2. MĂRIMI DE NATURĂ MAGNETICĂ Inducţia magnetică în vid B v
|
|
- Ευδοκία Δάμαρις Αθανασιάδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Partea I. Mărimile şi legile electromagnetismului MĂRIMI DE NATURĂ MAGNETICĂ 2.1. Inducţia magnetică în vid v În punctul P din vid, introducem un mic corp de probă, care, fiind electrizat, are o sarcină electrică q. Dacă, în punctul P, există câmp electric, atunci asupra corpului de probă, presupus imobil, se exercită o forţă de natură electrică F e. Dacă însă corpul de probă trece prin punctul P cu viteza v, se constată că, uneori, asupra lui se exercită o forţă suplimentară F m (Fig. 2.1), deci o forţă totală F t = F m + F e. punem că forţa F m este de natură magnetică şi că, în punctul P, există câmp magnetic. În urma experimentului, se constată că în orice punct P există un vector v, independent de q şi v, cu proprietatea că forţa F m poate fi exprimată prin relaţia: F m = qv v (2.1) oricare ar fi q şi v. Vectorul v, numit inducţie magnetică în vid, este o mărime fizică ce caracterizează proprietatea punctului P din vid de a avea câmp magnetic. v este o mărime primitivă definită prin relaţia (2.1). Unitatea de măsură în.i este Tesla (T). Din modul în care au fost definite F m mărimile intensitatea câmpului magnetic în v vid E v şi inducţia magnetică în vid v, v q Fig. 2.1 Induc\ia magnetic` [n vid. rezultă că, dacă în punctul P avem câmp electric şi magnetic, atunci forţa ce se exercită asupra corpului de probă este: F t = q(v v + E v ) Dacă schimbăm sistemul de referinţă în care se face măsurarea (deci, viteza v), atunci, admiţând că F t şi q nu se se modifică, rezultă că se modifică valorile lui E v şi v:
2 Partea I. Mărimile şi legile electromagnetismului 21 v 1 v1+ E v1 = v v + E v unde E v1 şi v1 sunt valorile din noul sistem de referinţă. De exemplu, dacă noul sistem de referinţă se mişcă faţă de sistemul de referinţă iniţial cu aceeaşi viteză ca şi corpul de probă, atunci relaţia de transformare a lui E v din sistemul de referinţă iniţial în cel al particulei este E v1 = v v + E v. Realitatea fizică este câmpul electromagnetic, descris în punctul P din vid cu perechea de mărimi fizice ( E v, v). Mărimea E v descrie componenta electrică a câmpului electromagnetic, iar v, componenta magnetică Câmpul magnetic în corpuri. Inducţia magnetică. Intensitatea câmpului magnetic H Pentru explorarea câmpului magnetic din corpuri, se procedează la fel ca în cazul câmpului electric (par.1.3). Fie o fantă plată, de orientare n cu centrul în punctul P, unde dorim să studiem câmpul magnetic (Fig.2.2). În punctul P din centrul fantei, inducţia " magnetică în vid este v ( n ). Numim inducţie magnetică în punctul P acel vector a cărui proiecţie pe orientarea n a fantei este egală " cu proiecţia vectorului v ( n ) pe orientarea fantei, oricare ar fi această orientare: " n = v ( n) n, ( ) n (2.2) " v (n) n P Fig Fant` plat`. Induc\ia magnetic`. " n Observaţii: a) v ( ) depinde, în general, de orientarea fantei, dar nu depinde de această orientare (în caz contrar, nu poate fi definit). b) Mărimea este o mărime derivată, definită cu ajutorul mărimii primitive
3 Partea I. Mărimile şi legile electromagnetismului 22 inducţia magnetică în vid v. e măsoară tot în T. c) Alegerea cavităţii de forma fantei plate permite măsurarea, în principiu, a unor mărimi derivate din inducţia magnetică (fluxul magnetic). d) Practicarea unei fante în vid nu modifică cu nimic lucrurile. " Ca urmare, în vid, v ( n ) nu depinde de n şi avem: 1 n ' v ( n) 0 " = ( n ) (2.3) Fie o fantă lungă, de orientare n cu centrul în punctul P, unde dorim să studiem câmpul magnetic (Fig.2.3). În punctul P din ' centrul fantei, inducţia magnetică în vid este v ( n). Numim intensitate a câmpului magnetic în punctul P acel vector H a cărui proiecţie pe orientarea n a fantei este proporţională cu proiecţia ' vectorului v ( n) pe orientarea fantei, oricare ar fi această orientare: 1 ' H n = v ( n) n, ( ) n (2.4) 0 H v Constanta 0, numită permeabilitatea magnetică a vidului, are o valoare care depinde de sistemul de unităţi utilizat. În.I: 7 0 = 4π10 henry/metru (H/m) Fig Fant` lung`. Intensitatea câmpului magnetic. P Observaţii: a) ' v ( n) depinde, în general, de orientarea fantei, dar H nu depinde de această orientare. b) Mărimea H este o
4 Partea I. Mărimile şi legile electromagnetismului 23 mărime derivată, definită cu ajutorul mărimii primitive inducţie magnetică în vid v. e măsoară în Amperi pe metru (A/m). c) Alegerea cavităţii de forma fantei lungi permite măsurarea, în principiu, a unor mărimi derivate din inducţia magnetică (tensiunea magnetică). d) Practicarea unei fante în vid nu modifică cu nimic lucrurile. ' Ca urmare, în vid, v ( n) nu depinde de n şi avem: 1 ' H = v ( n), ( ) n 0 (2.5) e) Din relaţiile (2.3) şi (2.5), rezultă că în vid: = 0H (2.6) 2.3. Polarizaţia magnetică. Magnetizaţia Numim polarizaţie magnetică mărimea vectorială definită prin relaţia: = H (2.7) I 0 Magnetizaţia este definită prin relaţia: M 1 = I (2.8) 0 Din relaţia (2.6) rezultă că polarizaţia magnetică este nulă în vid. Observaţie. Unele lucrări definesc polarizaţia electrică ca o densitate de volum a unei mărimi numite moment magnetic, obţinută, printr-o procedură de măsurare, ca mărime primitivă. Atunci, relaţia (2.7) devine lege (legea legăturii dintre inducţia magnetică, intensitatea câmpului magnetic şi polarizaţia magnetică sau magnetizaţie). Am preferat definirea polarizaţiei magnetice cu relaţia (2.7), deoarece procedura de măsurare a momentului magnetic nu este riguroasă.
5 Partea I. Mărimile şi legile electromagnetismului Legea legăturii dintre inducţia magnetică şi intensitatea câmpului magnetic H Pentru majoritatea mediilor, se poate defini o legătură algebrică între şi H. În funcţie de această legătură, avem: a) medii liniare (Fig.2.4a) = H sau H = ν (2.9a) unde constanta se numeşte permeabilitate magnetică şi cu bună H Fig. 2.4a. aproximaţie 0. Pentru o comparare Medii liniare. mai uşoară a permeabilităţii cu permeabilitatea vidului 0, se defineşte mărimea adimensională, numită permeabilitate relativă, cu relaţia r = / 0. În particular, pentru vid, aer, gaze, = 0. b) medii liniare cu polarizaţie magnetică permanentă = H + I p (2.9b) H I p H Fig.2.4b. Medii liniare cu polariza\ie permanent`. câmpului magnetic este nulă (Fig. 2.4b). c) medii liniare anizotrope unde polarizaţia magnetică permanentă I p este valoarea inducţiei magnetice când intensitatea = H (2.9c) H Fig. 2.4c. Medii liniare anizotrope. La aceste medii, vectorii şi H nu sunt, în general, paraleli (Fig.2.4c), dar legătura dintre şi H este liniară, fiind un tensor numit tensorul permeabilităţii magnetice. Relaţia (2.9c) se mai poate scrie în sistemul cartezian astfel:
6 Partea I. Mărimile şi legile electromagnetismului 25 x y z = xx yx zx xy yy zy xz yz zz H H H x y z (2.9c ) Observaţie. Matricea permitivităţii este simetrică şi pozitiv definită. Există deci trei direcţii ortogonale, numite direcţii principale de magnetizare, în care legătura dintre şi H se scrie: 1 1 = H1 0 H 2 3 H3 (2.9c ) d) medii liniare, anizotrope, cu polarizaţie electrică permanentă (Fig.2.4d) H I p Fig.2.4d. Medii liniare anizotrope cu polariza\ie permanent`. H = ε H + I p (2.9d) e) medii neliniare = f (H), unde f 3 : R R De exemplu, în cazul mediilor feromagnetice izotrope, unde pe orice direcţie avem aceeaşi relaţie -H, graficul acestei relaţii arată ca în Fig.2.4e. H f) medii neliniare în care Fig.2.4e. Mediu neliniar dependenţa - H nu poate fi descrisă printr-o relaţie algebrică - H. În aceste medii, numite medii cu histerezis, valoarea lui depinde de H şi de evoluţia pe care au avut-o mărimile şi H. De exemplu, în cazul unui câmp uniform, unde şi H sunt coliniari, putem descrie calitativ dependenţa - H (Fig. 2.4f). Presupunem că, iniţial, mediul este nemagnetizat: = 0; H =0. Atunci, în graficul - H, ne aflăm în originea axelor O. Dacă mărim valoarea 3
7 Partea I. Mărimile şi legile electromagnetismului 26 lui H până la H max, atunci dependenţa - H este descrisă de curba Oα, numită şi curbă de primă magnetizare. Dacă, după atingerea valorii H max, scădem valoarea lui H, dependenţa - H nu mai este descrisă de curba de primă magnetizare, ci de curba αβ. Intersecţiile curbei αβ cu axele O şi OH au ordonata r (numită inducţie remanentă) şi respectiv abscisa -Hc (Hc numit câmp max α r α γ δ -H max - H c O H max H β β Fig. 2.4f. Rela\ia -H pentru un mediu cu histerezis.
8 Partea I. Mărimile şi legile electromagnetismului 27 coercitiv). Presupunem că atingem valoarea -H max şi apoi creştem din nou valoarea lui H până la H max. Obţinem ciclul αβα, numit ciclul de histerezis. El este simetric faţă de origine. Dacă pe porţiunea descendentă αβ ne oprim în punctul γ şi apoi creştem şi scădem valoarea lui H, obţinem curba γδγ, numită ciclul secundar. Dacă pe curba de primă magnetizare ne oprim la o valoare a lui H mai mică decât H max, atunci obţinem un ciclu de histerezis α'β'α', interior lui αβα, iar dacă ne oprim la o valoare mai mare decât H max, obţinem un ciclu exterior lui αβα. Există însă o valoare limită lui H max, a cărei depăşire nu conduce la modificarea ciclului de histerezis. Există deci un ciclu de histerezis limită care, în Fig.2.4f, este chiar αβα. e va arăta (în Vol.2) că energia care se transformă, pe unitatea de volum, din forma electromagnetică în căldură este egală cu aria ciclului de histerezis (Teorema lui Warburg). Ca urmare, în multe utilizări tehnice, unde câmpul magnetic este variabil în timp, se încearcă folosirea unor materiale cu ciclul de histerezis foarte îngust, numite şi materiale magnetice moi. În cazul acestor materiale, se poate considera cu bună aproximaţie curba de primă magnetizare. Pierderile specifice (pe unitatea de volum) prin histerezis sunt date apoi cu bună aproximaţie de valoarea maximă a lui şi de frecvenţă. Există utilizări tehnice în care sunt dorite materiale cu ciclul de histerezis cât mai larg (magneţi permanenţi). e va arăta (Partea a IV-a, Cap.5) că energia câmpului magnetic produs de magneţii permanenţi în afara lor este cu atât mai mare, cu cât ciclul de histerezis este mai lat (mai exact, cu cât produsul H este mai mare). Fabricanţii de magneţi permanenţi dau curba αβα a ciclului de histerezis limită sau, uneori, numai inducţia remanentă r, câmpul coercitiv H c şi energia maximă (H ) max, corespunzătoare ciclului limită. Pentru a atinge însă acest ciclu limită este necesar să obţinem pentru H max o valoare de cca 4-5 ori mai mare decât valoarea lui H c dată în catalog. În cazul în care şi H nu sunt coliniari, dependenţa - H se complică foarte mult.
9 Partea I. Mărimile şi legile electromagnetismului Tensiunea magnetică u m Fie o curbă orientată C (Fig.2.5) şi un câmp magnetic cu intensitatea H. Numim tensiune magnetică de-a lungul curbei C mărimea: l C 1 ' v ( l ) 0 P 0 H Fig Tensiunea magnetic`. umc = C H dl (2.10) Tensiunea magnetică u mc este o integrală curbilinie de speţa a 2- a, asemănătoare cu lucrul mecanic. Ea depinde atât de câmpul vectorial H, cât şi de curba C. Tensiunea magnetică se măsoară în Amperi (A). Observaţie. În principiu, tensiunea magnetică poate fi măsurată dacă ţinem cont de felul în care a fost definită intensitatea câmpului magnetic, cu ajutorul fantelor lungi. Intr-adevăr, dacă plasăm curba C într-un şirag de fante lungi (Fig.2.5), atunci, în 1 vidul fiecărei fante, putem măsura a fantei are aceeaşi componentă ca şi H : P ' v 0 care, pe orientarea l H 1 l = ( l ) l 0 ' v Însumând în raport cu indicele şi făcând lungimile mici, avem: l arbitrar de C H dl = C 1 0 ' v dl
10 Partea I. Mărimile şi legile electromagnetismului Potenţialul magnetic scalar V m. Teorema potenţialului magnetic scalar Există, uneori, domenii Ω în care tensiunea electrică pe orice curbă închisă din domeniu este nulă (v. teorema lui Ampère, par.3.3): H d l = 0, ( ) Ω (2.11) Teorema potenţialului magnetic scalar. Dacă, în domeniul Ω, este îndeplinită condiţia (2.11), atunci se poate defini un potenţial magnetic scalar prin relaţia: V m P ( P) = V ( P0 ) H dl (2.12) m unde integrala se face pe orice drum de la P 0 la P, iar P 0 este un punct cu potenţial de referinţă fixat arbitrar. Consecinţă. Dacă relaţia (1.18) este valabilă, atunci este valabilă forma locală a teoremei potenţialului magnetic scalar: Există câmpul de scalari V m:ω R astfel încât: P0 Demonstraţia se face la fel ca în par.1.7. H = gradv m (2.12 ) 2.7. Fluxul magnetic Fie o suprafaţă orientată. Numim flux magnetic mărimea definită prin: Φ s = nd (2.13)
11 Partea I. Mărimile şi legile electromagnetismului 30 Observaţie. În principiu, fluxul magnetic poate fi măsurat, dacă ţinem cont de felul în care a fost definită inducţia magnetică, cu ajutorul fantelor plate. Într-adevăr, dacă placăm suprafaţa cu fante plate (Fig.2.6), atunci, în vidul fiecărei fante, putem măsura " v care, pe orientarea n a fantei, are aceeaşi componentă ca şi : " n = ε n v " v n d Fig Fluxul magnetic. Însumând în raport cu indicele şi făcând ariile mici, avem: nd = v " nd 2.8. Legea fluxului magnetic arbitrar de În urma experimentelor, se constată următoarea proprietate: Fluxul magnetic pe orice suprafaţă închisă este nul (Fig. 2.7): ΦΣ = nd = 0 (2.14) Σ Observaţie. Nu există sarcină magnetică analoagă sarcinii electrice. Consecinţe: i) Forma locală a legii fluxului electric:
12 Partea I. Mărimile şi legile electromagnetismului 31 Σ Ω Σ n Fig Legea fluxului magnetic. div = 0 (2.15) Demonstraţie. Aplicăm formula lui Gauss în membrul stâng al relaţiei (2.14). Rezultă: Ω Σ div dv=0 Deoarece suportul de integrare (2.15). n n - n' d + n ' = Φ ' n Fig Invarian\a fluxului magnetic. Ω Σ este arbitrar, rezultă relaţia ii) Toate suprafeţele cu aceeaşi bordură au acelaşi flux magnetic. Demonstraţie. Fie două suprafeţe şi cu aceeaşi bordură şi fie, suprafaţa care ocupă în spaţiu aceeaşi poziţie ca şi, dar este orientată invers (normala n = n). Pe suprafaţa închisă Σ=, este valabilă legea fluxului magnetic: d = n' d ' nd =0 ' Deci Φ. iii) Există o funcţie vectorială A, numită potenţial magnetic vector, cu proprietatea: rota= (2.16) e vede imediat că, dacă verifică relaţia (2.15), atunci verifică şi legea fluxului magnetic. O expresie pentru potenţialul magnetic vector poate fi dată de formula iot-avart-laplace (Partea a IV-a, Cap.4, par.4.2). Pentru o inducţie magnetică dată, relaţia (2.16) nu defineşte unic potenţialul magnetic vector: putem să-i adăugăm gradϕ, cu ϕ arbitrar şi obţinem aceeaşi valoare pentru (rot(a+ gradϕ)=rota). De obicei, se impune lui A o restricţie suplimentară, numită condiţie de etalonare. De exemplu, dacă impunem diva=0, spunem că avem condiţia de etalonare Coulomb.
13 Partea I. Mărimile şi legile electromagnetismului Legea inducţiei electromagnetice În urma experimentelor, se constată următoarea proprietate: Tensiunea electrică pe o curbă este egală cu viteza de scădere a fluxului magnetic pe orice suprafaţă cu bordura, sensul pozitiv al fluxului magnetic prin fiind dat de regula burghiului faţă de sensul de parcurgere al curbei (Fig. 2.9): d n P Fig Pentru legea induc\iei electromagnetice. d u = Φ (2.17) dt Utilizând relaţiile de definire a tensiunii electrice (1.6) şi a fluxului magnetic (2.13), relaţia (2.17) se mai scrie: d E dl = nd (2.17 ) dt Observaţii: a) Curbele, suprafeţele, corpurile sunt formate din puncte materiale şi deplasările tuturor varietăţilor sunt definite de deplasările punctelor materiale din care ele sunt formate. În teoria macroscopică Maxwell-Hertz a câmpului electromagnetic, mărimile sunt definite în sisteme de referinţă ataşate punctelor, care pot fi în mişcare. punem că sunt utilizate sisteme de referinţă locale pentru definirea mărimilor. De exemplu, în punctul P de pe curba, intensitatea câmpului electric se măsoară cu un corp de probă ce se mişcă o dată cu punctul P. De aici, rezultă că modul de introducere a mărimilor primitive din vid, E v (par. 1.1) şi v (par.2.1) nu este riguros. În teoria Maxwell-Hertz este necesară substanţa pentru a putea defini sistemele de referinţă locale, deci nu putem avea vid. De fapt, vidul este o stare limită de rarefiere a substanţei. Mărimea intensitatea câmpului electric în vid ar trebui definită ca o limită de mărimi E, definite cu ajutorul forţei de natură electrică (par.1.1) şi v
14 Partea I. Mărimile şi legile electromagnetismului 33 corespunzând unor rarefieri cât mai mari, caracterizate, de exemplu, de presiunile p n 0. b) Dacă mişcarea curbei este impusă de deplasarea punctelor materiale din care ea este formată, deplasarea suprafeţei poate fi eliberată de această restricţie, aşa cum rezultă din consecinţa ii) a legii fluxului magnetic. Evident, suprafaţa trebuie să fie mărginită de curba. c) Fluxul magnetic poate să varieze în timp atât datorită faptului că inducţia magnetică variază în timp, cât şi datorită faptului că suprafaţa se modifică. Exemple i) Într-un câmp magnetic uniform, se roteşte o spiră dreptunghiulară, având axa de rotaţie perpendiculară pe liniile de câmp (Fig. 2.10). ă se determine tensiunea electrică indusă în spiră. Rezolvare. e alege un sens pentru calculul tensiunii electrice în spiră (o orientare a curbei ), de exemplu, cel din Fig Alegem ca suprafaţă cu bordura chiar suprafaţa plană mărginită de. ensul pozitiv al fluxului prin este dat de regula burghiului în raport cu sensul de parcurgere a curbei. Deci, normala la este orientată în jos. Fluxul magnetic prin este: ω Φ = nd = cosα d = cosα d = A cosα α n Fig pir` dreptunghiular` [nv@rtindu-se [n c@mp magnetic uniform. unde A este aria dreptunghiului mărginit de spiră, iar α este unghiul dintre normala n şi inducţia magnetică. Deci:
15 Partea I. Mărimile şi legile electromagnetismului 34 d d u = Φ = A cosα = = ωa sinα dt dt ii) Într-un câmp magnetic uniform de inducţie magnetică, se învârte, cu viteza unghiulară ω, un disc perfect conductor de rază a, axul discului, tot perfect conductor, fiind paralel cu inducţia magnetică (Fig.2.11). La periferia discului şi pe axul de rotaţie, alunecă două perii colectoare care fac legătura cu două borne A şi (generatorul homopolar). Care este tensiunea electrică u de la borne? Rezolvare. Încadrăm curba tensiunii de la borne într-o curbă închisă, astfel încât pe restul curbei să cunoaştem tensiunea electrică. Fie A (t)=acoda D această curbă la timpul t. Deoarece u discul, axul şi legăturile C şi DA o α C C ω Fig Generatorul homopolar. n sunt conductoare, intensitatea câmpului perfect electric este nulă în acestea (v. Cap.3). Deci: u E dl = E dl + E dl = 0 + u (2.18) CoDA A Alegem ca suprafaţă cu bordura (t) suprafaţa plană mărginită de această curbă. Ţinând cont că deplasarea curbei (t) este definită de deplasarea punctelor din care ea este formată, la timpul t+ t, porţiunea Co a curbei se deplasează în C o şi curba va deveni (t+ t)=acc oda. Putem alege ca suprafaţă de bordură (t+ t) reuniunea dintre suprafaţa plană cu bordura (t) şi suprafaţa plană CC o definită de sectorul de cerc de unghi α parcurs de Co în timpul t. Variaţia de flux magnetic de la timpul t la t+ t este dată de fluxul magnetic de pe sectorul de cerc:
16 Partea I. Mărimile şi legile electromagnetismului 35 Φ = CC' o 2 πa α nd = (2.19) 2 ţinand cont că şi n sunt paraleli şi că aria sectorului de cerc este 2 α πa 2. Ca urmare, din (2.17), (2.18) şi (2.19), rezultă: u = lim Φ t πa 2 ω = (2.20) t 0 2 Consecinţe: i) Forma locală a legii inducţiei electromagnetice pentru medii imobile. Dacă mediile sunt imobile, atunci suportul integralei de suprafaţă din relaţia (2.17 ) este constant în timp şi derivata în raport cu timpul intră sub semnul de integrare: E dl = nd (2.21) t Aplicând formula lui toes în membrul stâng al relaţiei (2.21), rezultă: rote nd = nd (2.22) t Deoarece suportul de integrare este arbitrar, rezultă că integranzii sunt egali: rote = (2.23) t Relaţia (2.23) este forma locală a legii inducţiei electromagnetice, cunoscută şi sub numele de legea lui Faraday sau a doua lege a lui Maxwell. ii) Forma locală a legii inducţiei electromagnetice pentru medii în mişcare. Dacă mediul este în mişcare, atunci suportul integralei de suprafaţă din relaţia (2.17 ) este variabil în timp şi
17 Partea I. Mărimile şi legile electromagnetismului 36 derivata în raport cu timpul intră sub semnul de integrare sub forma derivatei substanţiale de flux (Anexa A): unde (v. Anexa A): d f E dl = nd (2.24) dt d f = + vdiv + rot( v) (2.25) dt t Dacă ţinem cont de forma locală a legii fluxului magnetic (2.15), avem: d f = + rot( v) (2.26) dt t La fel ca la punctul precedent, aplicăm formula lui toes în membrul stâng al relaţiei (2.24) şi obţinem: sau rote = d f rote = (2.27) dt + rot ( v) t (2.27 ) Observaţie. Pentru relaţia (2.27 ) sunt necesare două sisteme de referinţă: sistemul de referinţă local, în care sunt definite mărimile câmpului electromagnetic, şi sistemul de referinţă al laboratorului, în care este definită viteza. Cei doi termeni din membrul drept al relaţiei (2.27 ) depind de alegerea celui de-al doilea sistem de referinţă, dar suma lor este independentă de această alegere. iii) Dacă, într-un domeniu, fluxurile magnetice nu variază în timp, atunci, din legea inducţiei electromagnetice, rezultă că este îndeplinită condiţia definirii potenţialului electric scalar (v. par.1.7 relaţia (1.18))
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραa. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)
Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραStudiul câmpului magnetic în exteriorul unui conductor liniar foarte lung parcurs de un curent electric. Verificarea legii lui Biot şi Savart
Legea lui Biot şi Savart Studiul câmpului magnetic în exteriorul unui conductor liniar foarte lung parcurs de un curent electric. Verificarea legii lui Biot şi Savart Obiectivul experimentului Măsurarea
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραElectrotehnică. Conf. dr. ing. ec. Adina RĂCĂŞAN
Electrotehnică Conf. dr. ing. ec. Adina RĂCĂŞAN http://users.utcluj.ro/~adina/ Facultatea de Inginerie Electrică / Departamentul de Electrotehnică şi Măsurări Tel.: 0264 401 468, Email: Adina.Racasan@et.utcluj.ro
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραV O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare
Διαβάστε περισσότεραOvidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Διαβάστε περισσότεραLucrul mecanic. Puterea mecanică.
1 Lucrul mecanic. Puterea mecanică. In acestă prezentare sunt discutate următoarele subiecte: Definitia lucrului mecanic al unei forţe constante Definiţia lucrului mecanic al unei forţe variabile Intepretarea
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραCURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR
CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότερα4. CÂTEVA METODE DE CALCUL AL CÂMPULUI ELECTRIC Formule coulombiene
Patea II. Electostatica 91 4. CÂTEVA METOE E CALCUL AL CÂMPULUI ELECTIC i) Cazul 4.1. Fomule coulombiene Fie o sacină electică punctuală, situată înt-un mediu omogen nemăginit, de pemitivitate ε. Aplicăm
Διαβάστε περισσότεραsin d = 8 2π 2 = 32 π
.. Eerciţii reolvte. INTEGRALA E UPRAFAŢĂ E AL OILEA TIP. ÂMPURI OLENOIALE. Eerciţiul... ă se clculee dd dd dd, () fiind fţ eterioră sferei + + 4. oluţie. Avem: sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ, θ[, π],
Διαβάστε περισσότεραCurs 9 FENOMENE MAGNETICE
Curs 9 FENOMENE MAGNETICE Existenţa proprietăţilor magnetice a fost descoperită încă din antichitate, numele de magnet provenind de la numele unei regiuni din Asia Mică - Magnesia - unde se găseau roci
Διαβάστε περισσότεραLucrul mecanic şi energia mecanică.
ucrul mecanic şi energia mecanică. Valerica Baban UMC //05 Valerica Baban UMC ucrul mecanic Presupunem că avem o forţă care pune în mişcare un cărucior şi îl deplasează pe o distanţă d. ucrul mecanic al
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραAparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1
Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότεραSeminar electricitate. Seminar electricitate (AP)
Seminar electricitate Structura atomului Particulele elementare sarcini elementare Protonii sarcini elementare pozitive Electronii sarcini elementare negative Atomii neutri dpdv electric nr. protoni =
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραLectia III Produsul scalar a doi vectori liberi
Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:
Διαβάστε περισσότεραCURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR
CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA NOŢIUNI DE BAZĂ ÎN CINEMATICA Cinematica studiază mişcările mecanice ale corpurilor, fără a lua în considerare masa acestora şi
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu
ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραCâmpul electric. Suprafețe echipotențiale
Câmpul electric. Suprafețe echipotențiale Obiective Scopul aceste lucrări de laborator este determinarea experimentală a curbelor de echipotențial și reprezentarea linilor de câmp electric în cazul a două
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραCircuite electrice in regim permanent
Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme apitolul. ircuite electrice in regim permanent. În fig. este prezentată diagrama fazorială a unui circuit serie. a) e fenomen este
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραExemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni
Problema 1. Se dă circuitul de mai jos pentru care se cunosc: VCC10[V], 470[kΩ], RC2,7[kΩ]. Tranzistorul bipolar cu joncţiuni (TBJ) este de tipul BC170 şi are parametrii β100 şi VBE0,6[V]. 1. să se determine
Διαβάστε περισσότερα15. Se dă bara O 1 AB, îndoită în unghi drept care se roteşte faţă de O 1 cu viteza unghiulară ω=const, axa se rotaţie fiind perpendiculară pe planul
INEMTI 1. Se consideră mecanismul plan din figură, compus din manivelele 1 şi 2, respectiv biela legate intre ele prin articulaţiile cilindrice şi. Manivela 1 se roteşte cu viteza unghiulară constantă
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότερα1. (4p) Un mobil se deplasează pe o traiectorie curbilinie. Dependența de timp a mărimii vitezei mobilului pe traiectorie este v () t = 1.
. (4p) Un mobil se deplasează pe o traiectorie curbilinie. Dependența de timp a mărimii vitezei mobilului pe traiectorie este v () t.5t (m/s). Să se calculeze: a) dependența de timp a spațiului străbătut
Διαβάστε περισσότεραCap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI
Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI In mecanică există mărimi scalare sau scalari şi mărimi vectoriale sau vectori. Mărimile scalare (scalarii) sunt complet determinate prin valoarea lor numerică
Διαβάστε περισσότερα1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere
Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau
Διαβάστε περισσότεραFENOMENE TRANZITORII Circuite RC şi RLC în regim nestaţionar
Pagina 1 FNOMN TANZITOII ircuite şi L în regim nestaţionar 1. Baze teoretice A) ircuit : Descărcarea condensatorului ând comutatorul este pe poziţia 1 (FIG. 1b), energia potenţială a câmpului electric
Διαβάστε περισσότεραClasa a IX-a, Lucrul mecanic. Energia
1. LUCRUL MECANIC 1.1. Un resort având constanta elastică k = 50Nm -1 este întins cu x = 0,1m de o forță exterioară. Ce lucru mecanic produce forța pentru deformarea resortului? 1.2. De un resort având
Διαβάστε περισσότεραCapitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 7 ELEMENTE DE TEORIA CÂMPURILOR Câmpuri scalare. Câmpuri vectoriale Aspecte fizice
Capitolul 7 ELEMENTE DE TEORIA CÂMPURILOR 7.1 Definiţii şi proprietăţi 7.1.1 Câmpuri scalare. Câmpuri vectoriale Fie D R 3. Numim câmp scalar pe D o funcţie (cu valori scalare) u : D R. Numim câmp vectorial
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότεραTranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1
CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei
Διαβάστε περισσότερα