους LDPC αποκωδικοποιητές του θεωρητικού μοντέλου μας. Σε κάθε turbo επανάληψη κρατάμε τις εκτιμήσεις του LDPC και από τη μία σχηματίζουμε το BER διάγραμμα που εμφανίζει τα λάθος εκτιμώμενα bits ενώ από την άλλη κρατάμε τις τιμές αυτές δημιουργώντας νέα txt για την επόμενη επανάληψη. 3. Αφού με τον παραπάνω τρόπο εξετάζουμε τη λογική ορθότητα του κυκλώματος, δεν μένει παρά να ελέγξουμε ότι μπορούμε να αναπαράγουμε σε επίπεδο υλικού τις αντίστοιχες εξόδους που τροφοδοτώντας έναν αντίστοιχο δέκτη θα μας έδιναν παρόμοια αποτελέσματα. Αυτό γίνεται με την προσθήκη μιας Ram μνήμης που γεμίζει σειριακά καθώς ο equalizer προχωρά στην εκτίμηση των bit. Χρησιμοποιούμε σε αυτό το σημείο το chipscope για να ελέγξουμε τις τιμές που αποθηκεύονται σε αυτή τη μνήμη και να ελέγξουμε ότι είναι πανομοιότυπες με τις αντίστοιχες εξόδους του Modelsim. Θεωρητική επιβεβαίωση λειτουργίας κυκλώματος Ακολουθώντας τα προηγούμενα βήματα σχεδιάζουμε ένα μοντέλο στο Matlab στο οποίο αντικαθιστούμε τη συμπεριφορά του SIC-MMSE equalizer με την παρεμβολή του Modelsim. Αυτό το επαναλαμβάνουμε για 4 turbo επαναλήψεις και καταλήγουμε στο BER plot που φαίνεται. 80

89 Σχήμα 6.11 BER με τη χρησιμοποίηση της κυκλωματικής μορφής του SIC-MMSE Βλέπουμε ότι περνώντας τις τιμές μας στο κύκλωμα έχουμε μία αύξηση στην απαιτούμενη ισχύ για ικανοποιητική ανίχνευση των bit η οποία είναι πολύ μικρή σε σύγκριση με την αντίστοιχη καμπύλη που είχαμε δει στο σχήμα 5.6. Συγκεκριμένα στην πρώτη επανάληψη δεν καταφέρνει να κάνει εκτίμηση το κύκλωμά μας. Από τη δεύτερη και έπειτα ωστόσο που είναι και ο κύριος λόγος για τον οποίο χρησιμοποιείται, παρατηρούμε σημαντική βελτίωση και απόδοση που δεν αποκλίνει από τη θεωρητική. Εξακρίβωση λειτουργίας κυκλώματος Στο σημείο αυτό πρέπει να σιγουρευτούμε ότι οι τιμές που βγάζουμε σαν έξοδο στο FPGA είναι ίδιες με τις τιμές που είδαμε στο Modelsim ώστε να είμαστε σίγουροι ότι το κύκλωμά μας αναπαράγει ακριβώς την επιθυμητή λειτουργία. Για να συμβεί αυτό κατεβάζουμε το κύκλωμά μας όπως αναπαρίσταται στο σχήμα 6.9 στο FPGA και παρατηρούμε τις τιμές που αποθηκεύονται στη Ram μνήμη. Στα δύο παρακάτω σχήματα βλέπουμε τις τιμές που βγαίνουν σαν έξοδος στο Modelsim και στο chipscope αντίστοιχα. 81